Der Heuvorrat Es war ein heisser Sommertag. Ich machte einen Spaziergang durch die Wiesen und Felder vor unserem Dorf. Bei einer Bank machte ich Rast. Nach einiger Zeit kam ein alter Mann, den ich fluechtig kannte, er setzte sich zu mir und erzaehlte: "Frueher hatte ich auch einen Hof. Ich erinnere mich noch gut an den Sommer 1946. Ich hatte mich mit dem Wetter verkalkuliert. Nachdem ich meine Wiesen gerade gemaeht hatte, regnete es tagelang und ein grosser Teil des Grases verfaulte. Aber ein Unglueck kommt selten allein. Im Herbst schlug bei einem Gewitter ein Blitz in meinen Heuschober. Er brannte voellig aus, ich konnte nur einen ganz kleinen Teil meines Heus retten." Der alte Bauer stopfte sich umstaendlich eine Pfeife. Dann nahm er seine Erzaehlung wieder auf. "Das Problem war nun: Wie sollte ich meine Tiere durch den Witer bringen? Ich hatte drei Kuehe, drei Schafe und drei Ziegen, und ueberlegte, ob ich nicht einige davon verkaufen sollte. Haette ich die Ziegen abgeschafft, haette das Heu fuer 45 Tage gereicht, ohne Schafe haette es fuer 60 und ohne die Kuehe fuer 90 Tage gereicht." "Und was haben Sie gemacht?" fragte ich gespannt. "Tja", sagte der Mann, "da ich fuer mindestens fuenf Monate Heu brauchte, haette ich die meisten Tiere verkaufen muessen. Aber das wollte ich nicht, also behielt ich sie alle. Futter zukaufen konnte ich in den ersten Nachkriegsjahren nicht, also hoffte ich auf mein Glueck. Und das kam auch genau rechtzeitig. Ich hatte gerade die letzte Gabel Heu verfuettert, als mich ein Nachbar besuchte und mir erzaehlte, er habe sein ganzes Vieh verkauft und wolle in die Stadt ziehen, um in einer Fabrik zu arbeiten. Er gab mir alles Heu, das er noch in seinem Schober hatte, fuer einen sehr niedrigen Preis, und so konnte ich alle meine Tiere durch den Winter fuettern." "Wie lange hatte ihr eigenes Heu eigendlich gereicht?" wollte ich wissen. Daran konnte sich der alte Bauer jedoch nicht mehr erinnern. Wissen Sie, fuer wieviele Tage es gereicht hatte? - Cogito Problem in Bild der Wissenschaft 1995 Heft 12. (Heinrich Hemme) Cow, Goat, and Goose [Dudeney] A Farmer found that his cow and goat would eat all the grass in a certain field in 45 days, that the cow and the goose would eat it in 60 days, but that it would take the goat and the goose 90 days to eat it down. Now, if he had turned cow, goat, and goose into the field together, how long would it have taken them to eat all the grass? Sir Isaac Newton showed us how to solve a puzzle of this kind with the grass growing all the time; but, for the sake of greater simplicity, we will assume that the season and conditions were such that the grass was not growing. Cowboy math [G. Kukin] A farmer has a cow, a horse, a goat, and a stack of hay. His son calculated that this hay would suffice to feed the horse and the goat for a month, or the goat and the cow for 3/4 of a month, or the cow and the horse for 1/3 of a month. The father told his son that he must not have been too good at math in school. Did the father have grounds for his acid remarks? References: AR: Frater Friedrich Gerhart (attrib.). Latin & German MSS, c1450, known as Algorismus Ratisbonensis. Heinrich D\"orrie; Triumpf der Mathematik, Aufgabe 3: Newtons Aufgabe von den Wiesen und K\"uhen Henry Ernest Dudeney; Puzzles and Curious Problems, Londom 1931. Problem 164: Cow, Goat, and Goose p46, 146 (a simplification of a problem of I. Newton without growing grass) Type: (x, y) in A, (y, z) in B, (x, z) in C with (A,B,C) = (90,60,45) this is three times (A,B,C) = (30,20,15) of AR 182 Heinrich Hemme, Mathias Schwoerer; Mathematischer Denkspass, Weltbild Verlag, Augsburg, 1998, ISBN 3-89604-615-2 Problem Problem 59: Der Heuvorrat (reprint of: Cogito, Bild der Wissenschaft 1995 Heft 12) Type: (x, y) in A, (y, z) in B, (x, z) in C with (A,B,C) = (90,60,45) this is three times (A,B,C) = (30,20,15) of AR 182 Heron of Alexandria; Metrica (= Rationes dimetiendi) (cistern problems or pipe problems) G. Kukin; B 181 Cowboy math, Quantum, 7:1 (Sep/Oct 1996) p10, 61 Sam Loyd; Cyclopedia of Puzzles, Franklin Bigelow Corporation, Morningside Press, New York, 1914 Sam Loyd, Martin Gardner; Mathematical Puzzles, Dover Publ., 1959 (german: Mathematische R\"atsel und Spiele, Dumont, 1978) Problem 48: cow, goat, and goose (with growing grass) David Singmaster; Sources in Recreational Mathematics, An Annotated Bibliography, 7th Pre. Ed., Oct. 1999 Part III: 7.H. DIVISION AND SHARING PROBLEMS _ CISTERN PROBLEMS Solution: [Dudeney][Hemme] Call c the fraction of the hay that the cows are eating on one day. Likewise s and g are the eating rates of the sheeps and goats. c + s = 1/45 c + g = 1/60 s + g = 1/90 Adding the three equations gives 2c + 2s + 2g = 1/45 + 1/60 + 1/90 = 1/20 Dividing by two gives c + s + g = 1/40 So the hay will last for 40 days. Note that this is a simplified problem of Sam Loyd. Solution: [Kukin] The father's unkind remark is unfortunately correct. Denote by c, h, and g the portion of the haystack eaten by the cow, horse, and the goat, respectively, in a month. Then according to what the son said, h + g = 1, 3/4(g + c) = 1, and 1/3(c + h) = 1, or h + g = 1, g + c = 4/3, c + h = 3. Adding the first two equations and subtracting the third from the result, we get 2g = -2/3, which is, of course, impossible. Solution: [Loyd] Use the same letter as in the previous problem: c (cow), s (goat), g (goose). New is the growing rate x. (A) c + s = 1/45 + x (B) c + g = 1/60 + x (C) s + g = 1/90 + x Adding the three equations A, B, C gives (D) 2c + 2s + 2g = 1/45 + 1/60 + 1/90 + 3x = 1/20 + 3x So if we increase the growing rate by 50 percent we will last 40 days. But the problem has a further relation: (E) c = s + g Adding E and twice C we get (F) c + s + g = 1/45 + 2x Now subtract F from D and we get the wanted relation (G) c + s + g = 1/60 + 1/90 + x = 1/36 + x So we can feed the animals for 36 days. -- mailto:Torsten.Sillke@uni-bielefeld.de http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/