Proseminar Kettenbrüche - SS 2012

montags 10-12 Uhr in V2-216

Prof. Werner Hoffmann
V4-216, Tel. 106-4990,
Sprechstunde Dienstags 12-13 Uhr

Worum geht es?

Der Kettenbruchalgorithmus liefert rationale Näherungsbrüche für irrationale Zahlen. Bestimmte Eigenschaften einer irrationalen Zahl kann man an ihrem Kettenbruch ablesen.

So ist z. B. die Folge der Teilnenner des Kettenbruchs genau dann periodisch, wenn die Irrationalzahl Lösung einer quadratischen Gleichung mit rationalen Koeffizienten ist. In diesem Fall hängt der Kettenbruchalgorithmus eng mit dem Gaußschen Reduktionsalgorithmus für ganzzahlige quadratische Formen zusammen. Hier findet man eine animierte Illustration.

Auch die Lösungen von Gleichungen beliebigen Grades (sogenannte algebraische Zahlen) kann man durch die Güte ihrer Approximationen charakterisieren, und dies lieferte die früheste Konstruktion transzendenter, d. h. nichtalgebraischer Zahlen.

Kettenbrüche lassen sich auch mit Funktionen bilden und liefern Approximationen von Potenzreihen durch rationale Funktionen.

Literatur

• A. Khintchine, Kettenbrüche, B. G. Teubner, Leipzig, 1956. QA420 C539
• H. Scheid, A. Frommer, Zahlentheorie (Kapitel I, §8/9), Elsevier 2007. ISBN 3-8274-1692-2. QA080+QA410 S318
• P. Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie (Kapitel 4, §3), Springer, 2008. ISBN 978-3-540-76490-8. QA080+QA410 B942
• S. Lang, Introduction to Diophantine Approximations, Addison-Wesley, Reading, Massachusetts, 1966. QA480 L271
• O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Band I, Teubner, Stuttgart, 1954. QA410 P459, QC420 P459
• A. M. Rockett, P. Szüsz, Continued Fractions, World Scientific, Singapore 1992. ISBN 981-02-1052-3 (paperback), 981-02-1047-7. QA420 R682
• J. H. Conway, The sensual (quadratic) form, Math. Assoc. of America 1997. ISBN 0-88385-000-1. QA470 C767

• C. G. Moore, An Introduction to Continued Fractions, The National Council of Teachers of Mathematics, Washington, DC, 1964. QC420 M821
• C. D. Olds, Continued Fractions, Random House, 1963. QC420 O44

Weiterführende Literatur

• D. A. Buell, Binary Quadratic Forms, Springer-Verlag 1989. QA470 B928
• J. W. S. Cassels, Introduction to Diophantine Approximation, Hafner Publishing Co., New York, 1972. QA410 C344
• L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Chelsea, New York, 1971. QA410 D554, QC069 D554
• L. Lorentzen, H. Waadeland, Continued Fractions with Applications, North-Holland, Amsterdam, 1992. QA750 L868
• I. Niven, H. S. Zuckerman, Einführung in die Zahlentheorie (Kapitel 7), BI-Wiss.-Verlag, Mannheim, 1976. QA410 N734, QC420 N734