%%% From: "Renate Emerenziani" <emerenz@Mathematik.Uni-Mainz.DE>
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%%% Lieber Herr Rehmann,
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%%% auf Vorschlag von Frau Kersten uebermittle ich Ihnen das 
%%% nachfolgende Latex-Manuskript fuer Ihren Server. Ich werde 
%%% versuchen, das Manuskript beim Archiv der Mathematik oder den 
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%%% Mit herzlichen Gruessen,
%%% Ihr Albrecht Pfister
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\newarrow{DotsLine}....>

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\begin{document}

\title{Eine Bemerkung zum Normenresthomomorphismus
 $h \colon K^{\ast} F/2 \longrightarrow H^{\ast} (F, \gz / 2) $}

\author{von Albrecht Pfister}

\maketitle

\small {\bf{Abstract.}} An elementary Galois theoretic proof is
given for the fact: An element $b \in \dot{F}$ is a norm from the
extension $F (\sqrt{a})$ iff $(a) \cup (b) = 0$ in $H^2 (F, \gz /
2)$. From this it follows easily that $h$ exists. Comments about
other proofs and applications to quadratic forms conclude the
paper. \normalsize


\section{Einleitung}
Sei $F$ ein K\"orper der Charakteristik $\not= 2$, $F_s$ eine
separable H\"ulle von $F$, $\Gamma = \operatorname{Gal} (F_s / F)$
die absolute Galoisgruppe von $F$ versehen mit ihrer Topologie als
kompakte proendliche Gruppe (Untergruppen von endlichem Index sind
offen). $\Gamma$ operiere trivial auf $\gz / 2 = \gz / 2 \gz$.
Dazu geh\"oren f\"ur alle $n \geq 0$ die folgenden abelschen
Gruppen (genauer: Vektorr\"aume \"uber $\fz_2 = \gz / 2)$:
\[ \begin{array}{llll}
C^n &= &\text{Gruppe aller stetigen Abbildungen von $\Gamma^n =
\Gamma \underbrace{\times \dotsb \times}_n \Gamma$} \\[-4mm]
&&\text{nach $\gz /2$ ($n$-Koketten)} \\[1mm]
Z^n &= &\text{$\lbrace f \in C^n \colon d f = 0 \rbrace$ \quad
($n$-Kozyklen)} \\[1mm]
B^n &= &\text{$d C^{n-1} \leq C^n$ \quad ($n$-Kor\"ander)} \\[1mm]
H^n &= &\text{$Z^n/B^n = n$-te Kohomologiegruppe}
\end{array} \]

Dabei ist der Ableitungsoperator $d \colon C^n \longrightarrow
C^{n+1}$ definiert durch:
\[ (df) (\gamma_1, \dotsc , \gamma_{n+1}) =
\sum\limits^{n+1}_{i=0} (-1)^i f( \gamma_1, \dotsc , \gamma_{i-1},
\gamma_i \gamma_{i+1}, \gamma_{i+2}, \dotsc , \gamma_{n+1}) \;,\]
wobei Terme $\gamma_i$ mit $i \leq 0$ bzw.\ $i
> n +1$ weg zu lassen sind. (Da die Summanden in $\gz/2$ liegen,
w\"are nat\"urlich auch der Vorzeichenfaktor $(-1)^i$
\"uberfl\"ussig.) Man rechnet trivial nach, dass $d \circ d = C^n
\longrightarrow C^{n+2}$ die Nullabbildung ist, weshalb $B^{n+1}
\leq \gz^{n+1}$
gilt. \\

Speziell haben wir:
\[ \begin{array}{llll}
C^0 &= &Z^0 = \;\text{Gruppe der Abbildungen der einpunktigen
Menge} \\
&&\text{$\Gamma^0$ nach $\gz/2$, also $C^0 = \gz/ 2, \, B^0 = 0$.}
\\
C^1 &= &\text{Abb. $(\Gamma, \gz/2)$, $Z^1 = \Hom (\Gamma,
\gz/2)$, $B^1 = 0$.} \\
B^2 &= &\text{$\lbrace dh  \colon h \in C^1 \rbrace$ mit $(d h)
(\gamma_1, \gamma_2) = h (\gamma_1) + h (\gamma_2) - h (\gamma_1
\gamma_2)$}
\end{array}  \]

Wegen $\gz/2 \otimes \gz/2 = \gz/2 \cdot \gz/2 = \gz /2$ liefert
das Cup-Produkt der Kohomologietheorie Multiplikationen $\cup
\colon C^p \times C^q \longrightarrow C^{p+q}$, $Z^p \times Z^q
\longrightarrow Z^{p+q}$, $H^p \times H^q \longrightarrow
H^{p+q}$,
die in unserem Fall v\"ollig elementar zu beschreiben sind: \\
F\"ur $f \in C^p$, $g \in C^q$ setze man:
\[ (f \cup g) (\gamma_1, \dotsc , \gamma_{p+q}) := f(\gamma_1,
\dotsc , \gamma_p) \cdot g (\gamma_{p+1}, \dotsc , \gamma_{p+q})
\]
Man rechne trivial nach, dass hierbei
\[ d (f \cup g) = (df ) \cup g + (-1)^p f \cup (dg) = (df) \cup g +
f \cup (dg) \] gilt. Also induziert $\cup$ auch bilineare
Abbildungen $\cup \colon Z^p \times Z^q \longrightarrow Z^{p+q}$
und $\cup \colon H^p \times H^q \longrightarrow H^{p+q}$. Ferner
ist klar, dass f\"ur $C^p \times C^q \times C^r \longrightarrow
C^{p+q+r}$ das Assoziativgesetz $(f \cup g) \cup
(h) = f \cup (g \cup h)$ gilt. \\

Wir setzen nun
\[ H^{\ast} := H^{\ast} F := H^0 \oplus H^1 \oplus H^2 \oplus
\dotsb \;. \] Versehen mit $\cup$ ist das eine $\nz_0$-graduierte
assoziative $\fz_2$-Algebra, der ``$(\operatorname{mod}
2)$-Kohomo\-logiering von $F$''. Dieser Ring ist letztlich sogar
kommutativ, wir brauchen aber nur, dass wenigstens die
Multiplikation $\cup \colon H^1 \times H^1 \longrightarrow H^2$
kommutativ ist. Seien dazu $f, g \in Z^1$ und $\sigma, \tau \in
\Gamma$. Definiere $h \in C^1$ durch $h (\sigma) := f (\sigma) g
(\sigma)$. Dann folgt:
\begin{gather*}
(dh) (\sigma, \tau) = h (\sigma \tau) - h (\sigma) - h (\tau) = f
(\sigma \tau) g (\sigma \tau) - f (\sigma ) g (\sigma) - f(\tau)
g(\tau) \\
= (f (\sigma) + f (\tau)) (g (\sigma) + g(\tau)) - f(\sigma) g
(\sigma) - f (\tau) g (\tau) \\
= f (\sigma) g (\tau) + g (\sigma) f(\tau) = (f \cup g) (\sigma,
\tau) + (g \cup f)(\sigma, \tau) \,,
\end{gather*}
d.\ h.\ $f \cup g + g \cup f = f \cup g - g \cup f = dh \in B^2$.
Also ist das induzierte Produkt $H^1 \times H^1 \longrightarrow
H^2$ kommutativ. \\

Wir brauchen nun noch einige Bezeichnungen. \\
Wegen $H^1 = Z^1 = \Hom (\Gamma, \gz/2)$ liefert jedes von $0$
verschiedene Element $\chi$ von $H^1$ eine Untergruppe
$\bigtriangleup = \ker \chi$ von $\Gamma$ mit $\left[ \Gamma
\colon \bigtriangleup \right] = 2$. Nach der Galoistheorie
geh\"ort zu $\bigtriangleup$ ein quadratischer
Erweiterungsk\"orper $F ( \sqrt{a})$ von $F$, so dass
$\bigtriangleup$ die Fixgruppe von $F ( \sqrt{a})$ ist. Hierdurch
ist die Quadratklasse $\tilde{a} = a \dot{F^2}$ von $a \in
\dot{F}$ eindeutig bestimmt. F\"ur zwei Elemente $a, b \in
\dot{F}$ schreiben wir auch $a \sim b$, wenn $\tilde{a} =
\tilde{b}$ gilt. Genauer sieht man: \\

Die Zuordnungen: $\tilde{a} \in \dot{F} / \dot{F^2} \longmapsto
\bigtriangleup = \bigtriangleup_a$ Untergruppe von $\Gamma$ vom
Index $\leq 2$
\[ \longmapsto \chi_a \in H^1 \quad \text{mit $\ker \chi_a =
\bigtriangleup_a$} \] sind bijektiv und es gilt f\"ur $\sigma \in
\Gamma$:
\[ \chi_a (\sigma) = \left\{ \begin{array}{lll}
0 \\[1mm]
1 \end{array} \quad \text{falls $\frac{\sigma
(\sqrt{a})}{\sqrt{a}}$} = \begin{array}{rrr} 1 \\[1mm]
-1 \end{array}\;,\;\;\text{d.\ h.\ \;$\sigma$} \;
\begin{array}{rrr}
\in \bigtriangleup_a \\[1mm]
\not\in \bigtriangleup_a \end{array} \right. \]

Wegen $\frac{\sigma ( \sqrt{a b })}{\sqrt{a b}} = \frac{\sigma
(\sqrt{a})}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sigma(\sqrt{b})}{\sqrt{b}}$
folgt au{\ss}erdem:
\[ \chi_{ab} (\sigma) = \chi_a (\sigma) + \chi_b (\sigma) \quad
\text{in $\gz/2$}\,. \] Insgesamt vermittelt die Bijektion
$\tilde{a} \longmapsto \chi_a$ einen Isomorphismus der
(multiplikativen) Quadratklassengruppe $\dot{F}/\dot{F^2}$ von $F$
auf die (additive) Kohomologiegruppe $Z^1 = H^1 = H^1 F$. \\

{\bf{Bezeichnung:}} Fassen wir den 1-Kozykel $\chi_a$ als Element
von $H^1$ auf, so schreiben wir kurz $(a)$ anstelle von $\chi_a$.
\\

Ferner wird die Konjugation in einer (h\"ochstens) quadratischen
K\"orpererweiterung $F (\sqrt{a}) /F$ mit $\overline{\cdot}$ und
die Normengruppe mit $\dot{N_a}$ bezeichnet. Wir haben also:
$\dot{N_a} = \lbrace N \alpha = \alpha \overline{\alpha} \colon 0
\not= \alpha \in F ( \sqrt{a}) \rbrace$. $\dot{N_a}$ ist eine
Untergruppe von $\dot{F}$ (und enth\"alt $\dot{F^2}$). \\

Hauptziel der Arbeit ist ein m\"oglichst elementarer Beweis der
Behauptung\\
\begin{equation} \text{F\"ur $a, b \in
\dot{F}$ gilt: $\quad b \in \dot{N_a} \Longleftrightarrow (a) \cup
(b) = 0$ in $H^2 F$ }
\end{equation}

Das geschieht in den Abschnitten 2 und 3. In den daran
anschlie{\ss}enden Abschnitten werden Folgerungen f\"ur die
Existenz des Normenresthomomorphismus in der Milnorschen
$K$-Theorie $(\operatorname{mod} 2)$ und f\"ur die Theorie der
quadratischen Formen gezogen.

\section{Die Behauptung $b \in \dot{N_a} \Longrightarrow (a) \cup
(b) = 0$}

Diese Behauptung ist trivial f\"ur $a \sim 1$ bzw.\ $b \sim 1$, da
dann $(a) = 0$ bzw.\ $(b) = 0$ gilt. Sei daher $a \not\sim 1$, $b
\not\sim 1$ und $b = N \alpha = \alpha \overline{\alpha}$ mit
$\alpha \in F (\sqrt{a})$. Wegen $b \not\sim 1$ gilt $\alpha
\not\in F$, $\alpha \not= \overline{\alpha}$. \\

$\alpha$ (und $\overline{\alpha})$ sind keine Quadrate in $F (
\sqrt{a})$, denn aus $\alpha = \beta^2$, $\overline{\alpha} =
\overline{\beta^2}$ w\"urde $b = ( \beta \overline{\beta})^2$ mit
$\beta \overline{\beta} \in \dot{F}$ folgen, also $b \sim 1$.
Daher gilt: Der K\"orper $F ( \sqrt{a}, \sqrt{\alpha}) = F (
\sqrt{\alpha})$ hat den Grad $4$ \"uber $F$. Dabei seien
$\sqrt{a}$, $\sqrt{\alpha}$ und anschlie{\ss}end
$\sqrt{\overline{\alpha}}$ festgew\"ahlte Quadratwurzeln aus $a,
\alpha, \overline{\alpha}$. Dadurch ist eine Quadratwurzel aus $b$
festgelegt durch $\sqrt{b} := \sqrt{\alpha} \cdot
\sqrt{\overline{\alpha}}$. Setze $E := F ( \sqrt{\alpha},
\sqrt{\overline{\alpha}})$. Offensichtlich gilt: $E$ enth\"alt
auch $\sqrt{a}$ und $\sqrt{b}$ und ist galoissch \"uber $F$. $E /
F$ hat den Grad $4$ oder $8$, wobei $[ E \colon F ] = 4
\Longleftrightarrow \sqrt{\overline{\alpha}} \in F (
\sqrt{\alpha}) \Longleftrightarrow \sqrt{b} \in F (
\sqrt{\alpha})$. Genauer gilt folgendes: \\

%\noindent \emph{Lemma}
\begin{lemma}
\begin{itemize}
\item[1)] $b \sim a \Longleftrightarrow [E \colon F ] = 4$
\item[2)] F\"ur $\sigma \in \Gamma$ und $[ E \colon F] = 4$ ist
$\sigma (\sqrt{\overline{\alpha}})$ vollst\"andig durch $\sigma (
\sqrt{\alpha})$ bestimmt. Ist dagegen $[ E \colon F] = 8$, so ist
$\sigma ( \sqrt{\overline{\alpha}})$ durch $\sigma (
\sqrt{\alpha})$ nur bis aufs Vorzeichen bestimmt.
\end{itemize}
\end{lemma}

\newpage
\noindent {\bf Beweis}
\begin{itemize}
\item[1)] Sei zun\"achst $b \sim a$, also $\sqrt{b} \in F (
\sqrt{a})$. Dann gilt $\sqrt{\overline{\alpha}} =
\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{\alpha}} \in F ( \sqrt{\alpha})$, also $E =
F ( \sqrt{\alpha})$, $[ E \colon F] = 4$. Ist umgekehrt $[ E
\colon F] = 4$, so folgt $\sqrt{\overline{\alpha}} \in F (
\sqrt{a}) ( \sqrt{\alpha})$. Das impliziert $\overline{\alpha}
\sim \alpha$ in $F ( \sqrt{a})$, also $\overline{\alpha} = \alpha
\gamma^2$ mit $\gamma \in F ( \sqrt{a})$, also $b = \alpha
\overline{\alpha} = ( \alpha \gamma)^2$. Wegen $b \in F$ und $b
\not\sim 1$ folgt $\alpha \gamma = x \sqrt{a}$ mit $x \in
\dot{F}$, somit $b = x^2 a \sim a$.
\item[2)] Diese Behauptung ist klar, da die galoissche Erweiterung
$E / F$ genau so viele Automorphismen besitzt wie ihr Grad $[E
\colon F]$ angibt. Nach dem Fortsetzungssatz f\"ur Isomorphismen
werden sie alle von passenden Elementen $\sigma$ aus $\Gamma$
induziert. Genauer gilt im Fall $b \sim a$ noch:
\begin{gather*}
\sigma ( \sqrt{\alpha}) = \pm \sqrt{\alpha} \Longrightarrow \sigma
( \sqrt{a}) = \sqrt{a} \Longrightarrow \sigma (\sqrt{b}) =
\sqrt{b} \Longrightarrow \sigma (\sqrt{\overline{\alpha}}) = \pm
\sqrt{\overline{\alpha}} \\
\sigma (\sqrt{\alpha}) = \pm \sqrt{\overline{\alpha}}
\Longrightarrow \sigma ( \sqrt{a}) = - \sqrt{a} \Longrightarrow
\sigma (\sqrt{b}) = - \sqrt{b} \Longrightarrow \sigma (
\sqrt{\overline{\alpha}}) = \mp \sqrt{\alpha}
\end{gather*}
\end{itemize}


\noindent {\bf Bemerkung:} \\
Man zeigt leicht, dass die Galoisgruppe von $E / F$ zyklisch von
der Ordnung $4$ bzw.\ isomorph zur Diedergruppe $D_8$ ist. Wir
brauchen dieses Resultat aber nicht. \\

\section*{Satz 2.2} \centerline{$b \in \dot{N_a} \;\Longrightarrow
\,(a) \cup (b) = 0$} \vskip10pt

\noindent {\bf Beweis} \\
Gem\"a{\ss} der Einleitung bezeichnen wir die zu $(a)$, $(b) \in
H^1$ geh\"origen $1$-Kozyklen mit $f (\sigma) = \chi_a (\sigma)$,
$g (\sigma) = \chi_b (\sigma)$ f\"ur $\sigma \in \Gamma$. Zu $(b)
\cup (a)$ geh\"ort dann der $2$-Kozykel $g (\sigma) f (\tau)$. Es
ist zu zeigen, dass $g (\sigma) f ( \tau)$ ein $2$-Korand $(dh)
(\sigma, \tau)$ ist mit $h \in C^1$. Dann folgt in $H^2$: $(a)
\cup (b) = (b) \cup (a) = 0$. \\

\noindent {\bf Definition}
\[ h (\sigma) := \left\{  \begin{array}{lll}
0 \\[1mm]
1 \end{array} \;\; \text{f\"ur} \; \begin{array}{rrrllll} \sigma (
\sqrt{\alpha}) \hspace*{-1.5mm}&= \sqrt{\alpha} \;\; \text{oder
$\sigma
(\sqrt{\alpha}) = - \sqrt{\overline{\alpha}}$} \\[1mm]
\sigma ( \sqrt{\alpha}) \hspace*{-1.5mm}&= - \sqrt{\alpha} \;\;
\text{oder $\sigma ( \sqrt{\alpha}) = \sqrt{\overline{\alpha}}$}
\end{array} \right.
\] Da $h (\sigma)$ nur von der Einschr\"ankung $\sigma \mid_{F
(\sqrt{\alpha})}$ abh\"angt, ist $h \colon \Gamma \longrightarrow
\gz/2$ offensichtlich stetig, also $h \in C^1$. \\
Die Behauptung lautet nun: \begin{equation} g (\sigma) f (\tau) =
(dh) (\sigma, \tau) = h (\sigma) + h (\tau) - h (\sigma \tau)\quad
\text{f\"ur alle $\sigma, \tau \in \Gamma$.} \end{equation}
Daf\"ur d\"urfen wir wieder $a \not\sim 1$, $b \not\sim 1$
voraussetzen, d.\ h.\ die Homomorphismen $f$ und $g$ von $\Gamma$
nach $\gz/2$ sind nicht trivial.

\subsection*{Kontrolle}
\begin{itemize}
\item[I] Sei zun\"achst $\tau (\sqrt{\alpha}) = \pm
\sqrt{\alpha}$. Dann ist $\tau (\sqrt{a}) = \sqrt{a}$ und $f
(\tau) = 0$. Zur Berechnung von $h (\sigma)$ und $h (\sigma \tau)$
gen\"ugt es nun, $\sigma ( \sqrt{\alpha})$ zu kennen. Das ergibt
insgesamt 8 F\"alle:
\begin{itemize}
\item[1)] Ist $\tau ( \sqrt{\alpha}) = \sqrt{\alpha}$, so folgt $h
(\tau) = 0$ und $h (\sigma) = h (\sigma \tau)$, also $h (\sigma) +
h (\tau) - h (\sigma \tau) = 0 = g (\sigma) f (\tau)$ in $\gz/2$.
\item[2)] Ist $\tau ( \sqrt{\alpha}) = - \sqrt{\alpha}$, so folgt
$h ( \tau) = 1$ und $\sigma \tau ( \sqrt{\alpha}) = - \sigma (
\sqrt{\alpha})$, also $h (\sigma) \not= h (\sigma \tau)$. Das
ergibt wieder $h (\sigma) + h (\tau) - h (\sigma \tau) = 0$ in
$\gz/2$.
\end{itemize}
\item[II] Sei nun $\tau ( \sqrt{\alpha}) = \mp
\sqrt{\overline{\alpha}}$. Dann ist $\tau ( \sqrt{a}) = -
\sqrt{a}$ und $f (\tau) = 1$. Hier muss man zur Berechnung von $h
(\sigma)$ und $h (\sigma \tau)$ sowohl $\sigma (\sqrt{\alpha})$
wie auch $\sigma ( \sqrt{\overline{\alpha}})$ kennen. Das ergibt
f\"ur $[ E \colon F] = 8$ insgesamt 16 F\"alle, denn durch $\sigma
(\sqrt{\alpha})$ ist $\sigma ( \sqrt{\overline{\alpha}})$
jedenfalls schon bis aufs Vorzeichen bestimmt. F\"ur $[ E \colon
F] = 4$ treten allerdings nach dem Lemma nur die H\"alfte der
F\"alle auf.
\begin{itemize}
\item[1)] Ist $\tau ( \sqrt{\alpha}) = -
\sqrt{\overline{\alpha}}$, so folgt $h (\tau) = 0$, $\sigma \tau (
\sqrt{\alpha}) = - \sigma ( \sqrt{\overline{\alpha}})$ und $(d h)
(\sigma, \tau) = h (\sigma) - h (\sigma \tau) \not= 0
\Longleftrightarrow h (\sigma) \not= h (\sigma \tau)$

\begin{itemize}
\item[a)] $\sigma (\sqrt{\alpha}) = \pm \sqrt{\alpha}$ und $\begin{aligned}[t]h
(\sigma) &\not= h (\sigma \tau) \Longrightarrow - \sigma
(\sqrt{\overline{\alpha}}) = \pm \sqrt{\overline{\alpha}}
\Longrightarrow \\
&\sigma ( \sqrt{b}) = - \sqrt{b} \Longrightarrow g (\sigma) =
1\end{aligned}$
\item[b)] $\sigma ( \sqrt{\alpha}) = \pm \sqrt{\overline{\alpha}}$
und $\begin{aligned}[t] h (\sigma) &\not= h (\sigma \tau)
\Longrightarrow - \sigma ( \sqrt{\overline{\alpha}}) = \pm
\sqrt{\alpha} \Longrightarrow \\
&\sigma ( \sqrt{b}) = - \sqrt{b} \Longrightarrow g (\sigma) = 1
\end{aligned}$ \\

Es folgt: Von den 8 F\"allen mit $\tau ( \sqrt{\alpha}) = -
\sqrt{\overline{\alpha}}$ gilt $(dh) (\sigma, \tau) = 1$ in genau
4 F\"allen und diese stimmen mit den 4 F\"allen \"uberein, in
denen $g (\sigma) = 1$ ist. Daher gilt hier immer:
\[ (dh) (\sigma, \tau) = g (\sigma) = g(\sigma) f (\tau) \]
\end{itemize}
\item[2)] Ist $\tau ( \sqrt{\alpha}) = \sqrt{\overline{\alpha}}$,
so folgt $h (\tau) = 1$, $\sigma \tau (\sqrt{\alpha}) = \sigma
(\sqrt{\overline{\alpha}})$ und $(dh) (\sigma, \tau) = 1 + h
(\sigma) - h (\sigma \tau) \not= 0 \Longleftrightarrow h (\sigma)
= h (\sigma \tau)$

\begin{itemize}
\item[a)] $\sigma (\sqrt{\alpha}) = \pm \sqrt{\alpha}$ und $h
(\sigma) = h (\sigma \tau) \begin{aligned}[t] \Longrightarrow
&\sigma (\sqrt{\overline{\alpha}}) = \mp \sqrt{\overline{\alpha}}
\Longrightarrow \\
&\sigma ( \sqrt{b}) = - \sqrt{b} \Longrightarrow g (\sigma) = 1
\end{aligned}$
\item[b)] $\sigma (\sqrt{\alpha}) = \pm \sqrt{\overline{\alpha}}$
und $h (\sigma) = h (\sigma \tau) \begin{aligned}[t]
\Longrightarrow &\sigma ( \sqrt{\overline{\alpha}} ) = \mp
\sqrt{\alpha} \Longrightarrow \\
&\sigma ( \sqrt{b}) = - \sqrt{b} \Longrightarrow g (\sigma) =1
\end{aligned}$ \\

Wie unter 1) folgt die Behauptung $(dh) (\sigma, \tau) = g
(\sigma)$. Damit ist Satz 2.2 bewiesen.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{itemize}

\section{Die Behauptung $(a) \cup (b) = 0 \Longrightarrow b \in
\dot{N_a}$}

Wir kommen nun zur Umkehrung von Satz 2.2. Auch dieser Beweis ist
einfach und elementar.

\section*{Satz 3.1}
\centerline{$(a) \cup (b) = 0 \quad \Longrightarrow b \in
\dot{N_a}$} \vskip10pt


\noindent {\bf Beweis} \\
F\"ur $a \sim 1$ ist $F (\sqrt{a}) = F$, $\dot{N_a} = \dot{F}$,
also $b \in \dot{N_a}$. F\"ur $b \sim 1$ ist $b = c^2 = N c$ mit
$c \in F \subset F (\sqrt{a})$ f\"ur alle $a \in \dot{F}$. Sei
also wieder $a \not\sim 1$, $b \not\sim 1$. Nach Voraussetzung
existiert $h \in C^1$ mit \begin{equation} (dh) (\sigma, \tau) = h
(\sigma) + h (\tau) - h (\sigma \tau) = g (\sigma) f (\tau)
\end{equation}

Seien $\Gamma_a$ bzw.\ $\Gamma_b$ die Fixgruppen zu den
quadratischen Erweiterungsk\"orpern $F (\sqrt{a})$ bzw.\ $F
(\sqrt{b})$. Es gibt $[ \Gamma \colon \Gamma_a] = [ \Gamma \colon
\Gamma_b] = 2$ und $\Gamma_a = \Gamma_b \Longleftrightarrow a \sim
b$. F\"ur $a \not\sim b$ ist $\Gamma_a \cap \Gamma_b$ als
Fixgruppe von $F (\sqrt{a}, \sqrt{b})$ ein Normalteiler vom Index
$4$ in $\Gamma$. Da $F ( \sqrt{a}, \sqrt{b})/F$ in jedem Fall
einen Automorphismus besitzt, der weder $\sqrt{a}$ noch $\sqrt{b}$
festl\"a{\ss}t, gibt es nach dem Fortsetzungssatz ein Element
$\sigma_1 \in \Gamma$ mit $\sigma_1 ( \sqrt{a}) = - \sqrt{a}$ und
$\sigma_1 (\sqrt{b}) = - \sqrt{b}$, also $f (\sigma_1) g
(\sigma_1) = 1$. Mit (2) folgt: \begin{equation} (dh) (\sigma_1,
\sigma_1) = h (\sigma^2_1) = 1 \quad \text{in $\gz/2$}
\end{equation}

Da andererseits f\"ur $\tau = 1 \in \Gamma$ stets
\[ (dh) (\sigma, 1) = h (1) + h (\sigma) - h (\sigma) = g (\sigma)
f (1) = 0 \] gilt, ist $h (1) = 0$. Insbesondere muss $\sigma^2_1
\not= 1$ sein. Klar ist auch: $\sigma_1 \not\in \Gamma_a$,
$\sigma^2_1 \in \Gamma_a$. \\
F\"ur $\sigma, \tau \in \Gamma_a$ ist $g (\sigma) f (\tau) = 0$,
daher $h (\sigma \tau) = h (\sigma) + h (\tau)$. Das bedeutet:
$h\mid_{\Gamma_a}$ ist ein Gruppenhomomorphismus von $\Gamma_a$
nach $\gz /2$. Wegen $h (\sigma^2_1) = 1$ ist er surjektiv. Setze
$\bigtriangleup := \ker (h\mid_{\Gamma_a})$. Dann ist $[ \Gamma_a
\colon \bigtriangleup ] = 2$. Der zu $\bigtriangleup$ geh\"orige
Fixk\"orper hat die Gestalt $F ( \sqrt{a}, \sqrt{\alpha})$ mit
$\alpha \in F (\sqrt{a})$ und $\alpha \not\sim 1$ in $F
(\sqrt{a})$. Dadurch ist die Quadratklasse von $\alpha$ in $F
(\sqrt{a})$ vollst\"andig bestimmt. Sei $\overline{\alpha}$ die
Konjugierte von $\alpha$ in $F (\sqrt{a})$. F\"ur das Element
$\sigma_1 \in \Gamma$ gilt dann: $\sigma_1 (\sqrt{a}) = -
\sqrt{a}$, $\sigma_1 (\alpha) = \overline{\alpha} \not= \alpha$
und $\sigma_1 (\sqrt{\alpha}) = \sqrt{\overline{\alpha}}$ bei
geeigneter Wahl des Vorzeichens von $\sqrt{\overline{\alpha}}$. \\

Allgemein gelten f\"ur $\sigma \in \Gamma$ noch die Regeln
\begin{equation}
h (\sigma) + h (\sigma^{-1}) = g (\sigma) f(\sigma^{-1}) = g
(\sigma) f (\sigma)
\end{equation}
\begin{equation}
h (\sigma) + h (\sigma^{-1}) = 1 \Longleftrightarrow \sigma
\mid_{F (\sqrt{a}, \sqrt{b})} = \sigma_1 \mid_{F (\sqrt{a},
\sqrt{b})}
\end{equation}

Aus $\sigma_1 (\sqrt{a}) = - \sqrt{a}$, $\sigma_1 (\alpha) =
\overline{\alpha} \not= \alpha$ folgt auch noch $\alpha \not\in F$
und $\sigma^2_1 ( \sqrt{\alpha}) = \sigma_1 (
\sqrt{\overline{\alpha}}) = - \sqrt{\alpha}$, da $\sigma^2_1
\not\in \bigtriangleup$. Mit $\sigma^4_1 \in \bigtriangleup$
erhalten wir
\begin{equation}
\Gamma = \underset{i \operatorname{mod} 4}{\dot{\bigcup}}
\sigma^i_1 \, \bigtriangleup \;, \;\; \Gamma_a = \bigtriangleup \,
\dot{\cup} \, \sigma^2_1 \, \bigtriangleup
\end{equation}
$\bigtriangleup$ muss aber kein Normalteiler von $\Gamma$ sein! \\

Nach (4) ist $h (\sigma_1) + h (\sigma_1^{-1}) =1$. Indem man
eventuell noch $\sigma_1$ und $\sigma^{-1}_1$ vertauscht, gilt
daher ohne Einschr\"ankung
\begin{equation}
h (\sigma_1) = 1\;, \;\; h (\sigma^{-1}_1) = 0
\end{equation}

F\"ur $\delta \in \bigtriangleup$ gilt nach Konstruktion $h
(\delta) = f (\delta) = 0$, also mit (2)
\begin{equation}
h (\sigma) - h (\sigma \delta) = 0 \qquad \text{f\"ur alle $\sigma
\in \Gamma$}
\end{equation}
Damit ist $h (\gamma)$ f\"ur ein beliebiges Element $\gamma =
\sigma^i_1 \delta \in \Gamma$ (mit $i \operatorname{mod} 4$,
$\delta \in \bigtriangleup$) bestimmt, n\"amlich
\[ h (\gamma) = 0 \;\;\;\text{f\"ur $i \equiv 0, -1$} \quad
\text{und $h (\gamma) =1$ f\"ur $i \equiv 1, 2 \operatorname{mod}
4$} \]
(Vergleiche die Definition von $h$ im Beweis von Satz 2.2) \\

Wir k\"onnen nun zeigen, dass das Element $\sqrt{\frac{\alpha
\overline{\alpha}}{b}} \in F_s$ unter allen Automorphismen $\sigma
\in \Gamma$ fest bleibt.

\subsection*{I \quad Sei $\sigma = \delta \in \bigtriangleup$}
Hier m\"ussen wir 2 F\"alle unterscheiden:
\begin{itemize}
\item[1)] $\delta \sigma_1 = \sigma_1 \delta^{\prime}$  $\in
\sigma_1 \bigtriangleup$. Dann gilt:
\[ h (\delta \sigma_1) = h (\sigma_1) = 1\,,\; g (\delta) = g
(\delta) f (\sigma_1) = h (\delta) + h (\sigma_1) - h (\delta
\sigma_1) = 0 \] Daraus folgt:
\begin{gather*}
\delta ( \sqrt{\overline{\alpha}} ) = \delta \sigma_1 (
\sqrt{\alpha}) = \sigma_1 \delta^{\prime} ( \sqrt{\alpha}) =
\sigma_1 ( \sqrt{\alpha}) = \sqrt{\overline{\alpha}}\,, \\
\delta ( \sqrt{\alpha}) = \sqrt{\alpha}, \; \delta (\sqrt{b}) =
\sqrt{b}, \; \text{also $\delta \left( \sqrt{\frac{\alpha
\overline{\alpha}}{b}} \right) = \sqrt{\frac{\alpha
\overline{\alpha}}{b}}$}
\end{gather*}
\item[2)] $\delta \sigma_1 = \sigma_1^{-1} \delta^{\prime} \, \in
\sigma^{-1}_1 \bigtriangleup$. Hier gilt: \[ h (\delta \sigma_1) =
h (\sigma^{-1}_1) = 0\,, \;g (\delta) = 1\,. \] Damit folgt:
\begin{gather*}
\delta (\sqrt{\overline{\alpha}}) = \delta \sigma_1 (
\sqrt{\alpha} ) = \sigma^{-1}_1 ( \sqrt{\alpha}) = \sigma^3_1 (
\sqrt{\alpha}) = \sigma^2_1 ( \sqrt{\overline{\alpha}} ) = -
\sqrt{\overline{\alpha}} \,, \\
\delta ( \sqrt{\alpha}) = \sqrt{\alpha},\, \delta ( \sqrt{b} ) = -
\sqrt{b}, \;\; \text{also wieder $\delta \left( \sqrt{\frac{\alpha
\overline{\alpha}}{b}} \right) = \sqrt{\frac{\alpha
\overline{\alpha}}{b}}\,.$}
\end{gather*}
\end{itemize}
\subsection*{II \quad Sei $\sigma = \sigma_1$}
Hier ist nach Konstruktion $\sigma_1 ( \sqrt{\alpha}) =
\sqrt{\overline{\alpha}}$, $\sigma_1 ( \sqrt{\overline{\alpha}}) =
\sigma^2_1 ( \sqrt{\alpha}) = - \sqrt{\alpha}$ und $\sigma_1 (
\sqrt{b}) = - \sqrt{b}$, woraus ebenfalls $\sigma_1 \left(
\sqrt{\frac{\alpha \overline{\alpha}}{b}} \right) =
\sqrt{\frac{\alpha \overline{\alpha}}{b}}$ folgt. \\

Wegen (6) bleibt also $\sqrt{\frac{\alpha \overline{\alpha}}{b}}$
bei allen Automorphismen von $F_s / F$ fest. Nach der
Galoistheorie folgt: $b \sim N \alpha = \alpha
\overline{\alpha}$ in $F$, $b \in \dot{N_a}$. \\
Damit ist Satz 3.1 bewiesen.

\section{Der Normenresthomomorphismus $(\operatorname{mod} 2)$}

Wir brauchen zun\"achst die Definition des (gro{\ss}en und
kleinen) Milnor-Rings von $F$, die ich direkt aus der
Originalarbeit von Milnor \cite{Mi1} \"ubernehme. Sei $K_1 = K_1
F$ ein additiv geschriebenes Exemplar der multiplikativen Gruppe
$\dot{F} = F \smallsetminus \lbrace 0 \rbrace$. Mit anderen
Worten: Sei $l \colon \dot{F} \longrightarrow K_1$ ein
Gruppenhomomorphismus mit $l (a b) = l (a) + l (b)$. Sei weiter
$T$ die Tensoralgebra des $\gz$-Moduls $K_1$, d.\ h.\
\[ T = \gz \oplus K_1 \; \oplus (K_1 \otimes K_1) \; \oplus (K_1
\otimes K_1 \otimes K_1) \oplus \dotsb \; , \] und sei $J$ das
homogene zweiseitige Ideal von $T$, welches von den Elementen
\[ l (a) \otimes l (1 - a) \; \in K_1 \otimes K_1 \qquad ( 1 \not=
a \in \dot{F} )  \] erzeugt wird. \\

\noindent {\bf Definition}
\begin{itemize}
\item[1)] Der Faktorring $K_{\ast} = K_{\ast} F = T / J$ hei{\ss}t
(gro{\ss}er) Milnorring. Da $K_{\ast}$ wie $T$ $\nz_0$-graduiert
ist, haben wir eine nat\"urliche Komponentenzerlegung
\[ K_{\ast} = K_0 \oplus K_1 \oplus K_2 \oplus \dotsb \]
mit $\gz$-Moduln $K_0 = \gz$, $K_1 = l ( \dot{F})$, $K_2 = K_1
\otimes K_1 / (K_1 \otimes K_1) \cap J, \dotsc $.
\item[2)] Der Faktorring $k_{\ast} = k_{\ast} F = K_{\ast} F / 2
K_{\ast} F$ hei{\ss}t kleiner oder ($\operatorname{mod} 2$) Milnorring.\\

Hierbei ist klar, dass $k_{\ast} = k_0 \oplus k_1 \oplus k_2
\oplus \dotsb \,$ eine $\nz_0$-graduierte $\gz/2$-Algebra ist mit
\[ k_0 = H^0 = \gz/2\,, \;\; k_1 = H^1 \cong \dot{F}/ \dot{F^2}\,,
\;\; k_2 = K_2 / 2, \dotsc \,. \]
\end{itemize}
\noindent {\bf Bezeichnung} \\
F\"ur $a \in \dot{F}$ wird das Element $l (a) \operatorname{mod}
2$ von $k_1$ kurz mit $\lbrace a \rbrace$ bezeichnet. Es gilt
also:
\begin{gather*}
\lbrace a \rbrace = 0 \Longleftrightarrow a \sim 1 \in \dot{F}\,,
\;\; 2 \lbrace a \rbrace = 0 \quad \text{f\"ur alle $a \in
\dot{F}$} \,, \\
\lbrace a b \rbrace = \lbrace a \rbrace + \lbrace b \rbrace
\end{gather*}

\begin{lemma}
\begin{itemize}
\item[1)] F\"ur $\xi \in K_m$, $\eta \in K_n$ gilt $\eta \xi = (
-1)^{mn} \xi \eta \in K_{m+n}$
\item[2)] Der Ring $k_{\ast}$ ist kommutativ
\end{itemize}
\end{lemma}


\noindent {\bf Beweis}
\begin{itemize}
\item[1)] Da $K_{\ast}$ von $K_1$ erzeugt wird, gen\"ugt es den
Fall $m = n = 1$ zu betrachten. F\"ur $a \not= 1$ gilt:
\[ - a \,= \; \frac{1 - a}{1 - a^{-1}} \quad \in F \]
\[ \begin{split}
l (a) l (-a) &= l (a) l (1-a) - l (a) l (1 - a^{-1}) \\
&= l (a) l (1-a) + l (a^{-1}) l (1 - a^{-1}) \quad \in J
\end{split}  \]
F\"ur $\xi = l (a)$, $\eta = l (b)$ folgt dann in $K_1 \otimes
K_1$:
\begin{gather*}
\xi \eta + \eta \xi \equiv l (a) l (-a) + l (a) l (b) + l (b) l
(a) + l (b) l(-b) \\
\equiv l (a) l (-ab) + l (b) l (-ab) \equiv l (ab ) l (-ab) \equiv
0 \operatorname{mod} J\,,
\end{gather*}
also $\xi \eta + \eta \xi = 0$ in $K_2$.
\item[2)] folgt direkt aus 1)
\end{itemize}


Nun k\"onnen wir die Existenz des Normenresthomomorphismus leicht
zeigen.

\section*{Satz 4.2}\emph{Der nat\"urliche Gruppenisomorphismus $h_1
\colon k_1 \longrightarrow H^1$ mit $h_1 ( \lbrace a \rbrace ) :=
(a)$ f\"ur $a \in \dot{F}$ induziert einen graduierten
Ringhomomorphismus von $\gz/2$-Algebren
\[ h \;:\; k_{\ast} \, \longrightarrow \, H^{\ast} \]
Er hei{\ss}t Normenresthomomorphismus $(\operatorname{mod} 2)$.}
\vskip15pt


\noindent {\bf Beweis} \\
Zun\"achst induziert $h_1$ f\"ur alle $n \geq 1$ multilineare
Abbildungen
\[ h_n \colon k_1 \underbrace{\times \dotsb \times}_n k_1
\longrightarrow H^n \] mit $h_n (\lbrace a_1 \rbrace , \dotsc ,
\lbrace a_n \rbrace ) := (a_1) \cup \dotsb \cup (a_n)$. (F\"ur $n
= 0$ ist $k_0 = H^0 = \gz/2$ und $h_0 \colon k_0
\longrightarrow H^0$ die Identit\"at.) \\

Wegen der universellen Eigenschaft der Tensorprodukte induzieren
diese Abbildungen einen kanonischen graduierten Ringhomomorphismus
$\tilde{h}$ von
\begin{gather*}
T / 2T = k_0 \oplus k_1 \oplus (k_1 \otimes k_1) \oplus \dotsb \\
\text{nach}\;\; H^{\ast} = H^0 \oplus H^1 \oplus H^2 \oplus \dotsb
\;.
\end{gather*}
Um daraus den gew\"unschten Homomorphismus $h \colon k_{\ast}
\longrightarrow H^{\ast}$ zu gewinnen, ist dann nur noch zu
zeigen, dass $\tilde{h}$ auf den Erzeugern von $J$ verschwindet.
Das bedeutet: F\"ur $1 \not= a \in \dot{F}$ muss $\tilde{h}
(\lbrace a \rbrace \otimes \lbrace 1 - a \rbrace ) = (a) \cup
(1-a)$ verschwinden. Da $1 - a = (1 + \sqrt{a}) (1- \sqrt{a}) = N
(1 + \sqrt{a})$ ist, folgt diese Behauptung direkt aus Satz 2.2.
\\

\noindent {\bf Bemerkung} \\
Satz 3.1 wird zur Konstruktion von $h$ nicht ben\"otigt.

\section{Bemerkungen zur Literatur}
\begin{itemize}
\item[1.] Bekanntlich kommen die Potenzrest- und Normenrestsymbole
und zugeh\"orige Homomorphismen aus der Zahlentheorie, wo sie
insbesondere in der lokalen und globalen Klassenk\"orpertheorie
eine gro{\ss}e Rolle spielen. Soweit ich feststellen konnte, wurde
die Behauptung (0) der Einleitung (d.\ h.\ die S\"atze 2.2 und 3.1
bzw.\ sogar ihre Verallgemeinerung zum Normenresthomomorphismus
$\operatorname{mod} N$ f\"ur einen \emph{beliebigen} K\"orper $F$
mit $\operatorname{char} F \nmid N$) zum ersten Mal in Serre's
Buch ``Corps locaux'' (1. Auflage von \cite{Se}, 1962) aufgestellt
und bewiesen. Zum Beweis werden folgende Dinge ben\"otigt:
\begin{itemize}
\item[1.] Die Definition der Kohomologiegruppen von endlichen und
proendlichen Gruppen $G$ mit Werten in $G$-Moduln, insbesondere
der Galois-Kohomologie\-gruppen $H^i (F, \cdot) = H^i ( \Gamma,
\cdot)$ eines K\"orpers $F$.
\item[2.] Die lange exakte Kohomologiesequenz zu einer kurzen
exakten Sequenz von $G$-Moduln.
\item[3.] Induzierte $G$-Moduln und das Lemma von Shapiro, welches
Beweise durch ``Dimensionsverschiebung'' erlaubt.
\item[4.] Zu einer endlichen K\"orpererweiterung $E / F$ die
induzierten Abbildungen $\operatorname{res}_i \colon H^i (F,
\cdot) \longrightarrow H^i (E, \cdot)$ (Restriktion) und
$\operatorname{cor}_i \colon H^i (E, \cdot) \longrightarrow H^i
(F, \cdot)$ (Corestriktion oder Transfer).
\item[5.] Definition des Cup-Produkts $\cup \colon H^p (\Gamma, A)
\times H^q (\Gamma, B) \longrightarrow H^{p+q} (\Gamma, A \otimes
B)$ samt einigen Regeln.
\item[6.] Die Projektionsformel (oder Frobenius-Reziprozit\"at)
\[ \operatorname{cor}_{p + q} ( f \cup \operatorname{res}_q g )_E
= ( \operatorname{cor}_p f ) \cup g \] f\"ur $f \in H^p (E, A)$,
$g \in H^q (F, B)$, jedenfalls f\"ur $p = q = 1$.
\item[7.] Kummer-Theorie f\"ur den K\"orper $F$.
\item[8.] Die Formel $H^1 (F, \dot{F}_s) = 0$ von E.\ Noether,
meistens ``Satz 90 von Hilbert'' genannt.
\item[9.] Charaktere von $\Gamma$, d.\ h.\ die Gruppe $H^1 (
\Gamma, \qz / \gz)$.
\item[10.] Die Isomorphie $\operatorname{Br} (F) \cong H^2 (F,
\dot{F_s})$, wobei $\operatorname{Br} (F)$ die Brauergruppe von
$F$ ist.
\end{itemize}
Siehe hierzu insbesondere die Kapitel 10 und 14 von \cite{Se}.
\item[2.] Milnor's Originalbeweis von Satz 3 in \cite{Mi1}, \S 6
besteht bei konsequenter Durch\-f\"uhrung aus den folgenden
Schritten:
\begin{itemize}
\item[1'] $b \in \dot{N_a} \Longleftrightarrow$ die quadratische
Form $< 1, -a, -b> $ ist isotrop \"uber $F$.
\item[2'] $< 1, -a, -b > $ isotrop $\Longleftrightarrow \ll a, b
\gg\, = \, < 1, -a, -b, ab >$ isotrop.
\item[3'] $\ll a, b \gg$ isotrop $\Longleftrightarrow$ die
Quaternionenalgebra $\left( \frac{a, b}{F} \right)$
\emph{zerf\"allt}, d.\ h.\ ist isomorph zu $M_2 (F)$.
\item[4'] Die Klasse von $\left( \frac{a, b}{F} \right)$ in
$\operatorname{Br} (F)$ ist ein Element der Ordnung $\leq 2$, d.\
h.\ liegt in der Untergruppe ${}_2\operatorname{Br} (F)$.
\item[5'] Bei der obigen Isomorphie 10. gilt
${}_2\operatorname{Br} (F) \cong H^2 (F, \mu_2)$ mit $\mu_2 =
\lbrace 1, - 1 \rbrace$.
\item[6'] Bei der Isomorphie der (multiplikativen) Gruppe $H^2 (F,
\mu_2)$ mit unserer additiven Gruppe $H^2 (F, \gz/2) = H^2$ geht
$\left( \frac{a, b}{F} \right)$ in das Element $(a) \cup (b)$
\"uber.
\end{itemize}
Dabei sind die Schritte 1' bis 4' ziemlich einfach und
wohlbekannt. Dagegen erfordern 10. und 5' die Wedderburn-Theorie
der zentraleinfachen Algebren einschlie{\ss}lich des Satzes von
Skolem-Noether und umfangreiche Rechnungen mit Faktorensystemen.
Auch 6' ist keineswegs trivial.
\item[3.] Letzteres liegt daran, dass unter der Isomorphie 10. die
Algebra $\left( \frac{a, b}{F} \right)$ zun\"achst in einen
$2$-Kozykel mit Werten in $\dot{F_s}$ abgebildet wird, wobei
$\Gamma$ nichttrivial auf $\dot{F_s}$ operiert. Dieser $2$-Kozykel
muss umgeschrieben werden in einen anderen $2$-Kozykel mit Werten
in $\mu_2$, wobei jetzt $\Gamma$ trivial auf $\mu_2$ operiert.
Dabei wird auch ben\"otigt, dass die Abbildung $H^2 (F, \mu_2)
\longrightarrow H^2 (F, \dot{F_s})$ injektiv ist, was aus 2., 7.
und 8. folgt. Siehe \cite{KMRT}, Prop.\ 30.4 oder \cite{Se},
Chapter XIV, Prop.\ 5. \\

Bei dem hier gegebenen Beweis der S\"atze 2.2 und 3.1 spiegelt
sich dieses Problem darin wider, dass sehr viel mit Quadratwurzeln
$\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{\alpha}$ und ihren Vorzeichen
gearbeitet wird. Die (vorausgesetzte bzw.\ zu beweisende)
Gleichung $b = \alpha \overline{\alpha}$ entspricht in 6. bzw.\ 6'
der Formel
\[ (b) \cup (a) = \operatorname{cor}_2 ( (\alpha) \cup
\operatorname{res}_1 (a) ) \] f\"ur die K\"orpererweiterung $F (
\sqrt{a}) /F$. Hier verschwindet die rechte Seite, da
$\operatorname{res}_1 (a)$ \\
$= ( \sqrt{a}^2) = 2 (\sqrt{a}) = 0$ ist.
\item[4.] Ein anderer rein kohomologischer Beweis der S\"atze 2.2
und 3.1 ergibt sich so: Man zeige zuerst, dass f\"ur $0 \not=
\alpha \in F (\sqrt{a})$ die Beziehung $\operatorname{cor}_1
(\alpha) = (N \alpha)$ gilt. (Ein rechnerischer Beweis mit
Kozykeln erfordert etwa 2 Seiten.) Dann wende man die exakte
Sequenz aus \cite{Ar1}, Cor. 4.6 an und erhalte die Behauptung
$(a) \cup (b) = 0 \Longleftrightarrow b \in \dot{N_a}$.
\item[5.] Ein Gro{\ss}teil der genannten Einzelresultate findet
sich auch in anderen Arbeiten und B\"uchern, z.\ B.\ 1. - 6. in
\cite{A-W},\; 7.-10. in \cite{Dr}, Part II, \; \cite{Ke}, Kap. III
und IV, \; \cite{Lo}, \S 29 + 30 und \; \cite{KMRT}, Chapter VII,
insbes.\ \S 30 + 31.
\item[6.] F\"ur den Fall $\mu_N < F$ werden zur Definition des
Normenresthomomorphismus $\operatorname{mod} N$, also des
kanonischen Gruppenhomomorphismus \[ h_N \colon K_2 / N K_2
\longrightarrow {}_N \operatorname{Br} (F) \otimes \mu_N \] in
\cite{Mi2}, \S 14 + 15 \; und \cite{Ke}, \S 17 -19 \; anstelle
oder parallel zur Projektionsformel auch ``Normenrestalgebren''
$(a, b, \zeta_N)$ und ihre Eigenschaften studiert [F\"ur $n = 2$
ist $(a, b, - 1) = \left( \frac{a, b}{F} \right) ]$.
\item[7.] Tate macht in \cite{Ta2} einige interessante
Ausf\"uhrungen zur Galoiskohomologie und gibt eine direkte
Definition von $\operatorname{cor}_p f$ f\"ur einen $p$-Kozykel
$f$ an. Er erw\"ahnt dabei insbesondere, dass ein direkter Beweis
der Regeln f\"ur das Cup-Produkt und der Projektionsformel (6)
ohne Ben\"utzung von Dimensionsverschiebung ``very tedious'' sei.
Ich habe das f\"ur $[E \colon F] =2$ und $p = q =1$ explizit
durchgef\"uhrt, selbst dieser Fall wird schon schrecklich. Ferner
beweist Tate in dieser Arbeit den schon in \cite{Ta1}
aufgestellten Hauptsatz: F\"ur jeden globalen K\"orper $F$ und
jede nat\"urliche Zahl $N$ mit $\operatorname{char} F \nmid N$ ist
$h_2 \colon K_2 F \longrightarrow H^2 (F, \mu^{\otimes 2}_N)$
surjektiv mit dem genauen $\operatorname{Kern} (K_2 F)^N$ (wobei
er $K_2 F$ multiplikativ schreibt). Bekanntlich haben
Merkurjev-Suslin \cite{M-S} gezeigt, dass dieser Hauptsatz sogar
f\"ur jeden K\"orper $F$ gilt. Der Beweis ist dann allerdings noch
deutlich schwieriger.
\end{itemize}

\section{Bemerkungen zur Theorie der quadratischen Formen}
Der hier gegebene Beweis der S\"atze 2.2 und 4.2 er\"offnet eine
Alternative zum \"ublichen Aufbau einer Vorlesung \"uber
quadratische Formen. Man lasse die gesamte Theorie der einfachen
zentralen Algebren, Clifford-Algebren und der Brauergruppe (in
ihrer klassischen Form) weg. Nach einem Studium des Wittrings $W =
WF$ mit seiner Filtrierung
\[ W \supset I \supset I^2 \supset \dotsb  \]
sowie des graduierten Wittrings $\overset{\wedge}{W} =
\overset{\infty}{\underset{n=0}\oplus} I^n / I^{n+1}$ kann man
dann direkt die Kohomologiegruppen $H^n = H^n (F, \gz/2)$
einf\"uhren und nach ``kohomologischen Invarianten'' $e_n \colon
I^n \longrightarrow H^n$ suchen. Diese Vorgehensweise ist bereits
in der Dissertation von Arason \cite{Ar1} angelegt. Dort wird
insbesondere gezeigt, dass $e_n$ auf der Teilmenge $P_n = \lbrace
\ll a_1, \dotsc , a_n \gg \, = \, < 1, -a_1 > \otimes \dotsb
\otimes < 1, -a_n > \colon a_i \in \dot{F} \rbrace \, < I^n$
wohldefiniert ist verm\"oge
\[ e_n ( \ll a_1, \dotsc , a_n \gg ) \, = \, (a_1) \cup \dotsb
\cup (a_n) \,. \] Siehe hierzu und f\"ur das folgende auch
\cite{Pf}. \\

Als n\"achstes f\"uhre man wie in Abschnitt 4 die Milnor'schen
 Gruppen $K_n$ und $k_n = K_n / 2$ ein und konstruiere den
 Normenresthomomorphismus $h = \oplus h_n \colon k_{\ast}
 \longrightarrow H^{\ast}$. Ferner zeige man wie in \cite{Mi1}
 oder \cite{Pf} die Existenz von kanonischen Epimorphismen
 \[ s_n \colon k_n \longrightarrow I^n / I^{n+1} \]
 mit $s_n ( \lbrace a_1 \rbrace \cdot \ldots \cdot \lbrace a_n
 \rbrace) := \ll a_1, \dotsc , a_n \gg \operatorname{mod} I^{n+1}$. Damit
 erh\"alt man die ``Milnor-Dreiecke''
 \begin{diagram}[size=2em]
 &&k_n && \\
&\ldTo^{s_n} &&\rdTo^{h_n} \\
&I^n/I^{n+1}&\rDotsLine_{\overline{e}_n} &&H^n
\end{diagram}
wobei aber die Existenz der Gruppenhomomorphismen $\overline{e}_n$
noch nicht gesichert ist. Hieraus ergeben sich sofort die
wesentlichen (miteinander gekoppelten) Fragen der Theorie:
\begin{itemize}
\item L\"a{\ss}t sich die Abbildung $e_n \colon P_n
\longrightarrow H^n$ zu einem Gruppenhomomorphismus $e_n \colon
I^n \longrightarrow H^n$ mit $I^{n+1} < \, \ker e_n$ fortsetzen?
\item Ist $s_n$ bijektiv (1. Milnor-Vermutung)?
\item Ist $h_n$ bijektiv (2. Milnor-Vermutung)?
\end{itemize}

In einer Vorlesung w\"are man sicher zufrieden, wenn man sie
au{\ss}er f\"ur die trivialen F\"alle $n = 0, 1$ auch f\"ur $n =2$
positiv beantworten k\"onnte. Dazu sollte man zuerst die in
\cite{Mi1} bewiesene Bijektivit\"at von $s_2$ zeigen, die sofort
die Existenz der 2. kohomologischen Invariante $\overline{e}_2 =
h_2 \circ s^{-1}_2$ impliziert. Milnor benutzt dazu den
Witt-Grothendieck-Ring und die Stiefel-Whitney-Invariante $w_2$.
Man kann diesen Beweis leicht so modifizieren, dass man
vollst\"andig mit gew\"ohnlichen quadratischen Formen auskommt:
Wie in \cite{Pf} sei $S = S F$ der Halbring der
(\"Aquivalenzklassen von) quadratischen Formen \"uber $F$. F\"ur
$q = \, < a_1, \dotsc , a_n >$ setze man \[w_1 (q) := \lbrace a_1
\rbrace + \dotsb + \lbrace a_n \rbrace = \lbrace a_1 \dotsb a_n
\rbrace = \lbrace \det q \rbrace \in k_1 \] und \[ w_2 (q) :=
\sum\limits_{i < j} \, \lbrace a_i \rbrace \,\cdot \, \lbrace a_j
\rbrace \;\;\; \in k_2 \] Diese Abbildungen sind (nach dem
Ketten\"aquivalenzsatz von Witt) wohldefiniert. Weiter setze man:
\[ S^2 = \lbrace q \in S \colon \dim q = 2 m
\;\;\text{gerade}\,,\;\; \operatorname{dis} q  = (-1)^m \det q = 1
\rbrace \] und
\[ \widetilde{w}_2 (q) := w_2 (q) + \left[ \frac{m}{2} \right]
\lbrace -1 \rbrace \lbrace -1 \rbrace \;\;\; \in k_2 \quad
\text{f\"ur $q \in S^2$} \,.\]

\newpage Dann zeigt man leicht:
\begin{itemize}
\item $\widetilde{w}_2 (q \oplus < 1, -1> ) = \widetilde{w}_2
(q)$, \\
$\widetilde{w}_2$ induziert einen Gruppenhomomorphismus
$\widetilde{w}_2 \colon I^2 \longrightarrow k_2$.
\item $I^3 \subset \ker \widetilde{w}_2$.
\item Der induzierte Gruppenhomomorphismus $\widetilde{w}_2 \colon
I^2/I^3 \longrightarrow k_2$ ist die Umkehrabbildung zu $s_2$.
Insbesondere ist $s_2$ ein Isomorphismus.\\
\end{itemize}
Durch die eingesparte Zeit kann man dann vielleicht noch eines der
folgenden Ergebnisse behandeln.
\begin{itemize}
\item Die Existenz der Invariante $e_3 \colon I^3 \longrightarrow
H^3$ nach \cite{Ar1}.
\item Den fundamentalen Satz von Merkurjev \cite{Me}, dass $h_2
\colon k_2 \longrightarrow H^2$ (und damit auch $\overline{e}_2$)
ein Isomorphismus ist, etwa in der elementarisierten Form von
\cite{Ar2} oder \cite{Wa} oder \cite{Ke}, Kap.\ V.
\end{itemize}
\newpage
\begin{thebibliography}{999999}
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