%% Copyright (C) 2007 by Markus Rost %% %% Created: June 2007 %% Last Changes: \NeedsTeXFormat{LaTeX2e} %%% Falls man deutsche Umlaute und sz benutzt: %% Hoffentlich geht das, ich benutze es selbst nicht, sondern %% stattdessen \usepackage{german}, s.u. % \RequirePackage[german]{babel} % \RequirePackage[latin1]{inputenc} %%% Dokumentation zu AMS-LaTeX %% %% %% \documentclass[a4paper,12pt]{amsart} %%% Fuer deutsche Silbentrennung: %% Nur falls man \RequirePackage[german]{babel} nicht benutzt. \usepackage{german} %%% Diagramme %% Ich benutze "amscd". Dies ist sehr einfach zu lernen %% (Dokumentation in amsldoc.pdf). Es gibt allerdings keine schraegen %% Pfeile. Ich behelfe mich hier mit "=". Beispiele sind in dieser %% Datei. \usepackage{amscd} %% Beliebt scheint auch das "xy"-Paket zu sein: % \usepackage[arrow, matrix, curve]{xy} %%% Matrizen. %% Man benutzt pmatrix, Bmatrix, etc. (siehe amsldoc.pdf). Hat die %% Matrix mehr als 10 Spalten, muss man eine maximale Spaltenzahl %% explizit angeben. % \setcounter{MaxMatrixCols}{12} %%% Umgebungen (Dokumentation in amsthdoc.pdf): \newtheorem{Satz}{Satz}[section] \newtheorem{Lemma}[Satz]{Lemma} \newtheorem{Korollar}[Satz]{Korollar} \theoremstyle{definition} \newtheorem{Definition}{Definition} \newtheorem*{Bemerkung}{Bemerkung} %% Fuer die "proof"-Umgebung. \renewcommand{\proofname}{Beweis} %%% Fuer zusaetzliche Mathematik-Symbole (Dokumentation in %%% short-math-guide.pdf), z.B. fuer \nmid. \usepackage{amssymb} %%% Einige spezielle Definitionen. Fuer weitere Beispiele siehe %%% paperD.sty. In paperD.sty sind praktisch alle Definitionen die %%% ich in den letzten Jahren verwendet habe. Man kann %%% paperD.sty auch direkt laden mit % \usepackage{paperD.sty} %% some Calligraphic letters \newcommand{\CO}{\mathcal O} %% bold Letters ("blackboard" letters) \newcommand{\LF}{\mathbf F} \newcommand{\LR}{\mathbf R} \newcommand{\LC}{\mathbf C} \newcommand{\LP}{\mathbf P} \newcommand{\LZ}{\mathbf Z} \newcommand{\bmidb}[2]{\{\nonscript\,{#1}\mid{#2}\nonscript\,\}} \DeclareMathOperator{\Pf}{Pf} \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom} %% \Homit ist nur zu einer Illustration im Text definiert. \DeclareMathOperator{\Homit}{\it Hom} \DeclareMathOperator{\Aut}{Aut} \DeclareMathOperator{\Gal}{Gal} \DeclareMathOperator{\End}{End} \DeclareMathOperator{\SL}{SL} \DeclareMathOperator{\car}{char} % \char gibt es schon. \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\ggT}{ggT} %% \idop ist nur zu einer Illustration im Text definiert. \DeclareMathOperator{\idop}{id} \newcommand{\id}{\mathrm{id}} \newcommand{\pfister}[1]{\langle\!\langle#1\rangle\!\rangle} \newcommand{\qform}[1]{\langle#1\rangle} %% \bot as a binary operator \newcommand{\orth}{\mathbin\bot} \newcommand{\inv}{^{-1}} %% Diese Definition benutze ich hier f\"ur einige Erl\"auterungen zu %% TeX-Definitionen, man braucht sie normalerweise nicht. \newcommand{\bs}{\char`\\} %%% Bemerkungen: %% Ich benutze gerne die Umgebung % \begin{displaymath} % \end{displaymath} %% Dies ist gleichbedeutend mit $$...$$. %% Spezielle Trennungen %\hyphenation{Meeres-spie-gel} \begin{document} %%% Datum: \renewcommand{\datename}{\textit{Datum}:} %% Dies ist am Ende auszukommentieren. % \date{4. September 2007} \date{\today} \title{Arbeitsmuster mit AMS-\LaTeX{}} \author{} %\curraddr{} %\email{} %\thanks{} \maketitle \vspace{3in} \begin{center} Bachelorarbeit % Diplomarbeit \end{center} \vspace{1in} \begin{center} vorgelegt von \\ Nomen Nominandum \end{center} \vspace{.25in} \begin{center} Fakult\"at f\"ur Mathematik \\ Universit\"at Bielefeld \end{center} \vspace{.25in} \begin{center} April 2007 \end{center} \thispagestyle{empty} \cleardoublepage \thispagestyle{empty} \setcounter{tocdepth}{1} \tableofcontents \cleardoublepage \setcounter{page}{1} \section*{Vorwort} Die \LaTeX-Datei ({\tt diplom.tex}) dieser Vorlage dient als Muster f\"ur die \LaTeX-Datei einer Bachelor- oder Diplomarbeit. Sie soll als ein erstes Ger\"ust daf\"ur dienen und eine Reihe typischer Beispiele zum Setzen von Mathematik mit \TeX{} enthalten. Ich habe vor, mit der Zeit mehr und mehr solcher Beispiele aufzunehmen\footnote{Letzte \"Anderung: Siehe Datum links unten auf dem Deckblatt.}. F\"ur Korrekturen, Erg\"anzungen und andere Vorschl\"age bin ich dankbar. \medskip \hbox to\hsize{{\sl Bielefeld, Juni 2007}\hfill--- M. Rost} \clearpage \section{Dreieckspunkte} \begin{Lemma} F\"ur den Schwerpunkt~$G$ eines Dreiecks $x_1$, $x_2$,~$x_3$ gilt \begin{displaymath} G=\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{proof} Der Beweis sei dem Leser \"uberlassen. \end{proof} \begin{Bemerkung} Die H\"ohen eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Der Schwerpunkt~$G$, der Schnittpunkt~$H$ der H\"ohen und der Umkreismittelpunkt~$O$ eines Dreiecks liegen auf einer Geraden, der sog.\ \emph{Euler-Gerade}. Es gilt \begin{displaymath} 3G=2O+H \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{proof} Siehe \cite[Kapitel 99, Satz 567]{MR990644}. \end{proof} \begin{Satz}[Satz des Thales] Dreiecke, deren l\"angste Seite der Durchmesser eines Kreises ist, sind genau dann rechtwinklig, wenn der dritte Punkt auf dem Bogen des Kreises liegt.\qed \end{Satz} \section{Funktionen} Es sei \begin{gather*} f\colon \LR\to \LC \\ f(x)=3x+5i \end{gather*} Dann gilt \begin{align*} f(1)&=3\cdot 1 +5i \\ &=3+5i \\ f(0)&=5i \end{align*} Ferner gilt \begin{align} \label{eq:abl} f'(x)&=3 \\ \label{eq:abl2} f''(x)&=0 \end{align} Wir erinnern an die bekannte Formel \begin{align} \label{exp} e^{it} = \cos t + i \sin t \qquad\text{(f\"ur $t\in \LC$)} \end{align} Die Formeln \eqref{eq:abl} und \eqref{exp} werden im Folgenden benutzt. \section{\"Uber $\wp(x)$} Es sei $p$ eine Primzahl und $\LF_p$ der K\"orper mit $p$ Elementen. F\"ur einen K\"orper~$K$ mit $\car K=p$ ist \begin{gather*} \wp \colon K \to K \\ \wp(x)=x^p-x \end{gather*} eine additive Abbildung. Es gilt \begin{displaymath} \bmidb{x\in K}{\wp(x)=0}=\LF_p \end{displaymath} \subsection{Die opposite Algebra} F\"ur eine Algebra~$A$ definiert man die Algebra~$A^{\rm op}$ durch $A^{\rm op}=A$ als additive Gruppe mit dem Produkt \begin{gather*} A^{\rm op}\times A^{\rm op} \to A^{\rm op} \\ (x,y)\mapsto yx \end{gather*} \subsection{Another example} To see $(h\Phi\inv\tau\Phi)^3=\iota$ one observes first (with $ij$ a permutation of~$23$) \begin{align*} h\Phi\inv\tau\Phi(\alpha_{01i})&= h\Phi\inv(\alpha_{j10}) = h(\alpha_{1i0})=\alpha_{0i1} \\ h\Phi\inv\tau\Phi(\alpha_{0i1})&= h\Phi\inv(\alpha_{ji0}) = h(\alpha_{i10})=\alpha_{i01} \\ \intertext{Next note that $\tau$ leaves every~$\gamma_{ijk\ell}$ fixed and therefore $\Phi\inv\tau\Phi$ leaves all elements~$\alpha_{i0j}$ fixed. Hence} h\Phi\inv\tau\Phi(\alpha_{i01})&=h(\alpha_{i01})= \alpha_{i10}=\alpha_{01i}\inv \end{align*} This computation ist not related with the arguments used in~\cite{Rost/chain-lemma}. \subsection{The key lemma} Here it is: \begin{Lemma} Suppose $\dim X=1$. Then \begin{align*} F_*(\CO_X-\Omega_{X/k})&=\CO_{X^{(p)}}-\Omega_{X^{(p)}/k} \\ F_*(\CO_X+\Omega_{X/k})&= p\bigl(\CO_{X^{(p)}}+\Omega_{X^{(p)}/k}\bigr) \\ \intertext{If\/ $p=2$, then} 2\bigl(F_*(\CO_X)-2\CO_{X^{(2)}}\bigr)&= \Omega_{X^{(2)}/k}-\CO_{X^{(2)}} \\ \intertext{and} F_*\bigl(F_*(\CO_X)-2\CO_{X^{(2)}}\bigr)&= F_*(\CO_{X^{(2)}})-2\CO_{X^{(4)}} \\ \intertext{If\/ $p$ is odd, then} F_*(\CO_X)-p\CO_{X^{(p)}}&=\frac{p-1}2 \bigl(\Omega_{X^{(p)}/k}-\CO_{X^{(p)}}\bigr) \end{align*} \end{Lemma} \subsection{The Pedal Triangle} \label{pedal triangle} We will now consider the so-called \emph{pedal triangle} construction. In \cite[p.~16, ex.~12]{MR990644}, one finds the following exercise: \begin{quote} \sl %% Given a triangle $ABC$ and a point~$P$ in its plane (but not on a side nor on the circumcircle), let $A_1B_1C_1$ be the derived triangle formed by the feet of the perpendiculars from~$P$ to the sides $BC$, $CA$,~$AB$. Let $A_2B_2C_2$ be derived analogously from $A_1B_1C_1$ (using the same~$P$), and $A_3B_3C_3$ from $A_2B_2C_2$. Then $A_3B_3C_3$ is directly similar to $ABC$. (Hint: $\angle PBA = \angle PA_1C_1 = \angle PC_2B_2 = \angle PB_3A_3 $) \end{quote} The following lemma gives a proof of this exercise. See also \cite[Th.~2.51]{MR705633}. \section{Die Pfaffsche Determinante} F\"ur eine Matrix $A\in M_{2m}(K)$ mit \begin{displaymath} A^t=-A \end{displaymath} ist die \emph{Pfaffsche Determinante} \begin{displaymath} \Pf(A)\in K \end{displaymath} gegeben durch \begin{displaymath} \Pf(A)=\sum_{\sigma\in\Theta}\sgn(\sigma)a_{\sigma(1)\sigma(2)}\dots a_{\sigma(2n-1)\sigma(2n)} \end{displaymath} Wir benutzen die \"au{\ss}ere Algebra $$\Lambda^\bullet V=\bigoplus_{k\geq 0}\Lambda^kV$$ \section{Universelle Eigenschaften} Ein Diagram zur einer universellen Eigenschaft: \begin{displaymath} \begin{CD} V\times W @>f>> A \\ @VVV@| \\ V\otimes W @>\exists!\,\bar f>> A \end{CD} \end{displaymath} Eine breite Matrix: %% Explizite Angabe der maximalen Spaltenzahl: \setcounter{MaxMatrixCols}{12} \begin{displaymath} A= \begin{pmatrix} a_{11}&\ldots&a_{1n} & b_{11}&\ldots&b_{1n} & c_{11}&\ldots&c_{1n} & d_{11}&\ldots&d_{1n} \\ \vdots&\ddots&\vdots & \vdots&\ddots&\vdots & \vdots&\ddots&\vdots & \vdots&\ddots&\vdots \\ a_{m1}&\ldots&a_{mn} & b_{m1}&\ldots&b_{mn} & c_{m1}&\ldots&c_{mn} & d_{m1}&\ldots&d_{mn} \end{pmatrix} \end{displaymath} \section{Elementare Zahlentheorie} Ist $p$ prim, so gilt \begin{displaymath} n^{(p-1)} \bmod p = \begin{cases} 0&\text{falls $p\mid n$} \\ 1&\text{falls $p\nmid n$} \end{cases} \end{displaymath} Der gr\"o{\ss}te gemeinsame Teiler von $n$ und~$m$ wird mit $\ggT(n,m)$ oder auch mit $(n,m)$ bezeichnet. \clearpage \appendix \section{Zu vertikalen Abst\"anden und ``neue Zeile''} Grunds\"atzlich soll man es \TeX\ \"uberlassen, die richtigen vertikalen Abst\"ande zu finden. Im normalen Text am besten kein ``\texttt{\bs vskip}'' verwenden. Ferner ist es praktisch \emph{verboten}, im Text eine neue Zeile mit ``\texttt{\bs\bs}'' zu erzwingen. Dies sieht nicht gut aus. Stattdessen einfach eine Leerzeile benutzen. \medskip Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text. \\ Neue Zeile nach ``\texttt{\bs\bs}''. Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text. Neue Zeile nach Leerzeile. Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text Text. \section{Die Zeichen $:$ und $|$ im Mathematik-Modus} Der Doppelpunkt tritt in der Mathematik zumeist bei Verh\"altnissen auf, beispielsweise bei \begin{displaymath} a:b=c:d \end{displaymath} oder \begin{displaymath} (a:b:c)\in\LP^2 \end{displaymath} Oder auch bei Definitionen \begin{displaymath} X:=1+Y \end{displaymath} In diesen F\"allen erh\"alt man die richtigen horizontalen Abst\"ande mit einem normalen~``\texttt{:}''. Bei Abbildungen \begin{displaymath} f\colon A\to B \end{displaymath} verwendet man aber ``\texttt{\bs colon}''. Anders bei ``$|$'': Bei $|x|$ (``Betrag von~$x$'') verwendet man ``\texttt{|}'': \begin{displaymath} |x|=|y+z| \end{displaymath} \"Ubrigens, eine der wenigen Situationen, in denen man \TeX\ nachhelfen mu{\ss}, ist \begin{displaymath} |x|=\left|-x\right| \end{displaymath} Dies setzt man mit \begin{center} \texttt{|x|=\bs left|-x\bs right|} \end{center} ansonsten bekommt man \begin{displaymath} |x|=|-x| \end{displaymath} F\"ur $n\mid m$ (``$n$ teilt~$m$'') verwende ich normalerweise ``\texttt{\bs mid}'' und nicht ``\texttt{|}'' ($n|m$). Dies ist logischer, denn ``$n$ teilt~$m$'' ist eine Relation. Es ist oft auch besser lesbar. Zum Vergleich: \begin{displaymath} 4\mid (2n+1)^2-1 \end{displaymath} bzw. \begin{displaymath} 4|(2n+1)^2-1 \end{displaymath} Ausserdem passt es besser zum Zeichen $n\nmid m$ (``$n$ teilt nicht~$m$''). Dieses Zeichen bekommt man \"ubrigens mit ``\texttt{\bs nmid}'' das nach \begin{center} \texttt{\bs usepackage\{amssymb\}} \end{center} zur Verf\"ugung steht. F\"ur ``Mengenklammern'' \begin{displaymath} A=\{\,z\in B\mid z\notin C\,\} % A=\bmidb\{z\in B}{z\notin C\} \end{displaymath} verwende ich das Makro \texttt{\bs bmidb}, siehe \texttt{diplom.tex}. \section{Die Zeichen $\bot<>\langle\rangle$} F\"ur Ortoghonalit\"at \begin{displaymath} x\perp y\qquad\text{(``$x$ ist orthogonal zu $y$'')} \end{displaymath} wird \texttt{\bs perp} verwendet, \texttt{\bs bot} gibt zu kleine Abst\"ande ($x\bot y$). F\"ur orthogonale Summen wie in \begin{displaymath} Z=U\orth V\orth W \end{displaymath} verwende ich das Makro \texttt{\bs orth} (=\texttt{\bs mathbin\bs bot}, siehe \texttt{diplom.tex}). \begin{align*} &V\bot W &&\texttt{V \bs bot W} \\ &V\orth W &&\texttt{V \bs orth W} \\ &V\perp W &&\texttt{V \bs perp W} \end{align*} Die Zeichen \texttt{< >} sind f\"ur Gr\"ossenrelationen wie \begin{displaymath} a=...\$} bekommt man \begin{displaymath} =x_1y_1+\dots +x_ny_n \end{displaymath} was nun wirklich nicht gut aussieht. Spitze Klammern im Mathematikmodus erh\"alt man mit \texttt{\bs langle} und \texttt{\bs rangle}: \begin{gather*} \langle x,y\rangle=x_1y_1+\dots +x_ny_n \\ \pfister{a_1,a_2,a_3}=\qform{1,-a_1}\otimes \qform{1,-a_2}\otimes \qform{1,-a_3} \end{gather*} (Hier habe ich die Makros \texttt{\bs qform} und \texttt{\bs pfister} verwendet, siehe \texttt{diplom.tex}.) \section{Operatoren und Symbole} Wie bei $\sin$, $\cos$ verwendet man entsprechende Makros auch f\"ur $\det$, $\ker$, $\dim$, etc. und auch bei Bezeichnungen wie $\Hom$, $\End$, $\Aut$, $\Gal$, $\ggT$, etc. \begin{align*} \det f&=\Lambda^n(f) \\ %% \span ist in AMS-LaTeX anscheinend nicht dokumentiert. %% Funktioniert aber. \span\ker f=\bmidb{u\in V}{f(u)=0} \\ \dim (V\otimes W)&=\dim V\cdot \dim W \\ \End(V)&=\Hom(V,V) \\ \Gal(L/k)&=\Aut_k(L) \\ \ggT(12,18)&=6 \end{align*} \texttt{\bs det} und \texttt{\bs ker} sind schon vordefiniert, ansonsten benutzt man \begin{center} \medskip \texttt{\bs DeclareMathOperator\{\bs Hom\}\{Hom\}} \medskip \end{center} zur Definition eines Makros. F\"ur Beispiele siehe \texttt{diplom.tex}. Mit \texttt{\bs DeclareMathOperator} bekommt man den richtigen Font (normalerweise nicht-kursiv) und die richtigen Abst\"ande: \begin{align*} &Hom(L/k) \\ &\Homit(L/k) \\ &\Hom(L/k) \end{align*} Hier wurde im ersten Fall einfach \texttt{\$Hom(L/k)\$} geschrieben, was von {\TeX} als $H\cdot o\cdot m (L/k)$ interpretiert wird; daher stimmen die Abst\"ande nicht. Die beiden anderen F\"alle wurden mit \texttt{\bs DeclareMathOperator} gesetzt. Vorsicht: \begin{align*} %% \delta&=g\otimes id - id\otimes g %% \\ %% \delta&=g\otimes \mathit{id} - \mathit{id}\otimes g %% \\ \delta&=g\otimes \idop - \idop\otimes g %% \\ %% \delta&=g\otimes {\idop} - {\idop}\otimes g \\ \delta&=g\otimes \id - \id\otimes g \end{align*} Hier ist im ersten Fall \texttt{id} mit \texttt{\bs DeclareMathOperator} gesetzt und man bekommt falsche Abst\"ande. Im zweiten Fall sind die Abst\"ande richtig. Das bekommt man mit \texttt{\{\bs id\}} oder mit \texttt{\bs mathrm\{id\}} (und so ist \texttt{\bs id} auch in \texttt{diplom.tex} definiert). %%% Literaturliste: %% Definition des Titels \renewcommand{\refname}{Literatur} %% Literatur sucht man am besten zuerst auf %% . \begin{thebibliography}{1} \bibitem{MR990644} H.~Coxeter, \emph{Introduction to geometry}, Wiley Classics Library, John Wiley \& Sons Inc., New York, 1989, Reprint of the 1969 edition. \bibitem{MR705633} H.~S.~M. Coxeter and S.~L. Greitzer, \emph{Zeitlose {G}eometrie}, Klett Studienb\"ucher Mathematik. [Klett Textbooks in Mathematics], Ernst Klett Verlag, Stuttgart, 1983, A translation of {\it Geometry revisited}, Translated from the English by Rolf M\"uller, Herbert Rauck and Hartmut Wellstein. \bibitem{Rost/chain-lemma} M.~Rost, \emph{Chain lemma for splitting fields of symbols}, Preprint, 1998. \end{thebibliography} %%% Man kann auch bibtex benutzen, siehe diplom.bib. %% \bibliography{diplom} %% \bibliographystyle{amsplain} %%% Falls man die Eigenstaendigkeitserklaerung auf eine extra Seite %%% stellen will: %% \clearpage %% \thispagestyle{empty} %% \null \vfill \parindent=0pt Ich versichere hiermit, die vorliegende Arbeit selbst\"andig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet zu haben. \bigskip \bigskip Nomen Nominandum \bigskip \bigskip Bielefeld, 4. September 2007 \end{document}