Tangram

Zur Geschichte

Wie alt das Tangram-Spiel ist, das im Chinesischen Ch'i Ch'ae pan oder auch Siebenschlau genannt wird, ist nicht bekannt. Auch weiß man nicht, wer es gemacht hat. Aus der Einleitung eines Puzzle-Buchs aus dem 19.Jh., zitiert von J.Elffers. Nach Elffers stammt das Wort Ch'i Ch'ae aus der Zhu-Zeit (740-330 v.u.Z.).
Zur Namesgebung Tangram:
- According to some, the name Tangram is a corruption of the obsolete English word trangam, which meant a puzzle or trinket.
- Other says it was derived from the Cantonese riverboat tanka girls who entertained American sailors. (Das Buch Das Chinesische Dreieck von Dominic Olivastro hat dementsprechend einen Abschnitt: Das Rätsel der Prositutierten).
- Other explains that the word was derived from the Tang Dynasty of China.
- One story tells that Tangram was invented by a man named Tan accidently while he tried to put broken pieces of a porcelain tile.
- In Asia, it is called 'Seven Plates of Wisdom'.
Die ersten Tangram-Bücher in China wurden zur Zeit des Kaisers (1796-1820) gedruckt, das älteste bekannte Buch stammt aus dem Jahr 1813.
Utamaro schuf 1780 einen Holzschnitt, auf dem zwei Kurtisanen abgebildet sind, die ein Tangram-Problem zu lösen versuchen. Es soll ein japanisches Buch aus dem Jahr 1742 mit Tangram-artigen Puzzles geben.
Ch'i Ch'iao t'u ho-pi, enthält 323 Vorlagen.
- Druck 1813: Kopie in der Bibliothek in Leiden.
- Druck 1815: im British Museum London.
Älteste bekannte Veröffentlichung in Europa (Vermutlich 1805): Neues chinesisches Rätselspiel für Kinder, in 24 bildlichen und alphabetischen Darstellungen
Abhandlungen, z.B. im Leipziger Magazin für die Industrie
M. Williams: New Mathematical Demonstrations of Euclid rendered clear and familiar to the minds of the youth, with no other mathjematical instruments then the triangular pieces, commonly called the chinese puzzle (1817)
In Europa und den USA gab es im 19.Jh. eine Vielzahl von Tangram-Büchern
Großproduktion durch die Anker-Werke in Rudolstadt.
Hoffmann's Puzzles - Old and New (1893) enthält gleich zweimal das Tangram-Puzzle:
- Als No.I: The "Anchor" Puzzle
- Und noch einmal als No.XV: The Caricature Puzzle (It will be observed by the acute reader that these segments are identical in number and shape with those of the "Anchor" Puzzle, described at page 63. The fact that such very diffrent results are here produced with the same elements illustrates the extraordinary fertility of this class of puzzles...)
Sam Loyd: The 8th Book of Tan (1903).
H. Dudeney: Rätselecke in der Zeitschrift Strand.
Viele berühmte Leute haben sich dafür interessiert: Napoleon in seinem Exil auf St. Helena, Thomas Edison, Lewis Carroll, Edgar Allan Poe...
Im ersten Weltkrieg wurde es besonders für die Soldaten in den Schützengräben produziert! (und zwar für beide Seiten).

Tangram im Schul-Unterricht

Die Studie Principles and Standards for School Mathematics von NCTM ("National Council of Teachers of Mathematics") hat einen eigenen Abschnitt mit folgendem Titel: Developing Geometry Understandings and Spatial Skills through Puzzlelike Problems with Tangrams: Tangram Puzzles

Unterstützt werden diese Zielsetzungen von vielen Institutionen, allerdings ist sie wegen ihrer Abkehr vom traditionellen Mathematik-Unterricht auch umstritten.

Webster (1864) (nach J.Slocum der erste Lexikon-Eintrag zum Stichwort Tangram): ... now often used in primary schools as a means of instruction.
Primary Object Lessons (1861, mit 40 Auflagen innerhalb von 20 Jahren) empfiehlt den Gebrauch von Tangram in Schulen.

Mathematische Aufgabenstellungen

Zum Beispiel: http://mathforum.org/trscavo/tangrams/area.html: Areas of Tangram Pieces (From Math Forum of Drexel University: Drexel is known as a leader in the use of technology in education and was among the first universities in the nation to offer Web-based courses and degree programs. The renowned co-op program provides real-world experience and professional preparation.)
Objectives:
- a basic understanding of area without formulas
- a familiarity with the names of certain polygons (e.g., square, triangle, and parallelogram)
- the meaning of the term congruent
- to develop geometric intuition
Konvexe Flächen
- Wie gehen sie auseinander hervor?
Zwillings-Tangrams
- Ein Zwillings-Tangrams ist ein Paar kongruenter Figuren, die zusammen ein Tangram bilden. Hier sind einige Beispiele:
- Welche Steinaufteilungen sind möglich?
  Man braucht die Flächeninhalte der Tangram-Steine: Es gibt
  - Zwei kleine Dreiecke mit Flächeninhalt 1,
  - Quadrat (Q), Parallelogramm (P) und Dreieck (D) mit Flächeninhalt 2,
  - zwei große Dreiecke mit Flächeninhalt 4.
  Demnach gibt es vier Möglichkeiten zum Aufteilen:
- Insgesamt gibt es 60 Zwillings-Tangrams (Elffers, p.164-166).
Unmögliche Figuren
zum Beispiel:
Eindeutigkeitsbeweise
- Satz. Bis auf Symmetrien gibt es nur eine einzige Mögleichkeit, ein Quadrat zu legen.
  Fixiert man die Lage des Parallelogramms, so ist die Lage aller anderen Steine fixiert.
- Satz. Bis auf Symmetrien gibt es nur eine einzige Mögleichkeit, zwei Quadrate zu legen.
- Wieviele Möglichkeiten gibt es, Rechtecke zu legen? Hier drei Beispiele
Tangram-Paradoxe
Zum Beispiel:

Die Lösungen:
Normierungen
- Gitter-Tangrams
  Hier wird verlangt, daß die Eckpunkte aller Steine Punkte eines Quadratgitters sind (die kleinen Dreiecke haben Flächeninhalt 1/2,...).
  
  Das übliche Tangram-Quadrat liegt folgendermaßen im Gitter:
  
  Jedes Gitter-Tangram kann man durch Hinzufügen von Basisdreiecken zu einem kleinsten konvexen Vieleck ergänzen; die Anzahl dieser hinzuzufügenden Basisdreiecke heißt die Konvexitätszahl.
  Hier ein Beispiel mit Konvexitätszahl 40:
  
  Satz: Es gibt genau 133 Tangrams mit Konvexitätszahl 1. (Elffers, p.126-135). Hier einige Beispiele:
- Strahl-Bedingung
  Jede Ecke eines Steins liefert zwei anliegende Strahlen; hier eine Ecke des Parallelogramms mit den beiden Strahlen:
  Für jedes Tangram kann man nun folgenden Graphen betrachten:
  Definition.Ein Tangram erfüllt die Strahl-Bedingung, falls dieser Graph zusammenhängend ist.
Konvexitäts-Defekt
Bei folgendem Tangram ist der Flächeninhalt, der zur konvexen Hülle fehlt, kleiner als ein Basisdreieck (es ist allerdings auch kein Gitter-Tangram, erfüllt aber die Strahl-Bedingung):

Als Konvexitäts-Defekt von A mit konvexer Hülle K(A) soll der Flächeninhalt von K(A)-A verstanden werden. Wir nennen ein Tangram minimal, wenn der Konvexitäts-Defekt durch kleine Bewegungen der Tangram-Steine nicht verkleinert werden kann (legt man ein Gummiband um das Tangram, so darf dies zu keiner Verschiebung der Tangram-Teile führen.) Hier ein Beispiel eines minimalen, nicht-konvexen Tangrams, mit sehr kleinem Defekt:

Analoge Puzzles

Shape by shape
Von Nob, einem berühmten japanischen Puzzle-Erfinder, stammt eine Tangram-Variante, die mit einem festen quadratischen Rahmen arbeitet; es gibt gelbe und rote Steine, die den Tangram-Steinen nachempfunden sind, und die zusammen den Rahmen vollständig ausf¨llen. Das Spiel wird unter dem Titel "Shape by Shape" von der Firma Binary Arts vertrieben. Folgende Formen werden je zweimal verwandt:

Bei den drei roten Formen handelt es sich um alle möglichen Kombinationen von zwei kongruenten gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecken; entsprechend handelt es sich bei den vier gelben Formen um alle möglichen Kombinationen von drei derartigen Dreiecken. Basis-Figur ist hier also (wie beim echten Tangram) ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck. Die sechs roten Teile bestehen aus insgesamt 12 Basisdreiecken, die 8 gelben aus insgesamt 24 Basisdreiecken, insgesamt gibt es also 36 Basisdreiecke, die in folgenden Rahmen einzupassen sind (jedes Quadrat entspricht zwei Basisdreiecken):
Vor allem aber gibt es eine Vielzahl von Zerlegungen, meist eines Quadrats, die alle die charakteristischen Eigenschaften des Tangram besitzen:
- Eckpunkte sind Rasterpunkte in einem Quadrat-Raster.
- Kanten verlaufen horizontal, vertikal oder Diagonal.
  Folgerungen:
  - Winkel sind ganzzahlige Vielfache von 45^o,
  - Strecken sind ganzzahlige Vielfache von 1 und Wurzel aus 2.
  - Alle Flächenverhältnisse sind rational.
- All Steine sind konvex
- Zerlegt wird ein Quadrat
- Anzahl der Steine: ungefähr 7

Sei Shonagan Chie-No-Ita (The ingenious pieces of Sei Shonagon; Titel eines kleines japanischen Buches aus dem Jahr 1742, 32 Seiten, 16 cm x 11 cm, mit 42 Vorlagen; um 1780 schrieb Takahiro Nakada ein Manuskript Narabemono 110, mit 110 Vorlagen für dieses Puzzle):
"Pythagoras"
Loculus von Archimedes
Die Firma Anker hat insgesamt über 30 verschiedene derartige Puzzle produziert.
GRAND TANS

Bis auf die rechte obere Ecke handelt es sich um Steine fast wie beim normalen Tangram - aber trotzdem ist Vorsicht geboten: So ist das Parallelogramm hier eine Raute!
Frage: Lässt sich aus diesen Steinen ein Qudrat legen?
Umformulierung: Gilt:

Nein!

Wurzeln

Ziemlich alle Fragen, die mit dem Tangram zu tun haben, spielen sich in folgendem Körper ab:

Es gibt allerdings eine Ausnahme: betrachten wir die beiden Diagonalen des Parallelograms, so hat eine die Länge 1, die andere die Länge Wurzel aus 5 (und der Winkel zwischen diesen beiden Diagonalen ist alpha = 63,435⁰ Die Wurzel aus 5 spielt eine Rolle, wenn man nach der längsten Strecke fragt, die durch die Tangram-Steine überdeckt werden kann:

Quadratische Körpererweiterungen:

Wie zeigt man, dass die Wurzel aus 2 nicht rational ist?
Wie zeigt man, dass nicht richtig ist?
Quadratische Körpertürme: Zum Beispiel bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

1.Möglichkeit	4+4	1+1+Q+P+D
2.	4+1+1+D	4+Q+P
3.	4+1+1+Q	4+D+P
4.	4+1+1+P	4+D+Q