Übung 1.

Seien \({\varphi \colon V \to W}\) und \({\psi \colon V \to W'}\) lineare Abbildung und sei \[ \begin{pmatrix} \varphi \\ \psi \end{pmatrix} \colon V \to W \times W',\, v \mapsto \begin{pmatrix} \varphi(v) \\ \psi(v) \end{pmatrix} \] die entsprechende lineare Abbildung in das Produkt \({W \times W'}\). Zeigen Sie die Gleichung \[ \ker \begin{pmatrix} \varphi \\ \psi \end{pmatrix} = (\ker \varphi) \cap (\ker \psi) . \]

Lösung.

\({ \subseteq }\) : Sei \({ v \in \ker \begin{pmatrix} \varphi \\ \psi \end{pmatrix} }\) dann gilt \({ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi \\ \psi \end{pmatrix}(v) = \begin{pmatrix} \varphi(v) \\ \psi(v) \end{pmatrix} , }\) also \({ \varphi(v) = 0 }\) und \({ \psi(v) = 0. }\)

\({ \supseteq }\) : Sei \({ v \in (\ker \varphi) \cap (\ker \psi) }\) dann gilt \[ \begin{pmatrix} \varphi \\ \psi \end{pmatrix}(v) = \begin{pmatrix} \varphi(v) \\ \psi(v) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} . \]

Übung 2.

Zeigen Sie, dass eine lineare Abbildung genau dann injektiv ist, wenn ihr Kern trivial ist.

Lösung.

\({ \Rightarrow }\) : Es gilt \({ \varphi(0) = 0 }\), aufgrund der Injektivität also \({ \ker \varphi = \varphi^{-1}(0) = \{0\}. }\)

\({ \Leftarrow }\) : Seien \({ u, v \in V }\) Vektoren mit \({ \varphi(u) = \varphi(v) . }\) Dann gilt \[ 0 = \varphi(v) - \varphi(u) = \varphi(v - u) \] und damit \({ v - u \in \ker \varphi = \{0\} . }\) Daraus folgt dann \({ v - u = 0 }\) und weiter \({ v = u. }\)

Übung 3.

Sei \({\varphi \colon V \to W}\) eine lineare Abbildung und sei \({M \subseteq W}\) eine Teilmenge von \({W}\). Zeigen Sie, dass \({ \langle \varphi^{-1}(M) \rangle }\) eine Teilmenge von \({ \varphi^{-1}(\langle M \rangle) }\) ist; also \({ \langle \varphi^{-1}(M) \rangle \subseteq \varphi^{-1}(\langle M \rangle) . }\)

Lösung.

Aufgrund der Inklusion \({ M \subseteq \langle M \rangle }\) gilt \({ \varphi^{-1}(M) \subseteq \varphi^{-1}(\langle M \rangle) . }\) Weiter ist \({ \varphi^{-1}(\langle M \rangle) }\) als Urbild des Untervektorraums \({ \langle M \rangle \subseteq W }\) unter der linearen Abbildung \({\varphi \colon V \to W}\) ein Untervektorraum von \({ V}\). Da \({ \langle \varphi^{-1}(M) \rangle }\) allerdings der kleinste Untervektorraum von \({ V}\) ist, der \({ \varphi^{-1}(M) }\) enthält, gilt somit die Inklusion \({ \langle \varphi^{-1}(M) \rangle \subseteq \varphi^{-1}(\langle M \rangle) . }\)

Übung 4.

Geben Sie eine lineare Abbildung \({\varphi \colon V \to W}\), eine Teilmenge \({M \subseteq W}\) und einen Vektor \({ v \in \varphi^{-1}(\langle M \rangle) \setminus \langle \varphi^{-1}(M) \rangle }\) an.

Lösung.

Sei \({V \coloneqq \R}\), \({W \coloneqq \R^2}\) und sei \[ \varphi \colon \R \to \R^2,\, t \mapsto \begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix} \] die Diagonale. Weiter sei \[ M \coloneqq \{e_1, e_2\} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \] die Standardbasis von \({\R^2}\) und sei \({v \coloneqq 1 \in \R}\). Dann gilt \[ \varphi(v) = \varphi(1) = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \notin M \] und trotzdem \[ v = 1 \in \R = \varphi^{-1}(\R^2) = \varphi^{-1}(\langle M \rangle) . \]