Un facteur direct canonique de la K-théorie d’anneaux d’entiers algébriques non exceptionnels

hinda hamraoui

Résumé – Soient R un anneau d’entiers algébriques non exceptionnel au sens de [6], ne contenant pas \sqrt{−1}, et K son corps des fractions. Notons ξ_{2^{m}} une racine 2-primitive de l’unité d’ordre maximal 2^{m} dans K(\sqrt{−1}) et μ_{2^{m}} le groupe cyclique engendré par ξ_{2^{m}}. Dans [6], Harris et Segal ont donné des corps résiduels k de R tels que μ_{2^{∞}}(R(\sqrt{−1})) → μ_{2^{∞}}(k(\sqrt{−1})) soit un isomorphisme équivariant pour l’action galoisienne de Z/2. En particulier, le groupe semi-diédral Δ := Z/2 ⋉ μ_{2^{m}} est un sous-groupe commun à GL(2, k) et GL(2, R). Aux inclusions naturelles Δ → GL(2, k) et Δ → GL(2, R) sont associées des applications ϕ_{k} : B(Σ_{∞} ∫ Δ)^{+} → BGL(k)^{+} et ϕ_{R} : B(Σ_{∞} ∫ Δ)^{+} → BGL(R)^{+}. Notons Lϕ_{k} et Lϕ_{R} les applications induites sur les localisés en 2. Soit s une section à droite quelconque de Lϕ_{k}, voir [6]. Le but de cette Note est d’étendre les résultats de [3, theorem 4.1 (2)] au cas où R est non exceptionnel ne contenant pas \sqrt{−1}, c’est-à-dire de démontrer que le triangle

B(Σ_{∞} ∫ Δ)_{2}^{+} ⟶^{Lϕ_{k}} BGL(k)_{2}^{+}
(Lϕ_{R}) ↘  (Lϕ_{R}∘s) ↙
BGL(R)_{(2)}^{+}

(1)

est commutatif à homotopie près.

A canonical direct summand of the K-theory of non-exceptional rings of algebraic integers

Abstract – Let R be a ring of algebraic integers, non-exceptional in the sense of [6] and not containing \sqrt{−1}, and let K be its quotient field. Let ξ_{2^{m}} be a 2-primary root of unity of maximal order 2^{m} in K(\sqrt{−1}) and μ_{2^{m}} the cyclic group generated by ξ_{2^{m}}. In [6], Harris and Segal have given residue class fields k of R such that μ_{2^{∞}}(R(\sqrt{−1})) → μ_{2^{∞}}(k(\sqrt{−1})) is an isomorphism, equivariant for the Galois action of Z/2. In particular, the dihedral group Δ : Z/2 ⋉ μ_{2^{m}} is a common subgroup to GL(2, k) and GL(2, R).

The natural embeddings Δ → GL(2, k) and Δ → GL(2, R) induce maps ϕ_{k} : B(Σ_{∞} ∫ Δ)^{+} → BGL(k)^{+}, ϕ_{R} : B(Σ_{∞} ∫ Δ)^{+} → BGL(R)^{+} and corresponding maps Lϕ_{k}, Lϕ_{R} after localisation at 2. Let s be any right inverse of Lϕ_{k} see [6]. The aim of this Note is to extend the results of [3, theorem 4.1 (2)] to the case where R is non exceptional and \sqrt{−1} does not belong to R, i.e. to prove that the triangle (1) above is homotopy commutative.

Théorème 1 Le triangle (1) est commutatif à homotopie près.

Corollaire 2 Pour toutes sections s, s′ de l’application Lϕ_{k}, les applications Lϕ_{R} ∘ s et Lϕ_{R} ∘ s′ sont homotopes.

Remarque 3 En passant aux groupes d’homotopie dans le corollaire précédent, on conclut que le facteur direct de K_{n}(R) ⊗ Z_{(2)} [6, corollaire 3.2] est indépendant de la section choisie dans le cas où l’anneau est non exceptionnel ne contenant pas \sqrt{−1}.

La stratégie suivie dans cette Note est celle développée dans [3] par Dwyer, Friedlander et Mitchell pour un anneau contenant \sqrt{−1}. En se fondant essentiellement sur les résultats de Kahn sur les représentations linéaires irréductibles et primitives d’un 2-groupe sur un corps non exceptionnel ne contenant pas \sqrt{−1} [7], le théorème de Rector [9], la théorie de Morita dans le cas linéaire et un théorème de May [8], on prouvera le théorème 1.

Abridged English Version Let S = R[1/2], S′ = S[μ_{2^{n}}] and ρ the S-representation of Δ described bellow. Using the well-known listing of the sub-groups of Δ and [7, sections 8.1, 8.3], we prove in corollaries 10 and 11 that for θ : H → Δ, g : H → Δ, f : H → μ_{2^{∞}}(S′), the S′-projectif-module S[\sqrt{−1}] ⊗_{SH} S′ is S′- free and the-S-projectif-module S[\sqrt{−1}] ⊗_{SH} S[\sqrt{−1}] is S-free. To each finite group G and commutative unitary ring D, one associates the following Grothendieck groups: the Burnside ring A(G) [8], the generalised Burnside group A(G, Δ)

[3] and the ring of D- linear representations R_{D}(G) [10]. The groups A(G, Δ), R_{D}(G) are A(G)-modules. Denote by R_{D}(G)^{(2)} the sub-A(G)-module of R_{D}(G) of elements of even D-rank. The D-module D[\sqrt{−1}] is a left D[Δ]- module through the scalar multiplication action of μ_{2^{m}} and the Galois action of Z/2. This induces the A(G)-morphism ψ_{D} : A(G, Δ) → R_{D}(G)^{(2)} defined by ψ_{D}(G ×_{θ} Δ) = D[G] ⊗_{D[H]} D[\sqrt{−1}] where θ : H → Δ. Thanks to [7, proposition 7.3, section 8], we prove in proposition 12 that for every simple F [G]-module V, F = K, k, with F′ = End_{F G}V and G a 2-group there exists a subgroup H of G and a homomorphism f : H → Δ such that [V] = [F G⊗_{F H} F (\sqrt{−1})] or [V] = [F G⊗_{F H} F] if F′ = F or f : H → μ_{2^{∞}}(F′) such that [V] = [F G ⊗_{F H} F′] if F′ ≠ F. Using Morita theory and the localisation exact sequence in K-theory, we prove theorem 15 asserting that the kernels of ψ_{k} and ψ_{R} are equal. We then deduce, thanks to isomorphisms due to May [8] and Rector [9], the proof of theorem 1.

Le groupe semi-diédral Δ (voir le résumé).

L’ anneau D peut désigner R, S = R[1/2], K ou k. Le D-module D[\sqrt{−1}] est muni d’une structure de D[Δ]-module à gauche via l’action de μ_{2^{m}} par multiplication scalaire et l’action galoisienne de Z/2 dont l’élément non trivial est noté σ. Dans le cas non exceptionnel ne contenant pas \sqrt{−1} [7], σ envoie ξ_{2^{m}} sur ξ_{2^{m}}^{−1+2^{m−1}} et le produit est défini par (1, ξ_{2^{m}}^{k})(σ, ξ_{2^{m}}^{t}) = (σ, ξ_{2^{m}}^{k(−1+2^{m−1})+t}). Les éléments (1, ξ_{2^{m}}^{t}) et ξ_{2^{m}}^{t} ont le même ordre, alors que les éléments (σ, ξ_{2^{m}}^{2t+1}) et (σ, ξ_{2^{m}}^{2t})ont pour ordres respectifs 2 et 4. Les sous-groupes de Δ sont ceux inclus dans {(1, 1), (1, −1), (σ, ξ_{2^{m}}^{2t}), (σ, −ξ_{2^{m}}^{2t})} et ceux contenant un élément d’ordre 4 c-a-d Δ, ou diédraux, ou quaternioniens généralisés, ou cycliques.

Notons ρ la S-représentation de Δ décrite dans le résumé et j : Δ_{1} → Δ un sous-groupe de Δ. Si x ∈ S[\sqrt{−1}], on note h ∗ x ∈ S[\sqrt{−1}] l’image de x par l’action de h ∈ Δ_{1}.

Soit ξ une racine de l’unité d’ordre 2^{r}: on définit L_{ξ}^{+} = \{x ∈ S[\sqrt{−1}], (σ, ξ^{2})∗ x = x\}, L_{ξ}^{−} = \{x ∈ S[\sqrt{−1}], (σ, ξ^{2}) ∗ x = −x\}.

Lemme 4 a) Si r = 1, L_{ξ}^{+} = S et L_{ξ}^{−} = iS. b) Si r = 2, L_{ξ}^{+} = iS et L_{ξ}^{−} = S. c) Si r est compris entre 3 et m−1, L_{ξ}^{+} = ξ^{−1}S et L_{ξ}^{−} = ξ^{−1−2^{r−2}}S. d)Si r = m, L_{ξ}^{+} = ξ^{−1+2^{m−2}}S et L_{ξ}^{−} = ξ^{−1}S. Dans tous ces cas, on a L_{ξ}^{+} ⊕ L_{ξ}^{−} = S[\sqrt{−1}].

Preuve. Cela se démontre par un calcul au cas par cas.

Corollaire 5 Si Δ_{1} est un sous-groupe de {(1, 1), (1, −1), (σ, ξ_{2^{m}}^{2t}), (σ, −ξ_{2^{m}}^{2t})}, alors: j^{∗}(ρ) = M_{1} ⊕ M_{2} avec M_{1} et M_{2} deux S[Δ_{1}]-modules S-libres de rang 1.

Lemme 6 Si Δ_{1} contient des éléments d’ordre 4 alors: j^{∗}(ρ) ⊗_{S} K est irréductible et pour tout x dans S[\sqrt{−1}], il existe h_{t} dans Δ_{1} et λ_{t} dans S tels que x = ∑ λ_{t}(h_{t} ∗ 1).

Preuve. Δ_{1} est Δ, diédral, quaternionien généralisé ou cyclique, j^{∗}(ρ) n’est autre que la représentation définie dans [7, sections 8.1, 8.3], donc irréductible. Soit x = x_{1} + ix_{2} ∈ S[\sqrt{−1}], x = x_{1}(1 ∗ 1) + x_{2}(i ∗ 1), si i ∈ Δ_{1}. Sinon, on a S[\sqrt{−1}] = S[ξ^{−1}] pour toute ξ une racine primitive et donc x = a_{1}(1 ∗ 1) + a_{2}((σ, ξ) ∗ 1), a_{1}, a_{2} ∈ S. □

Notons K(\sqrt{−1}) la K-représentation de Δ décrite ci-dessus. On définit: 1)K(\sqrt{−1})^{opp} comme la K-représentation à droite de Δ_{1} associée à K(\sqrt{−1}) avec l’action v ∗ h = h^{−1} ∗ v. 2)K(\sqrt{−1})^{d} = Hom_{K}(K(\sqrt{−1})^{opp}, K) munie de sa structure induite de K(Δ_{1})-module à gauche .

Remarque 7 Le K-isomorphisme: K(\sqrt{−1})^{d} → K(\sqrt{−1}) envoyant fsur v de telle manière que f(u) = T r_{K(\sqrt{−1})/K}(vu) pour tout u ∈ K(\sqrt{−1}), induit sur K(\sqrt{−1}) une structure de KΔ_{1}-module à gauche: si (1, i) ∈ Δ_{1} ou (σ, ξ) ∈ Δ_{1}, on a pour tout v ∈ K(\sqrt{−1}), (1, i) ∗ v = iv et (σ, ξ) ∗ v = ξv̄.

Lemme 8 Si Δ_{1} est le sous-groupe cyclique engendré par (1, i) ou (σ, ξ), ξ une racine primitive, alors: S[\sqrt{−1}] ⊗_{SΔ_{1}} S[\sqrt{−1}] est 0 ou S[\sqrt{−1}].

Preuve. On a les monomorphismes suivants:

S[\sqrt{−1}]⊗_{SΔ_{1}}S[\sqrt{−1}] → K(\sqrt{−1})⊗_{KΔ_{1}}K(\sqrt{−1}) → Hom_{KΔ_{1}}(K(\sqrt{−1})^{d}, K(\sqrt{−1})).

D’après le lemme de Schur, le dernier groupe est 0 sauf si Δ_{1} opère comme dans la remarque 7. Si (1, i) ∈ Δ_{1}, l’application S[Δ_{1}] → S[\sqrt{−1}] à Σs_{t}h_{t} on associe Σs_{t}j(h_{t}) est surjective et le morphisme S[\sqrt{−1}] ⊗_{SΔ_{1}} S[\sqrt{−1}] → S[\sqrt{−1}] associant xy à x⊗y est un isomorphisme. 2) Si (σ, ξ) ∈ Δ_{1}, (σ, ξ)∗v = P (i∗v)P^{−1}, P une matrice inversible à coefficients dans S. Notons < (1, i) > le groupe cyclique engendré par (1, i), on a S[\sqrt{−1}] ⊗_{S<(1,i)>} S[\sqrt{−1}] → S[\sqrt{−1}] ⊗_{SΔ_{1}} S[\sqrt{−1}] un isomorphisme, ce qui achève la preuve.

Lemme 9 Si Δ_{1} est un sous-groupe non cyclique de Δ, alors: S[\sqrt{−1}] ⊗_{SΔ_{1}} S[\sqrt{−1}] est 0 ou S.

Preuve. Si Δ_{1} est non cyclique, End_{KΔ_{1}}K(\sqrt{−1}) = K [7]et K(\sqrt{−1}) ⊗_{KΔ_{1}}

K(\sqrt{−1}) →^{T r(xy)} K est un isomorphisme. L’inclusion S → K induit le carré commutatif suivant:

K(\sqrt{−1}) ⊗_{KΔ_{1}} K(\sqrt{−1}) ⟶^{T r(xy)} K
↑  ↑
S[\sqrt{−1}] ⊗_{SΔ_{1}} S[\sqrt{−1}] ⟶^{T r(xy)} S

Comme S[\sqrt{−1}] ⊗_{SΔ_{1}} S[\sqrt{−1}] →^{T r(xy)} S est déja surjective, c’est un isomorphisme. □

Soient S′ = S[μ_{2^{n}}] et H un groupe fini.

Corollaire 10 Soient θ : H → Δ, f : H → μ_{2^{∞}}(S′). Alors tout S′-module projectif de la forme S[\sqrt{−1}] ⊗_{SH} S′ est S′- libre.

Preuve. Soit Δ_{1} = θ(H). Supposons que Δ_{1} contient un élément d’ordre 4: d’après le lemme 6, l’application S′ → S[\sqrt{−1}]⊗_{SΔ_{1}} S′ associant à x l’élément 1 ⊗_{SΔ_{1}} x est surjective. Comme S[\sqrt{−1}] ⊗_{SΔ_{1}} S′ est S′-projectif, c’est 0 ou S′. Sinon, d’après le corollaire 5, S[\sqrt{−1}]⊗_{SΔ_{1}} S′ = M_{1} ⊗_{SΔ_{1}} S′ ⊕M_{2} ⊗_{SΔ_{1}} S′. Donc S′-libre, par le même argument. □

Corollaire 11 Pour tout θ : H → Δ, f : H → Δ, tout S-module projectif de la forme S[\sqrt{−1}] ⊗_{SH} S[\sqrt{−1}] est S-libre.

Preuve. D’après le corollaire 10, on peut supposer que θ(H) ou f(H) contient un élément d’ordre 4. En particulier, les représentations j^{∗}(ρ) ⊗_{S} K et k^{∗}(ρ) ⊗_{S} K sont irréductibles, avec j : θ(H) → Δ et k : f(H) → Δ. Compte tenu du monomorphisme S[\sqrt{−1}] ⊗_{SH} S[\sqrt{−1}] → K(\sqrt{−1}) ⊗_{KH} K(\sqrt{−1}), on peut supposer que j^{∗}(ρ) ⊗_{S} K est isomorphe à la duale de k^{∗}(ρ) ⊗_{S} K. On conclut grâce aux lemmes 8 et 9. □

Des groupes de Grothendieck

À tout groupe G, on associe comme dans [10], [8] et [3]

• La catégorie des G-ensembles à gauche finis. Son groupe de Grothendieck est noté A(G) (anneau de Burnside de G); c’est un anneau commutatif unitaire pour la loi [P].[Q] = [P × Q].

• La catégorie des G-ensembles à gauche finis munis d’une action à droite libre de Δ. Son groupe de Grothendieck est noté A(G, Δ) (groupe de Burnside généralisé); c’est un Z-module libre de base les G ×_{θ} Δ = {(g, t) ∈ G × Δ, (gk, t) = (g, θ(k)t)} où θ : H → Δ est un homomorphisme d’un sous-groupe H de G vers Δ.

• La catégorie des D[G]-modules à gauche de type fini D-projectifs. Son groupe de Grothendieck est noté R_{D}(G) (représentations linéaires): il a une structure d’anneau commutatif unitaire muni du produit tensoriel sur D. Désignons par R_{D}(G)^{(2)} le sous-A(G)-module de R_{D}(G) formé par les éléments de D-rang pair.

Le groupe A(G, Δ) est un A(G)-module pour le produit [P].[Q] = [P ×Q], où G opère diagonalement sur P ×Q et Δ opère uniquement sur le facteur Q. La loi [P].[M] = [DP ⊗_{D} M] donne à R_{D}(G) une structure de A(G)-module, laissant stable R_{D}(G)^{(2)} et dont le complété I(G)-adique est noté R̂_{D}(G).

De plus la structure de D[Δ]-module de D[\sqrt{−1}], donne naissance à un A(G)-morphisme ψ_{D} : A(G, Δ) → R_{D}(G)^{(2)} défini par ψ_{D}(G ×_{θ} Δ) = D[G] ⊗_{D[H]} D[\sqrt{−1}], où θ : H → Δ. L’homomorphisme résiduel R → k induit le triangle commutatif suivant

A(G, Δ) ⟶^{ψ_{R}} R_{R}(G)^{(2)}
ψ_{k} ↘  ↙
R_{k}(G)^{(2)}

Soit F un corps non exceptionnel, par exemple F = K ou k.

Proposition 12 Soient G un 2-groupe et V un F G-module simple non trivial de corps d’endomorphismes F′. Alors, F′ est de la forme F (μ_{2^{n}}), il existe un sous-groupe H de G tel que

• si F′ = F il existe f : H → Δ tels que [V] = [F G ⊗_{F H} F (\sqrt{−1})] ou [V] = [F G ⊗_{F H} F];

• si F′ ≠ F il existe f : H → μ_{2^{∞}}(F′) tel que [V] = [F G ⊗_{F H} F′].

Preuve. On peut supposer V fidèle. D’après [7, proposition 7.3], il existe un sous-groupe H de G de rang normal 1 et une représentation irréductible W de H sur F tels que [V] = [F G ⊗_{F H} W] et End_{F G}V = End_{F H}W = F (μ_{2^{n}}).

D’après [7, tableau fin section 8], on a deux cas: Si F′ = F alors il existe f : H → Δ tels que [W] = [F (\sqrt{−1})] ou [W] = [F], d’après [7, théorème 9.8]. Si F′ ≠ F alors il existe un sous groupe H′ d’indice 2 de H, f : H′ → μ_{2^{∞}}(F′) tels que [W] = [F H ⊗_{F H′} F′]. □

Corollaire 13 Pour tout 2-groupe G, le morphisme ψ_{F} est surjectif scindé.

Preuve. La surjectivité se démontre en utilisant la proposition 12. Dans cette Note, nous n’aurons besoin que de savoir que ψ_{F} est scindé sur son image. C’est clair puisque R_{F} (G) est un Z-module libre. □

Soit V un KG-module simple de corps d’endomorphismes K′. On définit a) [V^{S}] = [SG ⊗_{SH} S[\sqrt{−1}]] si [V] = [KG ⊗_{KH} K(\sqrt{−1})] et b) [V^{S}] = [SG ⊗_{SH} S′] si [V] = [KG ⊗_{KH} K′]. On a End_{KG}[V^{S}] = S dans le cas a) et End_{KG}[V^{S}] = S′ dans le cas b).

Lemme 14 Le module V^{S} est S-libre dans le cas a) et S′-libre dans le cas b) de même rang que V.

Preuve. Dans le cas a), [V^{S}] = [SG ⊗_{SH} S[\sqrt{−1}]] = [∑_{G/H} S[\sqrt{−1}]], donc S-libre. Dans le cas b), [V^{S}] = [SG⊗_{SH} S′] = [∑_{G/H} S′], donc S′-libre. Dans les deux cas, V^{S} ⊗_{S} K = V. □

Soient V_{1} … V_{N} la liste complète des classes d’isomorphisme des K[G]- modules simples à gauche, K_{i} = End_{KG}V_{i}, O_{K_{i}} l’anneau des entiers de K_{i} et S_{i} = O_{K_{i}}[1/2]. Il existe des sous-groupes H_{1} … H_{N}, des KH_{i}-modules W_{i} et des homomorphismes f_{i} : H_{i} → Δ ou f_{i} : H_{i} → μ_{2^{∞}}(K_{i}) tels que [V_{i}] = [KG ⊗_{KH_{i}} W_{i}] comme dans la proposition 12. Notons W_{i}^{S} = S[\sqrt{−1}] si W_{i} = K(\sqrt{−1}), W_{i}^{S} = S_{i} si W_{i} = K_{i} et [V_{i}^{S}] = [SG ⊗_{SH_{i}} W_{i}^{S}]

Comme le corps K est de caractéristique nulle, l’anneau K[G] est semisimple et on a l’isomorphisme K[G] ⟶^{∼} ∏_{i} End_{K_{i}}(V_{i}). Comme l’ordre de G est inversible dans S, on a aussi l’isomorphisme S[G] ⟶^{∼} ∏_{i} End_{S_{i}}(V_{i}^{S}) [3, proof of proposition 3.4]. En tensorisant par k sur S, on a l’isomorphisme k[G] ⟶^{∼} ∏_{i} End_{k_{i}}(V_{i}^{k}). De plus, le carré suivant est commutatif:

\begin{matrix}K[G] & ⟶ & ∏_{i} End_{K_{i}}(V_{i}) \\ ^{K⊗_{S}} ↑ & & ↑ \\ S[G] & ⟶ & ∏_{i} End_{S_{i}}(V_{i}^{S}) \\ ^{k⊗_{S}} ↓ & & ↓ \\ k[G] & ⟶ & ∏_{i} End_{k_{i}}(V_{i}^{k}) \end{matrix}  (2)

Notons K_{0}(D) le groupe de Grothendieck de la catégorie des D-modules à gauche projectifs de type fini. Considérons les morphismes K_{0}(End_{K_{i}}(V_{i}) → K_{0}(K_{i}) (respectivement K_{0}(End_{S_{i}}(V_{i}^{S})) → K_{0}(S_{i}) et K_{0}(End_{k_{i}}(V_{i}^{k})) → K_{0}(k_{i})) associant au End_{K_{i}}(V_{i})-module [M] (respectivement End_{S_{i}}(V_{i}^{S})- module [N] et End_{k_{i}}(V_{i}^{k})-module [P]) le K_{i}-module [V_{i}⊗_{End_{K_{i}}(V_{i})}M] (respectivement le S_{i}-module [V_{i}^{S} ⊗_{End_{S_{i}}(V_{i}^{S})} N] et le k_{i}-module [V_{i}^{k} ⊗_{End_{k_{i}}(V_{i}^{k})} P]). Par la théorie de Morita, ce sont des isomorphismes. Le diagramme (2) donne le diagramme commutatif suivant, dont les morphismes horizontaux sont des isomorphismes définis par f_{i}^{K}[M] = [M ⊗_{K[G]} V_{i}], f_{i}^{S}[N] = [N ⊗_{S[G]} V_{i}^{S}] et f_{i}^{k}[P] = [P ⊗_{k[G]} V_{i}^{k}]:

\begin{matrix}R_{K}(G) & ⟶^{(f_{i}^{K})} & ∏ K_{0}(K_{i}) & \underrightarrow{∏ rg_{i}^{K}} & Z^{N} \\ ^{K⊗_{S}} ↑ & & ↑ \\ R_{S}(G) & ⟶^{(f_{i}^{S})} & ∏ K_{0}(S_{i}) \\ ^{k⊗_{S}} ↓ & & ↓ \\ R_{k}(G) & ⟶^{(f_{i}^{k})} & ∏ K_{0}(k_{i}) & \underrightarrow{∏ rg_{i}^{k}} & Z^{N} \end{matrix}  (3)

Théorème 15 Pour tout 2-groupe G, le noyau de ψ_{R} contient celui de ψ_{k}.

Preuve. On a la suite exacte de localisation

⨁_{m/2} R′_{R/m}(G) → R_{R}(G) →^{σ} R_{S}(G) → 0

avec R′_{D}(G) le groupe de Grothendieck de la catégorie des D(G)-modules à gauche de type fini. Comme Im ψ_{R} ne rencontre pas Ker σ [3, proof of proposition 3.5], d’après le diagramme (3), il suffit de prouver que Ker ψ_{S} contient Ker ψ_{K}. Soient θ : H → Δ et P = (G ×_{θ} Δ), on a:

f_{i}^{S}(ψ_{S}(P)) = ψ_{S}(P) ⊗_{S[G]} V_{i}^{S} = S[\sqrt{−1}] ⊗_{SΔ} S[P] ⊗_{SH_{i}} W_{i}^{S}

Ceci prouve que f_{i}^{S}(ψ_{S}(P)) ne dépend que de la structure de P en tant que (H_{i}, Δ)-ensemble. En décomposant P en union disjointe d’indécomposables H_{i} ×_{θ′} Δ avec θ′ : H′_{i} → Δ et H′_{i} ⊂ H_{i} on a : [f_{i}^{S}(ψ_{S}(H_{i} ×_{θ′} Δ)) = (S[\sqrt{−1}] ⊗_{SH′_{i}} SH_{i}) ⊗_{SH_{i}} W_{i}^{S} = S[\sqrt{−1}] ⊗_{SH′_{i}} W_{i}^{S}] avec H′_{i} qui opère sur S[\sqrt{−1}] via θ′ et sur W_{i}^{S} via la composée de l’inclusion H′_{i} → H_{i} et de f_{i}. D’après les corollaires 10 et 11, f_{i}^{S}(ψ_{S}(H_{i} ×_{θ′} Δ)) est un S_{i}-module libre. Comme (− ⊗_{S} K) injecte dans K_{0}(K_{i}) le sous-groupe de K_{0}(S_{i}) engendré par les S_{i}-modules libres et que (− ⊗_{S} K)f_{i}^{S}(ψ_{S}) = f_{i}^{K}(ψ_{K}), on conclut que les noyaux de ψ_{K} et ψ_{S} sont égaux. □

Remarque 16 Soit σ une section quelconque à droite de ψ_{k}, le théorème 15 implique que ψ_{R} ∘ σ ∘ ψ_{k} = ψ_{R}. Comme ψ_{k} est surjective et que ψ_{k}, ψ_{R} sont des A(G)-morphismes, ψ_{R} ∘ σ est aussi un A(G)-morphisme.

Rappelons que R_{k}(G) est un anneau augmenté par l’homorphisme k-rang, d’idéal d’augmentation I_{k}(G), on constate que:

Proposition 17 Les complétés I_{k}(G)-adique et I(G)-adique de R_{k}(G) sont isomorphes.

Preuve. D’après [5, proposition 2.6] qui est essentiellement fondée sur [4, theorem 4.5]. □

Remarque 18 Curieusement, ce point n’est pas traité dans [3].

Rappelons que dans [3] on a défini des A(G)-morphismes

α : A(G, Δ) → [BG, B(Σ_{∞} ∫ Δ)^{+} × Z]
β_{D} : R_{D}(G) → [BG, BGL(D)^{+} × K_{0}(D)].

Ils se factorisent à travers les complétés I(G)-adique de A(G, Δ) et R_{k}(G) en des isomorphismes: pour le premier, cela résulte de [8] et pour le second, de [9] et de la proposition 17. Notons { \atop R_{k}(G)^{(2)}} le complété I(G)-adique de R_{k}(G)^{(2)}. C’est un sous-groupe de R̂_{k}(G) [1] qu’on peut envoyer injectivement par β̂_{k} dans [BG, BGL(k)^{+} × Z].

De plus, le diagramme suivant est commutatif:

{ \atop R_{k}(G)^{(2)}} ⟶^{β̂_{k}} [BG, BGL(k)^{+}] × Z
ψ̂_{k}↑  ^{ϕ_{k∗}}↑
Â(G, Δ) ⟶^{α̂} [BG, B(Σ_{∞} ∫ Δ)^{+}] × Z
ψ̂_{R}↓  ^{ϕ_{R∗}}↓
R̂_{R}(G) ⟶^{β̂_{R}} [BG, BGL(R)^{+} × K_{0}(R)]

(4)

Rappelons les trois propositions suivantes:

Proposition 19 Soit un 2-groupe G, Y un espace de lacets infini, Y_{(2)} son localisé en 2. Alors l’application naturelle Y → Y_{(2)} induit une bijection [BG, Y] → [BG, Y_{(2)}] .

Preuve. [3, proposition 4.7]. □

Proposition 20 Soit un 2-sous groupe H de Sylow de G. Alors l’application BH_{(2)} → BG_{(2)} induite par l’inclusion de H dans G est une rétraction d’homotopie.

Preuve. [3, proposition 4.4]. □

Proposition 21 Soient l un nombre premier et X un CW complexe et X_{0} ⊂ X_{1} … ⊂ X_{n} ⊂ X_{n+1} … ⊂ X une filtration de X par des sous-complexes X_{n}. Soient Y et Z deux espaces de lacets infinis. Supposons que les groupes H̄^{j}(X_{i}, Z_{(l)}) soient finis pour tout i, j, et que les groupes d’homotopie de Y et de Z sont des Z_{(l)}-modules de type fini. Alors, étant donné f : X → Z et g : Y → Z , il existe h : X → Y avec g.h ∼ f si et seulement si pour chaque n il existe h_{n} : X_{n} → Y telle que g.h_{n} ∼ f_{n} Preuve. [3, proposition 4.2]. □

Remarque 22 1) D’après [3, remarque 4.3], avec les mêmes hypothèses sur X et Z, deux applications f, g : X → Z sont homotopes si et seulement si g_{n} ∼ f_{n} pour chaque n.

2) On va appliquer cette première remarque dans le cas où l = 2, X = (BΣ_{∞} ∫ Δ^{+})_{(2)} et Z = BGL(R)_{(2)}^{+} [3, remarque 4.3].

Preuve du théorème 1. Donnons-nous une section quelconque s de Lϕ_{k}. Soit G un 2-sous-groupe de Sylow de Σ_{m} ∫ Δ. Les inclusions naturelles G → Σ_{m} ∫ Δ → Σ_{∞} ∫ Δ

induisent des applications BG →^{ī} (BΣ_{m} ∫ Δ^{+})_{(2)} ⟶^{f̄_{m}} (BΣ_{∞} ∫ Δ^{+})_{(2)}. Soient f̄ = f̄_{m} ∘ ī, ḡ = s ∘ Lϕ_{k} ∘ f̄ et ḡ_{m} = s ∘ Lϕ_{k} ∘ f̄_{m}. Par la proposition 19, f̄ et ḡ se relèvent en f, g : BG → BΣ_{∞} ∫ Δ^{+}. Il existe a et b dans Â(G, Δ) respectivement envoyés par α̂ sur ([f], 0) et ([g], 0). Comme Lϕ_{k} ∘ ḡ et Lϕ_{k} ∘ f̄ sont homotopes, d’après la proposition 19 on a ϕ_{k}_{∗}[g] = ϕ_{k}_{∗}[f]. Comme β̂_{k} est injective, et d’après la commutativité dans le diagramme (4), on a ψ̂_{k}(a) = ψ̂_{k}(b). D’après le théorème 15 et l’exactitude du foncteur complétion, on a ψ̂_{R}(a) = ψ̂_{R}σψ̂_{k}(a) = ψ̂_{R}σψ̂_{k}(b) = ψ̂_{R}(b), où σ est une section à droite de ψ_{k}. La commutativité du diagramme (4) implique que ϕ_{R}_{∗}[f] = ϕ_{R}_{∗}[g]. D’après la proposition 19, Lϕ_{R}∘f̄ et Lϕ_{R}∘ḡ sont homotopes et donc Lϕ_{R} ∘ Lf̄ et Lϕ_{R} ∘ Lḡ sont homotopes, Lf̄ et Lḡ induites par f̄ et ḡ à BG_{(2)}. D’après la proposition 20, Lϕ_{R} ∘ f̄_{m} et Lϕ_{R} ∘ ḡ_{m} sont homotopes. Donc Lϕ_{R} et Lϕ_{R} ∘ s ∘ Lϕ_{k} sont homotopes d’après la remarque 22.

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Hinda Hamraoui, Université Hassan II, Faculté des Sciences 1, Km 8, route El Jadida, BP 5366 Maârif, Casablanca, Maroc. Adresse électronique:

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