Topologie I: Leitfaden 7

7. Der Satz von Seifert - Van Kampen

Der folgende Satz stammt von Seifert (1931) und Van Kampen (1933).

Satz. Sei X ein topologischer Raum, seien U,U' offene Teilmengen, die X überdecken, und es seien U, U' und U" = U ∩ U' nicht leer und weg-zusammenhängend. Bezeichnet man die Inklusionsabbildungen mit i: U" → U, i': U" → U', j: U → X und j': U' → X und wählt man x₀ ∈ U", so ist das Diagramm

ein Pushout in der Kategorie der Gruppen.

Das heißt:

Das Diagramm ist kommutativ - das gilt offensichtlich, denn ji = j'i', also j_*i_* = (ji)_* = (j'i')_* = j'_*i'_*.
Das Bild von j_* und j'_* erzeugt π₁(X,x₀) als Gruppe.
Sind Gruppen-Homomorphismen α: π₁(U,x₀) → Q und β: π₁(U',x₀) → Q mit αi_* = βi'_* gegeben, so gibt es einen Gruppen-Homomorphismus q: π₁(X,x₀) → Q mit qj_* = α und qj'_* = β.

Statt der zweiten Bedingung wird meist die dritte folgendermaßen verschärft: man verlangt, dass die gesuchte Abbildung q eindeutig ist; man kann sich leicht überlegen, dass die Eindeutigkeit aus der Bedingung 2. folgt, und dass umgekehrt die Eindeutigkeit der Abbildung q in 3. die Bedingung 2. impliziert.

Beweis von 2.: Zu zeigen ist:

Jede Schleife in X lässt sich bis auf punktierte Homotopie als Produkt von Schleifen schreiben, die jeweils ganz in U oder in U' liegen.

Gegeben sei also ω: I → X mit ω(0) = x₀ = ω(1). Betrachte die offene Überdeckung von X durch ω^-1(U) und ω^-1(U') und dazu eine Lebesgue-Zahl δ. Ist k eine natürliche Zahl > 1/δ, so liegt jedes Intervall der Form [(i-1)/k,i/k] ganz in ω^-1(U) oder ganz in ω^-1(U').

Setze x_i = ω(i/k). Wähle einen Weg τ_i von x₀ zu diesem Punkt x_i, und zwar den konstanten Weg für i= 0 und i = k, ansonsten:

einen beliebigen Weg in U ∩ U', falls x_i ∈ U ∩ U';
einen beliebigen Weg in U, falls x_i ∉ U';
einen beliebigen Weg in U', falls x_i ∉ U.

Setze ω_i = τ_i-1(ω|_{[(i-1)/k,i/k]})τ_i^-. Dies ist eine Schleife, die ganz in U oder ganz in U' enthalten ist, und das Produkt ω₁...ω_k ist punktiert homotop zu ω.

Folgerung aus 2.: Ist π₁(U,x₀) = {1} = π₁(U',x₀), so auch π₁(X,x₀) = {1}.

Anwendung: Ist n > 1, so kann man die Sⁿ durch zwei offene, zusammenziehbare Teilräume überdecken, so dass der Durchschnitt weg-zusammenhängend ist. Also ist π₁(Sⁿ,x₀) = {1} für n > 1.

Beweis von 3.: Seien Gruppen-Homomorphismen α: π₁(U,x₀) → Q und β: π₁(U',x₀) → Q mit αi_* = βi'_* gegeben. Diese Bedingung besagt also: Ist ω eine Schleife in X, deren Bild in U ∩ U' liegt, so ist α([ω]_U) = β([ω]_U'). (Dabei haben wir den jeweiligen Index hinzugefügt, um zu betonen, dass die Bildung der Homotopieklasse einmal in U und einmal in U' erfolgt.)

Ist ω eine Schleife in X, deren Bild ganz in U oder ganz in U' liegt, so schreiben wir

γ(ω) = α([ω]_U), falls das Bild von ω ganz in U liegt, und
γ(ω) = β([ω]_U'), falls das Bild von ω ganz in U' liegt.

Nach der vorausgesetzten Bedingung ist dies ein wohldefiniertes Element von Q.

Wir zeigen nun:
Behauptung A. Sind Schleifen ω_i mit 1 ≤ i ≤ n gegeben, wobei jedes der Bilder ganz in U oder ganz in U' liegt, und ist ω₁...ω_n nullhomotop, so gilt γ(ω₁)...γ(ω_n) = 1 ∈ Q.

Sei also H: I×I → X eine Wege-Homotopie zwischen ω₁...ω_n und dem konstanten Weg ε.

Zur offenen Überdeckung {H^-1(U), H^-1(U')} von I×I gibt es eine Lebesgue-Zahl δ, also gibt es eine natürliche Zahl k, so dass die Quadratzerlegung von I×I in k×k gleichgroße Quadrate die Eigenschaft hat: jedes kleine Quadrat liegt ganz in H^-1(U) oder ganz in H^-1(U'). Wir können zusätzlich voraussetzen, dass k ein Vielfaches von n ist.

Betrachte nun die Punkte x_ij = H(i/k,j/k) mit 0 ≤i ≤ k und 1 ≤ j ≤ k. Wir wählen jeweils einen Weg τ_ij von x₀ zu diesem Punkt, und zwar den konstanten Weg, falls x₀ = x_ij; ansonsten:

einen beliebigen Weg in U ∩ U', falls x_ij ∈ U ∩ U';
einen beliebigen Weg in U, falls x_ij ∉ U';
einen beliebigen Weg in U', falls x_ij ∉ U.

Setze

f_ij = H|_{[(i-1)/k,i/k]×{j/k}},
g_ij = H|_{{i/k}×[(j-1)/k,j/k]}.

Dies sind Wege.

Bilde

f_ij^o = τ_i-1,j f_ij τ_i,j^-
g_ij^o = τ_i,j g_ij^- τ_i,j^-

Dies sind Schleifen(!), und zwar verlaufen sie ganz innerhalb von U oder ganz innerhalb von U'.

Wir können also γ(f_ij^o) und γ(g_ij^o) bilden und erhalten Elemente in Q.

Behauptung B: Es gilt

γ(f_i,j-1^o)γ(g_ij^o) = γ(g_i-1,j^o)γ(f_ij^o).

Beweis: Wir können annehmen, das das Quadrat mit den Ecken ((i-1)/k,(j-1)/k), (i/k,(j-1)/k), ((i-1)/k,j/k), (i/k,j/k) ganz in H^-1(U) liegt. (Ansonsten liegt es ganz in H^-1(U'), und der Beweis ist analog.) Insbesondere liegen die Ecken in H^-1(U) und demnach auch die τ-Wege zu den Ecken. Wir sehen also, dass die Schleifen f_i,j-1^o, f_ij^o, g_i-1,j^o und g_ij^o alle in U liegen. Die Produkte der Schleifen f_i,j-1^og_ij^o und g_i-1,j^of_ij^o sind homotop in U, wie die Einschränkung von H auf dieses Quadrat zeigt. Also ist γ(f_i,j-1^o) γ(g_ij^o) = γ(g_i-1,j^o) γ(f_ij^o). Damit ist die Behauptung B bewiesen.

Geeignete dieser Elemente sollen nun multipliziert werden, und zwar entlang von "Treppenwegen" von (0,0) nach (1,1), wobei wir sukzessive γ(f_i,j-1^o) γ(g_ij^o) durch γ(g_i-1,j^o) γ(f_ij^o). ersetzen:

Dies zeigt die Behauptung A: Denn in Q gilt:
γ(ω₁)...γ(ω_n)
= γ(f_1,0^o)... γ(f_k,0^o)
= γ(f_1,0^o)... γ(f_k,0^o) γ(g_k,1^o)... γ(g_k,k^o)
- hier haben wir noch konstante Schleifen (oder besser, deren Bilder unter γ) hinzugefügt. Nach den k×k Ersetzungen ergibt sich
γ(g_0,1^o)... γ(g_0,k^o) γ(f_1,k^o)... γ(f_k,k^o), und hier sind alle Faktoren gleich 1, denn alle auftretenden Schleifen sind konstant!

Es bleibt zu zeigen, dass aus der Behauptung A die Existenz der gesuchten Abbildung q folgt. Wegen 2. können wir jedes Element g ∈ π₁(X,x₀) in der Form g = g₁...g_n schreiben, wobei jedes Element g_i im Bild von j_* oder von j'_* liegt, also g_i = j_*([ω_i]_U) (für eine Schleife ω_i ∈ U) oder g_i = j'_*([ω_i]_U') (für eine Schleife ω_i ∈ U'). Setze q(g) = γ(ω₁)...γ(ω_n). Zu zeigen ist:

Dies ist wohldefiniert! (Hier brauchen wir gerade die Bedingung A.)
Dies ist ein Gruppen-Homomorphismus. (Dies ist offensichtlich.)
Es ist qj_* = α und qj'_* = β (ebenfalls offensichtlich).

Damit ist der Satz von Seifert-Van Kampen bewiesen.

Anwendung 1. Sei X die punktierte Summe von t 1-Sphären. Die Kommutator-Faktorgruppe der Fundamentalgruppe von X ist Z^t.
Genauer: X sei die punktierte Summe der 1-Sphären X₁,...,X_t, mit Basispunkt x₀. Die Fundamentalgruppe von jedem X_i ist Z, sagen wir mit erzeugendem Element c_i. (Als c_i kann man und wird man gerade die Homotopieklasse der identischen Abbildung X_i → X_i nehmen!) Betrachte nun die Fundamentalgruppe π₁(X,x₀) von X. Jedes Element g ∈ π₁(X,x₀) ist Produkt
g = g₁...g_n von Elementen g_j, wobei g_j die Homotopieklasse einer Schleife ist, die ganz in einer 1-Sphäre X_s(j) verläuft. Es ist also
g_j = c_s(j)^e(j) für eine natürliche Zahl e(j).
Sei nun z_i die Summe der Zahlen e(j) mit s(j) = i. Setze
φ(g) = (z₁,...,z_t); dies ist die gesuchte Abbildung φ: π₁(X,x₀) → Z^t.
(Ist g die Homotopieklasse der Schleife ω: S¹ → X, so betrachte man die Hintereinanderschaltung S¹ → X → X_i von ω mit der kanonischen Abbildung X → X_i, die die restlichen 1-Sphären zusammenschlägt. Die Zahl z_i ist gerade der Abbildungsgrad dieser Abbildung S¹ → X → X_i.)
(Die Abbildung φ werden wir im nächsten Abschnitt noch genauer analysieren: es handelt sich gerade um den "Hurewicz-Homomorphismus" für die punktierte Summe von t 1-Sphären.)

Beweis: Verwende induktiv den Satz von Seifert - Van Kampen. Allerdings muss man sich mit einem Trick eine offene Überdeckung von X verschaffen!
Nach Voraussetzung ist X die punktierte Summe der 1-Sphären X₁,...,X_t, sagen wir mit Basispunkt x₀. Es ist also jeweils X_i ein Unterraum von X, je zwei verschiedene dieser Unterräume X_i schneiden sich im Basispunkt, und X ist die Vereinigung dieser Unterräume X_i.
Der Unterraum U_i entstehe aus X_i, indem wir einen Punkt, der verschieden vom Basispunkt ist, entfernen. Wichtig ist, dass für jedes i gilt:

U_i ist offen in X_i.
Der Basispunkt ist Deformationsretrakt von U_i.

Wir betrachten folgende Unterräume von X:

Sei U = X₁ ∪ ... ∪ X_t-1 ∪ U_t
U' = U₁ ∪ ... ∪ U_t-1 ∪ X_t
also ist U" = U ∩ U' die Vereinigung aller U_i.

Offensichtlich gilt: U und U' sind offen in X; und die drei Räume U, U' und U" sind weg-zusammenhängend. Also können wir den Satz von Seifert - Van Kampen anwenden. Es gilt:

Der Basispunkt x₀ ist als Deformationsretrakt von U" zusammenziehbar, also ist π₁(U",x₀) trivial.
Y = X₁ ∪ ... ∪ X_t-1 ist Deformationsretrakt von U, also ist π₁(U,x₀) = π₁(Y,x₀), und nach Induktion ist die Kommutator-Faktorgruppe dieser Gruppe gleich Z^t-1.
X_t ist Deformationsretrakt von U', also ist π₁(U',x₀) = π₁(X_t,x₀) = Z.

Das Pushout-Diagramm, das wir durch Seifert - Van Kampen erhalten, zeigt, dass die Kommutator-Faktorgruppe von π₁(X,x₀) gerade das Produkt von Z^t-1 und Z, also gleich Z^t ist.

Als Zweites betrachten wir endlich-triangulierbare zusammenhängende geschlossene Flächen.

Beispiel: Die Fundamentalgruppe der reellen projektiven Ebene ist eine zyklische Gruppe der Ordnung 2.

₀

U, U' bilden eine offene Überdeckung von P.
U, U' und auch U ∩ U' sind weg-zusammenhängend.

Wir sehen:

U' ist eine offene Kreisscheibe, also zusammenziehbar, also ist π₁(U',x₀) = {1}.
U" = U ∩ U' ist ein offener Kreisring, also topologisch äquivalent zu S¹× ]0,1[ (oder eben zu S¹× ]1/2,3/2[). Demnach ist π₁(U",x₀) = Z.
U selbst hat die S¹ als Deformationsretrakt: Bette S¹ in U als oberen Halbkreis A mit Radius 2 ein. (Wegen der Identifikation von (2,0) und (-2,0) ist dies wirklich eine Schlinge in P.) Als Retraktion nimm die übliche Projektion einer gelochten Kreisscheibe auf ihren Rand (hier also die Abbildung, die x auf 2x/|x| abbildet). Demnach ist also U homotopie-äquivalent zur S¹, und daher ist auch die Fundamentalgruppe von U die additive Gruppe Z.
Zu bestimmen ist die Abbildung i_*. Es zeigt sich, dass dies gerade die Abbildung Z → Z ist, die durch die Multiplikation mit 2 gegeben ist: Denn sei ω die Einbettung des Einheitskreises in U". Dies ist ein erzeugendes Element von π₁(U",x₀). Wir betrachten nun die Homotopieklasse [ω]_U. Sei ω₁ "die erste Hälfte" von ω, also der obere Einheitshalbkreis, und ω₂ "die zweite Hälfte" von ω, also der untere Einheitshalbkreis. Sei u ein Weg von (2,0) nach (1,0) und v ein Weg von (-1,0) nach (-2,0). Dann ist ω₁vu eine Schleife, und sie erzeugt die Fundamentalgruppe von U. (Denn unter der Homotopie-Äquivalenz von U und A entspricht ω₁vu gerade einem erzeugenden Element der Fundamentalgruppe von A.) Entsprechend ist u^-v^-ω₂ eine Schleife, und zwar in der gleichen Homotopieklasse wie ω₁vu. Also ist
[ω]_U = [ω₁vu][u^-v^-ω₂] = [ω₁vu]².
Da die Abbildung i_*: Z → Z die Multiplikation mit 2 ist, ist ? (im Diagramm oben) die zyklische Gruppe Z/2Z = C₂ der Ordnung 2.
Bemerkung. Man sollte sich hier noch einmal klar machen, dass U gerade ein Möbiusband ist (siehe auch Übungsaufgabe 5.4.)
,
dass das Möbiusband homotopie-äquivalent zu seiner Mittellinie ist und dass der Rand des Möbiusbands homotop zur zweimal durchlaufenen Mittellinie ist.
Aufgabe. An allen Modellen der reellen projektiven Ebene (zum Beispiel der Boy'schen Fläche) suche man Schleifen η, die die Fundamentalgruppe erzeugen, und man verifiziere [η]² = 1.

Der Beweis lässt sich mühelos verallgemeinern und liefert:

Anwendung 2. Die Kommutator-Faktorgruppe der Fundamentalgruppe der Fläche F_g ist Z^2g.
Die Kommutator-Faktorgruppe der Fundamentalgruppe der Fläche N_g ist Z^g-1× C₂.

₀

Das Bild P/~ des Randes von P unter der Quotientenabbildung ist die punktierte Summe von t 1-Sphären.

Die offene Teilmenge U von P entstehe aus P durch Wegnahme der abgeschlossenen Kreisscheibe mit Radius 1/2. Es sei U' die offene Kreischeibe mit Radius 3/2. Also ist U ∩ U' der offene Kreisring, dessen Ränder die Kreise mit Radius 1/2 und 3/2 sind. Sei nun x₀ = (1,0).
Alle Voraussetzungen, um den Satz von Seifert-Van Kampen anzuwenden, sind wie oben erfüllt! Wieder gilt:

U' ist eine offene Kreisscheibe, also zusammenziehbar, also ist π₁(U',x₀) = {1}.
U" = U ∩ U' ist ein offener Kreisring, also topologisch äquivalent zu S¹× ]0,1[ (oder eben zu S¹× ]1/2,3/2[). Demnach ist π₁(U",x₀) = Z.
U selbst hat das Bild P/~ des Randes von P als Deformationsretrakt! Als Retraktion nimmt man die übliche Projektion einer gelochten Kreisscheibe auf ihren Rand (hier also die Abbildung, die x auf 2x/|x| abbildet). Demnach ist also U homotopie-äquivalent zu P/~, aber dies ist die punktierte Summe von t 1-Sphären. Daher ist die Kommutator-Faktorgruppe der Fundamentalgruppe von U die additive Gruppe Z^t.
Zu bestimmen ist wieder die Abbildung i_*. Statt i_* betrachten wir nun die Hintereinanderschaltung von i_* mit dem kanonischen Gruppen-Homomorphismus φ: π₁(U,x₀) → Z^t (der in der "Anwendung 1" konstruiert wurde, also die kanonische Abbildung von π₁(U,x₀) auf die Kommutator-Faktorgruppe Z^t).
Es zeigt sich, dass φi_* gerade die Abbildung Z → Z^t ist, die durch φ(w) gegeben ist; dabei fassen wir w als ein Element der Fundamentalgruppe von P/~ auf.
Die Abbildung φi_*: Z → Z^t ist im Fall von F_g die Null-Abbildung, denn h(w) = (0,...,0). Daher ist die Kommutator-Faktorgruppe der Fundamentalgruppe von F_g gleich der Kommutator-Faktorgruppe der Fundamentalgruppe von U, also gleich Z^2g.
Im Fall N_g wird unter der Abbildung φi_*: Z → Z^t das kanonische erzeugende Element auf das Element (2,2,...,2) ∈ Z^t abgebildet. In Z^t kann man eine Basis wählen, indem man neben den ersten t-1 Elementen der Form (0,...0,1,0,...0) statt (0,...,0,1) das Element (1,1,...,1) wählt. Man sieht dann sofort, dass Z^t/Z(2,2,...,2) isomorph zu Z^t-1×C₂ ist.

Folgerung (Satz 4 (siehe Kapitel 4), Aussage 2). Die Flächen F_g mit g ≥ 0 und N_g mit g ≥ 1 sind paarweise nicht homotopie-äquivalent, also insbesondere nicht topologisch äquivalent.

Beweis: Der Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen (siehe Anhang "Algebraische Grundbegriffe II") besagt, dass die genannten abelschen Gruppen paarweise nicht isomorph sind. (Sind jedoch zwei topologische Räume homotopie-äquivalent, so sind die Fundamentalgruppen isomorph, also sind auch die Kommutator-Faktorgruppen isomorph.)