Sei
\({
V
}\)
ein endlich-dimensionaler
\({
K
}\)-Vektorraum
mit symmetrischer regulärer Bilinearform
\({
\gamma \colon V \times V \to K
}\)
und Vektoren
\({
v_0, v_1, \dots, v_k \in V
}\).
Weiter seien
\({
\lambda_1, \dots, \lambda_k \in K
}\)
und
\({
v_{k+1} \coloneqq v_0 + \sum_{i=1}^k \lambda_i v_i
}\).
Zeigen Sie die Gleichung
\[
\bigcap_{i=0}^k v_i^{\perp} =
\bigcap_{i=1}^{k+1} v_i^{\perp}
.
\] - \({
\bigcap_{i=0}^k v_i^{\perp}
\subseteq
\bigcap_{i=1}^{k+1} v_i^{\perp}
}\):
-
Sei
\({
u \in
\bigcap_{i=0}^k v_i^{\perp}
}\)
dann gilt
\[
\begin{split}
\gamma(v_{k+1}, u) &=
\gamma\big(v_0 + \textstyle{\sum_{i=1}^k} \lambda_i v_i, u\big)
\\
&=
\gamma(v_0, u) +
\sum_{i=1}^k \lambda_i \gamma(v_i, u)
\\
&= 0
\end{split}
\]
und damit
\({
u \in v_{k+1}^{\perp}
}\).
Nach Annahme gilt damit auch
\({
u \in
\bigcap_{i=0}^{k+1} v_i^{\perp}
\subseteq
\bigcap_{i=1}^{k+1} v_i^{\perp}
}\).
- \({
\bigcap_{i=1}^{k+1} v_i^{\perp}
\subseteq
\bigcap_{i=0}^k v_i^{\perp}
}\):
-
Sei
\({
u \in
\bigcap_{i=1}^{k+1} v_i^{\perp}
}\)
dann gilt
\[
\begin{split}
\gamma(v_{0}, u) &=
\gamma\big(v_{k+1} - \textstyle{\sum_{i=1}^k} \lambda_i v_i, u\big)
\\
&=
\gamma(v_{k+1}, u) -
\sum_{i=1}^k \lambda_i \gamma(v_i, u)
\\
&= 0
\end{split}
\]
und damit
\({
u \in v_{0}^{\perp}
}\).
Nach Annahme gilt damit auch
\({
u \in
\bigcap_{i=0}^{k+1} v_i^{\perp}
\subseteq
\bigcap_{i=0}^{k} v_i^{\perp}
}\).
Sei
\({
V
}\)
ein endlich-dimensionaler
\({
K
}\)-Vektorraum
mit symmetrischer regulärer Bilinearform
\({
\gamma \colon V \times V \to K
}\)
und Vektoren
\({
v_1, \dots, v_k, v_{k+1} \in V
}\)
für ein
\({
k \in \N_0
}\).
Weiter sei
\[
\bigcap_{i=1}^{k} v_i^{\perp} =
\bigcap_{i=1}^{k+1} v_i^{\perp}
.
\]
Zeigen Sie
\({
v_{k+1} \in \langle v_1, \dots, v_k \rangle
}\).
Nach
Übung 4 aus Woche 2
gilt die Gleichung
\[
\begin{split}
\langle v_1, \dots, v_k \rangle^{\perp}
&=
\bigcap_{i=1}^{k} v_i^{\perp}
\\
&=
\bigcap_{i=1}^{k+1} v_i^{\perp}
\\
&=
\langle v_1, \dots, v_{k+1} \rangle^{\perp}.
\end{split}
\]
Zusammen mit
Übung 2 aus Woche 2
folgt
\[
\begin{split}
\langle v_1, \dots, v_k \rangle
&=
\langle v_1, \dots, v_k \rangle^{\perp \perp}
\\
&=
\langle v_1, \dots, v_{k+1} \rangle^{\perp \perp}
\\
&=
\langle v_1, \dots, v_{k+1} \rangle
\end{split}
\]
und damit schließlich
\(
v_{k+1} \in
\langle v_1, \dots, v_{k+1} \rangle =
\langle v_1, \dots, v_k \rangle
.
\)
Sei
\({
v =
\begin{pmatrix}
v_1 \\ \vdots \\ v_{n+1}
\end{pmatrix}
\in
K^{n+1}
}\)
für
\({
n \in \N_0
}\)
mit
\({
v_{n+1} \neq 0
}\).
Für einen Zeilenvektor
\({
a \in K^{1 \times n}
}\)
sei weiter
\[
\psi_a \colon
K^n \to K^n \times K \cong K^{n+1},\,
u \mapsto
\begin{pmatrix}
u \\
a u
\end{pmatrix}
\]
die Abbildung deren Bild der Graph
der zugehörigen Linearform
\({
\varphi_a \colon
K^n \to K,\,
u \mapsto a u
}\)
ist.
Bestimmen Sie
in Abhängigkeit von
\({
v \in K^n
}\)
einen Zeilenvektor
\({
a \in K^{1 \times n}
}\)
derart,
dass die Gleichung
\({
\psi_a(K^n) = v^{\perp}
}\)
gilt,
wobei
\({
v^{\perp}
}\)
orthogonales Komplement ist
bezüglich Standard-Bilinearform
\({
\gamma \colon K^{n+1} \times K^{n+1} \to K,\,
(u, w) \mapsto u^T w
}\).
Zunächst bestimmen wir
\({
a \in K^{1 \times n}
}\)
derart,
dass die Inklusion
\({
\psi_a(K^n) \subseteq v^{\perp}
}\)
gilt.
Sei dazu
\({
v' \coloneqq
\begin{pmatrix}
v_1 \\ \vdots \\ v_{n}
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
u \in K^n
}\).
Für
\({
\psi_a(u) \in v^{\perp}
}\)
muss die Gleichung
\[
0 = \gamma(v, \psi_a(u)) =
v^T
\begin{pmatrix}
u \\ au
\end{pmatrix}
=
{v'}^T u + v_{n+1} a u
\]
gelten,
oder äquivalent
\({
a u =
-\frac{1}{v_{n+1}} {v'}^T u
}\).
Insbesondere ist diese Gleichung erfüllt
für
\({
a \coloneqq -\frac{1}{v_{n+1}} {v'}^T
}\).
Weil diese Definition von
\({
a \in K^{1 \times n}
}\)
unabhängig von
\({
u \in K^n
}\)
ist,
erhalten wir für diese Wahl von
\({
a
}\)
ganz allgemein
\({
\psi_a(K^n) \subseteq v^{\perp}
}\).
Sei nun
\({
w
=
\begin{pmatrix}
w_1 \\ \vdots \\ w_{n+1}
\end{pmatrix}
\in v^{\perp}
}\)
und
\({
w' \coloneqq
\begin{pmatrix}
w_1 \\ \vdots \\ w_{n}
\end{pmatrix}
}\).
Dann gilt
\[
0 = \gamma(v, w) =
v^T w =
{v'}^T w' + v_{n+1} w_{n+1}
\]
was äquivalent ist zu
\[
w_{n+1} = -\frac{1}{v_{n+1}} {v'}^T w' = a w' = \varphi_a(w').
\]
Damit folgt
\({
w = \psi_a(w') \in \psi_a(K^n)
}\).
Seien
\({
v \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
A \coloneqq
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
3 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -4
\end{pmatrix}
}\)
ein
reellwertiger Vektor bzw. eine reellwertige Matrix.
Weiter sei
\({
\varphi_A \colon \R^3 \to \R^3,\,
u \mapsto A u
}\)
die entsprechende lineare Abbildungen.
Bestimmen Sie eine Basis von
\({
\varphi_A\big(\varphi_A^{-1}\big(v^{\perp}\big)\big)
\subseteq \R^3
}\).
Nach
dem Lemma zum Urbild und der adjungierten Abbildung
gilt
\[
\varphi_A^{-1}\big(v^{\perp}\big) =
\varphi_A^T(v)^{\perp} =
(A^T v)^{\perp}.
\]
Weiter gilt
\[
A^T v =
\begin{pmatrix}
0 & 3 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
1 & 1 & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
0
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
6 \\
-2 \\
3
\end{pmatrix}
.
\]
Als nächstes bestimmen wir eine Basis
\({
\{u, w\}
}\)
von
\[
(A^T v)^{\perp} =
\ker v^T A =
\ker
\begin{pmatrix}
6 &
-2 &
3
\end{pmatrix}
\]
mit Hilfe des Ansatzes
\[
u =
\begin{pmatrix}
u_1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
,
\,
w =
\begin{pmatrix}
w_1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
.
\]
Anhand der Gleichung
\[
0 = v^T A u =
\begin{pmatrix}
6 &
-2 &
3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
=
6 u_1 - 2
,
\]
die zu
\({
2 = 6 u_1
}\)
äquivalent ist,
lesen wir
\({
u_1 = \frac{1}{3}
}\)
ab.
Ganz analog
erhalten wir mit
\[
0 = v^T A w =
\begin{pmatrix}
6 &
-2 &
3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
w_1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
=
6 w_1 + 3
,
\]
was äquivalent ist zu
\({
-3 = 6 w_1
}\),
den Eintrag
\({
w_1 = -\frac{1}{2}
}\).
Insgesamt erhalten wir
\({
u
=
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
0
\end{pmatrix}
}\),
\({
w
=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
2
\end{pmatrix}
}\)
und
\[
\begin{split}
\varphi_A\big(\varphi_A^{-1}\big(v^{\perp}\big)\big)
&=
\varphi_A\big(\varphi_A^T(v)^{\perp}\big)
\\
&=
\varphi_A\big((A^T v)^{\perp}\big)
\\
&=
\varphi_A(\langle u, w \rangle)
\\
&=
\langle \varphi_A(u), \varphi_A(w) \rangle
\\
&=
\langle A u, A w \rangle
.
\end{split}
\]
Wir berechnen weiter
\[
A u
=
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
3 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
3 \\
0
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{3}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\]
und
\[
A w
=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
3 & -1 & 1 \\
1 & 0 & -4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
2
\end{pmatrix}
=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
2 \\
-1 \\
-9
\end{pmatrix}
.
\]
Da die erste Komponente von
\({
A u \neq 0
}\)
verschwindet
während die erste Komponente von
\({
A w
}\)
positiv ist,
ist
\({
\{A u, A w\}
}\)
linear unabhängig und damit eine Basis von
\({
\varphi_A\big(\varphi_A^{-1}\big(v^{\perp}\big)\big)
\subset \R^3
}\).