FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK

Zusammenfassung

Im Erstantrag wurde der Erwartung Ausdruck verliehen, dass der Projektzeitraum 2001-2003 zur fruchtbarsten Periode unserer Gruppe, deren Anfänge auf dem SFB 343 ``Diskrete Strukturen in der Mathematik'' zurückgehen, überhaupt wird, wenn die DFG ihre gewohnte Unterstützung gibt.

Die Erwartungen in der Forschung wurden mehr als erfüllt, da das Projekt neben der von der DFG gewährten Unterstützung noch außerordentlich profitierte von dem uns gewährten Forschungsprojekt ``General Theory of Information Transfer and Combinatorics'' am Zentrum für interdisziplinäre Forschung (Zif) mit dem intensiven Forschungsjahr 1.10.02 - 31.8.03. In diesem Rahmen war es insbesondere möglich durch die Einstellungen von Dr. L. Bäumer in der Zeit vom 1.7.2001 - 30.9.2004 und Dr. N. Cai in der Zeit vom 1.1.2003 - 30.9.2004 als Mitarbeiter am Zif das DFG-Projekt finanziell zu entlasten. Entscheidender, die Interaktion mit etwa 100 Fellows in zwei jeweils vierstündigen wöchentlichen Seminaren während des Forschungsjahres führte zu einer Flut von Ideen und auch zahlreichen Veröffentlichungen.

In der ersten Phase des Projektes (2001-2006) gab es zwei Durchbrüche. Ein neuer Entropiebegriff, genannt Identifikationsentropie, beschreibt die mittlere Schnittzahl bei der Identifikation für Quellen angemessen (operationale Rechtfertigung des Begriffs) sowie die Boltzmann'sche Entropie die mittlere Codierlänge für Quellenspeicherungen in Shannon's Fundamentalsatz beschreibt.

Shannon's wechselseitige Information stellt sich als adäquater für die Theorie der Identifikation über störende Kanäle mit Rückkopplung heraus als dieses für die Theorie der Übertragung, für welche sie von Shannon eingeführt wurde, der Fall ist!

Daneben gab es eine ganze Reihe beachtenswerter Fortschritte. Als Beispiel sei hier hervorgehoben, dass Katona's bekannte untere Entropieschranke (siehe Ahlswede/Wegener ``Suchprobleme'') für trennende Systeme mit einer Kardinalitätsbeschränkung an die Teilmengen als asymptotisch optimal nachgewiesen wurde.

Eine Reihe von Ergebnissen, die gemeinsam mit Koautoren erzielt wurden, findet man in der Darstellung der erreichten Ergebnisse.

In der kurzen Phase des Fortsetzungsantrages (31.8.2006-29.2.2008) konnten mit den bewilligten Mitteln (beantragt waren 7 Jahresstellen BAT IIa und 1,5 Jahresstellen konnten gegeben werden) nur einige Aufgaben bearbeitet werden. Fortschritte wurden ermittelt zu B.4 (Search and sorting), C.1 (Statistics and Identification) und C.4 (Security in Database).