%% Copyright (C) 1989, 1998 by Markus Rost.
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%% "Durch Normengruppen definierte birationale Invarianten"
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%% Comptes rendus de l'Academie des sciences - serie I - Mathematique
%% C. R. Acad. Sci. Paris S\'er. I Math. 310 (1990), no. 4, 189-192.
%% Note pres\'ent\'ee par Jean-Pierre Serre.
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\newtheorem*{Satz}{Satz}

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   {{\bf \emph{Version Fran\c caise Abr\'eg\'ee}}\space
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   {\bigbreak}

\def\refname{Literatur}

\begin{document}

\title{Durch Normengruppen definierte birationale Invarianten}
\author{Markus Rost}
\address{NWF I - Mathematik,
  Universit\"at Regensburg,
  D-93040 Regensburg, Germany}
\email{markus.rost@mathematik.uni-regensburg.de}
\urladdr{http://www.physik.uni-regensburg.de/\~{}rom03516}
\renewcommand{\datename}{}
\date{The text appeared as: \frenchspacing C. R. Acad. Sci. Paris
S\'er. I Math. 310 (1990), no. 4, 189--192.}
\maketitle

\language=\German

\begin{Abstracts}{Zusammenfassung}
  Es sei $Z$ eine eigentliche Variet\"at \"uber dem K\"orper~$k$.  Wir
  zeigen den folgenden Reinheitssatz: ist ein Element der
  Funktionenk\"orpers~$K$ einer glatten und eigentlichen
  Variet\"at~$X$ \"uber~$k$ in jedem Punkt der Codimension~$1$ das
  Produkt von einer Einheit und von Normen aus Restklassenk\"orpern
  abgeschlossener Punkte von $Z_K=Z\times_kK$, so gilt dies in jedem
  Punkt von~$X$.  Im Fall $X=\IP^n_k$ findet man sogar einer solche
  Darstellung mit einer Einheit aus~$k^*$.

  \language=\French

  \resume{Invariants birationnels definis par des groupes de
  normes}{R\'esum\'e} Soit $Z$ une vari\'et\'e propre sur un
  corps~$k$, et soit $X$ une vari\'et\'e int\`egre, propre et lisse
  sur~$k$.  Nous \'etablissons le r\'esultat de puret\'e suivant: un
  \'el\'ement du corps des fonctions $K$ de~$X$ qui, en tout point de
  codimension~$1$ de~$X$, peut s'\'ecrire comme produit d'une unit\'e
  et de normes de corps r\'esiduels en les points ferm\'es de
  $Z_K=Z\times_kK$, \`a la m\^eme propri\'et\'e en tout point de~$X$.
  Lorsque $X$ est l'espace projectif sur~$k$, on peut trouver une
  telle repr\'esentation avec une unit\'e globale.

  \language=\English

  \resume{Birational invariants defined by norm groups}{Abstract} Let
  $Z$ be a complete variety over~$k$.  We prove the following purity
  theorem: an element of the function field~$K$ of a proper smooth
  variety $X$ over~$k$, which for any point of~$X$ of codimension~$1$
  can be written as a unit times a product of norms from the residue
  classfields of closed points of~$Z_K$, has the same property with
  respect to any point of~$X$.  If $X=\IP^n_k$, then one may find a
  global unit with this property.
\end{Abstracts}

\language=\French

\begin{VersFrancAbr}
  Soit $Z$ une vari\'et\'e alg\'ebrique propre sur le corps~$k$.  Pour
  toute extension de corps~$K/k$, nous d\'efinissons le groupe
  $N_Z(K)\subset K^*$ comme le sous-groupe du groupe
  multiplicatif~$K^*$ engendr\'e par les groupes de normes
  $N_{\kappa(Q)/K}(\kappa(Q)^*)$, lorsque $Q$ [de corps
  r\'esiduel~$\kappa(Q)$] parcourant les points ferm\'es de la
  $K$-vari\'et\'e $Z_K=Z\times_{\Spec k}\Spec K$.

  Voici deux exemples typiques de tels groupes~$N_Z(K)$.  Si $\varphi$
  est une forme quadratique de Pfister~\cite{S} d\'efinie sur le
  corps~$k$, et $Z$ est la quadrique projective associ\'ee
  \`a~$\varphi$, le groupe~$N_Z(K)$ co\"\i ncide avec le sous-groupe
  $D_\varphi(K)\subset K^*$ form\'e des \'el\'ements non nuls
  repr\'esent\'es par~$\varphi$ sur~$K$.  Par ailleurs, si $A$ est une
  $k$-alg\`ebre centrale simple et $Z$ est la $k$-vari\'et\'e de
  Brauer-Severi associ\'ee, le groupe~$N_Z(K)$ co\"\i ncide avec le
  sous-groupe $\Nrd(A_K^*)\subset K^*$, image de la norme r\'eduite
  sur les \'el\'ements inversibles de la $K$-alg\`ebre simple centrale
  $A_K=A\otimes_kK$.

  Soit $N^0_Z(K)\subset\IZ$ le sous-groupe engendr\'e par les degr\'es
  $[\kappa(Q)\degcolon K]$ des points ferm\'es $Q$ de~$Z_K$.  Si $v$
  est une valuation discr\`ete de rang~$1$ de~$K$, triviale sur~$k$,
  et de corps r\'esiduel~$\kappa$, on a l'inclusion $v(N_Z(K))\subset
  N^0_Z(\kappa)$ et $v$ induit un homomorphisme
  \begin{equation*}
    \bar v\colon K^*/N_Z(K)\to \IZ/N^0_Z(\kappa).
  \end{equation*}
  Pour une $k$-sch\'ema r\'egulier int\`egre~$X$ de corps des
  fonctions~$k(X)$, la formation du diviseur d'une fonction induit
  donc une application
  \begin{equation*}
    \bar d\colon k(X)^*/N_Z(k(X))\to \bigoplus_{x\in
    X^{(1)}}\IZ/N^0_Z(\kappa(x))
  \end{equation*}
  [ici $x$ parcourt l'ensemble~$X^{(1)}$ des points de codimension~$1$
  de~$X$, et $\kappa(x)$ est le corps r\'esiduel en~$x$].

  Lorsque $X$ est propre, nous montrons que le groupe
  $\Sigma_Z(X)=\Ker(\bar d)$ ne d\'epend que du corps de fonctions
  de~$X$.  Plus pr\'ecis\'ement, $\Sigma_Z(X)$ est \'egal \`a
  $\cap_v\Ker(\bar v)$ lorsque $v$ parcourt les valuations discr\`etes
  de rang~$1$ de~$K$ qui sont triviales sur~$k$.  En outre, on a
  l'\'egalit\'e $\Sigma_Z(X\times \IP^n_k)=\Sigma_Z(X)$.  Des cas
  particuliers de ces \'enonc\'es, qui permettent de montrer la non
  $k$-rationalit\'e de certaines vari\'et\'es, avaient \'et\'e obtenus
  par Colliot-Th\'el\`ene, Sansuc, Parimala et Sridharan (\cite{CT},
  \cite{CTS},~\cite{CTPS}).

  Ces \'enonc\'es sont des cons\'equences du r\'esultat principal:
  pour un anneau local~$R$ de~$X$, le groupe $\Sigma_Z(\Spec(R))$ est
  engendr\'e par~$R^*$.  Pour \'etablir cela, nous suivons la
  d\'emonstration de Quillen~\cite{Q} de la conjecture de Gersten en
  $K$-th\'eorie.
\end{VersFrancAbr}

\language=\German

\section{Einleitung}

Es sei $Z$ eine eigentliche Variet\"at \"uber dem K\"orper~$k$.  F\"ur
jede Erweiterung~$K$ von~$k$ sei $N_Z(K)\subset K^*$ die von den
Normengruppen~$N_{\kappa(Q)/K}(\kappa(Q)^*)$ er\-zeugte Untergruppe,
wobei $Q$ hier alle abgeschlossenen Punkte von $Z_K=Z\times_{\Spec
k}\Spec K$ durchl\"auft.  Als Beispiele f\"ur~$Z$ betrachte man die
durch eine Pfisterform~$\varphi$~\cite{S} definierte projektive
Quadrik oder die zu einer einfachen zentralen Algebra~$A$ geh\"orende
Brauer-Severi-Variet\"at; in diesen F\"allen ist
$N_Z(K)=D(\varphi_K)$, die Untergruppe der von~$\varphi$ \"uber~$K$
dargestellten Zahlen aus~$K^*$ (vgl.\ hierzu~\cite{K}), bzw.\ es ist
$N_Z(K)=\Nrd(A^*_K)$, die Gruppe der reduzierten Normen von Einheiten
von $A_K=A\otimes_kK$.

Wir definieren allgemein
\begin{equation*}
  \tilde\Sigma_Z(K)= \cap_v[N_Z(K)\cdot
  U_v],\quad\Sigma_Z(K)=\tilde\Sigma_Z(K)/N_Z(K),
\end{equation*}
wobei $v$ hier alle diskreten Bewertungen vom Rang~$1$ von~$K$
\"uber~$k$ durchl\"auft und $U_v\subset K^*$ die Einheitengruppe
von~$v$ bezeichnet.  [Bei endlichen Erweiterungen~$K$ von~$k$ ist
dabei $\tilde\Sigma_Z(K)=K^*$ zu verstehen].  F\"ur ein regul\"ares
integres Schema~$X$ \"uber~$k$ mit Funktionenk\"orper $K=k(X)$ setzen
wir
\begin{equation*}
  \tilde\Sigma_Z(X)=\cap_x[N_Z(K)\cdot U_x],\quad
  \Sigma_Z(X)=\tilde\Sigma_Z(X)/N_Z(K)
\end{equation*}
wobei $x$ alle Punkte von~$X$ der Kodimension~$1$ durchl\"auft und
$U_x$ die Einheitengruppe der zu~$x$ geh\"orenden Bewertung~$v_x$
bezeichnet.

Ziel dieser Note ist der Beweis der folgenden Tatsachen:
\begin{enumerate}
  \itshape
  \item [I.] Ist $L=K(t)$ eine rationale Erweiterung von~$K$, so
  ist die kanonische Abbildung $\Sigma_Z(K)\to \Sigma_Z(L)$ bijektiv.
  \item[II.] Ist $R$ ein lokaler Ring einer glatten Variet\"at~$X$
  \"uber~$k$, so gilt
  \begin{equation*}
    \Sigma_Z(\Spec R)=[N_Z(K)\cdot R^*]/N_Z(K).
  \end{equation*}
  \item[III.] Ist $X$ eine eigentliche glatte Variet\"at \"uber~$k$ mit Funktionenk\"orper~$K$, so ist die kanonische Abbildung
  $\Sigma_Z(K)\to\Sigma_Z(X)$ bijektiv.
\end{enumerate}
Aus I. und III. ergibt sich, da\ss\ f\"ur eigentliche glatte
Variet\"aten~$X$ die Gruppe~$\Sigma_Z(X)$ eine stabil-birationale
Invariante von~$X$ ist.  Diese Tatsache wurde in Spezial\-f\"allen
bereits von anderen Autoren bewiesen und dazu benutzt, die
Nicht-Rationali\-t\"at gewisser K\"orpererweiterungen~$K|k$
nachzuweisen, vgl.\ \cite{CT}, \cite{CTS},~\cite{CTPS}.

Der Beweis von I. und II. $\Rightarrow$ III. benutzt Standardargumente
der algebraischen Geometrie, im Beweis von II. folgen wir dem Beweis
der Gersten-Vermutung in der $K$-Theorie von Quillen.

\section{Die Divisorenabbildung f\"ur $N_Z(K)$}

F\"ur eine Variet\"at~$Y$ sei $Y_{(i)}$ bzw.~$Y^{(i)}$ die Menge der
Punkte der Dimension~$i$, bzw.\ der Codimension~$i$, und $\kappa(P)$
bezeichne den Restklassenk\"orper von $P\in Y$.  Ist $K$ eine
Erweiterung von~$k$, so definieren wir $N^0_Z(K)\subset \IZ$ als die
von allen Graden $[\kappa(Q)\degcolon L]$ von abgeschlossenen Punkten
$Q\in (Z_K)_{(0)}$ erzeugte Untergruppe.  Ist $v$ eine diskrete
Bewertung von~$K$ \"uber~$k$ mit Bewertungsring~$\CO_v$ und
Restklassenk\"orper~$\kappa(v)$, so gibt es ein kommutatives Diagramm
\begin{equation*}
  \begin{CD}
    \displaystyle\bigoplus_{Q\in (Z_K)_{(0)}}\kappa(Q)^* @> d >>
    \displaystyle\bigoplus_{Q\in
    (Z_{\kappa(v)})_{(0)}}\IZ\\
    @VV N V @VV N^0 V\\
    K^* @> v >> \IZ
  \end{CD}
\end{equation*}
wobei $d$ hier durch die zykeltheoretische Divisorenabbildung
\begin{equation*}
  \begin{CD}
    \displaystyle\bigoplus_{Q\in (Z_{\CO_v})_{(1)}}\kappa(Q)^* @>>>
    \displaystyle\bigoplus_{Q\in (Z_{\CO_v})_{(0)}}\IZ
  \end{CD}
\end{equation*}
induziert ist und $N$,~$N^0$ die gew\"ohnlichen Normenabbildungen
sind:
\begin{equation*}
  N((a_Q)_Q)=\Pi_QN_{\kappa(Q)/K}(a_Q),\qquad
  N^0((n_Q)_Q)=\Sigma_Q[\kappa(Q)\degcolon \kappa(v)]n_Q.
\end{equation*}
Wegen $N_Z(K)=\Bild N$, $N^0_Z(\kappa(v))=\Bild N^0$ ist also
$v(N_Z(K))\subset N^0_Z(\kappa(v))$.

F\"ur ein integres und regul\"ares Schema~$Y$ \"uber~$k$ mit
Funktionenk\"orper~$K$ induziert somit die Divisorenabbildung
$d=(v_y)_{y\in Y^{(1)}}$ einen Homomorphismus
\begin{equation*}
  d_Z\colon N_Z(K)\to\bigoplus_{y\in Y^{(1)}}N^0_Z(\kappa(y)).
\end{equation*}
Es gilt nun folgender

\begin{Satz}
  Ist $Y=\IA^1_k$ oder $Y=\Spec R$ das Spektrum eines lokalen Ringes
  einer glatten Variet\"at~$X$ \"uber~$k$, so ist $d_Z$ surjektiv.
\end{Satz}

Wir zeigen zun\"achst, da\ss\ dieser Satz die oben aufgestellten
Behauptungen impliziert.  Zum Beweis von II. sei
$b\in\tilde\Sigma(\Spec R)$.  Es ist dann $v_y(b)\in N^0_Z(\kappa(y))$
f\"ur alle $y\in (\Spec R)^{(1)}$ und daher ist $y\in N_Z(K)\cdot R^*$
nach dem Satz.  Zum Beweis von I.  \"uberlegt man sich zuerst auf
\"ahnliche Weise $\tilde\Sigma_Z(\IA^1_k)=N_Z(K)\cdot k^*$ mit Hilfe
des Satzes.  Wendet man dies auf die Variet\"at~$Z_K$ \"uber~$K$ an
und betrachtet die Inklusionen [mit $L=K(\IA^1)$]
\begin{equation*}
  \tilde\Sigma_Z(K)\subset\tilde\Sigma_Z(L)\subset\tilde\Sigma_{Z_K}(L)\subset
  \tilde\Sigma_{Z_K}(\IA^1_K)=N_Z(L)\cdot K^*,
\end{equation*}
so erh\"alt man, da\ss\ $\Sigma_Z(K)\to\Sigma_Z(L)$ surjektiv ist; die
Injektivit\"at, d.~h.
\begin{equation*}
  N_Z(L)\cap K^*= N_Z(K)
\end{equation*}
erh\"alt man durch Spezialisierung.  Zum Beweis von III. sei $v$ eine
diskrete Bewertung von~$K$.  Weil $X$ eigentlich ist,
dominiert~$\CO_v$ einen lokalen Ring~$R$ von~$X$, $R\subset \CO_v$.
Ferner ist $\tilde\Sigma(X)\subset \tilde\Sigma(\Spec R)$ und
II. zeigt $\tilde\Sigma(\Spec R)\subset\tilde\Sigma(\Spec \CO_v)$.
Also folgt
\begin{equation*}
  \tilde\Sigma(X)\subset \cap_v\tilde\Sigma(\Spec\CO_v) =
  \tilde\Sigma(K).
\end{equation*}

\section{Beweis des Satzes}

Wir verwenden das Normenprinzip.  F\"ur jeden Punkt $y\in Y^{(1)}$ ist
$N^0_Z(\kappa(y))\subset d_Z(N_Z(K))$ zu zeigen.

Im Fall $Y=\IA^1_k=\Spec k[t]$, $K=k(t)$ ist die kanonische Liftung
von~$y$ nach $Y_{\kappa(y)}$ durch einen Parameter $\alpha=t-t_y$,
$t_y\in\kappa(y)$ gegeben.  Ist nun $Q$ ein abgeschlossener Punkt
von~$Z_{\kappa(y)}$ und $L=K\otimes_k\kappa(Q)$, so definiert $Q$
einen Punkt in~$Z_K$ mit Restklassenk\"orper~$L$ und daher ist
$N_{L/K}(\alpha)\in N_Z(K)$.  Andererseits ist $N_{L/K}(\alpha)\in
k[t]$ ein Polynom, das nur in~$y$ verschwindet und zwar von der
Ordnung $[\kappa(Q)\degcolon \kappa(y)]$.  Da $Q$ beliebig war, folgt
die Behauptung aus der Definition von~$N^0_Z(\kappa(y))$.

Im zweiten Fall folgen wir \cite{Q} (\S 7; Lemma 5.12 auf S.~133 +
folgende Zeilen).  Es sei $R=\CO_{X,x}$ und $W\subset X$ das zu~$y$
geh\"orende abgeschlossene Unterschema.  Nach Verkleinern von~$X$ kann
man annehmen, da\ss\ $X$ affin ist und da\ss\ $W$ durch einen globalen
Parameter definiert ist.  Es gibt dann einen in~$x$ glatten Morphismus
$X\to U$ (mit $U=\IA^{n-1}_k$, $n=\dim X$), so da\ss\ $W$ \"uber~$U$
endlich ist.  Es sei $y'$ das Bild von~$y$ unter der kanonischen
(Diagonal-) Abbildung $W\to X'=X\times_UW$; ferner sei $\pi\colon
X'\to X$ die Projektion.  Wegen der Glattheit von~$X'$ \"uber~$W$ in
den (endlich vielen) Punkten von~$\pi^{-1}(x)$, wird der Zykel~$y'$
lokal um~$\pi^{-1}(x)$ durch einen Parameter~$\alpha$ definiert.  Mit
$K'=K\otimes_{k(U)}\kappa(y)$ ist dann
$N_{K'/K}(\alpha)=\pi_*(\alpha)$ lokal um~$x$ ein Parameter f\"ur
$y=\pi_*(y')$.  F\"ur einen abgeschlossenen Punkt~$Q$ von
$Z_{\kappa(y)}$ erh\"alt man nun wie oben mit $N_{L/K}(\alpha)$
($L=K\otimes_{k(U)}\kappa(Q)$) ein Element aus~$N_Z(K)$ mit Divisor
$[\kappa(Q)\degcolon \kappa(y)]\cdot y$ bzgl.~$\Spec R$.  \qed

\begin{thebibliography}{1}

  \bibitem{CT} {\sc J.-L. Colliot-Th\'el\`ene}, Formes quadratiques
  multiplicatives et vari\'et\'es alg\'ebriques, {\it Bull. Soc. math.
  France}, 106, 1978, S. 113--151; deux compl\'ements, {\it ibid.},
  108, 1980, S. 213--227.

  \bibitem{CTS} {\sc J.-L. Colliot-Th\'el\`ene} und {\sc
  J.-J. Sansuc}, Fibr\'es quadratiques et composantes connexes
  r\'eelles, {\it Math.  Ann.}, 244, 1979, S. 105--134.

  \bibitem{CTPS} {\sc J.-L. Colliot-Th\'el\`ene}, {\sc R. Parimala}
  und {\sc R.  Sridharan}, Un th\'eor\`eme de puret\'e locale, {\it
  C. R.  Acad. Sci. Paris}, 309, Reihe I, 1989, S. 857--862.

%% \bibitem{F} W. Fulton, Intersection Theorey, Ergeb. der Math. und
%% ihrer Grenzg. 3. Folge, Band 2 (1984) Springer-Verlag.

  \bibitem{K} {\sc M. Knebusch}, Ein Satz \"uber die Werte von
  quadratischen Formen \"uber K\"orpern, {\it Inventiones math.}, 12,
  1971, S. 300--303

  \bibitem{Q} {\sc D. Quillen}, Higher algebraic $K$-theory, I.  {\it
  Algebraic $K$-theory}, I, Proc. Conf. Seattle 1972, {\it Lecture
  Notes in Math.} Nr. 341, Springer-Verlag, 1973, S. 85--147.

  \bibitem{S} {\sc W. Scharlau}, {\it Quadratic and Hermitian Forms},
  Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 270, Springer-Verlag,
  1985.

\end{thebibliography}

\end{document}
