Übung 1
(Orthogonales Komplement als Kern).
Sei
\({
\gamma \colon V \times V \to K
}\)
eine Bilinearform und seien
\({
v_1, \dots, v_l \in V
}\)
Vektoren in
\({
V
}\)
für
\({
l \in \N_0
}\).
Zeigen Sie, dass das orthogonale Komplement
\({
\langle v_1, \dots, v_l \rangle^{\perp} \subseteq V
}\)
der Kern der linearen Abbildung
\[
\begin{pmatrix}
\gamma^{\#}(v_1) \\
\vdots \\
\gamma^{\#}(v_l)
\end{pmatrix}
\colon
V \to K^l,\,
v \mapsto
\begin{pmatrix}
\gamma(v_1, v) \\
\vdots \\
\gamma(v_l, v)
\end{pmatrix}
\]
ist.
Mit anderen Worten,
zeigen Sie die Gleichung
\({
\langle v_1, \dots, v_l \rangle^{\perp}
=
\ker
\begin{pmatrix}
\gamma^{\#}(v_1) \\
\vdots \\
\gamma^{\#}(v_l)
\end{pmatrix}
}\).
- \({
\langle v_1, \dots, v_l \rangle^{\perp}
\subseteq
\ker
\begin{pmatrix}
\gamma^{\#}(v_1) \\
\vdots \\
\gamma^{\#}(v_l)
\end{pmatrix}
}\):
-
Sei
\({
w \in
\langle v_1, \dots, v_l \rangle^{\perp}
}\).
Dann gilt insbesondere für
\({
i = 1, \dots, l
}\)
die Gleichung
\({
0 = \gamma(v_i, w) = \gamma^{\#}(v_i)(w)
}\)
und damit
\({
w \in
\ker
\begin{pmatrix}
\gamma^{\#}(v_1) \\
\vdots \\
\gamma^{\#}(v_l)
\end{pmatrix}.
}\)
- \({
\ker
\begin{pmatrix}
\gamma^{\#}(v_1) \\
\vdots \\
\gamma^{\#}(v_l)
\end{pmatrix}
\subseteq
\langle v_1, \dots, v_l \rangle^{\perp}
}\):
-
Sei
\({
w \in
\ker
\begin{pmatrix}
\gamma^{\#}(v_1) \\
\vdots \\
\gamma^{\#}(v_l)
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
v \in
\langle v_1, \dots, v_l \rangle
}\).
Dann gibt es Skalare
\({
\lambda_i \in K,\, i = 1, \dots, l
}\)
mit
\({
v = \sum_{i=1}^l \lambda_i v_i
}\).
Damit gilt
\[
\begin{split}
\gamma(v, w)
&=
\gamma
\big(
\textstyle{\sum_{i=1}^l \lambda_i v_i},
w
\big)
\\
&=
\sum_{i=1}^l \lambda_i
\gamma(v_i, w)
\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda_1
&
\cdots
&
\lambda_l
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma(v_1, w)
\\
\vdots
\\
\gamma(v_l, w)
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda_1
&
\cdots
&
\lambda_l
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\gamma^{\#}(v_1)
\\
\vdots
\\
\gamma^{\#}(v_l)
\end{pmatrix}
(w)
\\
&=
\begin{pmatrix}
\lambda_1
&
\cdots
&
\lambda_l
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0
\\
\vdots
\\
0
\end{pmatrix}
\\
&=
0
.
\end{split}
\]
Seien
\({
V
}\)
und
\({
W
}\)
endlich-dimensionale
Vektorräume über
\({
K
}\)
zusammen mit
symmetrischen regulären Bilinearformen
\({
\gamma \colon
V \times V \to K
}\)
und
\({
\mu \colon
W \times W \to K
}\),
sei
\({
\varphi \colon V \to W
}\)
eine lineare Abbildung und sei
\({
U \subseteq W
}\)
ein Untervektorraum.
Zeigen Sie die Gleichung
\({
\varphi^{-1}\big(U^{\perp}\big) = \varphi^T(U)^{\perp}
}\).
- \({
\varphi^{-1}\big(U^{\perp}\big)
\subseteq
\varphi^T(U)^{\perp}
}\):
-
Sei
\({
v \in \varphi^{-1}\big(U^{\perp}\big)
}\)
und
\({
u \in U
}\).
Dann gilt die Gleichung
\[
\gamma\big(\varphi^T(u), v\big)
=
\mu(u, \varphi(v))
=
0
.
\]
Da
\({
u \in U
}\)
beliebig war
folgt
\({
v \in \varphi^T(U)^{\perp}
}\).
- \({
\varphi^T(U)^{\perp}
\subseteq
\varphi^{-1}\big(U^{\perp}\big)
}\):
-
Sei
\({
v \in \varphi^T(U)^{\perp}
}\)
und
\({
u \in U
}\).
Dann gilt die Gleichung
\[
\mu(u, \varphi(v))
=
\gamma\big(\varphi^T(u), v\big)
=
0
.
\]
Da
\({
u \in U
}\)
beliebig war folgt
\({
v \in \varphi^{-1}\big(U^{\perp}\big)
}\).
Seien
\({
V
}\)
und
\({
W
}\)
endlich-dimensionale
Vektorräume über
\({
K
}\)
zusammen mit
symmetrischen regulären Bilinearformen
\({
\gamma \colon
V \times V \to K
}\)
und
\({
\mu \colon
W \times W \to K
}\),
sei
\({
\varphi \colon V \to W
}\)
eine lineare Abbildung und sei
\({
U \subseteq W
}\)
ein Untervektorraum.
Zeigen Sie die Gleichung
\[
\varphi(V) \cap U^{\perp}
=
\varphi\big(\varphi^T(U)^{\perp}\big)
,
\]
wobei
\({
\varphi^T \colon W \to V
}\)
die Adjungierte von
\({
\varphi \colon V \to W
}\)
ist bezüglich der Bilinearformen
\({
\gamma
}\)
und
\({
\mu
}\).
- \({
\varphi(V) \cap U^{\perp}
\subseteq
\varphi\big(\varphi^T(U)^{\perp}\big)
}\):
-
Sei
\({
w \in \varphi(V) \cap U^{\perp}
}\)
und
\({
u \in U
}\).
Dann gibt es ein
\({
v \in V
}\)
mit
\({
\varphi(v) = w
}\).
Weiter gilt die Gleichung
\[
\gamma(\varphi^T(u), v) =
\mu(u, \varphi(v)) =
\mu(u, w) = 0
\]
da
\({
w \in U^{\perp}
}\)
liegt.
Da
\({
u \in U
}\)
beliebig war
folgt
\({
v \in \varphi^T(U)^{\perp}
}\).
- \({
\varphi\big(\varphi^T(U)^{\perp}\big)
\subseteq
\varphi(V) \cap U^{\perp}
}\):
-
Sei
\({
w \in \varphi\big(\varphi^T(U)^{\perp}\big)
}\)
und sei
\({
u \in U
}\).
Dann gibt es ein
\({
v \in \varphi^T(U)^{\perp}
}\)
mit
\({
w = \varphi(v)
}\).
Weiter gilt die Gleichung
\[
\mu(u, w) =
\mu(u, \varphi(v)) =
\gamma\big(\varphi^T(u), v)\big) =
0
\]
aufgrund von
\({
v \in \varphi^T(U)^{\perp}
}\).
Da
\({
u \in U
}\)
beliebig war gilt damit
\({
w \in U^{\perp}
}\).
Sei
\({
A \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
0 & 1 \\
4 & 0 \\
0 & -4
\end{pmatrix}
\in
\R^{4 \times 2}
}\)
und
\({
\varphi_A \colon
\R^2 \to \R^4,\,
v \mapsto A v
}\)
die zugehörige lineare Abbildung.
Weiter seien
\({
u \coloneqq
\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}
}\),
\({
v \coloneqq
\begin{pmatrix}
0 \\
2 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
w \coloneqq
\begin{pmatrix}
-1 \\
3 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
reellwertige Vektoren.
-
Zeigen Sie die Gleichung
\({
\langle u \rangle =
\varphi_A^T(\langle v, w \rangle)^{\perp}
}\)
wobei
\({
\varphi_A^T \colon \R^4 \to \R^2
}\)
die adjungierte Abbdilung von
\({
\varphi_A \colon \R^2 \to \R^4
}\)
bezüglich Standard-Bilinearformen ist.
-
Bestimmen Sie eine Basis (letzten Endes einen Erzeuger)
des Untervektorraums
\({
\langle v, w \rangle^{\perp}
\cap
\varphi_A(\R^2)
\subset \R^4
}\).
-
Mit
Übung 4 aus Woche 2
erhalten wir die Gleichung
\[
\begin{split}
\varphi_A^T(\langle v, w \rangle)^{\perp}
&=
\big\langle \varphi_A^T(v), \varphi_A^T(w) \big\rangle^{\perp}
\\
&=
\big\langle A^T v, A^T w \big\rangle^{\perp}
\\
&=
(A^T v)^{\perp} \cap (A^T w)^{\perp}
.
\end{split}
\]
Weiter gelten die Gleichungen
\[
\begin{split}
(A^T v)^T u
&=
v^T A u
\\
&=
\begin{pmatrix}
0 &
2 &
1 &
-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
0 & 1 \\
4 & 0 \\
0 & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
0 &
2 &
1 &
-1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\
-2 \\
12 \\
8
\end{pmatrix}
\\
&=
0
\end{split}
\]
und
\[
\begin{split}
(A^T w)^T u
&=
w^T A u
\\
&=
\begin{pmatrix}
-1 &
3 &
0 &
1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
0 & 1 \\
4 & 0 \\
0 & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}
\\
&=
\begin{pmatrix}
-1 &
3 &
0 &
1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\
-2 \\
12 \\
8
\end{pmatrix}
\\
&=
0
\end{split}
\]
und damit
\({
u \in
\varphi_A^T(\langle v, w \rangle)^{\perp}
}\).
Nach dem
Lemma zur Dimension von Unterverktorräumen
genügt es nun die Ungleichung
\({
\dim \varphi_A^T(\langle v, w \rangle)^{\perp}
\leq
\dim \langle u \rangle
= 1
}\)
zu zeigen.
Nach der
Proposition zur Dimension des orthogonalen Komplements
gilt diese Ungleichung sobald
\[
\varphi_A^T(\langle v, w \rangle)
=
\big\langle \varphi_A^T(v), \varphi_A^T(w) \big\rangle
=
\big\langle A^T v, A^T w \big\rangle
\]
nicht der Nullvektorraum ist.
Dazu genügt es zu zeigen,
dass
\({
A^T v
}\)
nicht der Nullvektor ist:
\[
A^T v =
\begin{pmatrix}
2 &
0 &
4 &
0 &
\\
2 &
1 &
0 &
-4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
2 \\
1 \\
-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 \\
6
\end{pmatrix}
\neq
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
.
\]
-
Aus der
vorherigen Übung
wissen wir,
dass die Gleichung
\[
\langle v, w \rangle^{\perp}
\cap
\varphi_A(\R^2)
=
\varphi_A\big(\varphi_A^T(\langle v, w \rangle)^{\perp}\big)
\]
gilt.
Wegen
\({
\langle u \rangle =
\varphi_A^T(\langle v, w \rangle)^{\perp}
}\)
aus Teil a gilt weiter
\[
\varphi_A\big(\varphi_A^T(\langle v, w \rangle)^{\perp}\big) =
\varphi_A(\langle u \rangle) =
\langle \varphi_A(u) \rangle =
\langle A u \rangle
.
\]
Außerdem haben wir
\({
A u =
\begin{pmatrix}
2 & 2 \\
0 & 1 \\
4 & 0 \\
0 & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 \\
-2 \\
12 \\
8
\end{pmatrix}
}\)
und damit
insgesamt
\[
\langle v, w \rangle^{\perp}
\cap
\varphi_A(\R^2)
=
\left\langle
\begin{pmatrix}
2 \\
-2 \\
12 \\
8
\end{pmatrix}
\right\rangle
.
\]
Da
\({
\begin{pmatrix}
2 \\
-2 \\
12 \\
8
\end{pmatrix}
}\)
nicht der Nullvektor ist,
ist die Menge
\({
\left\{
\begin{pmatrix}
2 \\
-2 \\
12 \\
8
\end{pmatrix}
\right\}
}\)
linear unabhängig und damit auch eine Basis von
\({
\langle v, w \rangle^{\perp}
\cap
\varphi_A(\R^2)
}\).