Seminar: Literatur

Seminar: Vortragseinteilung

A. Elementare Geometrie

Erste Konstruktion. Wir identifizieren den R4 mit dem C2; die Koordinaten im R4 bezeichnen wir mit x,y,z,w; die von C2 mit a,b.
Sei S3 = {(a,b) in C2 mit |a|2+|b|2 = 1}.
Wir bezeichnen mit h:S3 → S2 = PC1 die Abbildung, die (a,b) auf a/b abbildet. Wir nennen h die Hopf-Faserung der S3.
  1. Erläuterung von S2 = PC1.
    Die stereographische Projektion s: S2-{Nordpol} → R2.
    S2 ist die Einpunkt-Kompaktifizierung des R2.
    Satz: Kreise auf der 2-Sphäre entsprechen unter s Kreisen und Geraden in der Ebene. (siehe z.B. Knopp: Elemente der Funktionentheorie).
  2. Verallgemeinerung: Die stereographische Projektion Sn-{Nordpol} → Rn, insbesondere n = 3.
  3. h ist eine Faserung mit Kreisen als Fasern (siehe Bauer, oder auch tom Dieck)
    Und zwar handelt es sich um Großkreise auf der S3 (also um Kreise, die mit x auch den Antipodenpunkt -x enthalten).
  4. Sei C = {a in C mit |a| = 1} (= S1), dies ist eine Gruppe bezüglich der komplexen Multiplikation.
    C operiert auf C2 (als Skalarmultiplikation), dabei geht S3 in sich über;
    Die Bahnen unter dieser Operation von C auf S3 sind Kreise, und dies sind gerade die Fasern von h.
  5. C×C operiert auf S3 (und zwar komponentenweise: (c,c')(a,b) = (ca,c'b)); die Bahnen sind zwei Kreise, ansonsten Tori ("Clifford-Tori")
    Diese Tori sind von der Form Tr = {(a,b) mit |a|2 = r und |b|2 = 1-r} mit einer reellen Zahl 0 < r < 1
  6. Betrachte einen solchen Torus Tr. Darauf operiere C diagonal (also einfach als Skalarmultiplikation). Zeige: Die Bahnen sind (1,1)-Torus-Knoten
    Ausblick: (m,n)-Torus-Knoten, siehe Massey, S. 105.
  7. Je zwei dieser Fasern der Hopf-Faserung haben Verschlingungszahl 1.
    (siehe u.a. Fulton, S. 342)
  8. S3 als Gruppe. (Thurston, S. 104-108)

Zweite Konstruktion: Die Whitehead-Abbildung w2,2: S3 → S2vS2.

B. Homotopie-Theorie

  1. tom Dieck: 1.Teil
  2. tom Dieck: 2.Teil
  3. Hilton: Die Hopf-Invariante (S. 69 - S. 70 Mitte)
  4. Hilton: Lemma 1.1, 1.2
  5. Hilton: Theorem 1.3.
  6. Hilton: Theorem 1.6. Die Whitehead-Abbildung wn,n (zusammen mit der Faltung) liefert eine Abbildung f:S2n-1 → Sn mit |γ(f)| = 2.
  7. Hilton: Theorem 1.5, Korollar 1.7: γ ist ein Gruppen-Homomorphismus π2n-1(Sn) → Z. (Und Korollar 1.7: Da es ein Element mit nicht-trivialer Hopf-Invariante in π4n-1(S2n) gibt, besitzt π4n-1(S2n) eine unendliche zyklische Untergruppe).

C. Kohomologie-Theorie

  1. Vorbemerkung: Die Hopf-Faserungen sind algebraisch trivial: die induzierten Abbildungen in Homologie (und in Kohomologie) sind trivial (Hu 67, Beweis: Theorem 6.2, S. 68).
Hilton (K-Theory) gibt folgende Definition der Hopf-Invariante einer stetigen Abbildung α : S2n-1 → Sn:
Form the sequences of spaces
S2n-1 → Sn → Cα → ΣS2n-1
(die erste Abbildung ist α und Cα ist ihr Abbildungskegel)
and consider the long exact sequence induced by it in ordinary cohomology.
The sequence of cohomology groups shows that H*(Cα;Z) has one generator ρ in dimension n and one generator σ in dimension 2n.
Then ρ2 = γσ; the integer γ is called the Hopf invariant of the map α.
Plainly, γ is a homotopy invariant.

Ziel von Teil C des Seminars ist es, die einzelnen Schritte der Definition nachzuvollziehen. Wir folgen dabei Massey, S. 403-404, oder dem etwas ausführlicheren Text in Ossa, S. 262-265.

  1. Lemma 6.6.12: Homotope Abbildungen haben isomorphe Abbildungskegel
  2. Lemma 6.6.13: Meyer-Vietoris liefert die gesuchte exakte Folge
  3. Anwendung auf eine Abbildung Sm → Sn mit m > n > 0 (S. 264, bis einschließlich Definition 6.6.14)
  4. Nachtrag: Überblick über das Cup-Produkt.
  5. Satz 6.6.15. Insbesondere die Hopf-Faserung h: S3 → S2; dazu wird gebraucht: Es ist Ch = CP2, (siehe auch Ossa S. 263, l.-11 bis -7)
  6. Satz 6.6.17, oder besser: Massey, S. 404
  7. Sei f:S2n-1 → S2n-1, g:S2n-1 → Sn, h:Sn → Sn. Dann ist γ(gf) = γ(g)deg(f) und γ(hg) = (deg(h))2γ(g),
    siehe Hilton-Wylie 9.5.9 (S. 383)

Ausblicke


Ringel
Last modified: Tue Nov 4 11:07:15 CET 2003