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\begin{document}


\linespread{1.1}

\begin{titlepage}
\date{\,}
\title{Alg\`{e}bres de Lie de dimension infinie et th\'{e}orie de la descente}
\author{Wilhelm Alexander Steinmetz-Zikesch}
 \maketitle
\end{titlepage}

\tableofcontents

\setcounter{chapter}{0}

\chapter[Introduction]{Introduction}
\label{chapitre_introduction}

\section[R\'{e}sultat principal]{R\'{e}sultat principal}
\label{section_motivation}
Soit $k$ un corps alg\'{e}briquement clos de caract\'{e}ristique z\'{e}ro, par exemple $k=\mathbb{C}$.   Soit $R_{2}=k[t_{1}^{\pm 1}, t_{2}^{\pm 1}]$ l'anneau de polyn\^{o}mes de Laurent sur $k$.   Ce travail porte sur la classification des torseurs sous les groupes alg\'{e}briques classiques (i.e. les groupes de types $A_{n-1}$ et $B_{n}$ ($n\geq 2$), $C_{n}$ ($n\geq 3$) et $D_{n}$ ($n\geq 4$) sauf $^{3,6}D_{4}$).   Fixons une famille compatible de racines $n$-i\`{e}mes de l'unit\'{e} primitives $(\zeta_{n})_{n\geq 1}$, i.e. pour tout $l\geq 1$, $\zeta_{ln}^{l}=\zeta_{n}$.   Notons $A(s,t)$ ($s,t \geq 1$) la $R_{2}$-alg\`{e}bre d'Azumaya d\'{e}finie par les relations
$$
X^{t}=t_{1},\,\,\,Y^{t}=t_{2}^{s}\,\,\,\,\,\mbox{et}\,\,\,\, XY=\zeta_{n}YX.
$$
Disons que le $R_{2}$-sch\'{e}ma en groupes semi-simples simplement connexe $\G$ satisfait \`{a} la condition (*), si $\G=\SL_{1}(A(s,t))$ avec $\pgcd \, (s,t) > 2$.

\noindent Alors le th\'{e}or\`{e}me principal de ce travail est le suivant~:


\begin{thm}
\label{principal}
Soit $\G$ un $R_{2}$-sch\'{e}ma en groupes semi-simples simplement connexe de type~:
\begin{enumerate}
 \item $ ^{1}A_{n-1}$ satisfaisant \`{a} (*)
 \item $^{2}A_{n-1}$ ($n \geq 7$)
 \item $C_{n}$ ($n\geq 6$)
 \item $^{1,2}D_{n}$ ($n\geq 8$)
\end{enumerate}
alors $H^{1}_{\acute{e}t}(R_{2},\G)=1$ o\`{u} $\acute{e}t$ est la topologie \'{e}tale sur $R_{2}$.
\end{thm}

\begin{oss}
\label{principal_oss}
Pour $\G=\Spin(q)$, o\`{u} $q$ est une $R_{2}$-forme quadratique de rang $\geq 5$, on a \'{e}galement $H^{1}(R_{2},\G)=1$.   La trivialit\'{e} de cet ensemble d\'{e}coule d'un travail de Parimala \cite{Pa}, voir \cite[Cor. 6.3]{GP1}.   On a donc $H^{1}(R_{2},\G)=1$ \'{e}galement pour $\G$ de type $B_{n}$ ($n\geq 2$) et pour certains $\G$ de type $^{1,2}D_{n}$ ($n\geq 4$).
\end{oss}


L'ensemble $H^{1}_{\acute{e}t}(R_{2},\G)$ classifie les torseurs ou espaces principaux homog\`{e}nes sous le $R_{2}$-sch\'{e}ma en groupes $\G$ (voir \cite[III]{Gir} ou \cite[III.4]{Mi} et le d\'{e}but du chapitre \ref{chapter_generalites}).   Observons l'analogie de ce th\'{e}or\`{e}me avec la conjecture II de Serre \cite[Conjecture II]{Se}~:

\medskip

\noindent {\bf Conjecture II. }
{\it Soit $F$ un corps parfait de dimension cohomologique $2$ et soit $\G$ un $F$-sch\'{e}ma en groupes semi-simples simplement connexe, alors $H^{1}_{\acute{e}t}(F,\G)=1$.}

\medskip

Le corps de fractions $K:=k(t_{1},t_{2})$ de $R_{2}$ est de dimension cohomologique $2$.   Par un th\'{e}or\`{e}me de de Jong \cite{dJ} l'indice et l'exposant dans le groupe de Brauer co\"{i}ncident sur $K$.   Il suit qu'en utilisant ce th\'{e}or\`{e}me, par \cite[th\'{e}or\`{e}mes 1.3 et 2.1]{CTGP} --  pour le cas o\`{u} $\G$ est sans facteur de type $E_{8}$ -- et par \cite[Thm. 2.5]{GP1} -- pour le cas o\`{u} $\G$ contient un tel facteur -- la conjecture II est vraie pour $F=K$.   On peut alors voir le th\'{e}or\`{e}me \ref{principal} comme une variante ``globale'' de cette conjecture pour $K$.   Notons qu'il y a une obstruction \`{a} ce que la conjecture II soit vraie pour l'anneau $R_{2}$ pour groupes de tous les types~:   L'ensemble $H^{1}_{\acute{e}t}(R_{2},\SL_{1}(A(1,n)))$ n'est trivial pour aucun $n>1$ (voir \cite[Prop. 3.20 et Rem. 3.23]{GP1} et chapitre \ref{chapter_conjectures}).   Par contre il y a l'espoir que les autres bornes puissent \^{e}tre am\'{e}lior\'{e}es~:   la trivialit\'{e} de $H^{1}_{\acute{e}t}(R_{2},\SL_{1}(A(s,t)))$ pour $\pgcd \, (s,t) = 2$, et de $H^{1}_{\acute{e}t}(R_{2},\G)$ pour $\G$ de type $^{2}A_{n-1}$ (avec $2 \leq n \leq 6$), $C_{n}$ (avec $3 \leq n \leq 5$) et $^{1,2}D_{n}$ (avec $4 \leq n \leq 7$, et $\G$ n'\'{e}tant pas le groupe des spineurs d'une $R_{2}$-forme quadratique) reste une conjecture (cf. \cite[Conjecture 6.1]{GP1} et chapitre \ref{chapter_conjectures}).

\section[Alg\`{e}bres de Lie de dimension infinie]{Alg\`{e}bres de Lie de dimension infinie}

\`{A} part la relation avec la conjecture II de Serre, les torseurs sur $\Spec R_{2}$ ont une relation importante avec une certaine classe d'alg\`{e}bres de Lie de dimension infinie sur $\mathbb{C}$, appel\'{e}es {\it extended affine Lie algebras} (EALA's) (cf. section \ref{chapter_conjectures}, \cite{AABGP} et \cite{Ne}).   Pour pr\'{e}ciser cette relation pr\'{e}sentons le cas g\'{e}n\'{e}ral pour les anneaux de polyn\^{o}mes de Laurent \`{a} $m$ variables et introduisons la notion d'une {\it alg\`{e}bre de multi-lacets}.

Soit donc $R_{m}=k[t_{1}^{\pm 1},...,t_{m}^{\pm 1}]$.   Fixons $(\zeta_{n})_{(n\geq 1)}$ une famille compatible de $n$-racines de l'unit\'{e} ($\zeta_{ln}^{l}=\zeta_{n}$).   Soit $\mathfrak{g}$ une $k$-alg\`{e}bre de Lie simple, de dimension infinie.   Soit $\G=\AUT_{k}(\mathfrak{g})$ son groupe de $k$-automorphismes.   Notons \'{e}galement par $\G$ le groupe de $R_{m}$-automorphismes de la $R_{m}$-alg\`{e}bre $\mathfrak{g} \otimes_{k} R_{m}$.   \'{E}tant donn\'{e}e une famille $\sigma=(\sigma_{1},...,\sigma_{m})$ d'automorphismes d'ordre fini de la $k$-alg\`{e}bre $\mathfrak{g}$ qui commutent, on peut construire une $k$-alg\`{e}bre $\mathcal{L}(\mathfrak{g},\sigma)$, dite {\it alg\`{e}bre de multi-lacets} associ\'{e}e \`{a} cette donn\'{e}e (voir section \ref{multi_lacets_section} et \cite[5.1]{GP1}).   Cette $k$-alg\`{e}bre est de dimension finie vue comme $R_{m}$-alg\`{e}bre, et en fait, elle est une $R_{m}$-forme de $\mathfrak{g}$\footnote{Strictement, elle est une $R_{m}$-forme de $\mathfrak{g}\otimes_{k} R_{m}$, mais ce petit abus de notation sera utilis\'{e} tout au long de ce travail.}.   Il suit que l'on peut lui attacher un torseur qui d\'{e}finie une classe dans l'ensemble de cohomologie $H^{1}(R_{m},\G)$ (si $\G$ est un $k$-groupe semi-simple\footnote{dans le sens de Borel \cite{Bo}.}, cette classe correspond \`{a} des {\it torseurs de lacets} (ou {\it loops torsors} en anglais) comme ils ont \'{e}t\'{e} d\'{e}finis et \'{e}tudi\'{e}s dans \cite[section 3]{GP1}, voir aussi \ref{classes_de_lacets_section}).   Le formalisme g\'{e}n\'{e}ral d'espaces principaux homog\`{e}nes (ou torseurs) sur des sch\'{e}mas permet alors d'\'{e}tudier ces alg\`{e}bres de multi-lacets \`{a} l'aide de cet ensemble de cohomologie.

Ensuite, ces alg\`{e}bres de multi-lacets ont l'anneau $R_{m}$ comme centro\"{i}de; l'inter\^{e}t de ces alg\`{e}bres provient donc du th\'{e}or\`{e}me principal de \cite{ABFP}, qui montre que des {\it centre-less cores} ({\it loc.cit.}) des EALA, qui sont des modules de dimension finie sur leur centro\"{i}des, sont toujours des alg\`{e}bres de multilacets.

Pour $m=1,2$, les alg\`{e}bres de multi-lacets ont d\'{e}j\`{a} fait l'objet de plusieurs \'{e}tudes~:

Dans le cas $m=1$, la classification des torseurs sur $R_{1}=k[t^{\pm 1}]$ a \'{e}t\'{e} faite dans \cite{Pi}.   Tous les torseurs correspondent \`{a} des alg\`{e}bres de multi-lacets.   Celles-ci sont toutes des {\it centre-less cores} de EALA, et ces derni\`{e}res sont des alg\`{e}bres de Kac-Moody affines.

Le cas $m=2$ a d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e} \'{e}tudi\'{e} dans \cite{GP1} et \cite{GP2}.   Si $\G$ est un $R_{2}$-groupe semi-simple\footnote{ou plut\^{o}t $\G_{R_{2}}$.}, Gille et Pianzola ont enti\`{e}rement d\'{e}crit la classe des torseurs de lacets sur $R_{2}$ (i.e. les classes dans $H^{1}(R_{2},\G)$, qui correspondent aux alg\`{e}bre de multi-lacets).   Ils ont d'ailleurs conjectur\'{e} que si le sch\'{e}ma en groupes $\G$ (pas forc\'{e}ment semi-simple) est rationnellement isotrope (i.e. isotrope sur $K={\rm Frac}(R_{2}) = k(t_{1},t_{2})$, voir section \ref{section_1_an}) alors tous les torseurs sous $\G$ correspondent \`{a} des alg\`{e}bres de multi-lacets.    Le th\'{e}or\`{e}me \ref{principal} montre que, en rang assez grand, ceci est le cas pour tous les groupes classiques.   Gille et Pianzola ont observ\'{e} que le cas o\`{u} $\G=\Spin(q)$, avec $q$ une $R_{2}$-forme quadratique de rang $\geq 5$, d\'{e}coule d'un travail de Parimala \cite{Pa} sur les formes quadratiques sur les anneaux de Dedekind, voir la remarque \ref{principal_oss}.

En ce qui concerne les alg\`{e}bres de multi-lacets, Gille et Pianzola ont conjectur\'{e} qu'ils sont, en dehors de type $A$, enti\`{e}rement determin\'{e}es (\`{a} $k$-isomorphisme pr\`{e}s) par leur indice de Witt-Tits, cf. \cite[Conj. 6.4]{GP1}.   Dans le chapitre \ref{chapitre_conj_B} du pr\'{e}sent travail, on d\'{e}duit du th\'{e}or\`{e}me \ref{principal}, que cette conjecture est en fait vraie en dehors de type $^{1}A$, \`{a} savoir~:

\begin{cor}
\label{principal2}
Soit $\mathfrak{g}$ une alg\`{e}bre de Lie simple, de dimension finie sur $k$ de type $A_{n-1}$ ($n\geq 7$), $B_{n}$ ($n\geq 2$), $C_{n}$ ($n\geq 6$) ou $D_{n}$ ($n\geq 8$).   Notons $\AUT_{k}(\mathfrak{g})$ son groupe de $k$-automorphismes.   Soient $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2})$ et $\mathbf{y}=(y_{1},y_{2})$ deux paires d'automorphismes d'ordre fini de $\mathfrak{g}$ qui commutent, i.e. on a $x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}$ et $y_{1}y_{2}=y_{2}y_{1}$.   Si $\mathfrak{g}$ est de type $A_{n-1}$, supposons de plus que les \'{e}l\'{e}ments $x_{1}$, $x_{2}$, $y_{1}$ et $y_{2}$ ne sont pas tous contenus dans la composante connexe de l'\'{e}l\'{e}ment neutre de $\AUT_{k}(\mathfrak{g})$.   Alors $\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x})\otimes_{R_{2}} K$ est une alg\`{e}bre de Lie de dimension finie et isotrope sur $K$.   De plus,
$$
\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x})\simeq_{k-Lie} \mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{y})\Leftrightarrow I(\mathbf{x})=I(\mathbf{y})
$$
o\`{u} $I(\mathbf{x})$ et $I(\mathbf{y})$ sont les indices de Witt-Tits de $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ respectivement (voir section \ref{indice_tits_brauer_section}).
\end{cor}

\section[Structure de ce travail]{Structure de ce travail}

La strat\'{e}gie pour prouver le th\'{e}or\`{e}me \ref{principal} est analogue \`{a} celle de Bayer et Parimala dans \cite{BFP}~:   on utilise la description (due \`{a} Weil \cite{We} dans le cas d'un corps de base) des torseurs sous les groupes classiques sur $R_{2}$ en termes d'alg\`{e}bres d'Azumaya pour les groupes de types $^{1}A_{n}$ et en termes d'alg\`{e}bres d'Azumaya \`{a} involutions pour les autres groupes classiques, cf. \cite[III.8.5]{Kn}.   Ensuite on calcule les groupes de Grothendieck des alg\`{e}bres d'Azumaya sur $R_{2}$ et les groupes de Witt des formes hermitiennes et anti-hermitiennes sur des alg\`{e}bres d'Azumaya \`{a} involutions sur $R_{2}$.   Pour cela on utilise une suite spectrale de $K$-th\'{e}orie de Panin et Suslin \cite{PS} pour le cas $^{1}A_{n-1}$ et deux suites spectrales de Stefan Gille \cite{Gil1} et \cite{Gil2} pour les cas $^{2}A_{n-1}, C_{n}, D_{n}$.   Enfin on utilise des th\'{e}or\`{e}mes de scindage et de simplification de Knus et Bertuccioni \cite{Kn} pour obtenir des r\'{e}sultats non stables qui portent sur les torseurs sur $R_{2}$.

Par rapport \`{a} la structure de ce travail, le chapitre \ref{chapter_generalites} introduit des r\'{e}sultats sur les alg\`{e}bres d'Azumaya, les formes quadratiques et hermitiennes et sur les alg\`{e}bres \`{a} involutions dont on aura besoin par la suite.   Le chapitre \ref{chapter_conjectures} explicite le lien avec les alg\`{e}bres \`{a} multi-lacets et introduit les conjectures.   Ensuite les chapitres \ref{chapitre_1_an_orthogonaux} et \ref{chapitre_cn_dn_2an} traitent de la preuve du th\'{e}or\`{e}me \ref{principal} pour les groupes des diff\'{e}rents types.   Le chapitre \ref{chapitre_conj_B} est d\'{e}di\'{e} \`{a} la demonstration du corollaire \ref{principal2} et finalement l'appendice contient la preuve d'un th\'{e}or\`{e}me de compatibilit\'{e} entre l'\'{e}quivalence de Morita et une suite spectrale de groupes de Witt dont on aura besoin dans le chapitre \ref{chapitre_cn_dn_2an}.



\section[Conventions et notations]{Conventions et notations}


Tous les anneaux et homomorphismes d'anneaux qui apparaissent sont dans la cat\'{e}gorie des anneaux avec un \'{e}l\'{e}ment unit\'{e} et tous les modules sont, sauf mention expresse du contraire, des modules \`{a} gauche.   Pour un anneau $R$, la cat\'{e}gorie des $R$-modules \`{a} gauche est not\'{e}e $R-\Mod$ et quand il est clair dans le contexte qu'il s'agit de modules \`{a} gauche ou \`{a} droite, cette cat\'{e}gorie est not\'{e}e $\M(R)$.   On note $M^{r}$ la somme directe de $r$ copies du module $M$.   Si $R$ est un anneau, $M$ un $R$-module et $R\longrightarrow S$ un homomorphisme d'anneaux, on note $M_{S}=M\otimes_{R} S$ le $S$-module obtenu par extension d'anneaux.  De m\^{e}me pour un homomorphisme $f:M\longrightarrow M'$ entre $R$-modules on note $f_{S}=f\otimes_{R} \id_{S}:M\otimes_{R} S\longrightarrow M\otimes_{R} S$ l'homomorphisme obtenu par extension d'anneaux.   Si $A$ est un anneau, on note par $A^{op}$ l'anneau avec la multiplication oppos\'{e}e.   On identifie toujours l'anneau $(A^{op})^{op}$ avec $A$.   Toutes ces conventions se traduisent de mani\`{e}re analogue pour les cat\'{e}gories des faisceaux d'anneaux sur un sch\'{e}ma et les faisceaux de modules sur un tel faisceau d'anneaux.
Tout au long de ce travail, $A$ d\'{e}signe un anneau, $R$ d\'{e}signe un anneau commutatif et $k$ un corps commutatif.   La cat\'{e}gorie des groupes ab\'{e}liens est not\'{e}e $\Ab$.


\chapter[G\'{e}n\'{e}ralit\'{e}s et pr\'{e}liminaires]{G\'{e}n\'{e}ralit\'{e}s et pr\'{e}liminaires}
\label{chapter_generalites}

Ce chapitre expose des r\'{e}sultats sur des alg\`{e}bres d'Azumaya, des formes quadratiques et hermitiennes et sur des alg\`{e}bres \`{a} involutions dont on aura besoin dans ce travail.   \`{A} part les g\'{e}n\'{e}ralit\'{e}s de g\'{e}om\'{e}trie alg\'{e}brique et celles sur les alg\`{e}bres d'Azumaya et le groupe de Brauer, qui sont \'{e}vid\'{e}mment en grande partie dues \`{a} Grothendieck, nos sources principales sont les livres \cite{Kn} et \cite{BoI}.   Dans \cite{Kn}, Knus donne une exposition de g\'{e}n\'{e}ralit\'{e}s sur des formes hermitiennes et quadratiques sur des anneaux, de th\'{e}or\`{e}mes de comparaison de cat\'{e}gories de formes hermitiennes et d'une th\'{e}orie de Morita pour les cat\'{e}gories de formes hermitiennes, que l'on r\'{e}produit dans ce chapitre.   On tire de ce livre \'{e}galement des th\'{e}or\`{e}mes de simplification pour des modules (du \`{a} Bass et Schanuel) et pour les formes hermitiennes (du \`{a} Bak).   Le livre \cite{BoI} contient une \'{e}tude d\'{e}taill\'{e}e de l'ensemble $H_{\acute{e}t}^{1}(k,\G)$, pour $\G$ un $k$-groupe alg\`{e}brique lin\'{e}aire semi-simple de type classique, en termes d'alg\`{e}bres simples centrales \`{a} involutions.   On \'{e}tend ces descriptions \`{a} des ensembles $H_{\acute{e}t}^{1}(R,\G)$ (o\`{u} $R$ d\'{e}signe un anneau et $\G$ d\'{e}signe un sch\'{e}ma en groupes alg\`{e}briques lin\'{e}aires) sous certains condition sur $R$ et $\G$.

\section[G\'{e}om\'{e}trie alg\'{e}brique et modules]{G\'{e}om\'{e}trie alg\'{e}brique et modules}

Soit $X$ un sch\'{e}ma.   Pour $x\in X$ on note $\mathcal{O}_{x}$ l'anneau local en $x$ et $k(x)$ son corps r\'{e}siduel.   Supposons que le sch\'{e}ma $X$ est affine, i.e. $X=\Spec\,R$ pour un anneau commutatif $R$.   On note son espace topologique sous-jacent aussi $\Spec\,R$, c'est l'ensemble des id\'{e}aux premiers de $R$ muni de la topologie de Zariski.   Le sous-ensemble des id\'{e}aux maximaux de $R$, muni de la topologie induite est not\'{e} $\Spm\,R$.   La dimension (combinatoire) (cf. \cite[VI.2.2]{Kn}) de l'espace topologique $\Spec\,R$, not\'{e} $\dim\,\Spec\,R$, est aussi la dimension de Krull de l'anneau $R$.   Pour un anneau noeth\'{e}rien, la dimension de l'espace $\Spm\,R$ n'exc\`{e}de pas la dimension de $\Spec\,R$, cf. \cite[VI.2.2]{Kn}.

Soit $\G$ un sch\'{e}ma en groupes commutatifs sur $X$.   Soit $E$ une topologie sur $X$ (e.g. $E=\acute{e}t$ la topologie \'{e}tale, $E=fppf$ la topologie fid\`{e}lement plate de pr\'{e}sentation finie).   Alors les groupes de cohomologie $H_{E}^{i}(X,\G)$ correspondent \`{a} la cohomologie ``foncteur d\'{e}riv\'{e}'' pour la topologie $E$ et les ensembles $\check{H}_{E}^{i}(X,\G)$ signifient la cohomologie de \v{C}ech pour la topologie $E$.

Dans le cas o\`{u} $\G$ est un sch\'{e}ma en groupes non commutatifs sur $X$, les seuls ensembles de cohomologie qui existent sont les ensembles $\check{H}_{E}^{i}(X,\G)$ ($i=0,1$), c.f. \cite[Ch. III]{Gir}.

Pour $\G$ commutatif, on a par \cite[III.2.10]{Mi} que $\check{H}_{E}^{i}(X,\G)\simeq H_{E}^{i}(X,\G)$ pour $i=0,1$.   Donc on va noter pour tout $\G$ les premiers ensembles de cohomologie $H_{E}^{0}(X,\G)$ et $H_{E}^{1}(X,\G)$ \'{e}tant clair qu'il s'agit des ensembles de cohomologie de \v{C}ech si $\G$ est non commutatif.

De plus on a le r\'{e}sultat suivant de comparaison des topologies:   soit $\G$ un sch\'{e}ma en groupes lisses sur $X$, alors $H_{\acute{e}t}^{i}(X,\G)\simeq H_{fppf}^{i}(X,\G)$ ($i\geq 0$) \cite[III.4.2 et III.3.9]{Mi}.   Ce r\'{e}sultat provient du fait que tout torseur sous un sch\'{e}ma en groupes lisses est lisse.

Rappelons quelques d\'{e}fintions concernant de modules~:
\begin{defn}
\label{defn:modfidproj}
Soit $M$ un $A$-module \`{a} gauche, i.e. $M\in A-\Mod$.   On dit que~:
\begin{itemize}
\item $M$ est {\it projectif} si le foncteur $\Hom_{A}(M,\longunderscore):A-\Mod \longrightarrow \Ab$ est exact.
\item $M$ est {\it fid\`{e}le} si le foncteur $\Hom_{A}(M,\longunderscore):A-\Mod \longrightarrow \Ab$ est fid\`{e}le.
\item $M$ est {\it fid\`{e}lement projectif} s'il est fid\`{e}le et projectif.
\end{itemize}
\end{defn}

\noindent  Soit $A$ une $R$-alg\`{e}bre finie, qui est un $R$-module fid\`{e}lement projectif de rang constant $m$ sur $R$ (e.g. si $\Spec R$ est connexe).   Alors on dit qu'un $A$-module fid\`{e}lement projectif est de {\it rang relatif} $n$ sur $A$, s'il est un $R$-module projectif de rang $mn$.   La d\'{e}finition suivante est tir\'{e}e de \cite{Bs3}, voir \cite[IV.1 (p.167)]{Bs3} et \cite[IV.2 (p.171)]{Bs3}.

\begin{defn}
\label{defn:f-rang} Soit $D$ une $R$-alg\`{e}bre finie, i.e. une $R$-alg\`{e}bre qui est de type fini comme $R$-module.   Soit $M$ un $D$-module.   On dit que
$$
f\!\mbox{--}\rang_{D}(M)\geq r
$$
si pour tout id\'{e}al maximal $\mathfrak{m}\in R$, le $D_{\mathfrak{m}}$-module $M_{\mathfrak{m}}$ poss\`{e}de un facteur direct isomorphe \`{a} $D_{\mathfrak{m}}^{r}$.
\end{defn}


\section[Alg\`{e}bres d'Azumaya et groupe de Brauer]{Alg\`{e}bres d'Azumaya et groupe de Brauer}

Les r\'{e}f\'{e}rences pour les d\'{e}finitions et r\'{e}sultats suivants sont principalement les deux expos\'{e}s de Grothendieck \cite{Gr1} et \cite{Gr2}.

\begin{defn}
\label{defn:algazumaya}
Soit $(X,\mathcal{O}_{X})$ un sch\'{e}ma noeth\'{e}rien.   On appelle alg\`{e}bre d'Azumaya de degr\'{e} $n$ sur $X$ un faisceau $\mathcal{A}$ de $\mathcal{O}_{X}$-alg\`{e}bres localement libres de rang $n^{2}$ tel que l'homomorphisme naturel
$$
\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_{X}} \mathcal{A}^{op}\longrightarrow \mathcal{E}nd_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{A})
$$
donn\'{e} par $a\otimes b^{op}\mapsto (x\mapsto axb)$ est un isomorphisme.
\end{defn}

Ceci \'{e}quivaut \`{a} dire que $\mathcal{A}$ est un faisceau en $\mathcal{O}_{X}$-alg\`{e}bres localement libres, localement isomorphe \`{a} $M_{n}(\mathcal{O}_{X})$ pour la topologie \'{e}tale, cf. \cite[th. 2.5.1]{Gr1}.   En particulier, pour un sch\'{e}ma affine $X=\Spec R$, on retrouve les alg\`{e}bres centrales s\'{e}parables sur $R$ \cite[III.5.1.1]{Kn} et pour $R=k$ un corps, les alg\`{e}bres simples centrales sur $k$.

Observons que si $\mathcal{A}$ et $\mathcal{B}$ sont deux alg\`{e}bres d'Azumaya sur $X$, alors leur produit tensoriel $\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_{X}} \mathcal{B}$ en est de m\^{e}me.   L'ensemble de classes d'isomorphie par la relation d'\'{e}quivalence ``$\mathcal{A}\sim \mathcal{B}$ si et seulement si les cat\'{e}gories $\mathfrak{M} \mathfrak{o} \mathfrak{d}-\mathcal{A}$ et $\mathfrak{M} \mathfrak{o} \mathfrak{d}-\mathcal{B}$ sont \'{e}quivalents'' est un groupe ab\'{e}lien dont l'op\'{e}ration est donn\'{e}e par le produit tensoriel, cf. \cite[p.47]{Gr1}.   On note ce groupe $\Br_{Az}(X)$.   Pour $X$ quasi-compact, ce groupe est de torsion, voir \cite[cor. 1.5]{Gr1}.   On d\'{e}finit le groupe de Brauer cohomologique (ou simplement groupe de Brauer) de la fa\c{c}on suivante.

\begin{defn}
\label{defn:grbrauer}
Soit $X$ un sch\'{e}ma.   Le deuxi\`{e}me groupe de cohomologie pour la topologie \'{e}tale \`{a} coefficients dans $\mathbb{G}_{m}$ est appel\'{e} le {\it groupe de Brauer} de $X$ et not\'{e} $\Br(X)=H^{2}(X,\mathbb{G}_{m})$.
\end{defn}

Pour $X=\Spec\,R$, $R$ un anneau local, on a $H^{2}(R,\mu_{l})=\,\,_{l}H^{2}(R,\mathbb{G}_{m})$.   Pour un corps $k$, on a $\Br_{Az}(k)=\Br(k)$.   Pour tout sch\'{e}ma $X$ on dispose d'un plongement naturel
$$
\Br_{Az}(X)\hookrightarrow \Br(X),
$$
voir \cite[prop. 1.4]{Gr1}.   Si $X$ est affine, par un th\'{e}or\`{e}me de Gabber \cite[Ch.II, Thm.1]{Ga}, cette injection induit un isomorphisme de $\Br_{Az}(X)$ avec le sous-groupe de torsion de $\Br(X)$.   De plus on a le th\'{e}or\`{e}me suivant de Grothendieck.

\begin{thm}
\label{brauer_grothendieck}
Soit $X$ un sch\'{e}ma noeth\'{e}rien de points maximaux $x_{1},...,x_{n}$.   On a alors une injection
$$
\Br(X)\hookrightarrow \bigoplus\limits_{1\leq i \leq n} \Br(k(x_{i})).
$$
dans les deux cas suivants~:
\begin{enumerate}
 \item $X$ est r\'{e}gulier,
 \item $X$ est de dimension $1$ et pour tout point ferm\'{e} $x\in X$, le corps r\'{e}siduel $k(x)$ est s\'{e}parablement clos.
\end{enumerate}
En particulier, $\Br(X)$ est de torsion dans ces deux cas.
\end{thm}

\proof
\cite[cor. 1.5, cor. 1.8 et cor.1.10]{Gr2}.
\endproof

Observons que l'on a alors un isomorphisme $\Br(X)=\Br_{Az}(X)$ pour $X$ noth\'{e}rien, affine et r\'{e}gulier.

Le th\'{e}or\`{e}me suivant de Wedderburn sur les alg\`{e}bres centrales simples est utilis\'{e} par la suite librement~:
\begin{thm}
\label{thm:wedderburn}
Soit $A$ une alg\`{e}bre simple de dimension finie sur un corps $k$.   Alors il existe un entier $r\geq 1$ et une alg\`{e}bre \`{a} division $\Delta$ sur $k$, tels que $A$ est isomorphe \`{a} l'anneau de matrices $M_{r}(\Delta)$.   De plus $\Delta$ est unique \`{a} isomorphisme pr\`{e}s.
\end{thm}

\proof
\cite[Th. 2.1.3]{GS}
\endproof

\noindent Il en est de m\^{e}me pour le fait suivant:

\begin{prop}
\label{f-rangegalrang}
Soit $A$ une alg\`{e}bre d'Azumaya de rang $m$ sur un anneau $R$.   Soit $P$ un module projectif de type fini sur $A$.   Alors $f\!$--$\rang_{A}(P)$ est \'{e}gal au rang relatif de $P$ sur $A$.
\end{prop}

\proof
Soit $n$ le rang relatif de $P$ sur $A$.   Soit $\mathfrak{m}$ un id\'{e}al maximal de $R$.   Il faut montrer que $P_{\mathfrak{m}}$ contient un facteur direct isomorphe \`{a} $(A_{\mathfrak{m}})^{n}$.   Mais $A_{\mathfrak{m}}$ est une alg\`{e}bre d'Azumaya sur un anneau semi-local et $P_{\mathfrak{m}}$ est un $A_{\mathfrak{m}}$-module qui est un module projectif de type fini de rang $mn$ sur $R_{\mathfrak{m}}$.   On peut donc appliquer \cite[III.5.2.2]{Kn} pour obtenir que $P_{\mathfrak{m}}$ est isomorphe au $A_{\mathfrak{m}}$-module libre $(A_{\mathfrak{m}})^{n}$.
\endproof

\section[Formes hermitiennes]{Formes hermitiennes, groupe de Witt et th\'{e}or\`{e}mes de simplification}
\label{section_formes_witt_simplification}

\subsection[Involutions et formes hermitiennes]{Involutions et formes hermitiennes}
\label{subsection_formes_involutions}
Soit $A$ un anneau.   Une involution sur $A$ est un isomorphisme $\tau:A\longrightarrow A^{op}$ tel que $\tau^{2}(a)=a$ pour tout $a\in A$.   Dans ce qui suit, on \'{e}crit parfois $\overline{a}$ au lieu de $\tau(a)$.   Soit alors $(A,\tau)$ un anneau avec involution.   Si $2\in A^{\times}$, on d\'{e}finit~:
$$
\Sym(A,\tau):=\{a\in A\,\, | \,\, \tau(a)=a\}
$$
et
$$
\Skew(A,\tau):=\{a\in A\,\, | \,\, \tau(a)=-a\},
$$
les ensembles des \'{e}l\'{e}ments sym\'{e}triques et respectivement antisym\'{e}triques.

Soit dans ce qui suit $(A,\tau)$ un anneau avec involution (pas n\'{e}cessairement avec $2\in R^{\times}$).   Soit $M$ un $A$-module \`{a} gauche.   Il peut \^{e}tre regard\'{e} comme $A$-module \`{a} droite $\overline{M}$ par la r\`{e}gle~:
$$
am=m\overline{a},\,\,\,\,\,m\in M.
$$
Plus pr\'{e}cis\'{e}ment on d\'{e}finit $M=\overline{M}$ comme le groupe additif sur lequel $A$ agit par la r\`{e}gle ci-dessus.   Si maintenant $M$ est un $A$-module \`{a} gauche\linebreak $M^{\vee}:=\Hom_{A}(M,A)$ est un $A$-module \`{a} droite.   Donc
$$
M^{*}:=\overline{\Hom_{A}(M,A)}
$$
est un $A$-module \`{a} gauche.   On peut d\'{e}finir un foncteur contravariant
$$
^{*}:A-\Mod\longrightarrow A-\Mod
$$
par $\varphi\mapsto \varphi^{\vee}$ o\`{u} $\varphi\in \Hom_{A}(M,N)$ et $\varphi^{\vee}$ est d\'{e}fini par $\varphi^{\vee}(f)=f\varphi$ pour $f\in N^{\vee}$, cf. \cite[I.2.1]{Kn}.   De plus, on a une fl\`{e}che canonique
$$
\varpi^{*}_{M}=\varpi_{M}:M\longrightarrow M^{**},
$$
cf. \cite[I.2.1.2]{Kn}.
Sur la sous-cat\'{e}gorie de $A$-modules projectifs de type fini, la fl\`{e}che $\varpi_{M}$ est un isomorphisme et le foncteur $^{*}$ se restreint en une dualit\'{e}, cf. \cite[I.3.1.2]{Kn}.

Donc une involution sur un anneau non commutatif permet de d\'{e}finir une dualit\'{e} sur sa cat\'{e}gorie des modules projectifs de type fini.

\begin{defn}
\label{forme_hermitienne_defn} \cite[II.2.3]{Kn}

\noindent Soit $(A,\tau)$ un anneau avec involution et soit $M$ un $A$-module fid\`{e}lement projectif.   Un homomorphisme $h\in \Hom(M,M^{*})$ est appel\'{e} {\it forme sesquilin\'{e}aire} et la paire $(M,h)$ est appel\'{e}e {\it module sesquilin\'{e}aire}.    Si $h$ est un isomorphisme, la paire $(M,h)$ est appel\'{e}e {\it espace sesquilin\'{e}aire}.   D\'{e}finissons
$$
{G(A,\tau):=\{ u \in Z(A)\,|\, u\overline{u}=1\}},
$$
o\`{u} $Z(A)$ d\'{e}signe le centre de $A$.   Soit $\epsilon\in G(A,\tau)$ et $h\in \Hom(M,M^{*})$ une forme sesquilin\'{e}aire.   Si le diagramme


%% \[\xymatrix{
%% M \ar[d] \ar[r] & M^{*} \\
%% M^{**} \ar[ru] \\}
%% \]


$$
M\stackrel{h}\longrightarrow M^{*}
$$
$$
\,\,\,\varpi_{M}\downarrow\,\,\,\,\,\,\nearrow h^{*}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
$$
$$
M^{**}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
$$
est $\epsilon$-commutatif, i.e. $h=\epsilon h^{*}\varpi_{M}$, alors $h$ est appel\'{e} {\it forme $\epsilon$-hermitienne} et la paire $(M,h)$ est appel\'{e}e {\it module $\epsilon$-hermitien}.   Si $h$ est un isomorphisme, la paire $(M,h)$ est appel\'{e}e {\it espace $\epsilon$-hermitien}.

Un morphisme $\alpha$ de modules sesquilin\'{e}aires $(M_{1},h_{1})\longrightarrow (M_{2},h_{2})$ est un homomorphisme $\alpha\in \Hom(M_{1},M_{2})$ tel que $h_{1}=\alpha^{*}h_{2}\alpha$, i.e. tel que
$$
\begin{CD}
&& M_{1}@>{\alpha}>>M_{2}\\
&& @V{h_{1}}VV @VV{h_{2}}V \\
&& M^{*}_{1} @<{\alpha^{*}}<< M^{*}_{2}\\ 
\end{CD}
$$
commute.   Les isomorphismes sont appel\'{e}s {\it isom\'{e}tries}.
\end{defn}

\begin{oss}
\label{forme_quad_oss}
\begin{enumerate}
\item Si $\epsilon=1$ les formes $\epsilon$-hermitiennes sont juste appel\'{e}es formes hermitiennes, et si $\epsilon=-1$ on les appelle anti-hermitiennes.   Ces deux cas sont les plus importants.
\item Si l'anneau $A$ est commutatif et l'involution est triviale, une forme hermitienne est une forme bilin\'{e}aire sym\'{e}trique, et une forme anti-hermitienne est une forme altern\'{e}e.   Si $2\in A^{\times}$, les formes sym\'{e}triques correspondent aux formes quadratiques.
\end{enumerate}
\end{oss}

Les $(A,\tau)$-modules $\epsilon$-hermitiens forment ainsi une cat\'{e}gorie. Les $(A,\tau)$-espaces $\epsilon$-hermitiens avec les isom\'{e}tries comme morphismes en forment une sous-cat\'{e}gorie.   Cette sous-cat\'{e}gorie est not\'{e}e $\Herm^{\epsilon}(A,\tau)$.

\subsection[Comparaison de cat\'{e}gories de formes hermitiennes]{Comparaison de cat\'{e}gories de formes hermitiennes}

Les deux propositions suivantes comparent des cat\'{e}gories de formes hermitiennes.   La premi\`{e}re est utile pour \^{e}tre ramen\'{e} \`{a} une involution privilegi\'{e}e, dite canonique ou standard, cf. \cite[I.1.3]{Kn}, qui existe sur certaines alg\`{e}bres, quitte, par exemple, \`{a} consid\'{e}rer les formes anti-hermitiennes \`{a} la place des formes hermitiennes (ou vice versa).   Ceci nous est particuli\`{e}rement utile dans les sections \ref{section_cn} et \ref{section_dn}.   La deuxi\`{e}me proposition est une forme de l'\'{e}quivalence de Morita pour les cat\'{e}gories de formes hermitiennes.

\begin{prop}
\label{scaling}
Soit $(A,\tau)$ un anneau avec involution et soit $u\in A^{\times}$ tel que
$$\tau':x\mapsto u\,\tau(x)\,u^{-1}$$
est aussi une involution de $A$.   Alors $\epsilon_{0}:=u\,\tau(u)^{-1}\in G(A,\tau)$, i.e. $\epsilon_{0}$ est un \'{e}l\'{e}ment du centre de $A$ et $\epsilon_{0}\tau(\epsilon_{0})=1$.   On a alors un isomorphisme de cat\'{e}gories qui respecte les sommes orthogonales et les espaces hyperboliques:
$$
\Herm^{\epsilon}(A,\tau)\stackrel{\sim}\longrightarrow \Herm^{\epsilon\epsilon_{0}}(A,\tau')
$$
defini par $(M,h)\mapsto (M,uh)$ o\`{u} $(uh)(x,y)=uh(x,y)$ pour $x,y\in M$.
\end{prop}

\proof

\cite[I.5.8.2]{Kn}
\endproof


\begin{prop}
\label{morita_herm_prop}
Soit $(A,\tau)$ un anneau avec involution et soit $(P,h_{0})$ un espace $\epsilon_{0}$-hermitien, o\`{u} $\epsilon_{0}\in\{\pm 1\}$.   Soit $B=\End_{A}(P)$ et $\tau'$ l'involution adjointe sur $B$, i.e.
$$
\tau'(g)=h_{0}^{-1}\,g^{*}\,h_{0}.
$$
Alors pour $\epsilon\in\{\pm 1\}$ la fl\`{e}che
$$
\Herm^{\epsilon}(A,\tau)\longrightarrow \Herm^{\epsilon\epsilon_{0}}(B,\tau')
$$
donn\'{e}e par
$$
(M,h)\mapsto (\Hom_{A}(P,M),h'),
$$
o\`{u}
$$
h'(f)(g)=\epsilon h_{0}^{-1}\,f^{*}\,h\,g
$$
pour $f,g\in \Hom_{A}(P,M)$, est une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories.
\end{prop}

\proof
Voir \cite[I.9.3.5]{Kn} et \cite[II.3.4.2]{Kn}.
\endproof

\begin{cor}
\label{morita_herm_cor}
Soit $R$ un anneau avec $2\in R^{\times}$ et soit $\epsilon\in\{\pm 1\}$.   On a une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories
$$
\Herm^{\epsilon}(R,\id) \longrightarrow \Herm^{-\epsilon}(M_{2}(R),\sigma)
$$
o\`{u} $\sigma$ est l'involution sur $M_{2}(R)$ donn\'{e}e par
$$
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
\,\,\,\,d & -b \\
-c & \,\,\,a \\
\end{pmatrix}.
$$
\end{cor}

\proof
On applique la proposition \ref{morita_herm_prop} en posant $A=R$ avec l'involution triviale, $\epsilon_{0}=-1$, $P=R^{2}$ et $h_{0}:R^{2}\times R^{2}\longrightarrow R$ la forme altern\'{e}e standard, d\'{e}finie par $((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))\mapsto x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$~:   dans ce cas, l'involution adjointe sur $B=M_{2}(R)$ est bien l'involution $\sigma$.   Le corollaire suit.
\endproof

\begin{oss}
\label{standard_unique}
L'involution $\sigma$ est appel\'{e}e l'involution standard de l'alg\`{e}bre quaternionique $M_{2}(R)$, voir \cite[I.1.3]{Kn}.   Elle est, par \cite[Prop. I.1.3.4]{Kn}, l'unique involution standard sur $M_{2}(R)$.
\end{oss}


\subsection[Groupe de Witt]{Groupe de Witt}
\label{subsection_groupe_witt}

Consid\'{e}rons maintenant $\mathcal{K}^{+}$, l'ensemble sous-jacent de la cat\'{e}gorie\linebreak $\Herm^{\epsilon}(A,\tau)$ quotient\'{e} par la relation d'\'{e}quivalence d'isom\'{e}trie.   La somme orthogonale de deux espaces hermitiens induit une structure de mono\"{i}de sur $\mathcal{K}^{+}$:
$$
[(M',h')]+[(M',h')]= [(M',h')\bot(M',h')],
$$
o\`{u} [(M,h)] repr\'{e}sente la classe d'isom\'{e}trie d'un espace hermitien (M,h).   En faisant de ce mono\"{i}de d'une mani\`{e}re canonique un groupe, la ``construction de Grothendieck'' expliqu\'{e}e dans (\cite[2.1]{Sch}) par exemple, on obtient le groupe de Witt-Grothendieck $\widehat{W}^{\epsilon}(A,\tau)$.   Le quotient de ce groupe ab\'{e}lien par le sous-groupe des classes d\'{e}finies par les espaces hyperboliques (voir \cite[I.3.5]{Kn} pour la d\'{e}finition d'un espace hyperbolique) est appel\'{e} le groupe de Witt de formes $\epsilon$-hermitiennes sur l'anneau avec involution $(A,\tau)$ et est not\'{e} $W^{\epsilon}(A,\tau)$.   Certains foncteurs entre cat\'{e}gories de formes hermitiennes induisent des homomorphismes (voir isomorphismes) de groupes de Witt.   Deux exemples importants qui induisent des isomorphismes de groupes de Witt sont le ``scaling'' (proposition \ref{scaling}) et l'\'{e}quivalence de Morita (proposition \ref{morita_herm_prop}).

\subsection[Th\'{e}or\`{e}mes de simplification]{Th\'{e}or\`{e}mes de simplification}

Rappelons que pour un anneau commutatif $R$, $\Spm R$ est le sous-ensemble de $\Spec R$ consistant en les id\'{e}aux maximaux avec la topologie induite.   Si $R$ est noeth\'{e}rien, on a $\dim \Spm R \leq \dim \Spec R$, cf. \cite[VI.2.2]{Kn}.   Observons aussi que $\dim \Spm R=0$ si et seulement si $R$ est semilocal.   Pour l'anneau qui est l'objet principal de ce travail on a en fait \'{e}galit\'{e} de la dimension du spectre et de celle du spectre maximal~:

\begin{lem}
\label{dim_spm=dim_spec}
Soit $R=k[t_{1}^{\pm 1},t_{2}^{\pm 1}]$ l'anneau de polyn\^{o}mes de Laurent \`{a} deux variables sur un corps alg\'{e}briquement clos $k$. Alors on a $\dim \Spm R = \dim \Spec R$.
\end{lem}

\proof
Comme $R$ est noeth\'{e}rien, on a $\dim \Spm R \leq \dim \Spec R$ et la cha\^{i}ne d'inclusions de sous-ensembles ferm\'{e}s irr\'{e}ductibles de $\Spm R$
$$
0 \subsetneq ((x-a),(x-b)) \subsetneq V((x-a)) \cap \Spm R
$$
(o\`{u} $a,b\neq 0$) est de longueur $2$, donc $\dim \Spm R \geq 2=\dim \Spec R$.
\endproof

On rappelle le th\'{e}or\`{e}me de simplification de Bass-Schanuel sur la simplification de modules projectifs sur les $R$-alg\`{e}bres finies~:

\begin{thm}
\label{thm:bassschanuel}
Soit $R$ un anneau commutatif avec $\dim \Spm R=d$.   Soit $A$ une $R$-alg\`{e}bre finie et $P$ un $A$-module projectif tel que $f\!$--$\rang_{A}(P) > d$.   Alors, pour tout $A$-module projectif de type fini $Q$ et tout $A$-module $P'$,
$$
P\oplus Q\simeq P'\oplus Q
$$
entra\^{i}ne que $P\simeq P'$.
\end{thm}

\proof
\cite[IV, Cor. 3.5]{Bs3}
\endproof

Une version pour les alg\`{e}bres \`{a} involutions est le th\'{e}or\`{e}me suivant, d\^{u} \`{a} Bak \cite[Sect. 4 (p.60)]{Bk}.

\begin{thm}
\label{simplification}
Soit $R$ un anneau commutatif avec $\dim \Spm R=d$.   Soit $(A,\tau)$ une $R$-alg\`{e}bre finie avec involution et soit $P$ un $A$-module projectif de type fini.   Soit $\epsilon\in \{\pm 1\}$ et supposons que $(M,h)$, $(M',h')$ et $(N,g)$ sont des espaces $\epsilon$-hermitiens sur $(A,\tau)$.
Si
$$
(M,h)\spacebot \hyp(P)\spacebot (N,g)\simeq (M',h')\spacebot (N,g)
$$
et $f\!$--$\rang_{A}\,P>d$, alors $(M,h)\spacebot \hyp(P)\simeq (M',h')$.
\end{thm}

\proof
\cite[VI.6.2.5]{Kn}
\endproof


\section[Involutions sur les alg\`{e}bres d'Azumaya]{Involutions sur les alg\`{e}bres d'Azumaya}
\label{section_inv_alg_azu}

Soit $R$ un anneau (commutatif) avec $2\in R^{\times}$.   Soit $(A,\tau)$ une alg\`{e}bre d'Azumaya sur $R$ \`{a} involution.   La restriction de $\tau$ \`{a} $R$, au centre de $A$, induit une involution $\tau |_{R}$ sur $R$.   Comme $R$ est commutatif, $\tau |_{R}$ est un automorphisme de $R$ d'ordre $2$.   Notons $\Fix(\tau |_{R}):=\{ r\in R \, | \, \tau(r)=r \}$.   C'est un sous-anneau de $R$.   Dans ce travail, deux cas particuliers nous sont utiles~:

\begin{defn}
\label{1_2_espece_involution}
Si $\tau |_{R}=\id_{R}$, ie. $\Fix(\tau |_{R})=R$, on dit que $\tau$ est une involution de {\it premi\`{e}re esp\`{e}ce}.\newline
Si $R$ est une $\Fix(\tau |_{R})$-alg\`{e}bre quadratique (un module localement libre de rang $2$), on dit que $\tau$ est une involution de {\it deuxi\`{e}me esp\`{e}ce}.
\end{defn}

\begin{oss}
Comme $2\in R^{\times}$, la condition sur $R$ d'\^{e}tre une $\Fix(\tau |_{R})$-alg\`{e}bre quadratique revient \`{a} dire que $R$ est une extension \'{e}tale quadratique.
\end{oss}

\noindent Observons que si le groupe de Picard de $R$ est sans torsion on obtient le corollaire suivant de la proposition \ref{scaling}~:

\begin{cor}
\label{herm_versus_antihermi_azumaya}
Soit $A$ une alg\`{e}bre d'Azumaya sur un anneau commutatif $R$ tel que $\Pic(R)$ est sans torsion. Soient $\tau$ et $\tau'$ deux involutions de la m\^{e}me esp\`{e}ce sur $A$.   Alors il existe $\epsilon_{0}\in\{\pm 1\}$ tel que l'on a pour tout $\epsilon\in\{\pm 1\}$ un isomorphisme de cat\'{e}gories
$$
\Herm^{\epsilon}(A,\tau')\stackrel{\sim}\longrightarrow \Herm^{\epsilon\epsilon_{0}}(A,\tau).
$$
\end{cor}

\proof
La composition $\tau' \circ \tau$ est un $R$-automorphisme de $A$.   Par\linebreak \cite[III.5.2]{Kn}, tout $R$-automorphisme de $A$ est int\'{e}rieur.   On a donc un \'{e}l\'{e}ment $u\in A^{\times}$ tel que $\tau' \circ \tau= int(u)$, i.e.
$$
\tau'(x)=\tau'(\tau(\tau(x)))=u\cdot \tau(x) \cdot u^{-1}.
$$
Le r\'{e}sultat suit alors de la proposition \ref{scaling}.
\endproof

Soit maintenant $(A,\tau)$ une alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution sur un anneau $R$ (quelconque avec $2\in R^{\times}$).   La th\'{e}orie de la descente permet d'\'{e}tudier ces alg\`{e}bres \`{a} partir des alg\`{e}bres de matrices.   Si l'involution est de premi\`{e}re esp\`{e}ce, le prochain lemme est fondamental et il nous renseigne sur les notions d'involution de type symplectique et d'involution de type orthogonal.   Pour $u\in \GL_{n}(R)$, notons l'involution $x\mapsto u\,x^{t}\,u^{-1}$ sur l'alg\`{e}bre des matrices $M_{n}(R)$ par $\sigma_{u}$.

\begin{lem}
\label{sympl_ortho_lem}
Soit $(A,\tau)$ une alg\`{e}bre d'Azumaya de rang $n^{2}$ \`{a} involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce sur un anneau commutatif $R$.   Il existe une extension d'anneau fid\`{e}lement plate $S/R$ telle que $\alpha:A\otimes_{R} S \stackrel{\sim}\longrightarrow M_{n}(S)$ et telle que $\alpha(\tau\otimes \id)\,\alpha^{-1}=\sigma_{u}$ pour un certain $u\in M_{n}(S)$ avec $u^{t}=\epsilon \, u$ et $\epsilon\in\mu_{2}(R)$.   L'\'{e}l\'{e}ment $\epsilon$ est ind\'{e}pendant du choix de $S$ et $\alpha$.
\end{lem}

\proof
Voir \cite[III.8.1]{Kn}, en particulier \cite[III.8.1.1]{Kn}.
\endproof

\noindent L'\'{e}l\'{e}ment $\epsilon$ est appel\'{e} la parit\'{e} de $(A,\tau)$.   Plus pr\'{e}cis\'{e}ment~:

\begin{defn}
\label{sympl_ortho}
Soit $(A,\tau)$ une alg\`{e}bre d'Azumaya de rang $n^{2}$ \`{a} involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce sur un anneau commutatif $R$.   Si $\epsilon=1$, on dit que $\tau$ est de {\it type orthogonal}, si $\epsilon=-1$, on dit que $\tau$ est de {\it type symplectique}.
\end{defn}

\noindent \'{E}non\c{c}ons un lemme d'annulation qui nous sera utile plus tard.

\begin{lem}
\label{h1_hens_triv}
Soit $S$ un anneau strictement hens\'{e}lien et $\G$ un $S$-sch\'{e}ma en groupes lisse, alors $H^{1}(S,\G)=1$.
\end{lem}

\proof
Soit $k$ le corps r\'{e}siduel de $S$, on a donc une fl\`{e}che \'{e}valuation $ev:H^{1}(S,\G)\longrightarrow H^{1}(k,\G_{k})$.   L'ensemble $H^{1}(k,\G_{k})$ est trivial puisque $k$ est s\'{e}parablement clos.   Par \cite[XXIV, prop. 8.1]{SGA3}, $ev$ est une bijection, d'o\`{u} le lemme.
\endproof

Ce lemme nous permet d'\'{e}tendre au cas des anneaux beaucoup de descriptions des ensembles de cohomologie d\'{e}j\`{a} connues dans le cas des corps.

Pour les alg\`{e}bres d'Azumaya \`{a} involutions on peut aussi d\'{e}finir par descente les ensembles d'\'{e}l\'{e}ments sym\'{e}triques et antisym\'{e}triques inversibles.   Supposons dans ce qui suit que l'on se trouve dans un des cas deux suivants~:
\begin{enumerate}
\item $(A,\tau)$ est une $R$-alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce;
\item $(A,\tau)$ est une $S$-alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce avec $\Fix(\tau |_{S})=R$ (donc $S/R$ est une extension \'{e}tale de degr\'{e} $2$).
\end{enumerate}

\begin{oss}
\label{faisceaux_fppf}
D\'{e}sormais jusqu'\`{a} la fin de cette section tous les faisceaux s'entendent pour la topologie fid\`{e}lement plate de pr\'{e}sentation finie.
\end{oss}

\begin{defn}
\label{anti_sym_sym_faisceaux}
On d\'{e}finit les faisceaux d'ensembles suivants~:

\begin{flushleft}
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Alg_{R} \,\, \longrightarrow\, \Ens$
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
${\bf A} : \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R'\,\,\,\,\mapsto \,\,\,\, A\otimes_{R} R'$
$\GL_{1}(A) : \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R'\,\,\,\,\mapsto \,\,\,\, GL_{1}(A\otimes_{R} R')$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
$\SYm(A,\tau) : \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R'\,\,\,\,\mapsto \,\,\,\,\{ x\in {\bf A}(R') \,\,|\,\, \tau(x)=x  \}$
$\SYm(A,\tau)^{\times} : \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R'\,\,\,\,\mapsto \,\,\,\,\{ x\in \GL_{1}(A)(R') \,\,|\,\, \tau(x)=x  \}$
\end{flushleft}
\begin{flushleft}
$\SKew(A,\tau) : \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R'\,\,\,\,\mapsto \,\,\,\,\{ x\in {\bf A}(R') \,\,|\,\, \tau(x)=-x \}$
$\SKew(A,\tau)^{\times} : \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R'\,\,\,\,\mapsto \,\,\,\,\{ x\in \GL_{1}(A)(R') \,\,|\,\, \tau(x)=-x  \}.$
\end{flushleft}

\end{defn}

\begin{lem}
\label{anti_sym_sym_rep}
Ces faisceaux sont repr\'{e}sentables par des $R$-sch\'{e}mas affines et lisses sur $R$.
\end{lem}

\proof
Par descente fid\`{e}lement plate, cette question est locale pour la topologie fid\`{e}lement plate de pr\'{e}sentation finie sur $\Spec\,R$.   On peut donc supposer que $A\simeq M_{n}(R)$ dans le premier cas et $A\simeq M_{n}(R) \times M_{n}(R)$ dans le deuxi\`{e}me.   Il suit que l'on est ramen\'{e} \`{a} $R=k$, un corps, pour lequel il est clair que $\bf{A}$ est juste l'espace affine de dimension $n^{2}$ sur $k$, et que $\SYm(A,\tau)$ et $\SKew(A,\tau)$ (resp. $\SYm(A,\tau)^{\times}$ et $\SKew(A,\tau)^{\times}$) sont des sous-foncteurs ferm\'{e}s de ${\bf A}$ (resp. $\GL_{1}(A)$).   Remarquons que l'on peut aussi donner une d\'{e}monstration \'{e}l\'{e}mentaire (i.e. sans utilisation de descente) de cela.
\endproof

Consid\'{e}rons maintenant l'action suivante du $R$-groupe alg\'{e}brique $\GL_{1}(A)$ sur lui-m\^{e}me~:
$$
\GL_{1}(A)\times \GL_{1}(A) \longrightarrow \GL_{1}(A)
$$
$$
(a,x)\mapsto a\cdot x \cdot \tau(a).
$$
On d\'{e}finit les deux $R$-sch\'{e}mas
$$
\Iso(A,\tau):=\Stab_{ \{ 1 \} }=\{a\in \GL_{1}(A)\,\,|\,\,a\,\tau(a)=1\}\,\,
$$
le stabilisateur de $1$, et
$$
\Sim(A,\tau):=\Stab_{ \{ \mathbb{G}_{m} \} }=\{a\in \GL_{1}(A)\,\,|\,\,a\,\tau(a)\in \mathbb{G}_{m}\}\,\,
$$
le stabilisateur de $\mathbb{G}_{m}$.   Ils sont lisses sur $R$.   Le premier groupe s'appelle le {\it groupe d'isom\'{e}tries} de $(A,\tau)$ et le second le {\it groupe de similitudes} de $(A,\tau)$.   Observons que pour toute $R$-alg\`{e}bre $R'$, l'ensemble $\GL_{1}(A)(R')\, /\, \Iso(A,\tau)(R')$ s'identifie \`{a} l'orbite de $1$ sous l'action du groupe abstrait $\GL_{1}(A)(R')$ sur lui-m\^{e}me, i.e. \`{a} l'ensemble $\{ a\tau(a) \,\, | \,\, a\in \GL_{1}(A)(R') \}$.   Comme un \'{e}l\'{e}ment de la forme $a\tau(a)$ est sym\'{e}trique, on peut d\'{e}finir un morphisme de pr\'{e}faisceaux pour la topologie fid\`{e}lement plate sur $R$
$$
f : \GL_{1}(A)\, /\, \Iso(A,\tau) \longrightarrow \SYm(A,\tau)^{\times}
$$
par $a\tau(a)\mapsto a\tau(a)$.

\begin{lem}
\label{quot_rep}

Le morphisme de faisceaux $\tilde{f}$ associ\'{e} \`{a} $f$ est un isomorphisme.   Donc le faisceau associ\'{e} au pr\'{e}faisceau
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Alg_{R}\,\, \longrightarrow\, \Ens
$$
$$
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R'\,\,\,\,\mapsto\,\,\,\, \GL_{1}(A)(R') \,/\, \Iso(A,\tau)(R')
$$
est repr\'{e}sentable par un $R$-sch\'{e}ma affine et lisse.
\end{lem}

\proof   Comme $\tilde{f}$ est \'{e}videmment injectif, il s'agit de montrer sa surjectivit\'{e}.   On peut supposer que $R$ est local et strictement hens\'{e}lien.

Traitons le premier cas (i.e. $A$ est une $R$-alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce).   Alors on a $A\simeq M_{n}(R)$ pour un certain $n$ par le lemme \ref{h1_hens_triv}.   Notons $\tau_{0}$ l'involution ${a\mapsto a^{t}}$, o\`{u} $t$ signifie le transpos\'{e} de $a$.   Par le lemme \ref{sympl_ortho_lem} il existe un $u\in M_{n}(R)$ avec $\tau=int(u)\circ \tau_{0}$; alors $\tau(a)=u\,a^{t}\,u^{-1}$ pour tout $a\in M_{n}(R)$.

Supposons d'abord que $u \in \SYm(M_{n}(R),\tau_{0})^{\times}(R)$, c'est-\`{a}-dire $u^{t}=u$.   Soit\linebreak $r\in\SYm(M_{n}(R),\tau)^{\times}(R)$.   On a $ru\in\SYm(M_{n}(R),\tau_{0})^{\times}(R)$.   Comme\linebreak ${H^{1}(R,\Iso(M_{n}(R),\tau_{0}))=1}$, par le lemme \ref{h1_hens_triv}, toutes les involutions adjointes \`{a} des formes sym\'{e}triques sont conjugu\'{e}es sur $M_{n}(R)$ et on a $r\,u=v\,u\,v^{t}$ pour un certain $v\in \GL_{n}(R)$.   Donc $r=v\tau(v)$ et $r\in \im(\tilde{f})$.

Supposons maintenant que $u \in \SKew(M_{n}(S),\tau_{0})^{\times}(R)$, i.e. $u^{t}=-u$.   Soit $r\in\SYm(M_{n}(R),\tau)^{\times}(R)$.   On a $r=(\frac{1}{2}ru-\frac{1}{2}(ru)^{t})\,u^{-1}$.   Comme $r$ est inversible, $s:=\frac{1}{2}ru-\frac{1}{2}(ru)^{t}\in \SKew(M_{n}(S),\tau_{0})^{\times}(R)$.   Les matrices $u$ et $s$ d\'{e}finissent des formes anti-sym\'{e}triques sur $R$.   Suivant \cite[I.4.1.2]{Kn} $n$ doit alors \^{e}tre pair.   Soit $\nu_{0}$ l'involution symplectique d\'{e}finie par $x\mapsto a_{0}\,x^{t}\,a_{0}$, o\`{u}
$$
a_{0}=\begin{pmatrix}
0 & I_{\frac{n}{2}} \\ -I_{\frac{n}{2}} & 0 \\ \end{pmatrix}
$$
d\'{e}signe la matrice altern\'{e}e standard.   Comme ${H^{1}(R,\Iso(M_{n}(R),\nu_{0}))=1}$, de nouveau par le lemme \ref{h1_hens_triv}, toutes les involutions adjointes \`{a} des formes anti-sym\'{e}triques sont conjugu\'{e}es sur $M_{n}(R)$ et on a $s=v\,u\,v^{t}$ pour un certain $v\in \GL_{n}(R)$.   Donc $r=v\tau(v)$ et $r\in \im(\tilde{f})$.

Finalement si l'on se trouve dans le deuxi\`{e}me cas, alors $A$ est une $S$-alg\`{e}bre d'Azumaya, o\`{u} $S/R$ est une extension \'{e}tale quadratique.   Donc, par le\linebreak lemme \ref{h1_hens_triv}, $S\simeq R \times R$, $A \simeq M_{n}(R) \times M_{n}(R)^{op}$ et par \cite[Prop. 2.14]{BoI}\footnote{Bien que cette proposition soit r\'{e}dig\'{e}e pour $R$ \'{e}tant un corps, elle s'\'{e}tend au cas o\`{u} $R$ est un anneau commutatif.}, il existe $u\in \GL_{n}(R\times R)$ tel que $\tau(a)=u\,\epsilon(a)\,u^{-1}$ pour tout $a\in A$, o\`{u} $\epsilon$ est l'involution d'\'{e}change~: $\epsilon : (x,y) \mapsto (y,x)$.   Comme $\tau^{2}=\id$, on a $u\epsilon(u)^{-1}\in S^{\times}$.   Soit $\lambda \in S^{\times}$ tel que $\epsilon(u)=\lambda\,u$.   En appliquant $\epsilon$ aux deux cot\'{e}s, on obtient $\N_{R \times R/R}(\lambda)=1$.   On a alors $\lambda=(w,w^{-1})$ pour un certain $w\in R^{\times}$.   L'\'{e}l\'{e}ment $\mu:=(w,1)\in R^{\times} \times R^{\times}$ satisfait \`{a} $\lambda=\mu\,\epsilon(\mu)^{-1}$ et l'\'{e}l\'{e}ment $u':=\mu\,u$ est donc tel que
$$
\epsilon(u')=u' \,\,\,\,\,\, \mbox{et} \,\,\,\,\,\,\tau(a)=u'\,\epsilon(a)\,u'^{-1}.
$$
Soit maintenant $r\in\SYm(M_{n}(R\times R),\tau)^{\times}(R)$.   Comme plus haut, on obtient $ru'\in\SYm(M_{n}(R\times R),\epsilon)^{\times}(R)$.   Comme ${H^{1}(R,\Iso(M_{n}(R\times R),\epsilon))=1}$, par le lemme \ref{h1_hens_triv}, toutes les involutions adjointes \`{a} des formes unitaires\linebreak sont conjugu\'{e}es sur $M_{n}(R\times R)$ et on a $r\,u'=v\,u'\,\epsilon(v)$ pour un certain\linebreak $v\in \GL_{n}(R\times R)$.   Donc $r=v\tau(v)$ et aussi ici, $r\in \im(\tilde{f})$.

Observons que dans ce cas on pourrait aussi d\'{e}montrer la repr\'{e}sentabilit\'{e} de ${\GL_{1}(A) / \Iso(A,\tau)(S)}$ par un argument analogue \`{a} celui de la preuve du lemme \ref{anti_sym_sym_rep}, et en utilisant la repr\'{e}sentabilit\'{e} des quotients de sch\'{e}mas sous l'action d'un groupe si $R=k$, un corps (\cite[II.6.7]{Bo}).
\endproof

\begin{prop}
\label{sym_egale_h1_stab_prop}
Supposons que $H^{1}(R,\GL_{1}(A))=1$.   On a alors l'identification

$$
H^{1}(R,\Iso(A,\tau))=\SYm(A,\tau)^{\times}(R)/ \sim\,
$$

\noindent o\`{u} $s \sim s'$ si et seulement si $s'=a\cdot s\cdot \tau(a)$ pour un certain $a\in A^{\times}$.
\end{prop}

\proof
Rappelons que $\Iso(A,\tau)=\Stab_{ \{ 1 \} }$.   Consid\'{e}rons la suite exacte
$$
1\longrightarrow \Stab_{\{ 1 \} }(R)\longrightarrow \GL_{1}(A)(R)\stackrel{a\,\mapsto \,a\,\tau(a)}\vvlongrightarrow \SYm(A,\tau)^{\times}(R)
$$
$$
\stackrel{\partial}\longrightarrow H^{1}(R,\Stab_{\{ 1 \} })\longrightarrow H^{1}(R,\GL_{1}(A)).
$$
Comme $H^{1}(R,\GL_{1}(A))=1$, la fl\`{e}che $\partial$ est surjective et par \cite[ch. II, cor. 3.2.3]{Gir} on a l'identification
$$
H^{1}(R,\Stab_{\{ 1 \} })=\GL_{1}(A)(R)\setminus\SYm(A,\tau)^{\times}(R).
$$
La proposition en r\'{e}sulte.   En effet, calculons la fibre de $\partial$ en $\partial(s)$ pour\linebreak $s\in \SYm(A,\tau)^{\times}(R)$.   Pour cela tordons la suite exacte par un cocycle $a_{s}$\linebreak repr\'{e}sentant $\partial(s)$.   On obtient alors une suite exacte d'ensembles point\'{e}s~:
$$
1\longrightarrow \Stab_{\{ s \} }(R)\longrightarrow \GL_{1}(A)(R)\stackrel{a\,\mapsto\, a\cdot s\cdot \tau(a)}\vvlongrightarrow \big( {_{a_{s}}\SYm(A,\tau)^{\times}\big)(R) },
$$
o\`{u} $_{a_{s}}\SYm(A,\tau)^{\times}$ signifie le sch\'{e}ma tordu de $\SYm(A,\tau)^{\times}$ par le cocycle $a_{s}$.   Mais on sait que
$$
\partial^{-1}(\partial(s))=\im\,\big[ \,\GL_{1}(A)(R)\stackrel{a\,\mapsto\, a\cdot s\cdot \tau(a)}\vvlongrightarrow \big( {_{a_{s}}\SYm(A,\tau)^{\times}\big) (R)}\,\big]
$$
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!= \,\{\,a\cdot s\cdot \tau(a)\,\, | \,\, a\in A^{\times}\}.
$$
Ceci montre que l'on a bien l'identification
$$
H^{1}(R,\Stab_{\{ 1 \} })=H^{1}(R,\Iso(A,\tau))=\SYm(A,\tau)^{\times}(R) / \sim\,.
$$
\endproof

\begin{defn}
\label{ort_sp_u_defn}
On d\'{e}finit le {\it groupe orthogonal}
$$
\Ort(A,\tau):=\Iso(A,\tau)
$$
si l'involution $\tau$ est de premi\`{e}re esp\`{e}ce et de type orthogonal, le {\it groupe symplectique}
$$
\Sp(A,\tau):=\Iso(A,\tau)
$$
si l'involution $\tau$ est de premi\`{e}re esp\`{e}ce et de type symplectique et le {\it groupe unitaire}
$$
\U(A,\tau):=\Iso(A,\tau)
$$
si l'involution $\tau$ est de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce.
\end{defn}

Avec ces notations la proposition \ref{sym_egale_h1_stab_prop} se r\'{e}\'{e}crit~:

\begin{prop}
\label{description_sp_ort_prop}
Sous les hypoth\`{e}ses de la proposition \ref{sym_egale_h1_stab_prop} on a
$$
H^{1}(R,\Ort(A,\tau))=\SYm(A,\tau)^{\times}(R)/ \sim\,
$$
si l'involution $\tau$ est de premi\`{e}re esp\`{e}ce et de type orthogonal,
$$
H^{1}(R,\Sp(A,\tau))=\SYm(A,\tau)^{\times}(R)/ \sim\,
$$
si l'involution $\tau$ est de premi\`{e}re esp\`{e}ce et de type symplectique et
$$
H^{1}(R,\U(A,\tau))=\SYm(A,\tau)^{\times}(R)/ \sim\,
$$
si l'involution $\tau$ est de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce.
\end{prop}

Soit maintenant $(A,\tau)$ une alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce et de type orthogonal.   Soit $\SO(A,\tau)$ le sous-groupe de $\Ort(A,\tau)$ des \'{e}l\'{e}ments de norme r\'{e}duite $1$, i.e.
$$
\SO(A,\tau)=\{a\in \GL_{1}(A)\,\,|\,\,a\,\tau(a)=1\,\,\mbox{et}\,\,\Nrd_{A}(a)=1\}.\,\,
$$
On a donc une description similaire pour l'ensemble $H^{1}(R,\SO(A,\tau))$.   Pour cela il faut tenir compte du discriminant de l'involution $\tau$.   Posons la d\'{e}finition suivante.

\begin{defn}
\label{ssym_faisceaux}
Soit $R$ un anneau.   On d\'{e}finit le faisceau d'ensembles suivant~:

\begin{flushleft}
$\SSYm(A,\tau)^{\times} : \,\,\, \Alg_{R} \,\, \longrightarrow\, \Ens$
\end{flushleft}

\begin{flushleft}
${\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R'\,\,\mapsto \,\,\{(s,z)\in \SYm(A,\tau)^{\times}(R')\times \mathbb{G}_{m}(R') \,\,|\,\, \Nrd_{A\otimes_{R} R'}(s)=z^{2}\}.}$
\end{flushleft}

\end{defn}

\begin{lem}
\label{ssymrep}
Ce faisceau est repr\'{e}sentable par un $R$-sch\'{e}ma affine et lisse.
\end{lem}

\proof
Par descente fid\`{e}lement plate, $\SSYm(A,\tau)^{\times}$ est repr\'{e}sentable par un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} de $\SYm(A,\tau)\times_{R} \mathbb{G}_{m}$ (cf. preuve du lemme \ref{anti_sym_sym_rep}).
\endproof

Consid\'{e}rons maintenant l'action suivante du $R$-groupe alg\'{e}brique $\GL_{1}(A)$ sur le groupe $\GL_{1}(A)\times_{R} \mathbb{G}_{m,R}$~:
$$
\GL_{1}(A)\times (\GL_{1}(A)\times_{R} \mathbb{G}_{m,R}) \longrightarrow \GL_{1}(A)\times_{R} \mathbb{G}_{m,R}
$$
$$
\Big( a,(x,z) \Big) \mapsto \Big( a\cdot x \cdot \tau(a),\Nrd_{A}(a)z \Big) .
$$
Soit $\Stab_{\{ (1,1) \} }=\{a\in \GL_{1}(A) \,\,|\,\, a\tau(a)=1$ et $\Nrd_{A}(a)=1\}\,\,$ le stabilisateur de $(1,1)$.   Observons que pour toute $R$-alg\`{e}bre $R'$, l'ensemble\linebreak $\GL_{1}(A)(R')\, /\, \Stab_{ \{ (1,1) \} }(R')$ s'identifie \`{a} l'orbite de $(1,1)$ sous l'action du groupe abstrait $\GL_{1}(A)(R')$ sur $\GL_{1}(A)(R')\times_{R} \,\mathbb{G}_{m,R}(R')$, i.e. \`{a} l'ensemble
$$
\left\{ \begin{array}{ll}
\Big( a\,\tau(a),\, \Nrd_{A \otimes_{R} R'}(a) \Big) \,\,|\,\, a\in \GL_{1}(A)(R') \\
\end{array} \right\}.
$$
Comme plus haut, on peut d\'{e}finir un morphisme de pr\'{e}faisceaux pour la topologie fid\`{e}lement plate sur $R$
$$
f' : \GL_{1}(A)\, /\, \Stab_{ \{ (1,1) \} } \longrightarrow \SSYm(A,\tau)^{\times}
$$
par $(a\tau(a),\, \Nrd_{A \otimes_{R} R'}(a))\mapsto (a\tau(a),\, \Nrd_{A \otimes_{R} R'}(a))$.

\begin{lem}
\label{quot_rep_2}
Le morphisme de faisceaux $\tilde{f'}$ associ\'{e} \`{a} $f'$ est un isomorphisme.   Donc le faisceau associ\'{e} au pr\'{e}faisceau
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \Alg_{R}\,\, \longrightarrow\, \Ens
$$
$$
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,R'\,\,\,\,\mapsto\,\,\,\, \GL_{1}(A)(R') \,/\, \Stab_{ \{ (1,1) \} }(R')
$$
est repr\'{e}sentable par un $R$-sch\'{e}ma affine et lisse.
\end{lem}

\proof

Comme $\tilde{f'}$ est \'{e}videmment injectif, il s'agit de montrer sa surjectivit\'{e}.   La surjectivit\'{e} en la premi\`{e}re composante est le lemme \ref{quot_rep}.   Pour \'{e}tablir la surjectivit\'{e} dans la seconde composante, on peut supposer $R$ hens\'{e}lien et local et en particulier $A$ d\'{e}ploy\'{e}e.   En effet par la d\'{e}finition de l'ensemble $\SSYm(A,\tau)^{\times}$, si la premi\`{e}re composante de l'image est $a\tau(a)$, alors la deuxi\`{e}me composante ne peut prendre que les valeurs $\Nrd_{A}(a)$ et $-\Nrd_{A}(a)$.   Vu que $A$ est d\'{e}ploy\'{e}e, il existe un \'{e}l\'{e}ment $b\in \GL_{1}(A)(R)$ tel que $b\tau(b)=1$ et\linebreak $\Nrd_{A}(b)=-1$.   Donc $\,\,(a\tau(a),\, \Nrd_{A}(a))\,\,$ et $\,\,(a\tau(a),\, -\Nrd_{A}(a))\,\,$ sont bien \linebreak des \'{e}l\'{e}ments de $\GL_{1}(A)(R)\, /\, \Stab_{ \{ (1,1) \} }(R)$, comme $(ab)\tau(ab)=a\tau(a)$ et\linebreak $\Nrd_{A}(ab)=-\Nrd_{A}(a)$.

On peut d'ailleurs d\'{e}montrer la repr\'{e}sentabilit\'{e} de $\GL_{1}(A) / \Stab_{ \{ (1,1) \} }$ par un argument analogue \`{a} celui dans la preuve du lemme \ref{anti_sym_sym_rep} et en utilisant la repr\'{e}sentabilit\'{e} des quotients de sch\'{e}mas sous l'action d'un groupe si $R=k$, un corps (\cite[II.6.7]{Bo}).
\endproof



\begin{prop}
\label{ssym_egale_h1_stab_prop}
Supposons $H^{1}(R,\GL_{1}(A))=1$, on a alors l'identification
$$
H^{1}(R,\Stab_{\{ (1,1) \} })=\SSYm(A,\tau)^{\times}(R)/ \approx\,
$$
o\`{u} $(s,z) \approx (s',z')$ si et seulement si $s'=a\cdot s\cdot \tau(a)$ et $z'=\Nrd_{A}(a)z$ pour un certain $a\in A^{\times}$.
\end{prop}

\proof
Consid\'{e}rons la suite exacte
$$
1\longrightarrow \Stab_{\{ (1,1) \} }(R)\longrightarrow \GL_{1}(A)(R)\stackrel{a\,\mapsto\, \big( a\,\tau(a),\,\Nrd_{A}(a)\big) }\vvlongrightarrow \SSYm(A,\tau)^{\times}(R)
$$
$$
\stackrel{\partial}\longrightarrow H^{1}(R,\Stab_{\{ (1,1) \} })\longrightarrow H^{1}(R,\GL_{1}(A)).
$$
Comme $H^{1}(R,\GL_{1}(A))=1$, la fl\`{e}che $\partial$ est surjective et par \cite[ch. II, cor. 3.2.3]{Gir} on a l'identification
$$
H^{1}(R,\Stab_{\{ (1,1) \} })=\GL_{1}(A)(R)\setminus\SSYm(A,\tau)^{\times}(R).
$$
La proposition en r\'{e}sulte.   En effet, calculons la fibre de $\partial$ en un \'{e}l\'{e}ment\linebreak $(s,z)\in \SSYm(A,\tau)^{\times}(R)$.   Pour cela tordons la suite exacte par un cocycle $a_{(s,z)}$ correspondant \`{a} $\partial(s,z)$.   On obtient alors~:
$$
1\longrightarrow \Stab_{\{ (s,z) \} }(R)\longrightarrow \GL_{1}(A)(R)\stackrel{a\,\mapsto\, \big( a\,s\,\tau(a),\,\Nrd_{A}(a)\,z\big) }\vvlongrightarrow \big( {_{a_{(s,z)}}\SSYm(A,\tau)^{\times}\big) (R)}
$$
o\`{u} $_{a_{(s,z)}}\SSYm(A,\tau)^{\times}$ signifie le sch\'{e}ma tordu de $\SSYm(A,\tau)^{\times}$ par le cocycle $a_{s,z}$.   Mais on sait que
$$
\partial^{-1}(\partial(s,z)) = \,\im\,\Big[ \,\GL_{1}(A)(R)\stackrel{a\,\mapsto \, \big( a\cdot s\cdot \tau(a),\,\Nrd_{A}(a)\cdot z\big) } \vvlongrightarrow \big( {_{a_{(s,z)}}\SSYm(A,\tau)^{\times}\big) (R)}\,\Big]
$$
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!= \,\{\,(a\cdot s\cdot \tau(a),\,\Nrd_{A}(a)\,z) \,\,| \,\, a\in A^{\times}\}.
$$
Ceci montre que l'on a bien l'identification
$$
H^{1}(R,\Stab_{ \{ (1,1) \}})=\SSYm(A,\tau)^{\times}(R) / \approx\,.
$$
\endproof

Comme on a $\SO(A,\tau)= \Stab_{\{ (1,1) \} }$, la proposition se r\'{e}\'{e}crit de la fa\c{c}on suivante~:

\begin{prop}
\label{description_sort_prop}
Sous les hypoth\`{e}ses de la proposition \ref{ssym_egale_h1_stab_prop} on a
$$
H^{1}(R,\SO(A,\tau))=\SSYm(A,\tau)^{\times}(R)/ \approx\,\,
$$
si $\tau$ est de type orthogonal.
\end{prop}

\begin{oss}
Soit $(A,\tau)$ une $S$-alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce avec $\Fix(\tau |_{S})=R$.   Donc $S/R$ est une extension \'{e}tale de degr\'{e} $2$.   Observons par souci de compl\'{e}tude que, si $H^{1}(R,\GL_{1}(A))=1$, un argument analogue montre que
$$
H^{1}(R,\SU(A,\tau))=\SSYm(A,\tau)^{\times}(R) / \approx\, ,
$$
o\`{u}
\flushleft $\,\,\,\,\,\,\SU(A,\tau)=\{a\in \GL_{1}(A)\,\,|\,\,a\,\tau(a)=1\,\,\mbox{et}\,\,\Nrd_{A}(a)=1\}\,\, ,$
\flushleft ${\,\,\,\,\,\,\SSYm(A,\tau)^{\times}(R')=}$
\flushleft $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{ \{ (s,z)\in \SYm(A,\tau)^{\times}(R')\times \mathbb{G}_{m}(R') \,\,|\,\, \Nrd_{A\otimes_{R} R'}(s)=\N_{S \otimes_{R} R' / R'}(z)\} }$\newline
$\,$\newline
pour une $R$-alg\`{e}bre $R'$ et o\`{u} $(s,z) \approx (s',z')$ si et seulement si $s'=a\cdot s\cdot \tau(a)$ et $z'=\Nrd_{A}(a)z$ pour un certain $a\in A^{\times}$, comme plus haut.
\end{oss}



\chapter[Les conjectures]{Les conjectures}

On expose dans ce chapitre les deux conjectures \'{e}nonc\'{e}es dans \cite{GP1}, qui font l'objet principal de ce travail.   Pour cela on introduit les notions d'une alg\`{e}bre de lacets et deux invariants que l'on peut attacher \`{a} ces alg\`{e}bres.   Les d\'{e}finitions dans ce chapitre sont en grand partie tir\'{e}es de \cite{GP1}.

Supposons, comme d'habitude, que $k$ est un corps.   On utilise dans ce chapitre les notations suivantes:\newline
\indent\mbox{$R_{n}=k[t_{1}^{\pm 1},...,t_{n}^{\pm 1}],\,\,R_{n,d}=k[t_{1}^{\pm \frac{1}{d}},...,t_{n}^{\pm \frac{1}{d}}],\,\,\,\mbox{et}\,\,\,R_{n,\infty}=\lim\limits_{\longrightarrow} \,R_{n,d};$}\newline
\indent\mbox{$K_{n}=k(t_{1}^{\pm 1},...,t_{n}^{\pm 1}),\,\,K_{n,d}=k(t_{1}^{\pm \frac{1}{d}},...,t_{n}^{\pm \frac{1}{d}}),\,\,\,\mbox{et}\,\,\,K_{n,\infty}=\lim\limits_{\longrightarrow} \,K_{n,d}.$}

Pour les groupes alg\'{e}briques lin\'{e}aires sur $k$ on fixe les conventions suivantes.   Un $k$-groupe alg\'{e}brique lin\'{e}aire r\'{e}ductif ou semi-simple est compris dans le sens de Borel \cite{Bo}, en particulier il est suppos\'{e} connexe.   Soit $\G$ un groupe alg\'{e}brique semi-simple sur $k$.   On note son rev\^{e}tement universel $\widetilde{\G}$.   Le noyau de l'isog\'{e}nie centrale $\widetilde{\G}\longrightarrow \G$ est not\'{e} $\mug$; c'est un groupe alg\'{e}brique fini sur $k$.   Le groupe adjoint de $\G$ est not\'{e} $\G^{ad}$; c'est le quotient de $\G$ par son centre.   Pour les sch\'{e}mas en groupes ces conventions se traduisent de mani\`{e}re analogue (cf. \cite{SGA3}, \cite{GP1}).

\begin{defn}
\label{groupe_isotrope_defn}
Soit $\G$ un groupe alg\'{e}brique semi-simple sur un corps $k$.   Alors $\G$ est dit {\em isotrope}, s'il existe une immersion ferm\'{e}e $\mathbb{G}_{m}\hookrightarrow \G$ sur $k$.   Ceci est \'{e}quivalent \`{a} la condition que $\G$ contient un groupe parabolique propre.
\end{defn}

Rappelons aussi le fait suivant bien connu sur les anneaux de polyn\^{o}mes de Laurent~:

\begin{lem}
\label{pic_r_0}
Soient $n,d\geq 1$.   Le groupe de Picard de $R_{n,d}=k[t_{1}^{\pm \frac{1}{d}},...,t_{n}^{\pm \frac{1}{d}}]$ est trivial, i.e. on a
$$
\Pic(R_{n,d})=0.
$$
\end{lem}
\proof
C'est une cons\'{e}quence de \cite[Prop. II.6.2 et Cor. II.6.16]{Ha}.
\endproof

Supposons \`{a} partir de maintenant jusqu'\`{a} la fin de ce chapitre que $k$ est un corps alg\'{e}briquement clos de caracteristique z\'{e}ro et fixons une famille compatible de racines $n$-i\`{e}mes de l'unit\'{e} primitives $(\zeta_{n})_{n\geq 1}$, i.e. pour tout $l\geq 1$, $\zeta_{ln}^{l}=\zeta_{n}$.

Dans ce cas on dispose du th\'{e}or\`{e}me suivant plus profond~:   sur toute extension \'{e}tale finie $S$ de $R_{n}$, tout fibr\'{e} vectoriel de rang $d$ arbitraire est trivial, i.e. tout module projectif est en fait libre.

\begin{thm}
\label{R_2_est_de_quillen_suslin}
Soit $S$ une extension \'{e}tale finie connexe de $R_{n}$.   Tout fibr\'{e} vectoriel sur $\Spec S$ qui est localement trivial pour la topologie de Zariski est trivial, i.e.
$$
H_{Zar}^{1}(S,\GL_{d})=1
$$
pour tout $d\geq 1$.
\end{thm}

\proof
Pour $S=R_{n}$, le r\'{e}sultat peut-\^{e}tre d\'{e}duit du th\'{e}or\`{e}me de Quillen-Suslin qui dit que tout fibr\'{e} vectoriel, localement trivial sur l'espace affine de dimension $n$ sur un corps, est trivial, voir \cite[V.4.10]{La}.   Pour une extension \'{e}tale finie connexe $S$ de $R$, c'est une cons\'{e}quence du fait que l'on peut trouver un $k$-isomorphisme $S\longrightarrow R$, cf. \cite{GP3}.
\endproof


\section[Classes de lacets]{Classes de lacets}
\label{classes_de_lacets_section}

Soit $\G$ un $k$-groupe lin\'{e}airement r\'{e}ductif, c'est-\`{a}-dire un groupe alg\'{e}brique lin\'{e}aire, dont la composante connexe de l'\'{e}l\'{e}ment neutre est r\'{e}ductive.   Soit\linebreak $\mathbf{x}=(x_{1},...,x_{n})$ une famille d'\'{e}l\'{e}ments d'ordre fini de $\G$ qui commutent.   Soit $d$ un entier tel que $x_{1}^{d}=...=x_{n}^{d}=1$.   Rappelons le rev\^{e}tement galoisien $R_{n,d}$ de $R_{n}$, avec groupe de Galois $(\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{n}$ engendr\'{e} par $\tau_{i}$ ($i=1,...,n$) d\'{e}fini par
$$
\tau_{i}(t_{j}^{1/d})=(\zeta_{d})^{\delta_{i,j}}t_{j}^{1/d}.
$$
Ainsi, on peut d\'{e}finir le cocycle $\alpha(\mathbf{x})\in Z^{1}(\Gal(R_{n,d}/R_{n}),\G(R_{n,d}))$ comme suit~:
$$
\alpha(\mathbf{x}): \Gal(R_{n,d}/R_{n})\rightarrow \G(k) \rightarrow \G(R_{n,d}),\,\,\,\,\,\,\,\,\,\tau_{1}^{i_{1}}...\tau_{n}^{i_{n}}\mapsto x_{1}^{-i_{1}}...x_{n}^{-i_{n}}.
$$
Comme d'habitude, on note $[\alpha(\mathbf{x})]$ la classe de $\alpha(\mathbf{x})$ dans $H^{1}(R_{n},\G)$.   Observons que cette classe est ind\'{e}pendante du choix de la p\'{e}riode commune $d$.   Les classes de la forme $[\alpha(\mathbf{x})]$ sont appel\'{e}s {\it classes de lacets}.   Elles forment un sous-ensemble $H_{\mathit loop}^{1}(R_{n},\G)\subset H^{1}(R_{n},\G)$.   Les \'{e}l\'{e}ments de ces classes sont appel\'{e}s {\it torseurs \`{a} lacets}.

Observons que l'on a une action naturelle du groupe $GL_{n}(\mathbb{Z})$ sur l'ensemble des familles de $n$ \'{e}l\'{e}ments d'ordre fini de $\G$ qui commutent~: Soit $\mathbf{a}\in GL_{n}(\mathbb{Z})$ et $\mathbf{x}=(x_{1},...,x_{n})$ comme plus haut.   On d\'{e}finit alors
$$
(^{\mathbf{a}}\mathbf{x})_{i}=\prod\limits_{j=1}^{n} x_{j}^{a_{ij}}\,\,\,\,\,\,\mbox{et}\,\,\,\,\,\,^{\mathbf{a}}\mathbf{x}=((^{\mathbf{a}}\mathbf{x})_{1},...,(^{\mathbf{a}}\mathbf{x})_{n}).
$$
Il suit que l'on obtient une action sur l'ensemble des cocycles\linebreak $Z^{1}(\Gal(R_{n,d}/R_{n}),\G(R_{n,d}))$~: on d\'{e}finit $^{\mathbf{a}}\alpha(\mathbf{x}):=\alpha(^{\mathbf{a}}\mathbf{x})$.   Finalement, cette action passe aux classes d'isomorphie et on obtient alors une action du groupe $GL_{n}(\mathbb{Z})$ sur l'ensemble de cohomologie $H^{1}(R_{n},\G)$.

\subsection[L'indice de Witt-Tits et l'invariant de Brauer]{L'indice de Witt-Tits et l'invariant de Brauer}
\label{indice_tits_brauer_section}

Soit $\G$ maintenant un $k$-groupe alg\'{e}brique r\'{e}ductif (connexe).   Rappelons la d\'{e}finition de l'indice de Witt-Tits de $\G$.   Soit $K/k$ un corps et $[z]\in H^{1}(K,\G)$.   Le groupe tordu ${_{z}}\!\!\G$ admet une seule $\G(K)$-classe de conjugaison de sous-groupes paraboliques minimaux et tout tel $\Para$ est $\G(\overline{K})$-conjugu\'{e} \`{a} un sous-groupe parabolique minimal standard $\Para_{I} \subset \G$, cf. \cite[sect. 3]{GP1}.   Cet $I$ est appel\'{e} l'indice de Witt-Tits de ${_{z}}\!\!\G$ et il d\'{e}pend seulement de $[z]\in H^{1}(K,\G)$, voir \cite[sect. 6.5]{BT}.   Soit maintenant $\mathbf{x}=(x_{1},...,x_{n})$ comme plus haut une famille d'\'{e}l\'{e}ments de $\G$ d'ordre fini qui commutent.   On peut alors d\'{e}finir l'indice de Witt-Tits de $\mathbf{x}$~:

\begin{defn}
L'indice de {\it Witt-Tits} $I(\mathbf{x})$ de $\mathbf{x}$ est l'indice de Witt-Tits du groupe tordu $_{\alpha(\mathbf{x})}\!\!\G_{K_{n}}$.
\end{defn}

\begin{oss}
On peut aussi d\'{e}finir l'indice de Tits d'une telle famille quand le $k$-groupe $\mathbf{F}$ est lin\'{e}airement r\'{e}ductif, i.e. un groupe alg\'{e}brique lin\'{e}aire dont la composante connexe de l'\'{e}l\'{e}ment neutre $\G:=\mathbf{F}^{0}$ est r\'{e}ductive.   On obtient dans ce cas une suite exacte de groupes alg\'{e}briques
$$
1 \longrightarrow \G^{ad} \longrightarrow \AUT(\G) \longrightarrow \OUT(\G) \longrightarrow 1,
$$
voir \cite[XXV, th. 1.3]{SGA3}.   Soit $\mathbf{x}=(x_{1},...,x_{n})$ une famille d'\'{e}l\'{e}ments de $\mathbf{F}$ d'ordre fini qui commutent.   L'indice de Witt-Tits $I(\mathbf{x})$ de $\mathbf{x}$ est l'indice de Tits du $K$-groupe tordu $_{\alpha(\mathbf{x})}\!\!\G_{K}$ et admet la caract\'{e}risation intrins\`{e}que suivante (qui g\'{e}n\'{e}ralise \cite[Prop. 3.3]{GP1})~:  les \'{e}l\'{e}ments minimaux (pour l'inclusion) de l'ensemble des sous-groupes paraboliques de $\G$ normalis\'{e}s par $x_{1},...,x_{n}$ sont tous conjugu\'{e}s par $\G(K)$ et leur type est $I(\mathbf{x})$.\newline
\end{oss}


Supposons maintenant que $n=2$, i.e. $R=R_{2}=k[t_{1}^{\pm 1},t_{2}^{\pm 1}]$, $K=K_{2}=k[t_{1},t_{2}]$.   Dans ce cas on peut attacher un ``invariant de Brauer" \`{a} la famille $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2})$ comme suit.   Consid\'{e}rons le rev\^{e}tement universel simplement connexe
$$
1 \longrightarrow \mug \longrightarrow \widetilde{\G} \longrightarrow \G \longrightarrow 1
$$
de $\G$.   Par \cite[Prop. 3.11(4)]{GP1} tout rel\`{e}vement $\widetilde{\mathbf{x}}=(\widetilde{x}_{1},\widetilde{x}_{2})$ de $\mathbf{x}$ \`{a} $\widetilde{\G}$ est une paire d'\'{e}l\'{e}ments d'ordre fini qui commutent presque, i.e. $[\widetilde{x}_{1},\widetilde{x}_{2}]\in \mathcal{Z}(\widetilde{\G})$, le centre de $\widetilde{\G}$.   Comme la suite exacte $1 \longrightarrow \mug(k) \longrightarrow \widetilde{\G}(k) \longrightarrow \G(k) \longrightarrow 1$ est centrale, le commutateur $\mug(\mathbf{x})=[\widetilde{x}_{1},\widetilde{x}_{2}]\in \widetilde{\G}$ ne d\'{e}pend pas du rel\`{e}vement $\mathbf{x}$.   Par \cite[Prop. 3.16]{GP1}, l'image de $[\alpha(\mathbf{x})]$ par l'homomorphisme connectant
$$
\delta : H^{1}(R,\G)\longrightarrow H^{2}(R,\mug)
$$
est donn\'{e}e par $\delta([\alpha(\mathbf{x})])=\mug(\mathbf{x})^{-1}$.


\begin{defn}
L'\'{e}lement $\mug(\mathbf{x})^{-1}$ est appel\'{e} l'{\it invariant de Brauer} de $\mathbf{x}$.
\end{defn}


\section[Formes d'alg\`{e}bres sur des anneaux de polyn\^{o}mes de Laurent]{Formes d'alg\`{e}bres sur des anneaux de polyn\^{o}mes de Laurent}

\subsection[Alg\`{e}bres de multi-lacets]{Alg\`{e}bres de multi-lacets}
\label{multi_lacets_section}

Pour \'{e}noncer les conjectures, on introduit la notion d'une alg\`{e}bre de multi-lacets.   Introduisons les ingr\'{e}dients n\'{e}cessaires pour la construction d'une telle alg\`{e}bre~:

Soit $A$ une alg\`{e}bre de dimension finie sur $k$.   Soit $\mathbf{\sigma}=(\sigma_{1},...,\sigma_{n})$ une famille d'automorphismes d'ordre fini de la $k$-alg\`{e}bre $A$ qui commutent.   Soit $d$ une p\'{e}riode commune des $\sigma_{j}$, i.e. $\sigma_{j}^{d}=1$ pour tout $j=1,...,n$.

Pour chaque $(i_{1},...,i_{n})\in \mathbb{Z}^{n}$, consid\'{e}rons les espaces propres simultan\'{e}s
$$
A_{i_{1}...i_{n}}=\{x\in A\mid \sigma_{j}(x)=\zeta_{d}^{i_{j}}x\,\,\,\mbox{pour tout}\,\,\,1\leq j\leq n\}
$$
(qui d\'{e}pendent \'{e}videmment seulement des $i_{j}$ modulo $d$).

\begin{defn}
L'{\it alg\`{e}bre de multi-lacets} associ\'{e}e \`{a} cette donn\'{e}e est la $k$-sous-alg\`{e}bre $\mathcal{L}$ de $A\otimes_{k} R_{n,\infty}$ d\'{e}finie comme suit:
$$
\mathcal{L}:=\mathcal{L}(A,\mathbf{\sigma})=\oplus A_{i_{1}...i_{n}}\otimes t_{1}^{i_{1}/d}...t_{n}^{i_{n}/d}\subset A\otimes_{k} R_{n,d}\subset A\otimes_{k} R_{n,\infty}.
$$
\end{defn}

\begin{oss}
Observons que $\mathcal{L}$ ne d\'{e}pend pas du choix de la p\'{e}riode $d$ et que $\mathcal{L}$ a une structure naturelle de $R_{n}$-alg\`{e}bre.
\end{oss}

\noindent On v\'{e}rifie que
$$
\mathcal{L} \otimes_{R_{n}} R_{n,d} \simeq_{R_{n,d}} (A \otimes_{k} R_{n}) \otimes_{R_{n}} R_{n,d} \simeq_{R_{n,d}} A \otimes_{k} R_{n,d}.
$$
Comme $R_{n,d}/R_{n}$ est libre de rang fini, $\mathcal{L}$ est une $R_{n}$-forme de $A \otimes_{k} R_{n}$ qui est trivialis\'{e}e par l'extension $R_{n,d}/R_{n}$.   Il correspond alors \`{a} une alg\`{e}bre de multi-lacets comme plus haut un $R_{n}$-torseur $\mathbf{X}_{\mathcal{L}}$ sous le sch\'{e}ma en groupes $\AUT(A)$.   Par la th\'{e}orie de la descente, $\mathbf{X}_{\mathcal{L}}$ est repr\'{e}sentable par le $R_{n}$-sch\'{e}ma affine, dont le foncteur des points est donn\'{e} par
$$
\mathbf{X}_{\mathcal{L}}(S)=\Hom_{S-alg.}(\mathcal{L}\otimes_{R_{n}}S,A \otimes_{k} S).
$$
On note $[\mathbf{X}_{\mathcal{L}}]$ la classe d'isomorphie du $R_{n}$-torseur $\mathbf{X}_{\mathcal{L}}$.   Donc
$$
[\mathbf{X}_{\mathcal{L}}]\in H^{1}(R,\AUT(A)).
$$

\subsection[Le cas des alg\`{e}bres de Lie]{Le cas des alg\`{e}bres de Lie}

Supposons maintenant que $A=:\mathfrak{g}$ est une alg\`{e}bre de Lie simple (d\'{e}ploy\'{e}e) de dimension finie sur $k$.   On obtient la suite exacte
$$
1 \longrightarrow \AUT^{0}(\mathfrak{g}) \longrightarrow \AUT(\mathfrak{g}) \longrightarrow \OUT(\mathfrak{g}) \longrightarrow 1,
$$
o\`{u} $\AUT^{0}(\mathfrak{g})$ d\'{e}signe la composante connexe de l'\'{e}l\'{e}ment neutre de $\AUT(\mathfrak{g})$.   Soit $\mathbf{x}=(x_{1},...,x_{n})$ une famille d'\'{e}l\'{e}ments d'ordre fini de $\AUT^{0}(\mathfrak{g})$ qui commutent.   Alors $\Ad(\mathbf{x})=(\Ad\,x_{1},...,\Ad\,x_{n})$ est une famille d'automorphismes d'ordre fini de $\mathfrak{g}$ qui commutent.  Par souci de simplicit\'{e}, on note
$$
\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x})=\mathcal{L}(\mathfrak{g},\Ad\,\mathbf{x}).
$$


\section[Les conjectures]{Les conjectures}
\label{chapter_conjectures}

Supposons maintenant que $n=2$, i.e. $R=R_{2}=k[t_{1}^{\pm 1},t_{2}^{\pm 1}]$ est l'anneau des polyn\^{o}mes de Laurent \`{a} deux variables sur $k$, et $K=K_{2}=k(t_{1},t_{2})$ son corps de fractions.   Rappelons que le corps $k$ est suppos\'{e} alg\'{e}briquement clos de caract\'{e}ristique z\'{e}ro.   Dans ce cas on trouve les deux conjectures suivantes dans \cite[section 6]{GP1}~:

\medskip

{\bf Conjecture A. }
{\it Soit $\G$ un sch\'{e}ma en groupes semi-simples sur $R$.   Si $\G\times_{R} K$ est isotrope, alors la fl\`{e}che de bord $H^{1}(R,\G)\stackrel{\partial}\longrightarrow H^{2}(R,\mug)$ a un noyau trivial.}

\medskip

{\bf Conjecture B. }
{\it Soit $\mathfrak{g}$ une alg\`{e}bre de Lie simple, de dimension finie sur $k$ qui n'est pas de type $A$.   Ensuite soient $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2})$ et $\mathbf{y}=(y_{1},y_{2})$ deux paires d'automorphismes de $\mathfrak{g}$ qui commutent.   Alors $\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x})\otimes_{R} K$ est une alg\`{e}bre de Lie de dimension finie et isotrope sur $K$.   De plus,}
$$
\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x})\simeq_{k-Lie} \mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{y})\Leftrightarrow I(\mathbf{x})=I(\mathbf{y}).
$$

\medskip


\begin{oss}
\label{gille_pianzola_conj_oss}
\begin{enumerate}
\item La conjecture A pour un groupe d\'{e}ploy\'{e} et la surjectivit\'{e} de la fl\`{e}che $\partial$ pour $\G$ non n\'{e}cessairement isotrope a d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e} d\'{e}montr\'{e}e dans \cite[Th. 4.18]{GP1}.
\item   Pour d\'{e}montrer la conjecture A pour un groupe $\G$, il suffit alors de montrer que $H^{1}(R,\widetilde{\G})=1$ par la remarque pr\'{e}c\'{e}dente.   En effet, en regardant la suite exacte longue provenant de la suite exacte courte du rev\^{e}tement universel $1\longrightarrow \mug\longrightarrow \widetilde{\G}\longrightarrow \G\longrightarrow 1$, on voit facilement que l'on a une surjection
$$
H^{1}(R,\widetilde{\G})\surjlra \ker\Big( H^{1}(R,\G)\stackrel{\partial}\longrightarrow H^{2}(R,\mug) \Big).
$$
\item La conjecture B est probablement vraie plus g\'{e}n\'{e}ralement.   Dans le chapitre \ref{chapitre_conj_B} on montre que cette conjecture est vraie en rang assez grand pour $\mathfrak{g}$ de type classique $B$, $C$, $D$ et, sous certaines conditions, pour $\mathfrak{g}$ de type $A$.
\end{enumerate}
\end{oss}

Dans les chapitres \ref{chapitre_1_an_orthogonaux} et \ref{chapitre_cn_dn_2an} on d\'{e}montre diff\'{e}rents r\'{e}sultats partiels sur la conjecture A, pour $\G$ \'{e}tant un des types classiques $A,B,C$ et $D$ (i.e. pas de type $^{3}D_{4}$ ou $^{6}D_{4}$).   Dans le chapitre \ref{chapitre_conj_B} on d\'{e}montre des r\'{e}sultats correspondants sur la conjecture B.





\chapter[Le cas $^{1} A_{n-1}$ et les groupes orthogonaux]{Le cas $^{1} A_{n-1}$ et les groupes orthogonaux}
\label{chapitre_1_an_orthogonaux}

\section[Le cas $^{1} A_{n-1}$]{Le cas $^{1} A_{n-1}$}
\label{section_1_an}

Comme d'habitude, $R$ d\'{e}signe un anneau commutatif et $k$ un corps commutatif.   Voici d'abord un th\'{e}or\`{e}me de Panin et Suslin \cite[Th. II]{PS} dont nous avons besoin dans cette section.

\begin{thm}
\label{thm:paninsuslinexact} Soit $X$ un sch\'{e}ma int\`{e}gre de type fini et lisse sur $k$ de corps de fonctions $K=k(X)$.   Soit $S=\{x_{1},...,x_{r}\}$ un nombre fini de points de $X$.   Notons $\mathcal{O}_{S}$ l'anneau semi-local, localisation en les points de $X$ appartenant \`{a} $S$.   De plus notons $\mathcal{X}=\Spec\,\mathcal{O}_{S}$ son spectre.   Supposons que $A$ est une alg\`{e}bre d'Azumaya de degr\'{e} $n$ sur $\mathcal{O}_{S}$. Alors le complexe
$$
0\rightarrow K_{n}(A)\rightarrow K_{n}(A_{K})\stackrel{\partial}\rightarrow \bigoplus\limits_{x\in \mathcal{X}^{(1)}}K_{n-1}(A_{k(x)})\stackrel{\partial}\rightarrow ...\stackrel{\partial}\rightarrow \bigoplus\limits_{x\in \mathcal{X}^{(n)}}K_{0}(A_{k(x)})\rightarrow 0
$$
est exact.
\end{thm}

\proof

\cite[Th. II]{PS}
\endproof

Comme dans le cas classique \cite[V.6]{BKP} on en tire la suite spectrale de Brown-Gersten-Quillen:

\begin{cor}
\label{cor:suitepaninsuslin} Soit $X$ un sch\'{e}ma de type fini et lisse sur $k$ et $A$ une alg\`{e}bre d'Azumaya sur $X$.   On a alors une suite spectrale:

\begin{equation}\label{suite_panin_suslin}
E_{1}^{s,t}=\bigoplus\limits_{x\in X^{(s)}}K_{-s-t}(A_{k(x)})\Rightarrow K_{-s-t}(A)
\end{equation}

\end{cor}


Supposons maintenant que $\G$ est un sch\'{e}ma en groupes semi-simples sur $R$ de type $^{1}A_{n-1}$ avec $n\geq 2$.   Le $R$-sch\'{e}ma en groupes semi-simples simplement connexe et d\'{e}ploy\'{e} de type $A_{n}$ est $\SL_{n}$.   Son groupe adjoint est $\PGL_{n}$, c'est aussi le groupe d'automorphismes int\'{e}rieurs de $\SL_{n}$ et de $\PGL_{n}$.   On rappelle que $\widetilde{\G}$ d\'{e}signe le rev\^{e}tement universel de $\G$ et $\G^{ad}$ le groupe adjoint.   Les sch\'{e}mas en groupes semi-simples sur $R$ de type $^{1}A_{n-1}$ ($n\geq 1$) sont donc classifi\'{e}s \`{a} isomorphisme pr\`{e}s par l'ensemble point\'{e} $H^{1}(R,\PGL_{n})$ et $\widetilde{\G}$ est une $R$-forme de $\SL_{n}$ et $\G^{ad}$ est une $R$-forme de $\PGL_{n+1}$.

Comme il est d\'{e}crit dans \cite[Ch. II, 2.4]{Kne} (cette description se limite au cas o\`{u} $R$ est un corps, mais elle s'\'{e}tend sans difficult\'{e} au cas d'un anneau), on peut \'{e}crire pour toute $R$-alg\`{e}bre $S$:
$$
\widetilde{\G}(S)=\{x\in A\otimes_{R} S\mid \Nrd(x)=1\},
$$
pour une $R$-alg\`{e}bre d'Azumaya $A$ de degr\'{e} $n$, unique \`{a} isomorphisme pr\`{e}s.   On a donc les correspondances bijectives: \newline\newline
$H^{1}(R,\PGL_{n})$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-formes int\'{e}rieures de $\PGL_{n}\}$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-formes int\'{e}rieures de $\SL_{n}\}$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-alg\`{e}bres d'Azumaya de degr\'{e} $n\}$.\newline\newline

Soit maintenant $k$ un corps alg\'{e}briquement clos de caract\'{e}ristique z\'{e}ro.   Supposons $R=k[t_{1}^{\pm 1},t_{2}^{\pm 1}]$, l'anneau des polyn\^{o}mes de Laurent \`{a} deux variables sur $k$.   Notons $K=k(t_{1},t_{2})$ le corps de fractions de $R$.

Pour aborder la conjecture A pour $\G$ on comprend la fl\`{e}che
$$
H^{1}(R,\G)\longrightarrow H^{2}(R,\mug)
$$
comme associant \`{a} une $R$-alg\`{e}bre d'Azumaya sa classe dans le groupe de Brauer de $R$ not\'{e} $\Br(R)$.   Soit $\mug_{d}$ le sch\'{e}ma des racines $d$-i\`{e}mes de l'unit\'{e} $\mug=\mug_{d}$.   On a alors $H^{2}(R,\mug)\simeq{_{d}\Br(R)}$, comme $\Pic(R)=0$ par lemme \ref{pic_r_0}.   Il s'agit donc de d\'{e}montrer que $H^{1}(R,\G)\longrightarrow \Br(R)$ a un noyau trivial.   Si $A$ est l'alg\`{e}bre d'Azumaya correspondante \`{a} $\G$ par les bijections plus haut, ceci \'{e}quivaut \`{a} montrer que toute alg\`{e}bre d'Azumaya Brauer-\'{e}quivalente \`{a} $A$ est en fait isomorphe \`{a} $A$.   Consid\'{e}rons le diagramme commutatif suivant~:
$$
\begin{CD}
&&H^{1}(R,\PGL_{n}) @>{\delta}>> \Br(R)\\
&& @VVV @VVV \\
&&H^{1}(K,\PGL_{n}) @>{\delta'}>> \Br(K)\\
\end{CD}
$$
La fl\`{e}che verticale de droite est une injection par \cite[Cor. 1.18]{Gr1}.   On sait \cite[preuve de Th.4.4.5]{GS} que $\delta'$ est aussi injective.   D'ailleurs, on sait que\linebreak $\Br(R)\simeq \mathbb{Q}/ \mathbb{Z}$ \cite[Prop. 2.1]{GP1}.   L'isomorphisme
$$
\Inv:\Br(R)\stackrel{\sim}\longrightarrow \mathbb{Q}/\mathbb{Z}
$$
est donn\'{e} par $A(m,n)\mapsto \frac{m}{n}$ o\`{u} $A(m,n)$ est l'alg\`{e}bre cyclique de pr\'{e}sentation
$$
X^{n}=t_{1},\,\,Y^{n}=t_{2}^{m}\,\,\,\,\mbox{et}\,\,\,\,YX=\zeta_{n}XY.
$$
Soient $A$ et $A'$ deux alg\`{e}bres d'Azumaya repr\'{e}sentant deux classes dans\linebreak $H^{1}(R,\PGL_{n})$ de m\^{e}me image, $[A(m,n)]$ dans $\Br(R)$.   Soit $r=\pgcd(m,n)$.   Comme $\delta'$ est injective, les classes de $A$ et $A'$ ont m\^{e}me image $[A_{K}]=[A'_{K}]$ dans $H^{1}(K,\PGL_{n})$.

\begin{defn}
\label{defn:isotrope}
Soit $A$ une alg\`{e}bre d'Azumaya d\'{e}finissant une classe dans $[A]\in H^{1}(R,\PGL_{n})$ et soit $[A_{K}]$ son image dans $H^{1}(K,\PGL_{n})$, repr\'{e}sent\'{e}e par une alg\`{e}bre simple centrale $A_{K}$ sur $K$.   Alors $A$ (ou sa classe $[A]$) est dite {\em rationnellement isotrope} si le $K$-groupe alg\'{e}brique tordu $\PGL_{1}(A_{K})$ est isotrope sur $K$, i.e. s'il existe un monomorphisme $\mathbb{G}_{m}\hookrightarrow \PGL_{1}(A_{K})$ sur $K$ (voir la d\'{e}finition \ref{groupe_isotrope_defn}).
\end{defn}

\begin{lem}
\label{lem:condisotrope} L'alg\`{e}bre d'Azumaya $A$ de degr\'{e} $n$ sur $R$ est rationnellement isotrope si et seulement si $\delta([A])=[A(m,n)]$ pour $\pgcd(m,n)\neq 1$.
\end{lem}

\proof
Par \cite[Ch. 2.5]{GS}, $A(m,n)_{K}$ est une alg\`{e}bre \`{a} division si et seulement si $\pgcd(m,n)=1$.   Il s'agit donc de montrer qu'il y a un monomorphisme $\mathbb{G}_{m,K}\hookrightarrow \PGL_{1,K}(D)$ si et seulement si $D$ n'est pas une alg\`{e}bre \`{a} division sur $K$.   Ceci est pourtant un r\'{e}sultat bien connu, voir \cite{Ti}.
\endproof

Donc pour d\'{e}montrer la conjecture A dans le cas $^{1}A_{n-1}$, il s'agit de voir que toute alg\`{e}bre d'Azumaya Brauer-\'{e}quivalente \`{a} une alg\`{e}bre d'Azumaya de la forme $A(m,n)$ avec $\pgcd(m,n)\neq 1$ lui est en fait isomorphe.   Commen\c{c}ons par un lemme qui nous est utile dans la d\'{e}monstration de la proposition suivante et qui est un cas particulier de la conjecture II de Serre.

\begin{lem}
\label{lem:h1ksl1ak} Soit $A$ une alg\`{e}bre d'Azumaya sur $R$.   Alors
$$
H^{1}(K,\SL_{1}(A_{K}))=1.
$$
\end{lem}

\proof
On peut tordre la suite exacte
$$
0\longrightarrow \SL_{n}\longrightarrow \GL_{n} \longrightarrow \mathbb{G}_{m}\longrightarrow 0
$$
de $K$-groupes par la forme int\'{e}rieure $ { \SL_{1}(A_{K})=\{x\in A_{K} \,\, | \,\, \Nrd(x)=1\} } $ de $\SL_{n}$.   Vu que $H^{1}(K,\GL_{1}(A_{K}))=1$ par le th\'{e}or\`{e}me 90 de Hilbert, on d\'{e}duit de la suite exacte longue correspondant \`{a} cette suite exacte courte tordue une bijection
$$
H^{1}(K,\SL_{1}(A_{K})) \leftrightarrow K^{\times}/ \Nrd(A_{K}^{\times}).
$$
Mais par le th\'{e}or\`{e}me de Tsen, $K$ est un corps $C_{2}$.   La norme r\'{e}duite, \'{e}tant une fonction polyn\^{o}miale \`{a} $n^{2}$ variables, homog\`{e}ne de degr\'{e} $n$, repr\'{e}sente alors tout \'{e}l\'{e}ment de $K^{\times}$, i.e. $\Nrd:A_{K}^{\times}\longrightarrow K^{\times}$ est surjective.   Par cons\'{e}quent, on a bien $H^{1}(K,\SL_{1}(A_{K}))=1$ (cf. \cite[Ch.III, Ex.3.2 et Ch.II, n.4.5]{Se}).
\endproof

\begin{prop}
\label{prop:kzeroazumaya} Soit $A$ une alg\`{e}bre d'Azumaya sur $R$. Alors $K_{0}(A)\simeq \mathbb{Z}$, i.e. tout module projectif de type fini sur $A$ est stablement libre.
\end{prop}

\proof
On prouve cette proposition \`{a} l'aide de la suite spectrale de Panin-Suslin (\ref{suite_panin_suslin}):
$$
E_{1}^{s,t}=\bigoplus\limits_{x\in X^{(s)}}K_{-s-t}(A_{k(x)})\Rightarrow K_{-s-t}(A).
$$
Observons que $K_{0}(A_{K})\simeq \mathbb{Z}$ par l'\'{e}quivalence de Morita.   En effet, on a\linebreak $A_{K}\simeq M_{r}(\Delta)$ pour un entier $r$ et une alg\`{e}bre \`{a} division $\Delta$ et $K_{0}(\Delta)\simeq\mathbb{Z}$ par \cite[Lem. 1.2]{Mil}.   Comme $E_{2}^{-2,-2}$, $E_{2}^{-1,-1}$ et $E_{2}^{0,0}=E_{1}^{0,0}=K_{0}(A_{K})$ sont les quotients successifs d'une filtration de $E^{0}=K_{0}(A)$, il suffit de montrer que $E_{2}^{-1,-1}=E_{2}^{-2,-2}=0$ pour \'{e}tablir notre proposition.

Montrons que $E_{2}^{-1,-1}=0$. Pour cela il faut montrer la surjectivit\'{e} de la diff\'{e}rentielle
$$
d_{1}^{0,-1}:E_{1}^{0,-1}=K_{1}(A_{K})\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}}K_{0}(A_{k(x)})=E_{1}^{-1,-1}.
$$
Consid\'{e}rons alors le diagramme commutatif suivant, dont la deuxi\`{e}me ligne est exacte en ses deux derniers termes non nuls~:
$$
\begin{CD}
&&A_{K}^{\times} @>>>K_{1}(A_{K})  @>{d_{1}^{0,-1}}>>\bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}}K_{0}(A_{k(x)})\\
&& @VV \Nrd V @VV \Nrd_{(1)} V @VV \Nrd_{(0)} V\\
&&K^{\times} @>{\sim}>>K_{1}(K)  @>{d'}>>\bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}}K_{0}(k(x)) @>>> \CH^{1}(R)@>>>0.
\end{CD}
$$
Le groupe $\CH^{1}(R)$ est le premier groupe de Chow de $R$ (cf. \cite[1.3]{Fu}).   Dans ce diagramme, le premier carr\'{e} commute par \cite[Lem. 2.8.9]{GS} et le second par \cite[3.3]{PS}.   De plus, $k(x)$ est un corps de dimension $1$ pour $x\in X^{(1)}$, donc $\Br(k(x))=0$.   Donc si $x\in X^{(1)}$, $A_{k(x)}\simeq M_{n}(k(x))$, alors
$$
K_{0}(M_{n}(k(x)))\stackrel{\simeq}\longrightarrow K_{0}(k(x))\simeq \mathbb{Z}
$$
est un isomorphisme (\'{e}quivalence de Morita).   Il suit que $\Nrd_{(0)}$ est bien un isomorphisme.

De plus, comme $H^{1}(K,\SL_{1}(A_{K}))=1$ par le lemme pr\'{e}c\'{e}dent, la norme r\'{e}duite $\Nrd$ est surjective.   Il est bien connu que $K_{1}(K)\simeq K^{\times}$, donc la fl\`{e}che $\Nrd_{(1)}$ est surjective.   Pour montrer la surjectivit\'{e} de $d_{1}^{0,-1}$ il reste \`{a} montrer la surjectivit\'{e} de $d'$.   Mais $\CH^{1}(\mathbb{A}_{k}^{2})\surjlra \CH^{1}(R)$ est une surjection et $\CH^{1}(\mathbb{A}_{k}^{2})=0$ par \cite[Ex.2.1.1]{Fu}, donc $d'$ est bien surjective.

Montrons maintenant $E_{2}^{-2,-2}=0$, i.e. la surjectivit\'{e} de la diff\'{e}rentielle
$$
E_{1}^{-1,-2}=\bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}}K_{1}(A_{k(x)})\stackrel{d_{1}^{-1,-2}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(2)}}K_{0}(A_{k(x)})=E_{1}^{-2,-2}.
$$
On consid\`{e}re le diagramme suivant, commutatif par \cite[3.3]{PS}.   Sa deuxi\`{e}me ligne est exacte:
$$
\begin{CD}
&&\bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}}K_{1}(A_{k(x)}) @>{d_{1}^{-1,-2}}>>\bigoplus\limits_{x\in X^{(2)}}K_{0}(A_{k})\\
&& @VV \Nrd_{(1)} V @VV \Nrd_{(0)} V\\
&&\bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}}K_{1}(k(x)) @>{d'}>>\bigoplus\limits_{x\in X^{(2)}}K_{0}(k) @>>> \CH^{2}(R)@>>>0.
\end{CD}
$$
Comme $\Br(k)=0$ et $\Br(k(x))=0$ pour $x\in X^{(1)}$, $A_{k}\simeq M_{n}(k)$ et $A_{k(x)}\simeq M_{n}(k(x))$.   Donc par l'\'{e}quivalence de Morita les deux fl\`{e}ches $\Nrd_{(1)}$ et $\Nrd_{(0)}$ sont des isomorphismes.   De nouveau, $\CH^{2}(\mathbb{A}_{k}^{2})\surjlra \CH^{2}(R)$ est surjective et $\CH^{2}(\mathbb{A}_{k}^{2})=0$ par \cite[Ex.2.1.1]{Fu}, donc $d'$ est bien surjectif.   Ceci entra\^{i}ne la surjectivit\'{e} de $d_{1}^{-1,-2}$.

Comme $E_{2}^{-1,-1}=E_{2}^{-2,-2}=0$, on a bien \'{e}tabli $K_{0}(A)=E^{0}\simeq E_{1}^{0,0}=K_{0}(A_{K})\simeq \mathbb{Z}$.
\endproof

\noindent On en tire le corollaire suivant~:

\begin{cor}
\label{cor:projalorslibre}
Soit $A$ une alg\`{e}bre d'Azumaya sur $R$.   Alors tout $A$-module projectif de rang relatif $\geq 3$ est libre.
\end{cor}

\proof
C'est une cons\'{e}quence de la proposition \ref{prop:kzeroazumaya} combin\'{e}e avec le \linebreak th\'{e}or\`{e}me \ref{thm:bassschanuel} de simplification de Bass-Schanuel.   En effet soit $P$ un $A$-module projectif de rang relatif $r\geq 3$.   Suivant la proposition \ref{f-rangegalrang}, on a $f\!$--$\rang_{A}\,P=r\geq 3$.   On a pour un certain $s\geq 3$
$$
P\oplus A^{s-r}\simeq A^{r}\oplus A^{s-r},
$$
comme $P$ est stablement libre par la proposition \ref{prop:kzeroazumaya}.   En appliquant le th\'{e}or\`{e}me \ref{thm:bassschanuel} avec $Q=A^{s-r}$ on obtient que $P\simeq A^{r}$.
\endproof


\begin{thm}
\label{thm:conjpgln1} Si $[A]\in H^{1}(R,\PGL_{n})$ est telle que $\delta([A])=[A(m,n)]$ avec $r:=\pgcd(m,n)>2$, alors la fibre de $\delta$ en $[A]$ est r\'{e}duite \`{a} un \'{e}l\'{e}ment, i.e. $A\simeq A(m,n)$.
\end{thm}

\proof
On peut supposer que $n,r\geq 3$.  On consid\`{e}re l'alg\`{e}bre $D=A(\frac{m}{r},\frac{n}{r})$, donc $D_{K}$ est une alg\`{e}bre \`{a} division.   Comme $A$ et $D$ ont m\^{e}me image dans le groupe de Brauer, il existe un $D$-module fid\`{e}lement projectif $P$, tel que $A=\End_{D}(P)$.   Par \cite[4.7.1]{Kn1} on a en fait $f\!$--$\rang_{D}(P)=r$.   Le corollaire \ref{cor:projalorslibre} montre que $P\simeq D^{r}$ et $A\simeq M_{r}(D)$.   Donc on a bien $A\simeq A(m,n)$.
\endproof

Consid\'{e}rons la condition suivante sur un sch\'{e}ma en groupes semi-simples $\G$ de type $^{1}A_{n-1}$:
$$
L'alg\grave{e}bre \,\, d'Azumaya \,\, correspondante \,\, \grave{a} \,\, \G \,\, est
$$
\begin{equation}
\label{pgcd_m_n_2}
Brauer-\acute{e}quivalente \break \,\, \grave{a} \,\, A(m,n) \,\, avec \,\, \pgcd(m,n)>2.
\end{equation}

\begin{cor}
\label{corconjpgln1}
Supposons que $n\geq 2$ et que $\G$ est un sch\'{e}ma en groupes semi-simples (connexe) de type $^{1}A_{n-1}$ sur $R$.   Supposons que soit $n$ est premier, soit $\G$ satisfait \`{a} la condition (\ref{pgcd_m_n_2}).   Soit $\mug$ le noyau du rev\^{e}tement universel $\tilde{\G}\surjlra \G$.   Alors la conjecture A est vraie pour $\G$, i.e. l'homomorphisme connectant
$$
H^{1}(R,\G)\longrightarrow H^{2}(R,\mug)
$$
a un noyau trivial.
\end{cor}

\proof
Soit $A(m,n)$ l'alg\`{e}bre d'Azumaya correspondante \`{a} $\G$.   On a $\widetilde{\G}=\SL_{1}(A(m,n))$ et $\G_{ad}=\PGL_{1}(A(m,n))$.   Par la remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss} il suffit de montrer que $H^{1}(R,\SL_{1}(A(m,n)))=1$.   Consid\'{e}rons alors la suite exacte suivante d'ensembles point\'{e}s

$$
H^{1}(R,\SL_{1}(A(m,n)))\stackrel{p_{*}^{1}}\longrightarrow H^{1}(R,\PGL_{1}(A(m,n)))\stackrel{\partial}\longrightarrow H^{2}(R,\mug_{n}).
$$

Celle-ci fait partie de la suite exacte longue provenant de la suite exacte courte

$$
1\longrightarrow \mug_{n}\longrightarrow \SL_{1}(A(m,n))\stackrel{p}\longrightarrow \PGL_{1}(A(m,n))\longrightarrow 1.
$$

Le th\'{e}or\`{e}me \ref{thm:conjpgln1} montre que $\partial$ a un noyau trivial.   Par \cite[preuve du Th. 3.17]{GP} la fl\`{e}che $p_{*}^{1}$ est injective.   On a donc $H^{1}(R,\SL_{1}(A(m,n)))=1$ et le r\'{e}sultat suit.
\endproof

\section[Le cas des groupes orthogonaux]{Le cas des groupes orthogonaux}
\label{section_bn}

Dans cette section on expose par souci de compl\'{e}tude un r\'{e}sultat de Parimala, \cite[Th. 3.5]{Pa}.   Supposons ici que $R$ est un anneau commutatif avec $\Spec\,R$ connexe et $2\in R^{\times}$.

\begin{oss}
Sauf mention expresse du contraire, toute forme quadratique est suppos\'{e}e r\'{e}guli\`{e}re (i.e. l'homomorphisme induit entre le module quadratique et son dual est un isomorphisme) dans ce chapitre.
\end{oss}


Soit $\G$ un sch\'{e}ma en groupes semi-simples sur $R$ de type $B_{n}$ avec $n\geq 2$.   Le sch\'{e}ma en groupes semi-simples simplement connexe d\'{e}ploy\'{e} de type $B_{n}$ est $\Spin_{2n+1}:=\Spin(q)$, le groupe des spineurs associ\'{e} \`{a} forme quadratique ${q=\hyp(R^{n})\,\, \bot \qua 1\quoi}$.   Le centre de $\Spin_{2n+1}$ est $\mug_{2}$ et le groupe sp\'{e}cial orthogonal $\SO_{2n+1}$ est son adjoint.   Alors $\G$ est une $R$-forme de $\Spin_{2n+1}$ (dans ce cas $\G=\widetilde{\G}$ est simplement connexe) ou de $\SO_{2n+1}$ (dans ce cas $\G$ est adjoint).

Soit maintenant $q$ une $R$-forme quadratique (reguli\`{e}re) de rang $2n+1$.   Par \cite[IV.5.2.1]{Kn} on a une suite exacte scind\'{e}e
\begin{equation}
\label{suite_so_o_q_impair}
1\longrightarrow \SO(q)\longrightarrow \Ort(q)\stackrel{det}\longrightarrow \mug_{2}\longrightarrow 1
\end{equation}
de $R$-sch\'{e}mas en groupes lin\'{e}airement r\'{e}ductifs.   Pour la forme\linebreak ${q=\hyp(R^{n}) \,\,\bot \qua 1\quoi }$ on obtient la suite exacte d'ensembles point\'{e}s
$$
1\rightarrow \SO_{2n+1}(R)\rightarrow \Ort_{2n+1}(R)\stackrel{det}\rightarrow \mug_{2}(R)\rightarrow H^{1}(R,\SO_{2n+1})
$$
$$
\stackrel{i_{*}^{1}}\rightarrow H^{1}(R,\Ort_{2n+1})\stackrel{det_{*}^{1}}\rightarrow H^{1}(R,\mug_{2}).
$$
Par \cite[IV.3.2.1]{Kn}, l'ensemble point\'{e} $H^{1}(R,\Ort_{2n+1})$ classifie les classes\linebreak d'isom\'{e}trie de formes quadratiques (r\'{e}guli\`{e}res) de rang $2n+1$ sur $R$.   Comme la suite exacte (\ref{suite_so_o_q_impair}) est scind\'{e}e pour toute forme quadratique de rang $2n+1$ sur $R$, on obtient par l'argument habituel de torsion que $i_{*}^{1}$ est injective.   En d'autres termes on a une inclusion
$$
H^{1}(R,\SO_{2n+1})\hookrightarrow H^{1}(R,\Ort_{2n+1}).
$$
La fl\`{e}che $\det_{*}^{1}$ associe \`{a} la classe d'une forme quadratique $q$ son discriminant sign\'{e}.   Donc $H^{1}(R,\SO_{2n+1})$ classifie les classes d'isom\'{e}trie de formes quadratiques (r\'{e}guli\`{e}res) de rang $2n+1$ et de discriminant trivial.

D'un autre c\^{o}t\'{e}, tout automorphisme de $\Spin_{2n+1}$ est int\'{e}rieur, donc on a les isomorphismes de $R$-sch\'{e}mas en groupes~:
$$
\Aut(\Spin_{2n+1})=\Int(\Spin_{2n+1})\simeq \SO_{2n+1}.
$$
Par suite, $H^{1}(R,\SO_{2n+1})$ classifie aussi les $R$-formes de $\SO_{2n+1}$ et $\Spin_{2n+1}$ \`{a} isomorphisme pr\`{e}s.   On a donc \'{e}tabli des bijections
\newline\newline
$H^{1}(R,\SO_{2n+1})$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-formes quadratiques r\'{e}guli\`{e}res de rang $2n+1$ et de discriminant trivial$\}$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-formes du groupe $\Spin_{2n+1}\}$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-formes du groupe $\SO_{2n+1}\}$
\newline\newline\noindent
par les identifications $q\mapsto \Spin(q)$ et $q\mapsto \SO(q)$.   On voit ainsi que ${\G\simeq \SO(q)}$ ou ${\G\simeq \Spin(q)}$ pour une certaine $R$-forme quadratique de rang $2n+1$ (et de discriminant trivial). \newline

Supposons maintenant que $\G$ est de type $D_{n}$ avec $n\geq 4$.   Le groupe semi-simple simplement connexe d\'{e}ploy\'{e} de type $D_{n}$ est $\Spin_{2n}:=\Spin(q)$, le groupe des spineurs associ\'{e} \`{a} la forme quadratique $q=\hyp^{n}(R)$.   Le centre de $\Spin_{2n}$ est $\mug_{4}$ si $n$ est impair et $\mug_{2}\times \mug_{2}$ si $n$ est pair.   Le groupe adjoint de $\Spin_{2n}$ est $\PSO_{2n}$.   Si $n$ est impair, le quotient de $\Spin_{2n}$ par son sous-groupe $\mug_{2}$ est le groupe sp\'{e}cial orthogonal $\SO_{2n}$.   Pour obtenir $\SO_{2n}$ si $n$ est pair, on quotiente $\Spin_{2n}$ par son sous-groupe $\mug_{2}$ qui se factorise en $\mug_{2}\stackrel{i}\longrightarrow \mug_{2}\times \mug_{2}$, o\`{u} $i(1)=(1,1)$, cf. \cite[p.375]{BoI}.   De plus le groupe d'automorphismes de $\Spin_{2n}$ (et donc de $\SO_{2n}$) est $\PO_{2n}:=\Ad(\Ort_{2n})$, le groupe quotient de $\Ort_{2n}$ par son centre.   Donc $H^{1}(R,\PO_{2n})$ classifie les $R$-formes de $\Spin_{2n}$, $\SO_{2n}$ ou $\PSO_{2n}$ \`{a} isomorphisme pr\`{e}s.   Consid\'{e}rons maintenant la condition suivante sur l'anneau $R$~:
$$
Toute \,\, forme \,\, quadratique \,\, de \,\, rang \,\, pair\geq 2r \,\, sur \,\, R \,\, contient \,\, un
$$
\begin{equation}
\label{isotrope_egale_fortement_isotrope}
facteur \,\, direct \,\, isom\acute{e}trique \,\, au \,\, plan \,\, hyperbolique \,\, <1,-1>.
\end{equation}
Supposons que $R$ satisfait \`{a} cette condition pour un certain $r\in \mathbb{N}$.   Soit $n\geq r$.   Donc par \cite[IV.5.2.2]{Kn} on a pour toute $R$-forme quadratique $q$ de rang $2n$ une suite exacte scind\'{e}e
\begin{equation}
\label{suite_so_o_q_pair}
1\longrightarrow \SO(q)\longrightarrow \Ort(q)\stackrel{Di}\longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\longrightarrow 1
\end{equation}
de $R$-sch\'{e}mas en groupes lin\'{e}airement r\'{e}ductifs.   Elle induit une suite exacte d'ensembles point\'{e}s
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! 1\rightarrow \SO(q)(R)\rightarrow \Ort(q)(R)\stackrel{\det}\rightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}(R)\rightarrow H^{1}(R,\SO(q))\stackrel{i_{*}^{1}}\rightarrow H^{1}(R,\Ort(q))\stackrel{Di_{*}^{1}}\rightarrow H^{1}(R,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).
$$
Par \cite[IV.2.2.1]{Kn}, l'ensemble point\'{e} $H^{1}(R,\Ort(q))$ classifie les classes d'isom\'{e}trie de formes quadratiques r\'{e}guli\`{e}res de rang $2n$ sur $R$ et l'image de $i_{*}$ dans $H^{1}(R,\Ort(q))$ classifie les classes de telles formes qui sont de m\^{e}me discriminant que $q$.   Comme la suite exacte (\ref{suite_so_o_q_pair}) est scind\'{e}e pour toute forme quadratique de rang $2n$ sur $R$, on obtient, comme plus haut, par l'argument habituel de torsion que $i_{*}^{1}$ est injective, i.e. une inclusion
$$
H^{1}(R,\SO(q))\hookrightarrow H^{1}(R,\Ort(q)).
$$
Il suit que l'ensemble $H^{1}(R,\SO(q))$ classifie les classes d'isom\'{e}trie de formes quadratiques r\'{e}guli\`{e}res de rang $2n$ sur $R$ et de m\^{e}me discriminant que $q$.\newline

Soit maintenant $k$ un corps alg\'{e}briquement clos de caract\'{e}ristique z\'{e}ro.   Rappelons que $R=R_{2}=k[t_{1}^{\pm 1},t_{2}^{\pm 1}]$ est l'anneau des polyn\^{o}mes de Laurent \`{a} deux variables sur $k$ et $K=K_{2}=k(t_{1},t_{2})$ son corps de fractions.

On d\'{e}duit facilement du th\'{e}or\`{e}me de Parimala \cite[Th. 3.5]{Pa} le th\'{e}or\`{e}me suivant~:

\begin{thm}
\label{parimala_thm}
\begin{enumerate}
\item On a la simplification pour les $R$-formes quadratiques $K$-isotropes:   soient $q_{1}$ et $q_{2}$ deux telles $R$-formes et supposons que\linebreak $q_{1} \spacebot q \, \simeq \, q_{2} \spacebot q$ pour une $R$-forme quadratique $q$, alors $q_{1}\simeq q_{2}$.
\item Soient $q$ et $q'$ deux $R$-formes quadratiques $K$-isotropes.   Si $q_{K}\simeq q'_{K}$ alors $q\simeq q'$.
\item Soit $q$ une $R$-forme quadratique de rang $\geq 5$.   Alors $q$ est $R$-isotrope et diagonalisable.
\end{enumerate}
\end{thm}

\proof

\cite[Th. 6.2]{GP1}
\endproof

Ce th\'{e}or\`{e}me montre que si $q$ est une $R$-forme quadratique de rang $\geq 5$, alors on a une injection
$$
H^{1}(R,\Ort(q)) \hookrightarrow H^{1}(K,\Ort(q)).
$$
Il montre \'{e}galement que notre anneau satisfait \`{a} la condition (\ref{isotrope_egale_fortement_isotrope}) avec $r=3$.   On a donc, par les discussions pr\'{e}c\'{e}dentes, une injection
\begin{equation}
\label{SO_R_SO_K}
H^{1}(R,\SO(q)) \hookrightarrow H^{1}(K,\SO(q)).
\end{equation}
Gille et Pianzola \cite[Cor. 6.3]{GP1} ont alors d\'{e}montr\'{e} le corollaire suivant du th\'{e}or\`{e}me de Parimala~:

\begin{cor}
\label{cor:spin_so}
Soit $q$ une $R$-forme quadratique de rang $\geq 5$.   Alors~:
\begin{enumerate}
\item $H^{1}(R,\Spin(q))=1$,
\item  $H^{1}(R,\SO(q))=\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$.
\end{enumerate}
\end{cor}

\proof
Montrons d'abord que $H^{1}(R,\Spin(q))=1$.   On a une suite exacte de $R$-sch\'{e}mas en groupes lin\'{e}airement r\'{e}ductifs
$$
1\longrightarrow \mug_{2}\longrightarrow \Spin(q)\longrightarrow \SO(q)\longrightarrow 1.
$$
On en d\'{e}duit un diagramme commutatif dont la premi\`{e}re ligne est exacte:
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{CD}
\SO(q) @>{\N_{S}}>> H^{1}(R,\mug_{2})=R^{\times}/(R^{\times})^{2} @>>> H^{1}(R,\Spin(q)) @>>> H^{1}(R,\SO(q))\\
&&&& @VVV @VVV \\
&&&& H^{1}(K,\Spin(q)) @>>> H^{1}(K,\SO(q)).\\
\end{CD}
$$
Mais $K$ est de dimension cohomologique $2$, donc on a $H^{1}(K,\Spin(q))=1$, par le th\'{e}or\`{e}me de Merkurjev-Suslin, voir \cite[III.3.1]{Se}.   Comme la fl\`{e}che verticale \`{a} droite est injective par (\ref{SO_R_SO_K}), la fl\`{e}che $H^{1}(R,\Spin(R)) \longrightarrow H^{1}(R,\SO(q))$ est triviale.   Ensuite, comme $q$ est isotrope, aussi par le th\'{e}or\`{e}me \ref{parimala_thm}, la norme spinorielle $\N_{S}$ est surjective.   On a donc $H^{1}(R,\Spin(q))=1$.

Par la remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss}(2), la fl\`{e}che de bord
$$
H^{1}(R,\SO(q)) \stackrel{\partial}\longrightarrow H^{2}(R,\mug_{2}) \simeq \mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z}
$$
a un noyau trivial.   L'argument habituel de torsion montre alors qu'elle est injective.   Comme elle est surjective par la remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss}, cette fl\`{e}che est en fait un isomorphisme.
\endproof

Il suit que la conjecture A est vraie pour les groupes de type $B_{n}$ ($n\geq 2$) et les groupes de type $D_{n}$ ($n\geq 4$) qui sont des groupes de spineurs et des groupes sp\'{e}ciaux orthogonaux des formes quadratiques de rang $\geq 5$.

\begin{cor}
\label{cor:bn1dnetoile}
Soit $\G$ un $R$-sch\'{e}ma en groupes semi-simples (connexe) et notons $\mug$ le noyau de son rev\^{e}tement universel $\tilde{\G}\surjlra \G$.
\begin{enumerate}
\item  Supposons que $\G$ est de type $B_{n}$, avec $n\geq 2$.   Alors l'homomorphisme connectant
$$
H^{1}(R,\G)\longrightarrow H^{2}(R,\mug)
$$
est bijectif.   En particulier, la conjecture A est vraie pour $\G$.
\item Supposons que $\G$ est de type $D_{n}$, avec $n\geq 4$.   Supposons de plus que $\G$ est isog\`{e}ne \`{a} $\Spin(q)$ o\`{u} $q$ est une $R$-forme quadratique de rang pair $\geq 5$.   Alors l'homomorphisme connectant
$$
H^{1}(R,\G)\longrightarrow H^{2}(R,\mug)
$$
est bijectif.   En particulier, la conjecture A est vraie pour $\G$.
\end{enumerate}
\end{cor}

\proof
Par la remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss}(2) les deux asserations sont une cons\'{e}quence du fait que $H^{1}(R,\Spin(q))=1$ pour une $R$-forme quadratique de rang $\geq 5$.   Vu que tout groupe semi-simplement connexe de type $B_{n}$ est un groupe de spineurs d'une forme quadratique, les arguments habituels de torsion montrent que l'homomorphisme connectant est une injection dans le cas des groupes de type $B_{n}$, $n\geq 2$.
\endproof



\chapter[Les autres groupes classiques]{Le cas $C_{n}$, les autres groupes du type $D_{n}$ et le cas $^{2}A_{n}$}
\label{chapitre_cn_dn_2an}

\section[Conventions, notations et pr\'{e}liminaires]{Conventions, notations et pr\'{e}liminaires}
\label{conventions_chapitre_cn_dn_2an}

Dans ce chapitre, on est confront\'{e} aux groupes de Witt des formes hermitiennes et anti-hermitiennes d'une alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution sur un sch\'{e}ma.   Le but des deux sections suivantes est de pr\'{e}senter des suites spectrales de groupes de Witt analogues \`{a} la suite spectrale de la $K$-th\'{e}orie de la section \ref{section_1_an}.   \`{A} l'aide de ces suites spectrales nous pouvons calculer les groupes de Witt d'une alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution sur l'anneau $R=k[t^{\pm 1}_{1},t^{\pm 1}_{2}]$, o\`{u} $k$ est alg\'{e}briquement clos de caract\'{e}ristique z\'{e}ro.

On utilise les conventions suivantes pour les cat\'{e}gories d\'{e}riv\'{e}es.   Soit $\mathcal{E}$ une cat\'{e}gorie exacte.   On note $D^{b}(\mathcal{E})$ sa cat\'{e}gorie d\'{e}riv\'{e}e born\'{e}e et $\T$ le foncteur de translation de cette cat\'{e}gorie.   Selon l'usage habituel dans la th\'{e}orie de Witt d\'{e}riv\'{e}e et coh\'{e}rente, on utilise des complexes homologiques, donc $\T(M_{\bullet})_{i}=M_{\bullet}\,[1\,]_{i}=M_{i-1}$ pour tout $M_{\bullet}\in D^{b}(\mathcal{E})$.   Si $\mathcal{E}$ poss\`{e}de un foncteur $\Hom$ int\'{e}rieur ou un produit tensoriel $\otimes$, on utilise les conventions suivantes pour $\Hom(M_{\bullet},N_{\bullet})$ et $M_{\bullet} \otimes N_{\bullet}$~:   la diff\'{e}rentielle en degr\'{e} $l$ est donn\'{e}e par
$$
\Hom(M_{-l-r},N_{-r})\ni f \, \mapsto \, f\cdot d^{M_{\bullet}}_{-l-r+1}\, + \, (-1)^{l+1} \, d^{N_{\bullet}}_{-r} \cdot f
$$
et par
$$
M_{l-r} \otimes N_{r} \ni m \otimes n \, \mapsto \, d^{M_{\bullet}}_{l-r}(m) \otimes n \, + \, (-1)^{l-r} m \otimes d^{N_{\bullet}}_{r}(n)
$$
respectivement.

Soit $X$ un sch\'{e}ma et $\mathcal{A}$ une alg\`{e}bre d'Azumaya sur $X$.  Dans cette section on utilise les notations suivantes~:

\begin{itemize}
\item $\M(\mathcal{A})$ est la cat\'{e}gorie des $\mathcal{A}$-modules ;

\item $\MP(\mathcal{A})$ est la cat\'{e}gorie des $\mathcal{A}$-modules coh\'{e}rents $\mathcal{P}$ tel que $\mathcal{P}_{x}$ est un $\mathcal{A}_{x}$-module projectif pour tout $x\in X$ ;

\item $\M_{qc}(\mathcal{A})$ est la cat\'{e}gorie des $\mathcal{A}$-modules quasi-coh\'{e}rents ;

\item $\M_{c}(\mathcal{A})$ est la cat\'{e}gorie des $\mathcal{A}$-modules coh\'{e}rents ;

\item $D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))$ (respectivement $D_{c}^{b}(\M_{qc}(\mathcal{A}))$) est la sous-cat\'{e}gorie pleine de la cat\'{e}gorie d\'{e}riv\'{e}e born\'{e}e $D^{b}(\M(\mathcal{A}))$ (respectivement $D^{b}(\M_{qc}(\mathcal{A}))$) contenant les complexes qui ont des faisceaux de cohomologie coh\'{e}rents.\newline

\end{itemize}

\noindent
Observons que, puisque $\mathcal{A}$ est une alg\`{e}bre d'Azumaya, $\mathcal{A}$ est localement libre sur $X$, donc $\MP(\mathcal{A})=\MP(X) \cap \M(\mathcal{A})$.   On appelle parfois les modules dans cette cat\'{e}gorie $\Aaa$-modules projectifs.   Si $\mathcal{A}=\mathcal{O}_{X}$, on \'{e}crit ces cat\'{e}gories simplement $\M(X)$, $\MP(X)$, ...

Le lemme suivant nous donne une identification qui sera utilis\'{e}e tacitement dans la suite~:

\begin{lem}
\label{d_m_cq_egale_d_m}
Soit $X$ un sch\'{e}ma noeth\'{e}rien et $\mathcal{A}$ une $\mathcal{O}_{X}$-alg\`{e}bre coh\'{e}rente.   Alors le morphisme naturel
$$
D_{c}^{b}(\M_{qc}(\mathcal{A}))\longrightarrow D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))
$$
est une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories.
\end{lem}

\proof
\cite[Lem. 1.4]{Gil1}
\endproof


Ensuite, rappelons la notion d'anneau de Gorenstein~:

\begin{defn}
\label{anneau_de_gorenstein}
Soit $R$ un anneau local et noeth\'{e}rien. Alors $R$ est dit un anneau de {\it Gorenstein} si la dimension injective du $R$-module $R$ est finie, i.e. \linebreak ${\rm injdim}_{R}\,R < \infty$.   Un anneau noeth\'{e}rien est dit de {\it Gorenstein} si toute localisation \`{a} un id\'{e}al maximal est un anneau de Gorenstein.   Un sch\'{e}ma localement noeth\'{e}rien est dit de {\it Gorenstein} si tous ses anneaux locaux sont de Gorenstein.
\end{defn}

\begin{lem}
 \label{gorenstein_res_inj_finie}
Soit $R$ un anneau local de Gorenstein.   Alors le $R$-module $R$ poss\`{e}de une r\'{e}solution injective de longueur finie.
\end{lem}
\proof C'est une cons\'{e}quence de \cite[3.2.9]{BH} et de \cite[3.2.10]{BH}.
\endproof

\begin{oss}
\label{anneau_de_gorenstein_oss}
\begin{enumerate}
\item Voir l'annexe \ref{chapitre_appendice} pour la structure d'une r\'{e}solution injective.
\item Observons qu'en particulier un anneau r\'{e}gulier est de Gorenstein.
\end{enumerate}
\end{oss}

Supposons maintenant que $\mathcal{A}$ est muni d'une involution $\tau$.   Soit $\mathcal{C}$ une sous-cat\'{e}gorie de $\M(\mathcal{A})$ et $\mathcal{G}\in \M(\mathcal{O}_{X})$.   On note alors $\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{G}}$ le foncteur contravariant $\mathcal{C}\longrightarrow \M(\mathcal{A})$ d\'{e}fini par
$$
\mathcal{F}\mapsto \overline{\Hom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{F},\mathcal{G})}.
$$
Si $\mathcal{A}=\mathcal{O}_{X}$ et $\tau$ est de premi\`{e}re esp\`{e}ce (donc $\tau=\id$), on \'{e}crit simplement $\mathcal{D}_{\mathcal{G}}$.   Supposons maintenant que pour tout $\mathcal{F}\in \mathcal{C}$, on ait $\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{G}}\in \mathcal{C}$.   Dans ce cas on note $\varpi^{\mathcal{G}}$ le morphisme de foncteurs $\id_{\mathcal{C}}\longrightarrow \mathfrak{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{G}}\mathfrak{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{G}}$; il est ind\'{e}pendant de l'involution $\tau$.   Observons que si $\mathfrak{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{G}}$ est une dualit\'{e} (sur $\mathcal{C}$), alors $\varpi^{\mathcal{G}}$ est le morphisme de double dual (cf. \cite[2.3]{Gil1})


\section[La suite spectrale de S. Gille$\,$ I]{La suite spectrale de S. Gille pour les alg\`{e}bres d'Azumaya \`{a} involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce}

\label{section_suite_gille}

On expose dans cette section une suite spectrale de groupes de Witt de S. Gille (cf. \cite{Gil1}) et on \'{e}nonce un r\'{e}sultat de compatibilit\'{e} de cette suite spectrale avec l'\'{e}quivalence de Morita.   La preuve de ce r\'{e}sultat est expos\'{e}e dans l'appendice.

\medskip

\noindent {\bf Convention. }
{\it Dans cette section on suppose que tous les sch\'{e}mas sont des $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-sch\'{e}mas noeth\'{e}riens.}

\medskip

\subsection[Groupes de Witt coh\'{e}rents]{Groupes de Witt coh\'{e}rents}
\label{groupes_witt_coherents}

Soit maintenant $X$ un sch\'{e}ma admettant un complexe dualisant $\mathcal{I}_{\bullet}$.   Rappelons que ceci veut dire que $\mathcal{I}_{\bullet}\in D^{b}_{c}(\M_{qc}(X))$ est un complexe de $\mathcal{O}_{X}$-modules injectifs et que le morphisme naturel
$$
\varpi^{\mathcal{I}}_{\mathcal{F}}: \mathcal{F}_{\bullet}   \longrightarrow \IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{F}_{\bullet},\mathcal{I}_{\bullet}),\mathcal{I}_{\bullet})
$$
est un quasi-isomorphisme pour tout $\mathcal{F}_{\bullet}   \in   D_{c}^{b}(\M(X))$.   (Pour des g\'{e}n\'{e}ralit\'{e}s sur les complexes dualisants voir \cite[Ch. V]{Ha}.)   Observons que tout sch\'{e}ma de Gorenstein (donc en particulier tout sch\'{e}ma r\'{e}gulier) de dimension de Krull finie admet un tel complexe~: en effet tout $\mathcal{O}_{X}$-module localement libre de rang $1$ admet une r\'{e}solution injective finie et une r\'{e}solution injective du $\mathcal{O}_{X}$-module $\mathcal{O}_{X}$ est un complexe dualisant pour $X$.   Un tel $\mathcal{I}_{\bullet}$ a alors pour propri\'{e}t\'{e} que le foncteur
$$
\mathcal{D}_{\mathcal{I}}:\mathcal{F}_{\bullet}   \mapsto   \IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{F}_{\bullet},\mathcal{I}_{\bullet})
$$
est une dualit\'{e} $1$-exacte sur $D_{c}^{b}(\M(X))$.   Soit maintenant $\mathcal{A}$ une alg\`{e}bre d'Azumaya sur $X$ avec involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce $\tau$.   Dans ce cas, cette dualit\'{e} $\mathcal{D}_{\mathcal{I}}$ s'\'{e}tend sans difficult\'{e} \cite[2.3]{Gil1} en une dualit\'{e} $1$-exacte
$$
\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{I}}:\mathcal{F}_{\bullet}   \mapsto   \overline{  \IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{F}_{\bullet},\mathcal{I}_{\bullet})  }
$$
sur $D^{b}_{c}(\M(\mathcal{A}))$.   Il suit que l'on obtient ainsi une cat\'{e}gorie triangul\'{e}e avec dualit\'{e} $(D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A})),\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{I}},1,\varpi^{\mathcal{I}})$ dans le sens de Balmer \cite{Ba1}.  Si $Z\subset X$ est un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} de $X$, la dualit\'{e} $\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{I}}$ se restreint en une dualit\'{e} sur $D_{c,Z}^{b}(\M\mathcal{A})$ \cite[2.3]{Gil1}, la sous-cat\'{e}gorie pleine de $D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))$ des complexes \`{a} support homologique dans $Z$.

\begin{defn}
\label{gr_witt_coherents}
Les $i$-\`{e}mes groupes de Witt de la cat\'{e}gorie triangul\'{e}e avec dualit\'{e} $(D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A})),\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{I}},1,\varpi^{\mathcal{I}})$ sont not\'{e}s $\widetilde{W}^{i}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{I})$ et sont appel\'{e}s groupes de Witt {\it coh\'{e}rents.}   Pour un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} $Z$ de $X$, les $i$-\`{e}mes groupes de Witt de la cat\'{e}gorie triangul\'{e}e avec dualit\'{e} $(D_{c,Z}^{b}(\M(\mathcal{A})),\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{I}},1,\varpi^{\mathcal{I}})$ sont not\'{e}s $\widetilde{W}_{Z}^{i}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{I})$ et sont appel\'{e}s groupes de Witt coh\'{e}rents {\it \`{a} support dans} $Z$.
\end{defn}

\subsection[Comparaison avec groupes de Witt usuels]{Comparaison avec groupes de Witt usuels}
\label{comp_gr_witt_usuels}

Dans cette sous-section, soit $X$ un sch\'{e}ma de Gorenstein de dimension de Krull finie, soit $(\mathcal{A},\tau)$ comme plus haut et soit $\mathcal{L}$ un fibr\'{e} en droites sur $X$ (i.e. un $\mathcal{O}_{X}$-module localement libre de rang $1$).   Dans ce cas on peut construire trois diff\'{e}rents ``types'' de groupes de Witt.   Pourtant, sous des hypoth\`{e}ses raisonnables, ces groupes sont tous isomorphes.

\underline{Le groupe de Witt coh\'{e}rent~:}   Comme $X$ est de Gorenstein de dimension de Krull finie, $\mathcal{L}$ a une r\'{e}solution injective finie par $\mathcal{O}_{X}$-modules quasi-coh\'{e}rents, $\mathcal{I}_{\bullet}$:
$$
\mathcal{I}_{0}   \stackrel{d_{0}} \longrightarrow   \mathcal{I}_{1}   \stackrel{d_{1}} \longrightarrow   ...   \stackrel{d_{-n+1}}\longrightarrow   \mathcal{I}_{-n}   \longrightarrow   0,
$$
avec $\mathcal{I}_{-j} \in \M_{qc}(X)$.   On consid\`{e}re $\mathcal{I}_{\bullet}$ comme un objet de la cat\'{e}gorie d\'{e}riv\'{e}e $D^{b}_{c}(\M_{qc}(X))$, tel que $\mathcal{I}_{0}$ se trouve en d\'{e}gr\'{e} z\'{e}ro.   Le complexe $\mathcal{I}_{\bullet}$ est bien un complexe dualisant de $X$, et les groupes de Witt coh\'{e}rents correspondants sont not\'{e}s $\widetilde{W}^{i}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{L})$.   Ce groupe est donc le $i$-i\`{e}me groupe de Witt de la cat\'{e}gorie d\'{e}riv\'{e}e avec dualit\'{e} $(D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A})),\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{I}},1,\varpi^{\mathcal{I}})$.

\underline{Le groupe de Witt d\'{e}riv\'{e} usuel~:}      Comme $\mathcal{A}$ est une alg\`{e}bre d'Azumaya, on a $\MP(\mathcal{A})=\MP(X) \cap \M(\mathcal{A})$.   Le foncteur contravariant $\mathcal{D}_{\mathcal{L}}^{(\mathcal{A},\tau)}:=\overline{  \IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\longunderscore, \mathcal{L})  }$ est une dualit\'{e} sur $D^{b}(\MP(\mathcal{A}))$.   On note les groupes de Witt triangulaires de cette cat\'{e}gorie avec dualit\'{e} $W^{i}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{L})$.   Ce groupe est donc le $i$-i\`{e}me groupe de Witt de la cat\'{e}gorie d\'{e}riv\'{e}e avec dualit\'{e} $(D^{b}(\MP(\mathcal{A})),\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{L}},1,\varpi^{\mathcal{L}})$.

\underline{Le groupe de Witt classique~:}   Enfin on dispose des groupes de Witt usuels des formes hermitiennes et anti-hermitiennes de l'alg\`{e}bre \`{a} involution $(\mathcal{A},\tau)$, $W^{+}(\mathcal{A},\tau)$ et $W^{-}(\mathcal{A},\tau)$, voir \cite[I.10.1]{Kn} ou la section \ref{subsection_groupe_witt}.   Ces deux groupes sont donc les groupes de Witt de formes hermitiennes et anti-hermitiennes de la cat\'{e}gorie additive avec dualit\'{e} $(\MP(\mathcal{A}),\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{A}},\varpi^{\mathcal{A}})$.\newline

Maintenant, comme $X$ est de Gorenstein, on a toujours un homomorphisme entre les deux premiers groupes de Witt~: $W^{i}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{L}) \longrightarrow \widetilde{W}^{i}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{L})$ qui d\'{e}pend d'un choix d'un quasi-isomorphisme $\gamma:\mathcal{L}\longrightarrow \mathcal{I}_{\bullet}$.   Si $X$ est r\'{e}gulier, cet homomorphisme est un isomorphisme, cf. \cite[2.10]{Gil1}.   De plus, comme $\mathcal{A}$ est une alg\`{e}bre d'Azumaya, on peut comparer le deuxi\`{e}me et le troisi\`{e}me groupe de Witt.   En effet, on a pour le fibr\'{e} en droites trivial $\mathcal{L}=\mathcal{O}_{X}$ les isomorphismes suivants~:

$$
W^{i}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{O}_{X})   \approx \left\{ \begin{array}{ll}
W^{+}(\mathcal{A},\tau) \,  & \mbox{si  $i\equiv 0$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ mod $4$;} \\
W^{-}(\mathcal{A},\tau) \,  & \mbox{si  $i\equiv 2$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ mod $4$.}
\end{array} \right.
$$

\noindent voir \cite[Th. 4.3]{Ba2}.   Pour d\'{e}montrer ceci on utilise le lemme suivant:

\begin{lem}
\label{forme_trace}
Soit $\mathcal{A}$ une alg\`{e}bre d'Azumaya sur $X$ alors il existe un isomorphisme canonique
$$
\mathcal{A} \stackrel{\sim}\longrightarrow \IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{A},\mathcal{O}_{X})
$$
de $\mathcal{A}$-bimodules.
\end{lem}

\proof
Consid\'{e}rons la trace r\'{e}duite $\Tr:\mathcal{A}\longrightarrow \mathcal{O}_{X}$.   Elle d\'{e}finit une forme quadratique non singuli\`{e}re \cite[I.7.3.5]{Kn}
$$
\mathcal{A}\times \mathcal{A}\longrightarrow \mathcal{O}_{X}
$$
par $(x,y)\mapsto \Tr(xy)$.   Donc l'homomorphisme induit
$$
\mathcal{A}\longrightarrow \IHom_{O_{X}}(\mathcal{A},\mathcal{O}_{X}),
$$
d\'{e}fini par $x\mapsto \Tr_{x}$ (o\`{u} $\Tr_{x}(y)=\Tr(xy)$ pour $y\in \mathcal{A}$), est un isomorphisme.   C'est en fait un isomorphisme de $\mathcal{A}$-bimodules comme $\Tr(ab)=\Tr(ba)$ pour tout $a,b\in \mathcal{A}$.
\endproof

\noindent Ainsi, on a un isomorphisme

\begin{equation}
\label{duals_coincide}
\rho_{\mathcal{F}_{\bullet},\mathcal{A}}:\overline{\IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{F}_{\bullet},\mathcal{O}_{X})}\simeq \overline{\IHom_{\mathcal{A}}(\mathcal{F}_{\bullet},\IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{A},\mathcal{O}_{X}))}\simeq \overline{\IHom_{\mathcal{A}}(\mathcal{F}_{\bullet},\mathcal{A})}.
\end{equation}

\noindent pour tout $\mathcal{F}_{\bullet}\in D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))$, cf. \cite[2.10]{Gil1}.

\subsection[Construction de la suite spectrale]{Construction de la suite spectrale}
Soit $X$ un sch\'{e}ma de dimension de Krull finie $n$, avec un complexe dualisant $\mathcal{I}_{\bullet}$, cf. section \ref{groupes_witt_coherents}.   Soit
$$
\mu_{\mathcal{I}}:X\longrightarrow \mathbb{Z}
$$
la fonction codimension correspondante, cf. \cite[Ch. V]{Ha}.   Quitte \`{a} translater le complexe $\mathcal{I}_{\bullet}$,  on peut supposer que $\minn(\mu_{\mathcal{I}})=0$ et $\maxx(\mu_{\mathcal{I}})=n$.   Dans le cas o\`{u} $X$ est un sch\'{e}ma de Gorenstein, $\mu_{\mathcal{I}}$ correspond \`{a} la codimension usuelle (i.e. on a $\mu_{\mathcal{I}}(x)=p$ pour $x\in X$ si $\codim_{X}(\overline{ \{ x \} }) = p$).   Supposons alors que, pour un certain $n\in \mathbb{Z}$, $\mathcal{I}_{\bullet}$ est de la forme~:
$$
\mathcal{I}_{0} \longrightarrow \mathcal{I}_{-1} \longrightarrow ... \longrightarrow  \mathcal{I}_{-n} \longrightarrow 0,
$$
o\`{u} le terme $\mathcal{I}_{-i}$ se situe en degr\'{e} $i$.   Soit maintenant $(\mathcal{A},\tau)$ une $\mathcal{O}_{X}$-alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce.   On a une filtration finie de $D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))$ associ\'{e}e \`{a} $\mu_{\mathcal{I}}$.   Notons $D_{\mathcal{A},\mathcal{I}}^{p}=D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))^{(p)}$ la sous-cat\'{e}gorie pleine de $D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))$ dont les objets sont des complexes $\mathcal{F}_{\bullet}$ tels que $\mu_{\mathcal{I}}(x)\geq p$ pour tout $x$ dans le support homologique de $\mathcal{F}_{\bullet}$.   On a alors une filtration~:
\begin{equation}
\label{filtration_coh}
D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))=D_{\mathcal{A},\mathcal{I}}^{0}\supseteq D_{\mathcal{A},\mathcal{I}}^{1}\supseteq ... \supseteq D_{\mathcal{A},\mathcal{I}}^{n-1}\supseteq  D_{\mathcal{A},\mathcal{I}}^{n}\supseteq (0),
\end{equation}
Soit maintenant $x\in X$ et $\mathcal{O}_{x}$ l'anneau local en $x$, et soit $\dim \,\mathcal{O}_{x} = p$.   Notons $\mathcal{A}_{x}=\mathcal{A}\otimes_{\mathcal{O}_{X}} \mathcal{O}_{x}$.   En localisant le complexe $\mathcal{I}_{\bullet}$ on obtient un complexe $(\mathcal{I}_{\bullet})_{x}$~:
$$
(\mathcal{I}_{0})_{x}\longrightarrow (\mathcal{I}_{-1})_{x}\longrightarrow ... \longrightarrow (\mathcal{I}_{-p})_{x}\longrightarrow 0,
$$
avec  $(\mathcal{I}_{-i})_{x}$ en degr\'{e} $i$.   Comme $X$ est noeth\'{e}rien, $\mathcal{O}_{x}$ est un anneau local noeth\'{e}rien et par cons\'{e}quent $(\mathcal{I}_{x})_{\bullet}$ est un complexe dualisant r\'{e}siduel, cf. \cite[Sect. 1]{Gil5}.   Donc $E_{x}:=(\mathcal{I}_{p})_{x}$ est une enveloppe injective du corps r\'{e}siduel $k(x)$ de $x$.  Par \cite[4.5]{Gil1} $\IHom_{\mathcal{O}_{x}}(\longunderscore,E_{x})$ est une dualit\'{e} sur $D^{b}(\M_{lf}(\mathcal{A}_{x}))$.   Les groupes de Witt triangulaires de cette cat\'{e}gorie sont not\'{e}s $W^{i}(\M_{lf}(\mathcal{A}_{x}),\tau_{x},E_{x})$.

Dans \cite[4.1.-4.5.]{Gil1} S. Gille montre que la suite spectrale associ\'{e}e \`{a} la filtration \ref{filtration_coh} est de la forme suivante~:

\begin{thm}
\label{suite_gille}
Soit $X$ un sch\'{e}ma noeth\'{e}rien et soient $\mathcal{I}_{\bullet}$ et $(\mathcal{A},\tau)$ comme plus haut.   On obtient une suite spectrale:

\begin{equation}
\label{suite_witt}
E_{1}^{s,t}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{I}_{\bullet})=\bigoplus\limits_{x\in X^{(s)}}W^{t}(\M_{lf}(\mathcal{A}_{x}),\tau_{x},E_{x})\Rightarrow \widetilde{W}^{s+t}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{I}_{\bullet})
\end{equation}
\end{thm}


\begin{oss}
\label{suite_gille_oss}
\begin{enumerate}
\item   S'il n'y a pas d'ambig\"{u}it\'{e} par rapport \`{a} l'alg\`{e}bre avec involution $(\mathcal{A},\tau)$ et le complexe dualisant $\mathcal{I}_{\bullet}$, on \'{e}crit $E_{1}^{s,t}$ au lieu de $E_{1}^{s,t}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{I}_{\bullet})$.

\item   Si $\mathcal{I}_{\bullet}$ est une r\'{e}solution d'un $\mathcal{O}_{X}$-module localement libre $\mathcal{L}$ de rang $1$, alors on \'{e}crit $E_{1}^{s,t}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{L})$ au lieu de $E_{1}^{s,t}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{I}_{\bullet})$.

\item   Si $X$ est r\'{e}gulier et si $\mathcal{I}_{\bullet}$ est une r\'{e}solution injective de $\mathcal{O}_{X}$, le groupe de Witt $W^{i}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{I}_{\bullet})$ co\"{i}ncide avec le $i$-i\`{e}me groupe de Witt d\'{e}riv\'{e} usuel de $(\mathcal{A},\tau)$, consid\'{e}r\'{e} en \cite{BP} (cf. lemme \ref{forme_trace} et autour, et \cite[2.10]{Gil1}).

\item Si $X$ est r\'{e}gulier, $\mathcal{A}=\mathcal{O}_{X}$, $\tau$ l'involution triviale et $\mathcal{I}_{\bullet}$ une r\'{e}solution injective de $\mathcal{O}_{X}$, on obtient la suite spectrale construite dans \cite[Th. 7.2]{BW}:
$$
E_{1}^{s,t}(\mathcal{O}_{X})=\bigoplus\limits_{x\in X^{(s)}} W^{t}(\M_{lf}(\mathcal{O}_{x}))\Rightarrow W^{s+t}(\mathcal{O}_{X}).
$$
o\`{u} l'on a des isomorphismes $W^{t}(\M_{lf}(\mathcal{O}_{x}))\simeq W^{s+t}(K^{b}_{lf}(\MP(\mathcal{O}_{x})))$ pour $x\in X^{(s)}$ puisque dans ce cas $\mathcal{O}_{x}$ est un anneau de dimension $s$.

\item   Supposons que $X$ est de Gorenstein maintenant.   Alors tout fibr\'{e} en droites sur $X$ a une r\'{e}solution injective.   On voit que les termes $E_{1}^{s,t}$ sont\linebreak ind\'{e}pendants du fibr\'{e} en droites choisi; ils sont tous (non canoniquement) isomorphes \`{a} une somme index\'{e}e sur les points $x$ de codimension $p$ de groupes de Witt d'espaces hermitiens ou anti-hermitiens sur $(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})$.   Plus pr\'{e}cis\'{e}ment, les lignes impaires de la suite spectrale sont nulles, les lignes paires $2q$ sont \'{e}gales au complexe de Gersten-Witt hermitien
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \bigoplus\limits_{x\in X^{(0)}} W^{+}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{0,0}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} W^{+}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{1,0}}\longrightarrow ... \stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{n-1,0}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(n)}} W^{+}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\longrightarrow 0
$$
si $q$ est pair, et au complexe de Gersten-Witt anti-hermitien
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \bigoplus\limits_{x\in X^{(0)}} W^{-}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{0,-2}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} W^{-}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{1,-2}}\longrightarrow ... \stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{n-1,-2}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(n)}} W^{-}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\longrightarrow 0
$$
si $q$ est impair.

Par contre, les fl\`{e}ches de r\'{e}sidu de cette suite spectrale d\'{e}pendent du fibr\'{e} en droites choisi.
\end{enumerate}

\end{oss}

\subsection[La suite spectrale et l'\'{e}quivalence de Morita]{La suite spectrale et l'\'{e}quivalence de Morita}

Supposons maintenant que l'on se trouve dans la situation suivante~: soit\linebreak $X=\Spec \Rrr$ un sch\'{e}ma (noeth\'{e}rien), affine, de Gorenstein, connexe et de dimension de Krull finie $n$, et soient $(\Aaa,\tau)$ et $(\Bbbb,\nu)$ deux alg\`{e}bres d'Azumaya \`{a} involutions de premi\`{e}re esp\`{e}ce sur $X$.   Soit, de plus, $\Ppp$ un $\Aaa$-module fid\`{e}lement projectif (cf. d\'{e}finition \ref{defn:modfidproj}) et $h:\Ppp \stackrel{\sim}\longrightarrow \Ppp^{\sharp}:=\overline { \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa)  } $ un $(\Aaa,\tau)$-espace $\epsilon_{0}$-hermitien o\`{u} $\epsilon_{0}\in \{\pm 1\}$.

Soit $u:Z\hookrightarrow X$ un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} de Gorenstein d\'{e}fini par un id\'{e}al $\aaa \subset \Rrr$, i.e. $Z=\Spec \Rrr / \aaa$.   Notons $\Ppp_{Z}$ et $h_{Z}$ les restrictions de $\Ppp$ et $h$ \`{a} $Z$.   Consid\'{e}rons alors la condition suivante~:

\begin{cond}
\label{morita_cond_intro}
Le triplet $(Z,\Ppp_{Z},h_{Z})$ satisfait \`{a}~:
\begin{enumerate}
\item $\Bbbb/ \aaa \simeq \End_{\Aaa/ \aaa}(\Ppp_{Z}),$
\item $\nu / \aaa$ est l'involution adjointe sur $\Bbbb / \aaa$ d\'{e}finie par $$(\nu / \aaa)(g):= h_{Z}^{-1}\,\circ\,g^{\flat}\,\circ\,h_{Z},$$ o\`{u} $g^{\flat}=\Hom_{\Aaa / \aaa}(g,\Aaa / \aaa) $, voir section \ref{subsection_formes_involutions}.
\end{enumerate}
\end{cond}

\noindent Notons comme plus haut $\Iii_{\bullet}$ un complexe dualisant de $X$.   On peut supposer qu'il est une r\'{e}solution injective du $\Rrr$-module $\Rrr$, comme $\Rrr$ est de Gorenstein, et qu'il est de la forme~:
$$
... \longrightarrow 0 \longrightarrow \Iii_{0} \longrightarrow \Iii_{-1} \longrightarrow ... \longrightarrow \Iii_{n}\longrightarrow 0 \longrightarrow ...
$$
avec $\Iii_{i}$ en degr\'{e} $i$.

\begin{thm}
\label{gille_commute_avec_morita_intro}
Soit $p\leq n$.   Supposons que pour tout sous-ensemble fini $\{ x_{1},...,x_{s} \}\subset X^{(t)}$ avec $t\geq p$ et $s\in \mathbb{N}$,
\begin{enumerate}
\item le sch\'{e}ma $Z^{t}_{1,...,s}:=\overline{ \{ x_{1} \} }\cup...\cup\overline{ \{ x_{s} \} }$ avec la structure de sous-sch\'{e}ma r\'{e}duite induite est de Gorenstein et que
\item le triplet $(Z^{t}_{1,..,s},\Ppp_{ Z_{1,...,s} },h_{ Z_{1,...,s} })$ satisfait \`{a} la condition \ref{morita_cond_intro}.
\end{enumerate}
Alors, pour tout $q\in \mathbb{Z}$, le diagramme suivant est commutatif~:
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{CD}
\label{dia_morita_herm}
&& \bigoplus\limits_{x\in X^{(p)}} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}} @>d_{1}^{p,q}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(p+1)}} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}} @>d_{1}^{p+1,q}>> ... @>d_{1}^{n-1,q}>>  \bigoplus\limits_{x\in X^{(n)}} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}} \\
&& @VV{\wr}V @VV{\wr}V && @V{\wr}VV \\
&& \bigoplus\limits_{x\in X^{(p)}} W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}  @>d_{1}^{p,q+1-\epsilon_{0}}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(p+1)}} W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}  @>d_{1}^{p+1,q+1-\epsilon_{0}}>> ... @>{d_{1}^{n-1,q+1-\epsilon_{0}}}>>  \bigoplus\limits_{x\in X^{(n)}} W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}, \\
\end{CD}
$$
o\`{u} pour $x\in X^{(i)}$
$$
W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}}:= W^{q}(\M_{lf}(\Aaa_{x}),\tau_{x},E_{x})
\mbox{\,\,\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,\,\,\,}
W^{q}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}:= W^{q}(\M_{lf}(\Bbbb_{x}),\nu_{x},E_{x})
$$
avec $E_{x}=(\Iii_{-i})_{x}$.   Dans ce diagramme les fl\`{e}ches horizontales sont les\linebreak diff\'{e}rentielles de la suite spectrale $E_{1}^{s,t}(\Aaa,\tau,\Rrr)$ (respectivement $E_{1}^{s,t}(\Bbbb,\nu,\Rrr)$) introduite dans la section \ref{groupes_witt_coherents} et les fl\`{e}ches verticales sont les homomorphismes induits sur les termes de ces suites spectrales par les foncteurs de d\'{e}vissage $(u_{ \overline{ \{ x \} } \, * }^{\Aaa},\eta^{\Aaa})$ $(u_{ \overline{ \{ x \} } \, * }^{\Bbbb},\eta^{\Bbbb})$ et le foncteur $\F_{(\overline{ \{ x \} },\Ppp_{ \overline{ \{ x \} } }, h_{ \overline{ \{ x \} } })}$ pour $x\in X$, o\`{u}\linebreak $u_{\overline{ \{ x \} } } : \overline{ \{ x \} } \hookrightarrow X$ est l'immersion ferm\'{e}e.   Voir l'annexe \ref{chapitre_appendice} pour la d\'{e}finition de ces fl\`{e}ches.
\end{thm}


\proof
Voir l'annexe \ref{chapitre_appendice}.
\endproof


\begin{oss}
\label{gille_commute_oss}
La condition que $X$ ou les sous-sch\'{e}mas $Z^{t}_{1,...,s}$ soient de Gorenstein n'est probablement pas n\'{e}cessaire mais elle facilite les arguments et les notations, voir la remarque \ref{gille_commute_avec_morita_oss}.   De plus, on n'a besoin de ce th\'{e}or\`{e}me que sous la forme \'{e}nonc\'{e}e.
\end{oss}





\section[La suite spectrale de S. Gille$\,$ II]{La suite spectrale de S. Gille pour les sch\'{e}mas \`{a} involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce}
\label{section_suite_gille_unitaire}

Cette section expose un cas tr\`{e}s particulier de la suite spectrale de S. Gille pr\'{e}sent\'{e}e dans \cite{Gil2}.   S. Gille pr\'{e}sente une suite spectrale pour une alg\`{e}bre d'Azumaya $A$ \`{a} involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce sur un sch\'{e}ma r\'{e}gulier, noeth\'{e}rien $X$ de dimension de Krull finie.   Dans notre exposition, on se borne au cas o\`{u} $A=\mathcal{O}_{X}$, puisque c'est le seul dont on ait besoin.

\medskip

\noindent {\bf Convention. }
{\it Comme dans la section pr\'{e}c\'{e}dente, on suppose dans cette section que tous les sch\'{e}mas sont des $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-sch\'{e}mas noeth\'{e}riens.}

\medskip


\subsection[Groupes de Witt coh\'{e}rents]{Groupes de Witt coh\'{e}rents}
\label{groupes_witt_coherents_unitaires}

Soit $X$ un sch\'{e}ma admettant un complexe dualisant $\mathcal{I}_{\bullet}$.   Rappelons que ceci veut dire que $\mathcal{I}_{\bullet}\in D^{b}_{c}(\M_{qc}(X))$ est un complexe de $\mathcal{O}_{X}$-modules injectifs et que le morphisme naturel
$$
\varpi^{\mathcal{I}}_{\mathcal{F}}: \mathcal{F}_{\bullet}   \longrightarrow \IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{F}_{\bullet},\mathcal{I}_{\bullet}),\mathcal{I}_{\bullet})
$$
est un quasi-isomorphisme pour tout $\mathcal{F}_{\bullet}   \in   D_{c}^{b}(\M(X))$.   Observons que tout sch\'{e}ma de Gorenstein (donc en particulier tout sch\'{e}ma r\'{e}gulier) de dimension de Krull finie admet un tel complexe~: en fait tout $\mathcal{O}_{X}$-module localement libre de rang $1$ a une r\'{e}solution injective finie.   Un tel $\mathcal{I}_{\bullet}$ a alors la propri\'{e}t\'{e} que le foncteur
$$
\mathcal{D}_{\mathcal{I}}:\mathcal{F}_{\bullet}   \mapsto   \IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{F}_{\bullet},\mathcal{I}_{\bullet})
$$
est une dualit\'{e} $1$-exacte sur $D_{c}^{b}(\M(X))$.   Supposons maintenant que $X$ est muni d'une involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce $\iota$ (i.e. un automorphisme avec $\iota^{-1}=\iota$).   Dans ce cas, on peut d\'{e}finir une dualit\'{e} $1$-exacte sur $D^{b}_{c}(\M(X))$ comme suit~:
$$
\mathcal{D}^{(\mathcal{\mathcal{O}_{X}},\iota)}_{\mathcal{I}}:\mathcal{F}_{\bullet}   \mapsto   \overline{  \IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\mathcal{F}_{\bullet},\mathcal{I}_{\bullet})  }
$$
Observons que le morphisme de double dual $\varpi^{\mathcal{I}}$ est dans les deux cas le m\^{e}me.   On obtient ainsi une cat\'{e}gorie triangul\'{e}e avec dualit\'{e} ${(D_{c}^{b}(\M(X)),\mathcal{D}^{(\mathcal{O}_{X},\iota)}_{\mathcal{I}},1,\varpi^{\mathcal{I}})}$ dans le sens de Balmer \cite{Ba1}.


%%   Si $Z\subset X$ est un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} de $X$, la dualit\'{e} ${\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{I}}}$ se
%%   restreint en une dualit\'{e} sur $D_{c,Z}^{b}(\M\mathcal{A})$ \cite[2.3]{Gil1}, la sous-cat\'{e}gorie pleine de 
%%   ${D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))}$ des complexes \`{a} support homologique dans $Z$.


\begin{defn}
\label{gr_witt_coherents_unitaires}
Les $i$-\`{e}mes groupes de Witt de la cat\'{e}gorie triangul\'{e}e avec dualit\'{e} $(D_{c}^{b}(\M(X)),\mathcal{D}^{(\mathcal{O}_{X},\iota)}_{\mathcal{I}},1,\varpi^{\mathcal{I}})$ sont not\'{e}s $\widetilde{W}^{i}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{I})$, et ils sont appel\'{e}s groupes de Witt {\it coh\'{e}rents.}


%%   Pour un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} $Z$ de $X$, les $i$-\`{e}mes groupes de Witt de la cat\'{e}gorie triangul\'{e}e avec dualit\'{e}
%%   $(D_{c,Z}^{b}(\M(\mathcal{A})),\mathcal{D}^{(\mathcal{A},\tau)}_{\mathcal{I}},1,\varpi^{\mathcal{I}})$ sont not\'{e}s 
%%   $\widetilde{W}_{Z}^{i}(\mathcal{A},\tau,\mathcal{I})$, et ils sont appel\'{e}s groupes de Witt coh\'{e}rents {\it \`{a} support dans} 
%%   $Z$.


\end{defn}

\subsection[Comparaison avec groupes de Witt usuels]{Comparaison avec groupes de Witt usuels}
\label{comp_gr_witt_usuels_unitaires}

Soit $X$ maintenant un sch\'{e}ma de Gorenstein de dimension de Krull finie \`{a} involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce $\iota$ et soit $\mathcal{L}$ un fibr\'{e} en droites sur $X$ (i.e. un $\mathcal{O}_{X}$-module localement libre de rang $1$).   Dans ce cas, on peut construire trois diff\'{e}rents ``types'' de groupes de Witt.   Pourtant, sous des hypoth\`{e}ses raisonnables, ces groupes sont tous isomorphes.

\underline{Le groupe de Witt coh\'{e}rent~:}   Comme $X$ est de Gorenstein de dimension de Krull finie, $\mathcal{L}$ a une r\'{e}solution injective finie par $\mathcal{O}_{X}$-modules quasi-coh\'{e}rents, $\mathcal{I}_{\bullet}$:

$$
\mathcal{I}_{0}   \stackrel{d_{0}} \longrightarrow   \mathcal{I}_{1}   \stackrel{d_{1}} \longrightarrow   ...   \stackrel{d_{-n+1}}\longrightarrow   \mathcal{I}_{-n}   \longrightarrow   0,
$$

\noindent avec $\mathcal{I}_{-j} \in \M(X)$.   On consid\`{e}re $\mathcal{I}_{\bullet}$ comme objet de la cat\'{e}gorie d\'{e}riv\'{e}e\linebreak $D^{b}_{c}(\M_{qc}(X))$, tel que $\mathcal{I}_{0}$ se trouve en d\'{e}gr\'{e} z\'{e}ro.   Le complexe $\mathcal{I}_{\bullet}$ est bien un complexe dualisant de $X$, et les groupes de Witt coh\'{e}rents correspondants sont not\'{e}s $\widetilde{W}^{i}(\mathcal{O_{X}},\iota,\mathcal{L})$.   Ce groupe est donc le $i$-i\`{e}me groupe de Witt de la cat\'{e}gorie d\'{e}riv\'{e}e avec dualit\'{e} $(D_{c}^{b}(\M(X)),\mathcal{D}^{(\mathcal{O}_{X},\iota)}_{\mathcal{I}},1,\varpi^{\mathcal{I}})$.

\underline{Le groupe de Witt d\'{e}riv\'{e} usuel~:}      Le foncteur contravariant\linebreak ${\mathcal{D}_{\mathcal{L}}^{(\mathcal{A},\tau)}:=\overline{  \IHom_{\mathcal{O}_{X}}(\longunderscore, \mathcal{L})  } }$ est une dualit\'{e} sur $D^{b}(\MP(X))$.   On note les groupes de Witt triangulaires de cette cat\'{e}gorie avec dualit\'{e} $W^{i}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{L})$.   Ce groupe est donc le $i$-i\`{e}me groupe de Witt de la cat\'{e}gorie d\'{e}riv\'{e}e avec dualit\'{e}\linebreak ${ (D^{b}(\MP(X)),\mathcal{D}^{(\mathcal{O}_{X},\iota)}_{\mathcal{L}},1,\varpi^{\mathcal{L}}) }$.

\underline{Le groupe de Witt classique~:}   Enfin on dispose des groupes de Witt usuels des formes hermitiennes et anti-hermitiennes de l'alg\`{e}bre \`{a} involution $(\mathcal{O}_{X},\iota)$, $W^{+}(\mathcal{O}_{X},\iota)$ et $W^{-}(\mathcal{O}_{X},\iota)$, voir \cite[I.10.1]{Kn} ou la section \ref{subsection_groupe_witt}.   Ces deux groupes sont donc les groupes de Witt de formes hermitiennes et anti-hermitiennes de la cat\'{e}gorie additive avec dualit\'{e} $(\MP(X),\mathcal{D}^{(\mathcal{O}_{X},\iota)}_{\mathcal{O}_{X}},\varpi^{\mathcal{O}_{X}})$.\newline

Maintenant, comme $X$ est de Gorenstein, on a toujours un homomorphisme entre les deux premiers groupes de Witt~: $W^{i}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{L}) \longrightarrow \widetilde{W}^{i}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{L})$ qui d\'{e}pend d'un choix d'un quasi-isomorphisme $\gamma:\mathcal{L}\longrightarrow \mathcal{I}_{\bullet}$.   Si $X$ est r\'{e}gulier, cet homomorphisme est un isomorphisme, cf. \cite[3.9]{Gil2}.   De plus, comme $\mathcal{A}$ est une alg\`{e}bre d'Azumaya, on peut comparer le deuxi\`{e}me et le troisi\`{e}me groupe de Witt.   On a alors pour le fibr\'{e} en droites trivial $\mathcal{L}=\mathcal{O}_{X}$ les isomorphismes suivants~:

$$
W^{i}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{O}_{X})   \approx \left\{ \begin{array}{ll}
W^{+}(\mathcal{O}_{X},\iota) \,  & \mbox{si  $i\equiv 0$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ mod $4$;} \\
W^{-}(\mathcal{O}_{X},\iota) \,  & \mbox{si  $i\equiv 2$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ mod $4$.}
\end{array} \right.
$$

\noindent voir \cite[Th. 4.3]{Ba2}.

\subsection[Construction de la suite spectrale]{Construction de la suite spectrale}

Soit $X$ un sch\'{e}ma de dimension de Krull finie $n$, admettant un complexe dualisant $\mathcal{I}_{\bullet}$, cf. section \ref{groupes_witt_coherents_unitaires}.   Soit $\mu_{\mathcal{I}}:X\longrightarrow \mathbb{Z}$ la fonction codimension correspondante, cf. \cite[Ch. V]{Ha}.   Quitte \`{a} translater le complexe $\mathcal{I}_{\bullet}$,  on peut supposer que $\minn(\mu_{\mathcal{I}})=0$ et $\maxx(\mu_{\mathcal{I}})=n$.   Dans le cas o\`{u} $X$ est un sch\'{e}ma de Gorenstein, $\mu_{\mathcal{I}}$ correspond \`{a} la codimension usuelle (i.e. on a $\mu_{\mathcal{I}}(x)=p$ pour $x\in X$ si $\codim_{X}(\overline{ \{ x \} }) = p$).   Supposons alors que, pour un certain $n\in \mathbb{Z}$, $\mathcal{I}_{\bullet}$ est de la forme~:
$$
\mathcal{I}_{0} \longrightarrow \mathcal{I}_{-1} \longrightarrow ... \longrightarrow  \mathcal{I}_{-n} \longrightarrow 0,
$$
o\`{u} le terme $\mathcal{I}_{-i}$ se situe en degr\'{e} $i$.   On a une filtration finie de $D_{c}^{b}(\M(X))$ associ\'{e}e \`{a} $\mu_{\mathcal{I}}$.   Notons ${ D_{X,\mathcal{I}}^{p}=D_{c}^{b}(\M(X))^{(p)} }$ la sous-cat\'{e}gorie pleine de $D_{c}^{b}(\M(X))$ dont les objets sont des complexes $\mathcal{F}_{\bullet}$ tels que ${ \mu_{\mathcal{I}}(x)\geq p }$ pour tout $x$ dans le support homologique de $\mathcal{F}_{\bullet}$.   On a alors une filtration~:
\begin{equation}
\label{filtration_coh_unitaire}
D_{c}^{b}(\M(X))=D_{X,\mathcal{I}}^{0}\supseteq D_{X,\mathcal{I}}^{m+1}\supseteq ... \supseteq D_{X,\mathcal{I}}^{n-1}\supseteq  D_{X,\mathcal{I}}^{n}\supseteq (0),
\end{equation}
Soit maintenant $\mathcal{O}_{X}$ muni d'une involution $\iota$ de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce.   Soit $x\in X$ et $\mathcal{O}_{x}$ l'anneau local en $x$ et soit $\dim\,\mathcal{O}_{x}=p$.   Soit $Z\subset X$ l'ensemble des points fixes sous $\iota$, i.e. $Z:=\{ x\in X \,\, | \,\, \iota(x)=x \}$.   On consid\`{e}re cet ensemble comme sous-ensemble de l'espace topologique de $X$.   En localisant le complexe $\mathcal{I}_{\bullet}$ on obtient un complexe $(\mathcal{I}_{x})_{\bullet}$~:
$$
(\mathcal{I}_{0})_{x}\longrightarrow (\mathcal{I}_{-1})_{x}\longrightarrow ... \longrightarrow (\mathcal{I}_{-p})_{x}\longrightarrow 0,
$$
avec  $(\mathcal{I}_{0})_{x}$ en degr\'{e} $0$.   Comme $X$ est noeth\'{e}rien, $\mathcal{O}_{x}$ est un anneau local noeth\'{e}rien et par cons\'{e}quent $(\mathcal{I}_{x})_{\bullet}$ est un complexe dualisant r\'{e}siduel (cf. \cite[Sect. 1]{Gil5}).   Donc $E_{x}:=(\mathcal{I}_{p})_{x}$ est une enveloppe injective du corps r\'{e}siduel $k(x)$ de $x$.   Il est bien connu (cf. \cite[Sect. 3]{Gil5}) que $\IHom_{\mathcal{O}_{x}}(\longunderscore,E_{x})$ est une dualit\'{e} sur $D^{b}(\M_{lf}(\mathcal{O}_{x}))$.   Supposons que $x\in Z$.   Dans ce cas, $\overline{ \IHom_{\mathcal{O}_{x}}(\longunderscore,E_{x}) }$ est une dualit\'{e} sur $D^{b}(\M_{lf}(\mathcal{O}_{x}))$.   Les groupes de Witt triangulaires de cette cat\'{e}gorie sont not\'{e}s $W^{i}(\M_{lf}(\mathcal{O}_{x}),\iota_{x},E_{x})$.

Dans \cite[Sect. 5]{Gil2}, S. Gille montre que la suite spectrale associ\'{e}e \`{a} la filtration \ref{filtration_coh} est de la forme suivante~:

\begin{thm}
\label{suite_gille_unitaire}
Soit $X$ un sch\'{e}ma noeth\'{e}rien \`{a} une involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce $\iota$ et soit $\mathcal{I}_{\bullet}$ un complexe dualisant avec les m\^{e}mes notations que plus haut.   On obtient une suite spectrale~:
\begin{equation}
\label{suite_witt_unitaire}
E_{1}^{s,t}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{I}_{\bullet})=\bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(s)}} W^{t}(\M_{lf}(\mathcal{O}_{x}),\iota_{x},E_{x})\Rightarrow \widetilde{W}^{s+t}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{I}_{\bullet}).
\end{equation}
\end{thm}


\begin{oss}
\label{suite_gille_unitaire_oss}
\begin{enumerate}
\item   S'il n'y a pas d'ambig\"{u}it\'{e} par rapport \`{a} l'alg\`{e}bre avec involution $\iota$, on \'{e}crit $E_{1}^{s,t}$ au lieu de $E_{1}^{s,t}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{I}_{\bullet})$.

\item   Si $\mathcal{I}_{\bullet}$ est une r\'{e}solution d'un $\mathcal{O}_{X}$-module localement libre $\mathcal{L}$ de rang $1$, alors on \'{e}crit $E_{1}^{s,t}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{L})$ au lieu de $E_{1}^{s,t}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{I}_{\bullet})$.

\item   Si $X$ est r\'{e}gulier et si $\mathcal{I}_{\bullet}$ est une r\'{e}solution injective de $\mathcal{O}_{X}$, le groupe de Witt $W^{i}(\mathcal{O}_{X},\iota,\mathcal{I}_{\bullet})$ co\"{i}ncide avec le $i$-i\`{e}me groupe de Witt d\'{e}riv\'{e} usuel de $(\mathcal{O}_{X},\iota)$, consid\'{e}r\'{e} en \cite{BP} (cf. \cite[3.9]{Gil2}).

\item   Supposons que $X$ est de Gorenstein maintenant.   Alors tout fibr\'{e} en droites sur $X$ a une r\'{e}solution injective.   En choisissant diff\'{e}rentes dualit\'{e}s correspondantes \`{a} diff\'{e}rents fibr\'{e}s en droites, on voit que les termes $E_{1}^{s,t}$ ne changent pas; ils sont tous (non canoniquement) isomorphes \`{a} une somme index\'{e}e sur les points $x$ de codimension $p$ de groupes de Witt d'espaces hermitiens ou anti-hermitiens sur $(k(x),\iota_{k(x)})$.   Plus pr\'{e}cis\'{e}ment, les lignes impaires de la suite spectrale sont nulles, les lignes paires $2q$ sont \'{e}gales au complexe de Gersten-Witt hermitien

$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\small
\bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(0)}} W^{+}(k(x),\iota_{k(x)})\stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{0,0}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(1)}} W^{+}(k(x),\iota_{k(x)})\stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{1,0}}\longrightarrow ... \stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{n-1,0}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(n)}} W^{+}(k(x),\tau_{k(x)})\longrightarrow 0
$$

si $q$ est pair, et au complexe de Gersten-Witt anti-hermitien

$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\small
\bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(0)}} W^{-}(k(x),\iota_{k(x)})\stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{0,-2}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(1)}} W^{-}(k(x),\iota_{k(x)})\stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{1,-2}}\longrightarrow ... \stackrel{(d_{\mathcal{L}})_{1}^{n-1,-2}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(n)}} W^{-}(k(x),\tau_{k(x)})\longrightarrow 0
$$

si $q$ est impair.

Par contre, les fl\`{e}ches de r\'{e}sidu de cette suite spectrale d\'{e}pendent du fibr\'{e} en droites choisi.
\end{enumerate}

\end{oss}




\section[Le cas $C_{n}$]{Le cas $C_{n}$}
\label{section_cn}

Soit $\G$ un sch\'{e}ma en groupes semi-simples de type $C_{n}$, $n\geq 3$ sur un anneau $R$.   Le $R$-sch\'{e}ma en groupes semi-simples simplement connexe et d\'{e}ploy\'{e} de type $C_{n}$ est $\Sp_{2n}$ o\`{u} pour toute $R$-alg\`{e}bre $S$:\newline\newline
$\Sp_{2n}(S)=\{x\in M_{2n}(S)\mid x^{t}\,a_{0}\,x=a_{0}\}$, $\,\,\,\,$ $a_{0}=\begin{pmatrix}
0 & I_{n} \\ -I_{n} & 0 \\ \end{pmatrix}$ \'{e}tant la matrice altern\'{e}e standard.\newline\newline
Son groupe adjoint est $\PSp_{2n}$.   Comme tout isomorphisme du $R$-sch\'{e}ma en groupes $\Sp_{2n}$ est int\'{e}rieur, les $R$-formes de $\Sp_{2n}$ (voire $\PSp_{2n}$), i.e. les sch\'{e}mas en groupes semi-simples sur $R$ de type $C_{n}$ ($n\geq 3$) sont classifi\'{e}s \`{a} isomorphisme pr\`{e}s par l'ensemble point\'{e} $H^{1}(R,\PSp_{2n})$.

Soit maintenant $\G$ une $R$-forme de $\Sp_{2n}$.   Dans le cas o\`{u} $R=k$ est un corps, il y a une description de $\G$ en termes d'alg\`{e}bres d'Azumaya (i.e. centrales simples dans ce cas) \`{a} involutions, due \`{a} Weil, voir \cite{We}.   En effet, cf. \cite[Ch. II, 2.4]{Kne}, il existe une alg\`{e}bre d'Azumaya $A$ sur $R$ avec une involution de type symplectique $J$ (cf. d\'{e}finition \ref{sympl_ortho}) telle que pour toute $R$-alg\`{e}bre $S$
$$
\G(S)=\{x\in A\otimes_{R} S\mid xx^{J}=1\}.
$$
De plus, la paire $(A,J)$ est unique \`{a} isomorphisme pr\`{e}s.   On voit sans difficult\'{e} que les arguments dans \cite[Ch. II, 2.4]{Kne} s'\'{e}tendent au cas d'un anneau commutatif $R$ \cite[III.8.5]{Kn} et que $\G=\Sp(A,J)$ (cf. section \ref{section_inv_alg_azu}).   On a alors les correspondances bijectives entre les classes:\newline\newline
$H^{1}(R,\PSp_{2n})$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-formes de $\Sp_{2n}\}$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-formes de $\PSp_{2n}\}$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-alg\`{e}bres d'Azumaya $A$ de degr\'{e} $2n$, avec involution $J$ de type symplectique$\}.$\newline\newline

Observons maintenant que nous avons un morphisme de suites exactes de $R$-groupes, i.e. un diagramme commutatif:
$$
\begin{CD}
&& 1 @>>> \mug_{2}  @>>> \Sp_{2n} @>>> \PSp_{2n} @>>> 1 \\
&&&& @VVV @VVV @VVV \\
&& 1 @>>> \mug_{2n} @>>> \SL_{2n} @>>> \PGL_{2n} @>>> 1, \\
\end{CD}
$$
o\`{u} les deux premi\`{e}res fl\`{e}ches verticales sont des inclusions.   Ceci entra\^{i}ne que l'on a le diagramme commutatif:
$$
\begin{CD}
&& H^{1}(R,\PSp_{2n}) @> \partial >> H^{2}(R,\mug_{2}) \\
&& @VVV @VVV \\
&& H^{1}(R,\PGL_{2n}) @>>> H^{2}(R,\mug_{2n}). \\
\end{CD}
$$
La fl\`{e}che horizontale de la premi\`{e}re ligne associe \`{a} la classe d'une alg\`{e}bre d'Azumaya $A$ avec involution symplectique $J$, la classe de $A$ dans le groupe de Brauer.   La premi\`{e}re fl\`{e}che verticale associe \`{a} la classe d'une paire $[(A,J)]$ juste $[A]$, la classe de l'alg\`{e}bre d'Azumaya sous-jacente.

Supposons maintenant que $k$ est un corps alg\'{e}briquement clos de\linebreak caract\'{e}ristique z\'{e}ro.   Soit $R=k[t_{1}^{\pm 1},t_{2}^{\pm 1}]$ notre anneau des polyn\^{o}mes de Laurent \`{a} deux variables sur $k$ et soit $K=k(t_{1},t_{2})$ son corps de fractions.

Donc, comme $\Pic(R)=0$ par le lemme \ref{pic_r_0}, on a pour tout $m\geq 0$,\linebreak $_{m}\Br(R)\simeq H^{2}(R,\mug_{m})=\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$.   Par cons\'{e}quent, la fl\`{e}che verticale \`{a} droite dans le diagramme commutatif plus haut est l'inclusion $_{2}\Br(R)\hookrightarrow {_{2n}\Br(R)}$.   Pour d\'{e}montrer la conjecture A pour $\G$, il suffit par la remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss}(2) de montrer que $H^{1}(R,\widetilde{\G})=1$, o\`{u} $\widetilde{\G}$ est le rev\^{e}tement universel de $\G$.   Notons $(A,J)$ l'alg\`{e}bre d'Azumaya avec involution symplectique correspondante \`{a} $\widetilde{\G}$ par les bijections plus haut.

Vu que la classe de $A$ dans le groupe de Brauer est d'ordre $2$ (cf. \cite[III.8.4]{Kn}), $A$ est Brauer-\'{e}quivalente soit \`{a} $M_{2n}(R)$, soit \`{a} $M_{n}(A(1,2))=A(n,2n)$.   Comme $n\geq 3$, le th\'{e}or\`{e}me \ref{thm:conjpgln1} s'applique et on a le lemme suivant.

\begin{lem}
\label{soit_R_soit_Q_sympl}
Soit $(A,J)$ une alg\`{e}bre \`{a} involution symplectique sur $R$.   Alors on a soit $A\simeq M_{2n}(R)$, soit $A\simeq M_{n}(A(1,2))$.
\end{lem}

Supposons d'abord $A\simeq M_{2n}(R)$.   Selon le th\'{e}or\`{e}me \ref{R_2_est_de_quillen_suslin} tout module projectif sur $R$ est libre, donc on a par \cite[I.4.1.3]{Kn} que toute involution symplectique $J$ sur $A$ est conjugu\'{e}e \`{a} l'involution symplectique usuelle $J_{0}:x\mapsto a_{0}^{-1}\,x^{t}\,a_{0}$ ($a_{0}$ \'{e}tant la matrice altern\'{e}e standard, voir le d\'{e}but de cette section), i.e. on a $(A,J)\simeq (A,J_{0})$ comme anneaux \`{a} involution.   Donc dans ce cas la conjecture A est d\'{e}montr\'{e}e, comme le cas d\'{e}ploy\'{e} a \'{e}t\'{e} d\'{e}j\`{a} d\'{e}crit dans \cite[Th. 4.18]{GP1}, voir remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss}.

Supposons maintenant que $A\simeq M_{n}(A(1,2))$.   Notons $\Qua$ l'alg\`{e}bre $A(1,2)$, dont il est beaucoup fait mention par la suite.   Cette alg\`{e}bre $\Qua$ est munie d'une involution standard, appel\'{e}e conjugaison quaternionique, not\'{e}e $a\mapsto \sigma(a)$ (ou $a\mapsto \bar{a}$) et d\'{e}finie de la fa\c{c}on suivante par descente.   Sur l'alg\`{e}bre des quaternions d\'{e}ploy\'{e}e $M_{2}(R)$ on dispose de l'involution de type symplectique d\'{e}finie par
\begin{equation}
 \label{inv_standard}
\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
\,\,\,\,d & -b \\
-c & \,\,\,a \\
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Par \cite[I.1.3.7]{Kn} cette involution se descend \`{a} $\Qua$.   L'involution $\sigma$ est l'unique involution de type symplectique sur $\Qua$.   Elle est aussi l'unique involution standard sur $\Qua$, cf. \cite[I.3.4]{Kn}.   On s'int\'{e}resse maintenant \`{a} d\'{e}crire les involutions de type symplectique sur $A=M_{n}(\Qua)$.   Par \cite[Th. 4.2]{BoI} les involutions de type symplectique sur $A$ correspondent aux formes hermitiennes r\'{e}guli\`{e}res de rang $n$ sur l'anneau avec involution $(\Qua,\sigma)$ \`{a} similitude (un facteur de $R^{\times}$) pr\`{e}s -- bien que ce th\'{e}or\`{e}me s'applique au cas o\`{u} $R$ est un corps, la preuve s'adapte sans difficult\'{e} au cas d'un anneau $R$ tel que $\Pic(R)$ est sans torsion.   Soit $P$ un $\Qua$-module fid\`{e}lement projectif de rang relatif $n\geq 3$.   Suivant le corollaire \ref{cor:projalorslibre}, $P$ est libre.   On a donc la correspondance bijective~:

$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{ \begin{array}{ll}
\mbox{involutions} \,\,J\,\, \mbox{de type symplectique}  \\
\mbox{sur}\,\, \End_{\Qua}(P)\simeq M_{n}(\Qua) \\
\end{array} \right\}
\,\,\,\longleftrightarrow\,\,\,
\left\{ \begin{array}{ll}
\mbox{formes hermitiennes r\'{e}guli\`{e}res}  \\
(P,h) \,\, \mbox{sur} \,\, (\Qua,\sigma) \,\, \mbox{\`{a} similitude pr\`{e}s}   \\
\end{array} \right\}.
$$
\medskip

Pour d\'{e}montrer la trivialit\'{e} de cet ensemble, il s'agit de voir qu'\'{e}tant donn\'{e} $M$, un $\Qua$-module fid\`{e}lement projectif de rang relatif $n\geq 3$, donc libre, et une forme hermitienne $h:M\times M\longrightarrow \Qua$, on a~:
\begin{itemize}
\item $(M,h)\simeq \hyp(\Qua^{n/2})$ si $n$ est pair
\item $(M,h)\simeq \hyp(\Qua^{n-1/2})\bot (M',h')$ o\`{u} $(M',h')$ est un espace hermitien de dimension $1$ sur $\Qua$, si $n$ est impair.
\end{itemize}
Ici $\hyp(\Qua^{r})$ signifie l'espace hyperbolique de dimension $2r$ sur $\Qua$.   Il s'agit alors d'\'{e}tablir que toute forme hermitienne r\'{e}guli\`{e}re $(M,h)$ sur $(\Qua,\sigma)$ admet une telle d\'{e}composition.   On d\'{e}montre ce r\'{e}sultat en deux \'{e}tapes.   D'abord on calcule le groupe de Witt des formes hermitiennes sur $(\Qua,\sigma)$ et on \'{e}tablit ensuite une loi de simplification pour ces formes.

\begin{lem}
\label{w_plus_generique_special} Soit $X=\Spec R$ et notons $\sigma_{K}=\sigma \otimes K$.
\begin{enumerate}
\item Les $(\Qua_{K},\sigma_{K})$-formes hermitiennes sont classifi\'{e}es \`{a} isom\'{e}trie pr\`{e}s par leur dimension, donc en particulier on a~:
$$
W^{+}(\Qua_{K},\sigma_{K})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}
$$
de g\'{e}n\'{e}rateur la classe de $(\Qua_{K},<1>)$.
\item Soit $x\in X^{(i)}$ avec $i=1,2$.   On a
$$
W^{+}(M_{2}(k(x)),\sigma_{k(x)})=0
$$
o\`{u} $\sigma_{k(x)}=\sigma \otimes k(x)$.
\end{enumerate}

\end{lem}

\proof
Montrons la premi\`{e}re assertion.   L'alg\`{e}bre quaternionique $\Qua_{K}$ est l'alg\`{e}bre \`{a} division sur $K=k(t_{1},t_{2})$, d\'{e}finie par les relations $X^{2}=t_{1}$,\linebreak $Y^{2}=t_{2}$ et $XY=-YX$ (cf. section \ref{section_1_an}), l'involution $\sigma_{K}$ \'{e}tant la conjugaison quaternionique.   Soit $(M,h)$ un espace hermitien de rang $n$ sur $\Qua_{K}$, i.e. on a une forme hermitienne r\'{e}guli\`{e}re
$$
h:M\times M\longrightarrow \Qua_{K}.
$$
En particulier on a pour tout $x\in M$, $h(x,x)=\sigma(h(x,x))$ donc\linebreak ${h(x,x)\in \Fix(\sigma)=K}$, et $M$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $2n$.   On sait (\cite{Sch}, 10.1, p.352) que $h$ d\'{e}finit une forme quadratique $q_{h}:M\times M\longrightarrow K$ de rang $2n$ sur $K$, en posant $q_{h}(x):=h(x,x)$.   Cette forme quadratique est appel\'{e}e la forme trace associ\'{e}e \`{a} $h$; elle est r\'{e}guli\`{e}re si et seulement si $h$ l'est aussi (loc. cit.).   Par \cite[10.1.7]{Sch} deux formes hermitiennes sur $(\Qua_{K},\sigma_{K})$ sont isom\'{e}triques si et seulement si leurs formes quadratiques associ\'{e}es le sont \'{e}galement.   De plus, l'homomorphisme de groupes de Witt
$$
W^{+}(\Qua_{K},\sigma_{K})\longrightarrow W^{+}(K),
$$
qui associe \`{a} la classe d'une forme hermitienne la classe de sa forme trace, est une injection qui a comme image l'id\'{e}al engendr\'{e} par la forme quadratique, norme quaternionique $\N:\Qua_{K}\longrightarrow K$, $x\mapsto x\sigma(x)$, i.e. $\N=<1,-t_{1},-t_{2},t_{1}t_{2}>$.   Soit maintenant $h$ une forme hermitienne r\'{e}guli\`{e}re de rang $1$ sur $(\Qua_{K},\sigma_{K})$.   Par \cite[I.6.2.4]{Kn}, toute forme hermitienne sur $(\Qua_{K},\sigma_{K})$ poss\`{e}de une base orthogonale, donc $h=<u>$ pour $u\in\Fix(\sigma)^{\times}=K^{\times}$.   Maintenant $K$ est un corps $C_{2}$, donc la norme quaternionique $\N$ associ\'{e}e \`{a} la forme hermitienne $<1>$, repr\'{e}sente tout \'{e}l\'{e}ment de $K^{\times}$, i.e. est universelle.   Alors $\alpha N\simeq N$ pour tout $\alpha\in K^{\times}$ et donc $q_{<u>}\simeq q_{<1>}$.   Par \cite[10.1.7]{Sch}, $h\simeq <1>$ et $W^{+}(\Qua_{K},\sigma_{K})$ est engendr\'{e} par $<1>$.   Par ailleurs, comme $K$ est un corps $C_{2}$, toute forme quadratique de rang au moins $5$ est isotrope et alors $q_{<1>}\spacebot q_{<1>}$ est hyperbolique; alors $2[q_{<1>}]=0$ dans $W^{+}(K)$.   Ainsi, l'id\'{e}al engendr\'{e} par la norme quaternionique $[\N]=[q_{<1>}]$ ne contient que deux \'{e}l\'{e}ments et donc on a $W^{+}(\Qua_{K},\sigma_{K})\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.   En tenant compte de \cite[I.6.4.2]{Kn} (simplification de Witt sur des alg\`{e}bres \`{a} division), ceci entra\^{i}ne la classification des formes hermitiennes sur $\Qua_{K}$ et le lemme suit.

Pour montrer la deuxi\`{e}me assertion, nous allons nous servir de la th\'{e}orie de Morita pour les formes hermitiennes, expliqu\'{e}e dans \cite[I.9.2]{Kn}.    Soit $k'$ un des corps $k(x)$, $x\in X^{(i)}$ o\`{u} $i=1,2$.   Par le corollaire \ref{morita_herm_cor}, appliqu\'{e} avec $\epsilon=-1$, on a une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories
\begin{equation}
\Herm^{-}(k') \stackrel{\sim}\longrightarrow\Herm^{+}(M_{2}(k'),\sigma_{k'}).
\end{equation}
Cette \'{e}quivalence de cat\'{e}gories entra\^{i}ne un isomorphisme de groupes de Witt
$$
W^{-}(k')\stackrel{\sim}\longrightarrow W^{+}(M_{2}(k'),\sigma_{k'}).
$$
On a donc $W^{+}(M_{2}(k'),\sigma_{k'})=W^{-}(k')=0$, vu que tout $k'$-espace altern\'{e} est hyperbolique (cf. \cite[I.4.1.2]{Kn}).
\endproof

\begin{oss}
\label{w+=trivial_demontrer_par_H1=0_oss}
Le lemme \ref{w_plus_generique_special} est aussi une cons\'{e}quence de \cite[Th. 5.1.1]{BFP} qui montre que $H^{1}(K,\Sp(A_{K},\tau_{K}))=1$ pour $A_{K}$ une alg\`{e}bre simple centrale sur $K$ \`{a} involution symplectique $\tau_{K}$.
\end{oss}

\begin{thm}
\label{w_plus_z_sur_2}
On a $W^{+}(\Qua,\sigma)\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ de g\'{e}n\'{e}rateur la classe de $<1>$, o\`{u} $\sigma:\Qua\longrightarrow \Qua$ est l'involution standard d\'{e}finie plus haut (voir (\ref{inv_standard})).
\end{thm}

\proof
L'id\'{e}e de la preuve est de comparer les deux suites spectrales suivantes~: celle de (\ref{suite_witt}) du th\'{e}or\`{e}me \ref{suite_gille} avec $X=\Spec\,R$, $\mathcal{A}=\Qua$, $\tau=\sigma$ et $\mathcal{I}_{\bullet}$ \'{e}tant une r\'{e}solution injective de $R$~:
\begin{equation}
\label{suite_witt_sympl}
E_{1}^{s,t}(\Qua,\sigma,R)=\bigoplus\limits_{x\in X^{(s)}} W^{t}(D^{b}(\M_{lf}(\Qua_{x})),\sigma_{x},R_{x})\Rightarrow \widetilde{W}^{s+t}(\Qua,\sigma,R).
\end{equation}
o\`{u} pour tout $x\in X^{(s)}$,\newline\noindent
\begin{flushleft}
$\,\,\,\,\,\,W^{t}(D^{b}(\M_{lf}(\Qua_{x})),\sigma_{x},R_{x})$ \\
\end{flushleft}
$$
\approx \left\{ \begin{array}{ll}
W^{+}(\Qua_{k(x)},\sigma_{k(x)}) \,  & \mbox{si  $t\equiv 0$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ mod $4$;} \\
W^{-}(\Qua_{k(x)},\sigma_{k(x)}) \,  & \mbox{si  $t\equiv 2$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ mod $4$;} \\
0 & \mbox{si $t$ est impair},
\end{array} \right\}
$$
et ensuite la m\^{e}me suite spectrale avec $X=\Spec\,R$, $\mathcal{A}=R$, $\tau=\id$ et $\mathcal{I}_{\bullet}$ \'{e}tant une r\'{e}solution injective de $R$ (voir remarque (\ref{suite_gille_oss}(4)))~:
\begin{equation}
\label{suite_witt_quad}
E_{1}^{s,t}(R)=\bigoplus\limits_{x\in X^{(s)}} W^{t}(D^{b}(\mathcal{M}_{lf}(R_{x})) \Rightarrow W^{s+t}(R).
\end{equation}
Selon la section \ref{comp_gr_witt_usuels}, on a un isomorphisme $W^{+}(\Qua,\sigma)\simeq \widetilde{W}^{0}(\Qua,\sigma,R)$.   Il s'agit de calculer le terme $E^{0}(\Qua,\sigma,R)$.   Ce groupe admet une filtration dont les quotients successifs sont les $E_{\infty}^{p,-p}$.   On observe que d\'{e}j\`{a} sur le deuxi\`{e}me niveau toutes les diff\'{e}rentielles de cette suite spectrale sont nulles.   Donc on a $E_{\infty}^{p,-p}=E_{2}^{p,-p}$ pour tout $p\in \mathbb{Z}$.   La remarque \ref{suite_gille_oss} indique que ces termes sont nuls si $p\neq 0,2$.   On va montrer que $E_{2}^{2,-2}=0$ et que $E_{2}^{0,0}\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.   Dans ce cas, $E_{2}^{0,0}$ est le seul quotient non nul de la filtration de $E^{0}$ et le r\'{e}sultat suit.

Montrons que $E_{2}^{2,-2}=0$.   Soient $x_{1},...,x_{m}\in X^{(1)}$, o\`{u} $m\in \mathbb{N}$.   Observons d'abord que le sch\'{e}ma $Z_{1,...,m}=\overline{ \{ x_{1} \} } \cup ... \cup \overline{ \{ x_{n} \} }$ est de Gorenstein par \cite[Cor.21.19]{Ei}, comme toute intersection d'id\'{e}aux premiers de hauteur $1$ dans $R$ est un id\'{e}al principal par \cite[Ch. 20, Rem. 2]{Ma}, donc engendr\'{e}e par une suite r\'{e}guli\`{e}re.   Ensuite  $\Br(Z_{1,...,m})=0$ par le th\'{e}or\`{e}me \ref{brauer_grothendieck}, comme les corps $k(x_{1}),...,k(x_{m})$ sont de dimension cohomologique $1$.   Donc $\Qua_{Z}$ est l'alg\`{e}bre d'endomorphismes d'un fibr\'{e} vectoriel, et en fait une alg\`{e}bre de matrices, puisque $\Qua \simeq R^{4}$ comme $R$-modules.   Soit maintenant $P=R^{2}$ et $h_{0}:P\times P \longrightarrow R$ la forme altern\'{e}e standard sur $R$, i.e. $h_{0}((x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}))=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$.   Le corollaire \ref{morita_herm_cor} montre alors que le triplet $(Z_{1,...,m},P_{Z_{1,...,m}},(h_{0})_{Z_{1,...,m}})$ satisfait \`{a} la condition \ref{morita_cond_intro} avec $(\Aaa,\tau)=(R,\id)$ et $(\Bbbb,\nu)=(\Qua,\sigma)$.   On a alors un diagramme commutatif~:
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{CD}
&&  E_{1}^{1,0}(R) &&  E_{1}^{2,0}(R). \\
&& @| @| \\
&&  \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} W^{0}(D^{b}(\M_{lf}(R_{x})) @>{d}>>  \bigoplus\limits_{x\in X^{(2)}}W	^{0}(D^{b}(\M_{lf}(R_{x})). \\
&& @V{Morita\,\,\wr}VV @VV{\wr\,\,Morita}V\\
&&  \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} W^{-2}(D^{b}(\M_{lf}(\Qua_{x})),\sigma_{x},R_{x}) @>{d_{1}^{1,-2}}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(2)}} W^{-2}(D^{b}(\M_{lf}(\Qua_{x})),\sigma_{x},R_{x}) @>{d_{1}^{2,-2}}>> 0. \\
&& @| @| \\
&&  E_{1}^{1,-2}(\Qua,\sigma,R) && E_{1}^{2,-2}(\Qua,\sigma,R) \\
\end{CD}
$$
Pour montrer que $E_{2}^{2,-2}=0$, il s'agit de montrer que la diff\'{e}rentielle $d_{1}^{1,-2}$ est surjective.   Par la commutativit\'{e} du diagramme pr\'{e}c\'{e}dent, il suffit de montrer que la diff\'{e}rentielle $d$ est surjective.   On sait que $\coker\, (d) = E_{2}^{2,0} = W^{2}(R)$, comme les termes $E_{2}^{s,t}$ tels que $s+t=2$ sont tous z\'{e}ros pour $s\neq 0$ et $t\neq 2$, cf. l'exposition de la suite spectrale dans \cite{BW}.   Mais par la section \ref{comp_gr_witt_usuels} on a $W^{2}(R)=W^{-}(R)$.   En tenant compte de \cite[I.4.1.2]{Kn}, tout espace altern\'{e} sur $R$ est hyperbolique, donc $\coker\, (d) = E_{2}^{0,2} = W^{2}(R)=0$ et $d$ est surjective.   Donc on a bien $E_{2}^{2,-2}=0$.

Montrons maintenant que $E_{2}^{0,0}\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.   Observons que $\ker (d_{1}^{0,0}) = E_{2}^{0,0}$ o\`{u}
$$
W^{+}(\Qua_{K},\sigma_{K}) \stackrel{d_{1}^{0,0}}\vlongrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} W^{+}(\Qua_{k(x)}, \sigma_{k(x)}).
$$
Comme $E_{2}^{2,-2}=0$, on voit que $E_{2}^{0,0}\simeq W^{+}(\Qua,\sigma)$ et donc on a une suite exacte
$$
\begin{CD}
&& 0 @>>> W^{+}(\Qua,\sigma) @>>> W^{+}(\Qua_{K},\sigma_{K}) @>{d_{1}^{0,0}}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} W^{+}(\Qua_{k(x)}, \sigma_{k(x)}).\\
&& && && || && || \\
&& && && E_{1}^{0,0} && E_{1}^{1,0} \\
\end{CD}
$$
i.e. on a la puret\'{e} pour les groupes de Witt de formes hermitiennes\footnote{Puret\'{e} pour les groupes de Witt de formes hermitiennes sur une alg\`{e}bre d'Azumaya $\mathcal{A}$ \`{a} involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce $\tau$ sur un sch\'{e}ma $X$ est l'exactitude du complexe de Gersten-Witt hermitien, i.e. du complexe
$$
0 \longrightarrow W^{+}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)}) \longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(0)}} W^{+}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\stackrel{d_{1}^{0,0}}\longrightarrow ... \stackrel{d_{1}^{n-1,0}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(n)}} W^{+}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\longrightarrow 0,
$$
dans le terme $\bigoplus\limits_{x\in X^{(0)}} W^{+}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})$.} sur $R$.   Comme $\Br(k(x))=0$ pour $x\in X^{(1)}$, on a $\Qua_{k(x)}\simeq M_{2}(k(x))$.   Donc par le lemme \ref{w_plus_generique_special}, on a $E_{1}^{1,0}=0$.   Il suit que $W^{+}(\Qua,\sigma)\simeq W^{+}(\Qua_{K},\sigma_{K})$.   Comme on a $W^{+}(\Qua_{K},\sigma_{K}) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ par le lemme \ref{w_plus_generique_special}, le th\'{e}or\`{e}me suit.
\endproof

Il reste \`{a} \'{e}tablir des conditions pour la simplification des $(\Qua,\sigma)$-formes hermitiennes.

\begin{thm}
\label{decompo_hermi}
Soit $n\geq 6$.   Alors toute forme hermitienne $(M,h)$ sur $(\Qua,\sigma)$, avec $M$ un $\Qua$-module fid\`{e}lement projectif de rang relatif $n$, se d\'{e}compose~:
\begin{enumerate}
\item $(M,h)\simeq \hyp(\Qua^{r})$ si $n=2r$ est pair,
\item $(M,h)\simeq \hyp(\Qua^{r})\spacebot (\Qua,<1>)$ si $n=2r+1$ est impair. 
\end{enumerate}
\end{thm}

\proof
Supposons que $(M,h)$ est un espace hermitien de rang relatif pair $2r$.   Comme la preuve est analogue pour le cas o\`{u} $(M,h)$ est de rang impair, on se limite au cas pair.   Supposons que $r\geq 3$.   Par le th\'{e}or\`{e}me \ref{w_plus_z_sur_2}, la classe de $(M,h)$ dans $W^{+}(\Qua,\sigma)$ est triviale.   Par \cite[I.3.5.4]{Kn} tout espace hermitien est un facteur direct d'un espace hyperbolique d'un module libre.   De plus tout $\Qua$-module projectif de rang $\geq 3$ est libre par le corollaire \ref{cor:projalorslibre}, donc il existe $s\geq 0$ tel que
\begin{equation}
\label{eq_de_simplification}
(M,h)\spacebot \hyp(\Qua^{s})\simeq \hyp(\Qua^{r+s}).
\end{equation}
Rappelons que $d:=\dim \Spm R=2$ par le lemme \ref{dim_spm=dim_spec}.   Puisque $r\geq d+1=3$, on peut appliquer le th\'{e}or\`{e}me \ref{simplification} pour d\'{e}duire que
$$
(M,h) \simeq \hyp(\Qua^{r}),
$$
ce qui donne le r\'{e}sultat.
\endproof


\begin{cor}
\label{conj_c_n_stable}
Supposons que $n\geq 6$ et que $\G$ est un sch\'{e}ma en groupes semi-simples (connexe) de type $C_{n}$ sur $R$.   Soit $\mug$ le noyau du rev\^{e}tement universel $\tilde{\G}\surjlra \G$.   Alors l'homomorphisme connectant
$$
H^{1}(R,\G)\longrightarrow H^{2}(R,\mug)
$$
est bijectif.   En particulier, la conjecture A est vraie pour $\G$.
\end{cor}

\proof
Soit $(A,\tau)$ l'alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution symplectique correspondante \`{a} $\G$.   On va montrer que $H^{1}(R,\Sp(A,\tau))=1$.   Vu que la surjectivit\'{e} de la fl\`{e}che $H^{1}(R,\G)\longrightarrow H^{2}(R,\mug)$ est d\'{e}j\`{a} connue, ceci entra\^{i}ne sa bijectivit\'{e}.   Rappelons la description de l'ensemble $H^{1}(R,\Sp(A,\tau))$, donn\'{e}e dans la proposition \ref{description_sp_ort_prop}~:
$$
H^{1}(R,\Sp(A,\tau))\,\leftrightarrow\, \SYm(A,\tau)^{\times}(R)\, / \sim
$$
o\`{u} $\SYm(A,\tau)^{\times}(R)=\Sym(A,\tau)^{\times}$, l'ensemble des \'{e}l\'{e}ments sym\'{e}triques inversibles de $(A,\tau)$, et o\`{u} $s\sim s'\,\,\Leftrightarrow \,\,s=a\cdot s'\cdot \tau(a)$ pour un certain $a\in A^{\times}.$

Soit donc $s\in \Sym(A,\tau)^{\times}$.   On veut montrer que $s\sim 1$.   On sait que\linebreak $\tau=int(u)\circ \sigma^{t}$ pour un $u\in \Sym(A,\sigma^{t})^{\times}$ o\`{u} $\sigma^{t}$ d\'{e}signe l'extension par transposition de l'involution standard $\sigma$ de $\Qua$ \`{a} $M_{n}(\Qua)$.   Alors $\sigma(u)^{t}=u$, et de plus
$$
u^{-1}\,s=u^{-1}\,\tau(s)=u^{-1}\,u\,\sigma(s)^{t}\,u^{-1}=\sigma(s)^{t}\,u^{-1}=\sigma(u^{-1}\,s)^{t}.
$$
Donc $u^{-1}\,s\in \Sym(A,\sigma^{t})$ et il suit que $s$ d\'{e}finit la forme hermitienne suivante sur $(\Qua,\sigma)$~:
$$
h~:\Qua^{n}\times \Qua^{n}\longrightarrow \Qua,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x,y)\mapsto \sigma(x)^{t}\cdot u^{-1}s\cdot y.
$$
En faisant appel \`{a} la classification des formes hermitiennes sur $(\Qua,\sigma)$ (i.e. les th\'{e}or\`{e}mes \ref{w_plus_z_sur_2} et \ref{decompo_hermi}) les formes d\'{e}finies par $u^{-1}$ et $u^{-1}s$ sont isom\'{e}triques.   Il existe alors $a\in A^{\times}$ tel que $u^{-1}s=au^{-1}\sigma(a)^{t}$, donc
$$
s=u\,a\,u^{-1}\sigma(a)^{t}=u\,a\,u^{-1}\tau(u\,a\,u^{-1}),
$$
ce qui montre que $s\sim 1$.   On a bien montr\'{e} que $H^{1}(R,\Sp(A,\tau))$ est trivial.
\endproof

\section[Les autres groupes du type $D_{n}$]{Les autres groupes du type $D_{n}$}
\label{section_dn}

La conjecture A a \'{e}t\'{e} d\'{e}montr\'{e}e dans la section \ref{section_bn}, cf. le corollaire \ref{cor:bn1dnetoile}, pour les groupes de spineurs et les groupes sp\'{e}ciaux orthogonaux d'une forme quadratique de rang $\geq 5$.   Dans cette section on traite le cas des groupes de type $D_{n}$ qui ne sont pas de cette forme.

Soit $R$ un anneau (commutatif) avec $\Spec R$ connexe et $2\in R^{\times}$.   Soit $\G$ un $R$-sch\'{e}ma en groupes semi-simples (connexe) de type $D_{n}$, $n\geq 4$.   On rappelle\linebreak que le groupe semi-simple simplement connexe d\'{e}ploy\'{e} de type $D_{n}$ est\linebreak $\Spin_{2n}:=\Spin(q)$, le groupe des spineurs associ\'{e} \`{a} la forme quadratique r\'{e}guli\`{e}re $q=\hyp^{n}(R)$.   Le centre de $\Spin_{2n}$ est $\mug_{4}$ si $n$ est impair et $\mug_{2}\times \mug_{2}$ si $n$ est pair.   Le groupe adjoint de $\Spin_{2n}$ est $\PSO_{2n}$.   Si $n$ est impair, le quotient de $\Spin_{2n}$ par son sous-groupe $\mug_{2}$ est le groupe sp\'{e}cial orthogonal $\SO_{2n}$.   Pour obtenir $\SO_{2n}$ si $n$ est pair, on quotiente $\Spin_{2n}$ par son sous-groupe $\mug_{2}$ qui se factorise en $\mug_{2}\stackrel{i}\longrightarrow \mug_{2}\times \mug_{2}$, o\`{u} $i(1)=(1,1)$, cf. \cite[p.375]{BoI}.   De plus, le groupe d'automorphismes de $\Spin_{2n}$ (et donc de $\SO_{2n}$) est $\PO_{2n}:=\Ad(\Ort_{2n})$, le groupe quotient de $\Ort_{2n}$ par son centre.   Donc $H^{1}(R,\PO_{2n})$ classifie les $R$-formes de $\Spin_{2n}$, $\SO_{2n}$ ou $\PSO_{2n}$ \`{a} isomorphisme pr\`{e}s.

Soit maintenant $\G$ une $R$-forme de $\SO_{2n}$.   Dans le cas o\`{u} $R=k$ est un corps, il existe une description de $\G$ en termes d'alg\`{e}bres d'Azumaya (i.e. centrales simples dans ce cas) \`{a} involutions, due \`{a} Weil, voir \cite{We}.   En effet, cf. \cite[Ch. II, 2.4]{Kne}, il existe une alg\`{e}bre d'Azumaya $A$ sur $R$ avec une involution de type symplectique $J$ (cf. d\'{e}finition \ref{sympl_ortho}) telle que pour toute $R$-alg\`{e}bre $S$
$$
\G(S)=\{x\in A\otimes_{R} S\mid xx^{I}=1 \,\, \mbox{et}\,\, \Nrd(x)=1\}.
$$
De plus, la paire $(A,I)$ est unique \`{a} isomorphisme pr\`{e}s.   On voit sans difficult\'{e} que les arguments dans \cite[Ch. II, 2.4]{Kne} s'\'{e}tendent au cas d'un anneau commutatif $R$ \cite[III.8.5]{Kn} et que $\G=\SO(A,I)$ (cf. section \ref{section_inv_alg_azu}).   On a alors les correspondances bijectives entre les classes:\newline\newline
\begin{center} $H^{1}(R,\PO_{2n})$ \end{center}
$$
\longleftrightarrow
$$
\begin{center} $\{R$-formes de $\Spin_{2n}\}$ \end{center}
$$
\longleftrightarrow
$$
\begin{center} $\{R$-formes de $\SO_{2n}\}$ \end{center}
$$
\longleftrightarrow
$$
\begin{center}
$\{R$-formes de $\PSO_{2n}\}$
\end{center}
$$
\longleftrightarrow
$$
\begin{center}
\mbox{$\{R$-alg\`{e}bres d'Azumaya $A$ de degr\'{e} $2n$, avec involution $I$ de type orthogonal$\}.$}\newline\newline
\end{center}

Observons maintenant que nous avons un morphisme de suites exactes, i.e. un diagramme commutatif:
$$
\begin{CD}
&& 1 @>>> \mug_{2}  @>>> \Ort_{2n} @>>> \PO_{2n} @>>> 1 \\
&&&& @VVV @VVV @VVV \\
&& 1 @>>> \Gm @>>> \GL_{2n} @>>> \PGL_{2n} @>>> 1, \\
\end{CD}
$$
o\`{u} les deux premi\`{e}res fl\`{e}ches verticales sont des inclusions.   Ceci entra\^{i}ne que l'on a le diagramme commutatif:
$$
\begin{CD}
&& H^{1}(R,\PO_{2n}) @> \partial >> H^{2}(R,\mug_{2}) \\
&& @VVV @VVV \\
&& H^{1}(R,\PGL_{2n}) @>>> H^{2}(R,\Gm). \\
\end{CD}
$$
Supposons que $\Pic(R)=0$.   Alors la fl\`{e}che horizontale de la premi\`{e}re ligne associe \`{a} la classe d'une alg\`{e}bre d'Azumaya $A$ avec involution orthogonale $I$, la classe de $A$ dans le groupe de Brauer.   La premi\`{e}re fl\`{e}che verticale associe \`{a} la classe d'une paire $[(A,I)]$ juste $[A]$, la classe de l'alg\`{e}bre d'Azumaya sous-jacente.

Supposons maintenant que $k$ est un corps alg\'{e}briquement clos de\linebreak caract\'{e}ristique z\'{e}ro.   Soit $R=k[t_{1}^{\pm 1},t_{2}^{\pm 1}]$ notre anneau des polyn\^{o}mes de Laurent \`{a} deux variables sur $k$ et soit $K=k(t_{1},t_{2})$ son corps de fractions.

Donc, comme on a bien $\Pic(R)=0$ par le th\'{e}or\`{e}me \ref{R_2_est_de_quillen_suslin} la fl\`{e}che verticale \`{a} droite dans le diagramme commutatif plus haut est l'inclusion $_{2}\Br(R)\hookrightarrow \Br(R)$.   Pour d\'{e}montrer la conjecture A pour $\G$, il suffit par la remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss}(2) de montrer que $H^{1}(R,\widetilde{\G})=1$, o\`{u} $\G$ est le rev\^{e}tement universel de $\G$.   Notons $(A,I)$ l'alg\`{e}bre d'Azumaya avec involution orthogonale correspondante \`{a} $\widetilde{\G}$ par les bijections plus haut.

Vu que la classe de $A$ dans le groupe de Brauer est d'ordre $2$ (cf. \cite[III.8.4]{Kn}), $A$ est Brauer-\'{e}quivalente soit \`{a} $M_{2n}(R)$, soit \`{a} $M_{n}(A(1,2))=A(n,2n)$.   Comme $n\geq 4$, le th\'{e}or\`{e}me \ref{thm:conjpgln1} s'applique et on a le lemme suivant~:
\begin{lem}
\label{soit_R_soit_Q_ortho}
Soit $(A,I)$ une alg\`{e}bre \`{a} involution orthogonale sur $R$.   Alors on a soit $A\simeq M_{2n}(R)$, soit $A\simeq M_{n}(A(1,2))$.
\end{lem}

Supposons d'abord $A\simeq M_{2n}(R)$.   Dans ce cas une involution $I$ sur $A$ correspond \`{a} une forme quadratique r\'{e}guli\`{e}re $q$ de rang $2n$ sur $R$.   Dans ce cas $\widetilde{\G}=\Spin(q)$, le groupe des spineurs d'une $R$-forme quadratique $q$ de rang $\geq 5$, et on a alors $H^{1}(R,\widetilde{\G})=1$ par le corollaire \ref{cor:bn1dnetoile}.

Supposons maintenant que $A\simeq M_{n}(A(1,2))$.   Notons $\Qua:=A(1,2)$ comme dans la section \ref{section_cn}.   Cette alg\`{e}bre est munie d'une involution standard $\sigma$, la conjugaison quaternionique, voir section \ref{section_cn}.   Par \cite[Th. 4.2]{BoI} les involutions de type orthogonal sur $A$ correspondent aux formes anti-hermitiennes r\'{e}guli\`{e}res de rang $n$ sur l'anneau avec involution $(\Qua,\sigma)$ \`{a} similitude (un facteur de $R^{\times}$) pr\`{e}s -- comme on l'a d\'{e}j\`{a} remarqu\'{e} dans le cas des groupes symplectiques, ce th\'{e}or\`{e}me s'applique au cas o\`{u} $R$ est un corps, mais la preuve s'adapte sans difficult\'{e} au cas d'un anneau $R$ tel que $\Pic(R)$ est sans torsion.   Soit $P$ un $\Qua$-module fid\`{e}lement projectif de rang relatif $n\geq 3$.   Suivant le corollaire \ref{cor:projalorslibre}, $P$ est libre.   On a donc la correspondance bijective~:

$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{ \begin{array}{ll}
\mbox{involutions} \,\,I\,\, \mbox{de type orthogonal}  \\
\mbox{sur}\,\, \End_{\Qua}(P)\simeq M_{n}(\Qua) \\
\end{array} \right\}
\,\,\,\longleftrightarrow\,\,\,
\left\{ \begin{array}{ll}
\mbox{formes anti-hermitiennes r\'{e}guli\`{e}res}  \\
(P,h) \,\, \mbox{sur} \,\, (\Qua,\sigma) \,\, \mbox{\`{a} similitude pr\`{e}s}   \\
\end{array} \right\}.
$$
\medskip

On va calculer d'abord le groupe de Witt des formes anti-hermitiennes sur $(\Qua,\sigma)$.   Pour cela on se sert, comme dans la section pr\'{e}c\'{e}dente, de la suite spectrale (\ref{suite_witt}).   Ceci nous ram\`{e}ne \`{a} consid\'{e}rer les formes anti-hermitiennes sur des alg\`{e}bres de quaternions sur les corps.   Observons que par \cite[I.6.2.4]{Kn}, tout espace hermitien sur une alg\`{e}bre \`{a} division avec involution non triviale poss\`{e}de une base orthogonale.  On utilise librement ce fait par la suite.

\begin{lem}
\label{w_minus_special}    Soit $X= \Spec R$ et $x\in X^{(1)}$.   On a~:
$$
W^{-}(M_{2}(k(x)),\sigma_{k(x)})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus k(x)^{\times}/k(x)^{\times\,2}
$$
o\`{u} $\sigma_{k(x)}=\sigma \otimes k(x)$.   Ce groupe est engendr\'{e} par $<1>$ et les espaces ${<1,-\alpha>}$, o\`{u} $\alpha\in M_{2}(k(x))^{\times}$ est tel que $\det(\alpha)\notin k(x)^{2}$.
\end{lem}

\proof
Comme dans le cas des groupes symplectiques (lemme \ref{w_plus_generique_special}), on se sert de la th\'{e}orie de Morita pour les espaces hermitiens, (cf. aussi \cite[10.3, p.361]{Sch}).   Soit donc $x\in X^{(1)}$.   Par le corollaire \ref{morita_herm_cor}, appliqu\'{e} avec $\epsilon=1$, on obtient une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories
\begin{equation}
\Herm^{+}(k(x))\stackrel{\sim}\longrightarrow \Herm^{-}(M_{2}(k(x)),\sigma_{k(x)}).
\end{equation}
Cette \'{e}quivalence des cat\'{e}gories entra\^{i}ne un isomorphisme des groupes de Witt
$$
W^{+}(k(x))\stackrel{\sim}\longrightarrow W^{-}(M_{2}(k(x)),\sigma_{k(x)}).
$$
On a donc $W^{-}(M_{2}(k(x)),\sigma_{k(x)})=W^{+}(k(x))=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus k(x)^{\times}/k(x)^{\times\,2}$, la derni\`{e}re \'{e}galit\'{e} \'{e}tant une cons\'{e}quence de \cite[Th. 2.3.3]{Sch}, comme $k(x)$ est un corps $C_{1}$.
\endproof

Rappelons (cf. section \ref{section_1_an}) que $\Qua$ est un $R$-module libre de base $1,X,Y,XY$ et que sa structure d'alg\`{e}bre est d\'{e}finie par les relations~:
$$
X^{2}=t_{1},\,\,Y^{2}=t_{2}\,\,\,\,\mbox{et}\,\,\,\,YX=-XY.
$$
Si l'on \'{e}tend les scalaires \`{a} l'anneau $S:=k[t_{1}^{\pm\frac{1}{2}},t_{2}^{\pm\frac{1}{2}}]$ l'alg\`{e}bre $\Qua$ se d\'{e}ploie, donc il existe un plongement
$$
\Qua\hookrightarrow \Qua\otimes_{R} S\simeq  M_{2}(S)
$$
tel que
$$
X\mapsto\begin{pmatrix}\sqrt{t_{1}} & 0 \\  0 & -\sqrt{t_{1}} \\ \end{pmatrix},\,\,\,\,\,\,\,\,Y\mapsto\begin{pmatrix}0 & \sqrt{t_{2}}\\ \sqrt{t_{2}} & 0\\ \end{pmatrix}\,\,\,\,\,\,\mbox{et}\,\,\,\,\,\,XY\mapsto\begin{pmatrix}0 & \sqrt{t_{1}t_{2}}\\ -\sqrt{t_{1}t_{2}} & 0\\ \end{pmatrix}.
$$
Il est commode d'identifier les \'{e}l\'{e}ments $X$, $Y$, $XY$ avec ces matrices.

\begin{thm}
\label{w_plus_ortho_z_sur_2}
On a $W^{-}(\Qua,\sigma)\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \,\oplus\, R^{\times}/R^{\times\,2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \big( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \big)^{2}$ de g\'{e}n\'{e}rateurs les classes des formes $<X>$, $<Y>$ et $<XY>$, o\`{u} $\sigma:\Qua\longrightarrow \Qua$ est l'involution standard sur $\Qua$, d\'{e}finie plus haut (voir (\ref{inv_standard})).
\end{thm}
\proof

Comme dans la preuve du th\'{e}or\`{e}me \ref{w_plus_z_sur_2}, on utilise la suite spectrale (\ref{suite_witt}) de S. Gille avec $X=\Spec\,R$, $\mathcal{A}=\Qua$, $\tau=\sigma$ et $\mathcal{L}=R$:

\begin{equation}
\label{suite_witt_sympl}
E_{1}^{s,t}(\Qua_{K},\sigma,R)=\bigoplus\limits_{x\in X^{(s)}}W^{t}(D^{b}(\M_{lf}(\Qua_{x})),\sigma_{x},R_{x})\Rightarrow W^{s+t}(\Qua,\sigma,R)
\end{equation}
o\`{u} pour tout $x\in X^{(s)}$,\newline\noindent
\begin{flushleft}
$\,\,\,\,\,\,W^{t}(D^{b}(\M_{lf}(\Qua_{x})),\sigma_{x},R_{x})$ \\
\end{flushleft}
$$
\approx \left\{ \begin{array}{ll}
W^{+}(\Qua_{k(x)},\sigma_{k(x)}) \,  & \mbox{si  $t\equiv 0$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ mod $4$;} \\
W^{-}(\Qua_{k(x)},\sigma_{k(x)}) \,  & \mbox{si  $t\equiv 2$ $\,\,\,\,\,\,\,\,\,$ mod $4$;} \\
0 & \mbox{si $t$ est impair}.
\end{array} \right.
$$
Par la section \ref{comp_gr_witt_usuels}, on a un isomorphisme $W^{-}(\Qua,\sigma)\simeq \widetilde{W}^{2}(\Qua,\sigma,R)$.   Il s'agit de calculer le terme $E^{2}(\Qua,\sigma,R)$.   Ce groupe admet une filtration dont les quotients successifs sont les $E_{\infty}^{p+2,-p}$.   On observe que d\'{e}j\`{a} sur le deuxi\`{e}me niveau toutes les diff\'{e}rentielles dans cette suite spectrale sont nulles.   Donc on a $E_{\infty}^{p+2,-p}=E_{2}^{p+2,-p}$ pour tout $p\in \mathbb{Z}$.   Par la remarque \ref{suite_gille_oss}, ces termes sont nuls si $p\neq 0,-2$.   On va montrer que $E_{2}^{2,0}=0$ et que $E_{2}^{0,2}\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus R^{\times}/R^{\times\,2}$.

Montrons d'abord que $E_{2}^{2,0}=0$.   Les diff\'{e}rentielles suivantes font partie de la ligne $t=0$ de la suite spectrale~:
$$
\begin{CD}
&& \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} W^{+}(M_{2}(k(x)), \sigma_{k(x)}) @>{d_{1}^{1,0}}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(2)}} W^{+}(M_{2}(k(x)), \sigma_{k(x)}) @>{d_{1}^{2,0}}>> 0.\\
&& || && || && \\
&& E_{1}^{1,0} && E_{1}^{2,0} &&  \\
\end{CD}
$$
On a $\coker (d_{1}^{1,0}) = E_{2}^{2,0}$.   Mais pour $x\in X^{(2)}$,
$$
{W^{+}(M_{2}(k(x)), \sigma_{k(x)}) \simeq W^{-}(k(x)) =0}
$$
par le lemme \ref{w_plus_generique_special}, donc on a bien $E_{2}^{0,2}=0$.

Montrons maintenant que $E_{2}^{0,2}\simeq\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\, \oplus \, R^{\times}/R^{\times\,2}$.   Observons que\linebreak ${\ker (d_{1}^{0,2}) = E_{2}^{0,2}}$ o\`{u}
$$
W^{-}(\Qua_{K},\sigma_{K}) \stackrel{d_{1}^{0,2}}\vlongrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} W^{-}(\Qua_{k(x)}, \sigma_{k(x)}).
$$
Comme $E_{2}^{2,0}=0$, on voit que $E_{2}^{0,2}\simeq W^{-}(\Qua,\sigma)$ et, comme dans la preuve du th\'{e}or\`{e}me \ref{w_plus_z_sur_2}, on a donc une suite exacte
$$
\begin{CD}
&& 0 @>>> W^{-}(\Qua,\sigma) @>{d}>> W^{-}(\Qua_{K},\sigma_{K}) @>{d_{1}^{0,2}}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} W^{-}(\Qua_{k(x)}, \sigma_{k(x)}),\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\\
&& && && || && || \\
&& && && E_{1}^{0,2} && E_{1}^{1,2} \\
\end{CD}
$$
i.e. on a aussi la puret\'{e} pour les groupes de Witt de formes anti-hermitiennes\footnote{Puret\'{e} pour les groupes de Witt de formes anti-hermitiennes sur une alg\`{e}bre d'Azumaya $\mathcal{A}$ \`{a} involution de premi\`{e}re esp\`{e}ce $\tau$ sur un sch\'{e}ma $X$ est l'exactitude du complexe de Gersten-Witt anti-hermitien, i.e. du complexe
$$
0 \longrightarrow W^{-}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)}) \longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(0)}} W^{-}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\stackrel{d_{1}^{0,-2}}\longrightarrow ... \stackrel{d_{1}^{n-1,-2}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(n)}} W^{-}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})\longrightarrow 0,
$$
dans le terme $\bigoplus\limits_{x\in X^{(0)}} W^{-}(\mathcal{A}_{k(x)},\tau_{k(x)})$.} sur $R$.   Pour $x\in X^{(1)}$, $\Br(k(x))=0$ donc $\Qua_{k(x)}$ est d\'{e}ploy\'{e}e.   Par le lemme \ref{w_minus_special}, $E_{1}^{1,2}$ est \'{e}gal \`{a} une somme directe de copies de ${\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus k(x)^{\times}/k(x)^{\times\,2}}$ sur les points de codimension $1$.

Donnons une description explicite de la fl\`{e}che de r\'{e}sidu $d_{1}^{0,2}$.   Elle se\linebreak d\'{e}compose en composantes
$$
d_{1}^{0,2}=\bigoplus\limits_{x\in X^{(1)}} \partial_{x},
$$
dont la ``$x$-composante'' est
$$
W^{-}(\Qua_{K},\sigma_{K}) \stackrel{\partial_{x}}\longrightarrow W^{-}(M_{2}(k(x)), \sigma_{k(x)}).
$$
Comme $R$ est un anneau r\'{e}gulier, $R_{x}$ est un anneau de valuation discr\`{e}te pour $x\in X^{(1)}$.   Par \cite[Prop. 6.5]{Gil5} et \cite[Sect. 6.3]{Gil1} on peut choisir une uniformisante $\pi_{x}$ telle que $\partial_{x}=\partial_{x}^{\pi_{x}}$, une deuxi\`{e}me fl\`{e}che de r\'{e}sidu d\'{e}finie comme suit~:

Tout espace anti-hermitien sur $(\Qua_{K},\sigma_{K})$ est isom\'{e}trique \`{a} un espace diagonal de la forme $<\alpha_{1},...,\alpha_{n}>+<\pi_{x}\beta_{1},...,\pi_{x}\beta_{m}>$ avec $\alpha,\beta\in\Qua_{R_{x}}^{\times}$.   On d\'{e}finit
$$
\partial_{x}^{\pi_{x}}: [<\alpha_{1},...,\alpha_{n}>+<\pi_{x}\beta_{1},...,\pi_{x}\beta_{m}>] \mapsto [<\overline{\beta_{1}},...,\overline{\beta_{m}}>]
$$
o\`{u} pour $\beta\in\Qua_{R_{x}}$, $\overline{\beta}$ est la r\'{e}duction de $\beta$ modulo $(\pi_{x})$.

Il s'agit maintenant de comprendre le noyau de la fl\`{e}che $d_{1}^{0,2}$.   Observons que si $h$ est une $(\Qua,\sigma)$-forme anti-hermitienne, son invariant de Clifford $c(h)$ est z\'{e}ro, comme $c(h)\in {_{2}\Br(R)}/ \Qua =0$, cf. \cite[Sect. 2.1, Clifford Invariant]{BFP}.   La $(\Qua_{K},\sigma_{K})$-forme $h_{K}=h \otimes_{R} K$ est d\'{e}termin\'{e}e par son dimension et discriminant.   L'image de $W^{-}(\Qua,\sigma)$ dans $W^{-}(\Qua_{K},\sigma_{K})$ est donc engendr\'{e}e par les classes des espaces de la forme $<\gamma>$, $\gamma\in\Qua_{K}^{\times}$ de norme r\'{e}duite non triviale.   La suite exacte $(*)$ montre alors que le noyau de $d_{1}^{0,2}$ est \'{e}galement engendr\'{e} par les classes d'espaces de cette forme.

Maintenant, l'image de $[<\gamma>]$ par $\partial_{x}$ est triviale si et seulement si $\gamma$ n'est pas contenu dans l'id\'{e}al engendr\'{e} par $\pi_{x}$ dans $\Qua_{R_{x}}$.   Donc, pour que l'image de $[<\gamma>]$ par $d_{1}^{0,2}$ soit triviale, il faut que $\gamma$ ne soit contenu dans aucun id\'{e}al de la forme $\pi_{x}\Qua$, i.e. $\gamma\in\Qua^{\times}$.   Il suit que le noyau de $d_{1}^{0,2}$ est engendr\'{e} par $<X>,<Y>$ et $<XY>$, donc $E_{2}^{0,2}=\ker (d_{1}^{0,2})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus R^{\times}/R^{\times\,2}=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \big( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \big)^{2}$ et la preuve du th\'{e}or\`{e}me est termin\'{e}e.
\endproof

Il reste \`{a} \'{e}tablir des conditions pour la simplification des $(\Qua,\sigma)$-formes anti-hermitiennes.

\begin{thm}
\label{decompo_anti_hermi}
Soit $n\geq 8$.   Soit $(M,h)$ un espace anti-hermitien sur $(\Qua,\sigma)$ de rang relatif pair $n=2r$.   Alors $(M,h)$ se d\'{e}compose~:\newline

\begin{itemize}
\item $(M,h)\simeq \hyp(\Qua^{r})$ si $\disc(M,h)=1$ mod $R^{\times}/R^{\times\,2}$,
\item $(M,h)\simeq (\Qua^{2},<XY,Y>)\spacebot \hyp(\Qua^{r-1})$ si $\disc(M,h)=t_{1}$ mod $R^{\times}/R^{\times\,2}$,
\item $(M,h)\simeq (\Qua^{2},<X,XY>)\spacebot \hyp(\Qua^{r-1})$ si $\disc(M,h)=t_{2}$ mod $R^{\times}/R^{\times\,2}$ et
\item $(M,h)\simeq (\Qua^{2},<X,Y>)\spacebot \hyp(\Qua^{r-1})$ si $\disc(M,h)=t_{1}t_{2}$ mod $R^{\times}/R^{\times\,2}$.\newline
\end{itemize}

\noindent Si $(M,h)$ est un espace anti-hermitien sur $(\Qua,\sigma)$ de rang relatif impair $n=2r+1$.   Alors $(M,h)$ se d\'{e}compose:\newline

\begin{itemize}
\item $(M,h)\simeq (\Qua^{3},<X,Y,XY>)\spacebot \hyp(\Qua^{r-1})$ si $\disc(M,h)=1$ mod $R^{\times}/R^{\times\,2}$,
\item $(M,h)\simeq (\Qua,<X>)\spacebot \hyp(\Qua^{r})$ si $\disc(M,h)=t_{1}$ mod $R^{\times}/R^{\times\,2}$,
\item $(M,h)\simeq (\Qua,<Y>)\spacebot \hyp(\Qua^{r})$ si $\disc(M,h)=t_{2}$ mod $R^{\times}/R^{\times\,2}$ et
\item $(M,h)\simeq (\Qua,<XY>)\spacebot \hyp(\Qua^{r})$ si $\disc(M,h)=t_{1}t_{2}$ mod $R^{\times}/R^{\times\,2}$.
\end{itemize}

\end{thm}

\proof
Comme les preuves sont toutes analogues, on se limite au cas o\`{u} $(M,h)$ est de rang relatif pair $n=2r$ et de discriminant $t_{1}t_{2}$.   Supposons que\linebreak $r\geq 4$.   Par le th\'{e}or\`{e}me \ref{w_plus_ortho_z_sur_2}, la classe de $(M,h)$ dans $W^{+}(\Qua,\sigma)$ est $[<X,Y>]$.   Par \cite[I.3.5.4]{Kn} tout espace hermitien est un facteur direct d'un espace hyperbolique d'un module libre.   De plus, tout $\Qua$-module projectif de rang $\geq 3$ est libre par le corollaire \ref{cor:projalorslibre}, donc il existe $s\geq 0$ tel que
\begin{equation}
\label{eq_de_simplification_anti}
(M,h)\spacebot \hyp(\Qua^{s})\simeq  (\Qua^{2},<X,Y>)\spacebot \hyp(\Qua^{r-1+s}).
\end{equation}
Rappelons que $d:=\dim \Spm R=2$ par le lemme \ref{dim_spm=dim_spec}.   Puisque $r-1 \geq d+1=3$, on peut appliquer le th\'{e}or\`{e}me \ref{simplification} pour d\'{e}duire que
$$
(M,h)\simeq (\Qua^{2},<X,Y>)\spacebot \hyp(\Qua^{r-1}).
$$
Observons que si $M$ est de rang relatif pair $n=2r$ et de discriminant trivial ou de rang relatif impair $n=2r+1$ et de discriminant non trivial, il suffit que $r\geq 3$.
\endproof

Ce th\'{e}or\`{e}me nous dit que les formes anti-hermitiennes sur $(\Qua,\sigma)$ sont classifi\'{e}es par leur dimension et leur discriminant si $n\geq 8$.\newline

Avant de proc\'{e}der, faisons quelques rappels sur le groupe fondamental (voir e.g. \cite[I.5]{Mi}).   Soit $X$ un sch\'{e}ma connexe et $\overline{x} \longrightarrow X$ un point g\'{e}om\'{e}trique.   Pour $Y$, un rev\^{e}tement \'{e}tale fini de $X$, on note $Aut_{X}(Y)$ le groupe de $X$-automorphismes de $Y$.   Observons que l'ensemble $\Hom_{X}(\overline{x},Y)$ dispose d'une action naturelle \`{a} gauche de $Aut_{X}(Y)$ et si $Y$ est connexe, cette action est fid\`{e}le, i.e. pour tout $g\in \Hom_{X}(\overline{x},Y)$, le morphisme
$$
Aut_{X}(Y) \longrightarrow \Hom_{X}(\overline{x},Y)
$$
donn\'{e} par
$$
\sigma \mapsto \sigma \circ g
$$
est injectif.   Si $Y$ est connexe et l'action de $Aut_{X}(Y)$ est transitive sur\linebreak $\Hom_{X}(\overline{x},Y)$ (donc le morphisme $\sigma \mapsto \sigma \circ g$ est bijectif), alors le rev\^{e}tement est dit {\it galoisien}.   On d\'{e}finit alors le groupe fondamental de $(X,\overline{x})$ comme la limite projective
$$
\pi_{1}(X,\overline{x})=\lim\limits_{\longleftarrow} Aut_{X}(X_{i}),
$$
o\`{u} la limite projective est prise sur tous les rev\^{e}tements $X_{i}/X$ qui sont galoisiens.   Si l'on ne prend la limite projective que sur les rev\^{e}tements $X_{i}/X$ tels que $Aut_{X} (X_{i})$ est ab\'{e}lien on obtient le groupe fondamental ab\'{e}lianis\'{e} $
\pi_{1}(X,\overline{x})_{ab}$.
Supposons maintenant que $X$ est un $T$-sch\'{e}ma muni d'une section $e_{X}:T\longrightarrow X$ (par exemple $X$ est un $T$-sch\'{e}ma en groupes et $e_{X}$ est sa section identit\'{e}).   Si l'on ne prend la limite projective que sur les rev\^{e}tements galoisiens (resp. galoisiens ab\'{e}liens) $X_{i} \stackrel{f_{i}}\longrightarrow X$ tels que $X_{i}$ poss\`{e}de \'{e}galement une section $e_{X_{i}}:T \longrightarrow X_{i}$ pour laquelle on a $f_{i} \circ e_{X_{i}} = e_{X}$, on obtient le groupe fondamental point\'{e} $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x})$ (resp. le groupe fondamental point\'{e}, ab\'{e}lianis\'{e} $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x})_{ab}$).

Observons que si $\overline{x}'\longrightarrow X$ est un autre point g\'{e}om\'{e}trique, alors $\pi_{1}(X,\overline{x}')$ (resp. $\pi_{1}(X,\overline{x}')_{ab}$, $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x}')$, $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x}')_{ab}$) est isomorphe \`{a} $\pi_{1}(X,\overline{x})$ (resp.\linebreak $\pi_{1}(X,\overline{x})_{ab}$, $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x})$, $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x})_{ab}$) et cet isomorphisme est d\'{e}termin\'{e} canoniquement \`{a} un isomorphisme int\'{e}rieur de $\pi_{1}(X,\overline{x})$ (resp. $\pi_{1}(X,\overline{x})_{ab}$, $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x})$,\linebreak $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x})_{ab}$) pr\`{e}s.   On utilise donc dans ce qui suit les notations $\pi_{1}(X,*)$,\linebreak $\pi_{1}(X,*)_{ab}$, $\widetilde{\pi}_{1}(X,*)$ et $\widetilde{\pi}_{1}(X,*)_{ab}$ au lieu de $\pi_{1}(X,\overline{x})$, $\pi_{1}(X,\overline{x})_{ab}$, $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x})$ et $\widetilde{\pi}_{1}(X,\overline{x})_{ab}$.\newline


Introduisons maintenant la suite de Hochschild-Serre pour la cohomologie r\'{e}duite, que l'on utilise dans le lemme suivant.   Soit $L$ un corps, $L_{s\acute{e}p}$ une cl\^{o}ture s\'{e}parable de $L$ et notons $\Gamma_{L}$ le groupe de Galois absolu de $L$.   Soit $\G$ un $L$-groupe alg\'{e}brique.   Ensuite, supposons que $n$ est premier \`{a} la caract\'{e}ristique de $L$ et notons $\widetilde{H}^{q}(\G,\mug_{n})$ le $q$-i\`{e}me groupe de cohomologie \'{e}tale r\'{e}duite de $\G$ \`{a} coefficients dans $\mug_{n}$ (voir e.g. \cite[sect. 3.2]{Me}).   On obtient alors une suite spectrale
\begin{equation}
\label{hs_suite_coh_red}
E_{2}^{p,q}=H^{p}(\Gamma_{L},\widetilde{H}^{q}(\G_{L_{s\acute{e}p}},\mug_{n})) \Rightarrow \widetilde{H}^{p+q}(\G,\mug_{n}),
\end{equation}
voir e.g. {\it loc. cit.} ou \cite[Ch. III, Th. 2.20]{Mi}, appel\'{e}e la suite spectrale de Hochschild-Serre pour la cohomologie r\'{e}duite.

\begin{lem}
\label{pi_so_1}
Soit $h$ une $(\Qua,\sigma)$-forme anti-hermitienne ou une $R$-forme quadratique de rang pair.
\begin{enumerate}
\item Tout rev\^{e}tement fini, \'{e}tale, ab\'{e}lien et point\'{e} de $\SO(h)$ admet soit une section, soit est isomorphe \`{a} $\Spin(h)$, i.e.
$$
\widetilde{\pi}_{1}(\SO(h),*)_{ab} \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}.
$$
\item Soit $h'$ un autre telle forme, alors l'homomorphisme naturel
$$
\widetilde{\pi}_{1}(\SO(h\spacebot h'),*)_{ab} \longrightarrow \widetilde{\pi}_{1}(\SO(h),*)_{ab}
$$
est un isomorphisme.
\end{enumerate}

\end{lem}

\proof
Prouvons la premi\`{e}re assertion.   Soit $\overline{K}$ une cl\^{o}ture s\'{e}parable (donc \'{e}galement alg\'{e}brique) de $K$.   Consid\'{e}rons les sch\'{e}mas
$$
\SO(h)_{K}:= {\SO(h)\times_{R} K} \,\,\,\,\, \mbox{et} \,\,\,\,\, \SO(h)_{\overline{K}}:=\SO(h)\times_{R} \overline{K}.
$$
On d\'{e}montre le lemme \`{a} l'aide de la suite spectrale de Hochschild-Serre pour la cohomologie r\'{e}duite (\ref{hs_suite_coh_red}), avec $L=K$ et $\G=\SO(h)_{K}$, i.e. on obtient
$$
E_{2}^{p,q}=H^{p}(\Gamma_{K},\widetilde{H}^{q}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n})) \Rightarrow \widetilde{H}^{p+q}(\SO(h)_{K},\mug_{n}),
$$
o\`{u} $\Gamma_{K}$ d\'{e}signe le groupe de Galois absolu de $K$.   Les premiers termes de la suite spectrale fournissent une suite exacte (e.g. \cite[App. B, Th. 1]{Mi})~:
$$
0 \longrightarrow H^{1}(\Gamma_{K},\widetilde{H}^{0}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n})) \longrightarrow \widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{K},\mug_{n}) \longrightarrow
$$
$$
H^{0}(\Gamma_{K},\widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n})) \longrightarrow H^{2}(\Gamma_{K},\widetilde{H}^{0}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n})).
$$
Mais comme $\SO(h)_{\overline{K}}$ est connexe, on a $\widetilde{H}^{0}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n})=1$.   Il suit que
$$
\widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{K},\mug_{n}) \simeq H^{0}(K,\widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n}))=\widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n})^{\Gamma_{K}},
$$
L'ensemble $\widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{K},\mug_{n})$ est alors invariant sous le groupe de Galois ${\Gamma_{K}}$, donc
$$
\widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{K},\mug_{n})\simeq \widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n}).
$$
En utilisant la suite exacte de Kummer et \cite[Th. 3]{Ro}, on obtient (cf. \cite[sect. 3.2, suite (4)]{Me}) une suite exacte
$$
1 \longrightarrow \SO(h)_{\overline{K}}^{*} / \SO(h)_{\overline{K}}^{*\,\,n} \longrightarrow \widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n}) \longrightarrow _{n}\Pic(\G) \longrightarrow 1
$$
pour la cohomologie r\'{e}duite (o\`{u} pour un corps $L$ et un $L$-groupe $\G$,\linebreak $\G^{*}=\Hom_{L-gr.}(\G,\mathbb{G}_{m})$ est le groupe de caract\`{e}res de $\G$ sur $L$).   Par \cite[lemme 6.9 (iii)]{Sa}, on a $\Pic(\SO(h)_{\overline{K}})\simeq \mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z}$.   Donc, comme $\SO(h)_{\overline{K}}$ est semi-simple on a alors
$$
\widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{K},\mug_{n})\simeq \widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{\overline{K}},\mug_{n})=
\left\{ \begin{array}{ll}
0                         \,  & \mbox{si  $n$ est impair;} \\
\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}    \,  & \mbox{si  $n$ est pair;} \\
\end{array} \right.
$$
Maintenant, comme $R$ est connexe et lisse sur $k$ on a une injection
$$
\widetilde{H}^{1}(\SO(h),\mug_{n}) \hookrightarrow \widetilde{H}^{1}(\SO(h)_{K},\mug_{n}).
$$
Donc cette injection est en fait une bijection et la premi\`{e}re partie est prouv\'{e}e.\newline

Montrons la deuxi\`{e}me assertion.   Il suffit de d\'{e}montrer ceci sur $\overline{K}$ dans le cas d\'{e}ploy\'{e} et pour $h'\simeq <1>$ une forme quadratique de rang $1$ sur $R$.   Il s'agit de montrer que le diagramme
$$
\begin{CD}
&& \Spin_{n,\overline{K}} @>>> \Spin_{n+1,\overline{K}} \\
&& @VVV @VVV \\
&& \SO_{n,\overline{K}} @>>> \SO_{n+1,\overline{K}} \\
\end{CD}
$$
avec les fl\`{e}ches \'{e}videntes est cart\'{e}sien.   Mais ceci est une cons\'{e}quence de l'isomorphisme
$$
\Spin_{n+1,\overline{K}} / \Spin_{n,\overline{K}} \simeq \SO_{n+1,\overline{K}} / \SO_{n,\overline{K}},
$$
voir \cite[p.74]{Kne}.
\endproof

\begin{lem}
\label{norme_spin_surj}
Supposons que $(M,h)$ est un espace anti-hermitien isotrope de rang relatif $n$ sur $(\Qua,\sigma)$.   Alors la norme spinorielle
$$
\N_{h}:\SO(h)(R)\longrightarrow H^{1}(R,\mug_{2})\simeq R^{\times}/R^{\times\,2}
$$
est surjective.
\end{lem}

\proof
Soit $h$ une forme anti-hermitienne isotrope sur $(\Qua,\sigma)$.   Donc $h$ poss\`{e}de une d\'{e}composition $h\simeq h'\spacebot h''$, avec $h'\simeq \hyp(\Qua)$ hyperbolique.   Le sous-groupe de $\SO(h)$ des \'{e}l\'{e}ments qui fixent l'espace $h''$ est isomorphe au groupe $\SO(h')$.   La propri\'{e}t\'{e} du rev\^{e}tement universel point\'{e} produit une fl\`{e}che $\varphi : \Spin(h')\longrightarrow \Spin(h)$ d'ensembles point\'{e}s et un diagramme commutatif~:
$$
\begin{CD}
&& \Spin(h') @>{p'}>> \SO(h') \\
&& @V{\varphi}VV @VVV \\
&& \Spin(h) @>{p}>> \SO(h). \\
\end{CD}
$$
Comme $\Spin(h')$ est connexe et $\widetilde{\pi}_{1}(\SO(h'),*)_{ab}\simeq \widetilde{\pi}_{1}(\SO(h),*)_{ab} \simeq \mathbb{Z}/ 2\mathbb{Z}$ par le lemme \ref{pi_so_1}, ce diagramme est cart\'{e}sien.   Pour v\'{e}rifier que $\varphi$ est un homomorphisme de groupe, on consid\`{e}re la fl\`{e}che suivante
$$
m : \Spin(h')\times \Spin(h) \longrightarrow \Spin(h),
$$
$$
(x,y)\mapsto \varphi(x)^{-1}\varphi(xy)\varphi(y)^{-1}.
$$
La composition $p \circ \varphi$ \'{e}tant un morphisme de $R$-groupes, il suit que $\im(m)\subset \mug_{2}$.   Mais $\Spin(h')$ est connexe et donc n'a pas de quotient fini \'{e}tale. Il suit que $m$ est la fl\`{e}che triviale et alors $\varphi$ est bien un homomorphisme de groupes.  De plus, comme $\varphi$ est une immersion ferm\'{e}e, elle induit un isomorphisme sur les centres, on a donc un diagramme commutatif~:
$$
\begin{CD}
&& 1 @>>> \mug_{2}(R)  @>>> \Spin(h')(R) @>>> \SO(h')(R) @>{\N_{h'}}>> H^{1}(R,\mug_{2}) \\
&&&& @| @V{\varphi}VV @VVV @|\\
&& 1 @>>> \mug_{2}(R) @>>> \Spin(h)(R) @>>> \SO(h)(R) @>{\N_{h}}>> H^{1}(R,\mug_{2}). \\
\end{CD}
$$
Ainsi, si $\N_{h'}$ est surjective alors il en est de m\^{e}me pour $\N_{h}$.   Il suffit alors de montrer le lemme pour la forme hyperbolique $h'=\hyp(\Qua)$.   Pour le reste de la preuve raisonnons en termes d'alg\`{e}bres \`{a} involutions.   Soit donc $(A,\tau)$,\linebreak ($A\simeq M_{2}(\Qua)$), l'alg\`{e}bre \`{a} involution correspondante \`{a} $h'$.

Notons $C$ l'alg\`{e}bre de Clifford de $(A,\tau)$ et soit $\sigma$ son involution canonique dans le sens de \cite[8.B]{BoI}\footnote{Dans \cite[8.B]{BoI} se trouve une construction d'une alg\`{e}bre de Clifford \`{a} involution pour une alg\`{e}bre simple centrale \`{a} involution de type orthogonal.   On voit sans difficult\'{e} que cette construction s'\'{e}tend au cas d'une alg\`{e}bre s\'{e}parable centrale sur un anneau commutatif.}.   Donc $(C_{K},\sigma_{K})$, o\`{u} $C_{K}=C\otimes_{R} K$ et $\sigma_{K}=\sigma \otimes_{R} K$, est l'alg\`{e}bre de Clifford de $(A_{K},\tau_{K})$ avec son involution canonique.   Par \cite[8.10 et 8.12]{BoI}, $C_{K}$ est une $K\times K$-alg\`{e}bre quaternionique et $\sigma_{K}$ est son involution standard symplectique qui est la conjugaison quaternionique.   Il suit que $(C,\sigma)$ est une $R\times R$-alg\`{e}bre quaternionique et que $\sigma$ est aussi la conjugaison quaternionique.   Sa norme r\'{e}duite $\Nrd_{C}:C^{\times} \longrightarrow R^{\times} \times R^{\times}$ est alors donn\'{e}e par $x\mapsto x \sigma(x)$.

Soit $\GAmma(A,\tau)$ le $R$-sch\'{e}ma en groupes de Clifford de $(A,\tau)$\footnote{Comme plus haut, ce sch\'{e}ma est d\'{e}fini dans \cite[23.B]{BoI} pour le cas d'un corps de base, mais il peut \^{e}tre d\'{e}fini plus g\'{e}n\'{e}rellement sur un anneau commutatif comme base.   La m\^{e}me remarque vaut pour les r\'{e}f\'{e}rences suivantes \`{a} \cite{BoI}~:   bien que les \'{e}nonc\'{e}s soient formul\'{e}s pour un corps de base, ils s'\'{e}tendent au cas d'un anneau de base.}.   Ses $R$-points peuvent \^{e}tre caract\'{e}ris\'{e}s par $\GAmma(A,\tau)(R)=\{ x\in C^{\times} \mid x\sigma(x)\in R^{\times}\}$, cf. \cite[15.10]{BoI}.   La norme spinorielle $\N_{h'}$ est alors l'homorphisme qui fait commuter le diagramme suivant, cf. \cite[13.30]{BoI}~:
$$
\begin{CD}
&& 1 @>>> \mathbb{G}_{m}(R)  @>>> \GAmma(A,\tau)(R) @>>> \SO(h')(R) @>>> 1 \\
&&&& @V{\cdot 2}VV @VV{\Nrd_{C}|_{\GAmma(A,\tau)(R)}}V @VV{\N_{h'}}V \\
&& 1 @>>> R^{\times\,2} @>>> R^{\times} @>>> R^{\times}/R^{\times\,2} @>>> 1. \\
\end{CD}
$$
La $R\times R$-alg\`{e}bre quaternionique $C$ est une produit de deux $R$-alg\`{e}bres quaternioniques $Q_{1}$ et $Q_{2}$.   On a $\Nrd_{C}(\GAmma(A,\tau)(R))= \Nrd_{Q_{1}}(Q_{1}^{\times}) \cap \Nrd_{Q_{2}}(Q_{2}^{\times})$, o\`{u} $\Nrd_{Q_{i}}:Q_{i}^{\times}\longrightarrow R^{\times}$ d\'{e}signe la norme r\'{e}duite de la $R$-alg\`{e}bre quaternionique $Q_{i}$, pour $i=1,2$.   Par \cite[Lem. 2.10]{GP1}, les normes r\'{e}duites $\Nrd_{1}$ et $\Nrd_{2}$ sont surjectives, donc $\Nrd_{C}(\GAmma(A,\tau)(R))=R^{\times}$.   Il suit que la  norme spinorielle $\N_{h'}$ est \'{e}galement surjective et le lemme en r\'{e}sulte.
\endproof



\begin{thm}
\label{spin_trivial_thm}
Supposons que $n\geq 8$ et que $\widetilde{\G}$ est un sch\'{e}ma en groupes semi-simples simplement connexe de type $D_{n}$ sur $R$.   Alors
$$
H^{1}(R,\widetilde{\G})=1.
$$
\end{thm}

\proof
Soit $(A,\tau)$ l'alg\`{e}bre \`{a} involution telle que $\widetilde{\G}=\Spin(A,\tau)$.   Si $A$ est d\'{e}ploy\'{e}e (donc une alg\`{e}bre de matrices), $\widetilde{\G}=\Spin(q)$ est le groupe des spineurs d'une forme quadratique et alors le th\'{e}or\`{e}me suit du corollaire \ref{cor:spin_so}.   Supposons donc que $A\simeq M_{n}(\Qua)$.   La suite exacte courte
$$
1\longrightarrow \mug_{2} \longrightarrow \Spin(A,\tau) \longrightarrow \SO(A,\tau) \longrightarrow 1
$$
induit une suite exacte longue
$$
1\longrightarrow \mug_{2}(R) \longrightarrow \Spin(A,\tau)(R) \longrightarrow \SO(A,\tau)(R) \stackrel{\N}\longrightarrow H^{1}(R,\mug_{2}) \longrightarrow
$$
$$
H^{1}(R,\Spin(A,\tau))\longrightarrow H^{1}(R,\SO(A,\tau))\stackrel{\partial}\longrightarrow H^{2}(R,\mug_{2}).
$$
La fl\`{e}che $\N$ signifie la norme spinorielle, qui est surjective par le lemme \ref{norme_spin_surj}, comme par le th\'{e}or\`{e}me \ref{decompo_anti_hermi} tout espace hermitien de rang $\geq 8$ est isotrope.   Pour montrer le th\'e{o}r\`{e}me il s'agit alors de montrer que la fl\`{e}che $\partial$ est injective.   Pour cela on rappelle la description de l'ensemble $H^{1}(R,\SO(A,\tau))$ donn\'{e}e dans la proposition \ref{description_sort_prop}~:
$$
H^{1}(R,\SO(A,\tau))\leftrightarrow \SSYm(A,\tau)^{\times}(R) / \approx
$$
o\`{u}
$$
\SSYm(A,\tau)^{\times}(R)=\{(s,z)\in \SYm(A,\tau)^{\times}(R)\times R^{\times}\,\,|\,\, \Nrd_{A}(s)=z^{2}\}.
$$
et $(s,z)\approx (s',z')\,\,\Leftrightarrow \,\,s=a\cdot s'\cdot \tau(a)$ et $z=\Nrd_{A}(a)\cdot z'$ pour un certain $a\in A^{\times}.$\newline

Soit $(s,z)$ donc un tel couple.   On veut montrer que $(s,z)\approx (1,z)$.   On sait que $\tau=int(u)\circ \sigma^{t}$ pour un $u\in \Skew(A,\sigma^{t})^{\times}$ o\`{u} $\sigma^{t}$ d\'{e}signe l'extension par transposition de l'involution standard $\sigma$ de $\Qua$ \`{a} $M_{n}(\Qua)$.   Donc $\sigma(u)^{t}=-u$.   De plus
$$
u^{-1}\,s=u^{-1}\,\tau(s)=u^{-1}\,u\,\sigma(s)^{t}\,u^{-1}=\sigma(s)^{t}\,u^{-1}=-\sigma(u^{-1}\,s)^{t}.
$$
Donc $u^{-1}\,s\in \Skew(A,\sigma^{t})$ et $s$ d\'{e}finit alors la forme anti-hermitienne suivante sur $(\Qua,\sigma)$~:
$$
h~:\Qua^{n}\times \Qua^{n}\longrightarrow \Qua,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(x,y)\mapsto \sigma(x)^{t}\cdot u^{-1}s\cdot y.
$$
Comme $\Nrd(s)=z^{2}$, il suit que $\Nrd(u^{-1}s)=\Nrd(u^{-1})\,\,\,\modulo\,\, (R^{\times})^{2}$.   Donc, par la classification (les th\'{e}or\`{e}mes \ref{w_plus_ortho_z_sur_2} et \ref{decompo_anti_hermi}) les formes d\'{e}finies par $u^{-1}$ et $u^{-1}s$ sont isom\'{e}triques.   Il existe alors $a\in A^{\times}$ tel que $u^{-1}s=au^{-1}\sigma(a)^{t}$, donc $$
s=u\,a\,u^{-1}\sigma(a)^{t}=u\,a\,u^{-1}\tau(u\,a\,u^{-1}),
$$
ce qui montre que l'on a bien $(s,z)\approx (1,z)$.

Il suit que soit $z=1$, soit $z=-1$.   Il reste donc \`{a} consid\'{e}rer les deux \'{e}l\'{e}ments $(1,1)$ et $(1,-1)$.   Mais si $(1,1)\approx (1,-1)$, il existe alors un $a\in A^{\times}$ tel que\linebreak $a\,\tau(a)=1$ et $\Nrd(a)=-1$.   Ainsi, $A\otimes_{R} K$ admet une isom\'{e}trie impropre,\linebreak voir \cite[12.24]{BoI}.   Ceci entra\^{i}ne que $A\otimes_{R} K$ est d\'{e}ploy\'{e}e par\linebreak \cite[Ch.III, Lem. 1.b]{Kne}, ce qui est une contradiction.   On a donc bien\linebreak $H^{1}(R,\SO(A,\tau))=\{(1,1),(1,-1)\}$.   Finalement, observons que $\partial$ est surjective par la remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss}, donc le th\'{e}or\`{e}me en r\'{e}sulte.
\endproof

\begin{cor}
\label{conj_dn_stable}
Supposons que $n\geq 8$ et que $\G$ est un sch\'{e}ma en groupes semi-simples (connexe) de type $D_{n}$ sur $R$.   Soit $\mug$ le noyau du rev\^{e}tement universel $\tilde{\G}\surjlra \G$.   Alors l'homomorphisme connectant
$$
H^{1}(R,\G)\longrightarrow H^{2}(R,\mug)
$$
est bijectif.   En particulier, la conjecture A est vraie pour $\G$.
\end{cor}

\proof
Ceci est une cons\'{e}quence imm\'{e}diate du th\'{e}or\`{e}me \ref{spin_trivial_thm} et de la remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss}.
\endproof





\section[Le cas $^{2} A_{n-1}$]{Le cas $^{2} A_{n-1}$}
\label{section_2_an}

Comme d'habitude $R$ d\'{e}signe un anneau commutatif et $k$ un corps commutatif.

Dans la section \ref{section_1_an} on a trait\'{e} le cas d'un sch\'{e}ma en groupes semi-simples sur $R$ de type $A_{n-1}$ int\'{e}rieur (type $^{1}A_{n-1}$).   Dans cette section on s'occupe du cas d'un sch\'{e}ma en groupes semi-simples de type ext\'{e}rieur, i.e. de type $^{2}A_{n-1}$.

Supposons que $\G$ est un sch\'{e}ma en groupes semi-simples sur $R$ de type $A_{n-1}$ (int\'{e}rieur ou ext\'{e}rieur) avec $n\geq 2$.   Supposons d'abord que $R=k$ est un corps.   Dans ce cas, il est bien connu que l'on peut d\'{e}crire $\G$ en termes d'alg\`{e}bres \`{a} involutions, voir \cite{We}.   En effet, comme il est d\'{e}crit dans \cite[Ch. II, 2.4]{Kne}, il existe une extension quadratique $k'$ de $k$ et une alg\`{e}bre simple centrale $A$ sur $k'$ \`{a} une involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce $I$ (cf. section \ref{section_formes_witt_simplification}) telle que pour toute $k$-alg\`{e}bre $T$

$$
\widetilde{\G}(T)=\{x\in A\otimes_{k} T \,\, \mid \,\, xx^{I}=1, \Nrd_{A}(x)=1\}.
$$
\noindent De plus, la paire $(A,I)$ est unique \`{a} isomorphisme pr\`{e}s.   On voit sans difficult\'{e} que les arguments dans \cite[Ch. II, 2.4]{Kne} s'\'{e}tendent au cas d'un anneau commutatif $R$ (cf. \cite[III.8.5]{Kn}).   On a ainsi les correspondances bijectives entre les classes:\newline\newline

\noindent $\{R$-formes de $\G \}$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{R$-formes de $\widetilde{\G}\}$
$$
\longleftrightarrow
$$
$\{S$-alg\`{e}bres d'Azumaya $A$ de degr\'{e} $n-1$ \`{a} involution $I$ de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce o\`{u} $S$ est une extension \'{e}tale quadratique de $R\}.$\newline\newline

Dans ces ensembles sont contenues les formes int\'{e}rieures et ext\'{e}rieures de $\G$.   En particulier, si $\G=\PGL_{n-1}$ est d\'{e}ploy\'{e}, ces ensembles contiennent les groupes de type $^{1}A_{n-1}$ et les groupes de type $^{2}A_{n-1}$.   Soit $(A,S,I)$ le triplet d'une alg\`{e}bre d'Azumaya $A$ \`{a} involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce $I$ sur une extension \'{e}tale quadratique $S$ de $R$ correspondante \`{a} $\G$.   Si $S=R\times R$, $\G$ est de type $^{1}A_{n-1}$, sinon $\G$ est de type $^{2}A_{n-1}$ (cf. \cite[29.16]{BoI}).   On peut donc supposer pour la suite que $S\neq R\times R$, i.e. $S$ est un rev\^{e}tement \'{e}tale {\it connexe} de $R$ et donc $\G$ est bien de type $^{2}A_{n-1}$.\newline

Nous nous pla\c{c}ons maintenant dans la situation suivante.   Supposons que $k$ est un corps alg\'{e}briquement clos de caract\'{e}ristique z\'{e}ro, $R=k[t_{1}^{\pm 1},t_{2}^{\pm 1}]$ est notre anneau des polyn\^{o}mes de Laurent \`{a} deux variables sur $k$ et $K=k(t_{1},t_{2})$ son corps de fractions.   De plus, notons $S$ une extension \'{e}tale quadratique de $R$ non d\'{e}ploy\'{e}e, de corps de fractions $L$.   Alors $L$ est une extension quadratique de $K$.

Pour aborder la d\'{e}monstration de la conjecture A pour $\G$, notons $(A,I)$ la $S$-alg\`{e}bre d'Azumaya \`{a} involution unitaire correspondante \`{a} $\G$ par les bijections d\'{e}crites plus haut.   En vertu du lemme suivant, $A$ est en fait une alg\`{e}bre de matrices.

\begin{lem}
\label{cond_nec_2eme_espece}
Soit $(A,I)$ une alg\`{e}bre d'Azumaya de degr\'{e} $n$ sur $S$ \`{a} involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce, alors $A$ est d\'{e}ploy\'{e}e, i.e. $A\simeq M_{n}(S)$.
\end{lem}

\proof
On dispose du diagramme commutatif suivant~:
$$
\begin{CD}
&& \Br(S) @>{\N_{S/R}}>> \Br(R)  \\
&& @VVV @VVV \\
&& \Br(L) @>{\N_{L/K}}>> \Br(K). \\
\end{CD}
$$
o\`{u} les deux fl\`{e}ches verticales sont injectives.   L'image par la fl\`{e}che $\N_{L/K}$ de la classe de $A\otimes_{S} {L}$ dans $\Br(K)$ est triviale par \cite[Prop. 3.15]{BoI} donc la classe $\N_{S/R}([A])$ est triviale dans $\Br(R)$.   Mais la fl\`{e}che $\N_{S/R}$ est un isomorphisme par \cite[Prop. 2.1.5]{GP1}, donc la classe de $A$ est d\'{e}j\`{a} triviale dans $\Br(S)$.   \`{A} priori, on a $A\simeq \End_{S}(P)$ pour un $S$-module fid\`{e}lement projectif $P$, mais par le th\'{e}or\`{e}me \ref{R_2_est_de_quillen_suslin}, $P$ est en fait libre, donc on a $A\simeq M_{n}(S)$.
\endproof


\noindent On a donc $A\simeq M_{n}(S)$.   Notons $\iota: S\longrightarrow S$ le $R$-automorphisme non trivial.   C'est une involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce sur $S$.   Suivant le lemme \ref{pic_r_0} on a $\Pic(S)=0$.   On a alors par \cite[Th. 4.2]{BoI} la correspondance bijective~:

$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{ \begin{array}{ll}
\mbox{involutions} \,\,I\,\, \mbox{de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce}  \\
\mbox{sur}\,\,\End_{S}(P)\simeq M_{n}(S) \\
\end{array} \right\}
\,\,\,\longleftrightarrow\,\,\,
\left\{ \begin{array}{ll}
\mbox{formes hermitiennes r\'{e}guli\`{e}res} \,\,(P,h)\,\,\mbox{sur}  \\
(S,\iota) \,\, \mbox{\`{a} similitude (un facteur de} \,\,R^{\times}\mbox{) pr\`{e}s}   \\
\end{array} \right\}.
$$
\medskip

On va donc calculer d'abord le groupe de Witt des formes hermitiennes sur $(S,\iota)$.   Pour cela on se sert, comme dans la section pr\'{e}c\'{e}dente, de la suite spectrale (\ref{suite_witt}).

Fixons les notations suivantes~:   \'{e}crivons $Y=\Spec R$, $X= \Spec S$ et
$$
{ Z=\{ x\in X\,\, | \,\, \iota(x)=x \} }
$$
pour le sous-ensemble des points fixes de $X$ sous l'involution $\iota$.   Observons que cet ensemble n'est pas un sous-sch\'{e}ma de $\Spec S$, vu qu'il ne contient aucun point ferm\'{e} de $\Spec S$.   Soit $x\in Z$ et notons $y\in Y$ son image par le morphisme naturel $X\longrightarrow Y$.   Alors l'involution $\iota$ induit une involution $\iota_{k(x)}$ sur le corps r\'{e}siduel $k(x)$ de $x$ avec $\Fix(\iota)=k(y)$, le corps r\'{e}siduel de $y$.   Cette involution $\iota_{k(x)}$ est donc l'unique automorphisme non trivial de l'extension quadratique de corps $k(x)/k(y)$.   Montrons d'abord le lemme suivant~:

\begin{lem}
\label{witt_2_eme_espece_sur_corps_residuels}
\begin{enumerate}
 \item Les $(L,\iota_{L})$-formes hermitiennes sont classifi\'{e}es par leur dimension et leur d\'{e}terminant, donc
$$
W^{+}(L,\iota_{L}) \simeq \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \oplus K^{\times} / \N_{L/K}(L^{\times}).
$$
de g\'{e}n\'{e}rateurs $<1>$ et $<1,-\alpha>$ o\`{u} $\alpha \in K^{\times} \setminus \N_{L/K}(L^{\times})$.
\item Soit $x\in Z\cap X^{(1)}$, alors les formes hermitiennes de m\^{e}me dimension sont isom\'{e}triques, donc on a
$$
W^{+}(k(x),\iota_{k(x)}) \simeq \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}.
$$
de g\'{e}n\'{e}rateur $<1>$.
\end{enumerate}

\end{lem}

\proof   Comme $K$ est un corps $C_{2}$, toute $K$-forme quadratique de dimension $5$ est isotrope.   De m\^{e}me, comme $k(y)$ est un corps $C_{1}$ pour $x\in Y^{(1)}$, toute $k(y)$-forme quadratique de dimension $3$ est isotrope.   Le lemme est donc une cons\'{e}quence de  \cite[Ex. 10.1.6 (ii)]{Sch} et \cite[Th. 10.1.2]{Sch} pour la premi\`{e}re assertion et de \cite[Ex. 10.1.6 (i)]{Sch} et \cite[Th. 10.1.2]{Sch} pour la deuxi\`{e}me.
\endproof

\noindent    On peut \`{a} pr\'{e}sent calculer le groupe de Witt des formes hermitiennes sur $S/R$.

\begin{thm}
\label{witt_2_espece_sur_S}
On a $W^{+}(S,\iota) \simeq \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \oplus R^{\times} / \N_{S/R}(S^{\times}) \simeq \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$, de g\'{e}n\'{e}rateurs $<1>$ et $<1,-t_{2}>$.
\end{thm}

\proof
On utilise la suite spectrale (\ref{suite_witt_unitaire}) de S. Gille pour les sch\'{e}mas \`{a} involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce, avec $\mathcal{I}_{\bullet}$ une r\'{e}solution injective de $S$~:

\begin{equation}
\label{suite_witt_unitaire}
E_{1}^{s,t}(S,\iota,S)=\bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(s)}} W^{t}(D^{b}(\M_{lf}(S_{x})),\sigma_{x},S_{x})\Rightarrow \tilde{W}^{s+t}(S,\iota,S).
\end{equation}

\noindent Par la section \ref{comp_gr_witt_usuels_unitaires} on a un isomorphisme $\widetilde{W}^{s+t}(S,\iota,S)\simeq W^{+}(S,\iota)$.   Il s'agit donc de calculer le terme $E^{0}(S,\iota,S)$.   Ce groupe a une filtration dont les quotients successifs sont les $E_{\infty}^{p,-p}$.   On observe que, d\'{e}j\`{a} sur le deuxi\`{e}me niveau, toutes les diff\'{e}rentielles dans cette suite spectrale sont nulles.   On a donc $E_{\infty}^{p,-p}=E_{2}^{p,-p}$ pour tout $p \in \mathbb{Z}$.   Par la remarque \ref{suite_gille_unitaire_oss}, ces termes sont nuls si $p\neq 0,2$.   On va montrer que $E_{2}^{2,-2}=0$ et que $E_{2}^{0,0}\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus R^{\times} / \N_{S/R}(S^{\times})$.   Dans ce cas $E_{2}^{0,0}$ est le seul quotient non nul de la filtration de $E^{0}$ et le r\'{e}sultat suit.   Observons que la ligne $t=-2$ du premier niveau de la suite spectrale s'\'{e}crit de la fa\c{c}on suivante~:
$$
0 \longrightarrow W^{-}(L,\iota_{L}) \stackrel{d_{1}^{0,-2}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(1)}} W^{-}(k(x),\iota_{k(x)}) \stackrel{d_{1}^{1,-2}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(2)}} W^{-}(k(x),\iota_{k(x)}) \longrightarrow 0.
$$
Mais $X/Y$ est un rev\^{e}tement \'{e}tale, donc l'ensemble $Z\cap X^{(2)}$ est en fait vide.   On a donc $\im (d_{1}^{0,-2}) =0$.   Comme on a une surjection $\im (d_{1}^{0,-2}) \surjlra E_{2}^{2,-2}$, on a bien $E_{2}^{2,-2}=0$.   Il suit que $W^{+}(S,\iota)\simeq E_{2}^{0,0}$.   Donc la ligne $t=0$ du premier niveau de la suite spectrale fournit la suite exacte suivante~:
$$
0 \longrightarrow W^{+}(S,\iota) \longrightarrow W^{+}(L,\iota_{L}) \stackrel{d_{1}^{0,0}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in Z\cap X^{(1)}} W^{+}(k(x),\iota_{k(x)}),
$$
i.e. on a la puret\'{e} pour les groupes Witt des $S/R$-formes hermitiennes\footnote{Puret\'{e} pour les groupes de Witt de formes hermitiennes sur un sch\'{e}ma $X$ \`{a} involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce $\iota$ est l'exactitude du complexe de Gersten-Witt hermitien, i.e. du complexe
$$
0 \longrightarrow W^{+}(k(x),\iota_{k(x)}) \longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(0)} \cap Z} W^{+}(k(x),\iota_{k(x)})\stackrel{d_{1}^{0,2}}\longrightarrow ... \stackrel{d_{1}^{n-1,2}}\longrightarrow \bigoplus\limits_{x\in X^{(n)} \cap Z} W^{-}(k(x),\iota_{k(x)})\longrightarrow 0,
$$
dans le terme $\bigoplus\limits_{x\in X^{(0)} \cap Z} W^{+}(k(x),\iota_{k(x)})$.}.   Il reste \`{a} expliciter la diff\'{e}rentielle $d_{1}^{0,0}$.

Donnons une description explicite de la fl\`{e}che de r\'{e}sidu $d_{1}^{0,0}$.   Elle se d\'{e}compose en composantes
$$
d_{1}^{0,0}=\bigoplus\limits_{x\in Z \cap X^{(1)}} \partial_{x},
$$
dont la ``$x$-composante'' est
$$
W^{+}(L,\iota_{L}) \stackrel{\partial_{x}}\longrightarrow W^{+}(k(x), \iota_{k(x)}).
$$
Comme $S$ est un anneau r\'{e}gulier, $S_{x}$ est un anneau de valuation discr\`{e}te pour $x\in X^{(1)}$.   Par \cite[Prop. 6.5]{Gil5} et \cite[Sect. 6.3]{Gil1} on peut choisir une uniformisante $\pi_{x}$ telle que $\partial_{x}=\partial_{x}^{\pi_{x}}$, une deuxi\`{e}me fl\`{e}che de r\'{e}sidu d\'{e}finie comme suit~:

Tout espace hermitien sur $(L,\iota_{L})$ est isom\'{e}trique \`{a} un espace diagonal de la forme $<\alpha_{1},...,\alpha_{n}>+<\pi_{x}\beta_{1},...,\pi_{x}\beta_{m}>$ avec $\alpha,\beta \in S_{x}^{\times}$.   On d\'{e}finit
$$
\partial_{x}^{\pi_{x}}: [<\alpha_{1},...,\alpha_{n}>+<\pi_{x}\beta_{1},...,\pi_{x}\beta_{m}>] \mapsto [<\overline{\beta_{1}},...,\overline{\beta_{m}}>]
$$
o\`{u} pour $\beta\in S_{x}$, $\overline{\beta}$ est la r\'{e}duction de $\beta$ modulo $(\pi_{x})$.

Comme $W^{+}(L,\iota_{L})\simeq \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}\oplus K^{\times} / \N_{L/K}(L^{\times})$ par le lemme \ref{witt_2_eme_espece_sur_corps_residuels}, ce groupe est engendr\'{e} par les classes de $<1>$ et des espaces de la forme $<1,-\gamma>$, $\gamma \in L^{\times}$ de norme non triviale.

L'image de $[<1,-\gamma>]$ par $\partial_{x}$ est triviale si et seulement si $\gamma$ n'est pas contenu dans l'id\'{e}al engendr\'{e} par $\pi_{x}$ dans $S_{x}$.   Donc, pour que l'image de $[<1,-\gamma>]$ par $d_{1}^{0,2}$ soit triviale, il faut que $\gamma$ ne soit contenu dans aucun id\'{e}al de la forme $\pi_{x} S$, i.e. $\gamma \in S^{\times}$.   Il suit que le noyau est engendr\'{e} par $<1>$ et $<1,-t_{2}>$, donc $E_{2}^{0,0}=\ker (d_{1}^{0,0}) =\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus R^{\times}/\N_{S/R}(S^{\times})=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ et la preuve du th\'{e}or\`{e}me est termin\'{e}e.
\endproof

Il reste \`{a} \'{e}tablir des conditions pour la simplification de $(S,\iota)$-formes anti-hermitiennes.

\begin{thm}
\label{decompo_unitaire}
Soit $n\geq 7$.   Soit $(M,h)$ un espace hermitien sur $(S,\iota)$ de rang relatif pair $n=2r$.   Alors $(M,h)$ se d\'{e}compose:\newline
\begin{itemize}
\item $(M,h)\simeq \hyp(S^{r})$ si $\,\disc(M,h)=1$ mod $R^{\times} / \N_{S/R}(S^{\times})$,
\item $(M,h)\simeq (S^{2},<1,-t_{2}>)\spacebot \hyp(S^{r-1})$ si $\,\disc(M,h)=t_{2}$ mod $R^{\times} / \N_{S/R}(S^{\times})$.\newline
\end{itemize}
Si $(M,h)$ est un espace anti-hermitien sur $(S,\iota)$ de rang relatif impair $n=2r+1$.   Alors $(M,h)$ se d\'{e}compose~:\newline
\begin{itemize}
\item $(M,h)\simeq (S,<1>)\spacebot \hyp(S^{r})$ si $\,\disc(M,h)=1$ mod $R^{\times} / \N_{S/R}(S^{\times})$,
\item $(M,h)\simeq (S,<t_{2}>)\spacebot \hyp(S^{r})$ si $\,\disc(M,h)=t_{2}$ mod $R^{\times} / \N_{S/R}(S^{\times})$.
\end{itemize}
\end{thm}

\proof
Comme les preuves sont toutes analogues, on se limite \`{a} prouver le cas o\`{u} $(M,h)$ est de rang relatif $n=2r$ et de discriminant $t_{2}$.   Par le th\'{e}or\`{e}me \ref{witt_2_espece_sur_S}, la classe de $(M,h)$ dans $W^{+}(\Qua,\sigma)$ est $[<1,-t_{2}>]$.   Par \cite[I.3.5.4]{Kn} tout espace hermitien est un facteur direct d'un espace hyperbolique d'un module libre.   De plus, tout $S$-module projectif est libre (cf. \ref{R_2_est_de_quillen_suslin}), donc il existe $s\geq 0$ tel que
\begin{equation}
\label{eq_de_simplification_unitaire}
(M,h)\spacebot \hyp(S^{s})\simeq  (S^{2},<1,-t_{2}>)\spacebot \hyp(S^{r-1+s}).
\end{equation}
Rappelons que $d:=\dim \Spm R=2$ par le lemme \ref{dim_spm=dim_spec}.   Puisque $r-1 \geq d+1=3$, on peut appliquer le th\'{e}or\`{e}me \ref{simplification} pour d\'{e}duire que
$$
(M,h) \simeq  (S^{2},<1,-t_{2}>)\spacebot \hyp(S^{r-1}).
$$
Observons que si $M$ est de rang relatif impair $n=2r+1$ ou de rang relatif pair $n=2r$ et de discriminant trivial, il suffit que $r\geq 3$.
\endproof


Ce th\'{e}or\`{e}me nous dit que les formes anti-hermitiennes sur $(S,\iota)$ sont classifi\'{e}es par leur dimension et leur discriminant si $n\geq 7$.

On peut maintenant d\'{e}montrer la conjecture A pour le sch\'{e}ma en groupes $\G$ de type $^{2}A_{n-1}$~:

\begin{thm}
\label{h_1_sssc_2_an_trivial_thm}
Soient $n\geq 7$ et $\G$ un sch\'{e}ma en groupes semi-simples simplement connexe de type $^{2}A_{n-1}$ sur $R$.   Alors~:
$$
H^{1}(R,\G)=1.
$$
\end{thm}

\proof
Soit $h$ une forme hermitienne de rang $n\geq 7$.   Consid\'{e}rons la suite exacte courte~:
$$
1 \longrightarrow \SU(h) \stackrel{i}\hookrightarrow \U(h) \stackrel{\Nrd}\longrightarrow R^{1}_{S/R}(\mathbb{G}_{m}) \longrightarrow 1.
$$
Pour les d\'{e}finitions de $\SU(h)$ et $\U(h)$ voir section \ref{section_inv_alg_azu}.   Il s'agit de montrer que $H^{1}(R,\SU(h))=1$.   Soit $a\in M_{n}(S)$ la matrice hermitienne correspondante \`{a} $h$.   Donc
$$
\U(h)(R)=\{\,x\in \GL_{n}(S)\, \mid \, a\,\overline{x}^{t}\,a^{-1}=x^{-1}\,\},
$$
voir la d\'{e}finition \ref{ort_sp_u_defn}, o\`{u} $\overline{x}$ d\'{e}signe le conjugu\'{e} de la matrice $x$, i.e. si
$$
x=(x_{ij})_{1\leq i,j \leq n} \,\,\,\,\,\,\, \mbox{alors} \,\,\,\,\,\,\,\overline{x}=(\iota(x_{ij}))_{1\leq i,j \leq n}.
$$
Par le th\'{e}or\`{e}me \ref{decompo_unitaire}, $h$ est en particulier diagonalisable, donc on peut supposer que $a$ est diagonale.   Soit maintenant $z\in R^{1}_{S/R}(\mathbb{G}_{m})(R)$.   Donc $z\in S^{\times}$ avec $\N_{S/R}(z)=z\,\iota(z)=1$.   La matrice $s:=\diag(1,...,1,z)$ est alors telle que $\Nrd(s)=z$ et $s\in \U(h)(R)$, comme
$$
a\,\overline{s}^{t}\,a^{-1}=a\,s^{-1}\,a^{-1}=a\,a^{-1}\,s^{-1}=s^{-1}.
$$
Il suit que dans la suite exacte longue
$$
1 \longrightarrow \SU(h)(R) \stackrel{i}\hookrightarrow \U(h)(R) \stackrel{\Nrd}\longrightarrow R^{1}_{S/R}(\mathbb{G}_{m})(R) \longrightarrow
$$
$$
H^{1}(R,\SU(h)) \stackrel{i_{*}}\longrightarrow H^{1}(R,\U(h)) \stackrel{\Nrd_{*}} \longrightarrow H^{1}(R,R^{1}_{S/R}(\mathbb{G}_{m}))
$$
la fl\`{e}che $\Nrd$ est surjective.   Comme ceci est vrai pour toute forme de rang $n\geq 7$, la fl\`{e}che $i_{*}$ est injective.   Il est bien connu que $H^{1}(R,\U(h))$ classifie les classes d'isom\'{e}trie des $(S,\iota)$-formes hermitiennes de m\^{e}me rang que $h$.   Par le th\'{e}or\`{e}me \ref{decompo_unitaire}, la fl\`{e}che  $\Nrd_{*}$, qui envoie une forme hermitienne sur son discriminant, a un noyau trivial (deux formes de m\^{e}me rang et m\^{e}me discriminant sont isom\'{e}triques).   Il suit que $H^{1}(R,\SU(h))=1$.
\endproof


\begin{cor}
\label{conj_2_an_cor}
Supposons que $n\geq 7$ et que $\G$ est un sch\'{e}ma en groupes semi-simples (connexe) de type $^{2}A_{n-1}$ sur $R$.   Soit $\mug$ le noyau du rev\^{e}tement universel $\tilde{\G}\surjlra \G$.   Alors l'homomorphisme connectant
$$
H^{1}(R,\G)\longrightarrow H^{2}(R,\mug)
$$
est bijectif.   En particulier, la conjecture A est vraie pour $\G$.
\end{cor}

\proof
Ceci est une cons\'{e}quence imm\'{e}diate du th\'{e}or\`{e}me \ref{h_1_sssc_2_an_trivial_thm} et de la remarque \ref{gille_pianzola_conj_oss}.
\endproof




\chapter[La conjecture B]{La conjecture B}
\label{chapitre_conj_B}

Nos r\'{e}sultats nous permettent de r\'{e}pondre positivement \`{a} la conjecture B dans les cas \'{e}tudi\'{e}s pr\'{e}c\'{e}demment, voir corollaire \ref{conj_B_cor}.   Soient dans ce chapitre $k$ un corps alg\'{e}briquement clos de caract\'{e}ristique z\'{e}ro, $R=k[t_{1}^{\pm 1},t_{2}^{\pm 1}]$ notre anneau des polyn\^{o}mes de Laurent \`{a} deux variables sur $k$ et $K=k(t_{1},t_{2})$ le corps de fractions de $R$.   Ensuite notons $R_{m}=k[t_{1}^{\pm \frac{1}{m}},t_{2}^{\pm \frac{1}{m}}]$ et $S=k[t_{1}^{\pm \frac{1}{2}},t_{2}^{\pm 1}]$.   Finalement, rappelons que $\Qua$ d\'{e}signe la $R$-alg\`{e}bre quaternionique de pr\'{e}sentation
$$
X^{2}=t_{1},\,\,\,Y^{2}=t_{2}\,\,\,\mbox{et}\,\,\, XY=-YX,
$$
et notons $\sigma$ l'involution standard sur $\Qua$ qui est la conjugaison quaternionique habituelle.\newline

Soit $\mathfrak{g}$ une alg\`{e}bre de Lie simple, de dimension finie sur $k$.   Soit $\G:=\AUT_{k}(\mathfrak{g})$ le $k$-groupe alg\'{e}brique de $k$-automorphismes de $\mathfrak{g}$.   Rappelons que l'ensemble de cohomologie $H^{1}(R,\G)$ classifie, \`{a} $R$-isomorphisme pr\`{e}s, les $R$-formes de $\mathfrak{g}$, i.e. des $R$-alg\`{e}bres $\mathcal{L}$, telles que
$$
\mathcal{L} \otimes_{R} R_{m} \simeq \mathfrak{g} \otimes_{k} R_{m}
$$
pour un certain $m\geq 1$, cf. section \ref{multi_lacets_section}.   Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $A_{n-1}$, $n\geq 3$.   Dans ce cas on obtient une suite exacte
\begin{equation}
\label{suite_connexe}
1 \longrightarrow \G^{0} \stackrel{i}\longrightarrow \G \longrightarrow \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \longrightarrow 1,
\end{equation}
cf. \cite[XXV, th. 1.3]{SGA3}, qui induit une suite exacte d'ensembles point\'{e}s
\begin{equation}
\label{Inn_Aut_H^1}
H^{1}(R,\G^{0}) \stackrel{i_{*}}\longrightarrow H^{1}(R,\G) \longrightarrow H^{1}(R,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}).
\end{equation}
On d\'{e}finit alors
$$
\mathcal{E}(R,\G):= H^{1}(R,\G) \,\, \setminus \,\, \im \big[ H^{1}(R,\G^{0}) \stackrel{i_{*}}\longrightarrow H^{1}(R,\G)\,\big].
$$
Cet ensemble classifie les formes ext\'{e}rieures de $\mathfrak{g}$.

Parmi les $R$-formes de $\mathfrak{g}$ on a les alg\`{e}bres de multi-lacets de la forme $\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x})$ o\`{u} $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2})$ avec $x_{1},x_{2}\in \G$ et $x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}$, cf. section \ref{multi_lacets_section}.   L'ensemble $H^{1}(R,\G)$ ($\mathcal{E}(\G)$ resp.) permet alors de classifier ces alg\`{e}bres de multi-lacets (qui sont des formes ext\'{e}rieures resp.) \`{a} $R$-isomorphie pr\`{e}s.   On est pourtant int\'{e}ress\'{e} par leur classes de $k$-isomorphie.   Le lemme suivant est donc tr\`{e}s utile~:

\begin{lem}
\label{conj_B_sur_k_vs_sur_R_lem}
Soit $\mathfrak{g}$ une $k$-alg\`{e}bre centrale, de dimension finie et parfaite.   Si $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2})$ et $\mathbf{y}=(y_{1},y_{2})$ sont deux paires d'automorphismes d'ordre fini de $\mathfrak{g}$ qui commutent (i.e. on a $x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}$ et $y_{1}y_{2}=y_{2}y_{1}$), alors les conditions suivantes sont \'{e}quivalentes~:
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x}) \simeq_{k} \mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{y})$
\item $\mathcal{L}(\mathfrak{g},^{\mathbf{a}}\!\mathbf{x}) \simeq_{R} \mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{y})$ pour un certain $\mathbf{a} \in GL_{2}(\mathbb{Z})$, voir section \ref{classes_de_lacets_section}.
\end{enumerate}
\end{lem}

\proof
C'est \cite[Lem. 5.3 ]{GP1}.
\endproof

\noindent Rappelons que l'action $GL_{2}(\mathbb{Z})$ mentionn\'{e}e dans ce lemme passe \`{a} l'ensemble $H^{1}(R,\G)$, cf. section \ref{classes_de_lacets_section}.   Le lemme \ref{conj_B_sur_k_vs_sur_R_lem} donne alors~:

\begin{lem}
\label{conj_B_sur_k_vs_dans_H^1_sur_R_lem}
Soit $\mathfrak{g}$ une $k$-alg\`{e}bre de dimension finie et parfaite.   Soient $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2})$ et $\mathbf{y}=(y_{1},y_{2})$ deux paires d'automorphismes d'ordre fini de $\mathfrak{g}$ qui commutent (voir plus haut).   Alors les conditions suivantes sont \'{e}quivalentes~:
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x}) \simeq_{k} \mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{y})$
\item les cocycles $\alpha(\mathbf{x})$ et $\alpha(\mathbf{y})$ (cf. section \ref{classes_de_lacets_section}) d\'{e}finissent la m\^{e}me classe dans $H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z})$, l'ensemble des classes d'isomorphie de $\G$-torseurs sur $R$, quotient\'{e} par l'action de $GL_{2}(\mathbb{Z})$ sur les cocycles (voir section \ref{classes_de_lacets_section}).
\end{enumerate}

\end{lem}

\noindent L'ensemble de cohomologie $H^{1}(R,\G)$ classifie \'{e}galement certaines alg\`{e}bres \`{a} involutions \`{a} isomorphisme pr\`{e}s et donc certaines formes quadratiques et hermitiennes \`{a} similitude pr\`{e}s.   La classification des formes quadratiques sur $R$ et formes hermitiennes sur les alg\`{e}bres \`{a} involutions $(\Qua,\sigma)$ et $(S,\iota)$ permet alors de d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me ci-dessous.

\begin{oss}
Soit $A$ une structure alg\'{e}brique sur $R$.   On dit que ``$A$ est de $K$-indice de Tits $I$'' si $A\otimes_{R} K$ est d'indice de Tits $I$ sur $K$.
\end{oss}

\begin{thm}
\label{class_dynkin_thm}
Avec les notations pr\'{e}c\'{e}dentes, on a la classification suivante~:\newline

\noindent \underline{Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $B_{n}$ avec $n\geq 2$.}\newline

\noindent On a
$$
\sharp \big( \,H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z}) \, \big)=2
$$
et les deux classes sont repr\'{e}sent\'{e}es par les $R$-formes quadratiques suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $q \simeq <1> \spacebot \hyp (R^{n})$ de $K$-indice de Tits d\'{e}ploy\'{e}
\begin{equation}
\label{b1}
\begin{picture}(200,20)
\put(30,00){\line(1,0){40}}
\put(80,00){\dots}
\put(100,00){\line(1,0){20}}
\put(120,1.1){\line(1,0){20}}
\put(120,-1.2){\line(1,0){20}}
\put(126,-2.5){$>$}
\put(30,0){\circle*{3}}
\put(50,0){\circle*{3}}
\put(70,0){\circle*{3}}
\put(100,0){\circle*{3}}
\put(120,0){\circle*{3}}
\put(140,0){\circle*{3}}
\put(30,0){\circle{10}}
\put(50,0){\circle{10}}
\put(70,0){\circle{10}}
\put(100,0){\circle{10}}
\put(120,0){\circle{10}}
\put(140,0){\circle{10}}
\put(25,8){$\alpha_1$}
\put(45,8){$\alpha_2$}
\put(110,8){$\alpha_{n-1}$}
\put(135,8){$\alpha_n$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{,}
\end{equation}
de type relatif $B_{n}$ et
\item $q \simeq <-t_{1},-t_{2},t_{1}t_{2}> \spacebot \hyp (R^{n-1})$ de $K$-indice de Tits
\begin{equation}
\label{b2}
\begin{picture}(200,20)
\put(30,00){\line(1,0){40}}
\put(80,00){\dots}
\put(100,00){\line(1,0){20}}
\put(120,1.1){\line(1,0){20}}
\put(120,-1.2){\line(1,0){20}}
\put(126,-2.5){$>$}
\put(30,0){\circle*{3}}
\put(50,0){\circle*{3}}
\put(70,0){\circle*{3}}
\put(100,0){\circle*{3}}
\put(120,0){\circle*{3}}
\put(140,0){\circle*{3}}
\put(30,0){\circle{10}}
\put(50,0){\circle{10}}
\put(70,0){\circle{10}}
\put(100,0){\circle{10}}
\put(120,0){\circle{10}}
\put(25,8){$\alpha_1$}
\put(45,8){$\alpha_2$}
\put(110,8){$\alpha_{n-1}$}
\put(135,8){$\alpha_n$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{et}
\end{equation}
de type relatif $B_{n-1}$.
\end{enumerate}


\medskip


\noindent \underline{Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $C_{n}$ avec $n\geq 6$.}\newline

\noindent On a
$$
\sharp \big( \,H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z}) \, \big)=2.
$$
Si $n$ est pair, les deux classes de $H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z})$ sont repr\'{e}sent\'{e}es par la $R$-forme symplectique et la $(\Qua,\sigma)$-forme hermitienne suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $h=\hyp(R^{n})$ de $K$-indice de Tits d\'{e}ploy\'{e}
\begin{equation}
\label{C_hyp}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(130,1.1){\line(1,0){20}}
\put(130,-1.2){\line(1,0){20}}
\put(136,-2.5){$<$}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,0){\circle*{3}}
\put(00,0){\circle{10}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(40,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(90,0){\circle{10}}
\put(110,0){\circle{10}}
\put(130,0){\circle{10}}
\put(150,0){\circle{10}}
\put(-5,8){$\alpha_{1}$}
\put(15,8){$\alpha_{2}$}
\put(120,8){$\alpha_{n-1}$}
\put(145,8){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{,}
\end{equation}
de type relatif $C_{n}$ et
\item $h=\hyp(\Qua^{n/2})$ de $K$-indice de Tits
\begin{equation}
\label{c2}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(130,1.1){\line(1,0){20}}
\put(130,-1.2){\line(1,0){20}}
\put(136,-2.5){$<$}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(110,0){\circle{10}}
\put(150,0){\circle{10}}
\put(-5,8){$\alpha_{1}$}
\put(15,8){$\alpha_{2}$}
\put(120,8){$\alpha_{n-1}$}
\put(145,8){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{et}
\end{equation}
de type relatif $C_{\frac{n}{2}}$.
\end{enumerate}

\noindent Si $n$ est impair, les deux classes de $H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z})$ peuvent \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}es par la $R$-forme symplectique et la $(\Qua,\sigma)$-forme hermitienne suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $h=\hyp(R^{n})$ de $K$-indice de Tits maximal (\ref{C_hyp}), de type relatif comme plus haut et
\item $h= <\,1\,> \spacebot \hyp(\Qua^{(n-1)/2})$ de $K$-indice de Tits
\begin{equation}
\label{c3}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(130,1.1){\line(1,0){20}}
\put(130,-1.2){\line(1,0){20}}
\put(136,-2.5){$<$}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(90,0){\circle{10}}
\put(130,0){\circle{10}}
\put(-5,8){$\alpha_{1}$}
\put(15,8){$\alpha_{2}$}
\put(120,8){$\alpha_{n-1}$}
\put(145,8){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{et}
\end{equation}
de type relatif $BC_{\frac{n-1}{2}}$.\medskip
\end{enumerate}

\noindent \underline{Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $D_{n}$ avec $n\geq 8$ et $n$ pair.}\newline

\noindent On a
$$
\sharp \big( \,H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z}) \, \big)=5.
$$
Les cinq classes de $H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z})$ sont repr\'{e}sent\'{e}es par les $R$-formes quadratiques et les $(\Qua,\sigma)$-formes anti-hermitiennes suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $q \simeq \hyp(R^{n})$ de $K$-indice de Tits d\'{e}ploy\'{e}
\begin{equation}
\label{D_int_1er_cas_hyp}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(130,0){\line(2,-1){20}}
\put(130,0){\line(2,1){20}}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,10){\circle*{3}}
\put(150,-10){\circle*{3}}
\put(00,0){\circle{10}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(40,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(90,0){\circle{10}}
\put(110,0){\circle{10}}
\put(130,0){\circle{10}}
\put(150,-10){\circle{10}}
\put(150,10){\circle{10}}
\put(-5,8){$\alpha_1$}
\put(15,8){$\alpha_2$}
\put(116,10){$\alpha_{n-2}$}
\put(160,10){$\alpha_{n-1}$}
\put(160,-13){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{,}
\end{equation}
de type relatif $D_{n}$,
\medskip
\item $q\simeq <1,-t_{1},-t_{2},t_{1}t_{2}> \spacebot \hyp (R^{n-2})$ de $K$-indice de Tits
\begin{equation}
\label{D_int_1er_cas_norm}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(130,0){\line(2,-1){20}}
\put(130,0){\line(2,1){20}}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,10){\circle*{3}}
\put(150,-10){\circle*{3}}
\put(00,0){\circle{10}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(40,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(90,0){\circle{10}}
\put(110,0){\circle{10}}
\put(130,0){\circle{10}}
\put(-5,8){$\alpha_1$}
\put(15,8){$\alpha_2$}
\put(116,10){$\alpha_{n-2}$}
\put(160,10){$\alpha_{n-1}$}
\put(160,-13){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{,}
\end{equation}
de type relatif $B_{n-2}$,
\medskip
\item $h \simeq \hyp (\Qua^{n/2})$ de $K$-indice de Tits quasi-d\'{e}ploy\'{e}
\begin{equation}
\label{d3}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(130,0){\line(2,-1){20}}
\put(130,0){\line(2,1){20}}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,10){\circle*{3}}
\put(150,-10){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(90,0){\circle{10}}
\put(130,0){\circle{10}}
\put(150,-10){\circle{10}}
\put(-5,8){$\alpha_1$}
\put(15,8){$\alpha_2$}
\put(116,10){$\alpha_{n-2}$}
\put(160,10){$\alpha_{n-1}$}
\put(160,-13){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{,}
\end{equation}
de type relatif $C_{\frac{n}{2}}$,
\medskip
\item $q \simeq <1,-t_{1}> \spacebot \hyp(R^{n-1})$ de $K$-indice de Tits quasi-d\'{e}ploy\'{e}
\begin{equation}
\label{D_ext_1er_cas_2dim}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(150,0){\oval(40,10)[l]}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,5){\circle*{3}}
\put(150,-5){\circle*{3}}
\put(00,0){\circle{10}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(40,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(90,0){\circle{10}}
\put(110,0){\circle{10}}
\put(130,0){\circle{10}}
\put(150,0){\oval(10,20)}
\put(-5,8){$\alpha_1$}
\put(15,8){$\alpha_2$}
\put(116,10){$\alpha_{n-2}$}
\put(160,10){$\alpha_{n-1}$}
\put(160,-13){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{,}
\end{equation}
de type relatif $B_{n-1}$ et
\medskip
\item $h \simeq <Y,XY> \spacebot \hyp (\Qua^{(n-2)/2})$ de $K$-indice de Tits
\begin{equation}
\label{d5}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(150,0){\oval(40,10)[l]}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,5){\circle*{3}}
\put(150,-5){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(90,0){\circle{10}}
\put(130,0){\circle{10}}
\put(-5,8){$\alpha_1$}
\put(15,8){$\alpha_2$}
\put(116,10){$\alpha_{n-2}$}
\put(160,10){$\alpha_{n-1}$}
\put(160,-13){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{et}
\end{equation}
de type relatif $BC_{\frac{n-2}{2}}$.
\medskip
\end{enumerate}





\noindent \underline{Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $D_{n}$ avec $n\geq 8$ et $n$ impair.}\newline

\noindent On a
$$
\sharp \big( \,H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z}) \, \big)=5.
$$
Les cinq classes de $H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z})$ sont repr\'{e}sent\'{e}es par les $R$-formes quadratiques et les $(\Qua,\sigma)$-formes anti-hermitiennes suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $q \simeq \hyp(R^{n})$ de $K$-indice de Tits d\'{e}ploy\'{e} (\ref{D_int_1er_cas_hyp}), de type relatif comme plus haut,
\item $q\simeq <1,-t_{1},-t_{2},t_{1}t_{2}> \spacebot \hyp (R^{n-2})$ de $K$-indice de Tits (\ref{D_int_1er_cas_norm}), de type relatif comme plus haut,
\item $h\simeq <X,Y,XY> \spacebot \hyp (\Qua^{(n-3)/2})$ de $K$-indice de Tits
\begin{equation}
\label{d6}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(130,0){\line(2,-1){20}}
\put(130,0){\line(2,1){20}}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,10){\circle*{3}}
\put(150,-10){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(110,0){\circle{10}}
\put(-5,8){$\alpha_1$}
\put(15,8){$\alpha_2$}
\put(116,10){$\alpha_{n-2}$}
\put(160,10){$\alpha_{n-1}$}
\put(160,-13){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{,}
\end{equation}
de type relatif $BC_{\frac{n-3}{2}}$,
\medskip
\item $q \simeq <1,-t_{1}> \spacebot \hyp(R^{n-1})$ de $K$-indice de Tits (\ref{D_ext_1er_cas_2dim}), de type relatif comme plus haut et
\item $h\simeq <X> \spacebot \hyp (\Qua^{(n-1)/2})$ de $K$-indice de Tits quasi-d\'{e}ploy\'{e}
\begin{equation}
\label{d7}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,00){\line(1,0){60}}
\put(70,00){\dots}
\put(90,00){\line(1,0){40}}
\put(150,0){\oval(40,10)[l]}
\put(0,0){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle*{3}}
\put(40,0){\circle*{3}}
\put(60,0){\circle*{3}}
\put(90,0){\circle*{3}}
\put(110,0){\circle*{3}}
\put(130,0){\circle*{3}}
\put(150,5){\circle*{3}}
\put(150,-5){\circle*{3}}
\put(20,0){\circle{10}}
\put(60,0){\circle{10}}
\put(110,0){\circle{10}}
\put(150,0){\oval(10,20)}
\put(-5,8){$\alpha_1$}
\put(15,8){$\alpha_2$}
\put(116,10){$\alpha_{n-2}$}
\put(160,10){$\alpha_{n-1}$}
\put(160,-13){$\alpha_{n}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{et}
\end{equation}
de type relatif $BC_{\frac{n-1}{2}}$.
\medskip
\end{enumerate}



\noindent \underline{Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $A_{n-1}$ avec $n\geq 7$.}\newline

\noindent On a
$$
\sharp \big( \,\mathcal{E}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z}) \, \big)=2
$$
si $n$ est pair et les deux classes sont repr\'{e}sent\'{e}es par les $(S,\iota)$-formes hermitiennes suivantes~:
\begin{enumerate}
\item $h \simeq \hyp(S^{n/2})$ de $K$-indice de Tits quasi-d\'{e}ploy\'{e}
\begin{equation}
\label{a1}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,-5){\line(1,0){60}}
\put(90,-5){\line(1,0){40}}
\put(00,5){\line(1,0){60}}
\put(90,5){\line(1,0){40}}
\put(130,5){\line(4,-1){20}}
\put(130,-5){\line(4,1){20}}
\put(70,-5){\dots}
\put(70,5){\dots}
\put(0,-5){\circle*{3}}
\put(20,-5){\circle*{3}}
\put(40,-5){\circle*{3}}
\put(60,-5){\circle*{3}}
\put(90,-5){\circle*{3}}
\put(110,-5){\circle*{3}}
\put(130,-5){\circle*{3}}
\put(150,0){\circle*{3}}
\put(0,5){\circle*{3}}
\put(20,5){\circle*{3}}
\put(40,5){\circle*{3}}
\put(60,5){\circle*{3}}
\put(90,5){\circle*{3}}
\put(110,5){\circle*{3}}
\put(130,5){\circle*{3}}
\put(150,0){\circle{10}}
\put(0,0){\oval(10,20)}
\put(20,0){\oval(10,20)}
\put(40,0){\oval(10,20)}
\put(60,0){\oval(10,20)}
\put(90,0){\oval(10,20)}
\put(110,0){\oval(10,20)}
\put(130,0){\oval(10,20)}
\put(-5,15){$\alpha_1$}
\put(15,15){$\alpha_2$}
\put(-11,-18){$\alpha_{n-1}$}
\put(15,-18){$\alpha_{n-2}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{,}
\end{equation}
$$
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
$$
de type relatif $C_{\frac{n}{2}}$ et
\medskip
\item $h \simeq <1,-t_{2}> \spacebot \hyp(S^{(n-2)/2})$ de $K$-indice de Tits
\begin{equation}
\label{a2}
\begin{picture}(250,20)
\put(00,-5){\line(1,0){60}}
\put(90,-5){\line(1,0){40}}
\put(00,5){\line(1,0){60}}
\put(90,5){\line(1,0){40}}
\put(130,5){\line(4,-1){20}}
\put(130,-5){\line(4,1){20}}
\put(70,-5){\dots}
\put(70,5){\dots}
\put(0,-5){\circle*{3}}
\put(20,-5){\circle*{3}}
\put(40,-5){\circle*{3}}
\put(60,-5){\circle*{3}}
\put(90,-5){\circle*{3}}
\put(110,-5){\circle*{3}}
\put(130,-5){\circle*{3}}
\put(150,0){\circle*{3}}
\put(0,5){\circle*{3}}
\put(20,5){\circle*{3}}
\put(40,5){\circle*{3}}
\put(60,5){\circle*{3}}
\put(90,5){\circle*{3}}
\put(110,5){\circle*{3}}
\put(130,5){\circle*{3}}
\put(0,0){\oval(10,20)}
\put(20,0){\oval(10,20)}
\put(40,0){\oval(10,20)}
\put(60,0){\oval(10,20)}
\put(90,0){\oval(10,20)}
\put(110,0){\oval(10,20)}
\put(130,0){\oval(10,20)}
\put(-5,15){$\alpha_1$}
\put(15,15){$\alpha_2$}
\put(-11,-18){$\alpha_{n-1}$}
\put(15,-18){$\alpha_{n-2}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{et}
\end{equation}
$$
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
$$
de type relatif $BC_{\frac{n-2}{2}}$.
\bigskip
\end{enumerate}


\noindent Si $n$ est impair,
$$
\sharp \big( \,\mathcal{E}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z}) \, \big)=1
$$
et la classe est repr\'{e}sent\'{e}e par la $(S,\iota)$-forme hermitienne \linebreak
$h \simeq <1> \spacebot \hyp(S^{(n-1)/2})$ de $K$-indice de Tits quasi-d\'{e}ploy\'{e}
\begin{equation}
\label{a3}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\begin{picture}(250,20)
\put(00,-5){\line(1,0){60}}
\put(90,-5){\line(1,0){40}}
\put(00,5){\line(1,0){60}}
\put(90,5){\line(1,0){40}}
\put(130,0){\oval(40,10)[r]}
\put(70,-5){\dots}
\put(70,5){\dots}
\put(0,-5){\circle*{3}}
\put(20,-5){\circle*{3}}
\put(40,-5){\circle*{3}}
\put(60,-5){\circle*{3}}
\put(90,-5){\circle*{3}}
\put(110,-5){\circle*{3}}
\put(130,-5){\circle*{3}}
\put(0,5){\circle*{3}}
\put(20,5){\circle*{3}}
\put(40,5){\circle*{3}}
\put(60,5){\circle*{3}}
\put(90,5){\circle*{3}}
\put(110,5){\circle*{3}}
\put(130,5){\circle*{3}}
\put(0,0){\oval(10,20)}
\put(20,0){\oval(10,20)}
\put(40,0){\oval(10,20)}
\put(60,0){\oval(10,20)}
\put(90,0){\oval(10,20)}
\put(110,0){\oval(10,20)}
\put(130,0){\oval(10,20)}
\put(-5,15){$\alpha_1$}
\put(15,15){$\alpha_2$}
\put(-11,-18){$\alpha_{n-1}$}
\put(15,-18){$\alpha_{n-2}$}
\end{picture}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\mbox{et}
\end{equation}
$$
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
$$
de type relatif $BC_{\frac{n-1}{2}}$,
\medskip
\end{thm}

\proof
Donnons une description de l'ensemble $H^{1}(R,\G)/GL_{2}(\mathbb{Z})$.   Rappelons que l'ensemble de cohomologie $H^{1}(R,\G)$ classifie certaines alg\`{e}bres \`{a} involutions \`{a} isomorphisme pr\`{e}s et donc certaines formes quadratiques et hermitiennes \`{a} similitude pr\`{e}s.   On va donc raisonner dans cette preuve en termes de telles formes, i.e. d\'{e}montrer que ces formes hermitiennes et quadratiques sont classifi\'{e}es par leur indice de Witt-Tits \`{a} similitude et \`{a} l'action de $GL_{2}(\mathbb{Z})$ pr\`{e}s.\newline


\noindent \underline{ {\bf 1) Le type $B_{n}$.} }   Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $B_{n}$, $n\geq 2$.   On sait bien que l'ensemble $H^{1}(R,\G)$ classifie les $R$-formes quadratiques de rang $2n+1$ \`{a} similitude (\`{a} un facteur de $R^{\times}$) pr\`{e}s\footnote{Il revient au m\^{e}me de dire que cet ensemble classifie les $R$-formes quadratiques de rang $2n+1$ et de m\^{e}me discriminant que $q$.}.   Le corollaire \ref{cor:bn1dnetoile} montre que
$$
H^{1}(R,\G) \simeq \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}
$$
et que les classes peuvent \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}es par les formes quadratiques \linebreak $q_{1} \simeq <1> \spacebot \hyp (R^{n})$ et $q_{2} \simeq <-t_{1},-t_{2},t_{1}t_{2}> \spacebot \hyp (R^{n-1})$.   Suivant \cite[Table II]{Ti} et \cite[Ch.V.23.4]{Bo} on alors que $q_{1} \otimes_{R} K$ est d'indice de Tits (\ref{b1}) et de type relatif $B_{n}$ et que $q_{2} \otimes_{R} K$ est d'indice de Tits (\ref{b2}) et de type relatif $B_{n-1}$.   Comme l'action de $GL_{2}(\mathbb{Z})$ sur l'ensemble $H^{1}(R,\G)$ est triviale, cf. \cite[Th. 5.10]{GP1} (et les classes donn\'{e}es sont distingu\'{e}es par leur indice de Tits), le th\'{e}or\`{e}me r\'{e}sulte dans ce cas.\newline


\noindent \underline{ {\bf 2) Le type $C_{n}$.} }   Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $C_{n}$, $n\geq 6$.   Le corollaire \ref{conj_c_n_stable} montre que
$$
H^{1}(R,\G) \simeq \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}
$$
et que les classes peuvent \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}es par la forme symplectique $h_{1}=\hyp(R^{n})$ (pour tout $n$), et par les formes hermitiennes $h_{2}=\hyp(\Qua^{n/2})$ (si $n$ est pair) et $h_{3} \simeq <\,1\,> \spacebot \hyp(\Qua^{(n-1)/2})$ (si $n$ est impair).   Suivant \cite[Table II]{Ti} et \cite[Ch.V.23.4]{Bo} on alors que les $K$-formes $h_{1} \otimes_{R} K$, $h_{2} \otimes_{R} K$ et $h_{3} \otimes_{R} K$ sont d'indices de Tits (\ref{C_hyp}), (\ref{c2}) et (\ref{c3}) respectivement et de types relatifs $C_{n}$, $C_{\frac{n}{2}}$ et $BC_{\frac{n-1}{2}}$ respectivement.   Comme l'action de $GL_{2}(\mathbb{Z})$ sur l'ensemble $H^{1}(R,\G)$ est triviale, cf. \cite[Th. 5.10]{GP1} (et les classes donn\'{e}es sont distingu\'{e}es par leur indice de Tits), le th\'{e}or\`{e}me r\'{e}sulte dans ce cas.\newline


Supposons maintenant que $\mathfrak{g}$ est de type $A_{n-1}$ ($n\geq 7$) ou $D_{n}$ ($n\geq 8$).   Soit $\G^{0}$ la composante connexe de l'\'{e}l\'{e}ment neutre de $\G=\AUT_{k}(\mathfrak{g})$.   On obtient comme plus haut une suite exacte scind\'{e}e
\begin{equation}
\label{suite_connexe_d_a}
1 \longrightarrow \G^{0} \stackrel{i}\longrightarrow \G \stackrel{\stackrel{s}\curvearrowleft}\longrightarrow \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \longrightarrow 1,
\end{equation}
cf. \cite[XXV, th. 1.3]{SGA3}, qui induit la suite exacte d'ensembles point\'{e}s
\begin{equation}
\label{Inn_Aut_H^1_d_a}
H^{1}(R,\G^{0}) \stackrel{i_{*}}\longrightarrow H^{1}(R,\G) \stackrel{\stackrel{s}\curvearrowleft}\longrightarrow H^{1}(R,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}),
\end{equation}
\'{e}galement scind\'{e}e.   Supposons que $[a]\in H^{1}(R,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})$ est une classe repr\'{e}sent\'{e}e par un cocycle $a$.   On peut tordre la suite (\ref{suite_connexe}) par le cocycle $a$ pour obtenir la suite exacte
$$
1 \longrightarrow _{s(a)}\!\G^{0} \longrightarrow _{s(a)}\!\G \longrightarrow \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z} \longrightarrow 1.
$$
Observons que $_{a}(\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$, comme le groupe $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ est commutatif.   Par des arguments standards de cohomologie galoisienne \cite[III.3.3]{Gir}, on obtient une d\'{e}composition
\begin{equation}
\label{decompo_H^{1}}
H^{1}(R,\G) \simeq \coprod\limits_{[a]\in H^{1}(R,\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z})} H^{1}(R,\,_{s(a)}\!\G^{0}) \,/\, \mathbb{Z} / 2\mathbb{Z},
\end{equation}
o\`{u} l'action de $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ sur $H^{1}(R,\,_{s(a)}\!\G^{0})$ est d\'{e}duite de l'action tordue de $\mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}$ sur $_{s(a)}\!\G^{0}$.   L'\'{e}quation (\ref{decompo_H^{1}}) est utile pour comprendre l'action de $GL_{2}(\mathbb{Z})$.   Rappelons que $H^{1}(R,\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z})\simeq R^{\times} / R^{\times\,2}$ et que cet ensemble est constitu\'{e} des classes $1,t_{1},t_{2}$ et $t_{1}t_{2}$.   L'action du groupe $GL_{2}(\mathbb{Z})$ sur $H^{1}(R,\mathbb{Z}/ 2 \mathbb{Z})$ a deux orbites~:   l'orbite $\{ 1 \}$ et l'orbite $\{ t_{1}, t_{2}, t_{1}t_{2} \}$.   Il suit que l'on peut fixer un discriminant non trivial, disons $t_{1}$, pour les groupes de type $D$ et $A$, et se limiter \`{a} consid\'{e}rer des formes avec ce discriminant.\newline


\noindent \underline{ {\bf 3) Le type $D_{n}$.} }   Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $D_{n}$, $n\geq 8$.   On sait que l'ensemble $H^{1}(R,\G)$ classifie, \`{a} $R$-isomorphisme pr\`{e}s, des $R$-alg\`{e}bres d'Azumaya de degr\'{e} $2n$ \`{a} involutions de premi\`{e}re esp\`{e}ce de type orthogonale.   Par le lemme \ref{soit_R_soit_Q_ortho}, chaque classe peut \^{e}tre repr\'{e}sent\'{e}e par une classe de similitudes de $R$-formes quadratiques ou $(\Qua,\sigma)$-formes anti-hermitiennes par des r\'{e}sultats de la section \ref{section_dn}.   L'\'{e}quation (\ref{decompo_H^{1}}) et les arguments suivants montrent que, pour repr\'{e}senter chaque classe dans $H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z})$, on peut se limiter aux formes de discriminant $1$ ou $t_{1}$.   Le th\'{e}or\`{e}me \ref{decompo_anti_hermi} montre alors que seulement les cas list\'{e}s dans l'\'{e}nonc\'{e} plus haut peuvent apparaitre.   Leurs indices de Tits sont donn\'{e}es par \cite[Table II]{Ti} et leurs types relatifs par \cite[Ch.V.23.9]{Bo}.   Le th\'{e}or\`{e}me r\'{e}sulte alors dans ce cas \'{e}galement.\newline

\noindent \underline{ {\bf 3) Le type $A_{n-1}$.} }   Supposons que $\mathfrak{g}$ est de type $A_{n-1}$, $n\geq 7$.   On sait que l'ensemble $H^{1}(R,\G)$ classifie, \`{a} $R$-isomorphisme pr\`{e}s, des alg\`{e}bres d'Azumaya de degr\'{e} $n$ sur une extension quadratique, \'{e}tale de $R$ \`{a} une involution de deuxi\`{e}me esp\`{e}ce.   L'\'{e}quation (\ref{decompo_H^{1}}) et les arguments suivants montrent que, pour repr\'{e}senter chaque classe dans $H^{1}(R,\G) / GL_{2}(\mathbb{Z})$, on peut se limiter aux alg\`{e}bres \`{a} involutions de discriminant $1$ ou $t_{1}$ (i.e. de centre $R \times R$ ou $S$).   Or on veut d\'{e}crire les \'{e}l\'{e}ments de $\mathcal{E}(R,\G)/ GL_{2}(\mathbb{Z})$, o\`{u} on rappelle que
$$
\mathcal{E}(R,\G):= H^{1}(R,\G) \,\, \setminus \,\, \im \big[ H^{1}(R,\G^{0}) \stackrel{i_{*}}\longrightarrow H^{1}(R,\G)\,\big].
$$
On peut donc se limiter aux alg\`{e}bres \`{a} involutions (de la forme d\'{e}crite plus haut) de discriminant $t_{1}$.   Ceux-ci correspondent par le lemme \ref{cond_nec_2eme_espece} \`{a} des $(S,\iota)$-formes hermitiennes de rang $n$.   Le th\'{e}or\`{e}me \ref{decompo_unitaire} montre alors que seulement les cas list\'{e}s dans l'\'{e}nonc\'{e} plus haut apparaissent.   Leurs indices de Tits sont donn\'{e}s par \cite[Table II]{Ti} et leurs types relatifs par \cite[Ch.V.23.9]{Bo}.   Le th\'{e}or\`{e}me r\'{e}sulte alors dans ce cas aussi et la preuve est termin\'{e}e.
\endproof


\begin{cor}
\label{conj_B_cor}
Soit $\mathfrak{g}$ une alg\`{e}bre de Lie simple, de dimension finie sur $k$ de type $A_{n-1}$ ($n\geq 7$), $B_{n}$ ($n\geq 2$), $C_{n}$ ($n\geq 6$) ou $D_{n}$ ($n\geq 8$).   Notons $\G=\AUT_{k}(\mathfrak{g})$ son groupe alg\'{e}brique de $k$-automorphismes.   Soient $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2})$ et $\mathbf{y}=(y_{1},y_{2})$ deux paires d'automorphismes d'ordre fini de $\mathfrak{g}$ qui commutent, i.e. on a $x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}$ et $y_{1}y_{2}=y_{2}y_{1}$.   Si $\mathfrak{g}$ est de type $A_{n-1}$, supposons de plus que les \'{e}l\'{e}ments $x_{1}$, $x_{2}$, $y_{1}$ et $y_{2}$ ne sont pas tous contenus dans la composante connexe de l'\'{e}l\'{e}ment neutre de $\AUT_{k}(\mathfrak{g})$.   Alors $\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x})\otimes_{R_{2}} K$ est une alg\`{e}bre de Lie de dimension finie et isotrope sur $K$.   De plus,
$$
\mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{x})\simeq_{k-Lie} \mathcal{L}(\mathfrak{g},\mathbf{y})\Leftrightarrow I(\mathbf{x})=I(\mathbf{y})
$$
o\`{u} $I(\mathbf{x})$ et $I(\mathbf{y})$ sont les indices de Witt-Tits de $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ respectivement (voir section \ref{indice_tits_brauer_section}).
\end{cor}

\proof
Suivant le lemme \ref{conj_B_sur_k_vs_dans_H^1_sur_R_lem}, il s'agit de montrer que deux paires $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$ ont le m\^{e}me indice de Tits si et seulement si leurs cocycles (voir \ref{classes_de_lacets_section}) sont dans la m\^{e}me classe dans l'ensemble $H^{1}(R,\G)$, \`{a} l'action de $GL_{2}(\mathbb{Z})$ pr\`{e}s.   Mais le th\'{e}or\`{e}me \ref{class_dynkin_thm} montre que toutes les classes dans l'ensemble $H^{1}(R,\G)/GL_{2}(\mathbb{Z})$ peuvent \^{e}tre distingu\'{e}es par leurs indices de Tits.   Le corollaire suit.
\endproof


\begin{oss}
\begin{enumerate}
\item Ce corollaire montre en fait qu'en rang assez grand une alg\`{e}bre de multi-lacets est determin\'{e}e par son indice de Tits en dehors du type $A$ et sous certaines conditions si elle est de type $A$ (si elle est de type $^{2}A$, essentiellement).   Gille et Pianzola ont conjectur\'{e} ceci par contre seulement en dehors de type $A$ \cite[Conj. 6.4]{GP1}.
\item Soit $k(\!(t_{1})\!)(\!(t_{2})\!)$ le corps des s\'{e}ries formelles en deux variables sur $k$.   Observons que la fl\`{e}che naturelle
$$
H^{1}(R,\G) \stackrel{\sim}\longrightarrow H^{1}(k(\!(t_{1})\!)(\!(t_{2})\!),\G),
$$
est alors une bijection dans le cas o\`{u} $\G$ est de type $B_{n}$ ($n\geq 2$), $C_{n}$ ($n\geq 6$), $D_{n}$ ($n\geq 8$) ou $^{2}A_{n-1}$ ($n\geq 7$), et que le corps $k(\!(t_{1})\!)(\!(t_{2})\!)$ se comporte comme un corps $p$-adique.   Ceci d\'{e}coule de \cite[Table II]{Ti} (les descriptions des corps ``sp\'{e}ciaux'').
\item En tenant compte de \cite{GP3}, on voit que toutes les formes quadratiques et hermitiennes qui apparaissent dans le th\'{e}or\`{e}me \ref{class_dynkin_thm} correspondent \`{a} des alg\`{e}bres de multi-lacets.   Une fa\c{c}on plus fastidieuse de montrer cela, serait d'utiliser le ``recognition theorem'', voir \cite[Th. 5.13]{GP1}.
\end{enumerate}
\end{oss}

\appendix

\chapter[Un th\'{e}or\`{e}me de compatibilit\'{e}]{Compatibilit\'{e} de la th\'{e}orie de Morita avec la suite spectrale de S.Gille}
\label{chapitre_appendice}

Dans cet appendice on prouve le th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita} qui \'{e}tablit une certaine commutativit\'{e} entre les fl\`{e}ches de r\'{e}sidu de la suite spectrale de S.Gille et les ``fl\`{e}ches de Morita'' qui apparaissent entre les groupes de Witt des alg\`{e}bres simples centrales sur les corps r\'{e}siduels.   Rappelons d'abord encore une fois les conventions de signe dans les cat\'{e}gories d\'{e}riv\'{e}es, introduites au d\'{e}but de la section \ref{conventions_chapitre_cn_dn_2an}.

Soit $\mathcal{E}$ une cat\'{e}gorie exacte.   On note $D^{b}(\mathcal{E})$ sa cat\'{e}gorie d\'{e}riv\'{e}e born\'{e}e et $\T$ le foncteur de translation de cette cat\'{e}gorie.   Selon l'usage habituel dans la th\'{e}orie de Witt d\'{e}riv\'{e}e et coh\'{e}rente, on utilise des complexes homologiques, donc $\T(M_{\bullet})_{i}=M_{\bullet}\,[1\,]_{i}=M_{i-1}$ pour tout $M_{\bullet}\in D^{b}(\mathcal{E})$.   Si $\mathcal{E}$ poss\`{e}de un foncteur $\Hom$ int\'{e}rieur ou un produit tensoriel $\otimes$, on utilise les conventions suivantes pour $\Hom(M_{\bullet},N_{\bullet})$ et $M_{\bullet} \otimes N_{\bullet}$~:   la diff\'{e}rentielle en degr\'{e} $l$ est donn\'{e}e par
$$
\Hom(M_{-l-s},N_{-s})\ni f \, \mapsto \, f\cdot d^{M_{\bullet}}_{-l-s+1}\, + \, (-1)^{l+1} \, d^{N_{\bullet}}_{-s} \cdot f
$$
et par
$$
M_{l-s} \otimes N_{s} \ni m \otimes n \, \mapsto \, d^{M_{\bullet}}_{l-s}(m) \otimes n \, + \, (-1)^{l-s} m \otimes d^{N_{\bullet}}_{s}(n)
$$
respectivement.

\begin{oss}
\label{morphisme_a^r_oss}
Observons que si $r$ est impair, on a en g\'{e}n\'{e}ral
$$
\Hom(M_{\bullet},N_{\bullet}[r]) \neq \Hom(M_{\bullet},N_{\bullet})[r].
$$
Par contre, les deux objets sont isomorphes par
$$
a_{M_{\bullet},N_{\bullet}}^{(r)}:\Hom(M_{\bullet},N_{\bullet}[r]) \stackrel{\sim}\longrightarrow \Hom(M_{\bullet},N_{\bullet})[r]
$$
d\'{e}fini en degr\'{e} $l$ par
$$
\bigoplus_{s\in \mathbb{Z}}\overline{ \Hom(M_{-l-s},N_{-(s+r)}) }
\longrightarrow
\bigoplus_{s\in \mathbb{Z}}\overline{ \Hom(M_{-l-s},N_{-(s+r)}) }
$$
$$
(g_{s})\mapsto   ((-1)^{r(l+s)} g_{s}).
$$
Ce morphisme est fonctoriel en $M_{\bullet}$, i.e. pour un morphisme $f:M_{\bullet} \longrightarrow M'_{\bullet}$ on a un diagramme commutatif~:
$$
\begin{CD}
\Hom(M_{\bullet},N_{\bullet}[r]) @>{a_{M_{\bullet},N_{\bullet}}^{(r)}}>> \Hom(M_{\bullet},N_{\bullet})[r] \\
@A{f\,\circ \longunderscore}AA @AA{f\,\circ \longunderscore}A \\
\Hom(M'_{\bullet},N_{\bullet}[r]) @>>{a_{M'_{\bullet},N_{\bullet}}^{(r)}}>\Hom(M'_{\bullet},N_{\bullet})[r]. \\
\end{CD}
$$
\end{oss}

Rappelons maintenant quelques points sur les r\'{e}solutions injectives qui se trouvent dans \cite{BH}.

\begin{defn}\cite[p.98]{BH}
\label{env_inj}
Soit $S$ un anneau commutatif noeth\'{e}rien et $M$ un $S$-module.   Une r\'{e}solution injective
$$
0\longrightarrow M \longrightarrow E_{0}(M) \stackrel{d_{0}}\longrightarrow E_{-1}(M) \stackrel{d_{-1}}\longrightarrow ...
$$
est dite {\it minimale}, si $E_{0}(M)$ est une enveloppe injective de $M$ et si pour $r\geq 1$, $E_{-r}(M)$ est une enveloppe injective de $\coker\,(d_{-(r-1)})$.
\end{defn}

\noindent Comme dans \cite{BH} on note $E_{S}(M)$ une enveloppe injective d'un $S$-module $M$.

\begin{oss}
\label{env_inj_oss}
Si $S$ est un anneau de Gorenstein, le $-r$-i\`{e}me terme d'une r\'{e}solution injective minimale du $S$-module $S$ est de la forme
$$
E_{-r}(S)=\bigoplus_{ht\,\mathfrak{p}=r} E_{S}(S/\mathfrak{p}).
$$
\end{oss}

\noindent De plus, on a le lemme suivant.

\begin{lem}
\label{comparer_dualites}
Soient $S$ un anneau commutatif noeth\'{e}rien, $I\subset S$ un id\'{e}al, $M$ un $S$-module tel $IM=0$ et $\mathfrak{q}\in \Spec\,S$ un id\'{e}al premier.

\begin{enumerate}
\item Si $I$ n'est pas contenu dans $\mathfrak{q}$, alors $\Hom_{S}(M,E_{S}(S/\mathfrak{q}))=0$.
\item Si $I\subset \mathfrak{q}$, alors on a un homomorphisme injectif
$$
\alpha : E_{S/I}(S/\mathfrak{q}) \longrightarrow E_{S}(S/\mathfrak{q})
$$
et l'homomorphisme
$$
\alpha_{*} : \Hom_{S/I}(M,E_{S/I}(S/\mathfrak{q})) \longrightarrow \Hom_{S}(M,E_{S}(S/\mathfrak{q})),\;\;\varphi \mapsto \alpha \varphi
$$
est un isomorphisme.
\end{enumerate}

\end{lem}

\proof
Par exemple \cite[Lem. 3.3.5]{Gil3}.
\endproof

Le lemme suivant nous est utile par la suite~:

\begin{lem}
\label{fonct_suite}
La suite spectrale des groupes de Witt de cat\'{e}gories triangul\'{e}es filtr\'{e}es avec dualit\'{e} est fonctorielle pour les foncteurs qui pr\'{e}servent la dualit\'{e} et qui sont compatibles avec les filtrations respectives.
\end{lem}

\proof
\cite[Lem. 4.2]{BW}
\endproof

Rappelons un r\'{e}sultat de la section \ref{conventions_chapitre_cn_dn_2an} que l'on utilise par la suite~:

\begin{lem}
\label{d_m_cq_egale_d_m}
Soit $X$ un sch\'{e}ma noeth\'{e}rien et $\mathcal{A}$ une $\mathcal{O}_{X}$-alg\`{e}bre coh\'{e}rente, alors le morphisme naturel
$$
D_{c}^{b}(\M_{qc}(\mathcal{A}))\longrightarrow D_{c}^{b}(\M(\mathcal{A}))
$$
est une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories.
\end{lem}

\proof
\cite[Lem. 1.4]{Gil1}
\endproof

\section[\'{E}nonc\'{e} du th\'{e}or\`{e}me]{\'{E}nonc\'{e} du th\'{e}or\`{e}me}


\medskip

\noindent {\bf Convention. }
{\it Tous les sch\'{e}mas (anneaux) sont d\'{e}sormais suppos\'{e}s noeth\'{e}riens et munis d'un morphisme vers $\Spec \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ (des $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$-alg\`{e}bres).}

\medskip

Tout au long de cet appendice on utilise les notations suivantes~:\linebreak   Soit $X=\Spec \Rrr$ un sch\'{e}ma (noeth\'{e}rien), affine, de Gorenstein, connexe et de dimension de Krull finie $n$ et soient $(\Aaa,\tau)$ et $(\Bbbb,\nu)$ deux alg\`{e}bres d'Azumaya \`{a} involutions de premi\`{e}re esp\`{e}ce sur $X$.   Soit de plus $\Ppp$ un $\Aaa$-module fid\`{e}lement projectif, voir la d\'{e}finition \ref{defn:modfidproj}, (ceci revient \`{a} dire que $\Ppp$ est un $\Aaa$-module fid\`{e}le qui est projectif comme $\Rrr$-module) et
$$
h:\Ppp \stackrel{\sim}\longrightarrow \Ppp^{\sharp}:=\overline { \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa)  }
$$
un $(\Aaa,\tau)$-espace $\epsilon_{0}$-hermitien o\`{u} $ \epsilon_{0} \in \{ \pm 1 \} $.

Soit $u:Z\hookrightarrow X$ un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} de Gorenstein d\'{e}fini par un id\'{e}al $\aaa \subset \Rrr$, i.e. $Z=\Spec \Rrr / \aaa$.   Notons $\Ppp_{Z}$ et $h_{Z}$ les restrictions de $\Ppp$ et $h$ \`{a} $Z$.   Consid\'{e}rons alors la condition suivante~:

\begin{cond}
\label{morita_cond}
Le triplet $(Z,\Ppp_{Z},h_{Z})$ satisfait \`{a}~:
\begin{enumerate}
\item $\Bbbb/ \aaa \simeq \End_{\Aaa/ \aaa}(\Ppp_{Z}),$
\item $\nu / \aaa$ est l'involution adjointe sur $\Bbbb / \aaa$ d\'{e}finie par $$(\nu / \aaa)(g):= h_{Z}^{-1}\,\circ\,g^{\flat}\,\circ\,h_{Z},$$ o\`{u} $g^{\flat}=\Hom_{\Aaa / \aaa}(g,\Aaa / \aaa) $, voir section \ref{subsection_formes_involutions}.
\end{enumerate}
\end{cond}

\noindent Notons maintenant $\Iii_{\bullet}$ une r\'{e}solution injective du $\Rrr$-module $\Rrr$.   C'est alors un complexe dualisant sur $\D^{b}_{c}(\M_{qc}\Rrr)$.   On peut supposer qu'il est de la forme~:
$$
... \longrightarrow 0 \longrightarrow \Iii_{0} \longrightarrow \Iii_{-1} \longrightarrow ... \longrightarrow \Iii_{n}\longrightarrow 0 \longrightarrow ...
$$
avec $\Iii_{i}$ en degr\'{e} $i$ et qu'il est une r\'{e}solution injective minimale (cf. d\'{e}finition \ref{env_inj}).   Supposons maintenant que le sous-sch\'{e}ma de Gorenstein $Z$ est connexe.   Comme $Z$ est de Gorenstein, les points maximaux de $Z$ (correspondant aux id\'{e}aux premiers minimaux de $\Rrr / \aaa$) sont tous de la m\^{e}me codimension dans $X$, disons $r$ (voir \cite[Cor. 18.10]{Ei}).   On obtient alors une r\'{e}solution injective $\Jjj_{\bullet} \simeq \Hom_{\Rrr}(\Rrr / \aaa,\Iii_{\bullet}\,[r\,])$ du $\Rrr / \aaa$-module $\Rrr / \aaa$, d\'{e}finie par
$$
\Jjj_{-s}:=\{ x\in \Iii_{-(s+r)}\, | \, \, \aaa\,\cdot \, x =0 \},
$$
en degr\'{e} $-s$ avec $\Jjj_{-s}=0$ si $-s\geq 0$ (voir lemme \ref{comparer_dualites}).   C'est un complexe dualisant pour le sch\'{e}ma $Z$, puisque $\Rrr / \aaa$ est un anneau de Gorenstein.   \'{E}non\c{c}ons le th\'{e}or\`{e}me que l'on va prouver dans cet appendice~:

\begin{thm}
\label{gille_commute_avec_morita}
Sous les notations et hypoth\`{e}ses ci-dessus, supposons que le triplet $(X,\Ppp,h)$ satisfait \`{a} la condition \ref{morita_cond}.   Il existe alors une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories avec dualit\'{e}s
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{CD}
&&
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Aaa)),\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii},1,\varpi^{\Iii} \Big)
@>{(\F_{(X,\Ppp,h)},\,\phi_{(X,\Ppp,h)}^{(0)})}>{\sim}>
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb)),\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii},1,\epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Iii} \Big) \\
\end{CD}
$$
qui respecte les filtrations par la codimension de ces cat\'{e}gories (cf. (\ref{filtration_coh})).   Soit $u : Z\hookrightarrow X$ un sous-sch\'{e}ma de Gorenstein connexe d\'{e}fini par un id\'{e}al $\,\aaa$ de codimension $r$.   Alors le triplet $(Z,\Ppp_{Z},h_{Z})$ satisfait \'{e}galement \`{a} la condition \ref{morita_cond} et on a un diagramme commutatif
$$
\small
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{CD}
&&
\Big(\D^{b}_{c}(\M(\Aaa)),\T^{r}\cdot\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii},(-1)^{r},(-1)^{\frac{r(r+1)}{2}} \varpi^{\mathcal{\Iii}} \Big)
@>{(\F_{(X,\Ppp,h)},\,\phi_{(X,\Ppp,h)}^{(r)})}>>
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb)),\T^{r}\cdot\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii},(-1)^{r},(-1)^{\frac{r(r+1)}{2}} \epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Iii} \Big)
\\
&& @AA{(\devi^{\Aaa},\eta^{\Aaa})}A @AA{(\devi^{\Bbbb},\eta^{\Bbbb})}A \\
&&
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Aaa/ \aaa)),\mathfrak{D}^{(\Aaa / \aaa,\tau/ \aaa)}_{\Jjj},1,\varpi^{\Jjj} \Big)
@>{(\F_{(Z,\Ppp_{Z},h_{Z})},\,\phi_{(Z,\Ppp_{Z},h_{Z})}^{(0)})}>>
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb/ \aaa)),\mathfrak{D}^{(\Bbbb / \aaa,\nu/ \aaa)}_{\Jjj},1,\epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Jjj} \Big).
\\
\end{CD}
$$
o\`{u} les fl\`{e}ches verticales sont les foncteurs de d\'{e}vissage que l'on rappelle dans la section \ref{subsection_foncteur_devissage} et les autres notations sont comme plus haut.
\end{thm}

\begin{cor}
\label{gille_commute_avec_morita_cor}
Soit $p\leq n$.   Supposons qu'il existe un $\Aaa$-module projectif $\Ppp$ et un $(\Aaa,\tau)$-espace $\epsilon_{0}$-hermitien $(P,h)$ tels que pour tout sous-ensemble fini $\{ x_{1},...,x_{s} \}\subset X^{(t)}$ avec $t\geq p$ et $s\in \mathbb{N}$,
\begin{enumerate}
\item le sch\'{e}ma $Z^{t}_{1,...,s}:=\overline{ \{ x_{1} \} }\cup...\cup\overline{ \{ x_{s} \} }$ avec la structure de sous-sch\'{e}ma r\'{e}duit induite est de Gorenstein et que
\item le triplet $(Z^{t}_{1,..,s},\Ppp_{ Z_{1,...,s} },h_{ Z_{1,...,s} })$ satisfait \`{a} la condition \ref{morita_cond}.
\end{enumerate}
Alors, pour tout $q\in \mathbb{Z}$, le diagramme suivant est commutatif~:
$$
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{CD}
\label{dia_morita_herm}
&& \bigoplus\limits_{x\in X^{(p)}} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}} @>d_{1}^{p,q}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(p+1)}} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}} @>d_{1}^{p+1,q}>> ... @>d_{1}^{n-1,q}>>  \bigoplus\limits_{x\in X^{(n)}} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}} \\
&& @VV{\wr}V @VV{\wr}V && @V{\wr}VV \\
&& \bigoplus\limits_{x\in X^{(p)}} W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}  @>d_{1}^{p,q+1-\epsilon_{0}}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(p+1)}} W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}  @>d_{1}^{p+1,q+1-\epsilon_{0}}>> ... @>{d_{1}^{n-1,q+1-\epsilon_{0}}}>>  \bigoplus\limits_{x\in X^{(n)}} W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}, \\
\end{CD}
$$
o\`{u} pour $x\in X^{(i)}$
$$
W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}}:= W^{q}(\M_{lf}(\Aaa_{x}),\tau_{x},E_{x})
\mbox{\,\,\,\,\,\,\,\,et\,\,\,\,\,\,\,\,}
W^{q}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}:= W^{q}(\M_{lf}(\Bbbb_{x}),\nu_{x},E_{x})
$$
avec $E_{x}=(\Iii_{-i})_{x}$.   Dans ce diagramme les fl\`{e}ches horizontales sont les\linebreak diff\'{e}rentielles de la suite spectrale $E_{1}^{s,t}(\Aaa,\tau,\Rrr)$ (respectivement $E_{1}^{s,t}(\Bbbb,\nu,\Rrr)$) introduite dans la section \ref{groupes_witt_coherents} et les fl\`{e}ches verticales sont les homomorphismes induits sur les termes de ces suites spectrales par les foncteurs de d\'{e}vissage $(u_{ \overline{ \{ x \} } \, * }^{\Aaa},\eta^{\Aaa})$ $(u_{ \overline{ \{ x \} } \, * }^{\Bbbb},\eta^{\Bbbb})$ et le foncteur $\F_{(\overline{ \{ x \} },\Ppp_{ \overline{ \{ x \} } }, h_{ \overline{ \{ x \} } })}$ pour $x\in X$, o\`{u} $u_{\overline{ \{ x \} } } : \overline{ \{ x \} } \hookrightarrow X$ est l'immersion ferm\'{e}e.
\end{cor}

\proof
Posons la notation suivante~:   Soit $u_{Z}:Z\hookrightarrow X$ un sch\'{e}ma tel que le triplet $(Z,P_{Z},h_{Z})$ satisfait \`{a} la condition \ref{morita_cond} et soit $z \in Z$.   Alors on note $\F_{Z,z}$ l'homomorphisme
$$
W^{q}_{\Aaa_{z},\tau_{z}} \longrightarrow W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{z},\nu_{z}}
$$
induit sur les termes des suites spectrales $E_{1}^{s,t}(\Aaa,\tau,\Rrr)$ et $E_{1}^{s,t}(\Bbbb,\nu,\Rrr)$ par les foncteurs de d\'{e}vissage $(u_{ Z \, * }^{\Aaa},\eta^{\Aaa})$ $(u_{ Z \, * }^{\Bbbb},\eta^{\Bbbb})$ et le foncteur $\F_{(Z,\Ppp_{ Z}, h_{Z })}$.

Soit $t\in \{ p,...,n-1 \}$.   Il s'agit de montrer que le diagramme suivant commute~:
$$
\begin{CD}
&& \bigoplus\limits_{x\in X^{(t)}} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}} @>d_{1}^{t,q}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(t+1)}} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}} \\
&& @V{\oplus\F_{ \overline{ \{ x \} } ,x}}VV @VV{\oplus\F_{ \overline{ \{ x \} } ,x}}V && \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\\
&& \bigoplus\limits_{ x\in X^{(t)} } W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}  @>d_{1}^{t,q+1-\epsilon_{0}}>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(t+1)}} W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}. \\
\end{CD}
$$
Soit alors $(a_{1},...,a_{m}) \in \bigoplus\limits_{x\in X^{(t)}} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}}$.   Supposons $a_{i} \in W^{q}_{\Aaa_{x_{i}},\tau_{x_{i}}}$ avec $x_{i}\in X^{(t)}$ pour $1\leq i \leq m$.   Soit $Y:= \overline{ \{ x_{1} \} }\cup...\cup\overline{ \{ x_{m} \} }$.   Observons que l'on a donc $X^{(t)} \cap Y= \{ x_{1},...,x_{m} \}$.   La premi\`{e}re partie du th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita} nous fournit un diagramme commutatif~:
$$
\begin{CD}
&& \bigoplus\limits_{ x_{i} \in \{ x_{1},...,x_{m} \} } W^{q}_{\Aaa_{x_{i}},\tau_{x_{i}}} @>d_{1}^{t,q}|_{ \{ x_{1},...,x_{m} \} }>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(t+1)} \cap Y} W^{q}_{\Aaa_{x},\tau_{x}} \\
&& @V{\oplus\F_{Y,x_{i}}}VV @VV{\oplus\F_{Y,x}}V && \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)\\
&& \bigoplus\limits_{ x_{i} \in \{ x_{1},...,x_{m} \} } W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x_{i}},\nu_{x_{i}}}  @>d_{1}^{t,q+1-\epsilon_{0}}|_{ \{ x_{1},...,x_{m} \} }>> \bigoplus\limits_{x\in X^{(t+1)} \cap Y} W^{q+1-\epsilon_{0}}_{\Bbbb_{x},\nu_{x}}. \\
\end{CD}
$$
La deuxi\`{e}me partie du th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita} appliqu\'{e}e \`{a} $Z=\overline{ \{ x_{i} \} } $ et $X=Y$ montre que la fl\`{e}che $\F_{Y,x_{i}}$ ne d\'{e}pend pas de $Y$, i.e. $\F_{Y,x_{i}}=\F_{\overline{ \{ x_{i} \} },x_{i}}$ pour tout $i\in \{ 1,..,n \}$.   Soit maintenant $x \in X^{(t+1)}$.  Donc la deuxi\`{e}me partie du th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita} appliqu\'{e}e avec $Z=\overline{ \{ x \} } $ et $X=Y$ montre que la fl\`{e}che $\F_{Y,x}$ ne d\'{e}pend pas non plus de $Y$, i.e. $\F_{Y,x} = \F_{\overline{ \{ x \} },x}$.   En tenant compte de la commutativit\'{e} du diagramme $(**)$ on a alors
$$
\big[ \, \big( \bigoplus\limits_{x\in X^{(t+1)}}\F_{ \overline{ \{ x \} } ,x} \big) \, \circ \, d_{1}^{t,q}\,\big] \,\, (a_{1},...,a_{m}) = \big[ \, d_{1}^{t,q+1-\epsilon_{0}} \, \circ \, \big( \bigoplus\limits_{x\in X^{(t)}}\F_{ \overline{ \{ x \} } ,x} \big) \,\big] \,\, (a_{1},...,a_{m}),
$$
i.e. le diagramme $(*)$ commute aussi.
\endproof

\begin{oss}
\label{gille_commute_avec_morita_oss}
On peut probablement prouver le th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita} (et donc le\linebreak corollaire \ref{gille_commute_avec_morita_cor} aussi) sous l'hypoth\`{e}se plus g\'{e}n\'{e}rale que $X$ est un sch\'{e}ma\linebreak (noeth\'{e}rien) admettant un complexe dualisant et pour $\uuu:Z\hookrightarrow X$ un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} quelconque.   En effet \cite{Gil7} montre que $Z$ admet alors \'{e}galement un complexe dualisant et que l'on obtient des foncteurs de d\'{e}vissage $(\devi^{\Aaa},\eta^{\Aaa})$ $(\devi^{\Bbbb},\eta^{\Bbbb})$.   Pourtant la preuve de la proposition \ref{gille_commute_avec_morita_x=z} se simplifie en supposant que $X$ est de Gorenstein, puisque dans ce cas on peut travailler avec les modules de Gorenstein de dimension $0$ (voir section \ref{x=z_et_i=id_section}).   De plus, le th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita} est suffisant pour nos fins dans sa pr\'{e}sente forme.
\end{oss}


\section[L'existence du foncteur de Morita $\F$]{L'existence du foncteur de Morita $\F$}
\label{x=z_et_i=id_section}

Dans cette section on prouve le th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita} pour le cas o\`{u} $X=Z$ et $u=\id$.   Ceci revient \`{a} construire le foncteur $ (\F_{(X,\Ppp,h)},\,\phi_{(X,\Ppp,h)}^{(0)}) $.   Ensuite on g\'{e}n\'{e}ralise ce th\'{e}or\`{e}me au cas d'un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} de Gorenstein quelconque.


\begin{prop}
\label{gille_commute_avec_morita_x=z}
Si $X=Z$ et $u:Z\hookrightarrow X$ est l'identit\'{e}, alors le th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita} est vrai.
\end{prop}

Avant de commencer la preuve, prouvons quelques r\'{e}sultats pr\'{e}liminaires.   Introduisons d'abord la notion de module de Gorenstein de dimension $0$ (cf. \cite[2.11]{Gil1}).   Un module de {\it Gorenstein de dimension $0$} est un $\Rrr$-module $\Mmm$ tel que $\Ext^{i}_{\Rrr}(\Mmm,\Rrr)=0$ pour tout $i\geq 1$.   Notons la cat\'{e}gorie de ces modules $\E(\Rrr)$.   C'est une cat\'{e}gorie exacte contenant $\MP(\Rrr)$, les $\Rrr$-modules projectifs de rang fini.   Par \cite[Thm. 2.15]{Gil3} tous les modules dans $\E(\Rrr)$ sont r\'{e}flexifs et $\mathfrak{D}_{\Rrr}:=\Hom_{\Rrr}(\longunderscore,\Rrr)$ est une dualit\'{e} sur $\E(\Rrr)$.   Notons $\E_{b}(\Aaa):=\E(\Rrr)\cap\mathcal{M}(\Aaa)$.

Il est bien connu que la premi\`{e}re hypoth\`{e}se de la condition \ref{morita_cond} implique que l'on a une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories $\M(\Aaa)\longrightarrow \M(\Bbbb)$, dite \'{e}quivalence de Morita~:
$$
\F':\Mmm \mapsto \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Mmm).
$$
Comme $\Ppp$ est un $\Aaa$-module projectif, on dispose d'un isomorphisme naturel
$$
\varphi_{\Mmm} : \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa) \otimes_{\Aaa} \Mmm \stackrel{\simeq}\longrightarrow \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Mmm)
$$
pour tout $\Mmm \in \M(\Aaa)$, \cite[I.9.1.5]{Kn}.   On obtient donc l'\'{e}quivalence de Morita aussi par
$$
\F:\Mmm \mapsto \Qqq \otimes_{\Aaa} \Mmm,
$$
o\`{u} $\Qqq$ est le $\Aaa$-module \`{a} droite (et $\Bbbb$-module \`{a} gauche) $\Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa)$.

Le lemme suivant montre que l'\'{e}quivalence de Morita se restreint \`{a} la sous-cat\'{e}gorie des modules de Gorenstein de dimension $0$.

\begin{lem}
\label{gorenstein_morita}
L'\'{e}quivalence de Morita $\,\M(\Aaa) \stackrel{\sim}\longrightarrow \M(\Bbbb)$ se restreint en une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories $\,\E_{b}(\Aaa) \stackrel{\sim}\longrightarrow \mathcal{E}_{b}(\Bbbb)$.
\end{lem}

\proof
Il s'agit de v\'{e}rifier que si $\Mmm \in \M(\Aaa)$ est tel que $\Ext_{\Rrr}^{i}(\Mmm,\Rrr)=0$ pour tout $i\geq 1$, alors
$$
\Ext_{\Rrr}^{i}(\Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Mmm),\Rrr) = \Ext_{\Rrr}^{i}(\Qqq \otimes_{\Aaa} \Mmm,\Rrr)=0
$$
pour tout $\M \in \E_{b}(\Aaa)$ et tout $i\geq 1$.   Il suffit de montrer cela pour $\Ppp=\Aaa$.   Comme $\Hom_{\Aaa}(\Aaa,\Mmm)\simeq \Aaa \otimes_{\Aaa} \Mmm \simeq \Mmm$, le lemme suit.   Observons que pour $F'$ l'\'{e}quivalence inverse de $\E_{b}(\Bbbb)\longrightarrow \mathcal{E}_{b}(\Aaa)$ est donn\'{e}e par $\Nnn\mapsto \Hom_{\Bbbb}(\Qqq,\Nnn)$ et pour $F$ elle est donn\'{e}e par $\Nnn \longrightarrow \Ppp \otimes_{\Bbbb} \Nnn$, cf. \cite[I.9.1.3, 3)]{Kn}.
\endproof

\noindent Dans notre cas, on dispose d'un $(\Aaa,\tau)$-espace $\epsilon_{0}$-hermitien
$$
h:\Ppp \longrightarrow \overline{\Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa)}.
$$
Observons que l'on a donc un $(\Bbbb,\nu)$-espace $\epsilon_{0}$-hermitien
$$\widetilde{h}:\Qqq \longrightarrow \overline{\Hom_{\Bbbb}(\Qqq,\Bbbb)},
$$
o\`{u} $\Qqq$ est vu ici comme $\Bbbb$-module \`{a} gauche.   En effet, l'isomorphisme des $\Bbbb$-modules \`{a} gauches
$$
h:\overline{P} \longrightarrow \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa)
$$
est $\Bbbb$-lineaire.  Par \cite[I.9.1.3. 3)]{Kn} on a un isomorphisme de $\Aaa$-$\Bbbb$-bimodules $\Ppp \simeq \Hom_{\Bbbb}(\Qqq,\Bbbb)$ et par d\'{e}finition $\Qqq = \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa)$.   On obtient donc un isomorphisme
$$
\widetilde{h}:=h^{-1}:\Qqq \stackrel{\sim}\longrightarrow \overline{ \Hom_{\Bbbb}(\Qqq,\Bbbb)  }.
$$
Rappelons \'{e}galement que l'on dispose de deux dualit\'{e}s diff\'{e}rentes sur $\E_{b}(\Aaa)$ et $\E_{b}(\Bbbb)$~:
\begin{enumerate}
\item La cat\'{e}gorie $\E_{b}(\Aaa)$ est munie de la dualit\'{e} $\overline{\Hom_{\Aaa}(\longunderscore,\Aaa)}$ et $\E_{b}(\Bbbb)$ est munie de la dualit\'{e} $\overline{\Hom_{\Bbbb}(\longunderscore,\Bbbb)}$.
\item Les deux cat\'{e}gories sont munies des dualit\'{e}s $\overline{\Hom_{\Rrr}(\longunderscore,\Rrr)}$ (pour les involutions $\tau$ et $\nu$ respectivement).
\end{enumerate}
Par le lemme \ref{forme_trace} et (\ref{duals_coincide}) les traces r\'{e}duites $\tr_{\Aaa/\Rrr}$ et $\tr_{\Bbbb / \Rrr}$ induisent des isomorphismes
$$
\rho_{\longunderscore,\Aaa}:\overline{\Hom_{\Aaa}(\longunderscore,\Aaa)} \stackrel{\sim} \longrightarrow \overline{\Hom_{\Rrr}(\longunderscore,\Rrr)}
$$
et
$$\rho_{\longunderscore,\Bbbb}:\overline{\Hom_{\Bbbb}(\longunderscore,\Bbbb)} \stackrel{\sim} \longrightarrow \overline{\Hom_{\Rrr}(\longunderscore,\Rrr)}.
$$
Il suit que les deux dualit\'{e}s sur $\E_{b}(\Aaa)$ (resp. $\E_{b}(\Bbbb)$) sont isomorphes.   On obtient donc un espace $\epsilon_{0}$-hermitien
$$
h': \Ppp \stackrel{h}\longrightarrow \overline{ \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa)} \stackrel{\rho_{\Ppp,\Aaa}}\vlongrightarrow \overline{ \Hom_{\Rrr}(\Ppp,\Rrr)}
$$
pour la dualit\'{e} $\overline{\Hom_{\Rrr}(\longunderscore,\Rrr)}$ sur $\E_{b}(\Aaa)$ et \'{e}galement un espace $\epsilon_{0}$-hermitien
$$
\widetilde{h}': \Qqq \stackrel{\widetilde{h}}\longrightarrow \overline{ \Hom_{\Bbbb}(\Qqq,\Bbbb)} \stackrel{\rho_{\Qqq,\Bbbb}}\vlongrightarrow \overline{ \Hom_{\Rrr}(\Qqq,\Rrr)}
$$
pour la dualit\'{e} $\overline{\Hom_{\Rrr}(\longunderscore,\Rrr)}$ sur $\E_{b}(\Bbbb)$.   Soit
$$
b': \Ppp \times \Ppp \longrightarrow \Rrr
$$
la forme $\epsilon_{0}$-hermitienne adjointe \`{a} $h'$ \cite[I.2.2.]{Kn} et soit
$$
\widetilde{b}': \Qqq \times \Qqq \longrightarrow \Rrr
$$
la forme $\epsilon_{0}$-hermitienne adjointe \`{a} $\widetilde{h}'$.   Par des r\'{e}sultats dans \cite{Kn}, on obtient alors des \'{e}quivalences qui pr\'{e}servent les dualit\'{e}s sur les sous-cat\'{e}gories des modules de Gorenstein de dimension $0$.   Plus pr\'{e}cis\'{e}ment, on a la proposition suivante~:

\begin{prop}
\label{morita_globale_prop}
\begin{enumerate}
\item 
L'\'{e}quivalence de cat\'{e}gories $\F'$ devient un foncteur qui pr\'{e}serve les dualit\'{e}s induites par $\overline{\Hom_{\Aaa}(\longunderscore,\Aaa)}$ sur $\E_{b}(\Aaa)$ et par\linebreak $\overline{\Hom_{\Bbbb}(\longunderscore,\Bbbb)}$ sur $\E_{b}(\Bbbb)$ avec la transformation de dualit\'{e}s
$$
\phi'_{\Mmm} : \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\overline{\Hom_{\Aaa}(\Mmm,\Aaa)}) \longrightarrow \overline{\Hom_{\Bbbb}(\Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Mmm),\Bbbb)}
$$
d\'{e}finie par
$$
f \mapsto (g \mapsto  h^{-1} \circ f^{\sharp} \circ \varpi^{\sharp}_{\Mmm} \circ g),
$$
cf. \cite[II.3, p.82]{Kn}.
\item
L'\'{e}quivalence de cat\'{e}gories $\F$ devient un foncteur qui pr\'{e}serve les dualit\'{e}s induites par $\overline{\Hom_{\Rrr}(\longunderscore,\Rrr)}$ sur $\E_{b}(\Aaa)$ et par $\overline{\Hom_{\Rrr}(\longunderscore,\Rrr)}$ sur $\E_{b}(\Bbbb)$ avec la transformation de dualit\'{e}s
$$
\phi_{\Mmm} : \Qqq \otimes_{\Aaa} \overline{\Hom_{\Rrr}(\Mmm,\Rrr)} \longrightarrow \overline{\Hom_{\Rrr}(\Qqq \otimes_{\Aaa} \Mmm,\Rrr)}
$$
donn\'{e}e par
$$
\phi_{\Mmm}=(\rho^{-1}_{\Qqq \otimes \Mmm,\Bbbb}) \, \circ \, \overline{\Hom_{\Bbbb}(\varphi_{\Mmm},\Bbbb)} \, \circ \, \phi'_{\Mmm}\, \circ \, \varphi_{\overline{\Hom_{\Aaa}(\Mmm,\Aaa)}} \, \circ \, (\id_{\Qqq} \otimes \rho_{\Mmm,\Aaa}).
$$
Explicitement, l'homomorphisme $\phi_{\Mmm}$ est donn\'{e}e par
$$
q \otimes f \,\mapsto \,(\,q' \otimes m \mapsto \tr_{\Bbbb/\Rrr}(\widetilde{b}'(q,q'))\,f(m)\,),
$$
\end{enumerate}
Les deux foncteurs envoient un $(\Aaa,\tau)$-espace $\epsilon$-hermitien sur un $(\Bbbb,\nu)$-espace $\epsilon\epsilon_{0}$-hermitien et ils sont isom\'{e}triques. Ils induisent en particulier les m\^{e}mes isomorphismes sur les groupes de Witt.
\end{prop}

\proof
Pour la premi\`{e}re partie, il s'agit de reproduire la preuve de \cite[II.3, p.82-83]{Kn}, en vu du lemme \ref{gorenstein_morita}.   La deuxi\`{e}me est une cons\'{e}quence de \cite[II.3.4.2]{Kn}.
\endproof

\noindent {\it D\'{e}monstration de la proposition \ref{gille_commute_avec_morita_x=z}}.
Il s'agit d'\'{e}tendre ce r\'{e}sultat au\linebreak cat\'{e}gories d\'{e}riv\'{e}es, puis au groupes de Witt.   \'{E}tendons d'abord le r\'{e}sultat aux cat\'{e}gories d\'{e}riv\'{e}es de $\E_{b}(\Aaa)$ et $\E_{b}(\Bbbb)$.   Soient $\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Rrr}$ et $\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Rrr}$ les dualit\'{e}s (d\'{e}riv\'{e}es) $\overline{ \Hom_{\Rrr}(\longunderscore, \Rrr) }$ sur $\E_{b}(\Aaa)$ ($D^{b}(\E_{b}(\Aaa))$) et $\E_{b}(\Aaa)$ ($D^{b}(\E_{b}(\Bbbb))$).   Le morphisme de bi-dual est not\'{e} $\varpi^{\Rrr}$ dans les deux cas.  Alors un espace sym\'{e}trique dans\linebreak $(\E_{b}(\Aaa),\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Rrr},\varpi^{\Rrr})$ est la m\^{e}me chose qu'un espace anti-sym\'{e}trique dans\linebreak $(\E_{b}(\Aaa),\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Rrr},\epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Rrr})$.   En tenant compte de l'isomorphisme (\ref{duals_coincide}), c'est-\`{a}-dire que le foncteur de Morita induit une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories exactes avec dualit\'{e}~:
$$
\Big( \E_{b}(\Aaa),\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Rrr},\varpi^{\Rrr}\Big)  \stackrel{\simeq}\longrightarrow \Big( \E_{b}(\Bbbb),\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Rrr},\epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Rrr} \Big) .
$$
On peut maintenant d\'{e}river cette \'{e}quivalence et on obtient une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories triangul\'{e}es avec dualit\'{e} $1$-exacte~:
\begin{equation}
\label{gorenstein_iso}
\Big( \D^{b}(\E_{b}(\Aaa)),\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Rrr},1,\varpi^{\Rrr} \Big) \stackrel{\simeq}\longrightarrow  \Big( \D^{b}(\E_{b}(\Bbbb)),\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Rrr},1,\epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Rrr} \Big).
\end{equation}
Ensuite, observons qu'un r\'{e}sultat de Bass \cite[Thm. 8.2]{Bs1} montre que le foncteur naturel $\D^{b}(\E_{b}(\Aaa))\longrightarrow \D_{c}^{b}(\M_{qc}(\Aaa))$ est une \'{e}quivalence (cf. \cite[2.11]{Gil1}).   En choisissant un quasi-isomorphisme ${\Rrr\stackrel{\sim}\longrightarrow\Iii_{\bullet}}$, on obtient une \'{e}quivalence de cat\'{e}gories avec dualit\'{e}s $1$-exactes
$$
\Big( \D^{b}(\E_{b}(\Aaa)),\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Rrr},1, \varpi^{\Rrr} \Big) \stackrel{\simeq}\longrightarrow \Big( \D_{c}^{b}(\M_{qc}(\Aaa)), \mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii_{\bullet}},1, \varpi^{\Iii_{\bullet}}  \Big),
$$
o\`{u} $\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii_{\bullet}}$ d\'{e}signe la dualit\'{e} $\overline{ \Hom_{\Rrr} (\longunderscore,\Iii_{\bullet}) } $ sur $\D^{b}_{c}(\M_{qc}(\Aaa))$ et $\D^{b}_{c}(\M_{qc}(\Bbbb))$, et o\`{u} $\varpi^{\Iii}$ est le morphisme de bidualit\'{e} correspondant.   Une telle \'{e}quivalence existe \'{e}galement pour $(\Bbbb,\nu)$, donc l'\'{e}quation (\ref{gorenstein_iso}) se traduit alors, en vu du lemme \ref{d_m_cq_egale_d_m}, en une \'{e}quivalence des cat\'{e}gories triangul\'{e}es avec dualit\'{e} $1$-exacte (dans le sens de \cite[Sect. 1.1]{Gil6})~:
$$
\F:\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Aaa)),\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii},1,\varpi^{\Iii} \Big) \stackrel{\simeq}\longrightarrow
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb)),\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii},1,\epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Iii} \Big)
$$
avec une transformation de dualit\'{e}s
$$
\phi: \F \,\,\cdot\,\, \mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii} \stackrel{\sim}\longrightarrow  \mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii} \,\, \cdot \,\, \F,
$$
qui est une extension du morphisme $\phi$ de \cite[II.3, p.82]{Kn} aux cat\'{e}gories d\'{e}riv\'{e}es.  On donne une description d\'{e}taill\'{e}e de l'isomorphisme naturel $\phi$ dans la preuve du th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita_general}.   On pose alors $ \F_{(X,\Ppp,h)}:= \F$ et $\phi_{(X,\Ppp,h)}^{(0)} :=\phi$ et la preuve de la proposition est termin\'{e}e.

\endproof

\section[Le cas g\'{e}n\'{e}ral]{Le cas g\'{e}n\'{e}ral}

Il reste maintenant \`{a} d\'{e}montrer le cas g\'{e}n\'{e}ral o\`{u} $u:Z\hookrightarrow X$ est une immersion ferm\'{e}e et $Z$ est un sous-sch\'{e}ma ferm\'{e} connexe de Gorenstein quelconque.   Pour cela nous introduisons le foncteur de d\'{e}vissage (cf. \cite[Lem. 2.5]{Gil7} et \cite[Sect. 3.4]{Gil6}).

\subsection[Le foncteur de d\'{e}vissage $\devi$]{Le foncteur de d\'{e}vissage $\devi$}
\label{subsection_foncteur_devissage}

On peut supposer que $X$ est connexe et que notre r\'{e}solution injective $\Iii_{\bullet}$ de $\Rrr$ est une r\'{e}solution injective minimale (cf. d\'{e}finition \ref{env_inj}).   Comme $Z$ est de Gorenstein et connexe, les points maximaux de $Z$ (correspondant aux id\'{e}aux premiers minimaux de $\Rrr / \aaa$) sont tous de la m\^{e}me codimension dans $X$, disons $r$ (voir \cite[Cor.18.10]{Ei}).   On obtient alors une r\'{e}solution injective $\Jjj_{\bullet} \simeq \Hom_{\Rrr}(\Rrr / \aaa,\Iii_{\bullet}\,[r\,])$ du $\Rrr / \aaa$-module $\Rrr / \aaa$, d\'{e}finie par
$$
\Jjj_{-s}:=\{ x\in \Iii_{-(s+r)}\, | \, \, \aaa\,\cdot \, x =0 \},
$$
en degr\'{e} $-s$ avec $\Jjj_{-s}=0$ si $-s\geq 0$ (voir lemme \ref{comparer_dualites}), qui est en fait une r\'{e}solution injective minimale.   C'est un complexe dualisant pour le sch\'{e}ma $Z$.   On consid\`{e}re alors les foncteurs de d\'{e}vissage suivants (cf. \cite[Sect. 5.1]{Gil1})~:
$$
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Aaa/ \aaa)),\mathfrak{D}^{(\Aaa / \aaa,\tau/ \aaa)}_{\Jjj},1,\varpi^{\Jjj} \Big)
\stackrel{(\devi^{\Aaa},\eta^{\Aaa})}\vlongrightarrow
\Big(\D^{b}_{c}(\M(\Aaa)),\T^{r}\cdot\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii},(-1)^{r},(-1)^{\frac{r(r+1)}{2}} \varpi^{\mathcal{\Iii}} \Big)
$$
et
$$
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb/ \aaa)),\mathfrak{D}^{(\Bbbb / \aaa,\nu/ \aaa)}_{\Jjj},\epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Jjj} \Big)
\stackrel{(\devi^{\Bbbb},\eta^{\Bbbb})}\vlongrightarrow
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb)),\T^{r}\cdot\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii},(-1)^{r},(-1)^{\frac{r(r+1)}{2}} \varpi^{\Iii} \Big).
$$
On se limite \`{a} expliciter le foncteur $(\devi^{\Aaa},\eta^{\Aaa})$ puisque le foncteur $(\devi^{\Bbbb},\eta^{\Bbbb})$ est analogue.   On a
$$
\devi^{\Aaa}: \D^{b}_{c}(\M(\Aaa / \aaa )) \longrightarrow \D^{b}_{c}(\M(\Aaa))
$$
$$
\Mmm_{\bullet} \mapsto _{\Aaa}\Mmm_{\bullet}
$$
et
$$
\devi^{\Bbbb}: \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb / \aaa )) \longrightarrow \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb))
$$
$$
\Mmm_{\bullet} \mapsto _{\Bbbb}\Mmm_{\bullet}
$$
o\`{u} $_{\Aaa}\Mmm_{\bullet}$ (resp. $_{\Bbbb}\Mmm_{\bullet}$) est le complexe en $\Aaa / \aaa$-modules (resp. $\Bbbb / \aaa$-modules) $\Mmm_{\bullet}$ vu comme complexe en $\Aaa_{\bullet}$-modules (resp. $\Bbbb$-modules $\Mmm_{\bullet}$).   La transformation naturelle
$$
\eta^{\Aaa} : \devi^{\Aaa} \,\, \cdot \,\, \mathfrak{D}^{(\Aaa/ \aaa,\tau/ \aaa)}_{\Jjj} \longrightarrow  (\T^{r} \cdot \mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii}) \,\, \cdot \,\, \devi^{\Aaa}
$$
est d\'{e}finie comme suit.   Soit $\Mmm_{\bullet}\in \D^{b}_{c}(\mathcal{\Aaa}/ \aaa)$.   Le morphisme $\eta^{\Aaa}_{\Mmm_{\bullet}}$
$$
\eta^{\Aaa}_{\Mmm_{\bullet}}: _{\Aaa}\overline{ \Hom_{\Rrr / \aaa} (\Mmm_{\bullet},\Jjj_{\bullet}) } \longrightarrow \overline{ \Hom_{\Rrr}(_{\Aaa}\Mmm_{\bullet},\Iii_{\bullet}) }\,[r\,]
$$
est d\'{e}fini (cf. \cite[3.4]{Gil6}) en d\'{e}gr\'{e} $i$ par (pour les conventions des signes, voir le d\'{e}but de ce chapitre)
$$
\bigoplus_{s=0}^{n-r} \overline{ \Hom_{\Rrr / \aaa}(\Mmm_{-i-s},\Jjj_{-s}) }
\longrightarrow
\bigoplus_{s=-r}^{n-r}\overline{ \Hom_{\Rrr}(_{\Aaa}\Mmm_{-i-s},\Iii_{-(s+r)}) }
$$
$$
(f_{0},...,f_{n-r}) \mapsto (0,..,0,(-1)^{ri} \iota_{0} f_{0},(-1)^{r(i+1)} \iota_{1} f_{1},...,(-1)^{r(i+n-r)} \iota_{n-r} f_{n-r}),
$$
o\`{u} $\iota_{s}: \Jjj_{-s} \hookrightarrow \Iii_{-(s+r)}$ (cf. \cite[3.4]{Gil6}).   Observons que ceci est bien un isomorphisme par la remarque \ref{env_inj_oss} et par le lemme \ref{comparer_dualites}.   On v\'{e}rifie que la transformation naturelle ainsi d\'{e}finie est bien une transformation de dualit\'{e}s, cf. \cite[3.4]{Gil6}.

\begin{oss}
\label{iso_a^r}
On observe que le morphisme $\eta^{\Aaa}_{\Mmm_{\bullet}}$ est (trivialement) la composition des morphismes
$$
_{\Aaa}\overline{ \Hom_{\Rrr / \aaa} (\Mmm_{\bullet},\Jjj_{\bullet}) } \stackrel{\widetilde{\eta}^{\Aaa}_{\Mmm_{\bullet}}}\vlongrightarrow \overline{ \Hom_{\Rrr}(_{\Aaa}\Mmm_{\bullet},\Iii_{\bullet}\,[r\,]) } \stackrel{a^{(r)}}\vlongrightarrow \overline{ \Hom_{\Rrr}(_{\Aaa}\Mmm_{\bullet},\Iii_{\bullet}) } \,[r\,],
$$
o\`{u} $\widetilde{\eta}^{\Aaa}_{\Mmm_{\bullet}}$ est le morphisme de complexes d\'{e}fini en degr\'{e} $i$ par
$$
\bigoplus_{s=0}^{n-r} \overline{ \Hom_{\Rrr / \aaa}(\Mmm_{-i-s},\Jjj_{-s}) }
\longrightarrow
\bigoplus_{s=-r}^{n-r}\overline{ \Hom_{\Rrr}(_{\Aaa}\Mmm_{-i-s},\Iii_{-(s+r)}) }
$$
$$
(f_{0},...,f_{n-r}) \mapsto (0,..,0,\iota_{0} f_{0},\iota_{1} f_{1},...,\iota_{n-r} f_{n-r})
$$
et o\`{u} $a^{(r)}=a_{\Mmm_{\bullet},\Iii_{\bullet}}^{(r)}$ est l'isomorphisme de complexes d\'{e}fini dans la remarque \ref{morphisme_a^r_oss}, i.e. en degr\'{e} $i$ on a
$$
\bigoplus_{s=-r}^{n-r}\overline{ \Hom_{\Rrr}(_{\Aaa}\Mmm_{-i-s},\Iii_{-(s+r)}) }
\longrightarrow
\bigoplus_{s=-r}^{n-r}\overline{ \Hom_{\Rrr}(_{\Aaa}\Mmm_{-i-s},\Iii_{-(s+r)}) }
$$
$$
(g_{-r},...,g_{n-r})\mapsto   ((-1)^{r(i-r)} g_{-r},(-1)^{r(i-r+1)} g_{-r+1},...,(-1)^{ri} g_{0},...,(-1)^{r(i+n-r)} g_{n-r}).
$$
\end{oss}


\subsection[Compatibilit\'{e} des foncteurs $\F$ et $\devi$]{Compatibilit\'{e} des foncteurs $\F$ et $\devi$}

Il reste \`{a} montrer que l'\'{e}quivalence de Morita $\F$ est compatible avec le foncteur de d\'{e}vissage $\devi$.

Soient $(\Aaa,\tau)$ et $(\Bbbb,\nu)$ deux alg\`{e}bres d'Azumaya sur $\Rrr$ \`{a} involutions de premi\`{e}re esp\`{e}ce et $(\Ppp,h')$ un $(\Aaa,\tau)$ espace $\epsilon_{0}$-hermitien tel que le triplet $(X,\Ppp,h)$ satisfait \`{a} la condition \ref{morita_cond}.   Alors on a
$$
\Bbbb \simeq \End_{\Aaa}(\Ppp)
$$
et $\nu$ est l'involution adjointe sur $\Bbbb$ d\'{e}finie par
$$
\nu(g):=h^{-1}\,\circ\,g^{\sharp}\,\circ\,h,
$$
o\`{u} on rappelle que $g^{\sharp}=\Hom_{\Aaa}(g,\Aaa)$, cf. section \ref{subsection_formes_involutions}.

\noindent Selon \cite[I.2.2.]{Kn}, l'espace
$$
h:\Ppp \stackrel{\sim}\longrightarrow \overline{ \Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa)  }
$$
correspond \`{a} une forme $\epsilon_{0}$-hermitienne (r\'{e}guli\`{e}re)
$$
b:\Ppp \times \Ppp \longrightarrow \Aaa
$$
telle que $h : x \mapsto (y \mapsto b(x,y))$.   Observons que si $x\in \,\aaa\Ppp$, alors $b(x,y)\in \,\aaa\Aaa$ pour tout $y\in \Ppp$, par sesquilin\'{e}arit\'{e}.   On obtient donc une forme $\epsilon_{0}$-hermitienne r\'{e}guli\`{e}re
$$
\overline{b}:\Ppp / \aaa \times \Ppp / \aaa \longrightarrow \Aaa / \aaa
$$
Elle induit un espace $\epsilon_{0}$-hermitien
$$
\overline{h} : \mathcal{\Ppp} / \aaa \stackrel{\sim}\longrightarrow \overline{ \Hom_{\mathcal{\Aaa} / \aaa}(\Ppp / \aaa,\Aaa / \aaa)  }
$$
$$
\overline{h} : \overline{x} \mapsto (\overline{y} \mapsto \overline{b}(\overline{x},\overline{y})).
$$
Et on voit que le triplet $(Z, \Ppp_{Z},h_{Z})$ (o\`{u} $Z=\Spec \Rrr / \aaa$ et donc $\Ppp / \aaa =\Ppp_{Z}$ et $\overline{h}=h_{Z}$) satisfait \'{e}galement \`{a} cette condition, i.e. on a
$$
\Bbbb / \aaa\simeq \End_{\Aaa / \aaa}(\Ppp / \aaa)
$$
et $\overline{\nu}$ est l'involution adjointe sur $\Bbbb / \aaa$ d\'{e}finie par
$$
\overline{\nu}(\overline{g}):=\overline{h}^{-1}\,\circ\,\overline{g}^{\flat}\,\circ\,\overline{h},
$$
o\`{u} $\overline{g}^{\flat}=\Hom_{\Aaa / \aaa}(\overline{g},\Aaa / \aaa)$.   Dans la section \ref{x=z_et_i=id_section} on a observ\'{e} que l'on obtient \`{a} partir de $h$ un $(\Bbbb,\nu)$-espace $\epsilon_{0}$-hermitien
$$
\widetilde{h}:\Qqq \longrightarrow \overline{\Hom_{\Bbbb}(\Qqq,\Bbbb)}.
$$
De la m\^{e}me fa\c{c}on, on obtient \`{a} partir de $\overline{h}$ un $(\overline{\Bbbb},\overline{\nu})$-espace $\epsilon_{0}$-hermitien
$$
\widetilde{\overline{h}}:\Qqq / \aaa \longrightarrow \overline{\Hom_{\Bbbb / \aaa}(\Qqq / \aaa,\Bbbb / \aaa)}.
$$
Notons, comme dans la section \ref{x=z_et_i=id_section},
$$
\overline{h}':\Ppp / \aaa \longrightarrow \overline{\Hom_{\Rrr / \aaa}(\Ppp / \aaa,\Rrr / \aaa)},
$$
et
$$
\widetilde{\overline{h}}':\Qqq / \aaa \longrightarrow \overline{\Hom_{\Rrr / \aaa}(\Qqq / \aaa,\Rrr / \aaa)}.
$$
les espaces $\epsilon_{0}$-hermitiens obtenus par le lemme \ref{forme_trace} et l'\'{e}quation (\ref{duals_coincide}) pour les dualit\'{e}s $\overline{\Hom_{\Rrr / \aaa}(\longunderscore, \Rrr / \aaa)}$ sur $\D^{b}(\mathcal{E}_{b}(\Aaa))$ et $\D^{b}(\mathcal{E}_{b}(\Bbbb))$ respectivement.   Ensuite notons $\overline{b}'$ la forme hermitienne adjointe \`{a} $\overline{h}'$ et $\widetilde{\overline{b}}'$ la forme hermitienne adjointe \`{a} $\widetilde{\overline{h}}'$.

Pour d\'{e}montrer le th\'{e}or\`{e}me \ref{gille_commute_avec_morita} dans le cas g\'{e}n\'{e}ral il s'agit donc de d\'{e}montrer la compatibilit\'{e} suivante~:

\begin{thm}
\label{gille_commute_avec_morita_general}
Avec les notations comme plus haut, le diagramme suivant commute~:
$$
\small
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{CD}
&&
\Big(\D^{b}_{c}(\M(\Aaa)),\T^{r}\cdot\mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii},(-1)^{r},(-1)^{\frac{r(r+1)}{2}} \varpi^{\mathcal{\Iii}} \Big)
@>{(\F,\phi^{(r)})}>>
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb)),\T^{r}\cdot\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii},(-1)^{r},(-1)^{\frac{r(r+1)}{2}} \epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Iii} \Big)
\\
&& @AA{(\devi^{\Aaa},\eta^{\Aaa})}A @AA{(\devi^{\Bbbb},\eta^{\Bbbb})}A \\
&&
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Aaa/ \aaa)),\mathfrak{D}^{(\Aaa / \aaa,\tau/ \aaa)}_{\Jjj},1,\varpi^{\Jjj} \Big)
@>{(\overline{\F},\phi^{(0)})}>>
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb/ \aaa)),\mathfrak{D}^{(\Bbbb / \aaa,\nu/ \aaa)}_{\Jjj},1,\epsilon_{0}\cdot\varpi^{\Jjj} \Big).
\\
\end{CD}
$$
o\`{u}
$$
(\F,\phi^{(r)})=(\F_{(X,\Ppp,h')},\phi^{(r)}_{(X,\Ppp,h')})
$$
et
$$
(\overline{\F},\phi^{(0)})=(\F_{(Z,\Ppp_{Z},h'_{Z})},\phi^{(0)}_{(Z,\Ppp_{Z},h'_{Z})})
$$
sont les extensions \'{e}videntes du foncteur $(\F,\phi)$ de \cite[II.3, p.82]{Kn}.
\end{thm}
\begin{proof}
Les foncteurs $(\devi^{\Aaa},\eta^{\Aaa})$ et $(\devi^{\Bbbb},\eta^{\Bbbb})$ ont d\'{e}j\`{a} \'{e}t\'{e} d\'{e}finis dans la section \ref{subsection_foncteur_devissage}.   Donnons maintenant par souci d'exhaustivit\'{e} des d\'{e}finitions d\'{e}taill\'{e}es des foncteurs $(\F,\phi^{(r)})$ et $(\overline{\F},\phi)=(\overline{\F},\phi^{(0)})$.   Commen\c{c}ons par le foncteur $(\F,\phi^{(r)})$.   On a
$$
\F: \D^{b}_{c}(\M(\Aaa)) \longrightarrow \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb))
$$
$$
\Mmm_{\bullet} \mapsto \Qqq \otimes_{\Aaa} \Mmm_{\bullet}
$$
(on rappelle que $\Qqq=\Hom_{\Aaa}(\Ppp,\Aaa)$) et $\phi^{(r)}$ est une transformation de dualit\'{e} pour $\F$~:
$$
\phi^{(r)} : \F \,\,\cdot\,\, (\T^{r} \cdot \mathfrak{D}^{(\Aaa,\tau)}_{\Iii_{\bullet}}) \longrightarrow  (\T^{r}\cdot\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii_{\bullet}}) \,\, \cdot \,\, \F,
$$
qui \'{e}tend la transformation de dualit\'{e}s $\phi$ de la proposition \ref{morita_globale_prop}.   Soit\linebreak $\Mmm_{\bullet}\in \D^{b}_{c}(\M(\Aaa))$.   L'isomorphisme naturel
$$
\phi^{(r)}_{\Mmm_{\bullet}} : \Qqq \otimes_{\Aaa} \overline{\Hom_{\Rrr}(\Mmm_{\bullet},\Iii_{\bullet})}\,[r\,] \stackrel{\sim}\longrightarrow \overline{\Hom_{\Rrr}(\Qqq \otimes_{\Aaa} \Mmm_{\bullet},\Iii_{\bullet})}\,[r\,]
$$
est donc d\'{e}fini en degr\'{e} $i$ comme suit.   Soit
$$
q\otimes f_{-i-s} \in \Qqq \otimes_{\Aaa} \overline{\Hom_{\Rrr}(\Mmm_{-i-s},\Iii_{-(s+r)})}.
$$
On d\'{e}finit alors
$$
\Qqq \otimes_{\Aaa} \overline{\Hom_{\Rrr}(\Mmm_{-i-s},\Iii_{-(s+r)})} \stackrel{\sim}\longrightarrow \bigoplus\limits_{t=-r}^{n-r} \overline{\Hom_{\Rrr}(\Qqq \otimes_{\Aaa} \Mmm_{-i-t},\Iii_{-(t+r)})}
$$
par
$q\otimes f_{-i-s} \mapsto \left\{ \begin{array}{ll}
q' \otimes m \mapsto \tr_{\Bbbb/ \Rrr}(\widetilde{b}'(q,q'))\,f_{-i-s}(m) \, & \mbox{si  $s=t$} \\
0 \,  & \mbox{si  $s\neq t.$}
\end{array} \right.$

De la m\^{e}me fa\c{c}on, on d\'{e}finit le foncteur $(\overline{\F},\phi)$.   On a
$$
\overline{\F}~: \D^{b}_{c}(\M(\Aaa / \aaa )) \longrightarrow \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb / \aaa ))
$$
$$
\Mmm_{\bullet} \mapsto \Qqq / \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \Mmm_{\bullet}
$$
et $\phi$ est une transformation de dualit\'{e}s pour $\overline{\F}$~:
$$
\phi=\phi^{(0)} : \overline{\F} \,\, \cdot \,\, \mathfrak{D}^{(\Aaa/ \aaa,\tau/ \aaa)}_{\Jjj_{\bullet}} \longrightarrow  \mathfrak{D}^{(\Bbbb/ \aaa,\nu/ \aaa)}_{\Jjj_{\bullet}} \,\, \cdot \,\, \overline{\F}.
$$
Soit $\Mmm_{\bullet}\in \D^{b}_{c}(\M(\Aaa))$.   L'isomorphisme naturel
$$
\phi^{(0)}_{\Mmm_{\bullet}} : \Qqq/ \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \overline{\Hom_{\Rrr/ \aaa}(\Mmm_{\bullet},\Jjj_{\bullet})} \stackrel{\sim}\longrightarrow \overline{\Hom_{\Rrr/ \aaa}(\Qqq/ \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \Mmm_{\bullet},\Jjj_{\bullet})}
$$
est donc d\'{e}fini en degr\'{e} $i$ comme suit.   Soit
$$q\otimes f_{-i-s} \in \Qqq/ \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \overline{\Hom_{\Rrr/ \aaa}(\Mmm_{-i-s},\Jjj_{-s})}.
$$
On d\'{e}finit alors
$$
\Qqq/ \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \overline{\Hom_{\Rrr/ \aaa}(\Mmm_{-i-s},\Jjj_{-s})} \stackrel{\sim}\longrightarrow \bigoplus\limits_{t=0}^{n} \overline{\Hom_{\Rrr/ \aaa}(\Qqq/ \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \Mmm_{-i-t},\Jjj_{-t})}
$$
par
$q\otimes f_{-i-s} \mapsto \left\{ \begin{array}{ll}
q' \otimes m \mapsto \tr_{\Bbbb/ \aaa/ \Rrr/ \aaa}(\widetilde{\overline{b}}'(q,q'))\,f_{-i-s}(m) \, & \mbox{si  $s=t$} \\
0 \,  & \mbox{si  $s\neq t.$}
\end{array} \right.$


On obtient alors les deux foncteurs pr\'{e}servant les dualit\'{e}s ${(\F \cdot \devi^{\Aaa},\phi^{(r)}_{\devi^{\Aaa}} \cdot \F(\eta))}$ et ${(\devi^{\Bbbb} \cdot \overline{\F}, \eta^{\Bbbb}_{\overline{\F}} \cdot \devi^{\Bbbb}(\phi^{(0)}))}$~:
$$
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\mathcal{\Aaa}/ \aaa)),\mathfrak{D}^{(\Aaa / \aaa,\tau/ \aaa)}_{\Jjj},\varpi^{\Jjj} \Big)
\longrightarrow
\Big( \D^{b}_{c}(\M(\Bbbb)),\T^{r}\cdot\mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii},(-1)^{r},(-1)^{\frac{r(r+1)}{2}} \varpi^{\Iii} \Big)
$$

Il s'agit de voir qu'ils sont isom\'{e}triques dans le sens de \cite[Def. 1.2]{Gil6}.   C'est-\`{a}-dire qu'il faut trouver un isomorphisme naturel de foncteurs
$$
s: \,\,{(\F \cdot \devi^{\Aaa},\phi^{(r)}_{\devi^{\Aaa}} \cdot \F(\eta^{\Aaa}))} \stackrel{\simeq}\longrightarrow {(\devi^{\Bbbb} \cdot \overline{\F}, \eta^{\Bbbb}_{\overline{\F}} \cdot \devi^{\Bbbb}(\phi^{(0)}))}
$$
qui est compatible avec le foncteur de translation $T$ et qui satisfait \`{a}~:
\begin{equation}
\label{2eme_condition}
\phi^{(r)}_{\devi^{\Aaa}} \,\, \circ \,\, F(\eta^{\Aaa}) \,\, = \,\,(\T^{r} \cdot \mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii}) (s) \,\, \circ \,\, \eta^{\Bbbb}_{\overline{\F}} \,\, \circ \,\, \devi^{\Bbbb}(\phi^{(0)})\,\, \circ \,\,  s_{\mathfrak{D}^{(\Aaa/ \aaa,\tau / \aaa)}}.
\end{equation}
Soit donc $s$ la fl\`{e}che de tensorisation par $\Aaa / \aaa$.   Alors pour tout $\Fff_{\bullet}\in \D^{b}_{c}(\M(\Aaa/ \aaa))$
$$s_{\Fff_{\bullet}}: \Qqq \otimes_{\Aaa}\, (_{\Aaa}\Fff_{\bullet}) \stackrel{\longunderscore\,\otimes_{\Aaa} \Aaa / \aaa}\vlongrightarrow \,\,\,_{\Bbbb}(\Qqq/ \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \Fff_{\bullet}),
$$
o\`{u} $_{\Aaa}\Fff_{\bullet}$ est le complexe $\Fff_{\bullet}$ vu comme complexe de $\Aaa$-modules par la projection $\Aaa\longrightarrow \Aaa / \aaa$, et analoguement pour $_{\Bbbb}(\Qqq/ \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \Fff_{\bullet})$.

V\'{e}rifions d'abord la compatibilit\'{e} de $s$ avec le foncteur de translation.   Soit donc $\Fff_{\bullet}\in \D^{b}_{c}(\M(\Aaa/ \aaa))$.   Il s'agit de v\'{e}rifier que le diagramme suivant commute~:
$$
\begin{CD}
&& \,\,\,\Qqq \otimes_{\Aaa}\, (_{\Aaa}\Fff_{\bullet})\,[1\,] \,\,@>{\T_{\D^{b}_{c}(\M(\Bbbb))} s_{\Fff_{\bullet}}}>> \,\,\,\,\,_{\Bbbb}(\Qqq/ \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \Fff_{\bullet}) \,[1\,]\\
&& @| @| \\
&& \,\,\,\Qqq \otimes_{\Aaa}\, (_{\Aaa}\Fff_{\bullet}\,[1\,])  \,\,\,@>>{s_{\T_{\D^{b}_{c}(\M(\Aaa / \aaa))}(\Fff_{\bullet})}}> \,\,\,_{\Bbbb}(\Qqq/ \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \Fff_{\bullet}\,[1\,]) ,\\
\end{CD}
$$
ce qui est le cas puisque les foncteurs $_{\Bbbb} ( \Qqq/\aaa \otimes_{\Aaa / \aaa} \longunderscore)$  et $\Qqq \otimes_{\Aaa} \,\, (_{\Aaa}\longunderscore)$ sont exacts, donc se calculent degr\'{e} par degr\'{e}.

Pour v\'{e}rifier l'\'{e}quation (\ref{2eme_condition}), il faut montrer que le diagramme suivant commute~:
$$
\begin{CD}
&& _{\Bbbb} (\Qqq / \aaa \otimes_{\Aaa/ \aaa} \,\,\,\overline{ \Hom_{\Rrr / \aaa} (\Fff_{\bullet},\Jjj_{\bullet}) }) @<{s_{\mathfrak{D}^{(\Aaa / \aaa,\tau / \aaa)}_{(\Fff_{\bullet})}}}<< \Qqq \otimes_{\Aaa} \,\,(_{\Aaa}\overline{ \Hom_{\Rrr/\aaa}(\Fff_{\bullet},\Jjj_{\bullet}) } ) \\
&&  @V{\devi^{\Bbbb}(\phi_{\Fff_{\bullet}})}VV @VV{\F(\eta^{\Aaa}_{\Fff_{\bullet}})}V \\
&& _{\Bbbb} \overline{ \Hom_{\Rrr/ \aaa} (\Qqq / \aaa \otimes_{\Aaa / \aaa} \Fff_{\bullet},\Jjj_{\bullet}) } &&  \Qqq \otimes_{\Aaa} \,\,\,\overline{\Hom_{\Rrr}(_{\Aaa}\Fff_{\bullet},\Iii_{\bullet}) } \,[r\,]  \\
&& @V{\eta^{\Bbbb}_{\overline{\F}(\Fff_{\bullet})}}VV  @VV{\phi^{(r)}_{\devi^{\Aaa}(\Fff_{\bullet})} }V \\
&& \overline{ \Hom_{\Rrr} (_{\Bbbb}(\Qqq / \aaa \otimes_{\Aaa / \aaa} \Fff_{\bullet}),\Iii_{\bullet}   ) } \,[r\,] @>{(\T^{r} \cdot \mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii}) (s_{\Fff_{\bullet}})}>> \overline{ \Hom_{\Rrr} (\Qqq \otimes_{\Aaa} \,\,(_{\Aaa}\Fff_{\bullet}),\Iii_{\bullet}   ) }  \,[r\,]   \\
\end{CD}
$$
Supposons alors que $q\otimes f_{-i-s}$ est un \'{e}lement du complexe\linebreak $\Qqq \otimes_{\Aaa} \,\,(_{\Aaa}\overline{ \Hom_{\Rrr/\aaa}(\Fff_{\bullet},\Jjj_{\bullet}) } )$ en degr\'{e} $i$.   L'image de cet \'{e}l\'{e}ment par la composition
$$
\phi^{(r)}_{\devi^{\Aaa}(\Fff_{\bullet})}  \,\, \circ \,\, \F(\eta^{\Aaa}_{\Fff_{\bullet}})
$$
est l'homomorphisme
$$
q'\otimes m \mapsto (-1)^{ri}\tr_{\Bbbb/\Rrr}(\widetilde{b}'(q',q))\iota f_{-i-s}(m)
$$
et l'image par la composition
$$
\,\,(\T^{r} \cdot \mathfrak{D}^{(\Bbbb,\nu)}_{\Iii}) (s_{\Fff_{\bullet}}) \,\, \circ \,\, \widetilde{\eta}^{\Bbbb}_{\overline{\F}(\Fff_{\bullet})} \,\, \circ \,\, \devi^{\Bbbb}(\phi^{(0)}_{\Fff_{\bullet}}) \,\, \circ \,\,  s_{\mathfrak{D}^{(\Aaa/ \aaa,\tau / \aaa)}(\Fff_{\bullet})}
$$
est l'homomorphisme
$$
q'\otimes m \mapsto (-1)^{ri}\tr_{\Bbbb / \aaa / \Rrr / \aaa}(\widetilde{\overline{b}}'(q',\overline{q}))\iota f_{-i-s}(m).
$$
Mais $f_{-i-s}(m) \cdot \, \aaa  =0$, comme $f_{-i-s}(m)\in \Jjj_{-s}$.   Donc l'\'{e}galit\'{e} des deux homomorphismes est une cons\'{e}quence du fait que l'on a
$$
\tr_{\Bbbb/\Rrr}(\widetilde{b}'(q',q)) \otimes_{\Rrr} \Rrr / \aaa = \tr_{\Bbbb / \aaa / \Rrr / \aaa}(\widetilde{\overline{b}}'(q',\overline{q}))
$$
et le th\'{e}or\`{e}me est prouv\'{e}.
\end{proof}



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\noindent Wilhelm Alexander Steinmetz-Zikesch\newline
Laboratoire de Math\'ematiques\newline
B\^atiment 425\newline
Universit\'e Paris-Sud XI\newline
91405 Orsay\newline
France\newline
alexander.steinmetz@gmail.fr



\end{document}
