Seminar: Literatur
Seminar: Vortragseinteilung
A. Elementare Geometrie
Erste Konstruktion.
Wir identifizieren den R4 mit dem C2;
die Koordinaten im R4 bezeichnen wir mit x,y,z,w; die von
C2 mit a,b.
Sei S3 = {(a,b) in C2 mit
|a|2+|b|2 = 1}.
Wir bezeichnen mit h:S3 → S2 = PC1
die Abbildung, die (a,b) auf a/b abbildet. Wir nennen h die Hopf-Faserung
der S3.
- Erläuterung von S2 = PC1.
Die stereographische Projektion s: S2-{Nordpol} → R2.
S2 ist die Einpunkt-Kompaktifizierung
des R2.
Satz: Kreise auf der 2-Sphäre entsprechen unter s Kreisen und Geraden in der Ebene.
(siehe z.B. Knopp: Elemente der Funktionentheorie).
- Verallgemeinerung:
Die stereographische Projektion Sn-{Nordpol} → Rn,
insbesondere n = 3.
- h ist eine Faserung mit Kreisen als Fasern (siehe Bauer, oder auch tom Dieck)
Und zwar handelt es sich um Großkreise auf der S3
(also um Kreise, die mit x auch den Antipodenpunkt -x enthalten).
- Sei C = {a in C mit |a| = 1} (= S1),
dies ist eine Gruppe bezüglich der komplexen Multiplikation.
C operiert auf C2 (als Skalarmultiplikation), dabei geht
S3 in sich über;
Die Bahnen unter dieser Operation von C auf S3 sind Kreise, und dies
sind gerade die Fasern von h.
-
C×C operiert auf S3 (und zwar komponentenweise:
(c,c')(a,b) = (ca,c'b)); die Bahnen sind
zwei Kreise, ansonsten Tori ("Clifford-Tori")
Diese Tori sind von der Form Tr = {(a,b)
mit |a|2 = r und
|b|2 = 1-r} mit einer reellen Zahl 0 < r < 1
- Betrachte einen solchen Torus Tr. Darauf operiere C diagonal (also
einfach als Skalarmultiplikation). Zeige: Die Bahnen sind (1,1)-Torus-Knoten
Ausblick: (m,n)-Torus-Knoten, siehe Massey, S. 105.
- Je zwei dieser Fasern der Hopf-Faserung haben Verschlingungszahl 1.
(siehe u.a. Fulton, S. 342)
- S3 als Gruppe. (Thurston, S. 104-108)
- Die Quaternionen der Norm 1 bilden eine Untergruppe
in der multiplikativen Gruppe aller Quaternionen; dies ist
gerade die 3-Sphäre.
- SU(2) (=unitäre Transformationen des
C2 mit Determinante 1) operiert einfach transitiv auf S3 (nachrechnen).
(analog: SO(2) operiert einfach transitiv auf S1)
Zweite Konstruktion: Die Whitehead-Abbildung
w2,2: S3 → S2vS2.
- Der 4-dimensionale Würfel (projiziert in den R3).
- Die Whitehead-Abbildung wm,n:Sm+n-1→
SmvSn
(Ossa, S. 264 unten)
Insbesondere die Fälle (m,n) = (1,1), (2,1), (2,2).
- Sei f die Hintereinanderschaltung von w2,2 mit der "Faltungsabbildung"
S2vS2 → S2 (sie ist auf jeder Kopie von
S2 die Identität).
Bestimme die Fasern von f.
Und bestimme die Verschlingungszahl zweier Fasern f-1(p) und
f-1(p'), dabei seien p und p' verschiedene Punkte von S2,
die auch vom Basispunkt verschieden sind.
- Jede stetige Abbildung Sn× Sn →
Sn besitzt eine Fortsetzung S2n+1 →
Sn+1.
Allgemeiner: Jede stetige Abbildung X × Y → Z
liefert
eine Abbildung X*Y → SZ (siehe Whitehead, S. 502).
B. Homotopie-Theorie
- Für die Hopf-Faserungen (insbesondere n = 2) nach tom Dieck
(2. Auflage: III. 1.13 und 1.15-17; 1. Auflage: II. 13.4. und
13.7-8.)
Zu zeigen ist:
Die Hopf-Faserungen als kanonische Abbildungen S2n+1
→ PCn.
Sie sind lokal trivial,
also Serre-Faserungen.
Also wenden wir die lange exakte Sequenz für eine Serre-Faserung an.
- sonst nach Hilton: Homotopy Theory,
Chapter VI, Abschnitt 1, S. 69-74.
(verwiesen wird zusätzlich auf Lefschetz: Introduction to Topology und auf Seifert-Threlfall § 77, Verschlingungszahl).
- tom Dieck: 1.Teil
- tom Dieck: 2.Teil
- Hilton: Die Hopf-Invariante (S. 69 - S. 70 Mitte)
- Hilton: Lemma 1.1, 1.2
- Hilton: Theorem 1.3.
- Hilton: Theorem 1.6. Die Whitehead-Abbildung wn,n (zusammen mit der
Faltung) liefert eine
Abbildung f:S2n-1 → Sn mit |γ(f)| = 2.
- Hilton: Theorem 1.5, Korollar 1.7: γ ist ein Gruppen-Homomorphismus
π2n-1(Sn) → Z. (Und Korollar 1.7: Da es
ein Element mit nicht-trivialer Hopf-Invariante in
π4n-1(S2n) gibt, besitzt
π4n-1(S2n) eine unendliche zyklische Untergruppe).
C. Kohomologie-Theorie
- Vorbemerkung: Die Hopf-Faserungen sind algebraisch trivial: die
induzierten Abbildungen in Homologie (und in Kohomologie) sind
trivial (Hu 67, Beweis: Theorem 6.2, S. 68).
Hilton (K-Theory) gibt folgende Definition der Hopf-Invariante einer
stetigen Abbildung α : S2n-1 → Sn:
Form the sequences of spaces
S2n-1 → Sn → Cα →
ΣS2n-1
|
(die erste Abbildung ist α und Cα ist ihr Abbildungskegel)
|
and consider the long exact sequence
induced by it in ordinary cohomology.
The sequence of cohomology groups
shows that H*(Cα;Z) has one generator ρ in dimension
n and one generator σ in dimension 2n.
Then ρ2 = γσ;
the integer γ is called the Hopf invariant of the map α.
Plainly,
γ is a homotopy invariant.
|
Ziel von Teil C des Seminars ist es, die einzelnen Schritte der Definition
nachzuvollziehen. Wir folgen dabei Massey, S. 403-404, oder
dem etwas ausführlicheren Text in Ossa, S. 262-265.
Von allen ist vorzubereiten:
- Die Definition des Abbildungskegels. (Ossa, Definition 6.6.11)
- Lemma 6.6.12: Homotope Abbildungen haben isomorphe Abbildungskegel
- Lemma 6.6.13: Meyer-Vietoris liefert die gesuchte exakte Folge
- Anwendung auf eine Abbildung Sm → Sn mit m >
n > 0 (S. 264,
bis einschließlich Definition 6.6.14)
- Nachtrag: Überblick über das Cup-Produkt.
- Satz 6.6.15. Insbesondere die Hopf-Faserung h: S3 → S2;
dazu wird gebraucht: Es ist Ch = CP2,
(siehe auch Ossa S. 263, l.-11 bis -7)
- Satz 6.6.17, oder besser: Massey, S. 404
- Sei f:S2n-1 → S2n-1,
g:S2n-1 → Sn, h:Sn → Sn.
Dann ist γ(gf) = γ(g)deg(f) und
γ(hg) = (deg(h))2γ(g),
siehe Hilton-Wylie 9.5.9 (S. 383)
Ausblicke
- Die Quaternionen und die Oktaven (siehe z.B.: Ebbinghaus u.a.: Zahlen).
Vor allem: Jede reelle Divisionsalgebra
hat Dimension 1,2,4,oder 8.
- Knoten
- Homotopiegruppen von Sphären
Welche Homotopiegruppen sind endlich?
Einhängung und Stabilität.
- Vektorfelder auf Sphären
- K-Theorie (siehe zum Beispiel: Hilton, K-Theorie)
(auch: Ist 2m ein Teiler von 3m-1, so ist m = 1,2,4 oder 8.)
- Steenrod-Operationen
Ringel
Last modified: Tue Nov 4 11:07:15 CET 2003