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\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[section]
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\newtheorem{cor}[theorem]{Corollaire}
\newtheorem{prop}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{rem}[theorem]{Remarque}

\begin{document}

\title[Les formes bilin\'eaires bonnes \dots en caract\'eristique 2]{Les formes bilin\'eaires bonnes de hauteur 2 en caract\'eristique 2}

\author[A. Laghribi]{Ahmed Laghribi}

\address{Universit\'e d'Artois, Facult\'e Jean Perrin, Laboratoire de math\'ematiques de Lens EA 2462,
rue Jean Souvraz SP-18, F-62307 Lens\vskip2mm{\sf M\'el.:
laghribi@euler.univ-artois.fr}}

\thanks{{\it 2000 MSC.} 11E04, 11E81.}

\thanks{{\it Mots cl\'es.} Formes bilin\'eaires, formes
quadratiques, corps de fonctions d'une quadrique, th\'eorie de
d\'eploiement standard, degr\'e normique.}

\date{02 Juin, 2009}

\begin{sloppypar}

\begin{abstract}{Our aim is to give a complete classification of bilinear forms
which are good of height $2$ over a field of characteristic $2$,
i.e., those whose anisotropic parts over their function fields are
similar to bilinear Pfister forms which are definable over the
ground field. Other related results are included. \vskip2.5mm

\noindent{\sc R\'esum\'e.} Notre but est de donner une
classification compl\`ete des formes bilin\'eaires qui sont bonnes
de hauteur $2$ sur un corps de caract\'eristique $2$, i.e, celles
dont la partie anisotrope sur leurs corps de fonctions est
semblable \`a une forme bilin\'eaire de Pfister d\'efinissable sur
le corps de base. D'autres r\'esultats en relation sont
incorpor\'es.}\end{abstract}

\maketitle

\section{Introduction} Soit $F$ un corps commutatif de caract\'eristique $2$.
Toutes les formes bilin\'eaires consid\'er\'ees dans cet article
sont suppos\'ees sym\'etriques, r\'eguli\`eres et de dimension
finie.

Pour une extension $L/F$, on dit qu'une $L$-forme bilin\'eaire (ou
quadratique) $B$ est d\'efinissable sur $F$ s'il existe une
$F$-forme bilin\'eaire (ou quadratique) $C$ tel que $B\cong C_L$.
Si $C$ est unique, alors on dit que $B$ est d\'efinie sur $F$ par
$C$ ($\cong$ d\'esigne l'isom\'etrie des formes).

Pour tout entier $n\geq 1$, on note $BP_n(F)$ (\resp $GBP_n(F)$)
l'ensemble des formes bilin\'eaires isom\'etriques (\resp
semblables) \`a des $n$-formes bilin\'eaires de Pfister. On
d\'esigne par $\left<a_1, \cdots, a_n\right>_b$ la forme
bilin\'eaire $a_1x_1y_1+\cdots +a_nx_ny_n$ pour $a_1, \cdots,
a_n\in F^*:=F- \{0\}$.

Si $B$ est une forme bilin\'eaire d'espace sous-jacent $V$, on
note $\widetilde{B}$ la forme quadratique d\'efinie sur $V$ par:
$\widetilde{B}(v)=B(v,v)$ pour tout $v\in V$. Il est clair que
$\widetilde{B}$ ne d\'epend que de la classe d'isom\'etrie de $B$.

\`A toute forme bilin\'eaire $B$ non nulle, on associe sa tour de
d\'eploiement standard $(F_i, B_i)_{i\geq 0}$ donn\'ee de la
mani\`ere suivante: \[\begin{cases} F_0=F\hskip3mm \text{
et}\hskip3mm B_0=B_{\an} \cr \text{Pour } n\geq 1:\hskip3mm
F_n=F_{n-1}(B_{n-1})\hskip3mm \text{et} \hskip3mm
B_n=((B_{n-1})_{F_{n}})_{\an},
\end{cases}\]o\`u pour toute forme bilin\'eaire $C$, on note $\dim C$ sa
dimension, $C_{\an}$ sa partie anisotrope, et $F(C)$ le corps de
fonctions de la quadrique affine d'\'equation $\widetilde{C}=0$.
La hauteur de $B$, qu'on note $\h(B)$, est le plus petit entier
$h$ tel que $\dim B_h\leq 1$. La classification des formes
bilin\'eaires de hauteur $1$ a \'et\'e donn\'ee dans \cite[Th.
4.1]{lagh8} et affirme ce qui suit: {\it Une forme bilin\'eaire
anisotrope $B$ est de hauteur $1$ si et seulement si il existe une
forme bilin\'eaire de Pfister $\pi=\left<1\right>_b\perp \pi'$ tel
que $B$ soit semblable \`a $\pi$ ou $\pi'$ suivant que $\dim B$
est paire ou impaire ($\perp$ d\'esigne la somme orthogonale).}

Cette classification permet d'attacher \`a toute forme
bilin\'eaire $B$ un invariant num\'erique, not\'e $\deg (B)$ et
appel\'e le degr\'e de $B$, comme suit: Si $(F_i, B_i)_{0\leq
i\leq h}$ est la tour de d\'eploiement standard de $B$ avec
$h=\h(B)$, alors $B_{h-1}$ est de hauteur $1$, et donc $B_{h-1}$
correspond \`a une $F_{h-1}$-forme bilin\'eaire de Pfister $\pi$
au sens de la classification des formes de hauteur $1$ ci-dessus.
La forme $\pi$ est appel\'ee la forme dominante de $B$. Si $\dim
B$ est paire, le degr\'e de $B$ est l'entier $d$ tel que $\dim
\pi=2^d$. Sinon, on dit que $B$ est de degr\'e $0$. La forme $B$
est dite bonne lorsque la forme $\pi$ est d\'efinissable sur $F$.
Dans ce cas, on sait que $\pi$ est d\'efinie sur $F$ par une forme
bilin\'eaire de Pfister \cite[Prop. 5.3]{lagh8}.

\'Evidemment, toute forme bilin\'eaire de hauteur $1$ est bonne.
La classification des formes bilin\'eaires bonnes de hauteur $2$
et de degr\'e $0$ est donn\'ee dans \cite[Prop. 5.9]{lagh8}. Dans
\cite[Th. 5.10]{lagh8}, on a classifi\'e les formes bilin\'eaires
$B$ qui sont bonnes de hauteur $2$ et de degr\'e $d>0$, \`a
l'exception du cas $\dim B=2^k\geq 2^{d+2}$. R\'ecemment dans
\cite{lr}, en collaboration avec Rehmann, on a r\'epondu \`a ce
cas ouvert lorsque $d=1$ ou $2$. Notre r\'esultat principal dans
cet article est le th\'eor\`eme suivant qui donne une
classification compl\`ete des formes bilin\'eaires bonnes de
hauteur $2$ et de degr\'e non nul quelconque. En prenant en compte
les r\'esultats de \cite[Th. 5.10]{lagh8}, on obtient:

\begin{theorem} Soient $B$ une forme bilin\'eaire anisotrope, et $\tau \in BP_d(F)$ anisotrope.
Alors, $B$ est bonne de hauteur $2$ et de forme dominante $\tau$
si et seulement si l'une des deux conditions suivantes est
v\'erifi\'ee:\\(1) $\dim B=2^m-2^d$ pour un certain $m\geq d+2$,
et $B\cong \rho\otimes\tau$ avec $\dim \rho$ est impaire et
$B\perp \left<\det \rho\right>_b\otimes\tau \in GBP_m(F)$.\\(2)
$\dim B=2^n$ pour un certain $n\geq d+1$, et $B\cong
x\theta\otimes(\lambda'\perp \left<y\right>_b)$ avec $x,y\in F^*$,
$\theta \in BP_{d-1}(F)$, $\lambda=\left<1\right>_b \perp
\lambda'\in BP_{n-d+1}(F)$ et $\tau\cong \theta\otimes \left<1,
y\right>_b$ tel que $\widetilde{B}$ soit semblable \`a
$\widetilde{\theta\otimes\lambda}$ lorsque $n\geq d+2$. \label{tp}
\end{theorem}

Les r\'esultats obtenus auparavant dans \cite{lagh8, lr} sur la
classification des formes bilin\'eaires bonnes de hauteur $2$ et
de degr\'e $d>0$ ne mentionnent pas la propri\'et\'e de
divisibilit\'e par une forme de $BP_{d-1}(F)$, comme d\'ecrit dans
la condition (2) du th\'eor\`eme \ref{tp}. Ceci nous est possible
apr\`es avoir montr\'e que le th\'eor\`eme classique d'Elman et
Lam sur la liaison des formes quadratiques de Pfister en
caract\'eristique $\neq 2$ s'\'etend au cas des formes
bilin\'eaires en caract\'eristique $2$ (Th\'eor\`eme \ref{tl}), ce
qui r\'epond par l'affirmative \`a \cite[Question 6.4]{lagh9}.

Le th\'eor\`eme \ref{tp} vient r\'epondre positivement \`a
\cite[Question 5.12]{lagh8}, et se met en parall\`ele avec la
classification des formes quadratiques bonnes de hauteur $2$ en
caract\'eristique $\neq 2$. Plus pr\'ecis\'ement, on sait qu'en
caract\'eristique $\neq 2$, une forme quadratique anisotrope
$\phi$ qui est bonne de hauteur $2$, de degr\'e $d>0$ et de forme
dominante $\tau$ est de l'un des deux types suivants:

{\sc Type I:} soit $\phi$ est divisible par $\tau$ et voisine
d'une $m$-forme de Pfister, $m\geq d+2$, et de forme
compl\'ementaire semblable \`a $\tau$ \cite[Lem. 10.1]{k}, en
particulier, $\dim \phi=2^m-2^d$. Ceci ressemble \`a ce qui est
d\'ecrit dans la condition (1) du th\'eor\`eme \ref{tp},
puisqu'une forme bilin\'eaire bonne de hauteur $2$ v\'erifiant
cette condition est aussi une voisine de Pfister au sens de la
d\'efinition \ref{dfv} (voir l'assertion (2) de la proposition
\ref{pcomp}).

{\sc Type II:} soit $\phi$ n'est pas une voisine de Pfister, de
dimension $2^{d+1}$ et $\phi\cong \theta\otimes \psi$ avec $\dim
\psi=4$ et $\theta$ une $(d-1)$-forme quadratique de Pfister (on
combine \cite[Prop. 4.3(b)]{kah}, \cite{h2} et
\cite{v}\footnote{Ce r\'esultat est prouv\'e en caract\'eristique
$0$, mais il s'\'etend \`a toute caract\'eristique par un argument
de rel\`evement comme on l'a fait dans la preuve de la proposition
\ref{pfq2}.}, et on proc\`ede de la m\^eme fa\c con comme dans la
preuve du th\'eor\`eme \ref{tfq}). Ceci entre dans le cadre de la
condition (2) du th\'eor\`eme \ref{tp}. Dans notre cas, on a des
formes bilin\'eaires $B$ bonnes de hauteur $2$ et de dimension
$2^{\deg (B)+k}$ pour tout entier $k\geq 1$ \cite[Exam.
5.11]{lagh8}, et que certaines de ces formes bilin\'eaires peuvent
\^etre des voisines de Pfister (voir la proposition \ref{pcomp}).
Pour cette raison, on va se baser sur un argument de descente
inspir\'e de \cite{lr} pour classifier ces formes bilin\'eaires,
puisque la preuve sugg\'er\'ee en caract\'eristique $\neq 2$
\cite[Prop. 4.3 (b)]{kah} ne s'\'etend pas aux formes
bilin\'eaires de dimension paire $>2^{\deg (B)+1}$. \vskip1mm

Le reste de cet article est organis\'e comme suit. Dans la section
\ref{srappels}, on fera quelques rappels sur les formes
bilin\'eaires et quadratiques en caract\'eristique $2$. La section
\ref{sprel} sera consacr\'ee \`a des r\'esultats pr\'eliminaires,
et plus particuli\`erement \`a la g\'en\'eralisation aux formes
bilin\'eaires en caract\'eristique $2$ du r\'esultat d'Elman et
Lam sur la liaison des formes quadratiques de Pfister en
caract\'eristique $\neq 2$. Ceci permettra, entre autres, de
retrouver un autre r\'esultat de liaison d\^u cette fois-ci \`a
Aravire et Baeza (Proposition \ref{pl1}). Apr\`es cela, on donnera
dans la section \ref{ptp} la preuve du th\'eor\`eme \ref{tp}. Dans
la section \ref{fbfd} on \'etudiera le comportement des formes
bilin\'eaires bonnes de hauteur $2$ sur les corps de fonctions de
leurs formes dominantes. Comme on va le voir, nos preuves sont
propres aux formes bilin\'eaires en caract\'eristique $2$, et
utilisent des notions et des r\'esultats dont on n'a pas un
analogue en caract\'eristique $\neq 2$, comme la notion de corps
normique et le r\'esultat d\'ecrivant de mani\`ere compl\`ete le
noyau de Witt du corps de fonctions d'une forme bilin\'eaire
quelconque (Th\'eor\`eme \ref{tnoyau}). On finira cet article par
un appendice donnant la classification en caract\'eristique $2$
des formes quadratiques bonnes de hauteur $2$. Contrairement aux
formes bilin\'eaires, cette classification se fait plus
facilement, et se calque, dans le cas des formes non
singuli\`eres, sur celle donn\'ee en caract\'eristique $\neq 2$.
Nous la donnons dans cet article dans le but d'avoir une vision
compl\`ete sur les formes bilin\'eaires et quadratiques bonnes de
hauteur $2$ en caract\'eristique $2$.

\subsection*{Remerciements.} {\it Cet article a \'et\'e achev\'e durant un s\'ejour
\`a Max-Planck-Institut f\"ur Mathematik pendant la p\'eriode
Mars-Avril 2009. Je suis tr\`es reconnaissant \`a cette
Institution pour son hospitalit\'e.}

\section{Quelques rappels}\label{srappels}

Une forme bilin\'eaire (ou quadratique) $B'$ est dite une
sous-forme d'une autre forme $B$, ce qu'on note $B'\subset B$,
s'il existe une forme bilin\'eaire (ou quadratique) $B''$ tel que
$B\cong B'\perp B''$.

Deux formes quadratiques (ou bilin\'eaires) $B$ et $C$ sont dites
semblables si $B\cong \alpha C$ pour un certain $\alpha \in F^*$.

Pour une forme bilin\'eaire $B$ d'espace sous-jacent $V$, on note
$D_F(B)$ l'ensemble $F^*\cap \{ \widetilde{B}(v)\mid v\in V\}$.

\subsection{D\'ecomposition de Witt raffin\'ee d'une forme bilin\'eaire}

Pour $a\in F$, on note $M_a$ la forme bilin\'eaire donn\'ee par la
matrice $\begin{pmatrix} a& 1
\\ 1&0\end{pmatrix}$, on l'appelle un plan m\'etabolique. Une forme bilin\'eaire $B$ est dite isotrope (\resp m\'etabolique)
si $M_a\subset B$ pour un certain $a\in F$ (\resp si elle est une
somme orthogonale de plans m\'etaboliques). Une forme bilin\'eaire
(ou quadratique) est dite anisotrope si elle n'est pas isotrope.

Pour deux formes bilin\'eaires $B$ et $B'$, on note $B\sim B'$
s'il existe des formes m\'etaboliques $M$ et $M'$ tels que $B\perp
M\cong B'\perp M'$.

La d\'ecomposition de Witt d'une forme bilin\'eaire $B$ est son
\'ecriture sous la forme:$$B\cong B_{\an}\perp M,$$o\`u $B_{\an}$
est une forme bilin\'eaire anisotrope, et $M$ est une forme
m\'etabolique. On sait par \cite{k2, hm} que la forme $B_{\an}$
est unique, on l'appelle la partie anisotrope de $B$. L'indice de
Witt de $B$ est l'entier $\frac{\dim M}{2}$, on le note $i_W(B)$.
La d\'ecomposition ci-dessus peut \^etre raffin\'ee comme
suit:$$B\cong B_{\an}\perp M_{a_1}\perp \cdots \perp M_{a_n}\perp
M_0\perp \cdots \perp M_0,$$avec $a_1, \cdots, a_n\in F^*$ et
$B_{\an}\perp \left<a_1, \cdots, a_n\right>_b$ est anisotrope.
Dans ce cas, l'entier $n$ est unique \cite[Prop. 5.15 ]{lagh8}. On
d\'esigne par $i_h(B)$ l'entier $i_W(B)-n$.

Pour toute forme bilin\'eaire $B$, la forme quadratique
$\widetilde{B}$ se d\'ecompose de mani\`ere unique comme suit:
$\widetilde{B}\cong (\widetilde{B})_{\an}\perp \left<0\right>\perp
\cdots \perp \left<0\right>$, o\`u $(\widetilde{B})_{\an}$ est une
forme quadratique anisotrope, dite la partie anisotrope de
$\widetilde{B}$, et $\left<a\right>$ d\'esigne la forme
quadratique $ax^2$ pour tout $a\in F$. On note
$i_d(\widetilde{B})$ l'entier $\dim B-\dim (\widetilde{B})_{\an}$.


D'apr\`es \cite[Prop. 5.15]{lagh8}, les entiers $i_W(B)$, $i_h(B)$
et $i_d(\widetilde{B})$ sont li\'es par la relation suivante:
\begin{equation}
i_W(B)+i_h(B)=i_d(\widetilde{B}). \label{formind}
\end{equation}

La d\'ecomposition de Witt d'une forme quadratique quelconque est
d\'etaill\'ee dans \cite{hl1}.

\subsection{Formes de Pfister}
Une $n$-forme bilin\'eaire de Pfister ($n\geq 1$) est une forme
isom\'etrique \`a $\left< 1, a_1\right>_b\otimes \cdots \otimes
\left< 1, a_n\right>_b$, on la note $\left<\left<a_1, \cdots,
a_n\right>\right>_b$. On prend $\left< 1\right>_b$ comme \'etant
la $0$-forme bilin\'eaire de Pfister.

Pour toute forme bilin\'eaire de Pfister $B$, il existe une forme
bilin\'eaire $B'$ tel que $B\cong \left<1\right>_b\perp B'$. Cette
forme est unique \cite[Cor. 2.18, page 101]{b}, on l'appelle la
partie pure de $B$.

Une $(n+1)$-forme quadratique de Pfister est une forme
isom\'etrique \`a $B\otimes [1,a]$, o\`u $B\in BP_n(F)$, $[1,a]$
est la forme quadratique $x^2+xy+ay^2$, et $\otimes$ est le
produit des formes bilin\'eaires par des formes quadratiques non
singuli\`eres \cite{b}. On note $P_n(F)$ (\resp $GP_n(F)$)
l'ensemble des formes quadratiques isom\'etriques (\resp
semblables) \`a des $n$-formes quadratiques de Pfister.

Rappelons qu'une forme bilin\'eaire (\resp quadratique) de Pfister
est isotrope si et seulement si elle est m\'etabolique (\resp
hyperbolique) \cite[Prop. 3.3]{lagh6}, \cite[Cor. 3.2, p. 105]{b}.
De plus, une forme quadratique (ou bilin\'eaire) de Pfister $B$
est multiplicative, ce qui signifie que $B\cong \alpha B$ pour
tout $\alpha\in D_F(B)$ \cite[Cor. 2.6, p. 101; Th. 2.4, p.
95]{b}.

Une forme quadratique $\phi$ est dite une voisine de Pfister s'il
existe une forme quadratique de Pfister $\pi$ tel que $2\dim \phi
>\dim \pi$ et $a\phi$ est domin\'ee par $\pi$ pour un certain $a\in F^*$ \cite[Def. 3.4]{hl1}.

\subsection{Le Hauptsatz d'Arason-Pfister}
Soit $IF$ l'id\'eal de $W(F)$ form\'e des formes bilin\'eaires de
dimension paire, et $W_q(F)$ le groupe de Witt des formes
quadratiques non singuli\`eres. Pour tout entier $n\geq 1$, on
note $I^nF$ (\resp $I^nW_q(F)$) la puissance $n$-i\`eme de $IF$
(\resp le sous-groupe $I^{n-1}F\otimes W_q(F)$ de $W_q(F)$). On a
que $I^nF$ et $I^nW_q(F)$ sont engendr\'es additivement par les
$n$-formes de Pfister.

Pour $B\in I^nF$ (ou $B\in I^nW_q(F)$) anisotrope, on a $\dim
B\geq 2^n$, c'est le Hauptsatz d'Arason-Pfister. Si de plus, $\dim
B=2^n$, alors $B$ est semblable \`a une $n$-forme de Pfister
(\cite[Lem. 4.8]{lagh8} pour les formes bilin\'eaires; la
proposition \ref{pfq2} pour les formes quadratiques).

On note $\overline{I^n}F$ le quotient $I^nF/I^{n+1}F$ pour tout
entier $n\geq 0$.


\section{R\'esultats pr\'eliminaires}\label{sprel}

\subsection{Noyaux de Witt}

On rappelle quelques r\'esultats sur les noyaux de Witt qui vont
jouer un r\^ole important:

\begin{theorem}(\cite[Cor. 3.3]{ab1})
Soit $B=\left<\left<a_1, \cdots, a_n\right>\right>_b\in BP_n(F)$
anisotrope. Alors, le noyau de l'homomorphisme naturel
$\overline{I^m}F\longrightarrow \overline{I^m}F(B)$ est trivial
lorsque $n>m$, et il est \'egal \`a
$\{\overline{\psi\otimes\left<\left<x_1, \cdots,
x_n\right>\right>_b} \mid \psi \in I^{m-n}F,\text{ et}\; x_1,
\cdots, x_n\in F^2(a_1, \cdots, a_n)^*\}$ lorsque $n\leq m$.
\label{calnoy}
\end{theorem}

\begin{prop}(\cite[Prop. 4.13]{lagh8}) Soit $n\geq 1$ un entier,
et $B$ une forme bilin\'eaire anisotrope de dimension $>2^n$.
Alors, le noyau de l'homomorphisme naturel
$\overline{I^n}F\longrightarrow \overline{I^{n}}F(B)$ est trivial.
\label{propcal}
\end{prop}

Soit $B$ une forme bilin\'eaire avec $\widetilde{B}$ non nulle. Le
corps normique de $\widetilde{B}$, qu'on note
$N_F(\widetilde{B})$, est le corps $F^2(\alpha\beta\mid \alpha,
\beta \in D_F(B))$. L'entier $[N_F(\widetilde{B}):F^2]$ s'appelle
le degr\'e normique de $\widetilde{B}$, on le note
$\ndeg_F(\widetilde{B})$. On dit que la forme $\widetilde{B}$ est
une quasi-voisine de Pfister s'il existe une forme bilin\'eaire de
Pfister $C$ tel que $2\dim B>\dim C$ et $\widetilde{B}$ est
semblable \`a une sous-forme de $\widetilde{C}$. En utilisant le
degr\'e normique, on a que $\widetilde{B}$ est une quasi-voisine
de Pfister si et seulement si $2\dim B> \ndeg_F(\widetilde{B})$
\cite[Prop. 8.9(ii)]{hl1}. Pour $x_1, \cdots, x_n\in F$ tel que
$N_F(\widetilde{B})=F^2(x_1, \cdots, x_n)$ et
$\ndeg_F(\widetilde{B})=2^n$, on d\'esigne par
$(\widetilde{B})_{qp}$ la forme quadratique $\widetilde{\pi}$,
o\`u $\pi=\left<\left<x_1, \cdots, x_n\right>\right>_b$. Cette
forme quadratique est ind\'ependante du choix des scalaires $x_1,
\cdots, x_n$, et $(\widetilde{B})_{\an}$ est semblable \`a une
sous-forme de $(\widetilde{B})_{qp}$. On renvoie \`a \cite[Section
8]{hl1} pour plus de d\'etails sur le degr\'e normique.


\begin{theorem} (\cite[Th. 1.2]{lagh6}) Soit $B$ une $F$-forme bilin\'eaire
anisotrope. Posons $\ndeg_F(\widetilde{B})=2^n$. Alors, une
$F$-forme bilin\'eaire anisotrope $C$ devient m\'etabolique sur
$F(B)$ si et seulement si il existe des scalaires $\alpha_1,
\cdots, \alpha_k\in F^*$ ($k\geq 1$), et des formes $\pi_1,\cdots,
\pi_k\in BP_n(F)$ tel que $C\cong \alpha_1\pi_1\perp \cdots \perp
\alpha_k\pi_k$, et $(\widetilde{B})_{qp}\cong \widetilde{\pi_i}$
pour tout $1\leq i\leq k$. \label{tnoyau}
\end{theorem}

\subsection{Liaison des formes bilin\'eaires de Pfister}

Une autre notion dont on aura besoin concerne la liaison des
formes bilin\'eaires de Pfister. R\'ecemment, on a montr\'e dans
\cite{lagh9} que si $B$ et $C$ sont semblables \`a des formes
bilin\'eaires de Pfister anisotropes, alors l'indice de Witt de
$B\perp C$ est nul ou une puissance de $2$. Dans cet article, on
compl\`ete ce r\'esultat en \'etendant aux formes bilin\'eaires de
Pfister le r\'esultat d'Elman et Lam sur la liaison des formes
quadratiques de Pfister en caract\'eristique $\neq 2$. Ceci a
\'et\'e entam\'e par Arason et Baeza dans \cite{ab2}, o\`u ils ont
\'etendu aux formes bilin\'eaires en caract\'eristique $2$ la
notion de ``$p$-\'equivalence par cha\^\i ne'' (chain
$p$-equivalence) qui est essentielle pour la notion de liaison des
formes de Pfister. On renvoie \`a \cite[App. A]{ab2} pour plus de
d\'etails. Un des r\'esultats prouv\'e dans \cite[App. A]{ab2},
qui nous int\'eresse dans cet article, est la proposition
suivante:

\begin{prop} (\cite[Lem. A.6]{ab2}) Soient $B \in BP_n(F)$
et $C=\left<1\right>_b\perp C'\in BP_m(F)$. Soit $c_1\in
D_F(B\otimes C')$. Alors, il existe $c_2, \cdots, c_m\in F^*$ tel
que $B\otimes C\cong B\otimes \left<\left<c_1, c_2, \cdots,
c_m\right>\right>$. \label{prep}
\end{prop}

Deux formes bilin\'eaires $B_1\in BP_k(F)$ et $B_2\in BP_l(F)$
sont dites $r$-li\'ees ($r\leq \min\{k,l\}$) s'il existe des
formes $\rho\in BP_r(F)$, $C_1\in BP_{k-r}(F)$ et $C_2\in
BP_{l-r}(F)$ tel que $B_1\cong \rho \otimes C_1$ et $B_2\cong \rho
\otimes C_2$. Si $B$ et $C$ sont $r$-li\'ees mais pas
$(r+1)$-li\'ees, on dit que $r$ est l'indice de liaison entre $B$
et $C$, on le note $i(B,C)$.

La m\^eme m\'ethode utilis\'ee pour la preuve de \cite[Prop.
4.4]{el} s'\'etend au cas des formes bilin\'eaires en
caract\'eristique $2$:

\begin{prop} Soient $B\in BP_l(F)$ et $C\in BP_m(F)$ anisotropes.
Alors:\\(1) Les formes $B$ et $C$ sont $k$-li\'ees si et seulement
si $i_W(B\perp C)\geq 2^k$.\\(2) On a $k=i(B,C)$ si et seulement
si $i_W(B\perp C)=2^k$. \label{pl}
\end{prop}

\prf (1) (i) Supposons que $B$ et $C$ soient $k$-li\'ees. Soient
$\rho\in BP_k(F)$, $\gamma=\left<1\right>_b\perp \gamma'\in
BP_{l-k}(F)$ et $\lambda=\left<1\right>_b\perp \lambda'\in
BP_{m-k}(F)$ tel que $B\cong \rho\otimes \gamma$ et $C\cong
\rho\otimes \lambda$. Ainsi, $B\perp C\cong (\rho\perp \rho)\perp
\rho\otimes(\gamma'\perp \lambda')$, et par cons\'equent
$i_W(B\perp C)\geq \dim \rho=2^k$.

(ii) R\'eciproquement, supposons que $i_W(B\perp C)\geq 2^k$.
Montrons que $B$ et $C$ sont $k$-li\'ees. On proc\`ede par
induction sur $k$. Il n'y a rien \`a montrer si $k=0$. Supposons
que $k>0$, et que $B$ et $C$ soient $(k-1)$-li\'ees. Soient
$\theta\in BP_{k-1}(F)$, $B_1=\left<1\right>_b\perp B'_1\in
BP_{l-k+1}(F)$ et $C_1=\left<1\right>_b\perp C'_1\in
BP_{m-k+1}(F)$ tel que $B\cong \theta\otimes B_1$ et $C\cong
\theta\otimes C_1$. Puisque $i_W(B\perp C)\geq 2^k$ et $B\perp
C\cong (\theta \perp \theta)\perp \theta\otimes (B'_1\perp C'_1)$,
on d\'eduit que $i_W(\theta\otimes (B'_1\perp C'_1))\geq 1$.
Puisque $\theta\otimes B'_1$ et $\theta\otimes C'_1$ sont
anisotropes, il existe $c\in D_F(\theta\otimes B'_1)\cap
D_F(\theta\otimes C'_1)$. Par la proposition \ref{pl}, il existe
$B_2\in BP_{l-k}(F)$ et $C_2\in BP_{m-k}(F)$ tel que $B\cong
\theta\otimes\left<1, c\right>_b\otimes B_2$ et $C\cong
\theta\otimes\left<1, c\right>_b\otimes C_2$, ce qui montre que
$B$ et $C$ sont $k$-li\'ees.

(2) On reprend le m\^eme argument que dans (ii).\qed

Maintenant, on est en mesure de prouver le th\'eor\`eme suivant
qui \'etend \cite[Th. 4.4]{el} aux formes bilin\'eaires en
caract\'eristique $2$:

\begin{theorem} Soient $x,y\in F^*$ et $B$, $C$ des formes bilin\'eaires de
Pfister anisotropes. Si $xB\perp yC$ est isotrope, alors
$i_W(xB\perp yC)=2^k$ o\`u $k=i(B, C)$. \label{tl}
\end{theorem}

\prf Puisque $xB\perp yC$ est isotrope, et que $B$ et $C$ sont
anisotropes, il existe $z\in D_F(xB)\cap D_F(yC)$. Par la
multiplicativit\'e d'une forme bilin\'eaire de Pfister, on obtient
$xB\perp yC\cong z(B\perp C)$. Ainsi, $i_W(xB \perp yC)=i_W(B\perp
C)$. La proposition \ref{pl}(2) implique que $i_W(xB \perp
yC)=2^k$ o\`u $k=i(B,C)$.\qed

Comme cons\'equence du th\'eor\`eme \ref{tl}, on retrouve un autre
r\'esultat de liaison d\^u \`a Aravire et Baeza:

\begin{prop} (\cite[Cor. 2.3]{ab1}) Soit $L=F^2(x_1, \cdots,
x_n)$ tel que $[L:F^2]=2^n$. Soient $B, C\in BP_n(L)$ qu'on
suppose anisotropes sur $F$. Alors, il existe $D\in BP_n(L)$ tel
que $B\perp C \equiv D \pmod{I^{n+1}F}$. \label{pl1}
\end{prop}

On donne un lemme pr\'eliminaire:

\begin{lemma} Soient $L=F^2(x_1, \cdots, x_n)$ et $\rho=\left<\left<x_1, \cdots,
x_n\right>\right>_b$. On suppose que $[L:F^2]=2^n$. Soit $B \in
BP_n(L)$ qu'on suppose anisotrope sur $F$. Alors, les $F$-formes
quadratiques $\widetilde{B}$ et $\widetilde{\rho}$ sont
isom\'etriques. \label{lpli}
\end{lemma}

\prf On a par hypoth\`ese $L=N_F(\widetilde{\rho})$ et
$\ndeg_F(\widetilde{\rho})=2^n$. En particulier, $\rho$ est
anisotrope. L'anisotropie de $B$ sur $F$ implique que
$\ndeg_F(\widetilde{B})=2^n$. Comme $N_F(\widetilde{B})\subset
N_F(\widetilde{\rho})$, on obtient que
$N_F(\widetilde{B})=N_F(\widetilde{\rho})$. Par \cite[Prop.
8.5]{hl1}, les $F$-formes quadratiques $\widetilde{B}$ et
$\widetilde{\rho}$ sont isom\'etriques.\qed

\noindent{\bf Preuve de la proposition \ref{pl1}.} Soit
$L=F^2(x_1, \cdots, x_n)$ tel que $[L:F^2]=2^n$. Soient $B, C\in
BP_n(L)$ qu'on suppose anisotropes sur $F$. Montrons qu'il existe
$D\in BP_n(L)$ tel que $B\perp C \equiv D \pmod{I^{n+1}F}$.

Soit $\rho=\left<\left<x_1, \cdots, x_n\right>\right>_b$. Par le
lemme \ref{lpli}, les $F$-formes quadratiques $\widetilde{B}$,
$\widetilde{C}$ et $\widetilde{\rho}$ sont isom\'etriques. Ainsi,
$i_d(\widetilde{B}\perp \widetilde{C})=2^n$. Par (\ref{formind}),
on sait que $$i_W(B\perp C)+i_h(B\perp C)=i_d(\widetilde{B}\perp
\widetilde{C}).$$Ainsi, $i_d(\widetilde{B}\perp \widetilde{C})\leq
2i_W(B\perp C)$. Comme $i_W(B\perp C)$ est une puissance de $2$
(Th\'eor\`eme \ref{tl}), on a n\'ecessairement $i_W(B\perp C)\in
\{2^{n-1}, 2^n\}$.

-- Si $i_W(B\perp C)=2^n$, alors $B\cong C$, et la proposition est
vraie en prenant pour $D$ une forme bilin\'eaire de Pfister
m\'etabolique.

-- Si $i_W(B\perp C)=2^{n-1}$, alors la proposition \ref{pl}
implique l'existence d'une forme $\theta\in BP_{n-1}(F)$ et des
scalaires $x,y\in F^*$ tel que $B\cong \theta\otimes \left<1,
x\right>_b$ et $C\cong \theta\otimes \left<1, y\right>_b$. Ainsi,
$B\perp C\sim \theta\otimes \left<x, y\right>_b$. Par
cons\'equent, $B\perp C\equiv D \pmod{I^{n+1}F}$ avec
$D=\theta\otimes \left<1, xy\right>_b$. Comme les scalaires $x, y$
ainsi que ceux apparaissant dans la diagonalisation de $\theta$
appartiennent aux ensembles $D_F(B)$ et $D_F(C)$, qui sont des
sous-ensembles de $L$, on obtient que $D\in BP_n(L)$.\qed

On finit cette section par un lemme qui sera utilis\'e dans les
preuves du th\'eor\`eme \ref{tp} et de la proposition \ref{pcomp}:

\begin{lemma} (\cite[Lem. 4.1]{lr}) Soit $B$ une $F$-forme bilin\'eaire
anisotrope de hauteur $2$ et de degr\'e $>0$. Soit $\tau$ sa forme
dominante. Si $B_{F(\tau)}$ est isotrope, alors $B_{F(\tau)}$ est
m\'etabolique. \label{lfb}
\end{lemma}

\section{Preuve du th\'eor\`eme \ref{tp}}\label{ptp} Soient $B$ une forme bilin\'eaire
anisotrope, et $\tau =\left<1\right>_b\perp \tau'\in BP_d(F)$
anisotrope. Comme mentionn\'e dans l'introduction, le th\'eor\`eme
a \'et\'e prouv\'e dans \cite{lagh8} lorsque $\dim B$ n'est pas
une puissance de $2$, ou $\dim B=2^{\deg(B)+1}$. Pour la suite, on
suppose $\dim B=2^n$ avec $n\geq \deg(B)+2$.

(i) Supposons que $B$ soit bonne de hauteur $2$ et de forme
dominante $\tau$. Donc, $d=\deg(B)$. Soit $\alpha \in F(B)^*$ tel
que $B_{F(B)}\cong \alpha (\tau_{F(B)})$. D'apr\`es \cite[Prop.
5.3]{lagh8}, on a $B\perp \tau \in I^{d+1}F$. Puisque $B\perp
\tau$ est m\'etabolique sur $F(B)(\tau)$, on a que $B\perp \tau
+I^{d+2}F$ appartient au noyau de
$\overline{I^{d+1}}F\longrightarrow \overline{I^{d+1}}F(B)(\tau)$.

$\bullet$ Si $B_{F(\tau)}$ est anisotrope, alors la proposition
\ref{calnoy} implique que $B\perp \tau +I^{d+2}F$ appartient au
noyau de $\overline{I^{d+1}}F\longrightarrow
\overline{I^{d+1}}F(\tau)$ du fait que $\dim B>2^{d+1}$.

$\bullet$ Si $B_{F(\tau)}$ est isotrope, alors le lemme \ref{lfb}
implique que $B_{F(\tau)}$ est m\'etabolique. En particulier,
$B\perp \tau +I^{d+2}F$ appartient au noyau de
$\overline{I^{d+1}}F\longrightarrow \overline{I^{d+1}}F(\tau)$.

Dans les deux cas, on d\'eduit par le th\'eor\`eme \ref{calnoy}
que $B\perp \tau \perp \mu\otimes\gamma \in I^{d+2}F$ pour $\mu\in
IF$ et $\gamma=\left<1\right>\perp \gamma'\in BP_d(F)$
convenables. Puisque $\mu \perp \left<1, r\right>_b\in I^2F$ avec
$r=\det \mu$, on d\'eduit qu'on a\begin{equation} B\perp \tau
\perp \left<1, r\right>_b\otimes\gamma \in I^{d+2}F. \label{eqp1}
\end{equation}Puisque $\tau \perp \left<1, r\right>_b\otimes\gamma$ est
isotrope, on \'etend (\ref{eqp1}) au corps $F(B)$ et on applique
le Hauptsatz d'Arason-Pfister pour avoir
\begin{equation}
\alpha(\tau_{F(B)})\sim (\tau \perp \left<1,
r\right>_b\otimes\gamma)_{F(B)}\sim (\tau' \perp
\left<r\right>_b\perp \left<1, r\right>_b\otimes\gamma')_{F(B)}.
\label{e1}
\end{equation}Il est clair que (\ref{e1}) implique$$i_W(\tau' \perp
\left<r\right>_b\perp \left<1,
r\right>_b\otimes\gamma')_{F(B)}=2^{d}-1.$$Ainsi, toute sous-forme
de $\tau' \perp \left<r\right>_b\perp \left<1,
r\right>_b\otimes\gamma'$ de dimension $\geq 2^{d+1}$ est isotrope
sur $F(B)$. Comme $\dim B\geq 2^{d+2}$, on d\'eduit de \cite{hl2}
que toute sous-forme de $\tau' \perp \left<r\right>_b\perp
\left<1, r\right>_b\otimes\gamma'$ de dimension $2^{d+1}$ est
isotrope. Par cons\'equent, $\dim (\tau' \perp
\left<r\right>_b\perp \left<1,
r\right>_b\otimes\gamma')_{\an}<2^{d+1}$. De nouveau, par
\cite{hl2} et (\ref{e1}), on d\'eduit que $\dim (\tau' \perp
\left<r\right>_b\perp \left<1,
r\right>_b\otimes\gamma')_{\an}=2^d$, i.e., $\alpha(\tau_{F(B)})$
est d\'efinissable sur $F$. Ainsi, sans perdre de
g\'en\'eralit\'es, on peut supposer que $\alpha \in F^*$. Par
cons\'equent, $(B\perp \alpha \tau)_{F(B)}$ est m\'etabolique. La
forme $B\perp \alpha \tau$ ne peut \^etre m\'etabolique car $B$
est anisotrope. Puisque $\dim (B\perp \alpha \tau)_{\an}<2^{n+1}$
et $\ndeg_F(\widetilde{B})\geq \dim B=2^n$, on d\'eduit par le
th\'eor\`eme \ref{tnoyau} que, d'une part
$\ndeg_F(\widetilde{B})=2^n$ et donc $(\widetilde{B})_{qp}$ est
semblable \`a $\widetilde{B}$, et d'autre part il existe $\pi \in
BP_n(F)$ tel que $(\widetilde{B})_{qp}\cong \widetilde{\pi}$ et
$B\sim \alpha \tau \perp \beta\pi$ pour un certain $\beta\in F^*$.
Par cons\'equent, $i_W(\alpha\tau \perp \beta\pi)=2^{d-1}$. Par le
th\'eor\`eme \ref{tl}, il existe $x, y\in F^*$, $\theta \in
BP_{d-1}(F)$ et $\lambda=\left<1\right>\perp \lambda' \in
BP_{n-d+1}(F)$ tel que $\pi\cong \theta\otimes\lambda$, $\tau\cong
\theta\otimes\left<1, y\right>_b$ et $B\cong
x\theta\otimes(\lambda'\perp \left<y\right>_b)$.

(ii) R\'eciproquement, supposons qu'il existe $x, y\in F^*$,
$\theta \in BP_{d-1}(F)$ et $\lambda=\left<1\right>_b\perp
\lambda' \in BP_{n-d+1}(F)$ tel que $B\cong
x\theta\otimes(\lambda'\perp \left<y\right>_b)$, $\tau\cong
\theta\otimes\left<1, y\right>_b$, et que $\widetilde{B}$ soit
semblable \`a $\widetilde{\theta\otimes\lambda}$. Puisque
$(\theta\otimes\lambda)_{F(B)}$ est m\'etabolique, on a
$B_{F(B)}\sim x\tau_{F(B)}$. Puisque $\dim B>2^d$, on d\'eduit par
\cite{hl2} et l'unicit\'e de la partie anisotrope que
$(B_{F(B)})_{\an}\cong x\tau_{F(B)}$. Ainsi, $B$ est bonne de
hauteur $2$ et de forme dominante $\tau$. \qed

\section{Formes bilin\'eaires bonnes de hauteur $2$ et leurs
formes dominantes}\label{fbfd}

Cette section concerne le comportement des formes bilin\'eaires
bonnes de hauteur $2$ sur les corps de fonctions de leurs formes
dominantes. Afin de d\'etailler cette question, on rappelle la
notion de forme bilin\'eaire voisine de Pfister:

\begin{defn} (\cite[Def. 5.1]{lagh6}) Une forme bilin\'eaire $B$ est dite une voisine d'une forme
bilin\'eaire de Pfister $\rho$ si $2\dim B>\dim \rho$ et s'il
existe une forme bilin\'eaire $C$ tel que $\widetilde{B}\cong
\widetilde{C}$ et $C$ est semblable \`a une sous-forme de $\rho$.
\label{dfv}
\end{defn}

Comme dans la d\'efinition \ref{dfv}, la forme de Pfister $\rho$
n'est pas unique \`a isom\'etrie pr\`es, et la forme $B$ v\'erifie
vis-\`a-vis de $\rho$ les propri\'et\'es classiques que
v\'erifient les formes quadratiques voisines \cite[Prop. 5.2,
5.3]{lagh6}. Dans cet article, on va se servir de la
caract\'erisation suivante des formes bilin\'eaires voisines de
Pfister:

\begin{prop}(\cite[Prop. 3.8]{lagh8}) Une forme bilin\'eaire $B$ anisotrope est une
voisine d'une forme bilin\'eaire de Pfister si et seulement si
$\widetilde{B}$ est une quasi-voisine de Pfister.
\label{eqfbv}
\end{prop}

Les formes bilin\'eaires bonnes sont caract\'eris\'ees comme suit.
D'apr\`es \cite[Prop. 5.3]{lagh8}, on sait qu'une forme
bilin\'eaire $B$, de hauteur quelconque, est bonne de degr\'e
$d>0$ si et seulement si il existe $\tau \in BP_d(F)$ tel que
$\deg (B\perp \tau) \geq d+1$. Dans ce cas, $\tau_{F_{h-1}}$ est
la forme dominante de $B$, o\`u $(F_i, B_i)_{0\leq i\leq h}$ est
la tour de d\'eploiement standard de $B$ avec $h=\h(B)$. Si $B$
est de degr\'e $0$, alors $B$ est bonne si et seulement si $B\perp
\left<\det B\right>_b$ est bonne, dans ce cas les formes $B$ et
$B\perp \left<\det B\right>_b$ poss\`edent la m\^eme forme
dominante. Les m\^emes r\'esultats sont vrais en caract\'eristique
$\neq 2$ pour les formes quadratiques bonnes.

Aussi, en caract\'eristique $\neq 2$, une forme quadratique
anisotrope $\phi$ qui est bonne mais non voisine, de hauteur $2$
et de degr\'e $d>0$ satisfait \`a la condition que $\phi_K$ est
semblable \`a une $(d+1)$-forme de Pfister anisotrope, o\`u $K$
est le corps de fonctions de sa forme dominante \cite[Lem.
10.1]{k}, \cite{h2}. Pour \'etablir l'analogue de ce r\'esultat en
caract\'eristique $2$ pour les formes bilin\'eaires bonnes de
hauteur $2$, on va se baser sur la notion de degr\'e normique
introduite dans \cite[Section 8]{hl1}. Cette notion permet,
gr\^ace \`a la proposition \ref{eqfbv}, de savoir si une forme
bilin\'eaire anisotrope est une voisine de Pfister. On va
distinguer entre les formes bonnes de degr\'e nul et celles de
degr\'e non nul.

\subsection{Cas des formes bilin\'eaires bonnes de hauteur
$2$ et de degr\'e $>0$} Dans la proposition qui suit, on donne des
conditions n\'ecessaires et suffisantes pour qu'une forme
bilin\'eaire anisotrope bonne, de hauteur $2$ et de degr\'e non
nul, reste anisotrope sur le corps de fonctions de sa forme
dominante:

\begin{prop} Soit $B$ une forme bilin\'eaire anisotrope de
dimension paire (i.e., $\deg (B) >0$). On suppose que $B$ est
bonne de hauteur $2$ et de forme dominante $\tau \in BP_d(F)$.
Alors, on a les affirmations suivantes:\\(1) $B_{F(\tau)}$ est
isotrope si et seulement si $B_{F(\tau)}$ est m\'etabolique.\\(2)
La forme $B_{F(\tau)}$ est isotrope dans les cas suivants:
\begin{itemize}
\item[(i)] $\dim B$ n'est pas une puissance de $2$.\item[(ii)] $\dim
B=2^n$ avec $n\geq d+2$.\item[(iii)] $\dim B=2^{d+1}$ avec
$\ndeg_F(\widetilde{B})=2^{d+1}$.\end{itemize}($\ndeg_F(\widetilde{B})$
d\'esigne le degr\'e normique de $\widetilde{B}$, voir le
paragraphe suivant la proposition \ref{propcal}.)\\Dans les trois
cas (i)-(iii), la forme $B$ est une voisine de Pfister.\\(3) Si
$\dim B=2^{d+1}$ et $\ndeg_F(\widetilde{B})>2^{d+1}$, alors
$B_{F(\tau)}\in GBP_{d+1}(F)$ et anisotrope, et $B$ n'est pas une
voisine de Pfister. \label{pcomp}
\end{prop}

\prf (1) C'est le lemme \ref{lfb}.

Pour la suite, on va regrouper les preuves des assertions (2) et
(3).

(2)-(3) Il est bien clair, par le th\'eor\`eme \ref{tp}, que si
$\dim B$ n'est pas une puissance de $2$, alors $B_{F(\tau)}$ est
isotrope et $B$ est une voisine de Pfister. Pour le reste de la
preuve, on supposera que $\dim B=2^n$ avec $n\geq d+1$.

Par le th\'eor\`eme \ref{tp}, il existe $x,y\in F^*$, $\theta\in
BP_{d-1}(F)$ et $\lambda=\left<1\right>_b \perp \lambda'\in
BP_{n-d+1}(F)$ tel que $B\cong x\theta\otimes(\lambda'\perp
\left<y\right>_b)$ et $\tau\cong \theta\otimes \left<1,
y\right>_b$, avec la condition que $\widetilde{B}$ est semblable
\`a $\widetilde{\theta\otimes\lambda}$ lorsque $n\geq d+2$.
Puisque $\theta_{F(\tau)}$ est anisotrope, et que $\tau_{F(\tau)}$
est m\'etabolique, on d\'eduit que $\theta_{F(\tau)}\cong y
\theta_{F(\tau)}$. Par cons\'equent,
\begin{equation}
B_{F(\tau)}\cong x(\theta\otimes\lambda)_{F(\tau)}. \label{eq1p}
\end{equation}La condition $B\cong x\theta\otimes(\lambda'\perp
\left<y\right>_b)$ implique que
$N_F(\widetilde{B})=N_F(\widetilde{\theta\otimes\lambda})(y)$.

La forme $\theta\otimes\lambda'$ est anisotrope puisqu'elle est
semblable \`a une sous-forme de $B$. Ainsi, $\theta\otimes\lambda$
est aussi anisotrope. Par cons\'equent,
$\ndeg_F(\widetilde{\theta\otimes\lambda})=2^{n}$. On distingue
deux cas:

{(A) Supposons que ($n\geq d+2$) ou ($n=d+1$ et
$\ndeg_F(\widetilde{B})=2^{d+1}$).}

Puisque $\widetilde{B}$ est semblable \`a
$\widetilde{\theta\otimes\lambda}$ lorsque $n\geq d+2$, et que par
hypoth\`ese $\ndeg_F(\widetilde{B})=2^n$ lorsque $n=d+1$, on
obtient que $[N_F(\widetilde{B}):F^2]=2^n$. Ainsi, $2\dim
B>\ndeg_F(\widetilde{B})$, et par cons\'equent $\widetilde{B}$ est
une quasi-voisine de Pfister. Par la proposition \ref{eqfbv}, $B$
est une voisine de Pfister.
Puisque$$\ndeg_F(\widetilde{\theta\otimes\lambda})=2^{n}=\ndeg_F(\widetilde{B}),$$
$$N_F(\widetilde{B})=N_F(\widetilde{\theta\otimes\lambda})(y),$$on
a $y\in N_F(\widetilde{\theta\otimes\lambda})$. Ainsi,
$N_F(\widetilde{\tau})\subset
N_F(\widetilde{\theta\otimes\lambda})$ puisque $\tau\cong
\theta\otimes \left<1, y\right>_b$. Par cons\'equent,
$(\widetilde{\theta\otimes\lambda})_{F(\tau)}$ est isotrope
\cite[Prop. 8.13]{hl1}. Ainsi, par (\ref{eq1p}), $B_{F(\tau)}$ est
isotrope.


{(B) Supposons que $n=d+1$ et $\ndeg_F(\widetilde{B})>2^{d+1}$.}

Alors, $y\not\in N_F(\widetilde{\theta\otimes\lambda})$ car sinon
on aurait $\ndeg_F(\widetilde{B})=2^n$. Par cons\'equent,
$N_F(\widetilde{\tau})\not\subset
N_F(\widetilde{\theta\otimes\lambda})$, et donc
$(\widetilde{\theta\otimes\lambda})_{F(\tau)}$ est anisotrope.
Ainsi, par (\ref{eq1p}), $B_{F(\tau)}\in GBP_{d+1}(F(\tau))$ et
anisotrope. De plus, $\widetilde{B}$ n'est pas une quasi-voisine
puisqu'on ne peut pas avoir $2\dim
B=2^{n+1}>\ndeg_F(\widetilde{B})>2^n$. Par cons\'equent, $B$ n'est
pas une voisine de Pfister.

Ceci ach\`eve la preuve des assertions (2) et (3).\qed

La r\'eciproque de l'assertion (3) de la proposition \ref{pcomp}
est donn\'ee par l'assertion (3) de la proposition suivante:

\begin{prop}
Soient $d\geq 1$ un entier, $B$ une forme bilin\'eaire anisotrope
de dimension $2^{d+1}$, et $C$ une forme bilin\'eaire anisotrope.
On suppose que $B_{F(C)}\in BP_{d+1}(F(C))$ et anisotrope. On a
les affirmations suivantes:\\(1) Si $\dim C>2^{d+2}$, alors $B \in
BP_{d+1}(F)$.\\(2) Si $\dim C>2^{d}$, alors $B \in
GBP_{d+1}(F)$.\\(3) Si $\dim C=2^{d}$ et $B$ n'est pas une voisine
de Pfister (ou plus faiblement, $B$ n'est pas semblable \`a une
forme de Pfister), alors $B$ est bonne de hauteur $2$, de degr\'e
$d$ dont la forme dominante $\tau$ satisfait \`a la condition que
$\widetilde{\tau}$ est semblable \`a $\widetilde{C}$. Dans ce cas,
on a $\ndeg_F(\widetilde{B})>2^{d+1}$. \label{ph2}
\end{prop}

\prf (1)-(2) Supposons que $\dim C>2^{d}$. On va montrer que $B\in
GBP_{d+1}(F)$, et que $B\in BP_{d+1}(F)$ si $\dim C>2^{d+2}$.

En partant du fait que $B_{F(C)}\in BP_{d+1}(F(C))\subset
I^{d+1}F(C)$, et en appliquant successivement la proposition
\ref{propcal}, on obtient que $B\in I^{d+1}F$. Ainsi, $B\cong
x\pi$ pour $x\in F^*$ et $\pi\in BP_{d+1}(F)$ convenables, d'o\`u
l'assertion (2). Par la multiplicativit\'e d'une forme de Pfister,
on a $B_{F(C)}\cong (x\pi)_{F(C)}\cong \pi_{F(C)}$. Ainsi, $(\pi
\perp x\pi)_{F(C)}$ est m\'etabolique. Si $\dim C>2^{d+2}$, alors
$\pi\perp x\pi$ est m\'etabolique, i.e., $B\cong \pi \in
BP_{d+1}(F)$, d'o\`u l'assertion (1).

(3) Supposons que $\dim C=2^{d}$, et que $B$ ne soit pas une
voisine de Pfister (ou plus faiblement, $B$ ne soit pas semblable
\`a une forme Pfister). On va montrer que $B$ est bonne de hauteur
$2$, de degr\'e $d$ et de forme dominante $\tau\in BP_d(F)$ qui
satisfait \`a la condition que $\widetilde{\tau}$ est semblable
\`a $\widetilde{C}$, et $\ndeg_F(\widetilde{B})>2^{d+1}$.

Posons $\ndeg_F(\widetilde{C})=2^k$. On se base sur le fait que
$B_{F(C)}\in I^{d+1}F(C)$, et on applique successivement la
proposition \ref{propcal} pour avoir $B\in I^{d}F$. On ne peut pas
avoir $B\in I^{d+1}F$ car sinon $B$ serait semblable \`a une forme
de Pfister, en particulier $B$ serait une voisine de Pfister. Par
\cite[Th. 4.5]{lagh8}, on a que $\deg (B)=d$. Comme $B_{F(C)}\in
BP_{d+1}(F(C))$, la forme $B_{F(C)(B)}$ est m\'etabolique. Puisque
$B$ n'est pas semblable \`a une forme de Pfister, la forme
$B_{F(B)}$ n'est pas m\'etabolique. Par le th\'eor\`eme
\ref{tnoyau}, on a que $(B_{F(B)})_{\an}\cong \alpha_1\pi_1\perp
\cdots \perp \alpha_r\pi_r$ pour certains $\alpha_1, \cdots,
\alpha_r\in F^*$ ($r\geq 1$), et $\pi_1, \cdots, \pi_r\in BP_k(F)$
v\'erifiant $\widetilde{\pi_i}\cong (\widetilde{C})_{qp}$. En
particulier, $r\cdot 2^k<\dim B=2^{d+1}$. Comme $2^k\geq \dim
C=2^{d}$ et $r\geq 1$, on d\'eduit que $k=d$ et $r=1$. Ainsi,
$(B_{F(B)})_{\an}$ est semblable \`a une $d$-forme de Pfister,
i.e., $B$ est de hauteur $2$. De plus, les conditions $\dim
C=2^{d}$ et $\ndeg_F(\widetilde{C})=2^{d}$ impliquent que
$\widetilde{C}$ est semblable \`a $(\widetilde{C})_{qp}$, i.e., il
existe $\pi=\left<\left<x_1, \cdots, x_{d}\right>\right>_b\in
BP_d(F)$ tel que $\widetilde{\pi}$ est semblable \`a
$\widetilde{C}$. En particulier, $F(C)=F(\pi)$. Puisque
$B_{F(C)}\in I^{d+1}F(C)$, on a que $B+I^{d+1}F$ appartient au
noyau de l'homomorphisme $\overline{I^{d}}F\longrightarrow
\overline{I^{d}}F(C)$. Par le th\'eor\`eme \ref{calnoy}, il existe
$\tau=\left<\left<y_1, \cdots, y_{d}\right>\right>_b\in BP_d(F)$
tel que $y_1, \cdots, y_{d}\in F^2(x_1, \cdots, x_{d})^*$ et
$B\perp \tau \in I^{d+1}F$. Par le lemme \ref{lpli}, on a que
$\widetilde{\tau}\cong \widetilde{\pi}$, et donc
$\widetilde{\tau}$ est semblable \`a $\widetilde{C}$. De plus, par
\cite[Prop. 5.3 (2)]{lagh8}, $B$ est bonne de forme dominante
$\tau$. Finalement, le fait que $B$ ne soit pas une voisine de
Pfister implique que $\ndeg_F(\widetilde{B})>2^{d+1}$.\qed

La proposition \ref{ph2} \'etend aux formes bilin\'eaires en
caract\'eristique $2$ un r\'esultat de Kahn \cite[Prop. 4.2]{kah}.
En combinant le th\'eor\`eme \ref{tp} et la proposition \ref{ph2},
on obtient le corollaire suivant qui montre que le corps de
fonctions d'une forme bilin\'eaire anisotrope de dimension $2^n$
(en particulier, celui d'une forme de $BP_n(F)$) satisfait \`a la
descente pour les formes de $BP_{n+1}(F)$:

\begin{cor}
Soient $n\geq 1$ un entier, $C$ une forme bilin\'eaire anisotrope
de dimension $2^n$, et $B$ une forme bilin\'eaire anisotrope de
dimension $2^{n+1}$. Si $B_{F(C)}\in BP_{n+1}(F(C))$ et
anisotrope, alors il existe $\rho \in BP_{n+1}(F)$ tel que
$B_{F(C)}\cong \rho_{F(C)}$. \label{c1}
\end{cor}

\prf Il n'y a rien \`a montrer si $B$ est semblable \`a une forme
bilin\'eaire de Pfister. Supposons que $B$ ne soit pas semblable
\`a une forme bilin\'eaire de Pfister. Par la proposition
\ref{ph2}, la forme $B$ est bonne de hauteur $2$, de degr\'e $n$
dont la forme dominante $\tau$ satisfait \`a la condition que
$\widetilde{\tau}$ est semblable \`a $\widetilde{C}$. Par le
th\'eor\`eme \ref{tp}, il existe $\theta\in BP_{n-1}(F)$,
$D=\left<1\right>_b\perp D'\in BP_2(F)$ et $\alpha, \beta\in F^*$
tel que $B\cong \beta\theta\otimes (D'\perp
\left<\alpha\right>_b)$ et $\tau\cong
\theta\otimes\left<1,\alpha\right>_b$. Soit $\rho=\theta\otimes
D\in BP_{n+1}(F)$. Puisque $\tau_{F(\tau)}$ est m\'etabolique et
$\theta_{F(\tau)}$ est anisotrope, on d\'eduit par l'unicit\'e de
la partie anisotrope que $\theta_{F(\tau)}\cong
(\alpha\theta)_{F(\tau)}$. Ainsi, $B_{F(\tau)}\cong
(\beta\rho)_{F(\tau)}$. Par la multiplicativit\'e d'une forme de
Pfister, on a $B_{F(\tau)}\cong \rho_{F(\tau)}$. D'o\`u, la
conclusion d\'esir\'ee puisque $F(\tau)=F(C)$.\qed


L'analogue du corollaire \ref{c1} pour les formes quadratiques en
caract\'eristique $\neq 2$ est d\^u \`a Rost pour $n=3$ \cite[Th.
4.3]{kah}, et \`a Kahn pour $n$ quelconque \cite[Prop. 4.3
(b)]{kah}.\vskip1mm

\subsection{Cas des formes bilin\'eaires bonnes de hauteur $2$
et de degr\'e $0$} L'isotropie d'une telle forme sur le corps de
fonctions de sa forme dominante se ram\`ene \`a la proposition
\ref{pcomp} comme indiqu\'e dans l'assertion (2) de la proposition
qui suit.

\begin{prop} Soit $B$ une forme bilin\'eaire anisotrope de dimension impaire (i.e., $\deg (B)=0$).
On suppose que $B$ est bonne de hauteur $2$ et de forme dominante
$\tau \in BP_d(F)$. Alors, $\dim B\geq 2^d+1$, et on a les
affirmations suivantes:\\(1) Si $\dim B=2^d+1$, alors
$B_{F(\tau)}$ est isotrope.\\(2) Si $\dim B>2^d+1$, alors $B\perp
\left<\det B\right>_b$ est bonne de hauteur $2$ et de forme
dominante $\tau$, et on a que $B_{F(\tau)}$ est isotrope si et
seulement si $(B\perp \left<\det B\right>_b)_{\an}$ est isotrope
sur $F(\tau)$. \label{pcomp1}
\end{prop}

\prf Par \cite[Prop. 5.3]{lagh8}, la forme $B\perp \left<\det
B\right>_b$ est aussi bonne de forme dominante $\tau$. Par
\cite[Prop. 5.9]{lagh8}, on obtient que
\begin{equation}
B\sim C \perp x\rho, \label{eqfb1}
\end{equation}o\`u $x\in F^*$, $\rho$ est une forme bilin\'eaire de Pfister dont
$B$ est voisine, et $C$ est semblable \`a la partie pure d'une
forme de $BP_d(F)$. Puisque $\dim \rho\geq \dim B>2^d$, on
d\'eduit$$(B\perp \left<\det B\right>_b)\perp (C\perp \left<\det
B\right>_b)\in I^{d+1}F.$$Par \cite[Prop. 5.3(2)]{lagh8}, $\tau
\cong y(C\perp \left<\det B\right>_b)$ pour un certain $y\in F^*$.
En particulier, $(C\perp \left<\det B\right>_b)_{F(\tau)}$ est
m\'etabolique.

(1) Supposons que $\dim B=2^d+1$.

Alors, on a n\'ecessairement que $\dim \rho=2^{d+1}$. Par
(\ref{eqfb1}) et l'unicit\'e de la partie anisotrope, on a que
$B\perp C\cong x\rho$. Comme $C_{F(\tau)}$ est isotrope, la forme
$\rho_{F(\tau)}$ est isotrope, et par cons\'equent $B_{F(\tau)}$
est isotrope.

(2) Supposons que $\dim B>2^d+1$.

Posons $B'=B\perp \left<\det B\right>_b$. Sans perdre de
g\'en\'eralit\'es, on peut supposer que $1\in D_F(B)$. Puisque
$\rho_{F(B)}$ est isotrope, on obtient que
$N_F(\widetilde{B})\subset N_F(\widetilde{\rho})$. Ainsi,
$N_F(\widetilde{B'})\subset N_F(\widetilde{\rho})$ puisque $B$
repr\'esente $1$. En particulier,
$N_F(\widetilde{(B'_{\an})})\subset N_F(\widetilde{\rho})$. Par
cons\'equent, $\rho_{F(B'_{\an})}$ est isotrope. En \'etendant
(\ref{eqfb1}) au corps $F(B'_{\an})$, on obtient
\begin{equation}
(B'_{\an})_{F(B'_{\an})} \sim (y\tau)_{F(B'_{\an})}. \label{eqfb2}
\end{equation}La forme $(y\tau)_{F(B'_{\an})}$ est anisotrope
puisque $\dim B'_{\an}\geq \dim B-1>2^d$. Par (\ref{eqfb2}) et
l'unicit\'e de la partie anisotrope, on d\'eduit que
$((B'_{\an})_{F(B'_{\an})})_{\an} \cong (y\tau)_{F(B'_{\an})}$,
i.e., $B'_{\an}$ est de hauteur $2$.

Maintenant, si $B'_{\an}$ est isotrope sur $F(\tau)$, alors elle
est m\'etabolique sur $F(\tau)$ par le lemme \ref{lfb}. Ainsi,
$B_{F(\tau)}\sim (\left<\det B\right>_b)_{F(\tau)}$, et donc
$B_{F(\tau)}$ est isotrope. R\'eciproquement, si $B_{F(\tau)}$ est
isotrope, alors $\rho_{F(\tau)}\sim 0$. Comme $(C\perp \left<\det
B\right>_b)_{F(\tau)}\sim 0$, on a que $B'_{F(\tau)}\sim 0$. En
particulier, $B'_{\an}$ est isotrope sur $F(\tau)$.\qed


\appendix

\section{Formes quadratiques bonnes de hauteur 2 en
caract\'eristique 2}

Pour les formes quadratiques en caract\'eristique $2$, les notions
de hauteur, de degr\'e et de forme bonne se d\'efinissent de la
m\^eme fa\c con comme pour les formes bilin\'eaires (voir
\cite{lagh7}). On rappelle que la tour de d\'eploiement standard
d'une forme quadratique de partie quasi-lin\'eaire de dimension au
plus $1$ est g\'en\'erique au sens de ce qui est connu en
caract\'eristique $\neq 2$ \cite{knr}. Mais on ne sait toujours
pas si ceci est vrai pour les formes bilin\'eaires en
caract\'eristique $2$.

\subsection{Cas des formes quadratiques non singuli\`eres}
Le th\'eor\`eme suivant donne la classification des formes
quadratiques non singuli\`eres qui sont bonnes de hauteur $2$:

\begin{theorem} Soient $\phi$ une $F$-forme quadratique non
singuli\`ere anisotrope, et $\tau \in P_d(F)$ anisotrope. Alors,
les deux assertions suivantes sont \'equivalentes:\\(1) $\phi$ est
bonne de hauteur $2$ et de forme dominante $\tau$.\\(2) $\phi$
satisfait l'une des deux conditions suivantes:
\begin{itemize}
\item[(i)] $\phi$ est une voisine d'une $m$-forme de Pfister dont la forme
compl\'ementaire est $\alpha \tau$ pour certains $\alpha \in F^*$
et $m\geq d+2$.
\item[(ii)] $\phi$ n'est pas une voisine de Pfister, et $\phi\cong x(\lambda'\perp \left<y\right>_b)\otimes\theta$, avec
$x,y\in F^*$, $\theta\in P_{d-1}(F)$,
$\lambda=\left<1\right>_b\perp \lambda'\in BP_2(F)$ et $\tau\cong
\left<1, y\right>_b\otimes\theta$.
\end{itemize}
\label{tfq}
\end{theorem}

Pour prouver ce th\'eor\`eme, on aura besoin de quelques
r\'esultats pr\'eliminaires. Le premier concerne la liaison des
formes quadratiques de Pfister. Puisque ces formes proviennent des
formes bilin\'eaires de Pfister, on doit distinguer entre la
liaison \`a gauche et la liaison \`a droite, comme il a \'et\'e
d\'evelopp\'e r\'ecemment par Faivre \cite{f}. Le r\'esultat qui
nous int\'eresse dans ce sens concerne la liaison \`a droite et
affirme ce qui suit:

\begin{prop} (\cite[Cor. 2.3.3]{f}) Soient $\phi_1\in P_m(F)$ et $\phi_2\in P_n(F)$ des
formes anisotropes. Si $i_W(x_1\phi_1 \perp x_2\phi_2)>0$ pour
$x_1,x_2\in F^*$, alors $i_W(x_1\phi_1 \perp x_2\phi_2)=2^k$ pour
un certain $k\geq 1$. Dans ce cas, il existe $z\in F^*$, $\theta
\in P_k(F)$, $\lambda_1\in BP_{m-k}(F)$ et $\lambda_2\in
BP_{n-k}(F)$ tel que $x_i\phi_i\cong z\lambda_i\otimes\theta$ pour
$i=1,2$. \label{pfq3}
\end{prop}

Le r\'esultat qui suit concerne le comportement des formes
quadratiques bonnes de hauteur $2$ sur les corps de fonctions de
leurs formes dominantes:

\begin{prop} Soit $\phi$ une $F$-forme quadratique non singuli\`ere anisotrope qui n'est pas une voisine. On suppose que
$\phi$ est bonne de hauteur $2$ et de forme dominante $\tau \in
P_d(F)$. Alors, $\phi_{F(\tau)}\in GP_{d+1}(F(\tau))$ et
anisotrope. \label{pfq1}
\end{prop}

\prf On reprend la m\^eme preuve que celle donn\'ee par Hoffmann
en caract\'eristique $\neq 2$ \cite{h2}, et on se sert des
r\'esultats de Faivre \cite{f} sur les formes quadratiques de
Pfister tordues (twisted Pfister forms), qui \'etendent ceux
donn\'es par Hoffmann en caract\'eristique $\neq 2$ \cite{h3}.\qed

\begin{prop} Soit $\phi$ une forme quadratique
anisotrope appartenant \`a $I^nW_q(F)$. On a:\\(1) $\dim \phi \geq
2^{n}$.\\(2) Si $\dim \phi=2^n$, alors $\phi \in GP_n(F)$.\\(3) Si
$\dim \phi
>2^n$, alors $\dim \phi \geq 2^{n}+2^{n-1}$. \label{pfq2}
\end{prop}

\prf (1) D\^u \`a Baeza \cite[Satz 4.2]{b1}.

(2) Par l'assertion (1), la forme $\phi_{F(\phi)}$ est
hyperbolique. Par \cite[Th. 3.1]{lagh7}, $\phi \in GP_n(F)$.

(3) Soit $K$ un corps de caract\'eristique 0 qui est complet pour
une valuation discr\`ete, et qui admet $F$ pour corps r\'esiduel.
Le rel\`evement de $\phi$ \`a $K$, not\'e $\phi'$, est une
$K$-forme quadratique anisotrope appartenant \`a $I^nK$ et de
dimension $>2^n$. Par le r\'esultat de Vishik \cite{v}, on obtient
$\dim \phi' \geq 2^n + 2^{n-1}$. Ainsi, $\dim \phi \geq 2^n +
2^{n-1}$. \qed

\noindent{\bf Preuve du th\'eor\`eme \ref{tfq}.} Soient $\phi$ une
$F$-forme quadratique non singuli\`ere anisotrope, et $\tau \in
P_d(F)$ anisotrope. Supposons que $\phi$ soit bonne de hauteur $2$
et de forme dominante $\tau$. Il existe $\alpha \in F(\phi)^*$ tel
que $(\phi_{F(\phi)})_{\an} \cong \alpha (\tau_{F(\phi)})$.

-- Supposons que $\alpha (\tau_{F(\phi)})$ soit d\'efinissable sur
$F$. Par la multiplicativit\'e de $\tau$, on peut supposer que
$\alpha \in F^*$. Par \cite[Th. 6.6]{hl1}, $\phi$ est une voisine
d'une forme de $P_m(F)$ dont la forme compl\'ementaire est $\alpha
\tau$. Puisque $\dim \phi>2^{m-1}$, on obtient que $\dim \tau <
2^{m-1}$, i.e., $m\geq d+2$.

--  Supposons que $\alpha (\tau_{F(\phi)})$ ne soit pas
d\'efinissable sur $F$. Alors, $\phi$ ne peut pas \^etre une
voisine de Pfister. Par la proposition \ref{pfq1}, on a $\dim
\phi=2^{d+1}$. Puisque $\tau$ est la forme dominante de $\phi$, la
forme $\phi \perp \tau$ est de degr\'e $\geq d+1$ (\cite[Th.
9.6]{k} s'\'etend sans la moindre difficult\'e aux formes
quadratiques non singuli\`eres). Par \cite{arb}, $\phi \perp \tau
\in I^{d+1}W_q(F)$. On peut supposer que $\phi$ repr\'esente $1$.
Ainsi, $\dim (\phi \perp \tau)_{\an}<2^{d+1}+2^d$. Comme $\phi
\perp \tau$ ne peut pas \^etre hyperbolique, il existe par la
proposition \ref{pfq2}(3) une forme $\pi \in GP_{d+1}(F)$ tel que
$\phi \perp \tau = \pi \in W_q(F)$. Ainsi, $i_W(\pi \perp \tau)=
2^{d-1}$. On conclut par la proposition \ref{pfq3}.

R\'eciproquement, si $\phi$ v\'erifie la condition (i) ou (ii) de
l'assertion (2), alors on montre comme en caract\'eristique $\neq
2$ que $\phi$ est bonne de hauteur $2$ et de forme dominante
$\tau$.\qed

\subsection{Cas des formes quadratiques singuli\`eres} Pour
toute forme quadratique $\phi$, on note $\ql (\phi)$ sa partie
quasi-lin\'eaire. La classification des formes quadratiques
singuli\`eres qui sont (bonnes) de hauteur $2$ est la suivante:

\begin{prop} Soit $\phi$ une $F$-forme quadratique singuli\`ere anisotrope. On a
les assertions suivantes:\\(1) Si $\phi$ est de hauteur $2$, alors
$\dim \ql(\phi)=1$ ou $2$.\\(2) Si $\dim \ql(\phi)=1$, alors
$\phi$ est bonne de hauteur $2$ si et seulement si $\phi$ est une
voisine de Pfister de forme compl\'ementaire $\alpha
(\left<1\right>\perp \pi'\otimes[1, \beta])$, o\`u $\alpha, \beta
\in F^*$, $\pi=\left<1\right>_b\perp \pi'$ est une forme
bilin\'eaire de Pfister.\\(3) Si $\dim \ql(\phi)=2$, alors $\phi$
est de hauteur $2$ si et seulement si $\phi$ est une voisine de
Pfister avec $\dim \phi +\dim \ql(\phi)=2^{n}$ pour un certain
$n\geq 2$. \label{pfq5}
\end{prop}

\prf (1) C'est une cons\'equence de \cite[Th. 4.6]{lagh7}.

(2) Supposons que $\dim \ql(\phi)=1$. Posons
$\ql(\phi)=\left<\alpha\right>$. Supposons que $\phi$ soit bonne
de hauteur $2$. Soient $\pi\in BP_{d-1}(F)$ et $\beta \in F^*$ tel
que $\tau:=\pi\otimes [1, \beta]$ soit la forme dominante de
$\phi$. Par l'unicit\'e de la partie quasi-lin\'eaire, on a
$(\phi_{F(\phi)})_{\an}\cong \delta \perp \left< \alpha\right>$
pour $\delta$ une $F(\phi)$-forme quadratique non singuli\`ere.
Puisque $\phi$ est bonne de hauteur $2$, on sait que $\delta \perp
\alpha[1, \Delta (\delta)] \cong y\tau$ pour un certain $y\in
F(\phi)^*$, o\`u $\Delta (\delta)$ d\'esigne l'invariant d'Arf de
$\delta$. Par la multiplicativit\'e d'une forme de Pfister, on
obtient que $\alpha\delta \perp [1, \Delta (\delta)] \cong \tau$.
Par cons\'equent, $$\alpha\delta \perp [1, \Delta (\delta)] \perp
\left<1\right>\cong \pi'\otimes [1, \beta]\perp [1, \beta] \perp
\left<1\right>.$$Comme $[1, \Delta (\delta)] \perp \left<1\right>
\cong H \perp \left<1\right> \cong \left<1\right> \perp [1,
\beta]$ ($H$ d\'esigne le plan hyperbolique), on d\'eduit par la
simplification de Witt que$$\alpha\delta \perp \left<1\right>\cong
\pi'\otimes [1, \beta] \perp \left<1\right>.$$En particulier,
$\delta \perp \left<\alpha\right> \cong \alpha(\left<1\right>
\perp \pi'\otimes [1, \beta])$. Par \cite[Th. 6.6]{hl1}, la forme
$\phi$ est une voisine de Pfister de forme compl\'ementaire
$\alpha(\left<1\right> \perp \pi'\otimes [1, \beta])$.

R\'eciproquement, supposons que $\phi$ soit une voisine de Pfister
de forme compl\'ementaire $\alpha (\left<1\right>\perp
\pi'\otimes[1, \beta])$, o\`u $\alpha, \beta \in F^*$ et
$\pi=\left<1\right>_b\perp \pi'$ est une forme bilin\'eaire de
Pfister. Par \cite[Prop. 6.1]{hl1}, on a que
$(\phi_{F(\phi)})_{\an}\cong \alpha (\left<1\right>\perp
\pi'\otimes[1, \beta])_{F(\phi)}$. Puisque
$\alpha(\left<1\right>\perp \pi'\otimes[1, \beta])_{F(\phi)}$ est
une $F(\phi)$-forme quadratique de hauteur $1$, on d\'eduit que
$\phi$ est bonne de hauteur $2$.

(3) C'est prouv\'e dans \cite[Th. 7.5]{hl1}.\qed


\begin{thebibliography}{99}

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\end{sloppypar}

\end{document}
