Type des tores maximaux des groupes semi-simples

P. Gille

July 8, 2003

Abstract: Let G/k be a semisimple algebraic group defined over a field k with separable closure k_{s}. Let T a maximal k–torus of G. The Galois action on the root system Φ(G_{k_{s}}, T_{k_{s}}) provides an invariant in Galois cohomology, we call it the type of T in G. We show that all possible type occur for maximal tori of quasi-split semisimple groups. ^{1}

1 Introduction

Soient k un corps, k_{s} une clôture séparable et Γ_{k} = Gal(k_{s}/k) le groupe de Galois absolu de k. Soient G/k un groupe semi-simple (connexe) et G_{0}/k sa forme déployée supposée presque simple. On note T_{0}/k un ktore maximal de G_{0}, B_{0} un sous–groupe de Borel de G_{0} contenant T_{0} et R_{0} = Φ(G_{0}, T_{0}) le système de racines associé de groupe de Weyl W (R_{0}) et de groupe d’automorphismes A(R_{0}). On note T_{G}/k la variété des tores de G, cette variété représente le foncteur des tores maximaux de G/k ([SGA3], exp. XXII, §5.8). Le but de cet article est de définir et d’étudier une application naturelle

Type_{G} : T_{G}(k) → H^{1}(k, A(R_{0})),

définie par l’action du groupe de Galois sur le système de racines Φ(G_{k_{s}}, T_{k_{s}}), c’est-à-dire la donnée de déploiement du tore T par rapport à G. Par exemple, si T est k–tore maximal de GL_{n} , on sait que T est isomorphe à un tore induit R_{L/k}𝔾_{m} où L/k est une algèbre étale de degré n de k, le type de T n’est alors pas autre chose que la classe d’isomorphie [L] ∈ H^{1}(k, S_{n}), vue dans H^{1}(k, S_{n} × ℤ/2ℤ) si n ≥ 3.

1AMS Classification : 20G15

Le groupe des automorphismes extérieurs Out(G_{0}) de G_{0} intervient dans A(R_{0}); on rappelle que l’on a un isomorphisme Aut(G_{0}, B_{0}, T_{0}) ⟶^{∼} Out(G_{0}) et donc un plongement ([SGA3], exp. XXIV, §1)

ι : Out(G_{0}) ↪ A(R_{0})/W (R_{0}).

On rappelle la correspondance

{Classes d’isomorphie des groupes quasi-déployés, k-formes de G_{0}}

< −− > H^{1}(k, Out(G_{0})) = Hom_{ct}(Γ_{k}, Out(G_{0}))/ ∼ .

Si φ ∈ Hom(Γ_{k}, Out(G_{0})), le groupe tordu G := ^{φ}G_{0} est le groupe quasidéployé correspondant à [φ] ∈ H^{1}(k, Out(G_{0})).

Théorème 1.1 Pour tout groupe quasi-déployé ^{φ}G_{0}, l’image de application Type_{G} est la préimage de ι_{∗}[φ] par l’application

H^{1}(k, A(R_{0})) ⟶ H^{1}(k, A(R_{0})/W (R_{0})).

La préimage de ι_{∗}[φ] par l’application H^{1}(k, A(R_{0})) → H^{1}(k, A(R_{0})/W (R_{0})) s’identifie selon ([Se], §I.5.5, corollaire 2) à H^{1}(k,^{φ}W_{0})/Out(^{φ}G_{0})(k). En particulier, la préimage de 1 est H^{1}(k, W_{0})/Out(G_{0}).

Ainsi, le théorème énonce que l’image de l’application type d’un groupe quasi-déployé est aussi grande que possible, le cas de est évident dans le cas du groupe GL_{n} étant évident. La preuve procède par une série de réductions suivie d’une étude cas par cas incluant les groupes exceptionnels.

Remerciement : Joost Van Hamel m’a posé la question de la surjectivité du type dans le cas des groupes définis sur ℝ, et j’ai bénéficié de l’expertise de Skip Garibaldi pour les groupes exceptionnels. Je les remercie chaleureusement.

2 L’application type

2.1 Définition

Soit T ⊂ G un k–tore. Le système de racines R = Φ(G_{k_{s}}, T_{k_{s}}) est muni d’une action de Γ_{k} et est une k–forme de R_{0} (muni de l’action triviale). Le yoga des k–formes ([Se], §III.1) produit une classe

Type_{G}(T) ∈ H^{1}(k, A(R_{0})).

Cette application est Aut(G)(k)–invariante.

Remarque 2.1 Le type de T ne dépend que du système de racines R, il est par conséquent invariant par isogénie centrale. De façon précise, si λ : G′ → G est une isogénie centrale de groupes semi-simples, alors Type_{G}(T) = Type_{G′}(λ^{∗}T).

2.2 Lien avec la variété des tores

On note T_{G_{0}} la variété des tores de G_{0}; on a un isomorphisme (cf. [V], §4.1) T_{G_{0}} = G_{0}/N_{G}(T_{0}). Alors l’application composée

Type′ : (G_{0}/N_{G_{0}}(T_{0}))(k) → H^{1}(k, N_{0}) → H^{1}(k, W_{0}) → H^{1}(k, A(R_{0}))

est une autre façon de voir l’application Type.

Lemme 2.2 Type = Type′.

Démonstration. Soit T un k–tore maximal de G_{0}. L’invariant Type′(T) se calcule de la façon suivante. Soit g ∈ G_{0}(k_{s}) satisfaisant T_{k_{s}} = gT_{0}g^{−1}. Alors n_{s} = g^{−1}^{s}g est un 1–cocycle à valeurs dans N_{0}(k_{s}) et Type′(T) est l’image de [n_{s}] dans H^{1}(k, A(R_{0})). L’élément g induit un isomorphisme

g_{∗} : Φ(T_{k_{s}}, G_{0,k_{s}}) ⟶^{∼} Φ(T_{0,k_{s}}, G_{0,k_{s}}).

Alors (g_{∗})^{−1}(^{s}g_{∗}) est un 1–cocycle à valeurs dans A(R_{0}) égal à l’image du cocycle n_{s} dans A(R_{0}). □

3 Réductions

3.1 Extensions centrales

Une petite difficulté provient du fait que le groupe Out(G_{0}) varie dans la classe d’isogénie de G_{0}. Notant G_{0}^{sc} (resp. G_{0,ad}) le revêtement universel (resp. le groupe adjoint) de G_{0}, on a cependant Out(G_{0}^{sc}) = Out(G_{0,ad)}) ⟶^{∼} A(R_{0})/W_{0} et une injection ι : Out(G_{0}) ↪ A(G_{0})/W_{0} ([SGA3], §XXIV.2).

Lemme 3.1 a) Soit 1 → μ → G′_{0} → G_{0} → 1 une isogénie telle que Aut(G′_{0}, B′_{0}, T′_{0}) ⟶^{∼} Aut(G_{0}, B_{0}, T_{0}). Alors le théorème 1.1 vaut pour G_{0} si et seulement si il vaut pour G′_{0}.

b) Si le théorème 1.1 vaut pour le groupe adjoint G_{0,ad}, alors il vaut pour G_{0}. □

Démonstration. L’assertion a) résulte immédiatement de la remarque 2.1.

b) On note λ : G_{0} → G_{0,ad} l’isogénie naturelle de noyau Z(G_{0}). Soit φ ∈ Hom_{ct}(Γ_{k}, Out(G_{0})). Le diagramme commutatif

T_{^{φ}G_{0}}  ⟶^{Type_{^{φ}G_{0}}} H^{1}(k, A(R_{0}))
∥  ∥
T_{^{φ}G_{0,ad}}  ⟶^{Type_{^{φ}G_{0,ad}}} H^{1}(k, A(R_{0}))

montre que si l’image de Type_{^{φ}G_{0,ad}} est la préimage de ι_{∗}[φ] par l’application H^{1}(k, A(R_{0})) → H^{1}(k, A(R_{0})/W_{0}), il en est de même pour l’image de Type_{^{φ}G_{0}}. □

3.2 Application du théorème de Steinberg

Désormais, on suppose que G_{0} satisfait Out(G_{0}) = Out(G_{0,ad}) = A(R_{0})/W_{0} (encore égal à Out(G_{0}^{sc})). On considère la suite exacte

1 → T_{0} → N_{0} ⋊ Out(G_{0}) ⟶^{ρ} A(R_{0}) → 1.

Proposition 3.2

Im(H^{1}(k, N_{0} ⋊ Out(G_{0})) ⟶^{ρ_{∗}} H^{1}(k, A(R_{0})) ⊂ ⨆_{[φ]} Im(Type_{^{φ}G_{0}}),

où [φ] parcourt H^{1}(k, Out(G_{0})).

Démonstration. a) Soit [z] ∈ H^{1}(k, N_{0}⋊Out(G_{0})) d’image [φ] ∈ H^{1}(k, Out(G_{0})). Alors le k-tore T = _{z}T_{0} est un k–tore maximal du k-groupe tordu G = _{z}G_{0}. Par construction, on a Type_{G}(T) = ρ_{∗}[z]. Le théorème de Steinberg ([St], §1.7, 1.8 et 9) énonce qu’il existe un k–plongement i : T → ^{φ}G_{0} et une classe [a] ∈ H^{1}(k, T) tels que i_{∗}[a] = [z]. On peut donc supposer que i_{∗}a = z. On note X le k–torseur sous T défini par le cocycle a. Alors il existe un isomorphisme ϕ : G_{k(X)} ⟶^{∼} ^{φ}G_{0,k(X)} tel que le diagramme

T_{k(X)} ⟶ G_{k(X)}
∥  ϕ ↓ ≀
T_{k(X)} ⟶^{i} ^{φ}G_{0,k(X)}

commute. On forme alors le diagramme commutatif

T_{G}(k)  ⟶^{Type} H^{1}(k, A(R_{0}))
↓ ≀  ∥
T_{G}(k(X)) ⟶^{Type} H^{1}(k(X), A(R_{0}))
ϕ_{∗} ↓ ≀  ∥
T_{^{φ}G_{0}}(k(X)) ⟶^{Type} H^{1}(k(X), A(R_{0}))
↑  ↑
T_{^{φ}G_{0}}(k) ⟶^{Type} H^{1}(k, A(R_{0}))

et on note que ϕ_{∗}(T) = T. Puisque k est algébriquement clos dans k(X), la flèche H^{1}(k, A(R_{0})) → H^{1}(k(X), A(R_{0})) est injective et on conclut que Type_{^{φ}G_{0}}(T) = ρ_{∗}[z]. □

Remarque 3.3 Le passage de k à k(X) est inspiré par la preuve du théorème 3.2 de [BK].

Corollaire 3.4 Si ρ_{∗} est surjectif, alors le théorème 1.1 est vrai pour le groupe quasi-déployé ^{φ}G_{0} pour tout [φ] ∈ H^{1}(k, Out(G_{0})). □

On est donc ramené à étudier la surjectivité de l’application

H^{1}(k, N_{0} ⋊ Out(G_{0})) ⟶^{ρ_{∗}} H^{1}(k, W_{0} ⋊ Out(G_{0})).

Si la suite exacte 1 → T_{0} → N_{0} ⋊ Out(G_{0}) → A(R_{0}) → 1 est scindée, alors ρ_{∗} est à l’évidence surjectif. Ce n’est pas toujours le cas mais on a toutefois l’information suivante.

Proposition 3.5 (Tits, [T], introduction) L’extension

1 → T_{0} → N_{0} ⋊ Out(G_{0}) → A(R_{0}) → 1

est d’exposant au plus 2. □

On dispose d’une obstruction à relever les éléments de H^{1}(k, W_{0}⋊Out(G_{0})) dans H^{1}(k, N_{0} ⋊ Out(G_{0})). En effet, si [c] ∈ H^{1}(k, W_{0} ⋊ Out(G_{0})), il existe une classe Δ(c) ∈ H^{2}(k,_{c}T_{0}) telle que Δ(c) = 0 si et seulement si

[c] ∈ Im(ρ_{∗}) ([Se], §5.6). A notre connaissance, cette obstruction ne semble pas avoir été étudiée auparavant.

4 L’application ρ_{∗}

En utilisant la classification, nous allons montrer le résultat suivant qui implique le théorème principal suivant le corollaire 3.4.

Théorème 4.1 On suppose que Out(G_{0}) = Out(G_{0,ad}) = A(R_{0})/W_{0}. Alors l’application

ρ_{∗} : H^{1}(k, N_{G_{0}}(T_{0}) ⋊ Out(G_{0})) → H^{1}(k, A(R_{0}))

est surjective.

4.1 2–Sylow des groupes de Weyl

Nous allons tirer quelques conséquences de la proposition 3.5.

Lemme 4.2 a) Pour tout [c] ∈ H^{1}(k, A(R_{0})), 2Δ(c) = 0 dans H^{2}(k,_{c}T_{0}).

b) Soit W_{0}^{(2)} ⋊ Out(G_{0})^{(2)} un 2–Sylow de W_{0} ⋊ Out(G_{0}). On suppose que pour toute extension finie L/k et pour tout [c] ∈ H^{1}(L, W_{0}^{(2)} ⋊ Out(G_{0})^{(2)}), on a Δ(c) = 0 dans H^{2}(L,_{c}T_{0}). Alors pour tout [c] ∈ H^{1}(k, W_{0} ⋊ Out(G_{0})), Δ(c) = 0 dans H^{2}(k,_{c}T_{0}).

Démonstration. a) Suivant la proposition 3.5, la classe de l’extension de groupes à noyau abélien 1 → T_{0}(k) → (N_{0}⋊Out(G_{0}))(k) → W_{0}⋊Out(G_{0}) → 1 est de 2-torsion, c’est-à-dire qu’il existe un morphisme

1 ⟶ T_{0}(k) ⟶ N_{0}(k) ⋊ Out(G_{0}) ⟶ A(R_{0}) ⟶ 1
×2 ↓  ↓  ∥
1 ⟶ T_{0}(k) ⟶  E  ⟶ A(R_{0}) ⟶ 1, [figure]

où E est l’extension poussée. Si [c] ∈ H^{1}(k, A(R_{0})), on en déduit que 2Δ([c]) = 0 dans H^{2}(k,_{c}T). Par restriction-corestriction, on en déduit aussitôt le b). □

Corollaire 4.3 On suppose que Out(G_{0}) = 0. Soit H_{0} un sous–groupe semisimple déployé de G_{0} contenant T_{0}. On suppose que [W_{G_{0}}(T_{0}) : W_{H_{0}}(T_{0})] est impair. Alors la surjectivité de ρ_{∗,H_{0}} (sur toute extension de k) entraîne celle de ρ_{∗,G_{0}}.

Démonstration. Par hypothèse, un 2–groupe de Sylow W_{H_{0}}(T_{0})^{(2)} de W_{H_{0}}(T_{0}) est un 2–groupe de Sylow de W_{G_{0}}(T_{0}). Soit [c] ∈ H^{1}(k, W_{0}) = Hom_{ct}(Γ_{k}, W_{0})/Int(W_{0}). On veut montrer que la classe Δ(c) ∈ H^{2}(k,_{c}T_{0}) est nulle. Pour cela, par restriction-corestriction, il suffit de le voir après une extension de corps k′/k de degré impair. Ainsi, quitte à étendre k de cette façon, on peut supposer que l’homomorphisme c : Γ_{k} → W_{0} est à valeurs dans W_{G_{0}}(T_{0})^{(2)} et donc dans W_{H_{0}}(T_{0}). Comme ρ_{∗,H_{0}} est surjectif (par hypothèse), on a donc Δ(c) = 0 ∈ H^{2}(k,_{c}T_{0}). □

4.2 Représentations

Lemme 4.4 Soit f : G_{0} → G′_{0} un plongement de G_{0} dans un groupe réductif (connexe) déployé. On fait les hypothèses suivantes :

i) Z_{G′_{0}}(T_{0}) est un k–tore déployé maximal T′_{0} de G′_{0},

ii) Le morphisme f s’étend en un morphisme injectif

G_{0} ⋊ Aut(G_{0}, B_{0}, T_{0}) → G′_{0}.

iii) L’application H^{1}(k, N_{G′_{0}}(T′_{0})) → H^{1}(k, N_{G′_{0}}(T′_{0})/T′_{0}) est surjective.

Alors l’application ρ_{∗} : H^{1}(k, N_{G_{0}}(T_{0})) → H^{1}(k, A(R_{0})) est surjective.

Démonstration. Tout d’abord, on observe que le k–groupe T′_{0} ∩ G_{0} est un k– sous–groupe de type multiplicatif de G_{0} contenant T_{0}; on a donc T_{0} = T′_{0}∩G_{0}. Par hypothèse, on a une inclusion

N_{G_{0}⋊Out(G_{0})}(T_{0}) ⊂ N_{G′_{0}}(T′_{0})

induisant un plongement

A(R_{0}) ↪ W′_{0} := N_{G′_{0}}(T′_{0})/T′_{0},

où W′_{0} désigne le groupe de Weyl de (G′_{0}, T′_{0}). On note Ñ_{G′_{0}⋊Out(G_{0})}(T′_{0}) l’image inverse de A(R_{0}) par le morphisme N_{G′_{0}}(T′_{0}) → W′_{0} ⋊ Out(G_{0}). On a donc le diagramme commutatif à lignes exactes

1 ⟶ T_{0} ⟶ N_{G_{0}⋊Out(G_{0})}(T_{0}) ⟶ A(R_{0}) ⟶ 1
↓  ↓  ∥
1 ⟶ T′_{0} ⟶  Ñ_{G′_{0}}(T′_{0})  ⟶ A(R_{0}) ⟶ 1
∥  ↓  ↓
1 ⟶ T′_{0} ⟶  N_{G′_{0}}(T′_{0})  ⟶ W′_{0} ⟶ 1.

Le sous-lemme suivant résulte immédiatement de la caractérisation par la torsion de l’image de l’application changement de groupe pour les torseurs ([Se], §I.5, proposition 37).

Sous-lemme 4.5 Le diagramme commutatif

H^{1}(k, Ñ_{G′_{0}}(T′_{0})) ⟶ H^{1}(k, A(R_{0}))
↓  ↓
H^{1}(k, N_{G′_{0}}(T′_{0})) ⟶ H^{1}(k, W′_{0}).

est carthésien. □

Par ailleurs, on a la suite exacte

1 → N_{G_{0}⋊Out(G_{0})}(T_{0}) → Ñ_{G′_{0}}(T′_{0}) → T′_{0}/T_{0} → 1,

et comme le tore T′_{0}/T_{0} est déployé, le théorème 90 de Hilbert montre que la flèche H^{1}(k, N_{G_{0}⋊Out(G_{0})}(T_{0})) → H^{1}(k, Ñ_{G′_{0}}(T′_{0})) est surjective. Cela s’insère dans le diagramme commutatif

H^{1}(k, N_{G_{0}⋊Out(G_{0})}(T_{0})) ⟶ H^{1}(k, A(R_{0})) ∥

H^{1}(k, Ñ_{G′_{0}}(T′_{0}))  ⟶ H^{1}(k, A(R_{0}))
↓  □  ↓
H^{1}(k, N_{G′_{0}}(T′_{0}))  ⟶ H^{1}(k, W′_{0}).

L’hypothèse iii) (i.e. la surjectivité de l’horizntale inférieure) jointe au souslemme montre que la flèche horizontale médiane est surjective; on conclut que la flèche horizontale supérieure l’est aussi. □

5 Étude cas par cas

En suivant les tables des systèmes de racines [Bou], on va établir cas par cas le théorème 4.1, c’est-à-dire, suivant la proposition 3.2, la surjectivité de

ρ_{∗} : H^{1}(k, N_{G_{0}}(T_{0}) ⋊ Out(G_{0})) → H^{1}(k, A(R_{0}))

en distinguant les groupes classiques des groupes exceptionnels.

5.1 Les groupes classiques

Type A_{n}: En rang 1, le groupe G_{0} = P GL_{2} n’a pas d’automorphisme extérieur et W_{0} = A(R_{0}) = ℤ/2ℤ donc H^{1}(k, A(R_{0})) décrit les extensions quadratiques séparables de k. Pour toute extension quadratique séparable L/k, le k-tore maximal R_{L/k}(𝔾_{m})/𝔾_{m} de P GL_{2} est de type [L], donc l’application type est surjective.

Si n ≥ 2, on prend G_{0} = P GL_{n+1}, alors A(R_{0}) = S_{n+1} × ℤ/2ℤ. La suite exacte 1 → T_{0} → N_{0} ⋊ ℤ/2ℤ → S_{n+1} × ℤ/2ℤ → 1 est scindée en envoyant S_{n+1} sur la représentation régulière de S_{n} et par l’isomorphisme Aut(G_{0}, B_{0}, T_{0}) = Out(G_{0}). La remarque suivant le corollaire 3.4 montre que ρ_{∗} est surjectif pour le type A_{n}.

Type B_{n}: Il n’y a pas d’automorphismes extérieurs. On prend G_{0} = SO(q_{0}) ⊂ GL_{2n+1} = G′_{0} où q_{0} est la forme quadratique de dimension 2n + 1 définie par

q_{0}(X_{1}, Y_{1}, ⋯, X_{n}, Y_{n}, X_{n+1}) = ∑_{i=1}^{n} X_{i}Y_{i} + X_{n+1}^{2}.

Le sous–tore T_{0} de (𝔾_{m})^{2n+1} défini par les équations λ_{i}λ_{2n+1−i} = 1 (pour i = 1, .., n) est un tore déployé maximal de G_{0} satisfaisant Z_{SL_{2n+1}}(T_{0}) = (𝔾)_{m}^{2n+1}. Le lemme 4.4 s’applique et montre que ρ_{∗,B_{n}} est surjectif.

Type C_{n} : On prend G_{0} = Sp_{2n} ⊂ GL_{2n}, le groupe des automorphismes spéciaux préservant la forme antisymétrique standard

∑_{i=1}^{n}(X_{i}X_{n+1−i} − X_{n+i}X_{2n+1−i}).

Le sous–tore T_{0} de (𝔾_{m})^{2n} défini par λ_{i}λ_{2n+1−i} = 1 (pour i = 1, .., n) est un tore déployé maximal de G satisfaisant Z_{GL_{2n}}(T_{0}) = (𝔾_{m})^{2n}. Le même argument que précédemment s’applique, d’où ρ_{,∗C_{n}} est surjectif.

Type D_{n} (n ≥ 5): On peut prendre G_{0} = SO(q_{0}) ⊂ GL_{2n} = G′_{0} où q_{0} est la forme quadratique de dimension 2n définie par

q_{0}(X_{1}, Y_{1}, ⋯, X_{n}, Y_{n}) = ∑_{i=1,..n} X_{i}Y_{i}.

On rappelle que Aut(G_{0}) = O(q_{0})/μ_{2} ⊂ Int(GL_{2n}) et Out(G_{0}) = ℤ/2ℤ. Le sous–tore T_{0} de (𝔾_{m})^{2n} défini par λ_{i}λ_{2n+1−i} = 1 (pour i = 1, .., n) est un tore déployé maximal de G satisfaisant Z_{GL_{2n}}(T_{0}) = (𝔾_{m})^{2n}. De plus, le morphisme G_{0} = SO(q_{0}) ⊂ GL_{2n} = G′_{0} se prolonge en un morphisme SO(q_{0}) ⋊ ℤ/2ℤ ⊂ GL_{2n}. Le lemme 4.4 s’applique et montre que ρ_{∗} est surjectif pour le type D_{n}.

5.2 Les groupes exceptionnels

Type E_{6}: La représentation usuelle G_{0} → G′_{0} = GL_{27} = G′_{0} est sans multiplicité (calcul avec le logiciel LIE communiqué par S. Garibaldi) et l’automorphisme extérieur de (G_{0}, T_{0}) est induit par un automorphisme de (G′_{0}, T′_{0}). Les conditions du lemme 4.4 sont satisfaites, ainsi ρ_{∗} est surjectif pour le type E_{6}.

Type E_{7} : Le groupe déployé de type E_{7} admet un sous–groupe maximal H_{0} de type D_{6}×A_{1} contenant T_{0}. On a ♯W_{G_{0}}(T_{0})^{(2)}/♯W_{H_{0}}(T_{0})^{(2)} = 2^{10}/(2^{9}×2) = 1. Le lemme 4.3 s’applique et ρ_{∗} est surjectif.

Type E_{8} : Le groupe déployé de type E_{8} admet un sous–groupe maximal H_{0} de type D_{8} contenant T_{0}. On a ♯W_{G_{0}}(T_{0})^{(2)}/♯W_{H_{0}}(T_{0})^{(2)} = 2^{14}/2^{14} = 1. Le lemme 4.3 s’applique et ρ_{∗} est surjectif.

Type F_{4} : Le groupe déployé de type F_{4} admet le sous-groupe maximal H_{0} de type B_{4} contenant T_{0}. On a ♯W_{G_{0}}(T_{0})^{(2)}/♯W_{H_{0}}(T_{0})^{(2)} = 2^{7}/2^{7} = 1. Le lemme 4.3 s’applique et ρ_{∗} est surjectif.

Type D_{4} : On note G_{0} = D_{4} le groupe déployé simplement connexe de type D_{4} et G′_{0} = F_{4}. On rappelle que l’on a un plongement D_{4} ⋊ S_{3} ⊂ F_{4}. Le lemme 4.4 s’applique et ρ_{∗} est surjectif pour D_{4}.

Ceci achève la démonstration du théorème 4.1.

Références

[BK] M. Borovoi et B. Kunyavskiǐ, Birational arithmetical invariants of linear algebraic groups on 2–dimensional geometric fields, prépublication (2002).

[Bou] N. Bourbaki, Groupes et Algèbres de Lie, Ch. IV, V et VI, Masson (1981).

[Se] J.–P. Serre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Math. 5, 5-ième édition (1994), Springer–Verlag.

[St] R. Steinberg, Regular elements of semisimple algebraic groups, Pub. Math. IHES 25 (1965), 281–312.

[SGA3] Séminaire de Géométrie algébrique de l’I.H.E.S., 1963-1964, schémas en groupes, dirigé par M. Demazure et A. Grothendieck, Lecture Notes in Math. 151-153, Springer (1970).

[T] J. Tits, Normalisateurs de tores I: Groupes de Coxeter étendus, J. of Algebra 4 (1966), 96–116.

[V] V.E Voskresenskiǐ, Algebraic groups and their birational invariants, Trans. of Math. of Monographs, vol 179 (1998), AMS.

Philippe Gille, UMR 8628 du C.N.R.S., Mathématiques, Bâtiment 425, Université de Paris-Sud, F-91405 Orsay, France. Courriel : gille@math.upsud.fr.