% ------------------------------------------------------ % Author: Dierk Philipp Fahr Date: 24 November 2006 % Web: www.philfahr.dd.vu % Ehemals: Vortrag über Whitehead und Mathematik % ------------------------------------------------------ \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[german]{babel} % multilingual package \usepackage[latin1]{inputenc} % Umlaute \frenchspacing \usepackage{anysize} % Raender anpassen \marginsize{3cm}{3cm}{1cm}{2cm} % linker Rand, rechter Rand, oben, unten. \begin{document} \title{Über die Lehre der Mathematik \\ und den Sinn von Universitäten} \author{(nach A.N. Whitehead, ausgearbeitet von Philipp Fahr)} \date{Universität Bielefeld, Fakultät für Mathematik, den 24. November 2006} \maketitle \section*{Die Mathematik \& ihre Lehre} Sinn von Bildung und Erziehung, sagte der Philosoph und Mathematiker Alfred North Whitehead 1929, sei das Anleiten und Stimulieren der Eigenentwicklung jedes einzelnen. Allgemein beschreiben Nicht-Mathematiker die Mathematik oft als schwer verständlich, tiefgründig und abstrus. Daher sollte alles getan werden, um Studenten die Furcht vor der Mathematik zu nehmen. Hilfreich könnte sein, die Mathematik mit möglichst wenigen allgemeinen Ideen von großer Bedeutung und Folgerung vorzustellen. Ein Student sollte sich schrittweise an abstraktes Gedankengut gewöhnen und dann erkennen wie dieses in bestimmten Situationen konkrete Anwendung findet. Auch Beispiele sollte es so viele wie möglich geben, solange sie der direkten Illustrierung eines mathematischen Sachverhaltes dienen. Natürlich, die wichtigsten Ideen der Mathematik sind abstrakter Natur, aber sie sind nicht unbedingt schwer verständlich. Die Studenten müssen den Umgang mit abstrakten Gedanken lernen und immer wieder üben. Hier ist vor allem auch die an angelsächsischen Universitäten übliche Art Examina zu schreiben, zu kritisieren, in denen Studenten meist nur Auswendiggelerntes wiederzugeben haben. Gesetzmäßigkeiten der Natur entdecken und zu untersuchen, sowie mit abstrakten und allgemeinen Ideen umgehen zu können, sollten die beiden wichtigsten Aspekte sein. Dafür ist im besonderen die Geometrie geeignet, besser als die Algebra, denn geometrische Objekte sind im ersten Schritt einfacher zu handhaben, als algebraische Objekte und deren Realisierungen, auch wenn das Rechnen mit Variablen nach einiger Übung leicht fallen mag. Ein schönes Beispiel stellt der Satz des Pythagoras dar. Dem Verhältnis zwischen Algebra und Geometrie hat bereits C.M. Ringel einen Vortrag gewidmet~\cite{Ringel}. Dem Reiseführermotto ``Man sieht nur, was man weiß'' hat Ringel hinzugefügt: ``Man versteht nur, was man auch sieht.'' Daher kann die Formelsprache, also die Algebra, als Reiseführer für Geometer dienen, während die Geometrie der Sichtbarmachung durch Bilder und Diagramme dient, die dem Verständnis förderlich sind. Dies kann man auch auf Lehrpläne übertragen, z.B. die der Trigonometrie in der Mathematik: Früher war es üblich Studenten viele trigonometrische Formeln auswendiglernen zu lassen, z.B. die Summensätze von Sinus und Cosinus. Keine dieser Formeln dient der besseren Vorstellung. Wenn man aber die Funktionen zeichnet, kann man schnell Gesetzmäßigkeiten und Formeln herleiten. \\ Ein Wort zu Platon (427-347 v.Chr.), der anfänglich politische Ambitionen hatte: Er gründete im Jahre 387 seine Akademie in Athen, die eher einer Universität in unserem Sinne glich. Sie bestand 900 Jahre, bis Kaiser Justinian sie im Jahre 529 n.Chr. schloß, weil dort angeblich eine \emph{perverse Lehre} -- nämlich Wissenschaft und Philosophie -- verbreitet wurde. In der klassischen Periode dieser Akademie wurden hier mathematische und philosophische Studien favorisiert: Mathematik, Philosophie, Musik und Astronomie waren seit Pythagoras (580-500 v.Chr.) nicht voneinander getrennt, sondern gehörten zusammen. Platon selber hat sich zwar nicht alleine auf Mathematik konzentriert, aber sein Enthusiasmus für die reine Mathematik und sein Glaube an die Bedeutung der Mathematik für die Philosophie und das Verständnis des Universums zog hervorragende Mathematiker an seine Akademie: Fast die gesamte Mathematik des vierten Jahrhunderts vor Christus wurde von Freunden und Schülern Platons entwickelt. Über den Eingang der Akademie hat er folgende Worte meißeln lassen: \begin{center} \fbox{ \textsc{Es trete kein der Geometrie Unkundiger ein} } \end{center} \noindent Die philosophische Haltung Platons zur Mathematik basiert auf den folgenden Axiomen: \begin{enumerate} \item Mathematische Konzepte sind unabhängig von Erfahrung, \item sie haben eine eigene Realität -- sie sind also unabhängig von der Realität des Lebens, also von der ``realen Realität'', \item sie sind entdeckt und nicht erfunden -- entdeckt werden kann nur etwas, was schon vorher vorhanden ist, weil es aus den mathematischen Axiomen hergeleitet werden kann. Es liegt an der Schwäche der Mathematiker, wenn sie noch nicht hergeleitet bzw. entdeckt worden sind. Erfinden dagegen ist ein Prozess, der etwas Neues schafft. \end{enumerate} Wenn man die Mathematik genauer betrachtet, sollte man immer im Auge behalten, wie das fruchtbare Zusammenspiel verschiedener Gebiete der Mathematik zur Lösung eines konkreten Problems funktioniert. Schon die alten Griechen wußten, daß man einen Winkel mit Zirkel und unmarkiertem Lineal halbieren kann. Zu Zeit Euklids (um 300 v.Chr.) haben sich die Griechen gefragt, ob man einen allgemeinen Winkel (z.B. 60 Grad) auch mit Zirkel und Lineal \textbf{dreiteilen} kann. Bevor man dieses Problem angeht, muß man sich eine Vorstellung davon machen, was man zeigen möchte: \begin{itemize} \item Wenn man glaubt, das Problem habe eine positive Antwort, dann sucht man nach einer funktionierenden Konstruktion. Dazu probiert man verschiedene Möglichkeiten aus, und wenn man Glück hat, ist eine richtige Lösung darunter. Wenn man allerdings Pech hat, hat man einen falschen Ansatz gemacht, obwohl es eine korrekte Konstruktion gibt. \item Wenn man dagegen meint, das Problem habe eine negative Antwort, müßte man alle möglichen Konstruktionen durchprobieren und von jeder zeigen, daß sie nicht zum Ziel führt -- ein unmögliches Unterfangen, wenn man die Vielfalt der Möglichkeiten bedenkt. \end{itemize} Die Beantwortung dieser Frage nach der Dreiteilung eines allgemeinen Winkels hat die Mathematiker immer wieder beschäftigt, und obwohl rein geometrischer Natur, ergibt sich die Antwort aus einer Algebraisierung des Problems durch Wantzel (1837) aufbauend auf den Resultaten von Galois (1811-1832). Für die Praxis ist dieses Problem irrelevant, denn man kann die Dreiteilung beliebig genau aproximieren. Man kann sie aber auch genau durchführen, wenn man andere Hilfsmittel als Zirkel und Lineal benutzt. Das reicht dann in der Praxis. Als Laie muß man sich die Bedeutung der negativen Beantwortung dieser Frage klar machen: Die mathematische Antwort ist nicht, daß die Mathematiker keine Lösung finden können, sondern sie besagt, daß es \emph{keine} Konstruktion geben kann. Man bedenke, daß die Menge der geometrischen Konstruktionsmöglichkeiten extrem vielfältig ist. Das mathematische Resultat besagt: Ganz egal, welche Konstruktionsmethode man anwendet, keine dieser Methoden kann einen beliebigen Winkel, z.B. den von 60 Grad, dreiteilen. \\ Whitehead schrieb einmal: \emph{Das Lernen der Mathematik neigt dazu, mit Enttäuschung und Misserfolg zu beginnen.} Das soll aber nicht als Entmutigung dienen, sondern sollte eine Herausforderung aufzeigen. Meine persönliche Erfahrung ist die, daß je mehr Mathematik man betreibt, desto weniger versteht man von ihr, aber desto mehr erfährt man von und über die Welt. \\ Interessant ist auch das mathematische Sachverhalte, und seien es nur Periodizität und Sinuskurven, viel häufiger in der Natur vorkommen, als man allgemein denkt. Viele Phänomene wie der Tag-Nacht- und der Ebbe-Flut-Rhythmus, aber auch unser Körper durch Herzschlag und Atmung sind von sich wiederholenden Vorgängen geprägt, die sich mathematisch sehr einfach modellieren lassen in der Trigonometrie. Dieses Gebiet geht auf die griechischen Astronomen Hipparch (geboren um 160 v.Chr.) und Ptolemäus (100-180 n.Chr.) zurück. Im Unterschied zu Kegelschnitten, deren Ursprung ein theoretischer ist, brauchte man die Trigonometrie, um astronomische Wissenschaft zu betreiben. Doch Kegelschnitte wurden ca. 150 Jahre vorher entdeckt.\\ Ich sehe die Mathematik eher als eine Geisteswissenschaft und die Mathematiker als Geisteswissenschaftler. Der Ausspruch von Carl Friedrich Gauß (1777-1855) hat auch heute noch Bedeutung: \noindent \begin{center} \textsc{Mathematik ist die Königin der Wissenschaften \\ und Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik.} \end{center} \noindent Das folgende Beispiel von P. Halmos soll die Schönheit von mathematischen Denkweisen zeigen (siehe auch~\cite{Roggenkamp}): Stellen wir uns ein Sportturnier vor, etwa eine Fußball Weltmeisterschaft. Nehmen wir einmal an, daß es in jeder Spielrunde immer nur einen Sieger und einen Verlierer gibt, d.h. das Team, das verloren hat, scheidet aus. Gegeben seien $n$ Teams. \noindent \textbf{Frage: Wie viele Spiele sind durchzuführen, um den Sieger festzustellen?} \noindent Anhand des Beispiels von $n=32$ Teams, wie bei einer Fußball-WM, sollen drei Lösungs\-wege besprochen werden: \begin{enumerate} \item Ein Naivling würde wie folgt vorgehen, indem er die zu absolvierenden Spiele aufschreiben würde: \begin{enumerate} \item[(a)] In der 1. Runde sind 16 Spiele zu absolvieren. \item[(b)] In der 2. Runde sind 8 Spiele zu absolvieren. \item[(c)] In der 3. Runde sind 4 Spiele zu absolvieren. \item[(d)] In der 4. Runde sind 2 Spiele zu absolvieren. \item[(e)] In der 5. Runde ist noch 1 Spiel zu absolvieren. \end{enumerate} Insgesamt sind also $16+8+4+2+1=31$ Spiele zu absolvieren, bis man den Sieger ermittelt hat. Bei dieser Methode muß man rechnen. Man kann natürlich auch ein Computerprogramm dazu schreiben. \item Ein Mathematikstudent im ersten Jahr würde vielleicht mit folgender Idee kommen: Bei jeder Runde halbiert sich die Anzahl der Spieler. Das geht natürlich nur, wenn die Anzahl der Spieler eine Zweier-Potenz ist, d.h. $n=2^m$. In diesem Fall haben wir $32=2^5$. Man kann also schließen, daß insgesamt $$ 16+8+4+2+1 \mbox{ allgemein } \sum_{i=0}^{m-1} 2^i = 2^0+2^1+2^2+2^3+2^4 = 1+2+4+8+16$$ Spiele durchgeführt werden. Jetzt kann er eine gelernte Formel anwenden, denn es gilt $$\sum_{i=0}^{m-1} 2^i=2^m-1=n-1, \mbox{ da } n=2^m=2^5=32 \mbox{ gewählt wurde.}$$ Insgesamt sind also bei $2^m=32$ Teams genau $2^m-1=32-1=31$ Spiele durchzuführen, um den Sieger festzustellen. Natürlich gilt dieses Verfahren nur für Zweier-Potenzen an Teams. In diesem Fall jedoch, wie schon beim ersten Lösungsweg, erhält man eine korrekte Antwort, wenn auch vielleicht der Kern des Problems nicht erkannt wurde (man denke an große ungerade Zahlen an Teams). \item Der Mathematiker denkt zuerst und sagt dann: \emph{Das ist ganz einfach. Alle, außer dem Gewinner verlieren.} Also sind $n-1=32-1=31$ Spiele durchzuführen. \end{enumerate} \noindent Die letzte Lösung ist besonders schön, da sie ein Problem löst, das scheinbar mit Rechnen zu tun hat, indem überhaupt nicht gerechnet werden mußte. Außerdem gilt sie allgemein, unabhängig von der Zahl der Teams (ob eine Zweier-Potenz oder nicht). Das ist natürlich die eleganteste und allgemeinste Lösung. \\ Es ist wohl einer der wichtigsten Aspekte mathematischer Forschung, \emph{konkrete} Probleme zu lösen. Diese können aus der Mathematik selber kommen oder sind von außen, z.B. aus der theoretischen Physik oder aus dem Leben allgemein, an die Mathematiker herangetragen worden. Für einen Mathematiker liegt aber die Bedeutung eines Problems im Allgemeinen nicht in den Folgen der Lösung für die Anwendungen, sondern ein Problem wird dadurch attraktiv, daß es \emph{interessant} ist. Das hängt natürlich vom jeweiligen Geschmack eines Mathematikers ab. Es wird aber auch dadurch interessant, daß es schon vielen Lösungsversuchen standgehalten hat. Für den Mathematiker ist ein mathematisches Problem eine Herausforderung, und der Versuch einer Lösung ist das Messen der geistigen Kräfte. Die Lösung eines speziellen mathematischen Problems führt dabei oft zur Entwicklung von neuen Theorien, die dann auch anderen Gebieten der mathematischen Forschung neue Impulse geben. Die meisten Menschen sind vermutlich überzeugt davon, daß es sich ganz gut ohne mathematische Kenntnisse leben läßt und daß diese Wissenschaft unwichtig genug ist, um sie den Wissenschaftlern zu überlassen. Viele hegen sogar den Verdacht, daß es sich dabei um eine brotlose Kunst handelt, deren Nutzen keineswegs auf der Hand liegt. In diesem Irrtum dürfen sie sich bestärkt fühlen durch die Ansichten mancher Mathematiker, die mit starken Worten die Reinheit ihres Schaffens verteidigen. Der eminente englische Zahlentheoretiker Godfrey Harold Hardy, legte folgendes berühmte Bekenntnis ab: \\ \emph{``Ich habe nie etwas gemacht, was 'nützlich' gewesen wäre. Für das Wohlbefinden der Welt hatte keine meiner Entdeckungen -- ob im Guten oder Schlechten -- je die geringste Bedeutung, und daran wird sich auch vermutlich nichts ändern. Ich habe mitgeholfen, andere Mathematiker auszubilden, aber Mathematiker von derselben Art, wie ich einer bin, und ihre Arbeit war, zumindest soweit ich sie dabei unterstützt habe, so nutzlos wie meine eigene. Nach allen praktischen Maßstäben ist der Wert meines mathematischen Lebens gleich Null, und außerhalb der Mathematik ist es ohnehin trivial. Ich habe nur eine Chance dem Verdikt vollkommener Trivialität zu entgehen, und zwar dadurch, daß man mir zugesteht, etwas geschaffen zu haben, was sich zu schaffen lohnte. Daß ich etwas geschaffen habe, ist nicht zu bestreiten; die Frage ist nur, ob es etwas wert ist.''} \\ (G.H.~Hardy, A Mathematician's Apology, Cambridge 1967.) \\ \noindent Seine Haltung ähnelt der von Künstlern und Musikern. Unter rein betriebswirtschaftlichen Gesichtspunkten hätten es nicht nur Ovid und Bach schwer gehabt, sondern auch Pythagoras und Cantor. (Vergleiche~\cite{Enzensberger}) \\ Wichtig ist auch, daß jedes Fachgebiet in abstrakter und konkreter Form gut präsentiert wird. Beide Seiten sind wünschenswert, weil wir in abstrakter Weise lernen, aber in konkreter Form fühlen. Die Kunst ist es, Abstraktes konkret werden zu lassen und Konkretes abstrakt formulieren zu können. \section*{Sinn und Zweck von Universitäten} Die ist eine kurze Zusammenfassung einer Rede Alfred North Whiteheads aus dem Jahr 1928, kurz bevor sein Buch \emph{The Aims of Education} erschien. Das Ereignis war die Eröffnung der Business School and der Universität Harvard in Cambridge, Massachusetts, wo sich Whitehead seit 1924 aufhielt. Er zeigt anhand des Beispiels der Business School, in welcher Weise eine Gesellschaft von den Aktivitäten an ihren Universitäten beeinflusst wird. Natürlich muß er hier betonen, daß niemals in der Geschichte von Universitäten, selbige nur auf abstraktes Lernen ausgerichtet waren. Zum Beispiel diente die erste europäische Universität in Salerno (so Whitehead) der Medizin. Auch die ersten Colleges im englischen Cambridge, waren bei ihrer Gründung um 1300 in erster Linie auf die Ausbildung von Priestern ausgerichtet. Und da die Wirtschaftswissenschaften, wie Whitehead in dieser Rede 1928 sagt, ein hoch intellektueller Berufszweig sei, würde eine Business School gut zur Universität passen. \\ Ganz allgemein (frei übersetzt) seien Universitäten zugleich Forschungs- und Bildungseinrichtungen. Die Rechtfertigung einer Universität bestehe darin, die Verbindung zwischen Wissen und Tatendrang zu erhalten, indem man Jung und Alt unter einem Dach vereine. Eine Universität vermittele Informationen, aber in einer phantasievollen und erfinderischen Art und Weise. Zumindest diese Funktion sollte eine Universität in der Gesellschaft erfüllen, sonst habe sie keine Existenzberechtigung. Eine Tatsache sei eben nicht nur eine Tatsache, sondern sie müsse auf alle möglichen Arten und Weisen untersucht werden, denn die \emph{Imagination}, der Ideenreichtum, kann nicht von den Tatsachen getrennt werden: sie ist eine Art, die Tatsachen zu beleuchten. \\ Jugend ist voller Imagination, und wenn man diese durch Disziplin stärkt, kann in gewisser Weise dieser Tatendrang und Ideenreichtum ein Leben lang erhalten bleiben. Leider ist es meist jedoch so, daß diejenigen, die einfallsreich und erfinderisch sind, nur wenig Lebenserfahrung besitzen, und jene mit Lebenserfahrung nur einen schwachen Ideenreichtum vorweisen. Daher ist es Aufgabe einer Universität, Imagination und Erfahrung zusammenzuschweißen. Man müsse auch die Freiheit besitzen, richtig und falsch denken und die große Vielfalt des Universums würdigen zu dürfen. \\ Die Universität Harvard wurde von den Auswanderern aus England 1636 gegründet und ist die älteste Universität Amerikas. Benannt wurde sie nach dem ersten Spender, dem damals jungen Theologen John Harvard, der am Emmanuel College in Cambridge graduierte. Natürlich könnte man heute (wir sprechen vom Jahre 1928) viele Fehler in der Organisation einer Universität aufzeigen, sagt Whitehead, aber in der Geschichte ist ihr Erfolg außergewöhnlich (Das erinnert mich daran, daß in Deutschland die Professoren nicht wegen, sondern trotz der Verwaltung auch international so erfolgreich sind). Eine Universität sei (laut Whitehead) entweder erfinderisch oder nichts, jedenfalls nichts Nützliches. Imagination könne allerdings nicht wie eine Länge oder ein Gewicht gemessen werden. Imagination verhält sich wie eine ansteckende Krankheit, die nur von Lehrbeauftragten übertragen werden könne, die selber voller Tatendrang und Phantasie stecken. Außerdem verlangt die Verbindung von Lernen und Imagination ein gewißes Maß an Freiheit und Freizeit, Freiheit von Zwang und Beschränkung, Freiheit von Sorge und die Stimulierung durch andere Geister mit anderen Gedanken und Meinungen. Wenn eine Universität einfallsreiche Hochschullehrer haben möchte, dann sollte man sie dazu ermutigen, Forschung zu betreiben. Wenn man einfallsreiche Forscher und Wissenschaftler haben möchte, sollte man sie zum Unterrichten bringen, damit sie mit jungen, voller Tatendrang steckenden Geistern zusammenkommen (Vom Humboldtschen Ideal sind heutzutage die amerikanischen Universitäten weit entfernt). \\ Bildung ist der Wissenszweig zum Abenteuer Leben; Forschung ist intellektuelles Abenteuer, und Universitäten sollten die Heimat von Abenteuern sein, die gemeinsam von jung und alt begangen werden. Wissen verfault genauso wie alter Fisch, daher sollte Wissen den Studenten vermittelt werden, als würde es eben erst frisch aus dem Meer gefischt. Auf keinen Fall dürfte der Erfolg und Output origineller Ideen einer Universität daran gemessen werden, wie viele Papers und Bücher veröffentlicht wurden, denn es ist allgemein bekannt, daß oft die besten Lehrer nicht diejenigen sind, die auch am meisten veröffentlichen (Sokrates und Jesus haben z.B. nichts schriftlich hinterlassen). Es wäre fatal, Mitglieder einer Fakultät nur an der Zahl der Veröffentlichungen zu messen, wie es heute wieder Mode zu sein scheint. Schon damals, 1928, warnte Whitehead vor diesem Fehler: Nicht die Anzahl der Wörter sei entscheidend, sondern das Gewicht der produzierten Ideen. \\ \subsection*{Schluß} In dem Buch von Lucien Price, \emph{Dialogues of Alfred North Whitehead}~\cite{Price}, beschreibt Whitehead (S.325) den großen Vorteil seiner Zeit in London als die Möglichkeit der \emph{``general discussions''}, einer Art Bildung, über die Platon sehr erfreut gewesen wäre: \emph{Mathematics}, steht dort, \emph{must be studied; philosophy should be discussed}. %------ The Bibliography -------------------------------------------------------- \begin{thebibliography}{00} \bibitem{Enzensberger} Enzensberger,~H.~M.: \emph{Zugbrücke außer Betrieb}, Die Mathematik im Jenseits der Kultur, Frankfurter Allgemeine Zeitung vom 29.8.1998 (Nr. 200), 1998. \bibitem{Price} Price,~L.: \emph{Dialogues of Alfred North Whitehead}, 1954, Boston 2001. \bibitem{Ringel} Ringel,~C.~M.: \emph{Algebra ist Geometrie ist Algebra}, Vortrag Paderborn, 10. November 2006. \texttt{(www.math.uni-bielefeld.de/$\sim$ringel/lectures/lenzing/)} \bibitem{Roggenkamp} Roggenkamp,~K.~W.: \emph{3 Perlen der Mathematik}, Universität Stuttgart, Juni 1994. \bibitem{Whitehead} Whitehead,~A.~N.: \emph{The Aims of Education and other Essays}, 1929, Free Press Publication 1967. \bibitem{Whitehead2} Whitehead,~A.~N.: \emph{An Introduction to Mathematics}, 1911, Oxford University Press, 1961. \end{thebibliography} \end{document}