| Vorlesung |
Di |
12:15 - 13:45 Uhr |
V2-216 |
Etienne Emmrich |
| |
Mi |
16:15 - 17:45 Uhr |
C01-220 |
|
| Übung |
Mo |
18:15 - 19:45 Uhr |
U2-147 |
Christopher Hartleb
|
| Übung |
Di |
08:15 - 09:45 Uhr |
D2-152 |
Christopher Hartleb |
| Sprechzeiten |
Di |
16:30 - 17:30 Uhr
|
V5-147
|
Etienne Emmrich
|
| Sprechzeiten |
Do |
16:00 - 17:00 Uhr
|
U4-146
|
Christopher Hartleb
|
| Sekretariat |
|
|
V5-145 |
Frau
Matz |
Fragen und Anregungen bitte an emmrich@math.uni-bielefeld.de.
Aktuelles:
Die Vorlesung am Dienstag 18. Oktober 2011 findet in V2-216 statt.
Beschreibung:
In der Vorlesung werden zum einen Elemente der Nichtlinearen Funktionalanalysis und deren Anwendung auf Integral- und Differentialgleichungen behandelt. Zum anderen werden numerische Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen studiert und so ein Einblick in die Theorie von Diskretisierungsverfahren gegeben.
Für das Sommersemester 2012 ist ein Seminar zur Anfertigung der Bachelorarbeit geplant.
Hörerkreis:
Studierende der Bachelor-Studiengänge Mathematik und Wirtschaftsmathematik
Voraussetzungen:
Möglichst Einführung in die Numerische Mathematik sowie Gewöhnliche Differentialgleichungen. Empfohlen wird außerdem Funktionalanalysis und Partielle Differentialgleichungen.
Prüfungsmodalitäten:
Die wöchentlich herausgegebenen Übungsaufgaben sind in festen Zweiergruppen zu bearbeiten. Es sind mindestens 50% der Punkte zu erreichen, und die Aufgaben sind in den Übungen gegebenenfalls vorzurechnen. Im Anschluß an die Vorlesungszeit finden mündliche Prüfungen statt.
Literatur:
Literaturempfehlungen finden Sie hier
In der Bibliothek gibt es einen Semesterapparat mit diesen und weiteren
Titeln.
Weitere Literaturempfehlungen:
... zu gewöhnlichen Differentialgleichungen finden Sie hier
(als PDF-Datei)
... zu partiellen Differentialgleichungen finden Sie hier
(als
PDF-Datei)
... zur Analysis und Funktionalanalysis finden Sie hier
(als PDF-Datei)
... zur
Numerik partieller Differentialgleichungen finden Sie hier
(als PDF-Datei)
... zur Biomathematik finden Sie hier
(als PDF-Datei)
Inhalt:
0. Einführung
... Anwendungsbeispiele, Typen von Differentialgleichungsproblemen, die sechs großen Fragen, Wiederholung
1. Nichtlineare Integralgleichungen und der Banachsche Fixpunktsatz
... Integralgleichungen zweiter Art vom Fredholmschen und Volterraschen Type (Existenz von Lösungen)
2. Abstrakte Funktionen. Integral für stetige Banach-Raum-wertige Funktionen
... Konzept der abstrakten Funktion
... Funktionenräme
... Integral für stetige Funktionen mit Werten in einem Banach-Raum
3. Abstrakte Differentialgleichungen im Banach-Raum und eine Verallgemeinerung des Satzes von Picard-Lindelöf
... Verallgemeinerung des Satzes von Picard-Lindelöf
... Globale Lösbarkeit bei globaler Lipschitz-Bedingung
... Globale Lösbarkeit bei lokaler Lipschitz-Bedingung und Beschränktheit der rechten Seite
... Gronwallsches Lemma
... Linear-beschränkte rechte Seite
4. Stetige Abhängigkeit der Lösung von den Daten
... Störung der Anfangsdaten bei (globaler) Lipschitz-Bedingung
5. Dissipative Systeme
... Definition. Stetige Abhängigkeit von der Anfangsbedingung. Abklingverhalten
6. Zeitdiskretisierung: Explizites und implizites Euler-Verfahren, θ-Verfahren, Cranc-Nicolson-Verfahren, One-leg-Varianten
... Motivation der Verfahren
... Existenz, Einzigkeit und Stabilität diskreter Lösungen, A-priori-Abschätzungen, Fehlerabschätzungen unter globaler Lipschitz-Bedingung und bei (starker) Dissipativität
7. Satz von Kantorowitsch und Lax: Stabilität, Konsistenz und Konvergenz
... Allgemeines Approximationsschema für Operatorgleichungen und deren diskrete Ersatzprobleme,
Restriktionen und Prolongationen, Stabilität, diskrete Konvergenz, Zusammenhang zwischen Stabilität von Prolongation, Kompatibilität von Restriktion und Prolongation sowie diskreter und kontinuierlicher Konvergenz, Konsistenz, stabile Approximation, Satz von Kantorowitsch und Lax
8. Stabilität, Konsistenz und Konvergenz expliziter Einschrittverfahren
... Approximationsschema zur Betrachtung von Einschrittverfahren, Wahl der Normen auf den
Räumen von Gitterfunktionen, Stabilität unter Lipschitz-Bedingung, Konsistenz
und Bedingungen an die Verfahrensfunktion, diskrete Konvergenz, Beispiele (Verfahren von Heun)
9. Einschrittverfahren für autonome lineare Systeme
... allgemeines Einschrittverfahren erzeugt durch Funktion r,
Voraussetzungen an r, Stabilität und Konsistenz unter Bedingungen an r,
Beispiele für rationale Approximation (Padé-Approximation)
Übungsblätter (pdf)