%%% 
%%% 
%\documentstyle[12pt]{article}

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amstext}
\usepackage{amscd}
%\input 8bitdefs.tex
%\input amssym.def
%\input amssym.tex
%\input option_keys
%\oddsidemargin =-5mm
%\evensidemargin =0cm
%\topmargin =0mm
%\textwidth =165mm
%\textheight =220mm

\begin{document}
\newtheorem{teo}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{prop}[teo]{Proposition}
\newtheorem{lem}[teo]{Lemme}
\newtheorem{cor}[teo]{Corollaire}
\newtheorem{ques}[teo]{Question}
\newtheorem{Rem}[teo]{Remarque}
\newtheorem{conj}[teo]{Conjecture}
\newcommand{\Aut}{{\rm Aut}}
\newcommand{\Int}{{\rm Int}}
\newcommand{\Out}{{\rm Out}}
\newcommand{\IM}{\mbox{Im}}
\newcommand{\Ker}{\mbox{Ker}}
\newcommand{\Pic}{\mbox{Pic}}
\newcommand{\Spec}{\mbox{Spec}}
\newcommand{\DDD}{{\mathbb D}}
\newcommand{\BBB}{{\mathbb B}}
\newcommand{\AAA}{{\mathbb A}}
\newcommand{\CC}{{\mathbb C}}
\newcommand{\RR}{{\mathbb R}}
\newcommand{\ZZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\QQ}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\NN}{{\mathbb N}}
\newcommand{\DD}{{\mathbb D}}
\newcommand{\HH}{{\mathbb H}}
\newcommand{\TT}{{\mathbb T}}
\newcommand{\T}{{\mathfrak T}}
\newcommand{\B}{{\mathfrak B}}
\newcommand{\G}{{\mathfrak G}}
\newcommand{\X}{{\mathfrak X}}
\newcommand{\Y}{{\mathfrak Y}}
\newcommand{\Z}{{\mathfrak Z}}
\newcommand{\U}{{\mathfrak U}}
%\newtheorem{prop}{Proposition}[section]
%\newtheorem{lem}{Lemme}[section]
%\newtheorem{cor}{Corollaire}[section]
%\newtheorem{teo}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{defi}{D\'efinition}[section]
\newtheorem{Aprop}{Proposition}
\renewcommand{\theAprop}{\Alph{Aprop}}
\newtheorem{Alem}[Aprop]{Lemme}
\newtheorem{Acor}[Aprop]{Corollaire}
\newtheorem{Ateo}[Aprop]{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{Adefi}[Aprop]{D\'efinition}

\def\diagram#1{\def\normalbaselines{\baselineskip=0pt\lineskip=5pt}
\matrix{#1}}

\def\hfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to#3{\rightarrowfill}}\limits
^{\scriptstyle#1}_{\scriptstyle#2}}}

\def\gfl#1#2#3{\smash{\mathop{\hbox to#3{\leftarrowfill}}\limits
^{\scriptstyle#1}_{\scriptstyle#2}}}

\def\vfl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #1$}
\left\downarrow\vbox to#3{}\right.\rlap{$\scriptstyle #2$}}

\def\ufl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #1$}
\left\uparrow\vbox to#3{}\right.\rlap{$\scriptstyle #2$}}

\def\pafl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #1$}
\left\Vert\vbox to#3{}\right.\rlap{$\scriptstyle #2$}}

\def\vl#1#2#3{\llap{$\scriptstyle #1$}
\left\vert\vbox to#3{}\right.\rlap{$\scriptstyle #2$}}


\def\fleche(#1,#2)\dir(#3,#4)\long#5{%
\noalign{\leftput(#1,#2){\vector(#3,#4){#5}}}}


\def\ligne(#1,#2)\dir(#3,#4)\long#5{%
\noalign{\leftput(#1,#2){\lline(#3,#4){#5}}}}


\def\put(#1,#2)#3{\noalign{\setbox1=\hbox{%
    \kern #1\unitlength
    \raise #2\unitlength\hbox{$#3$}}%
    \ht1=0pt \wd1=0pt \dp1=0pt\box1}}


\newcommand{\AF}{{\mathbb A}}
\newcommand{\GG}{{\mathbb G}}
\newcommand{\PP}{{\mathbb P}}
\newcommand{\un}{{\uppercase\expandafter{\romannumeral 1}}}
\newcommand{\deux}{{\uppercase\expandafter{\romannumeral 2}}}
\newcommand{\trois}{{\uppercase\expandafter{\romannumeral 3}}}
\newcommand{\quatre}{{\uppercase\expandafter{\romannumeral 4}}}
\newcommand{\cinq}{{\uppercase\expandafter{\romannumeral 5}}}
\newcommand{\six}{{\uppercase\expandafter{\romannumeral 6}}}

\newcommand{\lgr}{ \longrightarrow}

\newcommand{\cqfd}{$\square$}

\newcommand{\la}{ \longleftarrow}
\newcommand{\rg}{ \rightarrow}
\newcommand{\simlgr}{\buildrel\sim\over\lgr}
\newcommand{\simla}{\buildrel\sim\over\la}

\newcommand{\pa}{\S}
\renewcommand{\contentsname}{Table des mati\`eres}
%\renewcommand{\proofname}{D\'emonstration}

\renewcommand{\refname}{R\'ef\'erences}
\font\gros=cmbx10 at 16pt

\title{Sp\'ecialisation de la  $R$-\'equivalence
pour les groupes r\'eductifs}
\author{P. Gille}

\vskip4mm


\centerline{\gros Sp\'ecialisation de la  $\bf R$-\'equivalence }
\vskip2mm
\centerline{\gros pour les groupes r\'eductifs}

\bigskip
\centerline{\bf Philippe Gille}

\vskip12mm


\noindent{\it R\'esum\'e :} Soit $G/k$ un groupe r\'eductif
d\'efini sur un corps $k$ de caract\'eristique distincte de $2$.
On montre que le groupes des classes de $R$--\'equivalence de $G(k)$
ne change pas lorsque l'on passe de $k$ au corps des s\'eries de Laurent
$k((t))$, c'est-\`a-dire que l'on a un isomorphisme naturel
$G(k)/R \simlgr G\bigl( k((t)) \bigr)/R$.

\vskip4mm

\noindent{\it Abstract :} Let $G/k$ be a reductive group defined over a field
of characteristic $\not =2$. We show that the group of $R$--equivalence
for $G(k)$ is invariant by the change of fields $k((t))/k$ given by Laurent
series. In other words, one a natural isomorphism $G(k)/R \simlgr G\bigl(
k((t)) \bigr)/R$.  \footnote{AMS Classification : 20G15, 14L40}


\bigskip \medskip



La $R$-\'equivalence est une relation d'\'equivalence sur les
points rationnels d'une vari\'et\'e alg\'ebrique introduite par
Manin \cite{M} et \'etudi\'ee par Colliot-Th\'el\`ene et Sansuc
pour les tores alg\'ebriques et leurs compactifications \cite{CTS1}, par
l'auteur  pour les vari\'et\'es de groupes \cite{G} et par Koll\'ar pour les
vari\'et\'es g\'eom\'etriquement rationnellement connexes \cite{K1,K2}. Soit
$X/k$ une vari\'et\'e alg\'ebrique d\'efinie sur un corps
$k$. La $R$-\'equivalence est la relation d'\'equivalence sur l'ensemble
des points rationnels $X(k)$ de $X$ engendr\'ee par la relation
\'el\'ementaire $\hbox{suivante :}$ deux points $x$ et $y$ de $X(k)$ sont dits
directement $R$--\'equivalents s'il existe une $k$-application
rationnelle $\phi$ de la droite projective ${\PP}^1_k$ dans $X$,
d\'efinie en $0$ et $1$,  telle que  $\phi(0)=x$ et $\phi(1)=y$.

Soient maintenant  $A$ un anneau de valuation discr\`ete, de corps r\'esiduel
$k$ et  de corps des fractions $F$.  On a le r\'esultat suivant de
sp\'ecialisation pour la
$R$-\'equivalence.

\begin{prop}\label{Madore}(Madore, non publi\'e)
Soit ${\mathfrak X}/\Spec(A)$ un sch\'ema projectif de fibre sp\'eciale $X/k$.
Alors la sp\'ecialisation ${\mathfrak X}(A)={\mathfrak X}(F) \rg X(k)$
induit une application
$$
sp : {\mathfrak X}(F)/R \lgr X(k)/R.
$$
\vskip-8mm
\hfill\hfill\cqfd
\end{prop}

Le but de cet article est  d'utiliser cette proposition pour d\'efinir une
application analogue pour les sch\'emas en groupes r\'eductifs.



\begin{teo}\label{speci} On suppose ${\rm car}(k) \not =2$.
Soit ${\mathfrak G}/A$ un $A$--groupe r\'eductif
de fibre sp\'eciale $G/k$ (connexe). On note $g \mapsto \overline
g$ l'application de sp\'ecialisation ${\mathfrak G}(A) \rg G(k)$.

$a)$ Il existe un unique   morphisme
de sp\'ecialisation $$
sp: {\mathfrak G}(F)/R \lgr G(k)/R.
$$
tel que   $[sp(g)] = [\overline g ]$ pour tout
$g \in \G(A)$.


$b)$ Si $A$ est hens\'elien (par exemple complet), il existe un morphisme

\noindent $\varphi: G(k)
\rg {\mathfrak G}(F)/R$ tel que $sp \circ \varphi$ est la surjection canonique
$G(k) \rg G(k)/R$.

$c$) Si $A$ est hens\'elien et a un corps de coefficients (e.g. si
${\rm car}(k)=0$), alors le morphisme
$sp$ est un isomorphisme.
\end{teo}



\begin{cor} Soit $G/k$ un groupe r\'eductif (connexe) d\'efini sur un corps
de caract\'eristique disctinte de $2$.
Alors on a une isomorphisme  naturel
$$
G(k)/R \simlgr G\bigl(k((t))\bigr)/R.
$$
\vskip-6mm
\hfill\hfill\cqfd
\end{cor}



Cet article est motiv\'e par l'article de Chernousov et Merkurjev
 o\`u  l'application de sp\'ecialisation
est d\'efinie dans le cas particulier du
 groupe de Clifford d'une forme quadratique (\cite{CM}, \S 4, p. 521). Ainsi,
ce r\'esultat g\'en\'eral  permet de simplifier, dans une certaine mesure, des
points techniques de cet article.


Il s'applique aussi au cas du groupe $SL_1(D)$ d'une alg\`ebre simple
centrale $D/k$ pour lequel on retrouve la   fl\`eche de sp\'ecialisation
habituelle pour le groupe $SL_1(D)(k)/R$ d\'efinie avec  la $K$--th\'eorie
alg\'ebrique via la th\'eor\`eme de Voskresenki\v \i
 \enskip $ SK_1(D) \simlgr SL_1(D)(k)/R$ \cite{V} et on retrouve
\'egalement la propri\'et\'e $SK_1(D)=SK_1(D_{k((t))})$.

Le passage de la proposition \ref{Madore} au th\'eor\`eme \ref{speci}
se fait en deux \'etapes. La premi\`ere consiste en une r\'eduction au cas
anisotrope et la  seconde en la construction de compactifications explicites
de $\G$, notamment la compactification magnifique de De Concini et Procesi,
expliquant l'hypoth\`ese faite sur la caract\'eristique de $k$ dans le
th\'eor\`eme.


\vskip4mm


\noindent{\bf Remerciements :} Ce travail a b\'en\'efici\'e de discussions
bienvenues avec Michel Brion, Antoine Chambert-Loir, Jean-Louis
Colliot-Th\'el\`ene et M.S. Raghunathan, c'est avec grand plaisir que je les
remercie.


\section{Compactifications et $R$--\'equivalence}

\vskip2mm

\subsection{Compactification des groupes alg\'ebriques lin\'eaires anisotropes}

Le but de cette section est de caract\'eriser l'anisotropie des groupes
alg\'ebriques lin\'eaires avec les compactifications.
On rappelle que le  $k$--groupe r\'eductif $G$ (connexe) est isotrope
s'il contient un $k$--tore d\'eploy\'e non trivial.



\begin{prop} \label{implicit}  On suppose que $G/k$ admet   une
compactification lisse $X/k$. Alors  les assertions suivantes sont
\'equivalentes :

i) $G$ est anisotrope,

ii) $G(k)= X(k)$.
\end{prop}


L'ingr\'edient principal utilis\'e dans la proposition est le th\'eor\`eme
suivant de Bruhat-Tits-Rousseau.

\begin{teo}\label{BTR}(\cite{BrT}, voir aussi \cite{P} et \cite{T},
fin de la section 2 page 663) On suppose $A$ hens\'elien.
 Les assertions suivantes sont \'equivalentes :

$i)$ $G/k$ est anisotrope,

$ii)$ $\G_{F}$ est anisotrope,

$iii)$ $\G(A)=\G(F)$.
\hfill\hfill\cqfd

\end{teo}


\noindent{\it D\'emonstration de la proposition \ref{implicit}:}
Suivant le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent,
il est loisible de  remplacer le corps $k$ par le corps $k(t)$, et ainsi
 supposer le corps $k$ infini.


\noindent $i) \Longrightarrow ii)$ :
On suppose que $G$ contient un sous-groupe $\GG_{m,k}$.
L'inclusion $\GG_{m,k}$ se prolonge en un morphisme
$f: \PP^1_k \rg X$. Si $f(0),f(\infty) \in G(k)$, alors $f$
est \`a valeurs dans la vari\'et\'e affine $G$ est constant, ce qui est une
contradiction. On conclut que  $X(k) \setminus G(k) \not=\emptyset$.


\noindent $ii) \Longrightarrow i)$ :
On note $\partial X=X \setminus G$ le bord de $X$.
Soit $x \in X(k) \setminus G(k)$; on note $O_{X,x}$ l'anneau local et
$\widehat{ O_{X,x}}$ son compl\'et\'e. Il
existe $T_1,...,T_d \in \widehat{O_{X,x}}$
 tels que $\widehat{O_{X,x}}$ soit  $k$--isomorphe
\`a $k[[T_1,...,T_d]]$.
Quitte \`a effectuer un changement lin\'eaire de coordonn\'ees, on peut
supposer que le sous-sch\'ema $Y$ de  $\Spec( \widehat{ O_{X,x}})$ d\'efini par
les \'equations
$$
T_2=T_3= \cdots = T_d=0
$$
satisfait
$$
Y \times_X  \partial X= \{x \},
$$
avec la convention $Y=X$ si $d=1$.
On consid\`ere le morphisme
$$
\eta: \Spec\bigl( k[[T_1]] \bigr) \rg X
$$
donn\'e par le quotient $\widehat{ O_{X,x}}
\rg k[[T_1,...,T_d]]/ (T_2,T_3,...,T_d) \simlgr k[[T_1]]$,
ou en termes g\'eom\'etriques la droite formelle d'\'equations
$T_2=T_3=...=T_d$ (appartenant \`a $Y$). On a $\eta(0)=x$ donc $\eta \not \in
G\bigl(k[[T_1]]\bigr)$. On note
$$
\eta_{gen}: \Spec\bigl(k((T_1))\bigr)
\buildrel \eta \over \rg  \Spec\bigl( k[[T_1]] \bigr) \rg X
$$
le compos\'e.
Par construction, $\eta_{gen} \in G\bigl(k((T_1))\bigr)$.
 Par suite, $G\bigl(k[[T_1]]\bigr) \not=
G\bigl( k((T_1)) \bigr)$, donc  le th\'eor\`eme \ref{BTR} montre que le groupe
$G/k$ est isotrope.
\hfill\hfill\cqfd
\vskip2mm

Ce r\'esultat concerne  le cas de caract\'eristique nulle
o\`u il existe une compactification lisse de $G$ d'apr\`es le th\'eor\`eme
d'Hironaka,  et aussi le cas des groupes adjoints en caract\'eristique
distincte de $2$ car on dispose alors des compactifications
magnifiques de De Concini et  Procesi  (\cite{CS}, \S 3).


\begin{lem} \label{vide} On suppose ${\rm car}(k)\not=2$.
On suppose que  $G/k$ est  anisotrope. Alors il existe une
compactification $X/k$, non n\'ecessairement lisse, satisfaisant
$$
G(k)=X(k).
$$
Si de plus $\G/A$ est un $A$--sch\'ema en groupes r\'eductif de fibre
sp\'eciale $G$, on peut choisir la compactification $G \subset X$ se relevant
en $\G \subset \X$ avec $\X$ propre  sur $\Spec(A)$.
\end{lem}



\noindent{\it D\'emonstration.}
On note $\G_{ad}$ le groupe adjoint de $\G$.
et $\T$ le tore coradical de $\G$.
On alors une isog\'enie centrale
$$
1 \rg \mu \rg \G \buildrel \lambda \over \rg  \T  \times_A \G_{ad} \rg 1.
$$
Suivant la preuve du lemme 12 de \cite{CTS1}, il existe une
$k$--compactification projective $T^c$ de $T$ telle que $T(k)=T^c(k)$,
rappelons
sa construction. On choisit
 un plongement $T \subset \bigl( R_{k'/k} \GG_m \bigr) ^n$ o\`u  $k'/k$ est une
extension s\'eparable de corps, $R_{k'/k}$ d\'esignant le foncteur de
restriction des scalaires \`a la Weil (\cite{BLR}, \S 7.6). La compactification
$T^c$ est l'adh\'erence de
$T$ dans $\bigl( R_{k'/k} (\PP^1_{k'})\bigr) ^n$. On rel\`eve cette
construction
en prenant  un plongement
 $$
\T \subset \bigl( R_{A'/A} \GG_m \bigr)^n \subset
\bigl(R_{A'/A}
\PP^1_A \bigr)^n ,
$$
o\`u $A'/A$ est l'extension non ramifi\'ee d'anneaux
complets  relevant $k'/k$. Vu que le tore  $\T/F$ est anisotrope, on a $\T
\subset \bigl(R^1_{A'/A} \GG_m\bigr)^n$. On note $\Y$ l'adh\'erence de $\T$
dans  $\bigl(R_{A'/A} (\PP^1_A)\bigr)^n$ et on pose $Y=\Y \times_A k$.

\begin{lem} $T(k)=Y(k)$.
\end{lem}

Pour la d\'emonstration du lemme, on est ramen\'e au cas
du tore normique  $T=R^1_{k'/k}\GG_m=\Ker\bigl( R_{k'/k} \GG_m \buildrel
N_{k'/k} \over  \rg \GG_m\bigr)$, et alors le bord
$\Y
\subset R_{A'/A} \PP^1_A$ est donn\'e par l'\'equation homog\`ene
$$
N_{A'/A}( x_1 e_1+ \cdots + x_d e_d)= t^d ,
$$
o\`u $A'= Ae_1+Ae_2+ \cdots + Ae_d$.
Ainsi  $Y \subset R_{k'/k} \PP^1$ est donn\'e par
l'\'equation homog\`ene  $$
N_{k'/k}( \overline x_1 \overline e_1+ \cdots + \overline x_d \overline e_d)=
\overline t^d ,
$$
et n'a pas de point \`a l'infini (i.e lorsque $\overline t=0$).
On conclut que  $T(k)=Y(k)$.

\vskip2mm

Passons \`a la partie adjointe. Suivant le th\'eor\`eme  3.13 de \cite{CS}, il
existe une  $A$--compactification projective $\Z$ de $\G_{ad}$ telle que
$Z:= \Z
\times_A k$ est une $k$--compactification de De Concini-Procesi de $G_{ad}$.
Suivant la proposition \ref{implicit}, on a $G_{ad}(k)=Z(k)$.
On d\'efinit le sch\'ema $\X$ comme le normalis\'e
par l'extension $F(\G)/ F(\T  \times_A \G_{ad})$
de $\Y \times \Z$. On a alors un morphisme
fini $\X \rg \Y \times_A \Z$ prolongeant $\lambda$.
Par suite, $\X$ est une $A$--compactification  de
$\G$. Comme $\G$ est un sch\'ema normal,
on a $$
\G =  (\T  \times_A \G_{ad}) \times_{(\Y \times_A \Z)} \X.
$$
Par suite, on a  $G= (T \times G_{ad}) \times_{(Y \times Z)} X$ o\`u $X=\X
\times_A k$, et on conclut que   $G(k)=X(k)$.
\hfill\hfill\cqfd


\vskip2mm


\subsection{R\'eduction de la $R$--\'equivalence au cas anisotrope}

\vskip2mm

On rappelle que la $R$--\'equivalence sur le groupe $G/k$ est compatible
\`a la structure de groupe de $G(k)$, ainsi l'ensemble $RG(k)$
des \'el\'ements $R$--\'equivalents \`a $e \in G(k)$
est un sous-groupe normal de $G(k)$ et $G(k)/R= G(k)/RG(k)$ (\cite{G}, lemme
\deux.1.1). De plus, deux \'el\'ements $R$--\'equivalents de $G(k)$
le sont \'el\'ementairement ({\it ibid)}.


\begin{prop}\label{ouvert} (proposition 11 de \cite{CTS1})
Soit $H/k$ un groupe alg\'ebrique lin\'eaire connexe
suppos\'e r\'eductif si $k$ n'est pas parfait et
soit $U \subset H$ un ouvert non vide.
Alors on  a une bijection $U(k)/R \simlgr H(k)/R$. \hfill\hfill\cqfd
\end{prop}


\vskip2mm


\begin{cor}\label{cor}
 Soit $M/k \subset H/k$ un sous--groupe alg\'ebrique lin\'eaire
d'un $k$--groupe alg\'ebrique lin\'eaire $H/k$.
On suppose qu'il existe une vari\'et\'e $V/k$ stablement $k$--rationnelle et un
$k$--morphisme $M \times V \rg H$ induisant un isomorphisme $k$--birationnel.
Alors on a un isomorphisme $$ M(k)/R \simlgr H(k)/R. $$

\end{cor}


Le corollaire  r\'esulte imm\'ediatement de la
proposition et de l'identit\'e ${(M \times V)(k)/R }= M(k)/R \times
V(k)/R=M(k)/R$.
\vskip2mm


\begin{lem}\label{aniso}
Soit $P$ un sous--groupe parabolique de $G$, $L$
  un sous--groupe de Levi de $P$ et $S/k$ le sous--tore maximal d\'eploy\'e de
$Z(L)$ (en particulier, si $P$ est minimal, le groupe $L/S$ est anisotrope).
Alors pour tout corps
$F/k$, on a des isomorphismes
$$
(L/S)(F)/R \simla L(F)/R \simlgr G(F)/R.
$$
\end{lem}



{\it D\'emonstration du lemme : } Comme $S$ est d\'eploy\'e, le morphisme
$f : L \rg L/S$ admet une section rationnelle. On choisit un ouvert non vide
 $U$ de $L/S$
tel que $f^{-1}(U)=U \times S$.
Suivant la proposition, on a des bijections
$L(k)/R =(U \times S)(k)/R=U(k)/R =(L/S)(k)/R$ et
le morphisme $L(k) \rg (L/S)(k)$  est un isomorphisme.
Le morphisme $G \rg G/P$ admet une section rationnelle,
on choisit un ouvert $V$ de $G/P$ et une section $s: V \rg G$
de $G \rg G/P$. Le $k$--morphisme $P \times V \rg G$ donn\'e par $(p,v)
\mapsto  p. s(v)$ induit un morphisme $k$--birationnel.   Comme
$G/P$ est une vari\'et\'e rationnelle (\cite{Bo}, th. 21.20 p. 240), le
corollaire montre que
$P(k)/R \rg G(k)/R$ est un isomorphisme. Enfin, le morphisme $L \rg P$
s'\'etend en un isomorphisme de vari\'et\'es
$L \times R_u(P) \simlgr P$. Le radical unipotent $R_u(P)$ est un
 $k$--groupe unipotent d\'eploy\'e, donc  est $k$--rationnel.
On conclut que
l'on a des isomorphismes $L(k)/R \simlgr P(k)/R \simlgr  G(k)/R$.
\hfill\hfill\cqfd

\vskip2mm

\subsection{Cas particulier de la caract\'eristique nulle}

\vskip2mm

\begin{prop}\label{cpt} On suppose ${\rm car(k)=0}$. Soit $X/k$ une
compactification lisse de $G/k$. Alors  l'application $G(k)/R \rightarrow
X(k)/R$ est bijective.
\end{prop}

L'hypoth\`ese de  carat\'eristique nulle intervient dans la r\'esolution forte
des singularit\'es de Encinas-Hauser \cite{EH}.

\begin{lem}\label{strong} On suppose ${\rm car(k)=0}$. Soit $H/k$ un groupe
alg\'ebrique lin\'eaire. Alors il existe une $k$--compactification
projective lisse $Y$ de $H$ munie d'une action du groupe $H \times H$
prolongeant l'action de  $H \times H$ sur $H$ d\'efinie par $(h_1,h_2).h= h_1 h
h_2^{-1}$.
\end{lem}

\noindent {\it D\'emonstration.}
Soit $H \subset GL_n$ une repr\'esentation lin\'eaire de $H$.
Le morphisme \'evident  $GL_n \rg GL_{n+1}$ fait de $H$ un sous--groupe de
$PGL_{n+1}$. Le groupe $PGL_{n+1}$ est un ouvert de l'espace projectif
$\PP(M_{n+1})$ qui est muni d'une action de $PGL_{n+1} \times PGL_{n+1}$
prolongeant l'action sur $PGL_{n+1}$.
On note $Z/k$ l'adh\'erence de Zariski de $H$ dans $\PP(M_{n+1})$; par
construction, la vari\'et\'e projective $Z/k$ est munie d'une action de
$H \times H$ proligant l'action sur $H$. Le th\'eor\`eme de r\'esolution
forte des singularit\'es  produit une d\'esingularisation
$f : Y \rg Z$ satisfaisant les propri\'et\'es suivantes \cite{EH}:
\vskip2mm

$i)$ $Y$ est projective lisse,

$ii)$ $f$ induit un  isomorphisme  $f^{-1}(H) \simlgr H$,

$iii)$  $Y$ est muni d'une action de $H \times H$ et $f$ est $H \times
H$--\'equivariant pour cette action.
\hfill\hfill\cqfd

\vskip2mm

\noindent {\it D\'emonstration de la proposition  \ref{cpt}.} Selon le
corollaire ii) de
 la proposition 10 de
\cite{CTS1}, cette  assertion ne d\'epend pas de la compactification
lisse choisie, il suffit donc de la montrer pour une compactification
particuli\`ere. De plus, selon la proposition 13 du m\^eme article,
 la proposition est connue
pour les tores.
La d\'emonstration comporte plusieurs \'etapes. Remarquons tout d'abord qu'elle
est de fa\c con \'evidente  stable par produit.

\begin{lem}\label{devis} $a)$ Soit $U$ un sous--groupe unipotent normal de $G$.
Si la proposition vaut pour $G/U$, alors elle vaut pour $G$.

$b)$ Soit $S$ un $k$--tore d\'eploy\'e central de $G$. Si la
proposition vaut pour $G/S$, alors elle vaut pour $G$.

$c)$ Soit $P/k$ un sous--groupe parabolique de $G/k$. Si la proposition vaut
pour $P$, alors elle vaut pour $G$.

\end{lem}


\noindent {\it D\'emonstration du lemme.}
\noindent{$a)$} On sait que le morphisme $G \rightarrow G/U$ est scind\'e,
ainsi
on a un isomorphisme de $k$--vari\'et\'es $G = G/U \times U$. En prenant une
compactification lisse produit, il suffit de voir que la proposition vaut
pour $U$. Or $U$ est une vari\'et\'e $k$--rationnelle,  donc toute
compactification lisse $Y$ de $U$ satisfait $Y(k)/R=1$ suivant la proposition
10 de \cite{CTS1}  et par d\'evissage au cas de ${\GG}_a$, on
$U(k)/R=Y(k)/R=1$.

\noindent{$b)$}
Par r\'ecurrence, on peut supposer que $S={\GG}_m$. On note $Y$ une
compactification lisse de $G/{\GG}_m$. Le fibr\'e inversible $G
\rightarrow G/ {\GG}_m$ se prolonge en un fibr\'e inversible $Y'
\rightarrow Y$,
form\'e des sections non nulles  d'un fibr\'e vectoriel $E \rightarrow Y$.
Ainsi, $G$ admet la compactification lisse ${\PP}(E)/Y$. Le m\^eme argument
que celui de la proposition 10 de \cite{CTS1} montre que
que l'application ${\PP}(E)(k)/R
\rg Y(k)/R$, \`a l'\'evidence surjective, est bijective.
Par hypoth\`ese, on a  $(G/ {\GG}_m)(k)/R =Y(k)/R$ et
donc comme $G(k)/R=(G/ {\GG}_m)(k)/R$, on conclut que
que $G(k)/R=  {\PP}(E)(k)/R$.


\noindent{$c)$} Le $P$--torseur $G \rightarrow G/P$ est localement trivial pour
la topologie de Zariski (\cite{Bo}, \S 20.5). Suivant le lemme \ref{strong}, il
existe  une compactification  lisse  $Y$ de $P$ qui est $P$--\'equivariante
pour
l'action de $P \times P$ sur  $P$ donn\'ee par $(p_1,p_2).p=p_1 p p_2^{-1}$.
Alors le $P$--torseur  $G \rightarrow G/P$ s'\'etend de fa\c con unique en un
morphisme projectif lisse
$X \rightarrow  G/P$ de fibre $Y$, qui est une compactification lisse de $G$,
i.e on a le diagramme commutatif
$$
\diagram{
X& \rg &  G/P\cr
\cup&& \mid  \mid \cr
G&\rg & G/P. \cr
}
$$
\vskip-4mm
Par hypoth\`ese, on a $P(k)/R=Y(k)/R$, et ainsi vu que les fibres
de $X(k) \rg  (G/P)(k)$ sont isomorphes \`a $Y(k)$,
l'application $G(k)/R \rg X(k)/R$ est surjective.
Etablissons l'injectivit\'e.
Soient $h,g$ deux points  de $G(k)$ $R$--\'equivalents dans $X$.  Il existe
alors des points $x_0=h,x_1,..,x_n=g$ de $X(k)$ tels que
$x_i$ est directement $R$--\'equivalent \`a $x_{i+1}$.
Il existe un ouvert $U$ de $G/P$ contenant
les images des $x_i$ qui trivialise la fibration $G \rg G/P$. Alors
$G \times_{G/P} U \simlgr P \times U$ et $X \times_{G/P} U\simlgr Y \times U$.
Par hypoth\`ese, on a $P(k)/R=Y(k)/R$, on en d\'eduit que $h$ et $g$ sont
$R$--\'equivalents.\hfill\hfill\cqfd

\vskip2mm

Ce lemme de d\'evissage nous ram\`ene donc  au cas d'un groupe r\'eductif
anisotrope
pour lequel on a $G(k)=X(k)$ et $G(k(t))=X(k(t))$ suivant la proposition
\ref{implicit}. On conclut que  $G(k)/R\simlgr X(k)/R$. \hfill\hfill\cqfd

\vskip2mm


\vfill\eject

\section{Sp\'ecialisation}\label{spe}

On va d\'emontrer dans cette section le th\'eor\`eme principal.

\begin{teo}\label{main} On suppose ${\rm car}(k) \not =2$.
Soit ${\mathfrak G}/A$ un $A$--groupe r\'eductif lin\'eaire
de fibre sp\'eciale $G/k$ (connexe). On note $g \mapsto \overline
g$ l'application de sp\'ecialisation ${\mathfrak G}(A) \rg G(k)$.

$a)$ Il existe un unique   morphisme
de sp\'ecialisation $$
sp: {\mathfrak G}(F)/R \lgr G(k)/R.
$$
tel que   $[sp(g)] = [\overline g ]$ pour tout
$g \in \G(A)$.


$b)$ Si $A$ est hens\'elien (par exemple complet), il existe un morphisme

\noindent $\varphi: G(k)
\rg {\mathfrak G}(F)/R$ tel que $sp \circ \varphi$ est la surjection canonique
$G(k) \rg G(k)/R$.

$c$) Si $A$ est hens\'elien et a un corps de coefficients (e.g. si
${\rm car}(k)=0$), alors le
morphisme $sp$ est un isomorphisme.
\end{teo}



\subsection{ D\'efinition de l'application de sp\'ecialisation}

Selon le lemme \ref{aniso}, on peut supposer que le groupe
$G/k$ est anisotrope. Suivant le th\'eor\`eme de Bruhat-Tits-Rousseau
\ref{BTR}, on a
$\G(A)=\G(F)$ et l'unicit\'e de l'application de sp\'ecialisation est alors
\'evidente. Le lemme \ref{vide} montre  qu'il existe une
$A$-compactification  $\X/A$ de $\G/A$ telle que $G(k)=X(k)$ o\`u
$X=\X \times_A K$. Comme $G_{k(t)}$ est anisotrope, on a aussi
$G(k(t))=X(k(t))$ d'o\`u un isomorphisme
$G(k)/R \simlgr X(k)/R$.

Le lemme de Chow (\cite{GD}, \S 5.6) montre qu'il existe un ouvert $\U$
de $\G$, un $A$--morphisme $\X' \rg \X$ projectif et surjectif induisant un
isomorphisme  $f: f^{-1}(\U) \simlgr \U$ avec $\X'$ est quasi--projectif sur
$\Spec(A)$. Ainsi le $A$--sch\'ema $\X'$ est quasi--projectif et propre, donc
projectif suivant ({\it ibid}, Th. 5.5.3).
La  proposition \ref{Madore} montre que l'on dispose d'une application
de sp\'ecialisation
$$
\U(F)/R \rg  \X'(F)/R \buildrel sp \over \rg X'(k)/R \rg X(k)/R \simla
G(k)/R.
$$
Suivant la proposition \ref{ouvert}, on a un isomorphisme $\U(F)/R
\simlgr \G(F)/R$, donc le compos\'e  ci-dessus
d\'efinit le morphisme de sp\'ecialisation
$$
sp: \G(F)/R \rg G(k)/R.
$$

\subsection{Le cas des tores alg\'ebriques}
On suppose l'anneau  $A$ hens\'elien jusqu'\`a la fin de la section
\ref{spe}. Tout d'abord, on va v\'erifier que  le th\'eor\`eme pour les
tores alg\'ebriques est une cons\'equence du calcul de la $R$--\'equivalence
pour les tores de Colliot-Th\'el\`ene et Sansuc \cite{CTS1}.
Si $T$ est un $k$--tore, il existe une suite exacte de $k$--tores
$$
1 \rg S \rg E \rg T \rg 1,
$$
o\`u $E$ est un tore quasi-trivial (i.e. un produit de tores
$R_{L/k}\GG_m$) et $S$ un $k$--tore flasque, c'est-\`a-dire satisfaisant
$H^1(L, {\rm Hom}( \GG_m, S))=0$ pour toute extension $L/k$. Alors le bord
$T(k) \rg H^1(k,S)$ induit un isomorphisme $T(k)/R\simlgr H^1(k,S)$.

\begin{prop} \label{tores}
Soit ${\mathfrak T}/A$ un $A$--tore alg\'ebrique de fibre sp\'eciale $T$.
Alors  on a un isomorphisme naturel
$$
{\mathfrak T}(F)/R \simlgr T(k)/R .
$$
\end{prop}


\noindent {\it D\'emonstration :}
Selon la proposition 1.3.3 de \cite{CTS2}, il existe une r\'esolution  flasque
de $A$-tores
$$
1 \rg  {\mathfrak S} \rg  {\mathfrak E} \rg  {\mathfrak T} \rg 1;
$$
bien que nous ne donnions pas ici la d\'efinition pr\'ecise, cela
entra\^{\i}ne en  particulier suivant ({\it ibid},  proposition 1.4) que  la
fibre sp\'eciale (resp.  g\'en\'erique) est une  r\'esolution flasque de $T$
(resp.
$\T_F$). On a un diagramme commutatif
$$
\diagram{
T(k)&\hfl{}{}{4mm}&H^1(k,S)
&\hfl{}{}{4mm}&1 \cr
\ufl{}{}{4mm}&&\ufl{\wr}{}{4mm} \cr
\T(A)&\hfl{}{}{4mm}&H^1_{\acute et}(A,{\mathfrak S})
&\hfl{}{}{4mm}&H^1_{\acute et}(A,{\mathfrak E})=1  \cr
\vfl{}{}{4mm}&&\vfl{}{}{4mm} \cr
\T(F)&\hfl{}{}{4mm}&H^1(F,{\mathfrak S})
&\hfl{}{}{4mm}&1,  \cr
}
$$
l'isomorphisme $H^1_{\acute et}(A,{\mathfrak S})  \simlgr H^1(k,S)$
\'etant le lemme de Hensel (\cite{SGA3}, Exp.
{\uppercase\expandafter{\romannumeral 24}}, Prop. 8.2.(ii)).
Comme ${\mathfrak S}/A$ est flasque, le th\'eor\`eme 2.2.(i) de
\cite{CTS2}  montre que   la restriction $H^1_{\acute et}(A,{\mathfrak S})
\rg H^1(F,{\mathfrak S})$ est surjective.
Par ailleurs, cette restriction est injective ({\it ibid}, th\'eor\`eme
4.1.(i)), donc on a un isomorphisme
$$
H^1_{\acute et}(A,{\mathfrak S})
\simlgr H^1(F,{\mathfrak S}).
$$
On conclut que la sp\'ecialisation $\T(A) \rg T(k)$ induit un   isomorphisme
naturel ${\mathfrak T}(F)/R
\simlgr {\mathfrak T}(k)/R$.
\hfill\hfill\cqfd

\subsection{Rigidit\'e}
On suppose $G$ anisotrope.

\begin{lem} \label{rigide}
 Soient $g_0 \in {\mathfrak G}(A)$  et
$g\in  {\mathfrak G}(A)$ tel que $\overline g =\overline g_0$ soit un
\'el\'ement semi--simple r\'egulier de $G(k)$. Alors il existe $h
\in {\rm Ker}\bigl(  {\mathfrak G}(A) \rg {\mathfrak G}(k)  \bigr)$  tel que
$g hg_0^{-1} h^{-1}\in  R{\mathfrak G}(F)$.
\end{lem}



\noindent {\it D\'emonstration :}  Les  centralisateurs $Z_{\mathfrak
G}(g_0)/A$
et
$Z_{\mathfrak G}(g)/A$ sont des
$A$-tores maximaux  de ${\mathfrak G}/A$ satisfaisant $Z_{\mathfrak G}(g_0)
\times_A k = Z_{\mathfrak G}(g) \times_A  k$. Suivant le th\'eor\`eme de
rigidit\'e de Grothendieck sur les sous--tores des sch\'emas en groupes
lin\'eaires
[SGA3, exp. IX, cor.7.3 p. 72],
 il existe un \'el\'ement $h \in {\mathfrak G}(A)$ tel que
$\overline h=1$ et tel que $Z_{\G}(g)/ A=h Z_{\G}(g_0) h^{-1}/ A$.  Suivant le
cas des tores appliqu\'e \`a $Z_{\G}(g_0)/A$,
$h^{-1} g h$ est $R$--\'equivalent \`a $g_0$.
\hfill\hfill\cqfd




\begin{lem} \label{rigide1}  $\Ker\bigl( \G(A) \rg G(k)  \bigr) \subset
R\G(F)$.
\end{lem}


\noindent{\it D\'emonstration.} Si $k$ est fini, le groupe $G/k$ est
un tore et donc la proposition \ref{tores}
\'etablit  ce cas. On suppose donc $k$ infini,  et vu que $RG(k)$ est
Zariski-dense dans $G$, on peut choisir un \'el\'ement semi--simple r\'egulier
$\overline g_0 \in RG(k)$, que l'on rel\`eve en un \'el\'ement $g_0 \in
\G(A)=\G(F)$. On va voir que l'on peut construire un tel $g_0$ satisfaisant
de plus $g_0 \in R\G(F)$. Dans ce but, on consid\`ere le $A$--tore
$Z_{\G}(g_0)$ et vu que $R Z_G(\overline g_0)(k)$ est Zariski--dense
dans $Z_G(\overline g_0)$, on peut supposer que $\overline g_0 \in
RZ_G(g_0)(k)$, d'o\`u $g_0 \in RZ_{\G}(g_0)(F) \subset R\G(F)$ suivant la
proposition \ref{tores}.
Soit $g \in \G(A)$ satisfaisant
$\overline g =1$. Suivant le lemme \ref{rigide} appliqu\'e \`a $gg_0$, il
existe
$h  \in  G(A)$  tel que
$g g_0 h g_0^{-1} h^{-1}\in  R\G(F)$. Comme $g_0 \in R\G(F)$,
on a $g \in R\G(F)$. On en d\'eduit que
$$
{\rm Ker}\Bigl(  \G(A) \rg G(k)\Bigr) \subset R\G(F).
$$
\vskip-4mm
\hfill\hfill\cqfd


Le passage au quotient par ${\rm Ker}\Bigl(  \G(A) \rg G(k)\Bigr)$
produit un morphisme
surjectif
$$
\varphi:  G(k) \rg \G(F)/R
$$
 tel que le compos\'e
$sp \circ \varphi$ soit le morphisme canonique
$G(k) \rg G(k)/R$.

Montrons maintenant l'assertion $c)$ o\`u l'on suppose que $k$ se plonge dans
$A$. Le lemme de Hensel montre que l'on peut supposer (\`a
isomorphisme pr\`es) que
$\G=G \buildrel {s} \over \times_k A$. Le morphisme $\varphi$ est donn\'e
par l'extension des scalaires de $k$ \`a $F$ et induit donc un morphisme
surjectif
$\overline
\varphi :  G(k)/R \rg \G(F)/R$. Il r\'esulte que $sp: \G(F)/R \rg G(k)/R$ est
un isomorphisme.



\section{Autres d\'emonstrations}


\subsection{\bf Rigidit\'e d'apr\`es Raghunathan}

Cela concerne le cas de l'anneau complet $O=k[[t]]$ de corps
des fractions $K=k((t))$. On note $G_1(O)=\Ker\bigl(G(O) \rg G(k)\bigr)$.

\begin{prop}(\cite{R}, proposition 1.3) Il existe une famille finie de
$k$--tores
$k$--rationnels
$(\widetilde T_i)_{i=1,..,n}$, des $k$--morphismes de groupe
$f_i : \widetilde T_i \rg  G$ ($i=1,..,r$), et des \'el\'ements
$(g_i)_{i=1,..,n}$ tels que
l'application
\vskip-4mm
$$
\diagram{
\prod\limits_{i=1,..,n} \widetilde T_{i,1}(O) &\hfl{}{}{4mm}& G_1(O) \cr
(x_1,...,x_n) & \mapsto & {\prod\limits_{i=1,..,n}} \enskip g_if_i(x_i)g_i^{-1}
\cr }
$$
\vskip-4mm
soit surjective. \hfill\hfill\cqfd
\end{prop}


Comme la $R$--\'equivalence est triviale pour les tores $k$--rationnels, on en
d\'eduit imm\'ediatement que $G_1(O) \subset RG(K)$, c'est-\`a-dire le lemme
\ref{rigide1} dans ce cas.


\subsection{\bf Techniques de d\'eformation de Koll\'ar}

La proposition de Madore pr\'esente plusieurs avantages, elle est
\'el\'ementaire et la seule hypoth\`ese est la projectivit\'e, en particulier,
il n'y a pas d'hypoth\`ese de lissit\'e. Avec des techniques de
d\'eformation, Koll\'ar a d\'emontr\'e le r\'esultat suivant.

\begin{teo}\label{Kollar} (\cite{K2}, th\'eor\`eme  2) On suppose $A$
hens\'elien. Soit
$\X$ un $A$-sch\'ema propre et lisse. On suppose que la fibre sp\'eciale $X/k =
\X \times_A k$ est s\'eparablement rationnellement connexe, i.e. il existe  une
vari\'et\'e $V/k$ et un morphisme
$F: V \times
\PP^1_k \rg X$ tel que  le morphisme
$$
F( ., 0) \times F(., \infty) : V \rg X \times X
$$
est dominant et s\'eparable. Alors la sp\'ecialisation
$\X(A) \rg X(k)$ induit une bijection
$$
\X(F)/R \simlgr X(k)/R.
$$ \hfill\hfill\cqfd
\end{teo}

En particulier, une vari\'et\'e s\'eparablement  unirationnelle (i.e
il existe un morphisme dominant et s\'eparable d'un ouvert d'un espace
affine vers cette vari\'et\'e) est s\'eparablement rationnellement connexe, ce
qui est le cas des groupes r\'eductifs et de leurs compatifications lisses
(\cite{Bo}, th. 18.2). Vu la proposition \ref{cpt}, le th\'eor\`eme
\ref{Kollar} entra\^\i ne la th\'eor\`eme principal en \'egale
caract\'eristique. On a aussi une autre cons\'equence due \`a la
compactification  de De Concini et Procesi et au fait qu'elle se rel\`eve \`a
$A$ (\cite{CS}, Theorem 3.13).


\begin{cor} On suppose $A$ hens\'elien, ${\rm car}(k) \not=2$ et que  $\G$ est
un $A$-sch\'ema en groupes adjoints. Alors la sp\'ecialisation $\G(A) \rg G(k)$
induit une bijection
$$
\G(F)/R \simlgr G(k)/R.
$$ \hfill\hfill\cqfd
\end{cor}










%\subsection{Fonctions implicites}


\vskip4mm

% \section{\bf  Application }

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem[Bo]{Bo} A.  Borel,  {\it Linear algebraic
groups}, seconde \'edition, Graduate Texts in
Mathematics {\bf 126}, Springer-Verlag.


\bibitem[BLR]{BLR} S.  Bosch,  W.  L\"utkebohmert  et
 M.  Raynaud, {\it N\'eron Models}, Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete {\bf 21} (1990) Springer-Verlag.

\bibitem[BrT]{BrT} F.  Bruhat  et J.  Tits,  {\it
Groupes r\'eductifs sur un corps local \deux},
Publ. Math. IHES  {\bf 60} (1984).


\bibitem[CM]{CM}  V. Chernousov et A.S.  Merkurjev, {\it  $R$-equivalence
in spinor groups},  J. Amer. Math. Soc. {\bf 14} (2001), 509--534.

\bibitem[CTS1]{CTS1} J--L.  Colliot--Th\'el\`ene et J.--J.
Sansuc, {\it La $R$--\'equivalence sur les tores}, Ann.
Scient. ENS, vol. {\bf 10} (1977), 175--230.

\bibitem[CTS2]{CTS2} J--L.  Colliot--Th\'el\`ene et J.--J.
Sansuc, {\it Principal homogeneous spaces under flasque
tori : applications}, J. of Alg. {\bf 106} (1987), 148--205.


\bibitem[CS]{CS} C. De Concini et  T.A. Springer,  {\it Compactification of
symmetric varieties}, Transform. Groups {\bf 4} (1999),  273--300.


\bibitem[EH]{EH} S. Encinas et  H. Hauser, {\it Strong resolution of
singularities in characteristic zero}, preprint (2002), ArXiv: math.AG/0211423.


\bibitem[G]{G} P. Gille, {\it La ${\rm R}$-\'equivalence sur les groupes
alg\'ebriques r\'eductifs d\'efinis sur un corps global}, Publ. Math. I.H.E.S.
{\bf 86} (1997), 199--235.


\bibitem[GD]{GD} A.  Grothendieck et J. Dieudonn\'e,   {\it
\'El\'ements de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique  \quatre},  Pub. Math. IHES.
   {\bf 20} (1964), {\bf 24} (1965), {\bf 28} (1966), {\bf 32} (1967).

\bibitem[H]{H} H. Hironaka,   {\it Resolution of singularities of an algebraic
variety over a field of characteristic zero. I, II.},  Ann. of
   Math. {\bf  79} (1964), 109--203 et 205--326.

\bibitem[K1]{K1} J. Koll\'ar, {\it Rationally connected varieties over local
fields},  Ann. of Math. {\bf  150} (1999),  357--367.

\bibitem[K2]{K2} {J. Koll\'ar}, {\it Specialization of zero-cycles},
pr\'epublication (2002), math.AG/0205148.


\bibitem[M]{M} Yu. I. Manin, {\it  Cubic forms: algebra, geometry,
arithmetic}, seconde
\'edition, North--Holland (1986).

\bibitem[P]{P} G. Prasad, {\it  Elementary proof of a theorem of
Bruhat-Tits-Rousseau and of a theorem of Tits}, Bull. Soc. Math.
   France {\bf 110} (1982), 197--202.


\bibitem[R]{R} M. S. Raghunathan, {\it  Principal bundles admitting a rational
section},  Invent. Math. {\bf 116} (1994),  409--423.


\bibitem[S]{S} J--P.  Serre, {\it Cohomologie galoisienne},
Lecture Notes in Math. {\bf 5}, cinqui\`eme  \'edition (1994),
Springer--Verlag.

\bibitem[SGA3]{SGA3}
 {\it S\'eminaire de G\'eom\'etrie alg\'ebrique de
l'I.H.E.S., 1963-1964, sch\'emas en groupes, dirig\'e par M.
Demazure et A. Grothendieck},  Lecture Notes in Math. {\bf 151-153}, Springer
(1970).

\bibitem[T]{T}  J.  Tits,  {\it Strongly inner anisotropic forms of simple
 algebraic groups},  J. Algebra {\bf 131} (1990), 648--677.

\bibitem[V]{V} V. E. Voskresenski\v{\i}, {\it O privedennoi gruppe  Uaitheda
  prostoi algebry (Sur le groupe de Whitehead d'une alg\`ebre simple)}, Uspekhi
Mat. Nauk {\bf 32} (1977), 247--248.



\end{thebibliography}

\vskip4mm

Philippe Gille,
 UMR 8628 du C.N.R.S., Math\'ematiques,
B\^atiment 425,
Universit\'e de Paris-Sud,
F-91405 Orsay,
France.
Courriel :
gille@math.u-psud.fr.


\end{document}

\bibitem[BoT]{BoT}  A.  Borel et  J.  Tits,
{\it Groupes r\'eductifs}, Pub. Math. IHES {\bf 27}, (1965), 55--152.




\bibitem[BrT1]{BrT1} F.  Bruhat  et J.  Tits,  {\it
Groupes r\'eductifs sur un corps local  \un},
Publ. Math. IHES {\bf 41} (1972), 13--234.

\bibitem[BrT3]{BrT3} F. Bruhat et J. Tits,  {\it Groupes alg\'ebriques sur un
corps local  \trois. Compl\'ements et application \`a la cohomologie
galoisienne}, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo  {\bf 34} (1987), 671-698.

\bibitem[CTS3]{CTS3} J.--L.  Colliot--Th\'el\`ene et J.--J.
Sansuc, {\it La descente sur les vari\'et\'es rationnelles,
\deux}, Duke Math. J.  {\bf 54} (1987), 375--492.

\bibitem[F]{F} G. Faltings, {\it Explicit resolution of local singularities of
moduli-spaces},  J. Reine Angew. Math.{\bf 483} (1997), 183--196.


\bibitem[M]{M} J.S.  Milne,   {\it
\'Etale Cohomology} (1980), Princeton.


\bibitem[T1]{T1} J.  Tits, {\it Classification of algebraic
semisimple  groups}, Proc. Symp. Pure. Math (1966), 33-62.

\bibitem[T2]{T2} J.  Tits,  {\it  Strongly inner Anisotropic Forms of Simple
Algebraic Groups}, Journal of Algebra {\bf 131} (1990), 648--677.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection{Compactification de De Concini-Procesi des sch\'emas
en groupes adjoints}

Soit ${\mathfrak G}/ \ZZ$ un sch\'ema en groupe adjoint de Chevalley
\'epingl\'e, c'est-\`a-dire muni   d'un $\ZZ$-tore  ${\mathfrak T}$ d\'eploy\'e
maximal de
$G$, et un $\ZZ$-sous--groupe de Borel ${\mathfrak B}$ contenant
${\mathfrak T}$.    On note $r$ le rang semi--simple de $G$ et ${\mathfrak
P}_1/\ZZ, {\mathfrak P}_2,  ..., {\mathfrak P}_r$ les sch\'emas en
sous--groupes paraboliques maximaux contenant ${\mathfrak B}/ \ZZ$. Selon une
remarque de Faltings (\cite{F} \S2), la compactification de De Concini-Procesi
(\cite{CP}, voir \cite{Str}) du groupe complexe
${\mathfrak G} \times_{\ZZ} {\CC}$ est en fait d\'efinie sur
${\ZZ}[{1 \over 2}]$. On note ${\mathfrak X}/ {\ZZ}[{1 \over 2}]$ cette
compactification, c'est un sch\'ema projectif sur ${\ZZ}[{1 \over 2}]$
et le bord ${\mathfrak X} \setminus {\mathfrak G}$ est un diviseur \`a
croisements normaux.
 L'action \`a gauche et \`a droite de ${\mathfrak G}$ sur ${\mathfrak G}$ se
prolonge en une action
$$
{\mathfrak G} \times {\mathfrak X} \times {\mathfrak G} \rg {\mathfrak X}
$$
permettant de prolonger l'action adjointe $Ad: {\mathfrak G}_{ad} \rg
{\rm Aut}({\mathfrak G})$ en $Ad : {\mathfrak G} \rg {\rm Aut}({\mathfrak X})$.

\vskip2mm

{\bf Action de $\Aut( {\mathfrak G})$ sur ${\mathfrak X}$ ?}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\subsection{D\'emonstration du th\'eor\`eme principal}
On est ramen\'e au cas anisotrope. Soit $X/k$ une compactification
projective et lisse de $G$. Suivant la proposition \ref{aniso}, on a
$G(O)=G(K)= X(K)$, et le th\'eor\`eme montre que l'application
\ref{Madore}
$$
 X(k)/R \rg X(K)/R
$$
admet un inverse \`a gauche, i.e l'application  $sp: X(K)/R \rg X(k)/R$ qui
satisfait $sp \circ Res_k^K=id_{X(k)/R}$.
Suivant la proposition \ref{aniso},  l'application
$$
 G(k)/R \rg G(K)/R
$$
admet donc un inverse \`a gauche, elle est donc injective.
 On montre maintenant la surjectivit\'e.  Si $k$ est fini, le groupe $G/k$ est
un tore et  donc la proposition \ref{tores}
\'etablit  ce cas. On suppose donc $k$ infini,  et vu que $RG(k)$ est
Zariski-dense dans $G$, on peut choisir un \'el\'ement semi--simple r\'egulier
$\overline g_0 \in RG(k)$, que l'on rel\`eve en un \'element $g_0 \in
G(O)=G(K)$. Soit $g \in G(O)$ satisfaisant
$\overline g =\overline g_0$. Suivant la proposition \ref{rigide}, il existe
$h  \in  G(O)$  tel que
$g h g_0^{-1} h^{-1}\in  RG(K)$. Comme $g_0 \in RG(K)$,
on a $g \in RG(K)$. On en d\'eduit que
$$
{\rm Ker}\Bigl(  G(O) \rg G(k)\Bigr) \subset RG(K).
$$
Or $G(K)={\rm Ker}\Bigl(  G(O) \rg G(k)\Bigr). G(k)$, donc
le morphisme   $G(k)/R \rg G(K)/R$ est surjectif.
\hfill\hfill\cqfd



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


$2)$ Soit $M$ un $k$--sous--groupe normal de $H$. On suppose que $M$
est $k$--rationnel et que la fibration $H \rg H/M$ est localement triviale
pour la topologie de Zariski. Alors on a un isomorphisme $$ H(k)/R \simlgr
(H/M)(k)/R. $$

Le corollaire $2)$ est imm\'ediat en consid\'erant un ouvert de
Zariski de $H/M$ trivialisant la fibration  $H \rg H/M$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Rem} Le lemme de Hensel appliqu\'e aux torseurs sous le groupe
des automorphismes du sch\'ema de Chevalley associ\'e \`a $G$ montre qu'il
existe un unique rel\`evement $\G$ de $G$.
\end{Rem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Commen\c cons par les groupes r\'eductifs de rang  1,
le tore $\GG_m$ et le tore anisotrope $R^1_{L/k}(\GG_m)=
\Ker\bigl( R_{L/k}\GG_m \buildrel N_{L/k} \over  \rg \GG_m \bigr)$
d\'efini par une extension quadratique s\'eparable $L/k=L(\sqrt{u})$.
La compactification lisse est dans ce cas unique.
Pour le tore $\GG_m$, la compactification est la droite projective
et a un point $k$--rationnel au bord, la proposition est donc vraie dans ce
cas.
Pour le tore anistrope $R^1_{L/k}\GG_m$, la compactification est
la conique d'\'equation
$$
N_{L/k}(x +y \sqrt{u})=z^2
$$
dans $\PP^2_k$.
Les points au bord de cette conique sont des $L$--points; ainsi, il
n'y a pas de $k$--points rationnels sur le bord, la proposition est donc vraie
dans ce cas. On peut donc supposer que $d=dim(G) \geq 2$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{lem} \label{rigide}
On suppose $G$ anisotrope. Soient $g_0 \in {\mathfrak G}(A)$  et
$g\in  {\mathfrak G}(A)$ tel que $\overline g =\overline g_0$ soit un
\'el\'ement semi--simple r\'egulier de $G(k)$. Alors il existe $h
\in {\rm Ker}\bigl(  {\mathfrak G}(A) \rg {\mathfrak G}(k)  \bigr)$  tel que
$g hg_0^{-1} h^{-1}\in  R{\mathfrak G}(F)$.
\end{lem}



\noindent {\it D\'emonstration :}  Les  centralisateurs $Z_{\mathfrak
G}(g_0)/A$
et
$Z_{\mathfrak G}(g)/A$ sont des
$A$-tores maximaux  de ${\mathfrak G}/A$ satisfaisant $Z_{\mathfrak G}(g_0)
\times_A k = Z_{\mathfrak G}(g) \times_A  k$. Suivant le th\'eor\`eme de
rigidit\'e de Grothendieck sur les sous--tores des sch\'emas en groupes
lin\'eaires
[SGA3, exp. IX, cor.7.3 p. 72],
 il existe un \'el\'ement $h \in {\mathfrak G}(A)$ tel que
$\overline h=1$ et tel que $Z_{\G}(g)/ A=h Z_{\G}(g_0) h^{-1}/ A$.  Suivant le
cas des tores appliqu\'e \`a $Z_{\G}(g_0)/A$,
$h^{-1} g h$ est $R$--\'equivalent \`a $g_0$.
\hfill\hfill\cqfd
