Lothar Hannappel, Torsten Sillke Triangel (von Triangel Team) Bielefeld, 16.11.92 ============================ Ein Legespiel von Lothar Hannappel. a Die verwendeten Steine sind Dreiecke, / \ deren Spitzen mit 4 Farben gefÌrbt sind. / \ b_____c Die drei Enden a, b und c werden unabhÌngig gefÌrbt. Es ergeben sich so #{R, B, G, Y}^3 = 64 viele Dreiecke. Da die Dreiecke gedreht (aber nicht umgedreht) werden kÎnnen, kommt jede nicht einfarbige FÌrbung dreimal vor. Die einfarbigen Dreiecke sind nur einmal vorhanden. Man sieht also, daÞ es 24 bis auf Drehung verschiedene Dreiecke gibt. Das gleiche Argument wÏrde auch fÏr FÏnfecke gelten. Die einfarbigen kommen einmal, die mehrfarbigen kommen fÏnfmal vor. Allgemein gilt dies fÏr p-Ecke, wenn p eine Primzahl ist. Es ist nicht mÎglich ein Dreieck mit den 64 Dreiecken zu legen, das symmetrisch ist, wenn die Farben fest bleiben (Matching ist nicht notwendig). Eine Drehung hat nur ein Fixdreieck, eine Spiegelung 8 Fixdreiecke. Dies ist zu wenig. ::::SATZ:::: Es ist unmÎglich, ein Dreieck mit den 64 Dreiecken zu legen, nach den Matching Regeln, das Dreh- und Spiegelungssymmetrie hat (mit Farbtausch). B Drehung um 1/3 Kreis permutiert: (R)(B,G,Y) / \ Spiegelung an Achse durch B: (R)(B)(G,Y) / R \ Spiegelung an Achse durch G: (R)(G)(B,Y) G_____Y Spiegelung an Achse durch Y: (R)(Y)(B,G) Beweis: Die ÌuÞeren Spitzen des zu legenden Dreieckes mÏssen einfarbig sein, da von jede Farbe 16 Halbkreise fÏllt, und an allen Punkten auÞer an den Spitzen Vielfache von Halbkreisen liegen. Somit 1. Beobachtung: Die Spitzen sind R (rot). (R bleibt fest bei Drehung) 2. Beobachtung: Das Dreieck (R, R, R) liegt in der Mitte. (Fixpunkt) Es sind jetzt schon 7 R Halbkreise verteilt. Es mÏssen jetzt noch die restliche 9 R Halbkreise verteilt werden. Eine FÌrbung vom - Kantenmittelpunkt braucht 3 Halbkreise, - anderer Randpunkt braucht 6 Halbkreise, - innerer Punkt auf der Spiegelachse braucht 6 Halbkreise, - sonst braucht man 12 Halbkreise. 3. Beobachtung: Die Kantenmittelpunkte sind R. bis jetzt sind folgende Punkte R gefÌrbt: R . . . . . . . . . R . . . R . . R R . . . . . R . . . . . . . . . . . R . . . R . . . R Es gibt jetzt fÏnf MÎglichkeiten, die letzten 6 Halbkreise zu verteilen. Zwei davon erzeugen aber mehrere (R, R, R) Dreiecke, was nicht erlaubt ist, da nur eines vorhanden ist. In zwei anderen FÌllen sind die R Punkte bis auf die Mitte alle isoliert. Dann passen aber nicht die 9 zweifarbigen (R, R, *) Dreiecke. Die einzige verbleibende MÎglichkeit ist: R . . . . . R . . R R . . . R R . R R . R . . . R . . . . . . . . . . . R . . R R R . . R Nun sind alle R verteilt. 4. Beobachtung: Die verbleibenden Punkte auf den Spiegelachsen liegen fest. R . . . B . R . . R R . B . R R . R R . R . . G R Y . . . G . . . . Y . R . . R R R . . R 5. Beobachtung: Die einfarbigen Dreiecke liegen auf den Spiegelachsen. Da sie nur einmal vorkommen, liegen sie zur Spitze. R B B . B . R . . R R . B . R R . R R . R . . G R Y . . G G . . . . Y Y R G . R R R . Y R Auf den Punkten (-) kein Y stehen, da dann (spÌtestens durch die Symmetrie) neue (Y, Y, Y) Dreiecke entstehen. 6. Beobachtung: Es mÏssen noch 6 Y-Y Paare erzeugt werden, um alle (Y, Y, *) Dreiecke abzulegen. Jedes Y-Y Paar erzeugt aber durch die Spiegelsymmetrie ein weiteres auÞer das Paar +-+. Da eine ungerade Anzahl von Y-Y Paaren gebraucht wird, ist (+) mit Y zu besetzen. R 7. Beobachtung: Es sind jetzt alle B B (Y, Y, R) Dreiecke verbraucht. . B . Eines liegt an einer Spitze, die R . . R anderen beiden sind gerade entstanden. R + B . R R + R R . R 8. Beobachtung: Jedes weitere Y-Y Paar erzeugt . . G R Y - - aber jetzt ein neues (Y, Y, R) Dreieck. G G . . . - Y Y R G . R R R - Y R 9. Beobachtung: Es gibt keine vollsymmetrische LÎsung. ComputerlÎsungen fÏr fast vollsymmetrische Dreiecke =================================================== Da wir gesehen haben, daÞ es nicht vollsymmetrisch geht, erhebt sich die Frage nach der symmetrischsten LÎsung fÏr das Dreieck von Triangel. rotationssymmetrische LÎsung mit drei Punkten, (mit @ markiert) die nicht spiegelsymmetrisch sind (2 LÎsungen). 1 3 4 3 2 4 MÎglichkeiten fÏr die @ | symmetrisch 1 2 2 1 | 1 3 @ 4 1 3 4 | 2 1 3 1 1 4 1 . . . . | . . 3 4 @ 1 @ 3 4 2 . 4 3 . 2 | 4 . 3 3 4 4 2 2 3 3 4 | 1 2 2 1 1 1 2 2 1 | geht nicht rotationssymmetrische LÎsung mit sechs Punkten, (mit @ markiert) die nicht spiegelsymmetrisch sind (6 LÎsungen). 1 3 4 3 @ 4 3 4 1 2 2 1 oder oder 1 3 @ 4 1 . . 3 4 1 3 1 1 4 1 3 4 @ 1 @ 3 4 . . . . 2 4 3 2 3 @ 4 2 2 3 @ 4 2 4 3 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 @ 1 @ 1 . 4 3 . 1 4 2 2 3 3 4 2 3 4 oder 2 2 1 1 2 2 @ 4 4 1 3 3 @ 3 1 1 4 4 1 4 3 4 3 1 3 . . . . 1 4 @ 3 2 4 @ 3 1 1 2 2 1