Tim Wouters - 28 juillet 2009

L’invariant de Suslin en caractéristique positive

Résumé

Pour une k-algèbre simple centrale A d’indice inversible dans k, Suslin a défini un invariant cohomologique de SK_{1}(A) [Sus2]. Dans ce texte, nous généralisons cet invariant à toute k-algèbre simple centrale par un relèvement de la caractéristique positive à la caractéristique 0. Pour pouvoir définir cet invariant, on a besoin des groupes de cohomologie des différentielles logarithmiques de Kato [Kat1].

Abstract

For a central simple k-algebra A with ind_{k}(A) ∈ k^{×}, Suslin defined a cohomological invariant for SK_{1}(A) [Sus2]. In this text, we generalise his invariant to any central simple k-algebra using a lift from positive characteristic to characteristic 0. To be able to define the invariant, we use Kato’s cohomology of logarithmic differentials [Kat1].

1 Introduction

Soient k un corps, A une k-algèbre simple centrale et SL_{1}(A) le groupe algébrique linéaire usuel que nous considérons comme foncteur, donc défini pour chaque extension de corps F de k par

SL_{1}(A)(F) = SL_{1}(A ⊗_{k} F) = {a ∈ A ⊗_{k} F | Nrd_{A⊗_{k}F/F} (a) = 1}.

Soit de plus SK_{1}(A) le foncteur en groupes qui associe à chaque extension de corps F de k le groupe de Whitehead réduit de A_{F} := A ⊗_{k} F ; i.e.

SK_{1}(A)(F) = SK_{1}(A_{F}) ≅ SL_{1}(A_{F})/[A_{F}^{×}, A_{F}^{×}].

Puisque SK_{1}(A) est donc lié au groupe algébrique linéaire SL_{1}(A), il vaut la peine de l’etudier, certainement parce que Platonov nous a rassuré qu’il n’est pas forcément trivial [Pla, Thm. 5.19]. La question de la trivialité a été indépendamment posée par Tannaka et Artin en 1943. Pendant plus de 30 années, on a essayé de la prouver – le problème de Tannaka-Artin [NM, Wan]. SK_{1}(A) est quand-même trivial si ind_{k}(A) est sans facteurs carrés (Théorème de Wang [Wan]). Suslin a conjecturé la réciproque [Sus1]. Récemment, Merkurjev a démontré que cette conjecture vaut si 4 | ind_{k}(A) [Mer2], et Rehman-Tikhonov-Yanchevskiĭ ont démontré qu’il suffit de démontrer la conjecture pour des algèbres à division cycliques [RTY, Thm. 0.19].

Adresse : Tim Wouters, K.U.Leuven, Departement Wiskunde, Celestijnenlaan 200B bus 2400, B-3001 Leuven, Belgique – tim@wouters.in Classification (AMS) par sujet 2010 : 19B99 (12G05, 16K50, 17C20)

Mots clés : Groupe de Whitehead réduit – Modules de cycles – Invariants cohomologiques

Une façon d’étudier SK_{1}(A) est de construire des invariants cohomologiques. Inspiré par Platonov [Pla], Suslin a construit un invariant cohomologique de SK_{1}(A) dans le cas où n = ind_{k}(A) ∈ k^{×} [Sus2]. Si [A] ∈ H^{2}(k, μ_{n}) est la classe de Brauer de A, l’invariant de Suslin est un morphisme fonctoriel en le corps (la fonctorialité est en effet inhérente à la définition d’un invariant) :

ρ_{Sus,A} : SK_{1}(A)(k) → H^{4}(k, μ_{n}^{⊗3})/(H^{2}(k, μ_{n}^{⊗2}) ∪ [A]).

Pour un aperçu plus détaillé de cette histoire, voir [Gil2, §2]. La conjecture de Bloch-Kato, récemment démontrée par Voevodsky-Rost-Weibel [BK, Voe, Ros2, Wei], donne que le symbole galoisien h_{n,k}^{i} : K_{i}^{M}(k)/nK_{i}^{M}(k) → H^{i}(k, μ_{n}^{⊗i}) décrit les K-groupes de Milnor en termes de la cohomologie galoisienne (i ≥ 0). On sait donc réécrire l’image de ρ_{Sus} avec une structure de K_{n}^{M}(k)-module qui est induite par le symbole galoisien.

Le but de ce texte est de généraliser l’invariant de Suslin pour toute k-algèbre simple centrale, utilisant qu’il existe pour toute algèbre simple centrale en caractéristique 0. Si k est un corps de caractéristique p > 0, on le considère comme corps résiduel d’un anneau R complet de valuation discrète v avec corps des fractions K de caractéristique 0. On sait relever A en une R-algèbre d’Azumaya B tel que B⊗_{R}k ≅ A. Alors B_{K} := B⊗_{R}K devient une K-algèbre simple centrale, et Suslin a donc construit un invariant cohomologique de SK_{1}(B_{K}). Vu qu’un résultat de Platonov [Pla, Cor. 3.13] induit un isomorphisme SK_{1}(B_{K})(K) ≅ SK_{1}(A)(k), on peut essayer d’en déduire des invariants cohomologiques de SK_{1}(A). La subtilité ici est que l’isomorphisme de Platonov se déroule au niveau des groupes, et pas au niveau des foncteurs, ce qui cause quand même quelques soucis. De plus, la définition dépend du choix de R. Heureusement, on sait passer outre en utilisant des anneaux de Cohen.

On commence par le cas où car(k) > 0 et l’indice de A est inversible dans k (le cas modéré). L’invariant de Suslin est en effet déjà défini dans ce cas, mais le relèvement permet aussi de construire un invariant en caractéristique positive à partir de tout invariant de SK_{1}(B_{K}) (en caractéristique 0) du même type. De plus, cela sera un bon échauffement pour le cas sauvage. Avant d’établir le relèvement, on décrit les groupes de cohomologie utilisés (Section 2). On les insère dans le formalisme des modules de cycles de Rost [Ros1] afin de pouvoir utiliser une caractérisation très utile des invariants de Merkurjev [Mer1, Lem. 2.1, Thm. 2.3]. Puis, on a tous les ingrédients en vue de relever les invariants (Section 3).

Après ce relèvement, on continue au cas où l’indice de A peut être non inversible dans k (le cas sauvage). Afin de construire un invariant, il faut utiliser les groupes de cohomologie de différentielles logarithmiques de Kato [Kat1] qui généralisent la cohomologie galoisienne. Eux aussi sont servis d’une structure de K_{n}^{M}(k)-modules comme les groupes de cohomologie galoisienne ordinaires. Un résultat de Kahn [Kah] nous fournit le dernier ingrédient pour pouvoir effectuer un relèvement et de telle façon obtenir l’invariant désiré (Section 4). Utilisant la validité de la conjecture de Suslin pour les biquaternions, nous pouvons nous rassurer que cet invariant relevé est non trivial. Nous finissons ce papier avec quelques remarques : entre autre quelques considérations sur la conjecture de Suslin au regard des résultats obtenus.

Notations – Fixons quelques notations durant tout ce texte.

– Pour un corps k, on note k_{s} une clôture séparable et Γ_{k} = Gal(k_{s}/k) le groupe de Galois absolu.

– Pour un entier m > 0 et un corps k, on note le Γ_{k}-module des racines m-ièmes d’unité de k_{s} par μ_{m}.

– Les groupes de cohomologies utilisés –sauf mention expresse– sont des groupes de cohomologie galoisienne (ou étale) .

– _{m}Br(k) est la m-ième partie de torsion du groupe de Brauer de k (m > 0 un entier).

– Si F est un corps munie d’une valuation discrète v, l’anneau de valuation est noté par O_{v} et le corps résiduel, par κ(v). L’extension maximale non ramifiée de F est notée par F_{nr}. Si x ∈ O_{v}, on note x̄ son résidu dans κ(v). On utilise cette notationci aussi pour d’autres objets munis de résidus naturels. Une valuation discrète est toujours supposée être non triviale (de rang 1 et de groupe des valeurs ℤ).

– Soient A une k-algèbre simple centrale et F une extension de corps de k, alors A_{F} := A ⊗_{k} F est la F -algèbre simple centrale obtenue par extension de base.

Remerciements – L’auteur remercie vivement son directeur de thèse, Philippe Gille, pour soutenir cet article par ses idées et commentaires très utiles. Il remercie aussi la K.U.Leuven et l’École Normale Supérieure (Paris) pour le support financier et l’hospitalité qui ont réalisé tant de visites. L’auteur est aussi partiellement soutenu par « Fonds voor Wetenschappelijk Onderzoek Vlaanderen » (G.0318.06).

2 Modules de cycles

Dans cette section, on commence par décrire les groupes de cohomologie où l’invariant de Suslin a ses valeurs. Il sont des exemples privilégiés de modules de cycles. On donne une brève introduction à ce formalisme introduit par Rost [Ros1, §1,2], et puis on explique le lien avec les invariants cohomologiques d’un groupe algébrique découvert par Merkurjev [Mer1].

2.1 Groupes de cohomologie

Dans toute cette section, soient F un corps de car(F) = p ≥ 0 et m > 0 un entier inversible dans F.

(a) Définition – Soit μ_{m}^{⊗i} la i-ième produit tensoriel de μ_{m} comme ℤ/mℤ-module (i ≥ 0), alors on définit :

H_{m}^{i}(F) := H^{i}(F, μ_{m}^{⊗i}(−1)) avec μ_{m}^{⊗i}(−1) = Hom_{Γ_{F}} (μ_{m}, μ_{m}^{⊗i}).

De plus, on pose H_{m}^{i}(F) = 0 pour i < 0. Bien évidemment, on a μ_{m}^{⊗i+1}(−1) = μ_{m}^{⊗i} pour tout i ≥ 0, et donc H_{m}^{i+1}(F) = H^{i+1}(F, μ_{m}^{⊗i}).^{1} La suite exacte de Kummer

1 → μ_{m}(F) → F_{s}^{×} →^{m} F_{s}^{×} → 1  (2.1)

implique l’interprétation cohomologique bien connue du sous-groupe de m-torsion du groupe de Brauer _{m}Br(F) ≅ H^{2}(F, μ_{m}).

1On utilise le suscrit i + 1 au lieu de i juste par raisons de traditions et pour être conforme au cas sauvage où il semble un peu plus naturel d’utiliser ce suscrit.

(b) Structure de K_{n}(F)-module – Considérons les K-groupes de Milnor^{2} K_{n}(F) pour un entier n. Rappelons que

K_{n}(F) = \underbrace{F^{×} ⊗_{ℤ} … ⊗_{ℤ} F^{×}}_{n fois}/J,

avec J le sous-groupe engendré par des symboles de la forme x_{1} ⊗ … ⊗ x_{n} pour lequel x_{i} + x_{j} = 1 pour 1 ≤ i < j ≤ n. Les symboles primitifs sont notés abbrégés {x_{1}, …, x_{n}}. La suite exacte de Kummer (2.1) implique au niveau de cohomologie K_{1}(F)/mK_{1}(F) = F^{×}/(F^{×})^{m} ≅ H^{1}(F, μ_{m}). Utilisant le cup-produit, on obtient le symbole galoisien

h_{m,F}^{n} : K_{n}(F)/mK_{n}(F) → H^{n}(F, μ_{m}^{⊗n}),  (2.2)

qui est un isomorphisme (conjecture de Bloch-Kato - Théorème de Voevodsky-Rost-Weibel [BK, Voe, Ros2, Wei]). La structure de K_{n}(F)-module de H_{m}^{i+1}(F) pour un entier i ≥ 0 est défini par le cup produit avec le symbole galoisien :

K_{n}(F) × H_{m}^{i+1}(F) → H_{m}^{n+i+1}(F) : (a, b) ↦ h_{m,F}^{n} (ā) ∪ b.

On note le produit scalaire par a · b := h_{m,F}^{n} (ā) ∪ b pour a ∈ K_{n}(F), ā sa classe dans K_{n}(F)/mK_{n}(F) et b ∈ H_{m}^{i+1}(F).

(c) Flèches de résidu – Si v est une valuation discrète sur F de corps résiduel κ(v), on a une flèche de résidu pour tout entier i ≥ 0,

∂_{v}^{i+1} : H_{m}^{i+1}(F) → H_{m}^{i}(κ(v)),

qui est bien expliquée par Serre [GMS, §6,7]. De plus, si F est complet pour la valuation, elle a un scindage, parce que tout élément α de H_{m}^{i+1}(F) s’écrit comme α_{i+1} + (π) ∪ α_{i} avec π ∈ F un élément uniformisant, (π) sa classe dans F^{×}/(F^{×})^{m} = H^{1}(F, μ_{m}) et les α_{j} ∈ H_{m}^{j}(κ(v)) se plongeant dans H_{m}^{j}(F) [GMS, 7.11]. On a donc une suite exacte scindée intéressante :

0 → H_{m}^{i+1}(κ(v)) → H_{m}^{i+1}(F) →^{∂_{v}^{i+1}} H_{m}^{i}(κ(v)) → 0.  (2.3)

(d) Version relative – Soit A une F -algèbre simple centrale de ind_{F} (A) = n ∈ F^{×}. On considère sa classe de Brauer [A] ∈ _{n}Br(F) ≅ H^{2}(F, μ_{n}). Utilisant le cup-produit de la cohomologie galoisienne, on définit (pour i ≥ 1)

H_{n,A}^{i+1}(F) := H_{n}^{i+1}(F)/ (H^{i−1}(F, μ_{n}^{⊗i−1}) ∪ [A]) .

Si F est munie d’une valuation discrète v, on peut étendre les résidus de H_{n}^{i+1}(F) à des résidus relatifs. On note Ā := A ⊗_{O_{v}} κ(v), la κ(v)-algèbre simple centrale résiduelle de A. La description en terme de cocycles explicites [GMS, §6] garantit bien que

∂_{v}^{i+1}(H^{i−1}(F, μ_{n}^{⊗i−1}) ∪ [A]) ⊂ H^{i−2}(κ(v), μ_{n}^{⊗i−2}) ∪ [Ā].

2On utilise surtout des K-groupes de Milnor dans la suite. Donc, pour ne pas alourdir inutilement la notation, on oublie le suscrit M de la notation usuelle K_{n}^{M}(F) des K-groupes de Milnor, et on utilise la notation K_{n}^{Q} pour les K-groupes de Quillen.

Ça implique donc qu’on a un diagramme commutatif (pour i ≥ 2) :

\xymatrix{0 \ar[r] & H^{i−1}(κ(v), μ_{n}^{⊗i−1}) \ar[r] \ar[d]^{∪[\overline{A}]} & H^{i−1}(F, μ_{n}^{⊗i−1}) \ar[r] \ar[d]^{∪[A]} & H^{i−2}(κ(v), μ_{n}^{⊗i−2}) \ar[r] \ar[d]^{∪[\overline{A}]} & 0 \\ 0 \ar[r] & H^{i+1}(κ(v), μ_{n}^{⊗i}) \ar[r] & H^{i+1}(F, μ_{n}^{⊗i}) \ar[r] & H^{i}(κ(v), μ_{n}^{⊗i−1}) \ar[r] & 0.} (2.4)

Le lemme du serpent permet donc de construire une suite exacte :

0 → H_{n,Ā}^{i+1}(κ(v)) → H_{n,A}^{i+1}(F) →^{∂_{v,A}^{i+1}} H_{n,Ā}^{i}(κ(v)) → 0.  (2.5)

Puisque la suite exacte (2.4) est scindée, la suite exacte (2.5) l’est aussi. À noter que d’après la conjecture de Bloch-Kato et la structure de K_{n}(F)-module, on a une définition équivalente :

H_{n,A}^{i+1}(F) = H^{i+1}(F, μ_{n}^{⊗i})/ (K_{i−1}(F) · [A]) .  (2.6)

2.2 Définition

Les propriétes communes des groupes de cohomologies H_{n}^{∗}(F) et des groupes de Kthéorie de Milnor ont inspirés Rost à définir une structure formelle qui respecte les mêmes propriétés homologiques [Ros1, §1.2]. Nous rappelons en bref ce formalisme des modules de cycles.

(a) Définition d’un module de cycles – Soient R un anneau de valuation discrète, R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 la catégorie des R-corps (des R-algèbres qui sont des corps) et 𝔄𝔟 la catégorie des groupes abéliens. Un module de cycles M de base R est un foncteur

R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 → 𝔄𝔟

munie d’une graduation M = (M_{j})_{j≥0} et des données D1-D4 :^{3} (E, F des objets de R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 et φ un morphisme de R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰) D1 : Pour tout φ : F → E, on a φ_{∗} : M(F) → M(E) de degré 0. D2 : Pour tout φ : F → E fini, on a φ^{∗} : M(E) → M(F) de degré 0. D3 : Pour tout F, le groupe M(F) a une structure de K_{n}(F)-module tel que

K_{n}(F) · M_{m}(F) ⊂ M_{n+m}(F) (n, m ≥ 0 des entiers). D4 : Si F est un R-corps de valuation discrète v, il existe un résidu ∂_{v} : M(F) → M(κ(v))

de degré −1. Ces données doivent respecter des règles de compatibilité (R1a-R3e) et de géométrie (FD et C) – voir Appendice A et loc. cit. À noter que, pour obtenir ses buts, Rost lui-même met plus de restrictions sur la base R, mais il commente qu’il est permis de modérer les conditions (ibid., §1, p. 328).

3Si on utilise M_{j} pour j < 0, dans une notation libre, il est 0.

(b) La base et la coexistence de deux modules de cycles – Le cas classique est celui où la base est un corps. Dans ce texte, on utilise la terminologie des modules de cycles pour une base qui est un anneau R de valuation discrète complet avec corps des fractions K et corps résiduel k. Un module de cycles M avec une telle base associe donc à toute extension de corps L de K un groupe gradué M(L) et de même, à toute extension de corps \overline{L} de k, un groupe gradué M(\overline{L}).

À noter que l’on peut bien restreindre un module de cycles de base R en un module de cycles de base K ou également de base k en se restreignant aux extensions de corps de K ou de k. Un module de cycles M avec base R est donc rien d’autre que la coexistence de deux modules de cycles avec un corps comme base (notés M|_{k} et M|_{K}) avec un lien donné par D4. Dans la suite, on utilise les modules de cycles de base R afin de faciliter la notation et de travailler dans un cadre plus général. Néanmoins, on pourrait reformuler les arguments, travailler avec deux modules de cycles et utiliser ces liens comme extérieurs aux modules de cycles mêmes : comme des données supplémentaires.

(c) Complexe de Gersten – Soient F un R-corps, X une F -variété et M un module de cycles, alors l’existence des résidus et des règles de modules de cycles induisent un complexe de cycles de Gersten C_{∗}(X, M_{j}) [Ros1, §3.3] (i, j ≥ 0) :

… → ⊕_{x∈X^{(i−1)}}M_{j−i+1}(F (x)) →^{∂^{i−1}} ⊕_{x∈X^{(i)}}M_{j−i}(F (x)) →^{∂^{i}} ⊕_{x∈X^{(i+1)}}M_{j−i−1}(F (x)) → …,

où X^{(i)} désigne l’ensemble des point de codimension i dans X et F (x) est le corps résiduel de x, un point de codimension i. La flèche ∂^{i} est bien la somme des résidus induits par les valuations associées à un point de codimension 1 de X^{(i)}. L’homologie de ce complexe au cran i est notée A^{i}(X, M_{j}).

(d) Exemples privilégiés – Lions cette section à la précédente. Soient R un anneau de valuation discrète complet de corps des fractions K et corps résiduel k et pour une Kalgèbre simple centrale A de ind_{K}(A) = n tel que n ∈ K^{×} et n ∈ k^{×}. Alors, les foncteurs

H_{m}^{∗} := (H_{m}^{i})_{i≥0} : R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 → 𝔄𝔟 : F ↦ (H_{m}^{i}(F))_{i≥0} et
H_{n,A}^{∗} := (H_{n,A}^{i})_{i≥2} : R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 → 𝔄𝔟 : F ↦ (H_{n,A_{F}}^{i} (F))_{i≥2}

sont bien des modules de cycles où A_{F} := A ⊗_{R} F. À noter que pour une extension F de K, la K-algèbre A_{F} est de nouveau simple centrale. On sait que ind_{k}(\overline{A}) = n avec \overline{A} = A⊗_{R} k (voir démonstration du Corollaire 3.3). Alors pour tout R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 F, ind(A_{F})| n et [A_{F}] se trouve donc bien dans _{n}Br(F). La définition du deuxième module de cycles est donc consistante.

La vérification des règles du premier cas pour des R-corps d’égale caractéristique est décrite par Rost [Ros1, 1.11]. Le cas de caractéristique mixte suit de façon analogue. Le premier module de cycle induit la vérification du second puisque les données et règles se continuent au niveau relatif (voir aussi (2.5)).

Un autre exemple de modules de cycles est la K-théorie de Milnor. La donnée D1 est définie de façon évidente. Soit E une extension finie de corps de F, alors la donnée D2 est induite par la norme N_{E/F} appliquée aux générateurs [BT, Ch. I, §5]. La donnée D3 est définie par la structure multiplicative des K-groupes :

K_{n}(F) × K_{m}(F) ↦ K_{n+m}(F) : ({x_{1}, …, x_{n}}, {y_{1}, …, y_{m}}) ↦ ({x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, … y_{m}}).

Soit F un corps de valuation discrète v, alors le résidu K_{n}(F) → K_{n−1}(κ(v)) –la donnée D4– est défini par

{π, x_{2}, …, x_{n}} ↦ {x̄_{2}, …, x̄_{n}},
{x_{1}, x_{2}, …, x_{n}} ↦ 0,

avec x_{1}, …, x_{n} ∈ O_{v}^{×} et π une uniformisante de F [Mil, Lem. 2.1].

2.3 Lien avec les invariants

Dans toute cette section, soient k un corps et M = (M_{j})_{j≥0} un module de cycles de base k. Merkurjev a découvert un lien intéressant fécond entre les groupes A^{i}(G, M_{j}) et les invariants cohomologiques d’un k-groupe algébrique G dans M de degré j. Expliquons-le, et commençons par rappeler la notion d’un invariant d’un groupe algébrique.

(a) Définition d’un invariant – Des invariants sont des objets fonctoriels, donc il faut des foncteurs. On considère un foncteur G : k-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 → 𝔄𝔟 (par exemple un groupe algébrique) et M_{j} (pour j ≥ 0) comme foncteur k-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 → 𝔄𝔟.

Un invariant ρ de G dans M de degré j est une transformation naturelle des foncteurs G → M_{j}. En particulier, pour toute extension de corps F de k, il consiste en un morphisme fonctoriel

ρ_{F} : G(F) → M_{j}(F).

Tous les invariants de G dans M de degré j forment un groupe abélien, noté Inv^{j}(G, M).

(b) Le lien de Merkurjev – Soit G un groupe algébrique, alors Merkurjev a construit un morphisme injectif

θ : Inv^{j}(G, M) → A^{0}(G, M_{j}) : ρ ↦ ρ_{K}(ξ),  (2.7)

avec K = k(G) et ξ ∈ G(K) le point générique de G. Il démontre que l’image est le sousgroupe A^{0}(G, M_{j})_{mult} contenant les éléments multiplicatifs de A^{0}(G, M_{j}) [Mer1, Lem. 2.1 et Thm. 2.3]. Ce sont les éléments x ∈ A^{0}(G, M_{j}) tels que

p_{1}^{∗}(x) + p_{2}^{∗}(x) = m^{∗}(x),

où p_{1}^{∗}, p_{2}^{∗} et m^{∗} sont les morphismes A^{0}(G, M_{j}) → A^{0}(G × G, M_{j}) induits par les deux projections p_{1}, p_{2} : G × G → G et la multiplication m : G × G → G.

Il démontre aussi que A^{0}(G, M_{j})_{mult} ⊂ Ã^{0}(G, M_{j}), avec Ã^{0}(G, M_{j}) le sous-groupe réduit de A^{0}(G, M_{j}) (ibid., Lem. 1.9). Le sous-groupe réduit est le noyau du morphisme u^{∗} : A^{0}(G, M_{j}) → A^{0}(1, M_{j}) qui est induit par le morphisme d’unité u : 1 → G. Le morphisme u^{∗} induit même un scindage A^{0}(G, M_{j}) ≅ Ã^{0}(G, M_{j}) ⊕ A^{0}(k, M_{j}).

(c) L’invariant de Suslin – Soient k un corps et A une k-algèbre simple centrale de norme réduite Nrd_{A/k}, alors le groupe de Whitehead réduit SK_{1}(A) est isomorphe à SL_{1}(A)/[A^{×}, A^{×}]. Considérant le foncteur (qui n’est pas un groupe algébrique)

SK_{1}(A) : k-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 → 𝔄𝔟 : F ↦ SK_{1}(A)(F) = SK_{1}(A ⊗_{k} F),

Suslin a introduit un invariant [Sus2, §3]

ρ_{Sus,A} ∈ Inv^{4}(SK_{1}(A), H_{n,A}^{∗}).

Ici, H_{n,A}^{∗} = (H_{n,A}^{j+1}) est un module de cycles de base k. Faisant de bonnes hypothèses sur A, on peut le voir comme un module de base d’un anneau R complet de valuation discrète restreint à son corps de fractions ou à son corps résiduel selon §2.2 (b) (voir aussi §3.2 (b)).

Suslin démontre en plus que pour une extension de corps F de k, les représentants de l’image de SK_{1}(A)(F) sont des élements du noyau de H_{n}^{4}(F) → H_{n}^{4}(F (X)), où X désigne la variété de Severi-Brauer associée à A (loc. cit.).

3 Le relèvement, le cas modéré

Dans cette section, on utilise un relèvement de la caractéristique positive « modérée » à la caractéristique 0 afin de construire des invariants cohomologiques en caractéristique positive fondés sur l’existence des invariants en caractéristique 0. En plus, de relier les deux cas, on peut retrouver plus d’information sur la caractéristique positive moderée par la caractéristique 0 et vice versa.

3.1 La stratégie

Soient k un corps et A une k-algèbre simple centrale. Pour construire des invariants de SK_{1}(A), on voudrait utiliser l’isomorphisme de Merkurjev (2.7) qui nous permet d’obtenir des résultats en travaillant avec des complexes de Gersten. Malheureusement, cet isomorphisme ne vaut que pour des groupes algébriques, et SK_{1}(A) n’en est pas un. Dû à la projection SL_{1}(A)(F) → SL_{1}(A)(F)/[A_{F}^{×}, A_{F}^{×}] ≅ SK_{1}(A)(F) pour chaque extension de corps F de k, on obtient quand-même une injection de groupes d’invariants.

Lemme 3.1. Soient k un corps, A une k-algèbre simple centrale et M un module de cycles. La projection de k-foncteurs π : SL_{1}(A) → SK_{1}(A) induit pour tout entier j une injection

π̃ : Inv^{j}(SK_{1}(A), M) ↪ Inv^{j}(SL_{1}(A), M).

Nous utilisons donc des invariants de SL_{1}(A) qui nous permettent d’utiliser le résultat de Merkurjev. En plus, le travail que nous allons effectuer n’est pas fondé sur la définition de l’invariant de Suslin, mais sur son existence. Tout autre invariant analogue peut donc être relevé de la même façon.

Nous commençons par expliquer la stratégie générale du relèvement. Dans cette description, nous ne donnons pas d’arguments explicites et détaillés. Ceux-ci se trouvent dans les sections suivantes.

(i) Construire un invariant auxiliaire. Soit k un corps de car(k) = p > 0 tel que p ne divise pas ind_{k}(A). Il existe un anneau R complet de valuation discrète v tel que k soit le corps résiduel et que le corps des fractions K de R est de caractéristique 0. Alors, A se relève en une R-algèbre d’Azumaya B. De telle façon, B_{K} := B⊗_{R}K est une Kalgèbre simple centrale. Afin de construire un invariant dans Inv^{4}(SK_{1}(A), H_{n,A}^{∗}), nous construisons un invariant auxiliaire ρ′ ∈ Inv^{3}(SK_{1}(A), H_{n,A}^{∗}). Pour chaque extension de corps k′ de k, il faut donc définir un morphisme

ρ′_{k′} : SK_{1}(A)(k′) → H_{n,A}^{3}(k′).

Soit K′ un corps complet de valuation discrète w de corps résiduel k′ tel que K′ est une extension de K et tel que w prolonge v. Alors, on est donné un isomorphisme SK_{1}(B_{K})(K′) → SK_{1}(A)(k′). À partir d’un invariant ρ ∈ Inv^{4}(SK_{1}(B_{K}), H_{n,B_{K}}^{∗}), le résidu du module de cycles (2.5) donne un morphisme

ρ′_{k′} : SK_{1}(A)(k′) → H_{n,A}^{3}(k′).

Celui-ci n’est pas nécessairement un invariant, puisque la fonctorialité en les extensions de corps n’est pas immédiatement obtenue. En effet, il y a plusieurs manières afin de trouver des corps de valuation K′ comme ci-dessus. Pour résoudre ce problème, on utilise des anneaux de Cohen qui sont suffisamment canoniques.

(ii) En déduire l’invariant recherché. Puisque le résidu des modules de cycles se niche dans une suite exacte fonctorielle (2.5), on obtient un invariant de degré 4 dans Inv^{4}(SK_{1}(A), H_{n,A}^{∗}) dès que l’invariant ρ′ est trivial. D’après le Lemme 3.1, pour démontrer la trivialité, il suffit de démontrer la trivialité de l’invariant π̃(ρ′) de SL_{1}(A). Comme annoncé, on utilise le morphisme θ de Merkurjev (2.7) pour ce but. On démontre que θ(π̃(ρ′)) = 0 en travaillant sur la définition des groupes Ã^{0} et utilisant des résultats connus.

3.2 Objets de base

Avant de relever des invariants, on doit être capable de relever les objets de base d’une façon adaptée. Nous expliquons donc en bref le relèvement des corps et des algèbres simples centrales.

(a) Algèbres simples centrales – Soient k un corps et A une k-algèbre simple centrale. Soit R un anneau complet de valuation discrète v tel que k soit le corps résiduel et tel que K = Frac(R) est de caractéristique 0 (par exemple, un anneau de Cohen R avec son corps de fractions – voir (b)).

Soient P (R), respectivement P (k), l’ensemble des classes d’isomorphismes des Ralgèbres d’Azumaya, respectivement des k-algèbres simples centrales. Alors, l’application résiduelle P (R) → P (k) qui associe à la classe d’une R-algèbre d’Azumaya B la classe de B ⊗_{R} k, est bijective [Gro2, Thm. 6.1]. Alors, il existe une R-algèbre d’Azumaya relevée (i.e. tel que B ⊗_{R} k ≅ A) de A de même indice et degré, appelons-la B. Alors, B_{K} := B ⊗_{R} K est une K-algèbre simple centrale. La bijection P (R) → P (k) induit un isomorphisme Br(R) ≅ Br(k), et de plus il y a une injection Br(R) → Br(K) [AG, Thm. 7.2]. Donc en somme, on a une injection Br(k) → Br(K).

Heureusement, SK_{1}(A)(k) et SK_{1}(B_{K})(K) sont isomorphes. Ce résultat est essentiellement dû à Platonov pour des algèbres à division. Pour une K-algèbre à division D, la valuation v s’étend à une valuation w = \frac{1}{m}v ∘ Nrd_{D/K} sur D avec Nrd_{D/K} la norme réduite de D et m > 0 le générateur de v ∘ Nrd_{D/K}(D) ⊂ ℤ [Ser1, Ch. XII, §2]. Soit O_{D} l’anneau de valuation de w avec idéal maximal P_{D}, alors on note \overline{D} = O_{D}/P_{D}, la k-algèbre à division résiduelle – voir aussi [Wad, §2]. L’application résiduelle O_{D} → \overline{D} se restreint alors à un morphisme résiduel SL_{1}(D)(K) → SL_{1}(\overline{D})(k), et Platonov a démontré la propriété de rigidité suivante.

Théorème 3.2 ([Pla, Prop. 3.4, Thm. 3.12, Cor. 3.13]). Soient K un corps complet de valuation discrète v avec k son corps résiduel et D une K-algèbre à division. Le morphisme résiduel

SL_{1}(D)(K) → SL_{1}(\overline{D})(k)

est surjectif de noyau contenu dans [D^{×}, D^{×}]. Il factorise donc à travers SK_{1}(D), et cette factorisation induit un isomorphisme

SK_{1}(D)(K) ≅ SK_{1}(\overline{D})(k).

Le but est d’en déduire l’isomorphisme entre SK_{1}(A)(k) et SK_{1}(B_{K})(K). Bien évidemment, on utilise les théorèmes consacrés de Wedderburn et de Morita [GS, Thm. 2.1.3, Lem. 2.8.6].

Corollaire 3.3. Soient A, B, k, R et K comme dessus, alors

SK_{1}(A)(k) ≅ SK_{1}(B_{K})(K).

Démonstration. Selon le théorème de Wedderburn, B_{K} = M_{m}(D) pour une K-algèbre à division D et m > 0. Dû à l’injectivité de Br(R) → Br(K), on sait que M_{m}(O_{D}) est Brauer-équivalent à B. Donc de nouveau dû à Wedderburn, A = M_{m}(\overline{D}). Alors, le Théorème 3.2 et le théorème de Morita garantissent que

SK_{1}(B_{K})(K) ≅ SK_{1}(D)(K) ≅ SK_{1}(\overline{D})(k) ≅ SK_{1}(A)(k).
■

Remarque 3.4 – Il faut noter aussi que cet isomorphisme est fonctoriel dans le sens suivant. Soit K′ une extension de corps de K qui est également complet et de valuation discrète v′ tel que v′ prolonge v et soit k′ le corps résiduel de K′. Alors, l’isomorphisme commute avec l’extension de base de K à K′ et de k à k′. On n’a quand même pas d’équivalence de foncteurs, puisque il n’y a pas de bijection entre les extensions de k et celles de K.

(b) Anneaux de Cohen – Les anneaux de Cohen – parfois aussi appelés des p-anneaux– fournissent une méthode assez canonique de relever des corps de caractéristique positive à des anneaux de caractéristique 0. Nous commençons par la définition d’un anneau de Cohen.

Définition 3.5. Un anneau de Cohen est un anneau complet de valuation discrète dont le corps résiduel est de caractéristique p > 0, et dont l’idéal maximal est engendré par p. Pour un premier p fixé, on parle des p-anneaux de Cohen.

Schoeller donne une construction explicite de ces anneaux [Sch, §3]. Ils sont des sousanneaux des anneaux de Witt. Dans le cas où le corps résiduel est parfait, ils sont exactement les anneaux de Witt. En général, l’anneau de Cohen contient l’anneau de Witt de son sous-corps parfait maximal. À noter aussi que les anneaux de Cohen sont de caractéristique 0. Nous rappelons le résultat fondamental sur ces anneaux.

Théorème 3.6 ([Coh], voir aussi [Gro1, Thm. 19.8.6]).

(i) Soient W un anneau de Cohen, C un anneau local noethérien complet et I un idéal de C distinct de C. Alors tout homomorphisme local u : W → C/I se factorise en W →^{v} C → C/I, où v est un homomorphisme local.

(ii) Soit k un corps de caractéristique p > 0. Il existe un anneau de Cohen W dont le corps résiduel est isomorphe à k. Si W′ est un second anneau de Cohen, k′ son corps résiduel, tout isomorphisme u : k → k′ provient par passage au quotient d’un isomorphisme v : W → W′.

Remarque 3.7 – Remarquons que la propriété (i) induit que les anneaux de Cohen sont des objets initiaux dans la catégorie des anneaux locaux avec corps résiduel fixe. Ce théorème semble donc suggérer qu’il existe une propriété universelle des anneaux de Cohen. Malheureusement, les morphismes induits ne sont pas uniques en général. Il ne le sont que si k est parfait (avec k le corps résiduel de W) [Gro1, Rem. 21.5.3]. Donc par manque d’unicité, on appelle cette propriété universelle amputée une propriété verselle, comme le fait Serre [GMS, §5]. Heureusement cet handicap se guérit au niveau de la cohomologie.

Corollaire 3.8. Soient W, W′ des anneaux de Cohen tel que le corps résiduel k′ de W′ est une extension de k, le corps résiduel de W. Notons u : k → k′ l’inclusion. Le Théorème 3.6 (i) fournit un homomorphisme local v : W → W′. Soient A une k-algèbre simple centrale et B la W -algèbre d’Azumaya relevée. Soient K = Frac(W) et K′ = Frac(W′), alors v définit pour tous entiers i, n ≥ 0 un homomorphisme des suites exactes scindées

\xymatrix{0 \ar[r] & H_{n,A}^{i+1}(k) \ar[r] \ar[d]^{u_{∗}} & H_{n,B_{K}}^{i+1}(K) \ar[r]^{∂^{i}} \ar[d]^{v_{∗}} & H_{n,A}^{i}(k) \ar[r] \ar[d]^{u_{∗}} & 0 \\ 0 \ar[r] & H_{n,A}^{i+1}(k′) \ar[r] & H_{n,B_{K}}^{i+1}(K′) \ar[r]^{∂^{i}} & H_{n,A}^{i}(k′) \ar[r] & 0.}

De plus, v_{∗} ne dépend pas du choix de v. Si k = k′, on a un isomorphisme canonique H_{n,B_{K}}^{i+1}(K) ≅ H_{n,B_{K}}^{i+1}(K′).

Démonstration. Soient k, k′ de caractéristique p, l’homomorphisme local v envoie l’uniformisante p ∈ W sur p ∈ W′. Donc, le diagramme et l’indépendance du choix de v suivent directement du scindage de la suite (2.5) par le cup-produit avec la classe de p. Si u est un isomorphisme, v l’est aussi par le Théorème 3.6 (i), et on retrouve un isomorphisme de suites exactes. ■

Les anneaux de Cohen fournissent donc au niveau de ces groupes de cohomologie une méthode canonique pour passer de la caractéristique p à la caractéristique 0, et vice versa. Pour faciliter la notation, introduisons une notion de triplets.

Définition 3.9. Soit F un corps de valuation discrète v, alors on dit que (F, O_{v}, κ(v)) est un triplet de valuation. Un triplet de valuation (K, R, k) où R est un p-anneau de Cohen (pour un premier p > 0) est appelé un p-triplet de Cohen. Une extension de Cohen (finie, resp. séparable, resp. galoisienne) (K′, R′, k′) de (K, R, k) est la donnée d’un p-triplet de Cohen tel que k′ est une extension (finie, resp. séparable, resp. galoisienne) de k.

Remarque 3.10 – Si cela ne prête pas à confusion, on parle librement d’un triplet de Cohen sans mentionner la caractéristique. Étant donné un corps k de car(k) = p > 0, le Théorème 3.6 fournit un triplet de Cohen (K, R, k) (non unique) associé à k. De plus, si (K′, R′, k′) est une extension de Cohen (finie, resp. séparable, resp. galoisienne) de (K, R, k), le Théorème 3.6 induit que K′ est une extension (finie, resp. non-ramifiée, resp. galoisienne) de K – voir aussi [Ser1, §III.5]. Si (K, R, k) est un triplet de Cohen, F un R-corps et (F, O_{v}, κ(v)) un triplet de valuation, on dit que (F, O_{v}, κ(v)) est un triplet de valuation sur R. Dans ce cas, κ(v) est aussi un R-corps et il y a trois possibilités : ou bien F et κ(v) sont des extensions de K, ou bien ils sont toutes les deux des extensions de k, ou bien F est une extension de K et κ(v) est une extension de k.

3.3 Le relèvement

On a maintenant fait les préparations pour relever l’invariant de Suslin en caractéristique modérée.

Théorème 3.11. Soient k un corps de car(k) = p > 0 et A une k-algèbre simple centrale de ind_{k}(A) = n premier à p. Soit (K, R, k) un triplet de Cohen associé à k, B la R-algèbre d’Azumaya relevée et ρ′ ∈ Inv^{4}(SK_{1}(B_{K}), H_{n,B_{K}}^{∗}). Alors, il existe un unique ρ ∈ Inv^{4}(SK_{1}(A), H_{n,A}^{∗}), que l’on appelle l’invariant spécialisé de ρ′, tel que pour toute extension de Cohen (K′, R′, k′) de (K, R, k) le diagramme suivant commute :

\xymatrix{SK_{1}(A)(k′) \ar[r]^{ρ_{k′}} & H_{n,A}^{4}(k′) \ar[d] \\ SK_{1}(B_{K})(K′) \ar[u]_{≅} \ar[r]_{ρ′_{K′}} & H_{n,B_{K}}^{4}(K′).}  (3.1)

Remarque 3.12 – Les modules de cycles H_{n,B_{K}}^{∗} := (H_{n,B_{K}}^{j})_{j≥2} de base K et H_{n,A}^{∗} := (H_{n,A}^{j})_{j≥2} de base k sont les modules de cycles évidents. Il sont les modules de cycles restreints du module de cycles H_{n,B_{K}}^{∗} de base R respectivement à K et à k (selon §2.2 (b)). Le morphisme H_{n,A}^{4}(k′) → H_{n,B_{K}}^{4}(K′) est donc l’injection de la suite exacte (2.5).

Commençons par le deuxième pas de la stratégie générale expliquée dans 3.1. On utilise la proposition suivante qui est une donnée importante.

Proposition 3.13 (Merkurjev [Mer1, Lem. 4.8 et Prop. 4.9]). Soient k un corps et G un k-groupe semi-simple simplement connexe, alors Ã^{0}(G, H_{n}^{3}) = 0 pour tout n ∈ k^{×}. En particulier (d’après §2.3 (b)), Inv^{3}(G, H_{n}^{∗}) = 0.

Nous nous permettons d’en déduire un résultat auxiliaire à base de quelques arguments homologiques.

Corollaire 3.14. Soient k un corps, G un k-groupe semi-simple simplement connexe, A une k-algèbre simple centrale tel que ind_{k}(A) = n ∈ k^{×}, alors Inv^{3}(G, H_{n,A}^{∗}) = 0.

Démonstration. Selon §2.3 (b), il suffit de démontrer la trivialité de Ã^{0}(G, H_{n,A}^{3}). Tout d’abord on considère le diagramme commutatif

\xymatrix{H^{1}(k, μ_{n}) \ar[r] \ar[d]^{∪[A]} & H^{1}(k(G), μ_{n}) \ar[r]^{∂^{1}} \ar[d]^{∪[A_{k(G)}]} & ⨁_{x∈G^{(1)}} H^{0}(k(x), ℤ/nℤ) \ar[d]^{⊕_{x∈G^{(1)}}∪[A_{k(x)}]} \\ H_{n}^{3}(k) \ar[r] \ar[d] & H_{n}^{3}(k(G)) \ar[r]^{∂^{3}} \ar[d] & ⨁_{x∈G^{(1)}} H_{n}^{2}(k(x)) \ar[d] \\ H_{n,A}^{3}(k) \ar[r] & H_{n,A}^{3}(k(G)) \ar[r]^{∂_{A}^{3}} & ⨁_{x∈G^{(1)}} H_{n,A}^{2}(k(x)),}  (3.2)

dont les lignes sont des complexes de chaînes, et dont la ligne centrale est exacte vu la Proposition 3.13 et l’isomorphisme (2.7). Il suffit de démontrer l’exactitude de la ligne d’en bas. Le théorie de Kummer et les propriétés des résidus [GMS, Rem. 6.2] indiquent que ∂^{1}, qui est une somme des résidus, est en réalité le morphisme diviseur :

k(G)^{×}/(k(G)^{×})^{n} → ⨁_{x∈G^{(1)}} ℤ/nℤ = Div(G)/nDiv(G) : \overline{f} ↦ \overline{div(f)}.

Il est surjectif puisque Pic(G) = 0 [San, Lem. 6.9]. Se basant sur la surjectivité de ∂^{1}, on démontre alors l’exactitude du complexe en bas avec une chasse au diagramme. ■

Démonstration du Théorème 3.11. Soit ρ′ ∈ Inv^{4}(SK_{1}(B_{K}), H_{n,B_{K}}^{∗}). Afin de construire ρ ∈ Inv^{4}(SK_{1}(A), H_{n,A}^{∗}), il faut commencer par définir ρ_{k′} : SK_{1}(A)(k′) → H_{n,A}^{4}(k′) pour toute extension de corps k′ de k, et puis prouver la fonctorialité en le corps. Soit donc (K′, R′, k′) une extension de Cohen associée à k′. On a donc ρ′_{K′} : SK_{1}(B_{K})(K′) → H_{n,B_{K}}^{4}(K′). Soit π l’isomorphisme SK_{1}(B_{K′})(K′) ≅ SK_{1}(A)(k), alors on définit

ρ̃_{k′} := ∂^{4} ∘ ρ_{K′} ∘ π^{−1} : SK_{1}(A)(k′) → H_{n,A}^{3}(k′).

À noter aussi que ce procédé ne dépend pas du choix de l’extension de Cohen. Car si (K′′, R′′, k′) est une autre extension de Cohen associée à k′, le Corollaire 3.8 garantit un isomorphisme des suites exactes scindées de type (2.5) avec l’identité au facteurs H_{n,A}^{4}(k′) et H_{n,A}^{3}(k′). De plus ρ′_{K′} et π sont fonctoriels pour de telles extensions de corps, donc ce procédé construit bien un invariant ρ̃ ∈ Inv^{3}(SK_{1}(A), H_{n,A}^{∗}).

Le Corollaire 3.14 et la Propriété 3.1 disent alors que ρ̃ = 0. C’est-à-dire si a ∈ SK_{1}(A)(k′), on sait que ρ′_{k′}(a) provient d’un élément unique de H_{n,A}^{4}(k′) (par la suite exacte (2.5)). Donc on a un morphisme ρ_{k′} : SK_{1}(A)(k′) → H_{n,A}^{4}(k′). De nouveau puisque, la suite (2.5) est fonctorielle, et le choix de l’anneau de Cohen n’a pas d’influence sur la définition, ceci définit un invariant ρ ∈ Inv^{4}(SK_{1}(A), H_{n,A}^{∗}).

Le diagramme commutatif (3.1) suit de la construction, et l’unicité suit immédiatement de l’injectivité de H_{n,A}^{4}(k′) → H_{n,B_{K}}^{4}(K′). ■

Remarque 3.15 – Pour un corps k de car(k) = p > 0 et A une k-algèbre simple centrale de ind_{k}(A) ∈ k^{×}, Suslin a déjà defini un invariant ρ_{Sus,A}. Néanmoins, si (K, R, k) est un p-triplet de Cohen, B la R-algèbre d’Azumaya relevée et ρ_{Sus,B_{K}} l’invariant de Suslin de B_{K}, l’invariant spécialisé de B_{K} est quand même le même invariant que ρ_{Sus,A}. En effet, on peut vérifier que l’invariant de Suslin satisfait cette propriété de relèvement (i.e. il existe un diagramme comme (3.1) avec ρ = ρ_{Sus,A} et ρ′ = ρ_{Sus,B_{K}}).

4 Le relèvement, le cas sauvage

Soient k un corps de caractéristique p > 0 et A une k-algèbre simple centrale d’indice éventuellement divisible par p. On se trouve maintenant dans un monde inconnu, puisque le module de cycles H_{n,A}^{∗} n’est plus adapté à nos buts. En effet, parce que μ_{p^{n}}(k_{s}) est trivial, les groupes de cohomologie galoisienne H^{j+1}(k, μ_{p^{n}}^{⊗j}) sont triviaux, et la suite exacte de Kummer (2.1) ne donne plus d’isomorphisme de H^{2}(k, μ_{p^{n}}) avec _{p^{n}}Br(k).

Dans cette section, on décrit de nouveaux groupes de cohomologie (introduits par Kato [Kat1]) qui fournissent aussi un isomorphisme avec _{p^{n}}Br(k) (dont on a besoin afin de pouvoir définir des modules de cycles relatifs comme dans §2.1 (d)). Ceci donne assez d’ingrédients pour effectuer le relèvement. Dans une première étape, nous effectuons le travail pour une algèbre simple centrale d’indice p^{n}. Le relèvement pour le cas général peut en être déduit utilisant la décomposition d’une algèbre à division en parties premières (§4.3).

4.1 Groupes de cohomologie

On utilise des groupes de cohomologie des différentielles logarithmiques de Kato (ibid.). Ils sont pourvus d’une suite exacte analogue à la suite (2.5) dont on a besoin afin d’établir le relèvement. Soient donc dans toute cette section (K, R, k) un p-triplet de Cohen et F un R-corps. Rappelons la notion de différentielles logarithmiques et la définition, ainsi que quelques propriétes des groupes H_{p^{n}}^{q+1}(k) (pour des entiers n, q ≥ 0)^{4}.

(a) Différentielles logarithmiques – La définition de H_{p^{n}}^{q+1}(k) est le plus claire pour n = 1 et explique la terminologie. Soient Ω_{k}^{q} := ⋀ Ω_{k/ℤ}^{1} et d : Ω_{k}^{q−1} → Ω_{k}^{q} la dérivation extérieure usuelle (pour q = 0, on pose d = 0). Alors, H_{p}^{q+1}(k) est défini comme le conoyau du morphisme de Cartier

F −1 : Ω_{k}^{q} → Ω_{k}^{q}/dΩ_{k}^{q−1}, defini par x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧…∧\frac{dy_{q}}{y_{q}} ↦ (x^{p}−x)\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧…∧\frac{dy_{q}}{y_{q}} mod dΩ_{k}^{q−1},

avec x ∈ k, y_{1}, …, y_{q} ∈ k^{×} et F (x) = x^{p} [Car, Ch. 2, §6]. Le noyau est noté traditionellement ν_{1}(q)_{k}.

(b) Généralisation – On peut généraliser la définition de H_{p}^{q+1}(k) à une définition de H_{p^{n}}^{q+1}(k). Soit

D_{p^{n}}^{q}(k) = W_{n}(k) ⊗ \underbrace{k^{×} ⊗ … ⊗ k^{×}}_{q fois},

avec W_{n}(k) le groupe des p-vecteurs de Witt de longueur n sur k. Soit J′_{q}(k) le sous-groupe de D_{p^{n}}^{q}(k) engendré par tous les éléments de la forme

(i) w ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{q}, satisfiant b_{i} = b_{j} pour 1 ≤ i < j ≤ q.

4L’indice q + 1 est de nouveau dû à la tradition facilitant la notation de quelques résultats.

Le groupe C_{p^{n}}^{q}(k) = D_{p^{n}}^{q}(k)/J′_{q}(k) est alors muni d’une dérivation d : C_{p^{n}}^{q−1}(k) → C_{p^{n}}^{q}(k) : pour a ∈ k, b_{2}, …, b_{q} ∈ k^{×} est q > 0 définie par

(0, …, 0, a, 0, …, 0) ⊗ b_{2} ⊗ ⊗ … b_{q} ↦ (0, …, 0, a, 0, …, 0) ⊗ a ⊗ b_{2} ⊗ … ⊗ b_{q}.

Pour q = 0, on pose de nouveau d = 0. Le groupe de cohomologie H_{p^{n}}^{q+1}(k) est alors défini comme le conoyau du morphisme de Cartier

F − 1 : C_{p^{n}}^{q}(k) → C_{p^{n}}^{q}(k)/dC_{p^{n}}^{q−1}(k), défini par
w ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{q} ↦ (w^{(p)} − w) ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{q}.

Ici, F (w) = w^{(p)} = (a_{1}^{p}, …, a_{n}^{p}) si w = (a_{1}, …, a_{n}). On note ν_{n}(q)_{k} le noyau du morphisme de Cartier. Alors, H_{p^{n}}^{q+1}(k) ≅ D_{p^{n}}^{q}(k)/J_{q}(k) où J_{q}(k) [Kat1, Proof of Prop. 2] est le sousgroupe de D_{p^{n}}^{q}(k) engendré par les éléments de la forme (i) et

(ii) (0, …, 0, a, 0, …, 0) ⊗ a ⊗ b_{2} ⊗ … ⊗ b_{q}, (iii) (w^{(p)} − w) ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{q}.

De plus, on pose H_{p^{n}}^{q+1}(k) = 0 pour q < 0. Cette construction est donc bien une généralisation de la définition pour n = 1 en termes de différentielles logarithmiques par l’identification

x\frac{dy_{1}}{y_{1}} ∧ … ∧ \frac{dy_{q}}{y_{q}} ↔ x ⊗ y_{1} ⊗ … ⊗ y_{q},

avec x ∈ k et y_{i} ∈ k^{×}. À noter que l’antisymétrie vaut pour cette généralisation, puisque w ⊗ b_{1}b_{2} ⊗ b_{1}b_{2} ⊗ … b_{q} = 0 (w ∈ W_{n}(k), b_{i} ∈ k^{×}).

Soit dlog : k_{s}^{×} → ν_{n}(1)_{k_{s}} : a ↦ 1 ⊗ a. La suite exacte longue associée à la suite exacte

\xymatrix{1 \ar[r] & k_{s}^{×} \ar[r]^{p^{n}} & k_{s}^{×} \ar[r]^{dlog} & ν_{n}(1)_{k_{s}} \ar[r] & 1}  (4.1)

des Γ_{k}-modules induit un isomorphisme sur la partie de p^{n}-torsion du groupe de Brauer : H^{1}(k, ν_{n}(1)_{k_{s}}) ≅ _{p^{n}}Br(k) . L’exactitude de (4.1) suit d’un calcul avec des vecteurs de Witt et des produits tensoriels [Car, Ch. 2, Prop. 8]. De plus, on a une suite exacte :

\xymatrix{0 \ar[r] & ν_{n}(q)_{k_{s}} \ar[r] & C_{p^{n}}^{q}(k_{s}) \ar[r]^{F −1} & C_{p^{n}}^{q}(k_{s})/dC_{p^{n}}^{q−1}(k_{s}) \ar[r] & 0.}

La surjectivité de F −1 suit du Théorème 4.1 qui démontre que H_{p^{n}}^{q+1}(k_{s}) = 0 pour chaque q ≥ 0 et n > 0. Puisque C_{p^{n}}^{q}(k_{s}) est un k_{s}-espace vectoriel tel que C_{p^{n}}^{q}(k_{s})^{Γ} = C_{p^{n}}^{q}(k), on en déduit donc par le théorème de Hilbert 90 additif l’isomorphisme

H^{1}(k, ν_{n}(q)_{k_{s}}) ≅ H_{p^{n}}^{q+1}(k).  (4.2)

Comme dans le cas modéré on a donc

H_{p^{n}}^{2}(k) ≅ _{p^{n}}Br(k).  (4.3)

(c) Suite exacte de Kato – Afin de pouvoir établir le même canevas que dans le cas modéré, il faut qu’on ait un module de cycles et on aimerait aussi avoir une suite exacte comme (2.5). Malheureusement, la théorie est plus complexe, mais on a quand même le résultat suivant.

Théorème 4.1 (Kato [Kat1], Izhboldin [Izh]). Soit F un R-corps complet de valuation discrète v avec triplet de valuation (F, O_{v}, κ(v)). Soient F_{nr} l’extension maximale nonramifiée de F et

H_{p^{n},nr}^{q+1}(F) := ker(H_{p^{n}}^{q+1}(F) → H_{p^{n}}^{q+1}(F_{nr})).

Alors, on a une suite exacte scindée

0 → H_{p^{n}}^{q+1}(κ(v)) → H_{p^{n},nr}^{q+1}(F) → H_{p^{n}}^{q}(κ(v)) → 0.  (4.4)

Remarque 4.2 – Expliquons le scindage et les morphismes en jeu. Selon les caractéristiques de F et κ(v), on discute trois situations.

– Dans le cas d’inégale caractéristique (car(F) = 0 et car(κ(v)) = p), le scindage est obtenu par des morphismes dûs à Kato [Kat1, Proof of Prop. 2]. D’une part, on a une inclusion i^{∗} : H_{p^{n}}^{q+1}(κ(v)) → H_{p^{n},nr}^{q+1}(F) de degré 0, définie par

w ⊗ b̄_{1} ⊗ … ⊗ b̄_{q} mod J_{q}(κ(v)) ↦ i(w) ∪ h_{p^{n},F}^{q} (b_{1}, …, b_{q})

D’autre part, on a une inclusion ψ : H_{p^{n}}^{q}(κ(v)) → H_{p^{n},nr}^{q+1}(F) de degré 1, définie par

w ⊗ b̄_{2} ⊗ … ⊗ b̄_{q} mod J_{q−1}(κ(v)) ↦ i(w) ∪ h_{p^{n},F}^{q} (π, b_{2}, …, b_{q}).

Ici, w ∈ W_{n}(κ(v)), π est une uniformisante fixe de F, b_{i} ∈ O_{v}^{×}, h_{p^{n},F}^{q} est le symbole galoisien (2.2) et i est l’homomorphisme canonique

W_{n}(κ(v))/{w^{(p)} − w|w ∈ W_{n}(κ(v))} ≅^{φ} H^{1}(κ(v), ℤ/p^{n}ℤ) ↪ H_{p^{n}}^{1}(F).

La dernière injection ci-dessus est celle de la suite (2.5), et l’isomorphisme φ vient du théorème 90 d’Hilbert additif appliqué à la suite exacte de cohomologie associée à la suite exacte de Witt [Wit, §5] :

\xymatrix{0 \ar[r] & ℤ/p^{n}ℤ \ar[r] & W_{n}(κ(v)_{s}) \ar[r]^{x^{(p)}−x} & W_{n}(κ(v)_{s}) \ar[r] & 0.}

Kato démontre donc que i^{∗} ⊕ ψ donne un isomorphisme

H_{p^{n}}^{q+1}(κ(v)) ⊕ H_{p^{n}}^{q}(κ(v)) ≅ H_{p^{n},nr}^{q+1}(F).

– Le cas d’égale caractéristique 0 (car(F) = car(κ(v)) = 0) est comme le cas modéré. En effet, H_{p^{n},nr}^{q+1}(F) = H_{p^{n}}^{q+1}(F), puisque selon la suite scindée (2.3), on a

H_{p^{n}}^{q+1}(F_{nr}) ≅ H_{p^{n}}^{q+1}(κ(v)_{s}) ⊕ H_{p^{n}}^{q+1}(κ(v)_{s}) = 0.

– Le cas d’égale caractéristique p (car(F) = car(κ(v)) = p) est décrit par Izhboldin [Izh, Prop. 6.8]. Le morphisme i^{∗} : H_{p^{n}}^{q+1}(κ(v)) → H_{p^{n},nr}^{q+1}(F) est défini par

w̄ ⊗ b̄_{1} ⊗ … ⊗ b̄_{q} mod J_{q}(κ(v)) ↦ w ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{q} mod J_{q}(F).

D’autre part il y a un morphisme ψ : H_{p^{n}}^{q}(κ(v)) → H_{p^{n},nr}^{q+1}(F), défini par

w̄ ⊗ b̄_{2} ⊗ … ⊗ b̄_{q} mod J_{q−1}(κ(v)) ↦ w ⊗ π ⊗ b_{2} ⊗ … ⊗ b_{q} mod J_{q}(F),

où π est de nouveau une uniformisante fixe de F, b_{i} ∈ O_{v}^{×}, w = (a_{1}, …, a_{n}) ∈ W_{n}(O_{v}) et w̄ = (ā_{1}, …, ā_{n}) son résidu dans W_{n}(κ(v)). Izhboldin démontre que i^{∗} ⊕ ψ induit un scindage de H_{p^{n},nr}^{q+1}(F).

(d) Définition du R-module de cycles H_{p^{n},L}^{∗} – Maintenant, on a assez d’information afin de définir notre module de cycles envisagé.

Définition 4.3. Soient (K, R, k) un p-triplet de Cohen avec une extension de Cohen finie, galoisienne (L, S, \overline{L}) . Alors pour tout entier n > 0, on définit H_{p^{n},L}^{∗} = (H_{p^{n},L}^{i}(F))_{i>0} le module de cycles de base R avec

H_{p^{n},L}^{j+1}(F) = H_{p^{n},L}^{j+1}(F) := \begin{cases}ker(H_{p^{n}}^{j+1}(F) → H_{p^{n}}^{j+1}(F ⊗_{K} L)) & si F ∈ K-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰, \\ ker(H_{p^{n}}^{j+1}(F) → H_{p^{n}}^{j+1}(F ⊗_{k} \overline{L})) & si F ∈ k-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰. \end{cases}

Remarque 4.4 – À noter que pour F ∈ K-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 les groupes de cohomologie sont des groupes de cohomologie galoisienne usuelles.

Remarque 4.5 – Si (L_{1}, S_{1}, \overline{L}_{1}) et (L_{2}, S_{2}, \overline{L}_{2}) sont deux extensions de Cohen finies galosiennes de (K, R, k), il existe une extension de Cohen finie galoisienne (L, S, \overline{L}) de (K, R, k) tel qu’elle est une extension de Cohen commune de (L_{1}, S_{1}, \overline{L}_{1}) et (L_{2}, S_{2}, \overline{L}_{2}). Alors, ils existent des injections H_{n,L_{1}}^{∗} → H_{n,L}^{∗} et H_{n,L_{2}}^{∗} → H_{p^{n},L}^{∗}. Le choix de L n’a donc pas grande importance.

Il faut démontrer que cette définition définit bien un module de cycles. Pour cela, on a tout d’abord besoin des quatre données D1-D4 (voir §2.2 (a)). Les données D1, D2 et D3 se déroulent seulement en égales caractéristiques. Pour la donnée D4, on peut rencontrer des caractéristiques mixtes.

Par cette remarque, la fonctorialité (D1) suit immédiatement. Soit E une extension finie de F de trace Tr_{E/F}. Alors, E ⊗_{F} C_{p^{n}}^{q}(F) ≅ C_{p^{n}}^{q}(E), et on définit une trace de C_{p^{n}}^{q}(E) par la composition

C_{p^{n}}^{q}(E) ≅ E ⊗_{F} C_{p^{n}}^{q}(F) ⟶^{Tr_{E/F} ⊗id} F ⊗_{F} C_{p^{n}}^{q}(F) ≅ C_{p^{n}}^{q}(F).

Celle-ci s’étend alors à une défintion pour la réciprocité (D2) aux groupes de cohomologie H_{p^{n},L}^{q+1}(F).

(e) Structure de K_{m}(F)-module (D3) – Si car(F) = 0 (i.e. F est une extension de K), la structure de K_{m}(F)-module est définie comme dans le cas modéré. Si car(F) = p (i.e. F est une extension de k), cette structure est inspirée par le symbole différentiel au lieu du symbole galoisien. Pour tout m ≥ 1,

ρ_{F}^{m} : K_{m}(F) → Ω_{F}^{m}, défini par \{x_{1}, …, x_{m}\} ↦ \frac{dx_{1}}{x_{1}} ∧ … ∧ \frac{dx_{m}}{x_{m}} ,

est un homomorphisme. En effet, d(ab) = bd(a) + ad(b) implique \frac{d(ab)}{ab} = \frac{da}{a} + \frac{db}{b}, et si a+b = 1, on a \frac{da}{a} ∧ \frac{db}{b} = 0, puisque da+db = 0 (a, b ∈ k^{×}). Alors, ρ_{F}^{m} induit une application K_{m}(F)/pK_{m}(F) → Ω_{F}^{m} parce que car(F) = p (et donc dx^{p} = 0). De plus, l’image est contenue dans ν_{1}(m)_{F}. Le symbole différentiel est h_{1,F}^{m} : K_{m}(F)/pK_{m}(F) → ν_{1}(m)_{F}. Le Théorème de Bloch-Kato-Gabber démontre que c’est un isomorphisme [BK, Thm. 2.1].

Inspiré par la définition du symbole différentiel, on peut proposer la structure de K_{m}(F)-module comme suit :

ρ_{p^{n},F}^{m} : K_{m}(F) × H_{p^{n}}^{q+1}(K) → H_{p^{n}}^{q+m+1}(F) :
({x_{1}, …, x_{m}}, w ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{q}) ↦ w ⊗ x_{1} ⊗ … ⊗ x_{m} ⊗ b_{1} ⊗ … ⊗ b_{q}.

Les mêmes arguments que ci-dessus garantissent qu’elle est bien définie. Pour a ∈ K_{m}(F) et b ∈ H_{p^{n}}^{q+1}(F), on note la multiplication scalaire par a · b := ρ_{p^{n},F}^{m} (a, b). Cette structure se restreint à une structure de K_{m}(F)-module sur (H_{p^{n},L}^{q+1}(F))_{q≥0} pour (L, S, \overline{L}) comme dans la Définition 4.3. En effet, si b ∈ J_{q}(F ⊗ \overline{L}), on a a · b ∈ J_{q+m}(F ⊗ \overline{L}) pour tout a ∈ K_{m}(F).

(f) Le résidu et une suite exacte – Puis, il faut l’existence d’un résidu (la donnée D4), et on veut aussi généraliser la suite exacte (2.5).

Proposition 4.6. Soient (K, R, k) un p-triplet de Cohen et (L, S, \overline{L}) une extension de Cohen finie galoisienne. Pour tout R-triplet de valuation (F, O_{v}, κ(v)) et pour tous entiers n > 0 et q ≥ 0, on a une suite exacte scindée

0 → H_{p^{n},L}^{q+1}(κ(v)) → H_{p^{n},L}^{q+1}(F) → H_{p^{n},L}^{q}(κ(v)) → 0.  (4.5)

Démonstration. On a certainement deux versions de la suite (4.4) :

\xymatrix{0 \ar[r] & H_{p^{n}}^{q+1}(κ(v)) \ar[d] \ar[r] & H_{p^{n},nr}^{q+1}(F) \ar[d] \ar[r] & H_{p^{n}}^{q}(κ(v)) \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & H_{p^{n}}^{q+1}(κ(v) ⊗ \overline{L}) \ar[r] & H_{p^{n},nr}^{q+1}(F ⊗ L) \ar[r] & H_{p^{n}}^{q}(κ(v) ⊗ \overline{L}) \ar[r] & 0.}

Puisque les suites sont scindées et les scindages respectent ce diagramme commutatif, la suite exacte scindée suit du lemme du serpent. ■

Remarque 4.7 – Les résidus pour un R-corps F complet de valuation discrète v sont donc définis par cette suite. Si F n’est pas complet, on prend F̂ un completé par rapport à v. Le corps résiduel de F̂ est égal au corps résiduel κ(v) de F, et alors le résidu est défini par la composition

H_{p^{n},L}^{i+1}(F) → H_{p^{n},L}^{i+1}(F̂) → H_{p^{n},L}^{i}(κ(v)).

On a donc introduit les quatre données des modules de cycles, et en plus on a une suite qui nous permet de faire la même construction que dans le cas modéré. Pour la vérification détaillée des règles de module de cycles, nous renvoyons à l’Appendice A.

(g) Version relative – Comme dans §2.1 (d), nous définissons de nouveau des modules de cycles relatifs à base de l’isomorphisme (4.3) et de l’action de la K-théorie – comparable avec la présentation (2.6) du module de cycle relatif moderé.

Définition 4.8. Soient (K, R, k) un p-triplet de Cohen, A une K-algèbre simple centrale de ind_{K}(A) = p^{n} et \overline{A} la k-algèbre simple centrale résiduelle. Soit (L, S, \overline{L}) une extension de Cohen finie galoisienne de (K, R, k) tel que \overline{L} est un corps de décomposition de \overline{A}. Soient F ∈ R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 et [A_{F}] la classe de A_{F} := A ⊗_{R} F dans _{p^{n}}Br(F), alors on définit le module de cycles H_{p^{n},L,A}^{∗} = (H_{p^{n},L,A}^{j})_{j≥2} de base R par

H_{p^{n},L,A}^{j+1}(F) := H_{p^{n},L}^{j+1}(F)/(K_{j−1}(F) · [A_{F}]).

Remarque 4.9 – Le choix de \overline{L} est bien possible dû au théorème de Wedderburn qui donne une extension finie, séparable \overline{L}′ qui déploie \overline{A}. On obtient \overline{L} en prenant une extension finie de \overline{L}′ tel que l’extension \overline{L}/k est galoisienne. Puis, on associe donc un triplet de Cohen (L, S, \overline{L}) à \overline{L}.

On peut même supposer que \overline{L} est une extension cyclique de k. En effet, le théorème d’Albert [Alb, Thm. 18] dit que toute k-algèbre simple centrale de degré p^{n} est Braueréquivalente à une k-algèbre cyclique, et la définition de SK_{1}(A) ne dépend pas du représentant de la classe de Brauer de A (isomorphisme de Morita [GS, Lem. 2.8.6]).

Le fait qu’on choisit \overline{L} comme corps de décomposition de \overline{A} est afin de garantir que la multiplication scalaire se trouve dans H_{p^{n},L}^{∗}. En effet, pour une extension F de k l’extension de base de \overline{A} à \overline{L} rend [\overline{A}_{F}] triviale dans le groupe de Brauer, et donc également le sous-groupe K_{j−1}(F).[A_{F}]. De plus, L deploie A parce que Br(\overline{L}) → Br(L) est injective (§3.2 (a)).

Il faut donc vérifier que cette définition relative définit bien un module de cycles. On se fonde sur le fait qu’on dispose d’un module de cycles dans le cas absolu, et on vérifie que les données sont bien définies modulo les sous-groupes en jeu. Les données D1, D2 et D3 suivent plus au moins de la définition, et parce que les corps en jeu ont toujours la même caractéristique. La donnée D4 pour le cas d’égale caractéristique (du corps de valuation discrète et de son corps résiduel) suit aussi de la définition des modules de cycles et des résidus de H_{p^{n},L}^{∗}. Il suffit donc de vérifier la donnée D4 pour le cas de caractéristique mixte. De plus, on veut géneraliser la suite exacte (4.5).

Proposition 4.10. Avec les mêmes données de la Définition 4.8, on a pour tout triplet de valuation (F, O_{v}, κ(v)) sur R une suite exacte

0 → H_{p^{n},L,A}^{q+1}(κ(v)) → H_{p^{n},L,A}^{q+1}(F) → H_{p^{n},L,A}^{q}(κ(v)) → 0.

Démonstration. Suite à la discussion précedente, il suffit de démontrer l’énoncé dans le cas de caractéristique mixte (car(F) = 0 et car(κ(v)) = p). Le but est donc de vérifier que la suite exacte (4.5) commute avec les inclusions dans un diagramme commutatif (au signe près et pour q ≥ 2)

\xymatrix{0 \ar[r] & H_{p^{n},L}^{q+1}(κ(v)) \ar[r]^{i^{∗}} & H_{p^{n},L}^{q+1}(F) \ar[r]^{∂} & H_{p^{n},L}^{q}(κ(v)) \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & K_{q−1}(κ(v)) · [\overline{A}_{κ(v)}] \ar@{^{(}->}[u] \ar@{.>}[r] & K_{q−1}(F) · [A_{F}] \ar@{^{(}->}[u] \ar@{.>}[r] & K_{q−2}(κ(v)) · [\overline{A}_{κ(v)}] \ar@{^{(}->}[u] \ar[r] & 0.}

Vérifions tout d’abord qu’au signe près le diagramme

\xymatrix{H_{p^{n}}^{2}(κ(v)) \ar[d]_{≅} \ar[r]^{i^{∗}} & H_{p^{n},nr}^{2}(F) \ar[d]^{≅} \\ _{p^{n}}Br(κ(v)) \ar[r]^{i} & _{p^{n}}Br_{nr}(F)}  (4.6)

commute, où Br_{nr}(F) = ker(Br(F) → Br(F_{nr})), i^{∗} le morphisme de la suite (4.4) et i l’injection de §3.2 (a). Alors, la vérification est un calcul immédiat, faisons-le. Soit ā ⊗ x̄ ∈ H_{p^{n}}^{2}(κ(v)) avec a ∈ W_{n}(O_{v}) et x ∈ O_{v}^{×}. Alors,

i^{∗}(ā ⊗ x̄) = ((τ(y)/y)^{σ(b)−b})_{σ,τ} ∈ H_{p^{n}}^{2}(F)

avec y^{p} = x et a = b^{p} − b pour y ∈ W_{n}(F_{nr}) et b ∈ F_{nr}^{×}. Alors, l’image dans _{p^{n}}H^{2}(F, F_{s}^{×}) ≅ p^{n}Br(F) est représentée par la même expression. Par ailleurs, l’image de ā⊗x̄ ∈ H_{p^{n}}^{2}(κ(v)) dans _{p^{n}}H^{2}(κ(v), κ(v)_{s}^{×}) ≅ _{p^{n}}Br(κ(v)) est c := ((σ(ȳ)/ȳ)^{τ(b̄)−b̄})_{σ,τ}. Alors,

i(c) = ((σ(y)/y)^{τ(b)−b})_{σ,τ} ∈ H_{p^{n}}^{2}(F).

Parce que i^{∗} est défini par un cup-produit, il est égal à i^{∗}(ā ⊗ x̄) à signe près.

La restriction de (4.6) aux sous-groupes donne le diagramme commutatif (au signe près)

\xymatrix{H_{p^{n},L}^{2}(κ(v)) \ar[d]_{≅} \ar[r]^{i^{∗}} & H_{p^{n},L}^{2}(F) \ar[d]^{≅} \\ _{p^{n}}Br(\overline{L} ⊗_{k} κ(v)/κ(v)) \ar[r]^{i} & _{p^{n}}Br(L ⊗_{K} F/F),}

avec

Br (L ⊗_{K} F/F) = ker[Br(F) → Br(L ⊗_{K} F)] et
Br (\overline{L} ⊗_{k} κ(v)/κ(v)) = ker[Br(κ(v)) → Br(\overline{L} ⊗_{k} κ(v))].

La démonstration de ce théorème suit tout directement de ce fait parce que les morphismes i^{∗}, ∂ et la retraction ψ (voir (c)) respectent la structure de modules de K-théorie, et parce que le signe disparaît au niveau des groupes de quotient. Donc,

i^{∗}(K_{q−1}(κ(v)) · [\overline{A}_{κ(v)}]) = i_{K}^{∗}(K_{q−1}(κ(v))) · i^{∗}([\overline{A}_{κ(v)}]) ⊂ K_{q−1}(F) · [A_{F}],
∂(K_{q−1}(F) · [A_{F}]) = ∂_{K}(K_{q−1}(F)) · [\overline{A}_{κ(v)}] = K_{q−2}(κ(v)) · [\overline{A}_{κ(v)}] et
ψ(K_{q−2}(κ(v)) · [\overline{A}_{κ(v)}]) = ψ_{K}(K_{q−2}(κ(v))) · i^{∗}([\overline{A}_{κ(v)}]) ⊂ K_{q−1}(F) · [A_{F}].

Ici,

i_{K}^{∗} : K_{q−1}(κ(v)) → K_{q−1}(F), défini par {x̄_{1}, …, x̄_{q−1}} ↦ {x_{1}, …, x_{q−1}},
∂_{K} : K_{q−1}(F) → K_{q−2}(κ(v)), défini par \begin{cases}\{x_{1}, …, x_{q−1}\} ↦ 0, \\ \{π, x_{2}, …, x_{q−2}\} ↦ \{x̄_{2}, …, x̄_{q−2}\}, \end{cases}
ψ_{K} : K_{q−2}(κ(v)) → K_{q−1}(F), défini par {x̄_{2}, …, x̄_{q−2}} ↦ {π, x_{2}, …, x_{q−2}},

pour x_{i} ∈ O_{v}^{×} et π une uniformisante de F pour la valuation v. ■

Notons que cette suite exacte satisfait une propriété analogue au Corollaire 3.8, puisque dans ce cas les scindages sont aussi donnés par un choix d’uniformisante qui est canonique pour des anneaux de Cohen – voir les définitions dans la Remarque 4.2.

Corollaire 4.11. Prenons les mêmes données de la Définition 4.8 et (F, O_{v}, κ(v)) une extension de Cohen de (K, R, k). Notons u : k → κ(v) l’inclusion. Le Théorème 3.6 (i) fournit un homomorphisme local v : R → O_{v}, alors v définit pour tous entiers i, n ≥ 0 un homomorphisme de suites exactes scindées :

\xymatrix{0 \ar[r] & H_{p^{n},L,A}^{i+1}(k) \ar[r] \ar[d]^{u_{∗}} & H_{p^{n},L,A}^{i+1}(K) \ar[r]^{∂^{i}} \ar[d]^{v_{∗}} & H_{p^{n},L,A}^{i}(k) \ar[r] \ar[d]^{u_{∗}} & 0 \\ 0 \ar[r] & H_{p^{n},L,A}^{i+1}(κ(v)) \ar[r] & H_{p^{n},L,A}^{i+1}(F) \ar[r]^{∂^{i}} & H_{p^{n},L,A}^{i}(κ(v)) \ar[r] & 0.}  (4.7)

De plus, v_{∗} ne dépend pas du choix de v. Si k = k′, on a un isomorphisme canonique H_{n,B_{K}}^{i+1}(K) ≅ H_{n,B_{K}}^{i+1}(F).

4.2 Le relèvement

Avant de relever, on démontre un résultat analogue à celui de Merkurjev (Proposition 3.13). Ce sera un corollaire immédiat du Théorème de Kahn suivant qui utilise des groupes de cohomologie de Zariski avec leur variante réduite :

H̃_{Zar}^{0}(G, H_{p^{n}}^{3}) ≅ H_{Zar}^{0}(G, H_{p^{n}}^{3})/H_{p^{n}}^{3}(k).

Théorème 4.12 (Kahn [Kah]). Soient k un corps de car(k) = p, G un k-groupe algébrique simplement connexe, absolument k-simple et \overline{G} := G×_{k}k_{s} et n > 0 entier. Si CH^{2}(G) = 0, on a une injection

H̃_{Zar}^{0}(G, H_{p^{n}}^{3}) ↪ H_{Zar}^{0}(\overline{G}, H_{p^{n}}^{3}).

Remarque 4.13 – Dans l’enoncé (et dans la suite), G (resp. \overline{G}) signifie G(k) (resp. \overline{G}(k_{s})).

Démonstration. Soit Γ = Γ_{k} le groupe de Galois absolu de k. Utilisant la cohomologie motivique à la Lichtenbaum, Kahn construit un morphisme (ibid., première suite exacte p. 406)

H̃_{Zar}^{0}(G, H_{p^{n}}^{3}) → ℍ^{5}(\overline{G}/k_{s}, Γ(2))^{Γ}  (4.8)

dont le noyau est contenu dans H^{1}(F, H_{Zar}^{1}(\overline{G}, K_{2})). Ici, ℍ^{5}(G/k_{s}, Γ(2)) est un groupe d’hypercohomologie défini par Kahn comme le (5-ième) groupe de hypercohomologie étale d’un complexe relatif basé sur le complexe Γ(2) de Lichtenbaum [Lic], et K_{2} est le faisceau de Zariski associé au préfaisceau U ↦ K_{2}^{Q}(U) (avec K_{2}^{Q} la K-théorie de Quillen). Afin de définir le morphisme, il faut que H_{Zar}^{0}(\overline{G}, K_{2}) ≅ K_{2}^{Q}(k_{s}) : fait qui est dû à Esnault-Kahn-Levine-Viehweg [EKLV, Prop. 3.20]. Puisque H_{Zar}^{1}(\overline{G}, K_{2}) = ℤ [Gil1, Prop. 1’], le morphisme (4.8) est injectif. (Voir les références pour plus de détails sur ces objets qu’on utilise ici jusque commes objets auxiliaires.) Puisque CH^{2}(\overline{G})^{Γ} = 0 [EKLV, Prop. 3.20], l’enoncé suit alors de l’injection suivante de Kahn (ibid., suite exacte (18) p. 404) :

ℍ^{5}(\overline{G}/k_{s}, Γ(2))^{Γ} ↪ H_{Zar}^{0}(\overline{G}, H_{p^{n}}^{3}).

■

Corollaire 4.14. Soient k un corps de caractéristique p > 0, L une extension finie séparable de k et G un k-groupe algébrique lisse semi-simple simplement connexe absolument k-simple tel que CH^{2}(G) = 0. Alors, Inv^{3}(G, H_{p^{n},L}^{3}) = 0 pour tout entier n > 0.

Remarque 4.15 – Ici, H_{p^{n},L}^{3} est le module de cycles de la Définition 4.3 restreint à k-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 suivant §2.1 (b). On utilise ici L au lieu de \overline{L} qui apparaît dans la Définition 4.3 pour ne pas allourdir la notation.

Démonstration. Il suffit de démontrer que Ã^{0}(G, H_{p^{n},L}^{3}) = 0. Puisque Rost démontre que A^{i}(G, M_{j}) ≅ H_{Zar}^{i}(G, M_{j}) pour un module de cycles M et des entiers i, j [Ros1, Cor. 6.16], il suffit de démontrer que H̃_{Zar}^{0}(G, H_{p^{n},L}^{3}) = 0.

Soit donc x ∈ H̃_{Zar}^{0}(G, H_{p^{n},L}^{3}) ⊂ H̃_{Zar}^{0}(G, H_{p^{n}}^{3}). On sait que H_{p^{n}}^{3}(k(G)) → H_{p^{n}}^{3}(k_{s}(G)) se factorise à travers H_{p^{n}}^{3}(k(G) ⊗ L). Alors, x ∈ ker [H_{p^{n}}^{3}(k(G)) → H_{p^{n}}^{3}(k_{s}(G))], puisque x ∈ H_{p^{n},L}^{3}(k(G)), et donc x ∈ ker[H̃_{Zar}^{0}(G, H_{p^{n}}^{3}) → H̃_{Zar}^{0}(\overline{G}, H_{p^{n}}^{3})]. Le Théorème 4.12 donne que x = 0. ■

Les arguments utilisés dans la démonstration du Théorème 3.11 sont de type homologique et sont bien transférables au cas sauvage remplaçant la Proposition 3.13 par le Corollaire 4.14. On obtient donc le théorème suivant.

Théorème 4.16. Soient k un corps de car(k) = p > 0, A une k-algèbre simple centrale de ind_{k}(A) = p^{n} et \overline{L} une extension finie, galoisienne de k qui déploie A. Soit (K, R, k) un triplet de Cohen associé à k et (L, S, \overline{L}) un triplet de Cohen associé à \overline{L}. Soient B la R-algèbre d’Azumaya relevée et ρ′ ∈ Inv^{4}(SK_{1}(B_{K}), H_{p^{n},L,B_{K}}^{∗}). Alors, il existe un unique ρ ∈ Inv^{4}(SK_{1}(A), H_{p^{n},L,A}^{∗}), que l’on appelle l’invariant spécialisé de ρ′, tel que pour toute extension de Cohen (K′, R′, k′) de (K, R, k) le diagramme suivant commute :

\xymatrix{SK_{1}(A)(k′) \ar[r]^{ρ_{k′}} & H_{p^{n},L,A}^{4}(k′) \ar[d] \\ SK_{1}(B_{K})(K′) \ar[u]_{≅} \ar[r]_{ρ′_{K′}} & H_{p^{n},L,B_{K}}^{4}(K′).}

Remarque 4.17 – De nouveau, les modules de cycles H_{p^{n},L,B_{K}}^{∗} := (H_{p^{n},L,B_{K}}^{j})_{j≥2} de base K et H_{p^{n},L,A}^{∗} := (H_{p^{n},L,A}^{j})_{j≥2} de base k sont les modules de cycles évidents. Il sont les modules de cycles restreints de la module de cycles H_{p^{n},L,B_{K}}^{∗} de base R respectivement à K et à k (selon §2.2 (b)).

Démonstration. Afin de généraliser la démonstration du Théorème 3.11, il faut généraliser le Corollaire 3.14. Il suffit donc de définir un diagramme comme (3.2) parce que les autres arguments sont une simple chasse au diagramme transférable au cas sauvage. Soit donc G = SL_{1}(A). On considère le diagramme suivant dont les colonnes sont exactes, et dont la ligne centrale est exacte (Corollaire 4.14) :

\xymatrix{k^{×} \ar[r] \ar[d]^{·[A]} & k(G)^{×} \ar[r]^{∂^{1}} \ar[d]^{·[A_{k(G)}]} & ⨁_{x∈G^{(1)}} ℤ \ar[d]^{⊕_{x∈G^{(1)}}·[A_{k(x)}]} \\ H_{p^{n}}^{3}(k) \ar[r] \ar[d] & H_{p^{n}}^{3}(k(G)) \ar[r]^{∂^{3}} \ar[d] & ⨁_{x∈G^{(1)}} H_{p^{n}}^{2}(k(x)) \ar[d] \\ H_{p^{n},A}^{3}(k) \ar[r] & H_{p^{n},A}^{3}(k(G)) \ar[r]^{∂_{A}^{3}} & ⨁_{x∈G^{(1)}} H_{p^{n},A}^{2}(k(x)),}

De nouveau, l’application ∂^{1} est le morphisme diviseur, et parce que Pic(G) = 0 [San, Lem. 6.9], ∂^{1} est surjective. Il faut aussi noter que CH^{2}(G) = 0 puisque G est désormais une forme intérieure de SL_{m}(k) avec m = deg_{k}(A) [Pan]. La même chasse au diagramme et la même construction que dans le cas modéré finissent la démonstration. ■

On peut donc en déduire que l’invariant de Suslin se généralise.

Corollaire 4.18. Sous les mêmes conditions que dans le Théorème 4.16 l’invariant de Suslin ρ_{Sus,B_{K}} induit un unique invariant dans Inv^{4}(SK_{1}(A), H_{p^{n},L,A}^{∗}) (satisfaisant la propriété de relèvement), que l’on appelle l’invariant de Suslin ρ_{Sus,A} de A.

Démonstration. Il faut démontrer que ρ = ρ_{Sus,B_{K}} a ses valeurs dans H_{p^{n},L,B_{K}}^{4}. Ceci suit du diagramme commutatif

\xymatrix{SK_{1}(B_{K}) \ar[r]^{ρ_{K}} \ar[d] & H_{p^{n},B_{K}}^{4}(K) \ar[d] \\ SK_{1}(B_{L}) \ar[r]^{ρ_{L}} & H_{p^{n},B_{K}}^{4}(L)}

et de la trivialité de SK_{1}(B_{L}) (L déploie B_{K}). ■

4.3 Le cas général

Soient k un corps de caractéristique p > 0 et A une k-algèbre simple centrale d’indice arbitraire. On sait qu’il existe une k-algèbre à division D, unique à isomorphisme près, qui est Brauer-équivalente à A. Le théorème de décomposition de Brauer [GS, Prop. 4.5.16] donne des k-algèbres à division D_{p_{i}} (1 ≤ i ≤ s) de ind_{k}(D_{p_{i}}) = p_{i}^{n_{i}} (p_{i} des premiers différents) tel que D ≅ D_{p_{1}} ⊗ … ⊗ D_{p_{s}}. Cet isomorphisme implique un isomorphisme (ibid, Ch. 4, Ex. 9)

SK_{1}(A) ≅ SK_{1}(D) ≅ SK_{1}(D_{p_{1}}) ⊕ … ⊕ SK_{1}(D_{p_{s}}).  (4.9)

Mettons D_{p̸} = ⨂_{p_{i}≠p} D_{p_{i}}. On a donc a fortiori un isomorphisme SK_{1}(A) ≅ SK_{1}(D_{p}) ⊕ SK_{1}(D_{p̸}). Posons aussi A_{p} := D_{p} et A_{p̸} := D_{p̸}.

Afin de définir l’invariant de Suslin en toute géneralité, nous allons coller l’invariant modéré (Théorème 3.11) et sauvage (Théorème 4.16) avec cet isomorphisme de SK_{1}(A). Il faut donc recoller aussi les deux modules de cycles afin d’obtenir le suivant. Définition 4.19. Soient (K, R, k) un p-triplet de Cohen, A une K-algèbre simple centrale de ind_{K}(A) = r = p^{n}m (p ∤ m) et \overline{A} la k-algèbre simple centrale résiduelle. Soit \overline{L} une extension finie galoisienne de k tel qu’elle est un corps de décomposition de \overline{A}_{p} et (L, S, \overline{L}) un p-triplet de Cohen associé. On définit le module de cycles suivant de base R :

H_{r,L,A}^{∗} := H_{m,A_{p̸}}^{∗} ⊕ H_{p^{n},L,A_{p}}^{∗}.

Utilisant les Théorèmes 3.11 et 4.16, on obtient le théorème suivant. Théorème 4.20. Soient k un corps de car(k) = p > 0, A une k-algèbre simple centrale de ind_{k}(A) = r et \overline{L} une extension finie de k qui déploie A_{p}. Soient (K, R, k) un triplet de Cohen associé à k et (L, S, \overline{L}) un triplet de Cohen associée à \overline{L}. Soient B la Ralgèbre d’Azumaya relevée et ρ′ ∈ Inv^{4} (SK_{1}(B_{K}), H_{r,L,B_{K}}^{∗}). Alors, il existe un unique ρ ∈ Inv^{4} (SK_{1}(A), H_{r,L,A}^{∗}), que l’on appelle l’invariant spécialisé de ρ′, tel que pour toute extension de Cohen (K′, R′, k′) de (K, R, k) le diagramme suivant commute :

\xymatrix{SK_{1}(A)(k′) \ar[r]^{ρ_{k′}} & H_{r,L,A}^{4}(k′) \ar[d] \\ SK_{1}(B_{K})(K′) \ar[u]_{≅} \ar[r]_{ρ′_{K′}} & H_{r,L,B_{K}}^{4}(K′).}  (4.10)

En général on sait donc définir un invariant de Suslin de SK_{1}(A). Corollaire 4.21. Sous les mêmes conditions que dans le Théorème 4.20, l’invariant de Suslin ρ_{Sus,B_{K}} induit un unique invariant dans Inv^{4}(SK_{1}(A), H_{r,L,A}^{∗}) (satisfaisant la propriété de relèvement), ce que l’on appelle l’invariant de Suslin ρ_{Sus,A} de A.

5 Remarques finales

Finissons ce texte par donner quelques remarques. Notons tout d’abord que Knus-Merkurjev-Rost-Tignol ont également défini un invariant de SK_{1}(A) pour une algèbre de biquaternions A en caractéristique quelconque [KMRT, SS17]. L’auteur rapporte que les deux invariants sont liés. Il étudiera ce sujet dans un prochain papier [Wou] utilisant le fait qu’ils sont les mêmes dans le cas modéré [KMRT, Notes §17], [Sus2, Thm. 4]. Commentons maintenant sur un autre point de vue sur la construction et puis sur quelques réflexions de la conjecture de Suslin.

5.1 Autre point de vue

Il y a une autre façon de regarder à la construction utilisant les groupes A^{i}, Ã^{0} et A_{mult}^{0} de §2.2 (c) et §2.3 (b). Soient (K, R, k) un p-triplet de Cohen, A une k-algèbre simple centrale de ind_{k}(A) = p^{n}, B la R-algèbre d’Azumaya relevée, (L, S, \overline{L}) une extension de Cohen finie galoisienne de (K, R, k) tel que \overline{L} deploie A et H^{∗} := H_{n,L,B_{K}}^{∗} le module de cycles avec base R de la Définition 4.8. Notons G G G := SL_{1}(B) qui est défini, de façon analogue que SL_{1}(B_{K}), avec une norme réduite sur B induit par un scindage B ⊗_{R} S ≅ M_{m}(S) – voir [Knu, Ch. III, SS1] pour plus de détails. La fibre générique G G G_{K} = SL_{1}(B_{K}) est un ouvert de G G G. Le fermé complémentaire Z est l’image de la fibre spéciale G = SL_{1}(A) dans G G G sous l’immersion des schémas ψ : G → G G G. Pour tout entier i ≥ 0, les points de Z de codimension i+1 correspondent sous ψ aux points de codimension i dans G. De même façon, Spec(K) est un ouvert de Spec(R) avec fermé complémentaire l’image de Spec(k). La suite de localisation de Rost [Ros1, §5] donne donc des suites exactes :

\xymatrix{0 \ar[r] & A^{0}(R, H^{4}) \ar[r] \ar[d] & A^{0}(K, H^{4}) \ar[r] \ar[d] & A^{0}(k, H^{3}) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & A^{0}(G G G, H^{4}) \ar[r] & A^{0}(G G G_{K}, H^{4}) \ar[r] & A^{0}(G, H^{3}) \ar[r] & …}  (5.1)

Le Corollaire 3.14 et le Corollaire 4.14 (étant généralisé à H^{∗} dans la démonstration du Théorème 4.14) induiquent que Ã^{0}(G, H^{3}) est trivial. À base du diagramme (5.1), le lemme du serpent donne donc un isomorphisme

Ã^{0}(G G G_{K}, H^{4}) ≅ Ã^{0}(G G G, H^{4})

qui respecte les éléments multiplicatifs. C’est-à-dire dû à l’isomorphisme de Merkurjev (2.7), on a également un isomorphisme

Inv^{4}(G G G_{K}, H^{∗}) ≅ Ã^{0}(G G G, H^{4})_{mult}.

Le groupe à droite est défini de façon pareille que pour des groupes algébriques dans §2.3 (b). Puisque H^{∗} a base R, le morphisme G → G G G de schémas donne également un morphisme

A^{0}(G G G, H^{4}) → A^{0}(G, H^{4})

qui donne de la même façon un morphisme d’invariants

Ã^{0}(G G G, H^{4})_{mult} → Inv^{4}(G, H^{∗}).  (5.2)

Au total, on obtient un diagramme

[figure: Inv^{4}(SK_{1}(B_{K}), H^{∗}); π; Inv^{4}(G G G_{K}, H^{∗}); φ; Inv^{4}(SK_{1}(A), H^{∗}); Inv^{4}(G, H^{∗})]

qui induit l’existence de la flêche pointée. En effet, soient ρ ∈ Inv^{4}(SK_{1}(B_{K}), H^{∗}) et (F, S, \overline{F}) une extension de Cohen de (K, R, k), alors (φ ∘ π(ρ))\overline{F} envoie les commutateurs de A× ; \overline{F} à 0 puisqu’il correspondent aux commutateurs de B_{F}^{×} grâce à l’isomorphisme SK_{1}(A)(\overline{F}) ≅ SK_{1}(B_{K})(F) (Corollaire 3.3).

Dans les Théorèmes 4.16 et 4.20, nous avons aussi construit ce morphisme pointé de groupes d’invariants mais d’une façon plus explicite.

5.2 Conjecture de Suslin

Nous finissons ce texte donc par quelques remarques autour de la conjecture de Suslin. Commençons par rappeler la conjecture.

Conjecture 5.1 (Suslin [Sus1]). Soient k un corps et A une k-algèbre simple centrale. Alors, SK_{1}(A) = 0 si est seulement si ind_{k}(A) est sans facteurs carrés.

Comme mentionnée dans l’introduction, c’est une question de nécessité, puisque Wang a démontré que pour une algèbre simple centrale A, le groupe de Whitehead réduit SK_{1}(A) est trivial si ind_{k}(A) est sans facteurs carrés [Wan]. Dû à la décomposition (4.9), il suffit de traiter le cas où l’indice de A est p-primaire pour un premier p. De plus, par la formule de réduction d’indice, il suffit de démontrer que SK_{1}(A) ≠ 0 si ind_{k}(A) = p^{2} (p premier)[Bla, Prop. 4].

Nous pouvons ajouter une question sur l’invariant de Suslin.

Question 5.2. Soient k un corps et A une k-algèbre simple centrale de ind_{k}(A) contenant un facteur carré. Est-ce que l’invariant de Suslin ρ_{Sus,A} est non trivial ?

Remarque 5.3 – Bien évidemment, une réponse affirmative à cette question impliquerait la conjecture de Suslin. Alors, on pourrait appeler cette question la version forte de la conjecture de Suslin.

De nouveau, par la formule de réduction de l’indice, il suffit de répondre à la question pour des k-algèbres simples centrales A de ind_{k}(A) = p^{2} (p premier).

Merkurjev a démontré que la conjecture de Suslin vaut pour des algèbres simples centrales avec indice divisible par 4 (par exemple une k-algèbre de biquaternions) [Mer2]. Puisque l’invariant de Suslin pour des biquaternions est injectif dans le cas modéré [Sus2, Thm. 3], il est par construction aussi injectif dans le cas sauvage. Alors, on obtient que pour une k-algèbre simple centrale A de ind_{k}(A) divisible par 4, ρ_{Sus,A} n’est pas trivial, indépendamment de car(k) (en particulier pour les caractéristiques sauvages, comme 2).

Récemment Rehman-Tikhonov-Yanchevskiĭ ont en plus démontré qu’il suffit de vérifier la conjecture de Suslin pour des algèbres à division cycliques. Il suffit même de démontrer la conjecture pour une classe d’algèbres à division cycliques élémentaires (des produits tensoriels de deux algèbres cycliques de Dickson) [RTY, Thm 0.19 - 0.20].

En utilisant des relèvements d’algèbres simples centrales de la caractéristique positive à la caractéristique 0 comme dans §3.2 (a), on obtient l’énoncé de comparaison suivant.

Proposition 5.4. Soient (K, R, k) un p-triplet de Cohen, A une k-algèbre simple centrale et B la R-algèbre d’Azumaya relevée. Si la conjecture de Suslin (forte) vaut pour A, alors elle vaut aussi pour B_{K}.

Démonstration. Rappelons que ind_{k}(A) = ind_{K}(B_{K}). L’enoncé sur la conjecture de Suslin même suit donc immédiatement du Corollaire 3.3. L’enoncé sur la conjecture de Suslin forte est vrai, parce que l’invariant de Suslin satisfait/est défini par un morphisme

Inv^{4} (SK_{1}(B_{K}), H_{r,L,B_{K}}^{∗}) → Inv^{4} (SK_{1}(A), H_{r,L,A}^{∗}) .

■

Remarque 5.5 – Une réciproque de la Proposition 5.4 est une question ouverte et ne suit pas formellement des définitions. En effet, si SK_{1}(A) = 0, c’est-à-dire SK_{1}(A ⊗_{k} k′) = 0 pour toute extension de corps k′ de k. Alors, SK_{1}(B_{K} ⊗_{K} K′) = SK_{1}(A ⊗_{k} k′) = 0 pour toute extension de Cohen (K′, R′, k′) de (K, R, k). Mais, il n’est pas sûr que SK_{1}(B_{K} ⊗_{K} F) = 0 pour toute extension F de K. On peut reformuler la situation aussi dans le cadre de §5.1 ; la Question 5.2 se traduit à la possible injectivité du morphisme (5.2).

Les constructions effectuées par l’auteur ne lui semblent donc pas donner de façons immédiates à faire des réductions fortes de caractéristiques. Il serait intéressant de pouvoir définir une des flèches pointées (dans un sens au choix) dans le diagramme en bas. On y abrège la conjecture de Suslin (forte) par CS(F).

[figure: CS en caractéristique positive; ?; CS en caractéristique 0; CSF en caractéristique positive; ?; CSF en caractéristique 0]

A Vérification des règles

Dans cette appendice, on vérifie que toutes les règles sont bien définies pour le module de cycles H_{p^{n},L}^{∗} de la Section 4. Nous rappelons les règles pour un module de cycles M de base R et vérifions qu’ils vont pour le module de cycle H_{p^{n},L}^{∗}. Dans les règles, E, F, G sont des R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰 arbitraires, et toute application entre des corps est un morphisme de R-𝔠𝔬𝔯𝔭𝔰.

R1a : Pour tous φ : F → E, ψ : E → G, on a (ψ ∘ φ)_{∗} = ψ_{∗} ∘ φ_{∗}. R1b : Pour tous φ : F → E, ψ : E → G finis, on a (ψ ∘ φ)^{∗} = φ^{∗} ∘ ψ^{∗}. R1c : Soient φ : F → E, ψ : F → G avec φ fini et S = G ⊗_{F} E. Pour p ∈ Spec(S),

soient φ_{p} : G → S/p, ψ_{p} : E → S/p les applications naturelles et l_{p} la longueur de l’anneau localisé S_{(p)}. Alors,

ψ_{∗} ∘ φ^{∗} = ∑_{p} l_{p} · (φ_{p})^{∗} ∘ (φ_{p})_{∗}.

R2 : Pour φ : F → E, x ∈ K_{∗}F, y ∈ K_{∗}E, ρ ∈ M(F), μ ∈ M(E), on a (avec φ fini dans

R2b et R2c) : R2a : φ_{∗}(x · ρ) = φ_{∗}(x) · φ_{∗}(ρ), R2b : φ^{∗}(φ_{∗}(x) · μ) = x · φ^{∗}(μ), et R2c : φ^{∗}(y · φ_{∗}(ρ)) = φ^{∗}(y) · ρ.

R3a : Soient φ : E → F et v une valuation de F qui se restreint à une valuation w non triviale sur E avec indice de ramification e. Soit φ̄ : κ(w) → κ(v) l’application induite. Alors,

∂_{v} ∘ φ_{∗} = e · φ̄_{∗} ∘ ∂_{w}.

R3b : Soient φ : F → E fini et v une valuation de F. Pour toute extension w de v sur E, soit φ_{w} : κ(v) → κ(w) l’application induite. Alors,

∂_{v} ∘ φ^{∗} = ∑_{w} φ_{w}^{∗} ∘ ∂_{w}.

R3c : Soient φ : E → F et v une valuation de F qui est triviale sur E. Alors,

∂_{v} ∘ φ_{∗} = 0.

R3d : Soient φ : E → F, v une valuation de F qui est triviale sur E, φ̄ : E → κ(v) l’application induite et π une uniformisante de v. Soit de plus s_{v}^{π} : M(F) → M(κ(v)) défini par s_{v}^{π}(ρ) = ∂_{v}({−π} · ρ), alors

s_{v}^{π} ∘ φ_{∗} = φ̄_{∗}.

R3e : Soient v une valuation sur F, u une v-unité et ρ ∈ M(F), alors on a

∂_{v}({−u} · ρ) = −{ū} · ∂_{v}(ρ).

Pour un R-schéma X, on note M(x) = M(κ(x)) pour x ∈ X. Si X est irréductible, son point générique est noté ξ. Si X est normal, tout x ∈ X^{(1)} induit ∂_{x} : M(ξ) → M(x). Pour tous x, y ∈ X, on définit maintenant ∂_{y}^{x}. On pose ∂_{y}^{x} = 0 si Z = \overline{\{x\}} et y ∉ Z^{(1)}. Autrement, soit Z̃ → Z la normalisation et

∂_{y}^{x} := ∑_{z|y} φ_{z}^{∗} ∘ ∂_{z},

où z parcourt les points de Z̃ au dessus de y et φ_{z} est le morphisme fini κ(y) → κ(z). FD : (« Finite support of divisors ») Soient X un R-schéma normal et ρ ∈ M(ξ). Alors,

∂_{x}(ρ) = 0 pour presque tout x ∈ X^{(1)}. C : (« Closedness ») Soient X intégral, local de dimension 2 et x_{0} le point fermé de X.

Alors,

0 = ∑_{x∈X^{(1)}} ∂_{x_{0}}^{x} ∘ ∂_{x}^{ξ} : M(ξ) → M(x_{0}).

Proposition A.1. Soit (K, R, k) un p-triplet de Cohen avec (L, S, \overline{L}) une extension de Cohen finie galoisienne. Alors, H_{p^{n},L}^{∗} de la Définition 4.3 respecte les règles R1a-R3e, FD et C de module de cycles (n > 1) un entier.

Remarque A.2 – Les données D1-D4 sont données dans §4.1 (b), (d), (e) et (f).

Démonstration. Les règles R1a-R3e suivent immédiatement de la définition de H_{p^{n},L}^{∗}. À noter que la règle R1c suit de la propriéte universelle des produits tensoriels. La vérification de la règle FD suit comme dans le cas classique du support fini des diviseurs [Har, Ch. II. Lem. 6.1].

Nous allons déduire la règle C du fait qu’il vaut pour les K-groupes de Milnor [Kat2]. Les résidus ∂_{K} pour les K-groupes de Milnor sont expliqués dans §2.1 (d) et dans (4.7). Pour éviter une K-cophonie, nous supposons pour cette partie que la base de module de cycles est (F, R, \overline{F}) au lieu de (K, R, k). Soit donc X un R-schéma intégral et local de dimension 2. On suppose tout d’abord que le morphisme structural X est surjectif. Alors, X := X ×_{R} F est un F -schéma et Y := X ×_{R} \overline{F} est un \overline{F} -schéma, tous les deux de dimension 1 et car(F (X)) = 0 et car(\overline{F} (Y)) = p. Il faut donc vérifier que la composition des résidus fournit un complexe (y_{0} le point fermé de X et q ≥ 2) :

H_{p^{n},L}^{q+1}(F (X)) → ⨁_{x∈X^{(1)}} H_{p^{n},L}^{q}(F (x)) ⊕ ⨁_{y∈Y^{(0)}} H_{p^{n},L}^{q}(\overline{F} (y)) → H_{p^{n},L}^{q−1}(\overline{F} (y_{0})).  (A.1)

Nous allons décrire les groupes et les résidus en question avec des K-groupes pour pouvoir utiliser la règle C pour les groupes de K-théorie. Décrivons d’abord les différents groupes avec la K-théorie de Milnor.

– Le groupe H_{p^{n},L}^{q+1}(F (X)) :

Puisque

Γ = Gal(F_{nr}(X)/F (X)) ≅ Gal(F_{nr}/F) ≅ Gal(\overline{F}_{s}/\overline{F}),

on sait que cd_{p}(Γ) ≤ 1 [Ser2, Ch. II, Prop. 3]. La suite spectrale de Hochschild-Serre

E_{2}^{s,t} := H^{s} (Γ, H^{t}(F_{nr}(X), μ_{p^{n}}^{⊗q})) ⟹ H^{s+t}(F (X), μ_{p^{n}}^{⊗q})

induit donc un isomorphisme

H^{1}(Γ, H^{q}(F_{nr}(X), μ_{p^{n}}^{⊗q})) ≅ ker[H_{p^{n}}^{q+1}(F (X)) → H_{p^{n}}^{q+1}(F_{nr}(X))].

La conjecture de Bloch-Kato, prouvée par Voevodsky-Rost-Weibel [BK, Voe, Ros2, Wei], dit en plus que H^{q}(F_{nr}(X), μ_{p^{n}}^{⊗q}) ≅ K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n}. Ceci nous donne un isomorphisme

H^{1}(Γ, K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n}) ≅ ker[H_{p^{n}}^{q+1}(F (X)) → H_{p^{n}}^{q+1}(F_{nr}(X))]  (A.2)

et donc une inclusion

H_{p^{n},L}^{q+1}(F (X)) ⊂ H^{1}(Γ, K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n}).  (A.3)

– Le groupe H_{p^{n},L}^{q+1}(F (x)) pour x ∈ X^{(1)} :

De même façon que ci-dessus, on obtient une inclusion

H_{p^{n},L}^{q}(F (x)) ⊂ H^{1}(Γ, K_{q−1}(F_{nr}(x))/p^{n}).  (A.4)

– Le groupe H_{p^{n},L}^{q}(\overline{F} (y)) pour y ∈ Y^{(0)} :

Soit y ∈ Y^{(0)}, alors H_{p^{n}}^{q}(\overline{F} (y)) ≅ H^{1}(\overline{F} (y), ν_{n}(q − 1)_{\overline{F} (y)_{s}}). L’isomorphisme de Bloch-Kato-Gabber ν_{n}(q −1)_{\overline{F} (y)_{s}} ≅ K_{q−1}(\overline{F} (y)_{s})/p^{n} [BK, Thm. 2.1] donne donc un isomorphisme,

H^{1}(\overline{F} (y), K_{q−1}(\overline{F} (y)_{s})/p^{n}) ≅ H_{p^{n}}^{q+1}(\overline{F} (y)),

qui implique aussi une inclusion :

H_{p^{n},L}^{q}(\overline{F} (y)) ≅ ker[H^{1}(\overline{F} (y), K_{q−1}(\overline{F} (y)_{s})/p^{n}) → H^{1}(\overline{L}(y), K_{q−1}(\overline{F} (y)_{s})/p^{n})]

⊂ ker[H^{1}(\overline{F} (y), K_{q−1}(\overline{F} (y)_{s})/p^{n}) → H^{1}(\overline{F}_{s}(y), K_{q−1}(\overline{F} (y)_{s})/p^{n})]. (A.5)

Ce dernier est isomorphe à H^{1}(Γ, (K_{q−1}(\overline{F} (y)_{s})/p^{n})^{Γ_{\overline{F} s(y)}}) par la suite d’inflationrestriction [GS, Prop. 3.3.14].

– Le groupe H_{p^{n},L}^{q}(\overline{F} (y_{0})) pour y_{0} le point fermé de X : Alors comme au-dessus :

H_{p^{n},L}^{q−1}(\overline{F} (y_{0})) ⊂ H^{1} (Γ, (K_{q−2}(\overline{F} (y_{0})_{s})/p^{n})^{Γ_{\overline{F} s(y_{0})}}) .  (A.6)

Expliquons maintenant les résidus en termes de K-théorie.

– Le résidu ∂_{x} : H_{p^{n},L}^{q+1}(F (X)) → H_{p^{n},L}^{q+1}(F (x)) pour x ∈ X^{(1)} : La valuation associée à x induit bien le résidu ∂_{x}, mais aussi un résidu Γ-équivariant ∂_{K,x} : K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n} → K_{q−1}(F_{nr}(x))/p^{n} (puisque Gal(F_{nr}(x)/F (x)) ≅ Γ). Ceci induit donc un morphisme (à qui on donne le même nom par abus de notation) :

∂_{K,x} : H^{1}(Γ, K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n}) → H^{1}(Γ, K_{q−1}(F_{nr}(x))/p^{n}).

Le Lemme A.3 plus loin induit que ∂_{K,x} est compatible avec ∂_{x} par les inclusions (A.3) et (A.4), c’est-à-dire on a un diagramme commutatif :

\xymatrix{H_{p^{n},L}^{q+1} (F (X)) \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_{∂_{x}} & H^{1}(Γ, K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n}) \ar[d]^{∂_{K,x}} \\ H_{p^{n},L}^{q} (F (x)) \ar@{^{(}->}[r] & H^{1}(Γ, K_{q−1}(F_{nr}(x))/p^{n}).}  (A.7)

– Le résidu ∂_{y} : H_{p^{n},L}^{q+1}(F (X)) → H_{p^{n},L}^{q}(\overline{F} (y)) pour y ∈ Y^{(0)} : La valuation associée à y induit bien un résidu ∂_{y}. Dans le Lemme A.3, on démontre que sous l’injection (A.5) im(∂_{y}) est envoyé dans H^{1} (Γ, K_{q}(\overline{F}_{s}(y))/p^{n}). De l’autre côté, la valuation associée à y induit un résidu Γ-équivariant ∂_{K,y} : K_{q}(F_{nr}(X)) → K_{q−1} (\overline{F}_{s}(y)) et donc un morphisme :

∂_{K,y} : H^{1}(Γ, K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n}) → H^{1}(Γ, K_{q−1}(\overline{F}_{s}(y))/p^{n}).

Le Lemme A.3 démontre qu’on a un diagramme commutif qui exprime la compatibilité de ∂_{y} et de ∂_{K,y} sous les inclusions (A.3) et (A.5) :

\xymatrix{H_{p^{n},L}^{q+1} (F (X)) \ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_{∂_{y}} & H^{1}(Γ, K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n}) \ar[d]^{∂_{K,y}} \\ H_{p^{n},L}^{q} (\overline{F} (y)) \ar@{^{(}->}[r] & H^{1}(Γ, K_{q−1}(\overline{F}_{s}(y))/p^{n}).}  (A.8)

– Le résidu ∂_{y_{0}}^{x} : H_{p^{n},L}^{q+1}(F (x)) → H_{p^{n},L}^{q+1}(F (y_{0})) pour x ∈ X^{(1)} :

De nouveau, on a bien le résidu ∂_{y_{0}}^{x}, et dans le Lemme A.3 on démontre que sous l’inclusion (A.6) im(∂_{y_{0}}^{x}) est contenu dans H^{1} (Γ, K_{q−2}(\overline{F}_{s}(y_{0}))/p^{n}). Par ailleurs, on a aussi un résidu Γ-équivariant ∂_{K,y_{0}}^{x} : K_{q−1}(F_{nr}(x)) → K_{q−2}(\overline{F}_{s}(y_{0})) qui donne au niveau de cohomologie un morphisme :

∂_{K,y_{0}}^{x} : H^{1}(Γ, K_{q−1}(F_{nr}(x))/p^{n}) → H^{1}(Γ, K_{q−2}(\overline{F}_{s}(y_{0}))/p^{n}).

De nouveau, le Lemme A.3 garantit que ∂_{K,y_{0}}^{x} est compatible avec ∂_{y_{0}}^{x} sous les inclusions (A.4) et (A.6) formant ainsi le diagramme commutatif :

\xymatrix{H_{p^{n},L}^{q}(F (x)) \ar[d]_{∂_{y_{0}}^{x}} \ar@{^{(}->}[r] & H^{1}(Γ, K_{q−1}(F_{nr}(x))/p^{n}) \ar[d]^{∂_{K,y_{0}}^{x}} \\ H_{p^{n},L}^{q−1}(\overline{F} (y_{0})) \ar@{^{(}->}[r] & H^{1}(Γ, K_{q−2}(\overline{F}_{s}(y_{0}))/p^{n}).}  (A.9)

– Le résidu ∂_{y_{0}}^{y} : H_{p^{n},L}^{q}(\overline{F} (y)) → H_{p^{n},L}^{q+1}(F (y_{0})) pour y ∈ Y^{(0)} :

Dans cette situation, on a aussi un résidu ∂_{y_{0}}^{y} sur les groupes de cohomologie et un résidu Γ-équivariant de la K-théorie ∂_{K,y_{0}}^{y} : K_{q−1}(\overline{F}_{s}(y)) → K_{q−2}(\overline{F}_{s}(y_{0})) (pour y ∈ Y^{(1)}). Alors, ∂_{K,y_{0}}^{y} induit un morphisme au niveau de cohomologie :

∂_{K,y_{0}}^{y} : H^{1}(Γ, K_{q−1}(\overline{F}_{s}(y))/p^{n}) → H^{1}(Γ, K_{q−2}(\overline{F}_{s}(y_{0}))/p^{n}),

et le Lemme A.3 démontre la compatibilité de ∂_{K,y_{0}}^{y} avec ∂_{y_{0}}^{y} sous les inclusions (A.5) et (A.6) :

\xymatrix{H_{p^{n},L}^{q}(\overline{F} (y)) \ar[d]_{∂_{y_{0}}^{y}} \ar@{^{(}->}[r] & H^{1}(Γ, K_{q−1}(\overline{F}_{s}(y))/p^{n}) \ar[d]^{∂_{K,y_{0}}^{y}} \\ H_{p^{n},L}^{q−1}(\overline{F} (y_{0})) \ar@{^{(}->}[r] & H^{1}(Γ, K_{q−2}(\overline{F}_{s}(y_{0}))/p^{n}).}  (A.10)

En somme, on a donc un ensemble de résidus,

H^{1}(Γ, K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n}) → ⨁_{x∈X^{(1)}} H^{1}(Γ, K_{q−1}(F_{nr}(x))/p^{n})⊕ ⨁_{y∈Y^{(0)}} H^{1}(Γ, K_{q−1}(\overline{F}_{s}(y))/p^{n})

→ H^{1}(Γ, K_{q−2}(\overline{F}_{s}(y_{0}))/p^{n}),

dont on sait que c’est un complexe parce que les K-groupes de Milnor respectent la règle C [Kat2]. Les diagrammes commutatifs (A.7,A.8,A.9,A.10) donnent bien que (A.1) est un complexe.

Si le morphisme structural n’est pas surjectif, on a ou bien un F -schéma, ou bien un \overline{F} -schéma. Si X est un F -schéma, les groupes en vigueur sont définis commes des noyaux des groupes de la cohomologie galoisienne modéré. La règle C suit donc de la règle C du cas modéré. Si X est un \overline{F} -schéma, on réécrit (A.1) avec (4.2) et l’isomorphisme de Bloch-Gabber-Kato comme

H^{1}(Γ, K_{q}(\overline{F}_{s}(X))/p^{n}) → ⨁_{x∈X^{(1)}} H^{1}(Γ, K_{q−1}(\overline{F}_{s}(x))/p^{n}) → H^{1}(Γ, K_{q−1}(\overline{F}_{s}(x_{0}))/p^{n}),

avec x_{0} le point fermé de X. Celui est de nouveau un complexe, parce que les résidus sont compatibles avec les résidus de la K-théorie de Milnor (voir Lemme A.3 dans le cas “y et y_{0}”), et parce que la règle C vaut pour la K-théorie de Milnor [Kat2]. ■

Lemme A.3. Soit X un R-schéma tel que le morphisme structural est surjectif, alors les diagrammes (A.7,A.8,A.9,A.10) sont commutatifs.

Démonstration. On a quatre situations ; traitons-les cas par cas.

– Le diagramme (A.7) est commutatif pour x ∈ X^{(1)} : L’isomorphisme K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n} ≅ H^{q}(F_{nr}(X), μ_{p^{n}}^{⊗q}) de Bloch-Kato est défini par le symbole galoisien. Cet isomorphisme commute avec le résidu usuel sur H^{q}(F_{nr}(X), μ_{p^{n}}^{⊗q}) (avec une section donnée par le cup-produit par la classe d’une uniformisante π_{x} pour la valuation associée à x) [GS, Prop. 7.5.1]. On en déduit le résultat, puisque l’isomorphisme (A.2) est l’inflation, et puisque ∂_{x} a aussi une section donnée par le cup-produit par la classe de π_{x}.

– Le diagramme (A.8) est commutatif pour y ∈ Y^{(0)} : Il faut donc aussi vérifier que im(∂_{y}) est contenu dans H^{1} (Γ, K_{q−1}(\overline{F}_{s}(y))/p^{n}). Parce que le résidu ∂_{y} est défini par une section, on peut prendre w ⊗ x̄_{2} ⊗ … ⊗ x̄_{q} ∈ H_{p^{n},L}^{q}(\overline{F} (y)) avec w ∈ W_{n}(\overline{F} (y)) et x_{2}, …, x_{q} ∈ O_{y}^{×} (O_{y} étant l’anneau de valuation associé à la valuation induite par y). Si π_{y} est une uniformisante de F (X) pour la valuation associée à y, il est le résidu de

i(w) ∪ h_{p^{n},F (X)}^{q}({π_{y}, x_{2}, … x_{q}}) ∈ H_{p^{n},L}^{q+1} (F (X)) .

Il correspond donc à

((σ(a) − a){π_{y}, x_{2}, …, x_{q}})_{σ} ∈ H^{1} (Γ, K_{q}(F_{nr}(X))/p^{n}) ,

où a^{(p)} − a = w avec a ∈ W_{n}(\overline{F} (y)) et où on considère (σ(a) − a) comme élement de ℤ/p^{n}ℤ. Par ailleurs, w ⊗ x̄_{2} ⊗ … ⊗ x̄_{q} correspond à

((σ(a) − a)\{x̄_{2}, …, x̄_{q}\})_{σ} ∈ H^{1}(Γ, K_{q}(\overline{F} (y)_{s})/p^{n}).

La commutativité suit donc, et il est aussi clair que ((σ(a) − a){x̄_{2}, …, x̄_{q}})_{σ} est en effet un élément de H^{1} (\overline{F} (y), K_{q} (\overline{F}_{s}(y)) /p^{n}), parce que ∂_{K,y} tombe dedans.

– Le diagramme (A.9) est commutatif pour x ∈ X^{(1)} : On sait le vérifier de façon analogue au cas précedent.

– Le diagramme (A.10) est commutatif pour y ∈ Y^{(0)} : Les isomorphismes

ν_{n}(q − 1)_{\overline{F} (y)_{s}} ≅ K_{q−1}(\overline{F} (y)_{s})/p^{n}, ν_{n}(q − 2)_{\overline{F} (y_{0})_{s}} ≅ K_{q−2}(\overline{F} (y_{0})_{s})/p^{n},

et le résidu K_{q−1}(\overline{F} (y)_{s}) → K_{q−2}(\overline{F} (y_{0})_{s}) induisent un résidu,

ν_{n}(q − 1)_{\overline{F} (y)_{s}} → ν_{n}(q − 2)_{\overline{F} (y_{0})_{s}}, defini par
a ⊗ π_{0} ⊗ x_{2} ⊗ … ⊗ x_{q−1} ↦ ā ⊗ x̄_{2} … ⊗ x̄_{q−1}.

Ici, a ∈ W_{n}(O_{v}) et x_{i} ∈ O_{v}^{×}, où O_{v} est l’anneau de valuation associé à la valuation v induite par y_{0} avec π_{0} une uniformisante. Par la définition du résidu ∂_{y_{0}}^{y} (voir les Remarques 4.2 et 4.7), il est clair que les résidus sont compatibles.

■

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