Uniforme Polyeder

Definition

• a finite number of regular faces
  (such regular faces may be non-convex polygons: the non-convex regular polygons are called star polygons, such as the pentagram; a star n-gon is obtained by connecting every dth vertex of an ordinary n-gon, usually such a star n-gon is denoted by n/d)
• with congruent vertices (d.h.: die Symmetriegruppe operiert transitiv auf der Menge der Ecken);
• only two faces are allowed to meet at a polyhedron edge.

If we drop the assumption that only two faces meet at an edge, there are for example two polyhedra in which four faces meet at an edge, the great complex icosidodecahedron and small complex icosidodecahedron (both of which are compounds of two uniform polyhedra), see mathworld; Das Kuboktaeder zusammen mit den vier Sechsecken liefert ein Polyeder, bei dem jede Kante Randkante von drei Flächen ist - und es gibt viele weitere derartige Beispiele.

• Zusätzlich soll vorausgesetzt werden, dass die Fläche zusammenhängend ist.
  In case the surface is not connected, one deals with Uniform Compounds of Uniform Polyhedra, das einfachste Beispiel sind zwei sich durchdringende Tetraeder - Kepler's "Stella octangula": siehe das linke Bild; rechts ein Verbund von 5 Tetraedern:

Note that a uniform polyeder does not have to be convex (as we have mentioned, the regular faces may be non-convex polygons; also, we can arrange the faces around a vertex in a non-convex way...

Klassifikation

Jeweils von einander abgeteilt sind:

• 4 Körper mit tetraedraler Symmetrie-Gruppe,
• 17 Körper mit oktaedraler Symmetrie-Gruppe,
• 54 Körper mit ikosaedraler Symmetrie-Gruppe
• (und die letzten 5 mit diedraler Symmetrie-Gruppe).

There is one uniform polyhedron that cannot be constructed with Wythoff's method (it is the only one with more than six faces around a vertex - it has 8 of them!): the Great Dirhombicosidodecahedron. The Great Dirhombicosidodecahedron consists of 40 equilateral triangles, 24 regular pentagrams, and 60 squares. It has the largest number of faces (124) and edges (240) of all uniform polyhedra. The squares come in 20 coplanar pairs, that is, two squares each lie in the same plane, rotated against each other.

Eigenschaften

• The vertices of a uniform polyhedron all lie on a sphere (its center is called the geometric centroid).
• The vertices joined to a fixed vertex lie on a circle.

Spezielle Klassen

• Platonische Körper: convex regular polyhedra (each one has identical regular faces, and congruent vertices).
  Es gibt genau 5 platonische Körper: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder.
  (Dualität liefert wieder platonische Körper)
• Archimedische Körper: Convex uniform polyhedra, excluding the Platonic solids as well as prisms and antiprisms.
  Each one has regular faces, but not all the same, and all the vertices are congruent.
  Es gibt genau 13 archimedische Körper.
  (Dualität liefert die Catalan-Körper)
• Kepler-Poinsot Körper: The Kepler-Poinsot solids are the non-convex regular polyhedra. Each one has identical regular faces, and identical regular vertex figures.
  Es gibt genau 4 Kepler-Poinsot Körper: das große Dodekaeder, das große Ikosaeder, das kleine und das große Stern-Dodekaeder.
  Die beiden Stern-Dodekader wurden 1619 erstmals von Johannes Kepler beschrieben (wobei das erste bereits im 15. Jahr. auf einem Mosaik von Uccello auftaucht), die anderen beiden 1809 von Louis Poinsot. Jedoch findet sich schon 1568 in dem Buch Perspectivia Corporum Regularium von Wenzel Jamnitzer eine Abbildung des Großen Dodekaeders. Cauchy bewies dann 1810, dass es keine weiteren regulären Polyeder geben kann.
  (Dualität liefert wieder Kepler-Poinsot Körper)

Geschichte

• In der Arbeit: Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; and Miller, J. C. P. Uniform Polyhedra. (Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 246, 401-450, 1954) wurde die Vermutung formuliert, dass es genau 75 solche Körper gibt.
• Bewiesen wurde dies 1975 von J. Skilling: Uniform polyhedra. Phil. Trans. Royal Soc. London, Ser. A, 278:111-135, 1975.
• Siehe auch Zvi Har'El: Uniform solution for uniform polyhedra. Geometriae Dedicata, 47, 1993.

Links: Systematisch

• Mathworld
  Liste der 80 Körper, mit Wythoff-Symbol und dualem Körper, jeweils eine Abbildung; per Link erhält man Einzelinformation.
• MathConsult (Mäder)
  One page for each polyhedron with a high-resolution image and geometrical information (von dort stammt obige Abbildung)
• Kaleidoscopic Construction of Uniform Polyhedra (Zvi Har’El)
  Ebenfalls mit Bildern aller uniformer Polyeder.
• Virtual polyhedra (Hart)
• Conway Notation for Polyhedra
• Platonic and Archimedean Polyhedra
• Papier-Modelle     Jim Plank's Origami Page
• Stella
  (Polyhedron Navigator: Software for viewing polyhedra and printing nets for their physical construction.)

Links: Historische Materialien

• Mathematisches Cafe (Hebisch): Hier finden sich insbesondere Illustration aus:
  • Geometria et Perspectiva (1567) von Lorenz Stöer
  • Perspectiva Corporum Regularium (1568) von Wentzel Jamnitzer
• Platonische Körper in der Kunst (Rockstroh)
• Mathematik und Kunst (Greifswald)
• Bruckner's 1906 polyhedra (Über die gleichecking-gleichflächigen, diskontinuierlichen und nichtkonvexen Polyheder. von Prof. Dr. Max Bruckner, Oberlehrer am Gymnasium zu Bautzen. Halle. 1906.
• Magnus J. Wenninger (sein Buch Polyhedron Models gilt als Standard-Werk).
• Polyhedra and Art (part of Hart's "Virtual Polyhedra")

Beispiele im Rahmen der Topologie-Vorlesung

• Das Heptaeder (oder "Tetrahemihexaeder" = Nr.04).
  Es handelt sich um die reelle projektive Ebene N₁.
  (siehe Übungausgabe I.7.2).
• Das große Dodekaeder (Nr. 35).
  Es handelt sich um die Fläche F₄
  (siehe Übungausgabe II.5.1).
• Das Oktahemioktaeder (= Nr.03).
  Es handelt sich um F₁, also den Torus
  (siehe Übungausgabe II.6.1).
• Das Cubohemioktaeder (= Nr.15).
  Es handelt sich um N₄
  (siehe Übungausgabe II.7.1).

Euler-Charakteristik

• für orientierbare Flächen:

  Euler-Charakteristik	Nr bei MathConsult
  2	1,2,5,.. (31 Fälle)
  0	3
  -4	13 ,14,16
  -6	34 ,35,... (10 Fälle)
  -8	30 ,31,... (6 Fälle)
  -16	33 ,41,... (8 Fälle)
  -56	75

• für nicht-orientierbare Flächen:

  Euler-Charakteristik	Nr bei MathConsult
  1	4
  -2	15
  -4	48 ,71
  -6	18 ,21
  -8	62 ,66
  -10	55
  -12	50 ,70
  -18	39 ,73
  -28	49 ,63