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\begin{document}

\title
{Nilpotence, radicaux et structures mono\"{\i}dales}
\author{Yves
Andr\'e et Bruno Kahn}
\address{Institut de Math\'ematiques de
Jussieu\\175--179 rue du
Chevaleret\\ \break 75013
Paris\\France.}
\email{andre@math.jussieu.fr, kahn@math.jussieu.fr}
\date{23 avril 2002}
\subjclass{16N, 16D, 18D10, 18E, 14L,
16G60, 13E10, 17C}
\maketitle

\tableofcontents

 
\renewcommand{\abstractname}{Summary}

\
\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip\bigskip
\bigskip\bigskip


\begin{abstract}
For $K$ a field, a \emph{Wedderburn $K$-linear category} is a
$K$-linear category $\sA$ whose radical $\sR$ is locally nilpotent and
such that
$\bar \sA:=\sA/\sR$ is semi-simple and remains so after any extension of
scalars. We prove existence and uniqueness results for sections of the
projection $\sA\to \bar\sA$, in the vein of the theorems of Wedderburn.
There are two such results: one in the general case and one when $\sA$
has a monoidal structure for which $\sR$ is a monoidal ideal. The latter
applies notably to Tannakian categories over a field of characteristic
zero, and we get a generalisation of the Jacobson-Morozov theorem: the
existence of a \emph{pro-reductive envelope} $\Pred(G)$ associated to any
affine group scheme $G$ over $K$ ($\Pred(\bG_a)=SL_2$, and $\Pred(G)$ is
infinite-dimensional for any bigger unipotent group). Other applications
are given in this paper as well as in a forthcoming one on motives.
\end{abstract}

\newpage

 
\section*{Introduction}

\bigskip\bigskip

En alg\`ebre non commutative, on rencontre d'abord, par ordre de
complexit\'e croissant, les anneaux semi-simples, puis les anneaux
semi-pri\-mai\-res, c'est-\`a-dire les extensions d'un anneau semi-simple
par un id\'eal nilpotent (le radical). Parmi ces derniers, le cas o\`u
l'anneau semi-simple est en fait une alg\`ebre s\'eparable est
particuli\`erement agr\'eable puisque, d'apr\`es un th\'eor\`eme
classique de Wedderburn, l'extension par le radical se scinde.

Par ailleurs, en renversant la tautologie qui identifie tout anneau \`a
une cat\'egorie additive
\`a un seul objet, on peut consid\'erer les cat\'egories additives comme des
anneaux \`a plusieurs objets. Ce point de vue, popu\-laris\'e par B.
Mitchell et R. Street, permet de s'inspirer largement de l'alg\`ebre non
commutative dans les questions cat\'egoriques. Comme tous premiers
exemples, on obtient la notion d'id\'eal, et celle de radical, d'une
cat\'egorie additive.

Suivant ce point de vue, le premier th\`eme de cet article est
l'\'etude des cat\'egories semi-primaires, extensions d'une cat\'egorie
semi-simple par un id\'eal v\'erifiant une condition convenable de
nilpotence (\cf d\'efini\-tion \ref{D4}), et de l'analogue cat\'egorique du
th\'eor\`eme de Wedderburn. Le second th\`eme est l'\'etude du
radical en pr\'esence d'une structure mono\"{\i}dale. Ces th\`emes se
rejoignent dans une version mono\"{\i}dale du th\'eor\`eme de Wedderburn
(th\'e\-o\-r\`e\-mes \ref{T2} et \ref{t4}).

\medskip Nous donnons deux applications principales de ces r\'esultats.
La premi\`ere est la construction de l'\emph{enveloppe pro-r\'eductive}
$\Pred(G)$ d'un groupe al\-g\'e\-bri\-que lin\'eaire
quelconque $G$ en ca\-rac\-t\'e\-ris\-ti\-que nulle. Les repr\'esentations
ind\'ecomposables de $G$ sont en bijection avec les repr\'esentations
ir\-r\'e\-duc\-ti\-bles de $\Pred(G)$, et ceci caract\'erise $\Pred(G)$ si
$K$ est alg\'ebriquement clos (proposition \ref{p14.1}). Le
pro\-to\-ty\-pe est
$\Pred(\bG_a)=SL_2$ (th\'eor\`eme de Jacobson-Morozov). Toutefois,
$\Pred(G)$ n'est en g\'en\'eral pas de
dimension finie: cela arrive d\'ej\`a pour $G=\bG_a\times \bG_a$.
L'existence m\^eme de $\Pred(G)$ n'en implique pas moins une s\'erie de
r\'esultats concrets sur les repr\'esentations ind\'ecomposables des
groupes alg\'ebriques.

La seconde application concerne la
ca\-t\'e\-go\-rie des motifs de Grothendieck construits en termes d'une
\'equiva\-lence ad\'equate quelconque (fix\'ee) pour les cycles
alg\'ebriques. Nous d\'e\-tail\-le\-rons ailleurs (voir d\'ej\`a
 \cite{ak(note)}), en nous contentant dans ce texte de
br\`eves allusions, notamment dans la deuxi\`eme partie. Indiquons ici
seulement que l'on s'attend 
\`a ce qu'une telle cat\'egorie de motifs soit semi-primaire, de radical
compatible 
\`a la structure mono\"{\i}dale (cela d\'ecou\-le\-rait de la conjecture
de Beilinson-Murre et des conjectures standard de Grothendieck); par
ailleurs, nous nous appuyons dans \cite{ak(note)} sur notre version
mono\"{\i}dale du th\'eor\`eme de Wedderburn pour cons\-truire
inconditionnellement les groupes de Galois motiviques.

En fait, l'un des projets directeurs de ce travail a \'et\'e de
s\'eparer nettement ce qui dans la th\'eorie
encore largement conjecturale des motifs purs est de nature purement
cat\'egorique, et ce qui est de nature g\'eom\'etrique.
 
\medskip 
D\'ecrivons plus en d\'etail les quatre parties de ce travail. 

 Les deux premiers paragraphes (et l'appendice)
contiennent une discussion des notions cat\'egoriques fondamentales d'id\'eal, de radical (not\'e $\rad\sA$),
 semi-simplicit\'e, semi-primarit\'e, etc... 

On y introduit la notion de
$K$-{\it cat\'egorie de Wedderburn}, qui joue un r\^ole important dans
la suite ($K$ \'etant un corps): en supposant pour simplifier l'existence
de biproduits finis, il s'agit d'une cat\'egorie
$\sA$ dont les ensembles de morphismes $\sA(A,B)$ sont des $K$-espaces
vectoriels (la composition \'etant $K$-lin\'eaire), telle que les
$\rad\sA(A,A)$ soient des id\'eaux nilpotents des alg\`ebres
d'endomorphismes $\sA(A,A)$, et telle que les $K$-alg\`ebres
$(\sA/\rad\sA)(A,A)$ soient s\'eparables, \ie absolument semi-simples.  

Cette condition de nilpotence est assez faible, et on montre au \S
\ref{radrenf} qu'on ne peut gu\`ere la renforcer sans restreindre
consid\'erablement le champ d'application de la th\'eorie. Dans le cas de
cat\'egories de modules, l'analyse de ces conditions de nilpotence
s'av\`ere intimement li\'ee \`a celle des carquois d'Auslander-Reiten. 

Bien que le radical se comporte ``mal" en g\'en\'eral par extension des
sca\-lai\-res, on montre au \S \ref{s3} que la situation est
meilleure dans le cas d'une $K$-cat\'egorie de Wedderburn. 
Cette premi\`ere partie se termine par l'\'etude et la comparaison (\S
\ref{ext}) de deux notions d'extensions des scalaires pour les
$K$-cat\'egories que l'on rencontre dans la litt\'erature.  

\medskip 
L'objectif de la seconde partie est d'\'etudier en d\'etail le radical
d'une cat\'egorie mono\"{\i}dale sym\'e\-trique rigide (\ie dont les
objets ont des duaux). Il se trouve qu'il n'est pas compatible \`a la
structure mono\"{\i}dale en g\'en\'eral (un exemple de ce ph\'enom\`ene
est donn\'e par la cat\'egorie des repr\'esentations de $GL_p$ en
caract\'eristique $p>0$). Nous comparons chemin faisant le radical au
plus grand id\'eal propre compatible \`a la structure mono\"{\i}dale, et
analysons le quotient de la cat\'egorie par son radical. Actions du
groupe sym\'etrique, puissances ext\'erieures et sym\'etriques sont mises
en \oe uvre dans cette optique. Nous nous sommes largement inspir\'es du
r\'ecent travail de Kimura \cite{ki} sur les motifs de Chow ``de
dimension finie".

On montre que le radical d'une cat\'egorie
tannakienne sur un corps de caract\'eristique nulle est toujours
mono\"{\i}dal, et qu'une telle cat\'egorie est toujours de Wedderburn.
Les th\'eor\`emes \ref{absJannsen} et \ref{nouveau} de ce paragraphe,
beaucoup plus g\'en\'eraux, contiennent une version abstraite des
r\'esultats de Jannsen et de Kimura sur les motifs num\'eriques
\cite{jannsen,ki}. Une attention particuli\`ere a
\'et\'e port\'ee aux variantes $\Z/2$-gradu\'ees, en vue des applications
aux motifs. En particulier, nous faisons le lien entre la 
th\'eorie de Kimura \cite{ki} et
la question de l'alg\'ebricit\'e des projecteurs de K\"unneth pairs
(th\'eor\`eme \ref{tkim.1}). Notre r\'esultat le plus abouti est le
th\'eor\`eme suivant: si on d\'efinit une \emph{cat\'egorie de Kimura}
comme \'etant une cat\'egorie $K$-lin\'eaire pseudo-ab\'elienne
mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide, o\`u $K$ est un corps de
caract\'eristique z\'ero, dont tout objet est de dimension finie au sens
de Kimura (voir section
\ref{kimura}), on a (th\'eor\`eme \ref{tctki}):

\begin{Thm}\label{Tkim} Toute cat\'egorie de Kimura $\sA$ est de
Wedderburn. Son radical $\sR$ est mono\"{\i}dal, et la cat\'egorie
quotient $\sA/\sR$ est semi-simple tannakienne, apr\`es changement
convenable de la contrainte de commutativit\'e.
\end{Thm}

 \medskip La troisi\`eme partie d\'ebute sur le rappel d'une version
cat\'egorique, due \`a Mitchell, de la cohomologie de Hochschild; elle
nous sert \`a prouver le point a) de l'analogue cat\'egorique suivant du
th\'eor\`eme de Wedderburn-Malcev (\cf th\'eor\`emes \ref{T1}, \ref{T2}
et \ref{t4}).

\begin{Thm}\label{th1} a) Soit $\sA$ une $K$-cat\'egorie de Wedderburn, et
soit
$\pi:
\sA\to \sA/\rad(\sA)$ le foncteur de projection. Alors $\pi$ admet une
section fonctorielle. Deux telles sections sont conjugu\'ees.\\
b) Si $\sA$ est mono\"{\i}dale avec $End({\un})=K$, et si le
radical est compatible \`a la structure mono\"{\i}dale (de sorte que $\pi$
est un foncteur mono\"{\i}dal), $\pi$ admet une section mono\"{\i}dale.
Deux telles sections sont conjugu\'ees par un isomorphisme
mono\"{\i}dal.\\ 
c) Si enfin $\sA$ est
sym\'etrique, toute section mono\"{\i}dale est sym\'etrique
(c'est-\`a-dire respecte les tressages) \`a condition que $\car K\ne 2$.
\end{Thm}

La preuve de b), tr\`es technique, se trouve au \S
\ref{s6}. Elle utilise aussi la cohomologie de Hochschild pour
l'alg\`ebre libre sur les objets de la cat\'egorie. Ainsi, a) repose
essentiellement sur le fait qu'une $K$-alg\`ebre s\'eparable est de
dimension $0$ (au sens de \cite[ch. IX, \S 7]{ce}), tandis que b) repose
sur le fait qu'une $K$-alg\`ebre libre est de dimension $1$\dots

La compatibilit\'e des sections mono\"{\i}dales
\`a des tressages, dont il s'agit au point c) du th\'eor\`eme
\ref{th1}, est
\'etudi\'ee en d\'etail au
\S \ref{tre}. Elle n'est pas automatique; toutefois, en caract\'eristique
dif\-f\'e\-ren\-te de $2$, si le tressage r\'esiduel est sym\'etrique, son
image par toute section mono\"{\i}dale $s$ donne lieu \`a un tressage
sym\'etrique canonique sur $\sA$, ind\'ependant du choix de $s$ et qui ne
co\"{\i}ncide avec le tressage originel que si celui-ci \'etait
sym\'etrique. Ceci
s'applique notamment, en caract\'eristique z\'ero,
\`a la quantification de Drinfeld-Cartier d'une cat\'egorie mono\"{\i}dale
sym\'etrique munie d'un tressage infinit\'esimal (exemple \ref{ex4}). 

Le th\'eor\`eme \ref{th1} s'applique en particulier aux cat\'egories de
Kimura, en vertu du th\'eor\`eme \ref{Tkim} (\cf th\'eor\`eme
\ref{kimsplit}).

Au \S \ref{repr}, on conf\`ere une structure g\'eom\'etrique aux
constructions  pr\'e\-c\'e\-den\-tes: groupo\"{\i}des pro-unipotents des
sections (\resp des sections mo\-no\-\"{\i}\-da\-les).

\medskip La derni\`ere partie explore les cons\'equences des r\'esultats
pr\'ec\'edents en th\'eorie des repr\'esentations.

Le \S \ref{radrep} est consacr\'e \`a l'\'etude de
$\sA/\rad(\sA)$, lorsque $\sA$ est la cat\'egorie des repr\'esentations
d'un sch\'ema en groupes affine $G$ (par exemple un groupe alg\'ebrique
lin\'eaire) sur un corps
$K$ de ca\-rac\-t\'e\-ris\-ti\-que nulle. On peut conclure des
r\'esultats pr\'ec\'edents que  
$\sA/\rad(\sA)$ est \'equivalente \`a cat\'egorie des 
re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions
d'un sch\'ema en groupes pro-r\'eductif $\Pred(G)$ contenant $G$. 

Il est plus technique de rendre cette construction canonique. La
question se simplifie si l'on travaille, comme au \S \ref{jm}, dans la
cat\'egorie
$\bGaff_K$ dont les objets sont les $K$-groupes affines et les
morphismes $G\to H$ sont donn\'es par les ensembles quotients de
$Hom_K(G,H)$ par la relation d'\'equivalence $\sim$ telle que $f\sim g$
s'il existe $h\in H_K$ tel que $g=hfh^{-1}$ (ils m\'eritent la notation
$H^1_K(G,H)$). Soit $\bGred_K$ la sous-cat\'egorie pleine form\'ee des
groupes pro-r\'eductifs. Alors (\cf th\'eor\`eme \ref{t1}):

\begin{Thm} Le foncteur d'inclusion $ \bGred_K\to
\bGaff_K$ admet un adjoint (et quasi-inverse) \`a gauche:
$G\mapsto \Pred(G)$.
\end{Thm}

On en d\'eduit une s\'erie de r\'esultats concrets concernant d'une part
la structure des groupes alg\'ebriques, et d'autre part les
repr\'esentations in\-d\'e\-com\-po\-sa\-bles des groupes alg\'ebriques.

L'une de ces applications concerne la notion d'\emph{enveloppe
r\'eductive} d'un sous-groupe ferm\'e d'un groupe r\'eductif, \ie de
sous-groupe r\'eductif interm\'ediaire minimal. On a (\cf th\'eor\`eme
\ref{T3})

\begin{Thm} a) Deux enveloppes r\'eductives de $G$ dans $H$
sont toujours conjugu\'ees par un \'el\'ement de $h \in H(K)$ commutant
\`a $G$.
\\ b) Soit $H\to H_0$ un homomorphisme de groupes r\'eductifs, et 
soit $G_0$ l'ima\-ge de $G$ dans $H_0$. Alors
l'ima\-ge dans $H_0$ de toute enveloppe r\'eductive de $G$ dans $H$ est
une  enveloppe r\'eductive de $G_0$ dans $H_0$.
\end{Thm} 

Dans un paragraphe ant\'erieur, on examine l'avatar non mono\"{\i}dal,
plus simple, de ces constructions, ce qui m\`ene \`a la notion
d'enveloppe semi-simple d'une alg\`ebre profinie (sur un corps parfait).
Ces enveloppes sont intimement li\'ees aux alg\`ebres d'Auslander. Nous
les calculons dans le cas des alg\`ebres h\'er\'editaires de dimension
finie.

\medskip
Enfin, dans un appendice, nous donnons pour m\'emoire diverses
ca\-rac\-t\'e\-ri\-sa\-tions des cat\'egories semi-simples, dont la
plupart sont sans doute bien connues des sp\'ecialistes.

\medskip
Les auteurs se sont beaucoup amus\'es \`a \'ecrire cet article, dont
l'\'e\-la\-bo\-ra\-tion s'est r\'ev\'el\'ee jusqu'au bout pleine de
rebondissements. Ils craignent que ce c\^ot\'e ludique n'\'echappe aux
lecteurs. Ils esp\`erent n\'eanmoins que ceux-ci prendront plaisir \`a
lire l'\'enonc\'e de certains th\'eor\`emes. 

\newpage 

\addtocontents{toc}{{\bf I. Radicaux et nilpotence}\hfill\thepage}
\
\bigskip
\begin{center}
\large\bf I. Radicaux et nilpotence
\end{center}
\bigskip
L'objectif de cette partie est l'\'etude des cat\'egories qui sont extensions d'une cat\'egorie additive
semi-simple par un ``id\'eal" (localement) nilpotent. Com\-me en alg\`ebre
non commutative, la notion de radical joue ici un r\^ole de premier plan.
On \'etudie aussi ce qui lui arrive par extension des scalaires.
  
\section{Id\'eaux et radicaux}\label{s1}

Soit $K$ un anneau commutatif unitaire. Pour pr\'evenir les paradoxes
ensemblistes, il est utile de fixer d\`es
\`a pr\'esent un univers $\sU$ (contenant $K$). Les ensembles
d'objets et de fl\`eches d'une \emph{petite} cat\'egorie se trouvent donc
dans $\sU$.


\subsection{$K$-cat\'egories, cat\'egories $K$-li\-n\'e\-aires et
$K$-cat\'egories \allowbreak pseu\-do-a\-b\'e\-lien\-nes}\label{biprod}  
Par
\emph{$K$-ca\-t\'e\-go\-rie}, nous entendons une cat\'egorie
telle que pour tout couple d'objets
$(A,B)$, les morphismes de $A$ vers $B$ forment un $K$-module $\sA(A,B)$,
et que la composition des morphismes soit $K$-lin\'eaire (pour $K=\Z$, on
dit aussi cat\'egorie pr\'e-additive). 

Un \emph{$K$-foncteur} entre deux $K$-cat\'egories est un foncteur
$K$-lin\'eaire (sur les $K$-modules de morphismes).

\'Etant donn\'e deux objets $A,A'\in \sA$, un \emph{biproduit} de
$(A,A')$ est un syst\`eme $(C,i,i',p,p')$, avec $C\in \sA$, $i\in
\sA(A,C)$, $i'\in \sA(A',C)$, $p\in \sA(C,A)$, $p'\in \sA(C,A')$, le tout
v\'erifiant les identit\'es
\begin{equation}\label{eqbiprod}
pi=1_A,\quad p'i'=1_B,\quad ip+i'p'=1_C.
\end{equation}

Un tel biproduit, s'il existe, est \`a la fois un produit et un
coproduit et est d\'etermin\'e \`a isomorphisme unique pr\`es. On dit que
$\sA$ est \emph{$K$-lin\'eaire} si tout couple $(A,A')$ d'objets de $\sA$
admet un biproduit.  Le choix d'un tel biproduit pour chaque couple
d'objets $(A,A')$ d'une petite cat\'egorie
$K$-lin\'eaire $\sA$ d\'efinit alors un $K$-foncteur
$\oplus:\sA\times\sA\to \sA$, d\'etermin\'e \`a isomorphisme naturel
\emph{unique} pr\`es, qui fait de $\sA$ une cat\'egorie mono\"{\i}dale
sym\'etrique (l'unit\'e \'etant l'objet nul).  

D'apr\`es une variante de \cite[ch. VIII, prop. 4]{maclane},  un
foncteur $T:\sA\to \sB$ entre deux cat\'egories $K$-lin\'eaires est un 
$K$-foncteur si et seulement s'il transforme un biproduit en un
biproduit. Si on s'est donn\'e des biproduits $\oplus$ sur
$\sA$ et $\sB$, il existe alors un isomorphisme naturel canonique
$\oplus \circ (T,T)\cong T\circ \oplus$.

Enfin, une $K$-cat\'egorie $\sA$ est
\emph{pseudo-ab\'elienne} si tout projecteur a un
noyau (et une image): pour tout objet
$A\in
\sA$ et tout
\'el\'ement
$e\in
\sA(A,A)$ v\'erifiant $e^2=e$, il existe un objet $B\in \sA$ et un
morphisme
$f:B\to A$ tel que $f$ soit un noyau de $(0,e)$. Si $(C,g)$ est un noyau
de $1-e$, le morphisme $f\coprod g:B\oplus C\to A$ est alors un
isomorphisme.

Toute $K$-cat\'egorie ab\'elienne est $K$-lin\'eaire et
pseudo-ab\'elienne.

\begin{rem} La terminologie varie suivant les auteurs. Ainsi, Saavedra
\cite[I.0.1.2]{saavedra} appelle cat\'egorie $K$-lin\'eaire ce que nous
appelons
$K$-ca\-t\'e\-go\-rie. De m\^eme, une cat\'egorie pseudo-ab\'elienne est
souvent appel\'ee \emph{karoubienne}\footnote{Cette notion n'est pas
sp\'ecifiquement additive, \cf par exemple
\protect\cite[VI.4.1.2.1]{saavedra}.}.
\end{rem}

On a les d\'efinitions suivantes, \'etroitement li\'ees aux
pr\'ec\'edentes:

\begin{defn}\label{ep-loc} Une sous-cat\'egorie pleine $\sB$ d'une
$K$-cat\'egorie $\sA$ est
\begin{thlist}
\item \emph{\'epaisse} si elle est stable par facteur directs
(repr\'esentables dans $\sA$);
\item \emph{localisante} si elle est \'epaisse et stable par sommes
directes quelconques (repr\'esentables dans $\sA$).
\end{thlist}
\end{defn}

\begin{sorite}\label{so0} Soient $\sA,\sB$ deux $K$-cat\'egories et $T,T'$
deux
$K$-foncteurs de $\sA$ vers $\sB$. Soit $u:T\Rightarrow T'$ une
transformation naturelle. Alors, pour tout biproduit $A\oplus B$ dans
$\sA$, on a
\[u_{A\oplus B}=u_A\oplus u_B\]
modulo les isomorphismes naturels $T(A\oplus B)\simeq T(A)\oplus
T(B)$.\qed
\end{sorite}

\subsection{Compl\'etions}\label{rap} \'Etant
donn\'e une $K$-cat\'egorie $\sA$, on
peut former son enveloppe
$K$-lin\'eaire
$\sA^\oplus$ (adjonction de sommes directes finies,
cf.
\cite[\S 2]{kelly}), son enveloppe pseudo-ab\'elienne
$\sA^\natural$
(scindage
d'idempotents, cf.
\cite[\S 1,\S
11]{mitchell}), et son enveloppe $K$-lin\'eaire
pseudo-ab\'elienne
$\sA^{\oplus\natural}$ (parfois
appel\'ee compl\'etion projective, ou
de Cauchy, ou de Karoubi\dots),
formant un carr\'e de
sous-cat\'egories
pleines
\begin{equation}\label{eq1}
\begin{matrix}
\;&\;& \sA^\oplus &\;&\;\\
\;&\nearrow\;&\;&\searrow &\;\\
     \sA &\;&\;&\;& \sA^{\oplus\natural}. \\
     \;&\searrow\;&\;&\nearrow &\;\\
                       \;&\;&
\sA^\natural &\;&\; \end{matrix}\end{equation}

Pour r\'ef\'erence, rappelons les
constructions de $\sA^\oplus$ et de $\sA^\natural$:

\subsubsection{$\sA^\oplus$} Les objets sont des
suites finies
$(A_1,A_2,\dots, A_n)$ d'objets de $\sA$, not\'ees $A_1\oplus A_2
\oplus \dots \oplus A_n $ \cite[\S 2]{kelly}. Les morphismes entre 
$A_1\oplus A_2
\oplus \dots \oplus A_n $ et $A'_1\oplus A'_2
\oplus \dots \oplus A'_m $ sont donn\'es par les matrices dont le 
coefficient d'ordre $(i,j)$ est dans
$\sA(A_i,A'_j)$ (se composant selon la r\`egle usuelle). 

Cette construction est $2$-covariante en $\sA$: un foncteur $T: \sA \to 
\sB$ \'etant donn\'e, on lui associe
foncteur $T^\oplus: \sA^\oplus \to \sB^\oplus$ construit sur $T$ 
composante par composante. Il est donc
``strictement additif" par d\'efinition: l'isomorphisme canonique 
$T^\oplus(X)\oplus T^\oplus(Y)=
T^\oplus(X\oplus Y)$ est l'identit\'e pour tout couple d'objets $(X,Y)$ de $\sA^\oplus$.
De m\^eme, \`a une transformation naturelle $u:T\Rightarrow T'$
correspond une transformation naturelle $u^\oplus:T^\oplus\Rightarrow
{T'}^\oplus$ sur le mod\`ele du sorite \ref{so0}.


\subsubsection{$\sA^\natural$} Les objets sont les couples $(A,e)$ avec
$A\in\sA$ et $e\in \sA(A,A)$ v\'erifiant $e^2=e$. Pour un autre tel
couple $(B,f)$, on pose
\[\sA^\natural((A,e),(B,f))=f\sA(A,B)e\subset \sA(A,B).\]

\begin{sloppypar}
Les morphismes se composent de mani\`ere \'evidente. Cette construction
est \'egalement $2$-covariante en $\sA$ ($T^\natural(A,e)=(T(A),T(e))$,
$u^\natural_{(A,e)}=T'(e)u_A T(e)$).
\end{sloppypar}

\subsubsection{Propri\'et\'es universelles} Les
deux constructions ci-dessus ont des propri\'et\'es universelles. Quitte
\`a introduire des $2$-cat\'egories, on peut les interpr\'eter  comme des
adjoints \`a gauche. Soit $\{K\}$ la $2$-cat\'egorie dont les objets sont
les petites $K$-cat\'egories, les $1$-morphismes les
$K$-foncteurs et les $2$-morphismes les transformations naturelles. Soient
$\{K\}^\oplus,\{K\}^\natural,\{K\}^{\oplus\natural}$ les
sous-$2$-cat\'egories pleines de $\{K\}$ (m\^emes $1$-morphismes et
m\^emes $2$-mor\-phis\-mes) form\'ees des cat\'egories
$K$-li\-n\'e\-ai\-res, pseudo-ab\'eliennes et $K$-li\-n\'e\-ai\-res
pseudo-ab\'eliennes. Alors:

\begin{sorite}\label{so01} a) Pour tout couple de petites $K$-cat\'egories
$(\sA,\sB)$, avec $\sB$ $K$-lin\'eaire, les foncteurs de restriction
\begin{align*}
\{K\}^\oplus(\sA^\oplus,\sB)&\to \{K\}(\sA,\sB)\\
\{K\}^\natural(\sA^\natural,\sB)&\to \{K\}(\sA,\sB)
\end{align*}
sont pleinement fid\`eles et surjectifs. De plus, pour tout $T\in
\{K\}(\sA,\sB)$, la fibre de $T$ est un groupo\"{\i}de \`a groupes
d'automorphismes triviaux.\\
b) Pour tout couple de petites $K$-cat\'egories
$(\sA,\sB)$, les foncteurs
\begin{align*}
\{K\}(\sA,\sB)&\to \{K\}^\oplus(\sA^\oplus,\sB^\oplus)\\
\{K\}(\sA,\sB)&\to \{K\}^\natural(\sA^\natural,\sB^\natural)
\end{align*}
sont pleinement fid\`eles (mais pas essentiellement surjectifs en
g\'en\'eral).\qed
\end{sorite}

(Le fait que les foncteurs consid\'er\'es en a) ne soient pas
bijectifs sur les objets provient des choix possibles de biproduits et
de noyaux.)

\subsection{Alg\`ebres \`a plusieurs objets}\label{1.3}
Dans cet article, nous adoptons le point de vue de B. Mitchell
\cite{mitchell} et
consid\'erons les $K$-cat\'egories comme
des ``$K$-alg\`ebres (associatives) \`a plusieurs objets".

Suivant ce point de vue, un id\'eal (bilat\`ere) $\sI$
d'une
$K$-cat\'egorie $\sA$ est
la donn\'ee, pour tout
couple
d'objets $(A,B)$, d'un sous-$K$-module de $\sI(A,B)\allowbreak \subset
\sA(A,B)$
tel que
pour tout couple de morphismes $(f \in \sA(A,A'), g \in
\sA(B,B'))$, on
ait
$g\sI(A',B)f \subset \sI(A,B')$.

On peut alors
former la $K$-cat\'egorie quotient $\sA /\sI$ (qui a les
m\^emes
objets que $\sA$). Si $A=\oplus A_i, B= \oplus B_j$, alors
$\sI(A,B)$
s'identifie
ca\-no\-ni\-que\-ment \`a $\oplus_{i,j} \sI (A_i,B_j)$.

\begin{ex} Si $X$ est un ensemble d'objets de $\sA$, stable par
biproduit, la famille d'ensembles 
\[\sI(A,B)=\{f\in \sA(A,B)\mid f \text{ se factorise \`a travers un objet
de } X\}\]
est un id\'eal de $\sA$. Le quotient $\sA/\sI$ est souvent not\'e $\sA/X$.
\end{ex}



On a une
notion \'evidente d'id\'eal produit (\resp somme, \resp intersection) de
deux id\'eaux
$\sI\cdot\sJ$ (\resp $\sI+\sJ$, \resp $\sI\cap \sJ$). On prendra toutefois 
garde de ne pas confondre les
id\'eaux $(\sI\cdot\sJ)(A,A)=\{\sum f\circ
g,B \in Ob\sA, f\in \sA(B,A),
g\in \sA(A,B)\}$ et
$\sI(A,A)\cdot\sJ(A,A)$ de la $K$-alg\`ebre
$\sA(A,A)$.

Le noyau d'un $K$-foncteur est l'id\'eal $\Ker T$ de $\sA$ form\'e des
morphismes que $T$ annule; $T$ induit une $K$-\'equivalence entre le
quotient $\sA/\Ker T$ et une sous-cat\'egorie non pleine de $\sB$.

\begin{lemme}\label{l1} Supposons $\sA$ $K$-lin\'eaire.
Soient $\sI,\sJ$
deux id\'eaux de $\sA$. Supposons que
$\sI(A,A)\subset \sJ(A,A)$ pour tout
objet $A$ de $\sA$. Alors
$\sI\subset \sJ$.
\end{lemme}

\prf Soient $A,B\in \sA$. On a
$\sA(A\oplus B,A\oplus B)=\sA(A,A)\oplus
\sA(A,B)\oplus
\sA(B,A)\oplus \sA(B,B)$. En utilisant les injections de
$A$ et $B$
dans $A\oplus B$ et les projections de $A\oplus B$ sur $A$ et
$B$, on
voit que $\sA(A,B)\cap \sI(A\oplus B,A\oplus B)=\sI(A,B)$, et
de
m\^eme pour $\sJ$. Le lemme en r\'esulte.\qed

Notons $K$-$Mod$ la
cat\'egorie $K$-lin\'eaire des $K$-modules.

\begin{defn}\label{D2 1/2} Un {\it $\sA$-module} (\`a gauche) est un
$K$-foncteur $M:\sA\to
K$-$Mod$.\\
Il est dit \emph{fini} si tous les $M(A)$ sont de type fini sur
$K$.
\end{defn}

Les $\sA$-modules (\resp les $\sA$-modules finis) forment une cat\'egorie
a\-b\'e\-lien\-ne $K$-lin\'eaire,
not\'ee $\sA\hbox{--}Mod$ \footnote{Notation
compatible \`a la pr\'ec\'edente si
    l'on consid\`ere $K$ comme
cat\'egorie \`a un seul objet.} (\resp $\sA\hbox{--}Modf$). Tout
$K$-foncteur $F:\sA\to \sB$
induit par
composition des $K$-foncteurs en sens inverse
$F^\ast:\sB\hbox{--}Mod\to \sA\hbox{--}Mod$ et $F^\ast:\sB\hbox{--}Modf\to
\sA\hbox{--}Modf$.

Nous aurons aussi besoin de la
notion suivante:

\begin{defn}\label{d1} Soit $A\in \sA$. 
Un \emph{$A$-id\'eal \`a gauche}
de $\sA$ est la donn\'ee,
pour tout
$B\in \sA$, d'un sous-$K$-module $\sI(B)$ de $\sA(A,B)$,
telle que la
famille des
$\sI(B)$ soit stable par composition \`a
gauche.
\end{defn} 

On a une notion \'evidente d'id\'eal \`a gauche somme (\resp
intersection) de deux id\'eaux \`a gauche. 
 
\medskip Pour tout $A\in \sA$, notons ${}_A \sA$ le foncteur $B\mapsto
\sA(A,B)$. Ceci d\'efinit un $K$-foncteur contravariant
\begin{align*}
Y_\sA:\sA^{\rm o}&\to \sA\hbox{--}Mod\\
A&\mapsto  {}_A \sA.
\end{align*}

Pour que l'image de $Y_\sA$
soit contenue dans $\sA\hbox{--}Modf$, il faut et il suffit que
$\sA(A,B)$ soit un $K$-module de type fini pour tous $A,B\in \sA$. De ce
point de vue, un $A$-id\'eal \`a gauche n'est autre qu'un sous-objet de
${}_A \sA$.

On a dualement les cat\'egories $Mod\hbox{--}\sA$ et $Modf\hbox{--}\sA$
des $\sA$-modules \`a droite\footnote{C'est celle consid\'er\'ee par
Street
\cite{street}.} et des $\sA$-modules \`a droite finis (contravariants),
ainsi que les
$A$-id\'eaux \`a droite. On a le
$K$-foncteur covariant
\begin{align*}
{}_\sA Y:\sA&\to Mod\hbox{--}\sA\\
A&\mapsto   \sA{}_A:B\mapsto \sA(B,A).
\end{align*}

\begin{defn}\label{d1.1} Un objet $X$ d'une cat\'egorie $\sC$ est 
\emph{compact} si le foncteur $Y\mapsto \sC(X,Y)$ commute aux limites
inductives quelconques (re\-pr\'e\-sen\-ta\-bles dans $\sC$).
\end{defn}

Le r\'esultat suivant est bien connu (par exemple \cite[III.2 et
III.7]{maclane}, \cite{street}):

\begin{prop}\label{p1.1}
a) Pour tout $A\in \sA$ et tout $M\in
Mod\hbox{--}\sA$, l'homomorphisme
\begin{align*}
Mod\hbox{--}\sA(\sA{}_A,M)&\to M(A)\\
f&\mapsto f(1_A)
\end{align*}
est bijectif.\\
b) Le foncteur ${}_\sA Y$ est pleinement fid\`ele. Un
module appartenant \`a son i\-ma\-ge essentielle est dit
\emph{repr\'esentable}.\\ 
c) La cat\'egorie
$Mod\hbox{--}\sA$ est stable par limites inductives et projectives
quelconques.\\ 
d) Tout objet $M$ de $Mod\hbox{--}\sA$ est limite inductive d'objets
repr\'esentables.\\ 
e) Si $\sA$ est stable par limites inductives quelconques, le foncteur
${}_\sA Y$ admet un adjoint \`a  gauche
$\colim:Mod\hbox{--}\sA\to \sA$, qui en est aussi un inverse \`a gauche.\\
f) Supposons $\sA$ $K$-lin\'eaire et pseudo-ab\'elienne. Alors, pour tout objet $M$ 
de \allowbreak $Mod\hbox{--}\sA$, les conditions suivantes sont
\'equivalentes:
\begin{thlist}
\item $M$ est compact. 
\item Pour tout syst\`eme inductif $(N_i)_{i\in I}$ d'objets de
$Mod\hbox{--}\sA$ index\'e par une petite
cat\'egorie $I$, l'homomorphisme
\[\colim Mod\hbox{--}\sA(M,N_i)\to Mod\hbox{--}\sA(M,\colim N_i)\]
est surjectif.
\item $M$ est repr\'esentable.
\end{thlist}
\end{prop} 

Rappelons rapidement la d\'emonstration, pour la commodit\'e du lecteur.
Dans a)
(lemme de Yoneda enrichi), l'application inverse est donn\'ee par
$m\mapsto (f\mapsto M(f)m)$. b) en r\'esulte imm\'ediatement. c) est
clair, puisque $K\hbox{--}Mod$ a la m\^eme propri\'et\'e: les limites se
calculent ``argument par argument".  

Pour voir d), on consid\`ere la
cat\'egorie $\sC$ dont les objets sont les couples $(A,x)$ avec $A\in \sA$
et $x\in M(A)$, un morphisme $(A,x)\to (B,y)$ \'etant un morphisme $f\in
\sA(A,B)$ tel que $M(f)(x)=y$: par a), le syst\`eme inductif
\begin{align*}
T:\sC&\to Mod\hbox{--}\sA\\
(A,x)&\mapsto \sA_A
\end{align*}
s'envoie vers $M$ et on v\'erifie que $\colim T\to M$ est un isomorphisme.

On d\'eduit e) de d) comme suit: soit $M\in Mod\hbox{--}\sA$. \'Ecrivons
$M=\colim \sA_{A_i}$: on d\'efinit alors $\colim M=\colim A_i$. On
utilise b) pour montrer que ce foncteur est bien d\'efini et pour
v\'erifier sa propri\'et\'e d'adjonction.

Enfin, on d\'eduit \'egalement f) de a) et d) comme suit:
(iii) $\If$ (i) r\'esulte imm\'ediatement de a). (i) $\If$ (ii) est
\'evident. Pour voir que (ii) $\If$ (iii), soit
$M$ un objet v\'erifiant (ii): \'ecrivons $M=\colim_{i\in I} \sA_{A_i}$,
o\`u
$I$ est une petite cat\'egorie. Il existe alors un ensemble fini $I_0$
d'objets de $I$ tel que l'identit\'e: $M\to M$ se factorise \`a travers
$\displaystyle\bigoplus_{i\in I_0}\sA_{A_i}$.\qed


\begin{rems}\ \label{r1.1}
\begin{itemize}
\item[a)] On laisse au lecteur le soin d'obtenir les \'enonc\'es
correspondants pour $\sA\hbox{--}Mod$, en rempla\c cant $\sA$ par
$\sA^{\rm o}$.
\item[b)] On dit qu'un objet $M\in Mod\hbox{--}\sA$ est \emph{de
pr\'esentation finie} si le foncteur ${}_M Mod\hbox{--}\sA$ commute aux
limites inductives \emph{filtrantes}. (Comme il est additif, il commute
alors aussi aux sommes directes quelconques.) On se gardera de confondre
cette notion avec celle d'objet compact, qui est plus restrictive.
\end{itemize}
\end{rems}

La construction $\sA\mapsto Y_\sA$ \emph{n'est pas} $2$-fonctorielle en
$\sA$. Par contre:

\begin{cor}[\cf \protect{\cite[p. 140]{street}}]\label{morita} Soit
$F:\sA\to
\sB$ un
$K$-foncteur. Alors $F^*:\sB\hbox{--}Mod\to \sA\hbox{--}Mod$ est une
\'equivalence de cat\'egories si et seulement si $F^{\oplus\natural}$ est
une \'equivalence de cat\'egories. On dit alors que $F$ est une
\emph{\'e\-qui\-va\-len\-ce de Morita}.\qed
\end{cor}

\prf Cela r\'esulte imm\'ediatement de la proposition \ref{p1.1} f).\qed

\begin{lemme}\label{corresp} Soit $A\in \sA$; notons encore $A$ son image
dans
$\sA^\oplus$, $\sA^\natural$ et $\sA^{\oplus\natural}$. Alors 
\\a) Il
y a bijection entre les $A$-id\'eaux \`a gauche dans $\sA$,
$\sA^\oplus$,
$\sA^\natural$ et
$\sA^{\oplus\natural}$.
\\ b) Il
y a bijection entre les id\'eaux (bilat\`eres) dans $\sA$,
$\sA^\oplus$,
$\sA^\natural$ et
$\sA^{\oplus\natural}$.
\\c) Pour tout id\'eal $\sI$ de $\sA$, notons $\sI^\oplus$ l'id\'eal
correspondant de $\sA^\oplus$. Alors on a un isomorphisme canonique
$\sA^\oplus/\sI^\oplus= (\sA/\sI)^\oplus$.
\\d) Pour tout id\'eal $\sI$ de $\sA$, notons $\sI^\natural$ l'id\'eal
correspondant de $\sA^\natural$. Alors on a un foncteur canonique
pleinement fid\`ele
 $\sA^\natural/\sI^\natural\to (\sA/\sI)^\natural$. C'est un
isomorphisme si et seulement si les idempotents des alg\`ebres
d'endomorphismes $(\sA/\sI)(A,A)$ se rel\`event en des idempotents
des al\-g\`e\-bres d'endomorphismes $\sA(A,A)$.
 \end{lemme}

\prf a): Cela r\'esulte imm\'ediatement de l'interpr\'etation des
$A$-i\-d\'e\-aux \`a gauche
comme \'etant les sous-modules du $\sA$-module \`a
gauche
${}_A\sA:B\mapsto \sA(A,B)$ et du fait que le carr\'e
\eqref{eq1}
induit un carr\'e d'\'equivalences de
cat\'egories (corollaire \ref{morita}):
\[
\begin{matrix}   \;&\;& \sA^\oplus\hbox{--}Mod
&\;&\;\\
\;&\nearrow\;&\;&\searrow &\;\\

\sA\hbox{--}Mod &\;&\;&\;& \sA^{\oplus\natural}\hbox{--}Mod. \\

\;&\searrow\;&\;&\nearrow &\;\\
                       \;&\;&
\sA^\natural\hbox{--}Mod &\;&\;
\end{matrix}\]
b): voir  \cite[prop.
2]{street}

c) est imm\'ediat.

d): pour tout couple d'objets $(A,e), (A,e')$ de $\sA^\natural$, on a
\[\sA^\natural((A,e),(A',e'))=e'\sA(A,A')e\]
et
\[\sI^\natural((A,e),(A',e'))=e'\sI(A,A')e.\]
 
On a donc
\begin{multline*}\sA^\natural/\sI^\natural((A,e),(A',e'))= \bar
e'((\sA/\sI)^\natural(A,A'))\bar
e\\=(\sA/\sI)^\natural((A,\bar e),(A',\bar e'))
\end{multline*} 
o\`u $\bar e,\bar e'$ d\'esignent les images de $e$ et
$e'$ modulo $\sI$. Le foncteur $(A,e)\mapsto (A,\bar e)$ est donc
pleinement fid\`ele. L'hypoth\`ese de rel\`evement des idempotents
\'equivaut \`a dire qu'il est bijectif sur les objets.  
\qed

\subsection{Radical} On d\'emontre \cite{kelly}
que
\begin{multline*}
\rad(\sA)(A,B)=\\
\{f\in \sA(A,B)\mid
\text{pour tout}\ g\in
\sA(B,A), 1_A-gf \text{  est
inversible}\}
\end{multline*}
d\'efinit un id\'eal $\rad(\sA)$ de
$\sA$.

\begin{defn}\label{D1} Cet id\'eal s'appelle le
\emph{radical} de $\sA$.
\end{defn}
Si $\sA$ est une $K$-alg\`ebre,
vue comme $K$-cat\'egorie \`a un seul
objet, on retrouve une
d\'efinition du
radical de Jacobson.

Mentionnons pour m\'emoire qu'un autre radical a \'et\'e introduit dans la
th\`ese de Gabriel \cite{gabriel} (c'est celui qui est \'evoqu\'e dans
\cite{bru2}):
\begin{multline*}
\rad'(\sA)(A,B)=\\
\{f\in \sA(A,B)\mid
\text{pour tout}\ g\in
\sA(B,A), gf \text{  est
nilpotent}\}.
\end{multline*}

On pourrait donc parler de radical de Gabriel et de radical de Kelly (le
dernier \'etant une version cat\'egorique du radical de Jacobson\dots) On
a \'evidemment $\rad'(\sA)\subset \rad(\sA)$, avec \'egalit\'e si et
seulement si, pour tout $A\in \sA$, $\rad(\sA)(A,A)$ est un nilid\'eal.

\begin{sloppypar}
\begin{prop}\label{P1} $a)$ Le
radical est le plus grand id\'eal
$\rad(\sA)$ tel que
$\rad(\sA)(A,A)$
soit contenu (\resp co\"{\i}ncide) avec le radical
de Jacobson de
$\sA(A,A)$ pour tout objet $A$.\\
$b)$ C'est aussi le
plus grand id\'eal de $\sA$
tel que le foncteur quotient $\sA\to \sA / \rad(\sA)$ soit
conservatif, i.e. refl\`ete les isomorphismes.
Ce foncteur refl\`ete aussi r\'etractions et
cor\'etractions\footnote{Rappelons qu'une r\'etraction (\resp
cor\'etraction) est un morphisme inversible \`a droite (\resp \`a
gauche); on dit aussi \'epimorphisme scind\'e (\resp monomorphisme
scind\'e).}.
\end{prop}
\end{sloppypar}

Voir \cite[th. 1]{kelly}, \cite[\S 4]{mitchell}, \cite[prop.
6]{street}. On voit tout de suite que
la notion de radical est auto-duale. 

\begin{cor}\label{corresp1} Les radicaux des cat\'egories
$\sA,\sA^\oplus,\sA^\natural$ et $\sA^{\oplus\natural}$ se
cor\-res\-pon\-dent par les bijections du lemme
\ref{corresp} b). 
\end{cor}
 
\prf Cela d\'ecoule du point a) de la proposition \ref{P1}.\qed

\begin{defn}\label{D2} Soit $T:\sA\to \sB$ un $K$-foncteur
entre deux $K$-ca\-t\'e\-go\-ries. Alors $T$ est dit \emph{radiciel} si
$T(\rad(\sA))\subset
\rad(\sB)$.
\end{defn}

\begin{sloppypar}
\begin{lemme} \label{L1} Si $T$ est plein, il est radiciel. D'autre
part, si $T$ est conservatif, on a
$T^{-1}(\rad(\sB))\subset \rad(\sA)$.
\\ 
Si $T$ est radiciel et conservatif, on a $T^{-1}(\rad(\sB))=\rad(\sA)$.
Si $T$ est m\^eme plein, 
$T(\rad(\sA))$ est \'egal \`a la restriction de $\rad(\sB)$ \`a $T(\sA)$.
\end{lemme}

\prf Le premier point d\'ecoule imm\'ediatement du point $a)$ de la proposition
\ref{P1}.
Prouvons le second: soit
$f\in
\sA(A,B)$ tel que
$T(f)\in \rad(\sB)(T(A),T(B))$. Alors pour tout
$g\in
\sA(B,A)$, $1_{T(A)}-T(g)\circ T(f)$ est inversible. Donc $1_A-g\circ
f$ est inversible puisque $T$ est
conservatif.
Prouvons la derni\`ere assertion: $T$
radiciel $\If$
$\sA\subset T^{-1}T(\rad(\sA))\subset T^{-1}(\rad(\sB))$, et $T$
conservatif
$\If$
$T^{-1}(\rad(\sB))\subset \rad(\sA)$, d'o\`u $T^{-1}(\rad(\sB))=
\rad(\sA)$. Si $T$ est plein, la derni\`ere assertion en d\'ecoule.
 \qed


\begin{meg}\label{meg1} a) Si $T$ est conservatif, l'inclusion
$T^{-1}(\rad(\sB))\subset \rad(\sA)$  devient fausse en g\'en\'eral si
l'on remplace les radicaux par leurs puissances $n$-i\`emes, $n>1$
(m\^eme si $T$ est pleinement fid\`ele). 
\\
b) Il d\'ecoule du premier point du lemme que pour tout id\'eal $\sI$ de $\sA$, $\rad(\sA/\sI)\,$
contient l'image de $\,\rad(\sA)$ dans $\sA/\sI$ (la projection $T:\sA\to \sA/\sI$ est un foncteur
plein); mais il en est en g\'en\'eral distinct si $\sI \not\subset \rad(\sA)$ (exemple: $\Z\to
\Z/4\Z$).  
 \end{meg}
\end{sloppypar}

\begin{lemme} \label{L2} Soit $\sA$ une $K$-cat\'egorie, et
soit $S$ un objet de $\sA$ tel que $\sA(S,S)$ soit un corps (par exemple
un objet simple dans un cat\'egorie ab\'elienne). Soit
$A$ un objet quelconque de $\sA$. Alors tout morphisme
$f \in \sA(S,A)$ qui n'est pas dans le radical est une cor\'etraction, et
tout morphisme $g\in \sA(A,S)$ qui n'est pas dans le ra\-di\-cal est une
r\'etraction.
         Si en outre $\sA(S,S)\allowbreak=K$, alors
\[\rad({\sA})(S,A)= \{f \in \sA(S,A ),
\forall g\in
\sA(A ,S),
         g\circ f =0\} . \]
\end{lemme}

\prf Par d\'efinition du radical, il existe $h \in \sA(A,S)$ tel que $1_S
- hf$ ne soit pas inversible dans $\sA(S,S)$. Comme $\sA(S,S)$ est un
corps, ceci entra\^{\i}ne que $1_S = hf $. Pour $g$ on raisonne
dualement.

Prouvons la derni\`ere assertion. Tout  $f \in \sA(S,A )$ tel que
$g\circ f =0$ pour tout $g\in
\sA(A ,S)$ n'est pas une cor\'etraction, donc appartient au
radical. R\'eciproquement, si $f\in
\rad({\sA})(S,A)$, alors, par d\'efinition, l'\'el\'ement $1-g\circ f$
de $K$ est inversible, c'est-\`a-dire
non nul, pour tout $g \in \sA(A ,S)$ par d\'efinition. Comme $g$
peut
\^etre multipli\'e par
toute constante de $K$,
ceci
entra\^{\i}ne $g\circ f=0$. \qed

\section{Cat\'egories 
de Wedderburn}\label{s2}

Dans ce paragraphe, on suppose que \emph{$K$ est un corps.}

\subsection{Cat\'egories semi-simples}

\begin{defn}\label{D3} Une $K$-cat\'egorie est
dite
\emph{semi-simple} si tout $\sA$-module \`a gauche est semi-simple. 
\end{defn}

Cette notion est manifestement Morita-invariante.  En
particulier, elle est stable par passage \`a
$\sA^{\oplus},\sA^{\natural},\sA^{\oplus\natural}$. Elle a
\'et\'e
\'etudi\'ee dans \cite{leduc}, \cite[\S
4]{mitchell} et
\cite{street}\footnote{Prendre garde \`a la terminologie: les notions de
semi-simplicit\'e utilis\'ees dans
\cite{leduc} et dans \cite{street}
sont plus faibles.}.
Pour la commodit\'e
du lecteur, nous avons donn\'e en
appendice un expos\'e des nombreuses
caract\'erisations
des cat\'egories semi-simples, et quelques
contre-exemples. Nous en extrayons la proposition suivante:

\begin{prop} \label{P4/3} Soit
$\sA$ une (petite) cat\'egorie $K$-lin\'eaire.
Les conditions sui\-van\-tes sont
\'equivalentes: \\
a) $\;\sA$ est semi-simple,\\
b) $\;\rad(\sA)=0$
et pour tout
$A\in \sA$, $\sA(A,A)$ est
un anneau artinien,\\
c) pour tout objet
$A$,
$\sA(A,A)$ est une
$K$-alg\`ebre semi-simple\footnote{Selon la terminologie de Bourbaki
\cite{alg}; selon la terminologie
anglo-saxonne, on dirait plut\^ot ``semisimple artinian", \cf
\cite{rowen}.}.\\
Sous ces conditions, $\sA$ est ab\'elienne si et seulement si elle est
pseudo-ab\'elienne.
\end{prop}

En particulier, la notion de semi-simplicit\'e est
\emph{auto-duale}, et {\it stable par quotient par tout id\'eal}. Voir
\cite[\S 4]{mitchell} ou l'appendice des pr\'esents articles.

En particulier, si $\sA$ est
semi-simple (non n\'ecessairement $K$-lin\'eaire ni pseudo-ab\'elienne),
on a $\Ext^i_\sA(M,N)=0$ pour tout couple
$(M,N)$ de
$\sA$-modules et tout $i>0$.  

\begin{lemme} \label{l2.1} Toute sous-cat\'egorie pleine $\sB$ d'une
$K$-cat\'egorie semi-sim\-ple $\sA$ est semi-simple. De plus, si $\sA$ et
$\sB$ sont
$K$-lin\'eaires pseudo-a\-b\'e\-lien\-nes, il existe une unique
sous-cat\'egorie pleine $\sC$ de $\sA$ telle que $\sA=\sB\coprod \sC$
(\cf d\'efinition \ref{A.D7} c)).
\end{lemme}

\prf Par invariance de Morita, on se ram\`ene imm\'ediatement au cas o\`u
$\sA$ et $\sB$ sont $K$-lin\'eaires pseudo-ab\'eliennes. La premi\`ere
assertion r\'esulte alors de la caract\'erisation c) de la proposition
\ref{P4/3}. Pour voir la deuxi\`eme, notons $S(\sA)$ (\resp $S(\sB)$)
l'ensemble des classes d'isomorphismes (types) d'objets simples de $\sA$
(\resp de $\sB$). Il est clair que les objets de $\sB$ sont les sommes
directes d'objets simples de type appartenant \`a $\sB$. La cat\'egorie
$\sC$ est alors la cat\'egorie des sommes directes d'objets simples de
$\sA$ de type appartenant \`a $S(\sA)-S(\sB)$.\qed

\begin{meg} Dans le lemme \ref{l2.1}, si $\sA$ est
mono\"{\i}dale et si $\sB$ est une sous-cat\'egorie mono\"{\i}dale de
$\sA$, il n'est pas vrai en g\'en\'eral que $\sC$ soit mono\"{\i}dale.
\end{meg}

Le lemme suivant est \`a mettre en regard de \ref{meg1}b.

\begin{lemme}\label{NewL1} Soit $\sA$ une $K$-cat\'egorie telle que
$\sA/\rad(\sA)$ soit semi-sim\-ple.  Pour tout id\'eal $\sI$, le radical
de
$\sA/\sI$ est l'image de $\rad(\sA)$ dans $\sA/\sI$. \end{lemme}

\prf Le point est l'inclusion $\rad(\sA/\sI)\subset \sA/\rad(\sA)+\sI$. Il d\'ecoule de ce que le foncteur
de projection $ \sA/\sI\to \sA/\rad(\sA)+\sI$ est plein, donc radiciel, et de ce que le radical de $
\sA/\rad(\sA)+\sI$ est nul puisque c'est une cat\'egorie semi-simple (comme quotient de $\sA/\rad(\sA)$). 
 \qed

\subsection{Cat\'egories s\'eparables}

\begin{prop}\label{Psep} Soit $A$ une $K$-alg\`ebre (associative
unitaire). Les conditions suivantes sont \'equivalentes:
\begin{enumerate}
\item \label{Psep1} $A$ est un $A$-bimodule projectif.
\item \label{Psep2} Toute d\'erivation de $A$ vers un bimodule est
int\'erieure. 
\item \label{Psep3} $A$ est de dimension finie sur $K$, est semi-simple,
et le reste apr\`es toute extension des scalaires.
\item\label{Psep4} $A$ est semi-simple, et le reste apr\`es toute
extension des scalaires.
\item\label{Psep5} $A$ est de dimension finie sur $K$, sans radical, et
le reste apr\`es toute extension des scalaires.  
\item\label{Psep6} L'alg\`ebre $A^{\rm o}\otimes_K A$ est semi-simple.
\end{enumerate}
 \end{prop}

Pour \ref{Psep1} $\iff$ \ref{Psep2}, voir \cite[4]{cq}. Pour  \ref{Psep1}
$\iff$ \ref{Psep3} $\iff$ \ref{Psep4}, on renvoie \`a \cite[ch. IX, th.
7.10]{ce}. Pour \ref{Psep4} $\iff$ \ref{Psep5}, voir
\cite[7.5, cor.]{alg}. Pour \ref{Psep1} $\iff$ \ref{Psep6}, voir
\cite[ch. IX, th. 7.9]{ce}.

En particulier, l'hypoth\`ese de finitude dans \cite[ch. IX, th.
7.10]{ce} n'est pas n\'ecessaire. Pour la commodit\'e du lecteur, nous
reproduisons l'argument de
\cite[4]{cq} qui montre que \ref{Psep1} $\If$
$\dim_K A<\infty$. Soit $s$ une section de l'application de
multiplication $A\otimes_K A\to A$, comme homomorphisme de $A$-bimodules.
\'Ecrivons $s(1)=\sum_1^n x_i\otimes y_i$, avec $n$ minimal; en
particulier, les $y_i$ sont lin\'eairement ind\'ependants sur $K$, donc
s\'epar\'es par les formes $K$-lin\'eaires sur $A$. Notons
$I$ le $K$-espace de dimension finie $\sum_1^n Kx_i \subset A$. Alors $I$
est un id\'eal \`a gauche de $A$: en effet, pour tout $a\in A$, on a
$as(1)=s(1)a$, d'o\`u $\sum ax_ia^\ast(y_i)=\sum x_ia^\ast(y_ia)$ pour
tout $a^\ast \in Hom_K(A,K)$, et le r\'esultat. En outre, l'action de $A$
par multiplication \`a gauche sur
$I$ est fid\`ele du fait que $\sum x_i y_i= 1$. Par cons\'equent, $A$
s'injecte dans $End_K(I)$.
\qed

\begin{defn} \label{D4sep} Une $K$-alg\`ebre $A$ est dite
\emph{s\'eparable} (ou \emph{absolument semi-simple}) si elle v\'erifie les conditions de la
proposition \ref{Psep}.
\end{defn}

\begin{rem} Nous nous
\'ecartons ici l\'eg\`erement de la terminologie de Bourbaki
\cite[7.5]{alg}, pour qui une alg\`ebre est s\'eparable si elle est sans
radical et le reste apr\`es toute extension des scalaires. Dans le cas
commutatif, on dit d'ailleurs plut\^ot
\emph{\'etale} que s\'eparable.
\end{rem}

\begin{lemme}\label{l2.2} Toute alg\`ebre de dimension finie sans radical
sur un corps parfait $K$ est s\'eparable.
\end{lemme}

\prf Voir \cite[7.5,7.6]{alg}. \qed

\begin{lemme}\label{l2.3} Le produit tensoriel de deux $K$-alg\`ebres
s\'eparables est s\'e\-pa\-rab\-le.
\end{lemme}

\prf Voir \cite[ch. IX, prop. 7.4]{ce}.\qed


\begin{defn}\label{D4sep1} Une cat\'egorie $K$-lin\'eaire $\sA$ est dite
\emph{s\'eparable} (ou \emph{ab\-so\-lu\-ment semi-simple}) si la
ca\-t\'e\-go\-rie $\sA_L$ qui s'en d\'eduit\footnote{Voir la
d\'efinition \ref{d3} ci-dessous pour plus de d\'etails.} en tensorisant
les morphismes par $L$ est semi-simple pour toute extension
$L/K$.
\end{defn} 

La notion de cat\'egorie s\'eparable est Morita-invariante (\cf
proposition \ref{P4/3}), auto-duale, et stable par passage au quotient
par un id\'eal. 

D'apr\`es le th\'eor\`eme
\ref{tsep}, on en a les autres caract\'erisations sui\-van\-tes:

\begin{itemize}
\item (si $\sA$ est $K$-lin\'eaire) Pour tout objet
$A\in
\sA$,
$\sA(A,A)$ est une $K$-alg\`ebre s\'eparable.
\item La cat\'egorie enveloppante\footnote{Voir le \S
\ref{prodtens} ci-dessous pour plus de d\'etails.}
$\sA^e=\sA^{\rm o}\boxtimes_K\sA$ est semi-simple.
\end{itemize}

\begin{prop}\label{p2.1} Si $K$ est parfait, une $K$-cat\'egorie $\sA$ est
s\'eparable si et seulement si elle est semi-simple et $\dim_K
\sA(A,B)<\infty$ pour tout couple d'objets $(A,B)$.
\end{prop}

\prf Cela r\'esulte du lemme \ref{l2.2}.\qed

\subsection{Cat\'egories semi-primaires}

\begin{defn}\label{D4} Une $K$-cat\'egorie $\sA$ est
\emph{semi-primaire}
si
\begin{thlist}
\item pour tout objet $A\in \sA$, le
radical
$\rad(\sA(A,A))$ est nilpotent;
\item $\sA/\rad(\sA)$ est
semi-simple.
\end{thlist}
\end{defn}

\begin{rems}\label{R1}\
\begin{itemize}
\item[$a)$]
Dans le cas d'une cat\'egorie \`a un seul
objet, on retrou\-ve une
notion connue en alg\`ebre non commutative sous
le nom d'``an\-neau semi-pri\-mai\-re"
\cite{rowen} \footnote{Ces anneaux
sont caract\'eris\'es par l'e\-xis\-tence d'une borne uniforme pour
la longueur de toute cha\^{\i}ne
d\'ecrois\-san\-te de mo\-du\-les
cycliques, \cf \cite[2.7.7]{rowen}.}.
Ainsi une cat\'egorie $K$-lin\'eaire est
semi-pri\-mai\-re si et seulement si tous ses
anneaux d'endomorphismes sont semi-pri\-mai\-res.
\item[$b)$] Cette notion est auto-duale.

 \item[$c)$] Une cat\'egorie
$K$-lin\'eaire pseudo-ab\'elienne
semi-primaire n'est pas
n\'ecessairement
ab\'elienne (exemple: la cat\'egorie des modules
projectifs de type
fini sur une $K$-alg\`ebre artinienne non
semi-simple). 

\item[$d)$] La condition (i) entra\^{\i}ne que les radicaux de Kelly
et de Gabriel co\-\"{\i}n\-ci\-dent. 

\end{itemize}
\end{rems}  

L'un des aspects classiques des anneaux semi-primaires est la propri\'et\'e de rel\`evement des idempotents
modulo le radical, qui suit du lemme classique suivant

\begin{lemme}[\cf \protect{\cite[1.1.28]{rowen}}]\label{idemp} Soit $N$ un
nil-id\'eal d'un anneau $A$. Alors tout idempotent de $A/N$ se rel\`eve
en un idempotent de $A$.   \qed  
\end{lemme} 


\begin{prop}\label{P3/2} a) Si $\sA$ est semi-primaire, il en est de
m\^eme de $\sA/\sI$ pour tout id\'eal
$\sI$, et le radical de $\sA/\sI$ est l'image du radical de $\sA$.\\ 
b) Supposons $\sA$ semi-primaire. Alors
$\sA/\rad(\sA)$ est pseudo-ab\'elienne si et seulement si $\sA$ l'est
(et m\^eme ab\'elienne si $\sA$ est
$K$-lin\'eaire). \\ 
Plus g\'en\'eralement, le foncteur canonique (\cf 
lemme \ref{corresp} d)) $\sA^\natural/\rad(\sA^\natural)\allowbreak\to
(\sA/\rad(\sA))^\natural$ est un isomorphisme.\\ 
c) La notion de $K$-cat\'egorie semi-primaire est Morita-invariante.
En par\-ti\-cu\-lier, si
$\sA$ est semi-primaire, alors
$\sA^{\oplus},\sA^{\natural},\sA^{\oplus\natural}$ le sont (et
r\'e\-ci\-pro\-que\-ment).\\ 
d) Si $\sA$ est $K$-lin\'eaire et si $\sA(A,A)$ est un anneau
artinien pour tout
$A\in \sA$, alors $\sA$ est semi-primaire. \\ 
e) Si $\sA$ est
semi-primaire,
$\sB$ est semi-simple et
$T:\sA\to\sB$ est un $K$-foncteur plein, alors il existe une unique
factorisation de $T$ en un $K$-fonc\-teur plein
$\bar T:\sA/\rad(\sA)\to \sB.$
\\ f) Si $\sA$ est
semi-primaire et pseudo-ab\'elienne,
et $T:\sA\to\sB$ est un $K$-foncteur radiciel qui n'envoie aucun objet
non nul de $\sA$ sur l'objet nul de $\sB$,  alors  $T$  est conservatif.
\end{prop}   

\prf a) Cela r\'esulte ais\'ement du lemme \ref{NewL1}.

b) suit des lemmes \ref{corresp} d) et \ref{idemp} (et du fait qu'une
cat\'egorie $K$-lin\'eaire pseudo-ab\'elienne semi-simple est
ab\'elienne, \cf \ref{A.P4}). 

c) Pour l'invariance par \'equivalence de Morita, il s'agit d'apr\`es le
corollaire \ref{morita} de voir que $\sA$ est semi-primaire si et
seulement si
$\sA^{\oplus\natural}$ l'est. D'apr\`es le corollaire \ref{corresp1},
la trace sur $\sA$ du radical de $\sA^{\oplus\natural}$ est le radical de
$\sA$. Il suit de ceci, du lemme \ref{corresp} d) et du lemme \ref{l2.1}
que
$\sA$ est semi-primaire si
$\sA^{\oplus\natural}$ l'est. 

Supposons r\'eciproquement $\sA$ semi-primaire. Le point b)
entra\^{\i}ne que $\sA^{\natural}$ l'est. On peut donc supposer $\sA$
pseudo-ab\'elienne. En vertu du lemme \ref{corresp} c), il suffit de 
voir que si les radicaux de
$\sA^\oplus(A,A)$ et
$\sA^\oplus(B,B)$ sont nilpotents, il en est de m\^eme du radical de
$\sA^\oplus(A\oplus B,A\oplus B)$. 

Supposons donc que $\sR(A,A)^m=\sR(B,B)^n=0$, et montrons qu'alors
$\sR(A\oplus B,A\oplus B)^{m+n+2}=0$. Par additivit\'e, on se ram\`ene \`a
supposer que le compos\'e de toute cha\^{\i}ne de
$N\ge 2n+2$ morphismes $f_i\; (i=1,\dots, N)$ composables appartenant \`a
$\sR(A,A),\sR(A,B),\sR(B,A)$ ou $\sR(B,B)$ est nul. 

Consid\'erons par exemple une cha\^{\i}ne partant de $A$ et aboutissant en
$A$. La composition correspondante appartient \`a un produit de la forme
\begin{multline*}
\sR(A,A)^{m_{k+1}}\sR(B,A)\sR(B,B)^{n_k}\sR(A,B)\sR(A,A)^{m_{k}}\cdots\\
\cdots\sR(A,A)^{m_2}\sR(B,A)\sR(B,B)^{n_1}\sR(A,B)\sR(A,A)^{m_1}
\end{multline*}
avec $m_1+\dots+m_{k+1}+n_1+\dots+n_k+2k+1=N$. Ce produit est contenu dans
$\sR(A,A)^a$, avec $a=m_1+\dots+m_{k+1}+k$. D'autre part, le produit
interm\'ediaire
\[ \sR(B,B)^{n_k}\sR(A,B)\sR(A,A)^{m_{k}}
\cdots\sR(A,A)^{m_2}\sR(B,A)\sR(B,B)^{n_1}
\]
est contenu dans $\sR(B,B)^b$, avec $b=n_1+\dots+n_k+k-1$. On a donc
$a\ge m$ ou $b\ge n$ et le morphisme compos\'e
est nul. Les autres cas se traitent de la m\^eme mani\`ere.  

d) Un raisonnement analogue \`a celui
fait dans le cas des anneaux
montre que, pour toute $\sA$, le radical de $\sA/\rad(\sA)$ est r\'eduit
\`a $0$. En particulier,  pour tout objet $A$ de $\sA$, la $K$-alg\`ebre
$(\sA/\rad(\sA))(A,A)$ est semi-simple. Comme
$\sA$ est suppos\'ee $K$-lin\'eaire, on conclut par la
proposition \ref{P4/3} que $\sA$ est semi-simple.   

e) suit de la premi\`ere assertion du lemme \ref{L1}.

f) Le $K$-foncteur radiciel $T$ induit un $K$-foncteur
\[\bar T: (\sA/\rad(\sA))^\oplus\to (\sB/\rad(\sB))^\oplus .\] 

Tout comme $T$, $\bar T$ n'envoie aucun objet non nul de
$(\sA/\rad(\sA))^\oplus$ sur l'objet nul de $(\sB/\rad(\sB))^\oplus$.
D'autre part, $(\sA/\rad(\sA))^\oplus$ est ab\'elienne semi-simple
puisque $\sA$ est semi-primaire pseudo-ab\'elienne (utiliser le point b)
ci-dessus). Il en d\'ecoule que
$\bar T$ est conservatif (lemme \ref{utile}), et il en est de m\^eme de
$T$ par
\ref{P1} b.
\qed 

\begin{prop}\label{ablfspr} Soit $\sA$ une cat\'egorie ab\'elienne dont
tout objet est de lon\-gueur finie. Alors
$\sA$ est semi-primaire. 
\end{prop} 

\prf Le plus court est d'envoyer $\sA$ par un foncteur pleinement
fid\`ele dans une cat\'egorie de modules (th\'eor\`eme de plongement de
Freyd-Mitchell). Dans le cas d'une cat\'egorie de modules, l'assertion
revient \`a ceci: l'anneau d'endomorphismes de tout module $M$ de
longueur finie est semi-primaire. Ce r\'esultat, qui repose sur le lemme
de Fitting, est bien connu,
\cf
\cite[2.9.10]{rowen} (la longueur du module est une borne pour
l'\'echelon de nilpotence du radical).\qed  

\subsection{Cat\'egories de Wedderburn}  

\begin{defn} \label{D4wed} Une $K$-cat\'egorie $\sA$ est dite de
\emph{Wedderburn} si 
\begin{thlist}
\item[(i)] pour tout objet $A\in \sA$, le radical $\rad(\sA(A,A))$ est
nilpotent;
\item[(ii')] $\sA/\rad(\sA)$ est une $K$-cat\'egorie s\'eparable.  
\end{thlist}
\end{defn}

\begin{meg} Il est clair qu'une $K$-cat\'egorie de
Wedderburn est semi-primaire. Nous verrons en \ref{C3.1.} qu'elle le
reste apr\`es toute extension des scalaires. La r\'eciproque est
\'evidemment \emph{fausse} au moins quand $K$ est imparfait, comme le
montre l'exemple de la $K$-cat\'egorie \`a un seul objet donn\'e par
une extension finie ins\'eparable de $K$.
\end{meg}

\begin{rem}\label{R1wed}
Dans le cas d'un seul objet, les alg\`ebres correspondantes
sont celles aux\-quelles s'appliquent le th\'eor\`eme de scindage de
Wedderburn dont  il sera question au \S \ref{s5}, d'o\`u la terminologie.
Nous les appellerons \emph{alg\`ebres de Wedderburn}.
\end{rem}


\begin{prop}\label{Pwed} a) La notion de $K$-cat\'egorie de Wedderburn
est stable par passage au quotient par un id\'eal.\\
b) La notion de $K$-cat\'egorie de Wedderburn
est Morita-invariante. En particulier, si
$\sA$ est de Wedderburn, alors
$\sA^{\oplus},\sA^{\natural},\sA^{\oplus\natural}$ le sont (et
r\'e\-ci\-pro\-que\-ment).\\ 
c) Si
$K$ est parfait et si
$\sA(A,B)$ est de dimension finie sur $K$ pour tout couple
$(A,B)\in Ob(\sA)$, alors
$\sA$ est de Wedderburn. En particulier, toute cat\'egorie tannakienne sur $K$ est de Wedderburn. 
        \end{prop}

\prf a) d\'ecoule de \ref{P3/2} a): si $\sA$ est de Wedderburn, $\sA/\sI$ est semi-primaire, et le quotient
par son radical (qui n'est autre que l'image du radical de
$\sA\,$) est s\'eparable, en tant que quotient de $\sA/\rad(\sA)$.
 
b) On sait d\'ej\`a que
$\sA^{\oplus},\sA^{\natural},\sA^{\oplus\natural}$ sont
semi-primaires. Il est alors
facile de conclure, compte-tenu de ce que, par
le lemme \ref{corresp} et la proposition \ref{P3/2} b), le quotient de
$\sA^{\oplus\natural}$ par son radical est
isomorphe \`a $(\sA/\rad(\sA))^{\oplus\natural} $.  

c) Il revient au m\^eme de dire que toute alg\`ebre d'endomorphismes de
$\sA^\oplus$ est de dimension finie. D'apr\`es le point d) de la
proposition
\ref{P3/2}, on voit que $\sA^\oplus$, donc $\sA$, est semi-primaire. On
conclut par le fait que toute alg\`ebre de dimension finie sur un
corps parfait est s\'eparable.
\qed


\section{Radical infini et nilpotence renforc\'ee}\label{radrenf} 

\subsection{Le radical infini}

Soit $\sA$ une $K$-cat\'egorie.

\begin{defn}\label{d3.1} Le radical infini de $\sA$ est l'id\'eal
$\displaystyle
\rad^\omega(\sA)= \bigcap_{n\geq 1}
\rad^n(\sA)$.
\end{defn}

Cet id\'eal intervient dans diverses questions, \eg dans la th\'eorie
du type de repr\'esentation des
$K$-alg\`ebres de dimension finie (pour $\sA = A$-$Modf$), et en liaison
avec les conjectures de Bloch-Beilinson-Murre sur les motifs (pour $\sA=$
la cat\'egorie des motifs de Gro\-then\-dieck pour l'\'equivalence
rationnelle - motifs `de Chow'- \`a coefficients dans
$K$, \cf \ref{BBM}) 

 \begin{lemme}\label{radinf} Si $T: \sA \to \sB$ est un $K$-foncteur
radiciel entre $K$-ca\-t\'e\-go\-ries, alors $T(\rad^\omega(\sA))\subset
\rad^\omega(\sB)$.
\end{lemme}

C'est clair. \qed
   
 \begin{defn} \label{D4swed} Une
$K$-cat\'egorie $\sA$ est dite
\emph{strictement semi-primaire (\resp strictement de Wedderburn)} si 
\begin{thlist}
\item[(i')] pour
tout couple d'objets $(A,B)$, il existe un
entier $n>0$ tel que $(\rad(\sA))^n(A,B)=0$;
\item[(ii')] $\sA/\rad(\sA)$ est une $K$-cat\'egorie semi-simple (\resp
s\'eparable). 
        \end{thlist}
\end{defn} 

Il est clair qu'une cat\'egorie strictement semi-primaire (\resp
strictement de Wedderburn) est une cat\'egorie semi-primaire (\resp de
Wedderburn) dont le radical infini est nul. Cette condition n'est pas
automatique.
 
\begin{contrex}\label{Cssp} Consid\'erons la cat\'egorie $\sA$
suivante: 
\begin{itemize}
\item $Ob (\sA)=E$, o\`u $E$ est un ensemble
ordonn\'e dense quelconque
(dense signifie qu'entre deux \'el\'ements
distincts on peut toujours en trouver
un troisi\`eme distinct);
\item $\sA(x,y)=K$ si $x\leq y$, $0$ sinon;
\end{itemize}
la composition \'etant induite par la multiplication dans
$K$. On a alors
\[(\rad\,\sA)(x,y) =
\begin{cases} K &\text{si $x<y$}\\
0&\text{sinon.} \end{cases}\]
Ainsi $(\rad\,\sA)(x,x)=0$ pour tout $x$, donc $\sA$ est semi-primaire.
Mais si $x<y$, $(\rad\,\sA)(x,y)=(\rad\, \sA )^n(x,y)$ pour tout
$n>0$ (gr\^ace \`a la densit\'e de $E$). On a donc $\rad^\omega(\sA)=\rad(\sA)\neq 0$.

Si $E$ est un groupe commutatif ordonn\'e, il est facile de munir $\sA$
d'une  structure mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide. Quitte \`a passer
\`a $\sA^{\oplus\natural}$, on peut m\^eme construire un exemple
$K$-lin\'eaire pseudo-ab\'elien (mais non ab\'elien).  
 \end{contrex} 

\subsection{Cas des cat\'egories de modules}\label{ccm} Prenons \`a
pr\'esent pour
$\sA$ la cat\'egorie des {\it modules de type fini sur une alg\`ebre
$A$ de dimension finie sur un corps $K$}. Dans ce cas, le th\'eor\`eme
d'existence des suites d'Auslander-Reiten montre que le radical $\sR$ de
$A\hbox{--}Modf$ est engendr\'e (\`a droite ou \`a gauche) par les
morphismes dits irr\'eductibles (\ie dans $\sR\setminus \sR^2$), \cf
\cite{sisk} ou \cite{ks} pour plus de pr\'ecisions. Ce point, et
l'analyse d\'etaill\'ee des carquois d'Auslander-Reiten, sont \`a la base
du r\'esultat suivant, qui lie le type de repr\'esentation de
$A$ au radical infini $\sR^\omega$.

\begin{thm}[\protect{\cite{sisk}, \cite{ks}}]\label{t3.1}  a) $A$ est de
type de repr\'esentation fini (\ie il n'y a qu'un nombre fini de classes
d'isomorphismes d'ind\'ecomposables dans $A\hbox{--}Modf$) 
$ \iff \sR^\omega= 0 \iff \exists n\;$ tel que
$\;\sR^n=0$. \\ 
b) (Supposons $K$ alg\'ebriquement clos\footnote{Il est probable que
cette hypoth\`ese, qui figure dans
\cite{ks}, peut \^etre affaiblie en: $K$ parfait.})
$A$ est de type de repr\'esentation infini sauvage
$ \iff \sR^\omega$ n'est pas nilpotent.   
 \end{thm}

Un cas interm\'ediaire est celui de l'alg\`ebre $\bar\F_2[(\Z/2\Z)^2]$
(de type de repr\'e\-sen\-ta\-tion infini mod\'er\'e); $\sR^\omega$ est
non nul mais nilpotent.    
 
Un exemple standard d'alg\`ebre de type de repr\'esentation infini
sauvage est donn\'e par le quotient de
$K[[T_1,T_2]]$ par le cube de l'id\'eal maximal, ou m\^eme par l'id\'eal
$(T_1^2, T_1T_2^2, T_2^3)$ (Drozd, \cf
\cite{gabrielrev}, \cite{nathanson}, \cite[1]{ringel}); il s'ensuit que
$A\hbox{--}Modf$ n'est pas strictement semi-primaire. 

Nous verrons plus loin qu'une cat\'egorie tannakienne alg\'ebrique sur
un corps de caract\'eristique nulle n'est pas n\'ecessairement
strictement semi-primaire. 

Tout ceci indique que la notion de cat\'egorie strictement semi-primaire
est beaucoup trop restrictive pour nos besoins, et motive notre choix de
traiter syst\'ematiquement des cat\'egories semi-primaires (ou de
Wedderburn).       


\begin{sloppypar}
\begin{rem} Un exemple remarquable de cat\'egorie strictement de
Wedderburn devrait \^etre fourni par la cat\'egorie des motifs purs pour
une
\'e\-qui\-va\-le\-nce ad\'equate quelconque; cet exemple conjectural est
bri\`evement discut\'e en \ref{ex2} ci-dessous.  \end{rem}
\end{sloppypar}

\section{Radical et extension des scalaires}\label{s3}

\subsection{\ } Il est connu que le radical d'une alg\`ebre se comporte
``mal" par extension des scalaires en g\'en\'eral, \cf
\cite{alg}, \cite{rowen}. La situation s'am\'eliore toutefois dans le
cas ``de Wedderburn".

\begin{prop}\label{L5} 1) Soit $L/K$ une extension de corps. Soit $A$
une $K$-al\-g\`e\-bre de Wedderburn, \ie
$\rad(A)$ est nilpotent et $A/\rad(A)$ est s\'e\-pa\-ra\-ble. Alors \\
a) $\rad(A\otimes_K L)\cap A= \rad(A)$,\\
b) $\rad(A)\otimes_K L= \rad(A\otimes_K L)$,\\
c) $A\otimes_K L$ est de Wedderburn.

2) Si $A\otimes_K L$ est semi-primaire et si $\rad(A \otimes_K L)\subset \rad(A)\otimes_K L$ pour toute
extension $L/K$, alors
$A$ est de Wedderburn. 
               \end{prop}

\prf 1) Il est clair que $\rad(A)\otimes_K L$ est un id\'eal nilpotent
de $A\otimes_K L$, donc contenu dans
$\rad(A\otimes_K L)$. D'autre part $A/\rad(A)$ est s\'eparable, donc
aussi $(A/\rad(A))\otimes_K L= (A\otimes_K L)/(\rad(A)\otimes_K L)$. En particulier, cette derni\`ere
est semi-simple, donc
$\rad(A)\otimes_K L$ contient $\rad(A\otimes_K L)$. D'o\`u $b)$ et
$c)$. Le point $a)$ en d\'ecoule
imm\'ediatement.

2) Supposons $A\otimes_K L$ semi-primaire pour toute extension $L/K$. En particulier $\rad(A)$ est nilpotent,
donc $\rad(A \otimes_K L)\supset \rad(A)\otimes_K L$, et on a finalement \'egalit\'e compte tenu de
l'hypoth\`ese. Il suit que $(A/\rad(A))\otimes_K L\cong (A\otimes_K L)/\rad(A \otimes_K L)$ est semi-simple
pour toute extension $L/K$, donc que $A/\rad(A)$ est s\'eparable. Ainsi $A$ est de Wedderburn. 
\qed

\begin{rem}\label{imparf} La condition que  $\rad(A \otimes_K L)\subset \rad(A)\otimes_K L$ est
n\'ecessaire: si
$K$ est imparfait, toute extension finie ins\'eparable $A/K$ non triviale fournit un exemple de $K$-alg\`ebre
``absolument semi-primaire" mais pas de Wedderburn.
\end{rem}

\medskip
Si $\sA$ est une $K$-cat\'egorie, notons $\sA_L$ la $L$-cat\'egorie qui
s'en d\'eduit en tensorisant les morphismes par $L$.

\begin{meg} Si $\sA$ est pseudo-ab\'elienne, il n'en est pas de m\^eme de
$\sA_L$ en g\'en\'eral \footnote{Voir \S\ref{ext} ci-dessous pour plus
de d\'etails.}. Si $\sA$ est ab\'elienne, il n'en est pas de m\^eme de
$(\sA_L)^\natural$ en g\'en\'eral. Un contre-exemple est fourni par la
cat\'egorie des repr\'esentations de dimension finie de
$\bG_a\times \bG_a$ (\cf fin du \S \ref{jm}.)
\end{meg}

\begin{sloppypar}
\begin{cor}\label{C3.1.} Soit $\sA$ une cat\'egorie de Wedderburn. Alors,
 pour toute extension $L/K$, $\sA_L$ est de Wedderburn. De plus
\begin{thlist}
 \item $ \rad(\sA_L)= \rad(\sA)\otimes_K L$.
\item Le foncteur d'extension des scalaires $\sA\to \sA_L$ est radiciel.
\item Le carr\'e
\[\begin{CD}
\sA@>>> \sA_L\\
@VVV @VVV\\
\sA/\rad(\sA)@>>> \sA_L/\rad(\sA_L)
\end{CD}\]
est naturellement cocart\'esien: le foncteur naturel
$\sA_L/\rad(\sA_L)\to (\sA/\rad(\sA))_L$ est une \'equivalence de
cat\'egories.
\qed
\end{thlist}
\end{cor}
\end{sloppypar}  



\begin{thm} \label{P2} Soient $K$ un corps, $L$ une extension de
$K$,
$V$ un $L$-espace vectoriel de dimension finie, et
$A$ une
sous-$K$-alg\`ebre de $End_L(V)$. On suppose que, pour tout $a\in
A$, le polyn\^ome
caract\'eristique de $a$ dans $V$ est \`a coefficients dans $K$.
Alors \\
a) Le radical $R$ de $A$ est nilpotent d'\'echelon
$\le n= \dim V$.\\ 
b) Si $K$ est infini, $A/R$ est semi-simple, produit d'au plus $n$
composants simples. Si de plus $K$ est parfait, $A/R$ est s\'eparable.
\\
c) Supposons $K$ infini et parfait. Alors le radical de la
sous-$L$-alg\`ebre $AL$ de
$End_L(V)$ engendr\'ee par $A$ est $RL$, on a
$RL\cap A=R$, et l'application canonique $(A/R)\otimes_K L\to AL/RL$ est
bijective.
\end{thm}

\prf a) D'apr\`es \cite[\S 11, ex. 1 a)]{alg}, $R$ est \emph{a priori} un
nil-id\'eal. Montrons m\^eme que tout $u\in R$ v\'erifie
$u^n=0$. Pour cela, il suffit de voir que les valeurs propres de
$u$ dans $V$ sont toutes nulles. Supposons le contraire et soit
$\lambda\ne 0$ une
telle valeur propre. Comme $\lambda$ est alg\'ebrique sur $K$, il existe
un polyn\^ome $Q\in K[T]$ tel que $\lambda Q(\lambda)=1$. Mais $1-uQ(u)$
est inversible, donc $1-\lambda Q(\lambda)$ est inversible, contradiction.

Comme l'image de $R$ dans $End_L(V)$ est un semi-groupe
multiplicatif form\'e d'\'el\'ements nilpotents, un th\'eor\`eme de N.
Jacobson permet de conclure que $R$
est nilpotent d'\'echelon $\le \dim V$, \cf \cite[2.6.30]{rowen}.

b) Cela r\'esulte de \cite[\S 11, ex. 1 d)]{alg}.

c) Notons provisoirement $R_L$ le radical de $AL$. D'apr\`es la
proposition
\ref{L5} b), on a
$\rad(A\otimes_K L)=R\otimes_K L$, donc l'homomorphisme surjectif
$A\otimes_K L\to AL$ induit un
homomorphisme surjectif $(A/R)\otimes_K L\to AL/R_L$. Comme $A/R$
est s\'eparable et $R$ nilpotent, le th\'eor\`eme de Wedderburn
(\cf th\'eor\`eme \ref{T1} ci-dessous, dans le cas d'un seul objet)
permet de relever $A/R$ dans $A$. Notons
ce relev\'e $B$, et soit $K'$ le centre d'un facteur simple de $B$: $K'$ est
une extension finie de $K$. Soit $x$ un \'el\'ement primitif de $K'$: comme le
polyn\^ome caract\'eristique de $x$ op\'erant sur $V$ est \`a
coefficients dans $K$, c'est n\'ecessairement une puissance du polyn\^ome
caract\'eristique de $x$ op\'erant sur $K'$. Ceci implique que la
surjection $K'\otimes_K L\to
K'L$ est bijective, et donc que $B\otimes_K L\to BL$ est bijective. Il en
r\'esulte que $A/R\otimes_K L\to AL/R_L$ est bijective, d'o\`u l'on
d\'eduit $R_L=RL$. Enfin, $(R_L\cap A=) RL\cap A = R$ d\'ecoule
imm\'ediatement de la nilpotence de $R$. \qed 


\begin{rems} \label{R2}\ 
\begin{itemize}
\item[a)]  L'hypoth\`ese que $K$ est parfait n'est pas superflue dans b)
et c). On obtient un contre-exemple en prenant pour
 $A=L$ une extension finie ins\'eparable de $K$, $V= L\otimes_K L$ avec
la structure gauche de $L$-espace, et
$A\inj End_L(V)$ donn\'e par $\ell\mapsto (\ell_1\otimes \ell_2 \mapsto
\ell_1\otimes \ell\ell_2)$.
\item[b)] Si l'on suppose que $V=\bigoplus V_i$ est un $L$-espace
vectoriel gradu\'e et que $A$ est une sous-alg\`ebre de $\prod End(V_i)$,
la borne sur l'\'echelon de nilpotence $n$ de $R$ dans le point a) du
th\'eor\`eme \ref{P2} se raffine en:
$n\le max\dim V_i$ (m\^eme d\'emonstration). 
\item[c)] Le point a) du th\'eor\`eme \ref{P2} reste valable si on
remplace l'hypoth\`ese que pour tout $a\in
A$, le polyn\^ome caract\'eristique de $a$ est \`a coefficients dans $K$
par: $K$ est de
cardinal strictement sup\'erieur \`a $\dim_K A$, \cf
\cite[no. 12, ex. 16]{alg}.
\end{itemize}
\end{rems}

\begin{sloppypar}
\begin{cor}\label{c6}  Soient $K$ un corps parfait infini, $L$ une
extension de
$K$, $\sA$ une
cat\'egorie $K$-lin\'eaire et $H:\sA\to Vec_L$ un $K$-foncteur
fid\`ele de $\sA$ vers la cat\'egorie des $L$-espaces vectoriels
de dimension finie. On suppose que, pour tout endomorphisme $a\in
\sA(A,A)$, le polyn\^ome
ca\-rac\-t\'e\-ris\-ti\-que de $H(a)$ est
\`a  coefficients dans $K$. 
Alors\\
a) $\sA$ est une $K$-cat\'egorie de Wedderburn.\\
b) Soit $H(\sA) L$ la sous-cat\'egorie
(non pleine) $L$-lin\'eaire de $Vec_L$ engendr\'ee par $H(\sA)$: les
objets de $H(\sA) L$ sont les objets de $H(\sA)$ et, pour deux tels
objets $X,Y$, $\big(H(\sA)L\big)(X,Y)=\allowbreak\big(H(\sA)(X,Y)\big)L$.
Alors:\\ i) $\rad(H(\sA)L)=\rad(H(\sA))L$.\\
ii) $\rad(H(\sA)L)\cap H(\sA)=\rad(H(\sA))$.\\
iii) Le foncteur $\sA/\rad(\sA)_L\to H(\sA)L/\rad(H(\sA)L)$ induit par $H$
est une \'equivalence de cat\'egories. 
\\
En particulier, $H(\sA) L$ est une $L$-cat\'egorie de Wedderburn. \qed 
\end{cor}
\end{sloppypar}

\begin{rem}\label{rem en fam} La conclusion $a)$ vaut encore si, au lieu
d'un $L$ et d'un $H$, on a une famille finie d'extensions de corps
$L_i/L$ et une famille fid\`ele de foncteurs $H_i:
\sA\to Vec_{L_i}$ et si l'on suppose que pour tout $a\in
\sA(A,A)$, le polyn\^ome
ca\-rac\-t\'e\-ris\-ti\-que de $H_i(a)$ est
\`a  coefficients dans $K$. En effet, plongeant les $L_i$ dans un corps
commun $L$, et posant
$H(A)= \bigoplus_i H_i(A)\otimes_{L_i} L$, on se ram\`ene au cas du
corollaire.   
\end{rem}

 \begin{ex} Comme nous le verrons en \ref{wedtr}, le corollaire pr\'ec\'edent s'applique notamment au cas des
cat\'egories tannakiennes sur un corps de caract\'eristique nulle. 
\end{ex}


\section{Extensions des scalaires na\"{\i}ve et non na\"{\i}ve}\label{ext}

Dans ce paragraphe, $K$ est un corps commutatif. Nous allons comparer
l'extension des scalaires ``na\"{\i}ve" \'etudi\'ee dans le paragraphe
pr\'ec\'edent \`a une extension des scalaires plus sophistiqu\'ee, due
\`a Saavedra, dont nous aurons besoin dans les paragraphes \ref{compl} et 
\ref{jm}.

\subsection{Deux types d'extensions des scalaires}\label{extsc}

\begin{defn}\label{d3} Soient $\sA$ une $K$-cat\'egorie et $L$ une
$K$-alg\`ebre (commutative unitaire).\\ 
a) La cat\'egorie $\sA_L$ a pour objets les objets de $\sA$; si $A,B\in
\sA_L$, $\sA_L(A,B)\allowbreak =L\otimes_K \sA(A,B)$. On appelle $\sA_L$
l'\emph{extension des scalaires na\"{\i}ve} de $\sA$ de $K$ \`a $L$.\\
b) On note $\sA_{(L)}=Rep_K(L,\sA)$ la cat\'egorie des
$K$-repr\'esentations de $L$ dans $\sA$: un objet de $\sA_{(L)}$ est un
couple $(A,\rho)$, o\`u $A\in \sA$ et $\rho$ est un homomorphisme
de $K$-alg\`ebres unitaires $L\to
\sA(A,A)$; un morphisme $f:(A,\rho)\to (A',\rho')$ est un \'el\'ement de
$\sA(A,A')$ commutant \`a $\rho$ et $\rho'$. On appelle $\sA_{(L)}$
l'\emph{extension des scalaires \`a la Saavedra de $\sA$ de $K$ \`a $L$}
(\cf \cite[II.1.5]{saavedra}).
\end{defn}

\begin{lemme} \label{l10} a) La $K$-structure de $\sA_{(L)}$ s'enrichit
en une $L$-structure par la loi
\[\lambda f=\rho'(\lambda) f=f\rho(\lambda)\]
pour $\lambda\in L$ et $f\in \sA_{(L)}((A,\rho),(A',\rho'))$.\\
b) Si $\sA$ est additive (\resp pseudo-ab\'elienne, ab\'elienne, stable
par li\-mi\-tes inductives quelconques), il en est de m\^eme de
$\sA_{(L)}$.\qed 
\end{lemme}

\begin{rems}\label{r4}\
\begin{itemize}
\item[a)] Pour que cette construction soit raisonnable, il faut que $\sA$
soit ``assez grosse" ou que $L$ soit ``assez petit". Par exemple, si
$\sA(A,A)$ est de
$K$-dimension finie pour tout objet $A$, alors $\sA_{(L)}=0$ d\`es que
$L$ est un corps infini contenant $K$. 
\item[b)] Si $\sA$ est semi-simple, il ne suit pas que
$\sA_{(L)}$ le soit: prendre pour $L/K$ une extension finie ins\'eparable
de corps, et pour
$\sA$ la $K$-cat\'egorie \`a un objet $L$ (ou, si on pr\'ef\`ere $Vec_L$). 
C'est toutefois le cas (trivialement) si $L$ est une extension infinie de
$K$, car dans ce cas $\sA_{(L)}=0$ (voir a)) 
\item[c)] 
Soit
$\sA= Rep^\infty_K G$ la Ind-cat\'egorie attach\'ee \`a la cat\'egorie
$Rep_K G$ des
$K$-re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions de dimension finie d'un $K$-groupe affine.
Alors
$\sA_{(L)}$ s'identifie canoniquement \`a $Rep^\infty_L(G)$, \cf
\cite[III.1]{saavedra}. M\^eme remarque avec $Rep_K(G)$ quand $L/K$ est
finie. 
\item[d)] Soit $\sA$ une $K$-cat\'egorie quelconque. Alors
$(Mod\hbox{--}\sA)_{(L)}$ s'identifie \`a la cat\'egorie des
$K$-foncteurs de $\sA$ vers $Mod\hbox{--}L$. Cette derni\`ere s'identifie
canoniquement \`a $Mod\hbox{--}\sA_{L}$ via l'extension des scalaires
na\"{\i}ve. D'apr\`es la proposition \ref{p1.1} f), les objets compacts
de cette cat\'egorie s'identifient \`a $(\sA_L)^{\oplus\natural}$.
\end{itemize}
\end{rems}

\subsection{Sur l'extension des scalaires \`a la Saavedra}\label{s.saa}
Notre but est de comparer $\sA_L$ \`a $\sA_{(L)}$. On a un ``foncteur
fibre"
\'evident 
\begin{equation}\label{eqB.2}
\omega_L:\sA_{(L)}\to \sA
\end{equation}
qui est fid\`ele et conservatif, commutant aux limites projectives et
inductives quelconques, exact si
$\sA$ est ab\'elienne. 

La premi\`ere chose
\`a faire est de d\'efinir un foncteur en sens inverse, de
$\sA$ vers $\sA_{(L)}$. Ce n'est possible que sous des hypoth\`eses
restrictives.

\begin{lemme}[\cf \protect{\cite[prop. II.1.5.1.1]{saavedra}}]\label{l7}
a) Soient
$A\in
\sA$ et
$V\in Vec_K$. Le foncteur
\[B\mapsto Hom_K(V,\sA(A,B))\]
est repr\'esentable dans les cas suivants:
\begin{thlist}
\item $\sA$ est $K$-lin\'eaire et $\dim_K V<\infty$.
\item $\sA$ est stable par limites inductives quelconques.
\end{thlist} 
On note un repr\'esentant $V\otimes_K A$. \\
b) La construction $(V,A)\mapsto
V\otimes_K A$ est bifonctorielle et bilin\'eaire. Si
$W$ est un autre
$K$-espace vectoriel, on a un isomorphisme canonique
\[W\otimes_K(V\otimes_K A)\simeq (W\otimes_K V)\otimes_K A\]
pourvu que les deux membres aient un sens. (Nous nous autoriserons de la
canonicit\'e de cet isomorphisme pour passer sous silence tout tel
pa\-ren\-th\'e\-sa\-ge.)\\ 
c) Si $\sA$ est $K$-lin\'eaire
et que $\dim_K V<\infty$, alors pour tout
$B\in \sA$, le foncteur
\[A\mapsto \sA(V\otimes_K A,B)\]
est repr\'esentable par $V^*\otimes_K B$, o\`u $V^*$ est le dual de $V$.
\qed
\end{lemme}

Soient $A,B\in \sA$ et $V\in Vec_K$. Supposons que les objets $V\otimes_K
A$ et $V\otimes_K B$ soient d\'efinis. L'homomorphisme de fonctorialit\'e 
\[\sA(A,B)\to \sA(V\otimes_K
A,V\otimes_K B)\simeq Hom_K(V,\sA(A,V\otimes_K B))\]
fournit un autre homomorphisme
\begin{equation}\label{eqB.1}
V\otimes_K \sA(A,B)\to \sA(A,V\otimes_K B).
\end{equation}

\begin{lemme}\label{l11} L'homomorphisme \eqref{eqB.1} est un
isomorphisme dans les cas suivants:
\begin{thlist}
\item $\dim_K V<\infty$;
\item $A$ est compact (\ie le foncteur $B\mapsto \sA(A,B)$ commute aux
limites inductives quelconques)
\end{thlist}
\end{lemme}

\prf (i) \'Ecrire $V\simeq K^n$ et se ramener \`a $n=1$ par additivit\'e.
(ii) passer \`a la limite sur (i).\qed

\begin{hyps}\label{h1}
\`A partir de maintenant, on suppose que $\sA$ est additive
(c'est-\`a-dire $K$-lin\'eaire). On se donne une $K$-alg\`ebre $L$
(commutative unitaire). On suppose:
\begin{itemize}
\item soit que $\dim_K L<\infty$;
\item soit que $\sA$ est stable par limites inductives quelconques.
\end{itemize}
\end{hyps}

\begin{lemme}\label{l8} Sous les
hypoth\`eses \ref{h1},\\ 
a) La donn\'ee
d'une repr\'esentation $\rho:L\to \sA(A,A)$ comme dans la d\'efinition
\ref{d3} b) \'equivaut \`a la donn\'ee d'un morphisme
$\rho^\vee:L\otimes_K A\to A$ tel que le diagramme
\[\begin{CD}
L\otimes_K L\otimes_K A@>1\otimes \rho^\vee>> L\otimes_K A\\
@V{\mu_L\otimes 1}VV @V{\rho^\vee}VV\\
L\otimes_K A@>\rho^\vee>> A,
\end{CD}\]
o\`u $\mu_L$ est la multiplication de $L$, soit commutatif.\\
b) Le morphisme
\[\begin{CD} \rho_A^\vee:L\otimes_K L\otimes_K A@>\mu_L\otimes 1>>
L\otimes_K A
\end{CD}\]
v\'erifie la condition de a), donc d\'efinit une repr\'esentation
canonique $\rho_A:L\to \sA(L\otimes_K A,L\otimes_K A)$.\qed
\end{lemme}

Sous les hypoth\`eses \ref{h1}, le lemme \ref{l8} d\'efinit un
$K$-foncteur 
\begin{align}
\sA&\to \sA_{(L)}\label{eqB.3}\\
A&\mapsto (L\otimes_K A,\rho_A).\notag
\end{align}

\begin{lemme}[\protect{\cite[II.1.5.2]{saavedra}}]\label{l12} Le foncteur
\eqref{eqB.3} est adjoint \`a gauche au foncteur
$\omega_L$ de \eqref{eqB.2}. Il envoie objet compact
de $\sA$ sur objet compact de $\sA_{(L)}$.
\end{lemme}

(La seconde assertion provient du fait que $\omega_L$ commute aux limites
inductives quelconques.)\qed

Le lemme \ref{l10} b) montre que le foncteur \eqref{eqB.3} s'\'etend alors
en un $L$-foncteur 
\begin{equation}\label{eqB.4}
\Xi_L:\sA_L\to \sA_{(L)}.
\end{equation}

\subsection{Comparaison de $\sA_L$ et
$\sA_{(L)}$}
 
\begin{prop}\label{p6} Soient $A,B$ deux objets de $\sA$. Si
$\dim_K L=\infty$, supposons que $A$ soit compact. Alors l'homomorphisme
\[L\otimes_K\sA(A,B)\to \sA_{(L)}(L\otimes_K A,L\otimes_K B)\]
est bijectif. En particulier, $\Xi_L$ est pleinement fid\`ele si
$\dim_K L<\infty$, et sa restriction \`a la sous-cat\'egorie pleine des
objets compacts de $\sA_L$ est pleinement fid\`ele en g\'en\'eral (et
prend ses valeurs dans les objets compacts de $\sA_{(L)}$ d'apr\`es le
lemme \ref{l12}). 
\end{prop}

\prf Cela r\'esulte des lemmes \ref{l11} et \ref{l12}.\qed

\begin{thm}\label{t2} Le
foncteur
\[\Xi_L^\natural:(\sA_L)^\natural\to \sA_{(L)}\]
induit par $\Xi_L$ est une \'equivalence de cat\'egories pour toute $K$-cat\'egorie $\sA$
pseudo-ab\'elienne si et seulement si $L$ est une $K$-alg\`ebre
\emph{\'etale}. Dans ce cas, $\Xi_L^\natural$ induit une
\'e\-qui\-va\-le\-nce de cat\'egories sur les sous-cat\'egories pleines
form\'ees des objets compacts.
\end{thm}

\prf  Vu la proposition \ref{p6}, le foncteur 
$\Xi_L^\natural$ est une \'equivalence de ca\-t\'e\-go\-ries si et
seulement s'il est essentiellement surjectif. D'autre part, d'apr\`es
la proposition \ref{Psep}, $L$ est \'etale sur $K$ si et seulement si le
$L$-bimodule $L$ est projectif. 

1) Supposons d'abord $L$ projectif sur $L\otimes_K L$. La suite exacte de
$L$-bimodules $0\to
\Ker \mu \to L\otimes_K L \stackrel{\mu}{\longrightarrow} L\to 0$ est
scind\'ee; on note
$s$ un scindage.   

Dire que $\Xi_L^\natural$ est essentiellement
surjectif est dire que tout objet $B$ dans
$\sA_{(L)}$ est facteur direct de
$L\otimes_K A$ pour un objet $A$ de $\sA$ convenable (comme
$\Xi_L^\natural$ est pleinement fid\`ele, l'expression ``facteur
direct" n'est pas ambig\"ue).  Nous allons montrer
que $A =\omega_L(B)$ convient, ce qui montrera du m\^eme coup la seconde
assertion.

Notons $\iota_2$ l'homomorphisme de $L$-alg\`ebres $L\to L\otimes_K L$
donn\'e par $\ell\mapsto 1\otimes \ell$. Dans
$\sA_{(L)}$, on a un isomorphisme
$L\otimes_K
\omega_L(B)\cong (L\otimes_K L)\otimes_{L,\iota_2} B$, et un morphisme
$\mu\otimes_L 1_B:(L\otimes_K L)\otimes_{L,\iota_2} B \to
L\otimes_{L,\iota_2} B = B$ dont
$s\otimes_L 1_B$ est une section. Ceci montre bien que $B$ est facteur
direct de $L\otimes \omega_L(B)$. 

2) Supposons maintenant que $L$ ne soit pas $L\otimes_K L$-projectif. Pour
obtenir un contre-exemple, prenons
$\sA= Vec_L$ (vue comme $K$-cat\'egorie a\-b\'e\-lien\-ne): $\sA_{(L)}$
est la  cat\'egorie des $(L\otimes_K L)$-modules
finis. Alors $L$, vu comme objet de
$\sA_{(L)}$, n'est pas facteur direct d'un objet de la forme $L\otimes_K
V$, $V \in Ob(\sA)$, puisqu'un tel objet est un
$(L\otimes_K L)$-module libre. \qed 


\begin{sloppypar} 
\begin{ex} Prenons pour $\sA$ la cat\'egorie $Rep_K G$ des 
$K$-re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions de dimension finie d'un $K$-groupe affine.
On note comme ci-dessus
$ Rep^\infty_K G$ la Ind-cat\'egorie attach\'ee \`a $\sA$, de sorte
qu'on a une \'equivalence naturelle (mo\-no\-\"{\i}\-da\-le)
$(Rep^\infty_K G)_{(L)}\cong Rep^\infty_L G_L$. En outre, si $L/K$ est
(finie) s\'eparable, elle induit une \'equivalence naturelle
(mono\"{\i}dale) entre objets compacts
$(Rep_K G)_{(L)}\cong Rep_L G_L$, et aussi (en vertu du th\'eor\`eme
ci-dessus) $\cong \allowbreak(Rep_K G)_L^\natural$. 
\end{ex}
\end{sloppypar}

\begin{thebibliography}{II}

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\end{thebibliography}

\newpage

 \addtocontents{toc}{{\bf II. Radical et rigidit\'e}\hfill\thepage}
\
\bigskip
\begin{center}
\large\bf II. Radical et rigidit\'e
\end{center}
\bigskip

L'objectif de cette partie est l'\'etude du radical
$\sR$ en pr\'esence d'une structure mono\"{\i}dale sur $\sA$. Il s'av\`ere que la
question de la compatibilit\'e du radical \`a la structure mono\"{\i}dale
est fort d\'elicate, et n'a pas toujours une r\'eponse positive. Nous
comparons chemin faisant $\sR$ au plus grand id\'eal propre $\sN$
compatible \`a la structure mono\"{\i}dale, et analysons le quotient $\sA/\sR$. 

\medskip
Pour simplifier, on suppose $\sA$ \emph{stricte} (la contrainte
d'associativit\'e et les contraintes d'unit\'e sont l'identit\'e).

\section{G\'en\'eralit\'es}\label{s3.5}

\subsection{Id\'eaux mono\"{\i}daux, duaux.}\label{6.2} Soit $K$ un anneau
commutatif unitaire, et soit $(\sA,\bullet)$ une
$K$-cat\'egorie mono\"{\i}dale.

\begin{defn}\label{d6.1} Un id\'eal $\sJ$ de $\sA$ est dit
\emph{mono\"{\i}dal}\footnote{Jannsen \cite{jannsen2} dit plut\^ot
\emph{tensoriel}.} s'il est stable par les transformations
$1_C\bullet -$ et $- \bullet 1_C$ pour tout objet $C$ de $\sA$.
\end{defn}

\begin{lemme}\label{l6.1} a) Si $\sJ$ est mono\"{\i}dal, il est stable par
produit mono\"{\i}dal \`a gauche et \`a
droite par un morphisme arbitraire. En particulier, on a une
structure mono\"{\i}dale
induite sur le quotient $\sA/\sJ$.\\
b) La notion d'id\'eal mono\"{\i}dal est stable par somme, 
intersection, produit.
\end{lemme}

\prf a) Soient $f\in \sJ(A,B)$ et $g\in \sA(C,D)$. On a alors $g\bullet
f=(g\bullet 1_B)\circ
(1_C\bullet f)\in\sJ(C\bullet A,D\bullet B)$. On raisonne de m\^eme
pour les produits \`a
droite.

b) est imm\'ediat.
\qed

  Rappelons qu'un
objet $A$ d'une ca\-t\'e\-go\-rie mono\"{\i}dale $\sA$ \emph{admet
un dual} (\`a droite) s'il existe un objet $A^\vee\in \sA$ et des morphismes
d'\'evaluation
\[\epsilon_A:A\bullet A^\vee\to \un\]
et de co\'evaluation
\[\eta_A:\un\to A^\vee\bullet A\]
tels que les compos\'es
\[\begin{CD}
A@> 1_A\bullet\eta_A>> A\bullet A^\vee\bullet A@> \epsilon_A\bullet 1_A>>
A\\
A^\vee@>\eta_A\bullet 1_{A^\vee}>> A^\vee\bullet A\bullet
A^\vee@>1_{A^\vee}\bullet\epsilon_A >> A^\vee
\end{CD}\]
soient \'egaux \`a l'identit\'e. Le triplet
$(A^\vee,\epsilon_A,\eta_A)$ est d\'e\-ter\-mi\-n\'e \`a isomorphisme
unique pr\`es.

Il en r\'esulte que le foncteur $- \bullet A^\vee$ est adjoint \`a gauche au foncteur 
$-\bullet A$ et que le foncteur $ A^\vee \bullet -$ est adjoint \`a droite au foncteur 
$A\bullet -$. Plus pr\'ecis\'ement, pour tous objets
$B,C$ de $\sA$, l'homomorphisme compos\'e
\[\begin{CD}
\sA(A\bullet B,C)@>1_{A^\vee}\bullet ->> \sA(A^\vee\bullet A\bullet B,
A^\vee\bullet C) @>(\eta_A\bullet 1_B)^*>>\sA(B,A^\vee\bullet C)
\end{CD}\]
est un isomorphisme, d'inverse le compos\'e
\[\begin{CD}
\sA(B,A^\vee\bullet C)@>1_{A}\bullet ->>
\sA(A\bullet B,A\bullet A^\vee\bullet C) @>(\epsilon_A\bullet
1_C)_*>>\sA(A\bullet B,C).
\end{CD}\]
et de m\^eme pour l'autre adjonction (\cf \eg \cite[1]{bru1}).

Si $A$ et $B$ ont pour duaux \`a droite $A^\vee$ et $B^\vee$, alors
$A\bullet B$ a pour dual \`a droite 
\[(A\bullet B)^\vee =B^\vee\bullet A^\vee\] 
avec
\begin{equation}\label{eq6.2.0} \varepsilon_{A\bullet B}=
\varepsilon_{A}\circ (1_A\bullet \varepsilon_B \bullet
1_{A^\vee}).\end{equation}

\medskip 
On d\'efinit de mani\`ere duale la notion de dual \`a gauche ${}^\vee
A$. Si $A$ admet un dual
\`a droite et un dual \`a gauche, on a $({}^\vee A)^\vee={}^\vee(
A^\vee)=A$. En g\'en\'eral, ${}^\vee A$ et $A^\vee$ ne co\"{\i}ncident
pas. 

\begin{defn}
On dit que
$(\sA,\bullet)$ est
\emph{rigide} si tout objet a un dual \`a droite et est un dual \`a
droite (ou de mani\`ere \'equivalente, si tout objet a un dual \`a droite
et un dual \`a gauche). 
\end{defn}

\begin{sorite} Si $\sA$ est rigide, il en est de m\^eme de
$\sA^\oplus,\sA^\natural$ et de $\sA^{\oplus\natural}$ (notations du \S
\ref{s1}).\qed
\end{sorite}

Soient $A$ et $B$ deux objets de ${\sA}$, $A$ ayant un dual \`a droite.
Par adjonction, on a un isomorphisme canonique de $K$-modules:
\begin{align}\label{eq6.2.1}\iota_{AB}:&{\sA}(\un , A^\vee\bullet B)\iso
{\sA}(A,B)\notag\\
\iota_{AB}(\phi)&=(\epsilon_A\bullet 1_B)\circ (1_A\bullet \phi),
\end{align}
d'inverse
 \begin{equation}\label{eq6.2.2}
\iota_{AB}^{-1}(f)= (1_{A^\vee} \bullet f)\circ  \eta_A.
\end{equation}

Si $B$ a aussi un dual \`a droite, la composition de deux morphismes $f\in
\sA(A,B)$ et $g\in \sA(B,C)$ peut se calculer comme suit (``composition
des correspondances"):
\begin{equation}\label{eq6.2.3}g\circ f=
\iota_{AC}\left((1_{A^\vee}\bullet
\epsilon_B \bullet 1_C)(\iota_{AB}^{-1} f\bullet \iota_{BC}^{-1}
g)\right). \end{equation}

Appliquant $\iota_{AC}^{-1}$, cette formule fondamentale exprime la
commutativit\'e du diagramme
\[\begin{CD} 
\un @>{\eta_A}>>A^\vee A @>1_{A^\vee}\bullet f>> A^\vee B@= A^\vee B \\ 
@V{\eta_B}VV@V{1_{A^\vee A}\bullet \eta_B}VV@V{1_{A^\vee
B}\bullet\eta_B}VV\left|\right|\\   
B^\vee B@>\eta_A\bullet 1_{B^\vee B}>> A^\vee AB^\vee
B@>{1_{A^\vee}\bullet\epsilon_B\bullet 1_B}>>A^\vee B B^\vee B
@>{1_{A^\vee}\bullet\epsilon_B\bullet 1_B}>>  A^\vee B\\ 
@V{1_{B^\vee}\bullet g}VV@V{1_{A^\vee AB^\vee}\bullet g}VV@V{1_{A^\vee
BB^\vee}\bullet g}VV @V{1_{A^\vee}\bullet g}VV\\  
B^\vee C@>\eta_A\bullet 1_{B^\vee C}>> A^\vee AB^\vee C@>1_{A^\vee}\bullet
f\bullet 1_{B^\vee C}>>A^\vee B B^\vee C
@>{1_{A^\vee}\bullet\epsilon_B\bullet 1_C}>> A^\vee C.
\end{CD}\]

On a aussi les variantes 
\begin{equation}\label{eq6.2.4} g\circ \iota_{AB}(\phi)= 
\iota_{AC}((1_{A^\vee}\bullet g)\circ \phi)
\end{equation}
\begin{equation}\label{eq6.2.5}  \iota_{BC}(\psi) \circ f= 
\iota_{AC}((\varepsilon_B\bullet 1_C)\circ (f\bullet 1_{B^\vee\bullet
C})\circ (1_A\bullet \psi ) )
\end{equation}
qui se lisent sur le m\^eme diagramme.

\medskip
Si $A, B$ ont des duaux \`a droite et que $f\in \sA(A,B)$, on d\'efinit 
(\loccit) le transpos\'e
$f^t$ (ou dual \`a droite) de $f$ comme \'etant le compos\'e
\begin{equation}\label{eq6.2.6} 
B^\vee =\un \bullet B^\vee \stackrel{\eta_A\bullet 1}{\To} A^\vee\bullet A
\bullet B^\vee\stackrel{1\bullet f\bullet 1}{\To} A^\vee \bullet B
\bullet B^\vee \stackrel{1\bullet \varepsilon_B }{\To} A^\vee \bullet \un
=A^\vee, \end{equation} 
 ce qui s'\'ecrit aussi \begin{equation}\label{eq6.2.6,5} f^t=(1_{A^\vee}\bullet
\varepsilon_B )\circ (\iota_{AB}^{-1}(f) \bullet 1_{B^\vee}) , \end{equation} 
 et on a
alors la formule
\begin{equation}\label{eq6.2.7}  (g\circ f)^t= f^t \circ
g^t.\end{equation}

On a de m\^eme une notion de transpos\'e ${}^tf$ \`a gauche, et
$({}^tf)^t={}^t(f^t)=f$. En g\'en\'eral, ${}^tf$ et $f^t$ ne
co\"{\i}ncident pas.
   
\medskip {\it On suppose d\'esormais que $\sA$ est rigide.}


\begin{lemme}\label{L4.1} Tout id\'eal mono\"{\i}dal $\sJ$ v\'erifie
\[{\sJ} (A,B)=\iota_{AB}\big({\sJ}(\un , A^\vee\bullet B)\big) \]
et
\[\big({\sJ}(A,B)\big)^t = {\sJ}(B^\vee ,A^\vee).  \]
         \end{lemme}

\prf La premi\`ere formule d\'ecoule des formules \eqref{eq6.2.1},
\eqref{eq6.2.2}. Pour la seconde,
\begin{multline*}
\big({\sJ}(A,B)\big)^t = (1_{A^\vee}\bullet \varepsilon_B )\circ ( {\sJ}(\un , A^\vee\bullet
B)  \bullet 1_{B^\vee}) \\
\subset(1_{A^\vee}\bullet \varepsilon_B )\circ   {\sJ}( {B^\vee} , A^\vee\bullet
B\bullet  {B^\vee})  \subset {\sJ}(B^\vee ,A^\vee) . 
\end{multline*}

\begin{sloppypar}
L'analogue pour les duaux \`a gauche de ces deux formules conduit \`a
${}^t\big({\sJ}(C,D)\big) = {\sJ}({}^\vee D ,{}^\vee C)$. En posant
$B={}^\vee C, \,A= {}^\vee D$ (ce qui est loisible puisque $\sA$ est
rigide), et en appliquant ${}^t$, on obtient finalement l'inclusion
oppos\'ee $ {\sJ}(B^\vee ,A^\vee)\subset \big({\sJ}(A,B)\big)^t$.
\qed 
\end{sloppypar}

On a une r\'eciproque partielle du lemme \ref{L4.1} (mais voir aussi le
lemme \ref{L4.2} dans le cas sym\'etrique):

\begin{lemme}\label{L4.2bemol} Soit $\sI$  un  $\un$-id\'eal \`a gauche de
$\sA$ (d\'efinition \ref{d1}). La formule
\[{\sI}^{(\bullet)}(A,B)=\iota_{AB}\big({\sI}(A^\vee\bullet B)\big)\]
d\'efinit un id\'eal de $\sA$ contenant  $\sI$. Cet id\'eal est
mono\"{\i}dal \`a gauche (stable par produit $\bullet$ \`a gauche).
\end{lemme}

\prf Soit $g\in
{\sA}(B,C)$ un morphisme. En utilisant la formule \eqref{eq6.2.4}, on
calcule
\begin{multline*}
g\circ {\sI}^{(\bullet)}(A,B) = g\circ  \iota_{AB}\big({\sI}(A^\vee\bullet
B)\big) = \iota_{AC}\big((1_{A^\vee}\bullet g)\circ
{\sI}(A^\vee\bullet B)\big) \\
\subset \iota_{AC}\big(  {\sI}(A^\vee\bullet
C)\big) = {\sI}^{(\bullet)}(A,C).
\end{multline*}

La stabilit\'e par composition \`a droite se d\'emontre de
m\^eme en utilisant \eqref{eq6.2.5}.

Enfin, soit $C$ un objet de ${\sA}$. Observons que
l'homomorphisme
\[1_C\bullet - :  {\sA}(A,B)\to {\sA}(C\bullet A,C\bullet B)\]
n'est autre que
\[f\mapsto \iota_{C\bullet A, C\bullet B}[ (1_{A^\vee}\bullet \eta_C
\bullet 1_B)\circ \iota_{AB}^{-1}(f)]\]
o\`u $\eta_C: \un \to C^\vee\bullet C$ est la co\'evaluation. On a donc
\begin{multline*}
1_C\bullet {\sI}^{(\bullet)}(A,B) = \iota_{C\bullet A, C\bullet B}[
(1_{A^\vee}\bullet \eta_C \bullet 1_B)\circ
         \big({\sI}(A^\vee\bullet  B)\big)\\
\subset \iota_{C\bullet A, C\bullet B}  \big({\sI}(A^\vee\bullet
C^\vee\bullet C\bullet B)\big) = {\sI}^{(\bullet)}(C\bullet A, C\bullet B).
\end{multline*}

On conclut en appliquant (la moiti\'e du) lemme \ref{l6.1}.\qed


\subsection{Le cas sym\'etrique} On suppose d\'esormais que $\sA$ (qui
rappelons-le, est suppos\'ee rigide) est munie d'un tressage sym\'etrique
$R$ (une contrainte de commutativit\'e, dans le langage de Saavedra). On
renvoie \`a \ref{Tre} pour plus de d\'etails sur les tressages.

Sous cette hypoth\`ese, ${}^\vee A= A^\vee$ (duaux \`a droite et \`a
gauche co\"{\i}ncident), et on a  
\begin{equation}\label{eq6.2.7,3} \epsilon_{A^\vee}=\epsilon_A\circ
R_{A^\vee, A},\eta_{A^\vee}=R_{A^\vee, A}\circ
\eta_A , A^{\vee\vee}=A ,\end{equation} 
\begin{equation}\label{eq6.2.7,6}  {}^tf= f^t, \;\;\;\;(f^t)^t=f . 
\end{equation} 

On a aussi l'identit\'e
\begin{equation}\label{eq6.2.11}
\iota_{C^\vee,C^\vee}(R_{C^\vee,C}\circ \phi)=\iota_{C,C}(\phi)^t 
\end{equation}
(en effet, par \eqref{eq6.2.6,5} et \eqref{eq6.2.2}, l'image par
$\iota_{C^\vee,C^\vee}^{-1}$ du membre de droite s'\'ecrit
$(1_{C^\vee}\bullet \varepsilon_C)\circ (\phi\bullet 1_{C^\vee})$, tandis que  
celle du membre de gauche s'\'ecrit $(\varepsilon_{C^\vee} \bullet 1_{C^\vee})\circ (1_{C^\vee}\bullet (R_{C^\vee,C}\circ
\phi))= ((\varepsilon_{C } \circ R_{C^\vee,C})\bullet 1_{C^\vee})\circ (1_{C^\vee}\bullet  \phi)$, et l'\'egalit\'e des deux
membres s'ensuit par permutation des facteurs $C^\vee$.)

\medskip Par ailleurs, si $A,B,C,D$ sont quatre objets de $\sA$ et $\phi\in
\sA(\un,A^\vee\bullet B)$, $\psi\in \sA(\un, C^\vee\bullet D)$, on a la
formule
\begin{equation}\label{eq6.2.8}\iota_{A,B}(\phi)\bullet\iota_{C,D}(\psi)=
\iota_{A\bullet C,B\bullet D}((R_{A^\vee\bullet B,C^\vee} \bullet
1_D)\circ(\phi\bullet\psi)).\end{equation} 
  

\medskip Le lemme suivant compl\`ete \ref{L4.2bemol}. 
 
\begin{lemme}\label{L4.2} Soit $\sI$  un  $\un$-id\'eal \`a gauche de
$\sA$ (d\'efinition \ref{d1}). La formule
\[{\sI}^{(\bullet)}(A,B)=\iota_{AB}\big({\sI}(A^\vee\bullet B)\big)\]
d\'efinit un id\'eal mono\"{\i}dal ${\sI}^{(\bullet)}$; c'est le plus
petit id\'eal mono\"{\i}dal
de $\sA$ contenant  $\sI$.
\end{lemme}

\prf On a vu que ${\sI}^{(\bullet)}$ est un id\'eal contenant
$\sI$, stable par produit \`a gauche.  Par tressage, on a aussi
${\sI}^{(\bullet)}(A,B) \bullet 1_C \subset {\sI}^{(\bullet)}(A\bullet C,
B\bullet C)$ pour trois objets $A,B,C$. La deuxi\`eme assertion est
imm\'ediate  compte tenu du lemme \ref{L4.1}.   \qed

\subsection{Interpr\'etation} Pour expliciter le sens des lemmes
\ref{L4.1} et
\ref{L4.2}, notons:

\begin{itemize}
\item $\bG$ l'ensemble des $\un$-id\'eaux \`a gauche de $\sA$;
\item $\bI$ l'ensemble des id\'eaux [bilat\`eres] de $\sA$;
\item $\bT$ l'ensemble des id\'eaux [bilat\`eres] mono\"{\i}daux de
$\sA$.
\end{itemize}

Ces trois ensembles sont ordonn\'es par inclusion. On a le diagramme
sui\-vant d'applications
croissantes:
\[\begin{CD}
\bT&& \begin{smallmatrix}i\\\longrightarrow\\\longleftarrow\\j
\end{smallmatrix}&&\bI\\
&\scriptstyle t\displaystyle\nwarrow&& \scriptstyle
r\displaystyle\swarrow\\ &&\bG
\end{CD}\]
o\`u

\begin{sloppypar}
\begin{itemize}
\item $i$ associe \`a un id\'eal mono\"{\i}dal l'id\'eal sous-jacent;
\item $j$ associe \`a un id\'eal le plus petit id\'eal mono\"{\i}dal le
contenant;
\item $r$ associe \`a un id\'eal le $\un$-id\'eal \`a gauche sous-jacent
($r(\sI)(A)=\sI(\un,A)$);
\item $t$ associe \`a un $\un$-id\'eal \`a gauche $\sI$ l'id\'eal
mono\"{\i}dal 
$\sI^{(\bullet)}$ construit dans le lemme \ref{L4.2}.
\end{itemize}
\end{sloppypar}

On a \'evidemment $ji=Id$. Le lemme \ref{L4.1} dit que $tri=Id$,
tandis que le lemme
\ref{L4.2} dit que $rit=Id$. En particulier, \emph{les applications
$t$ et $ri$ sont des
bijections inverses l'une de l'autre}. D'autre part, soit $\sI\in
\bI$. Comme $j(\sI)$
contient $r(\sI)$, on a $j(\sI)\supset tr(\sI)$, et $j(\sI)=tr(\sI)$
si et seulement si
$tr(\sI)\supset \sI$. 

Par abus de notation, on \'ecrira encore $\sI^{(\bullet)}$ pour $tr(\sI)$
si $\sI\in \bI$.

\begin{sloppypar}
\medskip Par ailleurs, les ensembles $\,\bG,\,\bI,\,\bT$ sont munis
d'op\'erations internes ``som\-me", ``intersection". Il est clair que les
applications $i,t,r$ respectent ces op\'erations.
\end{sloppypar}

Le cas du produit est plus int\'eressant. {\it A priori}, seuls $\bI$ et
$\bT$ sont munis d'une op\'eration ``produit" \'evidente. On peut alors
munir $ \bG $ d'un tel produit en posant: $\sI\cdot\sJ :=
ri(t(\sI)\cdot t(\sJ))$ (en formule: 
\begin{equation}\label{eq15}
(\sI\cdot\sJ)(B) : = \sum_A \iota_{AB}(\sI(A^\vee \bullet
B))\circ \sJ(A) \;\; ).
\end{equation}

Les applications $i,t,r$ respectent alors aussi le produit.

\begin{ex} \label{ex2} Si $\sA$ est la cat\'egorie mono\"{\i}dale des
motifs de Gro\-then\-dieck pour l'\'equivalence rationnelle (motifs `de
Chow') \`a coefficients dans
$K$ et si $K$ est un corps, il y a bijection entre les id\'eaux
mono\"{\i}daux de $\sA$ et les relations d'\'equivalence ad\'equates sur
les cycles alg\'ebriques \`a coefficients dans $K$.

Il est plus facile de d\'ecrire la bijection entre $\un$-id\'eaux \`a
gauche de $\sA$ et relations d'\'equivalence ad\'equates (\cf
\cite[4]{jannsen2}). Soit $\sI$ un tel $\un$-id\'eal, c'est-\`a-dire la
donn\'ee d'une famille de sous-groupes $\sI(M)$ de $\sA(\un,M)$ stable
par l'action \`a gauche des correspondances, o\`u $M$ d\'ecrit les objets
de $\sA$. Pour le motif $M$ d'une vari\'et\'e $X$ tordu $m$ fois
\`a la Tate, on a $\sA(\un,M)=CH^m(X)_K$, donc $\sI$ d\'efinit une
relation d'\'equivalence ad\'equate. Inversement, toute relation
d'\'equivalence ad\'equate d\'efinit un $\un$-id\'eal \`a gauche de la
cat\'egorie des correspondances de Chow (non effectives),
 et on v\'erifie que les $\un$-id\'eaux \`a gauche de cette cat\'egorie
sont en correspondance bijective avec ceux de son enveloppe
pseudo-ab\'elienne $\sA$. 

On d\'eduit de (\ref{eq15}) la formule pour le produit de relations
d'\'equivalence ad\'equates (correspondant au produit d'id\'eaux, et
not\'e $\ast$ dans \loccit).   
\end{ex}

\section{Traces}

\medskip
{\it Dans tout ce paragraphe, on suppose que $(\sA,\bullet)$ est $K$-lin\'eaire mono\"{\i}dale rigide,
sym\'etrique, et que
$End(\un) =K$} (en revanche, on ne suppose pas $\sA$ ab\'elienne).


\subsection{Traces et id\'eal $\sN$}\label{traces}  
Rappelons que la {\it
trace} d'un endomorphisme
$h\in
\sA(C,C)$ est
l'\'e\-l\'e\-ment $tr(h) \in K= End(\un) $ d\'efini par
\[\epsilon_C \circ R_{C^\vee, C} \circ({\iota_{CC}}^{-1}(h) ): {\bf
1 }\to \un ,\]
o\`u $\epsilon_C:   C\bullet C^\vee \to  \un $ est l'\'evaluation. Dans
la situation sym\'etrique dans laquelle nous nous pla\c cons, la formule
s'\'ecrit aussi
\begin{equation}\label{eq6.2.8,5} tr(h)= \epsilon_{C^\vee}
\circ({\iota_{CC}}^{-1}(h) ) \end{equation} 
 La {\it dimension} (ou rang) de l'objet
$A$ est la trace de $1_A$.

  Soient $f\in \sA(A,B)$ et $g\in \sA(B,A)$. Des formules \eqref{eq6.2.0}
et \eqref{eq6.2.3}, on d\'eduit que
\[tr(g\circ f)=\epsilon_{A^\vee}(1_{A^\vee}\bullet \epsilon_B\bullet
1_A)(\iota_{AB}^{-1}f\bullet \iota_{BA}^{-1}g)=\epsilon_{A^\vee B}\circ
(\iota_{AB}^{-1}f\bullet \iota_{BA}^{-1}g)\]
d'o\`u
\begin{equation}\label{eq6.2.9}tr(g\circ f)= tr(f\circ g)\end{equation} 
et, en appliquant \eqref{eq6.2.6}
\begin{equation}\label{eq6.4.1}
tr(g\circ f)=(\iota_{AB}^{-1}f)^t\circ
\iota_{BA}^{-1}g \;\; (=tr((\iota_{AB}^{-1}f)^t\circ \iota_{BA}^{-1}g)).
\end{equation}

En appliquant \eqref{eq6.2.11}, on obtient aussi l'identit\'e
\[tr(h^t)=tr(h).\]

Voici une autre formule utile (\cf
\cite[7.2]{de}): si $f$  et $g$ sont des endomorphismes de $A$ et $B$, on
a
\begin{equation}\label{eq6.2.10}tr(f\bullet g)= tr(f) tr(g).
\end{equation} 
 
Introduisons \`a pr\'esent l'id\'eal $\sN$, protagoniste principal de ce
paragraphe. 
 
\begin{lemme} La formule
\[{\sN}(A,B)=\{f \in \sA(A,B), \forall g\in \sA(B,A), tr(g\circ f)=0\} \]
d\'efinit un id\'eal mono\"{\i}dal de $\sA$ \footnote{Dans \cite{bru2}
cet id\'eal appara\^{\i}t, dans le cadre plus g\'en\'eral (tressage non
n\'ecessairement sym\'etrique)
des \emph{tortils} ou \emph{cat\'egories enrubann\'ees}, sous le nom
d'id\'eal des morphismes n\'egligeables.}. On a
\[{\sN}(A,B)=\iota_{AB}\{f \in \sA(\un ,A^\vee\bullet B),
\forall g\in\sA(A^\vee\bullet B,\un ),  g\circ f =0\} . \]
\end{lemme}

\prf La stabilit\'e par composition \`a gauche est claire et la
stabilit\'e par composition \`a
droite s'en d\'eduit en vertu de la formule \eqref{eq6.2.9}. Il suffit
alors de prouver la seconde assertion, qui dit que $\sN=\sN^{(\bullet)}$.
C'est imm\'ediat \`a partir de la formule \eqref{eq6.4.1}.  \qed

\begin{ex}\label{ex1} Dans le cas de l'exemple \ref{ex2} (motifs),
l'id\'eal mono\"{\i}dal
$\sN$ correspond \`a l'\'equivalence num\'erique des cycles alg\'ebriques.
\end{ex}


\begin{lemme}\label{Ldim} On suppose que $K$ est un corps. Soit
$f_1,\dots,f_n
\in
\sA(A,A)$ une famille de $n$ \'el\'ements li\-n\'e\-ai\-re\-ment
ind\'ependants modulo
$\sN(A,A)$. Alors $(f_1,\dots,f_n)$ correspond \`a une cor\'etraction
$\;{\un}^n\inj A^\vee\bullet A$.   
\end{lemme} 

\prf La donn\'ee des $f_i$ fournit un morphisme
${\un}^n\rightarrow A^\vee\bullet A$ (de $i$-\`eme composante
$\iota_{AA}^{-1}(f_i)$). Remarquons
que, par d\'efinition de $\sN$, la trace induit une forme bilin\'eaire
(sym\'etrique) non d\'eg\'en\'er\'ee
\[\sA(A,A)/\sN(A,A)\times \sA(A,A)/\sN(A,A)\to K.\]

Il exi\-ste donc des \'el\'ements $g_1,\dots, g_n$ de
$\sA(A,A)$ tels que $tr(g_i\circ f_j) = \delta_{ij}$ (symbole de
Kronecker). Le morphisme compos\'e
\[\begin{CD}
A^\vee\bullet A @>\circ g_1,\dots ,\circ
g_n>>  (A^\vee\bullet A)^n
@>R_{A^\vee A},\dots, R_{A^\vee A}>>
(A\bullet A^\vee )^n  @>{ev,\dots ,ev}>>{\un}^n
\end{CD}\]
est un inverse \`a gauche  de ${\un}^n\inj
A^\vee\bullet A$. R\'eciproquement, toute cor\'etraction comme dans
l'\'enonc\'e s'obtient clairement ainsi.
\qed

\begin{prop}\label{new p1} On suppose que $K$ est un corps. Soit $\sA$
un cat\'egorie $K$-lin\'eaire mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide, avec
$K=End(\un )$. On note $\sR$ son radical.  Alors\\
a) $\sN=\sR^{(\bullet)}$: $\sN(A,B)= \iota_{AB}(\sR(\un, A^\vee \bullet
B))$ pour tout couple $(A,B)$. \\
b) $\sN$ est le plus grand id\'eal mono\"{\i}dal
distinct de $\sA$.\\
c) Soit $\sJ$ un id\'eal mono\"{\i}dal distinct de $\sA$. Si
$\sA/\sJ$ est semi-simple, alors $\sJ=\sN$. 
\end{prop}

\prf $a)$ Que $\sN$ soit distinct de $\sA$ se voit sur le couple
$(\un ,\un )$. Pour l'\'egalit\'e $\sN=\sR^{(\bullet)}$, il s'agit de
voir que pour tout objet
$A$,
$\sN(\un ,A)=\sR(\un ,A)$. C'est bien le cas, car d'apr\`es le lemme \ref{L2},
\[{\sR}(\un ,A)= \{f \in \sA(\un ,A ),
\forall g\in
\sA(A ,\un ),
         g\circ f =0\} . \]
$b)$ Prouvons que tout id\'eal mono\"{\i}dal $\sJ$ distinct de $\sA$ est
contenu dans $\sN$: il suffit de faire voir
que pour tout objet $A$, $\sJ(\un ,A)\subset \sN(\un ,A)$,
c'est-\`a-dire que pour tout $f\in \sJ(\un ,A)$ et tout $g\in
\sA(A,\un )$, $g\circ f=0 \in K$. Si tel
n'\'etait pas le cas, on pourrait supposer
$g\circ f=1$, donc $1\in \sJ(\un ,\un )$, d'o\`u $\sJ(\un ,A)=\sA(\un
,A)$.

$c)$ Si $\sA/\sJ$ est semi-simple, alors $\sR\subset \sJ$. Donc
$\sR^{(\bullet)}=\sN$ est contenu dans $\sJ^{(\bullet)}=\sJ$. On a
l'inclusion oppos\'ee
d'apr\`es $i)$.\qed 

\begin{cor}  L'id\'eal $\sN$ ne d\'epend pas du choix du
tressage (sy\-m\'e\-tri\-que) $R$.\qed
\end{cor}

\begin{prop}\label{new p3/2} Sous les m\^emes hypoth\`eses, les conditions suivantes sont
\'equivalentes:  
\begin{thlist}
 \item $\sR \supset \sN $ (\resp $\sR\subset \sN$),
\item  le foncteur de projection $\sA\to \sA/\sN$ est conservatif, 
\item  pour tous objets $A,B$ de $\sA$, l'identification
\[\iota_{AB}:\;\sA({\bf 1}, A^{\vee}\bullet B)\iso \sA(A,B)\]
induit une inclusion
\[\sR(A,B)\supset \sR({\bf 1},A^{\vee}\bullet B)\]
(\resp
\[\sR(A,B)\subset \sR({\bf 1},A^{\vee}\bullet B)).\]
\end{thlist}
\noindent En outre,  $\sR$ est un id\'eal
mono\"{\i}dal si et seulement si $\;\sR =\sN $.
\end{prop}

\prf (i) $\iff$ (ii)  r\'esulte de \ref{P1} b); (i) $\iff$ (iii) n'est
autre qu'une reformulation de la proposition \ref{new p1} a). La
derni\`ere assertion suit de ce que $\sN=\sR^{(\bullet)}$ (ou de (i)
$\iff$ (iii)).\qed

 
\begin{cor}\label{c2} Si $\sA$ est semi-simple, $\sN=0$.  
    Si $\;\sR\ne \sN$, $\sR\ne 0$.
\end{cor}

En effet, la premi\`ere (\resp deuxi\`eme) affirmation
r\'esulte de la proposition \ref{new p1}  (\resp  \ref{new p1} et
\ref{new p3/2}) compte tenu de ce que le radical d'une cat\'egorie
semi-simple est nul (\resp de ce que
$0$ est un id\'eal mono\"{\i}dal).\qed  
  
\begin{ex}\label{BBM} Revenons \`a l'exemple de la cat\'egorie
mono\"{\i}dale sym\'etri\-que rigide $\sA$ des motifs de Chow
\`a coefficients rationnels. Des conjectures tr\`es fortes dues \`a A.
Beilinson \cite{beilinson} et de J. Murre \cite{murre} (qui sont en fait
\'equivalentes, \cf \cite{jannsen2}) pr\'edisent l'existence d'un
filtration finie fonctorielle sur les objets de $\sA$. Chaque cran de la
filtration est suppos\'e provenir d'une \'equivalence ad\'equate, donc
d\'efinit un id\'eal mono\"{\i}dal $F^p$. D'apr\`es  \cite{jannsen2}, il
r\'esulterait de ces conjectures  et des conjectures standard que $F^p$
est la puissance
$p$-i\`eme de l'id\'eal $F^1$ (correspondant \`a l'\'equivalence
homologique) et que
$F^1=\sN$. La finitude conjecturale de la filtration a pour
cons\'equence que $F^1 \subset \sR$, donc $F^1= \sR = \sN$ ($\sR$ est mono\"{\i}dal), 
et implique alors: 
$\sA$ est strictement de Wedderburn (noter que
$\sR^\omega=
\cap F^p= 0$). Ces propri\'et\'es se transf\'erent aux cat\'egories de
motifs  purs pour une \'equivalence
ad\'equate quelconque. 

Cet exemple conjectural est l'une des principales sources d'inspiration
de cet article.  
 \end{ex} 

\begin{rem}\label{r6.1} La compatibilit\'e de $\sN$  vis-\`a-vis de
    l'extension des sca\-lai\-res (na\"{\i}ve) ne pose pas de probl\`eme
(contrairement
\`a celle du radical $\sR$, \cf \S 3.) C'est prouv\'e
dans \cite[1.4.1]{bru2}, dans un contexte beaucoup plus large.
\end{rem}
  
\subsection{Traces et puissances ext\'erieures}\label{tr et pext}

Cette partie est inspir\'ee par \cite[7.2]{de} et par le r\'ecent
travail de Kimura (\cite{ki}, voir aussi \cite{gu-pe}). Ici la sym\'etrie
du tressage est essentielle.

Soit $n$ un entier $>0$. On fait op\'erer le groupe sym\'etrique
$\mathfrak{S}_n$ sur
$A^{\bullet n}$ au moyen du tressage [sym\'etrique!] $R$, en \'ecrivant
tout \'el\'ement $\sigma$ de $\mathfrak{S}_n$ comme produit de
transpositions de la forme $(i\;i+1)$ (le r\'esultat ne d\'epend pas de
cette \'ecriture,
\cf
\cite[7.2]{de}). Plus g\'en\'eralement, si $A_1,\dots,A_n\in \sA$ et
$\beta\in \mathfrak{S}_n$, on a un isomorphisme bien d\'etermin\'e
\[\beta:A_1\bullet\dots\bullet A_n\to A_{\beta(1)}\bullet \dots\bullet
A_{\beta(n)}\]
covariant en $\beta$. Si $B_1,\dots,B_n$ sont d'autres objets, pour toute
famille $f_i\in
\sA(A_i,B_i)$, on a
\begin{equation}\label{eq6.5.1} \beta \circ
(f_1\bullet\dots\bullet f_n)=(f_{\beta(1)}\bullet\dots \bullet
f_{\beta(n)})\circ \beta.\end{equation}

On a aussi les formules suivantes qui nous seront utiles
\begin{equation}\label{eq6.5.1,4/3} \iota_{A_{\beta(1)}\bullet \ldots 
\bullet A_{\beta(n)},A_{\beta(1)}\bullet
\ldots \bullet A_{\beta(n)}}((\beta^{-1},\beta)\circ\phi)=\beta\circ
  \iota_{A_1\bullet \ldots \bullet A_n,A_1\bullet \ldots \bullet 
A_n}(\phi) \circ \beta^{-1} \end{equation}
\begin{equation}\label{eq6.5.1,5/3} 
\varepsilon_{A_{\beta(n)}^\vee\bullet \ldots \bullet 
A_{\beta(1)}^\vee}\circ(\beta^{-1},\beta)
=\varepsilon_{A_n^\vee\bullet
\ldots
\bullet A_1^\vee },
\end{equation}

o\`u $(\beta^{-1},\beta)$ d\'esigne la ``permutation" 
\[A_n^\vee\bullet \ldots \bullet A_1^\vee \bullet A_1\bullet \ldots
\bullet A_n  \to  A_{\beta(n)}^\vee\bullet \ldots \bullet 
A_{\beta(1)}^\vee \bullet A_{\beta(1)}\bullet \ldots \bullet 
A_{\beta(n)}.\]

{\it Cas particulier de \eqref{eq6.5.1}}: soit $\sigma\in 
\mathfrak{S}_n$, et supposons que
$B_i=A_{\sigma(i)}$ pour tout $i$. On peut alors consid\'erer
l'endomorphisme suivant de $A_1\bullet\dots\bullet A_n$ (\cf
\cite[7.2]{de}):
\[F=\sigma^{-1}\circ (f_1\bullet\dots\bullet f_n).\]

Nous nous proposons de calculer la \emph{trace de $F$}.

\'Ecrivons $\sigma$ comme produit de cycles disjoints
$\sigma_1\circ\dots\circ \sigma_p$, et soit $I_k\subset \{1,\dots,n\}$ le
support de $\sigma_k$. Pour tout $i\in I_k$, on peut consid\'erer
l'endomorphisme de $A_i$
\[F_{k,i}=f_{\sigma^{\ell_k-1}(i)}\circ\dots\circ f_{\sigma(i)}\circ f_i\]
o\`u $\ell_k=|I_k|$ est la longueur du cycle $\sigma_k$. D'apr\`es
\eqref{eq6.2.9}, la trace $tr(F_{k,i})$ ne d\'epend pas du choix de $i$:
notons-l\`a $t_k$.

\begin{prop}\label{p6.4.1} On a
\[tr(F)=\prod_{k=1}^p t_k.\]
\end{prop}

\prf Soit $\beta\in \mathfrak{S}_n$. D'apr\`es \eqref{eq6.5.1} et
\eqref{eq6.2.9}, on a
\begin{multline*}
tr(\beta\sigma^{-1}
\beta^{-1}\circ(f_{\beta(1)}\bullet\dots\bullet f_{\beta(n)}))\\
=tr(\beta\circ\sigma^{-1}\circ(f_1\bullet\dots\bullet f_n)\circ
\beta^{-1})\\
=tr(\sigma^{-1}\circ(f_1\bullet\dots\bullet f_n)).
\end{multline*}

Cette formule permet de se ramener au cas o\`u les $I_k$ forment une
partition croissante de $\{1,\dots,n\}$:
\[I_k=\{\ell_1+\dots+\ell_{k-1}+1,\dots,\ell_1+\dots+\ell_k\}\]
et o\`u, de plus, pour tout $k$, $\sigma_k$ est le cycle ``croissant"
\[\sigma_k=(\ell_1+\dots+\ell_{k-1}+1,\cdots  ,\ell_1+\dots+\ell_k).\]

Posant alors
\[F_k=\sigma_k^{-1}\circ
(f_{\ell_1+\dots+\ell_{k-1}+1}\bullet\dots\bullet f_{\ell_1+\dots+\ell_k})\]
une it\'eration de la formule \eqref{eq6.2.10} donne
\[tr(F)=\prod_{k=1}^p tr(F_k).\]

Ceci ram\`ene la d\'emonstration de la proposition \ref{p6.4.1} au
cas o\`u $\sigma$ est la permutation cyclique de $\{1,\dots,n\}$. Par
it\'eration de la formule \eqref{eq6.2.3}, et compte tenu de
\eqref{eq6.2.0} et \eqref{eq6.2.8}, on trouve
\begin{multline}\label{eq6.5.3}
\iota^{-1}_{A_1A_1}(f_n\circ \dots \circ
f_1)\\
= (1_{A_1^\vee}\bullet\epsilon_{A_2}\dots \bullet\epsilon_{A_{n}}
\bullet 1_{A_1})\circ (\iota_{A_1A_2}^{-1} f_1\bullet \dots \bullet
\iota_{A_nA_1}^{-1} f_n)  \\
= (1_{A_1^\vee}\bullet\epsilon_{A^\vee_n\bullet\dots \bullet A^\vee_2}
\bullet 1_{A_1})\circ (\iota_{A_2\bullet\dots \bullet A_n \bullet
A_1,A_2\bullet\dots \bullet A_n \bullet A_1}^{-1} F ).
\end{multline}

En appliquant
$\epsilon_{A^\vee}$ ``aux deux facteurs extr\^emes $A^\vee$ et $A$" (ce
qui fait sens gr\^ace au tressage), on obtient
\begin{multline}\label{eq6.5.4}
tr(f_n\circ \dots \circ f_1)=
\epsilon_{A^\vee_1\bullet A^\vee_n\bullet\dots \bullet A^\vee_2}
(\iota_{A_2\bullet\dots \bullet A_n \bullet A_1,A_2\bullet\dots \bullet
A_n \bullet A_1}^{-1} F )\\
=\epsilon_{A^\vee_1\bullet
A^\vee_n\bullet\dots\bullet A^\vee_2}  (\iota_{A_2\bullet\dots \bullet
A_n \bullet A_1,A_2\bullet\dots \bullet A_n \bullet A_1}^{-1} F )\\
=\epsilon_{A^\vee_n\bullet\dots \bullet A^\vee_1}
(\iota_{A_1\bullet\dots \bullet A_n  ,A_1\bullet\dots \bullet A_n}^{-1}
(\sigma \circ  (f_1\bullet\dots\bullet f_n)))
= tr(\sigma\circ(f_1\bullet\dots\bullet f_n))
\end{multline}
(\cf aussi \cite[7.2]{de}). \qed

\begin{cor}\label{c6.5.1} Supposons $A_1=\dots=A_n=A$ et
$f_1=\dots=f_n=f$. Alors
\[tr(F)=\prod_{k=1}^p tr(f^{\circ \ell_k}).\]
En particulier, pour $f=1$, on a
$tr(\sigma)=\dim(A)^p$.\qed
\end{cor}

{\it Dans la suite de ce paragraphe (jusqu'\`a \ref{tracesnil}), on
suppose que $\sA$ est pseudo-ab\'elienne.}

\begin{defn}\label{alt, sym} Soit $n$ un entier naturel tel que $n!$
soit inversible dans
$K$, et soit $A\in \sA$. La \emph{puissance ext\'erieure $n$-i\`eme}
$\Lambda^n A$ de
$A$ est l'image du projecteur d'anti\-sym\'e\-tri\-sa\-tion sur
$A^{\bullet n}$
\begin{equation}\label{eq6.5.2} a_n=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma \in \mathfrak
S_n}\,sgn(\sigma)
\sigma.\end{equation}
 De m\^eme, la puissance sym\'etrique  $n$-i\`eme  ${\bf S}^n
A$ d'un objet
$A$ de $\sA$ est l'image du projecteur de sym\'e\-trisation
   $s_n=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma \in \mathfrak S_n}\, \sigma.$ 
\end{defn}

  Ces constructions sont {\it fonctorielles} en $A$.
 

\begin{prop}[\cf \protect{\cite[7.2]{de}}]\label{a la Deligne} Soit $A$ un
objet de $\sA$, et soit $f$ un endomorphisme de $A$. Alors on a
\[tr(\Lambda^n(f))=\frac{1}{n!}
\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} sgn(\sigma) \prod_{k=1}^p tr(f^{\circ
\ell_k})\]
o\`u, pour tout $\sigma\in \mathfrak{S}_n$, $\ell_1,\dots,\ell_p$ sont les
longueurs des cycles disjoints constitutant $\sigma$. En particulier, si
$d=\dim A$, la dimension de
$\Lambda^n A$ est
\[\binom{d}{n} = \frac{d(d-1)\dots (d-n+1)}{n!}.\]
De m\^eme, on a
\[tr(\mathbf{S}^n(f))=\frac{1}{n!}
\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} \prod_{k=1}^p tr(f^{\circ
\ell_k})\]
\[\dim \mathbf{S}^n(A)=\binom{d+n-1}{n} = \frac{d(d+1)\dots
(d+n-1)}{n!}.\]
\end{prop}

\prf  La premi\`ere assertion r\'esulte directement du corollaire
\ref{c6.5.1}. La seconde r\'esulte du cas particulier $f=1$ et de
l'identit\'e bien connue
\[\binom{d}{n}=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in \mathfrak{S}_n} sgn(\sigma)
d^{\alpha(\sigma)}\]
o\`u $\alpha(\sigma)$ est le nombre de cycles constituant $\sigma$. Les
assertions pour les puissances sym\'etriques se d\'emontrent de m\^eme.
\qed

\begin{cor} Sous les hypoth\`eses de la proposition \ref{a la Deligne},\\
a) $tr(f^{\circ n})$ s'exprime comme un polyn\^ome universel en les
$tr(\Lambda^i(f))$ pour $i=1,\dots,n$ \`a coefficients dans $\Z[1/n!]$.\\
b) On a
\begin{equation}\label{eq6.6.4}tr(\Lambda^n (1_A+f))= \sum_{i=0}^n
tr(\Lambda^i f ).
\end{equation}
\end{cor}

\prf a) Posons $t_i = tr(f^{\circ i})$: le second
membre de la proposition \ref{a la Deligne} est donc un polyn\^ome
universel en les $t_i$. On remarque que $t_n$ intervient dans le terme
$\prod_{k=1}^p tr(f^{\circ\ell_k})$ si et seulement si $\sigma$ est un
cycle de longueur $n$, et qu'alors ce terme est
\'egal \`a $t_n$. Tous ces cycles ont la m\^eme signature $(-1)^{n-1}$,
et ils sont au nombre de $(n-1)!$. Ainsi, le second membre de la
proposition \ref{a la Deligne} est un polyn\^ome du premier degr\'e en
$t_n$, et le coefficient de $t_n$ est \'egal \`a $(-1)^{n-1}/n$.
L'assertion en r\'esulte, par r\'ecurrence sur $n$.

b) Gr\^ace \`a a), on voit que   $tr(\Lambda^n(1+f))$   s'\'ecrit
comme un polyn\^ome universel \`a coefficients dans $\Z[\frac{1}{n!}]$ en
les $tr(\Lambda^i f )$ pour $i\leq n$. Prenant pour $\sA$ la cat\'egorie
mono\"{\i}dale des modules libres de type fini sur $K$, on obtient la
formule voulue.\qed

  En s'inspirant de Kimura \cite{ki} (qui se pla\c cait
dans le cadre des motifs de Chow, \cf aussi
\cite[3.15]{gu-pe}), nous allons d\'emontrer
un r\'esultat plus pr\'ecis que \ref{p6.4.1} et \ref{a la Deligne}, qu'on
retrouve en appliquant $\varepsilon_{A_1^\vee}$ aux facteurs extr\^emes.
On reprend les notations de \ref{p6.4.1}.

\begin{prop}\label{a la Kimura} Pour tout $\sigma\in  \mathfrak S_n$,
notons
$\ell_1(\sigma)$ la longueur du cycle $\sigma_1$ de $\sigma$ ayant $1$
dans son support. On a
\begin{multline}\label{eq6.6.3}\iota_{A_1
A_1}\big((1_{A_1^\vee}\bullet\epsilon_{A_n^\vee
\bullet\dots
\bullet A_2^\vee} \bullet 1_{A_1  })( \iota_{A_1\bullet \dots \bullet
A_n,A_1\bullet \dots \bullet
A_n}^{-1}( \sigma^{-1}\circ  f_1\bullet\dots\bullet f_n))\big)\\
=t_\sigma.f_{\sigma_1^{\ell_1-1}(1)}\circ\dots\circ f_{\sigma_1(1)}\circ
f_1,
\end{multline}
o\`u $t_\sigma= 1$ si $\sigma$ est cyclique
($\ell_1=n$), et $t_\sigma  \in K $ est un produit de traces de
mon\^omes non triviaux en les $f_i$ si $\sigma$ n'est pas cyclique.

A fortiori, si $A_1=\ldots = A_n =A$ et $f_1=\ldots = f_n =f \in 
\sA(A,A)$, et si $n!$ est inversible dans $K$, on obtient
\begin{equation}\label{eq6.6.4a}
\iota_{AA}\big((1_{A^\vee}\bullet\epsilon_{A^{\bullet (n-1)}}
\bullet 1_{A })\circ (\iota_{A^{\bullet n},A^{\bullet n}}^{-1}(\Lambda^n
f ))\big)= \sum_{\sigma\in \mathfrak
S_n}  t'_\sigma f^{\ell_1(\sigma)}\end{equation}
\begin{equation}\label{eq6.6.4b}
\iota_{AA}\big((1_{A^\vee}\bullet\epsilon_{A^{\bullet (n-1)}}
\bullet 1_{A })\circ (\iota_{A^{\bullet n},A^{\bullet
n}}^{-1}(\mathbf{S}^n f ))\big)= 
\sum_{\sigma\in \mathfrak
S_n}  t"_\sigma f^{\ell_1(\sigma)}\end{equation}
o\`u $t'_\sigma= \frac{(-1)^{n-1}}{n!}$
si $\sigma$ est cyclique, et
$t'_\sigma=\pm\frac{1}{n!}\times$ un produit de traces de puissances
non nulles de $f$ sinon (\resp m\^emes formules pour $t"_\sigma$, sans
les signes).
\end{prop}

\prf Abr\'egeons provisoirement $\iota_{AA}$ en $\iota_A$, et
\[(1_{A_1^\vee}\bullet\epsilon_{A_n^\vee
\bullet\dots
\bullet A_2^\vee} \bullet 1_{A_1  })\circ   \iota_{A_1\bullet \dots
\bullet A_n,A_1\bullet \dots \bullet
A_n}^{-1}(-) \]
en $\Theta_{A_1\ldots A_n}(-)$.

  Soit $\beta\in \mathfrak{S}_n$ une permutation telle que $\beta(1)=1$. 
Compte tenu de \eqref{eq6.5.1}, \eqref{eq6.5.1,4/3} et 
\eqref{eq6.5.1,5/3}, on a
  \begin{multline*}
\iota_{A_1 A_1} \big(   \Theta_{ A_{1}   A_{\beta (1)} \ldots 
A_{\beta (n)}  }(\beta \sigma^{-1}
\beta^{-1}\circ (f_1\bullet f_{\beta (2)} \bullet \dots \bullet f_{\beta (n)} ))\big) \\=
\iota_{A_1 A_1} \big(\Theta_{A_1A_{\beta (2)}\ldots A_{\beta (n)} } 
(\beta\circ \sigma^{-1}
\circ (f_1\bullet\dots\bullet f_n)\circ \beta^{-1})\big)\\
=\iota_{A_1 A_1}\big(\Theta_{A_1\ldots A_n}(\sigma^{-1}\circ 
(f_1\bullet\dots\bullet f_n))\big).
  \end{multline*}
  Comme dans la preuve de \ref{p6.4.1}, et parce que $\sigma_1$ est 
choisi de telle sorte que $1$ est dans son support, cette formule 
permet de se ramener au
cas o\`u les
$I_k$ forment une partition croissante de $\{1,\dots,n\}$ et o\`u, de 
plus, pour tout $k$, $\sigma_k$ est le cycle ``croissant"
\[\sigma_k=(\ell_1+\dots+\ell_{k-1}+1,\cdots ,\ell_1+\dots+\ell_k),\]
   ce qui permet d'\'ecrire
  \[   \sigma^{-1}\circ f_1\bullet\dots\bullet f_n   = 
(\sigma_1^{-1}\circ f_1\bullet\dots\bullet f_{\ell_1})\bullet \dots
\bullet  (\sigma_p^{-1}\circ f_{n-{\ell_p}}\bullet\dots\bullet f_n ). \]
     Compte tenu de \eqref{eq6.2.0} et
\eqref{eq6.2.8}, on en tire
  \begin{multline*} \iota_{A_1} \big(\Theta_{A_1\ldots A_n}( 
f_1\bullet\dots\bullet f_n)\big)
    \\ =\iota_{A_1  }\big( (1_{A_1^\vee} \bullet 
\epsilon_{A^\vee_{\ell_1} \bullet \dots \bullet A^\vee_2 }\bullet 
1_{A_1  })
  (\iota_{A_1 \bullet \ldots \bullet A_{\ell_1} }^{-1}(\sigma_1^{-1}\circ
f_1\bullet\dots\bullet f_{\ell_1}) )\bullet \\
  \epsilon_{A^\vee_{\ell_1+\ell_2} \bullet \dots \bullet
A^\vee_{\ell_1+1} }
  (\iota_{A_{\ell_1 +1} \bullet \ldots \bullet A_{\ell_1+\ell_2} 
}^{-1}(\sigma_2^{-1}\circ
f_{\ell_1+1}\bullet\dots\bullet f_{\ell_1+\ell_2}) )\bullet \\ \ldots
\bullet
  \epsilon_{A^\vee_{n } \bullet \dots \bullet A^\vee_{n-\ell_p} }
  (\iota_{A_{n-\ell_p} \bullet \ldots \bullet
A_{n}}^{-1}(\sigma_p^{-1}\circ f_{n-\ell_p}\bullet\dots\bullet f_{n})
)\big)
\end{multline*}
ce qui n'est autre que \[(f_{\ell_1}\circ \cdots \circ
f_1).tr(f_{\ell_1+\ell_2}\circ
\dots \circ f_{\ell_1 +1}).\cdots .tr(f_n \circ \cdots \circ
f_{n-\ell_p})\] par  \eqref{eq6.5.3}  et  \eqref{eq6.5.4}. Ceci
d\'e\-mon\-tre la premi\`ere assertion, et la seconde s'ensuit
imm\'ediatement.
  \qed

\begin{prop}\label{nouvelle} 
Soit $A\ne 0$ un objet de $\sA$. On suppose qu'il existe un entier $n>0$
tel que $n!$ soit inversible dans $K$ et tel que  
tel que $\Lambda^n A= 0$ (\resp que $\mathbf{S}^nA=0$). Alors\\
i) $\sN(A,A)$ est un nil-id\'eal de $\sA(A,A)$ d'\'echelon de nilpotence
$\leq n$. C'est m\^eme un id\'eal nilpotent de $\sA(A,A)$, d'\'echelon de
nilpotence born\'e en fonction de $n$.  En particulier, l'image de $A$
n'est pas nulle dans $\sA/\sN$.\\  ii) Si $K$ est int\`egre de
caract\'eristique nulle, la dimension de $A$ (\resp l'oppos\'e de la
dimension de
$A$) est un entier naturel $\le n$.
\end{prop}

\prf i) la formule \eqref{eq6.6.4a}
nous dit que  \[\iota_{A  }(1_{A ^\vee}\bullet\epsilon_{A^{\bullet
(n-1)}}\bullet 1_{A })(
\iota_{A^{\bullet n}}^{-1}(\Lambda^n f ))= \sum_{\sigma\in \mathfrak
S_n}  t'_\sigma f^{\ell_1(\sigma)},\]
o\`u $t'_\sigma= \frac{({-1)}^{n-1}}{n!}$ si $\sigma$ est cyclique, et
$t'_\sigma=\pm\frac{1}{n!}\times$  un produit de traces de puissances non
nulles de $f$ sinon. Pour
$f\in \sN$, ces derniers termes s'annulent, et on a donc
\[\iota_{A}(1_{A ^\vee}\bullet\epsilon_{A^{\bullet (n-1)}}
\bullet 1_{A })(\iota_{A^{\bullet n}}^{-1}(\Lambda^n f ))=
\frac{({-1)}^{n-1}}{n}f^n.\]
  
Mais $\Lambda^n f = 0$ si $\Lambda^n A= 0$, et on
trouve finalement que $f^n=0$. De m\^eme avec $S^n$ au lieu de
$\Lambda^n$. La nilpotence de $\sN(A,A)$ r\'esulte alors du th\'eor\`eme
de Nagata-Higman \cite{nagata,higman} rappel\'e ci-dessous pour la commodit\'e du lecteur.

La troisi\`eme assertion de i) est imm\'ediate.

ii) D'apr\`es la proposition \ref{a la Deligne}, la dimension de
$\Lambda^n A$ est donn\'ee par le coefficient bin\^omial $\binom{\dim
A}{n}$, qui ne s'annule que si $\dim A$ est un entier naturel $\le n$.

Le cas d'une puissance sym\'etrique se traite de m\^eme.\qed

 \begin{lemme}[Nagata-Higman]\label{naghig} Soit $K$ un anneau
commutatif unitaire dans lequel $n!$ est inversible. Soit
$R$ une $K$-alg\`ebre associative non unitaire telle que tout \'el\'ement $x\in R$ v\'erifie $x^n=0$. Alors
$R^{2^n-1}=0$.
\end{lemme} 

\prf (d'apr\`es P. Higgins) On raisonne par r\'ecurrence sur $n$, en
posant $R= R_n$. Posons 
\[\xi (x,y) = \sum_{i=0}^{n-1} x^i y x^{n-1-i}
\text{ et }\eta (x,y,z)=\sum_{i,j= 0}^{n-1} x^i z y^j x^{n-i-1}
y^{n-j-1}.\] 

En \'ecrivant $(x+iy)^n= 0$ pour $i=0,\ldots n-1$, on
obtient par Van der Monde (compte tenu de ce que $(n-1)!$ est inversible
dans $K$) que $\xi(x,y)$ est identiquement nul sur $R_n\times R_n$. Donc
$\eta(x,y,z)=\sum_{j=0}^{n-1} \xi(x, zy^j)y^{n-1-j}=0$, mais
$\eta(x,y,z)$ se r\'e\'ecrit $nx^{n-1}zy^{n-1} +
\sum_{j=0}^{n-2}\, x^j z \xi (y, x^{n-1-j}) $, d'o\`u $x^{n-1} zy^{n-1}
= 0$ (compte tenu de ce que $n$ est inversible dans $K$). Soit $I_{n-1}$
l'id\'eal de $R_n$ engendr\'e par les puissances $(n-1)$-i\`emes.  La
$K$-alg\`ebre $R_{n-1}= R_n/I_{n-1}$ est nil d'\'echelon $n-1$. Par
r\'ecurrence, $R_{n-1}^{2^{n-1}-1}=0$,
\ie $R_n^{2^{n-1}-1}\subset I_{n-1}$, et on conclut de ce qui
pr\'ec\`ede que
\[R_n^{2^n-1}= R_n^{2^{n-1}-1}.R_n.R_n^{2^{n-1}-1}\subset I_{n-1}\cdot
R_n\cdot I_{n-1}=0.\] 
 \qed

\subsection{Trace des endomorphismes nilpotents}\label{tracesnil}  

Nous ignorons si un endomorphisme nilpotent est toujours de trace
nilpotente, sans hypoth\`ese suppl\'e\-men\-taire. Nous allons n\'eanmoins le
d\'e\-mon\-trer dans deux cas particuliers.

\begin{prop}\label{nil, tr} Supposons que $\sA$ soit pseudo-ab\'elienne
et que la dimension de tout objet de
$\sA$ soit un entier naturel. Soit $A$ un objet de dimension $n$ telle
que $n!$ soit inversible dans $K$. Alors tout endomorphisme nilpotent de
$A$ est de trace nilpotente dans $K$.
\end{prop}

\prf Par le th\'eor\`eme de Krull et par extension des scalaires
(na\"ive), on se ram\`ene au cas o\`u $K$ est un corps. Par extension des
scalaires de $K$
\`a $K[t]$, la formule \eqref{eq6.6.4} donne
$tr(\Lambda^n (1+t f ))= \sum_{i=0}^n t^i tr(\Lambda^i f)$. Pour
montrer que $tr(f)=0$ pour tout $f$ nilpotent, il suffit donc d'\'etablir
que
$tr(\Lambda^n (1+f ))=1$ pour tout tel $f$. Or par la proposition
\ref{a la Deligne}, le rang de $\Lambda^n A$ est $1$. Il suffit donc de
d\'emontrer que pour tout objet $B$ de rang $1$, $(\sA/\sN)(B,B)=K.1_B
\stackrel{tr \,\cong}{\To} K$, compte tenu de ce que $K$ est un corps.
Cela d\'ecoule du lemme suivant, qui est une cons\'equence imm\'ediate de
\ref{Ldim}:

\begin{lemme}\label{dim 0 ou 1} Supposons que $K$ soit un corps, que
$\sA$ soit pseudo-a\-b\'e\-lien\-ne et que la dimension de tout objet
soit un entier naturel. Alors tout objet de dimension $0$ de
$\sA/\sN$ est nul, et pour tout objet $B$ de $\sA/\sN$ de dimension
$1$, le morphisme canonique
$\eta_B:\un\to B^\vee\bullet B$ est un isomorphisme. \qed
\end{lemme}

\begin{prop}[\cf \protect{\cite[1.4.3]{bru2}}]\label{a la bru} Supposons
qu'il existe un foncteur mo\-no\-\"{\i}\-dal sy\-m\'e\-tri\-que
$H$ de $\sA$ vers une cat\'egorie ab\'elienne mono\"{\i}dale
sy\-m\'e\-tri\-que rigide
$\sV$; supposons en outre que l'application $K\to  \sV(\un, \un)$ soit
injective. Alors tout endomorphisme nilpotent est de trace nulle.
\end{prop}

\prf On se ram\`ene au cas $\sA=\sV$, donc \`a supposer $\sA$
ab\'elienne. Cela permet de factoriser
$f=m\circ e$ en
\'epi suivi de mono. Si $f^n=0$, on a donc
\[0=(me)^n=m(em)^{n-1}e\]
d'o\`u $(em)^{n-1}=0$ puisque $m$ (\resp $e$) est simplifiable \`a gauche
(\resp \`a droite). On \'ecrit alors $tr(me)=tr(em)$, et
on conclut par r\'ecurrence sur l'\'echelon de nilpotence.
\qed

\begin{rem} Dans \ref{nil, tr} (contrairement \`a \ref{a la bru}),
on ne peut remplacer ``trace nilpotente" par ``trace nulle" si $K$ n'est
pas r\'eduit: la cat\'egorie $\sA$ des modules libres de type fini
sur l'alg\`ebre des nombres duaux $D=K[\epsilon]/(\epsilon^2)$ est
mono\"{\i}dale
$D$-lin\'eaire sym\'etrique rigide, et v\'erifie $End\,\un= D$ (mais
n'est pas ab\'elienne). Or
$\epsilon.1_\un$ est un endomorphisme nilpotent de trace non nulle.
\end{rem}

\subsection{$\otimes$-Radicaux}\label{tens-rad} On suppose toujours
$\sA$ mono\"{\i}dale sy\-m\'e\-trique rigide.

\begin{defn}\label{d6.2} Soit $\sJ$ un id\'eal mono\"{\i}dal de $\sA$. Le
{\rm
$\otimes$-radical} de $\sJ$ est d\'efini par:
\[\sqrt[ \otimes]{ \sJ}(A,B)=\{f\in \sA(A,B), \exists n \in {\bf N},
f^{\bullet n} \in \sJ(A^{\bullet
n},B^{\bullet n})\}.\]
\end{defn}

\begin{lemme}\label{l8.1}
i) $\sqrt[ \otimes]{ \sJ}$ est un id\'eal mono\"{\i}dal.\\
ii) Pour tout objet $A$, l'id\'eal $\sqrt[\otimes]{0}(A,A)$ est
nil. Qui plus est, l'id\'eal bilat\`ere engendr\'e par un \'el\'ement
  quelconque de $\sqrt[\otimes]{0}(A,A)$ est nilpotent.\\
iii) $\sqrt[ \otimes]{0}$ est contenu dans
$\sR\cap \sN$ (rappelons que $\sR$ d\'esigne le radical de $\sA$.)
\end{lemme}

\prf $i)$ Pour montrer que $\sqrt[ \otimes]{ \sJ}$ est un id\'eal
mono\"{\i}dal, le seul point non trivial est de
v\'erifier que $ \sqrt[ \otimes]{ \sJ}(A,B)$ est stable par addition.
Soient $f$ et $g$ deux \'el\'ements de
cet ensemble. Il existe donc $n \in {\bf N}$ tel que $f^{\bullet n}
=g^{\bullet n}\in \sJ ,$ et l'on voit alors
que $(f+g)^{\bullet 2n}\in \sJ $ puisque $\sJ $ est un id\'eal
mono\"{\i}dal.

$ii)$ (\cf \cite[d\'em. de la prop. 2.16]{ki}). Soit $f\in \sqrt[
\otimes]{0}(A,A)$. Pour tous
$g_1,
\ldots ,  g_{n+1}\in \sA(A,A)$, on a $g_{n+1}\bullet f
\bullet g_n \bullet \ldots \bullet f \bullet g_{1}=0$ (appliquer le
tressage), d'o\`u, par
\eqref{eq6.5.3},
\begin{multline*}
\iota_{AA}^{-1}(g_1\circ f \circ g_2 \circ \ldots \circ f
\circ g_{n+1})=\\   
(1_{A^\vee}\bullet\epsilon_{A^\vee \bullet\dots\bullet A^\vee }
\bullet 1_A)\circ  \iota_{A^{\bullet 2n+1},A^{\bullet 2n+1}}^{-1} 
(\sigma^{-1} \circ(g_{n+1}\bullet f
\bullet g_n \bullet \ldots \bullet f \bullet g_{1}))
\end{multline*}
o\`u $\sigma$ est la permutation cyclique de
$\{1,\dots,2n+1\}$.  On obtient donc que  $g_1\circ f \circ g_2\circ
\ldots\circ f \circ g_{n+1}=0$.

$iii)$ $\sqrt[ \otimes]{0}\subset \sR$ suit imm\'ediatement de $ii)$.
Pour $\sqrt[ \otimes]{0}\subset \sN$, on utilise la
formule \eqref{eq6.2.10}: $tr(f^{\bullet n})= tr(f)^n$.
\qed

\begin{ex}\label{ex1'} Dans le cas de l'exemple \ref{ex2} (motifs),
l'id\'eal mono\"{\i}dal $\sqrt[ \otimes]{0}$ correspond \`a
l'\'equivalence de smash-nilpotence sur les cycles al\-g\'e\-bri\-ques,
introduite par V. Voevodsky \cite{voevodsky}. Sa conjecture principale
(loc. cit.) revient \`a dire que $\sqrt[ \otimes]{0}=\sN$ (dans le cas
o\`u le corps de coefficients est de caract\'eristique nulle).

Dans \cite{thomason}, Thomason calcule $\sqrt[ \otimes]{0}$ dans le cas
des cat\'egories d\'eriv\'ees de cat\'egories de faisceaux coh\'erents. 
\end{ex}

\begin{rem}\label{r6.1a} La compatibilit\'e de $\sqrt[\otimes]{0}$
vis-\`a-vis de l'extension des sca\-lai\-res (na\"{\i}ve) est
imm\'ediate. 
\end{rem}

\section{Th\'eor\`emes de structure}\label{nouveau par}

Dans ce paragraphe, nous tirons les fruits des calculs pr\'ec\'edents,
pour obtenir des th\'eor\`emes de structure: ceux-ci sont rassembl\'es
dans \ref{rtss}. 
Dans tout le paragraphe, {\it $K$ est un corps et $\sA$ est une 
cat\'egorie $K$-lin\'eaire mo\-no\-\"{\i}\-da\-le sym\'etrique rigide,
avec
$End(\un )=K$}. 

On note $\sR$ le radical, et $\sN$ le plus grand id\'eal mono\"{\i}dal
distinct de $\sA$. (\cf \ref{new p1}).    

\subsection{Structure de $\sA/\sN$}\label{a sur n}\

 
\begin{prop}\label{new p2} On suppose qu'il existe un foncteur $F:
\sA\to Vec_L$ vers la cat\'egorie des espaces vectoriels de dimension
finie sur une extension $L$ de $K$, v\'erifiant $\;F(\un)\neq 0$.\\
a) Alors les morphismes de $\sA/\sN$ forment des $K$-espaces de
dimension finie. Plus pr\'ecis\'ement,
\[\dim_K (\sA/\sN)(A,B)\leq \dim_LF(A^\vee\otimes B).\dim_LF(\un).\]
En particulier, $\sA/\sN$ est semi-primaire.\\
b) Si $F$ est la compos\'ee $G\circ H$ d'un
foncteur mo\-no\-\"{\i}\-dal sym\'etrique $H$ de $\sA$ vers une
cat\'egorie ab\'elienne mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide
$\sV$, et d'un foncteur $G:
\sV\to Vec_L$, alors
$\sR \subset\sN$ et $\sA/\sN$ est semi-simple.
  \end{prop}

\prf $a)$ On va donner deux preuves, la premi\`ere valable seulement si
$F$ est $K$-lin\'eaire.

1) Comme $(\sA/\sN)(A,B)\otimes_K L\simeq (\sA_L/\sN_L)(A,B)$ (\cf
remarque
\ref{r6.1}), on peut supposer $L=K$. D'autre part, par rigidit\'e, on peut
supposer que $A=\un$. Consid\'erons alors l'application 
$K$-lin\'eaire d\'efinie par $F$:
\[F:\sA(\un,B)\to Hom_K(F(\un),F(B)).\]

Soit $f\in \sA(\un,B)$ tel que $F(f)=0$. Pour tout $g\in \sA(B,\un)$, on
a $F(gf)=0$, donc $gf=0$: en effet, $F:K=End(\un)\to End_K(F(\un))$ est
injectif puisque $F(\un)\ne 0$. Ainsi $\Ker F\subset \sN(\un,B)$. On a
donc
\[\dim \sA/\sN(\un,B)\le \dim \sA(\un,B)/\Ker F\le \dim
Hom(F(\un),F(B)).\]

2)  Soit $V$ le sous-$L$-espace de $  Hom_L(F(A^\vee\bullet  B),F(\un)) $
engendr\'e par $F(\sA(A^\vee\bullet  B,\un))$. On peut donc trouver des
\'el\'ements $b_1, \dots, b_n$ de
$\sA(A^\vee\bullet  B,\un)$, avec $n\leq \dim_L F(A^\vee\bullet
B).\dim_LF(\un)$, qui engendrent $V$.  Soit $a\in
\sA(A,B)\cong
\sA(\un,A^\vee\bullet  B)$. Dire que $a\in \sN(A,B)\cong
\sN(\un,A^\vee\bullet  B)$, c'est dire que $b\circ a=0$ dans $K=End(\un)$
pour tout
$b\in \sA(A^\vee\bullet  B,\un)$. Comme $F$ est un foncteur, cela
revient
\`a dire que  $V\circ F(a)=0\in L$. Comme les $F(b_i)$ engendrent $V$
sur $L$, cela revient finalement \`a dire que $b_i\circ a=0$ pour
$i=1,\dots n$. Ainsi $a\mapsto (b_i\circ a)_i$ d\'efinit
un plongement $K$-lin\'eaire de $(\sA/\sN)(A,B) \cong (\sA/\sN)(\un,
A^\vee\bullet  B)$ dans $K^n$.

$b)$ Comme $\sA/\sN $ est semi-primaire, toutes les
$K$-alg\`ebres d'endo\-mor\-phis\-mes $\sA/\sN(C,C)$
sont semi-primaires, donc leurs radicaux sont nil\-po\-tents.
D'apr\`es \ref{a la bru}, tout \'el\'ement de ce radical est donc de
trace nulle.
  En appliquant ceci
\`a $C=A\oplus B$, on voit que
$\sR(A,B)\subset \sN(A,B)$. Donc $\sR\subset
\sN$, et $\sA/\sN$ est semi-simple puisque semi-primaire et
de radical nul.\qed

\begin{rems} \label{rmot} 1) La preuve de $a)$ est une variante
abstraite de la preuve classique de la finitude des cycles alg\'ebriques
modulo l'\'e\-qui\-va\-len\-ce nu\-m\'e\-ri\-que. L'hypoth\`ese est tr\`es
faible, mais non superflue: on peut montrer que l'exemple de
\cite[2.19]{de} (il s'agit d'une ind-cat\'egorie obtenue \`a partir de la
cat\'egorie mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide
$\sA$ librement engendr\'ee par un objet $X$ de dimension transcendante
sur
$\Q$) v\'erifie nos conditions et est m\^eme ab\'elienne, mais que
$\sA/\sN$ n'est pas semi-primaire (en fait, il d\'ecoule du calcul de
$\sA(X,X)$ fait dans
\loccit que $\sN(X,X)=0$).

2) Le m\^eme \'enonc\'e (sans les in\'egalit\'es de dimensions)
vaut si l'on suppose seulement que $L$ est une $K$-alg\`ebre semi-simple
commutative plut\^ot qu'un corps. En effet, on se ram\`ene \`a la
proposition \ref{new p2} en projetant sur la cat\'egorie $Vec_{L_i}$, o\`u
$L_i$ est un facteur simple de $L$ tel que $F(\un)\otimes_L L_i\ne 0$.
\end{rems}

  Voici un autre \'enonc\'e qui va dans le m\^eme sens:

\begin{prop}\label{new p5/2} On suppose que $\sA$ est 
pseudo-ab\'elienne et que les
dimensions des objets sont des entiers naturels.\\
$a)$ Alors les morphismes de $\sA/\sN$ forment des
$K$-espaces de dimension finie. On a plus pr\'ecis\'ement, pour tout
objet $A$:
\[\dim_K (\sA/\sN)(A,A)\leq (\dim A )^2.\]
$b)$ En fait  $\sR\subset
\sN$, et $\sA/\sN$ est semi-simple.
\end{prop}

\prf $a)$ Comme $\sA$ est $K$-lin\'eaire, on se ram\`ene au cas des 
endomorphismes. Choisissons $n$
endomorphismes $f_1,\dots, f_n$ dont les i\-ma\-ges dans 
$\sA(A,A)/\sN(A,A)$ sont
lin\'eairement in\-d\'e\-pen\-dan\-tes. Il s'agit de voir que $n\leq
(\dim\,A)^2=
\dim\,A^\vee\bullet A$. Au lemme \ref{Ldim}, on a vu que les 
$f_1,\dots, f_n$ donnent lieu \`a
un facteur direct ${\un}^n$ dans $A^\vee\bullet
A$ dans la cat\'egorie mono\"{\i}dale pseudo-ab\'elienne $\sA/\sN$. Tout
suppl\'ementaire sera de dimension un entier
naturel par hypoth\`ese, d'o\`u l'in\'egalit\'e voulue.

$b)$: comme dans la proposition pr\'ec\'edente, mais en invoquant 
\ref{nil, tr} au lieu de \ref{a la bru}.\qed


\subsection{Radical, traces, semi-simplicit\'e. Trois th\'eor\`emes de
structure}\label{rtss}\


Comme dans le sous-paragraphe pr\'ec\'edent, on suppose que {\it $K$ est
un corps, et que $\sA$ est une  cat\'egorie $K$-lin\'eaire mono\"{\i}dale
sym\'etrique rigide, avec
$End(\un )=K$}.

  \begin{thm}\label{wedtr} On suppose $K$ de caract\'eristique nulle et
$\sA$ munie d'un foncteur mono\"{\i}dal sym\'etrique fid\`ele $H:\sA\to
L$-$Modf$, o\`u $L$ est une $K$-alg\`ebre commutative semi-simple. Alors
$\sA$ est de Wedderburn et
$H$ a les propri\'et\'es
\'enum\'er\'ees dans le corollaire \ref{c6} b).
\end{thm}

\prf Comme dans la remarque \ref{rem en fam}, on se ram\`ene au cas o\`u
$L$ est un corps. D'apr\`es le corollaire
\ref{c6}, il suffit alors de  v\'erifier que, pour tout $a\in
\sA(A,A)$, le polyn\^ome
caract\'eristique de $H(a)$ est \`a coefficients dans $K$. Or, comme
$\car K=0$, ces coefficients s'expriment comme po\-ly\-n\^o\-mes
\`a coefficients rationnels en les $tr(H(a^i))$. Puisque $H$ est
mono\"{\i}dal sym\'etrique, on a $tr(H(a^i))=H(tr(a^i))\in
H(End(\un))=K$.
\qed

Au vu de l'exemple \ref{ex1}, le point $a)$ de l'\'enonc\'e
suivant peut
\^etre con\-si\-d\'e\-r\'e comme une version abstraite des
r\'esultats de Jann\-sen \cite{jannsen} (\cf \cite{ak(note)}).

\begin{thm}\label{absJannsen} a) On suppose qu'il existe un
foncteur mo\-no\-\"{\i}\-dal sy\-m\'e\-tri\-que $H$ de $\sA$ vers une
cat\'egorie ab\'elienne mono\"{\i}dale sym\'etrique $\sV$, et
un foncteur $\,G:\sV\to L$-$Modf$ v\'erifiant
$\,G(\un)\neq 0$, o\`u $L$ est une $K$-alg\`ebre commutative
semi-simple.  Alors
\begin{thlist}
\item $\sR\subset \sN$,
\item $\sA/\sN$ est semi-simple,
\item le seul id\'eal mono\"{\i}dal $\sI$ de $\sA$ tel que $\sA/\sI$ soit
semi-simple est $\sI=\sN$.
\end{thlist}
b) Supposons de plus que
$K$ soit de caract\'eristique nulle, que
$G=Id$ et que $H$ soit fid\`ele. Alors
\begin{thlist}
\item $\sR=\sN$,
\item $\sA$ est de
Wedderburn,
\item $\sA$ est pseudo-ab\'elienne si et seulement si
$\sA/\sN$ est ab\'elienne.
\end{thlist}
\end{thm}

\prf a) (i) et (ii) suivent de la proposition \ref{new p2} b) et de
la remarque \ref{rmot} 2); (iii), indiqu\'e pour m\'emoire, a d\'ej\`a
\'et\'e vu dans la proposition \ref{new p1} c). 

b) Pour (i), il faut
voir que
$\sN \subset \sR$. On remarque que, via $H$, la trace
mono\"{\i}dale $tr$ s'interpr\`ete comme une  ``vraie" trace au sens de
l'alg\`ebre lin\'eaire. Comme $K$ est suppos\'e de caract\'eristique
nulle, un endomorphisme d'un $L$-module de type fini dont toutes les
puissances strictement positives sont de trace nulle est nilpotent, et on
d\'eduit de l\`a que $\sN(A,A)$ est un nil-id\'eal, donc contenu dans
$\sR(A,A)$, pour tout objet $A$ de $\sA$. Le point (ii)
d\'ecoule du th\'eor\`eme pr\'ec\'edent. Enfin, (iii) r\'esulte de ceci et
de la proposition \ref{P3/2} b).
\qed

\begin{rems}\label{nouv rem} 1) Si $\sA$ est tannakienne et que $K$ 
est de caract\'eristique
nulle, on verra dans la proposition \ref{c4} que $\sA/\sR$ est encore
tannakienne (neutre si $\sA$ l'est). Par contre, on verra aussi que
l'hypoth\`ese de ca\-rac\-t\'e\-ris\-ti\-que nulle est n\'ecessaire
(contre-exemple \ref{Carp}, ou remarque \ref{r1} 1).

2) Par ailleurs, il ne suffirait pas dans le th\'eor\`eme
\ref{absJannsen} de supposer que
$H$ est un foncteur fibre $\Z/2$-gradu\'e, \cf contre-exemple \ref{super}
ci-dessous.
  \end{rems}

   \begin{thm}\label{nouveau} Supposons $K$ de
caract\'eristique nulle et $\sA$ pseudo-a\-b\'e\-lien\-ne. Consid\'erons 
les propri\'et\'es suivantes: \\
a) pour tout objet $A$ de $\sA$, il existe un entier $\,n>0\,$ tel que
$\Lambda^n A= 0$,\\
b) $\sA/\sN$ est semi-simple, et pour tout objet $A$ de $\sA$, $\sN(A,A)$ est un id\'eal nilpotent,\\
c) $\sR=\sN$,\\
d) $\sA$ ne contient pas d'objet fant\^ome, \ie
d'objet non nul dont l'image dans $\sA/\sN$ est nulle,\\
e) $\sA$ est de Wedderburn,\\
f) $\sA/\sN$ est tannakienne semi-simple. \\
g) la dimension de tout objet de $\sA$ est un entier naturel,\\
Alors
\begin{thlist}
\item $a)\If b) \If c) \If d) + e)$ et $a)\If f) + g)$,
\item sous $g)$, on a $a)\iff b)  \iff c)\iff d)$. 
\end{thlist}
\end{thm}

\begin{rems} 1) La propri\'et\'e $a)$ pr\'esente l'avantage sur les
suivantes d'\^etre testable sur des ``g\'en\'erateurs tensoriels" de
$\sA$: soit
$(A_\alpha)$ une famille d'objets $A_\alpha$ de $\sA$ tels que tout
objet de $\sA$ soit isomorphe \`a un facteur direct d'une somme directe
de $\bullet$-mon\^omes en les $A_\alpha$; on peut montrer que $a)$ est
v\'erifi\'e d\`es que pour tout $\alpha$, il existe $n_\alpha$ tel que
$\Lambda^{n_\alpha} A_\alpha= 0$.\\
2) Les propri\'et\'es $a), f)$ et $g)$ d\'ependent du tressage, alors
que $b), c), d)$ et $e)$ n'en d\'ependent pas.\\ 
3) Nous ignorons si dans  (ii), on peut ajouter $e)$ aux
propri\'et\'es \'equivalentes (c'est-\`a-dire si $g) + e) \If
\sR=\sN$).    
\end{rems}

\prf S\'eparons $b)$ en $b_1)$: $\sA/\sN$ est semi-simple, et $b_2)$: $\forall \sA$, $\sN(A,A)$ est un id\'eal
nilpotent. Nous allons d\'emontrer que 
$a)\If b_2)$, 
$b_1) +b_2)\If c)\If d)$,
$a)\If g)\If b_1)$,   $ b_1)+b_2)+c)\If e)$, $a)+ b_1)+b_2)\If f)$ et $d)+ g) \If a)$.

$a)\If b_1)$ suit de la proposition \ref{nouvelle} i).

$b_1)+b_2)\If c)$: l'inclusion $\sR \supset \sN$ vient gr\^ace au fait que le
radical d'une $K$-alg\`ebre contient tout nilid\'eal. L'inclusion
oppos\'ee de la semi-simplicit\'e de $\sA/\sN$ (\ref{L1}).

$c)\If d)$: en effet, la projection $\sA \to \sA/\sR$ \'etant
conservative, elle ne peut envoyer un objet non nul sur un objet nul.

$a)\If g)$: cela r\'esulte de la proposition \ref{nouvelle} ii).

  $ b_1)+b_2)+c)\If e)$: imm\'ediat.

  Il reste \`a montrer que $a)+ b_1)+b_2)\If f)$. Par 
$b_2)$, $\sA/\sN$ est
pseudo-ab\'elienne tout comme $\sA$ (lemme \ref{idemp}). Par $b_1)$, 
elle est donc ab\'elienne (\cf \ref{A.P4}).
Comme elle v\'erifie aussi $a)$, le th\'eor\`eme de Deligne 
\cite[7.1]{de} montre qu'elle est tannakienne.

$g)\If b)$: cela r\'esulte de la proposition \ref{new
p5/2}.

$d)+ g) \If a)$: Soit $A$ un objet de dimension $d$. Notons
$\bar A$ son image dans $\sA/\sN$ et posons $B:=\Lambda^{d+1}A$.
Montrons que $B=0$. Par $d)$, il suffit de montrer que son image
$\bar B$ dans $\sA/\sN$, qui n'est autre que $\Lambda^{d+1}\bar A$, est
nulle. Notons que $\bar B  $ est de dimension
$\binom{d}{d+1}=0$. Par $g)$, et d'apr\`es \ref{dim 0 ou 1},
on a bien
$\bar B=0$ puisque $\sA$ est pseudo-ab\'elienne.
 \qed

 

\subsection{Variante $\Z/2$-gradu\'ee}\label{Z/2}

\begin{sloppypar}
En th\'eorie des motifs, la cat\'egorie mono\"{\i}dale des motifs purs
modulo l'\'equivalence num\'erique est parfois appel\'ee la ``fausse"
cat\'egorie des motifs. La raison en est que cette cat\'egorie ne peut
pas \^etre tannakienne car la dimension d'un objet $M$ est un entier
\'eventuellement n\'egatif: si $H$ est une cohomologie de Weil et si
$\tilde M$ est un rel\`evement de $M$ \`a la cat\'egorie des motifs
modulo l'\'equivalence $H$-homologique, alors $\dim M = \dim \tilde M
=\sum_{i\in \Z} (-1)^i H^i(M)$. En particulier, la condition g) du
th\'eor\`eme \ref{nouveau} ne s'applique pas dans ce contexte.
\end{sloppypar}

Pour corriger ce ``d\'efaut", on fait la conjecture standard que les
projecteurs de K\"unneth de tout motif $M$ (relatifs \`a $H$) sont
alg\'ebriques, ce qui permet de modifier la contrainte de
commutativit\'e de fa\c con \`a obtenir la formule $\dim M =\sum_{i\in
\Z} H^i(M)\ge 0$. Pour y parvenir, il suffit en fait que la somme des
projecteurs de K\"unneth pairs (ou impairs, de mani\`ere \'equivalente),
soit alg\'ebrique.

Faute de savoir d\'emontrer cette conjecture standard en g\'en\'eral, on
peut se limiter
\`a la sous-cat\'egorie pleine form\'ee des motifs $M$ pour lesquelles
elle est vraie: c'est le point de vue adopt\'e dans \cite{ak(note)}.
(C'est une sous-cat\'egorie mono\"{\i}dale qui contient au moins les
motifs attach\'es aux courbes, aux surfaces et aux vari\'et\'es
ab\'eliennes, et qui contient tous les motifs si le corps de base est un
corps fini.) Le formalisme de la modification de la contrainte de
commutativit\'e est abstrait dans la proposition suivante:

\begin{prop}\label{new p4} Supposons $K$ de caract\'eristique nulle, et
soit $L$ une
$K$-alg\`ebre semi-simple commutative. Supposons
$\sA$ munie d'un foncteur mo\-no\-\"{\i}\-dal sym\'etrique fid\`ele $H$
vers la cat\'egorie mono\"{\i}dale sym\'e\-trique $Modf^\pm_L$ des
$L$-modules de type fini 
$\Z/2$-gradu\'es (munie de la r\`egle de
Koszul).
Consid\'erons, pour tout $A\in \sA$, la projection $p^+_A\in End(H(A))$
sur le facteur
$H^+(A)$. Soit
$\sA^\pm$ la sous-cat\'egorie pleine de $\sA$ form\'ee des objets $A$ tels
que $p^+_A= H(\pi^+_A)$ pour un $\pi^+_A\in \sA(A,A)$. On note $\sR^\pm,
\sN^\pm$ la restriction de $\sR, \sN$
\`a $\sA^\pm$. Alors
\begin{thlist} 
\item  $\sA^\pm$ est une sous-cat\'egorie $K$-lin\'eaire mono\"{\i}dale
de $\sA$, stable par facteurs directs et rigide.
\item Il existe sur $\sA^\pm$ une contrainte de commutativit\'e
telle que le foncteur mono\"{\i}dal compos\'e
\[\sA^\pm\to \sA\stackrel{H}{\to} Vec_L^\pm\to Vec_L,\]
o\`u le dernier foncteur est le foncteur d'oubli, soit
sy\-m\'e\-tri\-que.
\end{thlist}
En particulier, $\sA^\pm$ est de Wedderburn, $\sR^\pm=\sN^\pm$, et
$\sA^\pm/\sN^\pm$ est semi-simple. 
 \end{prop} 

\prf V\'erification imm\'ediate pour (i): si $A,B\in \sA^\pm$,
$\pi^+_{A\bullet B}$ est donn\'e par $\pi^+_A\bullet\pi^+_B
+(1-\pi^+_A)\bullet(1-\pi^+_B)$. De m\^eme, si $A^\vee$ est le dual de
$A\in
\sA^\pm$, $\pi^+_{A^\vee}$ est donn\'e par le transpos\'e $(\pi^+_A)^t$.
Pour
$A\in \sA^\pm$, posons
$\epsilon_A=2\pi^+_A-1$: on a $\epsilon_A^2=1$. Pour $A,B\in \sA$,
soit $R_{A,B}:A\bullet B\to B\bullet A$ la contrainte de
commutativit\'e. Si $A,B\in \sA^\pm$, posons
\begin{equation}\label{kunneth}
R'_{A,B}=R_{A,B}\epsilon_A\bullet\epsilon_B.
\end{equation}

On voit tout de suite que $R'$ est une nouvelle contrainte de
commutativit\'e, v\'erifiant la condition (ii): pour la naturalit\'e,
cela r\'esulte du fait que $\pi_A^+$, donc $\epsilon_A$, est naturel en
$A$, et la v\'erification des identit\'es de tressage sym\'etrique est
imm\'ediate. La derni\`ere affirmation r\'esulte du th\'eor\`eme
\ref{absJannsen}.\qed

Si l'on est dans la situation de la proposition \ref{new p4}, on peut
appliquer le th\'eor\`eme \ref{nouveau} \`a $\sA^\pm$ munie de la
nouvelle contrainte de commutativit\'e. En exprimant tout en termes de
l'ancienne contrainte, cela revient \`a utiliser au lieu des puissances
ext\'erieures les ``super-puissances ext\'erieures" d'un objet
$A=A_+\oplus A_-$ de
$\sA^\pm$, d\'efinies par
\[s\Lambda^n A= \bigoplus_{i+j=n}\Lambda^i A_+\bullet \mathbf{S}^j A_-.\]

Nous reviendrons sur ces super-puissances ext\'erieures dans
la section suivante \ref{kimura}, o\`u nous d\'emontrerons que la
cat\'egorie $\sA^\pm$ de la proposition \ref{new p4} est
\emph{intrins\`eque} (\ie ind\'ependante de $H$).


\section{Th\'eorie de Kimura (le Pair et l'Impair)}\label{kimura}

\begin{sloppypar}
La cat\'egorie $\sA$ est toujours $K$-lin\'eaire mono\"{\i}dale
sym\'etrique rigide, qu'on suppose en outre {\it pseudo-ab\'elienne};
$K$ est un corps de caract\'eristique $0$.
\end{sloppypar}

\subsection{Fondements}


\begin{defn}\label{dkim.1} a) Un objet $A\in \sA$ est \emph{pairement de
dimension finie au sens de Kimura} s'il existe un entier $n>0$ tel que
$\Lambda^n(A)=0$. \\ 
b) Un objet $A\in \sA$ est \emph{impairement de
dimension finie au sens de Kimura} s'il existe un entier $n>0$ tel que
$\mathbf{S}^n(A)=0$. \\
c) Un objet $A\in \sA$ est \emph{de
dimension finie au sens de Kimura} s'il admet une d\'ecomposition en somme
directe $A=A_+\oplus A_-$ telle que $A_+$ soit pairement de dimension
finie et $A_-$ soit impairement de dimension finie.
\end{defn}

Cette d\'efinition a \'et\'e introduite par Kimura dans \cite{ki} pour les
motifs de Chow. Un grand nombre de ses r\'esultats sont valables, avec
leur d\'e\-mons\-tra\-tion, dans notre cadre g\'en\'eral. Pour les
d\'emonstrations de ce qui suit, nous renvoyons donc \`a Kimura, sauf pour
les \'enonc\'es qui ne figurent pas chez lui. Ces r\'esultats ne seront
pas utilis\'es dans les chapitres suivants.

\begin{nota} Si $A$ est pairement (\resp impairement) de dimension finie
au sens de Kimura,  on note $\kim(A)$ le plus petit entier $n>0$ tel que
$\Lambda^{n+1}(A)=0$ (\resp tel que
$\mathbf{S}^{n+1}(A)=0$).
\end{nota}

Cette notation abusive ne pr\^etera pas \`a confusion car nous
pr\'eciserons \`a chaque fois si l'on est dans le cas pair ou
impair\footnote{Du reste, on verra ult\'erieurement qu'un objet \`a la
fois pairement et impairement de dimension finie est nul.}.

\begin{ex} L'objet unit\'e $\un$ est pairement de dimension finie; on a
$\kim(\un)=1$.
\end{ex}

\begin{prop}\label{pkim.1} a) Toute somme directe, tout facteur direct
d'un objet pairement (\resp impairement) de dimension finie est pairement
(\resp impairement) de dimension finie.\\
b) Soient $A,B\in \sA$, pairement ou impairement de
dimension finie. Alors $A\bullet B$ est pairement de dimension
finie si $A$ et $B$ sont de m\^eme parit\'e, impairement de dimension
finie sinon. De plus, $\kim(A\bullet B)\le\kim(A)\kim(B)$.\\  
c) Le dual d'un objet pairement (\resp impairement) de dimension finie
est pairement (\resp impairement) de dimension finie.\\
d) Si $A$ est
pairement de dimension finie, il en est de m\^eme de toutes ses puissances
ext\'erieures.\\
e) Si $A$ est impairement de dimension finie, il en est de m\^eme de ses
puissances sym\'etriques d'ordre impair, tandis que ses puissances
sym\'etriques d'ordre pair sont pairement de dimension finie.
\end{prop}

\prf a) r\'esulte des isomorphismes
\[\Lambda^n(A\oplus B)\simeq\bigoplus_{p+q=n}
\Lambda^p(A)\bullet\Lambda^q(B)\]
\[\mathbf{S}^n(A\oplus B)\simeq\bigoplus_{p+q=n}
\mathbf{S}^p(A)\bullet\mathbf{S}^q(B).\]
 
b): \cf \cite[prop. 5.10]{ki}.

c) r\'esulte des isomorphismes $\mathfrak{S}_n$-(anti-)\'equivariants
\[(A^\vee)^{\bullet n}\simeq (A^{\bullet n})^\vee.\]

d) et e) r\'esultent imm\'ediatement de a) et
b).\qed

\begin{lemme}\label{lkim.1} a) Soit $A\in \sA$, pairement de dimension
finie. Alors $\dim A$ est un entier naturel $\le \kim A$.\\
b) Soit $A\in \sA$, impairement de dimension
finie. Alors $-\dim A$ est un entier naturel $\le \kim A$.
\end{lemme}

\prf C'est une reformulation de la proposition \ref{nouvelle} ii).\qed

\begin{prop} \label{lkim.2} Soit $A\in\sA$, pairement ou impairement de
dimension finie. Supposons que $\dim A=0$. Alors $A=0$.
\end{prop}

\prf Soit $\sB$ la plus petite
sous-cat\'egorie pleine rigide \'epaisse (\ie stable par facteurs directs)
de $\sA$ contenant $A\bullet A^\vee$. D'apr\`es la proposition
\ref{pkim.1}, tout objet de $\sB$ est pairement de dimension finie.
D'apr\`es le lemme \ref{lkim.1}, cela implique que la dimension de tout
objet de $\sB$ est un entier naturel. De plus, $\dim(A\bullet
A^\vee)=\dim(A)^2=0$. D'apr\`es la proposition
\ref{nouvelle} i), $\sN(A,A)$ est donc un id\'eal nilpotent de
$\sA(A,A)=\sB(A,A)$, et d'apr\`es la proposition \ref{new p5/2} a),
$\sB/\sN(A,A)=0$. Il en r\'esulte bien que $A=0$.\qed

\begin{thm}\label{pkim.2} a) Soit $A\in \sA$ pairement de dimension
finie. Alors $\kim A\allowbreak=\dim A$.\\
b) Soit $A\in\sA$ impairement de dimension finie. Alors $\kim A = -\dim
A$.
\end{thm} 

\begin{sloppypar}
\prf a) Soit $m'=\dim A$. Vu le lemme \ref{lkim.1} a), il suffit de
montrer que $\Lambda^{m'+1}(A)=0$. Mais d'apr\`es la proposition \ref{a la
Deligne}, on a $\dim\Lambda^{m'+1}(A)=\binom{m'}{m'+1}=0$. L'assertion
r\'esulte donc de la proposition pr\'ec\'edente. 
\end{sloppypar}

b) M\^eme d\'emonstration, en utilisant une puissance sym\'etrique.\qed

Le corollaire suivant n'est pas d\'emontr\'e chez Kimura.

\begin{cor}\label{ckim.1}
a) Si $A$ et $B$ sont pairement de dimension finie, alors $\kim(A\oplus
B)=\kim A+\kim B$.\\
b) Si $A$ et $B$ sont impairement de dimension finie, alors $\kim(A\oplus
B)=\kim A+\kim B$.\qed
\end{cor}


\begin{prop}\label{kimnil} Soient $A_+$ (\resp $A_{-}$) un objet de
$\sA$ pairement (\resp impairement) de dimension finie. Soient $m=\kim
A_+$ et $n=\kim A_{-}$. Alors pour tout
$f\in \sA(A_+,A_{-})$ et tout $g\in \sA(A_{-}, A_+)$, on a
$f^{\bullet (mn+1)}=0$,  $g^{\bullet (mn+1)}=0$.
\end{prop}

\prf Voici une variante de \cite[d\'em de la prop. 6.1]{ki}, un peu plus
simple: gr\^ace \`a la proposition \ref{pkim.1} b) et par dualit\'e, on se
ram\`ene \`a traiter le cas fr $f$ avec $A_+=\un$. Le morphisme
$f^{\bullet (n+1)}:\un=\un^{\bullet (n+1)}\to A_-^{\bullet (n+1)}$ est
$\mathfrak{S}_n$-\'equivariant, ce qui implique qu'il se factorise \`a
travers $\mathbf{S}^{n+1}(A_-)=0$.\qed

\begin{prop} \label{pkim.3} Soit $A$ un objet de dimension finie au sens
de Kimura, et supposons donn\'ees deux d\'ecompositions $A\simeq
A_+\oplus A_-\simeq B_+\oplus B_-$, avec $A_+,B_+$ pairement de dimension
finie et $A_-,B_-$ impairement de dimension finie. Alors $A_+\simeq B_+$
et $A_-\simeq B_-$.
\end{prop}

\prf \cf \cite[d\'em. de la prop. 6.3]{ki}. On remarquera que cette
d\'emonstration utilise le corollaire \ref{ckim.1} a).\qed

\begin{lemme}\label{lkim.3} Soit $A\in\sA$, et soit $A=A_+\oplus A_-$ une
d\'ecomposition en somme directe. Posons
\[s\Lambda^n(A_+,A_-)= \bigoplus_{i+j=n}\Lambda^i A_+\bullet \mathbf{S}^j
A_-.\]
Alors les conditions suivantes sont \'equivalentes:
\begin{thlist}
\item Il existe un entier $n>0$ tel que $s\Lambda^n(A_+,A_-)=0$.
\item $A_+$ est pairement de dimension finie et $A_-$ est impairement de
dimension finie.
\end{thlist}
De plus, dans (i), on peut prendre $n=\kim A_+ +\kim A_-+1$, et ceci est
le plus petit choix possible.
\end{lemme}

\prf Laiss\'ee au lecteur (pour voir que $\kim A_+ +\kim A_-+1$ est
le plus petit choix possible, observer que $\dim s\Lambda^{\kim
A_++\kim A_-}(A_+,A_-)=\dim s\Lambda^{\dim
A_+-\dim A_-}(A_+,A_-)=1$, en utilisant le corollaire \ref{ckim.1}).\qed

\begin{prop}[\protect{\cite[prop. 6.9]{ki}}]\label{pkim.4} Tout facteur
direct d'un objet de dimension finie est de dimension finie.\qed
\end{prop}

\begin{defn}\label{dkim.2} Soit $A$ un objet de dimension finie au sens
de Kimura. On d\'efinit
\[\kim A =\kim A_+ +\kim A_-=\dim A_+ -\dim A_-\]
\[s\Lambda^n A= \bigoplus_{i+j=n}\Lambda^i A_+\bullet \mathbf{S}^j A_-\]
o\`u $A=A_+\oplus A_-$ est une d\'ecomposition de $A$ en somme d'un objet
pairement de dimension finie et d'un objet impairement de dimension
finie. 
\end{defn}

La proposition \ref{pkim.3} montre que $\kim A$ ne d\'epend que de
$A$ et que $s\Lambda^n A$ ne d\'epend que de $A$ \`a isomorphisme pr\`es.

On a maintenant
la g\'en\'eralisation suivante de la proposition
\ref{nouvelle}:

\begin{prop}\label{nouvellekim} Soit $A\in \sA$ un objet de dimension
finie au sens de Kimura. Alors $\sN(A,A)$ est un id\'eal nilpotent de
$\sA(A,A)$, d'\'echelon born\'e en termes de $\kim(A)$.  En particulier,
l'image de $A$ n'est pas nulle dans $\sA/\sN$.
\end{prop}

\prf D'apr\`es \ref{naghig}, il suffit de faire voir que $\sN(A,A)$ est un nilid\'eal d'\'echelon born\'e en
termes de $\kim(A)$. L'argument est analogue \`a celui de \cite[prop. 7.5]{ki}: tout
\'el\'ement $f$ de $\sN(A,A)$ peut s'\'ecrire comme une matrice $2\times
2$ sur la d\'ecomposition $A=A_+\oplus A_-$. On \'ecrit $f=f_+ + f_- +
f_\pm$, o\`u $f_+$ est le terme pr\'eservant $A_+$, $f_-$ le terme
pr\'eservant $A_-$ et $f_\pm$ est la somme des deux termes antidiagonaux.
Comme $f_+f_-=f_-f_+=0$, un mon\^ome typique intervenant dans le
d\'eveloppement de $f^n$ est de la forme
\[m=f_{\epsilon_1}^{k_1}\circ f_\pm\circ f_{\epsilon_2}^{k_2}\circ
f_\pm\circ\dots\circ f_\pm\circ f_{\epsilon_r}^{k_r}\]
avec $\epsilon_i\in \{+,-\}$.

D'apr\`es la proposition \ref{nouvelle}, on a $m=0$ d\`es que l'un des
$k_i$ est assez grand. D'autre part, d'apr\`es la proposition
\ref{kimnil} et le lemme \ref{l8.1} i), on a $f_\pm^{\bullet N}=0$ pour
$N$ assez grand (ind\'ependant de $f$),  ce qui implique (lemme \ref{l8.1} ii)) que $m=0$ d\`es
que le nombre de fois o\`u
$f_\pm$ appara\^{\i}t est $\ge N$. Ceci conclut la d\'emonstration.\qed

\begin{rem} On pourrait aussi utiliser le raisonnement de la
d\'e\-mons\-tra\-tion de la proposition \ref{P3/2} c) \`a partir de la
proposition \ref{nouvelle}. Ceci donne l'estimation suivante pour
l'\'echelon de nilpotence $N$ de $\sN(A,A)$:
\[N\le 2^{\kim A_++1}+2^{\kim A_-+1}\le 2^{\kim A+1}+1\]
bien meilleure que celle fournie par la d\'emonstration ci-dessus.
\end{rem}


\begin{defn}\label{defki} Une {\it cat\'egorie de Kimura} sur un corps
de caract\'eristique nulle $K$ est une cat\'egorie $K$-lin\'eaire
mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide, v\'erifiant $End(\un)=K$,
pseudo-ab\'elienne, et dont tout objet est de dimension finie au sens de
Kimura. 
\end{defn}

\subsection{Cat\'egories de Kimura et ``projecteurs de K\"unneth"}\

Soient $K$ un corps de caract\'eristique nulle et $\sA$ une cat\'egorie
$K$-lin\'eaire mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide, v\'erifiant
$End(\un)=K$, pseudo-ab\'elienne. Soit $\sA_\kim$ la plus grande
sous-cat\'egorie de Kimura de $\sA$, \ie la sous-cat\'ego\-rie pleine de
$\sA$ form\'ee des objets de dimension finie au sens de Kimura: c'est
une sous-cat\'ego\-rie \'epaisse et rigide de $\sA$, d'apr\`es les
propositions \ref{pkim.1} et \ref{pkim.4}.  

 \begin{thm}\label{tkim.1} Supposons que $\sqrt[\otimes]{0}=0$. Alors
\\ a) La cat\'egorie $\sA_{\kim}$ est munie d'une
$\Z/2$-graduation compatible \`a la structure mono\"{\i}dale.\\
b) Pour tout $A\in \sA_{\kim}$, notons $\pi^+_A$ le projecteur de $A$
d\'efinissant $A_+$ et $\epsilon_A=2\pi_A^+-1$: on a $\epsilon_A^2=1$.
D\'efinissons une nouvelle contrainte de commutativit\'e $R'$ sur
$\sA_{\kim}$ par la formule \eqref{kunneth}. Alors
\begin{thlist}
\item Pour tout $n\ge 0$, l'objet $s\Lambda^n(A)$ est la $n$-i\`eme
puissance sym\'etrique de $A$ relative \`a $R'$.
\item La dimension de $A$ relative \`a $R'$ est \'egale \`a $\kim A$; en
particulier, c'est un entier $\ge 0$.

\noindent Cette propri\'et\'e caract\'erise d'ailleurs la graduation dont il est question en $a)$.
\end{thlist}
c) Soient $L$ une $K$-alg\`ebre semi-simple commutative et $H:\sA\to
Modf_L^\pm$ un foncteur v\'erifiant les hypoth\`eses de la proposition
\ref{new p4}. Alors avec les notations de \loccit, on a
$\sA_{\kim}=\sA^\pm$. Munie de la contrainte induite par $R'$, le
quotient de $\sA_{\kim}$ par son radical est un cat\'egorie tannakienne semi-simple.
\end{thm}

\prf a) Puisque $\sqrt[\otimes]{0}=0$, la proposition \ref{kimnil}
montre que si $A$ et $B$ sont
$\epsilon$-ment de dimension finie \`a la Kimura avec des parit\'es
diff\'erentes, alors $\sA(A,B)=0$. Ceci permet de renforcer la
proposition \ref{pkim.3} en l'\'enonc\'e suivant: si $A\in\sA_{\kim}$, la
d\'ecomposition de $A$ en somme directe d'un objet pair et d'un objet
impair est \emph{unique}. Il en r\'esulte imm\'ediatement que cette
d\'ecomposition est fonctorielle en $A$; les autres propri\'et\'es
r\'esultent de la proposition \ref{pkim.1}.

b) ne pr\'esente pas de difficult\'e.

c) Pour voir l'inclusion $\sA_{\kim}\subset\sA^\pm$, il suffit de voir
que $H(\pi_A^+)=p_A^+$ (avec les notations de la proposition \ref{new
p4}). En effet, on voit imm\'ediatement que $H(A_+)$ est pair et que
$H(A_-)$ est impair (\cf \cite[d\'em. de la prop. 3.9]{ki}). Pour voir
l'inclusion oppos\'ee, il suffit de voir que si $A=A_+\oplus A_-\in
\sA^\pm$, alors $A_+$ est pairement de dimension finie et $A_-$ est
impairement de dimension finie. Pour cela, il suffit par la proposition
\ref{lkim.2} de voir que (par exemple) $\dim\Lambda^n(A_+)=0$ pour $n$
assez grand. Mais cette dimension se calcule par application du foncteur
$H$ (en projetant dans la cat\'egorie des $F$-espaces vectoriels, o\`u
$F$ est un corps facteur direct de $L$), donc l'assertion est
\'evidente. Le changement de contrainte de commutativit\'e comme en
\ref{new p4} ram\`ene \`a la situation du th\'eor\`eme \ref{nouveau},
qui permet de conclure que la cat\'egorie quotient par $\sR = \sN$ munie
de la contrainte induite par $R'$ est tannakienne semi-simple.\qed

\begin{thm}\label{tctki} Toute cat\'egorie de Kimura $\sA$ est
de Wedderburn. Son radical $\sR$ est le plus grand id\'eal mono\"{\i}dal
distinct de $\sA$. Le quotient de $\sA$ par $\sR$ est une
ca\-t\'e\-go\-rie tannakienne semi-simple (apr\`es
changement appropri\'e de la contrainte de commutativit\'e).
\end{thm}

\prf On a $\sA=\sA_\kim$. La premi\`ere affirmation r\'esulte de la
proposition \ref{nouvellekim}. Pour le reste, on se ram\`ene au
th\'eor\`eme
\ref{tkim.1} en quotientant par $\sqrt[\otimes]{0}$ (\cf le lemme
\ref{l8.1} iii))\qed 

\begin{sloppypar}
\begin{rem}\label{nilplusplus}
\'Etant donn\'e une cat\'egorie de Kimura $\sA$, le th\'eor\`eme
\ref{tctki} nous permettra d'appliquer les th\'eor\`emes de scindage
mono\"{\i}dal \ref{T2} et \ref{t4} \`a la projection
$\sA\to \sA/\sR$. En particulier, \emph{on pourra munir $\sA$
d'une $\Z/2$-graduation compatible \`a celle de
$\sA/\sqrt[\otimes]{0}$, unique \`a \'equivalence mono\"{\i}dale
pr\`es}. Voir th\'eor\`eme \ref{kimsplit}.
 \end{rem}
\end{sloppypar}

\begin{ex}\label{cj kimura} Kimura \cite[7.1]{ki} conjecture que 
tout motif de Chow est de dimension finie en
son sens (c'est-\`a-dire, avec la terminologie ci-dessus, que la
cat\'egorie des motifs de Chow est une
$\Q$-cat\'egorie de Kimura). Cette conjecture implique donc que tout motif ``fant\^ome",
\ie  num\'eriquement nul, est nul.
R\'eciproquement, modulo l'existence pour chaque motif de Chow $A$ 
d'un projecteur $\pi^+_A$ qui s'envoie sur
le projecteur de K\"unneth pair $p^+_A$, la non-existence de motifs 
fant\^omes non nuls implique la conjecture
de Kimura (consid\'erer le motif $s\Lambda^n A$ pour $n$ assez grand).

Par ailleurs, la conjecture de Murre
mentionn\'ee en \ref{BBM} implique l'e\-xis\-ten\-ce d'un tel $p^+_A$,
et,  jointe aux conjectures standard de
Grothendieck (\'equivalence homologique = \'equivalence num\'erique), 
implique la non-exis\-ten\-ce de motifs
fant\^omes non nuls. On voit ainsi que la conjecture de Murre (ou, ce qui
est
\'equivalent, la conjecture de Bloch-Beilinson) jointe aux 
conjectures standard implique la conjecture de
Kimura.
\end{ex}


\section{Exemples et compl\'ements}

\subsection{Trois contre-exemples}\label{3contrex} Voici trois
e\-xem\-ples de cat\'egories mo\-no\-\"{\i}da\-les
$K$-lin\'eaires sym\'etriques et rigides, v\'erifiant $End(\un )=K$,
ab\'e\-lien\-nes, de Wedderburn, mais
\emph{dont le  radical n'est pas un
id\'eal mono\"{\i}dal}.

\begin{contrex}\label{super}\begin{sloppypar}
Partons de $D=K[\epsilon],\epsilon^2=0$, vue comme
super-alg\`ebre ($\epsilon$ plac\'e
en degr\'e impair). On consid\`ere le super-groupe alg\'ebrique
$GL(1\vert 1, D)$. Son
groupe de points est donn\'e par les matrices
$2\times 2$ inversibles du type
\[\begin{pmatrix} a &\epsilon b \\
\epsilon c & d
\end{pmatrix}, a,b,c,d \in K, a\neq 0, d\neq 0 \]
\cf \cite[ch. 1]{qfs}. On prend pour $\sA$ la cat\'egorie des
repr\'esentations de
$GL(1\vert 1, D)$. C'est une sous-cat\'egorie mono\"{\i}dale rigide non
pleine de la cat\'egorie
mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide des super-$D$-modules. 
\end{sloppypar}

La repr\'esentation standard de $GL(1\vert 1, D)$ est le
super-$D$-module $D^{1\vert 1}=D\times \Pi D$ (o\`u
$\Pi$ est le foncteur changement de parit\'e). Un endomorphisme de
$D^{1\vert 1}$ est
donn\'e par une matrice
        $\begin{pmatrix} a &\epsilon b \\
\epsilon c & d
\end{pmatrix}$ comme ci-dessus; s'il commute \`a tout \'el\'ement
$\begin{pmatrix} a'
&\epsilon b' \\
\epsilon c' & d'
\end{pmatrix}\in GL(1\vert 1, D)$, on trouve que $ba'+db'=ab'+bd',
ca'+dc'=ac'+cd'$ pour tous $ a',b',c',d' \in K, a'\neq 0, d'\neq 0$,
d'o\`u, $b=c=0,a=d$. Donc $\sA(D^{1\vert
1},D^{1\vert 1})\cong K$ est r\'eduit aux homoth\'eties, et son
radical est nul.

\begin{sloppypar}
La trace mono\"{\i}dale de $\begin{pmatrix} a &\epsilon b \\
\epsilon c & d
\end{pmatrix}$ est la supertrace $a-d$. Elle s'annule donc pour toute
homoth\'etie, ce qui
montre que
$\sN(D^{1\vert 1},D^{1\vert 1})=\sA(D^{1\vert 1},D^{1\vert 1})$. En
d'autres termes, $D^{1\vert 1}$ est un objet
``fant\^ome": il s'envoie sur l'objet nul dans $\sA/\sN$.
\end{sloppypar}

On a donc $0\subset \sR \subset \sN \subset \sA$ et toutes les
inclusions sont strictes  (\cf th\'eor\`eme \ref{absJannsen} et corollaire
\ref{c2}); en particulier
$\sA$ n'est pas
semi-simple.
\end{contrex}

\begin{contrex}\label{Carp} $K$ est maintenant suppos\'e de
caract\'eristique
$p>0$, et on prend pour $\sA = Rep_K(GL_p)$
la cat\'egorie des repr\'esentations de dimension finie de $GL_p$.
Soit $V$ la repr\'esentation
standard. On a $\sA(V,V)\allowbreak=K$, $\sR(V,V)=0$ et, comme toute
homoth\'etie de $V$ est de trace nulle, $\sN(V,V)=K$.
Ici encore, $V$ est un objet ``fant\^ome", \ie nul modulo $\sN$.
\end{contrex}

\begin{contrex}\label{Car3} $K$ est maintenant suppos\'e de
caract\'eristique
$3$, et on prend $\sA = Rep_K(SL_2)$.
 Soit $V$ la repr\'esentation
standard. On a $V^{\otimes 2}\cong \un \oplus S^2V$, et on v\'erifie
comme ci-dessus que $S^2V$ est un objet ``fant\^ome". On en d\'eduit que
la cat\'egorie mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide $\sA/\sN$ est
\'e\-qui\-va\-len\-te
\`a celle des $K$-super-espaces de dimension finie. 
\end{contrex}

 
\subsection{Compl\'ement: l'alg\`ebre commutative
$HH_0(\sA)$}\label{h0} Soient $\sA$ une petite $K$-cat\'egorie et $\sI$
un id\'eal de $\sA$.    

On note $H_0(\sA,\sI)$ le $K$-module\footnote{L'explication de
cette notation appara\^itra au paragraphe suivant.} engendr\'e par les
classes d'isomorphismes de couples
$(A,h)$ o\`u
$A$ est un objet de $\sA$ et $h\in \sI(A,A)$, quotient\'e par les
relations suivantes:
\begin{itemize}
\item l'application canonique $\sI(A,A)\to H_0(\sA,\sI)$ est
$K$-lin\'eaire,
\item pour tout $f\in \sI(A,B)$ et tout $g\in \sA(B,A)$, les classes de
$(A,gf)$ et $(B,fg)$ co\"{\i}ncident dans
$H_0(\sA,\sI)$. 
\end{itemize}

Cette construction est fonctorielle en $(\sA,\sI)$.

On note $[A,h]$ la classe de $(A,h)$.  Notons que si $\sA$ est
$K$-lin\'eaire, et si $A,A'$ sont deux objets, on a $[A,1_A= pi] =
[A\oplus A', ip]$ avec les notations $i,p$ de
\eqref{eqbiprod}.   



On note encore  $H_0(\sA,\sA)=HH_0(\sA)$. Ce $K$-module est le
r\'eceptacle universel des traces abstraites, \ie des applications
$t: A\to M$ v\'erifiant $t(fg)=t(gf)$ pour tout couple de morphismes
allant en directions oppos\'ees. Il appara\^{\i}t en th\'eorie des
n\oe uds, \cf \cite[2]{vogel}, dans le cadre mono\"{\i}dal comme
ci-dessous.

\begin{sloppypar}
Supposons maintenant $\sA$ mono\"{\i}dale. Par
fonctorialit\'e, la loi
$\bullet$ induit sur
$HH_0(\sA)$ une structure de
$K$-alg\`ebre, commutative si $\sA$ est munie d'un tressage
sym\'etrique\footnote{L\`a encore, il suffirait que
$\sA$ soit munie d'une structure de tortil, la sym\'etrie du tressage
n'\'etant pas vraiment n\'ecessaire.}. Si $\sI$ est mono\"{\i}dal,
$H_0(\sA,\sI)$ est un id\'eal de $HH_0(\sA)$, et le quotient
$HH_0(\sA)/H_0(\sA,\sI)$ s'identifie \`a $HH_0(\sA/\sI)$. Par exemple,
$H_0(\sA,\sqrt[\otimes]{0})$ est un nil-id\'eal de $HH_0(\sA)$ (par
d\'efinition, tout \'el\'ement de $\sqrt[\otimes]{0}(\sA,\sA)$ est
$\bullet$-nilpotent). 
\end{sloppypar}

Les
traces abstraites \`a valeurs dans une $K$-alg\`ebre commutative $R$
v\'e\-ri\-fiant de plus
$t(f\bullet g)=t(f)t(g)$ pour tout couple d'endomorphismes $(f,g)$ sont
en bijection avec les
$R$-points de
$\Spec\, HH_0(\sA)$. Si $\sA$ est rigide, la transposition d\'efinit une
involution de $HH_0(\sA)$; la trace mono\"{\i}dale
$tr$ d\'efinit un \emph{$K$-point canonique} de $\Spec HH_0(\sA)$ ou
encore une \emph{augmentation} de la $K$-alg\`ebre $HH_0(\sA)$,
compatible avec l'involution.

\begin{ex}\label{hh0} Supposons $\sA$ tannakienne sur un corps $K$
alg\'e\-bri\-que\-ment clos de caract\'eristique nulle. On sait que $\sA$
est semi-primaire (th\'e\-o\-r\`e\-me \ref{wedtr}). D'apr\`es le
th\'eor\`eme
\ref{absJannsen}, on a
$\sR=\sN$. Posons
$\bar\sA= \sA/\sR = \sA/\sN$: cette cat\'egorie sera \'etudi\'ee en
d\'etail au \S \ref{jm}. Le raisonnement de la d\'emonstration de la
proposition
\ref{a la bru} montre que toute trace abstraite s'annule sur tout
endomorphisme nilpotent, donc sur les $\sR(A,A)$. Donc le $K$-dual de
$HH_0(\sA)$ co\"{\i}ncide avec le
$K$-dual de $HH_0(\bar\sA)$, et finalement $HH_0(\sA)\cong
HH_0(\bar\sA)$. 

Supposons \`a pr\'esent $\sA$ semi-simple et neutre, de sorte que $\sA$
est \'e\-qui\-va\-len\-te \`a la cat\'egorie des $K$-repr\'esentations de
dimension finie d'un $K$-groupe pro-r\'eductif $G$. 

Comme $\sA$ est $K$-lin\'eaire, on voit que les \'el\'ements
$HH_0(\sA)$ sont des $K$-combinaisons d'objets
$[A,h]$ avec $A$ simple; par le lemme de Schur, on peut m\^eme
supposer $h=1_A$. On en d\'eduit que
\[HH_0(\sA)\cong R_K(G)\otimes_\Z K,\]
o\`u $R_K(G)$ d\'esigne l'anneau des repr\'esentations de $G$.
\end{ex}

\begin{thebibliography}{II}
\addtocounter{enumiv}{15}

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\end{thebibliography}

\newpage
\addtocontents{toc}{{\bf III. Sections}\hfill\thepage}
\
\bigskip
\begin{center}\large\bf III. Sections
\end{center}
\bigskip

L'objectif de cette partie est d\'etablir des analogues cat\'egoriques
du th\'e\-o\-r\`e\-me de Wedderburn, qui affirme l'existence de sections
pour la projection d'une alg\`ebre de dimension finie sur un corps parfait
vers son quotient par le radical. On \'etablit de tels analogues tant
dans le cadre lin\'eaire g\'en\'eral que dans le cadre mono\"{\i}dal ou
mono\"{\i}dal tress\'e. 
 
\section{Cohomologie de Hochschild}\label{hochschild}\label{s4}

\subsection{Produit tensoriel de $K$-cat\'egories}\label{prodtens} Ici,
$K$ d\'esigne de nouveau un anneau commutatif unitaire quelconque. 

\begin{defn}\label{D5} (\cf \cite[\S 11]{mitchell}). Soient $\sA,\sB$
deux $K$-cat\'egories. Le
\emph{produit tensoriel} de $\sA$ par $\sB$ est la $K$-cat\'egorie
$\sA\boxtimes_K\sB$ dont les objets sont les couples $(A,B)$ ($A\in \sA,
B\in
\sB$), avec \[(\sA\boxtimes_K \sB)((A, B),(A', B'))=\sA(A,A')\otimes_K
\sB(B,B').\]
\end{defn}
On a des isomorphismes canoniques
\[\sA\boxtimes_K\sB\cong
\sB\boxtimes_K\sA,\quad(\sA\hbox{-}Mod)^\sB\cong (\sB\hbox{-}Mod)^\sA
\cong
(\sA\boxtimes_K \sB)\hbox{-}Mod.\]

Par ailleurs, on pose ${\sA}^e= \sA^o  \boxtimes_K\sA$. Les
${\sA}^e$-modules (\`a gauche) sont parfois
appel\'es
$\sA$-bimodules. Alors $\sA$ d\'efinit de mani\`ere \'evidente un
$\sA$-bimodule (par la loi $(X,Y)\mapsto \sA(X,Y)$) qu'on identifie
\`a
$\sA$; un id\'eal
(bilat\`ere) de $\sA$ (\cf \S 1) n'est autre qu'un sous-bimodule de $\sA$.

\begin{lemme}\label{L6} Supposons que $K$ soit un corps. Si $\sA$ et $\sB$ sont
s\'eparables (\cf d\'efinition \ref{D4sep1}), alors il en est de m\^eme
de $\sA\boxtimes_K \sB$. A fortiori $\sA\boxtimes_K \sB$ (et en
particulier ${\sA}^e$) est semi-simple.
\end{lemme}

Cela r\'esulte du lemme \ref{l2.3}.\qed

\begin{lemme}\label{L6'} Supposons seulement que les $K$-cat\'egories
$\sA$ et $\sB$ soient de Wedderburn (\cf d\'efinition
\ref{D4wed}). Alors il en est de m\^eme de $\sA\boxtimes_K \sB$.
\end{lemme}

 \prf En effet, il d\'ecoule du lemme pr\'ec\'edent que pour tout
objet $A$ de $\sA$ et tout objet $B$ de
$\sB$, le quotient de la $K$-alg\`ebre $(\sA\boxtimes_K
\sB)((A,B),(A,B))$ par l'id\'eal bilat\`ere
\[\rad(\sA)(A,A)\otimes_K
\sB(B,B)+\sA(A,A)\otimes_K \rad(\sB)(B,B)\]
est s\'eparable, donc
semi-simple. Il en d\'ecoule que cet id\'eal
contient le ra\-di\-cal. Par ailleurs, il est clair que c'est un
nil-id\'eal, donc contenu dans le radical, donc
finalement \'egal \`a $\rad(\sA\boxtimes_K \sB)$. D'o\`u le
r\'esultat.\qed
 
La caract\'erisation suivante des cat\'egories de Wedderburn est celle
qui nous servira effectivement.

\begin{prop}\label{Wedcaract} On suppose que $K$
 est un corps. Une $K$-cat\'egorie $\sA$ est de Wedderburn si et seulement si $\sA^e$ est
semi-primaire et $\sA^e/\rad(\sA^e)=(\sA/\rad(\sA))^e $.
\end{prop}

\prf Le lemme pr\'ec\'edent montre que $\sA^e$ est semi-primaire et
v\'erifie
$\sA^e/\rad(\sA^e)=(\sA/\rad(\sA))^e $ d\`es lors que $\sA$ est de Wedderburn. R\'eciproquement, si $\sA^e$
est semi-primaire et $\sA^e/\rad(\sA^e)=(\sA/\rad(\sA))^e $, on a
$\rad(\sA^e)\supset id\otimes_K
\rad(\sA)$, donc la condition de nilpotence (dans la d\'efinition des cat\'ego\-ries semi-primaires) passe
de $\sA^e$ \`a $\sA$; d'autre part, $\sA^e/\rad(\sA^e)$ est semi-simple par hypoth\`ese, et on conclut que
$(\sA/\rad(\sA))^e $ est semi-simple, donc $\sA/\rad(\sA)$ est s\'eparable, \cf 
\ref{D4sep1} .\qed   

Le m\^eme exemple que dans la remarque \ref{imparf} montre que la
condition
$\sA^e/\rad(\sA^e)=(\sA/\rad(\sA))^e $ est n\'ecessaire. 

\subsection{Complexe de Hochschild-Mitchell}\label{7.2} Soit $\sA$ une
petite
$K$-cat\'egorie, telle que pour tout
$(A,B)\in
\sA\times \sA$, $\sA(A,B)$
soit un $K$-module projectif.

Notons $C_*(\sA)$ le complexe de Hochschild de $\sA$ \cite[\S
17]{mitchell}: c'est un complexe de
${\sA}^e$-modules tel que
\[\scriptstyle C_m(\sA)(A,B)=\displaystyle\bigoplus_{A_0,\dots,A_{m}}
\scriptstyle
\sA(A,A_0)\otimes_K\sA(A_0,A_1)\otimes_K\dots\otimes_K\sA(A_{m-1}
,A_m) \otimes_K \sA(A_m,B),\quad m\geq 0\]
o\`u $(A_0,\dots,A_m)$ d\'ecrit les $n$-uplets d'objets de $\sA$. La
diff\'erentielle est
\begin{multline*}
d_m(f_0\otimes
f_1\otimes\dots\otimes f_{m+1})=\\
\sum_{i=0}^m(-1)^if_0\otimes
f_1\otimes\dots \otimes f_if_{i+1}\otimes\dots \otimes f_{m+1}.
\end{multline*}

Il est connu que $C_*(\sA)$ est une r\'esolution
projective du ${\sA}^e$-module ${\sA}$.

\medskip
\begin{sloppypar}
Pour tout ${\sA}^e$-module $M$, on note
$C^*(\sA,M)$ le complexe de $K$-modules
$Hom_{\sA^e}(C_*(\sA), M)$.  Plus concr\`etement, pour $m>0$, un
\'el\'ement de $C^m(\sA,M)(A,B)$ {\it
\'equivaut}
\`a la donn\'ee d'un \'el\'ement de
$M(A,B)$ pour chaque $m$-uplet de fl\`eches composables $(f_1,\dots,
f_{m})$, $f_1$ \'etant de source $A$ et
$f_m$ de but $B$, cette donn\'ee \'etant $K$-multilin\'eaire en
$(f_1,\dots, f_{m})$; pour $m=0$,
c'est la donn\'ee d'un \'el\'ement de $M(A,A)$ pour tout $A$.

Voici comment: on obtient une telle donn\'ee en
consid\'erant, dans
\allowbreak $Hom_{\sA^e}(C_*(\sA), M)(A_0,A_m)$ le
facteur correspondant \`a $A=A_0, f_0=1_{A_0}, B=A_{m},
f_{m}=1_{A_{m}}$. R\'eciproquement, une telle
donn\'ee fournit une cocha\^{\i}ne de Hochschild gr\^ace \`a la
commutativit\'e du carr\'e (bivariance en
$(A,B)$):
\[\begin{CD}
Hom_{\sA^e}(C_*(\sA), M)(A,B) @>>>M(A,B)\\
@V{(f_0,f_{m+1})}VV @V{(f_0,f_{m+1})}VV\\
Hom_{\sA^e}(C_*(\sA), M)(A_0,A_m) @>>> M(A_0,A_m).
\end{CD}\]
\end{sloppypar}

Avec cette interpr\'etation, la diff\'erentielle de Hochschild prend
la forme habituelle
\begin{multline*}(d^m\phi)(f_1,\dots,
f_{m+1})=f_1\phi(f_2,\dots, f_{m+1})\\
+\sum_1^m
(-1)^i\phi(f_1,\dots,f_if_{i+1},\dots,
f_{m+1})\\
+(-1)^{m+1}\phi(f_1,\dots, f_m)f_{m+1}.
\end{multline*}

Puisque $C_*(\sA)$ est une r\'esolution projective du
${\sA}^e$-module ${\sA}$, on a
\[H^i(\sA, M):= H^i(C^*(\sA,M))=\Ext^i_{\sA^e}({\sA},M).\]

Si $\sA$ est s\'eparable, $\sA^e$ est semi-simple, donc ces groupes de cohomologie sont donc
 nuls pour tout $M$ et tout
$i>0$ (\cf lemme \ref{L6} et proposition \ref{P4/3}). 
 
\begin{sloppypar}
\medskip
La formation de $C_*(\sA)$ est naturelle en $\sA$. Plus
pr\'ecis\'ement, tout
$K$-foncteur $F: \sA\to \sB$ donne lieu \`a des applications
$K$-lin\'eaires $C_n(\sA)(A,B)\allowbreak\to C_n(\sB)(FA,FB)$,
et, pour tout $\sB^e$-module $N$, \`a un homomorphisme de complexes
de $K$-modules dans l'autre sens
\[ C^*(\sB ,N)\to  C^*(\sA,F^\ast N).\]
\end{sloppypar}
  
\begin{rem} \label{rhoch} (Homologie de Hochschild) Si $M$ et $N$ sont
deux
$\sA$-bimodules, on peut voir $M$ comme
${\sA^e}$-module \`a droite, et $N$ comme ${\sA^e}$-module \`a gauche,
ce qui permet de former le $K$-module 
$M\otimes_{\sA^e} N$ (\cf \cite[pp. 29, 71]{mitchell}). Cette
construction \'etant fonctorielle en $N$, on peut b\^atir un complexe
$M\otimes_{\sA^e} C_*(\sA)$, et on a 
\[H_i(\sA, M):= H_i(M\otimes_{\sA^e} C^*(\sA))=\Tor_i^{\sA^e}(M,{\sA}).\]
En particulier, pour $i=0$, on retrouve la notion du \S  \ref{h0}.
\end{rem}  



\section{Un ``th\'eor\`eme de Wedderburn \`a plusieurs objets"}\label{s5}

Dans ce paragraphe, on se donne un corps $K$. On renvoie \`a la
d\'efinition \ref{D4wed} pour la notion de $K$-cat\'egorie
de Wedderburn.

\subsection{Existence et ``unicit\'e" de sections} Le th\'eor\`eme de
structure fondamental pour les
$K$-alg\`ebres de Wedderburn (th\'eor\`eme de Wedderburn) dit
que toute extension d'une $K$-alg\`ebre s\'eparable de dimension finie par un id\'eal
nilpotent se scinde. En suivant la preuve
co\-ho\-mo\-lo\-gi\-que classique de Hochschild et Whitehead, nous
g\'en\'eralisons ce r\'esultat aux alg\`ebres ``\`a
plusieurs objets".

\begin{thm}\label{T1}
Soit $\sA$ une petite $K$-cat\'egorie de Wedderburn, de
radi\-cal $\sR$. Posons $\bar\sA = \sA/\sR$. Alors:\\
a) Le $K$-foncteur de projection $\pi_{\sA}:\sA\to \bar\sA$
admet une section $s$.\\
b) Si $s'$ est une autre section, il existe une famille $(u_A)_{A\in
\sA}, u_A \in 1_A+\sR(A,A)$, telle que pour tous $A,B\in
\sA$ et tout $f\in \bar\sA(A,B)$, on ait $s'(f)=
u_Bs(f)(u_A)^{-1}$.
\end{thm}

\prf $1)$ Supposons d'abord $\sR^2=0$. Alors $\sR$
h\'erite d'une structure de $\bar\sA^e$-module par passage au quotient de
l'action de $\sA$.

Pour tout $A,B\in \sA$, choisissons une section
$K$-lin\'eaire
\[\sigma_{A,B}: \bar\sA(A,B)\to \sA(A,B)\]
               de la projection naturelle. Si $C$
est un troisi\`eme objet de $\sA$ et si $(f,g)\in \bar\sA (A,B)\times
               \bar\sA (B,C)$, notons
\[\gamma(g,f)=\sigma_{A,C}(gf)-\sigma_{B,C}(g)\sigma_{A,B}(f).\]

C'est un \'el\'ement de $\sR(A,C)$, et, si $D$ est un quatri\`eme objet
et
$h\in \bar\sA (C,D)$, on a la relation
\[\gamma(h,gf)+h\gamma(g,f)=\gamma(hg,f)+\gamma(h,g)f.\]

Ainsi $\gamma$ d\'efinit un \emph{$2$-cocycle de Hochschild} de
$\bar\sA$ \`a valeurs dans $\sR$. D'a\-pr\`es le \S \ref{hochschild}, ce
$2$-cocycle est un $2$-cobord; autrement dit, il existe une fonction
$\rho$ telle que, pour tous $f,g$ composables, on ait
\[\gamma(g,f)=\rho(gf)-g\rho(f)-\rho(g)f.\]

La nouvelle section $s(f)=\sigma(f)-\rho(f)$ v\'erifie alors
$s(gf)=s(g)s(f)$ pour tout couple $(f,g)$ composable.

$2)$ Posons $\delta(f)=s'(f)-s(f)\in \sR(A,B)$. On a, pour tout couple
$(f,g)$ composable,
\[\delta(gf)=\delta(g)f+\delta(f)g\]
donc $\delta$ est un $1$-cocycle de Hochschild. C'est donc un cobord
$f\mapsto n_B f-fn_A$ pour un choix convenable d'\'el\'ements $n_A\in
\sR(A,A)$. En posant $u_A= 1_A+n_A$, on a bien $s'(f)=
u_Bs(f)(u_A)^{-1}$.

$3)$ Supposons maintenant $\sR$ nilpotent d'\'echelon $r+1$. On raisonne
par
r\'ecurrence sur $r$, le cas $r=1$ \'etant trait\'e ci-dessus. Soit
$\sA^{(r)}=\sA/\sR^{r}$: le radical $ \sR^{(r)} =
\sR/\sR^r$ de $\sA^{(r)}$ est nilpotent d'\'echelon $r$, donc il existe
une
section $\bar s:\bar\sA\to \sA^{(r)}$ comme
dans l'\'enonc\'e, et toute autre section s'en d\'eduit par
``conjugaison" par une famille de
$\bar u_A\in 1_A+\sR^{(r)} (A,A)$.

Soit $\bar s(\bar\sA)$ l'image d'une telle section $\bar
s$ dans $\sA^{(r)}$. Pour tout
morphisme $f$ dans $\sA$, notons $ f^{(r)}$ son image dans $\sA^{(r)}$.
Posons
\begin{align*}
{\tilde\sA}(A,B)&=\{f\in \sA(A,B)\mid  f^{(r)}\in \bar
s(\bar\sA)(A,B)\}\\
{\tilde\sR}(A,B)&=\sR(A,B)\cap {\tilde\sA}(A,B).
\end{align*}

Alors ${\tilde\sA}$ est une sous-cat\'egorie (non pleine) de $\sA$,
${\tilde\sR}$ est son
radical, ${\tilde\sR}^2=0$, et ${\tilde\sA}/{\tilde\sR}=\bar\sA$. Il
existe donc une section $\tilde s:\bar
s(\bar\sA)\to {\tilde\sA}$; la compos\'ee $s=\iota\circ\tilde s\circ
\bar s:\bar\sA\to \bar
s(\bar\sA)\to{\tilde\sA}\to
\sA$, o\`u $\iota$ est l'inclusion canonique, est la section cherch\'ee.

Si $s'$ est une autre section, notons $\bar s'$ la composition
$\bar\sA\overset{s'}{\to}\sA\to \sA^{(r)}$, et soit $(\bar u_A)$ une
famille
d'\'el\'ements de $1_A+\sA^{(r)}(A,A)$ tels que $\bar s'(f)=\bar u_B
\bar s(f) (\bar u_A)^{-1}$ pour tout $f\in
\sA^{(r)}(A,B)$. Choisissons des relev\'es $u_A$ des $\bar u_A$ dans
$\sA(A,A)$. Quitte \`a changer $s'$ en la
section conjugu\'ee par les $(u_A)^{-1}$, on se ram\`ene au cas o\`u
$\bar s'=\bar s$. On conclut par l'\'etape
$2)$.

  $4)$ \'Etablissons maintenant l'assertion $a)$ du
th\'eor\`eme dans le cas g\'en\'eral. Si l'on supposait $\sA$ strictement
de Wedderburn, il suffirait de la voir comme limite projective des
$\sA^{(r)}$ du num\'ero pr\'ec\'edent, cette limite \'etant
alors localement stationnaire sur les $Hom$s, et d'appliquer directement
ce num\'ero. Mais nous supposons $\sA$ seulement de Wedderburn, ce qui
complique la d\'emonstration.

Consid\'erons l'ensemble des couples
$(\sB, s)$ form\'es d'une sous-cat\'egorie pleine $\sB$ de $\sA$ et d'une
section fonctorielle $s$ de la projection $\sB\to \bar \sB$ ($\bar \sB$
peut \^etre vue comme sous-cat\'egorie
pleine de $\bar\sA$). Cet ensemble est non vide: d'apr\`es les pas
pr\'ec\'edents, il contient par exemple des
couples $(\sB, s)$ d\`es que $Ob(\sB)$ est fini.

On ordonne cet ensemble en d\'ecr\'etant que $(\sB', s')\prec (\sB,
s)$ si $\sB'\subset \sB$ et si
$s'$ est la restriction de $s$ \`a $\bar\sB'$. Il est clair que cet
ensemble ordonn\'e est inductif,
donc admet un \'el\'ement maximal $(\sB, s)$ d'apr\`es Zorn.
D\'emontrons par l'absurde que $\sB=\sA$.
Sinon, soit $X$ un objet de $\sA$ qui n'est pas dans $\sB$. On peut
remplacer $\sA$ par sa sous-cat\'egorie
pleine dont les objets sont $X$ et ceux de $\sB$, et il s'agit de
construire une extension de
$s$ \`a $\bar \sA$. Pour cela, on peut derechef remplacer $\sA$ par
toute sous-cat\'egorie non pleine $\sA'$
ayant m\^emes objets, et telle que $\sA'/(\sA'\cap \sR)=\bar\sA$.

Il y a un choix minimal d'une telle $\sA'$: celle dont
les morphismes sont des sommes finies de
compositions de fl\`eches de $s(\sB)$ et de fl\`eches de $\sA$ de
source ou de but $X$. Le radical de cette
$K$-cat\'egorie $\sA'$ n'est autre que $\sA'\cap \sR$: en effet, tous
les $(\sA'\cap \sR)(A,A)$ sont des
nil-id\'eaux, ce qui entra\^{\i}ne que $(\sA'\cap \sR)\subset
\rad(\sA')$; r\'eciproquement, $\sA'/(\sA'\cap
\sR)=\bar\sA$ est semi-simple, donc $ \rad(\sA')\subset \sA'\cap \sR$.

\begin{sloppypar}
Le point est que $\sA'\cap \sR$ est (globalement) nilpotent, ce qui
permet, par le pas 3), d'\'etendre $s$
comme souhait\'e. En fait, nous allons voir que si $n$ est
l'\'echelon de nilpotence de l'id\'eal
$\sR(X,X)$ de $\sA(X,X)$, alors $ \rad(\sA')^{(2n+1)}=0$. En effet,
comme le radical de $s(\sB)$ est nul, on
observe que pour tout couple d'objets $(A,B)$ de $\sA$, tout
\'el\'ement de $\rad(\sA')(A,B)$ s'\'ecrit comme combinaison lin\'eaire
finie $\sum f^i_{XB}\circ g^i_{AX}$, avec
$f^i_{XB}\in \sA(X,B), g^i_{AX}\in \sA(A,X)$. Tout \'el\'ement de
$\rad(\sA')^{(2n+1)}(A,B)$ s'\'ecrit comme
somme finie de termes de la forme
\end{sloppypar}
\begin{multline*}\sum_{i_1,i_3,\dots,i_{2n+1}} f^{i_{2n+1}}_{XB}
g^{i_{2n+1}}_{A_{2n}X}\left( \sum_{i_{2n}} f^{i_{2n }}_{XA_{2n}}
g^{i_{2n }}_{A_{2n-1}X}\right)f^{i_{2n-1}}_{XA_{2n-1}} \dots\\  \left(
\sum_{i_{2}} f^{i_{2 }}_{XA_{2}}
g^{i_2}_{A_1X}\right)f^{i_1}_{XA_1}  g^{i_1}_{AX}.
\end{multline*}

Or chaque fragment $g^{i_{2k+1}}_{A_{2k}X}( \sum_{i_{2k}} f^{i_{2k
}}_{XA_{2k}}
g^{i_{2k }}_{A_{2k-1}X})f^{i_{2k-1}}_{XA_{2k-1}}$ est dans
\[\sA(A_{2k},X)\circ \rad(\sA')(A_{2k-1},A_{2k})\circ
\sA(X,A_{2k-1})\subset \sR(X,X).\]

Comme ces fragments apparaissent $n$ fois
cons\'ecutives, on trouve bien
$\rad(\sA')^{(2n+1)}(A,B)=0$. Ceci ach\`eve la preuve de l'assertion $a)$.

\medskip $5)$ Un argument analogue s'applique pour l'assertion $b)$.
Soient
$s$ et $s'$ deux sections fix\'ees.
Par Zorn, il existe une sous-cat\'egorie pleine maxi\-male $\sB$ de
$\sA$ telle que les restrictions de $s$ et $s'$ \`a $\bar\sB$ soient
conjugu\'ees au sens de l'assertion $b)$.
Raisonnant par l'absurde comme ci-dessus, on peut encore supposer que
$Ob(\sA)=Ob(\sB)\cup\{X\}$. Quitte \`a
conjuguer $s$ au-dessus de $\bar\sB$, on peut supposer que les
restrictions de $s$ et $s'$ \`a $\bar\sB$
co\"{\i}ncident. On observe alors que $s$ et $s'$ prennent alors
leurs valeurs dans la sous-cat\'egorie
$\sA'$ non pleine de $\sA$ d\'efinie comme ci-dessus. Comme on l'a
vu, son radical est globalement nilpotent,
ce qui permet d'appliquer le pas 3) et de conclure que $s$ et $s'$
sont conjugu\'ees via une famille
d'\'el\'ements $u_A\in 1_A+\sR(A,A)$.\qed

Le lemme sui\-vant, souvent utile, r\'esulte
imm\'ediatement de la proposition \ref{P3/2} b) et du fait que $\bar \sA$
est semi-simple:

\begin{lemme}\label{l2} Supposons $\sA$ pseudo-ab\'elienne. Soit $s$ une
section de
$\pi_\sA$. Les foncteurs $\pi_\sA$ et $s$ induisent des bijections
inverses l'une de l'autre entre les objets in\-d\'e\-com\-po\-sa\-bles
de $\sA$ et les objets irr\'eductibles de $\bar\sA$.\qed
\end{lemme}

 
\begin{rem}\label{r3} 
 Supposons $K$ al\-g\'e\-bri\-que\-ment clos. Soit $A$ un objet
in\-d\'e\-com\-po\-sa\-ble. Alors par Schur, $\bar\sA(A,A)=K$, donc il y a
un unique relev\'e dans la
$K$-alg\`ebre locale $\sA(A,A)$. Si $B$ est un ind\'ecomposable non
isomorphe \`a $A$, alors $\pi_\sA(A)$ et
$\pi_\sA(B)$ sont des irr\'eductibles non isomorphes dans $\bar\sA$,
donc $\bar\sA(A, B)=0$. Il en d\'ecoule que $s$ existe et est unique si
les objets de $\sA$ sont tous ind\'ecomposables et deux \`a deux non
isomorphes. 

Voici comment tirer de l\`a une preuve \'el\'ementaire (non
co\-ho\-mo\-lo\-gi\-que) de l'existence d'une section fonctorielle de
$\pi_\sB$ pour une petite cat\'egorie semi-primaire $\sB$
sur un corps alg\'ebriquement clos $K$, dont les
$K$-alg\`ebres d'endomorphismes sont de dimension finie. Supposons
d'abord $\sA$ $K$-li\-n\'e\-ai\-re et pseudo-ab\'elienne. Il suit de cette
hypoth\`ese que tout objet de
$\sB$ est somme directe finie d'ind\'ecomposables. Il r\'esulte du \S
\ref{i1} ci-dessous que l'\'enonc\'e du th\'eor\`eme \ref{T1} est
invariant par
\'equivalence $K$-lin\'eaire de cat\'egories et par passage aux
compl\'etions $K$-lin\'eaires et pseudo-ab\'eliennes. Il suffit alors
d'appliquer le raisonnement pr\'ec\'edent \`a
une sous-cat\'egorie pleine $\sA$ de
$\sB$ dont les objets forment un syst\`eme de repr\'esentants des classes
d'isomorphismes d'objets ind\'ecomposables de $\sA$.
\end{rem}

\subsection{Variantes relatives}

\begin{sloppypar}
\begin{prop} \label{P3} Soit $T:\sB\to \sA$ un $K$-foncteur radiciel entre
deux
petites $K$-cat\'egories de Wedderburn. Notons
$\bar \sA=\sA/\rad(\sA)$, $\bar \sB=\sB/\rad(\sB)$ et $\bar T:\bar
\sB\to \bar \sA$ le foncteur
induit. Soit $s_\sA:\bar\sA\to \sA$ (\resp $s_\sB:\bar\sB\to \sB$ )
une section de la
projection canonique. Alors il existe un
syst\`eme $(u_X)$ d'\'el\'ements de $1_{T(X)}+ \rad(\sA)(T(X),T(X))$
tel que $s_\sA\bar
T(h)=u_{X'}Ts_\sB(h)(u_X)^{-1}$ pour
tout $h\in \bar \sB(X,X')$.
\end{prop}
\end{sloppypar}

\prf 1) Posons $\sR=\rad(\sA)$. Commen\c cons par le cas o\`u
$\sR^2=0$. On a $Ts_\sB(h)-s_\sA\bar T(h)\in \rad(\sA)$
pour tout $h\in \bar \sB$. Ceci d\'efinit une d\'erivation de $\bar\sB$
\`a valeurs dans le ${\bar\sB}^e$-module $\rad(\sA)$ ($1$-cocycle de
Hoch\-schild). Cette
d\'erivation est int\'erieure ($1$-cobord de Hochschild): il existe une famille
$n_{X}=u_{X}-1_{T(X)}\in
               \sR(T(X), T(X))$ v\'erifiant,
pour tout $h\in \bar \sB(X,X')$,
\[Ts_\sB(h)-s_\sA\bar T(h) =n_{X'} Ts_\sB(h) - Ts_\sB(h)n_{X},\]
               d'o\`u l'assertion.

2) Supposons maintenant seulement que $\sR=\rad(\sA)$ soit nilpotent
d'\'echelon $r+1$, et raisonnons par
r\'ecurrence sur $r$ (le cas $r=1$ \'etant acquis). Consid\'erons la
composition
$\sB\overset{T}{\to}\sA\to \sA^{(r)}=\sA/\sR$. En appliquant
l'hypoth\`ese de r\'ecurrence au foncteur
compos\'e, on trouve un syst\`eme $(u_X)$ d'\'el\'ements de $1_{T(X)}+
            \sR(T(X),T(X))$ tel que  
\[s_\sA\bar T(h)\equiv u_{X'}Ts_\sB(h)(u_X)^{-1}\pmod{\sR^{r}}.\]

Quitte
\`a remplacer $s_\sA$ par la section conjugu\'ee
par les $(u_A)^{-1}$, on se ram\`ene au cas o\`u
$s_\sA\bar
T(h)\equiv Ts_\sB(h)$ modulo $\sR^{r}$. On peut alors remplacer $\sB$
par $\bar\sB$ et $\sA$ par la
cat\'egorie $\tilde \sA$ introduite au pas $3)$ de la preuve du
th\'eor\`eme \ref{T1}. Comme le radical
de cette derni\`ere est de carr\'e nul, on conclut par le pas pr\'ec\'edent.

3) Dans le cas g\'en\'eral, on applique un raisonnement \`a la Zorn
comme au dernier pas de la preuve
du th\'eor\`eme \ref{T1}: bri\`evement, il existe une
sous-cat\'egorie pleine maximale $\sC$ de $\sB$ telle
que la proposition vaille pour $\sC$. On peut alors supposer que
$\sB$ contient un seul objet hors de
$\sC$, et de m\^eme que $A$ contient un seul objet hors de
$T(Ob(\sC))$. On constate comme
ci-dessus que le radical de cette nouvelle cat\'egorie $\sA$ est
alors (globalement) nilpotent.
\qed

Dans le paragraphe suivant, nous appliquerons la proposition \ref{P3} dans
le cas o\`u $\sA$ est munie d'une structure mono\"{\i}dale $\bullet$ et
o\`u $T$ est le foncteur canonique
$\sA\boxtimes_K \sA\to \sA: X=(A, B)\mapsto A\bullet B$, suppos\'e
radiciel (ce qui revient \`a supposer que le radical est un
id\'eal mono\"{\i}dal). Pour
$h=f\otimes g,s=s_\sA$, on a alors
               \[s_\sA\bar
T(h) =s( f\bullet  g),Ts_\sB(h)=s(f)\bullet s( g) .\]

Le compl\'ement de Malcev au th\'eor\`eme de Wedderburn dit qu'on
peut choisir un
scindage de Wedderburn dont l'image contient une sous-alg\`ebre
semi-simple donn\'ee d'une $K$-alg\`ebre
de Wedderburn. En voici une variante \`a plusieurs objets.

\begin{cor}\label{cmalcev} Sous les
hypoth\`eses du th\'eor\`eme \ref{T1},
supposons don\-n\'ee en outre une sous-cat\'egorie
   $\sB$ {\rm s\'eparable} de $\sA$ (non
n\'ecessai\-re\-ment pleine), avec $Ob(\sB)=Ob(\sA)$. Alors il existe
une section $s$ de
$\pi_\sA$ v\'erifiant $(s\circ \pi_\sA )\vert \sB = id_{\sB}$.
\end{cor}

\prf Partant d'une
section de $\pi_\sA$ (dont l'existence est
assur\'ee par le th\'eor\`eme \ref{T1}), on la modifie en appliquant
la proposition pr\'e\-c\'e\-den\-te pour
obtenir une section fixant $\sB$.
\qed



\section{Sections mono\"{\i}dales}\label{s6}

\subsection{Foncteurs mono\"{\i}daux}\label{9.1} Soient $(\sB,\top)$ et
$(\sA,\bullet)$ deux cat\'egories
mo\-no\-\"{\i}\-da\-les. Rappelons qu'un \emph{foncteur mono\"{\i}dal} est
la donn\'ee $(s,(\tilde s_{AB}))$ d'un foncteur
$s: \sB\to \sA$ et
d'isomorphismes fonctoriels $\tilde s_{AB}: s(A)\bullet s(B)\allowbreak\to
s(A\top B)$ v\'erifiant une
compatibilit\'e aux contraintes d'associati\-vit\'e et d'unit\'e (on
\'ecrit souvent par abus $s$ au lieu de
$(s,(\tilde s_{AB}))$ pour abr\'eger). Les foncteurs mono\"{\i}daux
se composent, avec la r\`egle
$\widetilde{s's}_{AB}=s'(\tilde s_{AB})\circ \tilde s'_{s(A)s(B)}$.

Un \emph{morphisme de foncteurs mono\"{\i}daux} est une
transformation naturelle des foncteurs sous-jacents,
compatible aux donn\'ees $\tilde s_{AB}, \tilde s'_{AB}$, et aux
unit\'es, \cf \cite[I.4.1.1]{saavedra}.
En d'autres termes, un tel morphisme est la donn\'ee pour tout $A\in \sB$
d'un morphisme $u_A:s(A)\to s'(A)$, naturel en $A$, tel que les
diagrammes
\begin{equation}\begin{CD}\label{eq4}
s(A)\bullet s(B)@>\tilde s_{A,B}>> s(A\top B)\\
@Vu_A\bullet u_B VV @Vu_{A\top B}VV\\
s'(A)\bullet s'(B)@>\tilde s'_{A,B}>> s'(A\top B)
\end{CD}\end{equation}
soient tous commutatifs, et tel que le morphisme
\begin{equation}\begin{CD}\label{eq4'}
s({\un})={\un} @>u_{\un}>> s'({\un})={\un} \\\end{CD}\end{equation}
   soit l'identit\'e dans l'anneau commutatif $End({\un})$.

Un foncteur mono\"{\i}dal $\pi: \sA\to \sB$ \'etant donn\'e, une {\it
section} de $\pi$ est un foncteur
mono\"{\i}dal $s: \sB\to \sA$ tel que $\pi\circ s=id_\sB$
(\'egalit\'e de foncteurs mono\"{\i}daux). Deux
sections $s,s'$ sont dites {\it isomorphes} s'il existe un
isomorphisme de foncteurs mono\"{\i}daux
$s\Rightarrow s'$ tel que $\pi\circ s\Rightarrow \pi \circ s'$ soit
le foncteur identique.

Dans une $K$-cat\'egorie mono\"{\i}dale, le bifoncteur $\bullet$ est 
$K$-bilin\'eaire. Nous supposerons
toujours nos cat\'egories mono\"{\i}dales non nulles (\ie
$End(\un) \neq 0$).

\subsection{Existence et ``unicit\'e" de sections mono\"{\i}dales} Apr\`es
ces pr\'elimi\-nai\-res, nous pouvons
\'enoncer la version mono\"{\i}dale du th\'eor\`eme de
Wedderburn \`a plusieurs objets. On suppose de nouveau que
$K$ est un corps.

\begin{thm}\label{T2} Soit $(\sA, \bullet)$ une petite
$K$-cat\'egorie de Wedderburn mo\-no\-\"{\i}\-da\-le. Supposons que
les $End({\un})$-bimodules $\sA(A,B)$ soient commu\-tatifs,
\ie l'action \`a gauche co\"{\i}ncide avec l'action
\`a droite\footnote{Une cat\'egorie mono\"{\i}dale v\'erifiant cette
hypoth\`ese est appel\'ee \emph{cat\'egorie
de Penrose} dans \cite{bru1}. C'est par exemple le cas si
$End({\un})=K$, ou en pr\'esence d'un tressage.}.
\\
Supposons que
$\rad(\sA)$ soit mono\"{\i}dal, d'o\`u une structure mono\"{\i}dale sur
$\bar
\sA=\sA/\rad(\sA)$. Notons $\pi_\sA:
\sA\to \bar \sA$ la projection canonique, vue comme foncteur
mono\"{\i}dal. Alors:\\
a) Il existe une section mono\"{\i}dale $s$ de $\pi_A$. \\
b) Toute autre section mono\"{\i}dale de $\pi_\sA$ est
isomorphe \`a $s$.
\end{thm}

\subsection{Sorites} Nous allons d\'emontrer le th\'eor\`eme \ref{T2} par
r\'eduction au cas strict. Pour cela, quelques sorites sont n\'ecessaires.

\begin{sorite}\label{so1} Soit $(s,\tilde s):(\sB,\top)\to (\sA,\bullet)$
un foncteur mono\"{\i}dal, et soit $u:s\Rightarrow t$ un isomorphisme
naturel de $s$ sur un autre foncteur $t$. Alors il existe une unique
structure mono\"{\i}dale $\tilde t$ sur $t$ faisant de $u$ un morphisme
de foncteurs mono\"{\i}daux.
\end{sorite}

\prf D\'efinissons
\[\tilde t_{A,B}= u_{A\top B}\tilde s_{A,B} (u_A\bullet u_B)^{-1}\]
(\cf \eqref{eq4}). Il faut voir que $\tilde t$ est compatible avec les
contraintes d'associativit\'e et d'unit\'e. Cela
r\'esulte de calculs triviaux (d'o\`u le terme ``sorite"), ce que nous
laissons au lecteur sceptique le soin de v\'erifier.\qed 

\begin{sorite}\label{so2} Soient $(\sA,\bullet),\bar\sA,\pi_\sA$ comme
dans le th\'eor\`eme \ref{T2}. Alors le th\'e\-o\-r\`e\-me \ref{T2}
r\'esulte de l'\'enonc\'e plus faible obtenu en rempla\c cant dans a) et
b) le mot ``section" par ``quasi-section", o\`u une quasi-section
mono\"{\i}dale de
$\pi_\sA$ est par d\'efinition un foncteur mono\"{\i}dal $s_0:\bar
\sA\to \sA$ tel que $\pi_\sA\circ s_0$ soit \emph{naturellement
isomorphe} \`a $Id_{\bar\sA}$.
\end{sorite}

\begin{sloppypar}
\prf Supposons donn\'ee une telle quasi-section mo\-no\-\"{\i}\-da\-le
$(s_0,\tilde s_0)$. Soit $\bar u:Id_{\bar \sA}\iso \pi_\sA s_0$ un
isomorphisme naturel. Pour tout $A\in \sA$, choisissons un \'el\'ement
$u_A\in \sA(A,s_0(A))$ se projetant sur $\bar u_A$, avec
$u_{\un}=1_{\un}$. D\'efinissons un
foncteur $s:\bar\sA\to \sA$ par les formules:
\begin{align*}
s(A)&=A\\
s(f)&=u_B^{-1} s_0(f) u_A
\end{align*}
pour $f\in \bar\sA(A,B)$. Alors $s$ est une section de $\pi_\sA$
naturellement isomorphe \`a $s_0$ via $u=(u_A)$, et le sorite \ref{so1}
montre qu'il lui est associ\'e une unique structure mono\"{\i}dale faisant
de $u$ un morphisme de foncteurs mono\"{\i}daux. Ceci fournit la partie a) du th\'eor\`eme
\ref{T2}, et le point concernant la partie b) est trivial.\qed   
\end{sloppypar}

\begin{sorite}\label{so3} Soient $(\sA,\bullet),\bar\sA,\pi_\sA$ et
$(\sB,\top),\bar\sB,\pi_\sB$ comme dans le th\'e\-o\-r\`e\-me \ref{T2}.
Soit
$(f,\tilde f):(\sB,\top)\to (\sA,\bullet)$ un $K$-foncteur mono\"{\i}dal
tel que $f$ soit une \'equivalence de cat\'egories. Alors $f$ est
radiciel, et les parties a) et b) du th\'eor\`eme \ref{T2} sont vraies
pour $\sA$ si et seulement si elles sont vraies pour $\sB$.
\end{sorite}

\prf Le fait que $f$ est radiciel est clair (et ne d\'epend pas des
structures mono\"{\i}dales). Le reste de l'\'enonc\'e r\'esulte du sorite
\ref{so2}, en remarquant que les conditions dudit sorite sont
manifestement invariantes par \'equivalence mono\"{\i}dale de cat\'egories
mono\"{\i}dales.\qed

\begin{sloppypar}
\subsection{Cat\'egories mono\"{\i}dales strictes}\label{ml} Une 
petite cat\'egorie
mono\"{\i}\-dale
$(\sB,\top)$ est dite {\it stricte} si l'ensemble des objets muni de
la loi $\top$ est un
mono\"{\i}de (\ie si $\top$ est strictement associative).
\end{sloppypar}

Un foncteur mono\"{\i}dal $(s,(\tilde s_{AB})): (\sA,\bullet)\to 
(\sB, \top)$ est dit \emph{strict} si
$s(A)\bullet s(B)= s(A\top
B)$ et si
$\tilde s_{AB}$ est l'identit\'e pour tout couple $(A,B)$. C'est par
exemple le cas du foncteur identique.

Dans le cas strict, la situation se simplifie pour les
morphismes de foncteurs mono\"{\i}daux: si $u:s\Rightarrow
s'$ est un tel morphisme, alors il v\'erifie l'identit\'e
\[u_{A\bullet B}=u_A\top u_B\]
pour tout couple d'objets $(A,B)$.

\begin{rem} Soit $\sA^\sA$ la cat\'egorie des endofoncteurs additifs de $\sA$. Munie de la
composition, c'est une cat\'egorie mono\"{\i}dale stricte. Pour toute cat\'egorie mono\"{\i}dale, le foncteur
$A\mapsto A\bullet ?$ de $\sA $ vers $\sA^\sA$ admet une structure mono\"{\i}dale d\'efinie par les contraintes
d'associativit\'e et d'unit\'e. {\it Ce foncteur est strict si et seulement si $(\sA, \bullet)$ est
mono\"{\i}dale stricte}.
\end{rem} 

\medskip Si $\sB$ est mono\"{\i}dale stricte, il en est
alors de m\^eme de $\sB^\oplus$: en effet,
rappelons que les objets de
$\sB^\oplus$ sont des suites finies $\underline A= (A_1,A_2,\dots,
A_r)$ d'objets de $\sB$, not\'ees $A_1\oplus A_2
\oplus \dots \oplus A_r $ (\cf \S\ref{rap}); les composantes de
$\underline A \top \underline A'$ sont
par d\'efinition les $A_i\top A'_j$, num\'erot\'ees selon l'ordre
lexi\-cographique. Il est clair qu'on
obtient ainsi une cat\'egorie mono\"{\i}dale stricte. Si $\sB$ est $K$-lin\'eaire, les
foncteurs \'evidents $\displaystyle \sB^\oplus
\begin{smallmatrix}u^\oplus\\\rightarrow\\\leftarrow\\v^\oplus\end{smallmatrix}
\sB$ (formation du mot \`a une lettre, \resp parenth\'esage
canonique) sont sous-jacents \`a des foncteurs
mono\"{\i}daux stricts (vis-\`a-vis de $\bullet$).

Tout foncteur mono\"{\i}dal $s:\,\sB\to \sA$, il induit, composante par 
composante, un foncteur mono\"{\i}dal
$s^\oplus: \sB^\oplus\to \sA^\oplus$, strict si $s$ l'est.

\medskip Une petite cat\'egorie $K$-lin\'eaire $\sC$ sera dite {\it 
strictement $K$-lin\'eaire} si son biproduit
$\oplus$ (et l'objet nul) fait de $\sC$ une cat\'egorie 
mono\"{\i}\-dale stricte. C'est le cas de
$\sB^\oplus$, pour toute petite $K$-cat\'egorie $\sB$. Dans une 
cat\'egorie strictement $K$-lin\'eaire, les
sommes directes finies $A_1\oplus \dots \oplus A_n$ sont d\'efinies 
sans ambig\"uit\'e.

\begin{sloppypar}
\subsubsection{La construction de Mac Lane \protect\cite[XI 3]{maclane}}\label{constrM} 
\`A toute petite ca\-t\'e\-go\-rie mono\"{\i}\-dale $(\sA,\bullet)$, on
associe une petite cat\'egorie mono\"{\i}\-dale stricte
$(\sA^{str},\top)$, et deux foncteurs mono\"{\i}daux $\displaystyle \sB
\begin{smallmatrix}u\\\rightarrow\\\leftarrow\\v\end{smallmatrix}
\sA$, avec $u$ strict, tels que le compos\'e $\;uv\;$ soit le
foncteur mono\"{\i}dal identique de
$\sA$ (les foncteurs sous-jacents \`a $u$ et $v$ sont donc
quasi-inverses).
\end{sloppypar}

Rappelons cette construction: on prend pour objets de $\sA^{str}$
les mots (finis) dont les lettres sont les objets de $\sA$. Les morphismes
entre mots sont les morphismes entre les objets de $\sA$
correspondants obtenus par pa\-ren\-th\'e\-sa\-ge
canonique (toutes les pa\-ren\-th\`e\-ses commencent au d\'ebut du mot). Le
produit $\top$, souvent omis de la notation, est donn\'e au niveau des
objets par la concat\'enation des mots; $v$ est donn\'e par la
``formation de mots d'une lettre", tandis
que $u$ est donn\'e par le ``pa\-ren\-th\'e\-sa\-ge canonique" ({\it
e.g.} $u(ABC)= (A\bullet B)\bullet
C)$). L'unit\'e est le mot vide: $u(\emptyset)=\un$.

C'est une $K$-cat\'egorie si $\sA$ l'\'etait, et $u,v$ sont
alors des $K$-foncteurs.

Noter que lorsque $A$ est $K$-lin\'eaire, la construction 
$\sA^\oplus$ est un cas parti\-cu\-lier de cette
construction, en prenant $\bullet=\oplus$.

\medskip Si $s: \sB\to \sA$ est un foncteur, on lui
associe canoni\-quement comme suit un foncteur mono\"{\i}dal strict
$s^{str}: \sB^{str}\to \sA^{str}$: on associe au mot
$w=B_1\dots B_n$ de $\sB^{str}$ le mot
$s^{str}(w)=s(B_1)\dots s(B_n)$ de
$\sA^{str}$ ($s^{str}(\emptyset)=\emptyset$).

On associe \`a $f\in
\sB^{str}(w,w')= \sB(u(w) ,u(w'))$ le morphisme
$s^{str}(f)=  s(f)   \in
\sA(u(s^{str}(w)),u(s^{str}(w')))=\sA^{str}(s^{str}(w),s^{str}(w'))$.

Si $s$ est sous-jacent \`a un foncteur mono\"{\i}dal strict, on a
$us^{str}=su$ (donc $s= u_\sA \circ s^{str}\circ  v_\sB$).

\medskip
Vu la construction de Mac Lane et le sorite \ref{so3}, pour d\'emontrer
le th\'e\-o\-r\`e\-me \ref{T2}, on peut supposer $\sA$ stricte. Le
th\'eor\`eme
\ref{T2} r\'esulte alors de la proposition plus pr\'ecise suivante:

\begin{prop}\label{p5}
Soient $(\sA,\bullet),\bar\sA,\pi_\sA$ comme
dans le th\'eor\`eme \ref{T2}. Si en outre $\sA$ est mono\"{\i}dale stricte,\\
a) Il existe une section mono\"{\i}dale stricte $s$ de $\pi_\sA$.\\
b) Toute autre section mono\"{\i}dale stricte de $\pi_\sA$ est
isomorphe \`a $s$.\\
c) Toute section mono\"{\i}dale de $\pi_\sA$ est naturellement isomorphe
\`a une section mono\"{\i}dale stricte de $\pi_\sA$.
\end{prop}

\subsection{R\'eductions} Commen\c cons par une r\'eduction du probl\`eme
en deux lemmes.

\begin{lemme}\label{L8'} La proposition \ref{p5} d\'ecoule de l'\'enonc\'e
correspondant pour la cat\'egorie mono\"{\i}dale stricte $K$-lin\'eaire
$\sA^\oplus$. \end{lemme}

\prf Soit $S$ une section
mono\"{\i}dale stricte de $\pi_{\sA^\oplus}$. Le foncteur mono\"{\i}dal
strict (pleinement) fid\`ele $\sA\overset{v^\oplus}{\to}\sA^\oplus$
induit un diagramme commutatif
\[\begin{CD}
\bar\sA@>\bar v>>\bar\sA^\oplus \\
@VsVV @VSVV\\
\sA @>v>> \sA^\oplus .
\end{CD} \]
R\'eciproquement, si $s$ est donn\'ee, on peut prendre $S= s^\oplus$. \qed

En identifiant $(\bar\sA^{str})^\oplus$ et 
$\overline{(\sA^{str})^\oplus}$, ce lemme nous ram\`ene \`a prouver la
proposition \ref{p5} dans le cas
strictement $K$-lin\'eaire, strictement mono\"{\i}dal.

\begin{lemme}\label{L8''} Supposons que $\sA$ soit strictement 
$K$-lin\'eaire, et mo\-no\-\"{\i}\-da\-le stricte.
   Soit $s$ une section fonctorielle
$K$-lin\'eaire de $\pi_\sA$ (vue comme simple $K$-foncteur
).

Supposons que $s( f\bullet
g)=s(f)\bullet s( g)$ pour tout couple d'endomorphismes $(f\in
\bar\sA^\oplus(A,A),g\in \bar\sA^\oplus(B,B))$, et que 
$s(1_{\un})=1_{\un}$. Alors $s^\oplus$
d\'efinit une unique section mono\"{\i}dale stricte
    de $\pi_{\sA^\oplus}$.
\end{lemme}

\prf Il s'agit de v\'erifier l'identit\'e $s^\oplus( f\bullet
g)=s^\oplus(f)\bullet s^\oplus( g)$ pour tout couple $(f\in
\bar\sA^\oplus(w_1,w'_1),g\in \bar\sA^\oplus(w_2,w'_2))$, et 
$s^\oplus(\emptyset)=1_{\emptyset}$ (ce second point
est imm\'ediat).

Nous utilisons transitoirement la notation $w$ des mots de \ref{ml}, 
dans le cas o\`u la structure mono\"{\i}dale
est donn\'ee par $\oplus$; au lieu de $u(w)$, la somme directe (dans 
la cat\'egorie strictement $K$-lin\'eaire
$\sA$) des lettres de $w$ sera not\'ee $\pointplus{w}$ 
($\pointplus{\emptyset}=\un$). Via les identifications
canoniques
\[\sA^\oplus(w,w')= \sA(\pointplus{w},
\pointplus{w}'),\]
on peut \'ecrire $s^\oplus(f)=s(f), s^\oplus(g)=s(g), 
s^\oplus(f\bullet g)=s(f\bullet g)$.

Les identifications ci-dessus sont compatibles \`a $\bullet$ (
$\pointplus{\widehat{{w_1}\bullet{w_2}}}=\pointplus{w}\bullet
\pointplus{w}'$).

On peut donc \'ecrire $s^\oplus(f)\bullet s^\oplus( g)=s(f)\bullet s( g)$
(en revanche, on prendra garde que $s$ n'est pas suppos\'ee stricte 
vis-\`a-vis de $\oplus$,\; \ie on ne suppose
pas que le morphisme canonique $\pointplus{\widehat{s^\oplus(w)}}\to 
s(\pointplus{w})\;$  soit l'\'egalit\'e).

L'hypoth\`ese du lemme se traduit donc par l'identit\'e $s^\oplus( f\bullet
g)=s^\oplus(f)\bullet s^\oplus( g)$ dans \[
\sA^\oplus(w_1\bullet w_2,w_1\bullet w_2)= \sA(\pointplus{w_1}\bullet 
\pointplus{w_2},\pointplus{w_1}\bullet
\pointplus{w_2})\] pour tout couple d'endomorphismes $(f\in
\bar\sA^\oplus(w_1,w_1),g\in \bar\sA^\oplus(w_2,w_2))$.

Or $s^\oplus$ est strict vis-\`a-vis de $\oplus$ par 
construction (par contraste avec $s$).
Cela permet de ramener l'identit\'e ci-dessus pour tout couple de 
morphismes $(f\in
\bar\sA^\oplus(w_1,w'_1),g\in \bar\sA^\oplus(w_2,w'_2))$ au cas d'un couple
d'endomorphismes en rempla\c cant $w_1$ et $w'_1$ par $w_1\oplus 
w'_1$, et $w_2$ et $w'_2$ par $w_2\oplus w'_2$.
\qed

Ce lemme nous ram\`ene \`a traiter d'endomorphismes, plut\^ot que
d'homomorphismes.

\begin{sloppypar}
\medskip\noindent
{\bf Notation abr\'eg\'ee.} Nous \'ecrirons $\sA(A)$ (\resp $\sR(A)$)
au lieu de
$\sA(A,A)$ (\resp $\sR(A,A)$) dans ce
paragraphe. Pour un objet $A\in\sA$ et $a,b\in \sA(A)$, nous noterons
comme d'habitude $[a,b]=ab-ba$ le commutateur de $a$ et $b$, et $ad(a)$
l'application $b\mapsto [a,b]$.

\subsection{Au c\oe ur du probl\`eme: d\'emonstration de la proposition
\protect\ref{p5}}  \allowbreak Comp\-te tenu des lem\-mes
pr\'e\-c\'e\-dents, on suppose d\'esormais que
$\sA$ est une petite cat\'egorie, strictement $K$-lin\'eaire,
mono\"{\i}dale stricte (notons que $\bar\sA$ a la m\^eme
propri\'et\'e). On pro\-c\`e\-de par \'etapes. Nous commencerons par
d\'e\-mon\-trer c), cette d\'e\-mons\-tra\-tion \'etant la plus simple des
trois et servant de prototype \`a celles de a) et b).
\end{sloppypar} 

\subsubsection{D\'ebut de la preuve de c)} Soit $s$ une section
$K$-fonctorielle mo\-no\-\"{\i}\-da\-le de
$\pi_A$. On a donc des isomorphismes
\[\begin{CD}
A\bullet B=s(A)\bullet s(B)@>\tilde s_{A,B}>> s(A\bullet B)=A\bullet B.
\end{CD}\]

Les $\tilde s_{A,B}$ appartiennent \`a $1+\sR(A\bullet B)$ et
v\'erifient la relation de coh\'erence (dans $1+\sR(A\bullet B\bullet C)$)
\begin{equation}\label{coh1}
\tilde s_{A\bullet B,C}\circ (\tilde s_{A,B}\bullet
1_C)=\tilde s_{A,B\bullet C}\circ (1_A\bullet \tilde s_{B,C}).
\end{equation}

Nous allons montrer:

\begin{lemme}\label{l4} Il existe une famille double
$(u_A^{(r)})_{A\in\sA,r\ge 1}$, avec $u_A^{(r)}\in1+\sR(A)$, ayant
les propri\'et\'es suivantes:
\begin{thlist}
\item On a $u_A^{(r+1)}\equiv u_A^{(r)}\pmod{\sR(A)^r}$ pour tout
$A\in\sA$ et tout $r\ge 1$.
\item En posant
\[s_r(f)=u_B^{(r)}\circ s(f)\circ (u_A^{(r)})^{-1}\]
pour $A,B\in \sA$ et $f\in
\bar\sA(A,B)$, on a
\[(\tilde s_r)_{A,B}=u_{A\bullet B}^{(r)}\circ\tilde s_{A,B}\circ
(u_A^{(r)}\bullet u_B^{(r)})^{-1}\in 1+\sR(A\bullet B)^r\]
pour tout couple d'objets $(A,B)$.
\end{thlist}
\end{lemme}

Supposons le lemme \ref{l4} d\'emontr\'e. Pour tout $A$, choisissons un
entier $r(A)$ tel que $\sR(A)^{r(A)}=0$. Posons
\[u_A=u_A^{(r(A))}=u_A^{(r(A)+1)}=\dots\in 1+\sR(A)\]
et
\[s'(f)=u_B\circ s(f)\circ (u_A)^{-1}\]
pour $A\in \sA$ et $f\in \bar\sA(A)$. Pour $A,B\in \sA$, on a donc
\[\tilde s'_{A,B}=(\tilde s_r)_{A,B}\]
d\`es que $r\ge
\sup(r(A),r(B),r(A\bullet B))$. De plus, le membre de droite de cette
\'egalit\'e est \'egal \`a $1_{A\bullet B}$. Ainsi, la
section $s'$ v\'erifie les conclusions de c).

Nous allons d\'emontrer le lemme \ref{l4} par r\'ecurrence sur $r$,
partant du cas trivial $r=1$ o\`u l'on prend $u_A^{(1)}=1_A$ pour tout
$A$.

\subsubsection{Une relation de cocycle, I} Supposons $r\ge
1$ et trouv\'ee une famille $u_A^{(r)}$ v\'erifiant la condition (ii) du
lemme \ref{l4}. Quitte \`a remplacer $s$ par $s_r$, on peut supposer
$s_r=s$, $u^{(r)}=1$. On a donc $\tilde s_{A,B}\in 1+\sR(A\bullet B)^r$
pour tout couple d'objets $(A,B)$. Posons $n_{A,B}=1_{A\bullet B}-\tilde
s_{A,B}\in\sR(A\bullet B)^r$. La relation \eqref{coh1} se r\'e\'ecrit
alors
\begin{multline*}
(1_{A\bullet B\bullet C}-n_{A\bullet B,C})\circ ((1_{A\bullet
B}-n_{A,B})\bullet 1_C)\\
=(1_{A\bullet B\bullet C}-n_{A,B\bullet C})\circ ((1_A\bullet
(1_{B\bullet C}-n_{B,C}))
\end{multline*}
d'o\`u
\begin{equation}\label{coc1}
n_{A\bullet B,C}+n_{A,B}\bullet 1_C\equiv n_{A,B\bullet C} +1_A\bullet
n_{B,C}\pmod{\sR(A\bullet B\bullet C)^{r+1}}.
\end{equation}

Nous cherchons une famille
$(u_A^{(r+1)})_{A\in \sA}$ v\'erifiant:
\begin{thlist}
\item $u_A^{(r+1)}\equiv 1\pmod{\sR(A)^r}$ pour tout
$A\in\sA$.
\item $u_{A\bullet B}^{(r+1)}\circ\tilde s_{A,B}\circ
(u_A^{(r+1)}\bullet u_B^{(r+1)})^{-1}\in 1+\sR(A\bullet B)^{r+1}$
pour tout couple d'objets $(A,B)$.
\end{thlist}

Supposons le probl\`eme r\'esolu et posons $m_A=1_A-u_A^{(r+1)}\in
\sR(A)^r$. On a alors l'identit\'e
\begin{multline*}
(1_{A\bullet B}-m_{A\bullet B})\circ (1_{A\bullet
B}-n_{A,B})\circ ((1_A-m_A)\bullet (1_B-m_B))^{-1}\\
\equiv 1\pmod{\sR(A\bullet B)^{r+1}}
\end{multline*}
soit encore
\begin{equation}\label{cob1}
n_{A,B}\equiv m_A\bullet 1_B +1_A\bullet m_B -m_{A\bullet
B}\pmod{\sR(A\bullet B)^{r+1}}.
\end{equation}

R\'eciproquement, l'existence d'une famille $(m_A)$ v\'erifiant la
congruence \eqref{cob1} est clairement \'equivalente \`a l'existence
d'une famille $(u_A^{(r+1)})$ comme ci-dessus.

\subsubsection{Une relation de cocycle, II} La congruence \eqref{coc1}
fait penser \`a une relation de $2$-cocycle, et la congruence \eqref{cob1}
\`a une relation de $2$-cobord. Pour donner corps \`a ces impressions,
introduisons encore quelques notations.

Si $w=A_1A_2\dots A_m$ est un mot form\'e d'objets de $\sA$, notons
$\point{w}$ l'objet $A_1\bullet A_2\bullet\dots \bullet A_m$ de $\sA$ ou
$\bar\sA$ (notation plus commode que celle $u(w)$ utilis\'ee plus haut);
notons les formules
\begin{align*}
\point{(\widehat{\point{w_1}\point{w_2}})}&=\point{\widehat{w_1w_2}}\\
\point{\emptyset}&=\un.
\end{align*}

Pour tout $A\in\sA$, posons $\sR(A)^{[r]}=\sR(A)^r/\sR(A)^{r+1}$. On peut
faire op\'erer les mots \`a gauche et \`a droite sur le $K$-espace
vectoriel
\[\sR^{[r]} = \prod_w \sR(\point{w})^{[r]}\]
        de la mani\`ere suivante:
\[(w_0\cdot m)(w)=\begin{cases}1_{\point{w_0}}\bullet
m(w')&\text{si $w$ est de la forme $w_0w'$}\\
0& \text{sinon}
\end{cases}\]
\[(m\cdot w_1)(w)=
\begin{cases}
m(w')\bullet 1_{\point{w_1}} & \text{si $w$ est de la forme $w'w_1$}\\
0&\text{sinon.}
\end{cases}\]

(L'expression $m(w)$ d\'esigne la $w$-composante de $m$).

\begin{sloppypar}
Il n'est pas difficile de voir que cette
op\'eration est bien d\'efinie, et qu'\'etendue par
$K$-lin\'earit\'e, elle munit $\sR^{[r]}$ d'une structure de
$K\langle Ob(\sA)\rangle$-bimodule (o\`u
$K\langle Ob(\sA)\rangle$ d\'esigne la $K$-alg\`ebre libre de base
les objets de
$\sA$).
\end{sloppypar}

\subsubsection{Une relation de cocycle, III -- fin de la preuve de c)}
Nous som\-mes maintenant en mesure d'interpr\'eter \eqref{coc1} comme
relation de $2$-cocycle de Hochschild pour l'al\-g\`e\-bre $K\langle
Ob(\sA)\rangle$.

En effet, reprenons la famille $(n_{A,B})$ ci-dessus. Avec
les notations pr\'e\-c\'e\-den\-tes, on a une famille induite
\[\bar n_{AB}\in \sR(AB)^{[r]}.\]

On d\'efinit alors une $2$-cocha\^{\i}ne de
Hochschild $\bar n$ pour
$K\langle Ob(\sA)\rangle$ \`a va\-leurs dans le $K\langle
Ob(\sA)\rangle$-bimodule $\sR^{[r]}$,
        en associant \`a tout couple
de mots non vides $(w_0,w_1)$ l'\'el\'ement
$\bar n_{w_0,w_1}\in \sR^{[r]}$ d\'efini par
\[\bar n_{w_0,w_1}(w) =\begin{cases}
\bar n_{\point{w_0},\point{w_1}}& \text{si $w_0
w_1=w$,}\\
0&\text{sinon.}
\end{cases}\]

Calculons le bord de Hochschild de $\bar n$:
\[(d^2(\bar n))_{w_0,w_1,w_2}= w_0\cdot \bar n_{w_1,w_2} -
\bar n_{w_0w_1,w_2} + \bar n_{w_0,w_1w_2} -
\bar n_{w_0,w_1}\cdot w_2.\]

Sa $w$-composante est nulle, par d\'efinition, si $w_0w_1w_2\neq w$.
Si $ w_0w_1w_2= w$, elle est \'egale \`a
\begin{multline*}
1_{\point{w_0}}\bullet
{\bar n}_{\point{w_1},
\point{w_2}}-{\bar n}_{\point{w_0}\bullet
\point{w_1},
\point{w_2}}
+{\bar n}_{\point{w_0},\point{w_1}\bullet
\point{w_2}}
-   {\bar n}_{\point{w_0},\point{w_1}}\bullet
1_{\point{w_2}}\\
=0\text{ d'apr\`es \eqref{coc1}.}
\end{multline*}

Donc $\bar n$ est un $2$-cocycle. Comme $K\langle Ob(\sA)\rangle$ est
une $K$-alg\`ebre \emph{libre}, c'est un \emph{$2$-cobord}, \cf
\cite[ch. IX, ex. 2 ou ch. X.5]{ce}. En d'autres termes, il existe une
famille d'\'el\'ements $\bar m_w\in \sR^{[r]}$ telle que l'on ait
l'identit\'e
\[\bar n_{w_0,w_1} =w_0\cdot \bar m_{w_1}+\bar m_{w_0}\cdot w_1 -\bar
m_{w_0w_1}.\]

Soient $A,B\in\sA$. Pour $w_0=A$, $w_1=B$, la composante
de cette identit\'e dans $\sR(w_0w_1)^{[r]}$ n'est autre que
\[{\bar n}_{AB}=1_A\bullet{\bar m}_B  -{\bar m}_{A\bullet B}
+{\bar m}_A\bullet 1_B.\]

En relevant les $\bar m_A$ en des $m_A\in \sR(A)^r$, on
obtient la famille $(u_A^{(r+1)}=1_A-m_A)$ cherch\'ee.

\subsubsection{D\'ebut de la preuve de a)} Soit $s$ une section
$K$-fonctorielle de
$\pi_A$. L'existence en est garantie par le th\'eor\`eme \ref{T1}.

   Comme les $End({\un})$-bimodules $\sA(A,B)$ sont
commutatifs par hypoth\`ese, il est loisible de remplacer
chaque $s(f)$ par $s(1_{\un})^{-1}\circ s(f)$, et donc de
supposer  $s(1_{\un})=1_{\un}$.

En outre, d'apr\`es la proposition \ref{P3} appliqu\'ee \`a
$\sB=\sA\boxtimes_K
\sA$, il existe une famille $(u_{A,B}\in
               1_{A\bullet B}+\sR(A\bullet B))$ v\'erifiant,
pour tout $(f,g)\in  \bar\sA(A)\times \bar\sA(B)$:
\[s( f\bullet  g)= u_{A,B}(s(f)\bullet s(g))u_{A,B}^{-1}.\]
    Nous allons montrer:

\begin{lemme}\label{l5} Il existe une famille double
$(u_A^{(r)})_{A\in\sA,r\ge 1}$, avec $u_A^{(r)}\in1+\sR(A)$, ayant
les propri\'et\'es suivantes:
\begin{thlist}
\item On a $u_A^{(r+1)}\equiv u_A^{(r)}\pmod{\sR(A)^r}$ pour tout
$A\in\sA$ et tout $r\ge 1$.
\item En posant
\[s_r(f)=u_B^{(r)}\circ s(f)\circ (u_A^{(r)})^{-1}\]
pour $A,B\in \sA$ et $f\in
\bar\sA(A,B)$, on a
\[s_r(f\bullet g)\equiv s_r(f)\bullet s_r(g)\pmod{\sR(A\bullet
B)^{r}}\]
pour tout couple d'objets $(A,B)$ et tout
$(f,g)\in\bar\sA(A)\times\bar\sA(B)$.
\end{thlist}
\end{lemme}

Le lemme \ref{l5} implique a) de la m\^eme mani\`ere que le lemme
\ref{l4} impliquait c). On proc\`ede de nouveau par r\'ecurrence sur $r$.

\subsubsection{Une relation de cocycle, I} Supposons $r\ge
1$ et trouv\'ee une famille $u_A^{(r)}$ v\'erifiant la condition (ii) du
lemme \ref{l5}. Quitte \`a remplacer $s$ par $s_r$, on peut supposer
$s_r=s$, $u^{(r)}=1$. Posons
\[n_{A,B}=u_{A,B}-1_{A\bullet B}.\]

On a alors
\[ad(n_{A,B})(s(f)\bullet s(g))\in \sR(A\bullet B)^r\]
pour tout $(f,g)\in \bar\sA(A)\times\bar\sA(B)$.

Soit $h \in \bar\sA(C)$. Nous
allons calculer de deux fa\c cons
$s( f\bullet  g\bullet  h)$
mo\-du\-lo $\sR(A\bullet B\bullet C)^{r+1}$, compte-tenu de
l'associativit\'e stricte de $\bullet$.

On a, modulo $\sR(A\bullet B\bullet C)^{r+1}$,
\begin{multline*}
s(( f\bullet  g)\bullet  h)
= s( f\bullet  g)\bullet s( h) +[n_{A\bullet B ,C },(s(f)\bullet
s(g))\bullet s(h)] \\
= (s( f)\bullet s( g))\bullet s( h) +[n_{A ,B },s(f)\bullet
s(g))]\bullet
s(h) \\+ [n_{A \bullet B ,C },(s(f)\bullet s(g))\bullet s(h)]\\
              = (s( f)\bullet s( g))\bullet s( h)+[n_{A , B }\bullet
1_{C}+n_{A\bullet B ,C },(s(f)\bullet
s(g))\bullet s(h)]
\end{multline*}
et de m\^eme
\begin{multline*} s_r( f\bullet ( g\bullet  h))= \\
s( f)\bullet (s( g)\bullet
s( h))+[1_A \bullet n_{B , C }+n_{A , B \bullet C },s(f)\bullet
(s(g)\bullet s(h))].
\end{multline*}

Puisque $\sA$ est mono\"{\i}dale stricte, on en
d\'eduit que
\begin{multline}\label{coc2}
ad(1_A\bullet
{n}_{B,C}-{n}_{A\bullet B, C}  +{n}_{A,B\bullet C} - {n}_{A,B}\bullet 1_C)
(s( f\bullet  g\bullet  h))\\
\in\sR(A\bullet B\bullet C)^{r+1}
\end{multline}
pour tous endomorphismes $f,g,h$ comme ci-dessus.

D'autre part, si $(u^{(r+1)}_A=1+m_A)_{A\in\sA}$ est une famille
d'\'el\'ements comme dans la conclusion du lemme \ref{l5} (donc $m_A\in
\sR(A)^r$ pour tout $A$), un calcul analogue donne l'identit\'e
\begin{equation}\label{cob2}
ad(n_{A,B}-m_A\bullet 1_B-1_A\bullet
m_B+m_{A\bullet B})(s(f)\bullet s(g))\in \sR(A\bullet B)^{r+1}
\end{equation}
pour $(f,g)\in\bar\sA(A)\times \bar\sA(B)$; r\'eciproquement, la donn\'ee
d'\'el\'ements $m_A$ v\'erifiant \eqref{cob2} implique l'existence d'une
famille $u^{(r+1)}$ comme dans l'\'e\-non\-c\'e du lemme \ref{l5}.



\subsubsection{Une relation de cocycle, II}\label{co2} Pour interpr\'eter
\eqref{coc2} comme une relation de
$2$-cocycle et \eqref{cob2} comme une relation de cobord, on proc\`ede
comme ci-dessus en introduisant un
$K\langle Ob(\sA)\rangle$-bimodule appropri\'e.

Notons que l'action de $\sA$ sur $\sR^{[r]}=\sR^r/\sR^{r+1}$ se factorise
en une action de $\bar \sA$. En particulier, on peut se dispenser
d'\'ecrire la section $s$ dans \eqref{coc2} et \eqref{cob2}.

Pour tout mot $w=A_1\dots A_m$ en les objets de $\sA$, notons
\[\bar\sA(w)=\bar\sA({A_1})\bullet
\dots \bullet \bar\sA({A_m})\subset \bar\sA(\point{w}).\]

On a $\bar\sA(ww')=\bar\sA(w)\bar\sA(w')$.

\begin{sloppypar}
Notons ensuite
$C(w)^{[r]}$ le \emph{centralisateur de $\bar\sA(w)$ dans
$\sR(\point{w})^{[r]}\;$}:
\[C(w)^{[r]}=\{x\in \sR(\point{w})^{[r]}\mid ad(a)(x)=0\,\forall a\in
\bar\sA(w)\}.\]

On note encore
\[M(w)^{[r]}=\sR(\point{w})^{[r]}/C(w)^{[r]}\]
et
\[ad^w:\sR(\point{w})^{[r]}\to M(w)^{[r]}\]
la projection canonique.

Remarquons que
$C(w)^{[r]}$ et
$M(w)^{[r]}$ d\'e\-pen\-dent effectivement de $w$, et pas seulement de
$\point{w}$. Les inclusions du type $\bar\sA(w_1\dots w_n)\subset
\bar\sA(\point{w_1}\dots\point{w_n})$ entra\^{\i}ne des inclusions du type
\[C(\point{w_1}\dots \point{w_n})^{[r]}\subset C(w_1\dots w_n)^{[r]}\]
et des projections correspondantes
\begin{equation}\label{Proj}
M(\point{w_1}\dots \point{w_n})^{[r]}\Surj M(w_1\dots
w_n)^{[r]}\end{equation}
factorisant les $ad^w$.

Les relations \eqref{coc2} et \eqref{cob2} se
r\'e\'ecrivent maintenant
\end{sloppypar}
\begin{equation}\label{coc2bis}
ad^{ABC}(r_{A,B,C})=0
\end{equation}
avec
\begin{equation}\label{rcoc}
r_{A,B,C}=1_A\bullet
{n}_{B,C}-{n}_{A\bullet B, C}  +{n}_{A,B\bullet C} - {n}_{A,B}\bullet
1_C
\end{equation}
ainsi que
\begin{equation}\label{cob2bis}
ad^{AB}(n_{A,B}-m_A\bullet 1_B-1_A\bullet
m_B+m_{A\bullet B})=0.
\end{equation}


L'action \`a gauche et \`a droite de $K\langle Ob(\sA)\rangle$ sur
$\sR^{[r]}$ en induit une sur son quotient
\[M^{[r]} = \prod_w M(w)^{[r]}.\]

\begin{sloppypar}
\subsubsection{Une relation de cocycle, III - fin de la preuve de a)} De
m\^eme que pour le lemme
\ref{l4}, \eqref{coc2} et \eqref{cob2} s'interpr\`etent maintenant comme
relations de
$2$-cocycle et de $2$-cobord de Hochschild \`a valeurs dans le $K\langle
Ob(\sA)\rangle$-bimodule $C^{[r]}$. La seule remarque \`a faire est
qu'\'etant donn\'e trois mots $w_0,w_1,w_2$, et $w=w_0w_1w_2$, la
nullit\'e de $ad^{\point{w_0}\point{w_1}\point{w_2}}(
r_{\point{w_0},\point{w_1},\point{w_2}})$, donn\'ee par
\eqref{coc2bis}, entra\^{\i}ne celle de $ad^w(r_{\point{w_0},\point{w_1},
\point{w_2}})$ via la projection \eqref{Proj}. On conclut comme
auparavant.
\end{sloppypar}

\subsubsection{Preuve de b)}\label{prb} Soient $s,s'$ deux sections
mono\"{\i}dales strictes de
$\pi_\sA$. Il s'agit de montrer qu'il existe une famille $(u_A)_{A\in
\sA}, u_A \in 1_A +\sR(A,A)$, telle que pour tous
$A,B\in \sA$ on ait
$s'(f)= u_As(f)(u_A)^{-1}$ pour tout $f\in \bar\sA(A)$ et
\[u_{A\bullet B}=u_A\bullet u_B.\]

Nous allons montrer:

\begin{lemme}\label{l6} Il existe une famille double
$(u_A^{(r)})_{A\in\sA,r\ge 1}$, avec $u_A^{(r)}\in1+\sR(A)$, ayant
les propri\'et\'es suivantes:
\begin{thlist}
\item $u_A^{(r+1)}\equiv u_A^{(r)}\pmod{\sR(A)^r}$ pour tout
$A\in\sA$ et tout $r\ge 1$.
\item $s'(f)= u^{(r)}_A s(f) (u^{(r)}_A)^{-1}$ pour tout
$A\in \sA$, tout $f\in \bar\sA(A)$ et tout $r\ge 1$.
\item $u^{(r)}_{A\bullet B}\equiv u^{(r)}_A\bullet
u^{(r)}_B\pmod{\sR(A\bullet B)^{r}}$ pour tous objets $A,B$ et tout
$r\ge 1$.
\end{thlist}
\end{lemme}

Le lemme \ref{l6} implique b) de la m\^eme mani\`ere que les lemmes
\ref{l4} et \ref{l5} impliquaient c) et a). On proc\`ede toujours par
r\'ecurrence sur $r$. Nous aurons besoin des nouvelles notations
suivantes, pour un mot $w$ en les objets de $\sA$ (voir aussi \S
\ref{co2}):
\[
C_s(w)=\{x\in \sA(\point{w})\mid x s(f)=s(f)x\text{ pour tout }
f\in\bar\sA(w)\}\]
\[C_s^r(w)= \sR(\point{w})^r\cap C_s(w)\]
\[
C^{[r]}(w)=\frac{C_s^r(w)+\sR(\point{w})^{r+1}}{\sR(\point{w})^{r+1}}\simeq
C_s^r(w)/C_s^{r+1}(w).
\]

Le groupe $C^{[r]}(w)$ ne d\'epend pas du choix de $s$, puisque deux
sections sont conjugu\'ees par des \'el\'ements de $1+\sR$ (th\'eor\`eme
\ref{T1} b)) et que $1+\sR$ op\`ere trivalement sur
$\sR^{[n]}$ par conjugaison. On prendra garde de ne pas le
confondre avec le groupe
$C(w)^{[r]}$ du \S \ref{co2}: l'inclusion
\[C^{[r]}(w)\subset C(w)^{[r]}\]
est en g\'en\'eral stricte.

En utilisant le th\'eor\`eme \ref{T1} b),
choisissons une famille
$(u^{(1)}_A)_{A\in \sA}$, avec $u_A^{(1)}\in 1_A+\sR(A)$, v\'erifient la
propri\'et\'e (ii) du lemme \ref{l6}. La condition (iii) est automatique;
le lemme est donc vrai pour $r=1$.

Supposons maintenant $r\ge 1$ et le lemme connu pour $r$. Posons
\[n_{A,B}:=1_{A\bullet B}-(u^{(r)}_A\bullet
u^{(r)}_B)^{-1}u^{(r)}_{A\bullet B}\in
\sR(A\bullet B)^{r}.\]

Comme $s$ et $s'$ sont mono\"{\i}dales strictes, on a l'identit\'e
\[ (u^{(r)}_A\bullet u^{(r)}_B)^{-1}u^{(r)}_{A\bullet B}(s(f)\bullet
s(g))(u^{(r)}_{A\bullet B})^{-1}u^{(r)}_A\bullet u^{(r)}_B=s(f)\bullet
s(g)\]
pour $(f,g)\in \bar\sA(A)\times\bar\sA(B)$,
ce qui \'equivaut \`a
\[n_{A,B}\in C^r(AB).\]

Par ailleurs, la d\'efinition de $n_{A,B}$ donne
imm\'ediatement la relation
\[1_A\bullet
{\bar n}_{B,C}-{\bar n}_{A\bullet B, C}  +{\bar n}_{A,B\bullet C} -
{\bar n}_{A,B}\bullet 1_C=0\]
o\`u $\bar n_{A,B}$ d\'esigne l'image de $n_{A,B}$ dans
$C^{[r]}(AB)$.

Soit maintenant $(u^{(r+1)}_A)$ une famille v\'erifiant les conclusions du
lemme \ref{l6}. Posons
\[u_A^{(r+1)}=u_A^{(r)}(1+m_A).\]

On a donc $m_A\in\sR(A)^r$. La condition (ii) du lemme se traduit en
\[(1+m_A) s(f) (1+ m_A)^{-1} =s(f)\]
pour tout $f\in \bar\sA(A)$, c'est-\`a-dire
\[m_A\in C^r(A).\]


La condition (iii), d'autre part, se traduit en
\[\bar n_{A,B}= \bar m_{A\bullet B}-1_A\bullet \bar m_B-\bar m_A\bullet
1_B\]
o\`u $\bar m_A$ est la projection de $m_A$ dans $C^{[r]}(A)$ (calcul
imm\'ediat). Inversement, la donn\'ee de $m_A\in \sR(A)^r$ v\'erifiant
ces deux conditions fournit une famille $(u^{(r+1)}_A)$ v\'erifiant les
conclusions du lemme \ref{l6}.

On termine comme pr\'ec\'edemment, en utilisant le $K\langle
Ob(\sA)\rangle$-bi\-mo\-du\-le
\[C^{[r]}=\prod_w C^{[r]}(w),\]
et en posant
\[\bar n_{w_0,w_1}(w) =\begin{cases}
\bar n_{\point{w_0},\point{w_1}}& \text{si $w_0
w_1=w$,}\\
0&\text{sinon.}
\end{cases}\]
Ceci conclut la preuve de b), donc celle de la proposition
\ref{p5}, et finalement celle du th\'eor\`eme \ref{T2}.\qed  

\begin{rems}\label{R11/4}\
\begin{itemize}
\item[$a)$] Supposons $\sA$ ab\'elienne et engendr\'ee par un nombre fini
d'objets $A_i$, au sens o\`u tout objet est
sous-quotient d'une som\-me finie de copies de $\bullet$-mon\^omes en
ces objets. On prendra garde que $\bar\sA$
n'est pas n\'e\-ces\-sai\-re\-ment engendr\'ee par les $\pi(A_i)= A_i$. Le
point est que l'i\-ma\-ge dans
$\bar\sA$ d'un monomorphisme de
$\sA$ n'est pas n\'e\-ces\-sai\-re\-ment un monomorphisme. En fait, on
verra plus loin des exemples o\`u  $\bar \sA$
n'est engendr\'ee par aucun ensemble fini d'objets.
\item[$b)$] Dans \cite{ak(note)}, nous appliquons le th\'eor\`eme de
scindage mono\"{\i}dal ci-dessus pour construire, inconditionnellement,
des r\'ea\-li\-sa\-tions de motifs nu\-m\'e\-ri\-ques, et les groupes de
Galois motiviques associ\'es.  
\item[$c)$] Dans le troisi\`eme article de cette s\'erie, nous appliquons
le m\^eme th\'e\-o\-r\`e\-me pour d\'efinir des ``enveloppes"
pro-semi-simples ou pro-r\'e\-duc\-ti\-ves.
\end{itemize}
 \end{rems}

\subsection{Variantes} Voici un avatar mono\"{\i}dal de la proposition
\ref{P3}.

\begin{sloppypar}
\begin{prop} \label{P3'} Soit $(\sB, \bullet)$ une autre cat\'egorie
mono\"{\i}dale v\'erifiant les
hypoth\`eses du th\'eor\`eme \ref{T2}. Soit
$T:\sB\to
\sA$ un
$K$-foncteur mono\"{\i}dal radiciel. Notons $\bar T:\bar
\sB\to \bar \sA$ le foncteur
induit. \\
Soit $s_\sA:\bar\sA\to \sA$ (\resp $s_\sB:\bar\sB\to \sB$ )
une section mono\"{\i}dale de la
projection canonique. \\
Alors $s_\sA\circ \bar T$ et $T\circ s_\sB$ sont isomorphes (via un
isomorphisme mono\"{\i}dal qui couvre
l'isomorphisme mono\"{\i}dal identique modulo les radicaux). \\
En particulier, si $T$ et les sections
$s_A$ et $s_B$ sont strictes, il existe un
syst\`eme $(u_X)$ d'\'el\'ements de $1_{T(X)}+ \rad(\sA)(T(X),T(X))$
tel que $s_\sA\bar
T(h)=u_{X'}Ts_\sB(h)(u_X)^{-1}$ pour
tout $h\in \bar \sB(X,X')$, et $u_{X\bullet Y}=u_X\bullet u_Y$.
\end{prop}

\prf On prouve d'abord la seconde assertion, sous l'hypoth\`ese que 
$\sA$ et $\sB$ sont mono\"{\i}dales
strictes. La preuve est enti\`erement parall\`ele \`a celle du point $b)$
de la proposition \ref{p5}.  la
proposition \ref{P3} montre l'e\-xis\-ten\-ce d'un
syst\`eme $(u_X)$ d'\'el\'ements de $1_{T(X)}+ \rad(\sA)(T(X),T(X))$
tel que $s_\sA\bar
T(h)=u_{X'}Ts_\sB(h)(u_X)^{-1}$ pour
tout $h\in \bar \sB(X,X')$. Pour le modifier en un syst\`eme
v\'erifiant de plus $u_{X\bullet Y}=u_X\bullet
u_Y$, on
construit une suite d'approximations $u^r_X$. Le point est de remplacer
le
$K\langle Ob(\sA)\rangle$-bimodule
$C^{[r]}$ par le $K\langle Ob(\sB)\rangle$-bimodule
   $\displaystyle {C'}^{[r]} =\prod_w C'(w)^{[r]}$, o\`u $ C'(w)^{[r]}$
est d\'efini de la mani\`ere suivante:
\[
C_{Ts}(w)=\{x\in \sA(T(\point{w}))\mid x
(Ts_\sB(h))=(Ts_\sB(h))x\text{ pour tout }
h\in\bar\sB(w)\}\]
\[C_{Ts}^r(w)= \sR_\sA(T(\point{w}))^r\cap C_{Ts}(w)\]
\[
{C'}^{[r]}(w)=\frac{C_{Ts}^r(w)+\sR_\sA(T(\point{w}))^{r+1}}{\sR_\sA(T
(\point{w}))^{r+1}}\simeq
C_{Ts}^r(w)/C_{Ts}^{r+1}(w). \]
Passons maintenant au cas g\'en\'eral. D'apr\`es le th\'eor\`eme de conjugaison des sections mono\"{\i}dales,
il est loisible de changer de sections $s_\sA, s_\sB$. Plut\^ot que $s_\sA, s_\sB$, nous traiterons de
${s'}_\sA= u_\sA\circ (s_\sA)^{str} \circ \bar v_\sA,\;{s'}_\sB= u_\sB\circ (s_\sB)^{str} \circ \bar v_\sB$ avec
les notations de la construction de MacLane \ref{constrM}. On est alors ramen\'e \`a voir que   
$(s_\sA)^{str} \circ \bar T^{str}$ et $T^{str}\circ (s_\sB)^{str} $ sont isomorphes (via un
isomorphisme mono\"{\i}dal qui couvre
l'isomorphisme mono\"{\i}dal identique modulo les radicaux); mais on est alors dans le cas strict d\'ej\`a
vu.\qed
\end{sloppypar}

\begin{cor} Dans la situation de la proposition \ref{P3}, supposons 
$\sA$, $\sB$ strictement $K$-lin\'eaires,
\ie telles que
$\oplus$ soit strictement associative (\cf \ref{ml}). Supposons aussi 
que $T$ soit strict vis-\`a-vis de
$\oplus$. Alors on peut choisir les $(u_X)$ (conjuguant $s_\sA\bar
T$ et $Ts_\sB$) de telle sorte que $u_{X\oplus Y}=u_X\oplus u_Y$.\qed

\end{cor}

Voici une variante mono\"{\i}dale du compl\'ement de Malcev au
th\'eor\`eme de Wedderburn.  

\begin{prop}\label{cmmalcev} Sous les
hypoth\`eses du th\'eo\-r\`eme \ref{T2},
supposons don\-n\'ee en outre une sous-cat\'egorie
mono\"{\i}dale $\sB$ \emph{s\'eparable} de $\sA$ (non
n\'e\-ces\-sai\-re\-ment pleine), telle que tout objet de $\sA$ soit
facteur direct d'un objet de $\sB$. Alors il
existe une section mono\"{\i}dale
$s$ de $\pi_\sA$ qui v\'erifie
$(s\circ \pi_\sA )\vert \sB = id_{\sB}$.
\end{prop}

\prf Quitte \`a remplacer $\sA$ et $\sB$ par $\sA^\natural$ et
$\sB^\natural$ respectivement, on peut
supposer que
$Ob(\sB)=Ob(\sA)$. Dans ce cas, le
corollaire \ref{cmalcev} montre l'e\-xis\-ten\-ce d'une section fonctorielle
de $\pi_\sA$ telle que $(s\circ \pi_\sA )_{\vert
\sB} = id_{\sB}$. Pour la modifier en une section mono\"{\i}dale
v\'erifiant la m\^eme condition, on reprend la m\'ethode de preuve du
th\'eor\`eme \ref{T2} a), en
construisant une suite d'approximations $s_r$ (\cf le lemme \ref{l5} et sa
preuve). Le point est de remplacer le
$K\langle Ob(\sA)\rangle$-bimodule
$M^{[r]}$ par le sous-bimodule $\displaystyle {M'}^{[r]} =\prod_w
M'(w)^{[r]}$, o\`u
$M'(w)^{[r]}$ est le
sous-$K$-espace de $M(w)^{[r]}$ des \'el\'ements
dont un relev\'e dans $\sR(\point{w})^{[r]}$ commute \`a
$\bar\sB (w)$. On observe
qu'on a bien $ad^{AB}n_{AB}\in M'(AB)^{[r]}$ puisque la restriction
de $s_r$ \`a $\sB=\bar{\sB}$ est
mono\"{\i}dale (c'est l'identit\'e); on
obtient ainsi des
$\nu_A$  commutant \`a $\bar\sB(A)$, de sorte que $s_{r+1}$ est
encore l'identit\'e sur $\sB=\bar{\sB}$.
\qed

\subsection{Compl\'ement} Ce compl\'ement servira au \S \ref{tre}.

\begin{prop}\label{t3} Sous les hypoth\`eses du th\'eor\`eme \ref{T2},
soit $v$ une structure mono\"{\i}dale sur le foncteur identique de $\sA$
telle que $\pi_\sA(v)=1$. Alors $(Id_\sA,v)$ est mono\"{\i}dalement
isomorphe \`a $(Id_\sA,1)$ via un isomorphisme de foncteurs mono\"{\i}daux se projetant sur $1$ dans $\bar\sA$.
\end{prop}

\prf On peut supposer $\sA$ strictement mono\"{\i}dale. Il s'agit de
r\'esoudre l'\'equation
\[v_{A,B}=(u_A^{-1}\bullet u_B^{-1})u_{A\bullet B}\]
pour $A,B\in \sA$, o\`u $u=(u_A)$ est un automorphisme (non mono\"{\i}dal)
de $Id_\sA$ se projetant sur $1$. On proc\`ede comme d'habitude, en supposant de plus $\sA$
strictement $K$-lin\'eaire et en ne traitant que d'endomorphismes. Il
suffit de montrer:

\begin{lemme}\label{l18} Il existe une
famille double $(u^{(r)})_{r\ge 1}$ d'automorphismes de $Id_\sA$,
avec
$u_A^{(r)}\allowbreak\in 1+\sR(A)$, ayant les propri\'et\'es
suivantes:
\begin{thlist}
\item $u_A^{(r+1)}\equiv u_A^{(r)}\pmod{\sR(A)^{r}}$ pour tout
$A\in\sA$ et tout $r\ge 1$.
\item $v_{A,B}\equiv ({u^{(r)}_A}^{-1}\bullet
{u^{(r)}_B}^{-1})u^{(r)}_{A\bullet B}\pmod{\sR(A\bullet
B)^{r}}$ pour tous objets
$A,B$ et tout
$r\ge 1$.
\end{thlist}
\end{lemme}



\prf R\'ecurrence sur
$r$, en partant de $r=1$ avec $u^{(1)}=1$. Supposons $r\ge 1$ et
trouv\'ee un automorphisme $u^{(r)}$. Quitte \`a remplacer $v_{A,B}$
par
$(u^{(r)}_A\bullet u^{(r)}_B){u^{(r)}_{A\bullet B}}^{-1}v_{A,B}$, on peut
supposer que $u^{(r)}=1$ et que $v\in \sR^{r}$. 

Pour tout mot $w$ en les objets de $\sA$, posons 
\begin{align*}
C(w)&=\{x\in \sA(\point{w})\mid x \text{ centralise }
\sA(w)\}\\
C^{<r>}(w)&=C(w)\cap\sR(\point{w})^r\quad (r\ge 0)\\
\Gamma^{[r]}(w)&=C^{<r>}(w)/C^{<r+1>}(w)\\
\Gamma^{[r]}&=\prod_w \Gamma^{[r]}(w).
\end{align*}

L'alg\`ebre $K\langle Ob(\sA)\rangle$ op\`ere \`a gauche et \`a droite
sur $\Gamma^{[r]}$ de la mani\`ere habituelle. 

Posons $v_{A,B}=1-\nu_{A,B}$: alors $\nu_{A,B}\in C^{<r>}(AB)$ et on a la
congruence identique
\[\nu_{A\bullet B,C}+\nu_{A,B}\bullet 1_C\equiv \nu_{A,B\bullet
C}+1_A\bullet \nu_{B,C}\pmod{\sR(A\bullet B\bullet C)^{r+1}}.\]

Soit $u^{(r+1)}$ un automorphisme de $Id_\sA$ solution
de (i) et (ii). Posons $u_A^{(r+1)}\allowbreak=1-\mu_A$: on a donc
$\mu_A\in C^{<r>}(A)$. Soit $\bar\mu_A$ l'image de $\mu_A$ dans
$\Gamma^{[r]}(A)$. On a la congruence identique
\[\nu_{A,B}\equiv \mu_{A\bullet B}-1_A\bullet
\mu_B-\mu_A\bullet 1_B\pmod{\sR(A\bullet B)^{r+1}}.\]

\begin{sloppypar}
R\'eciproquement, si $(\mu_A)$ est une famille
d'\'el\'ements de $C^{<r>}(A)$ v\'erifiant ces congruences, alors la
famille $(u_A^{(r+1)}=1-\mu_A)$ d\'efinit un automorphisme de $Id_\sA$
solution de (i) et (ii). Il reste \`a appliquer comme pr\'ec\'edemment la
nullit\'e de $H^2(K\langle Ob(\sA)\rangle, \Gamma^{<r>})$.\qed
\end{sloppypar}

\begin{rem}\label{duaux droite}   Si $A, B$ admettent des duaux \`a
droite (\cf \ref{s3.5}), les isomorphismes canoniques 
\[\sA(\un,A^\vee\bullet
B)\cong \sA(A,B)\] 
de \eqref{eq6.2.1} passent \`a $\bar\sA$ et sont compatibles \`a toute
section mono\"{\i}dale $s$ comme dans le th\'eor\`eme. Si tous les objets
de $\sA$ admettent des duaux \`a droite   (par exemple si $\sA$ est
sym\'etrique et rigide), on en d\'eduit que $s$ est d\'etermin\'ee par
ses valeurs sur les
$\bar\sA(\un , A)$.
\end{rem}

\section{Repr\'esentabilit\'e} \label{repr}

Dans ce paragraphe, nous nous proposons d'interpr\'eter les r\'esultats
des paragraphes \ref{s5} et \ref{s6} en termes plus cat\'egoriques.
Bri\`evement, on peut associer \`a une petite $K$-cat\'egorie de
Wedderburn (mono\"{\i}dale) le grou\-po\-\"{\i}\-de des sections
(mono\"{\i}dales) de $\pi_\sA$. Cette
construction est $2$-fonctorielle en $\sA$ pour les foncteurs pleinement
fid\`eles et les isomorphismes naturels. Sous une hypoth\`ese de finitude
suppl\'ementaire, elle peut m\^eme s'enrichir en un
$2$-foncteur \`a valeurs dans les \emph{$K$-groupo\"{\i}des affines
scind\'es unipotents} (th\'e\-o\-r\`e\-mes \ref{gerbe} et \ref{gerbe'}). 

Ces constructions ne d\'ependent pas des th\'eor\`emes \ref{T1} et
\ref{T2}. Dans le cas repr\'esentable, elles permettent de les
r\'einterpr\'eter en des r\'esultats tr\`es forts de \emph{rationalit\'e}
pour les $K$-groupo\"{\i}des en jeu.

Nous nous pla\c cons d'abord le cadre discret, puis dans le cadre alg\'ebrique.

\subsection{Le paysage discret}

\subsubsection{Le cas non mono\"{\i}dal}\label{i1} Soit $\sA$ une
petite $K$-cat\'egorie de Wedderburn. Consid\'erons la cat\'egorie
$\sG(\sA)$ dont les objets sont les sections de $\pi_\sA$, un morphisme de
$s$ vers $s'$ \'etant une famille $(u_A)_{A\in\sA}$ comme dans le
th\'eor\`eme \ref{T1} b) et le compos\'e de deux morphismes $(u_A),(v_A)$
\'etant $(v_Au_A)$. (Comme nous l'a fait remarquer Alain Bru\-gui\`e\-res,
les morphismes de $\sG(A)$ s'interpr\`etent aussi comme les
transformations naturelles entre sections de $\pi_\sA$ se projetant sur
l'identit\'e dans $\bar\sA$.) Alors
$\sG(\sA)$ est un petit groupo\"{\i}de: le \emph{groupo\"{\i}de
des sections de $\pi_\sA$}. Le contenu du th\'eor\`eme \ref{T1} a) (\resp
b))  est que ce groupo\"{\i}de est  \emph{non vide} (\resp \emph{connexe}).

L'interpr\'etation de la proposition \ref{P3} dans ce langage est le
peu satis\-faisant principe de fonctorialit\'e suivant: si $s_\sA\in
\sG(\sA)$ et $s_\sB\in \sG(\sB)$, d\'efinissons le \emph{transporteur de
$s_\sA$ vers $s_\sB$} comme l'ensemble $T(s_\sA,s_\sB)$ des $(u_X)$
v\'erifiant les conditions de ladite proposition: ce sont aussi les
transformations naturelles de $s_\sA\bar T$ vers $Ts_\sB$ se projetant
sur l'identit\'e. Alors, pour tout couple $(s_\sA,s_\sB)$, l'ensemble
$T(s_\sA,s_\sB)$ est \emph{non vide}. 

Toutefois, si $\sA \to \sB$ est \emph{pleinement fid\`ele}, alors on a un
foncteur ca\-no\-ni\-que $\sG(\sB)\to \sG(\sA)$ dans l'autre sens. Cette
correspondance s'\'e\-tend en un $2$-foncteur: notons
\[Wed\{K\}\]
la sous-$2$-cat\'egorie non pleine de $\{K\}$ (voir \S \ref{rap}) dont
\begin{itemize}
\item les objets sont les petites $K$-cat\'egories de Wedderburn
\item les $1$-morphismes sont les $K$-foncteurs pleinement fid\`eles
\item les $2$-morphismes sont les isomorphismes naturels.
\end{itemize}

D'autre part, notons $\Gr$ la $2$-cat\'egorie des
petits groupo\"{\i}des (tous les foncteurs et toutes les transformations
naturelles sont autoris\'es). Alors on v\'erifie au prix d'un petit
calcul:

\begin{sorite}\label{so6} La construction $\sA\mapsto \sG(\sA)$ d\'efinit
un
$2$-foncteur $1$-con\-tra\-va\-riant et $2$-covariant
\[\sG:Wed\{K\}\to \Gr.\]
Le th\'eor\`eme \ref{T1} \'enonce que son image est contenue dans la
$2$-sous-cat\'e\-go\-rie pleine des groupo\"{\i}des non vides connexes.\qed
\end{sorite}

En particulier, toute $K$-\'equivalence de cat\'egories $\sA\iso \sB$
d\'efinit une \'equivalence de cat\'egories $\sG(\sB)\iso \sG(\sA)$, qui
n'est pas en g\'en\'eral un isomorphisme de cat\'egories. Toutefois:

\begin{sorite}\label{so7} Pour toute $K$-cat\'egorie de Wedderburn $\sA$,
les foncteurs
\[
\begin{matrix}
\;&\;& \sG(\sA^\oplus) &\;&\;\\
\;&\nearrow\;&\;&\searrow &\;\\
     \sG(\sA^{\oplus\natural}) &\;&\;&\;& \sG(\sA) \\
     \;&\searrow\;&\;&\nearrow &\;\\
                       \;&\;&
\sG(\sA^\natural) &\;&\; 
\end{matrix}\]
sont des isomorphismes de groupo\"{\i}des.\qed
\end{sorite}

(On peut s'en convaincre en remarquant que ces foncteurs d\'efinissent
des inverses partiels des foncteurs du sorite \ref{so01}.)

\subsubsection{Le cas mono\"{\i}dal}\label{i2} Supposons maintenant que
$\sA$ soit mono\"{\i}dale, et que son radical soit un id\'eal mono\"{\i}dal. De m\^eme que dans 
\ref{i1}, on peut introduire le groupo\"{\i}de $\sG^{\otimes}(\sA)$
des {\it sections mono\"{\i}dales de
$\pi_A$} (les morphismes \'etant les morphismes de foncteurs
mono\"{\i}daux se projetant
sur l'identit\'e dans $\bar\sA$). C'est un sous-groupo\"{\i}de de
$\sG(\sA)$, lui aussi connexe non vide\footnote{Tout foncteur d'un
groupo\"{\i}de connexe non vide vers un autre est essentiellement
surjectif\dots}.
      La proposition \ref{P3'} admet la m\^eme interpr\'etation que la
proposition \ref{P3} du paragraphe \ref{s5}. 
Si $\sA \to \sB$ est pleinement fid\`ele, on a un foncteur canonique
$\sG^\otimes(\sB)\to \sG^\otimes(\sA)$ dans l'autre sens. 

Notons
\[Wed^\otimes\{K\}\]
la $2$-cat\'egorie  dont
\begin{itemize}
\item les objets sont les petites $K$-cat\'egories de Wedderburn mono\"{\i}dales,
\`a ra\-di\-cal mono\"{\i}dal
\item les $1$-morphismes sont les $K$-foncteurs mono\"{\i}daux pleinement
fi\-d\`e\-les
\item les $2$-morphismes sont les isomorphismes naturels mono\"{\i}daux.
\end{itemize}

On a un $2$-foncteur \'evident 
\begin{equation}\label{eq10}
\Omega:Wed^\otimes\{K\}\to Wed\{K\}
\end{equation}
(oubli des structures mono\"{\i}dales). Comme au
\S \ref{i1}, on obtient en fait:

\begin{sorite}\label{so6t} La construction $\sA\mapsto \sG^\otimes(\sA)$
d\'efinit un
$2$-foncteur $1$-con\-tra\-va\-riant et $2$-covariant
\[\sG^\otimes:Wed^\otimes\{K\}\to \Gr.\]
Le th\'eor\`eme \ref{T2} \'enonce que son image est contenue dans la
$2$-sous-ca\-t\'e\-go\-rie pleine des groupo\"{\i}des non vides connexes.\\
Il existe une $2$-transformation naturelle canonique
\[\sG^\otimes\Rightarrow
\sG\circ\Omega\] 
o\`u $\sG$ est comme dans le sorite \ref{so6} et 
$\Omega$ est comme en
\eqref{eq10}.\qed
\end{sorite}

\begin{sorite}\label{so7t} Pour toute $K$-cat\'egorie de Wedderburn $\sA$,
les foncteurs
\[
\begin{matrix}
\;&\;& \sG^\otimes(\sA^\oplus) &\;&\;\\
\;&\nearrow\;&\;&\searrow &\;\\
     \sG^\otimes(\sA^{\oplus\natural}) &\;&\;&\;& \sG^\otimes(\sA) \\
     \;&\searrow\;&\;&\nearrow &\;\\
                       \;&\;&
\sG^\otimes(\sA^\natural) &\;&\; 
\end{matrix}\]
sont des isomorphismes de groupo\"{\i}des.\qed
\end{sorite}

\subsubsection{Objets compacts, duaux et limites inductives}\label{cdi}
Supposons
$\sA$ stable par limites inductives quelconques, et soit $\sA^\comp$ sa
sous-cat\'egorie pleine form\'ee des objets compacts. Alors on a un
foncteur de restriction $\sG(\sA)\to \sG(\sA^\comp)$. Si tout objet de
$\sA$ est isomorphe \`a une limite inductive d'objets compacts, on a un
foncteur en sens inverse: ces deux foncteurs sont des \'equivalences de
cat\'egories, quasi-inverses l'une de l'autre.

M\^eme sorite dans le cas mono\"{\i}dal sym\'etrique, en supposant $\un$
compact et en rempla\c cant ``compact" par ``ayant un dual".


\subsubsection{Extension des scalaires} Si $L/K$ est une extension, on a
des foncteurs ``extension des scalaires" (na\"{\i}ve et \`a la Saavedra)
$\sG(\sA)\to \sG(\sA_L)$ et $\sG(\sA)\to \sG(\sA_{(L)})$, et de m\^eme
dans le cas mono\"{\i}dal. Si $L/K$ est (finie) s\'eparable, ces foncteurs
sont isomorphes en vertu du th\'eor\`eme \ref{t2}. Dans le cas
g\'en\'eral et en supposant $\sA$ stable par limites inductives
quelconques, on a un foncteur de restriction $\sG(\sA_{(L)})\to
\sG(\sA_L)$ commutant naturellement aux deux foncteurs ci-dessus. M\^eme
sorite dans le cas mono\"{\i}dal.

\subsection{Objets en cat\'egories, en groupo\"{\i}des et en actions de
grou\-pe}

\subsubsection{Objets en cat\'egories et en
groupo\"{\i}des}\label{obcatgr} Soit
$\sX$ une cat\'egorie avec limites projectives finies. Rappelons qu'un
\emph{objet en cat\'egories} dans
$\sX$ est la donn\'ee
$\Gamma$ de deux objets $E,S\in \sX$, d'un morphisme
\[(\beta,\sigma) :  E \to S\times S\]
``but" et ``source" et d'un morphisme ``loi de composition"
\[\circ : E \times_{{}^\beta S^\sigma} E \to E \]
telles que, pour tout objet $X\in \sX$, le couple $(\sX(X,E),\sX(X,S))$
et les morphismes correspondants d\'efinissent une petite cat\'egorie
$\Gamma(X)$ (objets: $S(X)$; morphismes: $E(X)$). Par le lemme de Yoneda,
cela revient
\`a exiger que
$\beta,\sigma,\circ$ v\'erifient les identit\'es habituelles. Un objet
en cat\'egories $\Gamma$ est un \emph{objet en groupo\"{\i}des} si, pour
tout $X\in \sX$, $\Gamma(X)$ est un groupo\"{\i}de (m\^eme remarque).

Si $\Gamma=(E,S,\beta,\sigma,\circ)$ et
$\Gamma'=(E',S',\beta',\sigma',\circ')$ sont deux objets en cat\'egories
de $\sX$, un \emph{morphisme} de $\Gamma$ vers $\Gamma'$ est un couple
$T=(f,g)$, avec $f\in \sX(E,E')$, $g\in \sX(S,S')$, tels que les
diagrammes
\[\begin{CD}
E @>(\beta,\sigma)>> S\times S\\
@V{f}VV @V{g\times g}VV\\
E' @>(\beta',\sigma')>> S\times S
\end{CD}
\qquad
\begin{CD}
E \times_{{}^\beta S^\sigma} E @>\circ>> E\\
@V{f\times f}VV @V{f}VV\\
E' \times_{{}^{\beta'} {S'}^{\sigma'}} E' @>\circ'>> E'
\end{CD}
\]
soient commutatifs (ou, de mani\`ere \'equivalente, que
$T(X):\Gamma(X)\to \Gamma'(X)$ soit un foncteur pour tout $X\in \sX$).

Si $T=(f,g)$ et $T'=(f',g')$ sont deux tels morphismes, une
\emph{homotopie} de
$T$ vers $T'$ est un morphisme $u\in \sX(S,E')$ tel que les diagrammes
\[\begin{CD}
S@>u>> E'\\
\s (g',g)\displaystyle\searrow &&@V{(\beta',\sigma')}VV\\
&&S'\times S'
\end{CD}
\qquad
\begin{CD}
E@>(f,u\beta)>> E'\times_{{}^{\beta'} {S'}^{\sigma'}}E'\\
@V{(u\sigma,f')}VV @V{\circ'}VV\\
E'\times_{{}^{\beta'} {S'}^{\sigma'}}E'@>{\circ'}>> E'
\end{CD}
\]
soient commutatifs (ou, ce qui revient au m\^eme, que $u(X)$ soit une
transformation naturelle quel que soit $X\in \sX$).

Les objets en cat\'egories, morphismes et homotopies d\'efinissent une
$2$-cat\'egorie $\Cat(\sX)$. Sa sous-cat\'egorie $1$-pleine et $2$-pleine
form\'ee des objets en groupo\"{\i}des est not\'ee $\Gr(\sX)$.

\subsubsection{Objets en actions de groupe} Un \emph{objet en groupes}
dans $\sX$ est un couple $(G,\mu_G)$ avec $G\in \sX$, $\mu_G\in
\sX(G\times G,G)$ tel que $G(X)=\sX(X,G)$ d\'efinisse un groupe pour la
loi $\mu_G(X)=\sX(X,\mu_G)$ quel que soit $X\in \sX$. De m\^eme, un
\emph{objet en actions de groupe} est un syst\`eme
$\Delta=(G,S,\mu_G,\mu_S)$, o\`u $(G,\mu_G)$ est un objet en groupes,
$S\in
\sX$, $\mu_S\in
\sX(G\times S,S)$, tel que $(\mu_G(X),\mu_S(X))$ d\'efinisse une action
de $G(X)$ sur $S(X)$ pour tout $X\in \sX$.

\'Etant donn\'e deux objets en actions de groupe
$\Delta=(G,S,\mu_G,\mu_S)$, $\Delta'=(G',S',\mu_{G'},\mu_{S'})$, un
\emph{morphisme} de $\Delta$ vers $\Delta'$ est un couple $T=(f,g)$, avec
$f\in \sX(G,G')$, $g\in \sX(S,S')$, tels que les diagrammes
\[\begin{CD}
G\times G@>\mu_G>> G\\
@V{f\times f}VV @V{f}VV\\
G'\times G'@>\mu_{G'}>> G'
\end{CD}
\qquad
\begin{CD}
G\times S@>\mu_S>> S\\
@V{g\times g}VV @V{g}VV\\
G'\times S'@>\mu_{S'}>> S'
\end{CD}
\]
soient commutatifs. Il y a une notion \'evidente de composition de tels morphismes.

Enfin, \'etant donn\'e deux tels morphismes $T=(f,g)$, $T'=(f',g')$, une
\emph{homotopie} de $T$ vers $T'$ est un morphisme $u\in \sX(S,G')$ tel
que les diagrammes
\[\begin{CD}
S@>(u,g)>> G'\times S'\\
\s g'\displaystyle\searrow &&@V{\mu_{S'}}VV\\
&&S'
\end{CD}
\qquad
\begin{CD}
G\times S@>(u\circ\mu_S,f\circ p_1)>> G'\times G'\\
@V{f'\times u}VV @V{\mu_{G'}}VV\\
G'\times G'@>\mu_{G'}>> G'
\end{CD}\]
soient commutatifs (en formules: $g'(s)=u(s)g(s)$; $u(\gamma
s)=\break f'(\gamma)u(s)f(\gamma)^{-1}$). La composition de deux
homotopies est donn\'ee par 
$u'\circ u := \mu_{G'}\circ(u',u)$ ($u'\circ u(s)=u'(s)u(s)$).

Les objets en actions de groupe, morphismes et homotopies forment une
autre $2$-cat\'egorie not\'ee $\Acg(\sX)$. 

\subsubsection{Actions de groupe et groupo\"{\i}des} \label{ex3} Pour
obtenir un groupo\"{\i}de $\Gamma$, il suffit de se donner un objet en
actions de groupe
$\Delta=(G,S,\mu_G,\mu_S)$. On d\'efinit $E=G\times S$, $\beta=\mu_S$,
$\sigma=$ seconde projection. On v\'erifie (par exemple \`a l'aide du
lemme de Yoneda) que le morphisme
\[\begin{CD}
G\times G\times S@>(p_{23},1_G\times\mu_S)>> E\times_{{}^{\beta}
{S}^{\sigma}}E,
\end{CD}\]
o\`u $p_{23}$ est la projection oubliant le premier facteur, est un
isomorphisme. On d\'efinit alors
$\circ$ comme le morphisme
\[\begin{CD}
E\times_{{}^{\beta}{S}^{\sigma}}E&(\osi)^{-1}& G\times G\times
S@>\mu_G\times 1_S>> G\times S=E. 
\end{CD}\] 

Un tel groupo\"{\i}de est dit \emph{scind\'e}.

La r\`egle ci-dessus s'\'etend en un $2$-foncteur
\[\Acg(\sX)\to \Gr(\sX).\]


\begin{ex}\label{e10.1} $\sX=Sch/K$ est la
cat\'egorie des $K$-sch\'emas (dans notre univers). Un
\emph{$K$-groupo\"{\i}de} est un objet en groupo\"{\i}des
$\Gamma=(S,E)$ dans $\sX$. Il est dit
\emph{transitif sur $S$} s'il existe
$T'$ fid\`element plat quasi-compact sur $S\times_K S$ tel que
$Hom_{S\times_K S}(T',E)\neq \emptyset$ (le champ associ\'e \`a $T\mapsto
(S(T), E(T),\beta, \sigma, \circ)$ est
alors une gerbe, \cf \cite[3.3]{de}). Il est dit \emph{unipotent} (\resp
\hbox{\emph{r\'eductif\dots})} si la restriction de $E$ \`a la diagonale
de
$S\times_K S$ est un $S$-groupe affine pro-unipotent (\resp
pro-r\'eductif\dots).

\begin{sloppypar}
Un \emph{$K$-espace homog\`ene} est un objet en actions de groupe
$(G,S)$ dans
$\sX$ telle que $G$ op\`ere transitivement sur $S$. On note 
$\Hmg(Sch/K)\subset  \Acg(Sch/K)$ la sous-cat\'egorie $2$-pleine et
$1$-pleine des $K$-espaces homog\`enes.
\end{sloppypar}

\'Etant donn\'e un objet en actions de groupe $(G,S)$ dans
$\sX$, pour que le morphisme $(\beta,\gamma)$ du $K$-groupo\"{\i}de
$\Gamma$ associ\'e par \ref{ex3} soit fpqc, il suffit que $(G,S)$ soit un
espace homog\`ene. Cela implique que $\Gamma$ est transitif sur $S$
(prendre $T'=E$ ci-dessus). Si $G$ est pro-unipotent (\resp
pro-r\'eductif\dots),
$\Gamma$ est unipotent (\resp r\'eductif\dots): en effet, la restriction
de $E$ \`a la diagonale est un sous-$S$-groupe ferm\'e du $S$-groupe
constant $G\times_K S$.
\end{ex}

\subsection{Repr\'esentabilit\'e alg\'ebrique} 

Soient $\sA$ une
$K$-cat\'egorie de Wedderburn et
$L$ une extension de
$K$. Par le corollaire \ref{C3.1.}, $\sA_L$ est encore de Wedderburn, de
radical $\sR_L=\sR\otimes L$, ce qui sugg\`ere la pr\'esence d'un
$K$-groupo\"{\i}de (au sens des sch\'emas) dont le groupo\"{\i}de
$\sG(\sA)$ du \S \ref{i1} serait le groupo\"{\i}de des $K$-points. De
m\^eme, si
$\sA$ est mono\"{\i}dale \`a radical mono\"{\i}dal, on peut esp\'erer que
le groupo\"{\i}de
$\sG^\otimes(\sA)$ du \S \ref{i2} est repr\'esentable.

Nous allons montrer que c'est bien le cas, sous une
hypoth\`ese de finitude convenable. En fait, nous allons obtenir encore
mieux.
 
\subsubsection{Le cas non mono\"{\i}dal} 

\begin{sloppypar}
\begin{thm}\label{gerbe} Soit
$Wedf\{K\}$ la sous-$2$-cat\'egorie
$1$-pleine et $2$-pleine de $Wed\{K\}$ form\'ee des cat\'egories $\sA$
telles que $\dim_K\sA(A,B)<\infty$ pour tout $(A,B)\in \sA\times\sA$.\\
a) Soit $\sA\in Wedf\{K\}$. Alors il existe un
$K$-groupo\"{\i}de affine scind\'e unipotent $\Gamma(\sA)=(E,S)$,
transitif sur
$S$, tel que pour toute extension
$L$ de $K$, on ait
$S(L)=Ob(\sG(\sA_L))$ et
$E(s_1,s_2)(L)=\sG(\sA_L)(s_1,s_2)$ pour tout couple de
sections
$(s_1,s_2)$ de $\pi_{\sA_L}$.\\
b) Cette construction provient d'un $2$-foncteur $1$-contravariant et
$2$-co\-va\-riant
\[\Delta:Wedf\{K\}\to \Hmg(Sch/K)\]
\`a valeurs dans les $K$-espaces homog\`enes unipotents, via le
$2$-foncteur
$\Hmg(Sch/K)\to
\Gr(Sch/K)$ de
\ref{ex3}.\\
c) Les $2$-foncteurs $\Delta$ et $\Gamma$ commutent \`a l'extension des
scalaires.
\end{thm}
\end{sloppypar}

\prf Compte tenu de l'hypoth\`ese de finitude, pour tout objet $A$ le
foncteur des
$K$-alg\`ebres commutatives vers les groupes
\[R \mapsto \;(1_A+ \sR(A,A)\otimes_K R, \; \circ)\]
est repr\'esentable par un $K$-sch\'ema en groupes affine unipotent
$\U^A$. Soit $\displaystyle \U_\sA=
\prod_A \U^A$ leur produit; c'est un $K$-groupe pro-unipotent,
\ie une limite projective filtrante $\lim
\U_\alpha$ de
$K$-groupes unipotents; en tant que sch\'ema, c'est juste un produit
d'espaces affines.

Pour tout couple $(A,B)$ d'objets de $\sA$, soit $Sec(A,B)$ l'ensemble
des sections $K$-lin\'eaires de la projection $\sA(A,B)\to \bar
\sA(A,B)$: il est re\-pr\'e\-sen\-ta\-ble par un $K$-espace affine
$\Sec(A,B)$. Posons $\Sec_\sA=\prod_{A,B}\Sec(A,B)$: c'est aussi un
produit d'espaces affines.

Consid\'erons le sous-sch\'ema ferm\'e de $\Sec$
\begin{multline*}
S_\sA=\{(s_{A,B})\mid \forall A,B,C\in \sA, \forall
(f,g)\in \bar\sA(A,B)\times \bar\sA(B,C),\\
s_{A,C}(g\circ f)=s_{B,C}(g)\circ s_{A,B}(f)\}.
\end{multline*}

On a une action \'evidente de $\U_\sA$ sur $S_\sA$
\begin{align*}
\mu:\U_\sA\times_K S_\sA&\to S_\sA\\
(u,s)&\mapsto usu^{-1}
\end{align*}
qui est \emph{transitive} gr\^ace au th\'eor\`eme \ref{T1} b). Notons
$\Delta(\sA)$ ce $K$-espace homog\`ene unipotent: le groupo\"{\i}de
$\Gamma(\sA)$ cherch\'e est l'image de $\Delta(\sA)$ par le foncteur de
\ref{ex3}.

Il reste \`a voir que $\Delta$ d\'efinit un $2$-foncteur. Soit $T:\sB\to
\sA$ un foncteur pleinement fid\`ele: il induit un
\'epimorphisme $\U_\sA\surj \U_\sB$ de $K$-sch\'emas affines gr\^ace au
diagramme
\[\begin{CD}
&& \displaystyle\prod_{A\in\sA}\U^A\\
&&@VVV\\
\displaystyle\prod_{B\in\sB} \U^B@>\sim>>\displaystyle\prod_{B\in \sB}
\U^{T(B)}
\end{CD}\]
et de m\^eme un \'epimorphisme $\Sec_\sA\surj
\Sec_\sB$, ce dernier envoyant $S_\sA$ dans $S_\sB$. Ces morphismes
d\'efinissent clairement un morphisme de $K$-espaces homog\`enes
$\Delta(T):\Delta(\sA)\to
\Delta(\sB)$.

Soit $T'$ un autre tel foncteur, et $u:T\Rightarrow T'$ un isomorphisme
naturel, d'o\`u un autre $\bar u:\bar T\Rightarrow \bar T'$, o\`u $\bar
T,\bar T':\bar \sB\to \bar \sA$ sont les foncteurs induits. Pour tout
$B\in \sB$ et toute section $s$ de $\pi_\sA$, l'\'el\'ement $s(\bar
u_B)^{-1} u_B$ appartient \`a $1+\sR(T(B),T(B))$: on en d\'eduit un
\'el\'ement $T^{-1}(s(\bar
u_B)^{-1} u_B)\in 1+\sR(B,B)$. Cette r\`egle d\'efinit un morphisme
\[\Delta(u):S_\sA\to \U_\sB\]
dont on v\'erifie facilement qu'il satisfait les conditions d'une
homotopie $\Delta(T)\Rightarrow \Delta(T')$.\qed

\begin{ex}\label{typehomotop} Le th\'eor\`eme \ref{gerbe} montre que,
pour deux
$K$-cat\'egories de Wedderburn $\sA$ et $\sB$ $K$-\'equivalentes, les
groupo\"{\i}des $\Gamma(\sA)$ et $\Gamma(\sB)$ ont en g\'en\'eral m\^eme
type  d'homotopie (au sens ci-dessus), mais ne sont pas
n\'e\-ces\-sai\-re\-ment isomorphes. La m\^eme remarque vaut pour les
invariants plus fins
$\Delta(\sA)$ et $\Delta(\sB)$. La remarque \ref{r3} va nous permettre de
d\'ecrire un repr\'esentant explicite du type d'homotopie de
$\Delta(\sA)$ et $\Gamma(\sA)$ lorsque $K$ est al\-g\'e\-bri\-que\-ment
clos (ou plus g\'en\'eralement parfait, si tout ind\'ecomposable de $\sA$
le reste dans $\sA^\natural$ apr\`es toute extension finie $L/K$).

Il suffit de supposer que tout objet de $\sA$ est ind\'ecomposable et que
deux objets diff\'erents sont non isomorphes. On a alors $S=\Spec K$ et
$G$ est le produit des $1+\sR(A,A)$, o\`u
$A$ d\'ecrit l'ensemble des objets de $\sA$. En particulier, le sch\'ema
des objets de $\Gamma(\sA)$ est ici r\'eduit \`a un point.
\end{ex}

\subsubsection{Le cas mono\"{\i}dal}\label{repmon}

\begin{sloppypar}
\begin{thm}\label{gerbe'} Soit $Wedf^\otimes\{K\}$ la
sous-$2$-cat\'egorie $1$-pleine et $2$-plei\-ne de $Wed^\otimes\{K\}$
form\'ee des cat\'egories
$\sA$ telles que $\dim_K\sA(A,B)<\infty$ pour tout $(A,B)\in
\sA\times\sA$.\\
a) Soit $\sA\in Wedf^\otimes\{K\}$. Alors il existe un
$K$-groupo\"{\i}de affine scind\'e unipotent
$\Gamma^\otimes(\sA)=(E^\otimes,S^\otimes)$, transitif sur
$S^\otimes$, tel que pour toute extension
$L$ de $K$, on ait
$S^\otimes(L)=Ob(\sG^\otimes(\sA_L))$ et
$E^\otimes(s_1,s_2)(L)=\sG^\otimes(\sA_L)(s_1,s_2)$ pour tout couple de
sections mono\"{\i}dales
$(s_1,s_2)$ de $\pi_{\sA_L}$.\\
b) Cette construction provient d'un $2$-foncteur $1$-contravariant et
$2$-co\-va\-riant
\[\Delta^\otimes:Wedf^\otimes\{K\}\to \Hmg(Sch/K)\]
\`a valeurs dans les $K$-espaces homog\`enes unipotents, via le
$2$-foncteur
$\Hmg(Sch/K)\to
\Gr(Sch/K)$ de
\ref{ex3}.\\
c) On a une $2$-transformation naturelle
\[\Delta^\otimes\Rightarrow\Delta\circ \Omega\] 
comme dans le sorite \ref{so6t}.\\
d) Les $2$-foncteurs $\Delta^\otimes$ et $\Gamma^\otimes$ commutent \`a
l'extension des scalaires.
\end{thm}
\end{sloppypar}


\prf On reprend les notations de la preuve du theor\`eme \ref{gerbe}.
Consid\'erons le nouvel espace de param\`etres
\[\Sec^\otimes=S\times\prod_{A,B}(1+\sR(A\bullet
B,A\bullet B)).\]

Les \'equations que doivent v\'erifier la contrainte mono\"{\i}dale
$\tilde s$ d'une section mono\"{\i}dale $s$ d\'efinissent un sous-sch\'ema
ferm\'e $S^\otimes\subset \Sec^\otimes$. Soit $\U_1$ le sous-groupe
ferm\'e de $\U$ form\'e des $(u_A)$ tels que $u_\un=1$. Le groupe
$\U_1$ op\`ere cette fois-ci sur $S^\otimes$ par la formule
\begin{align*}
\mu^\otimes:\U_1\times_K S^\otimes&\to S^\otimes\\
(u,(s,\tilde s))&\mapsto (usu^{-1},\tilde s')
\end{align*}
o\`u $\tilde s'$ est d\'efini par le diagramme \eqref{eq4}. Le
th\'eor\`eme \ref{T2} b) montre que cette action est \emph{transitive}.
D'o\`u $\Delta^\otimes(\sA)$.

On a un morphisme \'evident $\Delta^\otimes(\sA)\to \Delta(\sA)$, donn\'e
par le plongement de $\U_1$ dans $\U$ et par l'oubli des structures
mono\"{\i}dales. Ceci d\'efinit la $2$-transformation naturelle de c)
au niveau des objets (cat\'egories). Le reste se
v\'erifie facilement.\qed


\section{Sections et tressages}\label{tre}

\subsection{Tressages}\label{Tre} On renvoie \`a \cite{js} pour les 
notions de tressage et de foncteur mono\"{\i}dal tress\'e. Contentons-nous
de les rappeler bri\`evement.

Un \emph{tressage} sur une cat\'egorie mono\"{\i}dale
$(\sA,\bullet)$ est la donn\'ee, pour tout couple d'objets
$(A,B)\in\sA\times\sA$, d'un \'el\'ement
\[R_{A,B}\in \sA(A\bullet B,B\bullet A)\]
tel que le diagramme
\begin{equation}\label{pretress}\begin{CD}
A\bullet B@>f\bullet g>> C\bullet D\\
@VR_{A,B}VV @VR_{C,D}VV\\
B\bullet A@>g\bullet f>> D\bullet C
\end{CD}
\end{equation}
soit commutatif pour tous $A,B,C,D\in\sA$ et tout couple $(f,g)\in
\sA(A,C)\allowbreak\times\sA(B,D)$. On demande de plus que les $R_{A,B}$
v\'erifient les \emph{identit\'es de tressage}
\begin{align}\label{tress1}
R_{A,B\bullet C} &=a_{B,C,A}(1_B\bullet R_{A,C})a_{B,A,C}^{-1}
(R_{A,B}\bullet 1_C)a_{A,B,C}\\ 
R_{A\bullet B, C} &=a_{C,A,B}^{-1}(R_{A,C}\bullet 1_B)a_{A,C,B}
(1_A\bullet R_{B,C})a_{A,B,C}^{-1}\label{tress2}
\end{align}
o\`u $a$ est la contrainte d'associativit\'e.

On dit que le tressage $R$ est \emph{sym\'etrique} si on a de plus
l'identit\'e
\begin{equation}\label{tress3}
R_{B,A}=R_{A,B}^{-1}.
\end{equation}

Si $(\sB,\top)$ et $(\sA,\bullet)$ sont
tress\'ees, un foncteur mono\"{\i}dal $(s,\tilde
s):(\sB,\top)\to (\sA,\bullet)$ est dit
\emph{tress\'e} s'il est compatible avec les tressages. En d'autres
termes, pour tous
$A,B\in
\sB$, on demande que le diagramme
\begin{equation}\begin{CD}\label{tress}
s(A)\bullet s(B)@>\tilde s_{A,B}>> s(A\top B)\\
@VR_{s(A),s(B)} VV @Vs(R_{A,B})VV\\
s(B)\bullet s(A)@>\tilde s_{B,A}>> s(B\top A)
\end{CD}
\end{equation}
soit commutatif.

Noter que si $s$ est strict, la condition devient 
simplement $s(R_{A,B})=R_{s(A), s(B)}$.

Noter aussi qu'imposer que les tressages de $\sB$ et $\sA$ 
soient sym\'etriques
n'impose aucune condition suppl\'ementaire sur $s$ (et m\^eme en retire).
Par contre, si les tressages de $\sB$ et $\sA$ sont compatibles via $s$, et si $s$ est essentiellement
surjective, l'un est sym\'etrique si et seulement si l'autre l'est.

\subsection{Sorites}\label{11.2} Le sorite suivant compl\'emente le sorite
\ref{so1}:

\begin{sorite}\label{so4} Soit $(s,\tilde s):(\sB,\top,R)\to
(\sA,\bullet,S)$ un foncteur mono\"{\i}dal tress\'e entre deux
cat\'egories mono\"{\i}dales tress\'ees, et soit
$u:s\Rightarrow t$ un isomorphisme naturel de $s$ sur un autre foncteur
$t$. Alors l'unique structure mono\"{\i}dale $\tilde t$ sur
$t$ faisant de $u$ un morphisme de foncteurs mono\"{\i}daux (sorite
\ref{so1}) est tress\'ee.\qed 
\end{sorite}

On a aussi:

\begin{sorite}\label{so5} Tout tressage $R$ satisfait les identit\'es
\begin{align*}
R_{A,B\oplus C}&=\diag(R_{A,B},R_{A,C})\\
R_{A\oplus B,C}&=\diag(R_{A,C},R_{B,C}).
\end{align*}
\end{sorite} 

(Cela r\'esulte du sorite \ref{so0}, en consid\'erant $R$ comme une
transformation naturelle $\bullet \Rightarrow \bullet \circ T$, o\`u $T$
est l'\'echange des facteurs.)\qed

Rappelons \'egalement le sorite suivant \cite[rem. 2.3]{js}:

\begin{sorite}\label{so8} Notons $\sA^{sym}$ la cat\'egorie sym\'etrique
de $\sA$ (m\^emes objets, m\^emes morphismes mais produit d\'efini par
$A\bullet' B:=B\bullet A$, \cf \cite[I.0.1.4]{saavedra}). Alors tout
tressage $R$ sur $\sA$ d\'efinit une structure mono\"{\i}dale sur le
foncteur identique $Id_\sA:\sA^{sym}\to \sA$.\qed
\end{sorite}

Enfin:

\begin{sorite}\label{so9} Soient $(\sB,\top,R)$ une cat\'egorie
mono\"{\i}dale tress\'ee, $(\sA,\bullet)$ une cat\'egorie mono\"{\i}dale
et $(s,\tilde s):(\sB,\top)\to (\sA,\bullet)$ un foncteur mono\"{\i}dal.
Pour $A,B\in\sB$, posons
\[R^s_{A,B}=\tilde s_{B,A}^{-1}s(R_{A,B})\tilde s_{A,B}:s(A)\bullet
s(B)\to s(B)\bullet s(A).\] Soit $a$ la contrainte d'associativit\'e de
$\sA$. Alors on a les identit\'es
\begin{multline*}
(\tilde s_{B,C}\bullet 1_{s(A)})^{-1}R^s_{A,B\bullet C}(1_{s(A)}\bullet
\tilde s_{B,C}) =\\
a_{s(B),s(C),s(A)}(1_{s(B)}\bullet
R^s_{A,C})a_{s(B),s(A),s(C)}^{-1} (R_{A,B}\bullet
1_{s(C)})a_{s(A),s(B),s(C)}
\end{multline*}
\begin{multline*}
(1_{s(C)}\bullet\tilde s_{A,B})^{-1}R^s_{A\bullet B, C}(\tilde
s_{A,B}\bullet 1_{s(C)}) =\\
a_{s(C),s(A),s(B)}^{-1}(R_{A,C}\bullet
1_{s(B)})a_{s(A),s(C),s(B)} (1_{s(A)}\bullet
R^s_{B,C})a_{s(A),s(B),s(C)}^{-1}.
\end{multline*}
\qed
\end{sorite}

En d'autres termes, $R^s$ v\'erifie ``presque" les relations de tressage
\eqref{tress1} et \eqref{tress2}.

\subsection{Sections}\label{sect} Reprenons maintenant les notations et
hypoth\`eses du th\'e\-o\-r\`e\-me
\ref{T2}. Ce dernier reste muet sur la compatibilit\'e des sections
mo\-no\-\"{\i}\-da\-les
\`a un tressage \'eventuel. Nous allons voir que, dans ce cas, la
situation est tr\`es ``rigide".

Soit $R$ un tressage sur
$\sA$\footnote{On rappelle que l'hypoth\`ese de commutativit\'e des
$End(\un )$-bimodules $\sA(A,B)$ est alors automatiquement satisfaite.}.
On en d\'eduit un tressage
$\bar R=\pi_\sA(R)$ sur $\bar\sA$.

Soit $(s, \tilde s)$ une section mono\"{\i}dale de
$\pi_\sA$.

\begin{prop}\label{p9} a) Il existe un automorphisme (non mono\"{\i}dal)
$u$ de $s$ tel que, pour tout couple d'objets $A,B\in \sA$, on ait
\begin{equation}\label{eq16}
s(\bar R_{A,B})=u_{B\bullet A}^{-1}\tilde s_{B,A} R_{A,B}
(u_A\bullet u_B) \tilde s_{A,B}^{-1}.
\end{equation}
b) On a l'identit\'e
\begin{equation}\label{eq17}
s(\bar R_{B,A})s(\bar R_{A,B})=\tilde s_{A,B}R_{B,A}R_{A,B} (u_A^2\bullet
u_B^2)\tilde s_{A,B}^{-1} u_{A\bullet B}^{-2}.
\end{equation}
\end{prop}

\prf  a) En tenant compte du sorite \ref{so8}, on applique la
proposition \ref{P3'} dans la situation $\sB=\sA^{sym}$, $T=(Id_\sA,R)$,
$s_\sA=s_\sB=s$. 

b) Remarquons les
relations de commutation
\[u_{B\bullet A} s(\bar R_{A,B})=s(\bar R_{A,B}) u_{A\bullet B},\]
due au fait que $u$ est un automorphisme du foncteur $s$, et
\[R_{A,B} (u_A\bullet u_B)=(u_B\bullet u_A) R_{A,B},\]
due au fait que $R$ est un tressage. On d\'eduit alors de \eqref{eq16}
\begin{equation}\label{eq17,5}
s(\bar R_{A,B})=\tilde s_{B,A} R_{A,B}
(u_A\bullet u_B) \tilde s_{A,B}^{-1}u_{A\bullet B}^{-1}
\end{equation}
d'o\`u
\begin{multline*}
s(\bar R_{B,A})s(\bar R_{A,B})\\
=u_{A\bullet B}^{-1}\tilde s_{A,B} R_{B,A}
(u_B\bullet u_A) \tilde s_{B,A}^{-1}\tilde s_{B,A} R_{A,B}
(u_A\bullet u_B) \tilde s_{A,B}^{-1}u_{A\bullet B}^{-1}\\
=u_{A\bullet B}^{-1}\tilde s_{A,B} R_{B,A}
(u_B\bullet u_A) R_{A,B}
(u_A\bullet u_B) \tilde s_{A,B}^{-1}u_{A\bullet B}^{-1}\\
=u_{A\bullet B}^{-1}\tilde s_{A,B} R_{B,A}
R_{A,B}
(u_A^2\bullet u_B^2) \tilde s_{A,B}^{-1}u_{A\bullet B}^{-1}\\
=\tilde s_{A,B} R_{B,A}
R_{A,B}
(u_A^2\bullet u_B^2) \tilde s_{A,B}^{-1}u_{A\bullet B}^{-2}
\end{multline*}
comme annonc\'e.\qed

\begin{rems}\ \label{r5}
\begin{itemize}
\item[a)] On prendra garde au fait que les
relations de commutation apparaissant dans la preuve de la proposition
\ref{p9} a) n'ont pas de raison d'\^etre vraies en
\'echangeant $R_{A,B}$ et $s(\bar R_{A,B})$. De m\^eme, $u_{A\bullet B}$
et $u_A\bullet u_B$ n'ont pas de raison de commuter.
\item[b)] Dans le sorite \ref{so8}, la condition sur un isomorphisme
naturel $R:\bullet\Rightarrow \bullet\circ T$ de d\'efinir une structure
mono\"{\i}dale sur le foncteur identique $\sA^{sym}\to \sA$ est
\emph{plus faible} que les conditions de tressage. Il en r\'esulte que
l'automorphisme $u$ n'est pas arbitraire: il v\'erifie deux conditions
suppl\'ementaires du type ``cross-effects" non commutatifs d'ordre 3, qui
reviennent \`a dire que la fonction $A\mapsto u_A$ est ``de degr\'e
$\le 2$" pour la structure mono\"{\i}dale. Nous laissons au lecteur le
soin d'expliciter ces relations, que nous n'utiliserons pas.
\end{itemize}
\end{rems}

\begin{prop} \label{p10} Pour  une section mono\"{\i}dale $(s,\tilde s)$,
les conditions sui\-van\-tes sont \'equivalentes:
\begin{thlist}
\item $\bar R^s$ est un
tressage (notation du sorite \ref{so9}).
\item Il existe un
automorphisme (non mono\"{\i}dal) $v$ de $Id_\sA$ tel qu'on ait, pour $u$
comme dans la proposition \ref{p9}, l'identit\'e 
\[(u_A\bullet u_B)\tilde s_{A,B}^{-1} u_{A\bullet B}^{-1} \tilde
s_{A,B}=(v_A\bullet v_B)v_{A\bullet B}^{-1}.\]
\end{thlist}
Si ces conditions sont v\'erifi\'ees, le tressage $\bar R^s$ ne
d\'epend pas du choix de $s$: pour un choix de
$v$ comme dans {\rm (ii)}, il est donn\'e par la formule
\[\tilde R_{A,B}=R_{A,B} (v_A\bullet v_B)v_{A\bullet B}^{-1}.\]
\end{prop}

\prf En utilisant la formule \eqref{eq17,5}, on obtient l'identit\'e
\[R_{A,B}^{-1}\bar R^s_{A,B}
=(u_A\bullet u_B) \tilde s_{A,B}^{-1} u_{A\bullet B}^{-1} \tilde
s_{A,B}.\]

Si (i) est v\'erifi\'e, le premier membre de cette identit\'e d\'efinit
une structure mono\"{\i}dale sur $Id_\sA:\sA^{sym}\to \sA^{sym}$ couvrant
la structure mono\"{\i}dale triviale sur $Id_{\bar \sA}$. (ii) r\'esulte
alors de la proposition \ref{t3}. Pour la r\'eciproque, remarquons que
l'identit\'e de (ii) implique que $\bar R^s$ fait commuter le diagramme
\eqref{pretress} pour tous morphismes de $\sA$. En particulier, dans le
sorite \ref{so9} le premier membre des deux identit\'es se r\'eduit
respectivement \`a $\bar R^s_{A,B\bullet C}$ et \`a $\bar R^s_{A\bullet
B,C}$: $\bar R^s$ est donc bien un tressage.

Soit $(t,\tilde t)$ une autre section mono\"{\i}dale. D'apr\`es
le th\'eor\`eme \ref{T2} b), $s$ et $t$ sont mono\"{\i}dalement
conjugu\'ees. En d'autres termes, il existe une famille $(v_A)$
conjuguant $s$ et $t$ et v\'erifiant l'identit\'e
\[v_{A\bullet B}\tilde s_{A,B}=\tilde t_{A,B} v_A\bullet v_B.\]

On a alors
\[\bar R^t_{A,B}=(v_B^{-1}\bullet v_A^{-1})\bar R^s_{A,B}(v_A\bullet
v_B).\]

Ainsi, si $\bar R^s$ est un tressage, on a $\bar R^t=\bar R^s$.

La derni\`ere assertion est claire \`a partir de la formule
\eqref{eq17,5}.\qed

Nous ne connaissons pas de crit\`ere pour que les conditions de la
proposition \ref{p10} soient v\'erifi\'ees, \`a l'exception d'un cas:
celui o\`u le tressage r\'esiduel $\bar R$ est \emph{sym\'etrique}.
Rappelons la d\'efinition suivante \cite[\S 6]{js}:

\begin{sloppypar}
\begin{defn}\label{d4} Une \emph{structure balanc\'ee} sur une cat\'egorie
mono\"{\i}dale tress\'ee $(\sA,\bullet,R)$ est un automorphisme
$\theta=(\theta_A)_{A\in \sA}$ du foncteur identique de $\sA$ v\'erifiant
l'identit\'e
\[
R_{B,A}R_{A,B}=(\theta_A\bullet \theta_B)\theta_{A\bullet
B}^{-1}.
\]
 \end{defn}
\end{sloppypar}

\begin{thm}\label{t4} Soit $(\sA,\bullet, R)$ une cat\'egorie
mono\"{\i}dale tress\'ee. On suppose que le radical est un id\'eal
mono\"{\i}dal, et on note $(\bar\sA,\bullet, \bar R)$ la cat\'egorie
mono\"{\i}dale tress\'ee obtenue en quotientant par le radical.\\ a) Si
$\bar R$ est sym\'etrique, $R$ est balanc\'e via un automorphisme
$\theta$ v\'erifiant $\pi_\sA(\theta)=1$.\\ b) Si de plus $\car K\ne 2$,
les conditions de la proposition \ref{p10} sont v\'e\-ri\-fi\'ees. Le
tressage $\tilde R$ correspondant est l'unique tressage sym\'etrique de
$\sA$ tel que
\begin{thlist}
\item $\pi_\sA(\tilde R)=\bar R$;
\begin{sloppypar}
\item $(Id_\sA,\tilde R)$ est mono\"{\i}dalement isomorphe \`a
$(Id_\sA,R)$ (\cf sorite \ref{so8}).
\end{sloppypar}
\end{thlist} 
c) Si de plus $R$ est sym\'etrique, on a
$s(\bar R)=R$ pour toute section mono\"{\i}dale $s$.
\end{thm}

\prf a) On applique la proposition \ref{t3} au foncteur mono\"{\i}dal
$(Id_\sA, R_{A,B}R_{B,A})$.

b) L'identit\'e \eqref{eq17} de la proposition \ref{p9} donne une
nouvelle identit\'e
\[(\theta_A\bullet \theta_B)\theta_{A\bullet
B}^{-1}=\tilde s_{A,B}^{-1} u_{A\bullet
B}^2\tilde s_{A,B} (u_A^{-2}\bullet u_B^{-2}).\]

Comme $\car K\ne 2$, l'\'el\'evation au carr\'e est bijective dans
$1+\sR$. En particulier,
$\theta$ a une unique racine carr\'ee $v$. Comme $\theta_{A\bullet B}$ et
$\theta_A\bullet\theta_B$ sont centraux dans $\sA(A\bullet B)$, $\tilde
s_{A,B}^{-1} u_{A\bullet B}^2\tilde s_{A,B}$ et $(u_A^{-2}\bullet
u_B^{-2})$ commutent. On a donc
\[(v_A\bullet v_B)v_{A\bullet
B}^{-1}=\tilde s_{A,B}^{-1} u_{A\bullet
B}\tilde s_{A,B} (u_A^{-1}\bullet u_B^{-1})\]
ce qui n'est autre que la condition (iii) de la proposition
\ref{p10}. 

Ceci d\'emontre que $\tilde R$ v\'erifie les conditions (i) et
(ii) du th\'eor\`eme. Pour voir l'unicit\'e, soit $\tilde R'$ un autre
tressage sym\'etrique v\'erifiant ces conditions. En particulier,
$(Id_\sA,\tilde R')$ est mono\"{\i}dalement isomorphe \`a $(Id_\sA,\tilde
R)$. Il existe donc $\mu\in 1+\sR$ tel que
\[\tilde R'_{A,B}=\tilde R_{A,B}\mu_{A\bullet B}(\mu_A^{-1}\bullet
\mu_B^{-1})\]
pour tout couple d'objets $(A,B)$. La sym\'etrie de $\tilde R$ et de
$\tilde R'$ donne maintenant l'identit\'e
\[\mu_{A\bullet B}^2=\mu_A^2\bullet\mu_B^2.\]

En en prenant la racine carr\'ee, on trouve bien que $\tilde R'=\tilde R$.

c) Cela r\'esulte de la derni\`ere assertion de la proposition
\ref{p10}.\qed

\begin{ex}\label{ex4} 
\begin{sloppypar}
Consid\'erons la quantification de Drinfeld-Cartier $\bar\sA[[h]]$
d'une cat\'e\-gorie mono\"{\i}dale stricte sym\'etrique
$\bar\sA$ munie d'un ``tressage infinit\'esimal" $t_{A,B}$, \cf \cite[ch.
9]{krt}. Rappelons seulement que $\bar\sA[[h]]$ a les m\^emes objets que
$\bar\sA$, et que
$\bar\sA[[h]](A,B)=(\bar\sA(A,B))[[h]]$; le tressage de
$\bar\sA[[h]]$ est de la forme
$R_{A,B}=\bar R_{A,B}\exp(\frac{h}{ 2} t_{A,B})$ (et la contrainte 
d'associativit\'e est construite \`a partir de
$t_{A,B}$ au moyen d'un associateur de Drinfeld).  En g\'en\'eral ce
tressage n'est pas
sym\'etrique, m\^eme modulo
$h^2$. Toutefois, le th\'eor\`eme \ref{t4} b) montre par un passage
\`a la limite que $(\bar \sA[[h]],R)$ admet une structure balanc\'ee, et
m\^eme que $\bar \sA[[h]]$ admet \emph{un unique tressage sym\'etrique
$\tilde R$} se r\'eduisant en
$\bar R$ et tel que
$(Id,\tilde R)$ soit mono\"{\i}dalement isomorphe \`a $(Id,R)$ dans le
cadre du sorite \ref{so8}. 

En particulier il n'est pas n\'ecessaire de supposer
l'existence de duaux dans $\bar \sA$ pour construire une structure
balanc\'ee sur $R$, comme dans \cite{cartier}.
\end{sloppypar}
\end{ex}

\begin{rem} Il est probable que les parties b) et c) du th\'eor\`eme sont
 fausses en caract\'eristique 2. Il serait int\'eressant d'exhiber
un contre-exemple.
\end{rem}
 
 \subsection{Compl\'ements}
Pour finir, examinons de plus pr\`es le d\'efaut de validit\'e des
conditions de la proposition \ref{p10} et le d\'efaut de commutation du
diagramme
\eqref{tress}. On pose $u_{A,B}=R_{A,B}^{-1}(\tilde
s_{B,A})^{-1}s(\bar  R_{A,B})\tilde s_{A,B}$
et $n_{A,B}=1_{A\bullet B}-u_{A,B}$. On a $n_{A,B}\in C_s^1(AB)$
(\cf \S \ref{prb} pour la notation).

Soient
\begin{align*}
e&= e(R)=\sup\{r\mid n_{A,B}\in C_s^r(A B)\text{ pour tout } (A,B)\in
\sA\times \sA\}\\
\bar e&=\bar e(\bar R)=\sup\{r\mid [1_A\bullet m_B+m_A\bullet
1_B,n_{A,B}]\in \sR(A\bullet B)^r\\
&\text{ pour tout } (A,B)\in
\sA\times \sA \text{ et tout } (m_A,m_B)\in \sR(A,A)\times
\sR(B,B)\}.
\end{align*}

Notons $\bar n_{A,B}$ l'image de $n_{A,B}$ dans $C^{[e]}(A
B)$ (notation du \S \ref{prb}).

\begin{prop}\label{ab} a) L'\'el\'ement $e=e(R)\in 
\N\cup\{\infty\}$ et les \'el\'ements $\bar n_{A,B}$ de
$C^{[e]}(AB)$ ne d\'ependent pas du choix de $s$: ils ne d\'ependent
que de $R$. Si $\sA$ est stricte, on a les
identit\'es
\begin{align}\label{eq5}
\bar n_{A,B\bullet C} &= (\bar R_{A,B}\bullet 1_C)^{-1}(1_B\bullet
\bar n_{A,C})(\bar R_{A,B}\bullet 1_C) + \bar n_{A,B}\bullet 1_C\\
\bar n_{A\bullet B,C} &= (1_A\bullet \bar R_{B,C})^{-1}(\bar
n_{A,C}\bullet 1_B) (1_A\bullet \bar R_{B,C}) + 1_A\bullet
\bar n_{B,C}\label{eq6}\\
\intertext{la seconde pouvant aussi s'\'ecrire}
\bar n_{A\bullet B,C} &= (\bar R_{B,A}\bullet 1_C)(1_B\bullet \bar n_{A,C})(\bar R_{B,A}\bullet
1_C)^{-1} + 1_A\bullet
\bar n_{B,C}.\label{eq6bis}
\end{align} 
b) L'\'el\'ement $\bar e\in \N\cup\{\infty\}$ ne d\'epend
pas du choix de $s$: il ne d\'epend que de $\bar R$. On a $\bar e>e$,
et $\bar e=\infty$ si et seulement si les conditions de la proposition
\ref{p10} sont v\'erifi\'ees.\\ 
c) Soit $T: (\sA',\bullet, R')\to (\sA,\bullet, R)$ un foncteur 
mono\"{\i}dal strict tress\'e radiciel (avec
$(\sA',\bullet)$ stricte). Alors $e(R')\leq e(R)$.
\end{prop}

\prf $a)$ Soit $s'$ une autre section mono\"{\i}dale. D'apr\`es le
th\'e\-o\-r\`e\-me
\ref{T2} b), $s$ et $s'$ sont conjugu\'ees par une famille $(v_A)_{A\in
\sA}$ d'\'e\-l\'e\-ments de $1+\sR(A)$ v\'erifiant l'identit\'e
$(v_{A\bullet B})\tilde s_{A,B}=\tilde t_{A,B}(v_A\bullet v_B)$. Si on
note
$u'_{A,B}=R_{A,B}^{-1}(\tilde
s'_{B,A})^{-1}s'(\bar R_{A,B})\tilde s'_{A,B}$, on en d\'eduit
l'identit\'e
\[u'_{A,B}=(v_A\bullet v_B) u_{A,B} (v_A\bullet v_B)^{-1}.\]

Si on pose $n'_{A,B}=1_{A\bullet B}-u'_{A,B}$, cette identit\'e implique
d'abord que $n'_{A,B}\in \sR(A\bullet B)^e$, ensuite que
que
$n'_{A,B}\equiv n_{A,B}\pmod{\sR(A\bullet B)^{e+1}}$, et enfin que
son image $\mod{\sR(A\bullet
B)^{e+1}}$ est dans $C^{[e]}(AB)$.

Pour \'etablir
\eqref{eq5} et
\eqref{eq6}, on peut supposer $s$ stricte
par le point $c)$ de la proposition
\ref{p5}.
En appliquant $s$ \`a \eqref{tress1} et \eqref{tress2}, on obtient les
identit\'es
\begin{align*}
s(\bar R_{A,B\bullet C}) &=(1_B\bullet s(\bar R_{A,C}))
(s(\bar R_{A,B})\bullet 1_C)\\
s(\bar R_{A\bullet B, C}) &=(s(\bar R_{A,C})\bullet 1_B)
(1_A\bullet s(\bar R_{B,C})).
\end{align*}
   On en d\'eduit
\begin{align*}
u_{A,B\bullet C} &=(R_{A,B}\bullet 1_C)^{-1}(1_B\bullet
u_{A,C})(R_{A,B}\bullet 1_C) (u_{A,B}\bullet 1_C)\\
u_{A\bullet B, C}&=(1_A\bullet R_{B,C})^{-1}(u_{A,C}\bullet 1_B)
(1_A\bullet R_{B,C})(1_A\bullet u_{B,C})
\end{align*}

\begin{sloppypar}
Les identit\'es \eqref{eq5} et \eqref{eq6} s'en d\'eduisent facilement.
En utilisant l'identit\'e $R_{B,A\bullet C} =(1_A\bullet R_{B,C})
(R_{B,A}\bullet 1_C)$ et l'\'egalit\'e $n_{A,C}\bullet 1_B=\bar
R_{B,A\bullet C}(1_B\bullet \bar n_{A,C})\bar R_{B,A\bullet C}^{-1}$, on
peut r\'e\'ecrire le premier terme du membre de droite de
\eqref{eq6}:
\[(\bar R_{B,A}\bullet 1_C)(1_B\bullet \bar n_{A,C})(\bar R_{B,A}\bullet
1_C)^{-1}.
\]
\end{sloppypar}


$b)$ r\'esulte facilement des calculs de $a)$.

$c)$ Soit $s$ (\resp $s'$) une section
mono\"{\i}dale stricte de
$\pi_{\sA}$ (\resp $\pi_{\sA'}$) (il en existe d'apr\`es la 
proposition \ref{p5}). Posons
 \[u_{T(A),T(B)}=(R_{T(A),T(B)})^{-1} s(\bar R_{T(A),T(B)}),\;
u'_{A,B}=(R'_{A,B})^{-1} s'(\bar R'_{A,B}) .\]
  
D'apr\`es la proposition \ref{P3'}, $Ts'$ et $s\bar T$ sont
conjugu\'ees par une famille
$(w_A)_{A\in \sA'}$
d'\'el\'ements de $1+\sR(T(A))$ v\'erifiant l'identit\'e
\[w_{A\bullet B}=w_A\bullet w_B.\]

   On d\'eduit de ces formules que
\[Tu'_{A,B}=(w_A\bullet w_B) u_{T(A),T(B)} (w_A\bullet w_B)^{-1}.\]
d'o\`u il est ais\'e de conclure.\qed


\begin{rem} \label{rdc} Les identit\'es \eqref{eq5} et \eqref{eq6} ne sont
autres que les relations de tressage
infinit\'esimales de Drinfeld-Cartier (\cf \cite[ch. 9]{krt}),
v\'e\-ri\-fi\'ees par $ht_{A,B}$ de l'exemple
\ref{ex4}. Toutefois, $\bar n_{A,B}$ est ``antisym\'etrique" si $R$
est sym\'etrique, alors que $ht_{A,B}$ est ``sym\'etrique" dans la
quantification de Drinfeld-Cartier.
\end{rem}

\section{Premi\`ere application: cat\'egories de Kimura}

\subsection{} Rappelons (d\'efinition \ref{defki}) qu'une cat\'egorie de Kimura sur un corps
de caract\'eristique nulle $K$ est une cat\'egorie $K$-lin\'eaire
mono\"{\i}dale sym\'etrique rigide, v\'erifiant $End(\un)=K$,
pseudo-ab\'elienne, et dont tout objet est de dimension finie au sens de
Kimura. 

\begin{thm}\label{kimsplit} Soit $\sA$ une cat\'egorie de Kimura, de radical $\sR$. Alors\\
a) Le foncteur de projection $\sA\to \sA/\sR$ admet des sections
mono\"{\i}dales, qui envoient le tressage r\'esiduel $\bar R$ de
$\sA/\sR$ sur le tressage $R$ de $\sA$. Deux telles sections sont
mono\"{\i}dalement conjugu\'ees.\\ 
b) Soit $R'$ la contrainte de commutativit\'e de
$\sA/\sqrt[\otimes]{0}$ modifi\'ee
\`a l'aide de la $\Z/2$-graduation canonique de $\sA/\sqrt[\otimes]{0}$
(\cf th\'eor\`eme \ref{tkim.1}). Par ailleurs, soit $\pi_A^+\in
\sA/\sqrt[\otimes]{0}(A,A)$ l'idempotent (central) associ\'e
canoniquement \`a tout objet $A$ de $\sA$ (ibid.) Notons $\bar R'$ et
$\bar
\pi_A^+$ leurs images dans $\sA/\sR$. Alors, pour toute section
mono\"{\i}dale $s:\sA/\sR\to \sA$ comme en a),
\begin{thlist}
\item  L'image de $s(\bar R')$ (\resp de $s(\bar\pi_A^+)$ pour tout $A$)
dans
$\sA/\sqrt[\otimes]{0}$ est \'egale \`a $R'$ (\resp \`a $\pi_A^+$).
\item La famille des $s(\bar\pi_A^+)$ d\'efinit une $\Z/2$-graduation sur
$\sA$, dont le tressage modifi\'e associ\'e est $s(\bar R')$. Pour ce
tressage sy\-m\'e\-tri\-que, la ca\-t\'e\-go\-rie $\sA$ reste rigide et la
dimension de tout objet $A$ est \'egale \`a $\kim A$; en particulier,
c'est un entier $\ge 0$.
\end{thlist}
\end{thm}

\prf a) r\'esulte des th\'eor\`emes \ref{T2} et \ref{t4}, appliqu\'es \`a
$\sA$ en vertu du th\'eor\`eme \ref{tctki}. De m\^eme, b) r\'esulte des
m\^emes r\'ef\'erences, appliqu\'ees \`a $\sA/\sqrt[\otimes]{0}$ munie
de $R'$, en notant que la donn\'ee de $R'$ est \'equivalente \`a celle de
($R$ et) des $\pi_A^+$.\qed

 \begin{thebibliography}{II}
\addtocounter{enumiv}{30}

\bibitem{cartier} P. Cartier, {\it Construction combinatoire des
invariants de Vassiliev-Kontsevich des n\oe uds}, C. R. Acad. Sci. Paris
{\bf 316} (1993), 1205--1210.

\bibitem{js} A. Joyal, R. Street, {\it Braided monoidal categories}, Adv.
in Math. {\bf 102} (1993), 20--78.

\bibitem{krt} C. Kassel, M. Rosso, V. Turaev, Quantum groups and knot
invariants, S.M.F. Panoramas et synth\`eses {\bf 5} (1997).

\end{thebibliography}

\newpage

\addtocontents{toc}{{\bf IV. Enveloppes}\hfill\thepage}
\
\bigskip
\begin{center} \large\bf IV. Enveloppes
\end{center}
\bigskip

Dans cette partie, on expose quelques applications ``concr\`etes" des
th\'eo\-r\`e\-mes de scindage de la partie pr\'ec\'edente \`a la
th\'eorie des repr\'esentations ind\'ecomposables des alg\`ebres
artiniennes et des groupes alg\'ebriques li\-n\'e\-ai\-res. Dans ce
dernier cas, le r\'esultat-cl\'e \ref{t1} est une vaste
g\'en\'eralisation du th\'eor\`eme classique de
Jacobson-Morosov-Kostant.  


\section{Le cas non mono\"{\i}dal: enveloppes
pro-semi-simples}\label{compl}

Dans cette section, nous tirons les fruits du th\'eor\`eme \ref{T1}; elle
peut \^etre consid\'er\'ee comme un \'echauffement pr\'eparatoire aux
sections suivantes.

\subsection{Enveloppes pro-semi-simples} \label{12.1}
Soient $\sA$ une petite $K$-ca\-t\'e\-gorie et $\pi_\sA: \sA \to \bar\sA$
le foncteur de projection sur le quotient de
$\sA$ par son radical. On a alors un foncteur canonique 
\[\bar\sA\hbox{--}Modf \to \sA\hbox{--}Modf\] 
entre cat\'egories de modules \`a gauche de $K$-dimension finie (nous
dirons bri\`evement: $K$-finis), induit par $M\mapsto M\circ \pi_\sA$,
\cf d\'efinition
\ref{D2 1/2}. Ce foncteur est pleinement fid\`ele (du fait que $\pi_\sA$
est plein et surjectif). Il en est de m\^eme du foncteur compos\'e avec
$\pi_{\sA{\hbox{--}}Mod}$ 
\[\bar\sA\hbox{--}Modf \to
\overline{\sA{\hbox{--}}Modf}\]
si $\bar\sA$-$Mod$ est ab\'elienne
semi-simple\footnote{Il y a lieu \'eventuellement de prendre un second
univers pour ne travailler qu'avec de petites cat\'egories.}.

Prenons pour $\sA$ une alg\`ebre $A$ (associative unitaire) sur un corps
$K$ {\it parfait}. On a le foncteur d'oubli, fid\`ele et exact
\[\omega:A\hbox{--}Modf \to  Vec_K.\]

La situation ne change pas si l'on
remplace $A$ par sa compl\'etion profinie (compl\'etion eu \'egard aux
id\'eaux bilat\`eres de $K$-codimension finie). On peut donc la supposer,
et on la supposera, profinie, ce qui permet d'\'enoncer:

\begin{lemme} Si $A$ est profinie, le quotient $\bar A$ de $A$ par son
radical est semi-simple (profinie, non n\'ecessairement de
$K$-dimension finie). A fortiori, le foncteur
\[\bar A\hbox{--}Modf \to  A\hbox{--}Modf\] 
est pleinement fid\`ele.  
\end{lemme} 

\prf \'Ecrivons $A$ comme limite projective filtrante $\lim A_\alpha$ \`a
fl\`e\-ches de transition surjectives. Comme un
\'el\'ement inversible de
$A$ s'identifie \`a une collection d'\'el\'ements inversibles
compatibles de $A_\alpha$, on obtient, en revenant
\`a la d\'efinition des radicaux, que le radical $R$ de $A$ est la
limite $\lim R_\alpha$ des radicaux de
$A_\alpha$. On a alors un plongement $A/R \inj  \lim (A_\alpha/R_\alpha)$, le compos\'e avec la
projection sur chaque alg\`ebre semi-simple $A_\alpha/R_\alpha$ \'etant
surjective. Comme $A/R$ est profinie ($R$
\'etant un id\'eal ferm\'e), cette injection est donc un isomorphisme,
d'o\`u le r\'esultat.\qed

On sait que $A\hbox{--}Modf$ est une $K$-cat\'egorie de Wedderburn
(proposition \ref{Pwed}). On peut donc appliquer le th\'eor\`eme
\ref{T1}, et obtenir une section fonctorielle $s: 
\overline{A\hbox{--}Modf}\to  A\hbox{--}Modf$, deux telles sections
\'etant conjugu\'ees.    

D'apr\`es \cite[II.2.6.3]{saavedra} ou
\cite[2.2]{serre}, il existe une $K$-{\it alg\`ebre pro-semi-simple} $A_s$,
non n\'ecessairement de $K$-dimension finie,  telle que le compos\'e
$\omega\circ s$ induise une \'equivalence de cat\'egories  $
\overline{A{\hbox{--}}Modf}\to  A_s\hbox{--}Modf$, et un
homomorphisme
$A\to A_s$. 
 
On rappelle qu'\'etant donn\'e un
homomorphisme $f: A'\to A$ de $K$-alg\`ebres profinies et le foncteur
associ\'e $f^\ast:A\hbox{--}Modf\to A'\hbox{--}Modf$, on a  (\cf
\cite[II.2.6.3]{saavedra}  pour l'\'enonc\'e dual):
\begin{itemize}
\item $f$ est surjectif si et seulement si $f^\ast$ est pleinement
fid\`ele, et pour tout $A$-module $K$-fini $M$, tout sous-objet de
$f^\ast(M)$ provient d'un sous-objet de $M$;
\item $f$ est injectif si et seulement si tout $A'$-module  $K$-fini
$M'$ est sous-quotient d'un module de la forme $f^\ast(M)$. 
\end{itemize}
 
En particulier, le morphisme
$A\to A_s$ est une injection. Comme deux sections $s$ sont
conjugu\'ees, $A_s$ est bien d\'efinie \`a isomorphisme pr\`es. Il
d\'ecoule par ailleurs du lemme pr\'ec\'edent, et de {\it loc. cit.}, que
l'on a une surjection $A_s\to A/R$. 

\medskip On peut consid\'erer $A_s$ comme une ``enveloppe pro-semi-simple"
de l'al\-g\`e\-bre profinie $A$: d'apr\`es le lemme
\ref{l2}, \emph{les classes d'isomorphismes de $A$-modules
ind\'ecomposables sont en bijection avec les classes d'isomorphismes de
$A_s$-modules simples.}  

Cette bijection est donn\'ee de la mani\`ere suivante: \`a tout
in\-d\'e\-com\-po\-sa\-ble $M$ dans $A$-$Modf$, on peut donner une
structure de $A_s$-module \'etendant celle de $A$-module. On le note
alors $M_s$; il est simple, et $End_{A_s}M_s$ est le corps gauche
$\overline{End_A(M)}=End_A M/\rad(End_A M)$. 

L'alg\`ebre pro-semi-simple $A_s$ est semi-simple, \ie de dimension
finie sur $K$, si et seulement si $A$ est \emph{de type de
repr\'esentation fini}. Dans ce cas, si
$M_\alpha$ parcourt un syst\`eme de repr\'esentants des classes
d'isomorphismes de $A$-modules ind\'ecomposables $K$-finis,
notons $n_\alpha$ la dimension de $M_\alpha$ sur le corps gauche
$D_\alpha=\overline{End_A(M_\alpha)}$. On a $A_s\cong \prod_\alpha
M_{n_\alpha}(D_\alpha^{\rm o})$.  

\begin{rems}\label{prof}\
\begin{itemize}
\item[a)] D'apr\`es \cite[2.17]{de}, toute $K$-cat\'egorie ab\'elienne
dont tout objet est de longueur finie, dont toute alg\`ebre
d'endomorphismes est de $K$-dimension finie, et admettant un
g\'en\'erateur, est
\'equivalente \`a une cat\'e\-go\-rie $A\hbox{--}Modf$ pour une
$K$-alg\`ebre $A$ convenable de dimension finie sur
$K$. 
\item[b)] Pour l'alg\`ebre profinie $A=K[[T_1,\dots, T_n]]$, la
cat\'egorie 
$A\hbox{--}Modf$ est naturellement \'equivalente \`a la cat\'egorie
$Rep_K(\bG_a^n)$ des repr\'esentations de dimension finie du groupe
vectoriel $\bG_a^n$. En effet, la cog\`ebre duale de $A$ s'identifie
naturellement
\`a la cog\`ebre sous-jacente \`a la big\`ebre affine $\sO(\bG_a^n)$, et
on conclut par \cite[3]{serre}. 
\item[c)] Soit $\sJ$ l'id\'eal de $\sA=A$-$Modf$ form\'e des morphismes
qui se factorisent \`a travers un objet projectif de $A$-$Modf$. Le
quotient $\sA/\sJ$ s'appelle la cat\'egorie {\it stable} des 
$A$-modules finis, \cf
\cite[p.23]{be}, et se note $A\hbox{--}\underline{Modf}$. On a un
diagramme commutatif 
\[\begin{CD} A\hbox{--}Modf@>pr>>A\hbox{--}\underline{Modf} \\
@VVV@VVV\\
\overline{A\hbox{--}Modf} @>\overline{pr}>>
\overline{A\hbox{--}\underline{Modf}}.  
\end{CD}\]

Le foncteur du bas $\overline{pr}$ est un foncteur plein surjectif entre
cat\'egories semi-simples, donc admet une section. En fait, on peut
partitionner les classes d'isomorphismes d'objets simples de
$\overline{A\hbox{--}Modf} $ en deux ensembles: les projectifs ($P$) et
les autres ($NP$); $\overline{pr}$ envoie les objets dans $P$ sur $0$, et
la restriction de $\overline{pr}$
\`a la sous-cat\'egorie
$K$-lin\'eaire pleine de $\overline{A\hbox{--}Modf} $ engendr\'ee par
les objets dans $NP$ est une
\'e\-qui\-va\-len\-ce de cat\'egories. On en d\'eduit que
$\overline{A\hbox{--}\underline{Modf}}\cong 
\underline{A_s}\hbox{--}Modf $ pour un quotient $\underline{A_s}$ de $A_s$ ``correspondant" \`a $NP$. On peut
alors former le ``push-out" $A'=\underline{A_s}\times^{A_s}\,A/R$.

Auslander a conjectur\'e que si $A$ et $B$ sont deux $K$-alg\`ebres de
dimension finie telles que $A\hbox{--}\underline{Modf} $ et
$B\hbox{--}\underline{Modf} $ sont \'equi\-valentes (\'equi\-va\-lence de
Morita stable), alors il y a le m\^eme nombre de modules simples
non-projectifs sur $A$ et sur $B$, \cf
\cite[p.223]{be}. Cela \'equivaut donc \`a dire que les alg\`ebres
push-out $A'$ et $B'$ sont Morita-\'equivalentes.  

\begin{sloppypar}
Rappelons d'autre part que si $A$ est de dimension globale finie (au
sens de \cite{ce}), on peut lui associer une $K$-alg\`ebre $\hat A$ dite
r\'ep\'etitive (de dimension infinie sur $K$), et une \'equivalence de
cat\'egories
\[ D^b(A\hbox{--}Modf)\to {\hat A\hbox{--}\underline{Modf}}\] 
\cf \cite[5]{ringel}, \cite{happel}; on peut d'ailleurs replacer $\hat
A$ par sa compl\'etion pro\-fi\-nie. Ce qui pr\'ec\`ede permet alors de
``d\'ecrire" le quotient de $D^b(A\hbox{--}Modf)$ par son radical.
\end{sloppypar}
\end{itemize}
\end{rems}

\subsection{Lien avec l'alg\`ebre d'Auslander.}\label{12.2} L'alg\`ebre
d'Auslander d'une $K$-alg\`ebre $A$ est 
\[{\bf Aus}(A):= End_A(\bigoplus_\alpha M_\alpha ),\]
o\`u $M_\alpha$ parcourt un syst\`eme (en g\'en\'eral infini) de
repr\'esentants des classes d'isomorphismes de $A$-modules
ind\'ecomposables $K$-finis. Lorsque $A$ est de dimension
finie sur $K$, elle partage avec $A_s$ la propri\'et\'e que \emph{les
classes d'isomorphismes de $A$-modules ind\'ecomposables sont en bijection
avec les classes d'isomorphismes de
${\bf Aus}(A)$-modules simples}, \cf \cite[4.9.5]{be}.    

\begin{sloppypar}
Cette bijection est la suivante: \`a tout ind\'ecomposable $M$ dans
$A\hbox{--}Modf$, on associe le ${\bf Aus}(A)$-module simple
$S_M:=\overline{End_A(M)}$.
 En tant que $K$-alg\`ebre, $\overline{End_A(M)}$ s'identifie \`a
$End_{{\bf Aus}(A)}S_M$ ({\it loc. cit.}).   
\end{sloppypar}

L'alg\`ebre ${\bf Aus}(A)$ est de dimension finie sur $K$ si et
seulement si $A$ est de type de repr\'esentation fini. Dans ce cas,
\[\overline{{\bf Aus}(A)}:= {\bf Aus}(A)/\rad({\bf Aus}(A))=
\prod_\alpha D_\alpha.\]

Ainsi, $\overline{{\bf Aus}(A)}$ est \emph{Morita-\'equivalente} \`a
$A_s$\footnote{$\overline{{\bf Aus}(A)}$ s'identifie d'ailleurs au
quotient par son radical de l'alg\`ebre des chemins du carquois
d'Auslander-Reiten de $A$ dont il a \'et\'e question au \S \ref{radinf},
\cf \eg
\cite[4.1.11]{be}.}.

\subsection{Cas des alg\`ebres h\'er\'editaires}\label{12.3} Rappelons
qu'une
$K$-alg\`ebre est dite {\it h\'er\'editaire} (\`a gauche) si les
conditions \'equivalentes suivantes sont sa\-tis\-fai\-tes \cf
\cite[I.5]{ce}:
\begin{itemize}
\item tout id\'eal \`a gauche est projectif,
\item tout sous-module d'un module projectif (\`a gauche) est projectif.
\end{itemize}

C'est une condition Morita-invariante.
 
\medskip Supposons pour simplifier $K$ al\-g\'e\-bri\-que\-ment clos et
$A$ de dimension finie sur $K$, minimale dans sa classe d'\'equivalence
de Morita (ce qui revient \`a dire que $\bar A = A/R$ est commutative).
Alors $A$ est h\'er\'editaire si et seulement si $A=K\vec{\Delta}$ est
l'alg\`ebre des chemins d'un carquois fini $\vec{\Delta}$ (et sans boucle
orient\'ee), \cf
\cite[4.2]{be}, \cite[6]{cq}. 
Un $A$-module n'est donc rien d'autre qu'une repr\'esen\-ta\-tion
$K$-lin\'eaire de $\vec{\Delta}$, et $A$ s'identifie en fait \`a
l'alg\`ebre tensorielle sur un $\bar A$-bimodule fini, \cf \cite[6]{cq}.  

\medskip Supposons en outre $A$ de type de repr\'esentation fini et
connexe. Alors par le th\'eor\`eme de Gabriel (\cf \cite[4.7.6]{be},
\cite[2.9]{rowen}), le graphe non-orient\'e ${\Delta}$ sous-jacent \`a
$\vec{\Delta}$ est un diagramme de Dynkin des s\'eries ADE. En outre, les
ind\'ecomposables
$M_\alpha$ sont en bijection avec les racines positives, et les
$n_\alpha$ ne sont autres que leurs ``longueurs" respectives (somme des
coefficients dans la base de racines standard). Cela d\'etermine
$A_s$ dans ce cas.        
 
Voici deux exemples. Soit d'abord $A$ la $K$-alg\`ebre des matrices
triangulaires sup\'erieures de taille $n$. C'est l'alg\`ebre
$K\vec{\Delta}$ pour le diagramme de Dynkin $\vec{\Delta}= A_n$
(orient\'e de gauche \`a droite). Dans la base standard de racines
$\alpha_1,\dots, \alpha_n$, les racines positives sont les
$\alpha_{ij}=\displaystyle\sum_{ i\leq k<j}\,\alpha_k, 0<i<j\leq n+1$. On
en d\'eduit que 
\[A_s \cong \displaystyle{\prod_{1\leq k\leq n}\; (M_k(K))^{n+1-k}} .\]  

Prenons maintenant $A=KE_6$, l'alg\`ebre des chemins du carquois de
Dynkin (orient\'e) \`a six sommets $\vec{\Delta}=E_6$. \`A l'aide des
planches de racines \cite{tables}, on trouve 
\begin{multline*} A_s \cong K^6\times M_2(K)^3 \times M_5(K) \times
M_6(K)^2\times M_7(K)^3\\
\times M_8(K)^2\times M_9(K)\times
M_{10}(K)\times M_{11}(K) .\end{multline*}

\begin{rem} Dans le cas des alg\`ebres de chemins $A=K\vec{\Delta}$, un
avatar de $A_s$ a
\'et\'e construite par voie g\'eom\'etrique dans \cite{rump}.  
\end{rem}

\section{Sections mono\"{\i}dales et foncteurs fibres}\label{radrep}

Dans ce paragraphe, nous appliquons le th\'eor\`eme de scindage
mo\-no\-\"{\i}\-dal sym\'etrique au cas des cat\'egories tannakiennes.

\subsection{Un contexte g\'en\'eral}

\begin{thm}\label{c4} Soient $K$ un corps de caract\'eristique nulle 
et $L$ une extension de $K$. Soit $\sA$
une cat\'egorie $K$-lin\'eaire, pseudo-ab\'elienne, 
mono\-\"{\i}dale sym\'etrique rigide avec $K=End(\un )$. On suppose
qu'il existe un $K$-foncteur {\rm fid\`ele} mono\"{\i}dal 
sym\'etrique $\omega: \sA \to  Vec_L$.
\\ Alors $\sR=\rad(\sA)$ est mono\"{\i}dal, et $\bar\sA = \sA/\sR$ est 
tannakienne semi-simple sur $K$.
\\ En particulier, si $\sA$ est une cat\'egorie tannakienne sur $K$, de radical $\sR$, alors
$\sA/\sR$ est encore tanna\-kienne sur $K$; elle est neutre si $\sA$ est
neutre.
\end{thm} 

\prf On sait par le th\'eor\`eme \ref{wedtr} que $\sA$ est de Wedderburn. Comme $\bar\sA$ est 
$K$-lin\'eaire pseudo-ab\'elienne, elle est m\^eme
ab\'elienne (semi-simple). D'autre part, la tensorialit\'e du
radical a \'et\'e d\'emontr\'ee dans le th\'eor\`eme \ref{absJannsen}.  

Les hypoth\`eses des th\'eor\`emes
\ref{T2} et \ref{t4} sont satisfaites. On peut donc trouver une section 
$K$-lin\'eaire mono\"{\i}dale $s$ de
$\pi_\sA$, qui est automatiquement sym\'etrique. Une telle section est
clairement fid\`ele, donc le  $K$-foncteur mono\"{\i}dal
sym\'etrique $\omega_s=\omega\circ s: \bar\sA\to Vec_L$ l'est aussi. 
Comme c'est un foncteur mono\"{\i}dal
fid\`ele entre cat\'egories mono\"{\i}dales a\-b\'e\-lien\-nes 
semi-simples, il est exact (les suites exactes se
scindent); c'est donc un foncteur fibre.  

La seconde assertion d\'ecoule de l\`a.\qed   

\begin{rems}\
\begin{itemize}
\item[$a)$] On pourrait aussi prouver que $\bar\sA$ est
tannakienne  si $\sA$ l'est en utilisant la
caract\'erisation interne de Deligne \cite{de}. En effet, 
comme $\sR= \sN$, la dimension d'un objet de
$\sA$ ne change pas si on la calcule dans $\bar\sA$; c'est donc un 
entier naturel. Mais cet argument ne montre pas que $\bar\sA$ est neutre
quand $\sA$ l'est.

\item[$b)$] L'exemple de cat\'egorie mono\"{\i}dale $K$-lin\'eaire non
strictement semi-primaire vu plus haut (contre-exemple \ref{Cssp})
fournit, en caract\'e\-ris\-ti\-que nulle, un exemple d'application du
th\'eor\`eme ci-dessus (le foncteur $\omega$ \'etant induit par $x\mapsto
K$ pour tout $x\in E$).   

\noindent Dans cet exem\-ple, la cat\'egorie tannakienne $\bar\sA$ n'est autre que
la cat\'e\-go\-rie des repr\'e\-sen\-ta\-tions du groupe diagonalisable de
groupe de carac\-t\`e\-res $E$.  
\item[$c)$] L'exemple \ref{Car3} montre que le th\'eor\`eme de scindage mono\"{\i}dal sym\'e\-tri\-que ne
s'\'etend pas, en rempla\c cant $\sR$ par $\sN$, au cas o\`u le radical $\sR$ n'est pas mono\"{\i}dal. Dans cet
exemple,
$\sA/\sN$ est \'equivalente \`a la cat\'egorie des super-espaces vectoriels de dimension finie, qui n'est pas
tannakienne (on a un objet de carr\'e tensoriel isomorphe \`a $\un$, mais de dimension $\neq 1$).  
\item[$d)$] Nous verrons dans \cite{ak(note)} comment d\'eduire de ce
th\'eor\`eme, in\-d\'e\-pen\-dam\-ment de toute
conjecture, un \emph{groupe de Galois motivique pro-r\'e\-duc\-tif}
attach\'e
\`a toute cohomologie de Weil ``classique" d\'efinie sur les vari\'et\'es
projectives lisses sur un corps quelconque.
\end{itemize}
\end{rems}

\subsection{Le cas tannakien neutralis\'e}\label{neu} Ce sous-paragraphe
est pr\'eparatoire au paragraphe \ref{jm}.

On suppose encore $K$ de ca\-rac\-t\'e\-ris\-ti\-que $0$. Soient $G$ un
$K$-sch\'ema en grou\-pes affine (en bref: un $K$-groupe affine) et
$\sA=Rep_K(G)$ la cat\'egorie des
$K$-repr\'esentations de  dimension finie de $G$. On note $\pi_G$ au lieu
de $\pi_\sA$, $\sR_G$ le radical de $\sA$, et $\omega_G$ le foncteur
fibre canonique de $\sA$ (\`a valeurs dans $Vec_K$).

Le lemme suivant est fort utile:

\begin{lemme}\label{l13.1} Soient $\sB$ une cat\'egorie $K$-lin\'eaire
mono\"{\i}dale sym\'etrique et $f:\sB\to Rep_K(G)$ un foncteur
mono\"{\i}dal. Alors l'application 
\begin{align*}
Aut^\otimes(f)&\to
Aut^\otimes(\omega\circ f)\\
u&\mapsto \omega(u)
\end{align*}
est injective, et son image est \'egale au centralisateur de
l'image de $G(K)\allowbreak\iso Aut^\otimes(\omega)$ dans
$Aut^\otimes(\omega\circ f)$.
\end{lemme}

\prf L'injectivit\'e est claire, puisque $\omega$ est fid\`ele.
Il est clair que l'image centralise $Aut^\otimes(\omega)$. Inversement,
soit $v\in Aut^\otimes(\omega\circ f)$ centralisant l'image de
$Aut^\otimes(\omega)$. Pour tout $B\in \sB$ et tout $g\in G(K)$,
l'\'el\'ement $v_B\in End_K(\omega(f(B)))$ commute \`a $g_B$. Il lui
correspond donc un unique \'el\'ement $u_B\in \sA(f(B),f(B))$ tel que
$\omega(u_B)=v_B$. La fid\'elit\'e de $\omega$ implique de plus que
$u_B$ est inversible et mono\"{\i}dal.\qed

Choisissons une section mono\"{\i}dale $s$ de
$\pi_\sA$, et posons
comme ci-dessus $\omega_s=\omega_G\circ s$. Soit
$G_s=Aut^{\otimes}(\omega_s)$: c'est un $K$-groupe pro-r\'eductif.
On a un homomorphisme \'evident:
\[\begin{CD}
s^\sharp:G\iso Aut^\otimes(\omega_G) \to Aut^\otimes(\omega_s)=G_s
\end{CD}\]
d'o\`u un foncteur mono\"{\i}dal
\[ (s^\sharp)^*: Rep_K(G_s)\to Rep_K(G).\]

\begin{lemme} L'homomorphisme $s^\sharp$ est un monomorphisme (\ie une
immersion ferm\'ee).
\end{lemme}

\prf Soit $N=\Ker s^\sharp$. On a un diagramme commutatif de cat\'egories
et foncteurs:
\[\begin{CD}
Rep_K(G/N)@>g^\ast>> Rep_K(G)\\
\nwarrow&&\scriptstyle (s^\sharp)^*\displaystyle\nearrow\\
&Rep_K(G_s)
\end{CD}\]

Le foncteur $g^\ast$ est pleinement fid\`ele. Comme $(s^\sharp)^*$ est
\'evidemment essentiellement surjectif, il en est de m\^eme de $g^\ast$,
qui est donc une \'equivalence de cat\'egories, d'o\`u $N=1$.\qed

\begin{rem}\label{r2} Le foncteur
\begin{align*}
\theta_s:\bar\sA&\to Rep_K(G_s)\\
X&\mapsto (G_s\to GL(\omega_s(X)))
\end{align*}
est une \'equivalence de cat\'egories mono\"{\i}dales, mais pas en
g\'en\'eral un isomorphisme de cat\'egories. Il poss\`ede n\'eanmoins un
quasi-inverse ca\-no\-ni\-que. On a un diagramme strictement commutatif de
cat\'egories et foncteurs:
\[\begin{CD}
Rep_K(G)@>\omega_G>> Vec_K\\
\scriptstyle s\Big\uparrow &\omega_s\nearrow& @A\omega_{G_s}AA\\
\bar \sA@>\theta_s>> Rep_K(G_s)
\end{CD}\]

On a \'evidemment $(s^\sharp)^*\circ\theta_s=s$. En 
particulier,
$\sigma_s:=\pi_G\circ (s^\sharp)^*$ est un inverse \`a 
gauche de
$\theta_s$; c'en est donc aussi un quasi-inverse \`a 
droite, par un
isomorphisme naturel mono\"{\i}dal.
\end{rem}

Si $t$ est une autre section mono\"{\i}dale de $\pi_G$,
elle d\'efinit 
un autre foncteur fibre, donc un autre groupe $G_t$. D'apr\`es la 
th\'eorie g\'en\'erale des cat\'egories tannakiennes, $G_s$ et $G_t$ 
sont des formes int\'erieures l'un de l'autre. On a mieux, puisque $t$ est
mono\"{\i}dalement conjugu\'ee \`a $s$. En effet, choisissons une telle
conjugaison $u$, de sorte que $t=usu^{-1}$. On a alors un diagramme
commutatif
\begin{equation}\label{eq13.1}
\begin{CD}
&&G_s\\
&\s s^\sharp\displaystyle \nearrow\\
G&&@V{\hat{u}}V{\wr}V\\
&\s t^\sharp\displaystyle \searrow\\
&&G_t
\end{CD}
\end{equation}
o\`u $\hat{u}:Aut^\otimes(\omega_s)(R)\to Aut^\otimes(\omega_t)(R)$ est
donn\'e par $g\mapsto ugu^{-1}$ pour toute $K$-alg\`ebre $R$. Cette
construction donne:

\begin{prop}\label{p4} 
On a un foncteur canonique $T_G$ du groupo\"{\i}de connexe
$\sG_u^{\otimes}(G)$ des sections mono\"{\i}dales de $\pi_G$ vers la
cat\'egorie des monomorphismes de $G$ vers un groupe pro-r\'eductif, qui
associe \`a la section $s$ le monomorphisme $G\inj G_s$.  En particulier,
pour deux sections mono\"{\i}dales $s,t$, les groupes $G_s$ et $G_t$ sont
$K$-isomorphes.\qed
 \end{prop}

\begin{para}\label{ecl} \'Eclairons et compl\'etons cette construction \`a
l'aide des r\'esultats du paragraphe \ref{repr}. Notons
$\Gamma_u(G)=(E_u,S_u)$ le groupo\"{\i}de
affine scind\'e unipotent transitif sur $S^\otimes$ associ\'e \`a
$\sA=Rep_K(G)$ par le th\'eor\`eme \ref{gerbe'}: on a
$\Gamma_u(G)(K)=\sG^\otimes(G)$. Par ailleurs, la
cat\'egorie tannakienne $\bar\sA$ \'etant neutre, sa gerbe est
repr\'esent\'ee par un $K$-groupo\"{\i}de affine que nous noterons
$\Gamma_\red(G)$: la cat\'egorie $\Gamma_\red(G)(K)$ est le
groupo\"{\i}de des $K$-foncteurs fibres sur $\bar\sA$. Consid\'erons $G$
comme groupo\"{\i}de \`a un objet. On a alors un (bi)morphisme de
$K$-groupo\"{\i}des affines
\[\Gamma_u(G)\times_K G\to \Gamma_\red(G)\]
qui au niveau des $K$-points est d\'ecrit de la mani\`ere suivante:
\begin{align*}
(s,*)&\mapsto \omega_s=\omega\circ s\\
Hom^\otimes(s,t)\times Aut^\otimes(\omega)&\to
Hom^\otimes(\omega_s,\omega_t).
\end{align*}

Si l'on fixe une 
section ($K$-rationnelle) $s$, on obtient en particulier un
monomorphisme de
$K$-sch\'emas en groupes affines
\[U_s= U_s(G):=E_u(s,s)\inj G_s\]
avec $U_s$ pro-unipotent, o\`u $U_s$ \emph{centralise} $G$. Le diagramme
\eqref{eq13.1} se compl\`ete en un diagramme commutatif:
\[\begin{CD}
U_s\times_K G@>>> G_s\\
@V{\hat{u}\times 1}V{\wr}V @V{\hat{u}}V{\wr}V\\ 
U_t\times_K G@>>> G_t.
\end{CD}\]
\end{para}

\begin{prop}\label{centr}  Pour tout \'epimorphisme $\phi:G_s\surj H$, le
centralisateur de
$\phi\circ s^\sharp(G)$ dans $H$ est \'egal au produit
$\phi(U_s)\times Z(H)$.
\end{prop}

[Noter que ce produit est direct, puisque l'intersection de $U_s$ et de
$Z(G_s)$ est un groupe unipotent de type multiplicatif.]

\prf Par souci de clart\'e, notons plus
pr\'e\-ci\-s\'e\-ment $\omega=\omega_G$. Consid\'erons le foncteur
$f=(s^\sharp)^*\circ
\phi^*:Rep_K(H)\to Rep_K(G)$: on remarque que $\omega_G\circ f=\omega_H$. 
Appliquons le lemme
\ref{l13.1}: on obtient que l'homomorphisme $Aut^\otimes(f)\to
Aut^\otimes(\omega_H)= H(K)$ est injectif, d'image le centralisateur
de l'image de $Aut^\otimes(\omega_G)=G(K)$ dans $H(K)$. Il reste \`a
calculer $Aut^\otimes(f)$, que nous identifions ci-dessous \`a un
sous-groupe de $H(K)$.

Soit $h\in Aut^\otimes(f)$. Alors $\pi_G(h)\in Aut^\otimes(\pi_G\circ
(s^\sharp)^*\circ \phi^*)$. Comme les foncteurs $\pi_G\circ
(s^\sharp)^*$ et $\phi^*$ sont pleinement fid\`eles, leur compos\'e l'est
aussi et $Aut^\otimes(\pi_G\circ(s^\sharp)^*\circ \phi^*)$ s'identifie
canoniquement \`a
$Aut^\otimes(Id_{Rep_K(H)})=Z(H)(K)$. Autrement dit, il existe un unique
$z\in Z(H)(K)$ tel que $\pi_G(h)\allowbreak=\pi_G(z)$.
Alors $u=h\cdot z^{-1}$ v\'erifie $\pi_G(u)=1$; autrement dit, $u\in
\phi(U_s(K))$.

Le m\^eme argument vaut en rempla\c cant les $K$-points de $H$ par ses
points \`a valeurs dans une extension. D'o\`u l'assertion. \qed 

\begin{prop} \label{p3} a) Pour toute section $s$ comme ci-dessus, tout
homomorphisme $\phi$ de $G$ vers un groupe pro-r\'e\-duc\-tif $H$ se
prolonge en un homomorphisme $\psi:G_s\to H$.
\end{prop}

\prf  On a un
diagramme commutatif
\[\begin{CD}
&&Rep_K(G)@>\omega_G>> Vec_K\\
&\s \phi^*\displaystyle\nearrow &@V{\pi_G}VV\\
Rep_K(H)@>\bar\phi^*>> Rep_K(G)/\sR_G
\end{CD}\]
o\`u par souci de clart\'e on note $\omega_G$ le foncteur fibre canonique
de $Rep_K(G)$. On a $\omega_H=\omega_G\circ \phi^*$. 

Remarquons que $\bar\phi^*$ est exact, puisque la cat\'egorie $Rep_K(H)$
est semi-simple. Il est aussi fid\`ele: si $A\in Rep_K(H)$, le noyau de
l'homomorphisme induit par $\bar\phi^*$ de l'anneau $R$ des endomorphismes
de $A$ vers l'anneau des endomorphismes de $\bar \phi^*(A)$ est l'image
r\'eciproque dans $R$ du radical de l'anneau des endomorphismes de
$\phi^*(A)$; cette image r\'eciproque est nulle, comme id\'eal nilpotent
d'une alg\`ebre semi-simple. Donc $\omega_G\circ s\circ\bar\phi^*$ est un
foncteur fibre sur $Rep_K(H)$.

Le foncteur
$\bar\phi^*$ induit un homomorphisme
\[(\bar\phi^*)^\sharp:G_s\to H'\]
avec $H':=Aut^\otimes(\omega_G\circ s\circ\bar\phi^*)$. 

Appliquons
la proposition \ref{P3'}, en remarquant que $Rep_K(H)$ est semi-simple (et m\^eme s\'eparable): il
existe un isomorphisme naturel mono\"{\i}dal $u:\phi^*\Rightarrow s\circ
\bar\phi^*$, d'o\`u un isomorphisme
\[\begin{CD}
H\iso Aut^\otimes(\omega_G\circ \phi^*)@>\widehat{\omega_G(u)}>>H'
\end{CD}\]
faisant commuter le diagramme
\[\begin{CD}
G@>\phi>> H\\
@V{s^\sharp}VV @V{\widehat{\omega_G(u)}}V{\wr}V\\
G_s@>(\bar\phi^*)^\sharp>> H'.
\end{CD}\]
D'o\`u la proposition.  \qed  

\begin{lemme}\label{l3} Soient $f,g\in Hom(G,H)$, o\`u $G$ et $H$ sont
deux $K$-grou\-pes affines. Alors $f$ et $g$ sont conjugu\'es par un
\'el\'ement de $H(K)$ si et seulement s'il existe un isomorphisme naturel
mono\"{\i}dal
$f^*\simtimes g^*$ au niveau des cat\'egories de
re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions. 
\end{lemme}

\prf Soit $\theta$ un tel isomorphisme. Alors $\theta$ induit un
isomorphisme $\omega_H=\omega_G\circ f^*\simtimes\omega_G\circ
g^*=\omega_H$. Un tel isomorphisme correspond \`a un \'el\'ement $h\in
H(K)$. Cet \'el\'ement conjugue $f$ et $g$.\qed

\begin{prop}\label{p2} Soient $G$ un $K$-groupe affine $s,t$ deux
sections mo\-no\-\"{\i}\-da\-les de $\pi_G$, $G_s$ et $G_t$ les
$K$-groupes r\'eductifs attach\'es $s$ et $t$, $u$ un isomorphisme
mono\"{\i}dal de $s$ sur $t$ et $\hat{u}:G_s\iso G_t$ l'isomorphisme
correspondant (\cf \eqref{eq13.1}). Soient enfin
$H$ un autre
$K$-groupe affine $H$ et $f:G_s\to H$, $g:G_t\to H$ deux homomorphismes.\\
Supposons que $f\circ s^\sharp$ et $g\circ t^\sharp$ soient conjugu\'es
par un \'el\'ement de $H(K)$. Alors il en est de m\^eme de
$f$ et $g\circ \hat{u}$.  
\end{prop}

\prf On se ram\`ene imm\'ediatement au cas o\`u $s=t$, puis au cas o\`u
$f\circ s^\sharp=g\circ s^\sharp$. On a, au niveau des cat\'egories de
re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions, une
\'egalit\'e de foncteurs:
\[(s^\sharp)^*\circ f^*= (s^\sharp)^*\circ g^*\]
d'o\`u, en composant \`a gauche avec $\pi_G$:
\[\sigma_s\circ f^*=\sigma_s\circ g^*\]
(\cf remarque \ref{r2}).

Comme $\sigma_s$ est un quasi-inverse mono\"{\i}dal de $\theta_s$
(ibid.), on en d\'eduit l'exis\-tence d'un isomorphisme naturel
$f^*\simtimes g^*$. On conclut par le lemme \ref{l3}.\qed

\begin{sco} Avec les notations de \ref{h0}, on a \[HH_0(Rep_K(G))\cong
R_K(G_s)\otimes_\Z K.\]    
\end{sco}

\prf On a vu dans l'exemple \ref{hh0} d'une part que $HH_0(\sA)=
HH_0(\bar\sA)$, d'o\`u $HH_0(\sA)\cong HH_0(Rep_K(G_s)) $ d'apr\`es ce
qui pr\'ec\`ede, et d'autre part que $HH_0(Rep_K(G_s)) \cong
R_K(G_s)\otimes_\Z K$. 
\qed




\section{Au-del\`a de Jacobson-Morozov:
enveloppes pro-r\'eductives}\label{jm}

Dans toute ce paragraphe,  \emph{$K$ est un corps de caract\'eristique
$0$} sauf mention expresse du contraire.

Soit $\frg$ une
$K$-alg\`ebre de Lie semi-simple. Le th\'eor\`eme de
Jacobson-Morozov-Kostant (\cite{jac},
\cite{mor}, \cite{kos}, \cite[p. 162, prop. 2 et 4]{lie}) \'enonce que
tout
\'el\'ement nilpotent non nul de $\frg$ est contenu dans un
$\fsl_2$-triplet de $\frg$ et que les orbites de ces deux types d'objets
sous l'action adjointe du groupe adjoint $G$ de $\frg$ sont en bijection.
En termes de groupes alg\'ebriques, cet
\'enonc\'e se traduit ainsi:
\'etant donn\'e un $K$-groupe alg\'ebrique semi-simple $G$, tout
homomorphisme non trivial $\bG_a\to G$ se prolonge en un homomorphisme
$SL_2\to G$ couvrant l'injection canonique
\begin{align}\label{eq2}\phi:\bG_a&\to SL_2\\
a&\mapsto\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix};\notag
\end{align}
De plus, deux tels prolongements sont conjugu\'es sous l'action d'un
\'el\'ement de $G(K)$.

Nous allons retrouver ce r\'esultat en appliquant le th\'e\-o\-r\`e\-me
\ref{c4} \`a la ca\-t\'e\-go\-rie tannakienne neutralis\'ee des
$K$-repr\'esentations de $\bG_a$, et explorer ce qui joue le r\^ole 
de $SL_2$ lorsque
$\bG_a$ est remplac\'e par un
$K$-groupe affine quelconque, dans le fil des r\'esultats du 
paragraphe pr\'ec\'edent.

\subsection{Groupes \`a conjugaison pr\`es}

\begin{sloppypar}
\label{i3} Soit $\Gaff_K$ la cat\'egorie
dont les objets sont les $K$-groupes affines et les morphismes sont les
homomorphismes de $K$-groupes affines. Notons $\Gred_K$ la
sous-cat\'egorie pleine de $\Gaff_K$ form\'ee des groupes
pro-r\'eductifs. Ces cat\'egories ne sont pas bien adapt\'ees \`a
l'interpr\'etation des r\'esultats du paragraphe pr\'ec\'edent: nous
devons les remplacer par des cat\'egories plus grossi\`eres.
\end{sloppypar}

\begin{sloppypar}
\begin{defn}\label{d2} 
a) Soient $G,H$ deux $K$-groupes affines. On note
$H^1_K(G,H)$ l'ensemble quotient de $Hom_K(G,H)$ par la relation
d'\'equivalence $\sim$ telle que $f\sim g$ s'il existe $h\in H(K)$ tel
que $g=hfh^{-1}$ (on dit aussi que $f$ et $g$ sont
\emph{$H(K)$-conjugu\'es}).\\
b) On note $\bGaff_K$ la cat\'egorie dont les objets sont les $K$-groupes
affines et dont les morphismes sont donn\'es par les ensembles
$H^1_K(G,H)$ (ces morphismes se composant de mani\`ere \'evidente): c'est
la cat\'egorie des \emph{$K$-groupes affines \`a conjugaison pr\`es}. Sa
sous-cat\'egorie pleine form\'ee des $K$-groupes pro-r\'eductifs est
not\'ee $\bGred(K)$ et s'appelle cat\'egorie des \emph{$K$-groupes
pro-r\'eductifs
\`a conjugaison pr\`es}.
\end{defn}
\end{sloppypar}

\begin{rems}\
\begin{itemize}
\item[a)] Notons $\Aff_K$ la cat\'egorie des
$K$-sch\'emas affines. On a un diagramme commutatif
\[\begin{CD}
\Gred_K@>\iota>> \Gaff_K@>>> \Aff_K\\
@VVV @VVV\\
\bGred_K@>\bar\iota>> \bGaff_K
\end{CD}\]
o\`u les foncteurs horizontaux sont pleinement fid\`eles et les foncteurs
verticaux sont pleins et surjectifs.
\item[b)] Un certain nombre de notions ``passent" aux groupes \`a
conjugaison pr\`es (via les foncteurs de projection ci-dessus):
immersions ferm\'ees, mor\-phis\-mes fid\`element plats, connexit\'e,
simple connexit\'e,  (pro-)uni\-po\-ten\-ce,
(pro)-semi-simplicit\'e\dots
\item[c)] La notion de sous-groupe n'a pas de sens dans $\bGaff(K)$ et
$\bGred(K)$: elle doit \^etre remplac\'ee par celle de classe de
conjugaison de sous-groupes. Par contre, la notion de sous-groupe
distingu\'e a un sens. De m\^eme, si $H$ est un sous-groupe ferm\'e (\`a
conjugaison pr\`es) de $G$, le sous-groupe (distingu\'e)
\begin{equation}\label{eq14.2}
H^\triangleleft=\{\langle gHg^{-1}\rangle\mid g\in G(K)\}
\end{equation}
a un sens.
\item[d)] On a un foncteur fid\`ele \'evident
\[\bGaff(K)\to Lien(K)\]
o\`u $Lien(K)$ d\'esigne la cat\'egorie des \emph{liens sur $K$}
\cite[II.2.1.3]{giraud}. Mais ce foncteur n'est pas plein si $K$ n'est
pas alg\'ebriquement clos.
\end{itemize}
\end{rems}

\subsection{Exactitude} Peu de limites inductives existent dans
$\Gaff_K$ et dans $\bGaff_K$. Il faut aussi prendre garde \`a ce que
les li\-mi\-tes inductives calcul\'ees dans $\Gaff_K$, $\Aff_K$ et
$\bGaff_K$, quand elles existent, ne co\"{\i}ncident pas
n\'e\-ces\-sai\-re\-ment.

Une limite inductive qui existe toujours dans $\Gaff_K$ est le
co\-\'e\-ga\-li\-sa\-teur d'un homomorphisme
$f:G\to H$ et de l'homomorphisme trivial $1:G\to H$: ce co\'egalisateur
existe aussi dans $\bGaff_K$ et co\"{\i}ncide avec le pr\'ec\'edent.
Dire que ce co\'egalisateur est trivial est plus faible
que de dire que $f$ est un \'epimorphisme.  Nous adopterons la
terminologie suivante:

\begin{defn}\label{d14.2}
a) Soient
$f:G_1\to G_2$ et
$g:G_2\to G_3$ deux morphismes de
$K$-groupes affines tels que $g\circ f=1$. On dit que la suite
\begin{equation}\label{eq14.3}
\begin{CD}G_1@>f>> G_2@>g>> G_3\end{CD}
\end{equation}
est \emph{exacte} (\resp \emph{faiblement exacte}) si $\Ker g=\IM f$
(\resp si $\Ker g=(\IM f)^\triangleleft$, \cf \eqref{eq14.2}).\\
b) Si $G_3=1$ dans a), on dit que $f$ est
\emph{\'epi} (\resp \emph{faiblement \'epi}) si la suite \eqref{eq14.3}
est exacte (\resp faiblement exacte).
\end{defn}

On remarquera que, dans b), dire que $f$ est \'epi \'equivaut
\`a dire que le morphisme associ\'e de faisceaux fpqc d'ensembles est
un \'e\-pi\-mor\-phis\-me, ou encore que $f$ est fid\`element plat.

 \begin{lemme}\label{l15} a) Un morphisme $f:G_1\to G_2$ de $K$-groupes
affines est
faiblement \'epi si et seulement si, pour tout $K$-groupe affine $N$, 
l'application
d'ensembles point\'es $f^*:H^1_K(G_2,N)\to H^1_K(G_1,N)$ est de noyau
trivial. Si $G_1,G_2\in \Gred_K$, il suffit de prendre $N$
dans $\Gred_K$.\\
b) Une suite
\[\begin{CD}G_1@>f>> G_2@>g>> G_3@>>> 1\end{CD}\]
de $K$-groupes affines (avec $g\circ f=1$) est faiblement exacte si 
et seulement si,
pour tout $K$-groupe affine $N$, la suite d'ensembles point\'es
\[\begin{CD}1\to H^1_K(G_3,N)@>g^*>> H^1_K(G_2,N)@>f^*>>
H^1_K(G_1,N)\end{CD}\]
est exacte). Si $G_1,G_2,G_3\in \Gred_K$, il suffit de prendre $N$
dans $\Gred_K$.\\
c) L'exactitude faible d'une suite comme dans b) ne d\'epend que des
classes de $f$ et $g$ dans $\bGaff_K$.\qed
\end{lemme}

\prf $c)$ est imm\'ediat.

$a)$: $G_1\stackrel{f}{\to} G_2$ est faiblement \'epi $\iff \;
 f(G_1)^\triangleleft = G_2 \iff \; [\forall\, G_2\stackrel{h}{\to} N $ (avec $N$ pro-r\'eductif
si
$G_2$ l'est)$ ,
\;h\circ f= 1\If h=1] 
\iff \;(\forall \bar h \in H^1_K(G_2,N), f^\ast \bar h= 1\If \bar h=1)$.

$b)$: Compte tenu de $a)$, nous n'avons \`a examiner que l'exactitude au milieu. Or
 $G_1\stackrel{f}{\to} G_2\stackrel{g}{\to}G_3$ est faiblement exacte $\iff \;
 f(G_1)^\triangleleft = \ker g \iff \; [\forall\, G_2\stackrel{h}{\to} N $ (avec $N$
pro-r\'eductif si
$G_2$ l'est)$ , \;h_{\vert
f(G_1)^\triangleleft}= 1\If h_{\vert \ker g}=1] 
\iff \; [\forall G_2\stackrel{h}{\to} N ,\;h_{\vert
f(G_1)^\triangleleft}= 1 \If \exists \, G_3\stackrel{i}{\to} N $ tel que $h=i\circ g)] \iff \;
[\forall\,
\bar h
\in H^1_K(G_2,N), f^\ast \bar h= 1\If \exists \,\bar i\in H^1_K(G_3,N),$ tel que $ \bar h=
g^\ast\bar i]$. 
\qed

Nous nous autoriserons de ce lemme pour parler de suites faiblement 
exactes dans $\bGaff_K$.

\subsection{L'enveloppe pro-r\'eductive}

\begin{thm}\label{t1} Le foncteur d'inclusion $\bar{\iota}:\bGred_K\to
\bGaff_K$ admet un adjoint \`a gauche $G\mapsto \Pred(G)$. Ce
foncteur est un quasi-inverse \`a gauche de $\bar{\iota}$.
\end{thm}

\prf Pour chaque $G\in \bGaff_K$, choisissons une section
mo\-no\-\"{\i}\-da\-le
$s(G)\in \sG_u^\otimes(G)$. On d\'efinit $\Pred(G)$
comme \'etant $G_{s(G)}$. Soit $f:G\to H$ un homomorphisme. En
appliquant la proposition
\ref{p3} \`a $G$ et $\phi=s(H)^\sharp\circ f:G\to H_{s(H)}$, on obtient
un homomorphisme $\bar\phi:G_{s(G)}\to H_{s(H)}$. La proposition \ref{p2}
montre que  son ima\-ge dans $H^1_K(\Pred(G),\Pred(H))$ ne d\'epend pas du
choix de $\bar\phi$: c'est $\Pred(f)$. La proposition \ref{p2} montre
aussi que
$\Pred$ est un foncteur. Les plongements $G\to G_{s(G)}$ d\'efinissent un
morphisme de foncteurs $Id_{\bGaff_K}\to \bar \iota\circ\Pred$. Le fait
que ce morphisme fasse de $\Pred$ un adjoint \`a gauche de $\bar\iota$
r\'esulte de la construction pr\'ec\'edente et des propositions \ref{p3}
et
\ref{p2}. Enfin, le fait que
$\Pred\circ\bar\iota\simeq Id$ est \'evident.\qed

\begin{defn}\label{d14.1}
Le $K$-groupe \`a conjugaison pr\`es $\Pred(G)$ (muni de l'injection
canonique $G\inj
\Pred(G)$) s'appelle \emph{l'enveloppe pro-r\'eductive de
$G$}. Son sous-groupe $\PU(G)$ (\cf prop. \ref{centr}) s'appelle le
\emph{compl\'ement unipotent} de $G$.
\end{defn}

\begin{sloppypar}
\begin{rem} Si $f:G\to H$ est un morphisme, nous ignorons si
$\Pred(f)(\PU(G))\subset \PU(H)$ en g\'en\'eral. C'est vrai si
le foncteur $f^*:Rep_K(H)\allowbreak\to Rep_K(G)$ est
pleinement fid\`ele, en vertu du d\'ebut du \S
\ref{i2} (en particulier si $f$ est un
\'epi\-mor\-phis\-me, mais aussi  dans le cas d'un sous-groupe
parabolique d'un groupe connexe, voir la d\'e\-mon\-stra\-tion de la
proposition
\ref{p7} b)). On pourrait aussi le d\'eduire de la proposition
\ref{centr}. Dans ce cas, nous ignorons si le morphisme correspondant est
\'epi.
\end{rem}
\end{sloppypar}

\begin{prop}\label{p14.1} Supposons $K$ alg\'ebriquement clos. \`A
isomorphisme unique pr\`es dans
$\bGaff(K)$, l'homomorphisme $\Lambda_G:G\to \Pred(G)$ est
caract\'eris\'e par les deux propri\'et\'es suivantes:
\begin{thlist}
\item $\Pred(G)$ est pro-r\'eductif;
\item $\Lambda_G$ induit une bijection entre les classes d'isomorphismes
de re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions ind\'ecomposables de $G$ et de $\Pred(G)$.
\end{thlist}
\end{prop}

\prf Il est clair que $\Lambda_G$ a les propri\'et\'es annonc\'ees. Pour
la r\'eciproque, la propri\'et\'e universelle de $\Pred(G)$ nous ram\`ene
\`a d\'emontrer l'\'enonc\'e suivant: si $f:H\to M$ est un homomorphisme
de groupes pro-r\'eductifs qui induit une bijection sur les classes
d'isomorphismes de repr\'esentations irr\'eductibles, alors
$f$ est un isomorphisme. 

En effet, les cat\'egories $Rep_K(H)$ et $Rep_K(M)$ sont
semi-simples. L'hypoth\`ese implique que le foncteur
$f^*:Rep_K(M)\to Rep_K(H)$ est essentiellement surjectif. D'autre part,
pour deux
$M$-repr\'esentations ir\-r\'e\-duc\-ti\-bles $S,S'$, l'application
$Hom_M(S,S')\to Hom_H(S,S')$ est bijective: si $S$ et $S'$ ne sont pas
isomorphes, les deux membres sont nuls, et si $S=S'$ on a
$End_M(S)=End_H(S)=K$ (c'est ici qu'on utilise l'hypoth\`ese que $K$
est al\-g\'e\-bri\-que\-ment clos). Par cons\'equent, $f^*$ est pleinement
fid\`ele, donc c'est une \'equivalence de cat\'egories et
$f$ est bien un isomorphisme.\qed

\begin{rem} Nous ignorons si l'hypoth\`ese que $K$ est alg\'ebriquement
clos est n\'ecessaire dans la proposition \ref{p14.1}.
\end{rem}

\subsection{Quelques propri\'et\'es de l'enveloppe pro-r\'eductive}

\begin{lemme}\label{l16} Si $G$ est connexe, $\Pred(G)$ est connexe.
\end{lemme}

Soit $(G_s)^0$ la composante neutre de
$G_s$, et soit $\Gamma=G_s/(G_s)^0$: $(G_s)^0$ est
pro-semi-simple connexe et $\Gamma$ est extension d'un groupe profini
(de dimension $0$) par un pro-tore. Comme $G$ est connexe,
$Hom(G,\Gamma)=1$; la proposition \ref{p2} implique alors que
$Hom(G_s,\Gamma)=1$. Donc $\Gamma=1$.\qed

\begin{prop} \label{c3} Si $G$ est pro-unipotent, $\Pred(G)$ est
pro-semi-sim\-ple simplement connexe.
\end{prop}

\prf D'apr\`es le lemme \ref{l16}, $G_s$ est connexe. Pour montrer qu'il
est semi-simple, on raisonne de m\^eme: soit
$G_s'$ son groupe d\'eriv\'e. Alors $\Gamma=G_s/G_s'$ est un
pro-tore. Comme $G$ est pro-unipotent, $Hom(G,\Gamma)\allowbreak=1$; la
proposition \ref{p2} implique alors que $Hom(G_s,\Gamma)=1$. Donc $\Gamma=1$.

Enfin, soit $H$ un groupe pro-semi-simple connexe quelconque, et soit
$\tilde H$ son rev\^etement universel. On a un diagramme commutatif:
\[\begin{CD}
H^1_K(G_s,\tilde H)@>>> H^1_K(G,\tilde H)\\
@VVV @VVV\\
H^1_K(G_s,H)@>>> H^1_K(G,H).
\end{CD}\]

Les propositions \ref{p3} et \ref{p2} montrent que les fl\`eches
horizontales sont des isomorphismes. Comme
$G$ est unipotent, il en est de m\^eme de la fl\`eche verticale de
droite. On en d\'eduit que la fl\`eche verticale de gauche est un
isomorphisme pour tout $H$. En appliquant ceci \`a $H=G_s$, cela
implique que la projection $\tilde H\to H$ admet une section \`a
conjugaison pr\`es. Mais ceci n'est possible que si $H$ est
pro-simplement connexe.
\qed

\begin{contrex} On pourrait se demander si $\Pred(U)$ est m\^eme
\emph{d\'eploy\'e}. Le contre-exemple suivant, pour $U\simeq \bG_a^4$,
nous a
\'et\'e aimablement fourni par Ulf Rehmann. Soit $D$ une alg\`ebre de
quaternions sur $K$. Le groupe $G=SL_{2,D}$ contient $U$ (avec
$U(R)=R\otimes_K D$ pour toute $K$-alg\`ebre commutative $R$) comme
sous-groupe triangulaire sup\'erieur strict. Si
$\Pred(U)$ \'etait d\'eploy\'e, son image $H$ dans $G$ le serait
\'egalement. Mais un tore maximal de
$G$ est donn\'e par un tore maximal du sous-groupe dia\-go\-nal  form\'e
des
\'el\'ements $(x,y)\in D^*\times
D^*$ tels que $Nrd(x)Nrd(y)=1$; de ceci on d\'eduit
facilement que le rang d'un tore d\'eploy\'e contenu dans $G$ est
$\le 1$. Ainsi $H$ serait de rang $\le 1$; mais alors il ne peut pas
contenir $U$.

Par contre, un groupe semi-simple anisotrope ne peut pas \^etre un
quotient de $\Pred(U)$, \cf \cite[1.5.3]{margulis}.
\end{contrex}

\begin{prop}\label{suite} a) Soit $G_2\to G_1$ un morphisme faiblement
\'epi de
$K$-sch\'emas en groupes affines. Alors le morphisme $\Pred(G_2)\to
\Pred(G_1)$ correspondant est faiblement \'epi.\\
b) Soit $G_3\to G_2\to G_1\to 1$ une suite
faiblement exacte de
$K$-sch\'emas en groupes affines. Alors on a
un diagramme commutatif de suites faiblement exactes dans $\bGaff_K$:
\[\begin{CD}
G_3@>>> G_2@>>> G_1@>>> 1\\
@VVV @VVV @VVV\\
\Pred(G_3)@>>> \Pred(G_2)@>>> \Pred(G_1)@>>> 1.
\end{CD}\]
\end{prop}

\prf Cela r\'esulte imm\'ediatement du th\'eor\`eme \ref{t1}
et du lem\-me \ref{l15} (comme un adjoint \`a gauche commute
aux limites inductives quelconques, le th\'eor\`eme
\ref{t1} fournit des propri\'et\'es d'exactitude du foncteur $\Pred$).
  \qed

\begin{cor}\label{c7} Si $U$ est le radical unipotent de $G$ et si
$G^\red=G/U$, on a une suite faiblement exacte
\[\Pred(U)\to \Pred(G)\to G^\red\to 1.\]\qed
\end{cor}
Voici quelques r\'esultats structurels suppl\'ementaires sur $\Pred(G)$:

\begin{lemme}\label{l14} Soit $f:G\to H$ un homomorphisme de $K$-groupes
affines. Supposons que le foncteur $f^*$ associ\'e soit pleinement
fid\`ele. Alors
\begin{thlist}
\item $\Pred(f)$ est \'epi.
\item $\Pred(f)$ est un isomorphisme si et seulement si $f$ est un
isomorphisme.
\end{thlist}
\end{lemme}

\prf (i) Si $f^*$ est pleinement fid\`ele, $\bar f^*$ l'est aussi; comme
c'est un foncteur entre cat\'egories semi-simples, le foncteur associ\'e
sur les $K$-goupes affines est bien \'epi.

(ii) $f$ est un isomorphisme $\iff$ $f^*$ est une
\'equivalence de cat\'egories $\iff$ $f^*$ est essentiellement surjectif;
de m\^eme pour $\Pred(f)$ et $\bar f^*$. Si $f^*$ est essentiellement
surjectif, il en est \'evidemment de m\^eme de $\bar f^*$. La
r\'eciproque est vraie puisque le foncteur de projection $\pi_G$ est
plein et conservatif.\qed


\begin{prop}\label{p7} a) Pour tout $G$, on a une suite exacte
\[1\to \Pred(G^0)^\triangleleft\to \Pred(G)\to G/G^0\to 1\]
o\`u $G^0$ est le composante neutre de $G$.\\
b) Si $G$ est connexe, soit
$P$ un $K$-sous-groupe parabolique de $G$.
Alors
$\Pred(P)\to \Pred(G)$ est \'epi.\\
c) Si $G\to H$ est \'epi, $\Pred(G)\to \Pred(H)$ est \'epi.
\end{prop}

\prf a) Soit $\rho:G\to GL(V)$ une repr\'esentation de $G^0$ (de dimension
finie): nous allons montrer qu'elle est isomorphe \`a un facteur direct
d'une repr\'esentation $W$ provenant de $G$. Ceci impliquera que
$\Pred(G^0)\allowbreak\to \Pred(G)$ est un monomorphisme, d'o\`u
l'\'enonc\'e en appliquant la proposition \ref{suite} et le lemme
\ref{l14}.

Notons
$U=\Ker\rho$: alors
$U$ est distingu\'e dans $G$. Notons $\Gamma^0=G^0/U$, de sorte qu'on a
une suite exacte
\[1\to \Gamma^0\to G/U\to G/G^0\to 1.\]

Il existe un quotient fini $\Delta$ de $G/G^0$ tel que $G/U$ soit l'image
r\'e\-ci\-pro\-que d'une extension $\Gamma$ de $\Delta$ par $\Gamma^0$.
Ainsi, on s'est ramen\'e au cas o\`u $G$ est alg\'ebrique. Dans ce 
cas, il suffit de prendre pour $W$ la
restriction \`a $G^0$ de $Ind_{G^0}^G V$.

\begin{sloppypar}
b) Gr\^ace au lemme \ref{l14} (i), il suffit de prouver
que le foncteur $Rep_K(G)\allowbreak\to Rep_K(P)$ est pleinement
fid\`ele. Soient
$V,W$ deux re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions de
$G$. Le groupe
$G$ op\`ere sur l'espace affine $Hom(V,W)$ via un de ses quotients
alg\'ebriques
$\Gamma$. Soit $\bar P$ l'image de $P$ dans $\Gamma$: c'est un
sous-groupe parabolique de $\Gamma$. Comme
$\Gamma/\bar P$ est propre et  connexe, il en r\'esulte que $Hom_G(V,W)\to
Hom_P(V,W)$ est surjectif.\footnote{Nous remercions Michel Brion de nous
avoir indiqu\'e ce type d'argument; \cf aussi
\protect{\cite[II.4.3.3.2]{saavedra}}.}
\end{sloppypar}

c) Cela r\'esulte encore du lemme \ref{l14} (i).
\qed

\begin{sloppypar}
\begin{cor}\label{c8} Pour tout $K$-groupe affine $G$, on a
$\Pred(G^0)=(\Pred(G)^0)^\triangleleft$.
\end{cor}
\end{sloppypar}

\prf En effet, d'apr\`es le lemme \ref{l16}, $\Pred(G^0)$ est
connexe, donc aussi $(\Pred(G)^0)^\triangleleft$.\qed

Enfin, on a le r\'esultat suivant.

\begin{prop}\label{Tjm2} Pour tout $K$-groupe $G$ et tout $K$-groupe
pro-r\'eductif $H$, on a $\Pred(G\times H)=\Pred(G)\times H$.
\end{prop}

\prf On peut raisonner dans $\bGaff(K)$. Soit $M$ une
re\-pr\'e\-sen\-ta\-tion de 
$G\times H$. Comme $H$ est r\'eductif, la restriction de $M$ \`a $H$ est
semi-simple, donc l'alg\`ebre
$End_H(M)$ est semi-simple et
$Aut_H(M)=End_H(M)^*$ est le groupe des
$K$-points d'un groupe r\'eductif $H'$; on a un homomorphisme 
$G\to H'$. Ce dernier se prolonge en un homomorphisme $\Pred(G)\to H'$, ce
qui veut  dire que l'action de $G\times H$ sur
$M$ s'\'etend en une action de $\Pred(G)\times H$.

Consid\'erons le morphisme canonique (dans $\bGred_K$)
$f:\Pred(G\times H)\to \Pred(G)\times H$. En consid\'erant s\'epar\'ement
les morphismes
$\Pred(G)\to \Pred(G\times H)$ et $H\to \Pred(G\times
H)$, on voit que c'est un \'epi. D'autre part, on vient de voir que, pour
toute repr\'esentation $M$ de $\Pred(G\times H)$, l'application
\[H^1_K(\Pred(G)\times H,GL(M))\to H^1_K(\Pred(G\times H),GL(M))\]
est surjective. Par cons\'equent, la restriction de $M$ \`a $\Ker f$ est
triviale pour tout $M$; mais alors on a $\Ker f=\{1\}$.\qed

\subsection{Le cas du groupe additif} \`A titre d'exemple embl\'ematique,
calculons $\Pred(G)$ et $\PU(G)$ pour $G=\bG_a$. Le th\'eor\`eme qui 
suit est une
reformulation pr\'ecis\'ee du th\'eor\`eme de 
Jacobson-Morozov\footnote{La preuve que nous
donnons de ce r\'esultat classique n'est sans doute ni la plus courte 
ni la plus simple!}.

\begin{thm}\label{Tjm} On a $\PU(\bG_a)=\bG_a$ et $\Pred(\bG_a)=SL_2$. Plus
pr\'e\-ci\-s\'e\-ment, pour toute section mono\"{\i}dale $s$ de
$\pi_{\bG_a}$, il existe un isomorphisme de
$(\bG_a)_s$ sur
$SL_2$ tel que
$s^\sharp=\phi$, o\`u $\phi$ est comme en \eqref{eq2}.
\end{thm}

\prf Soient $V\in \sA$ la repr\'esentation $\phi$ de \eqref{eq2}, et
$\bar V$ son ima\-ge dans $\bar\sA$. C'est une repr\'esentation de rang $2$
de $G_s$, et elle est non triviale puisque sa restriction \`a $\bG_a$ via
$s^*$ est non triviale. Comme $G_s$ est semi-simple et connexe
(proposition \ref{c3}), son image dans $GL_2$ est contenue dans
$SL_2$, donc est \'egale \`a $SL_2$. Nous allons montrer que
l'homomorphisme $f:G_s\to SL_2$ correspondant est un isomorphisme.

\begin{sloppypar}
Pour cela, consid\'erons le foncteur $f^*:Rep_K(SL_2)\to
Rep_K(G_s)$: comme $f$ est un \'epi, il est pleinement fid\`ele. Son
compos\'e avec $s$ n'est autre que le foncteur de restriction
$\Phi:Rep_K(SL_2)\to Rep_K(\bG_a)$. Comme
$K$ est de caract\'eristique z\'ero, les repr\'esentations
irr\'eductibles de $SL_2$ sont les puissances sym\'etriques
de $V$. D'autre part, la th\'eorie des blocs de Jordan montre que les
repr\'esentations ind\'ecomposables de $\bG_a$ sont \'egalement les
puissances sym\'etriques $S^nV$ de $V$. Ainsi, $\Phi$ induit une
bijection entre les classes d'isomorphismes de repr\'esentations
irr\'eductibles de $SL_2$ et les classes d'isomorphismes de
repr\'esentations ind\'ecomposables de $\bG_a$. D'apr\`es le lemme
\ref{l2}, $f^*$ induit donc une bijection entre les classes
d'isomorphismes d'objets irr\'eductibles de $Rep_K(SL_2)$ et celles de
$Rep_K(G_s)$. Comme $Rep_K(G_s)$ est semi-simple,
$f^*$ est essentiellement surjectif, donc est une \'equivalence de
cat\'egories, d'o\`u l'assertion.
\end{sloppypar}

Enfin, l'\'egalit\'e $s^\sharp=\phi$ et l'\'egalit\'e $U_s=\bG_a$ sont
claires.  \qed

\begin{rem}\label{rga} L'espace des $\bG_a$-homomorphismes $S^mV\to S^nV$
est de dimension $|P(m,n)|$, avec
$P(m,n)=\{j\vert \, \vert m-n\vert \leq j\leq m+n,\;j\equiv m+n \mod
2\}$.

En effet, comme $S^mV$ est auto-dual, ces homomorphismes s'identifient
aux invariants sous $\bG_a$ dans
$S^mV\otimes S^nV$. Or on a la d\'ecomposition de $SL_2$-modules
$\displaystyle S^mV\otimes S^nV\cong
\oplus_{j\in P(m,n)} S^jV$ (Clebsch-Gordan), et chaque $S^jV$ n'a qu'une
droite de vecteurs invariants sous $\bG_a$.
\end{rem}

Pour compl\'eter l'\'etude de $Rep_K\bG_a$, mentionnons le r\'esultat
suivant, qui nous servira ult\'erieurement.

\begin{prop}\label{repG_A} $Rep_K\bG_a$ est strictement de Wedderburn.
\end{prop}

\prf Il s'agit de montrer que le radical infini est nul. Com\-men\-\c 
cons par quelques remarques sur les
ind\'e\-com\-po\-sa\-bles de $Rep_K \bG_a$. Ils sont de la forme $S^mV$,
o\`u $V$ est la repr\'esentation fondamentale de dimension $2$, et
admettent une unique suite de composition (\`a crans de dimension $1$).
Tout homomorphisme $f$ de $S^m V$ vers $S^nV$ envoie le vecteur invariant
de $S^m V$ sur $0$ si
$m>n$ ou si $m=n$ et $f$ n'est pas un isomorphisme.

\noindent Soient alors $W,W'$ deux repr\'esentations, et $f_1, \dots
f_N$ une cha\^{\i}ne d'homomorphismes dans le radical reliant $W$ et
$W'$. Quitte \`a remplacer $f_1$ (\resp le compos\'e $f$ des $f_i$) par
le morphisme correspondant $\tilde f_1:
\un
\to W^\vee\otimes W_1$ (\resp $\tilde f : \un \to W^\vee \otimes W'$),
et $f_i$, pour $i>1$, par $\tilde f_i= 1_{W^\vee}\otimes f_i$  (qui sont
tous dans le radical puisque le radical est un id\'eal mono\"{\i}dal), on
se ram\`ene au cas $W=\un$ (noter que $\tilde f$ est le compos\'e des
$\tilde f_i$).

En outre, par additivit\'e, on peut supposer les sources et buts des
$f_i$ in\-d\'e\-com\-po\-sa\-bles, \ie de la forme $S^nV$. On a donc une
cha\^{\i}ne de non-isomor\-phis\-mes
\[\un  \stackrel{f_1}{\rightarrow} S^{n_1}V \stackrel{f_2}{\rightarrow}
S^{n_2}V \to \dots   \stackrel{f_N}{\rightarrow} S^{n_N}V \] o\`u $n_N$
est fix\'e (et inf\'erieur au produit des dimensions des $W$ et $W'$
originaux). Si $N>n_N$, on aura donc $n_{i+1}\leq n_i$ pour au moins l'un
des $i$, et alors le compos\'e des $f_j$ de $1$ \`a $i$ s'annulera
d'apr\`es l'observation pr\'ec\'edente.
  \qed

\begin{rems}\label{r1} \
\begin{itemize}
\item[a)] Il suit de l'exemple \ref{typehomotop} et du th\'eor\`eme 
\ref{gerbe'} que le groupo\"{\i}de
$\Gamma^\otimes(Rep_K\bG_a)$ a le m\^eme type d'homotopie que 
$\bG_a\to \Spec K$ (au sens de \loccit).
\item[b)] Supposons $K$ de caract\'eristique $p>0$. Alors le
radical de $Rep_K(\bG_a)$ \emph{n'est pas mono\"{\i}dal}.
  En effet, consid\'erons la repr\'esentation
in\-d\'e\-com\-po\-sa\-ble standard $W$ de dimension
$p$ de  $\bG_a$ donn\'ee par $t\mapsto \exp tn_{p-1}$, o\`u $n_{p-1}$
est l'endomorphisme nilpotent d'\'echelon
$p$ (un seul bloc de Jordan). Les endomorphismes de cette
repr\'esentation sont donn\'es par des matrices
triangulaires dont les coefficients diagonaux sont tous \'egaux; leur
trace est donc nulle, ce qui montre
qu'avec les notations de \S4, $W$ devient nul dans
$Rep_K(\bG_a)/\sN$. Ainsi $\sR\neq \sN$, et $\sR$
n'est pas mono\"{\i}dal d'apr\`es \ref{absJannsen}.
\item[c)] Revenons \`a la caract\'eristique nulle. Consid\'erons la
cat\'egorie tan\-na\-kien\-ne $\sA= Rep_K \Z$ des  repr\'esentations de
dimension finie sur $K$ du groupe discret $\Z$. Un r\'esultat de
`folklore', bas\'e sur la  d\'ecomposition de Jordan, dit que son
enveloppe pro-alg\'ebrique est le produit de $\bG_a$ par un
$K$-groupe affine de type multiplicatif $T\times
\mu_\infty$ ($T$ est un pro-tore, $\mu_\infty$ est le groupe de
torsion, cyclique). Il d\'ecoule de l\`a, du
th\'eor\`eme pr\'ec\'edent et du corollaire \ref{suite}, que
$\bar\sA$ est $\otimes$-\'equivalente \`a
$Rep_K(SL_2\allowbreak\times T\times \mu_\infty)$.
\end{itemize}
\end{rems}
 
\begin{sloppypar}
\subsection{Extension des scalaires} Si l'on fait varier le corps de
base $K$ (toujours suppos\'e de caract\'eristique nulle), pour un
$K$-groupe affine $G$ et une extension $L/K$, il y a lieu de distinguer
entre les $L$-groupes affines
$\Pred(G\times_K L)$ et $\Pred(G)\times_K L$. Par la propri\'et\'e
universelle de $\Pred$, on a toujours un morphisme naturel
\begin{equation}\label{eq14.1}
\Pred(G\times_K L)\to \Pred(G)\times_K L.
\end{equation}
\end{sloppypar}

Nous verrons ci-dessous que ce morphisme \emph{n'est pas un isomorphisme}
en g\'en\'eral. Par contre:

\begin{thm}\label{t14.1} Si $L/K$ est \emph{finie}, \eqref{eq14.1} est un
isomorphisme.
\end{thm}

\prf Rappelons que dans ce cas, l'extension des scalaires \`a la Saavedra
est d\'efinie sur $\sA=Rep_K(G)$, et que l'on a un isomorphisme de
cat\'egories $\sA_{(L)}\simeq Rep_L(G)$ (remarque \ref{r4} c)).
Consid\'erons le diagramme commutatif, o\`u une barre sup\'erieure
d\'esigne la r\'eduction modulo le radical:
\begin{equation}\begin{CD}\label{eq11}
  \sA_{(L)}\\
  \s \pi'\displaystyle\Big\downarrow
&\s\pi_{(L)}\displaystyle\searrow\\
 \overline{\sA_{(L)}}@>\alpha>> \bar\sA_{(L)}.
\end{CD}\end{equation}

Pour justifier l'existence de ce diagramme, remarquons que la
cat\'egorie $\bar\sA_{(L)}$ est semi-simple en vertu de la remarque
\ref{r4} c). 

Toute section $s$ de $\pi$ d\'efinit une section $s_{(L)}$ de
$\pi_{(L)}$, ce qui montre que $\alpha$ est plein et essentiellement
surjectif. On a une section de $\alpha$
\[\overline{s_{(L)}}=\pi'\circ s_{(L)}: \bar\sA_{(L)}\to
\overline{\sA_{(L)}}\]
qui donne un diagramme naturellement commutatif:
\[\begin{CD}
&&\sA_{(L)}@>\omega_{(L)}>>Vec_L\\
&\s s_{(L)}\displaystyle \nearrow& @A{\sigma}AA\\
\bar \sA_{(L)}@>\overline{s_{(L)}}>> \overline{\sA_{(L)}}.
\end{CD}\]

D'autre part, on a
un diagramme (naturellement) commutatif de ca\-t\'e\-go\-ries et
foncteurs:
\[\begin{CD}
Vec_K&&@>>> && Vec_L\\
@A{\omega}AA &&&& @A{\omega_{(L)}}AA\\
\sA@>>> \sA_L@>>> \sA_L^\natural @>\simeq>> \sA_{(L)}\\
@V{\pi}VV @VVV @VVV @VVV\\
\bar\sA@>>> \bar\sA_L@>>> \bar\sA_L^\natural && \bar\sA_{(L)}.
\end{CD}\]

En effet, le corollaire \ref{C3.1.} montre que le foncteur $\sA\to \sA_L$
est radiciel et que $(\bar \sA)_L\simeq \overline{\sA_L}$ (isomorphisme de
cat\'egories). De m\^eme pour le carr\'e sui\-vant, par le lemme
\ref{corresp}. L'\'equivalence de cat\'egories $\sA_L^\natural \cong
\sA_{(L)}$ provient du th\'eor\`eme
\ref{t2}. Il en r\'esulte en particulier que $\alpha$ est une
\'equivalence de ca\-t\'e\-go\-ries. Alors $\overline{s_{(L)}}$ est
une \'equivalence de cat\'egories, ce qui termine la d\'emonstration.\qed

\subsection{Enveloppes pro-r\'eductives des groupes
pro-unipotents}\label{eprgpu}

   Si $G$ est un $K$-groupe pro-unipotent, on sait d\'ej\`a que 
$\Pred(G)$ est pro-semi-simple simplement connexe
(proposition
\ref{c3}). Nous allons voir que $\Pred(G)$ est en g\'en\'eral de 
dimension infinie et que son calcul est un
probl\`eme ``insoluble", le cas de
$G=\bG_a$ \'etant \`a cet \'egard exceptionnel.

Consid\'erons d'abord le cas de
$G=\bG_a\times \bG_a$. On peut voir que $\Pred(G)$
\emph{n'est pas de dimension finie} en remarquant que les homomorphismes
$G\to
\bG_a,(a,b)\mapsto ax+by, (x,y\in K)$, donnent
lieu \`a une infinit\'e (param\'etr\'ee par $y/x\in \boP^1(K)$) de
repr\'esentations ind\'ecomposables non
\'equivalentes de dimension $2$. Elles sont du reste toutes 
sous-quotients de la repr\'esentation standard de
dimension $4$ donn\'ee par
$\begin{pmatrix}1& a\\ 0&1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1& b\\ 
0&1\end{pmatrix}$.
  Cela indique aussi que le morphisme \eqref{eq14.1} d'``extension
des scalaires" \emph{n'est pas un  isomorphisme en g\'en\'eral} (ne
serait-ce que pour raison de cardinalit\'e). On notera l'analogie
formelle entre d'une part ce fait et le th\'eor\`eme \ref{t14.1}, et
d'autre part le comportement conjectural des groupes de Galois motiviques
\cite[6.3? et remarque]{serrem}.

\medskip En fait, il s'av\`ere que \emph{la d\'etermination de
\[\bG_{a}\times \bG_{a}\inj\Pred(\bG_{a}\times \bG_{a})\] est un 
probl\`eme insoluble}. En effet,
elle inclut la classification des repr\'esen\-ta\-tions
in\-d\'e\-com\-po\-sa\-bles de
$\bG_a\times \bG_a$, ou ce qui revient au m\^eme, des $A$-modules finis
in\-d\'e\-com\-po\-sa\-bles pour
$A=K[[T_1,T_2]]$ (\cf remarque \ref{prof} b)). Or la classification des
$A$-modules finis in\-d\'e\-com\-po\-sa\-bles o\`u l'action de $A$ se
factorise par le cube du radical $\mathfrak{m}$ est d\'ej\`a un probl\`eme
insoluble, car $A/\mathfrak{m}^3$ est de type de repr\'esentation
infini sauvage (\cf \eg
\cite{nathanson}\footnote{Qui donne aussi une formalisation de la notion
de probl\`eme de classification insoluble ou de difficult\'e
maximale.}); plus pr\'ecis\'ement, la th\'eorie des
$A/\mathfrak{m}^3$-modules finis est ind\'ecidable (\cf
\cite{prest}).

\begin{sloppypar}
Les travaux r\'ecents de Ginz\-burg et Panyushev sur
les paires nilpotentes \cite{gin,pan} permettent peut-\^etre toutefois de
d\'ecrire de nombreux quotients de
$\Pred(\bG_{a}\times \bG_{a})$.
\end{sloppypar}

\begin{thm}\label{fin} Soit $G$ un $K$-groupe pro-unipotent. Les
propri\'et\'es  sui\-van\-tes sont \'equivalentes:
\\ a) $\dim\,G\leq 1$,
\\ b) $\Pred(G)$ est de dimension finie,
\\ c) pour toute extension $L/K$, le morphisme $\Pred(G_L)\to
\Pred(G)_L$ est un isomorphisme,
\\ d) le radical infini $\rad^\omega(Rep_K G)$ est nul, \ie $Rep_K G$
est strictement de Wedderburn,
\\ e) $\rad^\omega(Rep_K G)$ est nilpotent.
\end{thm}

\prf D'apr\`es la discussion des cas $\bG_{a }$ et $\bG_{a }\times
\bG_{a }$ et le lemme \ref{l14}, il
suffit pour l'\'equivalence de $a),b),c)$ de d\'emontrer que $\bG_{a
}\times \bG_{a }$ est quotient de
$G$ d\`es que $\dim G> 1$. Passant aux
alg\`ebres de Lie, il s'agit de voir que pour toute alg\`ebre de Lie
nilpotente  $\mathfrak{n}$ de dimension $> 1$,
$\mathfrak{n}^{ab}$ est de dimension $>1$. Mais il est bien connu que
$\dim\,  \mathfrak{n}^{ab}$  est une borne
inf\'erieure pour le nombre de g\'en\'erateurs de $\mathfrak{n}$.

L'implication $d)\If e)$ est triviale.

L'implication $a) \If d)$ est la proposition \ref{repG_A}.

Pour terminer, prouvons $e)\If a)$ par l'absurde. Fixons un
\'epi\-mor\-phis\-me $G\to \bG_a\times
\bG_a$. Identifions
$Rep_K\,
(\bG_a\times
\bG_a)$
\`a $A$-$Modf$ avec
$A=K[[T_1,T_2]]$ d'une part, et \`a une sous-cat\'egorie pleine de
$Rep_K G$ d'autre part. Soit
$\mathfrak{m}$ le radical de
$A$, et consid\'erons la sous-cat\'egorie pleine
$(A/\mathfrak{m}^3)$-$Modf$ de $A$-$Modf$. D'apr\`es
l'hypoth\`ese et le lemme
\ref{radinf}, le radical infini de
$(A/\mathfrak{m}^3)$-$Modf$ serait donc nilpotent, en contradiction,
d'apr\`es \cite{ks}, avec le caract\`ere sauvage de $A/\mathfrak{m}^3$.
  \qed

Au-del\`a du cas unipotent, on peut se poser la question suivante:

\begin{qn} Pour quels groupes alg\'ebriques lin\'eaires $G$
$\;\Pred(G)$ est-il de dimension finie? Sa
formation est-elle alors compatible \`a l'extension des scalaires?
\end{qn}

Un cas int\'eressant est celui du produit semi-direct $G$ de $SL_2$ 
par $\bG_a\times \bG_a$ (d\'efini par la
repr\'esentation standard de $SL_2$). Ce cas a \'et\'e examin\'e dans 
\cite{piard}.
L'auteur y montre que pour tout $n\geq 1$, l'alg\`ebre de Lie 
$sl_{2n+1}$ contient une copie de $Lie\,G$ mais
aucune sous-alg\`ebre de Lie semi-simple interm\'ediaire. Comme on 
sait par la proposition \ref{c3} et le
corollaire \ref{c7} que
$\Pred(G)$ est pro-semi-simple simplement connexe, on en d\'eduit que 
$\Pred(G)$ admet
$SL_{2n+1}$ comme quotient. Par application du lemme de Goursat, il 
admet donc aussi $\displaystyle\prod_n
SL_{2n+1}$ comme quotient.

\subsection{Un d\'efi au lecteur} Il s'agit de calculer l'enveloppe
pro-r\'eductive du groupe
\[G_n=\bG_a\rtimes^n\bG_m\]
produit semi-direct de $\bG_m$ par $\bG_a$, l'action de $\bG_m$ \'etant
donn\'ee par $\alpha*a=\alpha^na$. Pour $n=1$, c'est le ``groupe
affine" de l'espace affine dimension $1$; pour
$n=2$, il s'agit du sous-groupe de Borel standard de $SL_2$. 
Une repr\'esentation de $G_n$ sur
un $K$-espace vectoriel de dimension finie $E$ revient \`a la donn\'ee
d'une graduation de type $\Z$ de $E$
\[E=\bigoplus_{i\in \Z} E^i\]
et d'un endomorphisme $v_E$ de $E$ v\'erifiant
\begin{equation}\label{eq14.8}
v_E(E^i)\subset E^{i+n}
\end{equation}
\cf \cite[IV.2.2.6.1]{saavedra}.

Voici au moins une cat\'egorie int\'eressante $\sC_n$ li\'ee \`a
$Rep_K(\Pred(G_n))$:

Un objet de $\sC_n$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $E$
muni d'une action $\rho$ de $SL_2$ et d'une action $\theta$ de $\bG_m$,
ces deux actions \'etant soumises \`a la relation suivante:

\begin{quote} Pour tout $a\in \bG_a$ et pour tout
$\alpha\in \bG_m$, on a
\[\theta(\alpha)\rho\begin{pmatrix}
1&a\\0&1\end{pmatrix}\theta(\alpha)^{-1}=\rho\begin{pmatrix}
1&\alpha^na\\0&1\end{pmatrix}.\]
\end{quote}

Un morphisme de $\sC_n$ est une application $K$-lin\'eaire commutant \`a
ces structures.

En termes de graduations, un objet de $\sC_n$ est un $K$-espace vectoriel
de dimension finie gradu\'e $E=\bigoplus_i E^i$ et muni d'une action
$\rho$ de $SL_2$ telle que, si on pose $v_E=\rho\begin{pmatrix}
1&1\\0&1\end{pmatrix}-1_E$, l'endomorphisme $v_E$ v\'erifie la condition
\eqref{eq14.8}.

On a un foncteur d'oubli $T:\sC_n\to Rep_K(G_n)$, qui est \'evidemment
fid\`ele et exact; en particulier, $\sC_n$ est tannakienne. Par
Jacobson-Morozov, $T$ est aussi essentiellement surjectif. Mais
$\sC_n$ n'est pas semi-simple. En effet, on obtient une extension $V$ non
triviale de $\un$ par un objet de dimension deux de la mani\`ere
suivante: soit
$e_1, e_2, e_3$ la base canonique de $V=k^3$. On d\'efinit $V^0=
ke_2\oplus k (e_1+e_2+e_3),\; V^n = k e_1$. On munit $W= ke_1\oplus ke_2$
de l'action standard de $SL_2$, qu'on fait agir trivialement sur $e_3$.
Alors $W$ est un sous-objet de $V$ dans $\sC_n$,
$V/W\cong \un$, et $V$ est extension non triviale de $\un $ par $W$. 

\begin{qns}
a) Peut-on d\'ecrire le groupe tannakien associ\'e au
foncteur fibre canonique sur $\sC_n$?\\
b) Est-il vrai que, pour $n\ne 0$, $\Pred(G_n)$ est de dimension infinie?
\end{qns}

\section{Applications aux groupes alg\'ebriques et aux 
repr\'esentations ind\'ecomposables.}\label{appl}


En d\'epit du fait que l'enveloppe pro-r\'eductive $\Pred G$ d'un
$K$-groupe alg\'ebrique lin\'eaire $G$ soit bien souvent de dimension
infinie, et m\^eme intrins\`eque\-ment ind\'eterminable comme on l'a vu,
son existence permet d'ob\-te\-nir des r\'esultats  concrets sur les
groupes r\'eductifs\footnote{On rappelle que dans ce texte, r\'eductif
n'implique pas connexe.} contenant
$G$ et sur les re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions in\-d\'e\-com\-po\-sa\-bles de $G$.

Dans tout ce paragraphe, $K$ est un corps de caract\'eristique nulle.

\subsection{Applications aux groupes alg\'ebriques} 

\begin{prop}[\cf \protect\cite{mor2}]\label{p13.1} Soit $H'$ un
sous-groupe r\'eductif ferm\'e \allowbreak d'un groupe r\'eductif
$H$. Alors le centralisateur de $H'$ dans $H$ est r\'e\-duc\-tif.
\end{prop}

\prf Soit $U$ le radical unipotent de ce centralisateur $C_H(H')$. Il 
s'agit de montrer que tout homomorphisme
$f:\bG_a\to U$ est trivial. Un tel homomorphisme s'\'etend en un 
homomorphisme $g: \bG_a\times H'\to H$,
puis, d'apr\`es la proposition \ref{Tjm2} et le th\'eor\`eme \ref{Tjm}, en
un  homomorphisme $g':SL_2\times H'\to H$. On a donc
un homomorphisme $f':SL_2\to C_H(H')$ qui prolonge $f$. La 
compos\'ee de $f'$ avec la projection
$C_H(H')\to C_H(H')/U$ est triviale (puisqu'il en est de m\^eme de 
$f$). On en d\'eduit que $f'$ lui-m\^eme, et
par suite $f$, est trivial.\qed


Soit $G$ un sous-groupe fer\-m\'e d'un groupe r\'eductif $H$.
\begin{defn}\label{d15.1} On appelle \emph{enveloppe r\'eductive de $G$
dans
$H$}  tout sous-groupe r\'eductif ferm\'e
de $H$ contenant $G$ et \emph{minimal} pour cette propri\'et\'e.
\end{defn}

\begin{thm}\label{T3} a) Deux enveloppes r\'eductives de $G$ dans $H$
sont con\-ju\-gu\'e\-es par un \'el\'ement de $h \in H(K)$ centralisant 
$G$.\\ 
b) Soit $H\to H_0$ un homomorphisme de groupes r\'eductifs, et 
soit $G_0$ l'ima\-ge de $G$ dans $H_0$. Alors
l'ima\-ge dans $H_0$ de toute enveloppe r\'eductive de $G$ dans $H$ est
une  enveloppe r\'eductive de $G_0$ dans $H_0$.\\
c) Supposons que l'enveloppe r\'eductive de $G$ dans $H$ soit \'egale \`a
$H$. Alors le centralisateur de $G$ dans $H$ est produit du centre de $H$
par un groupe unipotent.
\end{thm}

\prf Nous allons prouver que toute enveloppe r\'eductive $H'$ de $G$ 
dans $H$ est image dans
$GL(V)$ du $K$-groupe pro-r\'eductif $G_s$ attach\'e \`a une section 
mono\"{\i}dale $s$ comme au \S \ref{neu}
(et r\'eciproquement). En effet, il suit de la proposition \ref{p3} 
que le plongement $G\to H'$ se factorise par
$G_s$. Comme l'image de $G_s$ dans $H'$ est r\'eductive et contient 
$G$, elle est \'egale \`a $H'$ par
minimalit\'e de $H'$. R\'eciproquement, le m\^eme argument montre que 
pour toute factorisation de $G\to H$ \`a
travers $G_s$, l'image $H'$ de $G_s$ dns $H$ est un enveloppe 
r\'eductive de $G$ dans $H$. 

Le point b) suit imm\'ediatement de cette interpr\'etation.

a) Ce point suit alors de la proposition \ref{p2} (avec $s=t,\;f\circ
s^\sharp=g\circ s^\sharp$).

Enfin, c) a d\'ej\`a \'et\'e d\'emontr\'e (proposition \ref{centr}).
  \qed

\begin{contrex} On pourrait se demander si la propri\'et\'e c)
\emph{ca\-rac\-t\'e\-ri\-se} les enveloppes pro-r\'eductives. C'est
(totalement) faux, comme on le voit sur l'exemple de $\bG_a$ plong\'e
dans $SL_{n+1}$ par l'interm\'ediaire de la puissance sym\'etrique
$n$-i\`eme d'une repr\'esentation fid\`ele dans $SL_2$: le centralisateur
de $\bG_a$ est alors \'egal au produit d'un groupe isomorphe \`a
$\bG_a^n$ par le centre de $SL_{n+1}$.
\end{contrex}

\begin{rem} Pour toute enveloppe r\'eductive $H'$ de $G$ dans $H$, il
suit de l'interpr\'etation de $H'$ donn\'ee dans la d\'emonstration du
th\'eor\`eme \ref{T3} que la restriction
\`a $G$ des repr\'esentations de
$H'$  induit une \emph{injection} de l'ensemble des classes
d'isomorphismes de repr\'esentations irr\'eductibles de
$H'$ vers l'ensemble des classes d'isomorphismes de repr\'esentations
ind\'e\-com\-po\-sa\-bles de $G$. Les repr\'esentations
ind\'e\-com\-po\-sa\-bles de $G$ que l'on obtient ainsi sont, \`a
isomorphisme pr\`es, les facteurs directs des sommes finies
$\displaystyle \oplus_i ({\check V})^{m_i}\otimes V^{n_i}$. 
\end{rem}

\subsection{Applications aux repr\'esentations
in\-d\'e\-com\-po\-sa\-bles}\label{15.2}
  Soit $V$ est une repr\'esentation (de dimension
finie) de $G$. On note (abusivement) $G_V$ une enveloppe r\'eductive 
de $G$ dans $GL(V)$ (c'est-\`a-dire,
d'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, le groupe r\'eductif image dans
$GL(V)$ du $K$-groupe pro-r\'eductif $G_s$ attach\'e \`a une section 
mono\"{\i}dale $s$ comme dans \ref{neu}).
Alors la d\'ecomposition en in\-d\'e\-com\-po\-sa\-bles de toute somme
finie
$\displaystyle \oplus_i ({\check V})^{m_i}\otimes V^{n_i}$ est
d\'etermin\'ee par la d\'ecomposition en irr\'eductibles de
$\displaystyle \oplus_i ({\check V})^{m_i}\otimes V^{n_i}$ vue comme
repr\'esentation de $G_V$. Cela ram\`ene un certain nombre de questions
sur les repr\'esentations \`a la d\'etermination (m\^eme partielle) de
$G_V$ et \`a la th\'eorie des poids.

Voici quelques \'echantillons d'application de ce principe.

\medskip 
On suppose dor\'enavant {\it $G$ connexe et $K$
al\-g\'e\-bri\-que\-ment clos} (de ca\-rac\-t\'e\-ris\-ti\-que nulle).
  Le groupe r\'eductif $G_V$ est alors connexe.

\medskip Consid\'erons le sous-groupe ab\'elien $\mathbf{a}_K(G,V)$ de
l'anneau des re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions $\mathbf{a}_K(G)$ engendr\'e par
les classes des facteurs directs des $\displaystyle
\oplus_i ({\check V})^{m_i}\otimes V^{n_i}$ (groupe de Grothendieck
vis-\`a-vis des sommes directes). C'est en fait un sous-anneau, et
m\^eme un sous-$\lambda$-anneau.

En outre, le foncteur $(s^\sharp)^\ast$ induit un isomorphisme de
$\lambda$-anneaux \[\mathbf{a}_K(G,V)\cong 
\mathbf{a}_K(G_V)= R_K(G_V).\] 
On rappelle que $R_K(G_V)$ s'identifie,
via l'isomorphisme ``caract\`ere" $\rm ch$, avec l'anneau des invariants
sous le groupe de Weyl de l'anneau de groupe $\Z[\Lambda]$ sur le
r\'eseau des poids $\Lambda$ (r\'eseau de rang $m=$ rang de $G_V$).

On obtient comme premi\`ere application:

\begin{thm} Si $G$ est simplement connexe, $\mathbf{a}_K(G,V)$ est un
anneau de polyn\^omes \`a coefficients entiers en $m\leq \dim V$
ind\'etermin\'ees.
\end{thm}

\prf On montre comme dans la proposition \ref{c3} que $G_V$ est
semi-simple simplement connexe. On a alors
$\mathbf{a}_K(G_V)= R_K(G_V)= R_K(Lie\,G_V)$, et il est bien connu que
ce dernier est un anneau de polyn\^omes en les poids fondamentaux de
$Lie\,G_V$.
\qed

\begin{rem} Si $V$ est une repr\'esentation fid\`ele de $G$, $Rep_V(G)$
co\-\"{\i}n\-ci\-de avec la sous-cat\'egorie tannakienne (strictement)
pleine engendr\'ee par $V$. En combinant l'isomorphisme pr\'ec\'edent
\`a \ref{hh0}, on obtient alors que \[HH_0(Rep_K(G))\cong
\mathbf{a}_K(G,V)\otimes_\Z K.\]

En particulier, l'homologie de Hochschild (en degr\'e $0$) de $Rep_K(G)$
est une alg\`ebre de polyn\^omes sur $K$ si $G$ est simplement connexe.
\end{rem}

Pour toute repr\'esentation $V$ (de dimension finie), on note $S^m V$ la
puissance sym\'etrique $m$-i\`eme de $V$. 

\begin{thm} Les conditions
suivantes sont \'equivalentes:
\\ a) $S^2V$ est ind\'ecomposable,
\\ b) pour tout $n\geq 0$, $S^n V$ est ind\'ecomposable.
\end{thm}

\prf  Supposons $a)$. Il est \'equivalent de dire que $S^nV$ est une
repr\'esentation in\-d\'e\-com\-po\-sa\-ble de $G$ ou que vue comme
repr\'esentation de $G_V$, $S^nV$ est irr\'eductible. On est donc
ramen\'e au cas ou $G$ est r\'eductif connexe, et le r\'esultat est alors
prouv\'e dans \cite[app.]{bbh} (en outre, \loccit montre que $G_V$ est
\'egal soit \`a $Z(G_V).SL(V)$ soit \`a $Z(G_V).Sp(V)$ pour une forme
symplectique convenable, et le centre $Z(G_V)$ de $G_V$ est r\'eduit aux
homoth\'eties de $G_V$).
\qed

\begin{prop} Soient $V,W$ deux repr\'esentations de $G$, et $n$ un
entier $>0$. Les conditions suivantes sont
\'equivalentes:
\\ i) $V\cong W$,
\\ ii) $V^{\otimes n}\cong W^{\otimes n}$.
\end{prop}

\prf Comme pr\'ec\'edemment, le probl\`eme se ram\`ene au pro\-bl\`e\-me
analogue avec $G$ remplac\'e par le groupe r\'eductif connexe $G_{V\oplus
W}$. Via l'homomorphisme ``caract\`ere", $i)$ (\resp $ii)$) se traduit
par l'\'egalit\'e ${\rm ch}(V)={\rm ch}(W)$ (\resp ${\rm ch}(V)^n={\rm
ch}(W)^n$) de polyn\^omes de Laurent en les poids fondamentaux, \`a
coefficients entiers positifs. Or tout polyn\^ome de Laurent \`a
coefficients entiers positifs est d\'etermin\'e par sa puissance
$n$-i\`eme. \qed

\section{Enveloppes pro-r\'eductives de gerbes}\label{gerbes}

\subsection{\ } Le but de ce paragraphe est d'amplifier le th\'eor\`eme
\ref{c4} en un th\'eor\`eme de structure sur les gerbes affines. On
peut consid\'erer le r\'esultat principal comme une globalisation
$2$-cat\'egorique du th\'eor\`eme \ref{t1}.

Soit $\sG$ une $K$-gerbe affine \cite{giraud,breen}. La cat\'egorie
$Rep_K(\sG)$ des $K$-re\-pr\'e\-sen\-ta\-tions de $\sG$ (de dimension
finie) est tannakienne. R\'eciproquement, le th\'eor\`eme principal de
\cite{saavedra}, compl\'et\'e par \cite{de}, dit qu'\'etant donn\'e
une $K$-cat\'egorie tannakienne $\sA$, le champ $\mathrm{FIB}(\sA)$ des
foncteurs fibres sur $\sA$ est une $K$-gerbe affine (\cf \cite[th.
3.2]{breen}).  Ceci d\'efinit des
$2$-\'equivalences de cat\'egories inverses entre la
$2$-cat\'egorie des $K$-gerbes affines et celle des (petites)
cat\'egories tannakiennes $K$-lin\'eaires \cite[th. IV.2.3.2]{saavedra}.

Le corps $K$ \'etant d\'esormais de caract\'eristique z\'ero, le
th\'eor\`eme \ref{c4} associe \`a toute $K$-gerbe affine $\sG$ une
$K$-gerbe pro-r\'eductive $\Pred(\sG)$ et un $K$-groupo\"{\i}de
unipotent $\Gamma_u(\sG)$. Nous nous proposons d'expliciter, sans
d\'e\-mon\-stra\-tions, la fonctorialit\'e de ces constructions.

``Rappelons" que, \'etant donn\'e deux $K$-gerbes affines $\sG,\sH$, la
cat\'egorie des morphismes de $\sG$ vers $\sH$ est repr\'esentable par un
$K$-groupo\"{\i}de affine $\uHom(\sG,\sH)$. Ceci dit:

\begin{thm} a) Pour toute $K$-gerbe affine $\sG$, on a un morphisme
canonique de groupo\"{\i}des
\[\begin{CD}
\Gamma_u(\sG)@>\sigma_\sG>> \uHom(\sG,\Pred(\sG)).
\end{CD}\]
Si $\sG$ est pro-r\'eductive, $\Gamma_u(\sG)=\{*\}$ et $\sigma_\sG(*)$ est un
isomorphisme. \\ 
b) \'Etant donn\'e deux $K$-gerbes affines $\sG,\sH$, on a
un morphisme canonique
\[\begin{CD}
\Gamma_u(\sH)\times \uHom(\sG,\sH)@>\tau_{\sG,\sH}>>
\uHom(\Pred(\sG),\Pred(\sH)).
\end{CD}\] 
Si $\sH$ est r\'eductif, le morphisme induit (via $\sigma_\sH(*)$):
\[\uHom(\sG,\sH)\to\uHom(\Pred(\sG),\sH)\] 
est une \'equivalence de groupo\"{\i}des.\\
c) (Fonctorialit\'e) Les morphismes de a) et b) sont li\'es
de la mani\`ere suivante: consid\'erons les deux morphismes de
groupo\"{\i}des
\[\Gamma_u(\sH)\times \uHom(\sG,\sH)\times
\Gamma_u(\sG)\begin{smallmatrix}a\\ \rr\\
b\end{smallmatrix}\uHom(\sG,\Pred(\sH))\]
donn\'es par
\begin{align*}
a&=\comp\circ (\sigma_\sH\times 1)\circ p\\
b&=\comp\circ (\tau_{\sG,\sH}\times \sigma_\sG)
\end{align*}
o\`u $\comp$ d\'esigne le morphisme ``composition" et $p$ est la
projection sur les deux premiers facteurs:
\[\begin{CD}
\Gamma_u(\sH)\times
\uHom(\sG,\sH)\times\Gamma_u(\sG)@>a>>\uHom(\sG,\Pred(\sH))\\ 
@V{p}VV @A{\comp}AA\\
\Gamma_u(\sH)\times \uHom(\sG,\sH)@>\sigma_\sH\times 1>>
\uHom(\sH,\Pred(\sH))\times
\uHom(\sG,\sH)
\end{CD}\]
\bigskip

\[\begin{CD}
\Gamma_u(\sH)\times
\uHom(\sG,\sH)\times\Gamma_u(\sG)\\
 &\s b\d\searrow\\ 
@V{\tau_{\sG,\sH}\times\sigma_\sG}VV&\uHom(\sG,\Pred(\sH))\\
&\s\comp\d\nearrow\\
\uHom(\Pred(\sG),\Pred(\sH))\times \uHom(\sG,\Pred(\sG))
\end{CD}\]
Alors le morphisme compos\'e
\[\Ker(a,b)\to \Gamma_u(\sH)\times \uHom(\sG,\sH)\times
\Gamma_u(\sG)\stackrel{p}{\rightarrow}\Gamma_u(\sH)\times \uHom(\sG,\sH)\]
est \`a fibres unipotentes, connexes et non vides.\\
d) (Associativit\'e) Laiss\'e au lecteur.
\end{thm}

Lorsqu'on passe de la $2$-cat\'egorie des gerbes \`a la $1$-cat\'egorie
des liens, on retrouve une g\'en\'eralisation du th\'eor\`eme \ref{t1}.

\newpage
 
\renewcommand{\appendixname}{Appendice}

\appendix

\section{Des cat\'egories semi-simples}\label{s10}



L'objet de cet appendice est de
clarifier la notion de semi-simplicit\'e dans les $K$-cat\'egories (non
n\'ecessairement ab\'eliennes), un anneau commutatif unitaire $K$ \'etant
fix\'e.  On renvoie au \S \ref{1.3} et au d\'ebut du \S
\ref{s2} pour les d\'efinitions de
base.  

Sauf mention du contraire, \emph{$\sA$-module} signifie
\emph{$\sA$-module \`a gauche} dans tout l'appendice.

\subsection{Objets projectifs et injectifs} Par un raisonnement classique
\cite{tohoku}, la ca\-t\'e\-gorie
ab\'elienne $K$-lin\'eaire $\sA\hbox{--}Mod$ des
$\sA$-modules
(\`a gauche) 
poss\`ede assez d'injectifs et de projectifs. Pour les projectifs, nous
allons retrouver ce fait de mani\`ere constructive.

\begin{lemme}\label{lA.1} Soit $f:M\to N$ un homomorphisme de
$\sA$-modules. Alors\\
a) $f$ est un \'epimorphisme si et seulement si $f(A):M(A)\to N(A)$ est
un \'epimorphisme pour tout $A\in \sA$.\\
b) $f$ est un monomorphisme si et seulement si $f(A):M(A)\to N(A)$ est
un monomorphisme pour tout $A\in \sA$.\\
c) $f$ est un isomorphisme si et seulement si $f(A):M(A)\to N(A)$ est
un isomorphisme pour tout $A\in \sA$.
\end{lemme}

\prf a) Soit $C=\Coker f$: on a $C(A)=\Coker f(A)$ pour tout $A\in \sA$,
et $C=0$ $\iff$ $C(A)=0$ pour tout $A\in \sA$.

b) R\'esulte de a) par dualit\'e (ou par le m\^eme raisonnement).

c) est clair.\qed

\begin{lemme} \label{lA.2} Pour tout objet $A\in \sA$, le $\sA$-module
$\sA_A$ est projectif.
\end{lemme}

\prf Soit $f:M\to\sA_A$ un \'epimorphisme. Par le lemme \ref{lA.1}, $f(A)$
est surjectif. Soit $m\in M(A)$ tel que $f(A)(m)=1_A$. Par le lemme de
Yoneda (proposition \ref{p1.1} a)), $m$ d\'efinit un homomorphisme
$\tilde m\sA_A\to M$, et on voit tout de suite que $\tilde m$ est une
section de $f$.\qed

\begin{defn}\label{dA.1} Un $\sA$-module de la forme $\bigoplus
\sA_{A_i}$ est appel\'e un \emph{$\sA$-mo\-du\-le libre}.
\end{defn}

Tout $\sA$-module libre est projectif. Si $\sA$ est $K$-lin\'eaire, tout
$\sA$-module libre est de la forme $\sA_A$ pour un objet $A$ convenable.

\begin{prop}\label{pA.1} Supposons $\sA$ petite.\\
a) Tout $\sA$-module
$M$ est quotient d'un $\sA$-module libre.\\
b) Un $\sA$-module $P$ est projectif si et seulement s'il est facteur
direct d'un $\sA$-module libre.
\end{prop}

\prf a) Pour tout objet $A\in \sA$, choisissons un syst\`eme
g\'e\-n\'e\-ra\-teur
$(m_i^A)_{i\in I_A}$ de $M(A)$. Alors l'homomorphisme
\[\bigoplus_{A\in \sA}\bigoplus_{i\in I_A} \sA_A\to M\]
d\'efini par le lemme de Yoneda est un \'epimorphisme par le lemme
\ref{lA.1} a).

b) La n\'ecessit\'e r\'esulte de a). La suffisance r\'esulte du lemme
\ref{lA.2}, puis\-qu'un facteur direct d'un module projectif est
\'evidemment projectif.\qed

\begin{cor}\label{cA.1} Si $P$ est un $\sA$-module projectif,
$P_L:A\mapsto L\otimes_K P(A)$ est un $\sA_L$-module projectif pour toute
extension $L/K$.
\end{cor}

\prf D'apr\`es la proposition \ref{pA.1} b), il suffit de le voir pour
$P$ de la forme $\sA_A$, auquel cas c'est \'evident.\qed

\subsection{Cat\'egories semi-simples} 
Les d\'efinitions suivantes sont adapt\'ees de \cite{street}.

\begin{defn}\label{A.D6} Soit $\sA$ une $K$-cat\'egorie. \\
a) Un objet de $\sA$ est \emph{simple} s'il n'est pas nul et s'il n'a
pas d'autre sous-objet que lui-m\^eme et $0$.\\
b) Un objet de $\sA$ est \emph{semi-simple} s'il est somme directe
d'objets simples.\\
c) Un objet $A$ de $\sA$ est \emph{artinien} si toute cha\^{\i}ne
d\'ecroissante de sous-objets de $A$ est stationnaire.\\
d) La cat\'egorie $\sA$ est \emph{artinienne} si, pour tout $A\in
\sA$, $\sA_A$ est un objet artinien de $\sA$-$Mod$.\\
e) La cat\'egorie $\sA$ est \emph{simple} si elle l'est en tant qu'objet
de $\sA^e$-$Mod$.
\end{defn}

\begin{sloppypar}
\begin{defn}\label{A.D7} Soit $(\sA_\alpha)$ une famille de cat\'egories
ayant les m\^emes objets.\\
a) Le \emph{produit local} des $\sA_\alpha$ est la cat\'egorie
$\prod^\lambda_\alpha \sA_\alpha$ ayant les  m\^emes objets que
les $\sA_\alpha$ et telle que, pour tout couple d'objets $(A,B)$, on ait
$(\prod^\lambda_\alpha \sA_\alpha)(A,B)=\prod_\alpha\sA_\alpha(A,B)$.\\
b) $\sA$ est \emph{somme directe locale} des $\sA_\alpha$ si elle est
produit local des $\sA_\alpha$ et que, de plus, pour tout objet $A$,
l'ensemble des $\alpha$ tels que $(\sA_\alpha)_A\ne 0$ est fini.\\
c) Supposons que les $\sA_\alpha$ soient des $K$-cat\'egories. Le
\emph{coproduit} des $\sA_\alpha$ est la $K$-cat\'egorie
$\sA=\coprod_{\alpha}\sA_\alpha$ dont la collection d'objets est la
r\'eunion des collections d'objets des $\sA_\alpha$, avec
\[\sA(A,B)=
\begin{cases}
\sA_\alpha(A,B)&\text{si $\exists \alpha: A,B\in\sA_\alpha$}\\
0&\text{sinon}.
\end{cases}\]
\end{defn}
\end{sloppypar}

\begin{lemme}\label{A.L9} Soit $\sA$ une $K$-cat\'egorie.\\
a) Toute somme directe d'objets semi-simples est semi-simple.\\
b) Soit $A\in \sA$ un objet tel que tout sous-objet de $A$ soit facteur
direct. Alors $A$ est semi-simple dans les cas suivants:
\begin{thlist}
\item $A$ est artinien.
\item $\sA$ est de la forme $\sR$-$Mod$, o\`u $\sR$ est
une $K$-cat\'egorie.
\end{thlist}
Supposons de plus $\sA$ ab\'elienne.\\
c) Soit $A\in \sA$ un objet semi-simple et soit $B$ un
sous-objet de $\sA$. Alors il existe une famille $(S_i)_{I\in 
I}$ de sous-objets simples de $A$ telle que $A=B\oplus
\bigoplus_{i\in I} S_i$.\\
d) Tout quotient, tout sous-objet d'un objet semi-simple est semi-simple.
\end{lemme}

\prf a) est \'evident. Dans b), supposons d'abord $A$ artinien. Si $A$
n'est pas semi-simple, soit $B$ un sous-objet de $A$ minimal parmi ceux
qui ne sont pas semi-simples. Alors $B$ n'est pas simple, donc poss\`ede
un sous-objet $C\ne 0,B$. Comme $C$ est facteur direct de $A$, il est
facteur direct de $B$, soit $B=C\oplus D$. Mais $C$ et $D$ sont
semi-simples, contradiction. L'autre cas se traite comme la suffisance
dans \cite[d\'em. de la prop. 4.1]{ce} (\cf \cite[bas p. 140]{street}). c)
se d\'emontre comme la n\'ecessit\'e  dans \loccit d) r\'esulte
imm\'ediatement de  c).\qed

\begin{contrex} \label{A.CeX1} Soit $\sA$ la cat\'egorie des espaces
vectoriels de dimension d\'enombrable sur un corps $k$, et soit $\bar
\sA$ la cat\'egorie quotient de $\sA$ par la sous-cat\'egorie \'epaisse
des espaces vectoriels de dimension finie. Soit $V$ un espace
vectoriel de dimension infinie, vu comme objet de $\bar \sA$. Alors
tout sous-objet de $V$ est facteur direct, mais $V$ ne contient aucun
sous-objet simple.
\end{contrex}

\begin{lemme} \label{A.L10} Soit $\sA$ une cat\'egorie ab\'elienne.
Consid\'erons les \'enonc\'es sui\-vants:
\begin{enumerate}
\item \label{abss}Tout objet de $\sA$ est semi-simple.
\item \label{abproj}Tout objet de $\sA$ est projectif.
\item \label{abinj}Tout objet de $\sA$ est injectif.
\end{enumerate}
Alors \ref{abss} $\If$ \ref{abproj} $\iff$ \ref{abinj}. De plus,
\ref{abss} $\iff$ \ref{abproj} $\iff$ \ref{abinj} dans les deux cas
suivants:
\begin{thlist}
\item Tout objet de $\sA$ est artinien.
\item $\sA$ est de la forme $\sR$-$Mod$, o\`u $\sR$ est une
$K$-cat\'egorie.
\end{thlist}
\end{lemme}

\prf Il est bien connu que \ref{abproj} $\iff$ \ref{abinj}, et \ref{abss}
$\If$ \ref{abproj} r\'esulte du lemme \ref{A.L9} a). Les implications
inverses  r\'esultent du lemme \ref{A.L9} b).
\qed

\begin{contrex} \label{A.CeX2} Dans la cat\'egorie $\bar \sA$ du
contre-exemple \ref{A.CeX1}, tout objet est projectif, mais $\bar\sA$ ne
contient aucun objet simple (\cf \cite[p. 324]{popescu}).
\end{contrex}

\begin{lemme}[\cf \protect{\cite{jannsen}}] \label{A.L11}  Soit $\sA$ une
petite cat\'egorie $K$-lin\'eaire pseudo-a\-b\'e\-lien\-ne et dont tout
objet est semi-simple.  Alors $\sA$ est ab\'elienne si et seulement si,
pour tout objet simple $S\in \sA$, l'anneau $\sA(S,S)$ est un corps.
\end{lemme}

\prf La n\'ecessit\'e r\'esulte du lemme de Schur. Suffisance: soit $T$
l'ensemble des types d'objets simples de $\sA$, et pour tout $t\in T$ soit
$\sA_t$ la sous-cat\'egorie  pleine de $\sA$ form\'ee des objets
isotypiques de type $t$. Alors $\sA_t$ v\'erifie encore l'hypoth\`ese, et
il suffit de montrer que $\sA_t$ est ab\'elienne. En d'autres termes, on
peut supposer $\sA$ isotypique. Soit $S$ un objet simple de $\sA$, et
notons $D=\sA(S,S)$ son corps d'endomorphismes. Le foncteur $\sA^o_S$ 
s'enrichit en un foncteur $T$ \`a valeurs dans les $D^o$-espaces 
vectoriels, o\`u $D^o$ est le corps oppos\'e \`a $D$. En utilisant 
l'hypoth\`ese, on voit tout de suite que $T$ est pleinement fid\`ele 
et d'image essentielle la cat\'egorie des $D^o$-espaces vectoriels de 
dimension $\le c$, o\`u $c$ est le plus grand cardinal tel qu'il 
existe un ensemble $I$ de cardinal $c$ tel que $S^{(I)}\in \sA$. 
En particulier, $\sA$ est ab\'elienne.\qed

\begin{contrex}\label{A.CeX3} Soit $\Q[\epsilon]$ l'alg\`ebre des
nombres duaux ($\epsilon^2=0$). La cat\'egorie des $\Q[\epsilon]$-modules
libres de rang fini est $\Q$-lin\'eaire, pseudo-ab\'elienne, artinienne,
et tout objet  est semi-simple, mais elle n'est pas a\-b\'e\-lien\-ne.
\end{contrex}

\begin{lemme} \label{A.L12} Soient $\sA$ une $K$-cat\'egorie
pseudo-ab\'elienne, $A\in \sA$ et $\sA_A=\bigoplus_{\alpha\in I}
M_\alpha$ une d\'ecomposition de $\sA_A$ en somme directe de
sous-modules non nuls. Alors $I$ est fini et il existe une unique
d\'ecomposition en somme directe $A=\bigoplus A_\alpha$ telle que, pour
tout $\alpha$, $M_\alpha=\sA_{A_\alpha}$. Si $A$ est ind\'ecomposable,
$\sA_A$ est ind\'ecomposable.
\end{lemme}

\prf \'Ecrivons $Id_A=\sum e_\alpha$ avec $e_\alpha\in M_\alpha(A)$ pour
tout $\alpha$. Alors,  pour tout $B\in \sA$ et tout $f\in
\sA_A(B)=\sA(A,B)$, on a $f=\sum  fe_\alpha$. Par cons\'equent,
$M_\alpha\ne 0$ $\If$ $e_\alpha\ne  0$. Les $M_\alpha$ sont donc en nombre
fini. De plus, le lemme de  Peirce montre que les $e_\alpha$ forment un
syst\`eme  d'idempotents orthogonaux, d'o\`u la deuxi\`eme assertion en 
utilisant le lemme de Yoneda. La derni\`ere assertion en r\'esulte 
imm\'ediatement.\qed

Le th\'eor\`eme qui suit clarifie le lien entre diverses notions de
semi-sim\-pli\-ci\-t\'e, et montre qu'elles ne d\'ependent pas de la
$K$-structure.

\begin{thm} \label{A.P4} Soit $\sA$ une $K$-cat\'egorie. 
Les conditions sui\-van\-tes sont \'equivalentes:
\begin{enumerate}
\item 
\label{proj} Tout objet de $\sA$-$Mod$ est projectif.
\item 
\label{inj} Tout objet de $\sA$-$Mod$ est injectif.
\item 
\label{mod-ss} Tout objet de $\sA$-$Mod$ est semi-simple.
\item 
\label{xss} Pour tout $A\in \sA$, $\sA_A$ est semi-simple.
\item 
\label{hss} $\sA$ est artinienne et le $\sA^o\boxtimes_K
\sA$-module $\sA$ est semi-simple.
\item 
\label{struct} $\sA$ est \'equivalente au sens de Morita \`a une
cat\'egorie de la forme
$\coprod_\alpha D_\alpha$, o\`u, pour tout $\alpha$, $D_\alpha$ est un
corps gauche.
\\
On dit alors que $\sA$ est \emph{semi-simple} (\cf d\'efinition \ref{D3}).
\\
 Si de plus $\sA$ est $K$-lin\'eaire,
 les conditions ci-dessus \'equivalent \`a:
\item
 \label{end} Pour tout objet $A\in\sA$, l'anneau $\sA(A,A)$ est semi-simple.
 \item
\label{rad} $\rad(\sA)=0$ et pour tout $A\in \sA$, $\sA(A,A)$ est
un anneau artinien (\`a gauche).
\\
Enfin, si $\sA$ est en outre
pseudo-ab\'elienne, les conditions ci-dessus \'equivalent \`a:
\item
\label{local}$\sA$ est somme directe locale d'une
famille de cat\'egories artiniennes simples (ayant les m\^emes objets).
\item
 \label{ssablf} $\sA$ est ab\'elienne et tout objet de
$\sA$ est semi-simple et de longueur finie.
\item 
\label{ssart} $\sA$ est ab\'elienne, artinienne, et tout 
objet de $\sA$ est semi-simple.
\item 
\label{sslf} $\sA$ est ab\'elienne, tout objet de
$\sA$ est de longueur finie, et $\rad(\sA)=0$.
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{sloppypar}
\prf Il 
est clair que les
six premi\`eres conditions ne
changent pas si l'on 
remplace
$\sA$
par une $K$-cat\'egorie \'equivalente au sens de 
Morita. De m\^eme les septi\`eme et huiti\`eme condition sont
v\'erifi\'ees pour une cat\'egorie
$K$-lin\'eaire $\sA$ si et seulement si elles le sont pour son enveloppe
pseudo-ab\'elienne $\sA^\natural$: en effet, pour tout couple d'objets
$((A,e),(A',e'))$ de $\sA^\natural$, on a
$\sA^\natural((A,e),(A',e'))=e'\sA(A,A')e$ et
$\rad(\sA^\natural)((A,e),(A',e'))=e'\rad(\sA)(A,A')e$, \cf aussi lemme
\ref{corresp} d). Ceci permet en particulier de supposer dans la suite
$\sA$ $K$-lin\'eaire
pseudo-ab\'elienne.
\end{sloppypar}

\ref{proj} $\iff$ \ref{inj} $\iff$ \ref{mod-ss} r\'esulte du 
lemme \ref{A.L10}; \ref{mod-ss} $\If$ \ref{xss} est \'evident.

\ref{xss} $\If$ \ref{mod-ss}: soient $M$ un $\sA$-module \`a gauche,
$A\in \sA$ et $a\in M(A)$. Alors $Ann(a)(B)=\{f\in \sA_A(B)\mid f^*a=0\}$
d\'efinit un $A$-id\'eal \`a gauche de $\sA$ et l'application
$f\mapsto f^*a$ induit un morphisme de $\sA$-modules $\sA_A/Ann(a)\to
M$. En faisant varier $A$ et $a$, on obtient un \'epimorphisme
$\bigoplus_{A\in \sA, a\in M(A)} \sA_A/Ann(a)\Surj M.$

Il r\'esulte alors du lemme \ref{A.L9} que $M$ est semi-simple.

\ref{xss} $\If$ \ref{ssablf}: le lemme \ref{A.L12} montre que si $S\in
\sA$ est simple, alors $\sA_S$ est simple; en r\'eappliquant ce m\^eme
lemme, on voit que tout objet de $\sA$ est semi-simple et de longueur
finie.

Enfin, pour tout objet simple $S\in\sA$,
$\sA(S,S)=\sA$-$Mod(\sA_S,\sA_S)$ est un corps,  donc $\sA$ est
ab\'elienne d'apr\`es le lemme \ref{A.L11}.

\ref{ssablf} $\If$ \ref{ssart}: si $S\in \sA$ est simple, $\sA(S,S)$
est un corps (lemme de Schur), donc ne contient aucun id\'eal $\ne 0$ et
$\sA_S$ est simple. Il en r\'esulte que $\sA_A$ est de longueur finie,
donc artinien, pour tout $A\in \sA$.

\ref{ssart} $\If$ \ref{ssablf}: le lemme de Yoneda implique que tout
objet de $\sA$ est artinien, donc de longueur finie.

\ref{ssablf} $\If$ \ref{mod-ss}: comme dans la d\'emonstration du lemme
\ref{A.L11}, on se ram\`ene au cas o\`u $\sA$ est isotypique. Soit $M$ un
$\sA$-module \`a gauche. Choisissons un objet simple $S$ de $\sA$, et soit
$D$ le  corps des endomorphismes de $S$ (voir ci-dessus). Alors $D$
op\`ere naturellement \`a gauche sur $M(S)$. Pour tout objet $A$ de
$\sA$, on a un homomorphisme naturel 
\[\sA(S,A)\otimes_D M(S)\to M(A)\]
o\`u le produit tensoriel sur $D$ est relatif \`a l'action \`a
droite de $D$ sur $\sA(S,A)$, et l'hypoth\`ese sur $\sA$ montre que
c'est un isomorphisme de groupes ab\'eliens. On d\'efinit ainsi une
\'equivalence
\[M\mapsto M(S)\]
de $\sA$-$Mod$ sur la cat\'egorie des $D$-espaces vectoriels \`a gauche,
dont tout objet est \'evidemment semi-simple.

\ref{struct} $\If$ \ref{ssablf} est \'evident. (\ref{mod-ss} et
\ref{ssart}) $\If$ \ref{struct}: la premi\`ere hypoth\`ese implique que
$\sA$ est semi-primitive au sens  de \cite[def. 2]{street} (pour toute
fl\`eche non nulle $f$ de $\sA$, il existe un module simple $S$ tel que
$S(f)\ne 0$).  La conclusion r\'esulte alors de \cite[th. 16]{street}.

\ref{struct} $\If$ \ref{hss}: pour tout $\alpha$, soit $\sI_\alpha$
l'id\'eal bilat\`ere de $\sA$ tel que $\sA/\sI_\alpha=\coprod_{\beta\ne
\alpha} D_\alpha$. Il est clair que chaque $\sI_\alpha$ est simple et
que $\sA=\bigoplus \sI_\alpha$.

\ref{hss}$\If$ \ref{local}: d\'ecomposons le bimodule $\sA$ en $\bigoplus
\sI_\alpha$, o\`u chaque id\'eal bilat\`ere $\sI_\alpha$ est simple.
Soit $\sA_\alpha=\sA/\bigoplus_{\beta\ne\alpha}\sI_\beta$. Alors
${\sA_\alpha}$ s'identifie canoniquement \`a $\sI_\alpha$, donc est
simple; en d'autres termes, $\sA_\alpha$ est simple, et elle est
\'evidemment artinienne. Le lemme \ref{A.L12} montre que $\sA$
s'identifie \`a la somme directe locale des $\sA_\alpha$.

\ref{local} $\If$ \ref{struct}: on se ram\`ene imm\'ediatement au cas
o\`u $\sA$ est simple. La conclusion r\'esulte alors de \cite[prop. 12 et 
th. 16]{street}.

\ref{ssart}$\If$ \ref{end}: cela r\'esulte du lemme de Schur.

\ref{end} $\If$ \ref{ssart}: cela r\'esulte de \cite[lemma 2]{jannsen}
(o\`u l'on peut remplacer l'hypoth\`ese que $\sA(A,A)$ soit de dimension
finie sur $K$ par: $\sA(A,A)$ est artinienne.)

\ref{end} $\iff$ \ref{rad}: cela vient de ce que toute $K$-alg\`ebre
artinienne de radical nul est semi-simple.

\ref{mod-ss} $\If$ \ref{hss}: $\sA_A$ est semi-simple, donc de longueur
finie, donc artinien. Soit $I$ l'ensemble des types d'objets simples de
$\sA$-$Mod$ et, pour tout $\alpha\in I$, choisissons un module simple
$S_\alpha$ de type $\alpha$. Pour tout $\sA$-module \`a gauche 
$M$, notons $Ann(M)=\{f\mid M(f)=0\}$: c'est un id\'eal bilat\`ere 
de $\sA$. On va montrer l'\'egalit\'e $\sA=\bigoplus_{\alpha\in 
I} Ann(\bigoplus_{\beta\ne\alpha}S_\beta)$ et que $Ann(\bigoplus_{\beta\ne
\alpha} S_\beta)$ est un id\'eal bilat\`ere simple pour tout $\alpha$.
Pour cela, \'etant donn\'e $A\in \sA$, d\'ecomposons $\sA^o_A$ en une
somme directe $\bigoplus_{\alpha\in I}M_\alpha$ de sous-modules
isotypiques. Ecrivons d'abord $Id_A=\sum e_\alpha$, avec $e_\alpha\in
M_\alpha(A)$ pour tout $\alpha$. On remarque que les $M_\alpha(A)$
sont des id\'eaux bilat\`eres de l'anneau $\sA(A,A)$; il en r\'esulte
que les $e_\alpha$ forment un syst\`eme d'idempotents orthogonaux. En
particulier, comme $S_\beta(A)$ est facteur direct de $M_\beta(A)$,
$e_\alpha$ op\`ere par $0$ sur $S_\beta(A)$ pour $\beta\ne \alpha$ et par
l'identit\'e pour $\beta=\alpha$. Soit maintenant $f\in \sA(A,B)$, et soit
$f=\sum f_\alpha$ sa d\'ecomposition sur les $M_\alpha(B)$. On a
$f_\alpha=fe_\alpha$, donc $f_\alpha$ op\`ere sur $M_\beta(B)$ par
$0$ pour $\beta\ne \alpha$ et par $f$ pour $\beta=\alpha$. On a 
donc bien prouv\'e que $\sA(A,B)=\bigoplus_{\alpha\in I}
Ann(\bigoplus_{\beta\ne\alpha}S_\beta)(A,B)$. Enfin, montrons que,
pour tout $\alpha\in I$, $\sI_\alpha=Ann(\bigoplus_{\beta\ne 
\alpha}S_\beta)$ est simple. Soit $\sJ$ un sous-module non nul 
de $\sI_\alpha$. Choisissons $A,B\in \sA$ tels que $\sJ(A,B)\ne 0$ 
et soit $0\ne f\in \sJ(A,B)$. On a $S_\beta(f)=0$ pour tout 
$\beta\ne\alpha$. Si $S_\alpha(f)=0$, on a donc $M(f)=0$ pour 
tout $\sA$-module $M$, ce qui est absurde en choisissant
$M=\sA_A$. Par cons\'equent, $S_\alpha(f)\ne 0$.

\ref{ssablf} $\If$ \ref{sslf}: Pour tout objet semi-simple $A$,
l'alg\`ebre $\sA(A,A)$ est semi-simple donc $\rad(\sA)(A,A)=0$; on
conclut gr\^ace \`a l'additivit\'e des id\'eaux sur les objets.

\ref{sslf} $\If$ \ref{ssablf}:  Comme $\sA$ est suppos\'ee ab\'elienne et
tout objet de longueur finie, tout objet est somme directe finie
d'ind\'ecomposables. Tout se ram\`ene \`a montrer que tout
ind\'ecomposable $A$ est simple.  Cela r\'esulte du lemme
\ref{L2} appliqu\'e au monomorphisme $S\inj A$, o\`u
$S$ est un sous-objet simple de $\sA$ (dans ce cas, le lemme dit que $S$
est facteur direct de $A$, donc \'egal \`a $A$). 
 \qed

\begin{cor}[\`a la d\'emonstration] Une $K$-cat\'egorie $\sA$ est simple
(d\'e\-fi\-ni\-tion \ref{A.D6}) si et seulement si elle est semi-simple et
n'a qu'un seul type de module simple.
\end{cor}

\prf Cela r\'esulte de la preuve de \ref{struct} $\If$ \ref{hss}.\qed

\begin{contrex}\label{A.CeX4} La cat\'egorie du contre-exemple
\ref{A.CeX1} est semi-simple au sens de \cite[d\'ef. 4]{street}, mais pas
au sens de la d\'efinition \ref{D3} ci-dessus.
\end{contrex}

\begin{lemme}\label{lA.3} Dans une cat\'egorie ab\'elienne semi-simple
$\sA$, tout morphisme est somme directe d'un morphisme nul et d'un
isomorphisme.
\end{lemme}

\prf Soit $u:A\to B$ un morphisme de $\sA$. On peut d\'ecomposer
\begin{align*}
A&=\Ker u\oplus A'\\
B&=B'\oplus \IM u.
\end{align*}

Sur cette d\'ecomposition, $u$ a la forme d\'esir\'ee.\qed

\begin{lemme}\label{utile}
Tout foncteur additif $F: \sA\to \sB$ entre cat\'egories 
a\-b\'e\-lien\-nes semi-simples est exact. De plus,  les
conditions suivantes:
\begin{thlist}
\item $F$ est fid\`ele 
\item $F$ est conservatif 
\item  $F$ n'envoie aucun
objet  non nul de $\sA$ sur un objet nul de $\sB$ 
\end{thlist}
sont \'equivalentes.
\end{lemme}

\prf Comme tout foncteur additif transforme une suite exacte courte
scind\'ee en une suite exacte courte scind\'ee, la premi\`ere affirmation
est claire. (i) $\If$ (iii) est \'evident; (iii) $\If$ (ii) et (ii)
$\If$ (i) r\'esultent imm\'ediatement du lemme \ref{lA.3}. 

\subsection{Cat\'egories s\'eparables (ou absolument semi-simples)}

\begin{thm}\label{tsep} Soit $\sA$ une $K$-cat\'egorie. Les conditions
suivantes sont \'equivalentes:
\begin{enumerate}
\item \label{tsep1} Le $\sA^{\rm o}\boxtimes_K\sA$-module $\sA$ est
projectif.
\item \label{tsep1bis} Le $\sA^{\rm o}_L\boxtimes_L\sA_L$-module $\sA_L$
est projectif pour toute extension $L/K$.
\item \label{tsep2} $\dim_K \sA(A,B)<\infty$ pour tous $A,B\in \sA$ et
$\sA_L$ est semi-simple pour toute extension $L/K$.
\item \label{tsep3} $\sA_L$ est semi-simple pour toute extension $L/K$.
\item \label{tsep4} $\dim_K \sA(A,B)<\infty$ pour tous $A,B\in \sA$ et
$\rad(\sA_L)=0$ pour toute extension $L/K$.  
\item \label{tsep5} La cat\'egorie $\sA^{\rm o}\boxtimes_K \sA$ est
semi-simple.\\ 
On dit alors que $\sA$ est \emph{s\'eparable}.\\
Si $\sA$ est $K$-lin\'eaire, ces conditions sont encore
\'equivalentes \`a
\item \label{tsep6} La $K$-alg\`ebre $\sA(A,A)$ est s\'eparable pour tout
objet
$A$ de
$\sA$.
\end{enumerate}
 \end{thm}

\prf Les conditions \ref{tsep1}--\ref{tsep5} \'etant manifestement
invariantes par passage \`a l'enveloppe $K$-lin\'eaire, on peut supposer
$\sA$ $K$-lin\'eaire.

\ref{tsep2} $\If$ \ref{tsep3} et \ref{tsep2} $\If$ \ref{tsep4} sont
\'evidents. \ref{tsep3} $\iff$ \ref{tsep6} r\'esulte de la
caract\'erisation \ref{end} du th\'eor\`eme \ref{A.P4} et de la
d\'efinition d'une $K$-alg\`ebre s\'eparable (d\'efinition \ref{D4sep}
a)). \ref{tsep6} $\If$ \ref{tsep2} r\'esulte de la caract\'erisation
\ref{Psep3} des $K$-alg\`ebres s\'eparables dans la proposition
\ref{Psep}. \ref{tsep6} $\If$ \ref{tsep5} r\'esulte du lemme \ref{l2.3}.
\ref{tsep4} $\If$ \ref{tsep6} r\'esulte de la caract\'erisation
\ref{Psep5} des $K$-alg\`ebres s\'eparables dans la proposition
\ref{Psep}. \ref{tsep5} $\If$ \ref{tsep1} r\'esulte de la
caract\'erisation \ref{proj} du th\'eor\`eme \ref{A.P4}. \ref{tsep1}
$\If$ \ref{tsep1bis} r\'esulte du corollaire \ref{cA.1}.

Il reste \`a d\'emontrer que \ref{tsep1bis} $\If$ \ref{tsep3}. Il
suffit de traiter le cas $L=K$. Pour cela, nous allons reproduire la
raisonnement de \cite[ch. IX, d\'em. de la prop. 7.1]{ce} ``\`a la main".

Si $M$ et $N$ sont deux $\sA$-modules, on leur associe le $\sA^e$-module
\[\uHom_K(M,N):(A,B)\mapsto Hom_K(M(A),N(B)).\]

Le foncteur $\uHom:(\sA\hbox{--}Mod)^{\rm o}\times \sA\hbox{--}Mod\to
\sA^e\hbox{--}Mod$ est bi-exact.

Soit $0\to N\to E\to M\to 0$ une extension de $M$ par $N$. On lui
associe une extension $\tilde E$ du $\sA^e$-module $\sA$ par
$\uHom_K(M,N)$ par pull-back via le diagramme
\[\begin{CD}
0&\to& \uHom_K(M,N)@>>> \uHom_K(E,N)@>>> \uHom_K(N,N)&\to& 0\\
&&||&&@A{\rho}AA @AAA\\
0&\to& \uHom_K(M,N)@>>> \tilde E@>\pi>> \sA&\to& 0. 
\end{CD}\]

Soit $s$ une section de $\pi$. Alors $\rho\circ s$ d\'efinit un
homomorphisme $\sA\to \uHom_K(E,N)$. Celui-ci correspond \`a un
homomorphisme $f:E\to N$, et la commutativit\'e du diagramme montre que
$f$ est une r\'etraction du monomorphisme $N\to E$. Ainsi, $\sA$ est
semi-simple.\qed

\begin{thebibliography}{I}
\setcounter{enumiv}{33}

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\end{thebibliography} 

\newpage

\section*{Index terminologique}

{\Small

$A$-id\'eal \`a gauche \dotfill \ref{d1}, \ref{corresp}, \ref{L4.2}

$\sA$-module (\`a gauche) \dotfill \ref{D2 1/2}, \ref{corresp}, \ref{D3},
\ref{prodtens}, appendice \ref{s10}

$\sA$-bimodule \dotfill \ref{prodtens}

anneau de repr\'esentations \dotfill \ref{hh0}, \ref{15.2}

artinien \dotfill \ref{P4/3}, \ref{R1}, \ref{P3/2}, \ref{A.D6}, \ref{A.L9}

auto-dual \dotfill \ref{P1}, \ref{P4/3}, \ref{D4sep1}, \ref{R1}, \ref{rga}

Auslander (alg\`ebre d')  \dotfill \ref{12.2}\bigskip

biproduit \dotfill \ref{biprod}\bigskip

compact  \dotfill \ref{d1.1}, \ref{r4}, \ref{l11}, \ref{l12}, \ref{p6},
\ref{t2}, \ref{cdi}

compl\'ement unipotent  \dotfill \ref{d14.1}

conservatif  \dotfill \ref{P1}, \ref{L1}, \ref{meg1}, \ref{P3/2},
\ref{s.saa}, \ref{new p3/2}, \ref{l14}, \ref{utile}

coproduit (de cat\'egories)  \dotfill \ref{A.D7}

cor\'etraction  \dotfill \ref{P1}, \ref{L2}, \ref{Ldim}\bigskip

dimension (rigide) \dotfill \ref{traces}, \ref{a la Deligne},
\ref{nouvelle}, \ref{nil, tr}, \ref{dim 0 ou 1}, \ref{rmot}, \ref{new
p5/2}, \ref{nouveau}, \ref{Z/2}, \ref{pkim.2}, \ref{tkim.1}

dimension finie au sens de Kimura \dotfill \ref{dkim.1} 

dimension de Kimura (ou kimension) \dotfill \ref{dkim.2} 

dual  \dotfill \ref{l7}, \ref{6.2}, \ref{hh0}, \ref{duaux droite},
\ref{cdi}, \ref{prof} \bigskip


enveloppe pro-semi-simple \dotfill \ref{12.1}

enveloppe r\'eductive  \dotfill \ref{d15.1}

enveloppe pro-r\'eductive  \dotfill \ref{d14.1}

\'equivalence de Morita  \dotfill \ref{morita}

\'epaisse \dotfill\ref{ep-loc}\bigskip

faiblement (exact, \'epi)  \dotfill \ref{d14.2}, \ref{suite}, \ref{c7}
\bigskip

gerbe \dotfill \ref{e10.1}, \ref{ecl}, \ref{gerbes}

groupe \`a conjugaison pr\`es  \dotfill \ref{i3}, \ref{d14.1}\bigskip

h\'er\'editaire  \dotfill \ref{12.3}

Hochschild (homologie) \dotfill \ref{h0}, \ref{rhoch}

Hochschild (cohomologie) \dotfill \ref{7.2}
\bigskip

id\'eal (bilat\`ere) d'une cat\'egorie additive  \dotfill \ref{1.3}

indice \dotfill \ref{nouvelle}
\bigskip

$K$-cat\'egorie, $K$-foncteur, $K$-lin\'eaire \dotfill \ref{biprod}

Kimura (cat\'egorie de) \dotfill \ref{defki} \bigskip   

mono\"{\i}dal (id\'eal)  \dotfill \ref{d6.1}

mono\"{\i}dal (foncteur)   \dotfill \ref{9.1}\bigskip

pr\'esentation finie  \dotfill \ref{r1.1}

produit local (de cat\'egories) \dotfill \ref{A.D7}

profinie (alg\`ebre)  \dotfill \ref{12.1}

pseudo-ab\'elien   \dotfill \ref{biprod}

puissance ext\'erieure, sym\'etrique  \dotfill \ref{alt, sym}\bigskip

radical \dotfill \ref{D1}

$\otimes$-radical  \dotfill \ref{d6.2}

radical infini \dotfill \ref{d3.1}

radiciel (mon mari) \dotfill \ref{D2}, \ref{NewL1}, \ref{P3/2},
\ref{radinf}, \ref{C3.1.}, \ref{P3}, \ref{P3'}, \ref{ab} 

r\'etraction \dotfill \ref{P1}, \ref{L2}

rigide  \dotfill \ref{6.2}, \ref{new p1}, \ref{rtss}, \ref{rmot},
\ref{new p2}, \ref{c2}, \ref{absJannsen}, \ref{new p4}, \ref{3contrex},
\ref{c4}\bigskip

semi-primaire  \dotfill \ref{D4}

semi-simple  \dotfill \ref{D3}, \ref{A.D6}

s\'eparable (cat\'egorie)  \dotfill \ref{D4sep1}

simple (objet, cat\'egorie)  \dotfill \ref{A.D6}

sorite \dotfill \ref{11.2}

stricte (cat\'egorie mono\"{\i}dale, foncteur mono\"{\i}dal) 
\dotfill \ref{ml}

strictement (semi-primaire, de Wedderburn, $K$-lin\'eaire) 
\dotfill \ref{D4swed}

structure balanc\'ee  \dotfill \ref{d4}, \ref{ex4}\bigskip

trace\dotfill \ref{traces},  \ref{tr et pext}, 
\ref{p6.4.1}, \ref{a la Kimura}, \ref{nil, tr}, \ref{a la bru},
\ref{rtss},
\ref{3contrex},\ref{h0}

tressage \dotfill \ref{6.2}, \ref{traces}, \ref{new p1}, \ref{Tre},
\ref{11.2}, \ref{p10}, \ref{t4}, \ref{ex4}

tressage infinit\'esimal \dotfill \ref{ex4}, \ref{rdc}

type de repr\'esentation  \dotfill \ref{d3.1}, \ref{ccm}, \ref{t3.1},
\ref{12.2}, \ref{12.3}, \ref{eprgpu}\bigskip

Wedderburn (cat\'egorie de) \dotfill \ref{D4wed}  } 

 \end{document}  
