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%% Preface to the Book of Involutions

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\chapter*{Pr{\setbox0\hbox{\'e}\ht0=0pt\box0}face}
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Quatre des meilleurs alg\'ebristes d'aujourd'hui (j'aimerais dire,
comme jadis, \flqq g\'eom\`etres\frqq, au sens noble mais h\'elas
d\'esuet du terme) nous donnent ce beau \emph{Livre des Involutions},
qu'ils me demandent de pr\'efacer.

Quel est le propos de l'ouvrage et \`a quels lecteurs s'adresse-t-il ?
Bien s\^ur il y est souvent question d'involutions, mais celles-ci
sont loin d'\^etre omnipr\'esentes et le titre est plus l'expression
d'un \'etat d'\^ame que l'affirmation d'un th\`eme central. En fait,
les questions envisag\'ees sont multiples, relevant toutes de domaines
importants des math\'ematiques contemporaines ; sans vouloir \^etre
exhaustif (ceci n'est pas une introduction), on peut citer :
\begin{itemize}
\item[-]
  les formes quadratiques et les alg\`ebres de Clifford,
\item[-]
  les alg\`ebres associatives centrales simples (ici les involutions,
  et notamment celles de seconde esp\`ece, se taillent une place de
  choix !) mais aussi les alg\`ebres alternatives et les alg\`ebres de
  Jordan,
\item[-]
  les alg\`ebres de Hopf,
\item[-]
  les groupes alg\'ebriques, principalement semi-simples,
\item[-]
  la cohomologie galoisienne.
\end{itemize}
Pour ce qui est du public concern\'e, la lecture ou la consultation du
livre sera profitable \`a un large \'eventail de math\'ematiciens. Le
non-initi\'e y trouvera une introduction claire aux concepts
fondamentaux des domaines en question ; expos\'es le plus souvent en
fonction d'applications concr\`etes, ces notions de base sont
pr\'e\-sen\-t\'ees de fa\c{c}on vivante et d\'epouill\'ee, sans
g\'en\'eralit\'es gratuites (les auteurs ne sont pas adeptes de
grandes th\'eories abstraites). Le lecteur d\'ej\`a inform\'e, ou
croyant l'\^etre, pourra r\'eapprendre (ou d\'ecouvrir) quelques beaux
th\'eor\`emes jadis \flqq bien connus\frqq\ mais un peu oubli\'es dans
la litt\'erature r\'ecente, ou au contraire, voir des r\'esultats qui
lui sont en principe familiers expos\'es sous un jour nouveau et
\'eclairant (je pense par exemple \`a l'introduction des alg\`ebres
trialitaires au dernier chapitre). Enfin, les sp\'ecialistes et les
chercheurs auront \`a leur disposition une r\'ef\'erence pr\'ecieuse,
parfois unique, pour des d\'eveloppements r\'ecents, souvents d\^us
aux auteurs eux-m\^emes, et dont certains sont expos\'es ici pour la
premi\`ere fois (c'est par exemple le cas pour plusieurs r\'esultats
sur les invariants cohomologiques, donn\'es \`a la fin du chapitre~7).

Malgr\'e la grande vari\'et\'e des th\`emes consid\'er\'es et les
individualit\'es tr\`es mar\-qu\'ees des quatre auteurs, ce Livre des
Involutions a une unit\'e remarquable.  Le ciment un peu fragile des
involutions n'est certes pas seul \`a l'expliquer.  Il y a aussi, bien
s\^ur, les interconnections multiples entre les sujets trait\'es ;
mais plus d\'eterminante encore est l'importance primordiale
accord\'ee \`a des structures fortes, se pr\^etant par exemple \`a des
th\'eor\`emes de classification substantiels. Ce n'est pas un hasard
si les alg\`ebres centrales simples de petites dimensions (trois et
quatre), les groupes exceptionnels de type $G_2$ et~$F_4$ (on regrette
un peu que Sa Majest\'e~$E_8$ fasse ici figure de parent pauvre), les
alg\`ebres de composition, \dots, re\c{c}oivent autant d'attention.

On l'a compris, ce Livre est tout \`a la fois un livre de lecture
passionnant et un ouvrage de r\'ef\'erence d'une extr\^eme richesse.
Je suis reconnaissant aux auteurs de l'honneur qu'ils m'ont fait en me
demandant de le pr\'efacer, et plus encore de m'avoir permis de le
d\'ecouvrir et d'apprendre \`a m'en servir.

\aufm{Jacques Tits} 

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