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\begin{document}
\title{Un isomorphisme motivique entre deux variétés homogènes projectives 
sous l'action d'un groupe de type~$G_{2}$\footnote{$2000$ \textit{Mathematics 
Subject Classification}. 14C95, 14F42, 20G15.}}
\author{Jean-Paul Bonnet}
\date{2003}
\maketitle


\begin{abstract}

  Dans tout cet article, $k$ d\'{e}signe un corps de caract\'{e}ristique
  diff\'{e}rente de $2$ et par vari\'{e}t\'{e} nous d\'{e}signons un $k$-sch\'{e}ma   
  s\'{e}par\'{e} et de type fini.
  
  L'objet du pr\'{e}sent article est d'\'{e}tudier $\X(\alpha_{1})$ et
  $\X(\alpha_{2})$, les vari\'{e}t\'{e}s homog\`{e}nes projectives associ\'{e}es \`{a}
  chacune des deux racines d'un groupe de type $G_{2}$. La premi\`{e}re
  d'entre elles, $\X(\alpha_{1})$, est une quadrique projective de
  dimension $5$ associ\'{e}e \`{a} une voisine de Pfister et l'autre,
  $\X(\alpha_{2})$, est une vari\'{e}t\'{e} de Fano (de genre $10$). Ces
  deux vari\'{e}t\'{e}s ne sont pas isomorphes, pourtant elles le deviennent
  en tant qu'objets d'une cat\'{e}gorie plus large, \`{a} savoir la cat\'{e}gorie
  des correspondances (et par cons\'{e}quent \'{e}galement dans la cat\'{e}gorie
  des motifs de Chow). Nous \'{e}tablissons que ce r\'{e}sultat est vrai
  que les vari\'{e}t\'{e}s soient d\'{e}ploy\'{e}es ou non.

  En premi\`{e}re partie, nous rappelons quelques r\'{e}sultats classiques sur
  les alg\`{e}bres d'octonions et construisons un mod\`{e}le d'alg\`{e}bre
  d'octonions d\'{e}ploy\'{e}e. En seconde partie, \'{e}tape importante de notre
  travail, nous construisons une structure cellulaire de
  $\X(\alpha_{2})$ lorsqu'elle est d\'{e}ploy\'{e}e. C'est \'{e}galement dans
  cette partie que nous déterminons la structure de l'anneau de Chow d\'{e}ploy\'{e} de la variété $\X(\alpha_{2})$.
  Enfin, en troisi\`{e}me partie, apr\`{e}s avoir introduit nos notations et
  rappel\'{e} les r\'{e}sultats n\'{e}cessaires sur la cat\'{e}gorie des
  correspondances, nous \'{e}tablissons l'isomorphisme motivique en toute
  g\'{e}n\'{e}ralit\'{e}.
\end{abstract}


\tableofcontents

\part{Rappels sur les alg\`{e}bres d'octonions}
\begin{section}{G\'{e}n\'{e}ralit\'{e}s}
  Pour commencer, nous rappelons quelques propri\'{e}t\'{e}s sur les alg\`{e}bres
  \`{a} composition en g\'{e}n\'{e}ral et les octonions en particulier.

  Pour un expos\'{e} plus complet, nous vous conseillons la lecture
  de~\cite{Sp} dont la plupart des r\'{e}sultats suivants sont tir\'{e}s.

  \begin{defi}
    Soit $C$ une alg\`{e}bre unitaire d'unit\'{e} $1$, non n\'{e}cessairement
    associative et telle qu'il existe, sur $C$, une forme quadratique
    $q$ non d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}e qui permette la composition, i.e. telle que
    $$\forall x,y \in C \qquad q(xy)=q(x)q(y).$$
    Une telle alg\`{e}bre $C$
    est appel\'{e}e \textbf{alg\`{e}bre \`{a} composition}.
  \end{defi}

  \begin{rem}
    On verra plus loin (cf. corollaire~\ref{unic}) que la forme
    quadratique $q$ est unique.
  \end{rem}

  On d\'{e}signe par $B_{q}(\cdot ,\cdot)$ la forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique
  associ\'{e}e \`{a} la forme quadratique $q$, i.e. d\'{e}finie par
  $$\forall x,y\in C,\quad B_{q}(x,y) = \frac{1}{2} (q(x+y) - q(x) - q(y)).$$
  On d\'{e}finit \'{e}galement la forme lin\'{e}aire suivante, appel\'{e}e
  \textbf{trace} par
  $$\forall x \in C,\quad T(x) = 2B_{q}(x,1).$$

  Dans la suite, nous allons identifier le corps de base $k$ avec son
  image dans $C$ (et plus tard dans $O$) ainsi $q$, $B_{q}$ et $T$
  seront consid\'{e}r\'{e}es comme \'{e}tant \`{a} valeurs dans $C$. Cet abus nous
  permettra d'all\'{e}ger significativement nos notations.

  La donn\'{e}e de la forme quadratique $q$ induit sur $C$ l'existence
  d'une involution.
  \begin{prop}
    Soit $C$ une alg\`{e}bre \`{a} composition. L'application
    $$\begin{array}{crcl}
      \overline{\ \cdot \  }\colon & C & \longrightarrow & C
      \\
      & x & \mapsto & \overline{x} = 2B_{q}(x,1) - x
    \end{array}$$
    est un anti-automorphisme\footnote{i.e. un automorphisme de
      l'espace vectoriel $C$ v\'{e}rifiant
      
      $\forall x,y \in C \quad \overline{xy} = \overline{y}\ \overline{x}.$} involutif de $C$.
  \end{prop}

  \begin{proof}
    Voir par exemple~\cite[Lem. 2.3.6]{G2}.
  \end{proof}

  Cette involution joue un r\^{o}le important car elle permet de retrouver
  la forme quadratique $q$ et par cons\'{e}quent elle caract\'{e}rise
  \'{e}galement $C$.
  \begin{lem}
    Soit $x \in C$ on a
    $$q(x)=x\overline{x}$$
    et
    $$T(x)= x + \overline{x}.$$
  \end{lem}

  \begin{proof}
    Voir~\cite[Lem. 2.3.6]{G2} pour le premier point, le second est
    trivial.
  \end{proof}

  Ainsi, il existe dans la litt\'{e}rature des pr\'{e}sentations des alg\`{e}bres
  \`{a} composition \`{a} partir de la donn\'{e}e d'une involution $\overline{\ \cdot \ }$ sur $C$ telle que $x\overline{x}$ soit une forme
  quadratique non-d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}e et $x + \overline{x}$ une forme lin\'{e}aire.

  Ces deux constructions sont parfaitement \'{e}quivalentes. En outre,
  cette involution permet parfois de simplifier certains calculs dans
  $C$ tout comme le r\'{e}sultat suivant :
  \begin{prop}\label{calcs}
    Pour tout $x$ d'une alg\`{e}bre \`{a} composition $C$, on a
    \begin{equation}\label{eq1}
      x^{2}-T(x)x+q(x)=0
    \end{equation}
    et pour tout $x,\ y \in C$, on a \'{e}galement
    \begin{equation}\label{eq2}
      xy + yx -T(x)y -T(y)x + 2B_{q}(x,\ y) = 0.
    \end{equation}

    Si le sous-espace $k1\oplus kx$ est de dimension $2$ et non
    d\'{e}g\'{e}n\'{e}r\'{e}, c'est une alg\`{e}bre \`{a} composition.
  \end{prop}

  \begin{proof}
    Voir~\cite[Prop. 1.2.3]{Sp}.
  \end{proof}

  La formule~\eqref{eq2} implique en particulier que $xy = -yx$ d\`{e}s
  que $x,y \in \ker T$ et que $x$ et $y$ sont des vecteurs
  orthogonaux. Ce dernier point jouera un r\^{o}le primordial par la
  suite.

  D'autre part, la proposition~\ref{calcs} a pour cons\'{e}quence (voir
  encore une fois~\cite{Sp}) les deux corollaires ci-dessous.
  \begin{cor}\label{unic}
    La forme quadratique $q$ d'une alg\`{e}bre \`{a} composition $C$ est
    d\'{e}termin\'{e}e de fa\c{c}on unique par l'alg\`{e}bre $C$.
  \end{cor}

  \begin{cor}
    Les alg\`{e}bres \`{a} composition $C$ sont puissances-associatives, i.e.
    pour tout $x \in C$, la sous-alg\`{e}bre $k[x]$ est associative.
  \end{cor}
  Le premier de ces corollaires implique donc que la d\'{e}finition de $C$
  pos\'{e}e au d\'{e}part de ce texte est correcte. Le second est quant \`{a} lui
  un moyen tr\`{e}s pratique de simplifier un grand nombre de calculs
  lorsque l'on travaille dans une telle alg\`{e}bre.

  Autre curiosit\'{e} des alg\`{e}bres \`{a} composition, ces dernières
  n'existent pas en toute dimension. De surcroit, plus la dimension
  est grande plus on perd de bonnes propri\'{e}t\'{e}s de l'alg\`{e}bre. Le
  r\'{e}sultat pr\'{e}cis concernant ces derniers points est \'{e}nonc\'{e} sous la
  forme du th\'{e}or\`{e}me suivant :

  \begin{theo}
    Les dimensions possibles pour une alg\`{e}bre \`{a} composition sont $1$,
    $2$, $4$ et $8$. Les alg\`{e}bres \`{a} composition de dimension $1$ ou
    $2$ sont commutatives et associatives, celles de dimension $4$
    sont associatives mais non commutatives, et quant \`{a} celles de
    dimension $8$ elles ne sont ni l'un ni l'autre.
  \end{theo}


  \begin{rem}
      Les alg\`{e}bres \`{a} composition de dimension $4$ sont plus connues sous
    le nom d'alg\`{e}bres de \textbf{quaternions}.
  \end{rem}

  Nous introduisons maintenant les alg\`{e}bres d'octonions :
  \begin{defi}
    Toute alg\`{e}bre de composition $C$ de dimension $8$ est appel\'{e}e
    \textbf{alg\`{e}bre d'octonions} ou encore \textbf{alg\`{e}bre de Cayley}.
  \end{defi}

  \`{A} partir de maintenant et jusqu'\`{a} la fin de ce texte, nous d\'{e}signons
  les alg\`{e}bres d'octonions par un $O$.

  \begin{defi}
    Soit $O$ une alg\`{e}bre d'octonions. Si la forme quadratique $q$ est
    isotrope, on parlera d'alg\`{e}bre d'octonions \textbf{d\'{e}ploy\'{e}e}.
  \end{defi}


  \begin{rem}\label{rem}
    Les alg\`{e}bres d'octonions d\'{e}ploy\'{e}es existent quel que soit le corps
    de base et sont uniques \`{a} isomorphisme pr\`{e}s. En revanche, sur un
    corps fix\'{e} il peut exister de nombreuses alg\`{e}bres d'octonions
    non-d\'{e}ploy\'{e}es.  Toute alg\`{e}bre non d\'{e}ploy\'{e}e se d\'{e}ploie sur une
    extension quadratique du corps de base. Le lecteur interess\'{e}
    consultera notamment~\cite[Chap. 3 \S 4]{S} ou~\cite[Th\'{e}o.
    1.8.1]{Sp}.
  \end{rem}

\end{section}


\begin{section}{Un mod\`{e}le d'alg\`{e}bre d'octonions d\'{e}ploy\'{e}e}

  Nous allons maintenant construire $O$ une alg\`{e}bre d'octonions
  d\'{e}ploy\'{e}e. De ce que nous avons dit en remarque~\ref{rem}, de telles
  alg\`{e}bres sont uniques \`{a} isomorphismes pr\`{e}s. Ainsi, sauf mention
  explicite du contraire, lorsque par la suite nous parlerons
  d'alg\`{e}bre d'octonions d\'{e}ploy\'{e}e, nous d\'{e}signerons le mod\`{e}le d'alg\`{e}bre
  que nous allons construire maintenant.

  On se donne le $k$-espace vectoriel
  $$O = \mathfrak{M}_{2}(k) \times \mathfrak{M}_{2}(k)$$
  o\`{u}
  $\mathfrak{M}_{2}(k)$ d\'{e}signe l'alg\`{e}bre des matrices $2\times 2$ \`{a}
  coefficients dans le corps $k$ et on munit $O$ du produit
  $$
  \forall x, y \in O \qquad xy = (x_{1},\ x_{2})(y_{1},\
  y_{2})=(x_{1}y_{1}+\tilde{y}_{2} x_{2},\
  y_{2}x_{1}+x_{2}\tilde{y}_{1})$$
  o\`{u}
  $$\tilde{y}_{i}=\ ^{t}\operatorname{co}({y_{i}}),$$
  $\operatorname{co}(y_{i})$
  d\'{e}signant la matrice constitu\'{e}e des cofacteurs de $y_{i}$.

  De cette fa\c{c}on et comme signal\'{e} dans le corollaire~\ref{unic}, la
  forme quadratique $q$ sur $O$ est uniquement d\'{e}termin\'{e}e et
  s'exprime\footnote{Les relations et le produit dans $O$ \'{e}tant
    connus, avec un peu d'alg\`{e}bre lin\'{e}aire le r\'{e}sultat se d\'{e}duit
    facilement.} sous la forme suivante :
  \begin{equation*}
    \forall x =(x_{1}, x_{2})\in O \qquad q(x)=\det(x_{1})-\det(x_{2}).
  \end{equation*}

  Il est clair que $O$ est une alg\`{e}bre unitaire d'unit\'{e} $1 =
  (Id,\ 0)$ et que la forme quadratique $q$ est isotrope. Par
  cons\'{e}quent, elle sera une alg\`{e}bre d'octonions (d\'{e}ploy\'{e}e) lorsqu'il
  sera prouv\'{e} que $q$ permet la composition. Ce dernier point peut
  s'\'{e}tablir \`{a} la main moyennant quelques calculs fastidieux que nous
  ne reproduisons pas ici. Une autre fa\c{c}on de le voir serait de
  constater que l'alg\`{e}bre ainsi construite est le r\'{e}sultat du proc\'{e}d\'{e}
  de duplication de Cayley-Dickson appliqu\'{e} \`{a} l'alg\`{e}bre
  $\mathfrak{M}_{2}(k)$. L\`{a} encore nous ne d\'{e}taillerons pas et
  conseillons, par exemple, la lecture de~\cite[\S 1.5 et \S 1.8]{Sp}
  ou encore de~\cite[\S 2.3]{G2}.

  L'anti-automorphisme et la trace associ\'{e}s \`{a} $q$ sont, quant \`{a} eux,
  donn\'{e}s par le lemme suivant :
  \begin{lem}
    Pour tout $x \in C$,
    \begin{align*}
      \overline{x} &=(\tilde{x}_{1},\ -x_{2}), \\
      T(x) &= ( \tr(x_{1}),\ 0).
    \end{align*}
  \end{lem}

  \begin{proof}
    L\`{a} encore un calcul direct est possible, sinon le lecteur peut
    toujours se reporter \`{a}~\cite[\S 1.8]{Sp}.
  \end{proof}

  Nous consid\'{e}rons maintenant les vecteurs
  \begin{align}
    \label{base}
    e_{0} &=
    \begin{pmatrix}
      \begin{bmatrix}
        1 & 0 \\
        0 & 0
      \end{bmatrix}
      ,&[0]
    \end{pmatrix}
    ; & f_{0} &=
    \begin{pmatrix}
      \begin{bmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 1
      \end{bmatrix}
      ,& [0]
    \end{pmatrix}
    \\
    e_{1} &=
    \begin{pmatrix}
      \begin{bmatrix}
        0 & 1 \\
        0 & 0
      \end{bmatrix}
      ,& [0]
    \end{pmatrix}
    ; & f_{1} &=
    \begin{pmatrix}
      \begin{bmatrix}
\phantom{-}0 & 0 \\
          -1 & 0
      \end{bmatrix}
      ,& [0]
    \end{pmatrix}
    \\
    e_{2} &=
    \begin{pmatrix}
      [0],&
\begin{bmatrix}
          -1 & 0 \\
\phantom{-}0 & 0
      \end{bmatrix}
    \end{pmatrix}
    ; & f_{2} &=
    \begin{pmatrix}
      [0],&
\begin{bmatrix}
        0 & 0 \\
        0 & 1
      \end{bmatrix}
    \end{pmatrix}
    \\
    e_{3} &=
    \begin{pmatrix}
      [0],&
\begin{bmatrix}
        0 & 0 \\
        1 & 0
      \end{bmatrix}
    \end{pmatrix}
    ; & f_{3} &=
    \begin{pmatrix}
      [0],&
\begin{bmatrix}
        0 & 1 \\
        0 & 0
      \end{bmatrix}
    \end{pmatrix}
  \end{align}
  o\`{u} $[0]$ d\'{e}signe la matrice nulle ; ces vecteurs forment une base de
  $O$ qui v\'{e}rifie de nombreuses propri\'{e}t\'{e}s dont les plus importantes
  sont r\'{e}sum\'{e}es dans le lemme~\ref{ppt} ci-dessous.
  \begin{lem}
    \label{ppt}
    Tout d'abord on a
    \begin{align*}
      e_{0} + f_{0} &= 1, &\overline{e_{0}} &= f_{0},
      &2B_{q}(e_{0},f_{0}) &= 1,
      \\
      e_{0}^{2} &= e_{0}, &f_{0}^{2} &= f_{0}, &e_{0}f_{0} &=
      f_{0}e_{0} = 0 \intertext{et pour tout $i \in \{1,\ 2,\ 3\}$,}
      q(e_{i}) &= q(f_{i}) = 0,& 2B_{q}(e_{i}, f_{j}) &= \delta_{ij}, &
e_{i}^{2} &= 0,
      \\
      f_{i}^{2}& = 0, & \overline{e_{i}} &= -e_{i}, & \overline{f_{i}}
      &= -f_{i},
      \\
      f_{0}e_{i} &= e_{i}e_{0} = 0, & e_{0}f_{i} &= f_{i}f_{0} = 0, &
e_{0}e_{i} &= e_{i}f_{0} = e_{i},
      \\
      f_{0}f_{i} &= f_{i}e_{0} = f_{i}, & e_{i}f_{j} &=
      -\delta_{ij}e_{0}, & f_{i}e_{j} &= -\delta_{ij}f_{0},
    \end{align*}
    \begin{align*}
      e_{i}e_{i+1} &= -e_{i+1}e_{i} = -f_{i+2}, & f_{i}f_{i+1} &=
      -f_{i+1}f_{i} = -e_{i+2}
    \end{align*}
    ces deux derni\`{e}res \'{e}galit\'{e}s \'{e}tant vraies avec les indices $i+1$ et
    $i+2$ pris modulo $3$ à valeurs dans l'ensemble $\{1,\,2,\,3\}$.
  \end{lem}

  \begin{proof}
    Voir~\cite[\S 1 p. 202]{Sc}.
  \end{proof}

  En fait, il existe de nombreuses bases de $O$ v\'{e}rifiant ces
  propri\'{e}t\'{e}s et c'est avec de telles bases que nous allons travailler.
  On \'{e}nonce donc :
  \begin{defi}
    Toute base de $O$ v\'{e}rifiant les propri\'{e}t\'{e}s du lemme~\ref{ppt} est
    appel\'{e}e \textbf{normale} (cf.~\cite[\S 1 p. 202]{Sc}).
  \end{defi}

  \begin{rem}
    On remarquera que la base utilis\'{e}e dans~\cite{Sp} n'est pas une
    base normale.
  \end{rem}

  Dans la suite de ce texte, nous travaillerons avec une base normale
  et comme certains r\'{e}sultats du lemme~\ref{ppt} nous serons tr\`{e}s
  utiles, nous les avons r\'{e}sum\'{e}s dans la figure~\ref{diag1} ci-dessous.

  \begin{figure}[htb]
    \begin{center}
      \includegraphics{table.eps}
    \end{center}
    \caption{Diagramme illustrant la multiplication dans $O$.}
    \label{diag1}

    $\quad$\textit{Les traits pleins relient deux \'{e}l\'{e}ments dont le
      produit est nul. En pointill\'{e} le produit de ces deux \'{e}l\'{e}ments
      donne celui situ\'{e} au-dessus du trait et la fl\`{e}che indique la
      positivit\'{e}.  Par exemple $f_{2}f_{3} = -e_{1}$.}
  \end{figure}

\end{section}

\part{D\'{e}composition cellulaire de $\X(\alpha_{2})$}

\begin{section}{D\'{e}finition des vari\'{e}t\'{e}s}

  Rappelons, tout d'abord, quelques r\'{e}sultats classiques sur les
  groupes alg\'{e}briques et les vari\'{e}t\'{e}s homog\`{e}nes projectives qu'on leur
  associe. \`{A} l'aide de ces r\'{e}sultats, nous d\'{e}finirons les vari\'{e}t\'{e}s
  $\X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})$ associ\'{e}es \`{a} un groupe de type
  $G_{2}$. Pour un expos\'{e} complet sur les groupes alg\'{e}briques, nous
  vous conseillons la lecture de~\cite{Bor} et vous renvoyons
  \`{a}~\cite{MPW} en ce qui concerne le choix de nos notations.

  \begin{subsection}{Vari\'{e}t\'{e}s homog\`{e}nes projectives}

    Soient $G$ un groupe alg\'{e}brique, $T$ un tore maximal de $G$ et $B$
    un sous-groupe de Borel le contenant.  Le choix de ce groupe
    de Borel fixe un ensemble $\Delta =
    \{\alpha_{1},\ldots,\alpha_{n}\}$ de racines simples de $G$ par
    rapport \`{a} $T$ et pour tout $\alpha_{i}$, il existe
    $U_{\alpha_{i}}$ un unique \textbf{sous-groupe de racine} de $G$.
    On associe \'{e}galement \`{a} toute racine $\alpha_{i}$ un autre
    sous-groupe de $G$, son \textbf{sous-groupe de racine oppos\'{e}},
    not\'{e} $U_{-\alpha_{i}}$, qui est en fait le sous-groupe de racine
    associ\'{e} \`{a} la racine $-\alpha_{i}$. D\`{e}s lors, \`{a} tout sous-ensemble
    $\Theta$ de $\Delta$, on associe $P_{\Theta}$, un
    \textbf{sous-groupe parabolique} de $G$ d\'{e}fini par
    $$P_{\Theta}= \gr (T,\ \{U_{\alpha}|\ \alpha \in \Delta\},\
    \{U_{-\alpha}|\ \alpha \notin \Theta\})$$
    o\`{u} $\gr(\mathcal{E})$
    d\'{e}signe le groupe engendr\'{e} par l'ensemble $\mathcal{E}$.  Par
    exemple, pour $\Theta = \Delta$, le sous-groupe parabolique
    associ\'{e} est le sous-groupe de Borel $B$ et pour $\Theta =
    \emptyset$, c'est $G$ lui-m\^{e}me.  On notera $P_{\alpha_{i}}$ le
    groupe $P_{\{\alpha_{i}\}}$ associ\'{e} \`{a} une seule racine
    $\alpha_{i}$. Enfin, on associe \`{a} $\Theta$ la \textbf{vari\'{e}t\'{e}
      projective} $G/P_{\Theta}$, \textbf{homog\`{e}ne} sous l'action de
    $G$, que nous noterons\footnote{L\`{a} encore, nous noterons
      simplement $\X(\alpha_{i})$ \`{a} la place de $\X(\{\alpha_{i}\})$.}
    $\X(\Theta)$. Une telle vari\'{e}t\'{e} $\X(\Theta)$ est \'{e}videmment lisse
    et sera d\'{e}finie sur $k$, si et seulement si
    $\Theta$ est stable sous l'action du groupe de Galois absolu de
    $k$.

    Parall\`{e}lement, on peut associer \`{a} un groupe alg\'{e}brique un certain
    ensemble $E$. Cet ensemble peut \^{e}tre un $k$-espace vectoriel, un
    $k$-espace vectoriel quadratique, hermitien ou encore une
    $k$-alg\`{e}bre. Ainsi, lorsque les racines sont
    convenablement\footnote{C'est-\`{a}-dire comme nous l'avons fait ici.}
    num\'{e}rot\'{e}es, $\X(\alpha_{i})$ est une vari\'{e}t\'{e} constitu\'{e}e \`{a} partir
    de certains sous-espaces de $E$, de dimension $i$ sur $k$.
    Ensuite, on d\'{e}finit une relation d'incidence sur ces $i$-espaces
     particuliers et on obtient les vari\'{e}t\'{e}s associ\'{e}es aux autres
    sous-ensembles de $\Delta$ \`{a} partir des vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{i})$.
    Concr\`{e}tement, la vari\'{e}t\'{e}
    $\X(\alpha_{i_{1}},\ldots,\alpha_{i_{l}})$ associ\'{e}e au
    sous-ensemble $\{\alpha_{i_{1}},\ldots,\alpha_{i_{l}}\}$ de
    $\Delta$, a pour $k$-points l'ensemble :
    $$
    \left\{(V_{1},\ldots,V_{l})\in X(\alpha_{i_{1}})(k)\times
      \ldots \times X(\alpha_{i_{l}})(k) \mid
      \begin{array}{c}
        \ V_{i}\text{ est incident \`{a} }V_{j}\\
        \text{pour tout }1\leqslant i,j \leqslant l
      \end{array}
    \right\} .
    $$

    Dans le cadre de notre \'{e}tude, $G$ est un groupe de type $G_{2}$.
    Un tel groupe peut se d\'{e}finir \`{a} l'aide d'une alg\`{e}bre d'octonion
    comme cela nous est appris par le r\'{e}sultat suivant :

    \begin{theo}
      Le groupe $G$ des automorphismes d'une alg\`{e}bre d'octonions $O$
      est un $k$-groupe alg\'{e}brique simple adjoint de type $G_{2}$.
      Tout groupe adjoint de ce type est obtenu de cette fa\c{c}on.
    \end{theo}

    \begin{proof}
      Voir~\cite[Th. 2.3.5 p. 33]{Sp} ou sans preuve~\cite[p. 298]{Ca}
      et~\cite[p. 443]{Car}.
    \end{proof}

    Un groupe de type $G_{2}$ est un groupe de rang $2$. Il poss\`{e}de
    par cons\'{e}quent deux racines, not\'{e}es $\alpha_{1}$ et $\alpha_{2}$
    et son diagramme de Dynkin est donn\'{e} par la
    figure~\ref{diag2} ci-dessous.

    \begin{figure}[htb]
      \begin{center}
        \includegraphics{D2more.eps}
      \end{center}
      \caption{Diagramme de Dynkin de $G$.}
      \label{diag2}
    \end{figure}

    En dehors du point $\X(\emptyset)$, nous avons donc trois vari\'{e}t\'{e}s
    $\X(\alpha_{1})$, $\X(\alpha_{2})$ et $\X(\alpha_{1},\alpha_{2})$,
    cette derni\`{e}re \'{e}tant celle dont la dimension est la plus grande.
    L'ensemble que l'on associe \`{a} $G$ pour d\'{e}crire ses vari\'{e}t\'{e}s
    homog\`{e}nes projectives est une alg\`{e}bre d'octonions $O$ et la
    relation d'incidence est tout simplement l'inclusion. Les vari\'{e}t\'{e}s
    $\X(\alpha_{i})$ ($i\in \{1,2\}$) sont constitu\'{e}es des
    sous-espaces $V_{i}$ de dimension $i$ de $O$ dont les \'{e}l\'{e}ments
    sont de trace nulle et tels que si $x$ et $y$ sont deux \'{e}l\'{e}ments
    de $V_{i}$ alors $xy=0$.

    Dans le cas pr\'{e}sent, les vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{i})$ ($i\in
    \{1,2\}$) et $\X(\alpha_{1},\alpha_{2})$, seront d\'{e}finies sur $k$ si
    et seulement si $O$ est d\'{e}ploy\'{e}e. Par extension lorsque cela sera
    le cas, nous qualifirons \'{e}galement les vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{i})$
    de \textbf{d\'{e}ploy\'{e}es}.

  \end{subsection}


  Notre prochain objectif est d'exhiber la d\'{e}composition cellulaire de
  $\X(\alpha_{2})$. Pour ce faire, le langage des foncteurs de points
  nous est apparu comme le plus indiqu\'{e}. Toutefois, cette fois encore,
  il nous semble n\'{e}cessaire de rappeler bri\`{e}vement quelques notions
  essentielles avant de rentrer dans le vif du sujet.

  \begin{subsection}{Foncteurs de points}
    On d\'{e}signe par \textbf{foncteur de points}, tout foncteur
    covariant de la cat\'{e}gorie $\mathfrak{Alg}._{k}$ des $k$-alg\`{e}bres
    associatives, unitaires et commutatives, \`{a} valeurs dans la
    cat\'{e}gorie $\mathfrak{Ens}.$ des ensembles.

    Un tel foncteur $\mathcal{F}$ est dit \textbf{repr\'{e}sentable} s'il
    existe une $k$-vari\'{e}t\'{e} $X$ telle que pour tout \'{e}l\'{e}ment $R$ de
    $\mathfrak{Alg}._{k}$ on ait :
    $$\mathcal{F}(R)=\Hom_{k-\operatorname{Sch}}(Spec\ R,X)$$
    On dit aussi que
    le foncteur $\mathcal{F}$ est \textbf{repr\'{e}sent\'{e}} par $X$.  On
    remarquera au passage que l'application $X \mapsto
    \Hom_{k-\operatorname{Sch}}(-,X)$ d\'{e}finit une transformation
naturelle
    entre la cat\'{e}gorie des $k$-vari\'{e}t\'{e}s et celle des foncteurs de
    points repr\'{e}sentables qui est une \'{e}quivalence de cat\'{e}gorie
    (cf~\cite[Th. de comparaison p. 18]{DG}).

    Un exemple de foncteur de point est donn\'{e} par le \textbf{foncteur
      affine} $Spec\ R$ associ\'{e} \`{a} la $k$-alg\`{e}bre $R$, d\'{e}fini pour tout
    \'{e}l\'{e}ment $S$ de $\mathfrak{Alg}._{k}$ par
    $$Spec\ R(S)=\operatorname{Hom}_{\mathfrak{Alg}._{k}}(R,S).$$
    Ce foncteur
    est clairement repr\'{e}sent\'{e} par la $k$-vari\'{e}t\'{e} $\operatorname{Spec}\
R$ et
    c'est pour cette raison qu'il est not\'{e} de la m\^{e}me mani\`{e}re.

    On dit que $\mathcal{G}$ est un \textbf{sous-foncteur} de
    $\mathcal{F}$, si pour toute $k$-alg\`{e}bre $R$, $\mathcal{G}(R)$ est
    un sous-ensemble de $\mathcal{F}(R)$ et si pour tout homomorphisme
    $\varphi \in \operatorname{Hom}_{\mathfrak{Alg}._{k}}(R,S)$ (o\`{u} $S
\in
    \mathfrak{Alg}._{k}$), l'application $\mathcal{G}(\varphi)
    \colon\mathcal{G}(R) \rightarrow \mathcal{G}(S)$ est la
    restriction de $\mathcal{F}(\varphi)$.

    On se donne maintenant un foncteur $\mathcal{F}$ repr\'{e}sent\'{e} par
    une $k$-vari\'{e}t\'{e} $X$.  On dira alors qu'un sous-foncteur
    $\mathcal{G}$ de $\mathcal{F}$ est \textbf{ouvert} (respectivement
    \textbf{ferm\'{e}}), s'il s'agit d'un sous-foncteur repr\'{e}sentable de
    $\mathcal{F}$ qui est repr\'{e}sent\'{e} par une sous-vari\'{e}t\'{e} ouverte
    (respectivement ferm\'{e}e) de $X$.

    \`{A} pr\'{e}sent, nous allons d\'{e}finir les foncteurs de point
    \textbf{grassmaniennes} qui interviendront dans la suite de ce
    texte. Pour cela, on se donne un $k$-espace vectoriel $V$ de
    dimension finie $n$ et pour toute $k$-alg\`{e}bre $R$ on pose $V_{R} =
    V \otimes_{k} R$.

    \begin{defi}
      Soit $i \in \{1,\ldots,n\}$, le foncteur grassmanienne
      $\Gamma_{i}(V)$ des sous-espaces de dimension $i$ est d\'{e}fini par
      :
      \begin{itemize}
      \item pour toute $k$-alg\`{e}bre $R$, l'ensemble $\Gamma_{i}(V)(R)$
        est constitu\'{e} des sommants directs de rang~$i$ de $V_{R}$, en
        d'autres termes, il s'agit des sous-modules projectifs $M$ de
        rang $i$ de $V_{R}$ tels que $V_{R}/M$ est \'{e}galement projectif
        ;
      \item pour tout homomorphisme $\varphi \in
        \Hom_{\mathfrak{Alg}._{k}}(R,S)$, l'application
        $\Gamma_{i}(V)(R) \rightarrow \Gamma_{i}(V)(S)$ est d\'{e}finie
        par la tensorisation par $S$ sur $R$, i.e. par
        $$V_{R}\supset M \mapsto M\otimes_{R} S \subset V_{S}.$$
      \end{itemize}
    \end{defi}
    Nous renvoyons le lecteur \`{a}~\cite[Ex. VI-18 p. 261]{EH} pour
    v\'{e}rifier qu'il s'agit bien du foncteur de point associ\'{e} \`{a} la
    grassmanienne des $i$-sous-espaces de $V$.

    Soit maintenant $f\colon V\times V \rightarrow W$ une application
    $k$-bilin\'{e}aire o\`{u} $W$ est aussi un $k$-espace vectoriel de
    dimension fini. On d\'{e}finit alors un sous-foncteur $\Gamma_{i}(V,\
    f)$ de $\Gamma_{i}(V)$, i.e. celui des sous-espaces totalement
    isotropes de dimension $i$ de $V$, en posant comme ensemble de ses
    $R$-points ($R\in \mathfrak{Alg}._{k}$) :
    $$\Gamma_{i}(V,f)(R)=\{M \in \Gamma_{i}(V)(R)\ |\ f_{R}(M,M)=0\}$$
    où $f_{R}$ est l'application $R$-bilinéaire induite par $f$.

    Ici nous utiliserons cette d\'{e}finition dans le cas o\`{u} $V=W=O$ et o\`{u}
    $f$ est la multiplication de l'alg\`{e}bre. Pour plus de d\'{e}tails
    concernant ce formalisme et ces d\'{e}finitions nous renvoyons le
    lecteur \`{a}~\cite[\S 9 p. 23]{K}.
  \end{subsection}

  Nous sommes maintenant en mesure de donner les d\'{e}finitions
  explicites de $\X(\alpha_{1})$, $\X(\alpha_{2})$ et
  $\X(\alpha_{1},\alpha_{2})$ en terme de foncteurs de points. Ces
  d\'{e}finitions sont donc la version fonctorielle des d\'{e}finitions
  classiques que l'on pourra par exemple consulter dans~\cite[\S 6 p.
  207]{Sc}.

  \begin{subsection}{Les foncteurs de points $\X(\alpha_{1})$,
      $\X(\alpha_{2})$ et $\X(\alpha_{1},\alpha_{2})$}
    \label{isot}
    Dans les d\'{e}finitions de $\X(\alpha_{i})$ ($i \in \{1,2\}$) et
    $\X(\alpha_{1},\alpha_{2})$, les \'{e}l\'{e}ments mis en jeu sont tous de
    traces nulles, par cons\'{e}quent nous pouvons nous restreindre \`{a}
    l'hyperplan $H=\ker T$ au lieu de travailler sur $O$ tout entier
    et ce m\^{e}me si, lorsqu'il s'agit d'effectuer le produit de deux
    \'{e}l\'{e}ments, le r\'{e}sultat est toujours vu dans $O$. Nous obtenons
    ainsi pour tout \'{e}l\'{e}ment $R$ de $\mathfrak{Alg}._{k}$, les
    d\'{e}finitions all\'{e}g\'{e}es suivantes :

    \begin{align*}
      \X(\alpha_{1})(R) &= \{ D\ \in \Gamma_{1}(H)(R) \ |\forall u,v
      \in D,\ uv = 0\},
      \\
      \X(\alpha_{2})(R) &= \{ P \in \Gamma_{2}(H)(R) \ |\forall u,v\in
      P,\ uv = 0\} \intertext{et} \X(\alpha_{1},\alpha_{2})(R) &=
      \{(D,\ P) \in \X(\alpha_{1})(R)\times \X(\alpha_{2})(R) \ |\
      D\subset P\}
    \end{align*}
    o\`{u} $\Gamma_{1}(H)$ et $\Gamma_{2}(H)$ d\'{e}signent donc
    respectivement le foncteur grassmanienne des droites et des
    plans de $H$.

    Regardons maintenant ces d\'{e}finitions d'un peu plus pr\`{e}s. Nous
    avons d\'{e}j\`{a} fait remarquer que tous les \'{e}l\'{e}ments $x$ de $O$
    v\'{e}rifient~\eqref{eq1}, i.e.

    $$x^{2} - T(x)x + q(x) = 0.$$
    Par cons\'{e}quent la d\'{e}finition de
    $\X(\alpha_{1})$ devient
    $$\X(\alpha_{1})(R) = \{ D\ \in \Gamma_{1}(H)(R) \ |\forall u \in
    D\ (q_{|_{H}})_{R}(u)=0\}$$
    o\`{u} $(q_{|_{H}})_{R}$ d\'{e}signe la forme
    quadratique $q$ restreinte \`{a} $H$ et \'{e}tendue \`{a} $R$. Toujours pour
    all\'{e}ger les notations, nous posons $q'=q_{|_{H}}$.  En effet, un
    module projectif de rang $1$ d\'{e}fini un faisceau localement libre
    de rang $1$. Par cons\'{e}quent, localement la condition $uv =0$ est
    \'{e}quivalente \`{a} $s u^{2} = 0$ (car puisque le module est libre de
    rang $1$, il existe un scalaire $s$ tel que $v = s u$) et donc
    \'{e}quivalente \`{a} $q'(u) = 0$. Cette \'{e}quivalence \'{e}tant vraie
    localement, elle l'est \'{e}galement globalement. Ainsi, il devient
    clair que

    $$
    \X(\alpha_{1}) = \Gamma_{1}(H,q')
    $$
    i.e. que $\X(\alpha_{1})$ est le
    foncteur des droites isotropes de $H$ ou en d'autres termes, c'est
    une quadrique projective de dimension $5$. Ce r\'{e}sultat a d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e}
    mis en \'{e}vidence par M.~Demazure (cf.~\cite[\S 2 c)]{D}), il
    s'agit d'un des quelques cas o\`{u} des vari\'{e}t\'{e}s homog\`{e}nes projectives
    associ\'{e}es \`{a} deux groupes alg\'{e}briques bien distincts sont
    isomorphes.  En ce qui nous concerne, cet article pr\'{e}sente aussi
    un autre int\'{e}r\^{e}t ; si $G$ d\'{e}signe encore une fois un groupe
    adjoint de type~$G_{2}$, l'article de M.~Demazure nous
    apprend que $\operatorname{Aut}(\X(\alpha_{1})) \simeq
    \operatorname{SO}(q')$ et que $\operatorname{Aut}(\X(\alpha_{2}))
\simeq
    G$. D\`{e}s lors, les vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})$
    ont des groupes d'automorphismes diff\'{e}rents et ne sont donc pas
    isomorphes en tant que vari\'{e}t\'{e}s projectives lisses.

    \medskip{}

    Concernant maintenant $\X(\alpha_{2})$, nous constatons l\`{a} encore
    que tout ses points sont des plans totalement isotropes. En
    effet, ils sont de traces nulles et le produit de deux \'{e}l\'{e}ments
    quelconques est \'{e}galement nul. Ainsi, en vertu des
    \'{e}quations~\eqref{eq1} et~\eqref{eq2}, que nous rappelons :
    $$x^{2}-T(x)x+q(x)=0$$
    et
    $$xy + yx -T(x)y -T(y)x + 2B_{q}(x,\ y) = 0,$$
    nous constatons que
    $q(x)=B_{q}(x,\ y)=0$, i.e. que tous les \'{e}l\'{e}ments sont isotropes et
    orthogonaux deux \`{a} deux. En revanche un plan totalement isotrope
    constitu\'{e} d'\'{e}l\'{e}ments de trace nulle n'appartient pas forcement \`{a}
    $\X(\alpha_{2})$. En effet, dans ce cas l\`{a} les
    formules~\eqref{eq1} et~\eqref{eq2} nous indiquent juste que
    $x^{2}=0$ et $xy+yx=0$ ce qui n'implique pas que $xy=yx=0$. Par
    exemple, dans la base normale~\eqref{base}, le module libre
    engendr\'{e} par $f_{1}$ et $f_{2}$ est bien isotrope et v\'{e}rifit les
    conditions requisent car $f_{1}f_{2} = -f_{2}f_{1}$ mais
    $f_{1}f_{2}= -e_{3} \neq 0$. En conclusion, nous ne pouvons pas
    simplifier plus la d\'{e}finition de $\X(\alpha_{2})$.
  \end{subsection}

  \medskip

  Nous allons maintenant donner la structure cellulaire de
  $\X(\alpha_{2})$.
\end{section}

\begin{section}{Structure cellulaire de $\X(\alpha_{2})$}\label{cel}

  Dans toute cette sous-section, nous travaillons avec $O$ une alg\`{e}bre
  d'octonion d\'{e}ploy\'{e}e.

  On rappelle que la \textbf{structure cellulaire} d'une vari\'{e}t\'{e} $X$
  (lisse et compl\`{e}te) est la donn\'{e}e d'une filtration
  $$X= X_{n} \supset X_{n-1} \supset \ldots \supset X_{0} \supset
  X_{-1} = \emptyset $$
  par des sous-vari\'{e}t\'{e}s ferm\'{e}es $X_{i}$ telles
  que les diff\'{e}rences $X_{i}\backslash X_{i-1}$, $i \in \{0,\ldots,
  n\}$, soient des espaces affines. Par la suite, on appellera ces
  diff\'{e}rences des \textbf{cellules}.

  D'apr\`{e}s l'article de~\cite{Ko}, on sait que lorsque $\X(\alpha_{2})$
  est d\'{e}ploy\'{e}e, une telle filtration existe. Toutefois, nous voulons
  l'\'{e}tablir explicitement afin de prouver plus loin dans ce texte la
  rationnalit\'{e} de certains cycles. Pour cela, nous allons partir d'une
  structure cellulaire de $\Gamma_{2}(H)$ et l'intersecter avec
  $\X(\alpha_{2})$ avant de raffiner la filtration en supprimant les
  termes redondants (i.e. ceux dont les cellules sont vides).
  \begin{rem}
    Le lecteur remarquera qu'en g\'{e}n\'{e}ral, m\^{e}me lorsqu'une vari\'{e}t\'{e} $X$
    admet une structure cellulaire et que $Y$ est une sous-vari\'{e}t\'{e}
    ferm\'{e}e de $X$, l'intersection de la structure cellulaire de $X$
    avec $Y$ ne donne pas n\'{e}cessairement une structure cellulaire pour
    $Y$ (pensez \`{a} une quadrique projective anisotrope dans une espace
    projectif...). Le fait que cela fonctionne dans ce cas l\`{a} est donc
    assez exceptionnel.
  \end{rem}
  La construction d'une telle filtration pour $\Gamma_{2}(H)$ se fait
  \`{a} partir de ses \textbf{vari\'{e}t\'{e}s de Schubert} (cf.
  ci-dessous), lesquelles se d\'{e}finissent \`{a} partir d'un drapeau de $H$.
  Dans le cas d'une grassmanienne cette construction est ind\'{e}pendante
  du choix du drapeau de d\'{e}part. En revanche, ce choix est primordial
  si l'on veut \^{e}tre capable d'\'{e}crire explicitement le r\'{e}sultat de
  l'intersection de la structure cellulaire de $\Gamma_{2}(H)$ avec
  $\X(\alpha_{2})$.  En l'occurence, pour construire ce drapeau nous
  partons d'une base normale (cf.~\eqref{base}) de $O$, notre alg\`{e}bre
  d'octonion d\'{e}ploy\'{e}e et nous munissons $H$ d'une base qui s'en
  d\'{e}duit. Concr\`{e}tement nous avons
  $$H = \operatorname{Vect}\{ e_{1},\ f_{2},\ f_{3},\ e = e_{0} -
f_{0},\
  e_{3},\ e_{2},\ f_{1}\}$$
  et l'ordre dans lequel nous venons
  d'\'{e}crire les vecteurs qui engendrent $H$ est important. En effet,
  pour d\'{e}finir notre drapeau, nous prenons comme premier espace
  vectoriel (le plus grand), $V_{7}=H$. Nous d\'{e}duisons ensuite
  $V_{i}$, nouvel espace vectoriel de la filtration comme \'{e}tant \'{e}gal \`{a}
  $\operatorname{Vect}\{v_{j_{i}},\ldots,v_{j_{1}}\}$ o\`{u} les
$v_{j_{k}}$ sont
  les $i$ derniers vecteurs de l'ensemble $\{ e_{1},\ f_{2},\ f_{3},\
  e = e_{0} - f_{0},\ e_{3},\ e_{2},\ f_{1}\}$ pris dans le m\^{e}me
  ordre.  Par exemple, $V_{6}=\operatorname{Vect}\{f_{2},\ f_{3},\ e,\
e_{3},\
  e_{2},\ f_{1} \}$ et $V_{3}=\operatorname{Vect}\{e_{3},\ e_{2},\
f_{1} \}$.

  Un drapeau de $H$ \'{e}tant maintenant fix\'{e}, on peut d\'{e}finir de fa\c{c}on
  classique les \textbf{vari\'{e}t\'{e}s de Schubert} (voir par
  exemple~\cite{M} ou~\cite{Fu}) de $\Gamma_{2}(H)$. Pour cela, \`{a} un
  couple $\lambda = (\lambda_{1},\lambda_{2})$ (avec $5\geqslant
  \lambda_{1} \geqslant \lambda_{2}\geqslant 0$) on associe la vari\'{e}t\'{e}
  dont les $R$-points ($R\in \mathfrak{Alg}._{k}$) sont les suivants :

  $$
  X_{\lambda}(R) = \{ M \in \Gamma_{2}(V)(R)\ |\ \operatorname{rg}
(M\cap
  (V_{5+i-\lambda_{i}})_{R}) \geqslant i,\ 1\leqslant i\leqslant 2\}.$$
  Ces
  vari\'{e}t\'{e}s ne forment \'{e}videmment pas une filtration mais en prenant
  des r\'{e}unions de vari\'{e}t\'{e}s (et/ou de cellules) de Schubert, il
  est possible d'en fabriquer une. Nous n'en dirons pas plus ici sur
  les vari\'{e}t\'{e}s de Schubert et nous ne reproduisons pas non plus
  la structure cellulaire de $\Gamma_{2}(H)$ ; nous nous contentons de
  donner la structure cellulaire qui en r\'{e}sulte pour $\X(\alpha_{2})$
  et dont les $R$-points ($R\in \mathfrak{Alg}._{k}$) sont les
  suivants :
  \begin{align*}
    \X_{5}(R) & = \X(\alpha_{2})(R)
    \\
    \X_{4}(R) & = \{ P \in \X(\alpha_{2})(R)\ |\ \operatorname{rg} (P
\cap
    (V_{7})_{R}) \geqslant 2,\ \operatorname{rg} (P \cap (V_{5})_{R}) \geqslant 1
\}
    \\
    \X_{3}(R) & = \{ P \in \X(\alpha_{2})(R)\ |\ \operatorname{rg} (P
\cap
    (V_{6})_{R}) \geqslant 2,\ \operatorname{rg} (P \cap (V_{3})_{R}) \geqslant 1
\}
    \\
    \X_{2}(R) & = \{ P \in \X(\alpha_{2})(R)\ |\ \operatorname{rg} (P
\cap
    (V_{5})_{R}) \geqslant 2,\ \operatorname{rg} (P \cap (V_{2})_{R}) \geqslant 1
\}
    \\
    \X_{1}(R) & = \{ P \in \X(\alpha_{2})(R)\ |\ \operatorname{rg} (P
\cap
    (V_{3})_{R}) \geqslant 2,\ \operatorname{rg} (P \cap (V_{1})_{R}) \geqslant 1
\}
    \\
    \X_{0}(R) & = \{ P \in \X(\alpha_{2})(R)\ |\ \operatorname{rg} (P
\cap
    (V_{2})_{R}) \geqslant 2,\ \operatorname{rg} (P \cap (V_{1})_{R}) \geqslant 1
\}
  \end{align*}

  L\`{a} encore, il n'est pas n\'{e}cessaire de v\'{e}rifier qu'il s'agit bien de
  sous-foncteur ferm\'{e}s. Pour s'en convaincre le lecteur pourra, par
  exemple, adapter les arguments donn\'{e}s dans~\cite[Lem. 9.7]{K}.

  Maintenant que nous avons une filtration, il nous faut v\'{e}rifier que
  les cellules sont bien des espaces affines afin d'avoir
  effectivement une d\'{e}composition cellulaire. Tout d'abord, nous
  introduisons la notation suivante pour d\'{e}signer les cellules :
  $$\forall i \in \{0,\ldots,5\} \qquad \X_{(i\backslash
    i-1)}=\X_{i}\backslash \X_{i-1}$$
  avec la convention
  $\X_{-1}=\emptyset$.  Il ne nous reste maintenant plus qu'\`{a} \'{e}tablir
  le r\'{e}sultat suivant :
  \begin{lem}
    $\forall i \in \{0,\ldots,5\}$,
    $$\X_{(i\backslash i-1)} \simeq \field{A}^{i}$$
    o\`{u} $\field{A}^{i}$
    d\'{e}signe le foncteur espace affine de dimension $i$.
  \end{lem}

  \begin{proof}
    Dans sa d\'{e}marche, la preuve est la m\^{e}me pour toutes les cellules.
    Nous allons par cons\'{e}quent nous limiter \`{a} celle de
    $\X_{(4\backslash3)} \simeq \field{A}^{4}$.

    On se donne donc $R$ une $k$-alg\`{e}bre et $P$ un $R$-point de
    $\X_{(4\backslash3)}(R)$. Nous allons \'{e}tablir qu'il existe une
    bijection entre $\X_{(4\backslash3)}(R)$ et $R^{4}$.

    Soit $j\colon V_{7} \twoheadrightarrow V_{7}/V_{6}$ la projection
    canonique. Dire que $P \in \X_{(4\backslash3)}(R)$ est \'{e}quivalent
    \`{a} dire que d'une part, l'application $j$ \'{e}tendue \`{a} $R$, et
    restreinte \`{a} $P$, $(j_{R})_{|_{P}}$, est surjective, d'autre part
    que $\ker (j_{R})_{|_{P}} \subset (V_{5})_{R}$ et enfin que
    $(V_{5})_{R} \rightarrow (V_{5}/V_{4})_{R}$ restreinte \`{a} $\ker
    (j_{R})_{|_{P}}$ est un isomorphisme. En cons\'{e}quence, nous posons
    $i\colon (V_{5}/V_{4})_{R} \hookrightarrow P$ l'application
    induite par l'isomorphisme $(V_{5}/V_{4})_{R}
    \stackrel{\sim}{\rightarrow} \ker (j_{R})_{|_{P}}$. La situation
    peut donc se r\'{e}sumer \`{a} la suite exacte courte suivante :
    $$0 \rightarrow (V_{5}/V_{4})_{R} \stackrel{i}{\hookrightarrow} P
    \stackrel{(j_{R})_{|_{P}}}{\twoheadrightarrow} (V_{7}/V_{6})_{R}
    \rightarrow 0.$$
    Il en d\'{e}coule que
    $$P \simeq (V_{5}/V_{4})_{R}\oplus (V_{7}/V_{6})_{R}$$
    o\`{u}
    l'isomorphisme d\'{e}pend de la donn\'{e}e d'une section de
    $(j_{R})_{|_{P}}$. De cet isomorphisme nous d\'{e}duisons que $P$ est
    en fait un module libre et par cons\'{e}quent nous allons pouvoir
    raisonner \`{a} partir des bases des $V_{i}$. Comme
    $(V_{7}/V_{6})_{R}$ est engendr\'{e} par $\overline{e_{1}}$, classe de
    $e_{1}$ modulo $(V_{6})_{R}$ et $(V_{5}/V_{4})_{R}$ par
    $\overline{f_{3}}$, classe de $f_{3}$ modulo $(V_{4})_{R}$, une
    fa\c{c}on  g\'{e}n\'{e}rique  de remonter ces \'{e}l\'{e}ments est de prendre
    $$m=m(a,b,c,d,g,h) = e_{1} + a\cdot f_{2}+ b\cdot f_{3} + c\cdot e
    + d \cdot e_{3} + g \cdot e_{2} + h \cdot f_{1}$$
    et
    $$n=n(w,x,y,z) = f_{3} + w\cdot e + x \cdot e_{3} + y \cdot e_{2}
    +z \cdot f_{1}$$
    o\`{u} $a,b,c,d,g,h,w,x,y$ et $z$ sont des scalaires.
    Ces deux \'{e}l\'{e}ments forment bien un module libre de rang $2$. En
    fait, ce module est le m\^{e}me si nous rempla\c{c}ons $m$ par $m-b\cdot
    n$ et ainsi nous \'{e}liminons un scalaire et r\'{e}duisons le probl\`{e}me.
    En cons\'{e}quence et quitte \`{a} renommer les scalaires restants nous
    pouvons travailler avec
    $$m=m(a,c,d,g,h) = e_{1} + a\cdot f_{2} + c\cdot e + d \cdot e_{3}
    + g \cdot e_{2} + h \cdot f_{1}$$
    au lieu de la pr\'{e}c\'{e}dente
    d\'{e}finition de $m$.  Dans l'ensemble de tous les modules qu'il est
    possible de g\'{e}n\'{e}rer \`{a} partir de $m$ et $n$ en faisant varier la
    valeur des scalaires, nous nous int\'{e}ressons au sous-ensemble des
    modules qui appartiennent \`{a} $\X_{(4\backslash 3)}(R)$. Il est
    clair par d\'{e}finition que $m$ et $n$ sont dans $H$. Il ne nous
    reste qu'\`{a} v\'{e}rifier que $m\cdot n=0$ et $m^{2}=n^{2}=0$.

    En effectuant les calculs, nous obtenons
    $$
    m\cdot n=0\iff
    \begin{cases}
      0 = & hw - cz - xg + yd \\
      0 = & xc - dw + az \\
      0 = & yc + h - gw \\
      0 = & cw - z - d \\
      0 = & cw - ya \\
      0 = & x + aw \\
      0 = & -w - a \\
      0 = & -y - c
    \end{cases}
    \iff
    \begin{cases}
      h = & c^{2} + gw \\
      d = & cw - z \\
      x = & w^2 \\
      y = & -c \\
      a = & -w
    \end{cases}
    $$
    ce qui nous laisse d\'{e}j\`{a} les variables $c$,$g$,$w$ et $z$
    libres.  Le calcul suivant nous donne
    $$
    m^{2}=0 \iff 0 = c^{2}-h-ag \iff h = c^{2} - ag
    $$
    qui est trivialement v\'{e}rifi\'{e} avec les pr\'{e}c\'{e}dentes relations.
    Enfin, le dernier calcul nous donne
    $$
    n^{2}=0 \iff 0 = w^{2}-x \iff x = w^{2}
    $$
    qui est l\`{a} encore une relation d\'{e}j\`{a} pr\'{e}sente dans le premier
    calcul.

    R\'{e}ciproquement, si nous consid\'{e}rons un module libre $P$ engendr\'{e}
    par $m = m(-w,c,cw-z,g,c^{2}+gw)$ et $n=n(w,w^{2},-c,z)$, les
    calculs pr\'{e}c\'{e}dents montrent directement que $m^{2}=n^{2}=m\cdot
    n=0$ et par cons\'{e}quent que $P \in \X_{(4\backslash 3)}(R)$. Nous
    avons donc mis en bijection $\X_{(4\backslash 3)}(R)$ et
    l'ensemble des modules engendr\'{e}s par $m=m(-w,c,cw-z,g,c^{2}+gw)$
    et $n=n(w,w^{2},-c,z)$ qui est en bijection avec
    $R^{4}$. Comme annonc\'{e}, nous avons ainsi \'{e}tabli que
    $$\X_{(4\backslash 3)} \simeq \field{A}^{4}.$$
    Le calcul des
    autres cellules se fait en proc\'{e}dant de la m\^{e}me fa\c{c}on et
    finalement, pour tout $i\in \{0,\ldots,5\}$, nous trouvons que
    $$\X_{(i\backslash i-1)} \simeq \field{A}^{i}.$$
  \end{proof}

\end{section}

\begin{section}{Anneau de Chow de $\X(\alpha_{2})$}

  On rappelle qu'\`{a} toute vari\'{e}t\'{e} alg\'{e}brique lisse et compl\`{e}te $X$, on
  associe $\ch^{*}(X)$, son anneau de Chow engendr\'{e} sur $\Z$ par
  les classes de cycles alg\'{e}briques sur $X$ modulo l'\'{e}quivalence
  rationnelle et gradu\'{e} par la codimension des cycles. On peut
  \'{e}galement consid\'{e}rer $\ch_{*}(X)$, l'anneau gradu\'{e} cette fois-ci par
  la dimension des cycles et lorsque $X$ est irr\'{e}ductible, on a
  $\ch^{p}(X) = \ch_{d-p}(X)$ o\`{u} $d= \dim X$. Bien que cela soit un
  abus de langage, nous parlerons souvent de cycle plut\^{o}t que de
  classes de cycles.

  Le but de cette section est de déterminer, dans le cas d\'{e}ploy\'{e},
  la structure générale de l'anneau de Chow de $\X(\alpha_{2})$. Pour cela, nous
  allons exhiber les relations que vérifient les g\'{e}n\'{e}rateurs de $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$.

  Lorsqu'une vari\'{e}t\'{e} poss\`{e}de une structure cellulaire, nous savons
  (c.f.~\cite[Ex. 1.9.1]{Fu}) que son anneau de Chow est
  engendr\'{e} par les classes pour l'\'{e}quivalence rationnelle de
  l'adh\'{e}rence des cellules. En cons\'{e}quence, la construction de la
  structure cellulaire de $\X(\alpha_{2})$ \'{e}tablie dans la section
  pr\'{e}c\'{e}dente nous permet d'affirmer que $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$
  poss\`{e}de un unique g\'{e}n\'{e}rateur par codimension. Ce qu'il nous faut
  maintenant comprendre, c'est comment ces g\'{e}n\'{e}rateurs se multiplient
  entre eux.  Pour cela, nous allons utiliser le fait que
  $\X(\alpha_{1},\alpha_{2})$ peut \^{e}tre vue comme une fibration
  projective au-dessus de $\X(\alpha_{2})$ au moyen de l'application
  suivante :
  $$
  \begin{array}{rcl}
  pr \colon  \X(\alpha_{1},\alpha_{2}) & \longrightarrow &
\X(\alpha_{2})
    \\
    (D,P) & \mapsto & P.
  \end{array}
  $$
  Cette fibration induit une application faisant de
  $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ un
  $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$-module libre de rang $2$ (c.f.~\cite[Ex. 8.3.4 et Th.
  3.3 b)]{Fu}). Nous allons utiliser cette structure de
  $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$-module pour calculer de deux fa\c{c}ons
  diff\'{e}rentes des invariants de $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$.
  En comparant les r\'{e}sultats de ces deux calculs nous obtiendrons de façon presque complète la table de multiplication des g\'{e}n\'{e}rateurs de
  $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$. Ces relations seront suffisantes pour établir l'isomorphisme motivique. Pour commencer, il nous faut en apprendre
  d'avantage sur $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$.

  \begin{subsection}{Relations dans
$\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$}
    En premier lieu, il est connu (voir par exemple~\cite[Lem.
    5.1.1]{Mar}) que $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ est un
    groupe libre engendr\'{e} par un g\'{e}n\'{e}rateur libre en codimension $0$
    et $6$ et deux g\'{e}n\'{e}rateurs libres dans les autres codimensions.
    Ainsi, nous d\'{e}signons par $g^{i}$ et $h^{i}$ les g\'{e}n\'{e}rateurs de
    $\ch^{i}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ pour $i$ dans
    $\{1,\ldots,5\}$ et par $g^{0}$ et $g^{6}$ ceux de
    $\ch^{0}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ et
    $\ch^{6}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ respectivement. En second
    lieu, le calcul du produit de n'importe quel \'{e}l\'{e}ment de
    $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ avec un \'{e}l\'{e}ment de
    codimension $1$ peut \^{e}tre obtenu par une formule du "type
    Pieri-Giambelli," la formule de Chevalley \'{e}tablie dans~\cite[\S 4
    Cor. 2]{D2}. Gr\^{a}ce \`{a} cette formule, nous calculons la table de
    multiplication des g\'{e}n\'{e}rateurs de
    $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$.

    \begin{align*}
      (g^{1})^{2} & = 3g^{2} & (h^{1})^{2} & = h^{2} &h^{1}g^{2} & =
      g^{3} + h^{3} & g^{1}h^{2} & = g^{3} + 3h^{3}
      \\
      (g^{1})^{3} & = 6g^{3} & (h^{1})^{3} & = 2h^{3} & h^{1}g^{3} & =
      2g^{4} + h^{4} & g^{1}h^{3} & = g^{4} + 2h^{4}
      \\
      (g^{1})^{4} & = 18g^{4} & (h^{1})^{4} & = 2h^{4} & h^{1}g^{4} &
= g^{5} + h^{5} & g^{1}h^{4} & = g^{5} + 3h^{5}
      \\
      (g^{1})^{5} & = 18g^{5} & (h^{1})^{5} & = 2h^{5} &h^{1}g^{5} & =
      g^{6} & g^{1}h^{5} & = g^{6}
      \\
      (g^{1})^{6} & = 0 & (h^{1})^{6} & = 0 &h^{1}g^{1} & = h^{2} +
      g^{2}
    \end{align*}
  \end{subsection}

  Comme annonc\'{e} nous allons maintenant calculer les
  invariants de $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$.

  \begin{subsection}{Calcul des invariants de
      $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$}

    Nous d\'{e}signons par $A$ le sous-anneau de
    $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ engendr\'{e} par les \'{e}l\'{e}ments
    du groupe
    $\ch^{1}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$. Nous consid\`{e}rons ensuite $A^{i}$
    le groupe ab\'{e}lien constitu\'{e} des \'{e}l\'{e}ments de codimension $i$ de $A$
    (i.e. engendr\'{e} par les polyn\^{o}mes homog\`{e}nes de degr\'{e} $i$ en $g^{1}$
    et $h^{1}$). Par cons\'{e}quent, apr\`{e}s calculs nous obtenons que
    \begin{align*}
      A^{1} & = \gr (g^{1},\ h^{1})
      \\
      A^{2} & = \gr ((g^{1})^{2},\ g^{1}h^{1},\ (h^{1})^{2})
      \\
      & = \gr (3g^{2},\ g^{2}+h^{2},\ h^{2})
      \\
      A^{3} & = \gr ((g^{1})^{3},\ (g^{1})^{2}h^{1},\
      g^{1}(h^{1})^{2},\ (h^{1})^{3})
      \\
      & = \gr (6g^{3},\ 3(g^{3}+h^{3}),\ g^{3}+3h^{3},\ 2h^{3})
      \\
      A^{4} & = \gr ((g^{1})^{4},\ (g^{1})^{3}h^{1},\
      (g^{1})^{2}(h^{1})^{2},\ g^{1}(h^{1})^{3},\ (h^{1})^{4})
      \\
      & = \gr (18g^{4},\ 12g^{4}+6h^{4},\ 6(g^{4}+h^{4}),\
      2g^{4}+4h^{4},\ 2h^{4})
      \\
      A^{5} & = \gr ((g^{1})^{5},\ (g^{1})^{4}h^{1},\
      (g^{1})^{3}(h^{1})^{2},\ (g^{1})^{2}(h^{1})^{3},\
      g^{1}(h^{1})^{4},\ (h^{1})^{5})
      \\
      & = \gr (18g^{5},\ 18(g^{5}+h^{5}),\ 12g^{5}+18h^{5},\
      6g^{5}+12h^{5},\ 2g^{5}+6h^{5},\ 2h^{5})
      \\
      A^{6} & = \gr ((g^{1})^{6},\ (g^{1})^{5}h^{1},\
      (g^{1})^{4}(h^{1})^{2},\ (g^{1})^{3}(h^{1})^{3},\
      (g^{1})^{2}(h^{1})^{4},\ g^{1}(h^{1})^{5},\ (h^{1})^{6})
      \\
      & = \gr (0,2g^{6},\ 6g^{6},\ 12g^{6},\ 18g^{6},\ 18g^{6},0)
    \end{align*}
    o\`{u} l\`{a} encore, nous d\'{e}signons par $\gr (\mathcal{E})$ le groupe
    ab\'{e}lien libre engendr\'{e} par les \'{e}l\'{e}ments de $\mathcal{E}$ sur $\Z$.

    Nous rappellons que pour tout
    $i$ dans $\{1,\ldots\,5\}$, nous avons
    $$\ch^{i}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})) = \gr (g^{i},h^{i})$$
    et que
    $$\ch^{6}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})) = \gr (g^{6}).$$

    En calculant les diff\'{e}rents quotients nous trouvons ainsi que :
    \begin{align*}
      (\ch^{1}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{1}) & = 1
      \\
      (\ch^{2}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{2}) & = 1
      \\
      (\ch^{3}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{3}) & = 2
      \\
      (\ch^{4}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{4}) & = 4
      \\
      (\ch^{5}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{5}) & = 4
      \\
      (\ch^{6}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{6}) & = 2
    \end{align*}
où nous désignons par $(\ch^{i}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{i})$, l'indice du sous-groupe $A^{i}$ dans $\ch^{i}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$.

 Ces indices sont les invariants de l'anneaux $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ dont nous allons nous servir pour déterminer la structure d'anneau de $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$. Pour cela, nous allons \`{a} nouveau calculer ces indices en
  utilisant la structure de $\ch^{i}(\X(\alpha_{2}))$-module de
  $\ch^{i}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$.
  \end{subsection}


  \begin{subsection}{Calcul de la structure de $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$}\label{rel} 
    Pour commencer, nous rappelons que $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$ poss\`{e}de un seul g\'{e}n\'{e}rateur par codimension que nous notons $h_{2}^{i}$ ($i\in \{0,\ldots ,5\}$). Ensuite, nous avons déjà signalé que $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ est un $\ch(\X(\alpha_{2}))$-module libre de rang $2$~. Plus précisement, il admet pour base l'ensemble $\{1,\ \zeta\}$ o\`{u} $1$ désigne l'élément neutre et $\zeta$ est un élément qui vérifie
$$
\zeta^{2} -c_{1} \hdeux^{1} \zeta +c_{2}\hdeux^{2} = 0
$$
et où $c_{i}$ désigne la $i^{\grave{e}me}$ classe de Chern du fibré vectoriel associé au fibré projectif sur $\X(\alpha_{2})$. Ainsi, pour $i$ \`{a} valeurs dans $\{1,\ldots ,5\}$, les groupes $\ch^{i}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ correspondent \`{a} $\gr (h_{2}^{i},\ \zeta h_{2}^{i-1})$,  et pour les indices $0$ et $6$, nous avons $\ch^{0}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))\simeq\ch^{0}(\X(\alpha_{2}))$, et $\ch^{6}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))\simeq \ch^{5}(\X(\alpha_{2}))\zeta$. Nous nous donnons ensuite quatre nombres entiers positifs $l,\,m,\,n$ et $p$ tels que
    \begin{align*}
      (h^{1}_{2})^{2}&= l h^{2}_{2}, &(h^{1}_{2})^{3}&= lm h^{3}_{2},
      &(h^{1}_{2})^{4}&= lmn h^{4}_{2},& (h^{1}_{2})^{5}&= lmnp
      h^{5}_{2}.
    \end{align*}
    
    Ceci \'{e}tant pos\'{e}, nous allons consid\'{e}rer comme pr\'{e}c\'{e}demment, les
    sous-groupes $A^{i}$ exprimés cette fois-ci en fonction de $(h_{2}^{1})^{i}$ et $\zeta(h_{2}^{1})^{i-1}$. Pour commencer,
    \begin{align*}
      A^{1} & = \gr (h_{2}^{1},\ \zeta)
    \end{align*}
nous avons donc bien
$$
(\ch^{1}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{1}) = 1.
$$

Ensuite,
    \begin{align*}
      A^{2} & = \gr ((h_{2}^{1})^{2},\ h_{2}^{1}\zeta,\ \zeta^{2})
      \\
      & = \gr (lh_{2}^{2},\ h_{2}^{1}\zeta,\ c_{1}\hdeux^{1}\zeta -c_{2}\hdeux^{2})
      \\
      & = \gr (lh_{2}^{2},\ c_{2}\hdeux^{2},\ h_{2}^{1}\zeta)
    \end{align*}
et comme
$$
(\ch^{2}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{2}) = 1
$$
nous en déduisons que les nombres $l$ et $c_{2}$ sont premiers entres eux. Ce résultat sera très largement exploité dans les calculs suivants.
Concernant le groupe $A^{3}$, nous avons
     \begin{align*}
      A^{3} & = \gr ((h_{2}^{1})^{3},\ (h_{2}^{1})^{2}\zeta,\ h_{2}^{1}\zeta^{2},\ \zeta^{3})
      \\
      & = \gr ((lmh_{2}^{3},\ l\hdeux^{2}\zeta,\ l c_{1}\hdeux^{2}\zeta -m c_{2}\hdeux^{3},\ (l c_{1}^{2}-c_{2})\hdeux^{2}\zeta- m c_{1} c_{2}\hdeux^{3})
      \\
      &= \gr (m\hdeux^{3},\ \hdeux^{2}\zeta)
     \end{align*}
d'où
$$
(\ch^{3}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{3}) = m = 2.
$$
Nous calculons maintenant $A^{4}$,
     \begin{align*}
     A^{4}  =& \gr ((h_{2}^{1})^{4},\ (\hdeux^{1})^{3}\zeta,\ (\hdeux^{1})^{2}\zeta^{3},\ \hdeux^{1}\zeta^{3},\ \zeta^{4})
      \\
       =& \gr (2 l n\hdeux^{4},\ 2l\hdeux^{3}\zeta,\  2 l c_{1}\hdeux^{3}\zeta -2 n c_{2}\hdeux^{4},\  2(l c_{1}^{2} -c_{2})\hdeux^{3}\zeta -2 n c_{1} c_{2}\hdeux^{4}, &
      \\
      &   \qquad 2c_{1}(lc_{1}^{2}-2 c_{2})\hdeux^{3}\zeta  -\frac{2n}{l}(lc_{1}^{2} -c_{2}) c_{2}\hdeux^{4})
      \\
       =& \gr (2 n \hdeux^{4},\ 2\hdeux^{3}\zeta,\ \frac{2n}{l} c_{2}^{2}\hdeux^{4})
      \end{align*}
ainsi
$$
(\ch^{4}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{4}) = 2 \pgcd (2n, \frac{2n}{l} c_{2}) = 4
$$      
où $\pgcd (2n, \frac{2n}{l} c_{2})$ désigne le plus grand commun multiple de $\frac{2n}{l} c_{2}$ et $2n$. Par suite, comme $\pgcd (2n, \frac{2n}{l} c_{2}) = 2$, nécessairement $\pgcd (n,  \frac{n}{l} c_{2}) = 1$ et ainsi $l = n$. Nous calculons maintenant

      \begin{align*}
      A^{5}  =& \gr ((h_{2}^{1})^{5},\ (\hdeux^{1})^{4}\zeta,\ (\hdeux^{1})^{3}\zeta^{2},\ (\hdeux^{1})^{2}\zeta^{3},\ \hdeux^{1}\zeta^{4},\ \zeta^{5})
      \\
       =& \gr (2l^{2}p h_{2}^{5},\ 2l^{2} h_{2}^{4}\zeta,\ 2l^{2} c_{1}\hdeux^{4}\zeta - 2lpc_{2}\hdeux^{5}, 2l(lc_{1}^{2} -c_{2})\hdeux^{4}\zeta -2 l p c_{1}c_{2}\hdeux^{5},
      \\
      & \quad 2lc_{1}(lc_{1}^{2} -2c_{2})\hdeux^{4}\zeta -2pc_{2}(lc_{1}^{2}-c_{2})\hdeux^{5}, (2l^{2}c_{1}^{4} -6lc_{1}^{2}c_{2} + 2c_{2}^{2})\hdeux^{4}\zeta -2pc_{1}c_{2}(lc_{1}^{2} -2c_{2})\hdeux^{5} )
      \\
       = & \gr (2p h_{2}^{5},\ 2h_{2}^{4}\zeta)
      \end{align*}
ainsi
$$
(\ch^{5}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{5}) = 4p = 4
$$
d'où $p=1$.
Enfin, nous calculons

      \begin{align*}
      A^{6}  =& \gr ((\hdeux^{1})^{6},\ (\hdeux^{1})^{5}\zeta,\ (\hdeux^{1})^{4}\zeta^{2},\ (\hdeux^{1})^{3}\zeta^{3},\ (\hdeux^{1})^{2}\zeta^{4},\ \hdeux^{1}\zeta^{5},\ \zeta^{6})
      \\
       =& \gr (0,\ 2l^{2}\hdeux^{5}\zeta,\ 2l^{2}c_{1}\hdeux^{5}\zeta,\ 2l(lc_{1}^{2} -  c_{2})\hdeux^{5}\zeta,\ 2 l c_{1}(lc_{1}^{2} -2c_{2})\hdeux^{5}\zeta,\ 
      \\
      & \qquad (2l^{2}c_{1}^{4} -6lc_{1}^{2}c_{2} +2c_{2}^{2})\hdeux^{5}\zeta,\ (2l^{2}c_{1}^{5} -8lc_{1}^{3}c_{2} +6c_{1}c_{2}^{2})\hdeux^{5}\zeta)
      \\
       =& \gr (2\hdeux^{5}\zeta)
    \end{align*}
et nous trouvons bien que
$$
(\ch^{6}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})):A^{6}) = 2.
$$
Finalement, la table de multiplication partielle de $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$ est
    \begin{align*}
      (\hdeux^{1})^{2} & = l \hdeux^{2}
      \\
      (\hdeux^{1})^{3} & = 2l\hdeux^{3}
      \\
      (\hdeux^{1})^{4} & = 2l^{2}\hdeux^{4}
      \\
      (\hdeux^{1})^{5} & = 2l^{2}\hdeux^{5}
    \end{align*}
Malgré tous nos effort, $l$ reste donc jusque là indéterminés. Pourtant, l'image de $\hdeux^{1}$ dans $\ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2})$ par l'application $pr^{*} \colon \ch^{*}(\X(\alpha_{2}) \rightarrow \ch^{*}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$ induite par la fibration projective, est une combinaison de $g^{1}$ et $h^{1}$, i.e. $pr^{*}(\hdeux^{1}) = a g^{1} +b h^{1}$ avec $a$ et $b$ dans $\Z$, premiers entre eux (puisque $pr^{*}(\hdeux^{1})$ peut être choisis comme un des générateurs de $\ch^{1}(\X(\alpha_{1},\alpha_{2}))$). Or, nous avons
\begin{align*}
l pr^{*}(\hdeux^{2}) &= (pr^{*}(\hdeux^{1}))^{2} =   (3a^{2} + 2ab) g^{1} + (b^{2} + 2ab)h^{2}
\end{align*}
ce qui impose donc à $a$ et $b$ d'être pairs si $l$ l'est. Ceci est en contradiction avec le fait que $a$ et $b$ sont premiers entre eux. Par conséquent, $l$ est nécessairement impair et ce fait nous sera très utile par la suite pour établir l'isomorphisme motivique. En effet, bien que n'ayant pas totalement déterminé la structure de $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$, nous verrons que les informations dont nous disposons seront suffisante pour établir l'isomorphisme motivique entre $\X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})$. 
  \end{subsection}
\end{section}


\part{L'isomorphisme motivique}

Nous allons maintenant commencer par introduire la cat\'{e}gories des
correspondances sur laquelle nous allons travailler ainsi que les
r\'{e}sultats acompagnant cette th\'{e}orie. Il s'agit de r\'{e}sultats classiques
et la motivation principale n'est autre que l'introduction de nos
notations.

\begin{section}{Correspondances et motifs}

  Nous d\'{e}signerons par $\mathfrak{Var}_{k}$ la cat\'{e}gorie des
  $k$-vari\'{e}t\'{e}s lisses, compl\`{e}tes mais non n\'{e}cessairement connexes (on
  inclut \'{e}galement $\emptyset$ dans $\mathfrak{Var}_{k}$). Nous avons d\'{e}j\`{a}
  signal\'{e} que pour $X$ dans $\mathfrak{Var}_{k}$, nous d\'{e}signions par
  $\ch^{*}(X)$ l'anneau de Chow de $X$ et que bien que cela soit
  un abus de langage, nous parlerons de cycle plut\^{o}t que de classes de
  cycles.

  Une \textbf{correspondance} de\footnote{Si $Y = X$ on parlera de
    correspondance sur $X$ tout court.} $X$ dans $Y$, o\`{u} $X,\ Y$ sont
  dans $\mathfrak{Var}_{k}$, est par d\'{e}finition un cycle dans
  $\ch^{*}(X\times Y)$. La composition des correspondances se fait de
  la fa\c{c}on classique (voir par exemple~\cite[D\'{e}fi. 16.1.1]{Fu})
  suivante :
  $$
  \begin{array}{ccl}
    \ch^{*}(X\times Y)\times\ch^{*}(Y\times
    Z) & \longrightarrow & \ch^{*}(X\times Z )
    \\
    (f,g) & \mapsto & g\circ f = (pr_{13})_{*}((f\times
    Z)\cdot(X\times g))
  \end{array}
  $$
  o\`{u} $\cdot$ d\'{e}signe la multiplication des cycles dans
  $\ch^{*}(X\times Y\times Z)$ et $(pr_{13})_{*}$ le push-forward par
  rapport \`{a} la projection
  $$
  \begin{array}{rccl}
    pr_{13}\colon & X\times Y\times Z &
\longrightarrow & X\times Z
    \\
    & (x,y,z) & \mapsto & (x,z).
  \end{array}
  $$

  Soient maintenant $X$ et $Y$ dans $\mathfrak{Var}_{k}$ avec $Y$
  suppos\'{e}e connexe (ou d'une fa\c{c}on plus g\'{e}n\'{e}rale \'{e}quidimensionnelle).
  On d\'{e}finit dans un premier temps une \textbf{correspondance de $X$
    dans $Y$ de degr\'{e}} $p$ comme \'{e}tant un cycle homog\`{e}ne de $\ch^{\dim
    Y + p}(X\times Y)$. On \'{e}tend ensuite cette d\'{e}finition au cas d'une
  vari\'{e}t\'{e} $Y$ de $\mathfrak{Var}_{k}$ quelconque en d\'{e}signant par
  correspondance de degr\'{e} $p$ les cycles homog\`{e}nes de
  $\oplus_{i}\ch^{\dim Y_{i} + p}(X\times Y_{i})$ o\`{u} les $Y_{i}$
  d\'{e}signent les composantes connexes de $Y$. Notez bien que l'on a

  $$
  \oplus_{i}\ch^{\dim Y_{i} + p}(X\times Y_{i}) =
  \oplus_{j}\ch_{\dim X_{j} - p}(X_{j} \times Y)
  $$
  o\`{u} les $X_{j}$ d\'{e}signent les composantes connexes de $X$.

  Lorsque l'on compose des correspondances, les degr\'{e}s s'ajoutent
  (\cite[Ex. 16.1.1]{Fu}), ainsi l'ensemble des correspondances de
  degr\'{e} $0$ est stable par composition et on d\'{e}finit par cons\'{e}quent
  :

  \begin{defi}
    Soit $\mathfrak{Corr}_{k}^{0}$ la cat\'{e}gorie additive dont les objets
    sont ceux de $\mathfrak{Var}_{k}$ et les groupes de morphismes sont
    les correspondances de degr\'{e} $0$.
  \end{defi}

  Le lecteur trouvera dans~\cite[\S 16.1]{Fu} la d\'{e}monstration du fait
  que $\mathfrak{Corr}_{k}^{0}$ est bien une cat\'{e}gorie. Nous signalons
  tout de m\^{e}me que l'application identit\'{e} de $X$, $id_{X}$, est donn\'{e}e
  par la classe de l'application diagonale sur $X\times X$. Par
  ailleurs, nous d\'{e}signerons par $\End(X)$ le groupe $\Hom(X,X)$.

 Dans ce texte, nous ne composerons que des correspondances d\'{e}compos\'{e}es et homog\`{e}nes. Dans ce cas là, la de deux correspondances se calcule explicitemment gr\^{a}ce au lemme suivant :

  \begin{lem}
    \label{lem}
    Soient $X,\ Y,\ Z\in \mathfrak{Var}_{k}$, $f\in \ch^{*}(X)$,$ g,g'
    \in \ch^{*}(Y)$ et $h\in \ch^{*}(Z)$. On suppose que la vari\'{e}t\'{e} $Y$
    est connexe (ou plus g\'{e}n\'{e}ralement \'{e}quidimensionnelle) et que les
    cycles $g$ et $g'$ sont homog\`{e}nes. Alors on a
    \begin{align*}
      (g'\times h)\circ(f\times g) &= \ (pr_{13})_{*}(f\times (g\cdot
g')\times h)
      \\
      &=
      \begin{cases}
        \deg(g\cdot g')(f\times h)
        &\mathrm{si }\codim(g)+\codim(g')=\dim Y\\
        0&\mathrm{sinon}
      \end{cases}
    \end{align*}
    o\`{u} $\deg (-)$ d\'{e}signe le degr\'{e} d'un $0$-cycle
    (voir~\cite{Fu}[D\'{e}fi.  1.4]).
  \end{lem}

  D'autre part, on d\'{e}finit \'{e}galement la \textbf{transpos\'{e}} $^{t}f = \tau_{*}(f)$
  dans $\Hom (Y,X)$ d'une correspondance $f$ de $\Hom(X,Y)$ o\`{u}
  $\tau\colon X\times Y \rightarrow Y\times X$ est la permutation
  des points, i.e.  $\tau(x,y)=(y,x)$.

  Enfin, si $X$ est une vari\'{e}t\'{e} d\'{e}finie sur le corps de base $k$ et
  $\field{L}/k$ est une extension de corps on d\'{e}signe par
  $X_{\field{L}}$ la vari\'{e}t\'{e} $X$ d\'{e}finie sur $\field{L}$. On dit qu'un
  cycle $f$ de $\ch^{*}(X_{\field{L}})$ est \textbf{d\'{e}fini sur} $k$,
  si $f$ est dans l'image de l'homomorphisme de restriction
  $\textup{res}_{\field{L}/k}\colon \ch^{*}(X) \rightarrow
  \ch^{*}(X_{\field{L}})$. De m\^{e}me, on dira qu'une correspondance est
  d\'{e}finie sur $k$, si elle l'est en tant que cycle. On dira souvent
  par la suite qu'un cycle ou une correspondance est
  \textbf{rationnel} s'il est d\'{e}fini sur $k$.

  Ces préliminaires terminés, nous allons maintenant prouver que les
  vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})$ sont isomorphes dans
  la cat\'{e}gorie $\mathfrak{Corr}_{k}^{0}$ et qu'il s'agit par cons\'{e}quent d'un
  isomorphisme motivique.

\end{section}

\medskip
Nous allons maintenant nous employer \`{a} prouver l'isomorphisme. Pour
cela nous allons proc\'{e}der en trois \'{e}tapes. Nous allons prouver qu'un
tel isomorphisme existe lorsque les vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{1})$ et
$\X(\alpha_{2})$ sont d\'{e}ploy\'{e}es. Ensuite, nous allons \'{e}tablir un
th\'{e}or\`{e}me de nilpotence et enfin, gr\^{a}ce \`{a} ce th\'{e}or\`{e}me de nilpotence,
nous prouverons l'isomorphisme en toute g\'{e}n\'{e}ralit\'{e}.

\begin{section}{Isomorphisme}

  Nous nous pla\c{c}ons dans le cas o\`{u} les vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{1})$ et
  $\X(\alpha_{2})$ sont d\'{e}ploy\'{e}es, nous vous rappelons que cela
  signifie que l'alg\`{e}bre d'octonions sur laquelle le groupe de type
  $G_{2}$ agit l'est, ou encore de fa\c{c}on \'{e}quivalente que la forme
  quadratique $q$ d\'{e}finie sur l'alg\`{e}bre des octonions est isotrope.
  Nous allons donc \'{e}tablir qu'il existe un cycle de degr\'{e} $0$ qui
  r\'{e}alise un isomorphisme entre $\X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})$.

  \begin{subsection}{Cas d\'{e}ploy\'{e}}
    Pour prouver cet isomorphisme il nous faut donc trouver deux
    cycles $f$ et $g$, $f$ dans $\Hom(\X(\alpha_{1}),\X(\alpha_{2}))$ et $g$ dans
    $\Hom(\X(\alpha_{2}),\X(\alpha_{1}))$ tels que $g\circ f =
    \Delta_{1}$ et $f\circ g = \Delta_{2}$ o\`{u} $\Delta_{1}$ et
    $\Delta_{2}$ d\'{e}signent respectivement la classe de l'application
    diagonale de $\X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})$. Si $\Delta_{1}$
    est d\'{e}j\`{a} connu, il va nous falloir expliciter $\Delta_{2}$.

    Nous allons commencer par fixer quelques notations. Soit $j$ un
    entier naturel de l'ensemble $\{0,\ldots ,5\}$, nous appelons $\hun^{j}$ le
    g\'{e}n\'{e}rateur de $\ch^{j}(\X(\alpha_{1}))$ et $\hdeux^{j}$ celui de
    $\ch^{j}(\X(\alpha_{2}))$. Les relations multiplicatives entre ces
    g\'{e}n\'{e}rateurs sont d\'{e}sormais (presque totalement) déterminées (cf. sous-section~\ref{rel}).
    En outre, comme $\X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})$ ont toutes
    les deux\footnote{La structure cellulaire de $\X(\alpha_{1})$ bien
      que non d\'{e}crite ici est en fait classique et bien connue.} une
    structure cellulaire , $\X(\alpha_{1})\times \X(\alpha_{1})$,
    $\X(\alpha_{1})\times \X(\alpha_{2})$, $\X(\alpha_{2})\times
    \X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})\times \X(\alpha_{2})$ en ont
    \'{e}galement une que l'on d\'{e}duit de celle de $\X(\alpha_{1})$ et
    $\X(\alpha_{2})$ (voir~\cite[D\'{e}fi. 7.2]{K}). Ceci nous permet
    d'\'{e}tablir le r\'{e}sultat suivant:
    \begin{lem}
      \label{l6}
      Les applications
      $$
      \begin{array}{ccc}
        \ch^{*}(\X(\alpha_{i}))\otimes
        \ch^{*}(\X(\alpha_{j}))& \rightarrow &
\ch^{*}(\X(\alpha_{i})\times \X(\alpha_{j}))
        \\
        (f \otimes g) & \mapsto & f \times g
      \end{array}
      $$
      o\`{u} $i$ et $j$ parcourent $\{1,2\}$, sont des isomorphismes.
    \end{lem}

    En fait, ce r\'{e}sultat est plus g\'{e}n\'{e}ral ; il est v\'{e}rifi\'{e} d\`{e}s que les
    deux vari\'{e}t\'{e}s ont une structure cellulaire.

    D'apr\`{e}s le lemme~\ref{l6}, les g\'{e}n\'{e}rateurs de
    $\ch^{*}(\X(\alpha_{i})\times \X(\alpha_{j}))$ s'expriment en
    fonction de ceux de $\ch^{*}(\X(\alpha_{1}))$ et
    $\ch^{*}(\X(\alpha_{2}))$. En particulier, en tant qu'anneaux, ils
    sont sans torsion.

    \begin{rem}
      On retrouve de cette fa\c{c}on un r\'{e}sultat d\'{e}j\`{a} \'{e}tabli
      dans~\cite[Cor.  1.5]{Ko}.
    \end{rem}

    Nous sommes maintenant en mesure d'en d\'{e}duire l'expression de
    l'application diagonale de $\X(\alpha_{2})$ :

    \begin{lem}
      $$\Delta_{2} = \sum_{i=0}^{5} \hdeux^{i}\times \hdeux^{5-i}$$
    \end{lem}


    \begin{proof}
      Tout ce qu'il y a faire ici, c'est de prouver que le cycle
      $\sum_{i=0}^{5} \hdeux^{i}\times \hdeux^{5-i}$ agit trivialement
      sur les g\'{e}n\'{e}rateurs de $\End(\X(\alpha_{2}))=\ch^{5}(\X(\alpha_{2})\times\X(\alpha_{2}))$.
      D'apr\`{e}s le lemme~\ref{lem} on a :
      $$
      (\hdeux^{i}\times \hdeux^{5-i})\circ(\hdeux^{j}\times
      \hdeux^{5-j})=
      \begin{cases}
        \deg (\hdeux^{5-j}\cdot \hdeux^{i})(\hdeux^{j}\times
        \hdeux^{5-i}) &\text{si $i = j$}
        \\
        0 & \text{sinon}
      \end{cases}
      $$
     Si~$i=j$, nous devons tout d'abord calculer~$\hdeux^{5-i}\cdot\hdeux^{i}$ pour toutes les valeurs de~$j$ possibles, à savoir~$0$, $1$ et~$2$. Il est tout d'abord clair en vertu de ce que nous avons calculé que
$$
\hdeux^{0}\cdot \hdeux^{5} = \hdeux^{5}\cdot\hdeux^{0} = \hdeux^{5}
$$
et que
$$
\hdeux^{1}\cdot \hdeux^{4} = \hdeux^{4}\cdot\hdeux^{1} = \hdeux^{5}.
$$

Pour~$j = 2$, nous calculons tout d'abord
\begin{align*}
2\hdeux^{2}\cdot \hdeux^{3} & = (\hdeux^{1})^{2}\cdot\hdeux^{3}
\\
                            & = \hdeux^{1}\cdot2\hdeux^{4}
\\
                            & = 2\hdeux^{5}
\end{align*}
et par conséquent nous avons
$$
\hdeux^{2}\cdot \hdeux^{3} = \hdeux^{3}\cdot\hdeux^{2} = \hdeux^{5},
$$
en vertu de quoi nous concluons que
$$
\deg(\hdeux^{5-j}\cdot \hdeux^{j}) = \deg (\hdeux^{5}) = 1
$$
pour tout indice~$j$ de l'ensemble~$\{0,\ldots ,5\}$ et de là, nous en d\'{e}duisons que pour tout indice~$j$,
$$
(\sum_{i=0}^{5} \hdeux^{i}\times \hdeux^{5-i})\circ (\hdeux^{j}\times \hdeux^{5-j}) = \hdeux^{j}\times \hdeux^{5-j}
$$
et de l'unicit\'{e} de l'\'{e}l\'{e}ment neutre nous concluons que
$$
\Delta_{2} = \sum_{i=0}^{5} \hdeux^{i}\times\hdeux^{5-i}.
$$
    \end{proof}

    Nous allons maintenant exprimer le cycle r\'{e}alisant l'isomorphisme
    motivique dans le cas d\'{e}ploy\'{e}.

    \begin{prop}
      \label{prop}
      Soit
      $$
      J=\sum_{i=0}^{5} \hun^{i}\times \hdeux^{5-i} \in
      \ch^{5}(\X(\alpha_{1})\times \X(\alpha_{2})),
      $$
      $J$ r\'{e}alise un isomorphisme motivique entre $\X(\alpha_{1})$
      et $\X(\alpha_{2})$ dont l'inverse est $^{t}J$.
    \end{prop}

    \begin{proof}
      Nous pouvons nous contenter de prouver que $J\circ ^{t}J =
      \Delta_{2}$. Pour cela nous utilisons une fois encore le
      lemme~\ref{lem} pour calculer :

      $$
      (\hun^{i}\times \hdeux^{5-i})\circ(\hdeux^{j}\times
      \hun^{5-j})=
      \begin{cases}
        \deg (\hun^{5-j}\cdot \hun^{i})(\hdeux^{j}\times \hdeux^{5-i})
        &\text{si $i = j$}
        \\
        0 & \text{sinon}
      \end{cases}
      $$
      et l\`{a} encore nous avons
      $$
      \deg(\hun^{5-j}\cdot \hun^{i}) = \deg (\hun^{5}) = 1
      $$
      puisque
       \begin{align*}
      (\hun^{1})^{2} & = \hun^{2}
      \\
      (\hun^{1})^{3} & = 2\hun^{3}
      \\
      (\hun^{1})^{4} & = 2\hun^{4}
      \\
      (\hun^{1})^{5} & = 2\hun^{5}
    \end{align*}
    comme le lecteur pourra s'en assurer en consultant~\cite{K91}. Par cons\'{e}quent, il vient tout naturellement en d\'{e}veloppant que
      $$
      J\circ ^{t}J = \sum_{i=0}^{5} \hdeux^{i}\times \hdeux^{5-i} =
      \Delta_{2}
      $$
      et $J$ est donc bien un isomorphisme motivique entre
      $\X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})$ comme annonc\'{e}.
    \end{proof}
  \end{subsection}

  Nous \'{e}tablissons maintenant un th\'{e}or\`{e}me de nilpotence pour
  $\X(\alpha_{2})$ comme M.~Rost l'a fait dans~\cite{R} dans le
  cas des quadriques.

  \begin{subsection}{Th\'{e}or\`{e}me de nilpotence et cons\'{e}quence}
    En premier lieu, nous reproduisons ici quelques r\'{e}sultats \'{e}tablis
    par M.~Rost dans~\cite[\S 1]{R}.

    Tout d'abord, on d\'{e}signe par $X$ et $B$ deux vari\'{e}t\'{e}s alg\'{e}briques
    lisses sur le corps de base $k$ et $\pi \colon B \times X
    \rightarrow B$ la premi\`{e}re projection. Pour tout \'{e}l\'{e}ment $b$ de
    $B$, $X_{b} = Spec\ k(b) \times_{k} X$ d\'{e}signe la fibre au-dessus
    de $b$ et $k(b)$ le corps r\'{e}siduel en $b$. Pour toute
    correspondance $f$ de $\End(X)$, on note $f_{b} \in \operatorname{End}_{\mathfrak{Corr}^{0}_{(k(b))}}(X_{b})$ l'\'{e}l\'{e}ment
obtenu par
    changement de base.

    Les deux r\'{e}sultats suivants sont d\'{e}montr\'{e}s dans~\cite[\S 1]{R}.
    \begin{prop}
      Soit $f \in \End(X)$ et supposons que
      $$\left(f_{b}\right)_{*}\left(\ch_{i}(X_{b})\right)=0$$
      pour
      tout $b\in B$ et tout $i \in \{0,\ldots,\dim B\}$. Alors
      $$
      f^{(1+\dim B)}\circ \Hom(B,X) = 0.
      $$
    \end{prop}

    \begin{rem}
      La puissance de $f$ est prise dans l'anneau $\End(X)$.
    \end{rem}

    Nous \'{e}tablissons maintenant le r\'{e}sultat suivant :

    \begin{lem}\label{lem2}
      Si $\X(\alpha_{2})$ est d\'{e}ploy\'{e}e, alors
      $$
      \End(\X(\alpha_{2})) =
      \oplus^{i}\End_{\Z}\left(\ch^{i}(\X(\alpha_{2}))\right).
      $$
    \end{lem}

    \begin{proof}
      D'apr\'{e}s~\cite[Lem. 6]{R} ce r\'{e}sultat est vrai pour les
      quadriques d\'{e}ploy\'{e}es\footnote{Dans l'article de M.~Rost,
        le r\'{e}sultat est \'{e}tabli sur les dimensions mais comme nous
        travaillons avec des vari\'{e}t\'{e}s irr\'{e}ductibles nous pouvons
        passer \`{a} la codimension sans probl\`{e}me.}. Il est donc vrai pour
      $\X(\alpha_{1})$ lorsqu'elle l'est. Nous savons maintenant que
      dans ce cas $\X(\alpha_{2})$ lui est isomorphe. Ce r\'{e}sultat est
      donc \'{e}galement vrai pour $\X(\alpha_{2})$.
    \end{proof}

    Nous \'{e}non\c{c}ons maintenant notre th\'{e}or\`{e}me de nilpotence.

    \begin{prop}[Th\'{e}or\`{e}me de nilpotence]\label{theo}
      Soit $f \in \End(\X(\alpha_{2}))$ et $\field{L}/k$ une extension
      quelconque du corps de base $k$. Si $f_{\field{L}}=0 \in \End_{\mathfrak{Corr}^{0}_{\field{L}}}(\X(\alpha_{2})_{\field{L}})$,
      alors il existe un entier $n$ tel que $f^{n}=0$.
    \end{prop}

    \begin{proof}
      Dans le cas o\`{u} $\X(\alpha_{2})$ est d\'{e}ploy\'{e}e, comme
      $$\End(\X(\alpha_{2})) =
      \oplus_{i}\End_{\Z}\left(\ch^{i}(\X(\alpha_{2}))\right),$$
      le fait que $f_{\field{L}}=0$ implique n\'{e}cessairement que $f=0$ car
      $\End(\X(\alpha_{2}))$ est invariant par extension.

      Si maintenant nous sommes dans le cas o\`{u} $\X(\alpha_{2})$ n'est
      pas d\'{e}ploy\'{e}e, on applique alors la propositon de M.~Rost
      avec $B = \X(\alpha_{2})$. Nous allons \'{e}galement devoir
      utiliser, et donc prouver, le r\'{e}sultat suivant :
      \begin{lem}\label{dep}
        Pour tout $x \in \X(\alpha_{2})$, la fibre
        $\X(\alpha_{2})_{x}$ est d\'{e}ploy\'{e}e.
      \end{lem}
      \begin{proof}
        Il est clair que $\X(\alpha_{2})_{x}$ a un point rationnel et
        en cons\'{e}quence, il existe un plan $P$ de l'alg\`{e}bre d'octonions
        $O$ tel que la trace restreinte \`{a} $P$ est identiquement nulle
        et que le produit de deux \'{e}l\'{e}ments quelconques de $P$ est lui
        aussi nul. Nous avons d\'{e}ja fait remarquer (cf.
        sous-section~\ref{isot}) que dans ce cas l\`{a}, $P$ est
        totalement isotrope. Ainsi, la forme quadratique $q$ sur $O$
        est \'{e}galement isotrope, d'o\`{u} $O$ est d\'{e}ploy\'{e}e d'apr\`{e}s le
        th\'{e}or\`{e}me 1.8.1 de~\cite{Sp}. Par cons\'{e}quent,
        $\X(\alpha_{2})_{x}$ est d\'{e}ploy\'{e}e.
      \end{proof}
      $\X(\alpha_{2})_{x}$ etant totalement d\'{e}ploy\'{e}e, en utilisant ce
      que l'on \`{a} d\'{e}j\`{a} dit en d\'{e}but de preuve, $(f_{x})_{\field{L}}=0$
      implique que $f_{x}=0$. D\`{e}s lors, on peut appliquer la
      proposition de M.~Rost (la condition
      $\left(f_{x}\right)_{*}(\ch_{i}(\X(\alpha_{2})_{x}))=0$ est
      trivialement v\'{e}rifi\'{e}e) et en d\'{e}duire que
      $$f^{6} = 0.$$
      Le r\'{e}sultat est donc \'{e}tabli.
    \end{proof}

    De ce r\'{e}sultat nous d\'{e}duisons un th\'{e}or\`{e}me d'isomorphisme :

    \begin{cor}[Th\'{e}or\`{e}me d'isomorphisme]\label{iso}
      Sous les hypoth\`{e}ses pr\'{e}cedentes, si $f_{\field{L}}$
      est un isomorphisme alors $f$ en est un.
    \end{cor}
    \begin{proof}
      Si $\X(\alpha_{2})_{\field{L}}$ n'est pas d\'{e}ploy\'{e}e, elle l'est
      sur une extension plus grande. En cons\'{e}quence, quitte \`{a} passer
      sur une autre extension, nous pouvons supposer que
      $\X(\alpha_{2})_{\field{L}}$ est d\'{e}ploy\'{e}e. En utilisant le
      lemme~\ref{lem2}, nous constatons que
      $$
      \End(\X(\alpha_{2}))=\oplus_{i=0}^{5}
      \End_{\Z}(\ch^{i}(\X(\alpha_{2})))
      $$
      et ainsi $f_{\field{L}}$ est totalement d\'{e}termin\'{e}e par son
      action sur les groupes $\ch^{i}(\X(\alpha_{2}))\simeq \Z$. D'o\`{u}
      $f_{\field{L}}$ satisfait l'\'{e}quation $t^{2}-1 = 0$. Ainsi,
      $f_{\field{L}}^{2}=(\Delta_{2})_{\field{L}}$ et d'apr\`{e}s la
      proposition~\ref{theo}, nous en d\'{e}duisons que $f^{2}=\Delta_{2}
      + g$, o\`{u} $g$ est un \'{e}l\'{e}ment nilpotent. En conclusion, $f$ est un
      automorphisme.
    \end{proof}

    \begin{rem}
      V.~Chernousov, S.~Gille et A.~Merkurjev ont
      depuis g\'{e}n\'{e}ralis\'{e}s ce r\'{e}sultat (et le th\'{e}or\`{e}me de
      nilpotence~\ref{theo}) dans leur preprint~\cite[Th. 7.4]{CGM}.
    \end{rem}
  \end{subsection}

  Nous allons maintenant \'{e}tablir que le cycle $J$ est rationnel et
  ainsi \^{e}tre en mesure de conclure que l'isomorphisme motivique est
  aussi r\'{e}alis\'{e} dans le cas anisotrope.

  \begin{subsection}{Cas anisotrope}\label{anis}

    Nous supposons \`{a} pr\'{e}sent que les vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{1})$ et
    $\X(\alpha_{2})$ sont anisotropes sur le corps de base $k$. Nous
    consid\'{e}rons alors $\K$ une cl\^{o}ture alg\'{e}brique de $k$ et les
    vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{1})_{\K}$ et $\X(\alpha_{2})_{\K}$ sont, elles,
    clairement d\'{e}ploy\'{e}es. Comme pr\'{e}c\'{e}demment, nous d\'{e}signons alors par, $\hun^{i}$ et $\hdeux^{i}$ les g\'{e}n\'{e}rateurs respectifs de $\ch^{i}(\X(\alpha_{1})_{\K})$ et $\ch^{i}(\X(\alpha_{2})_{\K})$.
    Nous annon\c{c}ons maintenant :

    \begin{prop}
      Le cycle
      $$J=\sum_{i=0}^{5} \hun^{i}\times \hdeux^{5-i} \in
      \ch^{5}(\X(\alpha_{1})_{\K}\times \X(\alpha_{2})_{\K})$$
      est
      rationnel.
    \end{prop}

    \begin{proof}
      Sur $\K$, les vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{1})_{\K}$ et
      $\X(\alpha_{2})_{\K}$ sont d\'{e}ploy\'{e}es et admettent une structure
      cellulaire. Par cons\'{e}quent, comme nous l'avons d\'{e}j\`{a} fait
      remarquer
      $$\ch^{*}(\X(\alpha_{1})_{\K})\otimes
      \ch^{*}(\X(\alpha_{2})_{\K}) \simeq
      \ch^{*}(\X(\alpha_{1})_{\K}\times \X(\alpha_{2})_{\K})$$
      et donc
      $\ch^{*}(\X(\alpha_{1})_{\K}\times \X(\alpha_{2})_{\K})$ est
      engendr\'{e} par les $\hun^{i}\times\hdeux^{j}$. Pour prouver la
      rationnalit\'{e} de $J$, nous allons proc\'{e}der en plusieurs \'{e}tapes et pour
      cela d\'{e}montrer les deux lemmes suivants :

      \begin{lem}\label{lem3}
        Le cycle $\hdeux^{1} \in \ch^{1}(\X(\alpha_{2})_{\K})$ est
        rationnel.
      \end{lem}

      \begin{proof}
        Lorsque nous avons calcul\'{e} la structure cellulaire de
        $\X(\alpha_{2})_{\K}$ (cf. section~\ref{cel}) nous avons
        trouv\'{e} que le premier terme de la filtration admettait pour
        $R$-points ($R\in\mathfrak{Alg}._{k}$) :
        $$
        \X_{4}(R) = \{ P \in \X(\alpha_{2})(R)\ |\ \operatorname{rg} (P
        \cap (V_{7})_{R}) \geqslant 2,\ \operatorname{rg} (P \cap (V_{5})_{R})
\geqslant 1
        \}
        $$
        et la classe de l'adh\'{e}rence de la cellule associ\'{e}e \`{a} ce
        terme est justement $\hdeux^{1}$. Par ailleurs, le groupe de
        Chow de la grassmanienne $\Gamma_{2}(H)$ a \'{e}galement un
        seul g\'{e}n\'{e}rateur en codimension $1$ et ce g\'{e}n\'{e}rateur est la
        classe de l'adh\'{e}rence de la cellule de Schubert associ\'{e}e
        \`{a} la vari\'{e}t\'{e} dont les $R$-points sont
        $$\Gamma_{2}(H)_{(1,0)}(R) = \{ P \in \Gamma_{2}(H)(R)\ |\
        \operatorname{rg} (P \cap (V_{7})_{R}) \geqslant 2,\
\operatorname{rg} (P \cap
        (V_{5})_{R}) \geqslant 1 \}.$$

        Nous constatons ainsi que $\X_{4}(R) = \X(\alpha_{2})(R) \cap
        \Gamma_{2}(H)_{(1,0)}(R)$. Il est d'autre part connu que
        $\Gamma_{2}(H)_{(1,0)}$ est d\'{e}finie sur $k$, par cons\'{e}quent $\X_{4}$
        l'est aussi et par suite $\hdeux^{1}$ est un cycle rationnel.
      \end{proof}

      \begin{lem}\label{lemrat}
        Le cycle $c = \hun^{0}\times \hdeux^{3} + \hun^{3}\times
        \hdeux^{0} \in \ch^{3}(\X(\alpha_{1})_{\K}\times \X(\alpha_{2})_{\K})$ est rationnel.
      \end{lem}

      \begin{proof}
        Pour \'{e}tablir la rationalit\'{e} de $c$, nous consid\'{e}rons le
        diagramme commutatif suivant :
        $$
        \xymatrix{
          \ch^{3}(\X(\alpha_{1})_{\K}\times\X(\alpha_{2})_{\K})
          \ar[rr]^{(id_{\X(\alpha_{1})_{\K}}\times
p_{\K})^{*}}
          &\quad\quad
          &
\ch^{3}(\X(\alpha_{1})_{\K(\X(\alpha_{2})_{\K})})
          \\
          \ch^{3}(\X(\alpha_{1})\times \X(\alpha_{2}))
          \ar[u]^{\operatorname{res}_{\K/ k}}
          \ar[rr]^{(id_{\X(\alpha_{1})}\times p)^{*}}
          &
&
\ch^{3}(\X(\alpha_{1})_{k(\X(\alpha_{2}))})
          \ar[u]_{\operatorname{res}_{\K(\X(\alpha_{2})_{\K})/
              k(\X(\alpha_{2}))}}
        }
        $$
        o\`{u} les fl\`{e}ches horizontales sont les pull-backs par rapport
        aux morphismes plats
$$
id_{\X(\alpha_{1})}\times p \colon \X(\alpha_{1})_{k(\X(\alpha_{2}))} \rightarrow \X(\alpha_{1})\times \X(\alpha_{2})
$$
et
$$
id_{\X(\alpha_{1})_{\K}} \times p_{\K} \colon \X(\alpha_{1})_{\K(\X(\alpha_{2})_{\K})} \rightarrow \X(\alpha_{1})_{\K}\times \X(\alpha_{2})_{\K}
$$ 
o\`{u} $p$ (resp.  $p_{\K}$) est le morphisme point g\'{e}n\'{e}rique de $\X(\alpha_{1})$ (resp.  $\X(\alpha_{1})_{\K}$). 

 Il est clair que la forme quadratique $q$ est isotrope sur $k(\X(\alpha_{2}))$ (comme tout \`{a} l'heure dans le lemme~\ref{dep} nous rajoutons un point rationnel \`{a} $\X(\alpha_{1})$). Par cons\'{e}quent, elle est totalement isotrope (par le m\^{e}me argument que dans la preuve du lemme~\ref{dep}) et $(h_{1}^{3})_{\K(\X(\alpha_{2})_{\K})}$ est d\'{e}fini sur $k(\X(\alpha_{2}))$ (puisque dans ce cas là, tous les cycles le sont). Comme $(id_{\X(\alpha_{1})}\times p)^{*}$ est surjective (voir par exemple~\cite[\S 5, Prop. 5.1]{IK}), il en d\'{e}coule, qu'il existe un cycle $d \in \ch^{3}(\X(\alpha_{1})_{\K}\times \X(\alpha_{2})_{\K})$ d\'{e}fini sur $k$ tel que 
$$
(id_{\X(\alpha_{1})_{\K}}\times p_{\K})^{*}(d)=(\hun^{3})_{\K(\X(\alpha_{2})_{\K})}.
$$

 Nous calculons maintenant l'action de $(id_{\X(\alpha_{1})_{\K}}\times p_{\K})^{*}$ sur les \'{e}l\'{e}ments engendrant le groupe $\ch^{3}(\X(\alpha_{1})_{\K}\times \X(\alpha_{2})_{\K})$ :
        $$
        (id_{\X(\alpha_{1})_{\K}}\times
        p_{\K})^{*}(\hun^{i}\times \hdeux^{3-i})=
        \begin{cases}
          (\hun^{3})_{\K(\X(\alpha_{2})_{\K})} & \text{si $i=3$}
          \\
          0 & \text{sinon}
        \end{cases}
        $$
 Et comme $(id_{\X(\alpha_{1})_{\K}}\times p_{\K})^{*}(d) = (\hun^{3})_{\K(\X(\alpha_{2})_{\K})}$, il s'ensuit que
$$
d = \hun^{3}\times \hdeux^{0} + \sum_{i=1}^{2} a_{i} \hun^{i} \times \hdeux^{3-i} + a \hun^{0} \times \hdeux^{3}
$$
pour $a_{1}$, $a_{2}$ et $a$ dans $\Z$. Nous savons que $\hdeux^{1}$ est rationnel d'après le lemme~\ref{lem3} donc $(\hdeux^{1})^{2} = l\hdeux^{2}$ l'est. D'autre part, par un argument de transfert, $2\hdeux^{2}$ est aussi rationnel et comme $l$ est impair (comme nous l'avons prouvé à la fin de la sous-section~\ref{rel}), $\hdeux^{2}$ est rationnel. D'autre part, $\hun^{1}$ est aussi un cycle rationnel, ce résultat classique relève du même argument que pour $\hdeux^{1}$ et enfin, comme $\hun^{2} = (\hun^{1})^{2}$, c'est aussi un cycle rationnel. De là, nous déduisons que $\hun^{1}\times \hdeux^{2}$ et $\hun^{2} \times \hdeux^{1}$ sont rationnels. De la même façon, $\hun^{0} \times \hdeux^{2}$ et $\hun^{0} \times \hdeux^{2}$ sont aussi rationnels et comme nous pouvons écrire que
$$
2\hun^{0} \times \hdeux^{3} = (\hun^{0} \times \hdeux^{1})\cdot (\hun^{0} \times \hdeux^{2}),
$$
il s'ensuit que le cycle $2\hun^{0} \times \hdeux^{3}$ est lui aussi rationnel. Dès lors en soustrayant des multiples de ces cycles à~$d$, il en découle que selon la parité de~$a$, soit $\hun^{3} \times \hdeux^{0}$ est rationnel, soit $\hun^{3} \times \hdeux^{0} + \hun^{0} \times \hdeux^{3}$ l'est. Dans ce dernier cas, la preuve est terminée. Dans l'autre cas, nous devons refaire exactement le m\^{e}me raisonnement avec $\X(\alpha_{2})_{\K(\X(\alpha_{1})_{\K})}$ au lieu de $\X(\alpha_{1})_{\K(\X(\alpha_{2})_{\K})}$, avec l'hypothèse que $\hun^{3} \times \hdeux^{0}$ est rationnel, pour en d\'{e}duire que $ \hun^{0} \times \hdeux^{3}$ l'est aussi. Dans tous les cas, nous pouvons conclure que
$$
c = \hun^{3} \times \hdeux^{0} + \hun^{0} \times \hdeux^{3}
$$
est un cycle rationnel.
\end{proof}

  Les arguments précédents, nous montrent que les cycles $\hun^{1}\times \hdeux^{1}$ et $\hun^{2} \times \hdeux^{0}$ sont rationnels. Par cons\'{e}quent, les cycles
\begin{align*}
 (\hun^{0}\times \hdeux^{2})\cdot c & = \hun^{3}\times \hdeux^{2} + \hun^{0}\times \hdeux^{5}
\\
 (\hun^{1}\times \hdeux^{1})\cdot c & = \hun^{4}\times \hdeux^{1} + l \hun^{1}\times \hdeux^{4}
\\
 (\hun^{2}\times \hdeux^{0})\cdot c & = \hun^{5}\times \hdeux^{0} + \hun^{2}\times \hdeux^{3}
\end{align*}
 sont \'{e}galement rationnels. D'autre part, par un argument de transfert, $2\hun^{1} \times \hdeux^{4} = \hun^{1} \times 2\hdeux^{4}$ est rationnel et comme $l$ est impaire,
$$
\hun^{1} \times \hdeux^{4} + \hun^{4} \times\hdeux^{1}
$$
est rationnel. Le cycle $J$ \'{e}tant \'{e}gal \`{a} la somme des trois cycles, $\hun^{3}\times \hdeux^{2} + \hun^{0}\times \hdeux^{5}$, $\hun^{1} \times \hdeux^{4} + \\hun^{4} \times\hdeux^{1}$ et $\hun^{5}\times \hdeux^{0} + \hun^{2}\times \hdeux^{3}$, il est par voie de conséquence rationnel.
    \end{proof}

 Le fait que $J$ soit rationnel signifie qu'il existe une correspondance $f$ telle que $f_{\K} = J$. Nous avons \'{e}tabli dans la proposition~\ref{prop} que $J$ \'{e}tablit un isomorphisme entre $\X(\alpha_{1})_{\K}$ et $\X(\alpha_{2})_{\K}$. De m\^{e}me, $^{t}J$ \'{e}tablit un isomorphisme entre $\X(\alpha_{2})_{\K}$ et $\X(\alpha_{1})_{\K}$ et est \'{e}galement rationnel comme transpos\'{e} d'un cycle rationnel. Ainsi, d'apr\`{e}s le th\'{e}or\`{e}me d'isomorphisme (cf.  corollaire~\ref{iso}), $f\circ ^{t}f$ et $ ^{t}f\circ f$ sont des automorphismes motiviques de $\X(\alpha_{2})$ et $\X(\alpha_{1})$ respectivement. Par cons\'{e}quent, $f$ r\'{e}alise un isomorphisme motivique de $\X(\alpha_{1})$ dans $\X(\alpha_{2})$.
\end{subsection}

 Nous avons donc prouv\'{e} que les vari\'{e}t\'{e}s $\X(\alpha_{1})$ et $\X(\alpha_{2})$ bien que non isomorphes en tant que vari\'{e}t\'{e}s alg\'{e}briques lisses sont motiviquement isomorphes.

\end{section}

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