Elementare Geometrie
Tipps zu Übungszetteln
- Aufgabe 10a: man startet mit \(h^2 = a^2 - p^2 = \cdots\).
- Aufgabe 10b:
- Aufgabe 11: ziehe die Gerade \(ZP\) und konstruiere auf dieser einen Punkt \(H\), so dass \(P\) die Strecke \(\overline{ZH}\) im Verhältnis 2:3 teilt.
Dann so ähnlich wie in PÜ 02 (wird ab 2. Mai besprochen) weitermachen.
- Aufgabe 12: verwende den verallgemeinerten Satz des Pythagoras.
- Aufgabe 13 b1: verwende Peripheriewinkelsatz über \(\overline{AB}\).
- Aufgabe 13 b2: wegen13b1 gibt es einen Faktor \(k\) für die maßstäbliche Vergrößerung aus 13b1, so dass man \(k|AM|=|AC|\) und \(k|AL|=|AK|\) hat. Dies über das \(k\) gleichsetzen
und den Fächeninhalt so berechnen: \(\frac12 |CB||AK|=\cdots\)
- Aufgabe 14: errate den Radius des Kreises durch Nachmessen in der Figur; konstruiere den Kreis und danach die ganze Figur;
die den goldenen Schnitt definierende Gleichung der zwei Brüche (GdzB) muss nachgewiesen werden;
dazu erst Sekanten-Tangenten-Satz anwenden, das liefert eine Gleichung; mit dessen Hilfe nun versuchen, die linke Seite und die rechte Seite von GdzB getrennt voneinander umzuformen,
so dass man auf denselben Term kommt
- Aufgabe 16 a: Peripheriewinkelsatz über \(\overline{AB}\).
- Aufgabe 16 b: Fläche = \(\frac 12\) Grundseite mal Höhe = \(\frac 12 ch\). Dann \(h\) wie in Satz 1.28 darstellen und einsetzen, dann \(c\) aus Teil a einsetzen. Dann noch \(b\) ersetzen.
- Aufgabe 17: vorspringende Ecken wie in der Vorlesung wegscheren bis man zu einem Dreieck kommt. Dieses wie in der Vorlesung zum Rechteck scheren.
- Aufgabe 18 0: in der Vorlesung suchen, was wir über n-Ecke wissen
- Aufgabe 18 1 und 2: \(\sin, \tan\) am rechtwinkligen Dreieck
- Aufgabe 18 3: \(ACHM\) ist ein Drachen. Was wissen wir über Drachen aus der Vorlesung?
- Aufgabe 18 4: Peripheriewinkelsatz über \(\overline{AC}\) liefert Winkel bei \(G\) im rechtwinkligen Dreieck \(GCD\).
- Aufgabe 19: auf den Folien 114/115 stehen die Definitionen und die Anzahlen der Begrenzungsflächen.
- Aufgabe 20 c: verbinde in der Skizze die Mittelpunkte der Kugeln. Es ensteht eine Pyramide. Warum?
Die Höhe der Kugelpyramide erhält man also aus der Höhe der Pyramide und dem Radius der Kugeln.
- Aufgabe 21: für die Rechnungen betrachte die zweite Skizze. Verwende für die erste Gleichung die Folie 131 und danach Pythagoras.
- Aufgabe 24: wähle einen Punkt \(Q\) rechts von \(C\) auf der gestrichelten Linie. Für diesen gilt \(|QA|-|QB|=|AB|\).
- Aufgabe 25: Mit Verhältnis ist gemeint: man teile das Volumen des Kegels durch das Volumen der Kugel (die Vorlesung liefert Formeln für diese Volumina)
- Aufgabe 26: Die Parallelität liefert einen Zusammenhang zwischen den Radien und Höhen : \(\frac rR = \cdots\).
Rechne nun damit die rechte und die linke Seite der Gleichung separat aus. In c) die Formel aus a) verwenden.
- Aufgabe 27: Wie in Aufgabe 26 hat man eine kleine und eine große Pyramide und genauso bekommt man einen Zusammenhang der Höhen und Grundseiten der
großen und kleinen Pyramide. Nun soll \(V_{klein}=\frac 12 V_{gross}\) gelten, also setzt man ein und stellt nach der Höhe der kleinen Pyramide um.
- Aufgabe 29: Betrachten Sie das Dreieck \(ACD\). Gesucht ist ein Punkt \(F\), so dass \(ABF\) zu \(ACD\) kongruent ist. Wie lang muss \(\overline{BF}\) also sein?
- Aufgabe 30: Schlagen Sie jeweils einen Kreis um \(P\) und \(Q\) mit dem Radius des Kreises.
Einer der beiden Schnittpunkte dieser Kreise liefert die gesuchte Verschiebung.
Jetzt muss man aber noch begründen, warum diese Verschiebung wirklich die geforderten Bedingungen an \(R\) und \(S\) erfüllt.
- Aufgabe 31: Spiegeln Sie zuerst \(A'B'C'\) und verwenden dann Satz 3.2 und die Bemerkungen dazu.
- Aufgabe 32: Lesen Sie den Beweis von Satz 3.6 'rückwärts'.
- Aufgabe 33: Punktspiegelung = Drehung = Doppelspiegelung; dann Satz 3.6