Die folgenden Tabellen sind bei Clarke angegeben, aber er gibt keine
Vollst"andigkeitsbeweise. Hier die fehlenden Unm"oglichkeitbeweise,
f"ur die unendlichen Familien.

Prim-Quader des L-Tetrominoes:
==============================
  2-dim:  2*4, 3*8
  3-dim:  2*2*6, 2*3*6, 3*3*4
  4-dim:  2*2*2*7, 2*2*2*9, 2*2*3*3, 2*2*3*5, 2*2*5*5

Impossible Hyperboxes:
  (only impossible sequences)
  2*2*...*2*3,
  2*2*...*2*5,
  2*2*u  with u odd

Proofs:
-- Unm"oglichkeit des 2*2*...*2*3  (n-mal die 2):
F"arbe den Hyperquader mit den zwei Farben A und B in Schichten entlang
der letzten Achse nach dem Schema (A, B, A).
Jedes L-Tetromino im 2*2*...*2*3 Quader deckt also A:B = 3:1 ab.
Andererseits ist das Farbverhaeltnis im Hyperquader A:B = 2:1.
-- Unm"oglichkeit des 2*2*...*2*5  (n-mal die 2):
F"arbe den Hyperquader mit den drei Farben A, B und C in Schichten entlang
der letzten Achse nach dem Schema (A, B, C, B, A).
Jeder Teilmenge des Hyperquaders wird ein Vektor (a, b, c) zugeordnet,
der angibt, wie viele W"urfel die Farben A, B oder C tragen. Der
Hyperquader selber hat also (2 2^n, 2 2^n, 2^n). Das L-Tetromino hat in
den verschiedenen Anordnungen einen der Vektoren (2,1,1), (0,2,1) oder
(1,1,2). Ist der Hyperquader legbar, so gibt es nat"urliche Zahlen x, y und z,
die angeben, wie oft jede Sorte der drei Vektoren vorkommt. Dies ergibt das
folgende Gleichungssystem:
   2 x + 0 y + 1 z  =  2 2^n  (Farbe A W"urfel)
   1 x + 2 y + 1 z  =  2 2^n  (Farbe B W"urfel)
   1 x + 1 y + 2 z  =    2^n  (Farbe C W"urfel)
Die eindeutige L"osung dieses Systems ist (x, y, z) = 1/8 2^n (9, 3, -2).
Da z negativ ist, kann es keine L"osung geben. QED
-- Unm"oglichkeit des 2*2*u  (u ungerade):
Schachbrettfaerbung der Saeulen ueber dem 2*2 Quadrat. Jedes L-Tetromino
deckt eine ungerade Anzahl von schwarz wie weiss ab. Bei u Tetrominoes
werden also eine ungerade Anzahl von schwarzen wie weissen Wuerfeln
abgedeckt. Im 2*2*u Quader ist aber eine gerade Anzahl von scharzen sowie
weissen Wuerfeln. QED Dieser Beweis findet sich auch bei:
  Klarner, Journal of Combinatorial Theory 7 (1969) 107-115, Thm 4.

Prim-Quader des T-Tetrominoes:
==============================
  2-dim:  4*4
  3-dim:  2*4*6, 2*4*9, 2*4*11, 2*5*12, 2*5*16, 2*5*20, 2*6*6, 2*7*8, 2*7*12
          3*4*6, 3*3*8, 3*5*8, 5*5*8
  4-dim:  2*2*3*4, 2*2*3*6, 2*2*5*6, 2*2*5*8, 2*2*5*10, 2*3*3*4, 2*5*5*4
  5-dim:  2*2*2*3*3, 2*2*2*3*5, 2*2*2*5*5

Impossible Hyperboxes:
  (only impossible sequences)
  2*2*...*2*n,
  2*2*...*2*4*5,
  2*3*n

Proofs:
-- Unm"oglichkeit des 2*2*...*2*n  (m-mal die 2): trivial
-- Unm"oglichkeit des 2*2*...*2*4*5  (n-mal die 2):
Betrachte die Ecken.
  x x x y x
  x y . x x  Jeder 4*5 Schnitt sieht bei belegten Ecken so aus.
  x x . y x  x ist belegt. y kann belegt sein. Es pa"st kein
  x y x x x  weiteres Tetromino hinein.
Die senkrecht liegenden Tetrominoes m"ussen ganz in der 4*5 Ebene liegen, da
sonst das herausragende Monomino in einer anderen 4*5 Ebene nicht mehr zul"a"st,
alle Ecken zu f"ullen.

Prim-Quader des N-Tetrominoes:
==============================
  3-dim:  2*3*4, 2*4*4, 2*4*5, 6*6*6, 2*6*10
  4-dim:  2*2*3*6, 2*2*5*6

Impossible Hyperboxes:
  (only impossible sequences)
  2*2*...*2*n,
  u*v*n  with u and v odd 

Proofs:
-- Unm"oglichkeit des 2*2*...*2*n  (m-mal die 2): trivial
-- Unm"oglichkeit des u*v*n with u and v odd:
Schachbrettmuster der u*v-Ebene. Das N deckt immer zwei weiss zwei schwarz ab.
Beweis nach: Klarner, Journal of Combinatorial Theory 7 (1969) 107-115, Thm 4.

Prim-Quader des Tetrominoes:  1     (H"ohennotation)
============================  2 1
  3-dim:  2*2*2, 2*5*8, 2*5*12, 4*4*5, 4*5*10, 4*6*7
  4-dim:  2*3*3*4

Impossible Hyperboxes:
  (only impossible sequences)
  u*v*n  with u and v odd 

Proofs:
-- Unm"oglichkeit des u*v*n with u and v odd:
Schachbrettmuster der u*v-Ebene. Das N deckt immer zwei weiss zwei schwarz ab.
Beweis nach: Klarner, Journal of Combinatorial Theory 7 (1969) 107-115, Thm 4.

=============================================================================
=============================================================================


Prim-Quader des Tetrominoes:  1     (H"ohennotation)
============================  1 2
  3-dim:  2*2*2, 2*3*8, 2*3*12, 2*4*9, 2*5*6, 2*5*10,
          3*4*9, 3*4*10, 3*4*11, 3*4*13, 3*4*14, 3*4*15,
          3*5*8, 3*5*12, 3*6*6, 3*6*10,
          4*4*5, 4*5*5, 4*5*7, 4*7*7
  4-dim:  2*2*3*3

Impossible Hyperboxes:
  (only impossible sequences)
  no


Anmerkungen:

  1 1
  2   - Tetromino:      2*5*6  1 Lsg (im wesentlichen)
                        2*3*8  1 Lsg (im wesentlichen)
                        2*4*9  1 Lsg

    T - Tetromino:      2*4*6  3 Lsg
                        2*4*9  1 Lsg

References:
-) A. L. Clarke, Packing Boxes with Congruent Polycubes,
     J. of Recreational Mathematics 10 (1977/78) 177-182


Some Packings:
--------------
T-tetromino:
 the 2x6x6 box

 a A a b b b     A symmetric solution
 c d d d b e     Rotate it along one diagonal
 c c d f e e     to get the other part.
 c . f f f e     (Capital Letters mark a cube in the second layer.)
 . g G g h .
 i I i h h h

 the 2x4x6 box

 a y + + + +     A symmetric solution
 a a x + + +
 a b + + + +
 b b b + + +

 y y y + + +
 c x x x + +
 c c d + + +
 c d d d + +

 the 3x4x6 box

 a 2 6 6 6 b
 a a 7 8 1 c
 a 0 8 8 8 c
 b 1 1 1 2 c

 2 2 7 6 1 b
 c 0 7 5 1 b
 b 0 5 5 5 c
 b 0 1 2 2 2

 c 2 3 3 3 b
 c 9 7 3 1 a
 c 9 9 4 a a
 b 9 4 4 4 a

--
mailto:Torsten.Sillke@uni-bielefeld.de
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/