Torsten Sillke, Bielefeld, Germany Initial version: 1992-05-21 & 1992-06-01 Last Update: 1996-12 Packing Tetrahedra, Triangles and Pyramids with equal Polyspheres: A list of possbile packings and some impossible proofs. --------------------------------------------------------------------- Diese Liste ist durch Fragen von Wolfgang Schneider (Kubi-Games) anlaesslich des 11. Herner Spielewahnsinns (15. Mai - 17. Mai 1992) entstanden. Er wollte wissen, warum bis auf zwei pentacircles keine einen Tetraeder der Kantenlaenge 5 packt. Fuer die folgenden Unmoelichkeitsbeweise der Konstruktion eines Tetraeders mit Kantenlaenge fuenf (im kubisch-flaechenzentrischem Gitter) aus gegebenen Teilen, wird die folgende symmetrische Bezeichnung der Kugeln gewaehlt: Schichten des Tetraeders Somit haben wir insgesamt: S S: 4 (Spitzen) s s s s: 12 (Nachbarn der Spitzen) e i e i i e e: 6 (Kantenmitten) s i i s i I i i i s i: 12 (Flaechenmitten) S s e s S s i i s e i e s s S I: 1 (Tetraedermitte) ============================ 35 Kugeln gesamt SATZ 1: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 5) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: o o o 7 * o o oder 7 * o oder 7 * o o o o o o o o o BEWEIS: ======= Die Teile kommen dabei in den folgenden Orientierungen vor (Drehungen um 120 Grad und Spiegelungen nicht gezeichnet, da gleiche Kugelverteilung): . . . . . . . . . s . . . . i . . . e . i . e i e . i . i . . . . i . s i i . . i . . . I . S s e . . . s e s . . . . . . . s . . . s i i . . . . . . . . . . s . . . . i . . . e e i . e . e . i s i . . . i i . s . i . . i i . i I . S . e . . . s . i . . . . . . . . . s . s . i . . . . . . . . . . s . . . . i . . . e . i e e i . . i . i i . . . i s s i . . . . i s . I i S s . . . . s e . . . . . . . . . . s . s i . . Man sieht, dass jede Orentierung hoechstens 2 Kugeln der Sorten s oder S trifft. Also koennen hoechstens 7*2 = 14 Kugeln dieser Sorten ueberdeckt werden. Da es aber 12+4 = 16 Stueck sind, reicht es nicht aus. QED Die Analyse zeigt, dass auch eine beliebige Mischung aller Teilesorten nicht ausreicht, einen Tetraeder der Kantenlaenge 5 zu bauen. SATZ 2: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 5) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: o o o 7 * o o oder 7 * o oder 7 * o o oder 7 * o o o o o o o o o o o o BEWEIS: ======= Die Teile kommen dabei in den folgenden Orientierungen vor (Drehungen um 120 Grad und Spiegelungen nicht gezeichnet): [nur das letzte Teil] . . . . . . . . . . . . . . . . . i e . . . i i . . . i s s i i . . I i S s e . . . s e s . . . . . . s i i . . . . . . . . . . . . . . . . . e i e . . s i i . . i i s s i . . i I i S s . . . . s e . . . . . . . s i . . Bei allen vier Teilen werden drei i getroffen, wenn das I abgedeckt wird, und es werden mindestens zwei i getroffen, wenn ein S abgedeckt wird. Werden also alle Spitzen S und die Mitte I durch 5 Teile abgedeckt, so sind mindestens elf i getroffen. Da jedes Teil mindestens ein i trifft, decken die verbleibenden beiden Teile auch noch mindestens je ein i ab. Da aber nur zwoelf i vorhanden sind, ist die Figur nicht aus einer Kombination dieser vier Teile zu legen. QED SATZ 3: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 5) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: 7 * o o oder 7 * o oder 7 * o o o o o o o o o o o o BEWEIS: ======= Die Teile kommen dabei in den folgenden Orientierungen vor (Drehungen um 120 Grad und Spiegelungen nicht gezeichnet): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i i . . . . . . s i . . . i i . s . i s s . i s i I . S . e s . . s . s S . . . . . . s e . . s . i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . i . . . . i . s i i s s i i s . I . S s e s . . s e s S . . . . . . . i . . s i i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . s . . . . i . . s i i s s i i s i . . S s e s . . s e s S . . . . . . s . . . s i i s Jede Orientierung deckt mindestens zwei s ab. Bei sieben Teilen sind dies also mindestens 14 s. Da es aber nur zwoelf gibt, ist die Figur nicht aus einer Kombination der drei verschiedenen Teile zu legen. QED SATZ 4: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 5) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: o 7 * o o o o BEWEIS: ======= Wird von obigem Teil eine Spitze S getroffen, so werden auch zwei Kanten e getroffen. Werden also die vier S abgedeckt, so muessten acht e getroffen werden. Da es aber nur sechs e gibt, ist die Figur unmoeglich. QED SATZ 5: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 5) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: 7 Teile aus der folgenden Sammlung (ein Teil kann mehrfach gewaehlt werden) o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o BEWEIS: ======= Diese Pentahexen koennen Tetraedermitte I nicht abdecken. QED Tetraeder (Kantenlaenge 4) Somit haben wir insgesamt: s s: 4 (Spitzen) e e e e: 12 (Kantenmitten) e i e i i e i: 4 (Flaechenmitten) s e e s e i e e e s =============================== 20 Kugeln gesamt SATZ 6: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 4) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: 4 Teile aus der folgenden Sammlung (ein Teil kann mehrfach gewaehlt werden) o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o BEWEIS: ======= Jedes der obigen Teile deckt mindestens eine Spitze s ab. Da nur vier Spitzen fuer die vier Teile vorhanden sind, koennen nur Teile verwendet werden, die hoechstens eine Spitze s abdecken. Damit kommt nur noch das letzte Teil in Frage, was aber keine Flaechenmitte i abdecken kann. QED TABELLE von berechneten Tetraedern, gelegt aus Pentahexen und Pentagloben. Bezeichnung der zu legenden Objekte: Tetra#: Tetraeder mit Kantenlaenge # Tetra#halb: halber Tetraeder mit Kantenlaenge #. (Insteht bei Schnitt durch 4 Kantenmitten: quadratische Schnittflaeche) Tetra#/4: viertel Tetraeder mit Kantenlaenge #. o o konvex Teilung. z. B. ist Tetra4/4 ----> o o o Tetra#1|#2: Tetraederstumpf mit Kantenlaenge #1 und Hoehe #2. Tetra#1|#2.#3: Tetraederstumpf mit Kantenlaenge #1, Hoehe #2 und Tiefe #3. Par#1.#2: Parallelogramm mit den Seiten #1 x #2. Par#1.#2.#3: Parallelepiped mit den Seiten #1 x #2 x #3. Okta#: Oktaeder mit Kantenlaenge #. Er setzt sich aus Pyr# und Pyr(#-1) zusammen. Tetra9 ohne die vier Spitzen (Tetra4) gibt Okta5. Okta#.5: Semi-Oktaeder, der aus zwei Roof#:(#+1) besteht. Tetra8 ohne die vier Spitzen (Tetra4) gibt Okta3.5 Drei#: Dreieck mit Kantenlaenge # Pyr#: Quadratische Pyramide mit Kantenlaenge # Roof#1:#2: Roof mit rechteckiger Grundflaeche #1*#2. CubeOkta#: Cube-Oktaeder, besteht aus Dreiecken und Quadraten mit Laenge #. Pentahexen (eckenfuellend, und in Dreieck mit Kantenlaenge vier legbar): 88 62-5 | 000 011 022 101 112 Ref 2 Rot 1 Prop H o o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: no o o o * 7 | Tetra5: ok *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Okta3.5: ok *33 | Tetra9: ok = Okta5 + 4*Tetra4 = Tetra8 + Drei9 *44 | Tetra10:ok = Tetra10 / 4 * 3 | Drei5: ok * 9 | Drei9: 1 Lsg *11 | Drei10: no *28 | Pyr7: ok Pyr4, Pyr5: no Okta5: ok *17 | Tetra8|3 ok *11 | CubeOkta3 ok Dreiecke klassifiziert. Tetraeder klassifiziert( All5 ohne 3 ). 95 69-5 | 000 011 022 112 123 Ref 1 Rot 1 Prop H m o o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: ok o o o * 7 | Tetra5: no *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: ok Okta3.5: ok *33 | Tetra9: ok = Okta5 + 4*Tetra4 *44 | Tetra10:ok = Tetra10 / 4 *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no Okta5: ok *17 | Tetra8|3 ok *11 | CubeOkta3 no Dreiecke klassifiziert. Tetraeder klassifiziert( All5 ohne 3, 5 ). 84 58-5 | 000 011 022 033 101 Ref 1 Rot 1 Prop H m o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no o o o o * 7 | Tetra5: no *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Okta3.5: *33 | Tetra9: ok = Tetra8 + Drei9 *44 | Tetra10:ok Tetra8 + Par(10,10) gefaltet * 3 | Drei5: ok * 9 | Drei9: 2 Lsg *11 | Drei10: no *28 | Pyr7: ok Pyr4, Pyr5: no *17 | Tetra8|3 ok *11 | CubeOkta3 no Dreiecke klassifiziert. Tetraeder klassifiziert( All5 ohne 3, 4, 5 ). 90 64-5 | 000 011 022 101 123 Ref 1 Rot 1 Prop H m o o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: ok o o o * 7 | Tetra5: ok *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Okta3.5: ok *33 | Tetra9: ok = Okta5 + 4*Tetra4 *44 | Tetra10:ok = Tetra10 / 4 oder Okta4.5 + 4*Tetra5 * 3 | Drei5: ok * 9 | Drei9: no *11 | Drei10: no *28 | Pyr7: ok (30.08.92 100h HP850) Pyr4, Pyr5: no Okta5:ok *17 | Tetra8|3 ok *11 | CubeOkta3 no Dreiecke klassifiziert. Tetraeder klassifiziert( All5 ohne 3 ). 120 94-5 | 000 011 112 123 202 Ref 1 Rot 1 Prop H m o o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: no o o * 7 | Tetra5: no o *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Tetra8|4: no *33 | Tetra9: ? ? ? *44 | Tetra10:ok = Okta5.5 + 4*Tetra4 (Tetra10|6.6.6.6) *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no *17 | Tetra8|3 no *11 | CubeOkta3 no *21 | Par5.3.7 ok smallest 5.3.n *30 | Par5.3.10 ok (impossible 5.3.{2,3,4,5,6,8,9, ?}) *24 | Par5.4.6 no (impossible 5.4.{2,3,4,5,6, ?}) *25 | Par5.5.5 no (impossible 5.5.{2,3,4,5, ?}) *27 | Tetra12|5.3 ok smallest TetraN|5.3 *30 | Tetra13|5.3 no *33 | Tetra14|5.3 no *36 | Tetra15|5.3 ok *39 | Tetra16|5.3 ok *42 | Tetra17|5.3 ok *45 | Tetra18|5.3 ok *48 | Tetra19|5.3 ok = Tetra12|5.3 + Par5.3.7 *51 | Tetra20|5.3 ? ? *54 | Tetra21|5.3 ? ? *37 | Tetra10|5 = Tetra10|5.6.6 + 2*Tetra4 | Tetra11|5 ? ? | Tetra12|5 ? ? | Tetra13|5 ? ? = (Tetra13|5.3 & Tetra4) + Tetra10|5.6 | Tetra14|5 ? ? = (Tetra14|5.3 & Tetra4) + Tetra11|5.6 Tetraeder klassifiziert >>> ? ? fehlen noch <<< 96 70-5 | 000 011 022 112 213 Ref 1 Rot 1 Prop H m o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: no o * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Tetra8|4.4 2 Lsg *33 | Tetra9: ok = Tetra9|5.5 + 2*Tetra4 *44 | Tetra10:ok = Okta5.5 + 4*Tetra4 (Tetra10|6.6.6.6) *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no Okta5: no *17 | Tetra8|3 no *11 | CubeOkta3 no *16 | Par4.4.5 ok 1 Lsg Tetra9|5.4 ok Tetra10|5.4 = Tetra10|5.4.6 + Tetra4 1 Lsg Tetra11|5.4 = Tetra11|5.4.7.7 + 2*Tetra4 Tetra12|5.4 = Tetra12|5.4.8.8 + 2*Tetra4 Tetra9|5 = Tetra9|5.5 + Tetra4 Tetra10|5 ? ? Tetra11|5 ? ? Tetra12|5 ? ? Tetraeder klassifiziert >>> ? ? fehlen noch <<< 122 96-5 | 000 011 112 123 213 Ref 1 Rot 1 Prop H m o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: no o o * 7 | Tetra5: no o o *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Tetra8|4.4 1 Lsg *33 | Tetra9: ok = Tetra9|5.5 + 2*Tetra4 *44 | Tetra10:ok = Okta5.5 + 4*Tetra4 (Tetra10|6.6.6.6) *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no *17 | Tetra8|3 no *11 | CubeOkta3 no *16 | Par4.4.5 ok Tetra8|5.4 1 Lsg Tetra9|5.4 ok Tetra10|5.4 = Tetra10|5.4.6.6 + 2*Tetra4 Tetra11|5.4 = Tetra11|5.4.7.7 + 2*Tetra4 Tetra8|5 = Tetra8|5.4 + Tetra4 Tetra9|5 = Tetra9|5.5 + Tetra4 Tetra10|5 = Tetra10|5.6.6.6 + 3*Tetra4 Tetra11|5 = (Tetra11|3.5 & Tetra4) + Tetra8|5.4 Tetraeder klassifiziert( All5 ohne 3, 5 ). 105 79-5 | 000 011 033 112 123 Ref 1 Rot 1 Prop H m o o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no o o o * 7 | Tetra5: no *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Okta3.5: *33 | Tetra9: ? ? ? *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no 92 66-5 | 000 011 022 101 202 Ref 2 Rot 1 Prop H o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: no o * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Tetra8|4.4.4 3 Lsg *33 | Tetra9: ok *44 | Tetra10:ok = Okta5.5 + 4*Tetra4 (Tetra10.6.6.6.6) *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no Okta5: no *17 | Tetra8|3 no *11 | CubeOkta3 no | Tetra15|5.3 ok (kleinster TetraN|5.3) *12 | Par3.4.5 1 Lsg. *26 | Tetra10|5.4 = Tetra10|5.4.6 + Tetra4 *30 | Tetra11|5.4 = Tetra11|5.4.7.7 + 2*Tetra4 *34 | Tetra12|5.4 = Tetra12|5.4.8.8 + 2*Tetra4 no TetraN|5 fuer N<10 (ausser N=4) *37 | Tetra10|5 = Tetra10|5.6.6 + 2*Tetra4 Tetra11|5 = Tetra11|5.7.7.7 + 3*Tetra4 Tetra12|5 = Tetra12|5.8.8.8 + 3*Tetra4 Tetra13|5 = (Tetra13|3.5 & Tetra4) + Tetra10|5.6 Tetraeder klassifiziert( All5 ohne 3, 5 ). 100 74-5 | 000 011 022 123 213 Ref 1 Rot 1 Prop H m o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no o * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: no Tetra8halb: no Okta3.5: *33 | Tetra9: ? ? ? *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no Koordinaten: 000 011 112 213 303 o o o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no o o * 7 | Tetra5: no *24 | Tetra8: no *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:no *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no 85 59-5 | 000 011 022 033 112 Ref 2 Rot 1 Prop H o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no o o o o * 7 | Tetra5: no *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Okta3.5: *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:ok * 3 | Drei5: ok Vermutung: dies ist das einzige Dreieck * 9 | Drei9: no *11 | Drei10: no Drei14, 15, 19, 20: no *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no *17 | Tetra8|3 no Figuren mit kleinstem umfassenden Dreieck mit Seitenlaenge 5: (Auswahl) 99 73-5 | 000 011 022 123 134 Ref 1 Rot 1 Prop H m o o *24 | Tetra8: no (450h Rechenzeit; 11.07.92) o o o *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no Okta5: no *33 | Tetra9: ? ? ? (A) *20 | Tetra10|2: 3 Lsg *17 | Tetra8h3 no Achtung Spiegeln: (A) The Key for Tetra9 is the center sphere. There are only 4 different arrangements to fit it. If you use a suitable rotation the rest computes fast. o Koordinaten: 000 011 112 123 224 o o *24 | Tetra8: no Tetra8halb: no Okta3.5: no o o *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no Okta5: no *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:no 86 60-5 | 000 011 022 033 134 Ref 1 Rot 1 Prop H m o *24 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Okta3.5: no o o o o *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no Okta5: no *33 | Tetra9: ok (110 h on HP755) *44 | Tetra10:ok = Tetra10h2 + Tetra8 *17 | Tetra8|3 no Tetraeder klassifiziert( All5 ohne 3, 4, 5 ). o Koordinaten: 000 011 112 213 224 o o o *24 | Tetra8: no Tetra8halb: no Okta3.5: no o *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no Ohta5: no *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:no o Koordinaten: 000 011 022 123 224 o *24 | Tetra8: no Tetra8halb: no Okta3.5: no o o o *28 | Pyr7: no Pyr4, Pyr5: no Okta5: no *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:no Koordinaten: 000 011 022 033 044 o o o o o Kein Tetraeder mit Kantenlaenge <= 20 zu legen. [5-bone] Zu untersuchende Faelle: 0, 23, 24 (modulo 25). Beweis: Betrachte die Ebenen des Tetraeders zyklisch mit fuenf Farben gefaerbt. Fuer die Figur gibt es nun zwei verschiedene Farbbelegungen. Entweder wird jede Farbe genau einmal getroffen oder es wird nur eine Farbe getroffen. Modulo 5 wird jede Farbe gleich oft getroffen. Somit kann die Figur nur legbar sein, wenn jede Farbe modulo 5 gleich oft vorkommt. Dies ist nur bei den Kantenlaengen 0, 23, 24 (modulo 25) der Fall. Keine Pyramide mit Kantenlaenge <= 22 zu legen. Zu untersuchende Faelle: 0, 24 (modulo 25). Mit obigem Argument zeigt man, dass fuer den 3-bone nur Tetraeder mit n gleich 0, 7, 8 (modulo 9) und Dreiecke mit n gleich 0, 8 (modulo 9) noch zu untersuchen sind. (Fuer Tetraeder sind dies alle Tetraeder, die ein Vielfaches von 3 Kugeln enthalten. Die Faerbung bring also nichts.) Die 2:1:0 Faerbung beweist fuer Tetraeder, dass nur die Faelle, 0, 25, 26 (modulo 27) zu untersuchen sind. J. H. Conway hat gezeigt, dass keine Dreiecke mit 3-bones moeglich sind. Siehe: W. Thurston, Conway's Tiling Groups, AMM 97 (1990) 757-773 Aus diesen Ergebnissen ergibt sich die folgende =============================================================================== VERMUTUNG: Es laesst sich kein Dreieck oder Tetraeder (oder Simplex von Dimension d >= 2) aus n-in-einer-Reihe (n-bone) Teilen mit n >= 3 legen. =============================================================================== Aus dem 2-bone laesst sich jeder Simplex legen, wenn er aus einer geraden Anzahl von Kugeln besteht. Dies ergibt sich sofort, da jeder d-Simplex einen hamiltonischen Pfad (fuer d>=2 eine hamiltonischen Kreis) hat. Der betrachtete Graph hat hierbei als Knotenmenge die Kugeln und als Kanten die Paare benach- barter Kugeln. Fuer Simplizes mit einer ungeraden Anzahl von Knoten und (d>=2) kann man somit die zu verbleibende Luecke an jede Stelle legen. Die Konstruktion eines hamiltonischen Kreises findet man schon bei der Aufgabe von dem beschaedigtem Schachbrett bei Martin Gardner im ersten S(cientific) A(merican) Buch: MG1SA: The Scientific American Book of MG1SA: Mathematical Puzzles and Diversions MG1SA: Simon & Schuster (1959) MG1SA.3 Nine Problems MG1SA.3.3 The Mutilated Chessboard (parity) Einige raeumliche Figuren: (Die Kugeln 'o' liegen in erster die Kugeln 'x' liegen in zweiter Ebene) Der Abstand ist im Vergleich o o o o zu den obigen Figuren doppelt. x x x Beispiel: Tetra4halb ---> o o o 45 19-5 | 000 002 011 101 110 Ref 2 Rot 1 Prop o o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: ok x * 7 | Tetra5: no o o *24 | Tetra8: no Tetra8halb: no Okta3.5: no *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:ok *17 | Tetra8|3 no *11 | CubeOkta3 no o o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: ok x * 7 | Tetra5: no o o *24 | Tetra8: 2 Lsg *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:no *17 | Tetra8|3 no auch nicht mit spiegeln o o * 4 | Tetra4: no * 7 | Tetra5: no o o *24 | Tetra8: 1 Lsg x *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:1 Lsg *17 | Tetra8|3 no x o o .* 4 | Tetra4: no auch nicht mit spiegeln * 7 | Tetra5: no auch nicht mit spiegeln o o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln (12:12) *33 | Tetra9: *44 | Tetra10: o o o * 4 | Tetra4: ok nur mit Spiegeln (2:2) * 7 | Tetra5: no o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln (12:12) auch T8-T4 x o o o * 4 | Tetra4: ok nur mit Spiegeln (2:2) x * 7 | Tetra5: no o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln (12:12) o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no x * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: no Tetra8halb: no Okta3.5: *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:no (750h on HP 755) *17 | Tetra8|3 no * 2 | Tetra3: ok nur mit Spiegeln (1:1) o * 4 | Tetra4: ok nur mit Spiegeln (2:2) x * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: 1 Lsg mit Spiegeln (nur 12:12) *33 | Tetra9: no auch nicht mit Spiegeln *44 | Tetra10:no auch nicht mit Spiegeln x o * 4 | Tetra4: no auch nicht mit Spiegeln * 7 | Tetra5: no auch nicht mit Spiegeln o o o *24 | Tetra8: 1 Lsg mit Spiegeln (nur 12:12) *33 | Tetra9: no auch nicht mit Spiegeln *44 | Tetra10:??? auch nicht mit Spiegeln o o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no x * 7 | Tetra5: no o o *24 | Tetra8: no mit Spiegeln x Koordinaten: 000 011 101 112 222 o o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no * 7 | Tetra5: no o o *24 | Tetra8: no Tetra8halb: no Okta3.5: *44 | Tetra10:no * 6 | box3.5.5p without corners ok o * 4 | Tetra4: ok nur mit Spiegeln (2:2) x * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln (12:12) o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no x * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln (12:12) o * 4 | Tetra4: ok nur mit Spiegeln (2:2) x * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln (12:12) x . o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln (12:12) o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no x * 7 | Tetra5: no o o o *24 | Tetra8: no o o * 4 | Tetra4: no Tetra4halb: no x * 7 | Tetra5: no o o *24 | Tetra8: no auch nicht mit Spiegeln o o * 4 | Tetra4: Tetra4halb: no x * 7 | Tetra5: o o *24 | Tetra8: no auch nicht mit Spiegeln o o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: ok x * 7 | Tetra5: o o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln, 1 Lsg: Tetra8-2*Tetra4 (8:8) Koordinaten: 000 011 112 211 220 x * 2 | Tetra3: ok nur mit Spiegeln, (1:1) . o * 4 | Tetra4: no auch nicht mit Spiegeln x * 7 | Tetra5: no auch nicht mit Spiegeln o . o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln, (12:12) auch Tetra8:5.5.5.5 legbar 1 Lsg. (nur 8:8) o . o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: ok x * 7 | Tetra5: o . o *24 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln, 1 Lsg: (12:12) bis auf Tetra4halb-Austausch o . o * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: ok x * 7 | Tetra5: o o . *24 | Tetra8: no x o . . * 4 | Tetra4: ok Tetra4halb: no x * 7 | Tetra5: o o . *24 | Tetra8: no *33 | Tetra9: no *44 | Tetra10:no o Koordinaten: 000 002 011 020 112 o o o *11 | CubeOkta3 ok (nur mit Spiegeln, nur 4:7) x o Koordinaten: 000 011 013 022 121 o o o *6 | box3.5.5p without corners ok x Cube-Oktaeder 3: nur moeglich durch 2 Pentaspheres: 000 011 022 101 112 000 002 011 020 112 Pyramide 7: o o o o o o o o o o o o o o o nur mit spiegeln gehen die Pentaspheres: 000 002 011 020 101 000 011 013 022 101 000 011 013 022 112 --------------------------------------------------------------------------- Hexaspheres: (1995) --------------------------------------------------------------------------- Da keine kleinen Tetraeder aus 3-bones legbar sind, sind auch keine aus Hexaspheres moeglich, die aus zwei 3-bones bestehen. Es ist kein Tetra7 aus Hexaspheres legbar, auch nicht mit Spiegeln. Im folgenden sind alle moeglichen Tetra8 genannt. o Koordinaten: 000 011 022 033 044 101 o o o o o *20 | Tetra8: ok o o Koordinaten: 000 011 022 033 101 123 o o o o *20 | Tetra8: 1 Lsg o o Koordinaten: 000 011 022 033 101 112 o o o o *20 | Tetra8: ok o o Koordinaten: 000 011 112 123 202 213 . o o *20 | Tetra8: ok o o x o . Koordinaten: 000 011 022 101 110 211 x o o o *20 | 1 Lsg (mit Spiegeln keine weitere) x o o Koordinaten: 000 002 011 110 121 220 o o o *20 | 1 Lsg nur mit Spiegeln (10:10) o o Koordinaten: 000 011 022 101 110 112 x o o o *20 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln o o . Koordinaten: 000 002 011 103 112 213 x o o o *20 | Tetra8: 1 Lsg nur mit Spiegeln (10:10) o Koordinaten: 000 011 022 101 121 202 o . *20 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln x o o o . Koordinaten: 000 011 022 112 123 222 x o o *20 | Tetra8: 1 Lsg nur mit Spiegeln (10:10) o o o Der folgende 12-Baustein packt einen Tetra8: x x o o o x x x o o o o Er laesst sich in 10 verschiedenen Weisen in zwei gleiche Hexaspheres zerlegen. Alle Teilungen in zwei kongruente (auch nicht zusammenhaengende) Mengen sind rotationssymmetrisch. (Vollstaendigkeitsbeweis siehe 26.06.95) Koordinaten fuer diese Hexaspheres. Einige Paare verhaken sich. 000 002 011 121 211 220 000 011 101 110 112 121 000 011 101 112 121 213 000 011 101 112 121 220 000 011 101 112 123 222 000 011 112 121 202 213 000 011 112 123 132 211 000 011 112 123 132 222 000 011 112 202 213 222 000 011 112 211 220 231 Pyramide 5: keine Pyramide5 aus Hexaspheres moeglich (spiegeln erlaubt). --------------------------------------------------------------------------- Heptaspheres: (1995) --------------------------------------------------------------------------- o o o o o o o Kein Tetra5, Tetra6, Tetra7, Tetra12halb. Dreiecksklassifikation angefangen. Vergroesserungstrapeze bestimmt. Es fehlen noch einige Einzelstuecke. Wer hat Lust, hierfuer schoene Lsgen zu suchen? Loesungen fuer Tetra6 aus kongruenten Heptaspheres: 16.10.95 komplett --------------------------------------------------- o Koordinaten: 000 011 022 033 101 123 202 o o o o o o Tetra6 ok (unique) o o . Koordinaten: 000 011 022 033 101 112 132 x o o o o Tetra6 nur mit spiegeln (unique) o Koordinaten: 000 011 022 101 110 112 220 o . x x o o o Tetra6 nur mit spiegeln (unique) o Koordinaten: 000 011 022 101 110 123 202 o . o x o o o Tetra6 nur mit spiegeln (unique) o o Koordinaten: 000 011 022 112 121 202 213 . o x o o o Tetra6 nur mit spiegeln (unique) Keine Tetra5 und Tetra7 aus Heptaspheres. Weitere Untersuchungen an ausgewaehlten Heptaspheres: o o o o o o o Tetra12halb ??? o o o o o o o Kein Tetra12halb. o o x x o o o Kein Tetra12. Es ist nicht moeglich einen Cube5+ (Besteht aus (5^3 + 1)/2 = 63 Kugeln) mit 9 gleichen Heptaspheres z bauen. Pyramide 6: keine Lsg mit Heptaspheres (spiegeln erlaubt). --------------------------------------------------------------------------- Oktaspheres: (1995) --------------------------------------------------------------------------- Es gibt nur ein Octasphere, dass Tetra6 oder Tetra8 packt. Es ist: o o x x o o o o Dies sind zwei Tetra2 Tetraeder klassifiziert( Tetra(n) mit n = 0, 6 (modulo 8) ) Kein Tetraeder ungerader Kantenlaenge, da dies mit Tetra2 nicht geht. Tetra6 + Tetra8|2 -> Tetra8 Tetra6 + Tetra14|8 -> Tetra14 Tetra8 + Tetra16|8 -> Tetra16 Tetra8|2 + 2*Par2.2.4 -> Tetra10|2.8 Tetra10|2.8 + 2*Par2.2.4 -> Tetra12|2.8 Tetra12|2.8 + 2*Par2.2.4 -> Tetra14|2.8 Tetra8 + Tetra10|2.8 -> Tetra10|8 Tetra10|8 + Tetra12|2.8 -> Tetra12|8 Tetra12|8 + Tetra14|2.8 -> Tetra14|8 =============================================================================== Der hohle Tetraeder Tetra8 ohne Tetra4 aus der Mitte: Hollow Tetrahedron Von den Pentacircles packen nur die folgenden vier diese Figur: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Die ersten drei packen auch noch den Tetra4. =============================================================================== SATZ 7: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 4) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: 5 Teile aus der folgenden Sammlung (ein Teil kann mehrfach gewaehlt werden) o o o o o o o o o o o o BEWEIS: ======= Jedes Teile deckt mindestens ein s ab. Es gibt aber nur vier s. QED SATZ 8: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 4) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: 5 Teile aus der folgenden Sammlung (ein Teil kann mehrfach gewaehlt werden) o o o o o o o o o o o o BEWEIS: ======= Jedes Teile deckt mindestens ein i ab. Es gibt aber nur vier i. QED SATZ 9: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 4) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: 5 Teile aus der folgenden Sammlung (ein Teil kann mehrfach gewaehlt werden) o o o o o o o o BEWEIS: ======= Die verschiedenen Anordnungen ergeben folgende Belegungen: (s, i, e) ist (0,2,2), (1,1,2) oder (0,0,4). [Diese ergeben sich schon durch das erste Teil.] Wie oft muessen jetzt die drei Anordnungen gewaehlt werden, um den Tetraeder mit (s, i, e) = (4, 4, 12) abzudecken. Dies gibt das folgende Gleichungssystem: 0 x + 0 y + 1 z = 4 Die Variablen x, y und z geben hierbei an, 0 x + 2 y + 1 z = 4 wie oft die Anordnungen (0,0,4), (0,2,2) 4 x + 2 y + 2 z = 12 und (1,1,2) verwendet werden. Das Gleichungssystem ist schon in Dreiecksform und kann sofort durch vorwaerts einsetzen geloest werden. Die eindeutige Loesung ist (x, y, z) = (1, 0, 4). Das Abzaehlen fuehrt allein fuehrt also noch nicht auf einen Widerspruch. Es ist aber die die Anordnung (0,2,2) ausgeschlossen worden. Die Anordnungen (0,0,4) und (1,1,2) erzwingen jetzt, dass die Teile auf den Aussenflaechen liegen. Da nun fuenf Teile auf vier Flaechen liegen, muessen auf einer Flaeche mindesten zwei angeordnet werden (Schubfachprinzip). Nun ist es aber nicht moeglich, zwei Teile auf die gleiche Flaeche zu plazieren. QED SATZ 10: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Tetraeders (mit Kantenlaenge 4) im kubisch-flaechenzentrischem Gitter aus folgenden Teilen: 5 Teile aus der folgenden Sammlung (ein Teil kann mehrfach gewaehlt werden) o o o o o o o o o o o o o o o o BEWEIS: ======= Jedes Teil sitzt auf einer Aussenflaeche. Nach dem Schubfachprinzip gibt es eine Aussenflaeche mit mindesten zwei Teilen. In einem Dreieck der Kantenlaenge vier passen aber keine zwei der obigen Teile. QED SATZ 11: Unmoeglichkeit der Konstruktion eines Dreiecks (mit Kantenlaenge beliebig) aus folgenden Teilen: n Teile aus der folgenden Sammlung (ein Teil kann mehrfach gewaehlt werden) o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o BEWEIS: ======= Versucht man eine Kante des Dreiecks von links nach rechts zu fuellen, so ist immer die Position links oberhalb der augenblicklich zu besetzenden Position belegt. Kaeme man also bis zur Ecke, so laege eine Kugel aussenhalb. QED SATZ 12: Es ist nicht moeglich Drei4 mit zwei gleichen Teilen zu legen. BEWEIS: Ein Teil muesste mindestens zwei s abdecken. Dann deckt es aber in jeder Lage zwei s ab. Es wuerden also mindestens vier s abgedeckt. QED SATZ 13: Es ist nicht moeglich aus o o o o o o oder o o oder einer Kombination von beiden Teilen eine Pyramide zu bauen. BEWEIS: ======= Faerbe alternierend die Ebenen der Pyramide. Die Farbe der untersten Ebene ist haeufiger als die andere. Insbesondere ist weiss ungleich schwarz. Da beide Teile aber immer gleichviel weiss wie schwarz abdecken, ist die Pyramide nicht zu legen. QED Tetrahexen (eckenfuellend): o * 5 | Tetra4: 2 Lsg o o o *14 | Tetra6: ok Tetra6halb: ok *21 | Tetra7: ok *30 | Tetra8: ok Tetra8halb: ok Okta3.5: ok Roof4:5: ok * 7 | Drei7: 1 Lsg * 9 | Drei8: ok *11 | Okta4: 8557 Lsg *35 | Pyr7: ok = Okta4 + Rest *51 | Pyr8: ok = Okta4 + Ring1 + Ring2 Dreiecke klassifiziert. Tetraeder klassifiziert. o o o o Kein Tetraeder mit Kantenlaenge n < 14 Kein Dreieck mit Kantenlaenge n < 15 Keine Pyramide mit Kantenlaenge n < 15 *11 | Okta4: no o *14 | Tetra6: ok Tetra6halb: no o o o *21 | Tetra7: ok *30 | Tetra8: ok Tetra8halb: ok *11 | Okta4: 4 Lsg *35 | Pyr7: ok = Okta4 + Rest *51 | Pyr8: ok Dreiecke klassifiziert. Tetraeder klassifiziert. o o *14 | Tetra6: ok Tetra6halb: no o o *21 | Tetra7: no *30 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Keine Pyramiden moeglich *11 | Okta4: no Dreiecke klassifiziert. Tetraeder klassifiziert. o o *14 | Tetra6: no Tetra6halb: no o o *21 | Tetra7: ok *30 | Tetra8: ok Tetra8halb: no *11 | Okta4: no *35 | Pyr7: no *51 | Pyr8: ? ? ? Dreiecke klassifiziert. Tetraeder klassifiziert. o o *14 | Tetra6: no Tetra6halb: no o o *21 | Tetra7: no *30 | Tetra8: ok Tetra8halb: no Keine Pyramiden moeglich *11 | Okta4: no Dreiecke klassifiziert. Tetraeder klassifiziert. Tetragloben (eckenfuellend): o Alle Tetraeder mit gerader Kantenlaenge sind moeglich. x Es gibt genau eine Loesung fuer diese Tetraeder. Baut o o man von einer Ecke eine Kante entlang los, ist alles erzwungen. Tetraeder klassifiziert. o * 5 | Tetra4: no x *14 | Tetra6: ok nur mit Spiegeln (moeglich: 5:9, 6:8 und 7:7) o o *21 | Tetra7: ok nur mit Spiegeln (moeglich: 3:18 - 10:11) *30 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln. Tetra8halb: ok *55 | Tetra10: ??? (ohne spiegeln) o * 5 | Tetra4: no x *14 | Tetra6: no o o *21 | Tetra7: no *30 | Tetra8: no keine Tetraeder fuer 4,6,7,8,10,12,14,15,16. Berechnung bricht fuer obige Faelle immer mit dem n-ten Schritte ab. (Von einer Kante aus wird entwickelt.) x o * 5 | Tetra4: no *14 | Tetra6: no auch nicht mit Spiegeln o o *21 | Tetra7: ok nur mit Spiegeln *30 | Tetra8: ok nur mit Spiegeln (zB. 15:15) x Koordinaten: 000 011 112 222 o * 5 | Tetra4: no auch nicht mit Spiegeln *14 | Tetra6: no auch nicht mit Spiegeln o o *21 | Tetra7: no auch nicht mit Spiegeln *30 | Tetra8: no auch nicht mit Spiegeln Tetrominoes: Kein obiges Tetrominoe packt Pyr7 oder Pyr8. o *35 | Pyr7: no o o o *51 | Pyr8: no pyramids of size 7, 8 (mod 16) are impossible o *35 | Pyr7: no o o o *51 | Pyr8: no o o pyramids are impossible o o o o pyramids are impossible o o SATZ 14: Es ist nicht moeglich aus o o o o o o oder o o oder einer Kombination von beiden Teilen eine Pyramide zu bauen. BEWEIS: ======= Versucht man eine Kante von einer Basisecke nach oben zur Spitze zu fuellen, so stellt man in der Schnittebene (Basisecke, diagonale Basisecke, Spitze) zwischen der Kante AT und der ersten Parallelen fest AT edge / AT parallel T / diagonal triangle section o o T: top sphere o o o A: base sphere o o o o C: diagonal oposite base sphere to A A o o o C AT Kante und die erste Parallele werden im Gleichschritt gefuellt. Somit laesst sich T nicht mehr fuellen, da es keine parallel Kugel hat. QED SATZ 15: Es ist nicht moeglich aus o o o o eine Pyramide fuer n = 7,8 (mod 16) zu bauen. BEWEIS: ======= Faerbe die exagonalen Ebenen alternierend schwarz/weiss. Jedes Teil deckt dann eine ungerade Anzahl von schwarzen wie weissen Kugeln ab. Damit muss die Paritaet der Anzahl der Teile gleich der Paritaet der schwarzen Kugel sein. Dies ist nicht der Fall fuer n = 7,8 (mod 16). QED Trihexen: o o o Kein Tetraeder mit n < 25 moeglich Beweis verschieden fuer n-bones (n>3). (T. Sillke, 21.08.94) Kein Dreieck moeglich (Conway) Ref: W. P. Thurston, Conway's Tiling Groups, AMM 97 (1990) 757-773 *10 | Pyr4: no *68 | Pyr8: no o *28 | Tetra7: ok o o *40 | Tetra8: ok Tetra8halb: ok *55 | Tetra9: ok *2 | Okta2: no *10 | Pyr4: no *68 | Pyr8: ok Tetraeder klassifiziert. o *28 | Tetra7: ok o o *40 | Tetra8: ok Tetra8halb: ok *55 | Tetra9: ok = Tetra8 + Drei9 *15 | Drei9: 1 Lsg *2 | Okta2: 1 Lsg *10 | Pyr4: 4 Lsg *68 | Pyr8: ok Dreiecke klassifiziert. (siehe unten) Tetraeder klassifiziert. o o o *10 | Pyr4: 2 Lsg *2 | Okta2: 1 Lsg *68 | Pyr8: ok SATZ 16: Eine Pyramide4 aus Teilen der Sorte o o o o und o o kann kein Teil der zweiten Sorte an der Spitze haben. BEWEIS: Faerbe die horizontalen Schichten alternierend schwarz/weiss. Wir haben dann 20 schwarze und 10 weisse Kugeln - somit ein Verhaeltnis von 2:1. Jedes Teil kann aber nur maxiaml im 2:1 Verhaeltnis plaziert werden, da einfarbig wegen des quadratischen Gitters nicht geht. Jedes Teil muss also zwei schwarze Kugeln abdecken. Ein Teil der zweiten Sorte deckt aber nur eine schwarze Kugel ab, wenn es an der Spitze liegt. QED Corrolar: o Keine Pyramide4 aus o o --------------------------------------------------------------------- AUFGABE: Bei der Aufgabe ein Tetraeder mit Kantenlaenge 4 aus o fuenf o o o zu bauen, zerfallen die beiden Loesungen in zwei symmetrische Einheiten. Die eine Komponente enthaelt zwei Teile in den (s,i,e)-Anordnungen (1,0,3) und (0,1,3). Die andere Komponente besteht aus drei Teilen in der Anordnung (1,1,2). Durch Spiegelung einer dieser Komponenten gehen die beiden Loesungen ineinander ueber. o AUFGABE: lege ein Dreieck nur aus den Teilen o o o Diese Aufgabe ist fuer alle Dreieckszahlen, die ein Vielfaches von vier sind moeglich. Ein Dreieck mit Kantenlaenge n ist genau dann legbar wenn n gleich 0 oder 7 (modulo 8) ist. Es genuegt, Drei7 und Drei8 zu legen, da man alle groesseren Dreicke aus diesen beiden Konfigurationen zusammensetzen kann. Dazu bilde naechst groessere Einheit eine Raute mit Kantenlaenge 8, die aus einem Drei7 und einem Drei8 bestehen. Dreiecke mit Kantenlaenge 8k und 8k+7 lasen sich jetzt durch diese Ranten fuellen bis auf einen Streifen von Dreiecken an einer Kante. Diese werden mit den Dreiecken Drei7 bzw. Drei8 gefuellt. Da jede Raute in zwei Arten durch Drei7 und Drei8 gebildet werden kann, ergeben sich also mindesten exponentiel (in der Anzahl der verwendeten Teile) viele Loesungen. Die Anzahl der Loesungen ist aber auch hoechstens exponentiel (in der Anzahl der verwendeten Teile). Dies sieht man, wenn man von links nach rechts immer versucht, das erste freie Feld zu belegen. Dabei gibt es immer eine feste Anzahl von potentiellen Moeglichkeiten. Im schlimmsten Fall fuehrte jede davon zu einer Loesung. Dies sind dann exponentiel viele. --------------------------------------------------------------------- o Aufgabe: lege ein Dreieck nur aus den Teilen o o Die n-te Dreieckszahl ist durch drei teilbar genau dann wenn n = 0, 2 (mod 3). Es zeigt sich, dass man die Dreiecke mit n = 0, 2, 9, 11 (mod 12) konstruieren kann. Drei9 laesst sich durch Verlaengerung mit einem Trapez V oder W um zwei bzw. um drei vergroessern: 1 2 2 3 . . . n V: 1 1 2 3 3 n n 2 2 4 4 1 2 3 4 . . . n W: 1 1 3 3 n n Der V-Schritt geht immer, wenn die Dreiecksseite durch drei teilbar ist, und der W-Schritt geht immer, wenn die Dreiecksseite ungerade ist. Somit haben wir Drei2, Drei9, Drei11 und Drei12, also alle Restklassen abgedeckt. Eine Vergroesserung durch ein Trapez der Hoehe 12 laesst sich jetzt immer durch Drei11 oder Drei12 und der passenden Anzahl 2*12 Paralelogrammen durchfuehren. Eine Vergroesserung ist also im Gegensatz zum V und W-Schritt immer ausfuehrbar. Fuer Drei9 laesst sich leicht die einzige Loesung finden. =============================================================================== SATZ: Es ist kein Dreieck mit 3, 5, 6, 8 (mod 12) legbar. (Beweis Wortproblem) Conway's theorem: W. P. Thurston, Conway's Tiling Groups, AMM 97 (1990) 757-773 Conway zeigt auch, dass mit groesseren Dreiecken keine Dreiecke zu legen sind. =============================================================================== SATZ: Dreiecke (siehe rechts) mit Kantenlaenge n lassen o Dreieck(n=4) sich mit dem gebogenen Tromino legen, genau dann o o wenn n = 0, 2 (modulo 3) gilt ausser fuer n=3 oder o o o n=5. o o o o BEWEIS: ======= Man sieht leicht, wie die kleinen Faelle, n = 0, 2, 6, 8, 9, 11 zu legen sind. Auch n=3 und n=5 sind sofort einsichtig nicht legbar. Fuer n = 1 (modulo 3) ist die n-te Dreieckszahl n(n+1)/2 nicht durch 3 teilbar. Mit {0, 2, 9, 11} haben wir jeweils das kleinste Element modulo 6 konstruiert. Im folgenden wird gezeigt, wie man ein Loesung fuer n zu einer fuer n+6 vergroessern kann. Durch Induktion sind dann all Dreiecke konstruiert. Die Vergroesserung geschieht, durch das anlegen folgender Stuecke: o o 1 o o 1 1 o o 1 1 o o 1 2 2 k* o o & 2 2 3 oder k* o o & 3 3 2 4 o o 2 4 3 3 o o 3 5 5 4 4 o o 5 4 4 6 7 o o 6 5 7 7 8 9 o o 5 5 6 6 7 7 o o 6 6 7 8 8 9 9 QED. WORTPROBLEM: (Zuerst von Conway geloest in AMM 97 (1990) 757-773) o o Eine Scherung des Trominoes o o liefert die Trihexe o o. Schraenken wir ein: Zulaessige Orientierungen o o o des Trominoes --> o o und o Diese Einschraenkung macht die beiden Dreiecksaufgaben aequivalent. Um den Satz zu zeigen, reicht es zu zeigen, dass in der freien Gruppe G = < A, B | AABB=BABA, BBAA=ABAB > die Identitaet A^3 B^3 = (BA)^3 nicht gilt. Dies zeigt weiter, dass fuer das Tromino in diesen beiden Orientierungen nur ein Primrechteck vorhanden ist: 2*3 bzw. 3*2. Beweis: A, B elements from AGL(4,2) A^3 B^3 = (AB)^3, B^3 A^3 = (BA)^3 from the definition A = [ 0 1 0 0 0 ] B = [ 1 0 1 1 0 ] [ 0 0 1 0 0 ] [ 0 0 1 0 0 ] [ 1 0 0 0 0 ] [ 1 0 0 0 0 ] [ 0 0 0 1 0 ] [ 1 1 1 0 0 ] [ 1 0 0 0 1 ] [ 0 0 0 0 1 ] A^3*B^3 = [ 0 1 1 1 0 ] B^3*A^3 = [ 0 1 1 1 0 ] [ 1 0 1 1 0 ] [ 1 0 1 1 0 ] [ 1 1 0 1 0 ] [ 1 1 0 1 0 ] [ 1 1 1 0 0 ] [ 1 1 1 0 0 ] [ 0 0 0 1 1 ] [ 1 1 1 0 1 ] (A^3*B^3)^2 = (B^3*A^3)^2 = [ 1 0 0 0 0 ] [ 0 1 0 0 0 ] [ 0 0 1 0 0 ] [ 0 0 0 1 0 ] [ 1 1 1 1 1 ] These matrices generate a factor group of order 96, with centre of order 2, and clearly isomorphic to a subgroup of AGL(4,2). Marston Conder (marston@dibbler.uwaterloo.ca) 12 August 1992 ================================================================================ 20.07.92 Aufgabe: Baue aus den ebenen Trispheres (4) und ebenen Tetraspheres (11) einen Tetra6. (Wolfgang Schneider) Dieser Teilsatz wird mit WS abgekuerzt. Mit WS ist es moeglich die Tetra6halb Zerlegung zu bauen: 10 11 21 22 25 13 27 30 28 28 26 29 10 11 21 12 12 27 30 30 28 28 10 24 21 12 30 23 23 29 11 21 22 25 13 27 26 26 26 29 24 24 22 13 27 23 23 29 24 22 25 25 20 20 20 20 Das linke Teil zerfaellt in zwei gleiche Untereinheiten bestehend aus {10, 11, 21, 24} und {12, 13, 22, 25}. In der ersten Untereinheit laesst sich der Block (21, 24) spiegeln. In der zweiten gibt es 10 Loesungen. Das rechte Teil hat nur diese Legung. Es ist klar, dass man mit WS nicht vier gleiche Figuren legen kann, denn es ist nicht moeglich die Teile in viermal 14 Kugeln zu partitionieren. Es ist moeglich, Tetra6 in Tetra4 plus eine Zweierschicht zu zerlegen. Es ist unmoeglich, Tetra6 in Tetra5 plus Drei6 zu zerlegen. Es ist aber moeglich Tetra5 zu bauen, so dass nun Polyhexen uebrig bleiben. Da im Tetra5 dann nur vier Polyhexen sind, nur diese koennen eckenfuellend sein, kann der Propeller (Teil 30) nicht verwendet werden. Nur mit den Tetrahexen {20, 25, 26, 29} [2 Lsg] und {20, 25, 26, 27} [14 Lsg] ist Tetra5 zu legen. Tetra5 mit {20, 25, 26, 29} 26 Lsg I 26 23 23 26 23 29 23 21 25 11 11 24 24 26 22 29 25 21 25 20 20 20 20 29 11 24 24 29 22 22 22 21 21 25 25 Lsg II 25 21 21 25 25 29 21 26 26 11 11 24 24 21 22 29 23 23 26 20 20 20 20 29 11 24 24 29 22 22 22 23 23 26 ^^^^ Diesen Satz Teile sollte man einzeln vermarkten. ^^^^ Tetra5 mit {20, 25, 26, 27} 26 26 23 23 26 23 21 23 21 21 11 11 24 27 26 24 27 21 22 25 20 20 20 20 27 11 24 22 27 24 22 25 22 25 25 Frage: Was kann man mit in den beiden Faellen mit den restlichen Polyhexen legen? Figur 3*10 Deckel (aus WS): 21 21 10 13 28 22 29 24 24 26 27 21 10 13 22 11 24 24 23 23 Zerlegung in vier Einheiten: 27 21 10 30 11 11 29 25 23 23 {21, 27}, {10, 12}, {11, 13, 22, 28, 30}, 27 12 28 28 22 29 26 26 26 {20, 23, 24, 25, 26, 29} 27 12 13 30 30 29 25 25 25 Nur diese Partition moeglich 12 28 30 22 20 20 20 20 Diese Zerlegung hat nur zwei Loesungen. Die zweite Loesung entsteht durch Umbau der vierten Einheit. Aus diesen Einheiten lassen sich zwei T-Stuecke und ein Kreuz zusammensetzen. o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Figur 4*7 Deckel (aus WS): 11 11 20 25 21 21 22 11 10 20 25 21 22 22 Diese Zerlegung hat 223 Lsg 30 10 20 23 21 28 22 13 10 20 26 29 28 29 Bei dieser Zerlegung muss der Propeller (30) in einem Seitenteil liegen. (Beweis durch 30 12 25 24 27 28 vollstaendige Inspektion.) 30 12 24 23 27 28 13 13 23 26 29 29 12 25 24 26 27 30 24 23 26 27 11 11 10 20 22 29 29 11 13 10 20 22 22 24 In der gleichen Zerlegung liegt in 200 Lsg 30 13 10 20 22 24 24 die 20 an dieser Stelle. (hoehere Symmetrie) 12 12 28 20 25 24 26 30 13 27 21 29 26 30 28 27 21 25 26 12 28 21 21 25 26 30 27 23 23 29 28 27 23 23 25 Figur (aus WS): 10 10 11 11 10 24 23 11 23 22 22 22 20 24 23 29 24 23 29 12 12 22 20 21 26 30 29 24 13 26 28 12 20 21 26 28 30 30 13 13 25 28 29 20 21 26 28 30 27 27 21 25 25 25 27 27 Figur (aus WS): 10 25 25 20 10 26 25 24 20 13 24 21 22 22 22 10 26 25 24 21 20 13 24 21 11 12 12 22 26 26 28 28 30 11 20 13 21 11 12 28 28 23 23 30 30 23 23 27 27 29 30 29 27 27 29 29 Figur (aus WS): diese Figur ist nicht mittig. 10 12 12 25 10 26 12 25 25 11 20 23 10 26 11 23 30 25 13 28 20 23 26 26 11 29 23 30 30 13 28 29 20 21 13 28 22 24 30 21 22 24 29 20 28 22 24 29 21 24 27 27 22 27 27 21 Figur (aus WS): Die mittlere Kugel nicht im Kubisch-Flaechenzentischen Gitter 10 20 22 30 10 20 30 30 27 26 22 22 22 10 20 12 12 30 27 26 12 27 26 20 13 11 11 24 24 26 11 27 13 13 29 25 25 25 21 29 24 24 28 28 29 25 23 21 23 21 28 28 23 21 29 23 Die beiden mittleren Kugeln liegen direkt uebereinander. Figur (aus WS): Die mittlere Kugel nicht im Kubisch-Flaechenzentischen Gitter 10 11 21 26 11 21 13 10 11 26 21 30 13 13 10 26 25 25 30 30 24 29 20 21 26 22 27 27 30 23 20 25 22 12 12 24 29 12 27 27 23 20 22 28 24 23 25 28 29 29 28 20 28 23 22 24 Figur (aus WS): Die mittlere Kugel nicht im Kubisch-Flaechenzentischen Gitter 10 29 29 10 29 30 29 27 23 23 10 25 20 30 30 27 21 21 21 27 23 23 25 25 20 30 28 26 22 11 11 13 24 27 11 21 25 20 28 28 26 22 12 13 24 22 24 20 28 26 26 22 12 13 12 24 Die Figur zerfaellt in Boden und die oberen beiden Lagen. Diese Zerlegung hat 145 Lsg bei dieser Anordnung von (11). Aufgabe: Baue aus den ebenen Pentaspheres (33) [22 Pentahexen + 12 Pentominoes - 1] einen Tetraeder. Dies ist moeglich. Diese Aufgabe ist von verschiedenen Leuten gestellt worden. Eine Lsg im CFF?? publiziert. ================================================================================ -- mailto:Torsten.Sillke@uni-bielefeld.de http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/