NILPOTENCE, RADICAUX ET STRUCTURES MONOÏDALES

YVES ANDRÉ ET BRUNO KAHN

Table des matières

Introduction 3 I. Radicaux et nilpotence 8 1. Idéaux et radicaux 8 2. Catégories de Wedderburn 16 3. Radical infini et nilpotence renforcée 22 4. Radical et extension des scalaires 24 5. Extensions des scalaires naïve et non naïve 27 Références 31 II. Radical et rigidité 33 6. Généralités 33 7. Traces 38 8. Théorèmes de structure 49 9. Théorie de Kimura (le Pair et l’Impair) 55 10. Exemples et compléments 61 Références 63 III. Sections 65 11. Cohomologie de Hochschild 65 12. Un “théorème de Wedderburn à plusieurs objets” 67 13. Sections monoïdales 72 14. Représentabilité 89 15. Sections et tressages 97 16. Première application : catégories de Kimura 104 Références 105 IV. Enveloppes 106 17. Le cas non monoïdal : enveloppes pro-semi-simples 106 18. Sections monoïdales et foncteurs fibres 110 19. Au-delà de Jacobson-Morozov : enveloppes pro-réductives 116 20. Applications aux groupes algébriques et aux représentations

indécomposables. 130 21. Enveloppes pro-réductives de gerbes 133 Appendice A. Des catégories semi-simples 135 Références 143 Index terminologique 145

Date: 23 avril 2002.

1991 Mathematics Subject Classification. 16N, 16D, 18D10, 18E, 14L, 16G60, 13E10, 17C.

Summary. For K a field, a Wedderburn K-linear category is a Klinear category A whose radical R is locally nilpotent and such that Ā := A/R is semi-simple and remains so after any extension of scalars. We prove existence and uniqueness results for sections of the projection A → Ā, in the vein of the theorems of Wedderburn. There are two such results : one in the general case and one when A has a monoidal structure for which R is a monoidal ideal. The latter applies notably to Tannakian categories over a field of characteristic zero, and we get a generalisation of the Jacobson-Morozov theorem : the existence of a pro-reductive envelope ^{p}Red(G) associated to any affine group scheme G over K (^{p}Red(𝔾_{a}) = SL_{2}, and ^{p}Red(G) is infinite-dimensional for any bigger unipotent group). Other applications are given in this paper as well as in a forthcoming one on motives.

Introduction

En algèbre non commutative, on rencontre d’abord, par ordre de complexité croissant, les anneaux semi-simples, puis les anneaux semi-primai-res, c’est-à-dire les extensions d’un anneau semi-simple par un idéal nilpotent (le radical). Parmi ces derniers, le cas où l’anneau semi-simple est en fait une algèbre séparable est particulièrement agréable puisque, d’après un théorème classique de Wedderburn, l’extension par le radical se scinde.

Par ailleurs, en renversant la tautologie qui identifie tout anneau à une catégorie additive à un seul objet, on peut considérer les catégories additives comme des anneaux à plusieurs objets. Ce point de vue, popularisé par B. Mitchell et R. Street, permet de s’inspirer largement de l’algèbre non commutative dans les questions catégoriques. Comme tous premiers exemples, on obtient la notion d’idéal, et celle de radical, d’une catégorie additive.

Suivant ce point de vue, le premier thème de cet article est l’étude des catégories semi-primaires, extensions d’une catégorie semi-simple par un idéal vérifiant une condition convenable de nilpotence (cf. définition 2.3.1), et de l’analogue catégorique du théorème de Wedderburn. Le second thème est l’étude du radical en présence d’une structure monoïdale. Ces thèmes se rejoignent dans une version monoïdale du théorème de Wedderburn (théorèmes 13.2.1 et 15.3.5).

Nous donnons deux applications principales de ces résultats. La première est la construction de l’enveloppe pro-réductive^{p}Red(G) d’un groupe algébrique linéaire quelconque G en caractéristique nulle. Les représentations indécomposables de G sont en bijection avec les représentations irréductibles de ^{p}Red(G), et ceci caractérise ^{p}Red(G) si K est algébriquement clos (proposition 19.3.4). Le prototype est ^{p}Red(𝔾_{a}) = SL_{2} (théorème de Jacobson-Morozov). Toutefois, ^{p}Red(G) n’est en général pas de dimension finie : cela arrive déjà pour G = 𝔾_{a} × 𝔾_{a}. L’existence même de pRed(G) n’en implique pas moins une série de résultats concrets sur les représentations indécomposables des groupes algébriques.

La seconde application concerne la catégorie des motifs de Grothendieck construits en termes d’une équivalence adéquate quelconque (fixée) pour les cycles algébriques. Nous détaillerons ailleurs (voir déjà [16]), en nous contentant dans ce texte de brèves allusions, notamment dans la deuxième partie. Indiquons ici seulement que l’on s’attend à ce qu’une telle catégorie de motifs soit semi-primaire, de radical compatible à la structure monoïdale (cela découlerait de la conjecture de Beilinson-Murre et des conjectures standard de Grothendieck) ; par ailleurs, nous nous appuyons dans [16] sur notre version monoïdale du théorème de Wedderburn pour construire inconditionnellement les groupes de Galois motiviques.

En fait, l’un des projets directeurs de ce travail a été de séparer nettement ce qui dans la théorie encore largement conjecturale des motifs purs est de nature purement catégorique, et ce qui est de nature géométrique.

Décrivons plus en détail les quatre parties de ce travail.

Les deux premiers paragraphes (et l’appendice) contiennent une discussion des notions catégoriques fondamentales d’idéal, de radical (noté radA), semi-simplicité, semi-primarité, etc...

On y introduit la notion de K-catégorie de Wedderburn, qui joue un rôle important dans la suite (K étant un corps) : en supposant pour simplifier l’existence de biproduits finis, il s’agit d’une catégorie A dont les ensembles de morphismes A(A, B) sont des K-espaces vectoriels (la composition étant K-linéaire), telle que les radA(A, A) soient des idéaux nilpotents des algèbres d’endomorphismes A(A, A), et telle que les K-algèbres (A/radA)(A, A) soient séparables, i.e. absolument semi-simples.

Cette condition de nilpotence est assez faible, et on montre au §3 qu’on ne peut guère la renforcer sans restreindre considérablement le champ d’application de la théorie. Dans le cas de catégories de modules, l’analyse de ces conditions de nilpotence s’avère intimement liée à celle des carquois d’Auslander-Reiten.

Bien que le radical se comporte “mal” en général par extension des scalaires, on montre au §4 que la situation est meilleure dans le cas d’une Kcatégorie de Wedderburn. Cette première partie se termine par l’étude et la comparaison (§5) de deux notions d’extensions des scalaires pour les Kcatégories que l’on rencontre dans la littérature.

L’objectif de la seconde partie est d’étudier en détail le radical d’une catégorie monoïdale symétrique rigide (i.e. dont les objets ont des duaux). Il se trouve qu’il n’est pas compatible à la structure monoïdale en général (un exemple de ce phénomène est donné par la catégorie des représentations de GL_{p} en caractéristique p > 0). Nous comparons chemin faisant le radical au plus grand idéal propre compatible à la structure monoïdale, et analysons le quotient de la catégorie par son radical. Actions du groupe symétrique, puissances extérieures et symétriques sont mises en œuvre dans cette optique. Nous nous sommes largement inspirés du récent travail de Kimura [26] sur les motifs de Chow “de dimension finie”.

On montre que le radical d’une catégorie tannakienne sur un corps de caractéristique nulle est toujours monoïdal, et qu’une telle catégorie est toujours de Wedderburn. Les théorèmes 8.2.2 et 8.2.4 de ce paragraphe, beaucoup plus généraux, contiennent une version abstraite des résultats de Jannsen et de Kimura sur les motifs numériques [24, 26]. Une attention particulière a été portée aux variantes Z/2-graduées, en vue des applications aux motifs. En particulier, nous faisons le lien entre la théorie de Kimura [26] et la question de l’algébricité des projecteurs de Künneth pairs (théorème 9.2.1). Notre résultat le plus abouti est le théorème suivant : si on définit une catégorie de Kimura comme étant une catégorie K-linéaire pseudo-abélienne monoïdale symétrique rigide, où K est un corps de caractéristique zéro, dont tout objet est de dimension finie au sens de Kimura (voir section 9), on a (théorème 9.2.2) :

Théorème 1. Toute catégorie de Kimura A est de Wedderburn. Son radical R est monoïdal, et la catégorie quotient A/R est semi-simple tannakienne, après changement convenable de la contrainte de commutativité.

La troisième partie débute sur le rappel d’une version catégorique, due à Mitchell, de la cohomologie de Hochschild ; elle nous sert à prouver le point a) de l’analogue catégorique suivant du théorème de Wedderburn-Malcev (cf. théorèmes 12.1.1, 13.2.1 et 15.3.5).

Théorème 2. a) Soit A une K-catégorie de Wedderburn, et soit π : A → A/rad(A) le foncteur de projection. Alors π admet une section fonctorielle. Deux telles sections sont conjuguées.

b) Si A est monoïdale avec End(1) = K, et si le radical est compatible à la structure monoïdale (de sorte que π est un foncteur monoïdal), π admet une section monoïdale. Deux telles sections sont conjuguées par un isomorphisme monoïdal.

c) Si enfin A est symétrique, toute section monoïdale est symétrique (c’està-dire respecte les tressages) à condition que car K ≠ 2.

La preuve de b), très technique, se trouve au §13. Elle utilise aussi la cohomologie de Hochschild pour l’algèbre libre sur les objets de la catégorie. Ainsi, a) repose essentiellement sur le fait qu’une K-algèbre séparable est de dimension 0 (au sens de [2, ch. IX, §7]), tandis que b) repose sur le fait qu’une K-algèbre libre est de dimension 1…

La compatibilité des sections monoïdales à des tressages, dont il s’agit au point c) du théorème 2, est étudiée en détail au §15. Elle n’est pas automatique ; toutefois, en caractéristique différente de 2, si le tressage résiduel est symétrique, son image par toute section monoïdale s donne lieu à un tressage symétrique canonique sur A, indépendant du choix de s et qui ne coïncide avec le tressage originel que si celui-ci était symétrique. Ceci s’applique notamment, en caractéristique zéro, à la quantification de Drinfeld-Cartier d’une catégorie monoïdale symétrique munie d’un tressage infinitésimal (exemple 15.3.6).

Le théorème 2 s’applique en particulier aux catégories de Kimura, en vertu du théorème 1 (cf. théorème 16.1.1).

Au §14, on confère une structure géométrique aux constructions précédentes : groupoïdes pro-unipotents des sections (resp. des sections monoïdales).

La dernière partie explore les conséquences des résultats précédents en théorie des représentations.

Le §18 est consacré à l’étude de A/rad(A), lorsque A est la catégorie des représentations d’un schéma en groupes affine G (par exemple un groupe algébrique linéaire) sur un corps K de caractéristique nulle. On peut conclure des résultats précédents que A/rad(A) est équivalente à catégorie des représentations d’un schéma en groupes pro-réductif^{p}Red(G) contenant G.

Il est plus technique de rendre cette construction canonique. La question se simplifie si l’on travaille, comme au §19, dans la catégorie \overline{Gaff}_{K} dont les objets sont les K-groupes affines et les morphismes G → H sont donnés par les ensembles quotients de Hom_{K}(G, H) par la relation d’équivalence ∼ telle que f ∼ g s’il existe h ∈ H_{K} tel que g = hfh^{−1} (ils méritent la notation H_{K}^{1}(G, H)). Soit \overline{Gred}_{K} la sous-catégorie pleine formée des groupes pro-réductifs. Alors (cf. théorème 19.3.1) :

Théorème 3. Le foncteur d’inclusion \overline{Gred}_{K} → \overline{Gaff}_{K} admet un adjoint (et quasi-inverse) à gauche : G ↦ ^{p}Red(G).

On en déduit une série de résultats concrets concernant d’une part la structure des groupes algébriques, et d’autre part les représentations indécomposables des groupes algébriques.

L’une de ces applications concerne la notion d’enveloppe réductive d’un sous-groupe fermé d’un groupe réductif, i.e. de sous-groupe réductif intermédiaire minimal. On a (cf. théorème 20.1.3)

Théorème 4. a) Deux enveloppes réductives de G dans H sont toujours conjuguées par un élément de h ∈ H(K) commutant à G.

b) Soit H → H_{0} un homomorphisme de groupes réductifs, et soit G_{0} l’image de G dans H_{0}. Alors l’image dans H_{0} de toute enveloppe réductive de G dans H est une enveloppe réductive de G_{0} dans H_{0}.

Dans un paragraphe antérieur, on examine l’avatar non monoïdal, plus simple, de ces constructions, ce qui mène à la notion d’enveloppe semisimple d’une algèbre profinie (sur un corps parfait). Ces enveloppes sont intimement liées aux algèbres d’Auslander. Nous les calculons dans le cas des algèbres héréditaires de dimension finie.

Enfin, dans un appendice, nous donnons pour mémoire diverses caractérisations des catégories semi-simples, dont la plupart sont sans doute bien connues des spécialistes.

Les auteurs se sont beaucoup amusés à écrire cet article, dont l’élaboration s’est révélée jusqu’au bout pleine de rebondissements. Ils craignent que ce côté ludique n’échappe aux lecteurs. Ils espèrent néanmoins que ceux-ci prendront plaisir à lire l’énoncé de certains théorèmes.

I. Radicaux et nilpotence

L’objectif de cette partie est l’étude des catégories qui sont extensions d’une catégorie additive semi-simple par un “idéal” (localement) nilpotent. Comme en algèbre non commutative, la notion de radical joue ici un rôle de premier plan. On étudie aussi ce qui lui arrive par extension des scalaires.

1. Idéaux et radicaux

Soit K un anneau commutatif unitaire. Pour prévenir les paradoxes ensemblistes, il est utile de fixer dès à présent un univers U (contenant K). Les ensembles d’objets et de flèches d’une petite catégorie se trouvent donc dans U.

1.1. K-catégories, catégories K-linéaires et K-catégories pseudo-abé-liennes. Par K-catégorie, nous entendons une catégorie telle que pour tout couple d’objets (A, B), les morphismes de A vers B forment un K-module A(A, B), et que la composition des morphismes soit K-linéaire (pour K = Z, on dit aussi catégorie pré-additive).

Un K-foncteur entre deux K-catégories est un foncteur K-linéaire (sur les K-modules de morphismes).

Étant donné deux objets A, A′ ∈ A, un biproduit de (A, A′) est un système (C, i, i′, p, p′), avec C ∈ A, i ∈ A(A, C), i′ ∈ A(A′, C), p ∈ A(C, A), p′ ∈ A(C, A′), le tout vérifiant les identités

(1.1)  pi = 1_{A}, p′i′ = 1_{B}, ip + i′p′ = 1_{C}.

Un tel biproduit, s’il existe, est à la fois un produit et un coproduit et est déterminé à isomorphisme unique près. On dit que A est K-linéaire si tout couple (A, A′) d’objets de A admet un biproduit. Le choix d’un tel biproduit pour chaque couple d’objets (A, A′) d’une petite catégorie K-linéaire A définit alors un K-foncteur ⊕ : A×A → A, déterminé à isomorphisme naturel unique près, qui fait de A une catégorie monoïdale symétrique (l’unité étant l’objet nul).

D’après une variante de [8, ch. VIII, prop. 4], un foncteur T : A → B entre deux catégories K-linéaires est un K-foncteur si et seulement s’il transforme un biproduit en un biproduit. Si on s’est donné des biproduits ⊕ sur A et B, il existe alors un isomorphisme naturel canonique ⊕ ∘ (T, T) ≅ T ∘ ⊕.

Enfin, une K-catégorie A est pseudo-abélienne si tout projecteur a un noyau (et une image) : pour tout objet A ∈ A et tout élément e ∈ A(A, A) vérifiant e^{2} = e, il existe un objet B ∈ A et un morphisme f : B → A tel que f soit un noyau de (0, e). Si (C, g) est un noyau de 1 − e, le morphisme f ∐ g : B ⊕ C → A est alors un isomorphisme.

Toute K-catégorie abélienne est K-linéaire et pseudo-abélienne.

1.1.1. Remarque. La terminologie varie suivant les auteurs. Ainsi, Saavedra [13, I.0.1.2] appelle catégorie K-linéaire ce que nous appelons Kcatégorie. De même, une catégorie pseudo-abélienne est souvent appelée karoubienne^{1}.

On a les définitions suivantes, étroitement liées aux précédentes :

1.1.2. Définition. Une sous-catégorie pleine B d’une K-catégorie A est (i) épaisse si elle est stable par facteur directs (représentables dans A) ; (ii) localisante si elle est épaisse et stable par sommes directes quel-

conques (représentables dans A).

1.1.3. Sorite. Soient A, B deux K-catégories et T, T′ deux K-foncteurs de A vers B. Soit u : T ⇒ T′ une transformation naturelle. Alors, pour tout biproduit A ⊕ B dans A, on a

u_{A⊕B} = u_{A} ⊕ u_{B}

modulo les isomorphismes naturels T (A ⊕ B) ≃ T (A) ⊕ T (B). □

1.2. Complétions. Étant donné une K-catégorie A, on peut former son enveloppe K-linéaire A^{⊕} (adjonction de sommes directes finies, cf. [5, §2]), son enveloppe pseudo-abélienne A^{♮} (scindage d’idempotents, cf. [9, §1,§11]), et son enveloppe K-linéaire pseudo-abélienne A^{⊕♮} (parfois appelée complétion projective, ou de Cauchy, ou de Karoubi…), formant un carré de sous-catégories pleines

(1.2)  \begin{aligned}& & A^{⊕} \\ & ↗ & & ↘ \\ A & & & & A^{⊕♮}. \\ & ↘ & & ↗ \\ & & A^{♮} \end{aligned}

Pour référence, rappelons les constructions de A^{⊕} et de A^{♮} :

1.2.1. A^{⊕}. Les objets sont des suites finies (A_{1}, A_{2}, …, A_{n}) d’objets de A, notées A_{1} ⊕A_{2} ⊕⋯⊕A_{n} [5, §2]. Les morphismes entre A_{1} ⊕A_{2} ⊕⋯⊕A_{n} et A′_{1}⊕A′_{2}⊕⋯⊕A′_{m} sont donnés par les matrices dont le coefficient d’ordre (i, j) est dans A(A_{i}, A′_{j}) (se composant selon la règle usuelle).

Cette construction est 2-covariante en A : un foncteur T : A → B étant donné, on lui associe foncteur T^{⊕} : A^{⊕} → B^{⊕} construit sur T composante par composante. Il est donc “strictement additif” par définition : l’isomorphisme canonique T^{⊕}(X) ⊕ T^{⊕}(Y) = T^{⊕}(X ⊕ Y) est l’identité pour tout couple d’objets (X, Y) de A^{⊕}. De même, à une transformation naturelle u : T ⇒ T′ correspond une transformation naturelle u^{⊕} : T^{⊕} ⇒ T′^{⊕} sur le modèle du sorite 1.1.3.

1Cette notion n’est pas spécifiquement additive, cf. par exemple [13, VI.4.1.2.1].

1.2.2. A^{♮}. Les objets sont les couples (A, e) avec A ∈ A et e ∈ A(A, A) vérifiant e^{2} = e. Pour un autre tel couple (B, f), on pose

A^{♮}((A, e), (B, f)) = fA(A, B)e ⊂ A(A, B).

Les morphismes se composent de manière évidente. Cette construction est également 2-covariante en A (T^{♮}(A, e) = (T (A), T (e)), u_{(A,e)}^{♮} = T′(e)u_{A}T (e)).

1.2.3. Propriétés universelles. Les deux constructions ci-dessus ont des propriétés universelles. Quitte à introduire des 2-catégories, on peut les interpréter comme des adjoints à gauche. Soit {K} la 2-catégorie dont les objets sont les petites K-catégories, les 1-morphismes les K-foncteurs et les 2-morphismes les transformations naturelles. Soient {K}^{⊕}, {K}^{♮}, {K}^{⊕♮} les sous-2-catégories pleines de {K} (mêmes 1-morphismes et mêmes 2morphismes) formées des catégories K-linéaires, pseudo-abéliennes et Klinéaires pseudo-abéliennes. Alors :

1.2.1. Sorite. a) Pour tout couple de petites K-catégories (A, B), avec B K-linéaire, les foncteurs de restriction

{K}^{⊕}(A^{⊕}, B) → {K}(A, B)
{K}^{♮}(A^{♮}, B) → {K}(A, B)

sont pleinement fidèles et surjectifs. De plus, pour tout T ∈ {K}(A, B), la fibre de T est un groupoïde à groupes d’automorphismes triviaux.

b) Pour tout couple de petites K-catégories (A, B), les foncteurs

{K}(A, B) → {K}^{⊕}(A^{⊕}, B^{⊕})
{K}(A, B) → {K}^{♮}(A^{♮}, B^{♮})

sont pleinement fidèles (mais pas essentiellement surjectifs en général). □

(Le fait que les foncteurs considérés en a) ne soient pas bijectifs sur les objets provient des choix possibles de biproduits et de noyaux.)

1.3. Algèbres à plusieurs objets. Dans cet article, nous adoptons le point de vue de B. Mitchell [9] et considérons les K-catégories comme des “Kalgèbres (associatives) à plusieurs objets”.

Suivant ce point de vue, un idéal (bilatère) I d’une K-catégorie A est la donnée, pour tout couple d’objets (A, B), d’un sous-K-module de I(A, B) ⊂ A(A, B) tel que pour tout couple de morphismes (f ∈ A(A, A′), g ∈ A(B, B′)), on ait gI(A′, B)f ⊂ I(A, B′).

On peut alors former la K-catégorie quotient A/I (qui a les mêmes objets que A). Si A = ⊕A_{i}, B = ⊕B_{j}, alors I(A, B) s’identifie canoniquement à ⊕_{i,j}I(A_{i}, B_{j}).

1.3.1. Exemple. Si X est un ensemble d’objets de A, stable par biproduit, la famille d’ensembles

I(A, B) = {f ∈ A(A, B) | f se factorise à travers un objet de X}

est un idéal de A. Le quotient A/I est souvent noté A/X.

On a une notionévidente d’idéal produit (resp. somme, resp. intersection) de deux idéaux I · J (resp. I + J, resp. I ∩ J). On prendra toutefois garde de ne pas confondre les idéaux (I · J)(A, A) = {∑ f ∘ g, B ∈ ObA, f ∈ A(B, A), g ∈ A(A, B)} et I(A, A) · J (A, A) de la K-algèbre A(A, A).

Le noyau d’un K-foncteur est l’idéal Ker T de A formé des morphismes que T annule ; T induit une K-équivalence entre le quotient A/ Ker T et une sous-catégorie non pleine de B.

1.3.2. Lemme. Supposons A K-linéaire. Soient I, J deux idéaux de A. Supposons que I(A, A) ⊂ J (A, A) pour tout objet A de A. Alors I ⊂ J.

Démonstration. Soient A, B ∈ A. On a A(A ⊕ B, A ⊕ B) = A(A, A) ⊕ A(A, B) ⊕ A(B, A) ⊕ A(B, B). En utilisant les injections de A et B dans A⊕B et les projections de A⊕B sur A et B, on voit que A(A, B)∩I(A⊕ B, A ⊕ B) = I(A, B), et de même pour J. Le lemme en résulte. □

Notons K-Mod la catégorie K-linéaire des K-modules.

1.3.3. Définition. Un A-module (à gauche) est un K-foncteur M : A → K-Mod. Il est dit fini si tous les M(A) sont de type fini sur K.

Les A-modules (resp. les A-modules finis) forment une catégorie abélienne K-linéaire, notée A–Mod ^{2} (resp. A–Modf). Tout K-foncteur F : A → B induit par composition des K-foncteurs en sens inverse F^{∗} : B–Mod → A–Mod et F^{∗} : B–Modf → A–Modf.

Nous aurons aussi besoin de la notion suivante :

2Notation compatible à la précédente si l’on considère K comme catégorie à un seul objet.

1.3.4. Définition. Soit A ∈ A. Un A-idéal à gauche de A est la donnée, pour tout B ∈ A, d’un sous-K-module I(B) de A(A, B), telle que la famille des I(B) soit stable par composition à gauche.

On a une notion évidente d’idéal à gauche somme (resp. intersection) de deux idéaux à gauche.

Pour tout A ∈ A, notons _{A}A le foncteur B ↦ A(A, B). Ceci définit un K-foncteur contravariant

Y_{A} : A^{o} → A–Mod
A ↦ _{A}A.

Pour que l’image de Y_{A} soit contenue dans A–Modf, il faut et il suffit que A(A, B) soit un K-module de type fini pour tous A, B ∈ A. De ce point de vue, un A-idéal à gauche n’est autre qu’un sous-objet de_{A}A.

On a dualement les catégories Mod–A et Modf–A des A-modules à droite^{3} et des A-modules à droite finis (contravariants), ainsi que les Aidéaux à droite. On a le K-foncteur covariant

AY : A → Mod–A
A ↦ A_{A} : B ↦ A(B, A).

1.3.5. Définition. Un objet X d’une catégorie C est compact si le foncteur Y ↦ C(X, Y) commute aux limites inductives quelconques (représentables dans C).

Le résultat suivant est bien connu (par exemple [8, III.2 et III.7], [15]) :

1.3.6. Proposition. a) Pour tout A ∈ A et tout M ∈ Mod–A, l’homomorphisme

Mod–A(A_{A}, M) → M(A)
f ↦ f(1_{A})

est bijectif.

b) Le foncteur_{A}Y est pleinement fidèle. Un module appartenant à son image essentielle est dit représentable.

c) La catégorie Mod–A est stable par limites inductives et projectives quelconques.

d) Tout objet M de Mod–A est limite inductive d’objets représentables.

e) Si A est stable par limites inductives quelconques, le foncteur _{A}Y admet un adjoint à gauche \underrightarrow{lim} : Mod–A → A, qui en est aussi un inverse à gauche.

f) Supposons A K-linéaire et pseudo-abélienne. Alors, pour tout objet M de Mod–A, les conditions suivantes sont équivalentes :

3C’est celle considérée par Street [15].

(i) M est compact.

(ii) Pour tout système inductif (N_{i})_{i∈I} d’objets de Mod–A indexé par une petite catégorie I, l’homomorphisme

\underrightarrow{lim} Mod–A(M, N_{i}) → Mod–A(M, \underrightarrow{lim} N_{i})

est surjectif. (iii) M est représentable.

Rappelons rapidement la démonstration, pour la commodité du lecteur. Dans a) (lemme de Yoneda enrichi), l’application inverse est donnée par m ↦ (f ↦ M(f)m). b) en résulte immédiatement. c) est clair, puisque K–Mod a la même propriété : les limites se calculent “argument par argument”.

Pour voir d), on considère la catégorie C dont les objets sont les couples (A, x) avec A ∈ A et x ∈ M(A), un morphisme (A, x) → (B, y) étant un morphisme f ∈ A(A, B) tel que M(f)(x) = y : par a), le système inductif

T : C → Mod–A
(A, x) ↦ A_{A}

s’envoie vers M et on vérifie que \underrightarrow{lim} T → M est un isomorphisme.

On déduit e) de d) comme suit : soit M ∈ Mod–A. Écrivons M = \underrightarrow{lim} A_{A_{i}} : on définit alors \underrightarrow{lim} M = \underrightarrow{lim} A_{i}. On utilise b) pour montrer que ce foncteur est bien défini et pour vérifier sa propriété d’adjonction.

Enfin, on déduit également f) de a) et d) comme suit : (iii) ⟹ (i) résulte immédiatement de a). (i) ⟹ (ii) est évident. Pour voir que (ii) ⟹ (iii), soit M un objet vérifiant (ii) : écrivons M = \underrightarrow{lim}_{i∈I} A_{A_{i}}, où I est une petite catégorie. Il existe alors un ensemble fini I_{0} d’objets de I tel que l’identité : M → M se factorise à travers ⨁_{i∈I_{0}} A_{A_{i}}. □

1.3.7. Remarques.

a) On laisse au lecteur le soin d’obtenir les énoncés correspondants pour A–Mod, en remplaçant A par A^{o}.

b) On dit qu’un objet M ∈ Mod–A est de présentation finie si le foncteur _{M}Mod–A commute aux limites inductives filtrantes. (Comme il est additif, il commute alors aussi aux sommes directes quelconques.) On se gardera de confondre cette notion avec celle d’objet compact, qui est plus restrictive.

La construction A ↦ Y_{A} n’est pas 2-fonctorielle en A. Par contre :

1.3.8. Corollaire (cf. [15, p. 140]). Soit F : A → B un K-foncteur. Alors F^{∗} : B–Mod → A–Mod est une équivalence de catégories si et seulement si F^{⊕♮} est une équivalence de catégories. On dit alors que F est une équivalence de Morita. □

Démonstration. Cela résulte immédiatement de la proposition 1.3.6 f). □

1.3.9. Lemme. Soit A ∈ A; notons encore A son image dans A^{⊕}, A^{♮} et A^{⊕♮}. Alors

a) Il y a bijection entre les A-idéaux à gauche dans A, A^{⊕}, A^{♮} et A^{⊕♮}.

b) Il y a bijection entre les idéaux (bilatères) dans A, A^{⊕}, A^{♮} et A^{⊕♮}.

c) Pour tout idéal I de A, notons I^{⊕} l’idéal correspondant de A^{⊕}. Alors on a un isomorphisme canonique A^{⊕}/I^{⊕} = (A/I)^{⊕}.

d) Pour tout idéal I de A, notons I^{♮} l’idéal correspondant de A^{♮}. Alors on a un foncteur canonique pleinement fidèle A^{♮}/I^{♮} → (A/I)^{♮}. C’est un isomorphisme si et seulement si les idempotents des algèbres d’endomorphismes (A/I)(A, A) se relèvent en des idempotents des algèbres d’endomorphismes A(A, A).

Démonstration. a) : Cela résulte immédiatement de l’interprétation des Aidéaux à gauche comme étant les sous-modules du A-module à gauche_{A}A : B ↦ A(A, B) et du fait que le carré (1.2) induit un carré d’équivalences de catégories (corollaire 1.3.8) :

A^{⊕}–Mod
↗  ↘
A–Mod  A^{⊕♮}–Mod.
↘  ↗
A^{♮}–Mod

b) : voir [15, prop. 2] c) est immédiat.

d) : pour tout couple d’objets (A, e), (A, e′) de A^{♮}, on a

A^{♮}((A, e), (A′, e′)) = e′A(A, A′)e

et

I^{♮}((A, e), (A′, e′)) = e′I(A, A′)e.

On a donc

A^{♮}/I^{♮}((A, e), (A′, e′)) = ē′((A/I)^{♮}(A, A′))ē

= (A/I)^{♮}((A, ē), (A′, ē′))

où ē, ē′ désignent les images de e et e′ modulo I. Le foncteur (A, e) ↦ (A, ē) est donc pleinement fidèle. L’hypothèse de relèvement des idempotents équivaut à dire qu’il est bijectif sur les objets. □

1.4. Radical. On démontre [5] que

rad(A)(A, B) = {f ∈ A(A, B) | pour tout g ∈ A(B, A), 1_{A} − gf est inversible}

définit un idéal rad(A) de A.

1.4.1. Définition. Cet idéal s’appelle le radical de A.

Si A est une K-algèbre, vue comme K-catégorie à un seul objet, on retrouve une définition du radical de Jacobson.

Mentionnons pour mémoire qu’un autre radical a été introduit dans la thèse de Gabriel [39] (c’est celui qui est évoqué dans [19]) :

rad′(A)(A, B) = {f ∈ A(A, B) | pour tout g ∈ A(B, A), gf est nilpotent}.

On pourrait donc parler de radical de Gabriel et de radical de Kelly (le dernier étant une version catégorique du radical de Jacobson…) On a évidemment rad′(A) ⊂ rad(A), avec égalité si et seulement si, pour tout A ∈ A, rad(A)(A, A) est un nilidéal.

1.4.2. Proposition. a) Le radical est le plus grand idéal rad(A) tel que rad(A)(A, A) soit contenu (resp. coïncide) avec le radical de Jacobson de A(A, A) pour tout objet A.

b) C’est aussi le plus grand idéal de A tel que le foncteur quotient A → A/rad(A) soit conservatif, i.e. reflète les isomorphismes. Ce foncteur reflète aussi rétractions et corétractions^{4}.

Voir [5, th. 1], [9, §4], [15, prop. 6]. On voit tout de suite que la notion de radical est auto-duale.

1.4.3. Corollaire. Les radicaux des catégories A, A^{⊕}, A^{♮} et A^{⊕♮} se correspondent par les bijections du lemme 1.3.9 b).

Démonstration. Cela découle du point a) de la proposition 1.4.2. □

1.4.4. Définition. Soit T : A → B un K-foncteur entre deux K-catégories. Alors T est dit radiciel si T (rad(A)) ⊂ rad(B).

1.4.5. Lemme. Si T est plein, il est radiciel. D’autre part, si T est conservatif, on a T^{−1}(rad(B)) ⊂ rad(A). Si T est radiciel et conservatif, on a T^{−1}(rad(B)) = rad(A). Si T est même plein, T (rad(A)) est égal à la restriction de rad(B) à T (A).

4Rappelons qu’une rétraction (resp. corétraction) est un morphisme inversible à droite (resp. à gauche) ; on dit aussi épimorphisme scindé (resp. monomorphisme scindé).

Démonstration. Le premier point découle immédiatement du point a) de la proposition 1.4.2. Prouvons le second : soit f ∈ A(A, B) tel que T (f) ∈ rad(B)(T (A), T (B)). Alors pour tout g ∈ A(B, A), 1_{T (A)}−T (g)∘T (f) est inversible. Donc 1_{A}−g∘f est inversible puisque T est conservatif. Prouvons la dernière assertion : T radiciel ⟹ A ⊂ T^{−1}T (rad(A)) ⊂ T^{−1}(rad(B)), et T conservatif ⟹ T^{−1}(rad(B)) ⊂ rad(A), d’où T^{−1}(rad(B)) = rad(A). Si T est plein, la dernière assertion en découle. □

1.4.6. Mise en garde. a) Si T est conservatif, l’inclusion T^{−1}(rad(B)) ⊂ rad(A) devient fausse en général si l’on remplace les radicaux par leurs puissances n-ièmes, n > 1 (même si T est pleinement fidèle).

b) Il découle du premier point du lemme que pour tout idéal I de A, rad(A/I) contient l’image de rad(A) dans A/I (la projection T : A → A/I est un foncteur plein) ; mais il en est en général distinct si I ⊄ rad(A) (exemple : Z → Z/4Z).

1.4.7. Lemme. Soit A une K-catégorie, et soit S un objet de A tel que A(S, S) soit un corps (par exemple un objet simple dans un catégorie abélienne). Soit A un objet quelconque de A. Alors tout morphisme f ∈ A(S, A) qui n’est pas dans le radical est une corétraction, et tout morphisme g ∈ A(A, S) qui n’est pas dans le radical est une rétraction. Si en outre A(S, S) = K, alors

rad(A)(S, A) = {f ∈ A(S, A), ∀g ∈ A(A, S), g ∘ f = 0}.

Démonstration. Par définition du radical, il existe h ∈ A(A, S) tel que 1_{S} − hf ne soit pas inversible dans A(S, S). Comme A(S, S) est un corps, ceci entraîne que 1_{S} = hf. Pour g on raisonne dualement.

Prouvons la dernière assertion. Tout f ∈ A(S, A) tel que g ∘ f = 0 pour tout g ∈ A(A, S) n’est pas une corétraction, donc appartient au radical. Réciproquement, si f ∈ rad(A)(S, A), alors, par définition, l’élément 1 − g ∘ f de K est inversible, c’est-à-dire non nul, pour tout g ∈ A(A, S) par définition. Comme g peut être multiplié par toute constante de K, ceci entraîne g ∘ f = 0. □

2. Catégories de Wedderburn

Dans ce paragraphe, on suppose que K est un corps.

2.1. Catégories semi-simples.

2.1.1. Définition. Une K-catégorie est dite semi-simple si tout A-module à gauche est semi-simple.

Cette notion est manifestement Morita-invariante. En particulier, elle est stable par passage à A^{⊕}, A^{♮}, A^{⊕♮}. Elle a été étudiée dans [7], [9, §4] et [15]^{5}. Pour la commodité du lecteur, nous avons donné en appendice un exposé des nombreuses caractérisations des catégories semi-simples, et quelques contre-exemples. Nous en extrayons la proposition suivante :

2.1.2. Proposition. Soit A une (petite) catégorie K-linéaire. Les conditions suivantes sont équivalentes :

a) A est semi-simple,

b) rad(A) = 0 et pour tout A ∈ A, A(A, A) est un anneau artinien,

c) pour tout objet A, A(A, A) est une K-algèbre semi-simple^{6}. Sous ces conditions, A est abélienne si et seulement si elle est pseudoabélienne.

En particulier, la notion de semi-simplicité est auto-duale, et stable par quotient par tout idéal. Voir [9, §4] ou l’appendice des présents articles.

En particulier, si A est semi-simple (non nécessairement K-linéaire ni pseudo-abélienne), on a Ext_{A}^{i}(M, N) = 0 pour tout couple (M, N) de Amodules et tout i > 0.

2.1.3. Lemme. Toute sous-catégorie pleine B d’une K-catégorie semi-sim-ple A est semi-simple. De plus, si A et B sont K-linéaires pseudo-abélien-nes, il existe une unique sous-catégorie pleine C de A telle que A = B ∐ C (cf. définition A.2.2 c)).

Démonstration. Par invariance de Morita, on se ramène immédiatement au cas où A et B sont K-linéaires pseudo-abéliennes. La première assertion résulte alors de la caractérisation c) de la proposition 2.1.2. Pour voir la deuxième, notons S(A) (resp. S(B)) l’ensemble des classes d’isomorphismes (types) d’objets simples de A (resp. de B). Il est clair que les objets de B sont les sommes directes d’objets simples de type appartenant à B. La catégorie C est alors la catégorie des sommes directes d’objets simples de A de type appartenant à S(A) − S(B). □

2.1.4. Mise en garde. Dans le lemme 2.1.3, si A est monoïdale et si B est une sous-catégorie monoïdale de A, il n’est pas vrai en général que C soit monoïdale.

Le lemme suivant est à mettre en regard de 1.4.6b.

5Prendre garde à la terminologie : les notions de semi-simplicité utilisées dans [7] et dans [15] sont plus faibles.

6Selon la terminologie de Bourbaki [1] ; selon la terminologie anglo-saxonne, on dirait plutôt “semisimple artinian”, cf. [12].

2.1.5. Lemme. Soit A une K-catégorie telle que A/rad(A) soit semi-sim-ple. Pour tout idéal I, le radical de A/I est l’image de rad(A) dans A/I.

Démonstration. Le point est l’inclusion rad(A/I) ⊂ A/rad(A) + I. Il découle de ce que le foncteur de projection A/I → A/rad(A) + I est plein, donc radiciel, et de ce que le radical de A/rad(A)+I est nul puisque c’est une catégorie semi-simple (comme quotient de A/rad(A)). □

2.2. Catégories séparables.

2.2.1. Proposition. Soit A une K-algèbre (associative unitaire). Les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) A est un A-bimodule projectif.

(2) Toute dérivation de A vers un bimodule est intérieure.

(3) A est de dimension finie sur K, est semi-simple, et le reste après toute extension des scalaires.

(4) A est semi-simple, et le reste après toute extension des scalaires.

(5) A est de dimension finie sur K, sans radical, et le reste après toute extension des scalaires.

(6) L’algèbre A^{o} ⊗_{K} A est semi-simple.

Pour 1 ⟺ 2, voir [3, 4]. Pour 1 ⟺ 3 ⟺ 4, on renvoie à [2, ch. IX, th. 7.10]. Pour 4 ⟺ 5, voir [1, 7.5, cor.]. Pour 1 ⟺ 6, voir [2, ch. IX, th. 7.9].

En particulier, l’hypothèse de finitude dans [2, ch. IX, th. 7.10] n’est pas nécessaire. Pour la commodité du lecteur, nous reproduisons l’argument de [3, 4] qui montre que 1 ⟹ dim_{K} A < ∞. Soit s une section de l’application de multiplication A ⊗_{K} A → A, comme homomorphisme de Abimodules. Écrivons s(1) = ∑_{1}^{n} x_{i} ⊗ y_{i}, avec n minimal ; en particulier, les y_{i} sont linéairement indépendants sur K, donc séparés par les formes K-linéaires sur A. Notons I le K-espace de dimension finie ∑_{1}^{n} Kx_{i} ⊂ A. Alors I est un idéal à gauche de A: en effet, pour tout a ∈ A, on a as(1) = s(1)a, d’où ∑ ax_{i}a^{∗}(y_{i}) = ∑ x_{i}a^{∗}(y_{i}a) pour tout a^{∗} ∈ Hom_{K}(A, K), et le résultat. En outre, l’action de A par multiplication à gauche sur I est fidèle du fait que ∑ x_{i}y_{i} = 1. Par conséquent, A s’injecte dans End_{K}(I). □

2.2.2. Définition. Une K-algèbre A est dite séparable (ou absolument semisimple) si elle vérifie les conditions de la proposition 2.2.1.

2.2.3. Remarque. Nous nous écartons ici légèrement de la terminologie de Bourbaki [1, 7.5], pour qui une algèbre est séparable si elle est sans radical et le reste après toute extension des scalaires. Dans le cas commutatif, on dit d’ailleurs plutôt étale que séparable.

2.2.4. Lemme. Toute algèbre de dimension finie sans radical sur un corps parfait K est séparable.

Démonstration. Voir [1, 7.5,7.6]. □

2.2.5. Lemme. Le produit tensoriel de deux K-algèbres séparables est séparable.

Démonstration. Voir [2, ch. IX, prop. 7.4]. □

2.2.6. Définition. Une catégorie K-linéaire A est dite séparable (ou absolument semi-simple) si la catégorie A_{L} qui s’en déduit^{7} en tensorisant les morphismes par L est semi-simple pour toute extension L/K.

La notion de catégorie séparable est Morita-invariante (cf. proposition 2.1.2), auto-duale, et stable par passage au quotient par un idéal.

D’après le théorème A.3.1, on en a les autres caractérisations suivantes :

– (si A est K-linéaire) Pour tout objet A ∈ A, A(A, A) est une Kalgèbre séparable.

– La catégorie enveloppante^{8} A^{e} = A^{o} ⊠_{K} A est semi-simple.

2.2.7. Proposition. Si K est parfait, une K-catégorie A est séparable si et seulement si elle est semi-simple et dim_{K} A(A, B) < ∞ pour tout couple d’objets (A, B).

Démonstration. Cela résulte du lemme 2.2.4. □

2.3. Catégories semi-primaires.

2.3.1. Définition. Une K-catégorie A est semi-primaire si (i) pour tout objet A ∈ A, le radical rad(A(A, A)) est nilpotent ; (ii) A/rad(A) est semi-simple.

2.3.2. Remarques.

a) Dans le cas d’une catégorie à un seul objet, on retrouve une notion connue en algèbre non commutative sous le nom d’“anneau semi-pri-maire” [12] ^{9}. Ainsi une catégorie K-linéaire est semi-primaire si et seulement si tous ses anneaux d’endomorphismes sont semi-primaires.

b) Cette notion est auto-duale.

c) Une catégorie K-linéaire pseudo-abélienne semi-primaire n’est pas nécessairement abélienne (exemple : la catégorie des modules projectifs de type fini sur une K-algèbre artinienne non semi-simple). d) La condition (i) entraîne que les radicaux de Kelly et de Gabriel coïn-

7Voir la définition 5.1.1 ci-dessous pour plus de détails.

8Voir le §11.1 ci-dessous pour plus de détails.

9Ces anneaux sont caractérisés par l’existence d’une borne uniforme pour la longueur de toute chaîne décroissante de modules cycliques, cf. [12, 2.7.7].

cident.

L’un des aspects classiques des anneaux semi-primaires est la propriété de relèvement des idempotents modulo le radical, qui suit du lemme classique suivant

2.3.3. Lemme (cf. [12, 1.1.28]). Soit N un nil-idéal d’un anneau A. Alors tout idempotent de A/N se relève en un idempotent de A. □

2.3.4. Proposition. a) Si A est semi-primaire, il en est de même de A/I pour tout idéal I, et le radical de A/I est l’image du radical de A.

b) Supposons A semi-primaire. Alors A/rad(A) est pseudo-abélienne si et seulement si A l’est (et même abélienne si A est K-linéaire). Plus généralement, le foncteur canonique (cf. lemme 1.3.9 d)) A^{♮}/rad(A^{♮}) → (A/rad(A))^{♮} est un isomorphisme.

c) La notion de K-catégorie semi-primaire est Morita-invariante. En particulier, si A est semi-primaire, alors A^{⊕}, A^{♮}, A^{⊕♮} le sont (et réciproquement).

d) Si A est K-linéaire et si A(A, A) est un anneau artinien pour tout A ∈ A, alors A est semi-primaire.

e) Si A est semi-primaire, B est semi-simple et T : A → B est un Kfoncteur plein, alors il existe une unique factorisation de T en un K-fonc-teur plein T̄ : A/rad(A) → B.

f) Si A est semi-primaire et pseudo-abélienne, et T : A → B est un Kfoncteur radiciel qui n’envoie aucun objet non nul de A sur l’objet nul de B, alors T est conservatif.

Démonstration. a) Cela résulte aisément du lemme 2.1.5.

b) suit des lemmes 1.3.9 d) et 2.3.3 (et du fait qu’une catégorie K-linéaire pseudo-abélienne semi-simple est abélienne, cf. A.2.10).

c) Pour l’invariance par équivalence de Morita, il s’agit d’après le corollaire 1.3.8 de voir que A est semi-primaire si et seulement si A^{⊕♮} l’est. D’après le corollaire 1.4.3, la trace sur A du radical de A^{⊕♮} est le radical de A. Il suit de ceci, du lemme 1.3.9 d) et du lemme 2.1.3 que A est semiprimaire si A^{⊕♮} l’est.

Supposons réciproquement A semi-primaire. Le point b) entraîne que A^{♮} l’est. On peut donc supposer A pseudo-abélienne. En vertu du lemme 1.3.9 c), il suffit de voir que si les radicaux de A^{⊕}(A, A) et A^{⊕}(B, B) sont nilpotents, il en est de même du radical de A^{⊕}(A ⊕ B, A ⊕ B).

Supposons donc que R(A, A)^{m} = R(B, B)^{n} = 0, et montrons qu’alors R(A ⊕ B, A ⊕ B)^{m+n+2} = 0. Par additivité, on se ramène à supposer que le composé de toute chaîne de N ≥ 2n + 2 morphismes f_{i} (i = 1, …, N) composables appartenant à R(A, A), R(A, B), R(B, A) ou R(B, B) est nul.

Considérons par exemple une chaîne partant de A et aboutissant en A. La composition correspondante appartient à un produit de la forme

R(A, A)^{m_{k+1}}R(B, A)R(B, B)^{n_{k}}R(A, B)R(A, A)^{m_{k}} ⋯ ⋯ R(A, A)^{m_{2}}R(B, A)R(B, B)^{n_{1}}R(A, B)R(A, A)^{m_{1}}

avec m_{1} +⋯+m_{k+1} +n_{1} +⋯+n_{k} +2k +1 = N. Ce produit est contenu dans R(A, A)^{a}, avec a = m_{1} + ⋯ + m_{k+1} + k. D’autre part, le produit intermédiaire

R(B, B)^{n_{k}}R(A, B)R(A, A)^{m_{k}} ⋯ R(A, A)^{m_{2}}R(B, A)R(B, B)^{n_{1}}

est contenu dans R(B, B)^{b}, avec b = n_{1} + ⋯ + n_{k} + k − 1. On a donc a ≥ m ou b ≥ n et le morphisme composé est nul. Les autres cas se traitent de la même manière.

d) Un raisonnement analogue à celui fait dans le cas des anneaux montre que, pour toute A, le radical de A/rad(A) est réduit à 0. En particulier, pour tout objet A de A, la K-algèbre (A/rad(A))(A, A) est semi-simple. Comme A est supposée K-linéaire, on conclut par la proposition 2.1.2 que A est semi-simple.

e) suit de la première assertion du lemme 1.4.5.

f) Le K-foncteur radiciel T induit un K-foncteur

T̄ : (A/rad(A))^{⊕} → (B/rad(B))^{⊕}.

Tout comme T, T̄ n’envoie aucun objet non nul de (A/rad(A))^{⊕} sur l’objet nul de (B/rad(B))^{⊕}. D’autre part, (A/rad(A))^{⊕} est abélienne semisimple puisque A est semi-primaire pseudo-abélienne (utiliser le point b) ci-dessus). Il en découle que T̄ est conservatif (lemme A.2.14), et il en est de même de T par 1.4.2 b. □

2.3.5. Proposition. Soit A une catégorie abélienne dont tout objet est de longueur finie. Alors A est semi-primaire.

Démonstration. Le plus court est d’envoyer A par un foncteur pleinement fidèle dans une catégorie de modules (théorème de plongement de Freyd-Mitchell). Dans le cas d’une catégorie de modules, l’assertion revient à ceci : l’anneau d’endomorphismes de tout module M de longueur finie est semi-primaire. Ce résultat, qui repose sur le lemme de Fitting, est bien connu, cf. [12, 2.9.10] (la longueur du module est une borne pour l’échelon de nilpotence du radical). □

2.4. Catégories de Wedderburn.

2.4.1. Définition. Une K-catégorie A est dite de Wedderburn si

(i) pour tout objet A ∈ A, le radical rad(A(A, A)) est nilpotent ;

(ii’) A/rad(A) est une K-catégorie séparable.

2.4.2. Mise en garde. Il est clair qu’une K-catégorie de Wedderburn est semi-primaire. Nous verrons en 4.1.4 qu’elle le reste après toute extension des scalaires. La réciproque est évidemment fausse au moins quand K est imparfait, comme le montre l’exemple de la K-catégorie à un seul objet donné par une extension finie inséparable de K.

2.4.3. Remarque. Dans le cas d’un seul objet, les algèbres correspondantes sont celles auxquelles s’appliquent le théorème de scindage de Wedderburn dont il sera question au §12, d’où la terminologie. Nous les appellerons algèbres de Wedderburn.

2.4.4. Proposition. a) La notion de K-catégorie de Wedderburn est stable par passage au quotient par un idéal.

b) La notion de K-catégorie de Wedderburn est Morita-invariante. En particulier, si A est de Wedderburn, alors A^{⊕}, A^{♮}, A^{⊕♮} le sont (et réciproquement).

c) Si K est parfait et si A(A, B) est de dimension finie sur K pour tout couple (A, B) ∈ Ob(A), alors A est de Wedderburn. En particulier, toute catégorie tannakienne sur K est de Wedderburn.

Démonstration. a) découle de 2.3.4 a) : si A est de Wedderburn, A/I est semi-primaire, et le quotient par son radical (qui n’est autre que l’image du radical de A) est séparable, en tant que quotient de A/rad(A).

b) On sait déjà que A^{⊕}, A^{♮}, A^{⊕♮} sont semi-primaires. Il est alors facile de conclure, compte-tenu de ce que, par le lemme 1.3.9 et la proposition 2.3.4 b), le quotient de A^{⊕♮} par son radical est isomorphe à (A/rad(A))^{⊕♮}.

c) Il revient au même de dire que toute algèbre d’endomorphismes de A^{⊕} est de dimension finie. D’après le point d) de la proposition 2.3.4, on voit que A^{⊕}, donc A, est semi-primaire. On conclut par le fait que toute algèbre de dimension finie sur un corps parfait est séparable. □

3. Radical infini et nilpotence renforcée

3.1. Le radical infini. Soit A une K-catégorie.

3.1.1. Définition. Le radical infini de A est l’idéal rad^{ω}(A) = ⋂_{n≥1} rad^{n}(A).

Cet idéal intervient dans diverses questions, e.g. dans la théorie du type de représentation des K-algèbres de dimension finie (pour A = A-Modf), et en liaison avec les conjectures de Bloch-Beilinson-Murre sur les motifs (pour A = la catégorie des motifs de Grothendieck pour l’équivalence rationnelle - motifs ‘de Chow’- à coefficients dans K, cf. 7.1.8)

3.1.2. Lemme. Si T : A → B est un K-foncteur radiciel entre K-catégo-ries, alors T (rad^{ω}(A)) ⊂ rad^{ω}(B).

C’est clair. □

3.1.3. Définition. Une K-catégorie A est dite strictement semi-primaire (resp. strictement de Wedderburn) si

(i’) pour tout couple d’objets (A, B), il existe un entier n > 0 tel que

(rad(A))^{n}(A, B) = 0 ; (ii’) A/rad(A) est une K-catégorie semi-simple (resp. séparable).

Il est clair qu’une catégorie strictement semi-primaire (resp. strictement de Wedderburn) est une catégorie semi-primaire (resp. de Wedderburn) dont le radical infini est nul. Cette condition n’est pas automatique.

3.1.4. Contre-exemple. Considérons la catégorie A suivante :

– Ob(A) = E, où E est un ensemble ordonné dense quelconque (dense signifie qu’entre deux éléments distincts on peut toujours en trouver un troisième distinct) ;

– A(x, y) = K si x ≤ y, 0 sinon ; la composition étant induite par la multiplication dans K. On a alors

(rad A)(x, y) = \begin{cases}K & si x < y \\ 0 & sinon. \end{cases}

Ainsi (rad A)(x, x) = 0 pour tout x, donc A est semi-primaire. Mais si x < y, (rad A)(x, y) = (rad A)^{n}(x, y) pour tout n > 0 (grâce à la densité de E). On a donc rad^{ω}(A) = rad(A) ≠ 0.

Si E est un groupe commutatif ordonné, il est facile de munir A d’une structure monoïdale symétrique rigide. Quitte à passer à A^{⊕♮}, on peut même construire un exemple K-linéaire pseudo-abélien (mais non abélien).

3.2. Cas des catégories de modules. Prenonsà présent pour A la catégorie des modules de type fini sur une algèbre A de dimension finie sur un corps K. Dans ce cas, le théorème d’existence des suites d’Auslander-Reiten montre que le radical R de A–Modf est engendré (à droite ou à gauche) par les morphismes dits irréductibles (i.e. dans R \ R^{2}), cf. [14] ou [6] pour plus de précisions. Ce point, et l’analyse détaillée des carquois d’Auslander-Reiten, sont à la base du résultat suivant, qui lie le type de représentation de A au radical infini R^{ω}.

3.2.1. Théorème ([14], [6]). a) A est de type de représentation fini (i.e. il n’y a qu’un nombre fini de classes d’isomorphismes d’indécomposables dans A–Modf) ⟺ R^{ω} = 0 ⟺ ∃n tel que R^{n} = 0.

b) (Supposons K algébriquement clos^{10}) A est de type de représentation infini sauvage ⟺ R^{ω} n’est pas nilpotent.

Un cas intermédiaire est celui de l’algèbre F̄_{2}[(Z/2Z)^{2}] (de type de représentation infini modéré) ; R^{ω} est non nul mais nilpotent.

Un exemple standard d’algèbre de type de représentation infini sauvage est donné par le quotient de K[[T_{1}, T_{2}]] par le cube de l’idéal maximal, ou même par l’idéal (T_{1}^{2}, T_{1}T_{2}^{2}, T_{2}^{3}) (Drozd, cf. [4], [10], [11, 1]) ; il s’ensuit que A–Modf n’est pas strictement semi-primaire.

Nous verrons plus loin qu’une catégorie tannakienne algébrique sur un corps de caractéristique nulle n’est pas nécessairement strictement semiprimaire.

Tout ceci indique que la notion de catégorie strictement semi-primaire est beaucoup trop restrictive pour nos besoins, et motive notre choix de traiter systématiquement des catégories semi-primaires (ou de Wedderburn).

3.2.2. Remarque. Un exemple remarquable de catégorie strictement de Wedderburn devrait être fourni par la catégorie des motifs purs pour une équivalence adéquate quelconque ; cet exemple conjectural est brièvement discuté en 6.3.1 ci-dessous.

4. Radical et extension des scalaires

4.1. Il est connu que le radical d’une algèbre se comporte “mal” par extension des scalaires en général, cf. [1], [12]. La situation s’améliore toutefois dans le cas “de Wedderburn”.

4.1.1. Proposition. 1) Soit L/K une extension de corps. Soit A une K-al-gèbre de Wedderburn, i.e. rad(A) est nilpotent et A/rad(A) est séparable. Alors

a) rad(A ⊗_{K} L) ∩ A = rad(A),

b) rad(A) ⊗_{K} L = rad(A ⊗_{K} L),

c) A ⊗_{K} L est de Wedderburn.

2) Si A ⊗_{K} L est semi-primaire et si rad(A ⊗_{K} L) ⊂ rad(A) ⊗_{K} L pour toute extension L/K, alors A est de Wedderburn.

Démonstration. 1) Il est clair que rad(A) ⊗_{K} L est un idéal nilpotent de A ⊗_{K} L, donc contenu dans rad(A ⊗_{K} L). D’autre part A/rad(A) est séparable, donc aussi (A/rad(A)) ⊗_{K} L = (A ⊗_{K} L)/(rad(A) ⊗_{K} L).

10Il est probable que cette hypothèse, qui figure dans [6], peut être affaiblie en : K parfait.

En particulier, cette dernière est semi-simple, donc rad(A) ⊗_{K} L contient rad(A ⊗_{K} L). D’où b) et c). Le point a) en découle immédiatement.

2) Supposons A⊗_{K} L semi-primaire pour toute extension L/K. En particulier rad(A) est nilpotent, donc rad(A⊗_{K} L) ⊃ rad(A)⊗_{K} L, et on a finalement égalité compte tenu de l’hypothèse. Il suit que (A/rad(A)) ⊗_{K} L ≅ (A ⊗_{K} L)/rad(A ⊗_{K} L) est semi-simple pour toute extension L/K, donc que A/rad(A) est séparable. Ainsi A est de Wedderburn. □

4.1.2. Remarque. La condition que rad(A ⊗_{K} L) ⊂ rad(A) ⊗_{K} L est nécessaire : si K est imparfait, toute extension finie inséparable A/K non triviale fournit un exemple de K-algèbre “absolument semi-primaire” mais pas de Wedderburn.

Si A est une K-catégorie, notons A_{L} la L-catégorie qui s’en déduit en tensorisant les morphismes par L.

4.1.3. Mise en garde. Si A est pseudo-abélienne, il n’en est pas de même de A_{L} en général^{11}. Si A est abélienne, il n’en est pas de même de (A_{L})^{♮} en général. Un contre-exemple est fourni par la catégorie des représentations de dimension finie de 𝔾_{a} × 𝔾_{a} (cf. fin du §19.)

4.1.4. Corollaire. Soit A une catégorie de Wedderburn. Alors, pour toute extension L/K, A_{L} est de Wedderburn. De plus

(i) rad(A_{L}) = rad(A) ⊗_{K} L.

(ii) Le foncteur d’extension des scalaires A → A_{L} est radiciel. (iii) Le carré

A  ⟶  A_{L}
↓  ↓
A/rad(A) ⟶ A_{L}/rad(A_{L})

est naturellement cocartésien : le foncteur naturel A_{L}/rad(A_{L}) → (A/rad(A))_{L} est une équivalence de catégories. □

4.1.5. Théorème. Soient K un corps, L une extension de K, V un L-espace vectoriel de dimension finie, et A une sous-K-algèbre de End_{L}(V). On suppose que, pour tout a ∈ A, le polynôme caractéristique de a dans V est à coefficients dans K. Alors

a) Le radical R de A est nilpotent d’échelon ≤ n = dim V.

b) Si K est infini, A/R est semi-simple, produit d’au plus n composants simples. Si de plus K est parfait, A/R est séparable. c) Supposons K infini et parfait. Alors le radical de la sous-L-algèbre AL de End_{L}(V) engendrée par A est RL, on a RL ∩ A = R, et l’application canonique (A/R) ⊗_{K} L → AL/RL est bijective.

11Voir §5 ci-dessous pour plus de détails.

Démonstration. a) D’après [1, §11, ex. 1 a)], R est a priori un nil-idéal. Montrons même que tout u ∈ R vérifie u^{n} = 0. Pour cela, il suffit de voir que les valeurs propres de u dans V sont toutes nulles. Supposons le contraire et soit λ ≠ 0 une telle valeur propre. Comme λ est algébrique sur K, il existe un polynôme Q ∈ K[T] tel que λQ(λ) = 1. Mais 1 − uQ(u) est inversible, donc 1 − λQ(λ) est inversible, contradiction.

Comme l’image de R dans End_{L}(V) est un semi-groupe multiplicatif formé d’éléments nilpotents, un théorème de N. Jacobson permet de conclure que R est nilpotent d’échelon ≤ dim V, cf. [12, 2.6.30].

b) Cela résulte de [1, §11, ex. 1 d)].

c) Notons provisoirement R_{L} le radical de AL. D’après la proposition 4.1.1 b), on a rad(A ⊗_{K} L) = R ⊗_{K} L, donc l’homomorphisme surjectif A⊗_{K}L → AL induit un homomorphisme surjectif (A/R)⊗_{K}L → AL/R_{L}. Comme A/R est séparable et R nilpotent, le théorème de Wedderburn (cf. théorème 12.1.1 ci-dessous, dans le cas d’un seul objet) permet de relever A/R dans A. Notons ce relevé B, et soit K′ le centre d’un facteur simple de B : K′ est une extension finie de K. Soit x un élément primitif de K′ : comme le polynôme caractéristique de x opérant sur V est à coefficients dans K, c’est nécessairement une puissance du polynôme caractéristique de x opérant sur K′. Ceci implique que la surjection K′ ⊗_{K} L → K′L est bijective, et donc que B ⊗_{K} L → BL est bijective. Il en résulte que A/R ⊗_{K} L → AL/R_{L} est bijective, d’où l’on déduit R_{L} = RL. Enfin, (R_{L} ∩ A =)RL ∩ A = R découle immédiatement de la nilpotence de R. □

4.1.6. Remarques.

a) L’hypothèse que K est parfait n’est pas superflue dans b) et c). On obtient un contre-exemple en prenant pour A = L une extension finie inséparable de K, V = L ⊗_{K} L avec la structure gauche de L-espace, et A ↪ End_{L}(V) donné par ℓ ↦ (ℓ_{1} ⊗ ℓ_{2} ↦ ℓ_{1} ⊗ ℓℓ_{2}).

b) Si l’on suppose que V = ⨁ V_{i} est un L-espace vectoriel gradué et que A est une sous-algèbre de ∏ End(V_{i}), la borne sur l’échelon de nilpotence n de R dans le point a) du théorème 4.1.5 se raffine en : n ≤ max dim V_{i} (même démonstration).

c) Le point a) du théorème 4.1.5 reste valable si on remplace l’hypothèse que pour tout a ∈ A, le polynôme caractéristique de a est à coefficients dans K par : K est de cardinal strictement supérieur à dim_{K} A, cf. [1, no. 12, ex. 16].

4.1.7. Corollaire. Soient K un corps parfait infini, L une extension de K, A une catégorie K-linéaire et H : A → V ec_{L} un K-foncteur fidèle de A vers la catégorie des L-espaces vectoriels de dimension finie. On suppose que, pour tout endomorphisme a ∈ A(A, A), le polynôme caractéristique de H(a) est à coefficients dans K. Alors

a) A est une K-catégorie de Wedderburn.

b) Soit H(A)L la sous-catégorie (non pleine) L-linéaire de V ec_{L} engendrée par H(A) : les objets de H(A)L sont les objets de H(A) et, pour deux tels objets X, Y, (H(A)L)(X, Y) = (H(A)(X, Y))L. Alors :

i) rad(H(A)L) = rad(H(A))L. ii) rad(H(A)L) ∩ H(A) = rad(H(A)). iii) Le foncteur A/rad(A)_{L} → H(A)L/rad(H(A)L) induit par H est une équivalence de catégories. En particulier, H(A)L est une L-catégorie de Wedderburn. □

4.1.8. Remarque. La conclusion a) vaut encore si, au lieu d’un L et d’un H, on a une famille finie d’extensions de corps L_{i}/L et une famille fidèle de foncteurs H_{i} : A → V ec_{L_{i}} et si l’on suppose que pour tout a ∈ A(A, A), le polynôme caractéristique de H_{i}(a) est à coefficients dans K. En effet, plongeant les L_{i} dans un corps commun L, et posant H(A) = ⨁_{i} H_{i}(A) ⊗_{L_{i}} L, on se ramène au cas du corollaire.

4.1.9. Exemple. Comme nous le verrons en 8.2.1, le corollaire précédent s’applique notamment au cas des catégories tannakiennes sur un corps de caractéristique nulle.

5. Extensions des scalaires naïve et non naïve

Dans ce paragraphe, K est un corps commutatif. Nous allons comparer l’extension des scalaires “naïve” étudiée dans le paragraphe précédent à une extension des scalaires plus sophistiquée, due à Saavedra, dont nous aurons besoin dans les paragraphes 17 et 19.

5.1. Deux types d’extensions des scalaires.

5.1.1. Définition. Soient A une K-catégorie et L une K-algèbre (commutative unitaire).

a) La catégorie A_{L} a pour objets les objets de A; si A, B ∈ A_{L}, A_{L}(A, B) = L ⊗_{K} A(A, B). On appelle A_{L} l’extension des scalaires naïve de A de K à L.

b) On note A_{(L)} = Rep_{K}(L, A) la catégorie des K-représentations de L dans A : un objet de A_{(L)} est un couple (A, ρ), où A ∈ A et ρ est un homomorphisme de K-algèbres unitaires L → A(A, A) ; un morphisme f : (A, ρ) → (A′, ρ′) est un élément de A(A, A′) commutant à ρ et ρ′. On appelle A_{(L)} l’extension des scalaires à la Saavedra de A de K à L (cf. [13, II.1.5]).

5.1.2. Lemme. a) La K-structure de A_{(L)} s’enrichit en une L-structure par la loi

λf = ρ′(λ)f = fρ(λ)

pour λ ∈ L et f ∈ A_{(L)}((A, ρ), (A′, ρ′)).

b) Si A est additive (resp. pseudo-abélienne, abélienne, stable par limites inductives quelconques), il en est de même de A_{(L)}. □

5.1.3. Remarques.

a) Pour que cette construction soit raisonnable, il faut que A soit “assez grosse” ou que L soit “assez petit”. Par exemple, si A(A, A) est de K-dimension finie pour tout objet A, alors A_{(L)} = 0 dès que L est un corps infini contenant K.

b) Si A est semi-simple, il ne suit pas que A_{(L)} le soit : prendre pour L/K une extension finie inséparable de corps, et pour A la K-catégorie à un objet L (ou, si on préfère V ec_{L}). C’est toutefois le cas (trivialement) si L est une extension infinie de K, car dans ce cas A_{(L)} = 0 (voir a))

c) Soit A = Rep_{K}^{∞}G la Ind-catégorie attachée à la catégorie Rep_{K}G des K-représentations de dimension finie d’un K-groupe affine. Alors A_{(L)} s’identifie canoniquement à Rep_{L}^{∞}(G), cf. [13, III.1]. Même remarque avec Rep_{K}(G) quand L/K est finie.

d) Soit A une K-catégorie quelconque. Alors (Mod–A)_{(L)} s’identifie à la catégorie des K-foncteurs de A vers Mod–L. Cette dernière s’identifie canoniquement à Mod–A_{L} via l’extension des scalaires naïve. D’après la proposition 1.3.6 f), les objets compacts de cette catégorie s’identifient à (A_{L})^{⊕♮}.

5.2. Sur l’extension des scalaires à la Saavedra. Notre but est de comparer A_{L} à A_{(L)}. On a un “foncteur fibre” évident

(5.1)  ω_{L} : A_{(L)} → A

qui est fidèle et conservatif, commutant aux limites projectives et inductives quelconques, exact si A est abélienne.

La première chose à faire est de définir un foncteur en sens inverse, de A vers A_{(L)}. Ce n’est possible que sous des hypothèses restrictives.

5.2.1. Lemme (cf. [13, prop. II.1.5.1.1]). a) Soient A ∈ A et V ∈ V ec_{K}. Le foncteur

B ↦ Hom_{K}(V, A(A, B))

est représentable dans les cas suivants :

(i) A est K-linéaire et dim_{K} V < ∞.

(ii) A est stable par limites inductives quelconques.

On note un représentant V ⊗_{K} A.

b) La construction (V, A) ↦ V ⊗_{K} A est bifonctorielle et bilinéaire. Si W est un autre K-espace vectoriel, on a un isomorphisme canonique

W ⊗_{K} (V ⊗_{K} A) ≃ (W ⊗_{K} V) ⊗_{K} A

pourvu que les deux membres aient un sens. (Nous nous autoriserons de la canonicité de cet isomorphisme pour passer sous silence tout tel parenthésage.)

c) Si A est K-linéaire et que dim_{K} V < ∞, alors pour tout B ∈ A, le foncteur

A ↦ A(V ⊗_{K} A, B)

est représentable par V^{∗} ⊗_{K} B, où V^{∗} est le dual de V. □

Soient A, B ∈ A et V ∈ V ec_{K}. Supposons que les objets V ⊗_{K} A et V ⊗_{K} B soient définis. L’homomorphisme de fonctorialité

A(A, B) → A(V ⊗_{K} A, V ⊗_{K} B) ≃ Hom_{K}(V, A(A, V ⊗_{K} B))

fournit un autre homomorphisme

(5.2)  V ⊗_{K} A(A, B) → A(A, V ⊗_{K} B).

5.2.2. Lemme. L’homomorphisme (5.2) est un isomorphisme dans les cas suivants :

(i) dim_{K} V < ∞;

(ii) A est compact (i.e. le foncteur B ↦ A(A, B) commute aux limites inductives quelconques)

Démonstration. (i) Écrire V ≃ K^{n} et se ramener à n = 1 par additivité. (ii) passer à la limite sur (i). □

5.2.3. Hypothèses. À partir de maintenant, on suppose que A est additive (c’est-à-dire K-linéaire). On se donne une K-algèbre L (commutative unitaire). On suppose :

– soit que dim_{K} L < ∞;

– soit que A est stable par limites inductives quelconques.

5.2.4. Lemme. Sous les hypothèses 5.2.3,

a) La donnée d’une représentation ρ : L → A(A, A) comme dans la définition 5.1.1 b) équivaut à la donnée d’un morphisme ρ^{∨} : L ⊗_{K} A → A tel que le diagramme

L ⊗_{K} L ⊗_{K} A ⟶^{1⊗ρ^{∨}} L ⊗_{K} A
μ_{L}⊗1↓  ^{ρ^{∨}}↓
L ⊗_{K} A ⟶^{ρ^{∨}} A,

où μ_{L} est la multiplication de L, soit commutatif.

b) Le morphisme

ρ_{A}^{∨} : L ⊗_{K} L ⊗_{K} A ⟶^{μ_{L}⊗1} L ⊗_{K} A

vérifie la condition de a), donc définit une représentation canonique ρ_{A} : L → A(L ⊗_{K} A, L ⊗_{K} A). □

Sous les hypothèses 5.2.3, le lemme 5.2.4 définit un K-foncteur

(5.3)  A → A_{(L)}
A ↦ (L ⊗_{K} A, ρ_{A}).

5.2.5. Lemme ([13, II.1.5.2]). Le foncteur (5.3) est adjoint à gauche au foncteur ω_{L} de (5.1). Il envoie objet compact de A sur objet compact de A_{(L)}.

(La seconde assertion provient du fait que ω_{L} commute aux limites inductives quelconques.) □

Le lemme 5.1.2 b) montre que le foncteur (5.3) s’étend alors en un Lfoncteur

(5.4)  Ξ_{L} : A_{L} → A_{(L)}.

5.3. Comparaison de A_{L} et A_{(L)}.

5.3.1. Proposition. Soient A, B deux objets de A. Si dim_{K} L = ∞, supposons que A soit compact. Alors l’homomorphisme

L ⊗_{K} A(A, B) → A_{(L)}(L ⊗_{K} A, L ⊗_{K} B)

est bijectif. En particulier, Ξ_{L} est pleinement fidèle si dim_{K} L < ∞, et sa restriction à la sous-catégorie pleine des objets compacts de A_{L} est pleinement fidèle en général (et prend ses valeurs dans les objets compacts de A_{(L)} d’après le lemme 5.2.5).

Démonstration. Cela résulte des lemmes 5.2.2 et 5.2.5. □

5.3.2. Théorème. Le foncteur

Ξ_{L}^{♮} : (A_{L})^{♮} → A_{(L)}

induit par Ξ_{L} est une équivalence de catégories pour toute K-catégorie A pseudo-abélienne si et seulement si L est une K-algèbre étale. Dans ce cas, Ξ_{L}^{♮} induit une équivalence de catégories sur les sous-catégories pleines formées des objets compacts.

Démonstration. Vu la proposition 5.3.1, le foncteur Ξ_{L}^{♮} est une équivalence de catégories si et seulement s’il est essentiellement surjectif. D’autre part, d’après la proposition 2.2.1, L est étale sur K si et seulement si le Lbimodule L est projectif.

1) Supposons d’abord L projectif sur L ⊗_{K} L. La suite exacte de Lbimodules 0 → Ker μ → L ⊗_{K} L ⟶^{μ} L → 0 est scindée ; on note s un scindage.

Dire que Ξ_{L}^{♮} est essentiellement surjectif est dire que tout objet B dans A_{(L)} est facteur direct de L⊗_{K} A pour un objet A de A convenable (comme Ξ_{L}^{♮} est pleinement fidèle, l’expression “facteur direct” n’est pas ambigüe). Nous allons montrer que A = ω_{L}(B) convient, ce qui montrera du même coup la seconde assertion.

Notons ι_{2} l’homomorphisme de L-algèbres L → L ⊗_{K} L donné par ℓ ↦ 1⊗ℓ. Dans A_{(L)}, on a un isomorphisme L⊗_{K} ω_{L}(B) ≅ (L⊗_{K} L)⊗_{L,ι_{2}} B, et un morphisme μ ⊗_{L} 1_{B} : (L ⊗_{K} L) ⊗_{L,ι_{2}} B → L ⊗_{L,ι_{2}} B = B dont s ⊗_{L} 1_{B} est une section. Ceci montre bien que B est facteur direct de L ⊗ ω_{L}(B).

2) Supposons maintenant que L ne soit pas L⊗_{K}L-projectif. Pour obtenir un contre-exemple, prenons A = V ec_{L} (vue comme K-catégorie abélienne) : A_{(L)} est la catégorie des (L ⊗_{K} L)-modules finis. Alors L, vu comme objet de A_{(L)}, n’est pas facteur direct d’un objet de la forme L ⊗_{K} V, V ∈ Ob(A), puisqu’un tel objet est un (L ⊗_{K} L)-module libre. □

5.3.3. Exemple. Prenons pour A la catégorie Rep_{K}G des K-représenta-tions de dimension finie d’un K-groupe affine. On note comme ci-dessus Rep_{K}^{∞}G la Ind-catégorie attachée à A, de sorte qu’on a une équivalence naturelle (monoïdale) (Rep_{K}^{∞}G)_{(L)} ≅ Rep_{L}^{∞}G_{L}. En outre, si L/K est (finie) séparable, elle induit une équivalence naturelle (monoïdale) entre objets compacts (Rep_{K}G)_{(L)} ≅ Rep_{L}G_{L}, et aussi (en vertu du théorème cidessus) ≅ (Rep_{K}G)_{L}^{♮}.

Références

[1] N. Bourbaki, Algèbre, chapitre VIII, Hermann, 1958.

[2] H. Cartan, S. Eilenberg, Homological algebra, Princeton Univ. Press, 1956.

[3] J. Cuntz, D. Quillen, Algebra extensions and nonsingularity, Journal A.M.S. 8 2 (1995), 251–289.

[4] P. Gabriel, Problèmes actuels de théorie des représentations, L’Ens. Math. 20 (1974), 323–332.

[5] G. M. Kelly, On the radical of a category, J. Australian Math. Soc. 4 (1964), 299–307.

[6] O. Kerner, A. Skowroński, On module categories with nilpotent infinite radical, Compos. Math. 77 3 (1991), 313–333.

[7] P.Y. Leduc, Catégories semi-simples et catégories primitives, Canad. J. Math. 20 (1968), 612–628.

[8] S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, 2ème éd., Springer GTM 5 (1998).

[9] B. Mitchell, Rings with several objects, Adv. Math. 8 (1972), 1–161.

[10] M. Nathanson, Classification problems in K-categories, Fund. Math. 105 3 (1979/80), 187–197.

[11] C. M. Ringel, Recent advances in the representation theory of finite dimensional algebras, in Representation theory of finite groups and finite-dimensional algebras, Birkhäuser Progress in Math. 95 (1991).

[12] L. Rowen, Ring theory, vol. 1, Acad. Press, 1988.

[13] N. Saavedra Rivano, Catégories tannakiennes, Lect. Notes in Math. 265, Springer, 1972.

[14] D. Simson, A. Skowroński, The Jacobson radical power series of module categories and the representation type, Bol. Soc. Mat. Mexicana 5 2 (1999), 223–236.

[15] R. Street, Ideals, radicals and structure of additive categories, Appl. Cat. Structures 3 (1995), 139–149.

II. Radical et rigidité

L’objectif de cette partie est l’étude du radical R en présence d’une structure monoïdale sur A. Il s’avère que la question de la compatibilité du radical à la structure monoïdale est fort délicate, et n’a pas toujours une réponse positive. Nous comparons chemin faisant R au plus grand idéal propre N compatible à la structure monoïdale, et analysons le quotient A/R.

Pour simplifier, on suppose A stricte (la contrainte d’associativité et les contraintes d’unité sont l’identité).

6. Généralités

6.1. Idéaux monoïdaux, duaux. Soit K un anneau commutatif unitaire, et soit (A, •) une K-catégorie monoïdale.

6.1.1. Définition. Un idéal J de A est dit monoïdal^{12} s’il est stable par les transformations 1_{C} • − et − • 1_{C} pour tout objet C de A.

6.1.2. Lemme. a) Si J est monoïdal, il est stable par produit monoïdal à gauche et à droite par un morphisme arbitraire. En particulier, on a une structure monoïdale induite sur le quotient A/J.

b) La notion d’idéal monoïdal est stable par somme, intersection, produit.

Démonstration. a) Soient f ∈ J (A, B) et g ∈ A(C, D). On a alors g•f = (g•1_{B})∘(1_{C}•f) ∈ J (C•A, D•B). On raisonne de même pour les produits à droite.

b) est immédiat. □

Rappelons qu’un objet A d’une catégorie monoïdale A admet un dual (à droite) s’il existe un objet A^{∨} ∈ A et des morphismes d’évaluation

ε_{A} : A • A^{∨} → 1

et de coévaluation

η_{A} : 1 → A^{∨} • A

tels que les composés

\begin{matrix}A & ⟶^{1_{A}•η_{A}} & A • A^{∨} • A & ⟶^{ε_{A}•1_{A}} & A \\ A^{∨} & ⟶^{η_{A}•1_{A^{∨}}} & A^{∨} • A • A^{∨} & ⟶^{1_{A^{∨}}•ε_{A}} & A^{∨} \end{matrix}

soient égaux à l’identité. Le triplet (A^{∨}, ε_{A}, η_{A}) est déterminé à isomorphisme unique près.

12Jannsen [25] dit plutôt tensoriel.

Il en résulte que le foncteur − • A^{∨} est adjoint à gauche au foncteur − • A et que le foncteur A^{∨} • − est adjoint à droite au foncteur A • −. Plus précisément, pour tous objets B, C de A, l’homomorphisme composé

A(A • B, C) ⟶^{1_{A^{∨}}•−} A(A^{∨} • A • B, A^{∨} • C) ⟶^{(η_{A}•1_{B})^{∗}} A(B, A^{∨} • C)

est un isomorphisme, d’inverse le composé

A(B, A^{∨} • C) ⟶^{1_{A}•−} A(A • B, A • A^{∨} • C) ⟶^{(ε_{A}•1_{C})_{∗}} A(A • B, C).

et de même pour l’autre adjonction (cf. e.g. [18, 1]).

Si A et B ont pour duaux à droite A^{∨} et B^{∨}, alors A • B a pour dual à droite

(A • B)^{∨} = B^{∨} • A^{∨}

avec

(6.1)  ε_{A•B} = ε_{A} ∘ (1_{A} • ε_{B} • 1_{A^{∨}}).

On définit de manière duale la notion de dual à gauche ^{∨}A. Si A admet un dual à droite et un dual à gauche, on a (^{∨}A)^{∨} = ^{∨}(A^{∨}) = A. En général, ∨A et A^{∨} ne coïncident pas.

6.1.3. Définition. On dit que (A, •) est rigide si tout objet a un dual à droite et est un dual à droite (ou de manière équivalente, si tout objet a un dual à droite et un dual à gauche).

6.1.4. Sorite. Si A est rigide, il en est de même de A^{⊕}, A^{♮} et de A^{⊕♮} (notations du §1). □

Soient A et B deux objets de A, A ayant un dual à droite. Par adjonction, on a un isomorphisme canonique de K-modules :

ι_{AB} :A(1, A^{∨} • B) ⟶^{∼} A(A, B)
(6.2)  ι_{AB}(φ) = (ε_{A} • 1_{B}) ∘ (1_{A} • φ),

d’inverse

(6.3)  ι_{AB}^{−1}(f) = (1_{A^{∨}} • f) ∘ η_{A}.

Si B a aussi un dual à droite, la composition de deux morphismes f ∈ A(A, B) et g ∈ A(B, C) peut se calculer comme suit (“composition des correspondances”) :

(6.4)  g ∘ f = ι_{AC} ((1_{A^{∨}} • ε_{B} • 1_{C})(ι_{AB}^{−1}f • ι_{BC}^{−1}g)) .

Appliquant ι_{AC}^{−1}, cette formule fondamentale exprime la commutativité du diagramme

1 ⟶^{η_{A}}  A^{∨}A  ⟶^{1_{A^{∨}}•f}  A^{∨}B  A^{∨}B
η_{B} ↓  ^{1_{A^{∨}A}•η_{B}} ↓  ^{1_{A^{∨}B}•η_{B}} ↓  ||
B^{∨}B ⟶^{η_{A}•1_{B^{∨}B}} A^{∨}AB^{∨}B ⟶^{1_{A^{∨}}•ε_{B}•1_{B}} A^{∨}BB^{∨}B ⟶^{1_{A^{∨}}•ε_{B}•1_{B}} A^{∨}B
1_{B^{∨}}•g↓  ^{1_{A^{∨}AB^{∨}}•g}↓  ^{1_{A^{∨}BB^{∨}}•g}↓  ^{1_{A^{∨}}•g}↓
B^{∨}C ⟶^{η_{A}•1_{B^{∨}C}} A^{∨}AB^{∨}C ⟶^{1_{A^{∨}}•f•1_{B^{∨}C}} A^{∨}BB^{∨}C ⟶^{1_{A^{∨}}•ε_{B}•1_{C}} A^{∨}C.

On a aussi les variantes

(6.5)  g ∘ ι_{AB}(φ) = ι_{AC}((1_{A^{∨}} • g) ∘ φ)
(6.6)  ι_{BC}(ψ) ∘ f = ι_{AC}((ε_{B} • 1_{C}) ∘ (f • 1_{B^{∨}•C}) ∘ (1_{A} • ψ))

qui se lisent sur le même diagramme.

Si A, B ont des duaux à droite et que f ∈ A(A, B), on définit (loc. cit. ) le transposé f^{t} (ou dual à droite) de f comme étant le composé

(6.7) B^{∨} = 1 • B^{∨} ⟶^{η_{A}•1} A^{∨} • A • B^{∨} ⟶^{1•f•1} A^{∨} • B • B^{∨} ⟶^{1•ε_{B}} A^{∨} • 1 = A^{∨},

ce qui s’écrit aussi

(6.8)  f^{t} = (1_{A^{∨}} • ε_{B}) ∘ (ι_{AB}^{−1}(f) • 1_{B^{∨}}),

et on a alors la formule

(6.9)  (g ∘ f)^{t} = f^{t} ∘ g^{t}.

On a de même une notion de transposé^{t}f à gauche, et (^{t}f)^{t} = ^{t}(f^{t}) = f. En général,^{t}f et f^{t} ne coïncident pas.

On suppose désormais que A est rigide.

6.1.5. Lemme. Tout idéal monoïdal J vérifie

J (A, B) = ι_{AB}(J (1, A^{∨} • B))

et

(J (A, B))^{t} = J (B^{∨}, A^{∨}).

Démonstration. La première formule découle des formules (6.2), (6.3). Pour la seconde,

(J (A, B))^{t} = (1_{A^{∨}} • ε_{B}) ∘ (J (1, A^{∨} • B) • 1_{B^{∨}}) ⊂ (1_{A^{∨}} • ε_{B}) ∘ J (B^{∨}, A^{∨} • B • B^{∨}) ⊂ J (B^{∨}, A^{∨}).

L’analogue pour les duaux à gauche de ces deux formules conduit à t(J (C, D)) = J (^{∨}D,^{∨}C). En posant B = ^{∨}C, A = ^{∨}D (ce qui est loisible puisque A est rigide), et en appliquant^{t}, on obtient finalement l’inclusion opposée J (B^{∨}, A^{∨}) ⊂ (J (A, B))^{t}. □

On a une réciproque partielle du lemme 6.1.5 (mais voir aussi le lemme 6.2.1 dans le cas symétrique) :

6.1.6. Lemme. Soit I un 1-idéal à gauche de A (définition 1.3.4). La formule

I^{(•)}(A, B) = ι_{AB}(I(A^{∨} • B))

définit un idéal de A contenant I. Cet idéal est monoïdal à gauche (stable par produit • à gauche).

Démonstration. Soit g ∈ A(B, C) un morphisme. En utilisant la formule (6.5), on calcule

g ∘ I^{(•)}(A, B) = g ∘ ι_{AB}(I(A^{∨} • B)) = ι_{AC}((1_{A^{∨}} • g) ∘ I(A^{∨} • B))

⊂ ι_{AC}(I(A^{∨} • C)) = I^{(•)}(A, C).

La stabilité par composition à droite se démontre de même en utilisant (6.6).

Enfin, soit C un objet de A. Observons que l’homomorphisme

1_{C} • − : A(A, B) → A(C • A, C • B)

n’est autre que

f ↦ ι_{C•A,C•B}[(1_{A^{∨}} • η_{C} • 1_{B}) ∘ ι_{AB}^{−1}(f)]

où η_{C} : 1 → C^{∨} • C est la coévaluation. On a donc

1_{C} • I^{(•)}(A, B) = ι_{C•A,C•B}[(1_{A^{∨}} • η_{C} • 1_{B}) ∘ (I(A^{∨} • B))

⊂ ι_{C•A,C•B}(I(A^{∨} • C^{∨} • C • B)) = I^{(•)}(C • A, C • B).

On conclut en appliquant (la moitié du) lemme 6.1.2. □

6.2. Le cas symétrique. On suppose désormais que A (qui rappelons-le, est supposée rigide) est munie d’un tressage symétrique R (une contrainte de commutativité, dans le langage de Saavedra). On renvoie à 15.1 pour plus de détails sur les tressages.

Sous cette hypothèse, ^{∨}A = A^{∨} (duaux à droite et à gauche coïncident), et on a

(6.10)  ε_{A^{∨}} = ε_{A} ∘ R_{A^{∨},A}, η_{A^{∨}} = R_{A^{∨},A} ∘ η_{A}, A^{∨∨} = A,
(6.11)  ^{t}f = f^{t}, (f^{t})^{t} = f.

On a aussi l’identité

(6.12)  ι_{C^{∨},C^{∨}}(R_{C^{∨},C} ∘ φ) = ι_{C,C}(φ)^{t}

(en effet, par (6.8) et (6.3), l’image par ι_{C^{∨},C^{∨}}^{−1} du membre de droite s’écrit (1_{C^{∨}} • ε_{C}) ∘ (φ • 1_{C^{∨}}), tandis que celle du membre de gauche s’écrit (ε_{C^{∨}} • 1_{C^{∨}}) ∘ (1_{C^{∨}} • (R_{C^{∨},C} ∘ φ)) = ((ε_{C} ∘ R_{C^{∨},C}) • 1_{C^{∨}}) ∘ (1_{C^{∨}} • φ), et l’égalité des deux membres s’ensuit par permutation des facteurs C^{∨}.)

Par ailleurs, si A, B, C, D sont quatre objets de A et φ ∈ A(1, A^{∨} • B), ψ ∈ A(1, C^{∨} • D), on a la formule

(6.13) ι_{A,B}(φ) • ι_{C,D}(ψ) = ι_{A•C,B•D}((R_{A^{∨}•B,C^{∨}} • 1_{D}) ∘ (φ • ψ)).

Le lemme suivant complète 6.1.6.

6.2.1. Lemme. Soit I un 1-idéal à gauche de A (définition 1.3.4). La formule

I^{(•)}(A, B) = ι_{AB}(I(A^{∨} • B))

définit un idéal monoïdal I^{(•)} ; c’est le plus petit idéal monoïdal de A contenant I.

Démonstration. On a vu que I^{(•)} est un idéal contenant I, stable par produit à gauche. Par tressage, on a aussi I^{(•)}(A, B) • 1_{C} ⊂ I^{(•)}(A • C, B • C) pour trois objets A, B, C. La deuxième assertion est immédiate compte tenu du lemme 6.1.5. □

6.3. Interprétation. Pour expliciter le sens des lemmes 6.1.5 et 6.2.1, notons :

– 𝔾 l’ensemble des 1-idéaux à gauche de A;

– 𝕀 l’ensemble des idéaux [bilatères] de A;

– 𝕋 l’ensemble des idéaux [bilatères] monoïdaux de A.

Ces trois ensembles sont ordonnés par inclusion. On a le diagramme suivant d’applications croissantes :

\begin{aligned}𝕋 & \begin{matrix}i \\ ⟶ \\ ⟵ \\ j \end{matrix} & 𝕀 \\ t ↖ & & r ↙ \\ & 𝔾 \end{aligned}

où – i associe à un idéal monoïdal l’idéal sous-jacent ;

– j associe à un idéal le plus petit idéal monoïdal le contenant ;

– r associe à un idéal le 1-idéal à gauche sous-jacent (r(I)(A) = I(1, A)) ; – t associe à un 1-idéal à gauche I l’idéal monoïdal I^{(•)} construit dans

le lemme 6.2.1. On a évidemment ji = Id. Le lemme 6.1.5 dit que tri = Id, tandis que

le lemme 6.2.1 dit que rit = Id. En particulier, les applications t et ri sont des bijections inverses l’une de l’autre. D’autre part, soit I ∈ 𝕀. Comme j(I) contient r(I), on a j(I) ⊃ tr(I), et j(I) = tr(I) si et seulement si tr(I) ⊃ I.

Par abus de notation, on écrira encore I^{(•)} pour tr(I) si I ∈ 𝕀.

Par ailleurs, les ensembles 𝔾, 𝕀, 𝕋 sont munis d’opérations internes “somme”, “intersection”. Il est clair que les applications i, t, r respectent ces opérations.

Le cas du produit est plus intéressant. A priori, seuls 𝕀 et 𝕋 sont munis d’une opération “produit” évidente. On peut alors munir 𝔾 d’un tel produit en posant : I · J := ri(t(I) · t(J)) (en formule :

(6.14)  (I · J)(B) := ∑_{A} ι_{AB}(I(A^{∨} • B)) ∘ J (A) ).

Les applications i, t, r respectent alors aussi le produit.

6.3.1. Exemple. Si A est la catégorie monoïdale des motifs de Grothendieck pour l’équivalence rationnelle (motifs ‘de Chow’) à coefficients dans K et si K est un corps, il y a bijection entre les idéaux monoïdaux de A et les relations d’équivalence adéquates sur les cycles algébriques à coefficients dans K.

Il est plus facile de décrire la bijection entre 1-idéaux à gauche de A et relations d’équivalence adéquates (cf. [25, 4]). Soit I un tel 1-idéal, c’està-dire la donnée d’une famille de sous-groupes I(M) de A(1, M) stable par l’action à gauche des correspondances, où M décrit les objets de A. Pour le motif M d’une variété X tordu m fois à la Tate, on a A(1, M) = CH^{m}(X)_{K}, donc I définit une relation d’équivalence adéquate. Inversement, toute relation d’équivalence adéquate définit un 1-idéal à gauche de la catégorie des correspondances de Chow (non effectives), et on vérifie que les 1-idéaux à gauche de cette catégorie sont en correspondance bijective avec ceux de son enveloppe pseudo-abélienne A.

On déduit de (6.14) la formule pour le produit de relations d’équivalence adéquates (correspondant au produit d’idéaux, et noté ∗ dans loc. cit. ).

7. Traces

Dans tout ce paragraphe, on suppose que (A, •) est K-linéaire monoïdale rigide, symétrique, et que End(1) = K (en revanche, on ne suppose pas A abélienne).

7.1. Traces et idéal N. Rappelons que la trace d’un endomorphisme h ∈ A(C, C) est l’élément tr(h) ∈ K = End(1) défini par

ε_{C} ∘ R_{C^{∨},C} ∘ (ι_{CC}^{−1}(h)) : 1 → 1,

où ε_{C} : C • C^{∨} → 1 est l’évaluation. Dans la situation symétrique dans laquelle nous nous plaçons, la formule s’écrit aussi

(7.1)  tr(h) = ε_{C^{∨}} ∘ (ι_{CC}^{−1}(h))

La dimension (ou rang) de l’objet A est la trace de 1_{A}.

Soient f ∈ A(A, B) et g ∈ A(B, A). Des formules (6.1) et (6.4), on déduit que

tr(g ∘ f) = ε_{A^{∨}}(1_{A^{∨}} • ε_{B} • 1_{A})(ι_{AB}^{−1}f • ι_{BA}^{−1}g) = ε_{A^{∨}B} ∘ (ι_{AB}^{−1}f • ι_{BA}^{−1}g)

d’où

(7.2)  tr(g ∘ f) = tr(f ∘ g)

et, en appliquant (6.7)

(7.3)  tr(g ∘ f) = (ι_{AB}^{−1}f)^{t} ∘ ι_{BA}^{−1}g (= tr((ι_{AB}^{−1}f)^{t} ∘ ι_{BA}^{−1}g)).

En appliquant (6.12), on obtient aussi l’identité

tr(h^{t}) = tr(h).

Voici une autre formule utile (cf. [20, 7.2]) : si f et g sont des endomorphismes de A et B, on a

(7.4)  tr(f • g) = tr(f)tr(g).

Introduisons à présent l’idéal N, protagoniste principal de ce paragraphe.

7.1.1. Lemme. La formule

N (A, B) = {f ∈ A(A, B), ∀g ∈ A(B, A), tr(g ∘ f) = 0}

définit un idéal monoïdal de A^{13}. On a

N (A, B) = ι_{AB}{f ∈ A(1, A^{∨} • B), ∀g ∈ A(A^{∨} • B, 1), g ∘ f = 0}.

Démonstration. La stabilité par composition à gauche est claire et la stabilité par composition à droite s’en déduit en vertu de la formule (7.2). Il suffit alors de prouver la seconde assertion, qui dit que N = N^{(•)}. C’est immédiat à partir de la formule (7.3). □

7.1.2. Exemple. Dans le cas de l’exemple 6.3.1 (motifs), l’idéal monoïdal N correspond à l’équivalence numérique des cycles algébriques.

13Dans [19] cet idéal apparaît, dans le cadre plus général (tressage non nécessairement symétrique) des tortils ou catégories enrubannées, sous le nom d’idéal des morphismes négligeables.

7.1.3. Lemme. On suppose que K est un corps. Soit f_{1}, …, f_{n} ∈ A(A, A) une famille de n éléments linéairement indépendants modulo N (A, A). Alors (f_{1}, …, f_{n}) correspond à une corétraction 1^{n} ↪ A^{∨} • A.

Démonstration. La donnée des f_{i} fournit un morphisme 1^{n} → A^{∨} • A (de i-ème composante ι_{AA}^{−1}(f_{i})). Remarquons que, par définition de N, la trace induit une forme bilinéaire (symétrique) non dégénérée

A(A, A)/N (A, A) × A(A, A)/N (A, A) → K.

Il existe donc deséléments g_{1}, …, g_{n} de A(A, A) tels que tr(g_{i}∘f_{j}) = δ_{ij} (symbole de Kronecker). Le morphisme composé

A^{∨} • A ⟶^{∘g_{1},...,∘g_{n}} (A^{∨} • A)^{n} ⟶^{R_{A^{∨}A},...,R_{A^{∨}A}} (A • A^{∨})^{n} ⟶^{ev,...,ev} 1^{n}

est un inverseà gauche de 1^{n} ↪ A^{∨}•A. Réciproquement, toute corétraction comme dans l’énoncé s’obtient clairement ainsi. □

7.1.4. Proposition. On suppose que K est un corps. Soit A un catégorie K-linéaire monoïdale symétrique rigide, avec K = End(1). On note R son radical. Alors

a) N = R^{(•)} : N (A, B) = ι_{AB}(R(1, A^{∨} • B)) pour tout couple (A, B).

b) N est le plus grand idéal monoïdal distinct de A.

c) Soit J un idéal monoïdal distinct de A. Si A/J est semi-simple, alors J = N.

Démonstration. a) Que N soit distinct de A se voit sur le couple (1, 1). Pour l’égalité N = R^{(•)}, il s’agit de voir que pour tout objet A, N (1, A) = R(1, A). C’est bien le cas, car d’après le lemme 1.4.7,

R(1, A) = {f ∈ A(1, A), ∀g ∈ A(A, 1), g ∘ f = 0}.

b) Prouvons que tout idéal monoïdal J distinct de A est contenu dans N : il suffit de faire voir que pour tout objet A, J (1, A) ⊂ N (1, A), c’est-à-dire que pour tout f ∈ J (1, A) et tout g ∈ A(A, 1), g ∘ f = 0 ∈ K. Si tel n’était pas le cas, on pourrait supposer g ∘ f = 1, donc 1 ∈ J (1, 1), d’où J (1, A) = A(1, A).

c) Si A/J est semi-simple, alors R ⊂ J. Donc R^{(•)} = N est contenu dans J^{(•)} = J. On a l’inclusion opposée d’après i). □

7.1.5. Corollaire. L’idéal N ne dépend pas du choix du tressage (symétrique) R. □

7.1.6. Proposition. Sous les mêmes hypothèses, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) R ⊃ N (resp. R ⊂ N), (ii) le foncteur de projection A → A/N est conservatif,

(iii) pour tous objets A, B de A, l’identification

ι_{AB} : A(1, A^{∨} • B) ⟶^{∼} A(A, B)

induit une inclusion

R(A, B) ⊃ R(1, A^{∨} • B)

(resp.

R(A, B) ⊂ R(1, A^{∨} • B)).

En outre, R est un idéal monoïdal si et seulement si R = N.

Démonstration. (i) ⟺ (ii) résulte de 1.4.2 b) ; (i) ⟺ (iii) n’est autre qu’une reformulation de la proposition 7.1.4 a). La dernière assertion suit de ce que N = R^{(•)} (ou de (i) ⟺ (iii)). □

7.1.7. Corollaire. Si A est semi-simple, N = 0. Si R ≠ N, R ≠ 0.

En effet, la première (resp. deuxième) affirmation résulte de la proposition 7.1.4 (resp. 7.1.4 et 7.1.6) compte tenu de ce que le radical d’une catégorie semi-simple est nul (resp. de ce que 0 est un idéal monoïdal). □

7.1.8. Exemple. Revenons à l’exemple de la catégorie monoïdale symétrique rigide A des motifs de Chow à coefficients rationnels. Des conjectures très fortes dues à A. Beilinson [17] et de J. Murre [28] (qui sont en fait équivalentes, cf. [25]) prédisent l’existence d’un filtration finie fonctorielle sur les objets de A. Chaque cran de la filtration est supposé provenir d’une équivalence adéquate, donc définit un idéal monoïdal F^{p}. D’après [25], il résulterait de ces conjectures et des conjectures standard que F^{p} est la puissance p-ième de l’idéal F^{1} (correspondant à l’équivalence homologique) et que F^{1} = N. La finitude conjecturale de la filtration a pour conséquence que F^{1} ⊂ R, donc F^{1} = R = N (R est monoïdal), et implique alors : A est strictement de Wedderburn (noter que R^{ω} = ∩F^{p} = 0). Ces propriétés se transférent aux catégories de motifs purs pour une équivalence adéquate quelconque.

Cet exemple conjectural est l’une des principales sources d’inspiration de cet article.

7.1.9. Remarque. La compatibilité de N vis-à-vis de l’extension des scalaires (naïve) ne pose pas de problème (contrairement à celle du radical R, cf. §3.) C’est prouvé dans [19, 1.4.1], dans un contexte beaucoup plus large.

7.2. Traces et puissances extérieures. Cette partie est inspirée par [20, 7.2] et par le récent travail de Kimura ([26], voir aussi [22]). Ici la symétrie du tressage est essentielle.

Soit n un entier > 0. On fait opérer le groupe symétrique 𝔖_{n} sur A^{•n} au moyen du tressage [symétrique !] R, en écrivant tout élément σ de 𝔖_{n} comme produit de transpositions de la forme (i i + 1) (le résultat ne dépend pas de cette écriture, cf. [20, 7.2]). Plus généralement, si A_{1}, …, A_{n} ∈ A et β ∈ 𝔖_{n}, on a un isomorphisme bien déterminé

β : A_{1} • ⋯ • A_{n} → A_{β(1)} • ⋯ • A_{β(n)}

covariant en β. Si B_{1}, …, B_{n} sont d’autres objets, pour toute famille f_{i} ∈ A(A_{i}, B_{i}), on a

(7.5)  β ∘ (f_{1} • ⋯ • f_{n}) = (f_{β(1)} • ⋯ • f_{β(n)}) ∘ β.

On a aussi les formules suivantes qui nous seront utiles (7.6) ι_{A_{β(1)}•...•A_{β(n)},A_{β(1)}•...•A_{β(n)}}((β^{−1}, β) ∘ φ) = β ∘ ι_{A_{1}•...•A_{n},A_{1}•...•A_{n}}(φ) ∘ β^{−1}

(7.7)  ε_{A_{β(n)}^{∨}•...•A_{β(1)}^{∨}} ∘ (β^{−1}, β) = ε_{A_{n}^{∨}•...•A_{1}^{∨}},

où (β^{−1}, β) désigne la “permutation”

A_{n}^{∨} • … • A_{1}^{∨} • A_{1} • … • A_{n} → A_{β(n)}^{∨} • … • A_{β(1)}^{∨} • A_{β(1)} • … • A_{β(n)}.

Cas particulier de (7.5) : soit σ ∈ 𝔖_{n}, et supposons que B_{i} = A_{σ(i)} pour tout i. On peut alors considérer l’endomorphisme suivant de A_{1} • ⋯ • A_{n} (cf. [20, 7.2]) :

F = σ^{−1} ∘ (f_{1} • ⋯ • f_{n}).

Nous nous proposons de calculer la trace de F.

Écrivons σ comme produit de cycles disjoints σ_{1} ∘ ⋯ ∘ σ_{p}, et soit I_{k} ⊂ {1, …, n} le support de σ_{k}. Pour tout i ∈ I_{k}, on peut considérer l’endomorphisme de A_{i}

F_{k,i} = f_{σ^{ℓ_{k}−1}(i)} ∘ ⋯ ∘ f_{σ(i)} ∘ f_{i}

où ℓ_{k} = |I_{k}| est la longueur du cycle σ_{k}. D’après (7.2), la trace tr(F_{k,i}) ne dépend pas du choix de i : notons-là t_{k}.

7.2.1. Proposition. On a

tr(F) = ∏_{k=1}^{p} t_{k}.

Démonstration. Soit β ∈ 𝔖_{n}. D’après (7.5) et (7.2), on a

tr(βσ^{−1}β^{−1} ∘ (f_{β(1)} • ⋯ • f_{β(n)}))

= tr(β ∘ σ^{−1} ∘ (f_{1} • ⋯ • f_{n}) ∘ β^{−1})
= tr(σ^{−1} ∘ (f_{1} • ⋯ • f_{n})).

Cette formule permet de se ramener au cas où les I_{k} forment une partition croissante de {1, …, n} :

I_{k} = {ℓ_{1} + ⋯ + ℓ_{k−1} + 1, …, ℓ_{1} + ⋯ + ℓ_{k}}

et où, de plus, pour tout k, σ_{k} est le cycle “croissant”

σ_{k} = (ℓ_{1} + ⋯ + ℓ_{k−1} + 1, ⋯, ℓ_{1} + ⋯ + ℓ_{k}).

Posant alors

F_{k} = σ_{k}^{−1} ∘ (f_{ℓ_{1}+···+ℓ_{k−1}+1} • ⋯ • f_{ℓ_{1}+···+ℓ_{k}})

une itération de la formule (7.4) donne

tr(F) = ∏_{k=1}^{p} tr(F_{k}).

Ceci ramène la démonstration de la proposition 7.2.1 au cas où σ est la permutation cyclique de {1, …, n}. Par itération de la formule (6.4), et compte tenu de (6.1) et (6.13), on trouve

(7.8) ι_{A_{1}A_{1}}^{−1}(f_{n} ∘ ⋯ ∘ f_{1})

= (1_{A_{1}^{∨}} • ε_{A_{2}} ⋯ • ε_{A_{n}} • 1_{A_{1}}) ∘ (ι_{A_{1}A_{2}}^{−1}f_{1} • ⋯ • ι_{A_{n}A_{1}}^{−1}f_{n})

= (1_{A_{1}^{∨}} • ε_{A_{n}^{∨}•···•A_{2}^{∨}} • 1_{A_{1}}) ∘ (ι_{A_{2}•···•A_{n}•A_{1},A_{2}•···•A_{n}•A_{1}}^{−1}F).

En appliquant ε_{A^{∨}} “aux deux facteurs extrêmes A^{∨} et A” (ce qui fait sens grâce au tressage), on obtient

(7.9) tr(f_{n} ∘ ⋯ ∘ f_{1}) = ε_{A_{1}^{∨}•A_{n}^{∨}•···•A_{2}^{∨}}(ι_{A_{2}•···•A_{n}•A_{1},A_{2}•···•A_{n}•A_{1}}^{−1}F)

= ε_{A_{1}^{∨}•A_{n}^{∨}•···•A_{2}^{∨}}(ι_{A_{2}•···•A_{n}•A_{1},A_{2}•···•A_{n}•A_{1}}^{−1}F)

= ε_{A_{n}^{∨}•···•A_{1}^{∨}}(ι_{A_{1}•···•A_{n},A_{1}•···•A_{n}}^{−1}(σ∘(f_{1} •⋯•f_{n}))) = tr(σ∘(f_{1} •⋯•f_{n}))

(cf. aussi [20, 7.2]). □

7.2.2. Corollaire. Supposons A_{1} = ⋯ = A_{n} = A et f_{1} = ⋯ = f_{n} = f. Alors

tr(F) = ∏_{k=1}^{p} tr(f^{∘ℓ_{k}}).

En particulier, pour f = 1, on a tr(σ) = dim(A)^{p}. □

Dans la suite de ce paragraphe (jusqu’à 7.3), on suppose que A est pseudo-abélienne.

7.2.3. Définition. Soit n un entier naturel tel que n! soit inversible dans K, et soit A ∈ A. La puissance extérieure n-ième Λ^{n}A de A est l’image du projecteur d’antisymétrisation sur A^{•n}

(7.10)  a_{n} = \frac{1}{n!} ∑_{σ∈𝔖_{n}} sgn(σ)σ.

De même, la puissance symétrique n-ième S^{n}A d’un objet A de A est l’image du projecteur de symétrisation s_{n} = \frac{1}{n!} ∑_{σ∈𝔖_{n}} σ.

Ces constructions sont fonctorielles en A.

7.2.4. Proposition (cf. [20, 7.2]). Soit A un objet de A, et soit f un endomorphisme de A. Alors on a

tr(Λ^{n}(f)) = \frac{1}{n!} ∑_{σ∈𝔖_{n}} sgn(σ) ∏_{k=1}^{p} tr(f^{∘ℓ_{k}})

où, pour tout σ ∈ 𝔖_{n}, ℓ_{1}, …, ℓ_{p} sont les longueurs des cycles disjoints constitutant σ. En particulier, si d = dim A, la dimension de Λ^{n}A est

\binom{d}{n} = \frac{d(d − 1) … (d − n + 1)}{n!}.

De même, on a

tr(S^{n}(f)) = \frac{1}{n!} ∑_{σ∈𝔖_{n}} ∏_{k=1}^{p} tr(f^{∘ℓ_{k}})

dim S^{n}(A) = \binom{d + n − 1}{n} = \frac{d(d + 1) … (d + n − 1)}{n!}.

Démonstration. La première assertion résulte directement du corollaire 7.2.2. La seconde résulte du cas particulier f = 1 et de l’identité bien connue

\binom{d}{n} = \frac{1}{n!} ∑_{σ∈𝔖_{n}} sgn(σ)d^{α(σ)}

où α(σ) est le nombre de cycles constituant σ. Les assertions pour les puissances symétriques se démontrent de même. □

7.2.5. Corollaire. Sous les hypothèses de la proposition 7.2.4,

a) tr(f^{∘n}) s’exprime comme un polynôme universel en les tr(Λ^{i}(f)) pour i = 1, …, n à coefficients dans Z[1/n!].

b) On a

(7.11)  tr(Λ^{n}(1_{A} + f)) = ∑_{i=0}^{n} tr(Λ^{i}f).

Démonstration. a) Posons t_{i} = tr(f^{∘i}) : le second membre de la proposition 7.2.4 est donc un polynôme universel en les t_{i}. On remarque que t_{n} intervient dans le terme ∏_{k=1}^{p} tr(f^{∘ℓ_{k}}) si et seulement si σ est un cycle de longueur n, et qu’alors ce terme est égal à t_{n}. Tous ces cycles ont la même signature (−1)^{n−1}, et ils sont au nombre de (n − 1)!. Ainsi, le second membre de la proposition 7.2.4 est un polynôme du premier degré en t_{n}, et le coefficient de t_{n} est égal à (−1)^{n−1}/n. L’assertion en résulte, par récurrence sur n.

b) Grâce à a), on voit que tr(Λ^{n}(1 + f)) s’écrit comme un polynôme universel à coefficients dans Z[\frac{1}{n!}] en les tr(Λ^{i}f) pour i ≤ n. Prenant pour A la catégorie monoïdale des modules libres de type fini sur K, on obtient la formule voulue. □

En s’inspirant de Kimura [26] (qui se plaçait dans le cadre des motifs de Chow, cf. aussi [22, 3.15]), nous allons démontrer un résultat plus précis que 7.2.1 et 7.2.4, qu’on retrouve en appliquant ε_{A_{1}^{∨}} aux facteurs extrêmes. On reprend les notations de 7.2.1.

7.2.6. Proposition. Pour tout σ ∈ 𝔖_{n}, notons ℓ_{1}(σ) la longueur du cycle σ_{1} de σ ayant 1 dans son support. On a

(7.12) ι_{A_{1}A_{1}}((1_{A_{1}^{∨}} • ε_{A_{n}^{∨}•···•A_{2}^{∨}} • 1_{A_{1}})(ι_{A_{1}•···•A_{n},A_{1}•···•A_{n}}^{−1}(σ^{−1} ∘ f_{1} • ⋯ • f_{n}))) = t_{σ}.f_{σ_{1}^{ℓ_{1}−1}(1)} ∘ ⋯ ∘ f_{σ_{1}(1)} ∘ f_{1},

où t_{σ} = 1 si σ est cyclique (ℓ_{1} = n), et t_{σ} ∈ K est un produit de traces de monômes non triviaux en les f_{i} si σ n’est pas cyclique.

A fortiori, si A_{1} = … = A_{n} = A et f_{1} = … = f_{n} = f ∈ A(A, A), et si n! est inversible dans K, on obtient

(7.13) ι_{AA}((1_{A^{∨}} • ε_{A^{•(n−1)}} • 1_{A}) ∘ (ι_{A^{•n},A^{•n}}^{−1}(Λ^{n}f))) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} t′_{σ}f^{ℓ_{1}(σ)}

(7.14) ι_{AA}((1_{A^{∨}} • ε_{A^{•(n−1)}} • 1_{A}) ∘ (ι_{A^{•n},A^{•n}}^{−1}(S^{n}f))) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} t”_{σ}f^{ℓ_{1}(σ)}

où t′_{σ} = \frac{(−1)^{n−1}}{n!} si σ est cyclique, et t′_{σ} = ±\frac{1}{n!}× un produit de traces de puissances non nulles de f sinon (resp. mêmes formules pour t”_{σ}, sans les signes).

Démonstration. Abrégeons provisoirement ι_{AA} en ι_{A}, et

(1_{A_{1}^{∨}} • ε_{A_{n}^{∨}•···•A_{2}^{∨}} • 1_{A_{1}}) ∘ ι_{A_{1}•···•A_{n},A_{1}•···•A_{n}}^{−1}(−)

en Θ_{A_{1}...A_{n}}(−).

Soit β ∈ 𝔖_{n} une permutation telle que β(1) = 1. Compte tenu de (7.5), (7.6) et (7.7), on a

ι_{A_{1}A_{1}}(Θ_{A_{1}A_{β(1)}...A_{β(n)}}(βσ^{−1}β^{−1} ∘ (f_{1} • f_{β(2)} • ⋯ • f_{β(n)})))

= ι_{A_{1}A_{1}}(Θ_{A_{1}A_{β(2)}...A_{β(n)}}(β ∘ σ^{−1} ∘ (f_{1} • ⋯ • f_{n}) ∘ β^{−1}))

= ι_{A_{1}A_{1}}(Θ_{A_{1}...A_{n}}(σ^{−1} ∘ (f_{1} • ⋯ • f_{n}))).

Comme dans la preuve de 7.2.1, et parce que σ_{1} est choisi de telle sorte que 1 est dans son support, cette formule permet de se ramener au cas où les I_{k} forment une partition croissante de {1, …, n} et où, de plus, pour tout k, σ_{k} est le cycle “croissant”

σ_{k} = (ℓ_{1} + ⋯ + ℓ_{k−1} + 1, ⋯, ℓ_{1} + ⋯ + ℓ_{k}),

ce qui permet d’écrire

σ^{−1} ∘ f_{1} • ⋯ • f_{n} = (σ_{1}^{−1} ∘ f_{1} • ⋯ • f_{ℓ_{1}}) • ⋯ • (σ_{p}^{−1} ∘ f_{n−ℓ_{p}} • ⋯ • f_{n}).

Compte tenu de (6.1) et (6.13), on en tire

ι_{A_{1}}(Θ_{A_{1}...A_{n}}(f_{1} • ⋯ • f_{n}))

= ι_{A_{1}}((1_{A_{1}^{∨}} • ε_{A_{ℓ_{1}}^{∨}•···•A_{2}^{∨}} • 1_{A_{1}})(ι_{A_{1}•...•A_{ℓ_{1}}}^{−1}(σ_{1}^{−1} ∘ f_{1} • ⋯ • f_{ℓ_{1}}))•

ε_{A_{ℓ_{1}+ℓ_{2}}^{∨}•···•A_{ℓ_{1}+1}^{∨}}(ι_{A_{ℓ_{1}+1}•...•A_{ℓ_{1}+ℓ_{2}}}^{−1}(σ_{2}^{−1} ∘ f_{ℓ_{1}+1} • ⋯ • f_{ℓ_{1}+ℓ_{2}}))•

… • ε_{A_{n}^{∨}•···•A_{n−ℓp}^{∨}}(ι_{A_{n−ℓp}•...•A_{n}}^{−1}(σ_{p}^{−1} ∘ f_{n−ℓ_{p}} • ⋯ • f_{n})))

ce qui n’est autre que

(f_{ℓ_{1}} ∘ ⋯ ∘ f_{1}).tr(f_{ℓ_{1}+ℓ_{2}} ∘ ⋯ ∘ f_{ℓ_{1}+1}). · · · .tr(f_{n} ∘ ⋯ ∘ f_{n−ℓ_{p}})

par (7.8)et (7.9). Ceci démontre la première assertion, et la seconde s’ensuit immédiatement. □

7.2.7. Proposition. Soit A ≠ 0 un objet de A. On suppose qu’il existe un entier n > 0 tel que n! soit inversible dans K et tel que tel que Λ^{n}A = 0 (resp. que S^{n}A = 0). Alors

i) N (A, A) est un nil-idéal de A(A, A) d’échelon de nilpotence ≤ n. C’est même un idéal nilpotent de A(A, A), d’échelon de nilpotence borné en fonction de n. En particulier, l’image de A n’est pas nulle dans A/N. ii) Si K est intègre de caractéristique nulle, la dimension de A (resp. l’opposé de la dimension de A) est un entier naturel ≤ n.

Démonstration. i) la formule (7.13) nous dit que

ι_{A}(1_{A^{∨}} • ε_{A^{•(n−1)}} • 1_{A})(ι_{A^{•n}}^{−1}(Λ^{n}f)) = ∑_{σ∈𝔖_{n}} t′_{σ}f^{ℓ_{1}(σ)},

où t′_{σ} = \frac{(−1)^{n−1}}{n!} si σ est cyclique, et t′_{σ} = ±\frac{1}{n!}× un produit de traces de puissances non nulles de f sinon. Pour f ∈ N, ces derniers termes s’annulent, et on a donc

ι_{A}(1_{A^{∨}} • ε_{A^{•(n−1)}} • 1_{A})(ι_{A^{•n}}^{−1}(Λ^{n}f)) = \frac{(−1)^{n−1}}{n} f^{n}.

Mais Λ^{n}f = 0 si Λ^{n}A = 0, et on trouve finalement que f^{n} = 0. De même avec S^{n} au lieu de Λ^{n}. La nilpotence de N (A, A) résulte alors du théorème de Nagata-Higman [29, 23] rappelé ci-dessous pour la commodité du lecteur.

La troisième assertion de i) est immédiate.

ii) D’après la proposition 7.2.4, la dimension de Λ^{n}A est donnée par le coefficient binômial \binom{dim A}{n}, qui ne s’annule que si dim A est un entier naturel ≤ n.

Le cas d’une puissance symétrique se traite de même. □

7.2.8. Lemme (Nagata-Higman). Soit K un anneau commutatif unitaire dans lequel n! est inversible. Soit R une K-algèbre associative non unitaire telle que tout élément x ∈ R vérifie x^{n} = 0. Alors R^{2^{n}−1} = 0.

Démonstration. (d’après P. Higgins) On raisonne par récurrence sur n, en posant R = R_{n}. Posons

ξ(x, y) = ∑_{i=0}^{n−1} x^{i}yx^{n−1−i} et η(x, y, z) = ∑_{i,j=0}^{n−1} x^{i}zy^{j}x^{n−i−1}y^{n−j−1}.

En écrivant (x + iy)^{n} = 0 pour i = 0, … n − 1, on obtient par Van der Monde (compte tenu de ce que (n−1)! est inversible dans K) que ξ(x, y) est identiquement nul sur R_{n}×R_{n}. Donc η(x, y, z) = ∑_{j=0}^{n−1} ξ(x, zy^{j})y^{n−1−j} = 0, mais η(x, y, z) se réécrit nx^{n−1}zy^{n−1} + ∑_{j=0}^{n−2} x^{j}zξ(y, x^{n−1−j}), d’où x^{n−1}zy^{n−1} = 0 (compte tenu de ce que n est inversible dans K). Soit I_{n−1} l’idéal de R_{n} engendré par les puissances (n − 1)-ièmes. La K-algèbre R_{n−1} = R_{n}/I_{n−1} est nil d’échelon n − 1. Par récurrence, R_{n−1}^{2^{n−1}−1} = 0, i.e. R_{n}^{2^{n−1}−1} ⊂ I_{n−1}, et on conclut de ce qui précède que

R_{n}^{2^{n}−1} = R_{n}^{2^{n−1}−1}.R_{n}.R_{n}^{2^{n−1}−1} ⊂ I_{n−1} · R_{n} · I_{n−1} = 0.
□

7.3. Trace des endomorphismes nilpotents. Nous ignorons si un endomorphisme nilpotent est toujours de trace nilpotente, sans hypothèse supplémentaire. Nous allons néanmoins le démontrer dans deux cas particuliers.

7.3.1. Proposition. Supposons que A soit pseudo-abélienne et que la dimension de tout objet de A soit un entier naturel. Soit A un objet de dimension n telle que n! soit inversible dans K. Alors tout endomorphisme nilpotent de A est de trace nilpotente dans K.

Démonstration. Par le théorème de Krull et par extension des scalaires (naïve), on se ramène au cas où K est un corps. Par extension des scalaires de K à K[t], la formule (7.11) donne tr(Λ^{n}(1 + tf)) = ∑_{i=0}^{n} t^{i}tr(Λ^{i}f). Pour montrer que tr(f) = 0 pour tout f nilpotent, il suffit donc d’établir que tr(Λ^{n}(1 + f)) = 1 pour tout tel f. Or par la proposition 7.2.4, le rang de Λ^{n}A est 1. Il suffit donc de démontrer que pour tout objet B de rang 1, (A/N)(B, B) = K.1_{B} ⟶^{tr ≅} K, compte tenu de ce que K est un corps. Cela découle du lemme suivant, qui est une conséquence immédiate de 7.1.3 :

7.3.2. Lemme. Supposons que K soit un corps, que A soit pseudo-abélien-ne et que la dimension de tout objet soit un entier naturel. Alors tout objet de dimension 0 de A/N est nul, et pour tout objet B de A/N de dimension 1, le morphisme canonique η_{B} : 1 → B^{∨} • B est un isomorphisme. □

7.3.3. Proposition (cf. [19, 1.4.3]). Supposons qu’il existe un foncteur monoïdal symétrique H de A vers une catégorie abélienne monoïdale symétrique rigide V; supposons en outre que l’application K → V(1, 1) soit injective. Alors tout endomorphisme nilpotent est de trace nulle.

Démonstration. On se ramène au cas A = V, donc à supposer A abélienne. Cela permet de factoriser f = m ∘ e en épi suivi de mono. Si f^{n} = 0, on a donc

0 = (me)^{n} = m(em)^{n−1}e

d’où (em)^{n−1} = 0 puisque m (resp. e) est simplifiable à gauche (resp. à droite). On écrit alors tr(me) = tr(em), et on conclut par récurrence sur l’échelon de nilpotence. □

7.3.4. Remarque. Dans 7.3.1 (contrairement à 7.3.3), on ne peut remplacer “trace nilpotente” par “trace nulle” si K n’est pas réduit : la catégorie A des modules libres de type fini sur l’algèbre des nombres duaux D = K[ε]/(ε^{2}) est monoïdale D-linéaire symétrique rigide, et vérifie End 1 = D (mais n’est pas abélienne). Or ε.1_{1} est un endomorphisme nilpotent de trace non nulle.

7.4. ⊗-Radicaux. On suppose toujours A monoïdale symétrique rigide.

7.4.1. Définition. Soit J un idéal monoïdal de A. Le ⊗-radical de J est défini par :

\sqrt[⊗]{J} (A, B) = \{f ∈ A(A, B), ∃n ∈ N, f^{•n} ∈ J (A^{•n}, B^{•n})\}.

7.4.2. Lemme. i) \sqrt[⊗]{J} est un idéal monoïdal. ii) Pour tout objet A, l’idéal \sqrt[⊗]{0}(A, A) est nil. Qui plus est, l’idéal bilatère engendré par un élément quelconque de \sqrt[⊗]{0}(A, A) est nilpotent. iii) \sqrt[⊗]{0} est contenu dans R∩N (rappelons que R désigne le radical de A.)

Démonstration. i) Pour montrer que \sqrt[⊗]{J} est un idéal monoïdal, le seul point non trivial est de vérifier que \sqrt[⊗]{J} (A, B) est stable par addition. Soient f et g deux éléments de cet ensemble. Il existe donc n ∈ N tel que f^{•n} = g^{•n} ∈ J , et l’on voit alors que (f + g)^{•2n} ∈ J puisque J est un idéal monoïdal.

ii) (cf. [26, dém. de la prop. 2.16]). Soit f ∈ \sqrt[⊗]{0}(A, A). Pour tous g_{1}, …, g_{n+1} ∈ A(A, A), on a g_{n+1} • f • g_{n} • … • f • g_{1} = 0 (appliquer le tressage), d’où, par (7.8),

ι_{AA}^{−1}(g_{1} ∘ f ∘ g_{2} ∘ … ∘ f ∘ g_{n+1}) =

(1_{A^{∨}} • ε_{A^{∨}•···•A^{∨}} • 1_{A}) ∘ ι_{A^{•2n+1},A^{•2n+1}}^{−1}(σ^{−1} ∘ (g_{n+1} • f • g_{n} • … • f • g_{1}))

où σ est la permutation cyclique de {1, …, 2n + 1}. On obtient donc que g_{1} ∘ f ∘ g_{2} ∘ … ∘ f ∘ g_{n+1} = 0.

iii) \sqrt[⊗]{0} ⊂ R suit immédiatement de ii). Pour \sqrt[⊗]{0} ⊂ N, on utilise la formule (7.4) : tr(f^{•n}) = tr(f)^{n}. □

7.4.3. Exemple. Dans le cas de l’exemple 6.3.1 (motifs), l’idéal monoïdal \sqrt[⊗]{0} correspond à l’équivalence de smash-nilpotence sur les cycles algébriques, introduite par V. Voevodsky [31]. Sa conjecture principale (loc. cit.) revient à dire que \sqrt[⊗]{0} = N (dans le cas où le corps de coefficients est de caractéristique nulle).

Dans [30], Thomason calcule \sqrt[⊗]{0} dans le cas des catégories dérivées de catégories de faisceaux cohérents.

7.4.4. Remarque. La compatibilité de \sqrt[⊗]{0} vis-à-vis de l’extension des scalaires (naïve) est immédiate.

8. Théorèmes de structure

Dans ce paragraphe, nous tirons les fruits des calculs précédents, pour obtenir des théorèmes de structure : ceux-ci sont rassemblés dans 8.2. Dans tout le paragraphe, K est un corps et A est une catégorie K-linéaire monoïdale symétrique rigide, avec End(1) = K.

On note R le radical, et N le plus grand idéal monoïdal distinct de A. (cf. 7.1.4).

8.1. Structure de A/N.

8.1.1. Proposition. On suppose qu’il existe un foncteur F : A → V ec_{L} vers la catégorie des espaces vectoriels de dimension finie sur une extension L de K, vérifiant F (1) ≠ 0.

a) Alors les morphismes de A/N forment des K-espaces de dimension finie. Plus précisément,

dim_{K}(A/N)(A, B) ≤ dim_{L} F (A^{∨} ⊗ B). dim_{L} F (1).

En particulier, A/N est semi-primaire.

b) Si F est la composée G ∘ H d’un foncteur monoïdal symétrique H de A vers une catégorie abélienne monoïdale symétrique rigide V, et d’un foncteur G : V → V ec_{L}, alors R ⊂ N et A/N est semi-simple.

Démonstration. a) On va donner deux preuves, la première valable seulement si F est K-linéaire.

1) Comme (A/N)(A, B) ⊗_{K} L ≃ (A_{L}/N_{L})(A, B) (cf. remarque 7.1.9), on peut supposer L = K. D’autre part, par rigidité, on peut supposer que A = 1. Considérons alors l’application K-linéaire définie par F :

F : A(1, B) → Hom_{K}(F (1), F (B)).

Soit f ∈ A(1, B) tel que F (f) = 0. Pour tout g ∈ A(B, 1), on a F (gf) = 0, donc gf = 0 : en effet, F : K = End(1) → End_{K}(F (1)) est injectif puisque F (1) ≠ 0. Ainsi Ker F ⊂ N (1, B). On a donc

dim A/N (1, B) ≤ dim A(1, B)/ Ker F ≤ dim Hom(F (1), F (B)).

2) Soit V le sous-L-espace de Hom_{L}(F (A^{∨} • B), F (1)) engendré par F (A(A^{∨} • B, 1)). On peut donc trouver des éléments b_{1}, …, b_{n} de A(A^{∨} • B, 1), avec n ≤ dim_{L} F (A^{∨} • B). dim_{L} F (1), qui engendrent V. Soit a ∈ A(A, B) ≅ A(1, A^{∨} • B). Dire que a ∈ N (A, B) ≅ N (1, A^{∨} • B), c’est dire que b ∘ a = 0 dans K = End(1) pour tout b ∈ A(A^{∨} • B, 1). Comme F est un foncteur, cela revient à dire que V ∘ F (a) = 0 ∈ L. Comme les F (b_{i}) engendrent V sur L, cela revient finalement à dire que b_{i} ∘ a = 0 pour i = 1, … n. Ainsi a ↦ (b_{i} ∘ a)_{i} définit un plongement K-linéaire de (A/N)(A, B) ≅ (A/N)(1, A^{∨} • B) dans K^{n}.

b) Comme A/N est semi-primaire, toutes les K-algèbres d’endomorphismes A/N (C, C) sont semi-primaires, donc leurs radicaux sont nilpotents. D’après 7.3.3, tout élément de ce radical est donc de trace nulle. En appliquant ceci à C = A ⊕ B, on voit que R(A, B) ⊂ N (A, B). Donc R ⊂ N, et A/N est semi-simple puisque semi-primaire et de radical nul. □ 8.1.2. Remarques. 1) La preuve de a) est une variante abstraite de la preuve classique de la finitude des cycles algébriques modulo l’équivalence numérique. L’hypothèse est très faible, mais non superflue : on peut montrer que l’exemple de [20, 2.19] (il s’agit d’une ind-catégorie obtenue à partir de la catégorie monoïdale symétrique rigide A librement engendrée par un objet X de dimension transcendante sur Q) vérifie nos conditions et est même abélienne, mais que A/N n’est pas semi-primaire (en fait, il découle du calcul de A(X, X) fait dans loc. cit. que N (X, X) = 0).

2) Le même énoncé (sans les inégalités de dimensions) vaut si l’on suppose seulement que L est une K-algèbre semi-simple commutative plutôt qu’un corps. En effet, on se ramène à la proposition 8.1.1 en projetant sur la catégorie V ec_{L_{i}}, où L_{i} est un facteur simple de L tel que F (1) ⊗_{L} L_{i} ≠ 0.

Voici un autre énoncé qui va dans le même sens :

8.1.3. Proposition. On suppose que A est pseudo-abélienne et que les dimensions des objets sont des entiers naturels.

a) Alors les morphismes de A/N forment des K-espaces de dimension finie. On a plus précisément, pour tout objet A :

dim_{K}(A/N)(A, A) ≤ (dim A)^{2}.

b) En fait R ⊂ N, et A/N est semi-simple.

Démonstration. a) Comme A est K-linéaire, on se ramène au cas des endomorphismes. Choisissons n endomorphismes f_{1}, …, f_{n} dont les images dans A(A, A)/N (A, A) sont linéairement indépendantes. Il s’agit de voir que n ≤ (dim A)^{2} = dim A^{∨} • A. Au lemme 7.1.3, on a vu que les f_{1}, …, f_{n} donnent lieu à un facteur direct 1^{n} dans A^{∨} • A dans la catégorie monoïdale pseudo-abélienne A/N. Tout supplémentaire sera de dimension un entier naturel par hypothèse, d’où l’inégalité voulue.

b) : comme dans la proposition précédente, mais en invoquant 7.3.1 au lieu de 7.3.3. □

8.2. Radical, traces, semi-simplicité. Trois théorèmes de structure.

Comme dans le sous-paragraphe précédent, on suppose que K est un corps, et que A est une catégorie K-linéaire monoïdale symétrique rigide, avec End(1) = K.

8.2.1. Théorème. On suppose K de caractéristique nulle et A munie d’un foncteur monoïdal symétrique fidèle H : A → L-Modf, où L est une Kalgèbre commutative semi-simple. Alors A est de Wedderburn et H a les propriétés énumérées dans le corollaire 4.1.7 b).

Démonstration. Comme dans la remarque 4.1.8, on se ramène au cas où L est un corps. D’après le corollaire 4.1.7, il suffit alors de vérifier que, pour tout a ∈ A(A, A), le polynôme caractéristique de H(a) est à coefficients dans K. Or, comme car K = 0, ces coefficients s’expriment comme polynômes à coefficients rationnels en les tr(H(a^{i})). Puisque H est monoïdal symétrique, on a tr(H(a^{i})) = H(tr(a^{i})) ∈ H(End(1)) = K. □

Au vu de l’exemple 7.1.2, le point a) de l’énoncé suivant peut être considéré comme une version abstraite des résultats de Jannsen [24] (cf. [16]).

8.2.2. Théorème. a) On suppose qu’il existe un foncteur monoïdal symétrique H de A vers une catégorie abélienne monoïdale symétrique V, et un foncteur G : V → L-Modf vérifiant G(1) ≠ 0, où L est une K-algèbre commutative semi-simple. Alors

(i) R ⊂ N,

(ii) A/N est semi-simple,

(iii) le seul idéal monoïdal I de A tel que A/I soit semi-simple est I = N.

b) Supposons de plus que K soit de caractéristique nulle, que G = Id et que H soit fidèle. Alors

(i) R = N,

(ii) A est de Wedderburn,

(iii) A est pseudo-abélienne si et seulement si A/N est abélienne.

Démonstration. a) (i) et (ii) suivent de la proposition 8.1.1 b) et de la remarque 8.1.2 2) ; (iii), indiqué pour mémoire, a déjà été vu dans la proposition 7.1.4 c).

b) Pour (i), il faut voir que N ⊂ R. On remarque que, via H, la trace monoïdale tr s’interprète comme une “vraie” trace au sens de l’algèbre linéaire. Comme K est supposé de caractéristique nulle, un endomorphisme d’un L-module de type fini dont toutes les puissances strictement positives sont de trace nulle est nilpotent, et on déduit de là que N (A, A) est un nilidéal, donc contenu dans R(A, A), pour tout objet A de A. Le point (ii) découle du théorème précédent. Enfin, (iii) résulte de ceci et de la proposition 2.3.4 b). □

8.2.3. Remarques. 1) Si A est tannakienne et que K est de caractéristique nulle, on verra dans la proposition 18.1.1 que A/R est encore tannakienne (neutre si A l’est). Par contre, on verra aussi que l’hypothèse de caractéristique nulle est nécessaire (contre-exemple 10.1.2, ou remarque 19.5.4 1).

2) Par ailleurs, il ne suffirait pas dans le théorème 8.2.2 de supposer que H est un foncteur fibre Z/2-gradué, cf. contre-exemple 10.1.1 ci-dessous.

8.2.4. Théorème. Supposons K de caractéristique nulle et A pseudo-abé-lienne. Considérons les propriétés suivantes :

a) pour tout objet A de A, il existe un entier n > 0 tel que Λ^{n}A = 0,

b) A/N est semi-simple, et pour tout objet A de A, N (A, A) est un idéal nilpotent,

c) R = N,

d) A ne contient pas d’objet fantôme, i.e. d’objet non nul dont l’image dans A/N est nulle,

e) A est de Wedderburn,

f) A/N est tannakienne semi-simple.

g) la dimension de tout objet de A est un entier naturel, Alors

(i) a) ⟹ b) ⟹ c) ⟹ d) + e) et a) ⟹ f) + g),

(ii) sous g), on a a) ⟺ b) ⟺ c) ⟺ d).

8.2.5. Remarques. 1) La propriété a) présente l’avantage sur les suivantes d’être testable sur des “générateurs tensoriels” de A : soit (A_{α}) une famille d’objets A_{α} de A tels que tout objet de A soit isomorphe à un facteur direct d’une somme directe de •-monômes en les A_{α}; on peut montrer que a) est vérifié dès que pour tout α, il existe n_{α} tel que Λ^{n_{α}}A_{α} = 0.

2) Les propriétés a), f) et g) dépendent du tressage, alors que b), c), d) et e) n’en dépendent pas.

3) Nous ignorons si dans (ii), on peut ajouter e) aux propriétés équivalentes (c’est-à-dire si g) + e) ⟹ R = N).

Démonstration. Séparons b) en b_{1}) : A/N est semi-simple, et b_{2}) : ∀A, N (A, A) est un idéal nilpotent. Nous allons démontrer que a) ⟹ b_{2}), b_{1}) + b_{2}) ⟹ c) ⟹ d), a) ⟹ g) ⟹ b_{1}), b_{1}) + b_{2}) + c) ⟹ e),

a) + b_{1}) + b_{2}) ⟹ f) et d) + g) ⟹ a).

a) ⟹ b_{1}) suit de la proposition 7.2.7 i).

b_{1}) + b_{2}) ⟹ c) : l’inclusion R ⊃ N vient grâce au fait que le radical d’une K-algèbre contient tout nilidéal. L’inclusion opposée de la semisimplicité de A/N (1.4.5).

c) ⟹ d) : en effet, la projection A → A/R étant conservative, elle ne peut envoyer un objet non nul sur un objet nul.

a) ⟹ g) : cela résulte de la proposition 7.2.7 ii).

b_{1}) + b_{2}) + c) ⟹ e) : immédiat.

Il reste à montrer que a) + b_{1}) + b_{2}) ⟹ f). Par b_{2}), A/N est pseudoabélienne tout comme A (lemme 2.3.3). Par b_{1}), elle est donc abélienne (cf. A.2.10). Comme elle vérifie aussi a), le théorème de Deligne [20, 7.1] montre qu’elle est tannakienne.

g) ⟹ b) : cela résulte de la proposition 8.1.3.

d) + g) ⟹ a) : Soit A un objet de dimension d. Notons Ā son image dans A/N et posons B := Λ^{d+1}A. Montrons que B = 0. Par d), il suffit de montrer que son image B̄ dans A/N, qui n’est autre que Λ^{d+1}Ā, est nulle. Notons que B̄ est de dimension \binom{d}{d+1} = 0. Par g), et d’après 7.3.2, on a bien B̄ = 0 puisque A est pseudo-abélienne. □

8.3. Variante Z/2-graduée. En théorie des motifs, la catégorie monoïdale des motifs purs modulo l’équivalence numérique est parfois appelée la “fausse” catégorie des motifs. La raison en est que cette catégorie ne peut pas être tannakienne car la dimension d’un objet M est un entier éventuellement négatif : si H est une cohomologie de Weil et si M̃ est un relèvement de M à la catégorie des motifs modulo l’équivalence Hhomologique, alors dim M = dim M̃ = ∑_{i∈Z}(−1)^{i}H^{i}(M). En particulier, la condition g) du théorème 8.2.4 ne s’applique pas dans ce contexte.

Pour corriger ce “défaut”, on fait la conjecture standard que les projecteurs de Künneth de tout motif M (relatifs à H) sont algébriques, ce qui permet de modifier la contrainte de commutativité de façon à obtenir la formule dim M = ∑_{i∈Z} H^{i}(M) ≥ 0. Pour y parvenir, il suffit en fait que la somme des projecteurs de Künneth pairs (ou impairs, de manière équivalente), soit algébrique.

Faute de savoir démontrer cette conjecture standard en général, on peut se limiter à la sous-catégorie pleine formée des motifs M pour lesquelles elle est vraie : c’est le point de vue adopté dans [16]. (C’est une sous-catégorie monoïdale qui contient au moins les motifs attachés aux courbes, aux surfaces et aux variétés abéliennes, et qui contient tous les motifs si le corps de base est un corps fini.) Le formalisme de la modification de la contrainte de commutativité est abstrait dans la proposition suivante :

8.3.1. Proposition. Supposons K de caractéristique nulle, et soit L une Kalgèbre semi-simple commutative. Supposons A munie d’un foncteur monoïdal symétrique fidèle H vers la catégorie monoïdale symétrique Modf_{L}^{±} des L-modules de type fini Z/2-gradués (munie de la règle de Koszul). Considérons, pour tout A ∈ A, la projection p_{A}^{+} ∈ End(H(A)) sur le facteur H^{+}(A). Soit A^{±} la sous-catégorie pleine de A formée des objets A tels que p_{A}^{+} = H(π_{A}^{+}) pour un π_{A}^{+} ∈ A(A, A). On note R^{±}, N^{±} la restriction de R, N à A^{±}. Alors

(i) A^{±} est une sous-catégorie K-linéaire monoïdale de A, stable par facteurs directs et rigide.

(ii) Il existe sur A^{±} une contrainte de commutativité telle que le foncteur monoïdal composé

A^{±} → A →^{H} V ec_{L}^{±} → V ec_{L},

où le dernier foncteur est le foncteur d’oubli, soit symétrique.

En particulier, A^{±} est de Wedderburn, R^{±} = N^{±}, et A^{±}/N^{±} est semisimple.

Démonstration. Vérification immédiate pour (i) : si A, B ∈ A^{±}, π_{A•B}^{+} est donné par π_{A}^{+} • π_{B}^{+} + (1 − π_{A}^{+}) • (1 − π_{B}^{+}). De même, si A^{∨} est le dual de A ∈ A^{±}, π_{A^{∨}}^{+} est donné par le transposé (π_{A}^{+})^{t}. Pour A ∈ A^{±}, posons ε_{A} = 2π_{A}^{+} − 1 : on a ε_{A}^{2} = 1. Pour A, B ∈ A, soit R_{A,B} : A • B → B • A la contrainte de commutativité. Si A, B ∈ A^{±}, posons

(8.1)  R′_{A,B} = R_{A,B}ε_{A} • ε_{B}.

On voit tout de suite que R′ est une nouvelle contrainte de commutativité, vérifiant la condition (ii) : pour la naturalité, cela résulte du fait que π_{A}^{+}, donc ε_{A}, est naturel en A, et la vérification des identités de tressage symétrique est immédiate. La dernière affirmation résulte du théorème 8.2.2. □

Si l’on est dans la situation de la proposition 8.3.1, on peut appliquer le théorème 8.2.4 à A^{±} munie de la nouvelle contrainte de commutativité. En exprimant tout en termes de l’ancienne contrainte, cela revient à utiliser au lieu des puissances extérieures les “super-puissances extérieures” d’un objet A = A_{+} ⊕ A_{−} de A^{±}, définies par

sΛ^{n}A = ⨁_{i+j=n} Λ^{i}A_{+} • S^{j}A_{−}.

Nous reviendrons sur ces super-puissances extérieures dans la section suivante 9, où nous démontrerons que la catégorie A^{±} de la proposition 8.3.1 est intrinsèque (i.e. indépendante de H).

9. Théorie de Kimura (le Pair et l’Impair)

La catégorie A est toujours K-linéaire monoïdale symétrique rigide, qu’on suppose en outre pseudo-abélienne ; K est un corps de caractéristique 0.

9.1. Fondements.

9.1.1. Définition. a) Un objet A ∈ A est pairement de dimension finie au sens de Kimura s’il existe un entier n > 0 tel que Λ^{n}(A) = 0.

b) Un objet A ∈ A est impairement de dimension finie au sens de Kimura s’il existe un entier n > 0 tel que S^{n}(A) = 0.

c) Un objet A ∈ A est de dimension finie au sens de Kimura s’il admet une décomposition en somme directe A = A_{+} ⊕A_{−} telle que A_{+} soit pairement de dimension finie et A_{−} soit impairement de dimension finie.

Cette définition a été introduite par Kimura dans [26] pour les motifs de Chow. Un grand nombre de ses résultats sont valables, avec leur démonstration, dans notre cadre général. Pour les démonstrations de ce qui suit, nous renvoyons donc à Kimura, sauf pour les énoncés qui ne figurent pas chez lui. Ces résultats ne seront pas utilisés dans les chapitres suivants.

9.1.2. Notation. Si A est pairement (resp. impairement) de dimension finie au sens de Kimura, on note kim(A) le plus petit entier n > 0 tel que Λ^{n+1}(A) = 0 (resp. tel que S^{n+1}(A) = 0).

Cette notation abusive ne prêtera pas à confusion car nous préciserons à chaque fois si l’on est dans le cas pair ou impair^{14}.

9.1.3. Exemple. L’objet unité 1 est pairement de dimension finie ; on a kim(1) = 1.

9.1.4. Proposition. a) Toute somme directe, tout facteur direct d’un objet pairement (resp. impairement) de dimension finie est pairement (resp. impairement) de dimension finie.

b) Soient A, B ∈ A, pairement ou impairement de dimension finie. Alors A • B est pairement de dimension finie si A et B sont de même parité, impairement de dimension finie sinon. De plus, kim(A•B) ≤ kim(A)kim(B).

c) Le dual d’un objet pairement (resp. impairement) de dimension finie est pairement (resp. impairement) de dimension finie.

d) Si A est pairement de dimension finie, il en est de même de toutes ses puissances extérieures.

e) Si A est impairement de dimension finie, il en est de même de ses puissances symétriques d’ordre impair, tandis que ses puissances symétriques d’ordre pair sont pairement de dimension finie.

Démonstration. a) résulte des isomorphismes

Λ^{n}(A ⊕ B) ≃ ⨁_{p+q=n} Λ^{p}(A) • Λ^{q}(B)

S^{n}(A ⊕ B) ≃ ⨁_{p+q=n} S^{p}(A) • S^{q}(B).

b) : cf. [26, prop. 5.10].

c) résulte des isomorphismes 𝔖_{n}-(anti-)équivariants

(A^{∨})^{•n} ≃ (A^{•n})^{∨}.

d) et e) résultent immédiatement de a) et b). □

14Du reste, on verra ultérieurement qu’un objet à la fois pairement et impairement de dimension finie est nul.

9.1.5. Lemme. a) Soit A ∈ A, pairement de dimension finie. Alors dim A est un entier naturel ≤ kimA.

b) Soit A ∈ A, impairement de dimension finie. Alors − dim A est un entier naturel ≤ kimA.

Démonstration. C’est une reformulation de la proposition 7.2.7 ii). □

9.1.6. Proposition. Soit A ∈ A, pairement ou impairement de dimension finie. Supposons que dim A = 0. Alors A = 0.

Démonstration. Soit B la plus petite sous-catégorie pleine rigide épaisse (i.e. stable par facteurs directs) de A contenant A • A^{∨}. D’après la proposition 9.1.4, tout objet de B est pairement de dimension finie. D’après le lemme 9.1.5, cela implique que la dimension de tout objet de B est un entier naturel. De plus, dim(A•A^{∨}) = dim(A)^{2} = 0. D’après la proposition 7.2.7 i), N (A, A) est donc un idéal nilpotent de A(A, A) = B(A, A), et d’après la proposition 8.1.3 a), B/N (A, A) = 0. Il en résulte bien que A = 0. □

9.1.7. Théorème. a) Soit A ∈ A pairement de dimension finie. Alors kimA = dim A.

b) Soit A ∈ A impairement de dimension finie. Alors kimA = − dim A.

Démonstration. a) Soit m′ = dim A. Vu le lemme 9.1.5 a), il suffit de montrer que Λ^{m′+1}(A) = 0. Mais d’après la proposition 7.2.4, on a dim Λ^{m′+1}(A) = \binom{m′}{m′+1} = 0. L’assertion résulte donc de la proposition précédente.

b) Même démonstration, en utilisant une puissance symétrique. □

Le corollaire suivant n’est pas démontré chez Kimura.

9.1.8. Corollaire. a) Si A et B sont pairement de dimension finie, alors kim(A ⊕ B) = kimA + kimB.

b) Si A et B sont impairement de dimension finie, alors kim(A ⊕ B) = kimA + kimB. □

9.1.9. Proposition. Soient A_{+} (resp. A_{−}) un objet de A pairement (resp. impairement) de dimension finie. Soient m = kimA_{+} et n = kimA_{−}. Alors pour tout f ∈ A(A_{+}, A_{−}) et tout g ∈ A(A_{−}, A_{+}), on a f^{•(mn+1)} = 0, g^{•(mn+1)} = 0.

Démonstration. Voici une variante de [26, dém de la prop. 6.1], un peu plus simple : grâce à la proposition 9.1.4 b) et par dualité, on se ramène à traiter le cas fr f avec A_{+} = 1. Le morphisme f^{•(n+1)} : 1 = 1^{•(n+1)} → A_{−}^{•(n+1)} est 𝔖_{n}-équivariant, ce qui implique qu’il se factorise à travers S^{n+1}(A_{−}) = 0. □ 9.1.10. Proposition. Soit A un objet de dimension finie au sens de Kimura, et supposons données deux décompositions A ≃ A_{+}⊕A_{−} ≃ B_{+}⊕B_{−}, avec A_{+}, B_{+} pairement de dimension finie et A_{−}, B_{−} impairement de dimension finie. Alors A_{+} ≃ B_{+} et A_{−} ≃ B_{−}.

Démonstration. cf. [26, dém. de la prop. 6.3]. On remarquera que cette démonstration utilise le corollaire 9.1.8 a). □

9.1.11. Lemme. Soit A ∈ A, et soit A = A_{+} ⊕ A_{−} une décomposition en somme directe. Posons

sΛ^{n}(A_{+}, A_{−}) = ⨁_{i+j=n} Λ^{i}A_{+} • S^{j}A_{−}.

Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) Il existe un entier n > 0 tel que sΛ^{n}(A_{+}, A_{−}) = 0.

(ii) A_{+} est pairement de dimension finie et A_{−} est impairement de dimension finie.

De plus, dans (i), on peut prendre n = kimA_{+} + kimA_{−} + 1, et ceci est le plus petit choix possible.

Démonstration. Laissée au lecteur (pour voir que kimA_{+} + kimA_{−} + 1 est le plus petit choix possible, observer que dim sΛ^{kimA_{+}+kimA_{−}}(A_{+}, A_{−}) = dim sΛ^{dim A_{+}−dim A_{−}}(A_{+}, A_{−}) = 1, en utilisant le corollaire 9.1.8). □

9.1.12. Proposition ([26, prop. 6.9]). Tout facteur direct d’un objet de dimension finie est de dimension finie. □

9.1.13. Définition. Soit A un objet de dimension finie au sens de Kimura. On définit

kimA = kimA_{+} + kimA_{−} = dim A_{+} − dim A_{−}

sΛ^{n}A = ⨁_{i+j=n} Λ^{i}A_{+} • S^{j}A_{−}

où A = A_{+} ⊕ A_{−} est une décomposition de A en somme d’un objet pairement de dimension finie et d’un objet impairement de dimension finie.

La proposition 9.1.10 montre que kimA ne dépend que de A et que sΛ^{n}A ne dépend que de A à isomorphisme près.

On a maintenant la généralisation suivante de la proposition 7.2.7 :

9.1.14. Proposition. Soit A ∈ A un objet de dimension finie au sens de Kimura. Alors N (A, A) est un idéal nilpotent de A(A, A), d’échelon borné en termes de kim(A). En particulier, l’image de A n’est pas nulle dans A/N.

Démonstration. D’après 7.2.8, il suffit de faire voir que N (A, A) est un nilidéal d’échelon borné en termes de kim(A). L’argument est analogue à celui de [26, prop. 7.5] : tout élément f de N (A, A) peut s’écrire comme une matrice 2 × 2 sur la décomposition A = A_{+} ⊕ A_{−}. On écrit f = f_{+} + f_{−} + f_{±}, où f_{+} est le terme préservant A_{+}, f_{−} le terme préservant A_{−} et f_{±} est la somme des deux termes antidiagonaux. Comme f_{+}f_{−} = f_{−}f_{+} = 0, un monôme typique intervenant dans le développement de f^{n} est de la forme

m = f_{ε_{1}}^{k_{1}} ∘ f_{±} ∘ f_{ε_{2}}^{k_{2}} ∘ f_{±} ∘ ⋯ ∘ f_{±} ∘ f_{ε_{r}}^{k_{r}}

avec ε_{i} ∈ {+, −}.

D’après la proposition 7.2.7, on a m = 0 dès que l’un des k_{i} est assez grand. D’autre part, d’après la proposition 9.1.9 et le lemme 7.4.2 i), on a f_{±}^{•N} = 0 pour N assez grand (indépendant de f), ce qui implique (lemme 7.4.2 ii)) que m = 0 dès que le nombre de fois où f_{±} apparaît est ≥ N. Ceci conclut la démonstration. □

9.1.15. Remarque. On pourrait aussi utiliser le raisonnement de la démonstration de la proposition 2.3.4 c) à partir de la proposition 7.2.7. Ceci donne l’estimation suivante pour l’échelon de nilpotence N de N (A, A) :

N ≤ 2^{kimA_{+}+1} + 2^{kimA_{−}+1} ≤ 2^{kimA+1} + 1

bien meilleure que celle fournie par la démonstration ci-dessus.

9.1.16. Définition. Une catégorie de Kimura sur un corps de caractéristique nulle K est une catégorie K-linéaire monoïdale symétrique rigide, vérifiant End(1) = K, pseudo-abélienne, et dont tout objet est de dimension finie au sens de Kimura.

9.2. Catégories de Kimura et “projecteurs de Künneth”.

Soient K un corps de caractéristique nulle et A une catégorie K-linéaire monoïdale symétrique rigide, vérifiant End(1) = K, pseudo-abélienne. Soit A_{kim} la plus grande sous-catégorie de Kimura de A, i.e. la sous-catégo-rie pleine de A formée des objets de dimension finie au sens de Kimura : c’est une sous-catégorie épaisse et rigide de A, d’après les propositions 9.1.4 et 9.1.12.

9.2.1. Théorème. Supposons que \sqrt[⊗]{0} = 0. Alors

a) La catégorie A_{kim} est munie d’une Z/2-graduation compatible à la structure monoïdale.

b) Pour tout A ∈ A_{kim}, notons π_{A}^{+} le projecteur de A définissant A_{+} et ε_{A} = 2π_{A}^{+} − 1 : on a ε_{A}^{2} = 1. Définissons une nouvelle contrainte de commutativité R′ sur A_{kim} par la formule (8.1). Alors (i) Pour tout n ≥ 0, l’objet sΛ^{n}(A) est la n-ième puissance symétrique

de A relative à R′. (ii) La dimension de A relative à R′ est égale à kimA; en particulier,

c’est un entier ≥ 0.

Cette propriété caractérise d’ailleurs la graduation dont il est question en a).

c) Soient L une K-algèbre semi-simple commutative et H : A → Modf_{L}^{±} un foncteur vérifiant les hypothèses de la proposition 8.3.1. Alors avec les notations de loc. cit. , on a A_{kim} = A^{±}. Munie de la contrainte induite par R′, le quotient de A_{kim} par son radical est un catégorie tannakienne semi-simple.

Démonstration. a) Puisque \sqrt[⊗]{0} = 0, la proposition 9.1.9 montre que si A et B sont ε-ment de dimension finie à la Kimura avec des parités différentes, alors A(A, B) = 0. Ceci permet de renforcer la proposition 9.1.10 en l’énoncé suivant : si A ∈ A_{kim}, la décomposition de A en somme directe d’un objet pair et d’un objet impair est unique. Il en résulte immédiatement que cette décomposition est fonctorielle en A; les autres propriétés résultent de la proposition 9.1.4.

b) ne présente pas de difficulté.

c) Pour voir l’inclusion A_{kim} ⊂ A^{±}, il suffit de voir que H(π_{A}^{+}) = p_{A}^{+} (avec les notations de la proposition 8.3.1). En effet, on voit immédiatement que H(A_{+}) est pair et que H(A_{−}) est impair (cf. [26, dém. de la prop. 3.9]). Pour voir l’inclusion opposée, il suffit de voir que si A = A_{+} ⊕ A_{−} ∈ A^{±}, alors A_{+} est pairement de dimension finie et A_{−} est impairement de dimension finie. Pour cela, il suffit par la proposition 9.1.6 de voir que (par exemple) dim Λ^{n}(A_{+}) = 0 pour n assez grand. Mais cette dimension se calcule par application du foncteur H (en projetant dans la catégorie des F -espaces vectoriels, où F est un corps facteur direct de L), donc l’assertion est évidente. Le changement de contrainte de commutativité comme en 8.3.1 ramène à la situation du théorème 8.2.4, qui permet de conclure que la catégorie quotient par R = N munie de la contrainte induite par R′ est tannakienne semi-simple. □

9.2.2. Théorème. Toute catégorie de Kimura A est de Wedderburn. Son radical R est le plus grand idéal monoïdal distinct de A. Le quotient de A par R est une catégorie tannakienne semi-simple (après changement approprié de la contrainte de commutativité).

Démonstration. On a A = A_{kim}. La première affirmation résulte de la proposition 9.1.14. Pour le reste, on se ramène au théorème 9.2.1 en quotientant par \sqrt[⊗]{0} (cf. le lemme 7.4.2 iii)) □

9.2.3. Remarque. Étant donné une catégorie de Kimura A, le théorème 9.2.2 nous permettra d’appliquer les théorèmes de scindage monoïdal 13.2.1 et 15.3.5 à la projection A → A/R. En particulier, on pourra munir A d’une Z/2-graduation compatible à celle de A/ \sqrt[⊗]{0}, unique à équivalence monoïdale près. Voir théorème 16.1.1.

9.2.4. Exemple. Kimura [26, 7.1] conjecture que tout motif de Chow est de dimension finie en son sens (c’est-à-dire, avec la terminologie ci-dessus, que la catégorie des motifs de Chow est une Q-catégorie de Kimura). Cette conjecture implique donc que tout motif “fantôme”, i.e. numériquement nul, est nul. Réciproquement, modulo l’existence pour chaque motif de Chow A d’un projecteur π_{A}^{+} qui s’envoie sur le projecteur de Künneth pair p_{A}^{+}, la nonexistence de motifs fantômes non nuls implique la conjecture de Kimura (considérer le motif sΛ^{n}A pour n assez grand).

Par ailleurs, la conjecture de Murre mentionnée en 7.1.8 implique l’existence d’un tel p_{A}^{+}, et, jointe aux conjectures standard de Grothendieck (équivalence homologique = équivalence numérique), implique la non-exis-tence de motifs fantômes non nuls. On voit ainsi que la conjecture de Murre (ou, ce qui est équivalent, la conjecture de Bloch-Beilinson) jointe aux conjectures standard implique la conjecture de Kimura.

10. Exemples et compléments

10.1. Trois contre-exemples. Voici trois exemples de catégories monoïdales K-linéaires symétriques et rigides, vérifiant End(1) = K, abéliennes, de Wedderburn, mais dont le radical n’est pas un idéal monoïdal.

10.1.1. Contre-exemple. Partons de D = K[ε], ε^{2} = 0, vue comme superalgèbre (ε placé en degré impair). On considère le super-groupe algébrique GL(1|1, D). Son groupe de points est donné par les matrices 2 × 2 inversibles du type

(\begin{matrix}a & εb \\ εc & d \end{matrix}) , a, b, c, d ∈ K, a ≠ 0, d ≠ 0

cf. [21, ch. 1]. On prend pour A la catégorie des représentations de GL(1|1, D). C’est une sous-catégorie monoïdale rigide non pleine de la catégorie monoïdale symétrique rigide des super-D-modules.

La représentation standard de GL(1|1, D) est le super-D-module D^{1|1} = D×ΠD (où Π est le foncteur changement de parité). Un endomorphisme de

D^{1|1} est donné par une matrice (\begin{matrix}a & εb \\ εc & d \end{matrix}) comme ci-dessus ; s’il commute

à tout élément (\begin{matrix}a′ & εb′ \\ εc′ & d′ \end{matrix}) ∈ GL(1|1, D), on trouve que ba′ + db′ = ab′ +

bd′, ca′ + dc′ = ac′ + cd′ pour tous a′, b′, c′, d′ ∈ K, a′ ≠ 0, d′ ≠ 0, d’où, b = c = 0, a = d. Donc A(D^{1|1}, D^{1|1}) ≅ K est réduit aux homothéties, et son radical est nul.

La trace monoïdale de (\begin{matrix}a & εb \\ εc & d \end{matrix}) est la supertrace a − d. Elle s’an-

nule donc pour toute homothétie, ce qui montre que N (D^{1|1}, D^{1|1}) = A(D^{1|1}, D^{1|1}). En d’autres termes, D^{1|1} est un objet “fantôme” : il s’envoie sur l’objet nul dans A/N.

On a donc 0 ⊂ R ⊂ N ⊂ A et toutes les inclusions sont strictes (cf. théorème 8.2.2 et corollaire 7.1.7) ; en particulier A n’est pas semi-simple.

10.1.2. Contre-exemple. K est maintenant supposé de caractéristique p > 0, et on prend pour A = Rep_{K}(GL_{p}) la catégorie des représentations de dimension finie de GL_{p}. Soit V la représentation standard. On a A(V, V) = K, R(V, V) = 0 et, comme toute homothétie de V est de trace nulle, N (V, V) = K. Ici encore, V est un objet “fantôme”, i.e. nul modulo N.

10.1.3. Contre-exemple. K est maintenant supposé de caractéristique 3, et on prend A = Rep_{K}(SL_{2}). Soit V la représentation standard. On a V^{⊗2} ≅ 1 ⊕ S^{2}V, et on vérifie comme ci-dessus que S^{2}V est un objet “fantôme”. On en déduit que la catégorie monoïdale symétrique rigide A/N est équivalente à celle des K-super-espaces de dimension finie.

10.2. Complément : l’algèbre commutative HH_{0}(A). Soient A une petite K-catégorie et I un idéal de A.

On note H_{0}(A, I) le K-module^{15} engendré par les classes d’isomorphismes de couples (A, h) où A est un objet de A et h ∈ I(A, A), quotienté par les relations suivantes :

– l’application canonique I(A, A) → H_{0}(A, I) est K-linéaire,

– pour tout f ∈ I(A, B) et tout g ∈ A(B, A), les classes de (A, gf) et (B, fg) coïncident dans H_{0}(A, I).

Cette construction est fonctorielle en (A, I).

On note [A, h] la classe de (A, h). Notons que si A est K-linéaire, et si A, A′ sont deux objets, on a [A, 1_{A} = pi] = [A ⊕ A′, ip] avec les notations i, p de (1.1).

On note encore H_{0}(A, A) = HH_{0}(A). Ce K-module est le réceptacle universel des traces abstraites, i.e. des applications t : A → M vérifiant t(fg) = t(gf) pour tout couple de morphismes allant en directions opposées. Il apparaît en théorie des nœuds, cf. [32, 2], dans le cadre monoïdal comme ci-dessous.

Supposons maintenant A monoïdale. Par fonctorialité, la loi • induit sur HH_{0}(A) une structure de K-algèbre, commutative si A est munie d’un tressage symétrique^{16}. Si I est monoïdal, H_{0}(A, I) est un idéal de HH_{0}(A), et le quotient HH_{0}(A)/H_{0}(A, I) s’identifie à HH_{0}(A/I). Par exemple, H_{0}(A, \sqrt[⊗]{0}) est un nil-idéal de HH_{0}(A) (par définition, tout élément de \sqrt[⊗]{0}(A, A) est •-nilpotent). Les traces abstraites à valeurs dans une K-algèbre commutative R vé-

15L’explication de cette notation apparaîtra au paragraphe suivant.

rifiant de plus t(f • g) = t(f)t(g) pour tout couple d’endomorphismes (f, g) sont en bijection avec les R-points de Spec HH_{0}(A). Si A est rigide, la transposition définit une involution de HH_{0}(A) ; la trace monoïdale tr définit un K-point canonique de Spec HH_{0}(A) ou encore une augmentation de la K-algèbre HH_{0}(A), compatible avec l’involution.

10.2.1. Exemple. Supposons A tannakienne sur un corps K algébriquement clos de caractéristique nulle. On sait que A est semi-primaire (théorème 8.2.1). D’après le théorème 8.2.2, on a R = N. Posons Ā = A/R = A/N : cette catégorie sera étudiée en détail au §19. Le raisonnement de la démonstration de la proposition 7.3.3 montre que toute trace abstraite s’annule sur tout endomorphisme nilpotent, donc sur les R(A, A). Donc le K-dual de HH_{0}(A) coïncide avec le K-dual de HH_{0}(Ā), et finalement HH_{0}(A) ≅ HH_{0}(Ā).

Supposons à présent A semi-simple et neutre, de sorte que A est équivalente à la catégorie des K-représentations de dimension finie d’un Kgroupe pro-réductif G.

Comme A est K-linéaire, on voit que les éléments HH_{0}(A) sont des K-combinaisons d’objets [A, h] avec A simple ; par le lemme de Schur, on peut même supposer h = 1_{A}. On en déduit que

HH_{0}(A) ≅ R_{K}(G) ⊗_{Z} K,

où R_{K}(G) désigne l’anneau des représentations de G.

Références

[16] Y. André, B. Kahn, Construction inconditionnelle de groupes de Galois motiviques, à paraître aux C. R. Acad. Sci. Paris.

[17] A. Beilinson, Height pairing between algebraic cycles, in : K-theory, Arithmetic and Geometry, Lect.notes in Math. 1289, Springer (1987), 27–41.

[18] A. Bruguières, Théorie tannakienne non commutative, Comm. in Algebra, 22(14) (1994), 5817–5860.

[19] A. Bruguières, Tresses et structure entière sur la catégorie des représentations de SL_{N} quantique, Comm. in Algebra 28 (2000), 1989–2028.

[20] P. Deligne, Catégories tannakiennes, in : The Grothendieck Festschrift, vol. 2, Birkhäuser P.M. 87 (1990), 111–198.

16Là encore, il suffirait que A soit munie d’une structure de tortil, la symétrie du tressage n’étant pas vraiment nécessaire.

[21] P. Deligne et al., Quantum fields and strings : a Course for Mathematicians, AMS, 1999.

[22] V. Guletskii, C. Pedrini, The Chow motive of the Godeaux surface, prépublication (2001).

[23] G. Higman, On a conjecture of Nagata, Proc. Camb. Philos. Soc. 52 (1956), 1–4.

[24] U. Jannsen, Motives, numerical equivalence and semi-simplicity, Invent. Math. 107 (1992), 447–452.

[25] U. Jannsen, Equivalence relations on algebraic cycles, in The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), 225–260, NATO Sci. Ser. C Math. Phys. Sci., 548, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.

[26] S.I. Kimura, Chow motives can be finite-dimensional, in some sense, à paraître au J. of Alg. Geom.

[27] K. Künneman, On the Chow motive of an abelian scheme, in : Motives, Proc. Symposia pure Math. 55 (I), AMS, 1994, 189–205.

[28] J.P. Murre On a conjectural filtration on the Chow groups of an algebraic variety, parts I and II, Indag. Math. 4 (1993), 177–201.

[29] M. Nagata, On the nilpotency of nil-algebras, J. Math. Soc. Japan 4 (1952), 296–301.

[30] R. Thomason, The classification of triangulated categories, Compos. Math. 105 (1997), 1–27.

[31] V. Voevodsky, A nilpotence theorem for cycles algebraically equivalent to zero, International Mathematics Research Notices 4 (1995), 1–12.

[32] P. Vogel, Invariants de Witten-Reshetikin-Turaev et théories quantiques des champs, in : Panoramas et synthèses 7 (1999), 117-143.

III. Sections

L’objectif de cette partie est détablir des analogues catégoriques du théorème de Wedderburn, qui affirme l’existence de sections pour la projection d’une algèbre de dimension finie sur un corps parfait vers son quotient par le radical. On établit de tels analogues tant dans le cadre linéaire général que dans le cadre monoïdal ou monoïdal tressé.

11. Cohomologie de Hochschild

11.1. Produit tensoriel de K-catégories. Ici, K désigne de nouveau un anneau commutatif unitaire quelconque.

11.1.1. Définition. (cf. [9, §11]). Soient A, B deux K-catégories. Le produit tensoriel de A par B est la K-catégorie A ⊠_{K} B dont les objets sont les couples (A, B) (A ∈ A, B ∈ B), avec

(A ⊠_{K} B)((A, B), (A′, B′)) = A(A, A′) ⊗_{K} B(B, B′).

On a des isomorphismes canoniques

A ⊠_{K} B ≅ B ⊠_{K} A, (A-Mod)^{B} ≅ (B-Mod)^{A} ≅ (A ⊠_{K} B)-Mod.

Par ailleurs, on pose A^{e} = A^{o} ⊠_{K} A. Les A^{e}-modules (à gauche) sont parfois appelés A-bimodules. Alors A définit de manière évidente un Abimodule (par la loi (X, Y) ↦ A(X, Y)) qu’on identifie à A; un idéal (bilatère) de A (cf. §1) n’est autre qu’un sous-bimodule de A.

11.1.2. Lemme. Supposons que K soit un corps. Si A et B sont séparables (cf. définition 2.2.6), alors il en est de même de A ⊠_{K} B. A fortiori A ⊠_{K} B (et en particulier A^{e}) est semi-simple.

Cela résulte du lemme 2.2.5. □

11.1.3. Lemme. Supposons seulement que les K-catégories A et B soient de Wedderburn (cf. définition 2.4.1). Alors il en est de même de A ⊠_{K} B.

Démonstration. En effet, il découle du lemme précédent que pour tout objet A de A et tout objet B de B, le quotient de la K-algèbre (A ⊠_{K} B)((A, B), (A, B)) par l’idéal bilatère

rad(A)(A, A) ⊗_{K} B(B, B) + A(A, A) ⊗_{K} rad(B)(B, B)

est séparable, donc semi-simple. Il en découle que cet idéal contient le radical. Par ailleurs, il est clair que c’est un nil-idéal, donc contenu dans le radical, donc finalement égal à rad(A ⊠_{K} B). D’où le résultat. □

La caractérisation suivante des catégories de Wedderburn est celle qui nous servira effectivement.

11.1.4. Proposition. On suppose que K est un corps. Une K-catégorie A est de Wedderburn si et seulement si A^{e} est semi-primaire et A^{e}/rad(A^{e}) = (A/rad(A))^{e}.

Démonstration. Le lemme précédent montre que A^{e} est semi-primaire et vérifie A^{e}/rad(A^{e}) = (A/rad(A))^{e} dès lors que A est de Wedderburn. Réciproquement, si A^{e} est semi-primaire et A^{e}/rad(A^{e}) = (A/rad(A))^{e}, on a rad(A^{e}) ⊃ id ⊗_{K} rad(A), donc la condition de nilpotence (dans la définition des catégories semi-primaires) passe de A^{e} à A; d’autre part, A^{e}/rad(A^{e}) est semi-simple par hypothèse, et on conclut que (A/rad(A))^{e} est semi-simple, donc A/rad(A) est séparable, cf. 2.2.6 . □

Le même exemple que dans la remarque 4.1.2 montre que la condition A^{e}/rad(A^{e}) = (A/rad(A))^{e} est nécessaire.

11.2. Complexe de Hochschild-Mitchell. Soit A une petite K-catégorie, telle que pour tout (A, B) ∈ A × A, A(A, B) soit un K-module projectif.

Notons C_{∗}(A) le complexe de Hochschild de A [9, §17] : c’est un complexe de A^{e}-modules tel que

C_{m}(A)(A,B)= ⨁_{A_{0},...,A_{m}} A(A,A_{0})⊗_{K}A(A_{0},A_{1})⊗_{K}···⊗_{K}A(A_{m−1},A_{m})⊗_{K}A(A_{m},B), m≥0

où (A_{0}, …, A_{m}) décrit les n-uplets d’objets de A. La différentielle est

d_{m}(f_{0} ⊗ f_{1} ⊗ ⋯ ⊗ f_{m+1}) =

∑_{i=0}^{m}(−1)^{i}f_{0} ⊗ f_{1} ⊗ ⋯ ⊗ f_{i}f_{i+1} ⊗ ⋯ ⊗ f_{m+1}.

Il est connu que C_{∗}(A) est une résolution projective du A^{e}-module A.

Pour tout A^{e}-module M, on note C^{∗}(A, M) le complexe de K-modules Hom_{A^{e}}(C_{∗}(A), M). Plus concrètement, pour m > 0, un élément de C^{m}(A, M)(A, B) équivaut à la donnée d’un élément de M(A, B) pour chaque m-uplet de flèches composables (f_{1}, …, f_{m}), f_{1} étant de source A et f_{m} de but B, cette donnée étant K-multilinéaire en (f_{1}, …, f_{m}) ; pour m = 0, c’est la donnée d’un élément de M(A, A) pour tout A.

Voici comment : on obtient une telle donnée en considérant, dans Hom_{A^{e}}(C_{∗}(A), M)(A_{0}, A_{m}) le facteur correspondant à A = A_{0}, f_{0} = 1_{A_{0}}, B = A_{m}, f_{m} = 1_{A_{m}}. Réciproquement, une telle donnée fournit une cochaîne de Hochschild grâce à la commutativité du carré (bivariance en (A, B)) :

Hom_{A^{e}}(C_{∗}(A), M)(A, B) ⟶ M(A, B)
(f_{0},f_{m+1})↓  ^{(f_{0},f_{m+1})}↓
Hom_{A^{e}}(C_{∗}(A), M)(A_{0}, A_{m}) ⟶ M(A_{0}, A_{m}).

Avec cette interprétation, la différentielle de Hochschild prend la forme habituelle

(d^{m}φ)(f_{1}, …, f_{m+1}) = f_{1}φ(f_{2}, …, f_{m+1})

+ ∑_{1}^{m}(−1)^{i}φ(f_{1}, …, f_{i}f_{i+1}, …, f_{m+1})

+ (−1)^{m+1}φ(f_{1}, …, f_{m})f_{m+1}.

Puisque C_{∗}(A) est une résolution projective du A^{e}-module A, on a

H^{i}(A, M) := H^{i}(C^{∗}(A, M)) = Ext_{A^{e}}^{i}(A, M).

Si A est séparable, A^{e} est semi-simple, donc ces groupes de cohomologie sont donc nuls pour tout M et tout i > 0 (cf. lemme 11.1.2 et proposition 2.1.2).

La formation de C_{∗}(A) est naturelle en A. Plus précisément, tout K-foncteur F : A → B donne lieu à des applications K-linéaires C_{n}(A)(A, B) → C_{n}(B)(F A, F B), et, pour tout B^{e}-module N, à un homomorphisme de complexes de K-modules dans l’autre sens

C^{∗}(B, N) → C^{∗}(A, F^{∗}N).

11.2.1. Remarque. (Homologie de Hochschild) Si M et N sont deux Abimodules, on peut voir M comme A^{e}-module à droite, et N comme A^{e}- module à gauche, ce qui permet de former le K-module M ⊗_{A^{e}} N (cf. [9, pp. 29, 71]). Cette construction étant fonctorielle en N, on peut bâtir un complexe M ⊗_{A^{e}} C_{∗}(A), et on a

H_{i}(A, M) := H_{i}(M ⊗_{A^{e}} C^{∗}(A)) = Tor_{i}^{A^{e}}(M, A).

En particulier, pour i = 0, on retrouve la notion du §10.2.

12. Un “théorème de Wedderburn à plusieurs objets”

Dans ce paragraphe, on se donne un corps K. On renvoie à la définition 2.4.1 pour la notion de K-catégorie de Wedderburn.

12.1. Existence et “unicité” de sections. Le théorème de structure fondamental pour les K-algèbres de Wedderburn (théorème de Wedderburn) dit que toute extension d’une K-algèbre séparable de dimension finie par un idéal nilpotent se scinde. En suivant la preuve cohomologique classique de Hochschild et Whitehead, nous généralisons ce résultat aux algèbres “à plusieurs objets”.

12.1.1. Théorème. Soit A une petite K-catégorie de Wedderburn, de radical R. Posons Ā = A/R. Alors :

a) Le K-foncteur de projection π_{A} : A → Ā admet une section s.

b) Si s′ est une autre section, il existe une famille (u_{A})_{A∈A}, u_{A} ∈ 1_{A} + R(A, A), telle que pour tous A, B ∈ A et tout f ∈ Ā(A, B), on ait s′(f) = u_{B}s(f)(u_{A})^{−1}.

Démonstration. 1) Supposons d’abord R^{2} = 0. Alors R hérite d’une structure de Ā^{e}-module par passage au quotient de l’action de A.

Pour tout A, B ∈ A, choisissons une section K-linéaire

σ_{A,B} : Ā(A, B) → A(A, B)

de la projection naturelle. Si C est un troisième objet de A et si (f, g) ∈ Ā(A, B) × Ā(B, C), notons

γ(g, f) = σ_{A,C}(gf) − σ_{B,C}(g)σ_{A,B}(f).

C’est un élément de R(A, C), et, si D est un quatrième objet et h ∈ Ā(C, D), on a la relation

γ(h, gf) + hγ(g, f) = γ(hg, f) + γ(h, g)f.

Ainsi γ définit un 2-cocycle de Hochschild de Ā à valeurs dans R. D’après le §11, ce 2-cocycle est un 2-cobord ; autrement dit, il existe une fonction ρ telle que, pour tous f, g composables, on ait

γ(g, f) = ρ(gf) − gρ(f) − ρ(g)f.

La nouvelle section s(f) = σ(f) − ρ(f) vérifie alors s(gf) = s(g)s(f) pour tout couple (f, g) composable.

2) Posons δ(f) = s′(f) − s(f) ∈ R(A, B). On a, pour tout couple (f, g) composable,

δ(gf) = δ(g)f + δ(f)g

donc δ est un 1-cocycle de Hochschild. C’est donc un cobord f ↦ n_{B}f − fn_{A} pour un choix convenable d’éléments n_{A} ∈ R(A, A). En posant u_{A} = 1_{A} + n_{A}, on a bien s′(f) = u_{B}s(f)(u_{A})^{−1}.

3) Supposons maintenant R nilpotent d’échelon r + 1. On raisonne par récurrence sur r, le cas r = 1 étant traité ci-dessus. Soit A^{(r)} = A/R^{r} : le radical R^{(r)} = R/R^{r} de A^{(r)} est nilpotent d’échelon r, donc il existe une section s̄: Ā → A^{(r)} comme dans l’énoncé, et toute autre section s’en déduit par “conjugaison” par une famille de ū_{A} ∈ 1_{A} + R^{(r)}(A, A).

Soit s̄(Ā) l’image d’une telle section s̄ dans A^{(r)}. Pour tout morphisme f dans A, notons f^{(r)} son image dans A^{(r)}. Posons

Ã(A, B) = {f ∈ A(A, B) | f^{(r)} ∈ s̄(Ā)(A, B)}
R̃(A, B) = R(A, B) ∩ Ã(A, B).

Alors Ã est une sous-catégorie (non pleine) de A, R̃ est son radical, R̃^{2} = 0, et Ã/R̃ = Ā. Il existe donc une section s̃ : s̄(Ā) → Ã; la composée s = ι ∘ s̃ ∘ s̄ : Ā → s̄(Ā) → Ã → A, où ι est l’inclusion canonique, est la section cherchée.

Si s′ est une autre section, notons s̄′ la composition Ā →^{s′} A → A^{(r)}, et soit (ū_{A}) une famille d’éléments de 1_{A} + A^{(r)}(A, A) tels que s̄′(f) = ū_{B}s̄(f)(ū_{A})^{−1} pour tout f ∈ A^{(r)}(A, B). Choisissons des relevés u_{A} des ū_{A} dans A(A, A). Quitte à changer s′ en la section conjuguée par les (u_{A})^{−1}, on se ramène au cas où s̄′ = s̄. On conclut par l’étape 2).

4) Établissons maintenant l’assertion a) du théorème dans le cas général. Si l’on supposait A strictement de Wedderburn, il suffirait de la voir comme limite projective des A^{(r)} du numéro précédent, cette limite étant alors localement stationnaire sur les Homs, et d’appliquer directement ce numéro. Mais nous supposons A seulement de Wedderburn, ce qui complique la démonstration.

Considérons l’ensemble des couples (B, s) formés d’une sous-catégorie pleine B de A et d’une section fonctorielle s de la projection B → B̄ (B̄ peut être vue comme sous-catégorie pleine de Ā). Cet ensemble est non vide : d’après les pas précédents, il contient par exemple des couples (B, s) dès que Ob(B) est fini.

On ordonne cet ensemble en décrétant que (B′, s′) ≺ (B, s) si B′ ⊂ B et si s′ est la restriction de s à B̄′. Il est clair que cet ensemble ordonné est inductif, donc admet un élément maximal (B, s) d’après Zorn. Démontrons par l’absurde que B = A. Sinon, soit X un objet de A qui n’est pas dans B. On peut remplacer A par sa sous-catégorie pleine dont les objets sont X et ceux de B, et il s’agit de construire une extension de s à Ā. Pour cela, on peut derechef remplacer A par toute sous-catégorie non pleine A′ ayant mêmes objets, et telle que A′/(A′ ∩ R) = Ā.

Il y a un choix minimal d’une telle A′ : celle dont les morphismes sont des sommes finies de compositions de flèches de s(B) et de flèches de A de source ou de but X. Le radical de cette K-catégorie A′ n’est autre que A′∩R: en effet, tous les (A′∩R)(A, A) sont des nil-idéaux, ce qui entraîne que (A′ ∩ R) ⊂ rad(A′) ; réciproquement, A′/(A′ ∩ R) = Ā est semisimple, donc rad(A′) ⊂ A′ ∩ R.

Le point est que A′ ∩ R est (globalement) nilpotent, ce qui permet, par le pas 3), d’étendre s comme souhaité. En fait, nous allons voir que si n est l’échelon de nilpotence de l’idéal R(X, X) de A(X, X), alors rad(A′)^{(2n+1)} = 0. En effet, comme le radical de s(B) est nul, on observe que pour tout couple d’objets (A, B) de A, tout élément de rad(A′)(A, B) s’écrit comme combinaison linéaire finie ∑ f_{XB}^{i} ∘ g_{AX}^{i}, avec f_{XB}^{i} ∈ A(X, B), g_{AX}^{i} ∈ A(A, X). Tout élément de rad(A′)^{(2n+1)}(A, B) s’écrit comme somme finie de termes de la forme

∑_{i_{1},i_{3},...,i_{2n+1}} f_{XB}^{i_{2n+1}}g_{A_{2n}X}^{i_{2n+1}} (∑_{i_{2n}} f_{XA_{2n}}^{i_{2n}}g_{A_{2n−1}X}^{i_{2n}}) f_{XA_{2n−1}}^{i_{2n−1}} …

(∑_{i_{2}} f_{XA_{2}}^{i_{2}}g_{A_{1}X}^{i_{2}}) f_{XA_{1}}^{i_{1}}g_{AX}^{i_{1}}.

Or chaque fragment g_{A_{2k}X}^{i_{2k+1}}(∑_{i_{2k}} f_{XA_{2k}}^{i_{2k}}g_{A_{2k−1}X}^{i_{2k}})f_{XA_{2k−1}}^{i_{2k−1}} est dans

A(A_{2k}, X) ∘ rad(A′)(A_{2k−1}, A_{2k}) ∘ A(X, A_{2k−1}) ⊂ R(X, X).

Comme ces fragments apparaissent n fois consécutives, on trouve bien rad(A′)^{(2n+1)}(A, B) = 0. Ceci achève la preuve de l’assertion a).

5) Un argument analogue s’applique pour l’assertion b). Soient s et s′ deux sections fixées. Par Zorn, il existe une sous-catégorie pleine maximale B de A telle que les restrictions de s et s′ à B̄ soient conjuguées au sens de l’assertion b). Raisonnant par l’absurde comme ci-dessus, on peut encore supposer que Ob(A) = Ob(B) ∪ {X}. Quitte à conjuguer s au-dessus de B̄, on peut supposer que les restrictions de s et s′ à B̄ coïncident. On observe alors que s et s′ prennent alors leurs valeurs dans la sous-catégorie A′ non pleine de A définie comme ci-dessus. Comme on l’a vu, son radical est globalement nilpotent, ce qui permet d’appliquer le pas 3) et de conclure que s et s′ sont conjuguées via une famille d’éléments u_{A} ∈ 1_{A} + R(A, A). □

Le lemme suivant, souvent utile, résulte immédiatement de la proposition 2.3.4 b) et du fait que Ā est semi-simple :

12.1.2. Lemme. Supposons A pseudo-abélienne. Soit s une section de π_{A}. Les foncteurs π_{A} et s induisent des bijections inverses l’une de l’autre entre les objets indécomposables de A et les objets irréductibles de Ā. □

12.1.3. Remarque. Supposons K algébriquement clos. Soit A un objet indécomposable. Alors par Schur, Ā(A, A) = K, donc il y a un unique relevé dans la K-algèbre locale A(A, A). Si B est un indécomposable non isomorphe à A, alors π_{A}(A) et π_{A}(B) sont des irréductibles non isomorphes dans Ā, donc Ā(A, B) = 0. Il en découle que s existe et est unique si les objets de A sont tous indécomposables et deux à deux non isomorphes.

Voici comment tirer de là une preuve élémentaire (non cohomologique) de l’existence d’une section fonctorielle de π_{B} pour une petite catégorie semi-primaire B sur un corps algébriquement clos K, dont les K-algèbres d’endomorphismes sont de dimension finie. Supposons d’abord A K-li-néaire et pseudo-abélienne. Il suit de cette hypothèse que tout objet de B est somme directe finie d’indécomposables. Il résulte du §14.1.1 ci-dessous que l’énoncé du théorème 12.1.1 est invariant par équivalence K-linéaire de catégories et par passage aux complétions K-linéaires et pseudo-abéliennes. Il suffit alors d’appliquer le raisonnement précédent à une sous-catégorie pleine A de B dont les objets forment un système de représentants des classes d’isomorphismes d’objets indécomposables de A.

12.2. Variantes relatives.

12.2.1. Proposition. Soit T : B → A un K-foncteur radiciel entre deux petites K-catégories de Wedderburn. Notons Ā = A/rad(A), B̄ = B/rad(B) et T̄ : B̄ → Ā le foncteur induit. Soit s_{A} : Ā → A (resp. s_{B} : B̄ → B ) une section de la projection canonique. Alors il existe un système (u_{X}) d’éléments de 1_{T (X)} + rad(A)(T (X), T (X)) tel que s_{A}T̄(h) = u_{X′}T s_{B}(h)(u_{X})^{−1} pour tout h ∈ B̄(X, X′).

Démonstration. 1) Posons R = rad(A). Commençons par le cas où R^{2} = 0. On a T s_{B}(h) − s_{A}T̄(h) ∈ rad(A) pour tout h ∈ B̄. Ceci définit une dérivation de B̄ à valeurs dans le B̄^{e}-module rad(A) (1-cocycle de Hochschild). Cette dérivation est intérieure (1-cobord de Hochschild) : il existe une famille n_{X} = u_{X} − 1_{T (X)} ∈ R(T (X), T (X)) vérifiant, pour tout h ∈ B̄(X, X′),

T s_{B}(h) − s_{A}T̄(h) = n_{X′}T s_{B}(h) − T s_{B}(h)n_{X},

d’où l’assertion.

2) Supposons maintenant seulement que R = rad(A) soit nilpotent d’échelon r + 1, et raisonnons par récurrence sur r (le cas r = 1 étant acquis). Considérons la composition B →^{T} A → A^{(r)} = A/R. En appliquant l’hypothèse de récurrence au foncteur composé, on trouve un système (u_{X}) d’éléments de 1_{T (X)} + R(T (X), T (X)) tel que

s_{A}T̄(h) ≡ u_{X′}T s_{B}(h)(u_{X})^{−1} (mod R^{r}).

Quitte à remplacer s_{A} par la section conjuguée par les (u_{A})^{−1}, on se ramène au cas où s_{A}T̄(h) ≡ T s_{B}(h) modulo R^{r}. On peut alors remplacer B par B̄ et A par la catégorie Ã introduite au pas 3) de la preuve du théorème 12.1.1. Comme le radical de cette dernière est de carré nul, on conclut par le pas précédent.

3) Dans le cas général, on applique un raisonnement à la Zorn comme au dernier pas de la preuve du théorème 12.1.1 : brièvement, il existe une souscatégorie pleine maximale C de B telle que la proposition vaille pour C. On peut alors supposer que B contient un seul objet hors de C, et de même que A contient un seul objet hors de T (Ob(C)). On constate comme cidessus que le radical de cette nouvelle catégorie A est alors (globalement) nilpotent. □

Dans le paragraphe suivant, nous appliquerons la proposition 12.2.1 dans le cas où A est munie d’une structure monoïdale • et où T est le foncteur canonique A ⊠_{K} A → A : X = (A, B) ↦ A • B, supposé radiciel (ce qui revient à supposer que le radical est un idéal monoïdal). Pour h = f ⊗g, s = s_{A}, on a alors

s_{A}T̄(h) = s(f • g), T s_{B}(h) = s(f) • s(g).

Le complément de Malcev au théorème de Wedderburn dit qu’on peut choisir un scindage de Wedderburn dont l’image contient une sous-algèbre semi-simple donnée d’une K-algèbre de Wedderburn. En voici une variante à plusieurs objets.

12.2.2. Corollaire. Sous les hypothèses du théorème 12.1.1, supposons donnée en outre une sous-catégorie B séparable de A (non nécessairement pleine), avec Ob(B) = Ob(A). Alors il existe une section s de π_{A} vérifiant (s ∘ π_{A})|B = id_{B}.

Démonstration. Partant d’une section de π_{A} (dont l’existence est assurée par le théorème 12.1.1), on la modifie en appliquant la proposition précédente pour obtenir une section fixant B. □

13. Sections monoïdales

13.1. Foncteurs monoïdaux. Soient (B, ⊤) et (A, •) deux catégories monoïdales. Rappelons qu’un foncteur monoïdal est la donnée (s, (s̃_{AB})) d’un foncteur s : B → A et d’isomorphismes fonctoriels s̃_{AB} : s(A) • s(B) → s(A⊤B) vérifiant une compatibilité aux contraintes d’associativité et d’unité (on écrit souvent par abus s au lieu de (s, (s̃_{AB})) pour abréger). Les foncteurs monoïdaux se composent, avec la règle s̃′s_{AB} = s′(s̃_{AB}) ∘ s̃′_{s(A)s(B)}.

Un morphisme de foncteurs monoïdaux est une transformation naturelle des foncteurs sous-jacents, compatible aux données s̃_{AB}, s̃′_{AB}, et aux unités, cf. [13, I.4.1.1]. En d’autres termes, un tel morphisme est la donnée pour tout A ∈ B d’un morphisme u_{A} : s(A) → s′(A), naturel en A, tel que les diagrammes

(13.1)  \begin{matrix}s(A) • s(B) & ⟶^{s̃_{A,B}} & s(A⊤B) \\ ^{u_{A}•u_{B}} ↓ & & ^{u_{A⊤B}} ↓ \\ s′(A) • s′(B) & ⟶^{s̃′_{A,B}} & s′(A⊤B) \end{matrix}

soient tous commutatifs, et tel que le morphisme

(13.2)  s(1) = 1 ⟶^{u_{1}} s′(1) = 1

soit l’identité dans l’anneau commutatif End(1).

Un foncteur monoïdal π : A → B étant donné, une section de π est un foncteur monoïdal s : B → A tel que π ∘ s = id_{B} (égalité de foncteurs monoïdaux). Deux sections s, s′ sont dites isomorphes s’il existe un isomorphisme de foncteurs monoïdaux s ⇒ s′ tel que π ∘ s ⇒ π ∘ s′ soit le foncteur identique.

Dans une K-catégorie monoïdale, le bifoncteur • est K-bilinéaire. Nous supposerons toujours nos catégories monoïdales non nulles (i.e. End(1) ≠ 0).

13.2. Existence et “unicité” de sections monoïdales. Après ces préliminaires, nous pouvons énoncer la version monoïdale du théorème de Wedderburn à plusieurs objets. On suppose de nouveau que K est un corps.

13.2.1. Théorème. Soit (A, •) une petite K-catégorie de Wedderburn monoïdale. Supposons que les End(1)-bimodules A(A, B) soient commutatifs, i.e. l’action à gauche coïncide avec l’action à droite^{17}. Supposons que rad(A) soit monoïdal, d’où une structure monoïdale sur Ā = A/rad(A). Notons π_{A} : A → Ā la projection canonique, vue comme foncteur monoïdal. Alors :

a) Il existe une section monoïdale s de π_{A}.

b) Toute autre section monoïdale de π_{A} est isomorphe à s.

13.3. Sorites. Nous allons démontrer le théorème 13.2.1 par réduction au cas strict. Pour cela, quelques sorites sont nécessaires.

13.3.1. Sorite. Soit (s, s̃) : (B, ⊤) → (A, •) un foncteur monoïdal, et soit u : s ⇒ t un isomorphisme naturel de s sur un autre foncteur t. Alors il existe une unique structure monoïdale t̃sur t faisant de u un morphisme de foncteurs monoïdaux.

17Une catégorie monoïdale vérifiant cette hypothèse est appelée catégorie de Penrose dans [18]. C’est par exemple le cas si End(1) = K, ou en présence d’un tressage.

Démonstration. Définissons

t̃_{A,B} = u_{A⊤B}s̃_{A,B}(u_{A} • u_{B})^{−1}

(cf. (13.1)). Il faut voir que t̃est compatible avec les contraintes d’associativité et d’unité. Cela résulte de calculs triviaux (d’où le terme “sorite”), ce que nous laissons au lecteur sceptique le soin de vérifier. □

13.3.2. Sorite. Soient (A, •), Ā, π_{A} comme dans le théorème 13.2.1. Alors le théorème 13.2.1 résulte de l’énoncé plus faible obtenu en remplaçant dans a) et b) le mot “section” par “quasi-section”, où une quasi-section monoïdale de π_{A} est par définition un foncteur monoïdal s_{0} : Ā → A tel que π_{A} ∘ s_{0} soit naturellement isomorphe à IdĀ.

Démonstration. Supposons donnée une telle quasi-section monoïdale (s_{0}, s̃_{0}). Soit ū : IdĀ ⟶^{∼} π_{A}s_{0} un isomorphisme naturel. Pour tout A ∈ A, choisissons un élément u_{A} ∈ A(A, s_{0}(A)) se projetant sur ū_{A}, avec u_{1} = 1_{1}. Définissons un foncteur s : Ā → A par les formules :

s(A) = A
s(f) = u_{B}^{−1}s_{0}(f)u_{A}

pour f ∈ Ā(A, B). Alors s est une section de π_{A} naturellement isomorphe à s_{0} via u = (u_{A}), et le sorite 13.3.1 montre qu’il lui est associé une unique structure monoïdale faisant de u un morphisme de foncteurs monoïdaux. Ceci fournit la partie a) du théorème 13.2.1, et le point concernant la partie b) est trivial. □

13.3.3. Sorite. Soient (A, •), Ā, π_{A} et (B, ⊤), B̄, π_{B} comme dans le théorème 13.2.1. Soit (f, f̃) : (B, ⊤) → (A, •) un K-foncteur monoïdal tel que f soit une équivalence de catégories. Alors f est radiciel, et les parties a) et b) du théorème 13.2.1 sont vraies pour A si et seulement si elles sont vraies pour B.

Démonstration. Le fait que f est radiciel est clair (et ne dépend pas des structures monoïdales). Le reste de l’énoncé résulte du sorite 13.3.2, en remarquant que les conditions dudit sorite sont manifestement invariantes par équivalence monoïdale de catégories monoïdales. □

13.4. Catégories monoïdales strictes. Une petite catégorie monoïdale (B, ⊤) est dite stricte si l’ensemble des objets muni de la loi ⊤ est un monoïde (i.e. si ⊤ est strictement associative).

Un foncteur monoïdal (s, (s̃_{AB})) : (A, •) → (B, ⊤) est dit strict si s(A)• s(B) = s(A⊤B) et si s̃_{AB} est l’identité pour tout couple (A, B). C’est par exemple le cas du foncteur identique.

Dans le cas strict, la situation se simplifie pour les morphismes de foncteurs monoïdaux : si u : s ⇒ s′ est un tel morphisme, alors il vérifie l’identité

u_{A•B} = u_{A}⊤u_{B}

pour tout couple d’objets (A, B).

13.4.1. Remarque. Soit A^{A} la catégorie des endofoncteurs additifs de A. Munie de la composition, c’est une catégorie monoïdale stricte. Pour toute catégorie monoïdale, le foncteur A ↦ A•? de A vers A^{A} admet une structure monoïdale définie par les contraintes d’associativité et d’unité. Ce foncteur est strict si et seulement si (A, •) est monoïdale stricte.

Si B est monoïdale stricte, il en est alors de même de B^{⊕} : en effet, rappelons que les objets de B^{⊕} sont des suites finies \underline{A} = (A_{1}, A_{2}, …, A_{r}) d’objets de B, notées A_{1} ⊕ A_{2} ⊕ ⋯ ⊕ A_{r} (cf. §1.2) ; les composantes de \underline{A}⊤\underline{A}′ sont par définition les A_{i}⊤A′_{j}, numérotées selon l’ordre lexicographique. Il est clair qu’on obtient ainsi une catégorie monoïdale stricte. Si B est

K-linéaire, les foncteurs évidents B^{⊕} \begin{matrix}u^{⊕} \\ → \\ ← \\ v^{⊕} \end{matrix} B (formation du mot à une lettre,

resp. parenthésage canonique) sont sous-jacents à des foncteurs monoïdaux stricts (vis-à-vis de •).

Tout foncteur monoïdal s : B → A, il induit, composante par composante, un foncteur monoïdal s^{⊕} : B^{⊕} → A^{⊕}, strict si s l’est.

Une petite catégorie K-linéaire C sera dite strictement K-linéaire si son biproduit ⊕ (et l’objet nul) fait de C une catégorie monoïdale stricte. C’est le cas de B^{⊕}, pour toute petite K-catégorie B. Dans une catégorie strictement K-linéaire, les sommes directes finies A_{1} ⊕ ⋯ ⊕ A_{n} sont définies sans ambigüité.

13.4.1. La construction de Mac Lane [8, XI 3]. À toute petite catégorie monoïdale (A, •), on associe une petite catégorie monoïdale stricte

(A^{str}, ⊤), et deux foncteurs monoïdaux B \begin{matrix}u \\ → \\ ← \\ v \end{matrix} A, avec u strict, tels que le composé uv soit le foncteur monoïdal identique de A (les foncteurs sousjacents à u et v sont donc quasi-inverses).

Rappelons cette construction : on prend pour objets de A^{str} les mots (finis) dont les lettres sont les objets de A. Les morphismes entre mots sont les morphismes entre les objets de A correspondants obtenus par parenthésage canonique (toutes les parenthèses commencent au début du mot). Le produit ⊤, souvent omis de la notation, est donné au niveau des objets par la concaténation des mots ; v est donné par la “formation de mots d’une lettre”, tandis que u est donné par le “parenthésage canonique” (e.g. u(ABC) = (A • B) • C)). L’unité est le mot vide : u(∅) = 1.

C’est une K-catégorie si A l’était, et u, v sont alors des K-foncteurs. Noter que lorsque A est K-linéaire, la construction A^{⊕} est un cas parti-

culier de cette construction, en prenant • = ⊕.

Si s : B → A est un foncteur, on lui associe canoniquement comme suit un foncteur monoïdal strict s^{str} : B^{str} → A^{str} : on associe au mot w = B_{1} … B_{n} de B^{str} le mot s^{str}(w) = s(B_{1}) … s(B_{n}) de A^{str} (s^{str}(∅) = ∅).

On associe à f ∈ B^{str}(w, w′) = B(u(w), u(w′)) le morphisme s^{str}(f) = s(f) ∈ A(u(s^{str}(w)), u(s^{str}(w′))) = A^{str}(s^{str}(w), s^{str}(w′)).

Si s est sous-jacent à un foncteur monoïdal strict, on a us^{str} = su (donc s = u_{A} ∘ s^{str} ∘ v_{B}).

Vu la construction de Mac Lane et le sorite 13.3.3, pour démontrer le théorème 13.2.1, on peut supposer A stricte. Le théorème 13.2.1 résulte alors de la proposition plus précise suivante : 13.4.2. Proposition. Soient (A, •), Ā, π_{A} comme dans le théorème 13.2.1. Si en outre A est monoïdale stricte,

a) Il existe une section monoïdale stricte s de π_{A}.

b) Toute autre section monoïdale stricte de π_{A} est isomorphe à s.

c) Toute section monoïdale de π_{A} est naturellement isomorphe à une section monoïdale stricte de π_{A}. 13.5. Réductions. Commençons par une réduction du problème en deux lemmes. 13.5.1. Lemme. La proposition 13.4.2 découle de l’énoncé correspondant pour la catégorie monoïdale stricte K-linéaire A^{⊕}. Démonstration. Soit S une section monoïdale stricte de π_{A^{⊕}}. Le foncteur monoïdal strict (pleinement) fidèle A →^{v^{⊕}} A^{⊕} induit un diagramme commutatif

\begin{matrix}Ā & ⟶^{v̄} & Ā^{⊕} \\ ^{s}↓ & & ^{S}↓ \\ A & ⟶^{v} & A^{⊕}. \end{matrix}

Réciproquement, si s est donnée, on peut prendre S = s^{⊕}. □

En identifiant (Ā^{str})^{⊕} et \overline{(A^{str})^{⊕}}, ce lemme nous ramène à prouver la proposition 13.4.2 dans le cas strictement K-linéaire, strictement monoïdal. 13.5.2. Lemme. Supposons que A soit strictement K-linéaire, et monoïdale stricte. Soit s une section fonctorielle K-linéaire de π_{A} (vue comme simple K-foncteur ).

Supposons que s(f •g) = s(f)•s(g) pour tout couple d’endomorphismes (f ∈ Ā^{⊕}(A, A), g ∈ Ā^{⊕}(B, B)), et que s(1_{1}) = 1_{1}. Alors s^{⊕} définit une unique section monoïdale stricte de π_{A^{⊕}}.

Démonstration. Il s’agit de vérifier l’identité s^{⊕}(f • g) = s^{⊕}(f) • s^{⊕}(g) pour tout couple (f ∈ Ā^{⊕}(w_{1}, w′_{1}), g ∈ Ā^{⊕}(w_{2}, w′_{2})), et s^{⊕}(∅) = 1_{∅} (ce second point est immédiat).

Nous utilisons transitoirement la notation w des mots de 13.4, dans le cas où la structure monoïdale est donnée par ⊕; au lieu de u(w), la somme directe (dans la catégorie strictement K-linéaire A) des lettres de w sera

notée w^{⊕} (∅^{⊕} = 1). Via les identifications canoniques

A^{⊕}(w, w′) = A(w^{⊕}, w^{⊕}′),

on peut écrire s^{⊕}(f) = s(f), s^{⊕}(g) = s(g), s^{⊕}(f • g) = s(f • g).

Les identifications ci-dessus sont compatibles à • ( { \atop w_{1} • w_{2}}^{⊕} = w^{⊕} • w^{⊕}′). On peut donc écrire s^{⊕}(f)•s^{⊕}(g) = s(f)•s(g) (en revanche, on prendra

garde que s n’est pas supposée stricte vis-à-vis de ⊕, i.e. on ne suppose pas

que le morphisme canonique { \atop s^{⊕}(w)}^{⊕} → s(w^{⊕}) soit l’égalité).

L’hypothèse du lemme se traduit donc par l’identité s^{⊕}(f • g) = s^{⊕}(f) • s^{⊕}(g) dans

A^{⊕}(w_{1} • w_{2}, w_{1} • w_{2}) = A(w_{1}^{⊕} • w_{2}^{⊕}, w_{1}^{⊕} • w_{2}^{⊕})

pour tout couple d’endomorphismes (f ∈ Ā^{⊕}(w_{1}, w_{1}), g ∈ Ā^{⊕}(w_{2}, w_{2})).

Or s^{⊕} est strict vis-à-vis de ⊕ par construction (par contraste avec s). Cela permet de ramener l’identité ci-dessus pour tout couple de morphismes (f ∈ Ā^{⊕}(w_{1}, w′_{1}), g ∈ Ā^{⊕}(w_{2}, w′_{2})) au cas d’un couple d’endomorphismes en remplaçant w_{1} et w′_{1} par w_{1} ⊕ w′_{1}, et w_{2} et w′_{2} par w_{2} ⊕ w′_{2}. □

Ce lemme nous ramène à traiter d’endomorphismes, plutôt que d’homomorphismes.

Notation abrégée. Nous écrirons A(A) (resp. R(A)) au lieu de A(A, A) (resp. R(A, A)) dans ce paragraphe. Pour un objet A ∈ A et a, b ∈ A(A), nous noterons comme d’habitude [a, b] = ab − ba le commutateur de a et b, et ad(a) l’application b ↦ [a, b].

13.6. Au cœur du problème : démonstration de la proposition 13.4.2. Compte tenu des lemmes précédents, on suppose désormais que A est une petite catégorie, strictement K-linéaire, monoïdale stricte (notons que Ā a la même propriété). On procède par étapes. Nous commencerons par démontrer c), cette démonstration étant la plus simple des trois et servant de prototype à celles de a) et b).

13.6.1. Début de la preuve de c). Soit s une section K-fonctorielle monoïdale de π_{A}. On a donc des isomorphismes

A • B = s(A) • s(B) ⟶^{s̃_{A,B}} s(A • B) = A • B.

Les s̃_{A,B} appartiennent à 1+R(A•B) et vérifient la relation de cohérence (dans 1 + R(A • B • C))

(13.3)  s̃_{A•B,C} ∘ (s̃_{A,B} • 1_{C}) = s̃_{A,B•C} ∘ (1_{A} • s̃_{B,C}).

Nous allons montrer :

13.6.1. Lemme. Il existe une famille double (u_{A}^{(r)})_{A∈A,r≥1}, avec u_{A}^{(r)} ∈ 1 + R(A), ayant les propriétés suivantes :

(i) On a u_{A}^{(r+1)} ≡ u_{A}^{(r)} (mod R(A)^{r}) pour tout A ∈ A et tout r ≥ 1.

(ii) En posant

s_{r}(f) = u_{B}^{(r)} ∘ s(f) ∘ (u_{A}^{(r)})^{−1}

pour A, B ∈ A et f ∈ Ā(A, B), on a

(s̃_{r})_{A,B} = u_{A•B}^{(r)} ∘ s̃_{A,B} ∘ (u_{A}^{(r)} • u_{B}^{(r)})^{−1} ∈ 1 + R(A • B)^{r}

pour tout couple d’objets (A, B).

Supposons le lemme 13.6.1 démontré. Pour tout A, choisissons un entier r(A) tel que R(A)^{r(A)} = 0. Posons

u_{A} = u_{A}^{(r(A))} = u_{A}^{(r(A)+1)} = ⋯ ∈ 1 + R(A)

et

s′(f) = u_{B} ∘ s(f) ∘ (u_{A})^{−1}

pour A ∈ A et f ∈ Ā(A). Pour A, B ∈ A, on a donc

s̃′_{A,B} = (s̃_{r})_{A,B}

dès que r ≥ sup(r(A), r(B), r(A • B)). De plus, le membre de droite de cette égalité est égal à 1_{A•B}. Ainsi, la section s′ vérifie les conclusions de c).

Nous allons démontrer le lemme 13.6.1 par récurrence sur r, partant du cas trivial r = 1 où l’on prend u_{A}^{(1)} = 1_{A} pour tout A.

13.6.2. Une relation de cocycle, I. Supposons r ≥ 1 et trouvée une famille u_{A}^{(r)} vérifiant la condition (ii) du lemme 13.6.1. Quitte à remplacer s par s_{r}, on peut supposer s_{r} = s, u^{(r)} = 1. On a donc s̃_{A,B} ∈ 1 + R(A • B)^{r} pour tout couple d’objets (A, B). Posons n_{A,B} = 1_{A•B} − s̃_{A,B} ∈ R(A • B)^{r}. La relation (13.3) se réécrit alors

(1_{A•B•C} − n_{A•B,C}) ∘ ((1_{A•B} − n_{A,B}) • 1_{C})

= (1_{A•B•C} − n_{A,B•C}) ∘ ((1_{A} • (1_{B•C} − n_{B,C}))

d’où

(13.4) n_{A•B,C} +n_{A,B}•1_{C} ≡ n_{A,B•C} +1_{A}•n_{B,C} (mod R(A•B•C)^{r+1}).

Nous cherchons une famille (u_{A}^{(r+1)})_{A∈A} vérifiant :

(i) u_{A}^{(r+1)} ≡ 1 (mod R(A)^{r}) pour tout A ∈ A.

(ii) u_{A•B}^{(r+1)} ∘ s̃_{A,B} ∘ (u_{A}^{(r+1)} • u_{B}^{(r+1)})^{−1} ∈ 1 + R(A • B)^{r+1} pour tout couple d’objets (A, B).

Supposons le problème résolu et posons m_{A} = 1_{A} −u_{A}^{(r+1)} ∈ R(A)^{r}. On a alors l’identité

(1_{A•B} − m_{A•B}) ∘ (1_{A•B} − n_{A,B}) ∘ ((1_{A} − m_{A}) • (1_{B} − m_{B}))^{−1}

≡ 1 (mod R(A • B)^{r+1})

soit encore

(13.5) n_{A,B} ≡ m_{A} • 1_{B} + 1_{A} • m_{B} − m_{A•B} (mod R(A • B)^{r+1}).

Réciproquement, l’existence d’une famille (m_{A}) vérifiant la congruence (13.5)est clairementéquivalenteà l’existence d’une famille (u_{A}^{(r+1)}) comme ci-dessus.

13.6.3. Une relation de cocycle, II. La congruence (13.4) fait penser à une relation de 2-cocycle, et la congruence (13.5) à une relation de 2-cobord. Pour donner corps à ces impressions, introduisons encore quelques notations.

Si w = A_{1}A_{2} … A_{m} est un mot formé d’objets de A, notons w^{•} l’objet A_{1}•A_{2}•⋯•A_{m} de A ou Ā (notation plus commode que celle u(w) utilisée plus haut) ; notons les formules

(\begin{matrix} \\ w_{1}^{•} & w_{2}^{•} \end{matrix})^{•} = { \atop w_{1}w_{2}}^{•}
∅^{•} = 1.

Pour tout A ∈ A, posons R(A)^{[r]} = R(A)^{r}/R(A)^{r+1}. On peut faire opérer les mots à gauche et à droite sur le K-espace vectoriel

R^{[r]} = ∏_{w} R(w^{•})^{[r]}

de la manière suivante :

(w_{0} · m)(w) = \begin{cases}1w_{0}^{•} • m(w′) & si w est de la forme w_{0}w′ \\ 0 & sinon \end{cases}

(m · w_{1})(w) = \begin{cases}m(w′) • 1w_{1}^{•} & si w est de la forme w′w_{1} \\ 0 & sinon. \end{cases}

(L’expression m(w) désigne la w-composante de m).

Il n’est pas difficile de voir que cette opération est bien définie, et qu’étendue par K-linéarité, elle munit R^{[r]} d’une structure de K⟨Ob(A)⟩- bimodule (où K⟨Ob(A)⟩ désigne la K-algèbre libre de base les objets de A).

13.6.4. Une relation de cocycle, III – fin de la preuve de c). Nous sommes maintenant en mesure d’interpréter (13.4) comme relation de 2-cocycle de Hochschild pour l’algèbre K⟨Ob(A)⟩.

En effet, reprenons la famille (n_{A,B}) ci-dessus. Avec les notations précédentes, on a une famille induite

n̄_{AB} ∈ R(AB)^{[r]}.

On définit alors une 2-cochaîne de Hochschild n̄ pour K⟨Ob(A)⟩ à valeurs dans le K⟨Ob(A)⟩-bimodule R^{[r]}, en associant à tout couple de mots non vides (w_{0}, w_{1}) l’élément n̄_{w_{0},w_{1}} ∈ R^{[r]} défini par

n̄_{w_{0},w_{1}}(w) = \begin{cases}n̄_{w_{0}^{•},w_{1}^{•}} & si w_{0}w_{1} = w, \\ 0 & sinon. \end{cases}

Calculons le bord de Hochschild de n̄ :

(d^{2}(n̄))_{w_{0},w_{1},w_{2}} = w_{0} · n̄_{w_{1},w_{2}} − n̄_{w_{0}w_{1},w_{2}} + n̄_{w_{0},w_{1}w_{2}} − n̄_{w_{0},w_{1}} · w_{2}.

Sa w-composante est nulle, par définition, si w_{0}w_{1}w_{2} ≠ w. Si w_{0}w_{1}w_{2} = w, elle est égale à

1w_{0}^{•} • n̄_{w_{1}^{•},w_{2}^{•}} − n̄_{w_{0}^{•}•w_{1}^{•},w_{2}^{•}} + n̄_{w_{0}^{•},w_{1}^{•}•w_{2}^{•}} − n̄_{w_{0}^{•},w_{1}^{•}} • 1w_{2}^{•}

= 0 d’après (13.4).

Donc n̄ est un 2-cocycle. Comme K⟨Ob(A)⟩ est une K-algèbre libre, c’est un 2-cobord, cf. [2, ch. IX, ex. 2 ou ch. X.5]. En d’autres termes, il existe une famille d’éléments m̄_{w} ∈ R^{[r]} telle que l’on ait l’identité

n̄_{w_{0},w_{1}} = w_{0} · m̄_{w_{1}} + m̄_{w_{0}} · w_{1} − m̄_{w_{0}w_{1}}.

Soient A, B ∈ A. Pour w_{0} = A, w_{1} = B, la composante de cette identité dans R(w_{0}w_{1})^{[r]} n’est autre que

n̄_{AB} = 1_{A} • m̄_{B} − m̄_{A•B} + m̄_{A} • 1_{B}.

En relevant les m̄_{A} en des m_{A} ∈ R(A)^{r}, on obtient la famille (u_{A}^{(r+1)} = 1_{A} − m_{A}) cherchée.

13.6.5. Début de la preuve de a). Soit s une section K-fonctorielle de π_{A}. L’existence en est garantie par le théorème 12.1.1.

Comme les End(1)-bimodules A(A, B) sont commutatifs par hypothèse, il est loisible de remplacer chaque s(f) par s(1_{1})^{−1} ∘ s(f), et donc de supposer s(1_{1}) = 1_{1}.

En outre, d’après la proposition 12.2.1 appliquée à B = A ⊠_{K} A, il existe une famille (u_{A,B} ∈ 1_{A•B} + R(A • B)) vérifiant, pour tout (f, g) ∈ Ā(A) × Ā(B) :

s(f • g) = u_{A,B}(s(f) • s(g))u_{A,B}^{−1}.

Nous allons montrer :

13.6.2. Lemme. Il existe une famille double (u_{A}^{(r)})_{A∈A,r≥1}, avec u_{A}^{(r)} ∈ 1 + R(A), ayant les propriétés suivantes :

(i) On a u_{A}^{(r+1)} ≡ u_{A}^{(r)} (mod R(A)^{r}) pour tout A ∈ A et tout r ≥ 1.

(ii) En posant

s_{r}(f) = u_{B}^{(r)} ∘ s(f) ∘ (u_{A}^{(r)})^{−1}

pour A, B ∈ A et f ∈ Ā(A, B), on a

s_{r}(f • g) ≡ s_{r}(f) • s_{r}(g) (mod R(A • B)^{r})

pour tout couple d’objets (A, B) et tout (f, g) ∈ Ā(A) × Ā(B).

Le lemme 13.6.2 implique a) de la même manière que le lemme 13.6.1 impliquait c). On procède de nouveau par récurrence sur r.

13.6.6. Une relation de cocycle, I. Supposons r ≥ 1 et trouvée une famille u_{A}^{(r)} vérifiant la condition (ii) du lemme 13.6.2. Quitte à remplacer s par s_{r}, on peut supposer s_{r} = s, u^{(r)} = 1. Posons

n_{A,B} = u_{A,B} − 1_{A•B}.

On a alors

ad(n_{A,B})(s(f) • s(g)) ∈ R(A • B)^{r}

pour tout (f, g) ∈ Ā(A) × Ā(B).

Soit h ∈ Ā(C). Nous allons calculer de deux façons s(f • g • h) modulo R(A • B • C)^{r+1}, compte-tenu de l’associativité stricte de •.

On a, modulo R(A • B • C)^{r+1},

s((f • g) • h) = s(f • g) • s(h) + [n_{A•B,C}, (s(f) • s(g)) • s(h)] = (s(f) • s(g)) • s(h) + [n_{A,B}, s(f) • s(g))] • s(h)

+ [n_{A•B,C}, (s(f) • s(g)) • s(h)]

= (s(f) • s(g)) • s(h) + [n_{A,B} • 1_{C} + n_{A•B,C}, (s(f) • s(g)) • s(h)]

et de même

s_{r}(f • (g • h)) = s(f) • (s(g) • s(h)) + [1_{A} • n_{B,C} + n_{A,B•C}, s(f) • (s(g) • s(h))].

Puisque A est monoïdale stricte, on en déduit que

(13.6) ad(1_{A} • n_{B,C} − n_{A•B,C} + n_{A,B•C} − n_{A,B} • 1_{C})(s(f • g • h))

∈ R(A • B • C)^{r+1}

pour tous endomorphismes f, g, h comme ci-dessus.

D’autre part, si (u_{A}^{(r+1)} = 1+m_{A})_{A∈A} est une famille d’éléments comme dans la conclusion du lemme 13.6.2 (donc m_{A} ∈ R(A)^{r} pour tout A), un calcul analogue donne l’identité

(13.7) ad(n_{A,B} −m_{A}•1_{B} −1_{A}•m_{B} +m_{A•B})(s(f)•s(g)) ∈ R(A•B)^{r+1}

pour (f, g) ∈ Ā(A) × Ā(B) ; réciproquement, la donnée d’éléments m_{A} vérifiant (13.7) implique l’existence d’une famille u^{(r+1)} comme dans l’énoncé du lemme 13.6.2.

13.6.7. Une relation de cocycle, II. Pour interpréter (13.6) comme une relation de 2-cocycle et (13.7) comme une relation de cobord, on procède comme ci-dessus en introduisant un K⟨Ob(A)⟩-bimodule approprié.

Notons que l’action de A sur R^{[r]} = R^{r}/R^{r+1} se factorise en une action de Ā. En particulier, on peut se dispenser d’écrire la section s dans (13.6) et (13.7).

Pour tout mot w = A_{1} … A_{m} en les objets de A, notons

Ā(w) = Ā(A_{1}) • ⋯ • Ā(A_{m}) ⊂ Ā(w^{•}).

On a Ā(ww′) = Ā(w)Ā(w′).

Notons ensuite C(w)^{[r]} le centralisateur de Ā(w) dans R(w^{•})^{[r]} :

C(w)^{[r]} = {x ∈ R(w^{•})^{[r]} | ad(a)(x) = 0 ∀a ∈ Ā(w)}.

On note encore

M(w)^{[r]} = R(w^{•})^{[r]}/C(w)^{[r]}

et

ad^{w} : R(w^{•})^{[r]} → M(w)^{[r]}

la projection canonique.

Remarquons que C(w)^{[r]} et M(w)^{[r]} dépendent effectivement de w, et pas seulement de w^{•}. Les inclusions du type Ā(w_{1} … w_{n}) ⊂ Ā(w_{1}^{•} … w_{n}^{•}) entraîne des inclusions du type

C(w_{1}^{•} … w_{n}^{•})^{[r]} ⊂ C(w_{1} … w_{n})^{[r]}

et des projections correspondantes

(13.8)  M(w_{1}^{•} … w_{n}^{•})^{[r]} ⟶ M(w_{1} … w_{n})^{[r]}

factorisant les ad^{w}.

Les relations (13.6) et (13.7) se réécrivent maintenant

(13.9)  ad^{ABC}(r_{A,B,C}) = 0

avec

(13.10)  r_{A,B,C} = 1_{A} • n_{B,C} − n_{A•B,C} + n_{A,B•C} − n_{A,B} • 1_{C}

ainsi que

(13.11)  ad^{AB}(n_{A,B} − m_{A} • 1_{B} − 1_{A} • m_{B} + m_{A•B}) = 0.

L’action à gauche et à droite de K⟨Ob(A)⟩ sur R^{[r]} en induit une sur son quotient

M^{[r]} = ∏_{w} M(w)^{[r]}.

13.6.8. Une relation de cocycle, III - fin de la preuve de a). De même que pour le lemme 13.6.1, (13.6) et (13.7) s’interprètent maintenant comme relations de 2-cocycle et de 2-cobord de Hochschild à valeurs dans le K⟨Ob(A)⟩-bimodule C^{[r]}. La seule remarque à faire est qu’étant donné

trois mots w_{0}, w_{1}, w_{2}, et w = w_{0}w_{1}w_{2}, la nullité de ad^{w_{0}^{•}w_{1}^{•}w_{2}^{•}}(r_{w_{0}^{•},w_{1}^{•},w_{2}^{•}}),

donnée par (13.9), entraîne celle de ad^{w}(r_{w_{0}^{•},w_{1}^{•},w_{2}^{•}}) via la projection (13.8). On conclut comme auparavant.

13.6.9. Preuve de b). Soient s, s′ deux sections monoïdales strictes de π_{A}. Il s’agit de montrer qu’il existe une famille (u_{A})_{A∈A}, u_{A} ∈ 1_{A} + R(A, A), telle que pour tous A, B ∈ A on ait s′(f) = u_{A}s(f)(u_{A})^{−1} pour tout f ∈ Ā(A) et

u_{A•B} = u_{A} • u_{B}.

Nous allons montrer :

13.6.3. Lemme. Il existe une famille double (u_{A}^{(r)})_{A∈A,r≥1}, avec u_{A}^{(r)} ∈ 1 + R(A), ayant les propriétés suivantes :

(i) u_{A}^{(r+1)} ≡ u_{A}^{(r)} (mod R(A)^{r}) pour tout A ∈ A et tout r ≥ 1.

(ii) s′(f) = u_{A}^{(r)}s(f)(u_{A}^{(r)})^{−1} pour tout A ∈ A, tout f ∈ Ā(A) et tout r ≥ 1.

(iii) u_{A•B}^{(r)} ≡ u_{A}^{(r)} • u_{B}^{(r)} (mod R(A • B)^{r}) pour tous objets A, B et tout r ≥ 1.

Le lemme 13.6.3 implique b) de la même manière que les lemmes 13.6.1 et 13.6.2 impliquaient c) et a). On procède toujours par récurrence sur r. Nous aurons besoin des nouvelles notations suivantes, pour un mot w en les objets de A (voir aussi §13.6.7) :

C_{s}(w) = {x ∈ A(w^{•}) | xs(f) = s(f)x pour tout f ∈ Ā(w)}

C_{s}^{r}(w) = R(w^{•})^{r} ∩ C_{s}(w)

C^{[r]}(w) = \frac{C_{s}^{r}(w) + R(w^{•})^{r+1}}{R(w^{•})^{r+1}} ≃ C_{s}^{r}(w)/C_{s}^{r+1}(w).

Le groupe C^{[r]}(w) ne dépend pas du choix de s, puisque deux sections sont conjuguées par des éléments de 1+R (théorème 12.1.1 b)) et que 1+R opère trivalement sur R^{[n]} par conjugaison. On prendra garde de ne pas le confondre avec le groupe C(w)^{[r]} du §13.6.7 : l’inclusion

C^{[r]}(w) ⊂ C(w)^{[r]}

est en général stricte.

En utilisant le théorème 12.1.1 b), choisissons une famille (u_{A}^{(1)})_{A∈A}, avec u_{A}^{(1)} ∈ 1_{A} + R(A), vérifient la propriété (ii) du lemme 13.6.3. La condition (iii) est automatique ; le lemme est donc vrai pour r = 1.

Supposons maintenant r ≥ 1 et le lemme connu pour r. Posons

n_{A,B} := 1_{A•B} − (u_{A}^{(r)} • u_{B}^{(r)})^{−1}u_{A•B}^{(r)} ∈ R(A • B)^{r}.

Comme s et s′ sont monoïdales strictes, on a l’identité

(u_{A}^{(r)} • u_{B}^{(r)})^{−1}u_{A•B}^{(r)}(s(f) • s(g))(u_{A•B}^{(r)})^{−1}u_{A}^{(r)} • u_{B}^{(r)} = s(f) • s(g)

pour (f, g) ∈ Ā(A) × Ā(B), ce qui équivaut à

n_{A,B} ∈ C^{r}(AB).

Par ailleurs, la définition de n_{A,B} donne immédiatement la relation

1_{A} • n̄_{B,C} − n̄_{A•B,C} + n̄_{A,B•C} − n̄_{A,B} • 1_{C} = 0

où n̄_{A,B} désigne l’image de n_{A,B} dans C^{[r]}(AB).

Soit maintenant (u_{A}^{(r+1)}) une famille vérifiant les conclusions du lemme 13.6.3. Posons

u_{A}^{(r+1)} = u_{A}^{(r)}(1 + m_{A}).

On a donc m_{A} ∈ R(A)^{r}. La condition (ii) du lemme se traduit en

(1 + m_{A})s(f)(1 + m_{A})^{−1} = s(f)

pour tout f ∈ Ā(A), c’est-à-dire

m_{A} ∈ C^{r}(A).

La condition (iii), d’autre part, se traduit en

n̄_{A,B} = m̄_{A•B} − 1_{A} • m̄_{B} − m̄_{A} • 1_{B}

où m̄_{A} est la projection de m_{A} dans C^{[r]}(A) (calcul immédiat). Inversement, la donnée de m_{A} ∈ R(A)^{r} vérifiant ces deux conditions fournit une famille (u_{A}^{(r+1)}) vérifiant les conclusions du lemme 13.6.3.

On termine comme précédemment, en utilisant le K⟨Ob(A)⟩-bimodule

C^{[r]} = ∏_{w} C^{[r]}(w),

et en posant

n̄_{w_{0},w_{1}}(w) = \begin{cases}n̄_{w_{0}^{•},w_{1}^{•}} & si w_{0}w_{1} = w, \\ 0 & sinon. \end{cases}

Ceci conclut la preuve de b), donc celle de la proposition 13.4.2, et finalement celle du théorème 13.2.1. □

13.6.4. Remarques. a) Supposons A abélienne et engendrée par un nombre fini d’objets A_{i},

au sens où tout objet est sous-quotient d’une somme finie de copies de •-monômes en ces objets. On prendra garde que Ā n’est pas nécessairement engendrée par les π(A_{i}) = A_{i}. Le point est que l’image dans Ā d’un monomorphisme de A n’est pas nécessairement un monomorphisme. En fait, on verra plus loin des exemples où Ā n’est engendrée par aucun ensemble fini d’objets.

b) Dans [16], nous appliquons le théorème de scindage monoïdal cidessus pour construire, inconditionnellement, des réalisations de motifs numériques, et les groupes de Galois motiviques associés.

c) Dans le troisième article de cette série, nous appliquons le même théorème pour définir des “enveloppes” pro-semi-simples ou pro-réducti-ves.

13.7. Variantes. Voici un avatar monoïdal de la proposition 12.2.1.

13.7.1. Proposition. Soit (B, •) une autre catégorie monoïdale vérifiant les hypothèses du théorème 13.2.1. Soit T : B → A un K-foncteur monoïdal radiciel. Notons T̄ : B̄ → Ā le foncteur induit. Soit s_{A} : Ā → A (resp. s_{B} : B̄ → B ) une section monoïdale de la projection canonique. Alors s_{A} ∘ T̄ et T ∘ s_{B} sont isomorphes (via un isomorphisme monoïdal qui couvre l’isomorphisme monoïdal identique modulo les radicaux). En particulier, si T et les sections s_{A} et s_{B} sont strictes, il existe un système (u_{X}) d’éléments de 1_{T (X)} + rad(A)(T (X), T (X)) tel que s_{A}T̄(h) = u_{X′}T s_{B}(h)(u_{X})^{−1} pour tout h ∈ B̄(X, X′), et u_{X•Y} = u_{X} • u_{Y}.

Démonstration. On prouve d’abord la seconde assertion, sous l’hypothèse que A et B sont monoïdales strictes. La preuve est entièrement parallèle à celle du point b) de la proposition 13.4.2. la proposition 12.2.1 montre l’existence d’un système (u_{X}) d’éléments de 1_{T (X)} + rad(A)(T (X), T (X)) tel que s_{A}T̄(h) = u_{X′}T s_{B}(h)(u_{X})^{−1} pour tout h ∈ B̄(X, X′). Pour le modifier en un système vérifiant de plus u_{X•Y} = u_{X} • u_{Y}, on construit une suite d’approximations u_{X}^{r}. Le point est de remplacer le K⟨Ob(A)⟩- bimodule C^{[r]} par le K⟨Ob(B)⟩-bimodule C′^{[r]} = ∏_{w} C′(w)^{[r]}, où C′(w)^{[r]}

est défini de la manière suivante :

C_{T s}(w) = {x ∈ A(T (w^{•})) | x(T s_{B}(h)) = (T s_{B}(h))x pour tout h ∈ B̄(w)}

C_{T s}^{r}(w) = R_{A}(T (w^{•}))^{r} ∩ C_{T s}(w)

C′^{[r]}(w) = \frac{C_{T s}^{r}(w) + R_{A}(T (w^{•}))^{r+1}}{R_{A}(T (w^{•}))^{r+1}} ≃ C_{T s}^{r}(w)/C_{T s}^{r+1}(w).

Passons maintenant au cas général. D’après le théorème de conjugaison des sections monoïdales, il est loisible de changer de sections s_{A}, s_{B}. Plutôt que s_{A}, s_{B}, nous traiterons de s′_{A} = u_{A}∘(s_{A})^{str}∘v̄_{A}, s′_{B} = u_{B}∘(s_{B})^{str}∘v̄_{B} avec les notations de la construction de MacLane 13.4.1. On est alors ramené à voir que (s_{A})^{str} ∘ T̄^{str} et T^{str} ∘ (s_{B})^{str} sont isomorphes (via un isomorphisme monoïdal qui couvre l’isomorphisme monoïdal identique modulo les radicaux) ; mais on est alors dans le cas strict déjà vu. □

13.7.2. Corollaire. Dans la situation de la proposition 12.2.1, supposons A, B strictement K-linéaires, i.e. telles que ⊕ soit strictement associative (cf. 13.4). Supposons aussi que T soit strict vis-à-vis de ⊕. Alors on peut choisir les (u_{X}) (conjuguant s_{A}T̄ et T s_{B}) de telle sorte que u_{X⊕Y} = u_{X} ⊕ u_{Y}. □

Voici une variante monoïdale du complément de Malcev au théorème de Wedderburn.

13.7.3. Proposition. Sous les hypothèses du théorème 13.2.1, supposons donnée en outre une sous-catégorie monoïdale B séparable de A (non nécessairement pleine), telle que tout objet de A soit facteur direct d’un objet de B. Alors il existe une section monoïdale s de π_{A} qui vérifie (s ∘ π_{A})|B = id_{B}.

Démonstration. Quitte à remplacer A et B par A^{♮} et B^{♮} respectivement, on peut supposer que Ob(B) = Ob(A). Dans ce cas, le corollaire 12.2.2 montre l’existence d’une section fonctorielle de π_{A} telle que (s ∘ π_{A})_{|B} = id_{B}. Pour la modifier en une section monoïdale vérifiant la même condition, on reprend la méthode de preuve du théorème 13.2.1 a), en construisant une suite d’approximations s_{r} (cf. le lemme 13.6.2 et sa preuve). Le point est de remplacer le K⟨Ob(A)⟩-bimodule M^{[r]} par le sous-bimodule M′^{[r]} = ∏_{w} M′(w)^{[r]}, où M′(w)^{[r]} est le sous-K-espace de M(w)^{[r]} des éléments

dont un relevé dans R(w^{•})^{[r]} commute à B̄(w). On observe qu’on a bien ad^{AB}n_{AB} ∈ M′(AB)^{[r]} puisque la restriction de s_{r} à B = B̄ est monoïdale (c’est l’identité) ; on obtient ainsi des ν_{A} commutant à B̄(A), de sorte que s_{r+1} est encore l’identité sur B = B̄. □

13.8. Complément. Ce complément servira au §15.

13.8.1. Proposition. Sous les hypothèses du théorème 13.2.1, soit v une structure monoïdale sur le foncteur identique de A telle que π_{A}(v) = 1. Alors (Id_{A}, v) est monoïdalement isomorphe à (Id_{A}, 1) via un isomorphisme de foncteurs monoïdaux se projetant sur 1 dans Ā.

Démonstration. On peut supposer A strictement monoïdale. Il s’agit de résoudre l’équation

v_{A,B} = (u_{A}^{−1} • u_{B}^{−1})u_{A•B}

pour A, B ∈ A, où u = (u_{A}) est un automorphisme (non monoïdal) de Id_{A} se projetant sur 1. On procède comme d’habitude, en supposant de plus A strictement K-linéaire et en ne traitant que d’endomorphismes. Il suffit de montrer :

13.8.2. Lemme. Il existe une famille double (u^{(r)})_{r≥1} d’automorphismes de Id_{A}, avec u_{A}^{(r)} ∈ 1 + R(A), ayant les propriétés suivantes :

(i) u_{A}^{(r+1)} ≡ u_{A}^{(r)} (mod R(A)^{r}) pour tout A ∈ A et tout r ≥ 1.

(ii) v_{A,B} ≡ (u_{A}^{(r)}^{−1} • u_{B}^{(r)}^{−1})u_{A•B}^{(r)} (mod R(A • B)^{r}) pour tous objets A, B et tout r ≥ 1.

Démonstration. Récurrence sur r, en partant de r = 1 avec u^{(1)} = 1. Supposons r ≥ 1 et trouvée un automorphisme u^{(r)}. Quitte à remplacer v_{A,B} par (u_{A}^{(r)} • u_{B}^{(r)})u_{A•B}^{(r)}^{−1}v_{A,B}, on peut supposer que u^{(r)} = 1 et que v ∈ R^{r}.

Pour tout mot w en les objets de A, posons

C(w) = {x ∈ A(w^{•}) | x centralise A(w)}
C^{<r>}(w) = C(w) ∩ R(w^{•})^{r} (r ≥ 0)
Γ^{[r]}(w) = C^{<r>}(w)/C^{<r+1>}(w)
Γ^{[r]} = ∏_{w} Γ^{[r]}(w).

L’algèbre K⟨Ob(A)⟩ opère à gauche et à droite sur Γ^{[r]} de la manière habituelle.

Posons v_{A,B} = 1 − ν_{A,B} : alors ν_{A,B} ∈ C^{<r>}(AB) et on a la congruence identique

ν_{A•B,C} + ν_{A,B} • 1_{C} ≡ ν_{A,B•C} + 1_{A} • ν_{B,C} (mod R(A • B • C)^{r+1}).

Soit u^{(r+1)} un automorphisme de Id_{A} solution de (i) et (ii). Posons u_{A}^{(r+1)} = 1 − μ_{A} : on a donc μ_{A} ∈ C^{<r>}(A). Soit μ̄_{A} l’image de μ_{A} dans Γ^{[r]}(A). On a la congruence identique

ν_{A,B} ≡ μ_{A•B} − 1_{A} • μ_{B} − μ_{A} • 1_{B} (mod R(A • B)^{r+1}).

Réciproquement, si (μ_{A}) est une famille d’éléments de C^{<r>}(A) vérifiant ces congruences, alors la famille (u_{A}^{(r+1)} = 1 − μ_{A}) définit un automorphisme de Id_{A} solution de (i) et (ii). Il reste à appliquer comme précédemment la nullité de H^{2}(K⟨Ob(A)⟩, Γ^{<r>}). □

13.8.3. Remarque. Si A, B admettent des duaux à droite (cf. 6), les isomorphismes canoniques

A(1, A^{∨} • B) ≅ A(A, B)

de (6.2)passent à Ā et sont compatibles à toute section monoïdale s comme dans le théorème. Si tous les objets de A admettent des duaux à droite (par exemple si A est symétrique et rigide), on en déduit que s est déterminée par ses valeurs sur les Ā(1, A).

14. Représentabilité

Dans ce paragraphe, nous nous proposons d’interpréter les résultats des paragraphes 12 et 13 en termes plus catégoriques. Brièvement, on peut associer à une petite K-catégorie de Wedderburn (monoïdale) le groupoïde des sections (monoïdales) de π_{A}. Cette construction est 2-fonctorielle en A pour les foncteurs pleinement fidèles et les isomorphismes naturels. Sous une hypothèse de finitude supplémentaire, elle peut même s’enrichir en un 2-foncteur à valeurs dans les K-groupoïdes affines scindés unipotents (théorèmes 14.3.1 et 14.3.3).

Ces constructions ne dépendent pas des théorèmes 12.1.1 et 13.2.1. Dans le cas représentable, elles permettent de les réinterpréter en des résultats très forts de rationalité pour les K-groupoïdes en jeu.

Nous nous plaçons d’abord le cadre discret, puis dans le cadre algébrique.

14.1. Le paysage discret.

14.1.1. Le cas non monoïdal. Soit A une petite K-catégorie de Wedderburn. Considérons la catégorie G(A) dont les objets sont les sections de π_{A}, un morphisme de s vers s′ étant une famille (u_{A})_{A∈A} comme dans le théorème 12.1.1 b) et le composé de deux morphismes (u_{A}), (v_{A}) étant (v_{A}u_{A}). (Comme nous l’a fait remarquer Alain Bruguières, les morphismes de G(A) s’interprètent aussi comme les transformations naturelles entre sections de π_{A} se projetant sur l’identité dans Ā.) Alors G(A) est un petit groupoïde : le groupoïde des sections de π_{A}. Le contenu du théorème 12.1.1 a) (resp. b)) est que ce groupoïde est non vide (resp. connexe).

L’interprétation de la proposition 12.2.1 dans ce langage est le peu satisfaisant principe de fonctorialité suivant : si s_{A} ∈ G(A) et s_{B} ∈ G(B), définissons le transporteur de s_{A} vers s_{B} comme l’ensemble T (s_{A}, s_{B}) des (u_{X}) vérifiant les conditions de ladite proposition : ce sont aussi les transformations naturelles de s_{A}T̄ vers T s_{B} se projetant sur l’identité. Alors, pour tout couple (s_{A}, s_{B}), l’ensemble T (s_{A}, s_{B}) est non vide.

Toutefois, si A → B est pleinement fidèle, alors on a un foncteur canonique G(B) → G(A) dans l’autre sens. Cette correspondance s’étend en un 2-foncteur : notons

W ed{K}

la sous-2-catégorie non pleine de {K} (voir §1.2) dont – les objets sont les petites K-catégories de Wedderburn

– les 1-morphismes sont les K-foncteurs pleinement fidèles

– les 2-morphismes sont les isomorphismes naturels.

D’autre part, notons Gr la 2-catégorie des petits groupoïdes (tous les foncteurs et toutes les transformations naturelles sont autorisés). Alors on vérifie au prix d’un petit calcul :

14.1.1. Sorite. La construction A ↦ G(A) définit un 2-foncteur 1-contra-variant et 2-covariant

G : W ed{K} → Gr .

Le théorème 12.1.1 énonce que son image est contenue dans la 2-sous-caté-gorie pleine des groupoïdes non vides connexes. □

En particulier, toute K-équivalence de catégories A ⟶^{∼} B définit une équivalence de catégories G(B) ⟶^{∼} G(A), qui n’est pas en général un isomorphisme de catégories. Toutefois :

14.1.2. Sorite. Pour toute K-catégorie de Wedderburn A, les foncteurs

G(A^{⊕})
↗  ↘
G(A^{⊕♮})  G(A)
↘  ↗
G(A^{♮})

sont des isomorphismes de groupoïdes. □

(On peut s’en convaincre en remarquant que ces foncteurs définissent des inverses partiels des foncteurs du sorite 1.2.1.)

14.1.2. Le cas monoïdal. Supposons maintenant que A soit monoïdale, et que son radical soit un idéal monoïdal. De même que dans 14.1.1, on peut introduire le groupoïde G^{⊗}(A) des sections monoïdales de π_{A} (les morphismes étant les morphismes de foncteurs monoïdaux se projetant sur l’identité dans Ā). C’est un sous-groupoïde de G(A), lui aussi connexe non vide^{18}. La proposition 13.7.1 admet la même interprétation que la proposition 12.2.1 du paragraphe 12. Si A → B est pleinement fidèle, on a un foncteur canonique G^{⊗}(B) → G^{⊗}(A) dans l’autre sens.

18Tout foncteur d’un groupoïde connexe non vide vers un autre est essentiellement surjectif…

Notons

W ed^{⊗}{K}

la 2-catégorie dont

– les objets sont les petites K-catégories de Wedderburn monoïdales, à radical monoïdal

– les 1-morphismes sont les K-foncteurs monoïdaux pleinement fidèles – les 2-morphismes sont les isomorphismes naturels monoïdaux. On a un 2-foncteur évident

(14.1)  Ω : W ed^{⊗}{K} → W ed{K}

(oubli des structures monoïdales). Comme au §14.1.1, on obtient en fait :

14.1.3. Sorite. La construction A ↦ G^{⊗}(A) définit un 2-foncteur 1-con-travariant et 2-covariant

G^{⊗} : W ed^{⊗}{K} → Gr .

Le théorème 13.2.1 énonce que son image est contenue dans la 2-sous-ca-tégorie pleine des groupoïdes non vides connexes. Il existe une 2-transformation naturelle canonique

G^{⊗} ⇒ G ∘ Ω

où G est comme dans le sorite 14.1.1 et Ω est comme en (14.1). □

14.1.4. Sorite. Pour toute K-catégorie de Wedderburn A, les foncteurs

G^{⊗}(A^{⊕})
↗  ↘
G^{⊗}(A^{⊕♮})  G^{⊗}(A)
↘  ↗
G^{⊗}(A^{♮})

sont des isomorphismes de groupoïdes. □

14.1.3. Objets compacts, duaux et limites inductives. Supposons A stable par limites inductives quelconques, et soit A^{comp} sa sous-catégorie pleine formée des objets compacts. Alors on a un foncteur de restriction G(A) → G(A^{comp}). Si tout objet de A est isomorphe à une limite inductive d’objets compacts, on a un foncteur en sens inverse : ces deux foncteurs sont des équivalences de catégories, quasi-inverses l’une de l’autre.

Même sorite dans le cas monoïdal symétrique, en supposant 1 compact et en remplaçant “compact” par “ayant un dual”.

14.1.4. Extension des scalaires. Si L/K est une extension, on a des foncteurs “extension des scalaires” (naïve et à la Saavedra) G(A) → G(A_{L}) et G(A) → G(A_{(L)}), et de même dans le cas monoïdal. Si L/K est (finie) séparable, ces foncteurs sont isomorphes en vertu du théorème 5.3.2. Dans le cas général et en supposant A stable par limites inductives quelconques, on a un foncteur de restriction G(A_{(L)}) → G(A_{L}) commutant naturellement aux deux foncteurs ci-dessus. Même sorite dans le cas monoïdal.

14.2. Objets en catégories, en groupoïdes et en actions de groupe.

14.2.1. Objets en catégories et en groupoïdes. Soit X une catégorie avec limites projectives finies. Rappelons qu’un objet en catégories dans X est la donnée Γ de deux objets E, S ∈ X, d’un morphisme

(β, σ) : E → S × S

“but” et “source” et d’un morphisme “loi de composition”

∘ : E ×_{^{β}S^{σ}} E → E

telles que, pour tout objet X ∈ X, le couple (X (X, E), X (X, S)) et les morphismes correspondants définissent une petite catégorie Γ(X) (objets : S(X) ; morphismes : E(X)). Par le lemme de Yoneda, cela revient à exiger que β, σ, ∘ vérifient les identités habituelles. Un objet en catégories Γ est un objet en groupoïdes si, pour tout X ∈ X, Γ(X) est un groupoïde (même remarque).

Si Γ = (E, S, β, σ, ∘) et Γ′ = (E′, S′, β′, σ′, ∘′) sont deux objets en catégories de X, un morphisme de Γ vers Γ′ est un couple T = (f, g), avec f ∈ X (E, E′), g ∈ X (S, S′), tels que les diagrammes

\begin{matrix}E & ⟶^{(β,σ)} & S × S \\ ^{f}↓ & & ^{g×g}↓ \\ E′ & ⟶^{(β′,σ′)} & S × S \end{matrix}  \begin{matrix}E ×_{^{β}S^{σ}} E & ⟶^{∘} & E \\ ^{f×f}↓ & & ^{f}↓ \\ E′ ×_{β′}_{S′}_{σ′} E′ & ⟶^{∘′} & E′ \end{matrix}

soient commutatifs (ou, de manière équivalente, que T (X) : Γ(X) → Γ′(X) soit un foncteur pour tout X ∈ X).

Si T = (f, g) et T′ = (f′, g′) sont deux tels morphismes, une homotopie de T vers T′ est un morphisme u ∈ X (S, E′) tel que les diagrammes

\begin{aligned}S & ⟶^{u} & E′ \\ (g′,g) ↘ & ^{(β′,σ′)}↓ \\ & S′ × S′ \end{aligned}  \begin{matrix}E & ⟶^{(f,uβ)} & E′ ×_{β′}_{S′}_{σ′} E′ \\ ^{(uσ,f′)}↓ & & _{∘′}↓ \\ E′ ×_{β′}_{S′}_{σ′} E′ & ⟶^{∘′} & E′ \end{matrix}

soient commutatifs (ou, ce qui revient au même, que u(X) soit une transformation naturelle quel que soit X ∈ X).

Les objets en catégories, morphismes et homotopies définissent une 2catégorie Cat(X). Sa sous-catégorie 1-pleine et 2-pleine formée des objets en groupoïdes est notée Gr(X).

14.2.2. Objets en actions de groupe. Un objet en groupes dans X est un couple (G, μ_{G}) avec G ∈ X, μ_{G} ∈ X (G × G, G) tel que G(X) = X (X, G) définisse un groupe pour la loi μ_{G}(X) = X (X, μ_{G}) quel que soit X ∈ X. De même, un objet en actions de groupe est un système Δ = (G, S, μ_{G}, μ_{S}), où (G, μ_{G}) est un objet en groupes, S ∈ X, μ_{S} ∈ X (G × S, S), tel que (μ_{G}(X), μ_{S}(X)) définisse une action de G(X) sur S(X) pour tout X ∈ X.

Étant donné deux objets en actions de groupe Δ = (G, S, μ_{G}, μ_{S}), Δ′ = (G′, S′, μ_{G′}, μ_{S′}), un morphisme de Δ vers Δ′ est un couple T = (f, g), avec f ∈ X (G, G′), g ∈ X (S, S′), tels que les diagrammes

\begin{matrix}G × G & ⟶^{μ_{G}} & G \\ ^{f×f}↓ & & ^{f}↓ \\ G′ × G′ & ⟶^{μ_{G′}} & G′ \end{matrix}  \begin{matrix}G × S & ⟶^{μ_{S}} & S \\ ^{g×g}↓ & & ^{g}↓ \\ G′ × S′ & ⟶^{μ_{S′}} & S′ \end{matrix}

soient commutatifs. Il y a une notion évidente de composition de tels morphismes.

Enfin, étant donné deux tels morphismes T = (f, g), T′ = (f′, g′), une homotopie de T vers T′ est un morphisme u ∈ X (S, G′) tel que les diagrammes

\begin{aligned}S & ⟶^{(u,g)} & G′ × S′ \\ g′ ↘ & & ^{μ_{S′}} ↓ \\ & & S′ \end{aligned}  \begin{matrix}G × S & ⟶^{(u∘μ_{S},f∘p_{1})} & G′ × G′ \\ ^{f′×u}↓ & & ^{μ_{G′}} ↓ \\ G′ × G′ & ⟶^{μ_{G′}} & G′ \end{matrix}

soient commutatifs (en formules : g′(s) = u(s)g(s) ; u(γs) = f′(γ)u(s)f(γ)^{−1}). La composition de deux homotopies est donnée par u′ ∘ u := μ_{G′} ∘ (u′, u) (u′ ∘ u(s) = u′(s)u(s)).

Les objets en actions de groupe, morphismes et homotopies forment une autre 2-catégorie notée Acg(X).

14.2.3. Actions de groupe et groupoïdes. Pour obtenir un groupoïde Γ, il suffit de se donner un objet en actions de groupe Δ = (G, S, μ_{G}, μ_{S}). On définit E = G × S, β = μ_{S}, σ = seconde projection. On vérifie (par exemple à l’aide du lemme de Yoneda) que le morphisme

G × G × S ⟶^{(p_{23},1_{G}×μ_{S})} E ×_{^{β}S^{σ}} E,

où p_{23} est la projection oubliant le premier facteur, est un isomorphisme. On définit alors ∘ comme le morphisme

E ×_{^{β}S^{σ}} E(⟵^{∼})^{−1}G × G × S ⟶^{μ_{G}×1_{S}} G × S = E.

Un tel groupoïde est dit scindé.

La règle ci-dessus s’étend en un 2-foncteur

Acg(X) → Gr(X).

14.2.1. Exemple. X = Sch/K est la catégorie des K-schémas (dans notre univers). Un K-groupoïde est un objet en groupoïdes Γ = (S, E) dans X. Il est dit transitif sur S s’il existe T′ fidèlement plat quasi-compact sur S ×_{K} S tel que Hom_{S×_{K}S}(T′, E) ≠ ∅ (le champ associé à T ↦ (S(T), E(T), β, σ, ∘) est alors une gerbe, cf. [20, 3.3]). Il est dit unipotent (resp. réductif…) si la restriction de E à la diagonale de S ×_{K} S est un S-groupe affine pro-unipotent (resp. pro-réductif…).

Un K-espace homogène est un objet en actions de groupe (G, S) dans X telle que G opère transitivement sur S. On note Hmg(Sch/K) ⊂ Acg(Sch/K) la sous-catégorie 2-pleine et 1-pleine des K-espaces homogènes.

Étant donné un objet en actions de groupe (G, S) dans X, pour que le morphisme (β, γ) du K-groupoïde Γ associé par 14.2.3 soit fpqc, il suffit que (G, S) soit un espace homogène. Cela implique que Γ est transitif sur S (prendre T′ = E ci-dessus). Si G est pro-unipotent (resp. pro-réductif…), Γ est unipotent (resp. réductif…) : en effet, la restriction de E à la diagonale est un sous-S-groupe fermé du S-groupe constant G ×_{K} S.

14.3. Représentabilité algébrique. Soient A une K-catégorie de Wedderburn et L une extension de K. Par le corollaire 4.1.4, A_{L} est encore de Wedderburn, de radical R_{L} = R ⊗ L, ce qui suggère la présence d’un Kgroupoïde (au sens des schémas) dont le groupoïde G(A) du §14.1.1 serait le groupoïde des K-points. De même, si A est monoïdale à radical monoïdal, on peut espérer que le groupoïde G^{⊗}(A) du §14.1.2 est représentable.

Nous allons montrer que c’est bien le cas, sous une hypothèse de finitude convenable. En fait, nous allons obtenir encore mieux.

14.3.1. Le cas non monoïdal.

14.3.1. Théorème. Soit W edf{K} la sous-2-catégorie 1-pleine et 2-pleine de W ed{K} formée des catégories A telles que dim_{K} A(A, B) < ∞ pour tout (A, B) ∈ A × A.

a) Soit A ∈ W edf{K}. Alors il existe un K-groupoïde affine scindé unipotent Γ(A) = (E, S), transitif sur S, tel que pour toute extension L de K, on ait S(L) = Ob(G(A_{L})) et E(s_{1}, s_{2})(L) = G(A_{L})(s_{1}, s_{2}) pour tout couple de sections (s_{1}, s_{2}) de π_{A_{L}}. b) Cette construction provient d’un 2-foncteur 1-contravariant et 2-cova-riant

Δ : W edf{K} → Hmg(Sch/K)

à valeurs dans les K-espaces homogènes unipotents, via le 2-foncteur Hmg(Sch/K) → Gr(Sch/K) de 14.2.3.

c) Les 2-foncteurs Δ et Γ commutent à l’extension des scalaires.

Démonstration. Compte tenu de l’hypothèse de finitude, pour tout objet A le foncteur des K-algèbres commutatives vers les groupes

R ↦ (1_{A} + R(A, A) ⊗_{K} R, ∘)

est représentable par un K-schéma en groupes affine unipotent U^{A}. Soit U_{A} = ∏_{A} U^{A} leur produit ; c’est un K-groupe pro-unipotent, i.e. une limite

projective filtrante \underleftarrow{lim} U_{α} de K-groupes unipotents ; en tant que schéma, c’est juste un produit d’espaces affines.

Pour tout couple (A, B) d’objets de A, soit Sec(A, B) l’ensemble des sections K-linéaires de la projection A(A, B) → Ā(A, B) : il est représentable par un K-espace affine Sec(A, B). Posons Sec_{A} = ∏_{A,B} Sec(A, B) : c’est aussi un produit d’espaces affines.

Considérons le sous-schéma fermé de Sec

S_{A} = {(s_{A,B}) | ∀A, B, C ∈ A, ∀(f, g) ∈ Ā(A, B) × Ā(B, C), s_{A,C}(g ∘ f) = s_{B,C}(g) ∘ s_{A,B}(f)}.

On a une action évidente de U_{A} sur S_{A}

μ : U_{A} ×_{K} S_{A} → S_{A}
(u, s) ↦ usu^{−1}

qui est transitive grâce au théorème 12.1.1 b). Notons Δ(A) ce K-espace homogène unipotent : le groupoïde Γ(A) cherché est l’image de Δ(A) par le foncteur de 14.2.3.

Il reste à voir que Δ définit un 2-foncteur. Soit T : B → A un foncteur pleinement fidèle : il induit un épimorphisme U_{A} → → U_{B} de K-schémas affines grâce au diagramme

∏_{A∈A} U^{A}

↓

∏_{B∈B} U^{B} ⟶^{∼} ∏_{B∈B} U^{T (B)}

et de même un épimorphisme Sec_{A} → → Sec_{B}, ce dernier envoyant S_{A} dans S_{B}. Ces morphismes définissent clairement un morphisme de K-espaces homogènes Δ(T) : Δ(A) → Δ(B).

Soit T′ un autre tel foncteur, et u : T ⇒ T′ un isomorphisme naturel, d’où un autre ū : T̄ ⇒ T̄′, où T̄, T̄′ : B̄ → Ā sont les foncteurs induits. Pour tout B ∈ B et toute section s de π_{A}, l’élément s(ū_{B})^{−1}u_{B} appartient à 1 + R(T (B), T (B)) : on en déduit un élément T^{−1}(s(ū_{B})^{−1}u_{B}) ∈ 1 + R(B, B). Cette règle définit un morphisme

Δ(u) : S_{A} → U_{B}

dont on vérifie facilement qu’il satisfait les conditions d’une homotopie Δ(T) ⇒ Δ(T′). □

14.3.2. Exemple. Le théorème 14.3.1 montre que, pour deux K-catégories de Wedderburn A et B K-équivalentes, les groupoïdes Γ(A) et Γ(B) ont en général même type d’homotopie (au sens ci-dessus), mais ne sont pas nécessairement isomorphes. La même remarque vaut pour les invariants plus fins Δ(A) et Δ(B). La remarque 12.1.3 va nous permettre de décrire un représentant explicite du type d’homotopie de Δ(A) et Γ(A) lorsque K est algébriquement clos (ou plus généralement parfait, si tout indécomposable de A le reste dans A^{♮} après toute extension finie L/K).

Il suffit de supposer que tout objet de A est indécomposable et que deux objets différents sont non isomorphes. On a alors S = Spec K et G est le produit des 1 + R(A, A), où A décrit l’ensemble des objets de A. En particulier, le schéma des objets de Γ(A) est ici réduit à un point.

14.3.2. Le cas monoïdal.

14.3.3. Théorème. Soit W edf^{⊗}{K} la sous-2-catégorie 1-pleine et 2-plei-ne de W ed^{⊗}{K} formée des catégories A telles que dim_{K} A(A, B) < ∞ pour tout (A, B) ∈ A × A.

a) Soit A ∈ W edf^{⊗}{K}. Alors il existe un K-groupoïde affine scindé unipotent Γ^{⊗}(A) = (E^{⊗}, S^{⊗}), transitif sur S^{⊗}, tel que pour toute extension L de K, on ait S^{⊗}(L) = Ob(G^{⊗}(A_{L})) et E^{⊗}(s_{1}, s_{2})(L) = G^{⊗}(A_{L})(s_{1}, s_{2}) pour tout couple de sections monoïdales (s_{1}, s_{2}) de π_{A_{L}}.

b) Cette construction provient d’un 2-foncteur 1-contravariant et 2-cova-riant

Δ^{⊗} : W edf^{⊗}{K} → Hmg(Sch/K)

à valeurs dans les K-espaces homogènes unipotents, via le 2-foncteur Hmg(Sch/K) → Gr(Sch/K) de 14.2.3.

c) On a une 2-transformation naturelle

Δ^{⊗} ⇒ Δ ∘ Ω

comme dans le sorite 14.1.3.

d) Les 2-foncteurs Δ^{⊗} et Γ^{⊗} commutent à l’extension des scalaires.

Démonstration. On reprend les notations de la preuve du theorème 14.3.1. Considérons le nouvel espace de paramètres

Sec^{⊗} = S × ∏_{A,B}(1 + R(A • B, A • B)).

Leséquations que doivent vérifier la contrainte monoïdale s̃d’une section monoïdale s définissent un sous-schéma fermé S^{⊗} ⊂ Sec^{⊗}. Soit U_{1} le sous-groupe fermé de U formé des (u_{A}) tels que u_{1} = 1. Le groupe U_{1} opère cette fois-ci sur S^{⊗} par la formule

μ^{⊗} : U_{1} ×_{K} S^{⊗} → S^{⊗}
(u, (s, s̃)) ↦ (usu^{−1}, s̃′)

où s̃′ est défini par le diagramme (13.1). Le théorème 13.2.1 b) montre que cette action est transitive. D’où Δ^{⊗}(A).

On a un morphisme évident Δ^{⊗}(A) → Δ(A), donné par le plongement de U_{1} dans U et par l’oubli des structures monoïdales. Ceci définit la 2transformation naturelle de c) au niveau des objets (catégories). Le reste se vérifie facilement. □

15. Sections et tressages

15.1. Tressages. On renvoie à [32] pour les notions de tressage et de foncteur monoïdal tressé. Contentons-nous de les rappeler brièvement.

Un tressage sur une catégorie monoïdale (A, •) est la donnée, pour tout couple d’objets (A, B) ∈ A × A, d’un élément

R_{A,B} ∈ A(A • B, B • A)

tel que le diagramme

(15.1)  \begin{matrix}A • B & ⟶^{f•g} & C • D \\ ^{R_{A,B}} ↓ & ^{R_{C,D}}↓ \\ B • A & ⟶^{g•f} & D • C \end{matrix}

soit commutatif pour tous A, B, C, D ∈ A et tout couple (f, g) ∈ A(A, C) × A(B, D). On demande de plus que les R_{A,B} vérifient les identités de tressage

(15.2)  R_{A,B•C} = a_{B,C,A}(1_{B} • R_{A,C})a_{B,A,C}^{−1}(R_{A,B} • 1_{C})a_{A,B,C}
(15.3)  R_{A•B,C} = a_{C,A,B}^{−1}(R_{A,C} • 1_{B})a_{A,C,B}(1_{A} • R_{B,C})a_{A,B,C}^{−1}

où a est la contrainte d’associativité.

On dit que le tressage R est symétrique si on a de plus l’identité

(15.4)  R_{B,A} = R_{A,B}^{−1}.

Si (B, ⊤) et (A, •) sont tressées, un foncteur monoïdal (s, s̃) : (B, ⊤) → (A, •) est dit tressé s’il est compatible avec les tressages. En d’autres termes, pour tous A, B ∈ B, on demande que le diagramme

(15.5)  \begin{matrix}s(A) • s(B) & ⟶^{s̃_{A,B}} & s(A⊤B) \\ ^{R_{s(A),s(B)}}↓ & ^{s(R_{A,B})}↓ \\ s(B) • s(A) & ⟶^{s̃_{B,A}} & s(B⊤A) \end{matrix}

soit commutatif.

Noter que si s est strict, la condition devient simplement s(R_{A,B}) = R_{s(A),s(B)}.

Noter aussi qu’imposer que les tressages de B et A soient symétriques n’impose aucune condition supplémentaire sur s (et même en retire). Par contre, si les tressages de B et A sont compatibles via s, et si s est essentiellement surjective, l’un est symétrique si et seulement si l’autre l’est.

15.2. Sorites. Le sorite suivant complémente le sorite 13.3.1 :

15.2.1. Sorite. Soit (s, s̃) : (B, ⊤, R) → (A, •, S) un foncteur monoïdal tressé entre deux catégories monoïdales tressées, et soit u : s ⇒ t un isomorphisme naturel de s sur un autre foncteur t. Alors l’unique structure monoïdale t̃ sur t faisant de u un morphisme de foncteurs monoïdaux (sorite 13.3.1) est tressée. □

On a aussi :

15.2.2. Sorite. Tout tressage R satisfait les identités

R_{A,B⊕C} = diag(R_{A,B}, R_{A,C})
R_{A⊕B,C} = diag(R_{A,C}, R_{B,C}).

(Cela résulte du sorite 1.1.3, en considérant R comme une transformation naturelle • ⇒ • ∘ T, où T est l’échange des facteurs.) □

Rappelons également le sorite suivant [32, rem. 2.3] :

15.2.3. Sorite. Notons A^{sym} la catégorie symétrique de A (mêmes objets, mêmes morphismes mais produit défini par A•′B := B•A, cf. [13, I.0.1.4]). Alors tout tressage R sur A définit une structure monoïdale sur le foncteur identique Id_{A} : A^{sym} → A. □

Enfin :

15.2.4. Sorite. Soient (B, ⊤, R) une catégorie monoïdale tressée, (A, •) une catégorie monoïdale et (s, s̃) : (B, ⊤) → (A, •) un foncteur monoïdal. Pour A, B ∈ B, posons

R_{A,B}^{s} = s̃_{B,A}^{−1}s(R_{A,B})s̃_{A,B} : s(A) • s(B) → s(B) • s(A).

Soit a la contrainte d’associativité de A. Alors on a les identités

(s̃_{B,C} • 1_{s(A)})^{−1}R_{A,B•C}^{s}(1_{s(A)} • s̃_{B,C}) =

a_{s(B),s(C),s(A)}(1_{s(B)} • R_{A,C}^{s})a_{s(B),s(A),s(C)}^{−1}(R_{A,B} • 1_{s(C)})a_{s(A),s(B),s(C)}

(1_{s(C)} • s̃_{A,B})^{−1}R_{A•B,C}^{s}(s̃_{A,B} • 1_{s(C)}) =

a_{s(C),s(A),s(B)}^{−1}(R_{A,C} • 1_{s(B)})a_{s(A),s(C),s(B)}(1_{s(A)} • R_{B,C}^{s})a_{s(A),s(B),s(C)}^{−1}.

□

En d’autres termes, R^{s} vérifie “presque” les relations de tressage (15.2) et (15.3).

15.3. Sections. Reprenons maintenant les notations et hypothèses du théorème 13.2.1. Ce dernier reste muet sur la compatibilité des sections monoïdales à un tressage éventuel. Nous allons voir que, dans ce cas, la situation est très “rigide”.

Soit R un tressage sur A^{19}. On en déduit un tressage R̄ = π_{A}(R) sur Ā. Soit (s, s̃) une section monoïdale de π_{A}.

15.3.1. Proposition. a) Il existe un automorphisme (non monoïdal) u de s tel que, pour tout couple d’objets A, B ∈ A, on ait

(15.6)  s(R̄_{A,B}) = u_{B•A}^{−1}s̃_{B,A}R_{A,B}(u_{A} • u_{B})s̃_{A,B}^{−1}.

b) On a l’identité

(15.7)  s(R̄_{B,A})s(R̄_{A,B}) = s̃_{A,B}R_{B,A}R_{A,B}(u_{A}^{2} • u_{B}^{2})s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{−2}.

Démonstration. a) En tenant compte du sorite 15.2.3, on applique la proposition 13.7.1 dans la situation B = A^{sym}, T = (Id_{A}, R), s_{A} = s_{B} = s.

b) Remarquons les relations de commutation

u_{B•A}s(R̄_{A,B}) = s(R̄_{A,B})u_{A•B},

due au fait que u est un automorphisme du foncteur s, et

R_{A,B}(u_{A} • u_{B}) = (u_{B} • u_{A})R_{A,B},

due au fait que R est un tressage. On déduit alors de (15.6)

(15.8)  s(R̄_{A,B}) = s̃_{B,A}R_{A,B}(u_{A} • u_{B})s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{−1}

19On rappelle que l’hypothèse de commutativité des End(1)-bimodules A(A, B) est alors automatiquement satisfaite.

d’où

s(R̄_{B,A})s(R̄_{A,B})

= u_{A•B}^{−1}s̃_{A,B}R_{B,A}(u_{B} • u_{A})s̃_{B,A}^{−1}s̃_{B,A}R_{A,B}(u_{A} • u_{B})s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{−1}
= u_{A•B}^{−1}s̃_{A,B}R_{B,A}(u_{B} • u_{A})R_{A,B}(u_{A} • u_{B})s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{−1}
= u_{A•B}^{−1}s̃_{A,B}R_{B,A}R_{A,B}(u_{A}^{2} • u_{B}^{2})s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{−1}
= s̃_{A,B}R_{B,A}R_{A,B}(u_{A}^{2} • u_{B}^{2})s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{−2}

comme annoncé. □

15.3.2. Remarques.

a) On prendra garde au fait que les relations de commutation apparaissant dans la preuve de la proposition 15.3.1 a) n’ont pas de raison d’être vraies en échangeant R_{A,B} et s(R̄_{A,B}). De même, u_{A•B} et u_{A}•u_{B} n’ont pas de raison de commuter.

b) Dans le sorite 15.2.3, la condition sur un isomorphisme naturel R : • ⇒ • ∘ T de définir une structure monoïdale sur le foncteur identique A^{sym} → A est plus faible que les conditions de tressage. Il en résulte que l’automorphisme u n’est pas arbitraire : il vérifie deux conditions supplémentaires du type “cross-effects” non commutatifs d’ordre 3, qui reviennent à dire que la fonction A ↦ u_{A} est “de degré ≤ 2” pour la structure monoïdale. Nous laissons au lecteur le soin d’expliciter ces relations, que nous n’utiliserons pas.

15.3.3. Proposition. Pour une section monoïdale (s, s̃), les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) R̄^{s} est un tressage (notation du sorite 15.2.4).

(ii) Il existe un automorphisme (non monoïdal) v de Id_{A} tel qu’on ait, pour u comme dans la proposition 15.3.1, l’identité

(u_{A} • u_{B})s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{−1}s̃_{A,B} = (v_{A} • v_{B})v_{A•B}^{−1}.

Si ces conditions sont vérifiées, le tressage R̄^{s} ne dépend pas du choix de s : pour un choix de v comme dans (ii), il est donné par la formule

R̃_{A,B} = R_{A,B}(v_{A} • v_{B})v_{A•B}^{−1}.

Démonstration. En utilisant la formule (15.8), on obtient l’identité

R_{A,B}^{−1}R̄_{A,B}^{s} = (u_{A} • u_{B})s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{−1}s̃_{A,B}.

Si (i) est vérifié, le premier membre de cette identité définit une structure monoïdale sur Id_{A} : A^{sym} → A^{sym} couvrant la structure monoïdale triviale sur IdĀ. (ii) résulte alors de la proposition 13.8.1. Pour la réciproque, remarquons que l’identité de (ii) implique que R̄^{s} fait commuter le diagramme (15.1) pour tous morphismes de A. En particulier, dans le sorite 15.2.4 le premier membre des deux identités se réduit respectivement à R̄_{A,B•C}^{s} et à R̄_{A•B,C}^{s} : R̄^{s} est donc bien un tressage.

Soit (t, t̃) une autre section monoïdale. D’après le théorème 13.2.1 b), s et t sont monoïdalement conjuguées. En d’autres termes, il existe une famille (v_{A}) conjuguant s et t et vérifiant l’identité

v_{A•B}s̃_{A,B} = t̃_{A,B}v_{A} • v_{B}.

On a alors

R̄_{A,B}^{t} = (v_{B}^{−1} • v_{A}^{−1})R̄_{A,B}^{s}(v_{A} • v_{B}).

Ainsi, si R̄^{s} est un tressage, on a R̄^{t} = R̄^{s}.

La dernière assertion est claire à partir de la formule (15.8). □

Nous ne connaissons pas de critère pour que les conditions de la proposition 15.3.3 soient vérifiées, à l’exception d’un cas : celui où le tressage résiduel R̄ est symétrique. Rappelons la définition suivante [32, §6] :

15.3.4. Définition. Une structure balancée sur une catégorie monoïdale tressée (A, •, R) est un automorphisme θ = (θ_{A})_{A∈A} du foncteur identique de A vérifiant l’identité

R_{B,A}R_{A,B} = (θ_{A} • θ_{B})θ_{A•B}^{−1}.

15.3.5. Théorème. Soit (A, •, R) une catégorie monoïdale tressée. On suppose que le radical est un idéal monoïdal, et on note (Ā, •, R̄) la catégorie monoïdale tressée obtenue en quotientant par le radical.

a) Si R̄ est symétrique, R est balancé via un automorphisme θ vérifiant π_{A}(θ) = 1.

b) Si de plus car K ≠ 2, les conditions de la proposition 15.3.3 sont vérifiées. Le tressage R̃ correspondant est l’unique tressage symétrique de A tel que

(i) π_{A}(R̃) = R̄;

(ii) (Id_{A}, R̃) est monoïdalement isomorphe à (Id_{A}, R) (cf. sorite

15.2.3).

c) Si de plus R est symétrique, on a s(R̄) = R pour toute section monoïdale s.

Démonstration. a) On applique la proposition 13.8.1 au foncteur monoïdal (Id_{A}, R_{A,B}R_{B,A}).

b) L’identité (15.7) de la proposition 15.3.1 donne une nouvelle identité

(θ_{A} • θ_{B})θ_{A•B}^{−1} = s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{2}s̃_{A,B}(u_{A}^{−2} • u_{B}^{−2}).

Comme car K ≠ 2, l’élévation au carré est bijective dans 1 + R. En particulier, θ a une unique racine carrée v. Comme θ_{A•B} et θ_{A} • θ_{B} sont centraux dans A(A • B), s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}^{2}s̃_{A,B} et (u_{A}^{−2} • u_{B}^{−2}) commutent. On a donc

(v_{A} • v_{B})v_{A•B}^{−1} = s̃_{A,B}^{−1}u_{A•B}s̃_{A,B}(u_{A}^{−1} • u_{B}^{−1})

ce qui n’est autre que la condition (iii) de la proposition 15.3.3.

Ceci démontre que R̃ vérifie les conditions (i) et (ii) du théorème. Pour voir l’unicité, soit R̃′ un autre tressage symétrique vérifiant ces conditions. En particulier, (Id_{A}, R̃′) est monoïdalement isomorphe à (Id_{A}, R̃). Il existe donc μ ∈ 1 + R tel que

R̃′_{A,B} = R̃_{A,B}μ_{A•B}(μ_{A}^{−1} • μ_{B}^{−1})

pour tout couple d’objets (A, B). La symétrie de R̃ et de R̃′ donne maintenant l’identité

μ_{A•B}^{2} = μ_{A}^{2} • μ_{B}^{2}.

En en prenant la racine carrée, on trouve bien que R̃′ = R̃.

c) Cela résulte de la dernière assertion de la proposition 15.3.3. □

15.3.6. Exemple. Considérons la quantification de Drinfeld-Cartier Ā[[h]] d’une catégorie monoïdale stricte symétrique Ā munie d’un “tressage infinitésimal” t_{A,B}, cf. [33, ch. 9]. Rappelons seulement que Ā[[h]] a les mêmes objets que Ā, et que Ā[[h]](A, B) = (Ā(A, B))[[h]] ; le tressage de Ā[[h]] est de la forme R_{A,B} = R̄_{A,B} exp(\frac{h}{2}t_{A,B}) (et la contrainte d’associativité est construite à partir de t_{A,B} au moyen d’un associateur de Drinfeld). En général ce tressage n’est pas symétrique, même modulo h^{2}. Toutefois, le théorème 15.3.5 b) montre par un passage à la limite que (Ā[[h]], R) admet une structure balancée, et même que Ā[[h]] admet un unique tressage symétrique R̃ se réduisant en R̄ et tel que (Id, R̃) soit monoïdalement isomorphe à (Id, R) dans le cadre du sorite 15.2.3.

En particulier il n’est pas nécessaire de supposer l’existence de duaux dans Ā pour construire une structure balancée sur R, comme dans [31].

15.3.7. Remarque. Il est probable que les parties b) et c) du théorème sont fausses en caractéristique 2. Il serait intéressant d’exhiber un contreexemple.

15.4. Compléments. Pour finir, examinons de plus près le défaut de validité des conditions de la proposition 15.3.3 et le défaut de commutation du diagramme (15.5). On pose u_{A,B} = R_{A,B}^{−1}(s̃_{B,A})^{−1}s(R̄_{A,B})s̃_{A,B} et n_{A,B} = 1_{A•B} − u_{A,B}. On a n_{A,B} ∈ C_{s}^{1}(AB) (cf. §13.6.9 pour la notation).

Soient

e = e(R) = sup{r | n_{A,B} ∈ C_{s}^{r}(AB) pour tout (A, B) ∈ A × A}
ē = ē(R̄) = sup{r | [1_{A} • m_{B} + m_{A} • 1_{B}, n_{A,B}] ∈ R(A • B)^{r}

pour tout (A, B) ∈ A × A et tout (m_{A}, m_{B}) ∈ R(A, A) × R(B, B)}.

Notons n̄_{A,B} l’image de n_{A,B} dans C^{[e]}(AB) (notation du §13.6.9).

15.4.1. Proposition. a) L’élément e = e(R) ∈ N ∪ {∞} et les éléments n̄_{A,B} de C^{[e]}(AB) ne dépendent pas du choix de s: ils ne dépendent que de R. Si A est stricte, on a les identités

(15.9) n̄_{A,B•C} = (R̄_{A,B} • 1_{C})^{−1}(1_{B} • n̄_{A,C})(R̄_{A,B} • 1_{C}) + n̄_{A,B} • 1_{C}
(15.10) n̄_{A•B,C} = (1_{A} • R̄_{B,C})^{−1}(n̄_{A,C} • 1_{B})(1_{A} • R̄_{B,C}) + 1_{A} • n̄_{B,C}

la seconde pouvant aussi s’écrire

(15.11) n̄_{A•B,C} = (R̄_{B,A} • 1_{C})(1_{B} • n̄_{A,C})(R̄_{B,A} • 1_{C})^{−1} + 1_{A} • n̄_{B,C}.

b) L’élément ē ∈ N ∪ {∞} ne dépend pas du choix de s : il ne dépend que de R̄. On a ē > e, et ē = ∞ si et seulement si les conditions de la proposition 15.3.3 sont vérifiées.

c) Soit T : (A′, •, R′) → (A, •, R) un foncteur monoïdal strict tressé radiciel (avec (A′, •) stricte). Alors e(R′) ≤ e(R).

Démonstration. a) Soit s′ une autre section monoïdale. D’après le théorème 13.2.1 b), s et s′ sont conjuguées par une famille (v_{A})_{A∈A} d’éléments de 1 + R(A) vérifiant l’identité (v_{A•B})s̃_{A,B} = t̃_{A,B}(v_{A} • v_{B}). Si on note u′_{A,B} = R_{A,B}^{−1}(s̃′_{B,A})^{−1}s′(R̄_{A,B})s̃′_{A,B}, on en déduit l’identité

u′_{A,B} = (v_{A} • v_{B})u_{A,B}(v_{A} • v_{B})^{−1}.

Si on pose n′_{A,B} = 1_{A•B} − u′_{A,B}, cette identité implique d’abord que n′_{A,B} ∈ R(A • B)^{e}, ensuite que que n′_{A,B} ≡ n_{A,B} (mod R(A • B)^{e+1}), et enfin que son image mod R(A • B)^{e+1} est dans C^{[e]}(AB).

Pour établir (15.9) et (15.10), on peut supposer s stricte par le point c) de la proposition 13.4.2. En appliquant s à (15.2) et (15.3), on obtient les identités

s(R̄_{A,B•C}) = (1_{B} • s(R̄_{A,C}))(s(R̄_{A,B}) • 1_{C})
s(R̄_{A•B,C}) = (s(R̄_{A,C}) • 1_{B})(1_{A} • s(R̄_{B,C})).

On en déduit

u_{A,B•C} = (R_{A,B} • 1_{C})^{−1}(1_{B} • u_{A,C})(R_{A,B} • 1_{C})(u_{A,B} • 1_{C})
u_{A•B,C} = (1_{A} • R_{B,C})^{−1}(u_{A,C} • 1_{B})(1_{A} • R_{B,C})(1_{A} • u_{B,C})

Les identités (15.9) et (15.10) s’en déduisent facilement. En utilisant l’identité R_{B,A•C} = (1_{A} • R_{B,C})(R_{B,A} • 1_{C}) et l’égalité n_{A,C} • 1_{B} = R̄_{B,A•C}(1_{B} • n̄_{A,C})R̄_{B,A•C}^{−1}, on peut réécrire le premier terme du membre de droite de (15.10) :

(R̄_{B,A} • 1_{C})(1_{B} • n̄_{A,C})(R̄_{B,A} • 1_{C})^{−1}.

b) résulte facilement des calculs de a).

c) Soit s (resp. s′) une section monoïdale stricte de π_{A} (resp. π_{A′}) (il en existe d’après la proposition 13.4.2). Posons

u_{T (A),T (B)} = (R_{T (A),T (B)})^{−1}s(R̄_{T (A),T (B)}), u′_{A,B} = (R′_{A,B})^{−1}s′(R̄′_{A,B}).

D’après la proposition 13.7.1, T s′ et sT̄ sont conjuguées par une famille (w_{A})_{A∈A′} d’éléments de 1 + R(T (A)) vérifiant l’identité

w_{A•B} = w_{A} • w_{B}.

On déduit de ces formules que

T u′_{A,B} = (w_{A} • w_{B})u_{T (A),T (B)}(w_{A} • w_{B})^{−1}.

d’où il est aisé de conclure. □

15.4.2. Remarque. Les identités (15.9) et (15.10) ne sont autres que les relations de tressage infinitésimales de Drinfeld-Cartier (cf. [33, ch. 9]), vérifiées par ht_{A,B} de l’exemple 15.3.6. Toutefois, n̄_{A,B} est “antisymétrique” si R est symétrique, alors que ht_{A,B} est “symétrique” dans la quantification de Drinfeld-Cartier.

16. Première application : catégories de Kimura

16.1. Rappelons (définition 9.1.16) qu’une catégorie de Kimura sur un corps de caractéristique nulle K est une catégorie K-linéaire monoïdale symétrique rigide, vérifiant End(1) = K, pseudo-abélienne, et dont tout objet est de dimension finie au sens de Kimura.

16.1.1. Théorème. Soit A une catégorie de Kimura, de radical R. Alors a) Le foncteur de projection A → A/R admet des sections monoïdales, qui envoient le tressage résiduel R̄ de A/R sur le tressage R de A. Deux telles sections sont monoïdalement conjuguées.

b) Soit R′ la contrainte de commutativité de A/ \sqrt[⊗]{0} modifiée à l’aide de la Z/2-graduation canonique de A/ \sqrt[⊗]{0} (cf. théorème 9.2.1). Par ailleurs, soit π_{A}^{+} ∈ A/ \sqrt[⊗]{0}(A, A) l’idempotent (central) associé canoniquement à tout objet A de A (ibid.) Notons R̄′ et π̄_{A}^{+} leurs images dans A/R. Alors, pour toute section monoïdale s : A/R → A comme en a),

(i) L’image de s(R̄′) (resp. de s(π̄_{A}^{+}) pour tout A) dans A/ \sqrt[⊗]{0} estégale à R′ (resp. à π_{A}^{+}).

(ii) La famille des s(π̄_{A}^{+}) définit une Z/2-graduation sur A, dont le tressage modifié associé est s(R̄′). Pour ce tressage symétrique, la catégorie A reste rigide et la dimension de tout objet A est égale à kimA; en particulier, c’est un entier ≥ 0.

Démonstration. a) résulte des théorèmes 13.2.1 et 15.3.5, appliqués à A en vertu du théorème 9.2.2. De même, b) résulte des mêmes références, appliquéesà A/ \sqrt[⊗]{0} munie de R′, en notant que la donnée de R′ estéquivalente à celle de (R et) des π_{A}^{+}. □

Références

[31] P. Cartier, Construction combinatoire des invariants de Vassiliev-Kontsevich des nœuds, C. R. Acad. Sci. Paris 316 (1993), 1205–1210.

[32] A. Joyal, R. Street, Braided monoidal categories, Adv. in Math. 102 (1993), 20–78.

[33] C. Kassel, M. Rosso, V. Turaev, Quantum groups and knot invariants, S.M.F. Panoramas et synthèses 5 (1997).

IV. Enveloppes

Dans cette partie, on expose quelques applications “concrètes” des théorèmes de scindage de la partie précédente à la théorie des représentations indécomposables des algèbres artiniennes et des groupes algébriques linéaires. Dans ce dernier cas, le résultat-clé 19.3.1 est une vaste généralisation du théorème classique de Jacobson-Morosov-Kostant.

17. Le cas non monoïdal : enveloppes pro-semi-simples

Dans cette section, nous tirons les fruits du théorème 12.1.1 ; elle peut être considérée comme unéchauffement préparatoire aux sections suivantes.

17.1. Enveloppes pro-semi-simples. Soient A une petite K-catégorie et π_{A} : A → Ā le foncteur de projection sur le quotient de A par son radical. On a alors un foncteur canonique

Ā–Modf → A–Modf

entre catégories de modules à gauche de K-dimension finie (nous dirons brièvement : K-finis), induit par M ↦ M ∘ π_{A}, cf. définition 1.3.3. Ce foncteur est pleinement fidèle (du fait que π_{A} est plein et surjectif). Il en est de même du foncteur composé avec π_{A–Mod}

Ā–Modf → \overline{A–Modf}

si Ā-Mod est abélienne semi-simple^{20}.

Prenons pour A une algèbre A (associative unitaire) sur un corps K parfait. On a le foncteur d’oubli, fidèle et exact

ω : A–Modf → V ec_{K}.

La situation ne change pas si l’on remplace A par sa complétion profinie (complétion euégard aux idéaux bilatères de K-codimension finie). On peut donc la supposer, et on la supposera, profinie, ce qui permet d’énoncer :

17.1.1. Lemme. Si A est profinie, le quotient Ā de A par son radical est semi-simple (profinie, non nécessairement de K-dimension finie). A fortiori, le foncteur

Ā–Modf → A–Modf

est pleinement fidèle.

20Il y a lieu éventuellement de prendre un second univers pour ne travailler qu’avec de petites catégories.

Démonstration. Écrivons A comme limite projective filtrante \underleftarrow{lim} A_{α} à flèches de transition surjectives. Comme un élément inversible de A s’identifie à une collection d’éléments inversibles compatibles de A_{α}, on obtient, en revenant à la définition des radicaux, que le radical R de A est la limite \underleftarrow{lim} R_{α} des radicaux de A_{α}. On a alors un plongement A/R ↪ \underleftarrow{lim}(A_{α}/R_{α}), le composé avec la projection sur chaque algèbre semi-simple A_{α}/R_{α} étant surjective. Comme A/R est profinie (R étant un idéal fermé), cette injection est donc un isomorphisme, d’où le résultat. □

On sait que A–Modf est une K-catégorie de Wedderburn (proposition 2.4.4). On peut donc appliquer le théorème 12.1.1, et obtenir une section fonctorielle s : \overline{A–Modf} → A–Modf, deux telles sectionsétant conjuguées.

D’après [13, II.2.6.3] ou [54, 2.2], il existe une K-algèbre pro-semi-simple A_{s}, non nécessairement de K-dimension finie, telle que le composé ω ∘ s induise une équivalence de catégories \overline{A–Modf} → A_{s}–Modf, et un homomorphisme A → A_{s}.

On rappelle qu’étant donné un homomorphisme f : A′ → A de Kalgèbres profinies et le foncteur associé f^{∗} : A–Modf → A′–Modf, on a (cf. [13, II.2.6.3] pour l’énoncé dual) :

– f est surjectif si et seulement si f^{∗} est pleinement fidèle, et pour tout Amodule K-fini M, tout sous-objet de f^{∗}(M) provient d’un sous-objet de M ;

– f est injectif si et seulement si tout A′-module K-fini M′ est sousquotient d’un module de la forme f^{∗}(M).

En particulier, le morphisme A → A_{s} est une injection. Comme deux sections s sont conjuguées, A_{s} est bien définie à isomorphisme près. Il découle par ailleurs du lemme précédent, et de loc. cit., que l’on a une surjection A_{s} → A/R.

On peut considérer A_{s} comme une “enveloppe pro-semi-simple” de l’algèbre profinie A : d’après le lemme 12.1.2, les classes d’isomorphismes de A-modules indécomposables sont en bijection avec les classes d’isomorphismes de A_{s}-modules simples.

Cette bijection est donnée de la manière suivante : à tout indécomposable M dans A-Modf, on peut donner une structure de A_{s}-module étendant celle de A-module. On le note alors M_{s}; il est simple, et End_{A_{s}}M_{s} est le corps gauche \overline{End_{A}(M)} = End_{A}M/rad(End_{A}M).

L’algèbre pro-semi-simple A_{s} est semi-simple, i.e. de dimension finie sur K, si et seulement si A est de type de représentation fini. Dans ce cas, si M_{α} parcourt un système de représentants des classes d’isomorphismes de A-modules indécomposables K-finis, notons n_{α} la dimension de M_{α} sur le corps gauche D_{α} = \overline{End_{A}(M_{α})}. On a A_{s} ≅ ∏_{α} M_{n_{α}}(D_{α}^{o}).

17.1.2. Remarques.

a) D’après [20, 2.17], toute K-catégorie abélienne dont tout objet est de longueur finie, dont toute algèbre d’endomorphismes est de Kdimension finie, et admettant un générateur, est équivalente à une catégorie A–Modf pour une K-algèbre A convenable de dimension finie sur K.

b) Pour l’algèbre profinie A = K[[T_{1}, …, T_{n}]], la catégorie A–Modf est naturellement équivalente à la catégorie Rep_{K}(𝔾_{a}^{n}) des représentations de dimension finie du groupe vectoriel 𝔾_{a}^{n}. En effet, la cogèbre duale de A s’identifie naturellement à la cogèbre sous-jacente à la bigèbre affine O(𝔾_{a}^{n}), et on conclut par [54, 3].

c) Soit J l’idéal de A = A-Modf formé des morphismes qui se factorisent à travers un objet projectif de A-Modf. Le quotient A/J s’appelle la catégorie stable des A-modules finis, cf. [34, p.23], et se note A–\underline{Modf}. On a un diagramme commutatif

A–Modf ⟶^{pr} A–\underline{Modf}
↓  ↓
\overline{A–Modf} ⟶^{\overline{pr}} \overline{A–\underline{Modf}}.

Le foncteur du bas \overline{pr} est un foncteur plein surjectif entre catégories semi-simples, donc admet une section. En fait, on peut partitionner les classes d’isomorphismes d’objets simples de \overline{A–Modf} en deux ensembles : les projectifs (P) et les autres (NP) ; \overline{pr} envoie les objets dans P sur 0, et la restriction de \overline{pr} à la sous-catégorie K-linéaire pleine de \overline{A–Modf} engendrée par les objets dans NP est une équivalence de catégories. On en déduit que \overline{A–\underline{Modf}} ≅ \underline{A_{s}}–Modf pour un quotient \underline{A_{s}} de A_{s} “correspondant” à NP. On peut alors former le “push-out” A′ = \underline{A_{s}} ×^{A_{s}} A/R.

Auslander a conjecturé que si A et B sont deux K-algèbres de dimension finie telles que A–\underline{Modf} et B–\underline{Modf} sont équivalentes (équivalence de Morita stable), alors il y a le même nombre de modules simples non-projectifs sur A et sur B, cf. [34, p.223]. Cela équivaut doncà dire que les algèbres push-out A′ et B′ sont Morita-équivalentes.

Rappelons d’autre part que si A est de dimension globale finie (au sens de [2]), on peut lui associer une K-algèbre Â dite répétitive (de dimension infinie sur K), et une équivalence de catégories

D^{b}(A–Modf) → Â–\underline{Modf}

cf. [11, 5], [43] ; on peut d’ailleurs replacer Â par sa complétion profinie. Ce qui précède permet alors de “décrire” le quotient de D^{b}(A–Modf) par son radical.

17.2. Lien avec l’algèbre d’Auslander. L’algèbre d’Auslander d’une Kalgèbre A est

Aus(A) := End_{A}(⨁_{α} M_{α}),

où M_{α} parcourt un système (en général infini) de représentants des classes d’isomorphismes de A-modules indécomposables K-finis. Lorsque A est de dimension finie sur K, elle partage avec A_{s} la propriété que les classes d’isomorphismes de A-modules indécomposables sont en bijection avec les classes d’isomorphismes de Aus(A)-modules simples, cf. [34, 4.9.5].

Cette bijection est la suivante : à tout indécomposable M dans A–Modf, on associe le Aus(A)-module simple S_{M} := \overline{End_{A}(M)}. En tant que Kalgèbre, \overline{End_{A}(M)} s’identifie à End_{Aus(A)}S_{M} (loc. cit.).

L’algèbre Aus(A) est de dimension finie sur K si et seulement si A est de type de représentation fini. Dans ce cas,

\overline{Aus(A)} := Aus(A)/rad(Aus(A)) = ∏_{α} D_{α}.

Ainsi, \overline{Aus(A)} est Morita-équivalente à A_{s}^{21}.

17.3. Cas des algèbres héréditaires. Rappelons qu’une K-algèbre est dite héréditaire (à gauche) si les conditions équivalentes suivantes sont satisfaites cf. [2, I.5] :

– tout idéal à gauche est projectif,

– tout sous-module d’un module projectif (à gauche) est projectif.

C’est une condition Morita-invariante.

Supposons pour simplifier K algébriquement clos et A de dimension finie sur K, minimale dans sa classe d’équivalence de Morita (ce qui revient à dire que Ā = A/R est commutative). Alors A est héréditaire si et seulement si A = KΔ⃗ est l’algèbre des chemins d’un carquois fini Δ⃗ (et sans boucle orientée), cf. [34, 4.2], [3, 6]. Un A-module n’est donc rien d’autre qu’une représentation K-linéaire de Δ⃗, et A s’identifie en fait à l’algèbre tensorielle sur un Ā-bimodule fini, cf. [3, 6].

Supposons en outre A de type de représentation fini et connexe. Alors par le théorème de Gabriel (cf. [34, 4.7.6], [12, 2.9]), le graphe non-orienté Δ sous-jacent à Δ⃗ est un diagramme de Dynkin des séries ADE. En outre, les indécomposables M_{α} sont en bijection avec les racines positives, et les n_{α} ne sont autres que leurs “longueurs” respectives (somme des coefficients dans la base de racines standard). Cela détermine A_{s} dans ce cas.

21\overline{Aus(A)} s’identifie d’ailleurs au quotient par son radical de l’algèbre des chemins du carquois d’Auslander-Reiten de A dont il a été question au §3.1.2, cf. e.g. [34, 4.1.11].

Voici deux exemples. Soit d’abord A la K-algèbre des matrices triangulaires supérieures de taille n. C’est l’algèbre KΔ⃗ pour le diagramme de Dynkin Δ⃗ = A_{n} (orienté de gauche à droite). Dans la base standard de racines α_{1}, …, α_{n}, les racines positives sont les α_{ij} = ∑_{i≤k<j} α_{k}, 0 < i < j ≤

n + 1. On en déduit que

A_{s} ≅ ∏_{1≤k≤n} (M_{k}(K))^{n+1−k}.

Prenons maintenant A = KE_{6}, l’algèbre des chemins du carquois de Dynkin (orienté) à six sommets Δ⃗ = E_{6}. À l’aide des planches de racines [36], on trouve

A_{s} ≅ K^{6} × M_{2}(K)^{3} × M_{5}(K) × M_{6}(K)^{2} × M_{7}(K)^{3}

× M_{8}(K)^{2} × M_{9}(K) × M_{10}(K) × M_{11}(K).

17.3.1. Remarque. Dans le cas des algèbres de chemins A = KΔ⃗, un avatar de A_{s} a été construite par voie géométrique dans [53].

18. Sections monoïdales et foncteurs fibres

Dans ce paragraphe, nous appliquons le théorème de scindage monoïdal symétrique au cas des catégories tannakiennes.

18.1. Un contexte général.

18.1.1. Théorème. Soient K un corps de caractéristique nulle et L une extension de K. Soit A une catégorie K-linéaire, pseudo-abélienne, monoïdale symétrique rigide avec K = End(1). On suppose qu’il existe un K-foncteur fidèle monoïdal symétrique ω : A → V ec_{L}. Alors R = rad(A) est monoïdal, et Ā = A/R est tannakienne semi-simple sur K. En particulier, si A est une catégorie tannakienne sur K, de radical R, alors A/R est encore tannakienne sur K; elle est neutre si A est neutre.

Démonstration. On sait par le théorème 8.2.1 que A est de Wedderburn. Comme Ā est K-linéaire pseudo-abélienne, elle est même abélienne (semisimple). D’autre part, la tensorialité du radical a été démontrée dans le théorème 8.2.2.

Les hypothèses des théorèmes 13.2.1 et 15.3.5 sont satisfaites. On peut donc trouver une section K-linéaire monoïdale s de π_{A}, qui est automatiquement symétrique. Une telle section est clairement fidèle, donc le Kfoncteur monoïdal symétrique ω_{s} = ω ∘ s : Ā → V ec_{L} l’est aussi. Comme c’est un foncteur monoïdal fidèle entre catégories monoïdales abéliennes semi-simples, il est exact (les suites exactes se scindent) ; c’est donc un foncteur fibre.

La seconde assertion découle de là. □

18.1.2. Remarques.

a) On pourrait aussi prouver que Ā est tannakienne si A l’est en utilisant la caractérisation interne de Deligne [20]. En effet, comme R = N, la dimension d’un objet de A ne change pas si on la calcule dans Ā; c’est donc un entier naturel. Mais cet argument ne montre pas que Ā est neutre quand A l’est.

b) L’exemple de catégorie monoïdale K-linéaire non strictement semiprimaire vu plus haut (contre-exemple 3.1.4) fournit, en caractéristique nulle, un exemple d’application du théorème ci-dessus (le foncteur ω étant induit par x ↦ K pour tout x ∈ E). Dans cet exemple, la catégorie tannakienne Ā n’est autre que la catégorie des représentations du groupe diagonalisable de groupe de caractères E.

c) L’exemple 10.1.3 montre que le théorème de scindage monoïdal symétrique ne s’étend pas, en remplaçant R par N, au cas où le radical R n’est pas monoïdal. Dans cet exemple, A/N est équivalente à la catégorie des super-espaces vectoriels de dimension finie, qui n’est pas tannakienne (on a un objet de carré tensoriel isomorphe à 1, mais de dimension ≠ 1).

d) Nous verrons dans [16] comment déduire de ce théorème, indépendamment de toute conjecture, un groupe de Galois motivique pro-ré-ductif attaché à toute cohomologie de Weil “classique” définie sur les variétés projectives lisses sur un corps quelconque.

18.2. Le cas tannakien neutralisé. Ce sous-paragraphe est préparatoire au paragraphe 19.

On suppose encore K de caractéristique 0. Soient G un K-schéma en groupes affine (en bref : un K-groupe affine) et A = Rep_{K}(G) la catégorie des K-représentations de dimension finie de G. On note π_{G} au lieu de π_{A}, R_{G} le radical de A, et ω_{G} le foncteur fibre canonique de A (à valeurs dans V ec_{K}).

Le lemme suivant est fort utile :

18.2.1. Lemme. Soient B une catégorie K-linéaire monoïdale symétrique et f : B → Rep_{K}(G) un foncteur monoïdal. Alors l’application

Aut^{⊗}(f) → Aut^{⊗}(ω ∘ f)
u ↦ ω(u)

est injective, et son image est égale au centralisateur de l’image de G(K)

⟶^{∼} Aut^{⊗}(ω) dans Aut^{⊗}(ω ∘ f).

Démonstration. L’injectivité est claire, puisque ω est fidèle. Il est clair que l’image centralise Aut^{⊗}(ω). Inversement, soit v ∈ Aut^{⊗}(ω ∘f) centralisant l’image de Aut^{⊗}(ω). Pour tout B ∈ B et tout g ∈ G(K), l’élément v_{B} ∈ End_{K}(ω(f(B))) commute à g_{B}. Il lui correspond donc un unique élément u_{B} ∈ A(f(B), f(B)) tel que ω(u_{B}) = v_{B}. La fidélité de ω implique de plus que u_{B} est inversible et monoïdal. □

Choisissons une section monoïdale s de π_{A}, et posons comme ci-dessus ω_{s} = ω_{G} ∘ s. Soit G_{s} = Aut^{⊗}(ω_{s}) : c’est un K-groupe pro-réductif. On a un homomorphisme évident :

s^{♯} : G ⟶^{∼} Aut^{⊗}(ω_{G}) → Aut^{⊗}(ω_{s}) = G_{s}

d’où un foncteur monoïdal

(s^{♯})^{∗} : Rep_{K}(G_{s}) → Rep_{K}(G).

18.2.2. Lemme. L’homomorphisme s^{♯} est un monomorphisme (i.e. une immersion fermée).

Démonstration. Soit N = Ker s^{♯}. On a un diagramme commutatif de catégories et foncteurs :

Rep_{K}(G/N) ⟶^{g^{∗}} Rep_{K}(G)
↖  (s^{♯})^{∗} ↗
Rep_{K}(G_{s})

Le foncteur g^{∗} est pleinement fidèle. Comme (s^{♯})^{∗} est évidemment essentiellement surjectif, il en est de même de g^{∗}, qui est donc une équivalence de catégories, d’où N = 1. □

18.2.3. Remarque. Le foncteur

θ_{s} : Ā → Rep_{K}(G_{s})
X ↦ (G_{s} → GL(ω_{s}(X)))

est une équivalence de catégories monoïdales, mais pas en général un isomorphisme de catégories. Il possède néanmoins un quasi-inverse canonique. On a un diagramme strictement commutatif de catégories et foncteurs :

\begin{matrix}Rep_{K}(G) & ⟶^{ω_{G}} & V ec_{K} \\ s↑ & ω_{s} ↗ & ^{ω_{Gs}} ↑ \\ Ā & ⟶^{θ_{s}} & Rep_{K}(G_{s}) \end{matrix}

On a évidemment (s^{♯})^{∗} ∘ θ_{s} = s. En particulier, σ_{s} := π_{G} ∘ (s^{♯})^{∗} est un inverse à gauche de θ_{s}; c’en est donc aussi un quasi-inverse à droite, par un isomorphisme naturel monoïdal.

Si t est une autre section monoïdale de π_{G}, elle définit un autre foncteur fibre, donc un autre groupe G_{t}. D’après la théorie générale des catégories tannakiennes, G_{s} et G_{t} sont des formes intérieures l’un de l’autre. On a mieux, puisque t est monoïdalement conjuguée à s. En effet, choisissons une telle conjugaison u, de sorte que t = usu^{−1}. On a alors un diagramme commutatif

(18.1)  \begin{matrix}G_{s} \\ s^{♯} ↗ \\ G & û↓^{≀} \\ t^{♯} ↘ \\ G_{t} \end{matrix}

où û : Aut^{⊗}(ω_{s})(R) → Aut^{⊗}(ω_{t})(R) est donné par g ↦ ugu^{−1} pour toute K-algèbre R. Cette construction donne :

18.2.4. Proposition. On a un foncteur canonique T_{G} du groupoïde connexe G_{u}^{⊗}(G) des sections monoïdales de π_{G} vers la catégorie des monomorphismes de G vers un groupe pro-réductif, qui associe à la section s le monomorphisme G ↪ G_{s}. En particulier, pour deux sections monoïdales s, t, les groupes G_{s} et G_{t} sont K-isomorphes. □

18.2.5. Éclairons et complétons cette construction à l’aide des résultats du paragraphe 14. Notons Γ_{u}(G) = (E_{u}, S_{u}) le groupoïde affine scindé unipotent transitif sur S^{⊗} associé à A = Rep_{K}(G) par le théorème 14.3.3 : on a Γ_{u}(G)(K) = G^{⊗}(G). Par ailleurs, la catégorie tannakienne Ā étant neutre, sa gerbe est représentée par un K-groupoïde affine que nous noterons Γ_{red}(G) : la catégorie Γ_{red}(G)(K) est le groupoïde des K-foncteurs fibres sur Ā. Considérons G comme groupoïde à un objet. On a alors un (bi)morphisme de K-groupoïdes affines

Γ_{u}(G) ×_{K} G → Γ_{red}(G)

qui au niveau des K-points est décrit de la manière suivante :

(s, ∗) ↦ ω_{s} = ω ∘ s
Hom^{⊗}(s, t) × Aut^{⊗}(ω) → Hom^{⊗}(ω_{s}, ω_{t}).

Si l’on fixe une section (K-rationnelle) s, on obtient en particulier un monomorphisme de K-schémas en groupes affines

U_{s} = U_{s}(G) := E_{u}(s, s) ↪ G_{s}

avec U_{s} pro-unipotent, où U_{s} centralise G. Le diagramme (18.1)se complète en un diagramme commutatif :

U_{s} ×_{K} G ⟶ G_{s}
û×1↓^{≀}  û↓^{≀}
U_{t} ×_{K} G ⟶ G_{t}.

18.2.6. Proposition. Pour tout épimorphisme φ : G_{s} → → H, le centralisateur de φ ∘ s^{♯}(G) dans H est égal au produit φ(U_{s}) × Z(H).

[Noter que ce produit est direct, puisque l’intersection de U_{s} et de Z(G_{s}) est un groupe unipotent de type multiplicatif.] Démonstration. Par souci de clarté, notons plus précisément ω = ω_{G}. Considérons le foncteur f = (s^{♯})^{∗} ∘ φ^{∗} : Rep_{K}(H) → Rep_{K}(G) : on remarque que ω_{G} ∘ f = ω_{H}. Appliquons le lemme 18.2.1 : on obtient que l’homomorphisme Aut^{⊗}(f) → Aut^{⊗}(ω_{H}) = H(K) est injectif, d’image le centralisateur de l’image de Aut^{⊗}(ω_{G}) = G(K) dans H(K). Il reste à calculer Aut^{⊗}(f), que nous identifions ci-dessous à un sous-groupe de H(K).

Soit h ∈ Aut^{⊗}(f). Alors π_{G}(h) ∈ Aut^{⊗}(π_{G} ∘ (s^{♯})^{∗} ∘ φ^{∗}). Comme les foncteurs π_{G} ∘ (s^{♯})^{∗} et φ^{∗} sont pleinement fidèles, leur composé l’est aussi et Aut^{⊗}(π_{G} ∘ (s^{♯})^{∗} ∘ φ^{∗}) s’identifie canoniquement à Aut^{⊗}(Id_{Rep_{K}(H)}) = Z(H)(K). Autrement dit, il existe un unique z ∈ Z(H)(K) tel que π_{G}(h) = π_{G}(z). Alors u = h · z^{−1} vérifie π_{G}(u) = 1 ; autrement dit, u ∈ φ(U_{s}(K)).

Le même argument vaut en remplaçant les K-points de H par ses points à valeurs dans une extension. D’où l’assertion. □

18.2.7. Proposition. a) Pour toute section s comme ci-dessus, tout homomorphisme φ de G vers un groupe pro-réductif H se prolonge en un homomorphisme ψ : G_{s} → H.

Démonstration. On a un diagramme commutatif

Rep_{K}(G) ⟶^{ω_{G}} V ec_{K}
φ^{∗} ↗  ^{π_{G}}↓
Rep_{K}(H) ⟶^{φ̄^{∗}} Rep_{K}(G)/R_{G}

où par souci de clarté on note ω_{G} le foncteur fibre canonique de Rep_{K}(G). On a ω_{H} = ω_{G} ∘ φ^{∗}.

Remarquons que φ̄^{∗} est exact, puisque la catégorie Rep_{K}(H) est semisimple. Il est aussi fidèle : si A ∈ Rep_{K}(H), le noyau de l’homomorphisme induit par φ̄^{∗} de l’anneau R des endomorphismes de A vers l’anneau des endomorphismes de φ̄^{∗}(A) est l’image réciproque dans R du radical de l’anneau des endomorphismes de φ^{∗}(A) ; cette image réciproque est nulle, comme idéal nilpotent d’une algèbre semi-simple. Donc ω_{G} ∘ s ∘ φ̄^{∗} est un foncteur fibre sur Rep_{K}(H).

Le foncteur φ̄^{∗} induit un homomorphisme

(φ̄^{∗})^{♯} : G_{s} → H′

avec H′ := Aut^{⊗}(ω_{G} ∘ s ∘ φ̄^{∗}).

Appliquons la proposition 13.7.1, en remarquant que Rep_{K}(H) est semisimple (et même séparable) : il existe un isomorphisme naturel monoïdal u : φ^{∗} ⇒ s ∘ φ̄^{∗}, d’où un isomorphisme

H ⟶^{∼} Aut^{⊗}(ω_{G} ∘ φ^{∗}) ⟶^{{ \atop ω_{G}(u)}} H′

faisant commuter le diagramme

G ⟶^{φ} H
s^{♯}↓  { \atop ω_{G}(u)}↓^{≀}
G_{s} ⟶^{(φ̄^{∗})^{♯}} H′.

D’où la proposition. □

18.2.8. Lemme. Soient f, g ∈ Hom(G, H), où G et H sont deux K-grou-pes affines. Alors f et g sont conjugués par un élément de H(K) si et seulement s’il existe un isomorphisme naturel monoïdal f^{∗} ≃^{⊗} g^{∗} au niveau des catégories de représentations.

Démonstration. Soit θ un tel isomorphisme. Alors θ induit un isomorphisme ω_{H} = ω_{G} ∘ f^{∗} ≃^{⊗} ω_{G} ∘ g^{∗} = ω_{H}. Un tel isomorphisme correspond à un élément h ∈ H(K). Cet élément conjugue f et g. □

18.2.9. Proposition. Soient G un K-groupe affine s, t deux sections monoïdales de π_{G}, G_{s} et G_{t} les K-groupes réductifs attachés s et t, u un isomorphisme monoïdal de s sur t et û : G_{s} ⟶^{∼} G_{t} l’isomorphisme correspondant (cf. (18.1)). Soient enfin H un autre K-groupe affine H et f : G_{s} → H, g : G_{t} → H deux homomorphismes. Supposons que f ∘ s^{♯} et g ∘ t^{♯} soient conjugués par un élément de H(K). Alors il en est de même de f et g ∘ û.

Démonstration. On se ramène immédiatement au cas où s = t, puis au cas où f ∘ s^{♯} = g ∘ s^{♯}. On a, au niveau des catégories de représentations, une égalité de foncteurs :

(s^{♯})^{∗} ∘ f^{∗} = (s^{♯})^{∗} ∘ g^{∗}

d’où, en composant à gauche avec π_{G} :

σ_{s} ∘ f^{∗} = σ_{s} ∘ g^{∗}

(cf. remarque 18.2.3).

Comme σ_{s} est un quasi-inverse monoïdal de θ_{s} (ibid.), on en déduit l’existence d’un isomorphisme naturel f^{∗} ≃^{⊗} g^{∗}. On conclut par le lemme 18.2.8. □

18.2.10. Scolie. Avec les notations de 10.2, on a

HH_{0}(Rep_{K}(G)) ≅ R_{K}(G_{s}) ⊗_{Z} K.

Démonstration. On a vu dans l’exemple 10.2.1 d’une part que HH_{0}(A) = HH_{0}(Ā), d’où HH_{0}(A) ≅ HH_{0}(Rep_{K}(G_{s})) d’après ce qui précède, et d’autre part que HH_{0}(Rep_{K}(G_{s})) ≅ R_{K}(G_{s}) ⊗_{Z} K. □

19. Au-delà de Jacobson-Morozov : enveloppes pro-réductives

Dans toute ce paragraphe, K est un corps de caractéristique 0 sauf mention expresse du contraire.

Soit 𝔤 une K-algèbre de Lie semi-simple. Le théorème de Jacobson-Morozov-Kostant ([44], [47], [45], [37, p. 162, prop. 2 et 4]) énonce que tout élément nilpotent non nul de 𝔤 est contenu dans un 𝔰𝔩_{2}-triplet de 𝔤 et que les orbites de ces deux types d’objets sous l’action adjointe du groupe adjoint G de 𝔤 sont en bijection. En termes de groupes algébriques, cet énoncé se traduit ainsi : étant donné un K-groupe algébrique semi-simple G, tout homomorphisme non trivial 𝔾_{a} → G se prolonge en un homomorphisme SL_{2} → G couvrant l’injection canonique

(19.1)  φ : 𝔾_{a} → SL_{2}
a ↦ (\begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix});

De plus, deux tels prolongements sont conjugués sous l’action d’un élément de G(K).

Nous allons retrouver ce résultat en appliquant le théorème 18.1.1 à la catégorie tannakienne neutralisée des K-représentations de 𝔾_{a}, et explorer ce qui joue le rôle de SL_{2} lorsque 𝔾_{a} est remplacé par un K-groupe affine quelconque, dans le fil des résultats du paragraphe précédent.

19.1. Groupesà conjugaison près. Soit Gaff_{K} la catégorie dont les objets sont les K-groupes affines et les morphismes sont les homomorphismes de K-groupes affines. Notons Gred_{K} la sous-catégorie pleine de Gaff_{K} formée des groupes pro-réductifs. Ces catégories ne sont pas bien adaptées à l’interprétation des résultats du paragraphe précédent : nous devons les remplacer par des catégories plus grossières.

19.1.1. Définition. a) Soient G, H deux K-groupes affines. On note H_{K}^{1}(G, H) l’ensemble quotient de Hom_{K}(G, H) par la relation d’équivalence ∼ telle que f ∼ g s’il existe h ∈ H(K) tel que g = hfh^{−1} (on dit aussi que f et g sont H(K)-conjugués).

b) On note \overline{Gaff}_{K} la catégorie dont les objets sont les K-groupes affines et dont les morphismes sont donnés par les ensembles H_{K}^{1}(G, H) (ces morphismes se composant de manière évidente) : c’est la catégorie des Kgroupes affines à conjugaison près. Sa sous-catégorie pleine formée des K-groupes pro-réductifs est notée \overline{Gred}(K) et s’appelle catégorie des Kgroupes pro-réductifs à conjugaison près.

19.1.2. Remarques.

a) Notons Aff_{K} la catégorie des K-schémas affines. On a un diagramme commutatif

Gred_{K} ⟶^{ι} Gaff_{K} ⟶ Aff_{K}
↓  ↓
\overline{Gred}_{K} ⟶^{ῑ} \overline{Gaff}_{K}

où les foncteurs horizontaux sont pleinement fidèles et les foncteurs verticaux sont pleins et surjectifs.

b) Un certain nombre de notions “passent” aux groupes à conjugaison près (via les foncteurs de projection ci-dessus) : immersions fermées, morphismes fidèlement plats, connexité, simple connexité, (pro-)uni-potence, (pro)-semi-simplicité…

c) La notion de sous-groupe n’a pas de sens dans \overline{Gaff}(K) et \overline{Gred}(K) : elle doit être remplacée par celle de classe de conjugaison de sousgroupes. Par contre, la notion de sous-groupe distingué a un sens. De même, si H est un sous-groupe fermé (à conjugaison près) de G, le sous-groupe (distingué)

(19.2)  H^{◁} = {⟨gHg^{−1}⟩ | g ∈ G(K)}

a un sens.

d) On a un foncteur fidèle évident

\overline{Gaff}(K) → Lien(K)

où Lien(K) désigne la catégorie des liens sur K [40, II.2.1.3]. Mais ce foncteur n’est pas plein si K n’est pas algébriquement clos.

19.2. Exactitude. Peu de limites inductives existent dans Gaff_{K} et dans \overline{Gaff}_{K}. Il faut aussi prendre garde à ce que les limites inductives calculées dans Gaff_{K}, Aff_{K} et \overline{Gaff}_{K}, quand elles existent, ne coïncident pas nécessairement.

Une limite inductive qui existe toujours dans Gaff_{K} est le coégalisateur d’un homomorphisme f : G → H et de l’homomorphisme trivial 1 : G → H : ce coégalisateur existe aussi dans \overline{Gaff}_{K} et coïncide avec le précédent. Dire que ce coégalisateur est trivial est plus faible que de dire que f est un épimorphisme. Nous adopterons la terminologie suivante :

19.2.1. Définition. a) Soient f : G_{1} → G_{2} et g : G_{2} → G_{3} deux morphismes de K-groupes affines tels que g ∘ f = 1. On dit que la suite

(19.3)  G_{1} ⟶^{f} G_{2} ⟶^{g} G_{3}

est exacte (resp. faiblement exacte) si Ker g = Im f (resp. si Ker g = (Im f)^{◁}, cf. (19.2)).

b) Si G_{3} = 1 dans a), on dit que f est épi (resp. faiblement épi) si la suite (19.3) est exacte (resp. faiblement exacte).

On remarquera que, dans b), dire que f est épi équivaut à dire que le morphisme associé de faisceaux fpqc d’ensembles est un épimorphisme, ou encore que f est fidèlement plat.

19.2.2. Lemme. a) Un morphisme f : G_{1} → G_{2} de K-groupes affines est faiblement épi si et seulement si, pour tout K-groupe affine N, l’application d’ensembles pointés f^{∗} : H_{K}^{1}(G_{2}, N) → H_{K}^{1}(G_{1}, N) est de noyau trivial. Si G_{1}, G_{2} ∈ Gred_{K}, il suffit de prendre N dans Gred_{K}.

b) Une suite

G_{1} ⟶^{f} G_{2} ⟶^{g} G_{3} ⟶ 1

de K-groupes affines (avec g ∘ f = 1) est faiblement exacte si et seulement si, pour tout K-groupe affine N, la suite d’ensembles pointés

1 → H_{K}^{1}(G_{3}, N) ⟶^{g^{∗}} H_{K}^{1}(G_{2}, N) ⟶^{f^{∗}} H_{K}^{1}(G_{1}, N)

est exacte). Si G_{1}, G_{2}, G_{3} ∈ Gred_{K}, il suffit de prendre N dans Gred_{K}.

c) L’exactitude faible d’une suite comme dans b) ne dépend que des classes de f et g dans \overline{Gaff}_{K}. □

Démonstration. c) est immédiat.

a) : G_{1} →^{f} G_{2} est faiblementépi ⟺ f(G_{1})^{◁} = G_{2} ⟺ [∀ G_{2} →^{h} N (avec N pro-réductif si G_{2} l’est), h ∘ f = 1 ⟹ h = 1] ⟺ (∀h̄ ∈ H_{K}^{1}(G_{2}, N), f^{∗}h̄ = 1 ⟹ h̄ = 1).

b) : Compte tenu de a), nous n’avons à examiner que l’exactitude au milieu. Or G_{1} →^{f} G_{2} →^{g} G_{3} est faiblement exacte ⟺ f(G_{1})^{◁} = ker g ⟺ [∀ G_{2} →^{h} N (avec N pro-réductif si G_{2} l’est), h_{|f(G_{1})^{◁}} =

1 ⟹ h_{| ker g} = 1] ⟺ [∀G_{2} →^{h} N, h_{|f(G_{1})^{◁}} = 1 ⟹ ∃ G_{3} →^{i} N tel que

h = i ∘ g)] ⟺ [∀ h̄ ∈ H_{K}^{1}(G_{2}, N), f^{∗}h̄ = 1 ⟹ ∃ ī ∈ H_{K}^{1}(G_{3}, N), tel que h̄ = g^{∗}ī]. □

Nous nous autoriserons de ce lemme pour parler de suites faiblement exactes dans \overline{Gaff}_{K}.

19.3. L’enveloppe pro-réductive.

19.3.1. Théorème. Le foncteur d’inclusion ῑ: \overline{Gred}_{K} → \overline{Gaff}_{K} admet un adjoint à gauche G ↦ ^{p}Red(G). Ce foncteur est un quasi-inverse à gauche de ῑ.

Démonstration. Pour chaque G ∈ \overline{Gaff}_{K}, choisissons une section monoïdale s(G) ∈ G_{u}^{⊗}(G). On définit^{p}Red(G) comme étant G_{s(G)}. Soit f : G → H un homomorphisme. En appliquant la proposition 18.2.7 à G et φ = s(H)^{♯} ∘f : G → H_{s(H)}, on obtient un homomorphisme φ̄ : G_{s(G)} → H_{s(H)}. La proposition 18.2.9 montre que son image dans H_{K}^{1}(^{p}Red(G),^{p}Red(H)) ne dépend pas du choix de φ̄: c’est^{p}Red(f). La proposition 18.2.9 montre aussi que ^{p}Red est un foncteur. Les plongements G → G_{s(G)} définissent un morphisme de foncteurs Id_{\overline{Gaff}_{K}} → ῑ∘^{p}Red. Le fait que ce morphisme fasse de^{p}Red un adjoint à gauche de ῑrésulte de la construction précédente et des propositions 18.2.7 et 18.2.9. Enfin, le fait que ^{p}Red ∘ῑ ≃ Id est évident. □

19.3.2. Définition. Le K-groupeà conjugaison près^{p}Red(G) (muni de l’injection canonique G ↪ ^{p}Red(G)) s’appelle l’enveloppe pro-réductive de G. Son sous-groupe ^{p}U(G) (cf. prop. 18.2.6) s’appelle le complément unipotent de G.

19.3.3. Remarque. Si f : G → H est un morphisme, nous ignorons si ^{p}Red(f)(^{p}U(G)) ⊂ ^{p}U(H) en général. C’est vrai si le foncteur f^{∗} : Rep_{K}(H) → Rep_{K}(G) est pleinement fidèle, en vertu du début du §14.1.2 (en particulier si f est un épimorphisme, mais aussi dans le cas d’un sousgroupe parabolique d’un groupe connexe, voir la démonstration de la proposition 19.4.7 b)). On pourrait aussi le déduire de la proposition 18.2.6. Dans ce cas, nous ignorons si le morphisme correspondant est épi.

19.3.4. Proposition. Supposons K algébriquement clos. À isomorphisme unique près dans \overline{Gaff}(K), l’homomorphisme Λ_{G} : G → ^{p}Red(G) est caractérisé par les deux propriétés suivantes :

(i) ^{p}Red(G) est pro-réductif ;

(ii) Λ_{G} induit une bijection entre les classes d’isomorphismes de représentations indécomposables de G et de^{p}Red(G).

Démonstration. Il est clair que Λ_{G} a les propriétés annoncées. Pour la réciproque, la propriété universelle de ^{p}Red(G) nous ramène à démontrer l’énoncé suivant : si f : H → M est un homomorphisme de groupes pro-réductifs qui induit une bijection sur les classes d’isomorphismes de représentations irréductibles, alors f est un isomorphisme.

En effet, les catégories Rep_{K}(H) et Rep_{K}(M) sont semi-simples. L’hypothèse implique que le foncteur f^{∗} : Rep_{K}(M) → Rep_{K}(H) est essentiellement surjectif. D’autre part, pour deux M-représentations irréductibles S, S′, l’application Hom_{M}(S, S′) → Hom_{H}(S, S′) est bijective : si S et S′ ne sont pas isomorphes, les deux membres sont nuls, et si S = S′ on a End_{M}(S) = End_{H}(S) = K (c’est ici qu’on utilise l’hypothèse que K est algébriquement clos). Par conséquent, f^{∗} est pleinement fidèle, donc c’est une équivalence de catégories et f est bien un isomorphisme. □

19.3.5. Remarque. Nous ignorons si l’hypothèse que K est algébriquement clos est nécessaire dans la proposition 19.3.4.

19.4. Quelques propriétés de l’enveloppe pro-réductive.

19.4.1. Lemme. Si G est connexe,^{p}Red(G) est connexe.

Soit (G_{s})^{0} la composante neutre de G_{s}, et soit Γ = G_{s}/(G_{s})^{0} : (G_{s})^{0} est pro-semi-simple connexe et Γ est extension d’un groupe profini (de dimension 0) par un pro-tore. Comme G est connexe, Hom(G, Γ) = 1 ; la proposition 18.2.9 implique alors que Hom(G_{s}, Γ) = 1. Donc Γ = 1. □

19.4.2. Proposition. Si G est pro-unipotent, ^{p}Red(G) est pro-semi-simple simplement connexe.

Démonstration. D’après le lemme 19.4.1, G_{s} est connexe. Pour montrer qu’il est semi-simple, on raisonne de même : soit G′_{s} son groupe dérivé. Alors Γ = G_{s}/G′_{s} est un pro-tore. Comme G est pro-unipotent, Hom(G, Γ) = 1 ; la proposition 18.2.9 implique alors que Hom(G_{s}, Γ) = 1. Donc Γ = 1.

Enfin, soit H un groupe pro-semi-simple connexe quelconque, et soit H̃ son revêtement universel. On a un diagramme commutatif :

H_{K}^{1}(G_{s}, H̃) ⟶ H_{K}^{1}(G, H̃)
↓  ↓
H_{K}^{1}(G_{s}, H) ⟶ H_{K}^{1}(G, H).

Les propositions 18.2.7 et 18.2.9 montrent que les flèches horizontales sont des isomorphismes. Comme G est unipotent, il en est de même de la flèche verticale de droite. On en déduit que la flèche verticale de gauche est un isomorphisme pour tout H. En appliquant ceci à H = G_{s}, cela implique que la projection H̃ → H admet une section à conjugaison près. Mais ceci n’est possible que si H est pro-simplement connexe. □

19.4.3. Contre-exemple. On pourrait se demander si ^{p}Red(U) est même déployé. Le contre-exemple suivant, pour U ≃ 𝔾_{a}^{4}, nous a été aimablement fourni par Ulf Rehmann. Soit D une algèbre de quaternions sur K. Le groupe G = SL_{2,D} contient U (avec U(R) = R ⊗_{K} D pour toute Kalgèbre commutative R) comme sous-groupe triangulaire supérieur strict. Si ^{p}Red(U) était déployé, son image H dans G le serait également. Mais un tore maximal de G est donné par un tore maximal du sous-groupe diagonal formé des éléments (x, y) ∈ D^{∗} × D^{∗} tels que Nrd(x)Nrd(y) = 1 ; de ceci on déduit facilement que le rang d’un tore déployé contenu dans G est ≤ 1. Ainsi H serait de rang ≤ 1 ; mais alors il ne peut pas contenir U.

Par contre, un groupe semi-simple anisotrope ne peut pas être un quotient de^{p}Red(U), cf. [46, 1.5.3].

19.4.4. Proposition. a) Soit G_{2} → G_{1} un morphisme faiblement épi de Kschémas en groupes affines. Alors le morphisme ^{p}Red(G_{2}) → ^{p}Red(G_{1}) correspondant est faiblement épi.

b) Soit G_{3} → G_{2} → G_{1} → 1 une suite faiblement exacte de K-schémas en groupes affines. Alors on a un diagramme commutatif de suites faiblement exactes dans \overline{Gaff}_{K} :

G_{3} ⟶ G_{2} ⟶ G_{1} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
pRed(G_{3}) ⟶ ^{p}Red(G_{2}) ⟶ ^{p}Red(G_{1}) ⟶ 1.

Démonstration. Cela résulte immédiatement du théorème 19.3.1 et du lemme 19.2.2 (comme un adjoint à gauche commute aux limites inductives quelconques, le théorème 19.3.1 fournit des propriétés d’exactitude du foncteur^{p}Red). □

19.4.5. Corollaire. Si U est le radical unipotent de G et si G^{red} = G/U, on a une suite faiblement exacte

pRed(U) → ^{p}Red(G) → G^{red} → 1.
□

Voici quelques résultats structurels supplémentaires sur^{p}Red(G) :

19.4.6. Lemme. Soit f : G → H un homomorphisme de K-groupes affines. Supposons que le foncteur f^{∗} associé soit pleinement fidèle. Alors

(i) ^{p}Red(f) est épi.

(ii) ^{p}Red(f) est un isomorphisme si et seulement si f est un isomorphisme.

Démonstration. (i) Si f^{∗} est pleinement fidèle, f̄^{∗} l’est aussi ; comme c’est un foncteur entre catégories semi-simples, le foncteur associé sur les Kgoupes affines est bien épi.

(ii) f est un isomorphisme ⟺ f^{∗} est une équivalence de catégories ⟺ f^{∗} est essentiellement surjectif ; de même pour ^{p}Red(f) et f̄^{∗}. Si f^{∗} est essentiellement surjectif, il en est évidemment de même de f̄^{∗}. La réciproque est vraie puisque le foncteur de projection π_{G} est plein et conservatif. □

19.4.7. Proposition. a) Pour tout G, on a une suite exacte

1 → ^{p}Red(G^{0})^{◁} → ^{p}Red(G) → G/G^{0} → 1

où G^{0} est le composante neutre de G.

b) Si G est connexe, soit P un K-sous-groupe parabolique de G. Alors pRed(P) → ^{p}Red(G) est épi.

c) Si G → H est épi,^{p}Red(G) → ^{p}Red(H) est épi.

Démonstration. a) Soit ρ : G → GL(V) une représentation de G^{0} (de dimension finie) : nous allons montrer qu’elle est isomorphe à un facteur direct d’une représentation W provenant de G. Ceci impliquera que^{p}Red(G^{0}) → ^{p}Red(G) est un monomorphisme, d’où l’énoncé en appliquant la proposition 19.4.4 et le lemme 19.4.6.

Notons U = Ker ρ : alors U est distingué dans G. Notons Γ^{0} = G^{0}/U, de sorte qu’on a une suite exacte

1 → Γ^{0} → G/U → G/G^{0} → 1.

Il existe un quotient fini Δ de G/G^{0} tel que G/U soit l’image réciproque d’une extension Γ de Δ par Γ^{0}. Ainsi, on s’est ramené au cas où G est algébrique. Dans ce cas, il suffit de prendre pour W la restriction à G^{0} de Ind_{G^{0}}^{G}V.

b) Grâce au lemme 19.4.6 (i), il suffit de prouver que le foncteur Rep_{K}(G) → Rep_{K}(P) est pleinement fidèle. Soient V, W deux représentations de G. Le groupe G opère sur l’espace affine Hom(V, W) via un de ses quotients algébriques Γ. Soit P̄ l’image de P dans Γ : c’est un sousgroupe parabolique de Γ. Comme Γ/P̄ est propre et connexe, il en résulte que Hom_{G}(V, W) → Hom_{P} (V, W) est surjectif.^{22}

c) Cela résulte encore du lemme 19.4.6 (i). □

19.4.8. Corollaire. Pour tout K-groupe affine G, on a ^{p}Red(G^{0}) = (^{p}Red(G)^{0})^{◁}.

Démonstration. En effet, d’après le lemme 19.4.1,^{p}Red(G^{0}) est connexe, donc aussi (^{p}Red(G)^{0})^{◁}. □

Enfin, on a le résultat suivant.

19.4.9. Proposition. Pour tout K-groupe G et tout K-groupe pro-réductif H, on a^{p}Red(G × H) = ^{p}Red(G) × H.

Démonstration. On peut raisonner dans \overline{Gaff}(K). Soit M une représentation de G × H. Comme H est réductif, la restriction de M à H est semi-simple, donc l’algèbre End_{H}(M) est semi-simple et Aut_{H}(M) = End_{H}(M)^{∗} est le groupe des K-points d’un groupe réductif H′; on a un homomorphisme G → H′. Ce dernier se prolonge en un homomorphisme pRed(G) → H′, ce qui veut dire que l’action de G × H sur M s’étend en une action de^{p}Red(G) × H.

Considérons le morphisme canonique (dans \overline{Gred}_{K}) f : ^{p}Red(G×H) → pRed(G) × H. En considérant séparément les morphismes ^{p}Red(G) → pRed(G × H) et H → ^{p}Red(G × H), on voit que c’est un épi. D’autre part, on vient de voir que, pour toute représentation M de ^{p}Red(G × H), l’application

22Nous remercions Michel Brion de nous avoir indiqué ce type d’argument ; cf. aussi [13, II.4.3.3.2].

H_{K}^{1}(^{p}Red(G) × H, GL(M)) → H_{K}^{1}(^{p}Red(G × H), GL(M))

est surjective. Par conséquent, la restriction de M à Ker f est triviale pour tout M ; mais alors on a Ker f = {1}. □

19.5. Le cas du groupe additif. À titre d’exemple emblématique, calculons ^{p}Red(G) et ^{p}U(G) pour G = 𝔾_{a}. Le théorème qui suit est une reformulation précisée du théorème de Jacobson-Morozov^{23}.

19.5.1. Théorème. On a^{p}U(𝔾_{a}) = 𝔾_{a} et^{p}Red(𝔾_{a}) = SL_{2}. Plus précisément, pour toute section monoïdale s de π_{𝔾_{a}}, il existe un isomorphisme de (𝔾_{a})_{s} sur SL_{2} tel que s^{♯} = φ, où φ est comme en (19.1).

Démonstration. Soient V ∈ A la représentation φ de (19.1), et V̄ son image dans Ā. C’est une représentation de rang 2 de G_{s}, et elle est non triviale puisque sa restriction à 𝔾_{a} via s^{∗} est non triviale. Comme G_{s} est semisimple et connexe (proposition 19.4.2), son image dans GL_{2} est contenue dans SL_{2}, donc estégaleà SL_{2}. Nous allons montrer que l’homomorphisme f : G_{s} → SL_{2} correspondant est un isomorphisme.

Pour cela, considérons le foncteur f^{∗} : Rep_{K}(SL_{2}) → Rep_{K}(G_{s}) : comme f est un épi, il est pleinement fidèle. Son composé avec s n’est autre que le foncteur de restriction Φ : Rep_{K}(SL_{2}) → Rep_{K}(𝔾_{a}). Comme K est de caractéristique zéro, les représentations irréductibles de SL_{2} sont les puissances symétriques de V. D’autre part, la théorie des blocs de Jordan montre que les représentations indécomposables de 𝔾_{a} sont également les puissances symétriques S^{n}V de V. Ainsi, Φ induit une bijection entre les classes d’isomorphismes de représentations irréductibles de SL_{2} et les classes d’isomorphismes de représentations indécomposables de 𝔾_{a}. D’après le lemme 12.1.2, f^{∗} induit donc une bijection entre les classes d’isomorphismes d’objets irréductibles de Rep_{K}(SL_{2}) et celles de Rep_{K}(G_{s}). Comme Rep_{K}(G_{s}) est semi-simple, f^{∗} est essentiellement surjectif, donc est une équivalence de catégories, d’où l’assertion.

Enfin, l’égalité s^{♯} = φ et l’égalité U_{s} = 𝔾_{a} sont claires. □

19.5.2. Remarque. L’espace des 𝔾_{a}-homomorphismes S^{m}V → S^{n}V est de dimension |P (m, n)|, avec P (m, n) = {j| |m − n| ≤ j ≤ m + n, j ≡ m + n mod 2}.

23La preuve que nous donnons de ce résultat classique n’est sans doute ni la plus courte ni la plus simple !

En effet, comme S^{m}V est auto-dual, ces homomorphismes s’identifient aux invariants sous 𝔾_{a} dans S^{m}V ⊗S^{n}V. Or on a la décomposition de SL_{2}- modules S^{m}V ⊗ S^{n}V ≅ ⊕_{j∈P (m,n)}S^{j}V (Clebsch-Gordan), et chaque S^{j}V n’a qu’une droite de vecteurs invariants sous 𝔾_{a}.

Pour compléter l’étude de Rep_{K}𝔾_{a}, mentionnons le résultat suivant, qui nous servira ultérieurement.

19.5.3. Proposition. Rep_{K}𝔾_{a} est strictement de Wedderburn.

Démonstration. Il s’agit de montrer que le radical infini est nul. Commençons par quelques remarques sur les indécomposables de Rep_{K}𝔾_{a}. Ils sont de la forme S^{m}V, où V est la représentation fondamentale de dimension 2, et admettent une unique suite de composition (à crans de dimension 1). Tout homomorphisme f de S^{m}V vers S^{n}V envoie le vecteur invariant de S^{m}V sur 0 si m > n ou si m = n et f n’est pas un isomorphisme. Soient alors W, W′ deux représentations, et f_{1}, … f_{N} une chaîne d’homomorphismes dans le radical reliant W et W′. Quitte à remplacer f_{1} (resp. le composé f des f_{i}) par le morphisme correspondant f̃_{1} : 1 → W^{∨} ⊗ W_{1} (resp. f̃: 1 → W^{∨} ⊗ W′), et f_{i}, pour i > 1, par f̃_{i} = 1_{W^{∨}} ⊗ f_{i} (qui sont tous dans le radical puisque le radical est un idéal monoïdal), on se ramène au cas W = 1 (noter que f̃ est le composé des f̃_{i}).

En outre, par additivité, on peut supposer les sources et buts des f_{i} indécomposables, i.e. de la forme S^{n}V. On a donc une chaîne de non-isomor-phismes

1 →^{f_{1}} S^{n_{1}}V →^{f_{2}} S^{n_{2}}V → … →^{f_{N}} S^{n_{N}} V

où n_{N} est fixé (et inférieur au produit des dimensions des W et W′ originaux). Si N > n_{N}, on aura donc n_{i+1} ≤ n_{i} pour au moins l’un des i, et alors le composé des f_{j} de 1 à i s’annulera d’après l’observation précédente. □

19.5.4. Remarques.

a) Il suit de l’exemple 14.3.2 et du théorème 14.3.3 que le groupoïde Γ^{⊗}(Rep_{K}𝔾_{a}) a le même type d’homotopie que 𝔾_{a} → Spec K (au sens de loc. cit. ).

b) Supposons K de caractéristique p > 0. Alors le radical de Rep_{K}(𝔾_{a}) n’est pas monoïdal. En effet, considérons la représentation indécomposable standard W de dimension p de 𝔾_{a} donnée par t ↦ exp tn_{p−1}, où n_{p−1} est l’endomorphisme nilpotent d’échelon p (un seul bloc de Jordan). Les endomorphismes de cette représentation sont donnés par des matrices triangulaires dont les coefficients diagonaux sont tous égaux ; leur trace est donc nulle, ce qui montre qu’avec les notations de §4, W devient nul dans Rep_{K}(𝔾_{a})/N. Ainsi R ≠ N, et R n’est pas monoïdal d’après 8.2.2. c) Revenons à la caractéristique nulle. Considérons la catégorie tanna-

kienne A = Rep_{K}Z des représentations de dimension finie sur K du groupe discret Z. Un résultat de ‘folklore’, basé sur la décomposition de Jordan, dit que son enveloppe pro-algébrique est le produit de 𝔾_{a} par un K-groupe affine de type multiplicatif T ×μ_{∞} (T est un pro-tore, μ_{∞} est le groupe de torsion, cyclique). Il découle de là, du théorème précédent et du corollaire 19.4.4, que Ā est ⊗-équivalenteà Rep_{K}(SL_{2} × T × μ_{∞}).

19.6. Extension des scalaires. Si l’on fait varier le corps de base K (toujours supposé de caractéristique nulle), pour un K-groupe affine G et une extension L/K, il y a lieu de distinguer entre les L-groupes affines pRed(G ×_{K} L) et^{p}Red(G) ×_{K} L. Par la propriété universelle de^{p}Red, on a toujours un morphisme naturel

(19.4)  ^{p}Red(G ×_{K} L) → ^{p}Red(G) ×_{K} L.

Nous verrons ci-dessous que ce morphisme n’est pas un isomorphisme en général. Par contre :

19.6.1. Théorème. Si L/K est finie, (19.4) est un isomorphisme.

Démonstration. Rappelons que dans ce cas, l’extension des scalaires à la Saavedra est définie sur A = Rep_{K}(G), et que l’on a un isomorphisme de catégories A_{(L)} ≃ Rep_{L}(G) (remarque 5.1.3 c)). Considérons le diagramme commutatif, où une barre supérieure désigne la réduction modulo le radical :

(19.5)  \begin{matrix}A_{(L)} \\ π′↓ & π_{(L)} ↘ \\ \overline{A_{(L)}} & ⟶^{α} & Ā_{(L)}. \end{matrix}

Pour justifier l’existence de ce diagramme, remarquons que la catégorie Ā_{(L)} est semi-simple en vertu de la remarque 5.1.3 c).

Toute section s de π définit une section s_{(L)} de π_{(L)}, ce qui montre que α est plein et essentiellement surjectif. On a une section de α

\overline{s_{(L)}} = π′ ∘ s_{(L)} : Ā_{(L)} → \overline{A_{(L)}}

qui donne un diagramme naturellement commutatif :

A_{(L)} ⟶^{ω_{(L)}} V ec_{L}
s_{(L)} ↗ ^{σ}↑
Ā_{(L)} ⟶^{\overline{s_{(L)}}} \overline{A_{(L)}}.

D’autre part, on a un diagramme (naturellement) commutatif de catégories et foncteurs :

V ec_{K}  ⟶  V ec_{L}
ω↑  ^{ω_{(L)}}↑
A ⟶ A_{L} ⟶ A_{L}^{♮} ⟶^{≃} A_{(L)}
π↓  ↓  ↓  ↓
Ā ⟶ Ā_{L} ⟶ Ā_{L}^{♮}  Ā_{(L)}.

En effet, le corollaire 4.1.4 montre que le foncteur A → A_{L} est radiciel et que (Ā)_{L} ≃ \overline{A_{L}} (isomorphisme de catégories). De même pour le carré suivant, par le lemme 1.3.9. L’équivalence de catégories A_{L}^{♮} ≅ A_{(L)} provient du théorème 5.3.2. Il en résulte en particulier que α est une équivalence de catégories. Alors \overline{s_{(L)}} est une équivalence de catégories, ce qui termine la démonstration. □

19.7. Enveloppes pro-réductives des groupes pro-unipotents. Si G est un K-groupe pro-unipotent, on sait déjà que ^{p}Red(G) est pro-semi-simple simplement connexe (proposition 19.4.2). Nous allons voir que ^{p}Red(G) est en général de dimension infinie et que son calcul est un problème “insoluble”, le cas de G = 𝔾_{a} étant à cet égard exceptionnel.

Considérons d’abord le cas de G = 𝔾_{a} × 𝔾_{a}. On peut voir que^{p}Red(G) n’est pas de dimension finie en remarquant que les homomorphismes G → 𝔾_{a}, (a, b) ↦ ax + by, (x, y ∈ K), donnent lieu à une infinité (paramétrée par y/x ∈ P^{1}(K)) de représentations indécomposables non équivalentes de dimension 2. Elles sont du reste toutes sous-quotients de la représentation

standard de dimension 4 donnée par (\begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix}) × (\begin{matrix}1 & b \\ 0 & 1 \end{matrix}). Cela indique aussi

que le morphisme (19.4) d’“extension des scalaires” n’est pas un isomorphisme en général (ne serait-ce que pour raison de cardinalité). On notera l’analogie formelle entre d’une part ce fait et le théorème 19.6.1, et d’autre part le comportement conjectural des groupes de Galois motiviques [55, 6.3 ? et remarque].

En fait, il s’avère que la détermination de

𝔾_{a} × 𝔾_{a} ↪ ^{p}Red(𝔾_{a} × 𝔾_{a})

est un problème insoluble. En effet, elle inclut la classification des représentations indécomposables de 𝔾_{a} × 𝔾_{a}, ou ce qui revient au même, des Amodules finis indécomposables pour A = K[[T_{1}, T_{2}]] (cf. remarque 17.1.2 b)). Or la classification des A-modules finis indécomposables où l’action de A se factorise par le cube du radical 𝔪 est déjà un problème insoluble, car A/𝔪^{3} est de type de représentation infini sauvage (cf. e.g. [10]^{24}) ; plus précisément, la théorie des A/𝔪^{3}-modules finis est indécidable (cf. [52]).

Les travaux récents de Ginzburg et Panyushev sur les paires nilpotentes [42, 49] permettent peut-être toutefois de décrire de nombreux quotients de pRed(𝔾_{a} × 𝔾_{a}).

19.7.1. Théorème. Soit G un K-groupe pro-unipotent. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

a) dim G ≤ 1, b)^{p}Red(G) est de dimension finie,

c) pour toute extension L/K, le morphisme^{p}Red(G_{L}) → ^{p}Red(G)_{L} est un isomorphisme,

d) le radical infini rad^{ω}(Rep_{K}G) est nul, i.e. Rep_{K}G est strictement de Wedderburn,

e) rad^{ω}(Rep_{K}G) est nilpotent.

Démonstration. D’après la discussion des cas 𝔾_{a} et 𝔾_{a} × 𝔾_{a} et le lemme 19.4.6, il suffit pour l’équivalence de a), b), c) de démontrer que 𝔾_{a} × 𝔾_{a} est quotient de G dès que dim G > 1. Passant aux algèbres de Lie, il s’agit de voir que pour toute algèbre de Lie nilpotente 𝔫 de dimension > 1, 𝔫^{ab} est de dimension > 1. Mais il est bien connu que dim 𝔫^{ab} est une borne inférieure pour le nombre de générateurs de 𝔫.

L’implication d) ⟹ e) est triviale.

L’implication a) ⟹ d) est la proposition 19.5.3.

Pour terminer, prouvons e) ⟹ a) par l’absurde. Fixons un épimorphisme G → 𝔾_{a} × 𝔾_{a}. Identifions Rep_{K} (𝔾_{a} × 𝔾_{a}) à A-Modf avec A = K[[T_{1}, T_{2}]] d’une part, et à une sous-catégorie pleine de Rep_{K}G d’autre part. Soit 𝔪 le radical de A, et considérons la sous-catégorie pleine (A/𝔪^{3})- Modf de A-Modf. D’après l’hypothèse et le lemme 3.1.2, le radical infini de (A/𝔪^{3})-Modf serait donc nilpotent, en contradiction, d’après [6], avec le caractère sauvage de A/𝔪^{3}. □

Au-delà du cas unipotent, on peut se poser la question suivante :

19.7.2. Question. Pour quels groupes algébriques linéaires G ^{p}Red(G) est-il de dimension finie ? Sa formation est-elle alors compatible à l’extension des scalaires ?

Un cas intéressant est celui du produit semi-direct G de SL_{2} par 𝔾_{a} × 𝔾_{a} (défini par la représentation standard de SL_{2}). Ce cas a été examiné dans [50]. L’auteur y montre que pour tout n ≥ 1, l’algèbre de Lie sl_{2n+1} contient une copie de Lie G mais aucune sous-algèbre de Lie semi-simple intermédiaire. Comme on sait par la proposition 19.4.2 et le corollaire 19.4.5 que ^{p}Red(G) est pro-semi-simple simplement connexe, on en déduit que pRed(G) admet SL_{2n+1} comme quotient. Par application du lemme de Goursat, il admet donc aussi ∏_{n} SL_{2n+1} comme quotient.

24Qui donne aussi une formalisation de la notion de problème de classification insoluble ou de difficulté maximale.

19.8. Un défi au lecteur. Il s’agit de calculer l’enveloppe pro-réductive du groupe

G_{n} = 𝔾_{a} ⋊^{n} 𝔾_{m}

produit semi-direct de 𝔾_{m} par 𝔾_{a}, l’action de 𝔾_{m} étant donnée par α ∗ a = α^{n}a. Pour n = 1, c’est le “groupe affine” de l’espace affine dimension 1 ; pour n = 2, il s’agit du sous-groupe de Borel standard de SL_{2}. Une représentation de G_{n} sur un K-espace vectoriel de dimension finie E revient à la donnée d’une graduation de type Z de E

E = ⨁_{i∈Z} E^{i}

et d’un endomorphisme v_{E} de E vérifiant

(19.6)  v_{E}(E^{i}) ⊂ E^{i+n}

cf. [13, IV.2.2.6.1].

Voici au moins une catégorie intéressante C_{n} liée à Rep_{K}(^{p}Red(G_{n})) : Un objet de C_{n} est un K-espace vectoriel de dimension finie E muni

d’une action ρ de SL_{2} et d’une action θ de 𝔾_{m}, ces deux actions étant soumises à la relation suivante :

Pour tout a ∈ 𝔾_{a} et pour tout α ∈ 𝔾_{m}, on a

θ(α)ρ (\begin{matrix}1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix}) θ(α)^{−1} = ρ (\begin{matrix}1 & α^{n}a \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Un morphisme de C_{n} est une application K-linéaire commutant à ces structures.

En termes de graduations, un objet de C_{n} est un K-espace vectoriel de dimension finie gradué E = ⨁_{i} E^{i} et muni d’une action ρ de SL_{2} telle que,

si on pose v_{E} = ρ (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) − 1_{E}, l’endomorphisme v_{E} vérifie la condition

(19.6).

On a un foncteur d’oubli T : C_{n} → Rep_{K}(G_{n}), qui est évidemment fidèle et exact ; en particulier, C_{n} est tannakienne. Par Jacobson-Morozov, T est aussi essentiellement surjectif. Mais C_{n} n’est pas semi-simple. En effet, on obtient une extension V non triviale de 1 par un objet de dimension deux de la manière suivante : soit e_{1}, e_{2}, e_{3} la base canonique de V = k^{3}. On définit V^{0} = ke_{2} ⊕ k(e_{1} + e_{2} + e_{3}), V^{n} = ke_{1}. On munit W = ke_{1} ⊕ ke_{2} de l’action standard de SL_{2}, qu’on fait agir trivialement sur e_{3}. Alors W est un sous-objet de V dans C_{n}, V/W ≅ 1, et V est extension non triviale de 1 par W.

19.8.1. Questions. a) Peut-on décrire le groupe tannakien associé au foncteur fibre canonique sur C_{n}?

b) Est-il vrai que, pour n ≠ 0,^{p}Red(G_{n}) est de dimension infinie ?

20. Applications aux groupes algébriques et aux représentations indécomposables.

En dépit du fait que l’enveloppe pro-réductive ^{p}Red G d’un K-groupe algébrique linéaire G soit bien souvent de dimension infinie, et même intrinsèquement indéterminable comme on l’a vu, son existence permet d’obtenir des résultats concrets sur les groupes réductifs^{25} contenant G et sur les représentations indécomposables de G.

Dans tout ce paragraphe, K est un corps de caractéristique nulle.

20.1. Applications aux groupes algébriques.

20.1.1. Proposition (cf. [48]). Soit H′ un sous-groupe réductif fermé d’un groupe réductif H. Alors le centralisateur de H′ dans H est réductif.

Démonstration. Soit U le radical unipotent de ce centralisateur C_{H}(H′). Il s’agit de montrer que tout homomorphisme f : 𝔾_{a} → U est trivial. Un tel homomorphisme s’étend en un homomorphisme g : 𝔾_{a} × H′ → H, puis, d’après la proposition 19.4.9 et le théorème 19.5.1, en un homomorphisme g′ : SL_{2} × H′ → H. On a donc un homomorphisme f′ : SL_{2} → C_{H}(H′) qui prolonge f. La composée de f′ avec la projection C_{H}(H′) → C_{H}(H′)/U est triviale (puisqu’il en est de même de f). On en déduit que f′ lui-même, et par suite f, est trivial. □

Soit G un sous-groupe fermé d’un groupe réductif H.

20.1.2. Définition. On appelle enveloppe réductive de G dans H tout sousgroupe réductif fermé de H contenant G et minimal pour cette propriété.

20.1.3. Théorème. a) Deux enveloppes réductives de G dans H sont conjuguées par un élément de h ∈ H(K) centralisant G.

b) Soit H → H_{0} un homomorphisme de groupes réductifs, et soit G_{0} l’image de G dans H_{0}. Alors l’image dans H_{0} de toute enveloppe réductive de G dans H est une enveloppe réductive de G_{0} dans H_{0}.

c) Supposons que l’enveloppe réductive de G dans H soit égale à H. Alors le centralisateur de G dans H est produit du centre de H par un groupe unipotent.

25On rappelle que dans ce texte, réductif n’implique pas connexe.

Démonstration. Nous allons prouver que toute enveloppe réductive H′ de G dans H est image dans GL(V) du K-groupe pro-réductif G_{s} attaché à une section monoïdale s comme au §18.2 (et réciproquement). En effet, il suit de la proposition 18.2.7 que le plongement G → H′ se factorise par G_{s}. Comme l’image de G_{s} dans H′ est réductive et contient G, elle est égale à H′ par minimalité de H′. Réciproquement, le même argument montre que pour toute factorisation de G → H à travers G_{s}, l’image H′ de G_{s} dns H est un enveloppe réductive de G dans H.

Le point b) suit immédiatement de cette interprétation.

a) Ce point suit alors de la proposition 18.2.9 (avec s = t, f ∘s^{♯} = g∘s^{♯}). Enfin, c) a déjà été démontré (proposition 18.2.6). □

20.1.4. Contre-exemple. On pourrait se demander si la propriété c) caractérise les enveloppes pro-réductives. C’est (totalement) faux, comme on le voit sur l’exemple de 𝔾_{a} plongé dans SL_{n+1} par l’intermédiaire de la puissance symétrique n-ième d’une représentation fidèle dans SL_{2} : le centralisateur de 𝔾_{a} est alors égal au produit d’un groupe isomorphe à 𝔾_{a}^{n} par le centre de SL_{n+1}.

20.1.5. Remarque. Pour toute enveloppe réductive H′ de G dans H, il suit de l’interprétation de H′ donnée dans la démonstration du théorème 20.1.3 que la restriction à G des représentations de H′ induit une injection de l’ensemble des classes d’isomorphismes de représentations irréductibles de H′ vers l’ensemble des classes d’isomorphismes de représentations indécomposables de G. Les représentations indécomposables de G que l’on obtient ainsi sont, à isomorphisme près, les facteurs directs des sommes finies ⊕_{i}(V̌)^{m_{i}} ⊗ V^{n_{i}}.

20.2. Applications aux représentations indécomposables. Soit V est une représentation (de dimension finie) de G. On note (abusivement) G_{V} une enveloppe réductive de G dans GL(V) (c’est-à-dire, d’après ce qui précède, le groupe réductif image dans GL(V) du K-groupe pro-réductif G_{s} attaché à une section monoïdale s comme dans 18.2). Alors la décomposition en indécomposables de toute somme finie ⊕_{i}(V̌)^{m_{i}} ⊗V^{n_{i}} est déterminée par la décomposition en irréductibles de ⊕_{i}(V̌)^{m_{i}}⊗V^{n_{i}} vue comme représentation de G_{V}. Cela ramène un certain nombre de questions sur les représentations à la détermination (même partielle) de G_{V} et à la théorie des poids.

Voici quelques échantillons d’application de ce principe.

On suppose dorénavant G connexe et K algébriquement clos (de caractéristique nulle). Le groupe réductif G_{V} est alors connexe.

Considérons le sous-groupe abélien a_{K}(G, V) de l’anneau des représentations a_{K}(G) engendré par les classes des facteurs directs des ⊕_{i}(V̌)^{m_{i}} ⊗ V^{n_{i}} (groupe de Grothendieck vis-à-vis des sommes directes). C’est en fait un sous-anneau, et même un sous-λ-anneau.

En outre, le foncteur (s^{♯})^{∗} induit un isomorphisme de λ-anneaux

a_{K}(G, V) ≅ a_{K}(G_{V}) = R_{K}(G_{V}).

On rappelle que R_{K}(G_{V}) s’identifie, via l’isomorphisme “caractère” ch, avec l’anneau des invariants sous le groupe de Weyl de l’anneau de groupe Z[Λ] sur le réseau des poids Λ (réseau de rang m = rang de G_{V}).

On obtient comme première application :

20.2.1. Théorème. Si G est simplement connexe, a_{K}(G, V) est un anneau de polynômes à coefficients entiers en m ≤ dim V indéterminées.

Démonstration. On montre comme dans la proposition 19.4.2 que G_{V} est semi-simple simplement connexe. On a alors a_{K}(G_{V}) = R_{K}(G_{V}) = R_{K}(Lie G_{V}), et il est bien connu que ce dernier est un anneau de polynômes en les poids fondamentaux de Lie G_{V}. □

20.2.2. Remarque. Si V est une représentation fidèle de G, Rep_{V} (G) coïncide avec la sous-catégorie tannakienne (strictement) pleine engendrée par V. En combinant l’isomorphisme précédent à 10.2.1, on obtient alors que

HH_{0}(Rep_{K}(G)) ≅ a_{K}(G, V) ⊗_{Z} K.

En particulier, l’homologie de Hochschild (en degré 0) de Rep_{K}(G) est une algèbre de polynômes sur K si G est simplement connexe.

Pour toute représentation V (de dimension finie), on note S^{m}V la puissance symétrique m-ième de V.

20.2.3. Théorème. Les conditions suivantes sont équivalentes :

a) S^{2}V est indécomposable,

b) pour tout n ≥ 0, S^{n}V est indécomposable.

Démonstration. Supposons a). Il est équivalent de dire que S^{n}V est une représentation indécomposable de G ou que vue comme représentation de G_{V}, S^{n}V est irréductible. On est donc ramené au cas ou G est réductif connexe, et le résultat est alors prouvé dans [35, app.] (en outre, loc. cit. montre que G_{V} est égal soit à Z(G_{V}).SL(V) soit à Z(G_{V}).Sp(V) pour une forme symplectique convenable, et le centre Z(G_{V}) de G_{V} est réduit aux homothéties de G_{V}). □

20.2.4. Proposition. Soient V, W deux représentations de G, et n un entier > 0. Les conditions suivantes sont équivalentes :

i) V ≅ W, ii) V^{⊗n} ≅ W^{⊗n}.

Démonstration. Comme précédemment, le problème se ramène au problème analogue avec G remplacé par le groupe réductif connexe G_{V ⊕W}. Via l’homomorphisme “caractère”, i) (resp. ii)) se traduit par l’égalité ch(V) = ch(W) (resp. ch(V)^{n} = ch(W)^{n}) de polynômes de Laurent en les poids fondamentaux, à coefficients entiers positifs. Or tout polynôme de Laurent à coefficients entiers positifs est déterminé par sa puissance n-ième. □

21. Enveloppes pro-réductives de gerbes

21.1. Le but de ce paragraphe est d’amplifier le théorème 18.1.1 en un théorème de structure sur les gerbes affines. On peut considérer le résultat principal comme une globalisation 2-catégorique du théorème 19.3.1.

Soit G une K-gerbe affine [40, 38]. La catégorie Rep_{K}(G) des K-re-présentations de G (de dimension finie) est tannakienne. Réciproquement, le théorème principal de [13], complété par [20], dit qu’étant donné une K-catégorie tannakienne A, le champ FIB(A) des foncteurs fibres sur A est une K-gerbe affine (cf. [38, th. 3.2]). Ceci définit des 2-équivalences de catégories inverses entre la 2-catégorie des K-gerbes affines et celle des (petites) catégories tannakiennes K-linéaires [13, th. IV.2.3.2].

Le corps K étant désormais de caractéristique zéro, le théorème 18.1.1 associe à toute K-gerbe affine G une K-gerbe pro-réductive ^{p}Red(G) et un K-groupoïde unipotent Γ_{u}(G). Nous nous proposons d’expliciter, sans démonstrations, la fonctorialité de ces constructions.

“Rappelons” que, étant donné deux K-gerbes affines G, H, la catégorie des morphismes de G vers H est représentable par un K-groupoïde affine \underline{Hom}(G, H). Ceci dit :

21.1.1. Théorème. a) Pour toute K-gerbe affine G, on a un morphisme canonique de groupoïdes

Γ_{u}(G) ⟶^{σ_{G}} \underline{Hom}(G,^{p}Red(G)).

Si G est pro-réductive, Γ_{u}(G) = {∗} et σ_{G}(∗) est un isomorphisme.

b) Étant donné deux K-gerbes affines G, H, on a un morphisme canonique

Γ_{u}(H) × \underline{Hom}(G, H) ⟶^{τ_{G,H}} \underline{Hom}(^{p}Red(G),^{p}Red(H)).

Si H est réductif, le morphisme induit (via σ_{H}(∗)) :

\underline{Hom}(G, H) → \underline{Hom}(^{p}Red(G), H)

est une équivalence de groupoïdes.

c) (Fonctorialité) Les morphismes de a) et b) sont liés de la manière suivante : considérons les deux morphismes de groupoïdes

Γ_{u}(H) × \underline{Hom}(G, H) × Γ_{u}(G) \begin{matrix}a \\ ⇉ \\ b \end{matrix} \underline{Hom}(G,^{p}Red(H))

donnés par

a = comp ∘ (σ_{H} × 1) ∘ p
b = comp ∘ (τ_{G,H} × σ_{G})

où comp désigne le morphisme “composition” et p est la projection sur les deux premiers facteurs :

Γ_{u}(H) × \underline{Hom}(G, H) × Γ_{u}(G) ⟶^{a}  \underline{Hom}(G,^{p}Red(H))
p↓  ^{comp}↑
Γ_{u}(H) × \underline{Hom}(G, H)  ⟶^{σ_{H}×1} \underline{Hom}(H,^{p}Red(H)) × \underline{Hom}(G, H)

Γ_{u}(H) × \underline{Hom}(G, H) × Γ_{u}(G)
b ↘
τ_{G,H}×σ_{G} ↓  \underline{Hom}(G,^{p}Red(H))
comp ↗

\underline{Hom}(^{p}Red(G),^{p}Red(H)) × \underline{Hom}(G,^{p}Red(G)) Alors le morphisme composé

Ker(a, b) → Γ_{u}(H) × \underline{Hom}(G, H) × Γ_{u}(G) →^{p} Γ_{u}(H) × \underline{Hom}(G, H)

est à fibres unipotentes, connexes et non vides.

d) (Associativité) Laissé au lecteur.

Lorsqu’on passe de la 2-catégorie des gerbes à la 1-catégorie des liens, on retrouve une généralisation du théorème 19.3.1.

Appendice A. Des catégories semi-simples

L’objet de cet appendice est de clarifier la notion de semi-simplicité dans les K-catégories (non nécessairement abéliennes), un anneau commutatif unitaire K étant fixé. On renvoie au §1.3 et au début du §2 pour les définitions de base.

Sauf mention du contraire, A-module signifie A-module à gauche dans tout l’appendice.

A.1. Objets projectifs et injectifs. Par un raisonnement classique [41], la catégorie abélienne K-linéaire A–Mod des A-modules (à gauche) possède assez d’injectifs et de projectifs. Pour les projectifs, nous allons retrouver ce fait de manière constructive.

A.1.1. Lemme. Soit f : M → N un homomorphisme de A-modules. Alors a) f est un épimorphisme si et seulement si f(A) : M(A) → N(A) est un épimorphisme pour tout A ∈ A.

b) f est un monomorphisme si et seulement si f(A) : M(A) → N(A) est un monomorphisme pour tout A ∈ A.

c) f est un isomorphisme si et seulement si f(A) : M(A) → N(A) est un isomorphisme pour tout A ∈ A.

Démonstration. a) Soit C = Coker f : on a C(A) = Coker f(A) pour tout A ∈ A, et C = 0 ⟺ C(A) = 0 pour tout A ∈ A.

b) Résulte de a) par dualité (ou par le même raisonnement).

c) est clair. □

A.1.2. Lemme. Pour tout objet A ∈ A, le A-module A_{A} est projectif.

Démonstration. Soit f : M → A_{A} un épimorphisme. Par le lemme A.1.1, f(A) est surjectif. Soit m ∈ M(A) tel que f(A)(m) = 1_{A}. Par le lemme de Yoneda (proposition 1.3.6 a)), m définit un homomorphisme m̃A_{A} → M, et on voit tout de suite que m̃ est une section de f. □

A.1.3. Définition. Un A-module de la forme ⨁ A_{A_{i}} est appelé un A-mo-dule libre.

Tout A-module libre est projectif. Si A est K-linéaire, tout A-module libre est de la forme A_{A} pour un objet A convenable.

A.1.4. Proposition. Supposons A petite.

a) Tout A-module M est quotient d’un A-module libre.

b) Un A-module P est projectif si et seulement s’il est facteur direct d’un A-module libre.

Démonstration. a) Pour tout objet A ∈ A, choisissons un système générateur (m_{i}^{A})_{i∈I_{A}} de M(A). Alors l’homomorphisme

⨁_{A∈A} ⨁_{i∈I_{A}} A_{A} → M

défini par le lemme de Yoneda est un épimorphisme par le lemme A.1.1 a).

b) La nécessité résulte de a). La suffisance résulte du lemme A.1.2, puisqu’un facteur direct d’un module projectif est évidemment projectif. □

A.1.5. Corollaire. Si P est un A-module projectif, P_{L} : A ↦ L ⊗_{K} P (A) est un A_{L}-module projectif pour toute extension L/K.

Démonstration. D’après la proposition A.1.4 b), il suffit de le voir pour P de la forme A_{A}, auquel cas c’est évident. □

A.2. Catégories semi-simples. Les définitions suivantes sont adaptées de [15].

A.2.1. Définition. Soit A une K-catégorie.

a) Un objet de A est simple s’il n’est pas nul et s’il n’a pas d’autre sousobjet que lui-même et 0.

b) Un objet de A est semi-simple s’il est somme directe d’objets simples.

c) Un objet A de A est artinien si toute chaîne décroissante de sous-objets de A est stationnaire.

d) La catégorie A est artinienne si, pour tout A ∈ A, A_{A} est un objet artinien de A-Mod.

e) La catégorie A est simple si elle l’est en tant qu’objet de A^{e}-Mod.

A.2.2. Définition. Soit (A_{α}) une famille de catégories ayant les mêmes objets.

a) Le produit local des A_{α} est la catégorie ∏_{α}^{λ} A_{α} ayant les mêmes objets que les A_{α} et telle que, pour tout couple d’objets (A, B), on ait (∏_{α}^{λ} A_{α})(A, B) = ∏_{α} A_{α}(A, B).

b) A est somme directe locale des A_{α} si elle est produit local des A_{α} et que, de plus, pour tout objet A, l’ensemble des α tels que (A_{α})_{A} ≠ 0 est fini.

c) Supposons que les A_{α} soient des K-catégories. Le coproduit des A_{α} est la K-catégorie A = ∐_{α} A_{α} dont la collection d’objets est la réunion des collections d’objets des A_{α}, avec

A(A, B) = \begin{cases}A_{α}(A, B) & si ∃α : A, B ∈ A_{α} \\ 0 & sinon. \end{cases}

A.2.3. Lemme. Soit A une K-catégorie.

a) Toute somme directe d’objets semi-simples est semi-simple. b) Soit A ∈ A un objet tel que tout sous-objet de A soit facteur direct. Alors A est semi-simple dans les cas suivants :

(i) A est artinien.

(ii) A est de la forme R-Mod, où R est une K-catégorie. Supposons de plus A abélienne.

c) Soit A ∈ A un objet semi-simple et soit B un sous-objet de A. Alors il existe une famille (S_{i})_{I∈I} de sous-objets simples de A telle que A = B ⊕ ⨁_{i∈I} S_{i}.

d) Tout quotient, tout sous-objet d’un objet semi-simple est semi-simple.

Démonstration. a) est évident. Dans b), supposons d’abord A artinien. Si A n’est pas semi-simple, soit B un sous-objet de A minimal parmi ceux qui ne sont pas semi-simples. Alors B n’est pas simple, donc possède un sous-objet C ≠ 0, B. Comme C est facteur direct de A, il est facteur direct de B, soit B = C ⊕ D. Mais C et D sont semi-simples, contradiction. L’autre cas se traite comme la suffisance dans [2, dém. de la prop. 4.1] (cf. [15, bas p. 140]). c) se démontre comme la nécessité dans loc. cit. d) résulte immédiatement de c). □

A.2.4. Contre-exemple. Soit A la catégorie des espaces vectoriels de dimension dénombrable sur un corps k, et soit Ā la catégorie quotient de A par la sous-catégorie épaisse des espaces vectoriels de dimension finie. Soit V un espace vectoriel de dimension infinie, vu comme objet de Ā. Alors tout sous-objet de V est facteur direct, mais V ne contient aucun sous-objet simple.

A.2.5. Lemme. Soit A une catégorie abélienne. Considérons les énoncés suivants :

(1) Tout objet de A est semi-simple.

(2) Tout objet de A est projectif.

(3) Tout objet de A est injectif. Alors 1 ⟹ 2 ⟺ 3. De plus, 1 ⟺ 2 ⟺ 3 dans les deux cas suivants :

(i) Tout objet de A est artinien.

(ii) A est de la forme R-Mod, où R est une K-catégorie.

Démonstration. Il est bien connu que 2 ⟺ 3, et 1 ⟹ 2 résulte du lemme A.2.3 a). Les implications inverses résultent du lemme A.2.3 b). □

A.2.6. Contre-exemple. Dans la catégorie Ā du contre-exemple A.2.4, tout objet est projectif, mais Ā ne contient aucun objet simple (cf. [51, p. 324]).

A.2.7. Lemme (cf. [24]). Soit A une petite catégorie K-linéaire pseudoabélienne et dont tout objet est semi-simple. Alors A est abélienne si et seulement si, pour tout objet simple S ∈ A, l’anneau A(S, S) est un corps.

Démonstration. La nécessité résulte du lemme de Schur. Suffisance : soit T l’ensemble des types d’objets simples de A, et pour tout t ∈ T soit A_{t} la sous-catégorie pleine de A formée des objets isotypiques de type t. Alors A_{t} vérifie encore l’hypothèse, et il suffit de montrer que A_{t} est abélienne. En d’autres termes, on peut supposer A isotypique. Soit S un objet simple de A, et notons D = A(S, S) son corps d’endomorphismes. Le foncteur A_{S}^{o} s’enrichit en un foncteur T à valeurs dans les D^{o}-espaces vectoriels, où D^{o} est le corps opposé à D. En utilisant l’hypothèse, on voit tout de suite que T est pleinement fidèle et d’image essentielle la catégorie des D^{o}- espaces vectoriels de dimension ≤ c, où c est le plus grand cardinal tel qu’il existe un ensemble I de cardinal c tel que S^{(I)} ∈ A. En particulier, A est abélienne. □

A.2.8. Contre-exemple. Soit Q[ε] l’algèbre des nombres duaux (ε^{2} = 0). La catégorie des Q[ε]-modules libres de rang fini est Q-linéaire, pseudoabélienne, artinienne, et tout objet est semi-simple, mais elle n’est pas abélienne.

A.2.9. Lemme. Soient A une K-catégorie pseudo-abélienne, A ∈ A et A_{A} = ⨁_{α∈I} M_{α} une décomposition de A_{A} en somme directe de sousmodules non nuls. Alors I est fini et il existe une unique décomposition en somme directe A = ⨁ A_{α} telle que, pour tout α, M_{α} = A_{A_{α}}. Si A est indécomposable, A_{A} est indécomposable.

Démonstration. Écrivons Id_{A} = ∑ e_{α} avec e_{α} ∈ M_{α}(A) pour tout α. Alors, pour tout B ∈ A et tout f ∈ A_{A}(B) = A(A, B), on a f = ∑ fe_{α}. Par conséquent, M_{α} ≠ 0 ⟹ e_{α} ≠ 0. Les M_{α} sont donc en nombre fini. De plus, le lemme de Peirce montre que les e_{α} forment un système d’idempotents orthogonaux, d’où la deuxième assertion en utilisant le lemme de Yoneda. La dernière assertion en résulte immédiatement. □

Le théorème qui suit clarifie le lien entre diverses notions de semi-sim-plicité, et montre qu’elles ne dépendent pas de la K-structure.

A.2.10. Théorème. Soit A une K-catégorie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) Tout objet de A-Mod est projectif.

(2) Tout objet de A-Mod est injectif.

(3) Tout objet de A-Mod est semi-simple.

(4) Pour tout A ∈ A, A_{A} est semi-simple.

(5) A est artinienne et le A^{o} ⊠_{K} A-module A est semi-simple.

(6) A est équivalente au sens de Morita à une catégorie de la forme ∐_{α} D_{α}, où, pour tout α, D_{α} est un corps gauche. On dit alors que A est semi-simple (cf. définition 2.1.1). Si de plus A est K-linéaire, les conditions ci-dessus équivalent à :

(7) Pour tout objet A ∈ A, l’anneau A(A, A) est semi-simple.

(8) rad(A) = 0 et pour tout A ∈ A, A(A, A) est un anneau artinien (à gauche). Enfin, si A est en outre pseudo-abélienne, les conditions ci-dessus équivalent à :

(9) A est somme directe locale d’une famille de catégories artiniennes simples (ayant les mêmes objets).

(10) A est abélienne et tout objet de A est semi-simple et de longueur finie.

(11) A est abélienne, artinienne, et tout objet de A est semi-simple.

(12) A est abélienne, tout objet de A est de longueur finie, et rad(A) = 0.

Démonstration. Il est clair que les six premières conditions ne changent pas si l’on remplace A par une K-catégorie équivalente au sens de Morita. De même les septième et huitième condition sont vérifiées pour une catégorie K-linéaire A si et seulement si elles le sont pour son enveloppe pseudo-abélienne A^{♮}: en effet, pour tout couple d’objets ((A, e), (A′, e′)) de A^{♮}, on a A^{♮}((A, e), (A′, e′)) = e′A(A, A′)e et rad(A^{♮})((A, e), (A′, e′)) = e′rad(A)(A, A′)e, cf. aussi lemme 1.3.9 d). Ceci permet en particulier de supposer dans la suite A K-linéaire pseudo-abélienne.

1 ⟺ 2 ⟺ 3 résulte du lemme A.2.5 ; 3 ⟹ 4 est évident.

4 ⟹ 3 : soient M un A-module à gauche, A ∈ A et a ∈ M(A). Alors Ann(a)(B) = {f ∈ A_{A}(B) | f^{∗}a = 0} définit un A-idéal à gauche de A et l’application f ↦ f^{∗}a induit un morphisme de A-modules A_{A}/Ann(a) → M. En faisant varier A et a, on obtient un épimorphisme ⨁_{A∈A,a∈M(A)} A_{A}/Ann(a) ⟶ M.

Il résulte alors du lemme A.2.3 que M est semi-simple.

4 ⟹ 10 : le lemme A.2.9 montre que si S ∈ A est simple, alors A_{S} est simple ; en réappliquant ce même lemme, on voit que tout objet de A est semi-simple et de longueur finie.

Enfin, pour tout objet simple S ∈ A, A(S, S) = A-Mod(A_{S}, A_{S}) est un corps, donc A est abélienne d’après le lemme A.2.7.

10 ⟹ 11 : si S ∈ A est simple, A(S, S) est un corps (lemme de Schur), donc ne contient aucun idéal ≠ 0 et A_{S} est simple. Il en résulte que A_{A} est de longueur finie, donc artinien, pour tout A ∈ A.

11 ⟹ 10 : le lemme de Yoneda implique que tout objet de A est artinien, donc de longueur finie.

10 ⟹ 3 : comme dans la démonstration du lemme A.2.7, on se ramène au cas où A est isotypique. Soit M un A-module à gauche. Choisissons un objet simple S de A, et soit D le corps des endomorphismes de S (voir cidessus). Alors D opère naturellement à gauche sur M(S). Pour tout objet A de A, on a un homomorphisme naturel

A(S, A) ⊗_{D} M(S) → M(A)

où le produit tensoriel sur D est relatif à l’action à droite de D sur A(S, A), et l’hypothèse sur A montre que c’est un isomorphisme de groupes abéliens. On définit ainsi une équivalence

M ↦ M(S)

de A-Mod sur la catégorie des D-espaces vectoriels à gauche, dont tout objet est évidemment semi-simple.

6 ⟹ 10 est évident. (3 et 11) ⟹ 6 : la première hypothèse implique que A est semi-primitive au sens de [15, def. 2] (pour toute flèche non nulle f de A, il existe un module simple S tel que S(f) ≠ 0). La conclusion résulte alors de [15, th. 16].

6 ⟹ 5 : pour tout α, soit I_{α} l’idéal bilatère de A tel que A/I_{α} = ∐_{β≠α} D_{α}. Il est clair que chaque I_{α} est simple et que A = ⨁ I_{α}.

5⟹ 9 : décomposons le bimodule A en ⨁ I_{α}, où chaque idéal bilatère I_{α} est simple. Soit A_{α} = A/ ⨁_{β≠α} I_{β}. Alors A_{α} s’identifie canoniquement à I_{α}, donc est simple ; en d’autres termes, A_{α} est simple, et elle est évidemment artinienne. Le lemme A.2.9 montre que A s’identifie à la somme directe locale des A_{α}.

9 ⟹ 6 : on se ramène immédiatement au cas où A est simple. La conclusion résulte alors de [15, prop. 12 et th. 16].

11⟹ 7 : cela résulte du lemme de Schur.

7 ⟹ 11 : cela résulte de [24, lemma 2] (où l’on peut remplacer l’hypothèse que A(A, A) soit de dimension finie sur K par : A(A, A) est artinienne.)

7 ⟺ 8 : cela vient de ce que toute K-algèbre artinienne de radical nul est semi-simple.

3 ⟹ 5 : A_{A} est semi-simple, donc de longueur finie, donc artinien. Soit I l’ensemble des types d’objets simples de A-Mod et, pour tout α ∈ I, choisissons un module simple S_{α} de type α. Pour tout A-module à gauche M, notons Ann(M) = {f | M(f) = 0} : c’est un idéal bilatère de A. On va montrer l’égalité A = ⨁_{α∈I} Ann(⨁_{β≠α} S_{β}) et que Ann(⨁_{β≠α} S_{β}) est un idéal bilatère simple pour tout α. Pour cela, étant donné A ∈ A, décomposons A_{A}^{o} en une somme directe ⨁_{α∈I} M_{α} de sous-modules isotypiques. Ecrivons d’abord Id_{A} = ∑ e_{α}, avec e_{α} ∈ M_{α}(A) pour tout α. On remarque que les M_{α}(A) sont des idéaux bilatères de l’anneau A(A, A) ; il en résulte que les e_{α} forment un système d’idempotents orthogonaux. En particulier, comme S_{β}(A) est facteur direct de M_{β}(A), e_{α} opère par 0 sur S_{β}(A) pour β ≠ α et par l’identité pour β = α. Soit maintenant f ∈ A(A, B), et soit f = ∑ f_{α} sa décomposition sur les M_{α}(B). On a f_{α} = fe_{α}, donc f_{α} opère sur M_{β}(B) par 0 pour β ≠ α et par f pour β = α. On a donc bien prouvé que A(A, B) = ⨁_{α∈I} Ann(⨁_{β≠α} S_{β})(A, B). Enfin, montrons que, pour tout α ∈ I, I_{α} = Ann(⨁_{β≠α} S_{β}) est simple. Soit J un sous-module non nul de I_{α}. Choisissons A, B ∈ A tels que J (A, B) ≠ 0 et soit 0 ≠ f ∈ J (A, B). On a S_{β}(f) = 0 pour tout β ≠ α. Si S_{α}(f) = 0, on a donc M(f) = 0 pour tout A-module M, ce qui est absurde en choisissant M = A_{A}. Par conséquent, S_{α}(f) ≠ 0.

10 ⟹ 12 : Pour tout objet semi-simple A, l’algèbre A(A, A) est semisimple donc rad(A)(A, A) = 0 ; on conclut grâce à l’additivité des idéaux sur les objets.

12 ⟹ 10 : Comme A est supposée abélienne et tout objet de longueur finie, tout objet est somme directe finie d’indécomposables. Tout se ramène à montrer que tout indécomposable A est simple. Cela résulte du lemme 1.4.7 appliqué au monomorphisme S ↪ A, où S est un sous-objet simple de A (dans ce cas, le lemme dit que S est facteur direct de A, donc égal à A). □

A.2.11. Corollaire (à la démonstration). Une K-catégorie A est simple (définition A.2.1) si et seulement si elle est semi-simple et n’a qu’un seul type de module simple.

Démonstration. Cela résulte de la preuve de 6 ⟹ 5. □

A.2.12. Contre-exemple. La catégorie du contre-exemple A.2.4 est semisimple au sens de [15, déf. 4], mais pas au sens de la définition 2.1.1 cidessus.

A.2.13. Lemme. Dans une catégorie abélienne semi-simple A, tout morphisme est somme directe d’un morphisme nul et d’un isomorphisme.

Démonstration. Soit u : A → B un morphisme de A. On peut décomposer

A = Ker u ⊕ A′
B = B′ ⊕ Im u.

Sur cette décomposition, u a la forme désirée. □

A.2.14. Lemme. Tout foncteur additif F : A → B entre catégories abéliennes semi-simples est exact. De plus, les conditions suivantes :

(i) F est fidèle (ii) F est conservatif (iii) F n’envoie aucun objet non nul de A sur un objet nul de B sont équivalentes.

Démonstration. Comme tout foncteur additif transforme une suite exacte courte scindée en une suite exacte courte scindée, la première affirmation est claire. (i) ⟹ (iii) est évident ; (iii) ⟹ (ii) et (ii) ⟹ (i) résultent immédiatement du lemme A.2.13.

A.3. Catégories séparables (ou absolument semi-simples).

A.3.1. Théorème. Soit A une K-catégorie. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(1) Le A^{o} ⊠_{K} A-module A est projectif.

(2) Le A_{L}^{o} ⊠_{L} A_{L}-module A_{L} est projectif pour toute extension L/K.

(3) dim_{K} A(A, B) < ∞ pour tous A, B ∈ A et A_{L} est semi-simple pour toute extension L/K.

(4) A_{L} est semi-simple pour toute extension L/K.

(5) dim_{K} A(A, B) < ∞ pour tous A, B ∈ A et rad(A_{L}) = 0 pour toute extension L/K.

(6) La catégorie A^{o} ⊠_{K} A est semi-simple.

On dit alors que A est séparable.

Si A est K-linéaire, ces conditions sont encore équivalentes à

(7) La K-algèbre A(A, A) est séparable pour tout objet A de A.

Démonstration. Les conditions 1–6 étant manifestement invariantes par passage à l’enveloppe K-linéaire, on peut supposer A K-linéaire.

3 ⟹ 4 et 3 ⟹ 5 sont évidents. 4 ⟺ 7 résulte de la caractérisation 7 du théorème A.2.10 et de la définition d’une K-algèbre séparable (définition 2.2.2 a)). 7 ⟹ 3 résulte de la caractérisation 3 des K-algèbres séparables dans la proposition 2.2.1. 7 ⟹ 6 résulte du lemme 2.2.5. 5 ⟹ 7 résulte de la caractérisation 5 des K-algèbres séparables dans la proposition 2.2.1. 6 ⟹ 1 résulte de la caractérisation 1 du théorème A.2.10. 1 ⟹ 2 résulte du corollaire A.1.5.

Il reste à démontrer que 2 ⟹ 4. Il suffit de traiter le cas L = K. Pour cela, nous allons reproduire la raisonnement de [2, ch. IX, dém. de la prop. 7.1] “à la main”.

Si M et N sont deux A-modules, on leur associe le A^{e}-module

\underline{Hom}_{K}(M, N) : (A, B) ↦ Hom_{K}(M(A), N(B)). Le foncteur \underline{Hom} : (A–Mod)^{o} × A–Mod → A^{e}–Mod est bi-exact. Soit 0 → N → E → M → 0 une extension de M par N. On lui associe

une extension Ẽ du A^{e}-module A par \underline{Hom}_{K}(M, N) par pull-back via le diagramme

0→\underline{Hom}_{K}(M, N) ⟶ \underline{Hom}_{K}(E, N) ⟶ \underline{Hom}_{K}(N, N)→ 0
||  ^{ρ}↑  ↑
0→\underline{Hom}_{K}(M, N) ⟶  Ẽ  ⟶^{π}  A  →0.

Soit s une section de π. Alors ρ ∘ s définit un homomorphisme A → \underline{Hom}_{K}(E, N). Celui-ci correspond à un homomorphisme f : E → N, et la commutativité du diagramme montre que f est une rétraction du monomorphisme N → E. Ainsi, A est semi-simple. □

Références

[34] D. Benson, Representations and cohomology I, Cambridge studies 30, Cambridge Univ. Press,1995.

[35] F. Beukers, D. Brownawell, G. Heckman, Siegel normality, Annals of Math. 127 (1988), 279–308.

[36] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, chapitre VI, Hermann/CCLS, 1975.

[37] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, chapitre VIII, Hermann/CCLS, 1975.

[38] L. Breen, Tannakian categories, in Motives, Proc. Symposia pure Math. 55 (I), AMS, 1994, 337–376.

[39] P. Gabriel, Des catégories abéliennes, Bull. Soc. Math. France 90 (1962), 323–448.

[40] J. Giraud, Cohomologie non abélienne, Springer, 1971.

[41] A. Grothendieck, Sur quelques points d’algèbre homologique, Tohoku Math. J. (2), 9 (1957), 119–221.

[42] V. Ginzburg, Principal nilpotent pairs in a semisimple Lie algebra. I, Invent. Math. 140 (2000), 511–561.

[43] D. Happel, Triangulated categories in the representation theory of finite dimensional algebras, London Math. Soc. Lect. notes 119 (1988), Cambridge Univ. Press.

[44] N. Jacobson, Ann. of Math. 36 (1935), 875–881.

[45] B. Kostant, The principal three-dimensional subgroup and the Betti numbers of a complex simple Lie group, Amer. J. Math. 81 (1959), 973–1032.

[46] G. A. Margulis, Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Springer, Berlin, 1991.

[47] V.V. Morozov, Sur un élément nilpotent dans une algèbre de Lie semi-simple (en russe), Dokl. Akad. Nauk SSSR 36 (1942), 83–86.

[48] V.V. Morozov, Sur le centralisateur d’une sous-algèbre semi-simple d’une algèbre de Lie semi-simple (en russe), Dokl. Akad. Nauk SSSR 36 (1942), 259–261.

[49] D. I. Panyushev, Nilpotent pairs in semisimple Lie algebras and their characteristics, Internat. Math. Res. Notices 2000 1–21.

[50] A. Piard, Indecomposable representations of a semi-direct product sl(2) ⋉ A and semi-simple groups containing sl(2) ⋉ A, in : Sympos. Math. XXXI (Roma, 1988), 185–195, Acad. Press, 1990.

[51] N. Popescu, Abelian categories with applications to rings and modules, Acad. Press, 1973.

[52] M. Prest, Model theory and modules, L.M.S. Lecture note series 130, Cambridge Univ. Press 1988.

[53] W. Rump, Doubling a path algebra, or : how to extend indecomposable modules to simple modules, in : Representation theory of groups, algebras and orders (Costanţa, 1995), An. Ştiinţ. Univ. Ovidius Constanţa Ser Mat. 4 2 (1996), 174–185.

[54] J.-P. Serre, Gèbres, L’Ens. Math. 39 (1993), 33–85.

[55] J.-P. Serre, Propriétés conjecturales des groupes de Galois motiviques et des représentations l-adiques, in Motives, Proc. Symposia pure Math. 55 (I), AMS, 1994, 377–

Index terminologique

A-idéal à gauche ...............................................1.3.4, 1.3.9, 6.2.1 A-module (à gauche) .........................1.3.3, 1.3.9, 2.1.1, 11.1, appendice A A-bimodule ...............................................................11.1 anneau de représentations ............................................10.2.1, 20.2 artinien ...........................................2.1.2, 2.3.2, 2.3.4, A.2.1, A.2.3 auto-dual .........................................1.4.2, 2.1.2, 2.2.6, 2.3.2, 19.5.2 Auslander (algèbre d’) ..................................................... 17.2

biproduit ...................................................................1.1

compact ...............................1.3.5, 5.1.3, 5.2.2, 5.2.5, 5.3.1, 5.3.2, 14.1.3 complément unipotent ....................................................19.3.2 conservatif .......................1.4.2, 1.4.5, 1.4.6, 2.3.4, 5.2, 7.1.6, 19.4.6, A.2.14 coproduit (de catégories) .................................................. A.2.2 corétraction ................................................... 1.4.2, 1.4.7, 7.1.3

dimension (rigide) ... 7.1, 7.2.4, 7.2.7, 7.3.1, 7.3.2, 8.1.2, 8.1.3, 8.2.4, 8.3, 9.1.7, 9.2.1 dimension finie au sens de Kimura ..........................................9.1.1 dimension de Kimura (ou kimension) ...................................... 9.1.13 dual ......................................5.2.1, 6.1, 10.2.1, 13.8.3, 14.1.3, 17.1.2

enveloppe pro-semi-simple ................................................. 17.1 enveloppe réductive ...................................................... 20.1.2 enveloppe pro-réductive .................................................. 19.3.2 équivalence de Morita ..................................................... 1.3.8 épaisse ...................................................................1.1.2

faiblement (exact, épi) ......................................19.2.1, 19.4.4, 19.4.5

gerbe .........................................................14.2.1, 18.2.5, 21 groupe à conjugaison près ........................................... 19.1, 19.3.2

héréditaire ................................................................ 17.3 Hochschild (homologie) .............................................10.2, 11.2.1 Hochschild (cohomologie) ................................................. 11.2

idéal (bilatère) d’une catégorie additive ....................................... 1.3 indice ................................................................... 7.2.7

K-catégorie, K-foncteur, K-linéaire ..........................................1.1 Kimura (catégorie de) ....................................................9.1.16

monoïdal (idéal) .......................................................... 6.1.1 monoïdal (foncteur) ........................................................13.1

présentation finie ..........................................................1.3.7 produit local (de catégories) ............................................... A.2.2 profinie (algèbre) .......................................................... 17.1 pseudo-abélien ............................................................. 1.1 puissance extérieure, symétrique ............................................7.2.3 radical ................................................................... 1.4.1 ⊗-radical .................................................................7.4.1 radical infini ..............................................................3.1.1 radiciel (mon mari) .............1.4.4, 2.1.5, 2.3.4, 3.1.2, 4.1.4, 12.2.1, 13.7.1, 15.4.1 rétraction ...........................................................1.4.2, 1.4.7 rigide ....................6.1, 7.1.4, 8.2, 8.1.2, 8.1.1, 7.1.7, 8.2.2, 8.3.1, 10.1, 18.1.1

semi-primaire .............................................................2.3.1 semi-simple ........................................................ 2.1.1, A.2.1 séparable (catégorie) ...................................................... 2.2.6 simple (objet, catégorie) ...................................................A.2.1 sorite .....................................................................15.2 stricte (catégorie monoïdale, foncteur monoïdal) ..............................13.4 strictement (semi-primaire, de Wedderburn, K-linéaire) .......................3.1.3 structure balancée .................................................15.3.4, 15.3.6

trace ...............................7.1, 7.2, 7.2.1, 7.2.6, 7.3.1, 7.3.3, 8.2, 10.1,10.2 tressage ............................6.1, 7.1, 7.1.4, 15.1, 15.2, 15.3.3, 15.3.5, 15.3.6 tressage infinitésimal .............................................. 15.3.6, 15.4.2 type de représentation ............................ 3.1.1, 3.2, 3.2.1, 17.2, 17.3, 19.7

Wedderburn (catégorie de) .................................................2.4.1

Institut de Mathématiques de Jussieu, 175–179 rue du Chevaleret, 75013 Paris, France.

E-mail address: andre@math.jussieu.fr, kahn@math.jussieu.fr