Eine Bemerkung zum Normenresthomomorphismus h: K^{∗}F/2 ⟶ H^{∗}(F, ℤ/2)

von Albrecht Pfister

11. März 2002

Abstract. An elementary Galois theoretic proof is given for the fact: An element b ∈ Ḟ is a norm from the extension F (\sqrt{a}) iff (a) ∪ (b) = 0 in H^{2}(F, ℤ/2). From this it follows easily that h exists. Comments about other proofs and applications to quadratic forms conclude the paper.

1 Einleitung

Sei F ein Körper der Charakteristik ≠ 2, F_{s} eine separable Hülle von F, Γ = Gal(F_{s}/F) die absolute Galoisgruppe von F versehen mit ihrer Topologie als kompakte proendliche Gruppe (Untergruppen von endlichem Index sind offen). Γ operiere trivial auf ℤ/2 = ℤ/2ℤ. Dazu gehören für alle n ≥ 0 die folgenden abelschen Gruppen (genauer: Vektorräume über 𝔽_{2} = ℤ/2):

C^{n} = Gruppe aller stetigen Abbildungen von Γ^{n} = Γ \underbrace{× ⋯ ×}_{n} Γ

nach ℤ/2 (n-Koketten)

Z^{n} = {f ∈ C^{n}: df = 0} (n-Kozyklen)
B^{n} = dC^{n−1} ≤ C^{n} (n-Koränder)
H^{n} = Z^{n}/B^{n} = n-te Kohomologiegruppe

Dabei ist der Ableitungsoperator d: C^{n} ⟶ C^{n+1} definiert durch:

(df)(γ_{1}, …, γ_{n+1}) = ∑_{i=0}^{n+1}(−1)^{i}f(γ_{1}, …, γ_{i−1}, γ_{i}γ_{i+1}, γ_{i+2}, …, γ_{n+1}) ,

wobei Terme γ_{i} mit i ≤ 0 bzw. i > n + 1 weg zu lassen sind. (Da die Summanden in ℤ/2 liegen, wäre natürlich auch der Vorzeichenfaktor (−1)^{i} überflüssig.) Man rechnet trivial nach, dass d∘d = C^{n} ⟶ C^{n+2} die Nullabbildung ist, weshalb B^{n+1} ≤ ℤ^{n+1} gilt.

Speziell haben wir:

C^{0} = Z^{0} = Gruppe der Abbildungen der einpunktigen Menge
Γ^{0} nach ℤ/2, also C^{0} = ℤ/2, B^{0} = 0.
C^{1} = Abb. (Γ, ℤ/2), Z^{1} = Hom(Γ, ℤ/2), B^{1} = 0.
B^{2} = {dh: h ∈ C^{1}} mit (dh)(γ_{1}, γ_{2}) = h(γ_{1}) + h(γ_{2}) − h(γ_{1}γ_{2})

Wegen ℤ/2⊗ℤ/2 = ℤ/2·ℤ/2 = ℤ/2 liefert das Cup-Produkt der Kohomologietheorie Multiplikationen ∪: C^{p} × C^{q} ⟶ C^{p+q}, Z^{p} × Z^{q} ⟶ Z^{p+q}, H^{p} × H^{q} ⟶ H^{p+q}, die in unserem Fall völlig elementar zu beschreiben sind: Für f ∈ C^{p}, g ∈ C^{q} setze man:

(f ∪ g)(γ_{1}, …, γ_{p+q}) := f(γ_{1}, …, γ_{p}) · g(γ_{p+1}, …, γ_{p+q})

Man rechne trivial nach, dass hierbei

d(f ∪ g) = (df) ∪ g + (−1)^{p}f ∪ (dg) = (df) ∪ g + f ∪ (dg)

gilt. Also induziert ∪ auch bilineare Abbildungen ∪: Z^{p} × Z^{q} ⟶ Z^{p+q} und ∪: H^{p} × H^{q} ⟶ H^{p+q}. Ferner ist klar, dass für C^{p} × C^{q} × C^{r} ⟶ C^{p+q+r} das Assoziativgesetz (f ∪ g) ∪ (h) = f ∪ (g ∪ h) gilt.

Wir setzen nun

H^{∗} := H^{∗}F := H^{0} ⊕ H^{1} ⊕ H^{2} ⊕ · · · .

Versehen mit ∪ ist das eine ℕ_{0}-graduierte assoziative 𝔽_{2}-Algebra, der “(mod 2)-Kohomo-logiering von F ”. Dieser Ring ist letztlich sogar kommutativ, wir brauchen aber nur, dass wenigstens die Multiplikation ∪: H^{1} × H^{1} ⟶ H^{2} kommutativ ist. Seien dazu f, g ∈ Z^{1} und σ, τ ∈ Γ. Definiere h ∈ C^{1} durch h(σ) := f(σ)g(σ). Dann folgt:

(dh)(σ, τ) = h(στ) − h(σ) − h(τ) = f(στ)g(στ) − f(σ)g(σ) − f(τ)g(τ)

= (f(σ) + f(τ))(g(σ) + g(τ)) − f(σ)g(σ) − f(τ)g(τ)
= f(σ)g(τ) + g(σ)f(τ) = (f ∪ g)(σ, τ) + (g ∪ f)(σ, τ) ,

d. h. f ∪ g + g ∪ f = f ∪ g − g ∪ f = dh ∈ B^{2}. Also ist das induzierte Produkt H^{1} × H^{1} ⟶ H^{2} kommutativ.

Wir brauchen nun noch einige Bezeichnungen. Wegen H^{1} = Z^{1} = Hom(Γ, ℤ/2) liefert jedes von 0 verschiedene Element χ von H^{1} eine Untergruppe △ = ker χ von Γ mit [Γ: △] = 2. Nach der Galoistheorie gehört zu △ ein quadratischer Erweiterungskörper F (\sqrt{a}) von F, so dass △ die Fixgruppe von F (\sqrt{a}) ist. Hierdurch ist die Quadratklasse ã = aḞ^{2} von a ∈ Ḟ eindeutig bestimmt. Für zwei Elemente a, b ∈ Ḟ schreiben wir auch a ∼ b, wenn ã = b̃ gilt. Genauer sieht man:

Die Zuordnungen: ã ∈ Ḟ /Ḟ^{2} ⟼ △ = △_{a} Untergruppe von Γ vom Index ≤ 2

⟼ χ_{a} ∈ H^{1} mit ker χ_{a} = △_{a}

sind bijektiv und es gilt für σ ∈ Γ:

χ_{a}(σ) = \{ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} falls \frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}} = \begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix} , d. h. σ \begin{matrix}∈ △_{a} \\ ∉ △_{a} \end{matrix}

Wegen \frac{σ(\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}} = \frac{σ(\sqrt{a})}{\sqrt{a}} · \frac{σ(\sqrt{b})}{\sqrt{b}} folgt außerdem:

χ_{ab}(σ) = χ_{a}(σ) + χ_{b}(σ) in ℤ/2 .

Insgesamt vermittelt die Bijektion ã ⟼ χ_{a} einen Isomorphismus der (multiplikativen) Quadratklassengruppe Ḟ /Ḟ^{2} von F auf die (additive) Kohomologiegruppe Z^{1} = H^{1} = H^{1}F.

Bezeichnung: Fassen wir den 1-Kozykel χ_{a} als Element von H^{1} auf, so schreiben wir kurz (a) anstelle von χ_{a}.

Ferner wird die Konjugation in einer (höchstens) quadratischen Körpererweiterung F (\sqrt{a})/F mit \overline{·} und die Normengruppe mit Ṅ_{a} bezeichnet. Wir haben also: Ṅ_{a} = \{Nα = α\overline{α}: 0 ≠ α ∈ F (\sqrt{a})\}. Ṅ_{a} ist eine Untergruppe von Ḟ (und enthält Ḟ^{2}).

Hauptziel der Arbeit ist ein möglichst elementarer Beweis der Behauptung

(0) Für a, b ∈ Ḟ gilt: b ∈ Ṅ_{a} ⟺ (a) ∪ (b) = 0 in H^{2}F

Das geschieht in den Abschnitten 2 und 3. In den daran anschließenden Abschnitten werden Folgerungen für die Existenz des Normenresthomomorphismus in der Milnorschen K-Theorie (mod 2) und für die Theorie der quadratischen Formen gezogen.

2 Die Behauptung b ∈ Ṅ_{a} ⟹ (a) ∪ (b) = 0

Diese Behauptung ist trivial für a ∼ 1 bzw. b ∼ 1, da dann (a) = 0 bzw. (b) = 0 gilt. Sei daher a ≁ 1, b ≁ 1 und b = Nα = α\overline{α} mit α ∈ F (\sqrt{a}). Wegen b ≁ 1 gilt α ∉ F, α ≠ \overline{α}.

α (und \overline{α}) sind keine Quadrate in F (\sqrt{a}), denn aus α = β^{2}, \overline{α} = \overline{β^{2}} würde b = (β\overline{β})^{2} mit β\overline{β} ∈ Ḟ folgen, also b ∼ 1. Daher gilt: Der Körper F (\sqrt{a}, \sqrt{α}) = F (\sqrt{α}) hat den Grad 4 über F. Dabei seien \sqrt{a}, \sqrt{α} und anschließend \sqrt{\overline{α}} festgewählte Quadratwurzeln aus a, α, \overline{α}. Dadurch ist eine Quadratwurzel aus b festgelegt durch \sqrt{b} := \sqrt{α}·\sqrt{\overline{α}}. Setze E := F (\sqrt{α}, \sqrt{\overline{α}}). Offensichtlich gilt: E enthält auch \sqrt{a} und \sqrt{b} und ist galoissch über F. E/F hat den Grad 4 oder 8, wobei [E: F] = 4 ⟺ \sqrt{\overline{α}} ∈ F (\sqrt{α}) ⟺ \sqrt{b} ∈ F (\sqrt{α}). Genauer gilt folgendes:

Lemma 2.1 1) b ∼ a ⟺ [E: F] = 4

2) Für σ ∈ Γ und [E: F] = 4 ist σ(\sqrt{\overline{α}}) vollständig durch σ(\sqrt{α}) bestimmt. Ist dagegen [E: F] = 8, so ist σ(\sqrt{\overline{α}}) durch σ(\sqrt{α}) nur bis aufs Vorzeichen bestimmt.

Beweis

1) Sei zunächst b ∼ a, also \sqrt{b} ∈ F (\sqrt{a}). Dann gilt \sqrt{\overline{α}} = \begin{matrix}√ & \overline{b} \\ √ & \overline{α} \end{matrix} ∈ F (\sqrt{α}), also E = F (\sqrt{α}), [E: F] = 4. Ist umgekehrt [E: F] = 4, so folgt \sqrt{\overline{α}} ∈ F (\sqrt{a})(\sqrt{α}). Das impliziert \overline{α} ∼ α in F (\sqrt{a}), also \overline{α} = αγ^{2} mit γ ∈ F (\sqrt{a}), also b = α\overline{α} = (αγ)^{2}. Wegen b ∈ F und b ≁ 1 folgt αγ = x\sqrt{a} mit x ∈ Ḟ, somit b = x^{2}a ∼ a.

2) Diese Behauptung ist klar, da die galoissche Erweiterung E/F genau so viele Automorphismen besitzt wie ihr Grad [E: F] angibt. Nach dem Fortsetzungssatz für Isomorphismen werden sie alle von passenden Elementen σ aus Γ induziert. Genauer gilt im Fall b ∼ a noch:

σ(\sqrt{α}) = ±\sqrt{α} ⟹ σ(\sqrt{a}) = \sqrt{a} ⟹ σ(\sqrt{b}) = \sqrt{b} ⟹ σ(\sqrt{\overline{α}}) = ±\sqrt{\overline{α}}
σ(\sqrt{α}) = ±\sqrt{\overline{α}} ⟹ σ(\sqrt{a}) = −\sqrt{a} ⟹ σ(\sqrt{b}) = −\sqrt{b} ⟹ σ(\sqrt{\overline{α}}) = ∓\sqrt{α}

Bemerkung: Man zeigt leicht, dass die Galoisgruppe von E/F zyklisch von der Ordnung 4 bzw. isomorph zur Diedergruppe D_{8} ist. Wir brauchen dieses Resultat aber nicht.

Satz 2.2

b ∈ Ṅ_{a} ⟹ (a) ∪ (b) = 0

Beweis Gemäß der Einleitung bezeichnen wir die zu (a), (b) ∈ H^{1} gehörigen 1-Kozyklen mit f(σ) = χ_{a}(σ), g(σ) = χ_{b}(σ) für σ ∈ Γ. Zu (b)∪(a) gehört dann der 2-Kozykel g(σ)f(τ). Es ist zu zeigen, dass g(σ)f(τ) ein 2-Korand (dh)(σ, τ) ist mit h ∈ C^{1}. Dann folgt in H^{2}: (a) ∪ (b) = (b) ∪ (a) = 0.

Definition

h(σ) := \{ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} für σ(\sqrt{α}) = \sqrt{α} oder σ(\sqrt{α}) = −\sqrt{\overline{α}} σ(\sqrt{α}) = −\sqrt{α} oder σ(\sqrt{α}) = \sqrt{\overline{α}}

Da h(σ) nur von der Einschränkung σ |_{F (\sqrt{α})} abhängt, ist h: Γ ⟶ ℤ/2 offensichtlich stetig, also h ∈ C^{1}. Die Behauptung lautet nun:

(1) g(σ)f(τ) = (dh)(σ, τ) = h(σ) + h(τ) − h(στ) für alle σ, τ ∈ Γ.

Dafür dürfen wir wieder a ≁ 1, b ≁ 1 voraussetzen, d. h. die Homomorphismen f und g von Γ nach ℤ/2 sind nicht trivial.

Kontrolle

I Sei zunächst τ(\sqrt{α}) = ±\sqrt{α}. Dann ist τ(\sqrt{a}) = \sqrt{a} und f(τ) = 0. Zur Berechnung von h(σ) und h(στ) genügt es nun, σ(\sqrt{α}) zu kennen. Das ergibt insgesamt 8 Fälle:

1) Ist τ(\sqrt{α}) = \sqrt{α}, so folgt h(τ) = 0 und h(σ) = h(στ), also h(σ) + h(τ) − h(στ) = 0 = g(σ)f(τ) in ℤ/2.

2) Ist τ(\sqrt{α}) = −\sqrt{α}, so folgt h(τ) = 1 und στ(\sqrt{α}) = −σ(\sqrt{α}), also h(σ) ≠ h(στ). Das ergibt wieder h(σ) + h(τ) − h(στ) = 0 in ℤ/2.

II Sei nun τ(\sqrt{α}) = ∓\sqrt{\overline{α}}. Dann ist τ(\sqrt{a}) = −\sqrt{a} und f(τ) = 1. Hier muss man zur Berechnung von h(σ) und h(στ) sowohl σ(\sqrt{α}) wie auch σ(\sqrt{\overline{α}}) kennen. Das ergibt für [E: F] = 8 insgesamt 16 Fälle, denn durch σ(\sqrt{α}) ist σ(\sqrt{\overline{α}}) jedenfalls schon bis aufs Vorzeichen bestimmt. Für [E: F] = 4 treten allerdings nach dem Lemma nur die Hälfte der Fälle auf.

1) Ist τ(\sqrt{α}) = −\sqrt{\overline{α}}, so folgt h(τ) = 0, στ(\sqrt{α}) = −σ(\sqrt{\overline{α}}) und (dh)(σ, τ) = h(σ) − h(στ) ≠ 0 ⟺ h(σ) ≠ h(στ)

a) σ(\sqrt{α}) = ±\sqrt{α} und \begin{matrix}h(σ) & ≠ h(στ) ⟹ −σ(\sqrt{\overline{α}}) = ±\sqrt{\overline{α}} ⟹ \\ σ(\sqrt{b}) = −\sqrt{b} ⟹ g(σ) = 1 \end{matrix}

b) σ(\sqrt{α}) = ±\sqrt{\overline{α}} und \begin{matrix}h(σ) & ≠ h(στ) ⟹ −σ(\sqrt{\overline{α}}) = ±\sqrt{α} ⟹ \\ σ(\sqrt{b}) = −\sqrt{b} ⟹ g(σ) = 1 \end{matrix}

Es folgt: Von den 8 Fällen mit τ(\sqrt{α}) = −\sqrt{\overline{α}} gilt (dh)(σ, τ) = 1 in genau 4 Fällen und diese stimmen mit den 4 Fällen überein, in denen g(σ) = 1 ist. Daher gilt hier immer:

(dh)(σ, τ) = g(σ) = g(σ)f(τ)

2) Ist τ(\sqrt{α}) = \sqrt{\overline{α}}, so folgt h(τ) = 1, στ(\sqrt{α}) = σ(\sqrt{\overline{α}}) und (dh)(σ, τ) = 1 + h(σ) − h(στ) ≠ 0 ⟺ h(σ) = h(στ)

a) σ(\sqrt{α}) = ±\sqrt{α} und h(σ) = h(στ) \begin{matrix}⟹ & σ(\sqrt{\overline{α}}) = ∓\sqrt{\overline{α}} ⟹ \\ σ(\sqrt{b}) = −\sqrt{b} ⟹ g(σ) = 1 \end{matrix}

b) σ(\sqrt{α}) = ±\sqrt{\overline{α}} und h(σ) = h(στ) \begin{matrix}⟹ & σ(\sqrt{\overline{α}}) = ∓\sqrt{α} ⟹ \\ σ(\sqrt{b}) = −\sqrt{b} ⟹ g(σ) = 1 \end{matrix}

Wie unter 1) folgt die Behauptung (dh)(σ, τ) = g(σ). Damit ist Satz 2.2 bewiesen.

3 Die Behauptung (a) ∪ (b) = 0 ⟹ b ∈ Ṅ_{a}

Wir kommen nun zur Umkehrung von Satz 2.2. Auch dieser Beweis ist einfach und elementar.

Satz 3.1

(a) ∪ (b) = 0 ⟹ b ∈ Ṅ_{a}

Beweis Für a ∼ 1 ist F (\sqrt{a}) = F, Ṅ_{a} = Ḟ, also b ∈ Ṅ_{a}. Für b ∼ 1 ist b = c^{2} = Nc mit c ∈ F ⊂ F (\sqrt{a}) für alle a ∈ Ḟ. Sei also wieder a ≁ 1, b ≁ 1. Nach Voraussetzung existiert h ∈ C^{1} mit

(dh)(σ, τ) = h(σ) + h(τ) − h(στ) = g(σ)f(τ) (2)

Seien Γ_{a} bzw. Γ_{b} die Fixgruppen zu den quadratischen Erweiterungskörpern F (\sqrt{a}) bzw. F (\sqrt{b}). Es gibt [Γ: Γ_{a}] = [Γ: Γ_{b}] = 2 und Γ_{a} = Γ_{b} ⟺ a ∼ b. Für a ≁ b ist Γ_{a} ∩Γ_{b} als Fixgruppe von F (\sqrt{a}, \sqrt{b}) ein Normalteiler vom Index 4 in Γ. Da F (\sqrt{a}, \sqrt{b})/F in jedem Fall einen Automorphismus besitzt, der weder \sqrt{a} noch \sqrt{b} festläßt, gibt es nach dem Fortsetzungssatz ein Element σ_{1} ∈ Γ mit σ_{1}(\sqrt{a}) = −\sqrt{a} und σ_{1}(\sqrt{b}) = −\sqrt{b}, also f(σ_{1})g(σ_{1}) = 1. Mit (2) folgt:

(dh)(σ_{1}, σ_{1}) = h(σ_{1}^{2}) = 1 in ℤ/2 (3)

Da andererseits für τ = 1 ∈ Γ stets

(dh)(σ, 1) = h(1) + h(σ) − h(σ) = g(σ)f(1) = 0

gilt, ist h(1) = 0. Insbesondere muss σ_{1}^{2} ≠ 1 sein. Klar ist auch: σ_{1} ∉ Γ_{a}, σ_{1}^{2} ∈ Γ_{a}. Für σ, τ ∈ Γ_{a} ist g(σ)f(τ) = 0, daher h(στ) = h(σ) + h(τ). Das bedeutet: h |_{Γ_{a}} ist ein Gruppenhomomorphismus von Γ_{a} nach ℤ/2. Wegen h(σ_{1}^{2}) = 1 ist er surjektiv. Setze △ := ker(h |_{Γ_{a}}). Dann ist [Γ_{a}: △] = 2. Der zu △ gehörige Fixkörper hat die Gestalt F (\sqrt{a}, \sqrt{α}) mit α ∈ F (\sqrt{a}) und α ≁ 1 in F (\sqrt{a}). Dadurch ist die Quadratklasse von α in F (\sqrt{a}) vollständig bestimmt. Sei \overline{α} die Konjugierte von α in F (\sqrt{a}). Für das Element σ_{1} ∈ Γ gilt dann: σ_{1}(\sqrt{a}) = −\sqrt{a}, σ_{1}(α) = \overline{α} ≠ α und σ_{1}(\sqrt{α}) = \sqrt{\overline{α}} bei geeigneter Wahl des Vorzeichens von \sqrt{\overline{α}}.

Allgemein gelten für σ ∈ Γ noch die Regeln

h(σ) + h(σ^{−1}) = g(σ)f(σ^{−1}) = g(σ)f(σ) (4)

h(σ) + h(σ^{−1}) = 1 ⟺ σ |_{F (\sqrt{a},\sqrt{b})}= σ_{1} |_{F (\sqrt{a},\sqrt{b})} (5)

Aus σ_{1}(\sqrt{a}) = −\sqrt{a}, σ_{1}(α) = \overline{α} ≠ α folgt auch noch α ∉ F und σ_{1}^{2}(\sqrt{α}) = σ_{1}(\sqrt{\overline{α}}) = −\sqrt{α}, da σ_{1}^{2} ∉ △. Mit σ_{1}^{4} ∈ △ erhalten wir

Γ = ˙⋃_{i mod 4}σ_{1}^{i} △ , Γ_{a} = △ ˙∪ σ_{1}^{2} △ (6)

△ muss aber kein Normalteiler von Γ sein!

Nach (4) ist h(σ_{1}) + h(σ_{1}^{−1}) = 1. Indem man eventuell noch σ_{1} und σ_{1}^{−1} vertauscht, gilt daher ohne Einschränkung

h(σ_{1}) = 1 , h(σ_{1}^{−1}) = 0 (7)

Für δ ∈ △ gilt nach Konstruktion h(δ) = f(δ) = 0, also mit (2)

(8)  h(σ) − h(σδ) = 0  für alle σ ∈ Γ

Damit ist h(γ) für ein beliebiges Element γ = σ_{1}^{i}δ ∈ Γ (mit i mod 4, δ ∈ △) bestimmt, nämlich

h(γ) = 0 für i ≡ 0, −1 und h(γ) = 1 für i ≡ 1, 2 mod 4

(Vergleiche die Definition von h im Beweis von Satz 2.2)

Wir können nun zeigen, dass das Element \sqrt{\frac{α\overline{α}}{b}} ∈ F_{s} unter allen Automorphismen σ ∈ Γ fest bleibt.

I Sei σ = δ ∈ △

Hier müssen wir 2 Fälle unterscheiden:

1) δσ_{1} = σ_{1}δ′ ∈ σ_{1}△. Dann gilt:

h(δσ_{1}) = h(σ_{1}) = 1 , g(δ) = g(δ)f(σ_{1}) = h(δ) + h(σ_{1}) − h(δσ_{1}) = 0

Daraus folgt:

δ(\sqrt{\overline{α}}) = δσ_{1}(\sqrt{α}) = σ_{1}δ′(\sqrt{α}) = σ_{1}(\sqrt{α}) = \sqrt{\overline{α}} ,

δ(\sqrt{α}) = \sqrt{α}, δ(\sqrt{b}) = \sqrt{b}, also δ (\sqrt{\frac{α\overline{α}}{b}}) = \sqrt{\frac{α\overline{α}}{b}}

2) δσ_{1} = σ_{1}^{−1}δ′ ∈ σ_{1}^{−1}△. Hier gilt:

h(δσ_{1}) = h(σ_{1}^{−1}) = 0 , g(δ) = 1 .

Damit folgt:

δ(\sqrt{\overline{α}}) = δσ_{1}(\sqrt{α}) = σ_{1}^{−1}(\sqrt{α}) = σ_{1}^{3}(\sqrt{α}) = σ_{1}^{2}(\sqrt{\overline{α}}) = −\sqrt{\overline{α}} ,

δ(\sqrt{α}) = \sqrt{α}, δ(\sqrt{b}) = −\sqrt{b}, also wieder δ (\sqrt{\frac{α\overline{α}}{b}}) = \sqrt{\frac{α\overline{α}}{b}} .

II Sei σ = σ_{1}

Hier ist nach Konstruktion σ_{1}(\sqrt{α}) = \sqrt{\overline{α}}, σ_{1}(\sqrt{\overline{α}}) = σ_{1}^{2}(\sqrt{α}) = −\sqrt{α} und σ_{1}(\sqrt{b}) =

−\sqrt{b}, woraus ebenfalls σ_{1} (\sqrt{\frac{α\overline{α}}{b}}) = \sqrt{\frac{α\overline{α}}{b}} folgt.

Wegen (6) bleibt also \sqrt{\frac{α\overline{α}}{b}} bei allen Automorphismen von F_{s}/F fest. Nach der

Galoistheorie folgt: b ∼ Nα = α\overline{α} in F, b ∈ Ṅ_{a}. Damit ist Satz 3.1 bewiesen.

4 Der Normenresthomomorphismus (mod 2)

Wir brauchen zunächst die Definition des (großen und kleinen) Milnor-Rings von F, die ich direkt aus der Originalarbeit von Milnor [Mi1] übernehme. Sei K_{1} = K_{1}F ein additiv geschriebenes Exemplar der multiplikativen Gruppe Ḟ = F ∖ {0}. Mit anderen Worten: Sei l: Ḟ ⟶ K_{1} ein Gruppenhomomorphismus mit l(ab) = l(a) + l(b). Sei weiter T die Tensoralgebra des ℤ-Moduls K_{1}, d. h.

T = ℤ ⊕ K_{1} ⊕ (K_{1} ⊗ K_{1}) ⊕ (K_{1} ⊗ K_{1} ⊗ K_{1}) ⊕ ⋯,

und sei J das homogene zweiseitige Ideal von T, welches von den Elementen

l(a) ⊗ l(1 − a) ∈ K_{1} ⊗ K_{1} (1 ≠ a ∈ Ḟ)

erzeugt wird.

Definition

1) Der Faktorring K_{∗} = K_{∗}F = T/J heißt (großer) Milnorring. Da K_{∗} wie T ℕ_{0}- graduiert ist, haben wir eine natürliche Komponentenzerlegung

K_{∗} = K_{0} ⊕ K_{1} ⊕ K_{2} ⊕ ⋯

mit ℤ-Moduln K_{0} = ℤ, K_{1} = l(Ḟ), K_{2} = K_{1} ⊗ K_{1}/(K_{1} ⊗ K_{1}) ∩ J, . . ..

2) Der Faktorring k_{∗} = k_{∗}F = K_{∗}F/2K_{∗}F heißt kleiner oder (mod 2) Milnorring.

Hierbei ist klar, dass k_{∗} = k_{0} ⊕ k_{1} ⊕ k_{2} ⊕ ⋯ eine ℕ_{0}-graduierte ℤ/2-Algebra ist mit

k_{0} = H^{0} = ℤ/2 , k_{1} = H^{1} ≅ Ḟ /Ḟ^{2} , k_{2} = K_{2}/2, ….

Bezeichnung Für a ∈ Ḟ wird das Element l(a) mod 2 von k_{1} kurz mit {a} bezeichnet. Es gilt also:

{a} = 0 ⟺ a ∼ 1 ∈ Ḟ , 2{a} = 0 für alle a ∈ Ḟ ,
{ab} = {a} + {b}

Lemma 4.1 1) Für ξ ∈ K_{m}, η ∈ K_{n} gilt ηξ = (−1)^{mn}ξη ∈ K_{m+n}

2) Der Ring k_{∗} ist kommutativ

Beweis

1) Da K_{∗} von K_{1} erzeugt wird, genügt es den Fall m = n = 1 zu betrachten. Für a ≠ 1 gilt:

−a = \frac{1 − a}{1 − a^{−1}} ∈ F

\begin{aligned}l(a)l(−a) & = l(a)l(1 − a) − l(a)l(1 − a^{−1}) \\ & = l(a)l(1 − a) + l(a^{−1})l(1 − a^{−1}) ∈ J \end{aligned}

Für ξ = l(a), η = l(b) folgt dann in K_{1} ⊗ K_{1}:

ξη + ηξ ≡ l(a)l(−a) + l(a)l(b) + l(b)l(a) + l(b)l(−b) ≡ l(a)l(−ab) + l(b)l(−ab) ≡ l(ab)l(−ab) ≡ 0 mod J ,

also ξη + ηξ = 0 in K_{2}.

2) folgt direkt aus 1)

Nun können wir die Existenz des Normenresthomomorphismus leicht zeigen.

Satz 4.2

Der natürliche Gruppenisomorphismus h_{1} : k_{1} ⟶ H^{1} mit h_{1}({a}) := (a) für a ∈ Ḟ induziert einen graduierten Ringhomomorphismus von ℤ/2-Algebren

h : k_{∗} ⟶ H^{∗}

Er heißt Normenresthomomorphismus (mod 2).

Beweis Zunächst induziert h_{1} für alle n ≥ 1 multilineare Abbildungen

h_{n}: k_{1} \underbrace{× ⋯ ×}_{n} k_{1} ⟶ H^{n}

mit h_{n}({a_{1}}, …, {a_{n}}) := (a_{1}) ∪ ⋯ ∪ (a_{n}). (Für n = 0 ist k_{0} = H^{0} = ℤ/2 und h_{0} : k_{0} ⟶ H^{0} die Identität.)

Wegen der universellen Eigenschaft der Tensorprodukte induzieren diese Abbildungen einen kanonischen graduierten Ringhomomorphismus h̃ von

T/2T = k_{0} ⊕ k_{1} ⊕ (k_{1} ⊗ k_{1}) ⊕ ⋯
nach H^{∗} = H^{0} ⊕ H^{1} ⊕ H^{2} ⊕ · · · .

Um daraus den gewünschten Homomorphismus h: k_{∗} ⟶ H^{∗} zu gewinnen, ist dann nur noch zu zeigen, dass h̃ auf den Erzeugern von J verschwindet. Das bedeutet: Für 1 ≠ a ∈ Ḟ muss h̃({a} ⊗ {1 − a}) = (a) ∪ (1 − a) verschwinden. Da 1 − a = (1 + \sqrt{a})(1 − \sqrt{a}) = N(1 + \sqrt{a}) ist, folgt diese Behauptung direkt aus Satz 2.2.

Bemerkung Satz 3.1 wird zur Konstruktion von h nicht benötigt.

5 Bemerkungen zur Literatur

1. Bekanntlich kommen die Potenzrest- und Normenrestsymbole und zugehörige Homomorphismen aus der Zahlentheorie, wo sie insbesondere in der lokalen und globalen Klassenkörpertheorie eine große Rolle spielen. Soweit ich feststellen konnte, wurde die Behauptung (0) der Einleitung (d. h. die Sätze 2.2 und 3.1 bzw. sogar ihre Verallgemeinerung zum Normenresthomomorphismus mod N für einen beliebigen Körper F mit char F ∤ N) zum ersten Mal in Serre’s Buch “Corps locaux”

(1. Auflage von [Se], 1962) aufgestellt und bewiesen. Zum Beweis werden folgende Dinge benötigt:

1. Die Definition der Kohomologiegruppen von endlichen und proendlichen Gruppen G mit Werten in G-Moduln, insbesondere der Galois-Kohomologie-gruppen H^{i}(F, ·) = H^{i}(Γ, ·) eines Körpers F.

2. Die lange exakte Kohomologiesequenz zu einer kurzen exakten Sequenz von G-Moduln.

3. Induzierte G-Moduln und das Lemma von Shapiro, welches Beweise durch “Dimensionsverschiebung” erlaubt.

4. Zu einer endlichen Körpererweiterung E/F die induzierten Abbildungen res_{i}: H^{i}(F, ·) ⟶ H^{i}(E, ·) (Restriktion) und cor_{i}: H^{i}(E, ·) ⟶ H^{i}(F, ·) (Corestriktion oder Transfer).

5. Definition des Cup-Produkts ∪: H^{p}(Γ, A) × H^{q}(Γ, B) ⟶ H^{p+q}(Γ, A ⊗ B) samt einigen Regeln.

6. Die Projektionsformel (oder Frobenius-Reziprozität)

cor_{p+q}(f ∪ res_{q} g)_{E} = (cor_{p} f) ∪ g

für f ∈ H^{p}(E, A), g ∈ H^{q}(F, B), jedenfalls für p = q = 1.

7. Kummer-Theorie für den Körper F.

8. Die Formel H^{1}(F, Ḟ_{s}) = 0 von E. Noether, meistens “Satz 90 von Hilbert” genannt.

9. Charaktere von Γ, d. h. die Gruppe H^{1}(Γ, ℚ/ℤ).

10. Die Isomorphie Br(F) ≅ H^{2}(F, Ḟ_{s}), wobei Br(F) die Brauergruppe von F ist.

Siehe hierzu insbesondere die Kapitel 10 und 14 von [Se].

2. Milnor’s Originalbeweis von Satz 3 in [Mi1], §6 besteht bei konsequenter Durchführung aus den folgenden Schritten:

1’ b ∈ Ṅ_{a} ⟺ die quadratische Form < 1, −a, −b > ist isotrop über F.

2’ < 1, −a, −b > isotrop ⟺≪ a, b ≫ = < 1, −a, −b, ab > isotrop.

3’ ≪ a, b ≫ isotrop ⟺ die Quaternionenalgebra (\frac{a,b}{F}) zerfällt, d. h. ist isomorph zu M_{2}(F).

4’ Die Klasse von (\frac{a,b}{F}) in Br(F) ist ein Element der Ordnung ≤ 2, d. h. liegt in der Untergruppe _{2} Br(F).

5’ Bei der obigen Isomorphie 10. gilt _{2} Br(F) ≅ H^{2}(F, μ_{2}) mit μ_{2} = {1, −1}.

6’ Bei der Isomorphie der (multiplikativen) Gruppe H^{2}(F, μ_{2}) mit unserer additiven Gruppe H^{2}(F, ℤ/2) = H^{2} geht (\frac{a,b}{F}) in das Element (a) ∪ (b) über.

Dabei sind die Schritte 1’ bis 4’ ziemlich einfach und wohlbekannt. Dagegen erfordern 10. und 5’ die Wedderburn-Theorie der zentraleinfachen Algebren einschließlich des Satzes von Skolem-Noether und umfangreiche Rechnungen mit Faktorensystemen. Auch 6’ ist keineswegs trivial.

3. Letzteres liegt daran, dass unter der Isomorphie 10. die Algebra (\frac{a,b}{F}) zunächst

in einen 2-Kozykel mit Werten in Ḟ_{s} abgebildet wird, wobei Γ nichttrivial auf Ḟ_{s} operiert. Dieser 2-Kozykel muss umgeschrieben werden in einen anderen 2-Kozykel mit Werten in μ_{2}, wobei jetzt Γ trivial auf μ_{2} operiert. Dabei wird auch benötigt, dass die Abbildung H^{2}(F, μ_{2}) ⟶ H^{2}(F, Ḟ_{s}) injektiv ist, was aus 2., 7. und 8. folgt. Siehe [KMRT], Prop. 30.4 oder [Se], Chapter XIV, Prop. 5.

Bei dem hier gegebenen Beweis der Sätze 2.2 und 3.1 spiegelt sich dieses Problem darin wider, dass sehr viel mit Quadratwurzeln \sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{α} und ihren Vorzeichen gearbeitet wird. Die (vorausgesetzte bzw. zu beweisende) Gleichung b = α\overline{α} entspricht in 6. bzw. 6’ der Formel

(b) ∪ (a) = cor_{2}((α) ∪ res_{1}(a))

für die Körpererweiterung F (\sqrt{a})/F. Hier verschwindet die rechte Seite, da res_{1}(a) = (\sqrt{a}^{2}) = 2(\sqrt{a}) = 0 ist.

4. Ein anderer rein kohomologischer Beweis der Sätze 2.2 und 3.1 ergibt sich so: Man zeige zuerst, dass für 0 ≠ α ∈ F (\sqrt{a}) die Beziehung cor_{1}(α) = (Nα) gilt. (Ein rechnerischer Beweis mit Kozykeln erfordert etwa 2 Seiten.) Dann wende man die exakte Sequenz aus [Ar1], Cor. 4.6 an und erhalte die Behauptung (a) ∪ (b) = 0 ⟺ b ∈ Ṅ_{a}.

5. Ein Großteil der genannten Einzelresultate findet sich auch in anderen Arbeiten und Büchern, z. B. 1. - 6. in [A-W], 7.-10. in [Dr], Part II, [Ke], Kap. III und IV, [Lo], §29 + 30 und [KMRT], Chapter VII, insbes. §30 + 31.

6. Für den Fall μ_{N} < F werden zur Definition des Normenresthomomorphismus mod N, also des kanonischen Gruppenhomomorphismus

h_{N}: K_{2}/NK_{2} ⟶ _{N} Br(F) ⊗ μ_{N}

in [Mi2], §14 + 15 und [Ke], §17 -19 anstelle oder parallel zur Projektionsformel auch “Normenrestalgebren” (a, b, ζ_{N}) und ihre Eigenschaften studiert [Für n = 2 ist (a, b, −1) = (\frac{a,b}{F})].

7. Tate macht in [Ta2] einige interessante Ausführungen zur Galoiskohomologie und gibt eine direkte Definition von cor_{p} f für einen p-Kozykel f an. Er erwähnt dabei insbesondere, dass ein direkter Beweis der Regeln für das Cup-Produkt und der Projektionsformel (6) ohne Benützung von Dimensionsverschiebung “very tedious” sei. Ich habe das für [E: F] = 2 und p = q = 1 explizit durchgeführt, selbst dieser Fall wird schon schrecklich. Ferner beweist Tate in dieser Arbeit den schon in [Ta1] aufgestellten Hauptsatz: Für jeden globalen Körper F und jede natürliche Zahl N mit char F ∤ N ist h_{2} : K_{2}F ⟶ H^{2}(F, μ_{N}^{⊗2}) surjektiv mit dem genauen Kern(K_{2}F)^{N} (wobei er K_{2}F multiplikativ schreibt). Bekanntlich haben Merkurjev-Suslin [M-S] gezeigt, dass dieser Hauptsatz sogar für jeden Körper F gilt. Der Beweis ist dann allerdings noch deutlich schwieriger.

6 Bemerkungen zur Theorie der quadratischen Formen

Der hier gegebene Beweis der Sätze 2.2 und 4.2 eröffnet eine Alternative zum üblichen Aufbau einer Vorlesung über quadratische Formen. Man lasse die gesamte Theorie der einfachen zentralen Algebren, Clifford-Algebren und der Brauergruppe (in ihrer klassischen Form) weg. Nach einem Studium des Wittrings W = W F mit seiner Filtrierung

W ⊃ I ⊃ I^{2} ⊃ ⋯

sowie des graduierten Wittrings W^{∧} = ⊕_{n=0}^{∞}I^{n}/I^{n+1} kann man dann direkt die Ko-

homologiegruppen H^{n} = H^{n}(F, ℤ/2) einführen und nach “kohomologischen Invarianten” e_{n}: I^{n} ⟶ H^{n} suchen. Diese Vorgehensweise ist bereits in der Dissertation von Arason [Ar1] angelegt. Dort wird insbesondere gezeigt, dass e_{n} auf der Teilmenge P_{n} = {≪ a_{1}, …, a_{n} ≫ = < 1, −a_{1} > ⊗ ⋯ ⊗ < 1, −a_{n} >: a_{i} ∈ Ḟ } < I^{n} wohldefiniert ist vermöge

e_{n}(≪ a_{1}, …, a_{n} ≫) = (a_{1}) ∪ ⋯ ∪ (a_{n}) .

Siehe hierzu und für das folgende auch [Pf].

Als nächstes führe man wie in Abschnitt 4 die Milnor’schen Gruppen K_{n} und k_{n} = K_{n}/2 ein und konstruiere den Normenresthomomorphismus h = ⊕h_{n}: k_{∗} ⟶ H^{∗}. Ferner zeige man wie in [Mi1] oder [Pf] die Existenz von kanonischen Epimorphismen

s_{n}: k_{n} ⟶ I^{n}/I^{n+1}

mit s_{n}({a_{1}} · . . . · {a_{n}}) :=≪ a_{1}, …, a_{n} ≫ mod I^{n+1}. Damit erhält man die “Milnor-Dreiecke”

k_{n}
[figure: s_{n}; h_{n}]
I^{n}/I^{n+1} ................_{\overline{e}_{n}}  H^{n}

wobei aber die Existenz der Gruppenhomomorphismen \overline{e}_{n} noch nicht gesichert ist. Hieraus ergeben sich sofort die wesentlichen (miteinander gekoppelten) Fragen der Theorie:

• Läßt sich die Abbildung e_{n}: P_{n} ⟶ H^{n} zu einem Gruppenhomomorphismus e_{n}: I^{n} ⟶ H^{n} mit I^{n+1} < ker e_{n} fortsetzen?

• Ist s_{n} bijektiv (1. Milnor-Vermutung)?

• Ist h_{n} bijektiv (2. Milnor-Vermutung)?

In einer Vorlesung wäre man sicher zufrieden, wenn man sie außer für die trivialen Fälle n = 0, 1 auch für n = 2 positiv beantworten könnte. Dazu sollte man zuerst die in [Mi1] bewiesene Bijektivität von s_{2} zeigen, die sofort die Existenz der 2. kohomologischen Invariante \overline{e}_{2} = h_{2} ∘ s_{2}^{−1} impliziert. Milnor benutzt dazu den Witt-Grothendieck-Ring und die Stiefel-Whitney-Invariante w_{2}. Man kann diesen Beweis leicht so modifizieren, dass man vollständig mit gewöhnlichen quadratischen Formen auskommt: Wie in [Pf] sei S = SF der Halbring der (Äquivalenzklassen von) quadratischen Formen über F. Für q = < a_{1}, …, a_{n} > setze man

w_{1}(q) := {a_{1}} + ⋯ + {a_{n}} = {a_{1} ⋯ a_{n}} = {det q} ∈ k_{1}

und

w_{2}(q) := ∑_{i<j} {a_{i}} · {a_{j}} ∈ k_{2}

Diese Abbildungen sind (nach dem Kettenäquivalenzsatz von Witt) wohldefiniert. Weiter setze man:

S^{2} = {q ∈ S: dim q = 2m gerade , dis q = (−1)^{m} det q = 1}

und

w̃_{2}(q) := w_{2}(q) + [\frac{m}{2}] \{−1\}\{−1\} ∈ k_{2} für q ∈ S^{2} .

Dann zeigt man leicht:

• w̃_{2}(q⊕ < 1, −1 >) = w̃_{2}(q), w̃_{2} induziert einen Gruppenhomomorphismus w̃_{2} : I^{2} ⟶ k_{2}.

• I^{3} ⊂ ker w̃_{2}.

• Der induzierte Gruppenhomomorphismus w̃_{2} : I^{2}/I^{3} ⟶ k_{2} ist die Umkehrabbildung zu s_{2}. Insbesondere ist s_{2} ein Isomorphismus.

Durch die eingesparte Zeit kann man dann vielleicht noch eines der folgenden Ergebnisse behandeln.

• Die Existenz der Invariante e_{3} : I^{3} ⟶ H^{3} nach [Ar1].

• Den fundamentalen Satz von Merkurjev [Me], dass h_{2} : k_{2} ⟶ H^{2} (und damit auch \overline{e}_{2}) ein Isomorphismus ist, etwa in der elementarisierten Form von [Ar2] oder [Wa] oder [Ke], Kap. V.

Literatur

[Ar1] J.K. Arason: Cohomologische Invarianten quadratischer Formen. J. Algebra 36, 448–491 (1975)

[Ar2] J.K. Arason: A proof of Merkurjev’s theorem. Can. Math. Soc. Conf. Proc., vol 4, 121–130 (1984)

[A-W] M.F. Atiyah – C.T.C. Wall: Cohomology of Groups. Chapter IV = p. 94–115 in: J.W.S. Cassels – A. Fröhlich (ed.): Algebraic Number Theory. Acad. Press, London 1967

[Dr] P.K. Draxl: Skew Fields. Cambridge Univ. Press 1983

[Ke] I. Kersten: Brauergruppen von Körpern. Vieweg, Wiesbaden 1990

[KMRT] M.–A. Knus, A. Merkurjev, M. Rost, J.–P. Tignol: The Book of Involutions. AMS Publ., Providence 1998

[Lo] F. Lorenz: Einführung in die Algebra, Teil II. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1990

[Me] A.S. Merkurjev: On the norm residue symbol of degree 2 (in Russian). Dokl. Acad. Nauk USSR 261, 542–547 (1981); English transl.: Soviet Math. Doklady 24, 546–551 (1981)

[M-S] A.S. Merkurjev – A.A. Suslin: K-cohomology of Severi-Brauer varieties and the norm-residue homomorphism (in Russian). Izv. Acad. Nauk USSR 46, 1011–1046 (1982); English transl.: Math. USSR Izv. 21, 307–340 (1983)

[Mi1] J. Milnor: Algebraic K-theory and quadratic forms. Invent. math. 9, 318–344 (1970)

[Mi2] J. Milnor: Introduction to algebraic K-theory. Annals of Math. Studies 72, Princeton Univ. Press 1971

[Pf] A. Pfister: On the Milnor Conjectures: History, Influence, Applications. Jber. d. Dt. Math.-Verein 102, 15-41 (2000)

[Se] J.-P. Serre: Corps locaux. Hermann, Paris 1962

[Ta1] J. Tate: Symbols in Arithmetic. Actes Congrès intern. math. 1970, Tome 1, 201–211. Gauthier-Villars, Paris 1971

[Ta2] J. Tate: Relations between K_{2} and Galois cohomology. Invent. math. 36, 257– 274 (1976)

[Wa] A.R. Wadsworth: Merkurjev’s elementary proof of Merkurjev’s theorem. Contemp. Math. 55, Part II, 741–776 (1986)