% --------------------------------------------- % Bewerbungsschreiben Friedrich Ebert Stiftung % Dierk Philipp Fahr % --------------------------------------------- \documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[german]{babel} \usepackage{german} \frenchspacing \newtheorem{thm}{Satz} \begin{document} \title{Das Gabriel-Roiter-Ma\ss} \author{(Philipp Fahr)} \date{Juli 2004} \maketitle \tableofcontents \section{Einleitung} Im Rahmen meiner Promotion besch\"aftige ich mich mit den Darstellungen von endlich-dimensionalen Algebren. Die Darstellungstheorie im allgemeinen besch\"aftigt sich mit der Art und Weise, wie Gruppen, assoziative Algebren und andere Objekte auf Vektorr\"aumen operieren k\"onnen. Sind die Vektorr\"aume endlich-dimensional, so erh\"alt man auf dieses Weise explizite Beschreibungen der Gruppen oder Algebren durch Matrizen. Es geht in der Darstellungstheorie darum, durch solche Operationen Informationen \"uber die Struktur der Gruppe oder Algebra zu erhalten. Matrizen dienen zum L\"osen von Gleichungen. Allgemein befassen wir uns in der Algebra mit Fragestellungen, die durch L\"osungen von Systemen polynomialer Gleichungen motiviert sind. Die Gleichung $x^2=0$ hat in der Menge der komplexen Zahlen genau eine L\"osung, jedoch im Raum der quadratischen (2x2)-Matrizen \"uber den komplexen Zahlen unendlich viele. In der Darstellungstheorie studiert man L\"osungen in R\"aumen quadratischer Matrizen. Ein m\"ogliches Ziel der Darstellungstheorie ist die Beschreibung aller Darstellungen f\"ur eine gegebene Algebra. Allerdings hat man nicht einmal f\"ur relativ einfache Beispiele eine vollst\"andige Klassifikation aller Darstellungen. Dies ist nicht wirklich erstaunlich, da man viel mehr einen anderen Ansatz suchen sollte, wie z.B. gute Invarianten zu finden, die die wirklich wesentlichen Aspekte der Darstellungstheorie einer Algebra beschreiben. Die Frage, die sich dann stellt, ist, wie gut diese Invarianten geeignet sind, ein Ma\ss\ daf\"ur zu geben, wie kompliziert die Darstellungstheorie einer Algebra ist. Oft liefern die darstellungstheoretischen Untersuchungen diskrete Invarianten, die dann auch mit Hilfe von Computern berechnet und einfacher graphisch dargestellt werden k\"onnen.\\ Was ist nun eine Darstellung einer Algebra? Nehmen wir einmal an, $A$ sei eine assoziative endlich-dimensionale Algebra \"uber einem K\"orper $k$, der algebraisch abgeschlossen ist. Eine Darstellung der Algebra $A$ ist ein (endlich erzeugter) $A$-Modul, d.h. ein (endlich-dimensionaler) Vektorraum $V$, auf dem die Algebra $A$ operiert. Zur Beschreibung der Darstellungen einer Algebra gen\"ugt es (nach dem Satz von Krull-Remak-Schmidt), alle sogenannten \emph{unzerlegbaren} Darstellungen zu beschreiben. D.h. Moduln $M$, die nicht als direkte Summe $M=M_1\oplus M_2$ von echten Untermoduln zerlegt werden k\"onnen. Eine Klassifikation aller unzerlegbaren Moduln ist nur f\"ur ganz wenige Algebren bisher bekannt, z.B. in der recht speziellen Situation wenn die Algebra $A$ von \emph{endlichem Darstellungstyp} ist; das bedeutet, wenn es (bis auf Isomorphie) nur endlich viele unzerlegbare $A$-Moduln gibt. Eine Algebra $A$ von \emph{unendlichem Darstellungstyp} liegt dann vor, wenn es unendlich viele Isomorphieklassen unzerlegbarer $A$-Moduln gibt. Dieser Typ l\"a\ss t sich weiter aufspalten in den \emph{zahmen} und \emph{wilden} Darstellungstyp. In der ``modernen'' Darstellungstheorie bestimmt man Algebren durch die Eigenschaften ihrer Modulkategorien, daher ist diese Aufteilung von gro\ss er Bedeutung. Yuri Drozd hat 1977 gezeigt, da\ss\ jede Algebra zu genau einer dieser Klassen geh\"ort. Die Struktur und Darstellungstheorie von Algebren von endlichem Darstellungstyp ist sehr gut verstanden. Im unendlichen Fall, also im zahmen und wilden Fall, gibt es nach wie vor nur Ans\"atze f\"ur eine entsprechende Strukturtheorie. Es liegen allerdings im zahmen Fall mittlerweile eine Vielzahl wichtiger Resultate und Methoden vor. Beispielsweise hat Kronecker bereits 1890 die nach ihm benannten Kronecker-Algebra untersucht: Die Kronecker Algebra ist die Algebra $k[X,Y]/(X^2,Y^2)$; sie ist lokal und hat nur einen einfachen Modul. Man kann den \emph{Kroneker K\"ocher}, einem gerichteten Graphen mit zwei Ecken $a,b$, die mit zwei Pfeilen der Art $a \to b$ verbunden sind, benutzen, um die Darstellungen von $k[X,Y]/(X^2,Y^2)$ zu erhalten. Kroneker klassifizierte damals schon alle unzerlegbaren Moduln der zugeh\"origen Wegealgebra, die eine zahme erbliche Algebra ist. F\"ur Algebren von wildem Darstellungstyp steckt die Forschung noch in ihren Kinderschuhen und geht nur sehr schleppend voran, da eine Klassifikation wegen ihrer Komplexit\"at hier als hoffnungslos erscheint. Dies liegt daran, da\ss\ die Modulkategorie wilder Algebren die Modulkategorie \emph{aller} Algebren ``beinhaltet''. Die moderne Forschung der Darstellungstheorie endlich-dimensionaler Algebren wird erst seit ca. 40 Jahren intensiv betrieben. Darstellungen von Gruppen hingegegen wurden bereits im 19.~Jahrhundert studiert. Ein Beispiel f\"ur darstellungsendliche Algebren sind die halbeinfachen Algebren: Wedderburn lieferte uns am Anfang des 20.~Jahrhunderts (1908) in seinem ber\"uhmten Satz im wesentlichen bereits die Zerlegung aller halbeinfachen $k$-Algebren\footnote{ Diese halbeinfachen Algebren sind nach dem Satz von Wedderburn Produkte von Matrizenringe \"uber dem algebraisch abgeschlossenem K\"orper $k$.}. Eine Algebra hei\ss t \emph{halbeinfach}, wenn sie als Modul \"uber sich selbst, als direkte Summe von einfachen Untermoduln zerlegt werden kann. Halbeinfache Algebren haben auch die sch\"one Eigenschaft, da\ss\ jeder Modul projektiv ist. Projektive Moduln spielen eine wichtige Rolle in der Darstellungstheorie, und man nennt einen Modul \emph{projektiv}, wenn er direkter Summand eines freien Moduls ist, wobei \emph{freie Moduln} ein linear unabh\"angiges Erzeugendensystem besitzen. Im Allgemeinen sind Algebren aber nicht halbeinfach (und damit darstellungsendlich, da jeder unzerlegbare Modul einfach ist), und ihre Darstellungen k\"onnen beliebig kompliziert werden. Besonderes Interesse gilt aber den sogenannten \emph{erblichen} Algebren, die die Eigenschaft haben, da\ss\ jeder Untermodul eines projektiven Moduls wieder projektiv ist. \section{Homologische Methoden} Ein Grundprinzip der homologischen Algebra ist es, durch sogenannte projektive Aufl\"osungen zu messen, wie weit Moduln davon entfernt sind, projektiv zu sein. Diese Methode kann man auch in der Darstellungstheorie verwenden, und es wurden mehrere homologische Invarianten herangezogen, um ein Ma\ss\ f\"ur die Komplexit\"at der Darstellungstheorie einer Algebra zu erhalten. Da gibt es als Invarianten unter anderem die \emph{globale Dimension}, die \emph{finitistische Dimension} und die \emph{Darstellungsdimension}. Im folgenden wollen wir einige Definitionen herleiten: Sei $A$ eine endlich-dimensionale Algebra und $M$ ein $A$-Modul. Dann gibt es eine surjektive Abbildung $P\rightarrow M$, wobei $P$ projektiv ist. Auch f\"ur den Kern dieser Abbildung gibt es wieder einen projektiven Modul, nennen wir ihn $P_1$, der surjektiv auf diesen Kern abbildet. Auf diese Weise erhalten wir eine \emph{projektive Aufl\"osung} des Moduls $M$: $$ \ldots \rightarrow P_n \rightarrow \ldots \rightarrow P_2 \rightarrow P_1 \rightarrow P \rightarrow M \rightarrow 0. $$ Diese Kette kann unendlich sein oder nach endlich vielen Schritten abbrechen, d.h. $P_j=0$ ab einem bestimmten $j\geq 1.$ Man definiert nun die \emph{projektive Dimension} des Moduls $M$ wie folgt: $$proj.dim(M) = inf\{n | P_{n+1}=0\},$$ also das Infimum \"uber die L\"angen aller projektiven Aufl\"osungen von $M$. Wenn $M$ selber projektiv ist, dann ist $proj.dim(M)=0$. Die \emph{globale Dimension} von $A$ wird definiert als $gl.dim(A)=sup_M\{proj.dim(M)\}$, mit dem Supremum genommen \"uber alle $A$-Moduln. Wenn alle $A$-Moduln projektiv sind (also $A$ halbeinfach), dann ist $gl.dim(A)=0$. \\ Hilbert's Syzygiensatz von 1890 besagt: $$gl.dim(k[X_1,\ldots,X_n])=n$$ Die direkte Verbindung zur algebraischen Geometrie zeigt der Satz von Auslander-Buchsbaum-Serre, der den Hilbert'schen Satz verallgemeinert\footnote{ F\"ur $k[X_1,\ldots,X_n]$ ist $V$=$A^n$, der volle affine Raum mit $dim_k(V)$=$n$= $gl.dim(k[X_1,\ldots,X_n])$.}: \begin{thm}[Auslander-Buchsbaum-Serre, 1955/56] Sei $V$ eine algebraische Variet\"at, mit Koordinatenring $R$. Dann ist $V$ genau dann glatt, wenn $R$ endliche globale Dimension hat. In diesem Fall ist $gl.dim(R)$ gleich der Dimension der Variet\"at $V$. \end{thm} Die globale Dimension ist von gro\ss er Bedeutung, sowohl in der kommutativen, als auch in der nicht-kommutativen Algebra. Allerdings ist die globale Dimension nicht wirklich ein gutes Ma\ss\ f\"ur die Komplexit\"at der Darstellungstheorie. Daher gibt es noch weitere verfeinerte homologische Invarianten, die die Komplexit\"at besser messen: Die Darstellungsdimension und die finitistische Dimension, wobei eine bis heute nicht bewiesene Vermutung (aufgestellt von H. Bass im Jahre 1960) besagt, da\ss\ letztere immer endlich ist. Die Vermutung ist bisher nur f\"ur einige Klassen von Algebren verifiziert worden. Die geschah mit Hilfe des folgenden Satzes: \begin{thm}[Igusa \& Todorov, 2002] Sei $A$ eine endlichdimensionale Algebra mit Darstellungsdimension $rep.dim(A)\leq 3.$ Dann ist die finitistische Dimension von A endlich, d.h. $fin.dim(A)< \infty .$ \end{thm} Es wurde also versucht zu zeigen, da\ss\ die Darstellungsdimension einer Algebra $\leq 3$ ist, was die Endlichkeit der finitistischen Dimension durch den Satz $2$ impliziert und damit die Vermutung st\"utzt (Allerdings hat R. Rouquier k\"urzlich Beispiele von Algebren gefunden, die Darstellungsdimension 4 oder h\"oher haben). Gerade in den letzten zwei bis drei Jahren gab es wieder verst\"arkte Aktivit\"at in der Forschung in diesem Gebiet, und neue Ergebnisse zu dieser Invariante sind in den n\"achsten Jahren zu erwarten. Zu erhoffen ist dann, da\ss\ die finitistische Dimension ein sch\"ones Bild geben wird, in welcher Weise sie ein Ma\ss\ liefert f\"ur die Kompliziertheit der Darstellungstheorie\footnote{ Es sei aber gesagt, da\ss\ die finitistische Dimension die Komplexit\"at anders misst als der Darstellungstyp. Daf\"ur sind selbstinjektive Algebren ein Beispiel.}. Nicht unerw\"ahnt sollten die sogenannten Kipp-Moduln bleiben, die dazu dienen, homologische Beziehungen zwischen verschiedenen Modulkategorien herzustellen. Am Anfang der achtziger Jahre entwickelte sich die Kipptheorie sehr schnell, und auch heute noch treten immer wieder unerwartete Beziehungen auf wie k\"urzlich in Verbindung mit Cluster-Algebren. Wichtig ist, da\ss\ Kipp-Moduln durch diskrete Invarianten charakterisierbar sind. \section{Auslander-Reiten-K\"ocher} Maurice Auslander und Idun Reiten haben vor rund 25 Jahren begonnen, unzerlegbare Moduln (Objekte in einer Modulkategorie) mit Hilfe von gerichteten Graphen zu klassifizieren. Jeder Modulkategorie ordneten sie den sogenannten Auslander-Reiten-K\"ocher zu. (Der Name ``K\"ocher'' ist hier ganz angebracht, da es sich um eine Ansammlung von Pfeilen und deren Endpunkte handelt). Dabei stellen in diesem gerichteten Graphen die Punkte Isomorphieklassen unzerlegbarer Moduln und die Pfeile irreduzible Abbildungen dar. Dieser Typ von Abbildung ist deshalb interessant, da Paare von Abbildungen die bekannten Auslander-Reiten-Folgen bilden (auch fast zerfallende Folgen genannt). Der Auslander-Reiten-K\"ocher speichert eine gro\ss e Anzahl von Informationen \"uber die Modulkategorie und macht sie auf eine einfache Art und Weise zug\"anglich. Es ist auch ein Hilfsmittel, um m\"ogliche Gabriel-Roiter-Ma\ss e von unzerlegbaren Moduln zu berechnen, und man kann dann den Punkten des K\"ochers das jeweilige Ma\ss\ zuordnen. Der Zugang via der Auslander-Reiten-Theorie gilt heute als der standard Zugang zur Darstellungstheorie von Algebren. Kurz m\"ochte ich auf den einfachsten, dem darstellungsendlichen Fall eingehen: Hier ist n\"amlich der Auslander-Reiten-K\"ocher endlich, d.h., man ``sieht'' alle unzerlegbaren Moduln. Seit Gabriel~\cite{indec} wissen wir, da\ss\ erbliche darstellungsendliche Algebren genau den Wegealgebren der Dynkin-Diagramme ($A_n,D_n,E_6,E_7,E_8$) entsprechen. Diese Diagramme sind aus vielen Bereichen der Mathematik bekannt, unter anderem aus der Klassifikation von halbeinfachen komplexen Lie-Algebren. \section{Das Gabriel-Roiter-Ma\ss} \subsection{Dissertations-Projekt} In meiner geplanten Dissertation, mit dem Arbeitstitel ``Gabriel-Roiter-Ma\ss e wilder Algebren'', befasse ich mich mit einem neuen Zugang zur Darstellungstheorie und einr ``neuen'' Invariante, dem sogenannten Gabriel-Roiter-Ma\ss. Dieses Ma\ss\ wurde zwar bereits 1973 von Peter Gabriel in \cite{Gabriel} definiert, aber keine weiteren Untersuchungen wurden damit seither unternommen. Dabei erh\"alt man durch das Gabriel-Roiter-Ma\ss\ viele wichtige Informationen und vor allem neue Einblicke in die Darstellungstheorie einer Algebra. Man untersucht dabei die Modulkategorie, also die Kategorie der Darstellungen einer Algebra, und analysiert unzerlegbare Moduln und deren Filtrierungen durch Untermoduln. Mit Hilfe dieser Filtrierungen (also Ketten von Untermoduln) ordnet man jedem unzerlegbaren Modul eine rationale (oder auch reelle) Zahl zu, welche dann das Gabriel-Roiter-Ma\ss\ darstellt. Diese neue Herangehensweise scheint vielversprechend, denn die m\"oglichen Gabriel-Roiter-Ma\ss e geben sehr gut die Struktur und Komplexit\"at der jeweiligen Modulkategorie wieder. Zwei gro\ss e Vorteile dieser neuen Invariante sind die folgenden: \begin{enumerate} \item Das Gabriel-Roiter-Ma\ss\ eines Moduls ist nur von der Untermodulstruktur abh\"angig. \item Die Klasse aller Moduln, die direkte Summen von unzerlegbaren Moduln von Gabriel-Roiter-Ma\ss\ h\"ochstens $d$ sind, ist abgeschlossen bez\"uglich Untermodulbildung. \end{enumerate} Wahrscheinlich wurde bisher nicht viel mit dieser Invariante gearbeitet, da man vermutete, da\ss\ sie nur f\"ur Algebren von beschr\"ankten und damit (siehe Roiter~\cite{Roiter}) endlichen Darstellungstyp Einsicht verspricht. Doch neuere Untersuchungen von Claus Michael Ringel~\cite{RingelGR} zeigen, da\ss\ die Definition auch auf Algebren von unendlichem Darstellungstyp angewandt werden kann. Gerade hier entfaltet das Ma\ss\ seine besondere St\"arke und seinen Reiz. In der Tat sind die Gabriel-Roiter-Ma\ss e f\"ur erbliche Algebren mit endlichem Darstellungstyp bekannt. Auch wenige zahme Algebren wurden bereits explizit berechnet. Ziel meiner Dissertation soll sein, Gabriel-Roiter-Ma\ss e bei Algebren von wildem Darstellungstyp zu untersuchen. Auf diesem Gebiet gibt es bisher so gut wie keine Ergebnisse. \subsection{Fragestellungen \& Methode} Von besonderem Interesse ist die Frage, ob es zu einem gegebenem Gabriel-Roiter-Ma\ss\ endlich oder unendlich viele Isomorphieklassen gibt. Aus den Untersuchungen von Roiter~\cite{Roiter} folgt, da\ss\ es f\"ur darstellungsunendliche Algebren immer zwei disjunkte Folgen von Gabriel-Roiter-Ma\ss en (eine aufsteigende und eine absteigende), mit nur endlich vielen Isomorphieklassen gibt. Wie bereits erw\"ahnt, scheinen die m\"oglichen Gabriel-Roiter-Ma\ss e ein recht getreues Abbild der Komplexit\"at der jeweiligen Modulkategorie zu liefern. Allerdings wurden sie bisher nur in ganz wenigen F\"allen (und nicht einmal f\"ur beliebige erbliche Algebren) explizit berechnet. Daher sind v\"ollig neue Methoden zu finden, um auch wilde Algebren betrachten zu k\"onnen. Andererseits k\"onnen nat\"urlich jetzt die vielen neuen Methoden der Darstellungstheorie von Algebren (Auslander-Reiten-Theorie, Verwendung von Kipp-Funktoren und derivierten \"Aquivalenzen, etc.) eingesetzt werden, um gen\"ugend viele unzerlegbare Moduln zu konstruieren und zu beschreiben. Hilfreich ist ferner, da\ss\ das Gabriel-Roiter-Ma\ss\ eine sogenannte ``Morita-Invariante'' ist: Zwei Ringe oder Algebren, $A, B$ hei\ss en \emph{Morita \"aquivalent}, $A\sim B$, falls ihre Modulnkategorien \"aquivalent sind. D.h. falls es eine Kategorien\"aquivalenz $A$-$Mod \cong B$-$Mod$ gibt. \subsection{Arbeits- \& Zeitplan} Ich werde eine gr\"o\ss ere Klasse wilder (und damit darstellungsunendlicher) Algeben auf das Verhalten des Gabriel-Roiter-Ma\ss es hin untersuchen. \begin{itemize} \item Als erstes sollen die verallgemeinerten Kronecker-Algebren (also die Wegealgebren eines K\"ochers mit zwei Ecken $a,b$ und $n$ Pfeilen $a \to b$) angegangen werden. Schon der Fall $n = 3$ sollte v\"ollig neue Einsichten liefern. Es ist davon auszugehen, da\ss\ es einheitliche Muster f\"ur alle wilden erblichen Algebren gibt. \item V\"ollig unklar ist hingegen, ob sich diese Muster auch etwa auf wilde Gruppen-Algebren, deren Komplexit\"at ja polynomial, nicht exponentiell ist, \"ubertragen lassen. Sollten sich gewisse Muster herauskristalisieren, werde ich daraufhin die Kerner-Bijektionen bei wilden erblichen Algebren analysieren (siehe~\cite{CB}). \end{itemize} Vom zeitlichen Rahmen her ist folgendes vorgesehen: Nachdem ich mich seit meiner Ankunft in Bielefeld in die neue Materie eingearbeitet habe, mir verschiedene Methoden der Darstellungstheorie angeeignet und mich in die Auslander-Reiten-Theorie vertieft habe, werde ich mich ab jetzt verst\"arkt auf Algebren von wildem Darstellungstyp konzentrieren. \begin{itemize} \item Anfangen werde ich damit Gabriel-Roiter-Ma\ss e explizit zu berechnen, was in diesem Fall, im Gegensatz zum endlichen Darstellungstyp, keine triviale Aufgabe ist. Ich nehme an, da\ss\ die Berechnungen im wilden Fall die n\"achsten sechs Monate in Anspruch nehmen werden, und binnen zw\"olf Monate Resultate bez\"uglich existierender Muster gefunden sein k\"onnten. \item Ferner gilt es zu entscheiden, ob ein Modul von Wegealgebren von wilden Algebren unzerlegbar ist, also einer unzerlegbaren Darstellung entspricht. Vor allem Methoden der bereits erw\"ahnten Auslander-Reiten-Theorie werden dabei hilfreich sein. \item Je nachdem wie vielversprechend die Ergebnisse im verallgemeinerten Kronecker Fall sein werden, k\"onnte man danach weitere Algebren von wildem Darstellungstyp mittels Gabriel-Roiter-Ma\ss\ untersuchen. \end{itemize} Ich hoffe meine Promotion sp\"atestens zum Wintersemester 2006/07 beendet zu haben. \subsection{Ausblick} Im Gegensatz zu den Invarianten, die die Auslander-Reiten-Theorie liefert, ist das Gabriel-Roiter-Ma\ss\ nur vom Untermodulverband, nicht jedoch von der umgebenden abelschen Kategorie abh\"angig. Darin liegt ein gro\ss er Vorteil. Daher besteht, was das Gabriel-Roiter-Ma\ss\ betrifft, eine berechtigte Hoffnung, da\ss\ in absehbarer Zeit diese Invariante eines Moduls als seine Grundinvariante angesehen wird, die als erste Information heranzuziehen ist. Es ist zu vermuten, da\ss\ auf diese Weise der jetzt "ubliche Auslander-Reiten-Zugang zur Darstellungstheorie von Algebren zur"uckgedr"angt wird. % --------------------- APPENDIX, BIBLIOGRAPHY & END --------------------- \begin{thebibliography}{[0w]} \bibitem[1]{Fuller} Anderson~F., Fuller~K.: \emph{Rings and Categories of Modules}, Graduate Texts in Mathematics 13, Springer, 1973. \bibitem[2]{ARS} Auslander A., Reiten I., Smal\o\ S.: \emph{Representation Theory of Artin Algebras}, Cambridge University Press, 1995. \bibitem[3]{CB} Crawley-Boevey~W., Kerner,~O.: \emph{A functor between categories of regular modules for wild hereditary algebras}, Math.~Ann.~298 (p.~481-487), 1994. \bibitem[4]{CB2} Crawley-Boevey~W.: \emph{Lectures on representations of quivers}, Graduate Lecture Notes, Oxford University, 1992.\\ (www.amsta.leeds.ac.uk/\~{}pmtwc/quivlecs.pdf) \bibitem[5]{Dlab} Dlab~V., Ringel~C.M.: \emph{Indecomposable representations of graphs and algebras}, Memoirs of the American Mathematical Society (6) 173, 1976. \bibitem[6]{Erdmann} Erdmann~K., Holm~T., Iyama~O., Schr\"oer~J.: \emph{Radical embeddings and representation dimension}, Advances Math. 185 (p.~159-177), 2004. \bibitem[7]{indec} Gabriel,~P.: \emph{Unzerlegbare Darstellungen I}, Manuscripta Math. 6, p.~71-103, 1972. \bibitem[8]{Gabriel} Gabriel,~P.: \emph{Indecomposable Representations II}, Symposia Mathematica, Vol. XI (p.~81-104), Academic Press, London/New York, 1973. \bibitem[9]{Igusa} Igusa, K., Todorov, G.: \emph{On the finitistic global dimension conjecture for artin algebras}, Preprint, 2002.\\ (people.brandeis.edu/\~{}igusa/Papers/FIN\_DIMV101.pdf) \bibitem[10]{RingelGR} Ringel,~C.M.: \emph{The Gabriel-Roiter-Measure}, Preprint, 2003.\\ (www.mathematik.uni-bielefeld.de/\~{}ringel/opus/gr.ps) \bibitem[11]{RingelZ} Ringel,~C.M.: \emph{Finite dimensional hereditary algebras of wild representation type}, Math. Z. 161 (p.~235-255), 1978. \bibitem[12]{RingelTame} Ringel,~C.M.: \emph{Tame algebras and integral quadratic forms}, Springer Lecture Notes in Mathematics 1099, 1984. \bibitem[13]{RingelBT} Ringel,~C.M.: \emph{Report on the Brauer-Thrall-Conjectures}, Springer Lecture Notes in Mathematics 831 (p.~104-136), 1980. \bibitem[14]{Roiter} Roiter,~A.~V.: \emph{The unboundedness of the dimension of the indecomposable representations of algebras that have infinite number of indecomposable representations}, Izvestija~Akad.~Nauk SSSR. Ser.~Math.~32 (p.~1275-1282), 1968. \end{thebibliography} \end{document}