Wintersemester 2007/2008 |
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| Einführung in die Differentialgeometrie | ||
| Raum: U2-135 | Zeit: Mi., 12-14Uhr | eKVV: 241776 |
Klausur:
Mo., 11. Februar 2008,
V3-204, 16:15
Diese Veranstalltung wird durch "Einführung in die Differentialgeometrie II" (V ohne Ü) im SS 2008 fortgesetzt. Beide Veranstaltungen ergeben 7 LP für ein Modul. Kommentar: Ziel der Vorlesung ist eine Beschreibung geometrischer Objekte wie Kurven und Flächen mittels differenzierbarer Abbildungen. Teilnahmevoraussetzungen, notwendige Vorkenntnisse: Analysis II, Lineare Algebra I; Topologie I ist hilfreich, aber nicht notwendig. |
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| Literatur |
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| K.Jänich.
Kurven und Flächen. |
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| M.do
Carmo. Differentialgeometrie von Kurven und Flächen. |
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| J.A.Thorpe.
Elementary Topics in Differential Geometry. |
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| W.Klingenberg.
A course in differential geometry. |
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| Ch.Bär. Elementare Differentialgeometrie | ||
| I.Singer,
J.Thorpe. Lecture notes on elementary topology and geometry. |
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| A. Kriegl, Differentialgeometrie. Skriptum(pdf) | ||
| F.Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. | ||
| Vorlesung
1
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Definition
einer Kurve, eine Peano-Kurve, rektifizierbare Kurven,
Umparametrisierung,
Bogenlänge. Ebene Kurven: begleitende Zweibein, Frenetsche Formeln, Krümmung. |
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| Vorlesung 2 |
Orientierung
einer Kurve, Rechenformeln für Krümmung, lokale kanonische
Form, Charakterisierung von ebenen Kurven durch Krümmung. |
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| Vorlesung 3 | Raumkurven: begleitende Dreibein, Frenetsche Formeln, Charakterisierung von Raumkurven durch Krümmung und Torsion, lokale kanonische Form. | |
| Vorlesung 4 |
Kurven
im Rn. Knoten: Knotendiagramm, Reidemeister-Bewegungen, Verschlingungen, numerische Invarianten, polynomiale Invarianten (Klammernpolynom, Kauffmanpolynom). |
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| Vorlesung 5 |
Teilmannigfaltigkeiten:
reguläre Abbildungen, Beispiele der Teilmannigfaltigkeiten,
Äquivalenz zwischen lokalen Paramentrisierungen, lokalen Graphen,
lokalen Gleichungen und lokalen Trivialisierungen. |
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| Vorlesung 6 |
Koordinatenwechselabbildungen,
glatte Abbildungen zwischen Teilmannigfaltigkeiten, lokale Erweiterung
einer glatten Funktion. Tangentialraum, durch eine Karte erzeugte Basis. |
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| Vorlesung 7 |
Differential
einer glatten Abbildung, Eigenschaften des
Differentials, Diffeomorphismen. |
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| Vorlesung 8 |
Abstrakte
Mannigfaltigkeiten: Topologische Mannigfaltigkeiten, glatte Atlanten,
glatte Abbildungen. Tangentialraum: Derivationen, Tangentialraum einer Teilmannigfaltigkeit durch Derivationen, Tangentialraum einer abstrakten Mannigfaltigkeit. |
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| Vorlesung 9 |
Tangentialraum
einer (abstrakten) Mannigfaltigkeit, durch eine Karte erzeugte Basis,
Tangentialraum via Kurven, Differential einer glatten Abbildung. Tangentialbündel, Vektorfelder, Vektorfelder als Derivationen, Struktur der Lie-Algebra. |
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| Vorlesung 10 | Integralkurve und Flüss eines Vektorfeldes, Lie-Ableitung eines Vektorfeldes, geometrische Interpetierung der Lie-Klammern. | |
| Vorlesung 11 | Immersionen und Einbettungen, Zweit-Abzählbarkeit, Partition der Eins, Satz von Whitney, Satz von Sard. | |
| Vorlesung 12 | Satz von
Frobenius, Lie-Gruppen, linksinvariante Vektorfelder und Lie-Algebra
einer Lie-Gruppe, Lie-Algebra von GLn(R). |
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| Vorlesung 13 | Lie-Gruppen-
und Lie-Algebren-homomorphismen, Lie-Unteralgebren und
zusammenhängende
Lie-Untergruppen, Exponentiale Abbildung. |
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| Vorlesung 14 | Matrixgruppen; Gruppen O(n), O(p,q), Sp(m;R); klassische Mechanik und Erhaltungssätze. | |
| Übungen zu Einführung in die Differentialgeometrie |
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| Raum: V3-204 | Zeit: Mo., 16-18Uhr | eKVV: 241777 |
| Übungsblatt (pdf): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11(letztes) | ||