Seminar im SS 2004:

Die stabile Homotopie-Kategorie

Vortragseinteilung: Erste Häppchen

Texte:
[F1]   Peter Freyd: Stable Homotopy. In: Proceedings Conf. Cat. Algebra, La Jolla 1965. Springer 1966. p. 121-172.
[F2]  Peter Freyd: Stable Homotopy II. In: Proceedings Symp. Pure Math XVII, Amer. Math. Soc. 1970. p. 161-183
[F3]  Peter Freyd: Representations in Abelian Categories. In: Proceedings Conf. Cat. Algebra, La Jolla 1965. Springer 1966. p. 95-120.
[F4]  Peter Freyd: Splitting Homotopy Idempotents. In: Proceedings Conf. Cat. Algebra, La Jolla 1965. Springer 1966. p. 173-176.
[F]  Peter Freyd: Abelian Categories
[B1]  Hans-Joachim Baues: The Homotopy Category of Simply Connected 4-Manifolds. London Mathematical Society Lecture Note Series. 2003

Wir beginnen mit der gemeinsamen Lektüre der Arbeit [F1] und der dafür benötigten Grundbegriffe. Erwartet wird von jedem Teilnehmer, dass die Abschnitte 1 - 5 von [F1] durchgearbeitet worden sind (insbesondere: p.121-122 Mitte, p.123-124, p.127 unten - p.128 Mitte, p.133-138 Mitte). Alle unklaren Sachverhalte sollen notiert werden, damit sie im Seminar besprochen werden. Die Sätze 1.1 (Freudenthal) und 1.3 (Serre) werden in der Vorlesung Topologie III behandelt.

Als erstes wenden wir uns dem Theorem 3.1 in [F1] zu, also der Einbettung einer additiven Kategorie mit schwachen Kernen usw. in eine Frobeniuskategorie: Zu jeder additiven Kategorie mit schwachen Kernen und ... gibt es eine Frobenius-Kategorie mit ....

Kategorielle Grundbegriffe

  1. Additive Kategorie (à la Freyd [F])
  2. Kern, Kokern
  3. Abelsche Kategorie
  4. projektives Objekt
  5. injektives Objekt
  6. projektive Auflösungen, injektive Koauflösungen
  7. Frobenius-Kategorie
  8. schwacher Kern, schwacher Kokern.

A

  1. 3.1.1
  2. 3.1.2
  3. Mono-Epi-Faktorisierung. (p. 129 oben)
  4. 3.1.3
  5. 3.1.4
  6. Jeder Mono ist Kern. (p.130 Mitte)
  7. Existenz direkter Summen (p.130 unten)
  8. 3.1.5
  9. S → F ist volle Einbettung, jedes Objekt in F besitzt eine S-Auflösung und eine S-Ko-Auflösung. (p. 131 Mitte)
  10. Definition und Eindeutigkeit der Funktoren R, M, L. (p.131 unten)

  11. Satz 5.3 (zusammen mit [F4]) (zur Hälfte)
  12. Satz 5.3 (zusammen mit [F4]) (ebenso)

  13. [F3], p.104, erster Absatz: In jeder Frobenius-Kategorie ist die volle Unterkategorie aller projektiven Objekte eine additive Kategorie mit schwachen Kernen,...

B

Als zweites soll gezeigt werden: Die Kategorie S besizt schwache Kerne .... Herausgearbeitet soll werden: die Bedeutung des Abbildungskegels.
  1. f:X → Y ist genau dann null-homotop, wenn f durch X → Cone X faktorisiert. (p.122)
  2. Cone(f) ist schwacher Kokern von f in H. (p.122)
  3. Puppe: Cone(f') ist isomorph zu SX (p.122)
  4. Puppe: Cone(f") ist isomorph zu SY (p.122)
  5. Puppe: Cone(f"') ist isomorph zu S Cone(f) (p.122)
  6. Die Konstruktion von S und Prop. 2.1
  7. 2.2 Erste Hälfte: Y → Cone(f) ist schwacher Kokern von f:X → Y in S
  8. 2.2 Zweite Hälfte: f:X → Y ist schwacher Kern von Y → Cone(f) in S.
  9. Prop. 2.3
  10. S hat direkte Summen (p.127)
  11. Die Addition von S, sie ist kommutativ (p.127)

C

Die weiteren Abschnitte von Freyd: Stable Homotopy Theory
Bei Angela Holtmann (V5-223) liegt eine Liste aus, in der die Themenverteilung festgehalten wird. Interessenten tragen sich bitte dort ein - zur Zeit ist also zu wählen:
  • einer der kategoriellen Grundbegriffe (soweit noch nicht alle vergeben sind).
  • jeweils ein Vortrag A 1-10,
        auf Wunsch zusätzlich einer der Vorträge A 11-13,
  • ein Vortrag B.
Später dann:
  • ein Vortrag C,
  • vielleicht auch noch ein Vortrag D
Ringel
Last modified: Sun May 16 14:34:34 CEST 2004