Rationalité du quotient d’une variété de Severi-Brauer par un automorphisme de

Kummer

P. Gille, version préliminaire

November 20, 2003

Résumé. Soit S/k une variété de Severi-Brauer définie sur un corps k. Soit f un automorphisme de Kummer de S, c’est-à-dire un automorphisme d’ordre n = dim_{k}(S) + 1 à points fixes isolés. Si k contient une racine primitive n– ième de l’unité, alors le corps k(S)^{f} des fonctions rationnelles de S invariantes par f est transcendant pur sur k.

Rationality of the quotient of a Severi-Brauer variety by a Kummer automorphism

Abstract. Let S/k be a Severi-Brauer variety defined over a field k. Let f be a Kummer automorphism of S, i.e. an automorphism of order n = dim_{k}(S) + 1 with finitely many fixed points. If k contains a primitive n-th root of unity, then the field k(S)^{f} of f-invariant rational functions is purely transcendental over k.

1 Introduction.

Soient k un corps, A/k une algèbre simple centrale de degré n. Suivant Rost [1], on dit qu’un élément X de A est un élément de Kummer si son polynôme caractéristique P_{X} est de la forme P_{X}(t) = t^{n} − a. On note S = SB(A)/k la variété de Severi-Brauer associée; c’est la variété des idéaux à droite de rang n de A. On note GL(A)/k le groupe algébrique des éléments inversibles de A et P GL(A) = GL(A)/𝔾_{m} son groupe adjoint. La variété S/k est un espace homogène sous P GL(A) et par descente galoisienne, on sait que Aut_{k}(S) = P GL(A). Un automorphisme f ∈ Aut_{k}(S)(k) = A^{×}/k^{×} représenté par X ∈ A^{×} est dit de Kummer si l’élément X est de Kummer. De façon intrinsèque, un automorphisme f de S est de Kummer si et seulement s’il est d’ordre n et si sa sous–variété des points fixes est de dimension zéro. Cette Note a pour but d’établir la

Proposition 1.1 On suppose que k contient une racine primitive n–ième de l’unité ζ. Soit f un automorphisme de Kummer de S = SB(A). Alors le corps k(S)^{f} des fonctions rationnelles de S invariantes par f est transcendant pur sur k.

Notons que l’existence d’un automorphisme de Kummer sur S implique que A/k est une algèbre cyclique ([1], §1). Si n = 2, la proposition est évidente. En effet, dans ce cas, un couple (S, f) est une conique projective d’équation x^{2} − ay^{2} = bz^{2} où f(x : y : z) = (x : −y : z). Alors le corps k(S)^{f} = k(x/z) est transcendant pur sur k.

La démonstration procède par réduction au cas d’une algèbre déployée.

Remerciements: Je remercie Jean-Louis Colliot-Thélène et Christophe Soulé pour leurs commentaires bienvenus sur une version préliminaire de cette Note.

Notations. Pour tout k–espace vectoriel V, on note ℙ(V)/k l’espace projectif associé; en particulier, on note ℙ_{k}^{n−1} = ℙ(k^{n}) = (𝔸_{k}^{n} \ {0})/𝔾_{m} l’espace projectif standard. Pour toute algèbre étale K/k, on note R_{K/k}(𝔾_{m}) la restriction des scalaires à la Weil de K/k du tore standard 𝔾_{m}, N_{K/k} : R_{K/k}(𝔾_{m}) → 𝔾_{m} le morphisme de norme et R_{K/k}^{1}(𝔾_{m}) son noyau. De plus, tout k–automorphisme σ de K définit un automorphisme σ^{∗} : R_{K/k}(𝔾_{m}) ⟶^{∼} R_{K/k}(𝔾_{m}) commutant à la norme.

2 Descente

Pour a ∈ k^{×}, on note f_{a} l’automorphisme d’ordre n de k^{n} défini par

f_{a}(e_{i}) = e_{i+1} (i = 0, .., n − 2), f_{a}(e_{n−1}) = a e_{1},

et f_{a} : ℙ_{k}^{n−1} → ℙ_{k}^{n−1} l’automorphisme induit.

Lemme 2.1 Soit f = (Y) un élément de Kummer de A avec Y^{n} = a ∈ k^{×}. Alors le corps k(S)^{f} est k–isomorphe à k(ℙ^{n−1})^{f_{a}}.

Démonstration. Suivant la section 1 de [1], il existe un élément de Kummer X de A tel que (X, Y) est une ζ–paire, i.e XY = ζY X. On pose b = X^{n} ∈ k^{×} et alors la k–algèbre A a la présentation

X^{n} = b, Y^{n} = a, XY = ζY X.

On pose k_{b} = k( ^{n} \sqrt{b})/k, c’est une extension galoisienne cyclique d’ordre m divisant n. On note τ le générateur de Gal(k_{b}/k) satisfaisant τ. ^{n} \sqrt{b} = (ζ)^{n/m} ^{n} \sqrt{b}. L’extension k_{b}/k déploie l’algèbre A et de façon plus précise, on considère l’isomorphisme de k_{b}–algèbres

\begin{matrix}M_{n} ⊗_{k} k_{b} & ⟶_{∼}^{ϕ} & A ⊗_{k} k_{b}, \\ X_{0} ⊗ ^{n} \sqrt{b} & ↦ & X \\ f̃_{a} & ↦ & Y \end{matrix}

où X_{0} désigne l’endomorphisme de k^{n} défini par X_{0}.e_{i} = ζ^{i}e_{i} (i = 0, .., n−1). On calcule alors le 1–cocycle associé z : Gal(k_{b}/k) → P GL_{n}(k_{b}) suivant la technique des k_{b}/k–formes ([2], §III.1). Il est défini par z_{τ} = ϕ^{−1} ^{τ}ϕ où τϕ = (id ⊗ τ) ∘ ϕ ∘ (id ⊗ τ)^{−1}. On effectue le calcul

τϕ(X_{0} ⊗ ^{n} \sqrt{b}) = ζ^{−n/m} ((id ⊗ τ) ∘ ϕ).(X_{0} ⊗ ^{n} \sqrt{b})
= ζ^{−n/m} (id ⊗ τ).X
= ζ^{−n/m} X
= ζ^{−n/m} ϕ(X_{0} ⊗ ^{n} \sqrt{b}).

Par suite,

(ϕ^{−1}^{τ}ϕ).(X_{0} ⊗ ^{n} \sqrt{b}) = ζ^{−n/m} (X_{0} ⊗ ^{n} \sqrt{b}) = f_{a}^{n/m}.(X_{0} ⊗ ^{n} \sqrt{b}).

On remarque que ^{τ}ϕ(f̃_{a}) = Y = ϕ(f̃_{a}) donc (ϕ^{−1}^{τ}ϕ)(f̃_{a}) = f̃_{a} = f_{a}^{n/m}.f̃_{a}; on conclut que z_{τ} = ϕ^{−1} ^{τ}ϕ = f_{a}^{n/m}. Par descente galoisienne, on a A = _{z}(M_{n}), S = _{z}(ℙ^{n−1}) et le corps k(S) est le corps des points fixes de k_{b}(ℙ) suivant l’action tordue de Gal(k_{b}/k) par le cocycle z, c’est-à-dire

k(S) = { g ∈ k_{b}(ℙ^{n−1}) | (f_{a}^{n/m})^{∗}.^{τ}g = g}.

De plus, l’automorphisme f de k(S) est le “descendu” de l’automorphisme f_{a} de ℙ^{n−1}, i.e f = ϕf_{a}ϕ^{−1}. Alors

k(S)^{f} = { g ∈ k_{b}(ℙ^{n−1}) | (f_{a}^{n/m})^{∗}.^{τ}g = g}^{f_{a}}.

= { g ∈ k_{b}(ℙ^{n−1})^{f_{a}} | ^{τ}g = g} = k(ℙ^{n−1})^{f_{a}}. □

3 Le cas déployé.

Lemme 3.1 Le corps k(ℙ^{n−1})^{f_{a}} est transcendant pur sur k.

Notons tout d’abord que ce lemme joint au lemme précédent 2.1 entraîne immédiatement la proposition 1.1.

Démonstration. On note L = k[x]/(x^{n} − a) et ^{n} \sqrt{a} l’image de x dans L. La k–base 1, ^{n} \sqrt{a}, .., ( ^{n} \sqrt{a})^{n−1} de L définit un isomorphisme de k–espace vectoriel

(k)^{n} ⟶^{∼} L,

de sorte que f_{a} = × ^{n} \sqrt{a}. On note σ le k–automorphisme de L défini par σ. ^{n} \sqrt{a} = ζ ^{n} \sqrt{a}. On dispose alors d’un ouvert f_{a}–stable de ℙ^{n−1}

T = R_{L/k}(𝔾_{m})/𝔾_{m} ⊂ ℙ(L) ⟶^{∼} ℙ^{n−1}

qui est un k–tore algébrique. L’isomorphisme (1 − σ) : T ⟶^{∼} R_{L/k}^{1}(𝔾_{m}) transforme l’action de f_{a} = × ^{n} \sqrt{a} sur T en la multiplication par (1−σ) ^{n} \sqrt{a} = ζ^{−1} ∈ R_{L/k}^{1}(𝔾_{m})(k). Ainsi le sous–groupe ⟨f_{a}⟩ de T engendré par f_{a} s’identifie au sous–groupe diagonal μ_{n} ↪ R_{L/k}^{1}(𝔾_{m}). On forme alors le diagramme commutatif exact de k–tores algébriques

1  1
↓  ↓
1 ⟶ μ_{n} ⟶^{i} R_{L/k}^{1}(𝔾_{m}) ⟶  T/⟨f_{a}⟩  ⟶ 1
↓  ↓  ↓ ≀
1 ⟶ 𝔾_{m} ⟶ R_{L/k}(𝔾_{m}) ⟶ R_{L/k}(𝔾_{m})/𝔾_{m} ⟶ 1.
×n ↓  N_{L/k} ↓
1 ⟶ 𝔾_{m} =  𝔾_{m}
↓  ↓
1  1

Il résulte que le k–tore T/⟨f_{a}⟩ est un ouvert de l’espace projectif ℙ(L). On conclut que T/⟨f_{a}⟩ est une variété k–rationnelle et le corps k(T)^{f_{a}} = k(ℙ^{n−1})^{f_{a}} est transcendant pur sur k. □

Références

[1] M. Rost, The chain lemma for Kummer elements of degree 3, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 328 (1999), 185–190.

[2] J–P. Serre, Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Math. 5, 5–ième édition (1994), Springer–Verlag.

Philippe Gille, UMR 8628 du C.N.R.S., Mathématiques, Bâtiment 425, Université de Paris-Sud, F-91405 Orsay, France. Courriel : gille@math.upsud.fr.