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\title{Points rationnels sur les espaces homog\`enes et leurs compactifications}
\author{Mathieu Florence}
\date{}
\begin{document}
\maketitle


\bibliographystyle{plain}


\begin{abstract}

\noindent Soit $k$ un corps parfait et $G$ un groupe alg\'ebrique
d\'efini sur $k$. Soit $X$ un $G$-espace homog\`ene. Nous
d\'emontrons que, s'il existe une $k$-vari\'et\'e birationnelle
\`a $X$ et poss\'edant un point $k$-rationnel lisse, alors
il en est d\'ej\`a de m\^eme de $X$ (th\'eor\`eme
\ref{pointbord})\footnote[1]{AMS Classification: 14L30, 20G15, 11R34.}.

\end{abstract}

\section{Introduction}
Nous d\'emontrons dans cette article le r\'esultat suivant. Soit
$k$ un corps parfait, et $G$ un $k$-groupe alg\'ebrique. Soit $X$
une $k$-vari\'et\'e quasi-projective, munie d'une structure
d'espace homog\`ene sous $G$. S'il existe une $k$-vari\'et\'e
birationnelle \`a $X$, ayant un point $k$-rationnel lisse, alors
$X$ poss\`ede aussi un point $k$-rationnel. En particulier, $X$ poss\`ede un point $k$-rationnel
d\`es lors qu'une compactification lisse de $X$ en poss\`ede un. Dans le cas o\`u $G$ est un tore, cela a d\'ej\`a \'et\'e
mentionn\'e par Colliot-Th\'el\`ene et Sansuc (
\cite{CTSduke}, page 419, 2.2.11), comme cons\'equence de l'absence d'obstruction
\'el\'ementaire \`a l'existence d'un $k$-point.\\
\noindent Expliquons maintenant bri\`evement notre strat\'egie
pour d\'emontrer le cas g\'en\'eral. Nous d\'emontrons en
r\'ealit\'e l'implication-a priori plus forte (lemme
\ref{sorite})- $X(k((t))) \neq \varnothing \Longrightarrow X(k)
\neq \varnothing$. Si l'on s'int\'eresse uniquement aux torseurs,
le probl\`eme pos\'e \'equivaut alors \`a l'injectivit\'e de la
fl\`eche de restriction $H^1(k,G) \longrightarrow H^1(k((t)),G)$.
Ceci motive, dans la section \ref{acycl}, l'introduction d'une
notion simple d'acyclicit\'e pour les extensions de corps parfaits. Plus
pr\'ecis\'ement, une telle extension $l/k$ est dite acyclique si, pour tout $k$-groupe
$G$, la restriction $H^1(k,G) \longrightarrow H^1(l,G)$ est une
bijection. Il est assez clair que, si $l/k$ est acyclique, alors
$l$ et $k$ ont m\^eme groupe de Galois absolu (lemme
\ref{isomprof}). Nous ignorons si la r\'eciproque est vraie, mais
avons tout de m\^eme des r\'esultats partiels dans ce sens
(proposition \ref{isomcoh}). Le reste de la section \ref{acycl}
est vou\'e \`a la preuve de la proposition \ref{existencepoint},
o\`u l'on montre que, si $l/k$ est une extension acyclique et $X$
un espace homog\`ene d'un $k$-groupe, alors $X(l) \neq \varnothing
\Longrightarrow X(k) \neq \varnothing$. Notons que ce r\'esultat,
bien que peu surprenant, n'est en rien une cons\'equence triviale
de la d\'efinition de l'acyclicit\'e. En effet, il n'est d\'ej\`a
pas \'evident que, si $X(l) \neq \varnothing$, $X$ poss\`ede un
$\overline{k}$-point
dont le stabilisateur admette une $k$-forme. \\
\noindent Dans la partie \ref{pointrat}, nous montrons qu'une
certaine extension de corps $K _\infty /k$ est acyclique (cf.
section \ref{notdef} pour une d\'efinition de $K _\infty$; il
suffit ici de savoir que c'est un corps qui contient $k((t))$), ce
qui permet de conclure avec les r\'esultats pr\'ec\'edents.\\
\noindent Nous remercions Philippe Gille pour nous avoir soumis le
pr\'esent probl\`eme, et pour nous avoir prodigu\'e de pr\'ecieux
conseils. Nous remercions \'egalement Jean-Louis
Colliot-Th\'el\`ene pour son int\'er\^et pour ce travail, ainsi
que pour ses nombreuses remarques.
\section{Notations et d\'efinitions}\label{notdef}
Dans toute la suite, la lettre $k$ d\'esigne un corps commutatif
parfait, et $\overline{k}$ une cl\^oture alg\'ebrique de $k$. Pour
\'eviter les ambigu\"{\i}t\'es, on suppose que tous les surcorps de
$k$ consid\'er\'es sont contenus dans une extension
alg\'ebriquement close fix\'ee de k. On note $\Gamma_k$ le groupe
de Galois de $\overline{k}/k$. D'apr\`es \cite{serre_cg}, chapitre
2, exercices 1 et 2 du paragraphe 4.3, on sait que la fl\`eche
$\Gamma_{k((t))} \longrightarrow \Gamma_k$ est scind\'ee.
Choisissons une fois pour toutes un tel scindage $s_k$. Appelons
$K_\infty=\overline{k((t))}^{s_k(\Gamma_k)}$ le sous-corps de $\overline{k((t))}$ form\'e
des points fixes sous l'action de $s_k(\Gamma_k)$. Le corps $K_\infty$ est
donc une extension alg\'ebrique parfaite de $k((t))$ telle que la fl\`eche
naturelle $\Gamma_{K_{\infty}} \longrightarrow \Gamma_k$ est un
isomorphisme. Notons que, si $k$ est de caract\'eristique nulle,
on peut prendre pour $K_\infty$ la r\'eunion des corps
$k((t^{1/n}))$, $n \geq 0$ (ce corps est bien d\'efini d\`es lors
que l'on choisit des racines $n$-i\`emes de $t$ de fa\c{c}on
coh\'erente). Si $X$ est un $k$-sch\'ema, et $l/k$ une extension
de corps, nous notons $X_l$ le $l$-sch\'ema $X\times_k l$. On note
simplement $\overline{X}$ le $\overline{k}$-sch\'ema
$X_{\overline{k}}$. On s'autorise cependant parfois \`a noter
$\overline{X}$ un $\overline{k}$-sch\'ema quelconque, qui n'est
pas n\'ecessairement obtenu par extension des scalaires \`a partir
d'un $k$-sch\'ema. Si $Y$ est un $\overline{k}$-sch\'ema et si
$\sigma \in \Gamma_k$, on note $^{\sigma}Y$ le
$\overline{k}$-sch\'ema obtenu \`a partir de $Y$ par changement de
base par le morphisme $\mbox{Spec}(\overline{k}) \longrightarrow
\mbox{Spec}(\overline{k})$ correspondant \`a $\sigma: \overline{k}
\longrightarrow \overline{k}$. Nous appelons $k$-vari\'et\'e un
sch\'ema r\'eduit de type fini sur $k$. Soient $X$ et $Y$ deux
$k$-vari\'et\'es. On dit que $X$ et $Y$ sont $k$-birationnelles
s'il existe un ouvert dense $U$ (resp. $V$) de $X$ (resp. $Y$), et
un isomorphisme $U \simeq V$. Par $k$-groupe, nous entendons un
$k$-sch\'ema en groupes de type fini et r\'eduit (donc lisse
puisque $k$ est parfait). Soit $G$ un $k$-groupe. On note $G^0$ la composante connexe de
l'identit\'e dans $G$, $\pi_0(G)$ le $k$-groupe fini $G/G^0$, et $\Z (G)$ le centre de $G$. On
note $\AUT(G)$ le groupe des automorphismes de $G$,
$\INN(G)=G/{\Z(G)}$ le sous-groupe distingu\'e form\'e des
automorphismes int\'erieurs, et $\OUT(G)=\AUT(G)/\INN(G)$ le
groupe des automorphismes ext\'erieurs. Si $G$ est lin\'eaire, on note $G^u$ le radical
unipotent de $G$, et $G^{red}=G/G^u$.\\
\noindent Rappelons que, si $G$ est un $k$-sch\'ema en groupes de type fini, et $H$ un $k$-sous-sch\'ema en groupes de $G$, le quotient
$H \backslash G$ est repr\'esentable dans la cat\'egorie des $k$-sch\'emas de type fini. De plus, toute partie finie de $H \backslash G$
est contenue dans un ouvert affine, ce qui l\'egitime l'utilisation des techniques de descente galoisienne pour de tels quotients.
On trouvera les d\'emonstrations de ces r\'esultats dans \cite{SGA3}, Expos\'e $\mbox{VI}_{\mbox{A}}$, th\'eor\`eme 3.2.\\
\noindent  Par $G$-espace homog\`ene, nous entendons la donn\'ee d'une
$k$-vari\'et\'e $X$ et d'une action (\`a droite) de $G$ sur $X$, telle qu'il existe un $\overline{k}$-sous-sch\'ema en groupes $\overline{H}$
de $\overline{G}$ v\'erifiant: $\overline{X}$ est  $\overline{k}$-isomorphe \`a $\overline{H} \backslash\overline{G}$, de fa\c{c}on
 $\overline{G}$-\'equivariante. Si $\overline{H}$ est r\'eduit (autrement dit, si c'est un $k$-groupe dans le sens que nous entendons ici),
on dit que $X$ est \`a stabilisateurs r\'eduits. On voit imm\'ediatement qu'un morphisme entre espaces homog\`enes \`a stabilisateurs r\'eduits, qui induit une bijection sur les points g\'eom\'etriques, est un isomorphisme.
\section{Cohomologie non ab\'elienne, fonctorialit\'e} \label{rappelscoh}

Nous utilisons dans cet article la th\'eorie du $H^2$
non-ab\'elien en cohomologie galoisienne, telle qu'expos\'ee dans
\cite{springer_h2}. Nous renvoyons \'egalement \`a \cite{fss} pour
une excellente introduction. Rappelons que, si $\overline{G}$ est
un $\overline{k}$-groupe et si $\kappa: \Gamma_k \longrightarrow
\SOUT (\overline{G}/k)$ est un $k$-lien, un 2-cocycle $(f,g)$ est
la donn\'ee de deux applications continues $f: \Gamma_k
\longrightarrow \SAUT (\overline{G}/k)$  et $g: \Gamma_k \times
\Gamma_k \longrightarrow \overline{G}(\overline{k})$ v\'erifiant
les conditions
suivantes:\\

\noindent (i) l'application $f$ est un rel\`evement (ensembliste)
continu de $\kappa$,\\
\noindent (ii)$f_s(f_t(x))=g_{s,t} f_{st}(x) g_{s,t}^{-1}$,\\
\noindent (iii) $f_r(g_{s,t})g_{r,st}=g_{r,s}g_{rs,t}$.\\

\noindent Un 2-cocycle de la forme $(f,1)$ est dit neutre. Deux
cocycles $(f,g)$ et $(f',g')$ sont dits \'equivalents s'il existe
une application continue $h: \Gamma_k \longrightarrow
\overline{G}(\overline{k})$ telle que $f_s'(x)=h_s f_s(x)
h_s^{-1}$ et $ g'_{s,t}=h_s f_s(h_t) g_{s,t} h_{st}^{-1}$; on
\'ecrit alors $(f',g')=h.(f,g)$. Un calcul simple montre que l'on d\'efinit ainsi une action du groupe des applications continues
$\Gamma_k \longrightarrow
\overline{G}(\overline{k})$ sur l'ensemble des 2-cocycles. L'ensemble de cohomologie
$H^2(k,\overline{G},\kappa)$ est par d\'efinition l'ensemble des
classes d'\'equivalence de 2-cocycles. Une classe de cohomologie est dite neutre si elle est repr\'esent\'ee
par un 2-cocycle neutre. \\
Dans la suite, nous faisons usage de certains aspects fonctoriels
de la th\'eorie du $H^2$ non-ab\'elien. Le premier d'entre eux est
l'existence d'applications de restriction. Leur construction n'est
en rien difficile. N\'eanmoins, elle ne figure nulle part \`a
notre connaissance dans la litt\'erature, c'est pourquoi nous
allons en fournir les d\'etails dans les quelques lignes qui
suivent.

\noindent Supposons donc donn\'es un $\overline{k}$-groupe
$\overline{G}$ et une extension de corps $l/k$. Rappelons qu'on a
une suite exacte: $$1 \longrightarrow \AUT
(\overline{G})(\overline{k}) \longrightarrow \SAUT
(\overline{G}/k) \stackrel {\pi_k} \longrightarrow \Gamma_k,
$$ o\`u $\pi_k$ est le morphisme qui \`a un automorphisme
semi-alg\'ebrique $s : {^{\sigma}\overline{G}} \longrightarrow
\overline{G}$ associe $\sigma$. Supposons donn\'ee une section
(ensembliste) de $\pi_k$, $f: \Gamma_k \longrightarrow \SAUT
(\overline{G}/k)$. On dispose alors naturellement d'une section du
morphisme $\pi_l$, not\'ee $f_l : \Gamma_l \longrightarrow \SAUT
(\overline{G}_{\overline{l}}/l)$, et d\'efinie, pour tout $\tau
\in \Gamma_l$, par la formule
$$f_l(\tau)=f(\tau_{| \overline{k}}) \times_{\overline{k}}
\overline{l}.$$ Le morphisme $f_l(\tau)$ est bien un \'el\'ement
de $\SAUT (\overline{G}_{\overline{l}}/l)$, comme il r\'esulte de
l'identification canonique $^\tau {\overline{G}_{\overline{l}}}
\simeq ({^{\tau_{ | \overline{k} }}\overline{G}}
)\times_{\overline{k}} \overline{l}$. De plus, si $f$ est continue
(au sens de \cite{fss}, condition (ii) de la proposition 1.7), il
en est de m\^eme de $f_l$.


\noindent Soit maintenant un $k$-lien $\kappa : \Gamma_k
\longrightarrow \SOUT (\overline{G}/k)$. Choisissons un
rel\`evement $f$ de $\kappa$ en une section (ensembliste) continue
de $\pi_k$. Le morphisme $f_l$ d\'efinit alors un $l$-lien
$\kappa_l$ qui ne d\'epend pas du choix initial de $f$. On dispose
alors d'une application
$$ Z^2(k,\overline{G},\kappa) \longrightarrow Z^2(l,\overline{G}_{\overline{l}},\kappa_l),$$
$$ (f,g) \mapsto (f_l,g_l),$$ o\`u le 2-cocycle $g_l : \Gamma_l
\times \Gamma_l \longrightarrow \overline{G}(\overline{l})$ est
d\'efini comme le compos\'e de $g$ et du morphisme naturel
$\Gamma_l \times \Gamma_l \longrightarrow \Gamma_k \times
\Gamma_k$. Par passage au quotient, on obtient alors l'application
de restriction $$\mbox{Res}_{l/k} : H^2(k,\overline{G},\kappa)
\longrightarrow H^2(l,\overline{G}_{\overline{l}},\kappa_l).$$

\noindent Soient maintenant $\overline{G}$ et $\overline{G'}$ deux
$\overline{k}$-groupes et $p : \overline{G} \longrightarrow
\overline{G'}$ un morphisme de $\overline{k}$-groupes. Supposons
le noyau de $p$ invariant par tout automorphisme semi-alg\'ebrique
de $\overline{G}$. Soit $\kappa: \Gamma_k \longrightarrow \SOUT
(\overline{G}/k)$ un $k$-lien. Suivant \cite{borovoi_ab}, 1.7, on
dispose alors d'un $k$-lien $\kappa': \Gamma_k \longrightarrow
\SOUT (\overline{G'}/k)$ et d'une application $$p_* :
 H^2(k,\overline{G},\kappa) \longrightarrow
 H^2(k,\overline{G'},\kappa').$$ Dans le cas particulier o\`u
 $\overline{G}$ est lin\'eaire, $\overline{G'}$=$\overline{G}^{red}$ et $p$ est la projection canonique, on note
 $\kappa^{red}=\kappa'$ et $r=p_*$. On a alors la proposition
 suivante, due \`a Borovoi:
\begin{proposition} \label{H2red} Soit
$\overline{G}$ un $k$-groupe lin\'eaire et $\kappa$ un $k$-lien.
Une classe $\eta \in H^2(k,\overline{G},\kappa)$ est neutre si et
seulement si $r(\eta)$ est neutre.
\end{proposition}
\noindent \textit{D\'emonstration}. Pour $k$ de caract\'eristique
nulle, se r\'ef\'erer \`a \cite{borovoi_ab}, proposition 4.1. La
preuve qu'on y trouve utilise l'hypoth\`ese de caract\'eristique
nulle uniquement pour prouver que, si $A$ est un $k$-groupe
commutatif unipotent, on a $H^2(k,A)=0$ (loc. cit., lemme 4.3). Or
ce r\'esultat vaut toujours lorsque $k$ est parfait de
caract\'eristique $p>0$; cela r\'esulte du lemme suivant.
$\square$
\begin{lemme} \label{cohred}
Soit $U$ un $k$-groupe lin\'eaire unipotent. Si $U$ est connexe,
$H^1(k,U)$ est r\'eduit \`a un \'el\'ement. Si $U$ est commutatif,
on a $H^i(k,U)=0$ pour $i \geq 2$.
\end{lemme}
\noindent \textit{D\'emonstration} Soit $p$ la caract\'eristique
de $k$. Si $p=0$, on a $U=U^0$; sinon, le groupe $U$ est une
extension d'un $p$-groupe fini tordu par le $k$-groupe unipotent
connexe $U^0$. Puisque $k$ est parfait, on sait que $U^0$ admet
une suite de composition dont les quotients successifs sont
isomorphes  \`a $\mathbb{G}_a$. On voit ainsi que le lemme est une
cons\'equence des \'egalit\'es $H^i(k,\mathbb{G}_a)=0$, pour tout
$i\geq 1$, et du fait que la $p$-dimension cohomologique d'un
corps de caract\'eristique $p$ est au plus 1 (cf. \cite{serre_cg},
chapitre 2, propositions 1 et 3).
\section{Une notion d'acyclicit\'e pour les extensions de
corps}\label{acycl}
\begin{definition}
Soit $l/k$ une extension de corps. On dit que $l/k$ est acyclique si $l$ est parfait et
si, pour tout $k$-groupe $G$, la fl\`eche naturelle:
$$H^1(k,G) \longrightarrow H^1(l,G)$$
est bijective.

\end{definition}

Le lemme \'el\'ementaire suivant montre que, si $l/k$ est
acyclique, $l$ et $k$ ont m\^eme groupe de Galois absolu.
\begin{lemme} \label{isomprof}
Soient $\Gamma' \stackrel f \longrightarrow \Gamma$ un morphisme
 entre groupes profinis. Pour que $f$ soit un isomorphisme,
il faut et il suffit que, pour tout groupe fini $G$, consid\'er\'e
comme $\Gamma$-groupe par l'action triviale, la fl\`eche
$H^1(\Gamma,G) \stackrel {f^*} \longrightarrow H^1(\Gamma',G)$
soit une bijection.
\end{lemme}
\noindent \textit{D\'emonstration}. Montrons la suffisance. La
condition sur $f^*$ signifie simplement que, pour tout groupe fini
$G$, $f$ induit une bijection entre $\mbox{Hom}(\Gamma,G)/\sim$ et
$\mbox{Hom}(\Gamma',G)/\sim$, $\sim$ \'etant la conjugaison par
des \'el\'ements de $G$. Si $f$ n'est pas surjective, il existe un
groupe fini $Q$ et une surjection  $\Gamma \stackrel \pi
\longrightarrow Q $ telle que $\pi \circ f$ ne soit pas surjectif.
Appelons $Q'$ l'image de $\pi \circ f$. Il existe donc un
morphisme $\Gamma \stackrel {\pi'} \longrightarrow Q '$ tel que
$\pi \circ f= \pi' \circ f$. Les morphismes $\pi$ et $\pi'$ devraient
donc \^etre conjugu\'es, ce qui bien s\^ur ne se peut. On raisonne
de m\^eme pour l'injectivit\'e: si $f$ n'est pas injective, soit
$\sigma'$ un \'element non nul de son noyau. Il existe un groupe
fini $Q'$ et une surjection $\Gamma' \stackrel {\pi'}
\longrightarrow Q' $ telle que $\pi'(\sigma') \neq 1$. Or par
hypoth\`ese il doit exister un morphisme $\pi : \Gamma
\longrightarrow Q'$ tel que $\pi'=\pi \circ f$, ce qui est
impossible. $\square$

\bigskip \noindent \textbf{Remarque.} Soit $l/k$ une extension de corps parfaits telle que la fl\`eche
$\Gamma_l \longrightarrow \Gamma_k$ est un isomorphisme. Peut-on
affirmer que $l/k$ est acyclique? Nous ne savons pour l'instant
que r\'epondre de fa\c{c}on partielle (proposition \ref{isomcoh}).
Il nous para\^{\i}t instructif d'illustrer cette question par une
\'etude rapide du cas particulier du groupe orthogonal $O_n$. Tout
d'abord, il est clair que toute forme quadratique sur $l$ est
\'equivalente \`a une forme d\'efinie sur $k$: il suffit de
traiter le cas d'une forme de rang 1, qui \'equivaut \`a la
surjectivit\'e de $H^1(k, \ZZ / 2 \ZZ) \longrightarrow H^1(l, \ZZ
/ 2 \ZZ)$. Ceci montre la surjectivit\'e de $H^1(k,O_n)
\longrightarrow H^1(l,O_n)$. Pour l'injectivit\'e, Il faut prouver
que deux formes quadratiques sur $k$, devenant \'equivalentes sur
$l$, le sont d\'ej\`a sur $k$. En utilisant le th\'eor\`eme
d'\'equivalence par cha\^{\i}nes de Witt (\cite{lam}, chapitre 1, th\'eor\`eme 5.2), il
suffit de le faire pour des formes de rang 2. Mais on sait (loc.
cit., proposition 5.1) que deux telles formes sont \'equivalentes sur $k$ si
et seulement si elles ont m\^eme discriminant (modulo les
carr\'es) et repr\'esentent un m\^eme \'el\'ement de $k^*$. Ces
deux conditions ne changent pas lorsqu'on remplace $k$ par $l$
(toujours \`a cause de l'isomorphisme naturel $k^*/{k^*}^2 \simeq
l^*/{l^*}^2$), ce qui termine la preuve. Nous remercions Bruno
Kahn pour nous avoir signal\'e cet argument \'el\'ementaire. Il
serait int\'eressant d'\'etablir l'assertion analogue pour une
vari\'et\'e ab\'elienne, ou pour $SL_1(D)$ (pour $D$ une alg\`ebre
simple centrale sur $k$).\\

\noindent Pour d\'emontrer la proposition \ref{isomcoh}, qui est
notre prochain objectif, nous avons besoin du lemme qui suit.

\begin{lemme}\label{cohtors}

Soit $\Gamma$ un groupe profini, et $M \stackrel \phi
\longrightarrow N$ un morphisme entre $\Gamma$-modules discrets
divisibles, induisant un isomorphisme entre le sous-groupe de
torsion de $M$ et celui de $N$. Alors la fl\`eche $H^i(\Gamma,M)
\longrightarrow H^i(\Gamma,N)$ induite par $\phi$ est un
isomorphisme pour $i \geq 2$, et surjective pour $i=1$.

\end{lemme}
\noindent \textit{D\'emonstration}. On a le diagramme commutatif
suivant, dans lequel les fl\`eches verticales sont induites par
$\phi$, celle de gauche \'etant un isomorphisme:


$$\begin{array}{ccccccccc}
0 & \longrightarrow &M_{tors} &
\longrightarrow & M  & \longrightarrow &  M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}& \longrightarrow & 0 \\

& &\ \wr \downarrow & & \downarrow & & \downarrow &   \\
0 & \longrightarrow &N_{tors} &
\longrightarrow & N  & \longrightarrow &  N \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}& \longrightarrow & 0 .\\
\end{array}$$

\noindent L'assertion d\'ecoule alors imm\'ediatement des suites
exactes longues de cohomologie associ\'ees aux deux lignes de ce
diagramme, compte tenu du fait que les $\mathbb{Q}$-espaces
vectoriels  $M \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ et  $N
\otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ n'ont pas de cohomologie en
degr\'e $\geq 1$. $\square$


\begin{proposition} \label{isomcoh}
Soit $l/k$ une extension de corps parfaits, telle que la fl\`eche naturelle
$\Gamma_l \longrightarrow \Gamma_k$ soit un isomorphisme. Soit $G$
(resp. $\overline{H}$) un $k$-groupe (resp. un
$\overline{k}$-groupe). Soit $\kappa: \Gamma_k \longrightarrow
\SOUT (\overline{H}/k)$ un $k$-lien. On a les propri\'et\'es suivantes:\\

\noindent (i) la restriction $H^1(k,G)
\longrightarrow H^1(l,G)$ est surjective,\\
\noindent (ii) si $G$ est commutatif, la restriction
$H^i(k,G) \longrightarrow H^i(l,G)$ est bijective pour $i>1$; elle l'est aussi pour $i=1$ si $G$ est commutatif et lin\'eaire.\\
\noindent (iii) la fl\`eche naturelle
$$H^2(k,\overline{H},\kappa) \stackrel {\mbox{Res}_{l/k}}
{\longrightarrow} H^2(l,\overline{H}_{\overline{l}},\kappa_l)$$
est une bijection,\\
\noindent (iv) l'image par $\mbox{Res}_{l/k}$ d'une classe
$\eta$ est neutre si et seulement si $\eta$ est neutre.\\

\end{proposition}
\noindent \textit{D\'emonstration}. Elle se fait en plusieurs
\'etapes.\\

\noindent \textit{Preuve de (i) et (ii) lorsque G est lin\'eaire
connexe commutatif, ou une vari\'et\'e ab\'elienne.}

\noindent Dans le cas lin\'eaire, on peut supposer que $G$ est un
tore $T$ gr\^ace au lemme \ref{cohred}. Il alors est commode de se
servir du lemme \ref{cohtors}, dont les hypoth\`eses sont
satisfaites pour $\Gamma=\Gamma_k=\Gamma_l$, $M=G(\overline{k})$
et $N=G(\overline{l})$, lorsque $G$ est une vari\'et\'e
ab\'elienne ou un tore. En effet, dans le premier cas, on sait
que, pour tout entier $n \geq 1$, l'\'el\'evation \`a la puissance
$n$ est un endomorphisme surjectif de $G$, dont le noyau est un
groupe fini. Dans le second cas, le m\^eme r\'esultat vaut: il
suffit de le v\'erifier pour $G= \mathbb{G}_m$, c'est alors
\'evident. D\'emontrons le dernier point. Ins\'erons $T=G$ dans
une suite exacte:
 $$1 \longrightarrow S \longrightarrow
\mbox{R}_{A/k}(\mathbb{G}_m) \longrightarrow T \longrightarrow
1,$$

\noindent o\`u $A$ est une $k$-alg\`ebre \'etale et R d\'esigne le
foncteur de restriction des scalaires \`a la Weil. Utilisant
successivement le lemme de Shapiro et le th\'eor\`eme 90 de
Hilbert, on voit que
$H^1(k,\mbox{R}_{A/k}(\mathbb{G}_m))=H^1(A,\mathbb{G}_m)=0$. La
suite exacte de cohomologie:

$$ 1 \longrightarrow H^1(k,T) \longrightarrow H^2(k,S) \longrightarrow H^2(k,\mbox{R}_{A/k}(\mathbb{G}_m))$$

\noindent permet alors de conclure. $\square$ \noindent

\noindent \textit{Preuve de (i) et (ii) pour G commutatif
quelconque.}

\noindent D'apr\`es un th\'eor\`eme de Chevalley, on sait que
$G^0$ est une extension
$$1 \longrightarrow L \longrightarrow G^0 \longrightarrow A \longrightarrow 1,$$
\noindent o\`u $L$ est un $k$-groupe lin\'eaire commutatif connexe
et $A$ une vari\'et\'e ab\'elienne. On conclut alors avec le lemme
des cinq, appliqu\'e successivement aux suites exactes longues de
cohomologie associ\'ees aux extensions $1 \longrightarrow L
\longrightarrow G^0 \longrightarrow A \longrightarrow 1$ et $1
\longrightarrow G^0 \longrightarrow G \longrightarrow \pi_0(G)
  \longrightarrow 1$.

 \noindent
\textit{Preuve de (i) lorsque G est lin\'eaire connexe.}

\noindent On peut supposer $G$ r\'eductif. Soit $N$ le
normalisateur dans $G$ d'un tore maximal (c'est-\`a-dire un
sous-groupe de Cartan, puisque $G$ est r\'eductif) de $G$. On sait
que, pour toute extension parfaite $L$ de k, l'application $H^1(L,N)
\longrightarrow H^1(L,G)$ est surjective (\cite{serre_cg}, chapitre III, \S 4,
lemme 6). Ceci permet de se limiter au cas o\`u $G$ est une
extension
$$1 \longrightarrow S \longrightarrow G \longrightarrow Q
\stackrel  \pi \longrightarrow 1$$ d'un $k$-groupe fini par un
tore. Soit $\alpha \in H^1(l,G)$ la classe d'un 1-cocycle $a \in
Z^1(l,G)$. Soit $b$ l'image de $a$  dans $Z^1(l,Q)=Z^1(k,Q)$, et
$\beta$ la classe de $b$ dans $H^1(l,Q)=H^1(k,Q)$. L'invariant
$\Delta (b) \in H^2(k, {{_b} S})=H^2(l, {_{b} S})$ \'etant nul
(cf. \cite{serre_cg}, 5.6, pour la d\'efinition de $\Delta(b)$),
on dispose d'apr\`es \textit{loc. cit.}, proposition 41, d'une
classe $\alpha' \in H^1(k,G)$ telle  que $\pi^*(\alpha')=\beta$.
En tordant tous les groupes consid\'er\'es par un cocycle
repr\'esentant $\alpha'$, on est ramen\'e au cas o\`u $\beta=1$.
Par suite, $\alpha$ est dans l'image de $H^1(k,S)=H^1(l,S)
\longrightarrow H^1(l,G)$, donc aussi dans l'image de $H^1(k,G)
\longrightarrow H^1(l,G)$, cqfd.

\noindent \textit{Preuve de (iii).}

\noindent Dans un premier temps, il faut voir que, si
$H^2(l,\overline{H}_{\overline{l}},\kappa_l)$ est non vide, alors
$H^2(k,\overline{H},\kappa)$ est \'egalement non vide. Cela est
simplement d\^u \`a l'existence d'une classe canonique
$\mbox{Obs}(\kappa) \in H^3(k,\Z(\overline{H}))$ qui est nulle si
et seulement si $H^2(k,\overline{H},\kappa)$ est non vide
(\cite{fss}, proposition 1.21), et au fait qu'on a d\'ej\`a
prouv\'e (ii). On peut donc supposer que les deux ensembles de
2-cohomologie consid\'er\'es sont tous deux non vides; ils sont
alors des espaces principaux homog\`enes sous
$H^2(k,\Z(\overline{H}))=H^2(l,\Z(\overline{H}_{\overline{l}}))$
(cf. \cite{springer_h2}, 1.17); $\mbox{Res}_{l/k}$ est donc bien
bijective.

\noindent \textit{Preuve de (iv) lorsque $\overline{H}$ est
lin\'eaire connexe}

\noindent On peut supposer $\overline{H}$ r\'eductif, en utilisant
la proposition \ref{H2red}. D'apr\`es un r\'esultat de Douai (cf.
\cite{borovoi_ab}, proposition 4.1) on sait que
$H^2(k,\overline{H},\kappa)$ contient une classe neutre, on peut
donc supposer que $\overline{H}$ admet une $k$-forme $H$ et que
$\kappa =\kappa_H$ est le lien trivial associ\'e. On a alors une
identification canonique entre $H^2(k,\overline{H},\kappa)$ et
$H^2(k,\Z(H))$. D'apr\`es \cite{borovoi_ab}, proposition 2.3, une
classe dans $H^2(k,\overline{H},\kappa)$ est neutre si et
seulement si l'\'el\'ement de $H^2(k,\Z(H))$ qui lui correspond
est dans l'image du bord $H^1(k,H/\Z(H)) \longrightarrow
H^2(k,\Z(H))$.  Or, d'apr\`es ce qu'on a d\'ej\`a vu, la
propri\'et\'e (i) (resp. (ii)) vaut pour $H/\Z(H)$ (resp. \Z(H)).
Un \'el\'ement de $H^2(k,\Z(H))$ est donc dans l'image de ce bord
si et seulement s'il en est de m\^eme de sa restriction \`a
$H^2(l,\Z(H))$, cqfd.

\noindent \textit{Preuve de (iv) dans le cas g\'en\'eral.}

\noindent Le th\'eor\`eme de Chevalley, dont nous avons d\'ej\`a
fait usage pour d\'emontrer (ii), affirme que $\overline{H}^0$ est
une extension d'une vari\'et\'e ab\'elienne $\overline{A}$
(d\'efinie sur $\overline{k}$) par un $\overline{k}$-groupe
lin\'eaire connexe $\overline{L}$. On conclut en appliquant le
lemme suivant \`a l'extension $1 \longrightarrow \overline{L}
\longrightarrow \overline{H}^0 \longrightarrow \overline{A}
\longrightarrow 1$, puis \`a l'extension $1 \longrightarrow
\overline{H}^0 \longrightarrow \overline{H} \longrightarrow
\pi_0(\overline{H})
  \longrightarrow 1$.

\begin{lemme}
Soit $1 \longrightarrow \overline{K} \stackrel i \longrightarrow
\overline{G} \stackrel \pi \longrightarrow \overline{Q}
\longrightarrow 1$ une extension de $\overline{k}$-groupes, telle
que $\overline{K}$ soit invariant par tout automorphisme
semi-alg\'ebrique de $\overline{G }$. Si (iv) vaut pour
$\overline{Q}$ et pour $\overline{K}$, et si (i) vaut pour toute
$k$-forme de $\overline{Q}$, alors (iv) vaut pour $\overline{G}$.
\end{lemme}

\noindent \textit{D\'emonstration}. Soit $\eta \in
H^2(k,\overline{G},\kappa)$, telle que $\mbox{Res}_{l/k} (\eta)$
soit neutre. Soit $(f,c)$ un 2-cocycle repr\'esentant $\eta$. On
sait par la propri\'et\'e (iv) que $\pi_*(\eta)$ est neutre.
Quitte \`a remplacer $(f,c)$ par un cocycle \'equivalent, on peut
donc supposer que $c$ est \`a valeurs dans
$\overline{K}(\overline{k})$. L'application $f$ d\'efinit alors
une $k$-forme $Q$ de $\overline{Q}$. Puisque $\mbox{Res}_{l/k}
(\eta)$ est neutre, il existe une application continue $h:
\Gamma_l \longrightarrow \overline{G }(\overline{l})$ telle que
$h.(f,c)$ soit un 2-cocycle neutre. L'image de $h_s$ dans $Q
(\overline{l})$ est un 1-cocycle; par la propri\'et\'e (i)
appliqu\'ee \`a $Q$, ce cocycle est \'equivalent \`a un cocycle \`a valeurs dans
$Q(\overline{k})$. Il existe donc $x \in \overline{G}(\overline{l})$, $a_s \in
\overline{K}(\overline{l})$ et $b_s \in
\overline{G}(\overline{k})$ tels que
$x^{-1}h_s f_s(x)=a_s b_s$. Posons $(f',c')= b.(f,c)$, et $h'_s=a_s$. Le cocycle $h'.(f',c')=(ab).(f,c)$ est neutre; en effet:\\
\begin{eqnarray}
\nonumber && h'_s f'_s (h'_t) c'_{s,t} {h'_{st}}^{-1} \\
\nonumber &=& x^{-1}h_s f_s(x) f_s(x^{-1}h_t f_t(x)) c_{s,t} f_{st}(x^{-1}) h_{st}^{-1}x\\
\nonumber &=& x^{-1}h_s  f_s(h_t) f_s( f_t(x))) c_{s,t} f_{st}(x^{-1}) h_{st}^{-1}x\\
\nonumber &=& x^{-1}h_s  f_s(h_t)  c_{s,t}  h_{st}^{-1}x\\
\nonumber &=& x^{-1}x=1.
\end{eqnarray}
\noindent En outre, $f'_s$ stabilise $\overline{K}$
pour tout $s$; on en d\'eduit que $c'_{s,t}= f'_s({h'}_t^{-1}){h'}_s^{-1}h'_{st}$ est \`a valeurs dans
$\overline G ( \overline k) \cap \overline K ( \overline l)=\overline K ( \overline k)$.
Ainsi, $f'$ d\'efinit un $k$-lien $\kappa' : \Gamma_k
\longrightarrow \SOUT (\overline{K}/k)$, et $(f',c')$ une classe
$\eta' \in H^2(k, \overline{K}, \kappa')$, telle que
$\mbox{Res}_{l/k}(\eta')$ est neutre. D'apr\`es l'hypoth\`ese
faite sur $\overline{K}$, $\eta'$ est neutre; \textit{a fortiori}
$\eta$ est donc neutre.

\noindent \textit{Preuve de (i) dans le cas g\'en\'eral.}

\noindent Elle consiste, \`a nouveau, en une application du lemme
suivant \`a  l'extension $1 \longrightarrow L \longrightarrow G^0
\longrightarrow A \longrightarrow 1$ donn\'ee par le th\'eor\`eme
de Chevalley, suivie d'une autre application \`a l'extension $1
\longrightarrow G^0 \longrightarrow G \longrightarrow \pi_0(G)
  \longrightarrow 1$.

\begin{lemme}
Soit $1 \longrightarrow K \stackrel i \longrightarrow G \stackrel
\pi \longrightarrow Q \longrightarrow 1$ une extension de
$k$-groupes. Si (i) vaut $Q$ et pour toutes les $k$-formes de $K$,
et si (iv) vaut pour $K$, alors (i) vaut pour $G$.
\end{lemme}
\noindent \textit{D\'emonstration}.  Soit $\alpha \in H^1(l,G)$.
Ecrivons $\pi_* (\alpha)=\mbox{Res}_{l/k}(\beta)$, pour $\beta \in
H^1(k,Q)$. On peut associer \`a $\beta$ un $k$-lien $\lambda:
\Gamma_k \longrightarrow \SOUT(\overline{K}/k)$ et une classe
$\eta \in H^2(k, \overline{K}, \lambda)$ (cf. \cite{springer_h2},
1.20 pour une d\'efinition de $\lambda$ et de $\eta$). Il est
clair que $\mbox{Res}_{l/k}(\eta)$ est neutre; par (iv), $\eta$
est donc \'egalement neutre. On peut donc \'ecrire
$\pi^*(\alpha')=\beta$, pour une classe $\alpha' \in H^1(k,G)$
(loc. cit., proposition 1.27, exactitude en $H^1(g,A,B)$). En
tordant tous les groupes consid\'er\'es par un cocycle
repr\'esentant $\alpha'$, on se ram\`ene donc au cas o\`u
$\beta=1$, et l'on peut conclure gr\^ace \`a l'hypoth\`ese faite
sur $K$. $\square$

\noindent La proposition \ref{isomcoh}, de nature purement
cohomologique, permet d'obtenir le r\'esultat crucial suivant.
\begin{proposition} \label{existencepoint} Soit $l/k$ une
extension de corps acyclique. Soit $G$ un $k$-groupe et $X$ un
$G$-espace homog\`ene. Si $X(l) \neq \varnothing$, alors $X(k)
\neq \varnothing$.
\end{proposition}
\noindent \textit{D\'emonstration}. Supposons tout d'abord $X$ \`a stabilisateurs
r\'eduits. Soit $\overline{x}$ un point
g\'eom\'etrique de $X$ et $\overline{H}$ son stabilisateur. On
dispose alors d'un $k$-lien $\kappa$ et d'une classe $\eta \in
H^2(k,\overline{H},\kappa)$. Puisque $X(l) \neq \varnothing$,
$\mbox{Res}_{l/k}(\eta)$ est neutre; $\eta$ elle-m\^eme est donc
neutre par la proposition \ref{isomcoh}. D'apr\`es
\cite{springer_h2}, proposition 1.27, il existe donc un
$G$-torseur $P$ et un morphisme $G$-\'equivariant $P \stackrel
\phi \longrightarrow X$. Dans la suite de cette d\'emonstration,
nous faisons librement emploi des notions de bitorseur (ou espace
biprincipal) et de produit contract\'e (ou torsion) (cf.
\cite{serre_cg}, chapitre 1, \S 5.3, ou \cite{breen}, dont nous
utilisons ici les notations). Soit $G' = P \wedge G $ le
$k$-groupe obtenu en tordant $G$ par $P$, et $P^{op}$ le
$G$-torseur oppos\'e de $P$. Tordant $\phi$ par $P^{op}$, on
obtient un morphisme  $ G'$-\'equivariant $G' \stackrel {\phi
\wedge P^{op} }\longrightarrow X \wedge P^{op} $. Par suite, il
existe un $k$-sous-groupe $H'$ de $G'$, et un isomorphisme
$G'$-\'equivariant $ H' \backslash G' \longrightarrow X \wedge
P^{op}$. En le tordant par $P$, on obtient
un isomorphisme $G$-\'equivariant   $(H' \backslash G') \wedge P
\longrightarrow X$. Comme $X(l) \neq \varnothing$, le $G'_l$-torseur (\`a gauche)
$P_l$ provient d'un $H'_l$-torseur $Q_l$. L'extension $l/k$
\'etant acyclique, on a l'assertion analogue sur $k$: le
$G'$-torseur $P$ provient d'un $H'$-torseur; $X$ poss\`ede donc un point
$k$-rationnel. Le cas des espaces homog\`enes g\'en\'eraux d\'ecoule alors du lemme suivant.$\square$\\
\begin{lemme} \label{existgen}
Soit $G$ un $k$-groupe et $X$ un $G$-espace homog\`ene. Il existe un $G$-espace homog\`ene $\tilde{X}$ \`a stabilisateurs r\'eduits,
et un morphisme $G$-\'equivariant   $\tilde X \stackrel \pi \longrightarrow X$ induisant une bijection sur les points dans
toute extension parfaite de $k$. Un tel couple $(X,\pi)$ est d\'efini \`a isomorphisme unique pr\`es.
\end{lemme}
\noindent \textit{D\'emonstration}. On peut supposer que $k$ est
alg\'ebriquement clos par descente galoisienne. Il suffit donc de traiter le cas o\`u $X$ est un quotient $H \backslash G$. Dans ce cas,
les affirmations du lemme sont claires: on prend pour $\tilde{X}$ le quotient $H_{red} \backslash G$ ($H_{red}$ est bien un $k$-groupe puisque
$k$ est parfait), et pour $\pi$ la projection canonique. On voit que $\pi$ induit une bijection sur les points dans
toute extension alg\'ebriquement close de $k$, donc \'egalement dans toute extension parfaite de $k$. L'assertion concernant
l'unicit\'e est imm\'ediate. $\square$ \\

\section{Application \`a l'\'etude des points rationnels sur les espaces
homog\`enes}\label{pointrat} Nous d\'emontrons ici le r\'esultat
principal (th\'eor\`eme \ref{pointbord}) \`a l'aide des
r\'esultats de la section pr\'ec\'edente, et du th\'eor\`eme
suivant, bien connu des sp\'ecialistes.



\begin{theoreme} \label{InjBT}
Soit $R$ un anneau complet pour une valuation discr\`ete, de corps
des fractions $K$ et de corps r\'esiduel $k$. Soit $G$ un sch\'ema
en groupes semi-simples sur $\mbox{Spec}( R)$. L'application
naturelle

$$H ^1 _{et}(R, G) \longrightarrow H^1(K,G_K)$$
est injective.
\end{theoreme}

\noindent \textit{D\'emonstration}. Ce r\'esultat, d\^u \`a Bruhat et Tits,
se trouve dans \cite{niscras}, th\'eor\`eme 4.1. Nous montrons ici
comment le d\'eduire de la th\'eorie de Bruhat-Tits dans le cas
particulier qui nous int\'eresse, c'est-\`a-dire lorsque
$R=k[[t]]$. Dans la suite, nous notons $R=k[[t]]$, $K=k((t))$,
$\tilde{K}$ l'extension maximale non ramifi\'ee de $K$,
$\tilde{R}$ l'anneau des entiers de $\tilde{K}$ et $\Gamma=\Gamma_k$ le groupe de Galois de $\tilde K / K$. D'apr\`es le
lemme de Hensel, l'application naturelle $H ^1 _{et}(R, G)
\longrightarrow H^1(k,G_k)$ est bijective. Par torsion, il suffit
donc de v\'erifier que la fl\`eche $H^1(k,G) \longrightarrow
H^1(K,G)$ a un noyau trivial. Soit donc $X$ un $G$-torseur, tel
que $X(K) \neq \varnothing$. Soit $P$ un $k$-sous-groupe
parabolique minimal de $G$. Par le crit\`ere valuatif de
propret\'e, la vari\'et\'e quotient $X/P$ poss\`ede un $k$-point
$x: \mbox{Spec}(k) \longrightarrow X/P$. Le pull-back par $x$ du
$P \times_k (X/P)$-torseur $X \longrightarrow X/P$ est un
$P$-torseur $Y$ poss\'edant les propri\'et\'es suivantes:

\noindent (i) $Y(K) \neq \varnothing$,

\noindent (ii) $Y(k) \neq \varnothing \leftrightarrow X(k) \neq
\varnothing $.

\noindent En effet, (i) et (ii) r\'esultent simplement de la
surjectivit\'e de la fl\`eche $G(l) \longrightarrow (G/P)(l)$,
valable pour toute extension $l$ de $k$ (\cite{borel}, proposition
21.12). Rempla\c{c}ant $G$ par $P^{red}$, on voit que l'on peut
supposer $G$ anisotrope. En consid\'erant \`a la place de $G$ le
rev\^etement simplement connexe de son groupe d\'eriv\'e, on se
ram\`ene enfin au cas d'un groupe $G$ semi-simple simplement
connexe anisotrope. On sait alors que $G_K$ est un $K$-groupe
anisotrope, et que $G(K)=G(R)$ (th\'eor\`eme de
Bruhat-Tits-Rousseau). Ces deux assertions sont d\'emontr\'ees
dans \cite{RagPBaffPBproj}, proposition 1.2. La dimension
cohomologique de $\tilde{K}$ \'etant 1, on a $H^1(K,G) =
H^1(\tilde{K}/K,G)$ par le th\'eor\`eme de Steinberg. Soit alors
un 1-cocycle $z_s \in Z^1(k,G)$, d\'efinissant un \'element du
noyau de $H^1(k,G) \longrightarrow H^1(\tilde{K}/K,G)$.
Choisissons donc une \'ecriture $z_s={g^{-1}} \, {{^s} g}$, $g \in
G(\tilde{K})$. Soit $I$ l'immeuble de Bruhat-Tits de $G/K$
(r\'eduit \`a un point $x_0$ puisque $G$ est $K$-anisotrope), et
$\tilde{I}$ celui de $G/\tilde{K}$, naturellement muni d'une
action de $\Gamma$. D'apr\`es un th\'eor\`eme fondamental de la
th\'eorie de Bruhat-Tits (\cite{BT2}, th\'eor\`eme 5.1.25),
$\tilde{I}^{\Gamma}$ s'identifie \`a $I=\{ x_0 \}$. De
l'\'egalit\'e ${g^{-1}} \, {{^s} g}.x_0=z_s.x_0=x_0$, on d\'eduit
que $g.x_0 \in \tilde{I}^{\Gamma}$, donc que $g \in
\mbox{Stab}_{G(\tilde{K})} (x_0)=G(\tilde{R})$. Par
sp\'ecialisation, il s'ensuit que la classe de $z_s$ dans
$H^1(k,G)$ est la classe triviale, cqfd. $\square$\\

\noindent Nous allons d\'eduire de ce th\'eor\`eme le fait que
l'extension $K_ \infty /k$ est acyclique. Pour y parvenir, nous
avons besoin de deux lemmes.

\begin{lemme} \label{devisscoh}
Soit $1 \longrightarrow S \longrightarrow H \longrightarrow Q
\longrightarrow 1$ une extension centrale de $k$-groupes. Soit
$l/k$ une extension de corps. Supposons les conditions suivantes
satisfaites, pour toutes les formes int\'erieures $S'$ (resp.
$H'$) de $S$ (resp. de $H$)

\noindent (i) la fl\`eche $H^1(k,H') \longrightarrow H^1(l,H')$
est injective,

\noindent (ii) la fl\`eche $H^1(k,S') \longrightarrow H^1(l,S')$
est surjective,

\noindent (iii) la fl\`eche $H^2(k,S') \longrightarrow H^2(l,S')$
est injective.

\noindent Alors la fl\`eche $H^1(k,Q) \longrightarrow H^1(l,Q)$
est injective.

\end{lemme}
\noindent \textit{D\'emonstration}. Par torsion, c'est une simple
chasse dans le diagramme suivant (analogue au lemme des cinq dans
le cadre commutatif habituel):

$$\begin{array}{ccccccc}
H^1(k,S) & \longrightarrow & H^1(k,H) &
\longrightarrow &  H^1(k,Q)  & \longrightarrow &  H^2(k,S) \\

\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow  \\


 H^1(l,S) & \longrightarrow & H^1(l,H) &
\longrightarrow &  H^1(l,Q)  & \longrightarrow &  H^2(l,S).\\
\end{array}$$
\begin{lemme}\label{hensel}
Soit $ G \longrightarrow H $ un morphisme dominant et s\'eparable
entre $k$-groupes. Alors l'application:
$$ \KER (G(k[[t]]) \longrightarrow G(k))\longrightarrow \KER (H(k[[t]]) \longrightarrow
H(k))$$ est surjective.

\end{lemme}
\noindent \textit{D\'emonstration}. Pour $n \geq 1$, appelons
$R_n$ l'anneau $k[t]/t^n$. On a un diagramme commutatif:

$$\begin{array}{ccccccccc}
1 & \longrightarrow & \mbox{Lie}(G) & \longrightarrow& G(R_{n+1})
&\longrightarrow G(R_n)  & \longrightarrow 1 \\

& & \downarrow & & \downarrow &  \downarrow & & \\
1 & \longrightarrow & \mbox{Lie}(H) & \longrightarrow& H(R_{n+1})
&\longrightarrow H(R_n)  & \longrightarrow 1. \\
\end{array}$$

\noindent Soit $h \in
 \KER (H(k[[t]]) \longrightarrow
H(k))$; soit $h_n$ l'image de $h$ dans $H(R_n)$. La fl\`eche
$\mbox{Lie}(G) \longrightarrow \mbox{Lie}(H)$ \'etant surjective,
on en d\'eduit par r\'ecurrence l'existence d'\'el\'ements $g_n
\in G(R_n)$, tels que $\pi(g_n)=h_n$, et tels que l'image de
$g_{n+1}$ dans $G(R_n)$ soit $g_n$. La suite $(g_n)$ d\'efinit
donc un \'el\'ement de $\limproj {G(R_n)} = G(k[[t]])$ v\'erifiant
$\pi(g)=h$. On aurait aussi pu voir ce lemme comme cons\'equence
de l'isomorphisme naturel $H^1_{et}(\mbox{Spec}(k[[t]]),K)
\longrightarrow H^1(k,K)$ en cohomologie \'etale, o\`u $K$
d\'esigne le noyau de la surjection $G \longrightarrow
H$.$\square$
\begin{proposition} \label{PKinf}
L'extension $K_\infty / k$ est acyclique.
\end{proposition}
\noindent \textit{D\'emonstration}. Puisque la fl\`eche
$\Gamma_{K_\infty} \longrightarrow \Gamma_k$ est un isomorphisme,
nous pouvons appliquer la proposition \ref{isomcoh}. Il reste \`a
prouver l'injectivit\'e de l'application $H^1(k,G) \longrightarrow
H^1(K_\infty,G)$ pour tout $k$-groupe $G$. Il revient au m\^eme de prouver que, pour toute
extension finie $L/ k((t))$, contenue dans $K_{\infty}$, la fl\`eche
$H^1(k,G) \longrightarrow H^1(L,G)$ est injective.
Comme $L/k((t))$ est totalement ramifi\'ee, on sait (\cite{serre_cl}, chapitre II, \S 4, th\'eor\`eme 2)
que $L$ est $k$-isomorphe \`a $k((t))$. Par suite, il suffit de prouver l'injectivit\'e de $H^1(k,G) \longrightarrow H^1(k((t)),G)$.
Nous le faisons en trois \'etapes.

\noindent \textit{Cas o\`u $G$ est une vari\'et\'e ab\'elienne.}\\
\noindent Soit $X$ un $G$-torseur tel que $X(k((t))) \neq
\varnothing$. Par le crit\`ere valuatif de propret\'e, $X$
poss\`ede un $k[[t]]$-point, donc un $k$-point, cqfd.

\noindent \textit{Cas o\`u $G$ est lin\'eaire connexe.} \\
\noindent On peut supposer $G$ r\'eductif par le lemme
\ref{cohred}. On sait alors que $G$ s'ins\`ere dans une extension:
$$1 \longrightarrow \mu \longrightarrow \Z (G) \times G^{der} \longrightarrow G \longrightarrow 1,$$
o\`u $G^{der}$ est le groupe d\'eriv\'e de $G$ (qui est
semi-simple connexe), et $\mu$ est fini central (\cite{borel},
14.2). Le lemme \ref{devisscoh} appliqu\'e \`a cette extension
permet alors de se r\'eduire au cas $G$ semi-simple, qui est une
cons\'equence du th\'eor\`eme \ref{InjBT}.

\noindent \textit{Cas g\'en\'eral.}\\

\noindent On a le diagramme commutatif \`a lignes exactes:

$$\begin{array}{ccccccc}
\pi_0(G)(k) & \longrightarrow & H^1(k,G^0) &
\longrightarrow &  H^1(k,G)  & \longrightarrow &  H^1(k,\pi_0(G)) \\

\downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow  \\


 \pi_0(G)(l) & \longrightarrow & H^1(l,G^0) &
\longrightarrow &  H^1(l,G)  & \longrightarrow &  H^1(l,\pi_0(G)).\\

\end{array} $$

\noindent Puisque les fl\`eches verticales aux deux bords sont
bijectives, une chasse au diagramme tr\`es simple, jointe \`a un
argument de torsion, permet alors de se ramener au cas o\`u $G$
est connexe. Par le th\'eor\`eme de Chevalley, $G$ est alors une
extension $1 \longrightarrow L \longrightarrow G \longrightarrow A
\longrightarrow 1$ d'une vari\'et\'e ab\'elienne $A$ par un groupe
lin\'eaire connexe $L$. Puisque nous avons d\'ej\`a trait\'e le
cas de deux tels groupes, une chasse au diagramme identique \`a la
pr\'ec\'edente montre qu'il suffit de prouver que la fl\`eche $
A(k)/G(k) \longrightarrow A(k((t)))/G(k((t)))$ est surjective.
Ceci est une cons\'equence directe de l'\'egalit\'e
$A(k((t)))=A(k[[t]])$ et du lemme \ref{hensel}. $\square$


\begin{lemme}\label{sorite}
Soit $X$ une $k$-vari\'et\'e g\'eom\'etriquement int\`egre.
Supposons qu'il existe une $k$-vari\'et\'e $Y$, $k$-birationnelle
\`a $X$ et poss\`edant un point $k$-rationnel lisse. On a alors
$X(k((t))) \neq \varnothing$.

\end{lemme}
\noindent \textit{D\'emonstration}. On peut supposer que $X$ est
un ouvert de $Y$. Soit donc $x \in Y(k)$. D'apr\`es la
d\'emonstration du lemme 3.2 de \cite{fr}, on peut trouver une
courbe int\`egre $C$ de $Y$, r\'eguli\`ere en $x$ et
d'intersection non vide avec $X$. Le compl\'et\'e de l'anneau
local de $C$ en $x$ par rapport \`a son id\'eal maximal est
isomorphe \`a $k[[t]]$ d'apr\`es un th\'eor\`eme de Cohen
(\cite{bourbakiAC}, chap. 9, sect. 3); on en d\'eduit donc bien
que $X(k((t)) \neq \varnothing$. $\square$

\noindent \textbf{Remarque.} On a la r\'eciproque suivante du
lemme \ref{sorite}: Si $X$ a un $k((t))$-point lisse, alors tout
mod\`ele projectif de $X$ poss\`ede un $k$-point. Nous n'en aurons
pas besoin.

\begin{theoreme}
\label{pointbord} Soit $G$ un $k$-groupe et $X$ un $G$-espace
homog\`ene. Supposons qu'il existe une $k$-vari\'et\'e $Y$,
$k$-birationnelle \`a $X$, et poss\`edant un point $k$-rationnel
lisse (par exemple une $k$-compactification lisse avec un point
$k$-rationnel). Alors $X$ poss\`ede lui aussi un point
$k$-rationnel.
\end{theoreme}
\noindent \textit{D\'emonstration}. D'apr\`es le lemme
\ref{sorite}, l'hypoth\`ese implique que $X(k((t))) \neq
\varnothing$, ou, ce qui revient au m\^eme, que $X(K_{\infty})
\neq \varnothing$. On conclut alors avec les propositions
\ref{PKinf} et
\ref{existencepoint}. $\square$\\

\noindent \textbf{Remarque.} Dans ce th\'eor\`eme, l'hypoth\`ese
de lissit\'e ne peut pas \^etre lev\'ee, comme il r\'esulte de
l'exemple suivant, communiqu\'e par Jean-Louis
Colliot-Th\'el\`ene. Choisissons une extension quadratique
$l=k(\sqrt{a})/k$, de corps de caract\'eristique diff\'erente de
$2$, et un \'el\'ement $c \in k^*$ qui ne soit pas une norme pour
cette extension. L'\'equation
$(x_1^2-ax_2^2)(x_3^2-ax_4^2)=cx_0^4$ d\'efinit une hypersurface
projective $\tilde{X}$ dans $\mathbb{P}^4$, poss\'edant des points
$k$-rationnels non lisses (par exemple, faire $x_0=x_1=x_2=0$, et
prendre $x_3$ et $x_4$ quelconques). On voit facilement que
$\tilde{X}$ est une compactification du torseur non trivial $X$
d'\'equation $(x_1^2-ax_2^2)(x_3^2-ax_4^2)=c$ dans $\mathbb{A}^4$,
sous le tore $T$ d'\'equation $(x_1^2-ax_2^2)(x_3^2-ax_4^2)=1$. Ce
tore n'est rien d'autre que le noyau de la norme $
\mbox{R}_{A/k}(\mathbb{G}_m)
 \stackrel N \longrightarrow \mathbb{G}_m$, o\`u $A$ est
 la $k$-alg\`ebre \'etale $l \times l$.






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