Eine Bijektion zwischen Untergruppen freier Gruppen und Systemen konnexer Permutationen

Summarium

Fakultät für Mathematik der Universität Bielefeld, 1992 Torsten Sillke

In der vorliegenden Arbeit wird eine Bijektion zwischen:

• den Untergruppen U vom Index n der in der von x_{0}, x_{1}, …, x_{k−1} erzeugten Gruppe F_{k} mit der Relation x_{0}x_{1} … x_{k−1} ∈ U,

• und den Systemen von Permutationen (μ_{1}, μ_{2}, …, μ_{k−1}) auf {1, 2, …, n} mit ⟨μ_{1}, …, μ_{k−1}⟩({1, …, i}) ≠ {1, …, i} für alle i = 1, …, n − 1.

konstruiert. Zu diesem Zweck werden Untergruppen U vom Index n der oben beschriebenen Art durch Systeme (τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{k−1}; e_{0}, e_{1}, …, e_{k−1}) von Permutationen τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{k−1} einer festen endlichen Menge E der Kardinalität n und Elementen e_{0}, e_{1}, …, e_{k−1} ∈ E repräsentiert, die den folgenden Bedingungen genügen:

τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{k−1} ∈ E; (Ξ0) (Ξ1) Es gilt τ_{ϵ}e_{ϵ+1} = e_{ϵ} für alle ϵ ∈ {0, 1, …, k − 1}; (Ξ2) Die von τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{k−1} erzeugte Untergruppe

operiert transitiv auf E.

Die Systeme von Permutationen μ_{1}, μ_{2}, …, μ_{k−1} von {1, 2, …, n} mit ⟨μ_{1}, μ_{2}, …, μ_{k−1}⟩({1, …, n}) ≠ {1, …, n} für alle i = 1, …, n werden dagegen durch k-Tupel von Bijektionen w_{0}, w_{1}, …, w_{k−1} : E ˜ ⟶ {1, …, n} repräsentiert, für die es keine nicht-triviale Teilmenge E′ von E mit w_{ϵ}(E′) = {1, …, n} für alle ϵ ∈ {0, 1, …, k − 1}gibt.

Hauptergebnis der Arbeit ist, daß es für festes E genau eine Bijektion zwischen der Menge aller oben beschriebener Systeme (τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{k−1}; e_{0}, e_{1}, …, e_{k−1}) auf der einen Seite und der Menge aller oben beschriebenen Systeme (w_{0}, w_{1}, …, w_{k−1}) auf der anderen Seite gibt, derart daß ein System (τ_{0}, τ_{1}, …, τ_{k−1}; e_{0}, e_{1}, …, e_{k−1}) einem System (w_{0}, w_{1}, …, w_{k−1}) genau dann entspricht, wenn die beiden Systeme für alle ϵ ∈ {0, 1, …, k − 1}den folgenden Bedingungen genügen:

w_{ϵ}(e_{ϵ}) = 1; (T0) (T1) für alle f ∈ E gilt w_{ϵ}(τ_{ϵ}f) ≤ w_{ϵ}(f) + 1; (T2) {f ∈ E | w_{ϵ}(τ_{ϵ}^{i}f) ≤ w_{ϵ}(f) für alle i ∈ ℤ} =

{f ∈ E | w_{ϵ+1}(τ_{ϵ}^{i}f) ≥ w_{ϵ+1}(f) für alle i ∈ ℤ};

(T3) f′, f′′ ∈ {f ∈ E | w_{ϵ}(τ_{ϵ}^{i}f) ≤ w_{ϵ}(f) für alle i ∈ ℤ} und w_{ϵ}(f′) < w_{ϵ}(f′′) impliziert w_{ϵ+1}(f′) < w_{ϵ+1}(f′′).

Alle Indices sind als Indices modulo k aufzufassen.