Formules pour l’invariant de Rost

Philippe Gille^{∗} Anne Quéguiner-Mathieu^{†}

Abstract : We provide an exact formula for the Rost invariant H^{1}(k, G) → H^{3}(k) of special linear groups. Keywords : Galois cohomology, linear algebraic groups. MSC : 11E72.

Table des matières

1 Introduction et notations 2

2 Extensions de groupes 3 2.1 Extensions de Γ–groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Lemme préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Extensions centrales d’un groupe parfait . . . . . . . . . . . . 6 2.4 Extension centrale d’un groupe abélien . . . . . . . . . . . . . 7 2.5 Extensions d’un groupe cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.6 Extensions de groupes et 2-extensions au sens de Yoneda … 9

3 Extensions de Brylinski-Deligne 12 3.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Action galoisienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Calculs explicites pour SL_{1}(A) 16 4.1 Algèbres cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.2 Calcul dans un cas particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.3 Démonstration du théorème 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5 Restriction au centre de l’invariant de Rost 21

∗UMR 8552 du CNRS, DMA, Ecole Normale Supérieure, F-75005 Paris †Université Paris 13 (LAGA, UMR CNRS 7539) et Université Paris 12, - Institut Galilée, F-93430 Villetaneuse

6 Groupes exceptionnels de type G_{2}, F_{4} et E_{8} 25 6.1 Sous-groupes finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2 Calcul explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1 Introduction et notations

Soient k un corps, k_{s} une clôture séparable de k et Γ_{k} = Gal(k_{s}/k) le groupe de Galois absolu de k. Si G/k est un groupe semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple, on dispose de l’invariant de Rost [EKLV] [M]

r_{G} : H^{1}(k, G) → H^{3}(k) := H^{3}(k, (ℚ/ℤ)(2))

qui associe à la classe d’un G–torseur une classe de cohomologie galoisienne de degré 3, où pour d ≥ 0, H^{d+1}(k, (ℚ/ℤ)(d)) désigne le groupe de cohomologie galoisienne modifié à la Kato [K] sur la composante p–primaire si k est de caractéristique p positive [M, app. A].

Le premier but de cet article est d’établir une formule exacte pour l’invariant de Rost dans le cas du groupe G = SL_{1}(A), où A est une k-algèbre centrale simple. On sait alors que la suite exacte

1 → SL_{1}(A) → GL_{1}(A) ⟶^{Nrd_{A}} 𝔾_{m} → 1

induit un isomorphisme H^{1}(k, G) ≅ k^{×}/Nrd(A^{×}), et que le cup-produit avec la classe de Brauer [A] ∈ Br(k) = H^{2}(k, (ℚ/ℤ)(1)) engendre le groupe des invariants de degré 3 de SL_{1}(A) [M, p.107]. Pour comparer ce générateur et l’invariant de Rost, on convient d’identifier le groupe de Brauer de k et H^{2}(k) par le cobord, comme dans [GiS, §4.4]. Notons que cette convention est opposée à celle de [M, Appendix A], donnée par le produit croisé cf. [KMRT, p.397].

Théorème 1.1 Soit A une k-algèbre simple centrale de degré n. On note [A] ∈ _{n}Br(k) = _{n}H^{2}(k) sa classe dans le groupe de Brauer de k. Pour tout [v] ∈ H^{1}(k, SL_{1}(A)) = k^{×}/Nrd(A^{×}), on a

r_{SL_{1}(A)}([v]) = (v).[A] ∈ H^{3}(k),

où (v) désigne la classe dans _{n}H^{1}(k) = k^{×}/k^{×}^{n} d’un représentant quelconque de [v].

La méthode employée consiste à utiliser des cocycles explicites pour des algèbres cycliques, l’ingrédient fondamental étant les extensions centrales de Brylinski-Deligne [BD] qui permettent une approche galoisienne des extensions centrales de Matsumoto [Ms].

On propose ensuite deux applications du résultat principal. Le § 5 précise les résultats obtenus dans [MPT] et [GQ] concernant la restriction de l’invariant de Rost aux torseurs issus du centre du groupe. La seconde application concerne les groupes de type G_{2}, F_{4} et E_{8} dont le centre est trivial. Ces groupes possédent un sous-groupe de la forme A = μ_{l} × μ_{l} × ℤ/lℤ de centralisateur fini, et l’on donne au § 6 une description de l’invariant de Rost pour les torseurs issus de A.

2 Extensions de groupes

Dans toute cette partie, A désigne un groupe abélien, et

0 → A → E ⟶^{p} G → 1

est une extension d’un certain groupe G par A. On rappelle que l’action de E sur A par automorphisme intérieur se factorise en une action θ : G → Aut(A), ce qui munit A d’une structure de G–module. De plus, si l’on fixe une action de G sur A, les extensions de G par A qui induisent cette action sont classifiées par le groupe H^{2}(G, A) (cf. par exemple [W, §6.6]).

2.1 Extensions de Γ–groupes

Soit Γ un groupe. On suppose ici que A, E et G sont des Γ-groupes et que l’extension ci-dessus est compatible à l’action de Γ. Elle donne lieu à une suite exacte longue d’ensembles pointés [S1, §I.5.4]

1 → H^{0}(Γ, A) → H^{0}(Γ, E) → H^{0}(Γ, G) ⟶^{φ}

H^{1}(Γ, A) → H^{1}(Γ, E) → H^{1}(Γ, G) ⟶^{Δ} H^{2}(G, A).

Nous nous proposons de donner une description du bord Δ en termes d’extensions de groupes. On rappelle que l’ensemble des 1-cocycles Z^{1}(Γ, G) n’est pas autre chose que l’ensemble des sections de G ⋊ Γ → Γ. En effet, si z ∈ Z^{1}(Γ, G), on lui associe la section u_{z} : Γ → G ⋊ Γ, σ ↦ z_{σ} σ (ibid, §5.1, exercice 1). Etant donné un 1–cocycle z : Γ → G, on peut retirer en arrière par u_{z} l’extension

1 ⟶ A ⟶ E ⋊ Γ ⟶ G ⋊ Γ ⟶ 1
||  ↑  ^{u_{z}}↑
1 ⟶ A ⟶ E(z) ⟶ Γ ⟶ 1.

Lemme 2.1 Δ([z]) = [E(z)] ∈ H^{2}(Γ, A).

Démonstration : On vérifie par calcul. Pour chaque σ ∈ Γ, on choisit un relevé par e_{σ} ∈ E de z_{σ} de sorte que z_{e} est l’élément neutre de E. Alors Δ([z]) est par définition la classe du 2-cocycle

a_{σ,τ} = e_{σ} ^{σ}e_{τ} e_{στ}^{−1} ∈ A.

De l’autre coté, f_{σ} := e_{σ} σ ∈ E(z) définit un relevé de σ pour le morphisme E(z) → Γ. La classe de E(z) dans H^{2}(Γ, A) est celle du 2–cocycle (voir [W, th. 6.6.3])

f_{σ} f_{τ} f_{στ}^{−1} = e_{σ} σ e_{τ} τ τ^{−1}σ^{−1} e_{στ}^{−1} = e_{σ} (σe_{τ}σ^{−1}) e_{στ}^{−1} = e_{σ} ^{σ}e_{τ} e_{στ}^{−1} = a_{στ}.

□

On va maintenant établir une version tordue. Soit z ∈ Z^{1}(Γ, G). On peut tordre l’extension 1 → A → E → G → 1 par z

1 → A → _{z}E → _{z}G → 1

et étudier le bord Δ_{z} : H^{1}(Γ,_{z}G) → H^{2}(Γ, A) [S1, §I.5.7]. Un 1–cocycle w ∈ Z^{1}(Γ,_{z}G) n’est pas autre chose qu’une section u_{w} de la projection G ⋊^{z} Γ = _{z}G ⋊ Γ → Γ via σ ↦ w_{σ} σ. En appliquant la formule ci-dessus, on obtient que le bord Δ_{z}([w]) est la classe de l’extension retirée en arrière

1 ⟶ A ⟶ E ⋊^{z} Γ ⟶ G ⋊^{z} Γ ⟶ 1
||  ↑  ^{u_{w}}↑
1 ⟶ A ⟶ E(w) ⟶ Γ ⟶ 1.

2.2 Lemme préliminaire

On s’intéresse aux sous-groupes suivants du groupe Aut(E) des automorphismes de E :

Aut(E, A) = {ϕ ∈ Aut(E) | ϕ(A) ⊂ A},

et

Aut_{A}(E) = {ϕ ∈ Aut(E) | ϕ_{|A} = Id_{|A}}.

On rappelle le fait élémentaire suivant :

Lemme 2.2 Le noyau de l’application naturelle Aut_{A}(E) → Aut(G) est en bijection avec le groupe Z^{1}(G, A) des 1-cocycles de G à valeurs dans A.

Démonstration : Soit α = (a_{g}) ∈ Z^{1}(G, A) un 1-cocycle. On lui associe l’application ϕ_{α} : E → E, définie par ϕ_{α}(x) = a_{p(x)}x, pour tout x ∈ E. Quels que soient x_{1}, x_{2} ∈ E, on a

ϕ_{α}(x_{1}x_{2}) = a_{p(x_{1}x_{2})} x_{1} x_{2} = a_{p(x_{1})} x_{1} a_{p(x_{2})} x_{1}^{−1}x_{1} x_{2} ϕ_{α}(x_{1}) ϕ_{α}(x_{2}).

Ainsi, ϕ_{α} est un morphisme, dont la restriction à A est l’identité. Son noyau, qui est contenu dans A, est trivial. Enfin, si x ∈ E, on a x = ϕ_{α}(a_{p(x)}^{−1}x), de sorte que ϕ_{α} ∈ Aut_{A}(E). Comme p(ϕ_{α}(x)) = p(x), l’automorphisme induit sur G est trivial.

Ainsi, l’application α ↦ ϕ_{α} est un morphisme de Z^{1}(G, A) dans le noyau ker(Aut_{A}(E) → Aut(G)). Pour montrer qu’elle est bijective, on va exhiber sa réciproque. Soit donc ϕ : E ⟶^{∼} E un automorphisme induisant l’identité sur A et sur G. L’application x ∈ E → ϕ(x)x^{−1} induit une application ψ : G = E/A → A. De plus, si g_{1} et g_{2} ∈ G ont pour antécédents respectifs x_{1} et x_{2} ∈ E, alors

ψ(g_{1}g_{2}) = ϕ(x_{1}x_{2})(x_{1}x_{2})^{−1} = ψ(g_{1})x_{1} ψ(g_{2})x_{1}^{−1} = ψ(g_{1}) (g_{1}.ψ(g_{2})).

On a donc bien défini ainsi une application de ker(Aut_{A}(E) → Aut(G)) dans Z^{1}(G, A), qui par un calcul direct est la réciproque de la précédente. □

2.3 Extensions centrales d’un groupe parfait

On suppose dans ce paragraphe que l’extension de groupes

0 → A → E ⟶^{p} G → 1,

est centrale. Autrement dit, A est contenu dans le centre Z(E) de E, de sorte que l’action de G sur A est triviale. Si de plus le groupe G est parfait, alors Z^{1}(G, A) = Hom(G, A) = 0. Par le lemme précédent, le morphisme

Aut_{A}(E) ↪ Aut(G)

est donc injectif. On en déduit que deux automorphismes de Aut(E, A) qui induisent les mêmes morphismes sur A et sur G sont égaux, d’où un morphisme injectif

Aut(E, A) ↪ Aut(A) × Aut(G).

Lemme 2.3 On considère une extension centrale

0 → A → E ⟶^{p} G → 1,

d’un groupe parfait G, et une action f = (f_{1}, f_{2}) : Γ → Aut(A)×Aut(G) d’un groupe Γ sur A et sur G. Les deux assertions suivantes sont équivalentes :

1. L’image de f est incluse dans le sous-groupe

Aut(E, A) ↪ Aut(A) × Aut(G),

i.e. l’action f s’étend à E, et ce de manière unique ;

2. Pour tout γ ∈ Γ, l’extension (f_{2}(γ)^{−1})^{∗} f_{1}(γ)_{∗}(E) de G par A est équivalente à E, où (f_{2}(γ)^{−1})^{∗} et f_{1}(γ)_{∗} désignent respectivement le pull-back et le push-out associés aux morphismes f_{2}(γ)^{−1} et f_{1}(γ).

Démonstration : Pour tout γ ∈ Γ, on considère les extensions E′_{γ} = f_{1}(γ)_{∗}(E) et E′′_{γ} = (f_{2}(γ)^{−1})^{∗} f_{1}(γ)_{∗}(E). Par définition, on a un diagramme commutatif

(∗) \begin{aligned}0 & ⟶ & A & ⟶ & E & ⟶ & G & ⟶ & 1 \\ & ^{f_{1}(γ)}↓^{≀} & & ^{≀}↓ & || \\ 0 & ⟶ & A & ⟶ & E′_{γ} & ⟶ & G & ⟶ & 1 \\ & || & & ^{≀}↑ & ^{f_{2}(γ)^{−1}}↑^{≀} \\ 0 & ⟶ & A & ⟶ & E′′_{γ} & ⟶ & G & ⟶ & 1. \end{aligned}

Supposons que l’action f s’étend à E, c’est-à-dire que f(γ) ∈ Aut(E, A). On a alors

0 ⟶ A ⟶ E ⟶ G ⟶ 1
f_{1}(γ)^{−1}↓^{≀}  ^{≀}↓ ^{f_{2}(γ)^{−1}}↓^{≀}
0 ⟶ A ⟶ E ⟶ G ⟶ 1

En combinant avec (*), on en déduit que les extensions E et E′′_{γ} sont équivalentes. Réciproquement, si les extensions E et E′′_{γ} sont équivalentes, on a un diagramme commutatif

0 ⟶ A ⟶ E′′_{γ} ⟶ G ⟶ 1
||  ^{≀}↓  ||
0 ⟶ A ⟶ E ⟶ G ⟶ 1

qui, combiné avec (*), fournit un automorphisme de E dont l’image dans Aut(A) × Aut(G) est (f_{1}(γ), f_{2}(γ)). □

2.4 Extension centrale d’un groupe abélien

Si le G-module A est trivial, par le théorème des coefficients universels, on a une suite exacte scindée

0 → Ext_{ℤ}^{1}(G_{ab}, A) → H^{2}(G, A) →^{δ} Hom(H_{2}(G, ℤ), A) → 0,

où G_{ab} = G/[G, G] = H_{1}(G, ℤ) est l’abélianisé de G (cf [W, ex 6.1.5(3) et Thm 6.1.11]). Supposons de plus que G = B est abélien. Alors H_{2}(B, ℤ) = Λ^{2}B (cf [Bro, Thm V6.4(III)] et la suite exacte devient

0 → Ext_{ℤ}^{1}(B, A) → H^{2}(B, A) →^{δ} Hom(Λ^{2}B, A) → 0.

De plus, par [Bro, §V.6, exercice 5], l’image sous δ de la classe d’un cocycle f ∈ Z^{2}(B, A) est donnée par (b_{1} ∧ b_{2}) ↦ f(b_{1}, b_{2}) − f(b_{2}, b_{1}). En combinant avec [GS, Exple 3.2.6], on en déduit aisément

Lemme 2.4 Soit

0 → A → E ⟶^{p} B → 1

une extension centrale d’un groupe abélien B. L’image sous δ de sa classe dans H^{2}(B, A) est le “relevé des commutateurs”

\begin{matrix}Λ^{2}B & → & A \\ (b_{1}, b_{2}) & ↦ & [e_{1}, e_{2}] = e_{1}e_{2}e_{1}^{−1}e_{2}^{−1}, \end{matrix}

où e_{i} ∈ E vérifie p(e_{i}) = b_{i}.

Remarque 2.5 Soit ϕ : Λ^{2}B → A un morphisme ; on peut le voir comme une application bilinéaire alternée B × B → A, donc comme un 2-cocycle ϕ ∈ Z2(B, A). Il faut prendre garde que l’image sous δ de sa classe dans H^{2}(B, A) est 2ϕ. En effet, puisque ϕ est alternée, la formule rappelée cidessus donne

δ(ϕ)(b_{1} ∧ b_{2}) = ϕ(b_{1}, b_{2}) − ϕ(b_{2}, b_{1}) = 2ϕ(b_{1}, b_{2}).

2.5 Extensions d’un groupe cyclique

On suppose dans ce paragraphe que le groupe G est cyclique d’ordre n. Le choix d’un générateur σ ∈ G permet d’identifier H^{2}(G, A) avec le groupe A^{G}/N(A) où N est l’application du G-module A dans lui même définie par N(a) = Σ_{i=0}^{n−1}σ^{i} · a (cf. par exemple [GS, Exple 3.2.9]). On a alors :

Lemme 2.6 Soit G un groupe cyclique d’ordre n, de générateur σ, et soit

0 → A → E ⟶^{p} G → 1,

une extension de G par A. Choisissons e ∈ E tel que p(e) = σ. Alors, e^{n} ∈ A^{G} et sa classe dans A^{G}/N(A) ≃ H^{2}(G, A) est la classe de l’extension E.

Démonstration. Clairement, e^{n} est dans le noyau de p; de plus, σ agissant sur A par conjugaison par e, l’élément e^{n} est invariant sous l’action de G. Montrons maintenant que sa classe dans A^{G}/N(A) est celle de l’extension E.

Pour cela, on considère le caractère χ : G → ℤ/nℤ associé au choix de σ, c’est-à-dire défini par χ(σ) = 1, et le bord ∂χ ∈ H^{2}(G, ℤ) provenant de la suite exacte de G-modules

0 → ℤ ⟶^{n} ℤ → ℤ/nℤ → 0.

D’après [GS, 3.4.11(3)], l’isomorphisme entre A^{G}/N(A) et H^{2}(G, A) est le cup-produit par ∂χ. En particulier, il est fonctoriel en A. Il suffit donc de montrer le théorème pour l’extension 0 → ℤ ⟶^{n} ℤ ⟶^{p} G → 1, où p est définie par p(1) = σ. On vérifie facilement (cf [GS, Exple 3.2.6]) que sa classe dans H^{2}(G, ℤ) est représentée par le 2-cocycle

(σ^{i}, σ^{j}) ↦ \{ \begin{matrix}0 si i + j < n, \\ 1 si i + j ≥ n, \end{matrix}

qui n’est rien d’autre que ∂χ. Elle correspond donc, dans ℤ/nℤ = ℤ^{G}/N(ℤ) à ¯1. Or, si l’on choisit e = 1 ∈ ℤ comme relevé de σ, on a e^{n} = n qui a pour antécédent 1 ∈ A^{G} = ℤ. Le théorème est donc prouvé dans ce cas.

Le cas général s’en déduit de la manière suivante. Etant donnée l’extension

0 → A → E ⟶^{p} G → 1,

le choix d’un élément e ∈ E tel que p(e) = σ induit un diagramme commutatif

0 ⟶ ℤ ⟶^{n} ℤ ⟶ G ⟶ 0
ψ↓  ^{ϕ}↓  ||
0 ⟶ A ⟶ E ⟶^{p} G ⟶ 0,

où ϕ est définie par ϕ(1) = e, de sorte que ψ vérifie ψ(1) = e^{n}. Ainsi, l’extension qui nous intéresse est le push-out suivant ψ de la précédente et l’élément correspondant dans A^{G}/N(A) est la classe de ψ(1) = e^{n}. □

2.6 Extensions de groupes et 2-extensions au sens de Yoneda

Fixons une action θ : G → Aut(A), de sorte que A est muni d’une structure de G-module. Le groupe H^{2}(G, A) est isomorphe au groupe Ext_{ℤ[G]}^{2}(ℤ, A) des 2-extensions de ℤ[G]-modules au sens de Yoneda (cf. [Mc, IV Cor 5.2]). On va ici décrire explicitement cet isomorphisme en terme d’extensions de groupes et de G-modules.

Lemme 2.7 Soit 0 → A → B → C → ℤ → 0 une suite exacte de G– modules.

1. Pour tout c ∈ C, l’ensemble

E_{c} = {(g, b) ∈ G × B | d(b) = g.c − c},

est muni de la loi de groupe suivante (g_{1}, b_{1})(g_{2}, b_{2}) = (g_{1}g_{2}, b_{1} + g_{1}.b_{2}). De plus, E_{c} est une extension de G par A d’action θ.

2. Si c et c′ ∈ C ont la même image dans ℤ, alors les extensions E_{c} et E_{c′} sont canoniquement isomorphes.

Démonstration. (1) Si d(b_{i}) = g_{i}.c − c pour i = 1, 2, on a

d(b_{1} + g_{1}.b_{2}) = g_{1}.c − c + g_{1}.(g_{2}.c − c)(g_{1}g_{2}).c − c.

Ainsi, la loi définie ci-dessus est bien une loi interne sur E_{c}; on vérifie facilement qu’elle munit E_{c} d’une structure de groupe. En particulier, l’inverse de (g, b) ∈ E_{c} est (g, b)^{−1} = (g^{−1}, −g^{−1}.b).

Comme l’image dans ℤ de g · c − c est triviale, la projection E_{c} → G est surjective ; son noyau {(1_{G}, a), a ∈ A} est isomorphe à A. Ceci prouve que E_{c} est une extension de G par A. De plus, l’action induite de G sur A est donnée par (g, 0)(1_{G}, a)(g^{−1}, 0) = (g, g.a)(g^{−1}, 0) = (1_{G}, g.a), qui coïncide bien avec l’action initiale.

(2) Si c et c′ ont la même image dans ℤ, il existe b_{0} ∈ B tel que c′ = c+d(b_{0}). L’application

\begin{matrix}E_{c} & → & E_{c′} \\ (g, b) & ↦ & (g, b + g · b_{0} − b_{0}), \end{matrix}

qui agit comme l’identité sur {(1_{G}, a), a ∈ A}, est un isomorphisme entre ces deux extensions. □

Proposition 2.8 Soit 0 → A → B → C → ℤ → 0 une suite exacte de G– modules. Sa classe dans Ext_{ℤ[G]}^{2}(ℤ, A) ≃ H^{2}(G, A) est la classe de l’extension de groupes 0 → A → E_{c} → G → 1, où c est un élément de C d’image 1 dans ℤ.

Démonstration. Notons tout d’abord que, en vertu du Lemme 2.7(2), la classe de l’extension E_{c} ne dépend pas du choix de c ∈ C d’image 1 dans ℤ.

Pour montrer la proposition, on utilise la description, donnée par Mac Lane dans son livre [Mc, §IV.6], de l’opération inverse, qui à une extension de groupe d’action θ

0 → A ⟶^{i} E ⟶^{p} G → 1

associe sa classe caractéristique dans Ext_{ℤ[G]}^{2}(ℤ, A), à savoir

χ(E) : 0 → A ⟶^{α} ℤ[G]^{(E)}/L ⟶^{β} ℤ[G] ⟶^{ϵ} ℤ → 0.

où L est engendré par [1_{G}] et les [e_{1}e_{2}]− p(e_{1}).[e_{2}]−[e_{1}] pour e_{1}, e_{2} parcourant E. Les morphismes α et β sont définis respectivement par α(a) = [i(a)] ∈ ℤ[G]^{(E)}/L et β([e]) = [p(e)]−[1_{G}], pour tout e ∈ E. Enfin, ϵ est le morphisme d’augmentation.

L’élément 1_{G} ∈ ℤ[G] a pour image 1 dans ℤ. Pour montrer la proposition, il suffit donc de remarquer que l’application e ∈ E ↦ (p(e), [e]) est un isomorphisme entre l’extension E_{1_{G}} associée à χ(E) suivant le Lemme 2.7 et l’extension initiale E. □

Ce formalisme est bien commode quand on a affaire à une situation équivariante, c’est-à-dire quand on a une action

f = (f_{1}, f_{2}) : Γ → Aut(A) × Aut(G)

d’un groupe Γ sur A et sur G qui est compatible avec l’action de G sur A, c’est-à-dire telle que f_{1}(γ)(g.a) = f_{2}(γ)(g) · f_{1}(γ)(a) pour tous γ ∈ Γ, g ∈ G et a ∈ A. En d’autres mots, on a une structure de G⋊Γ–module sur A définie par

(gγ).a = g.f_{1}(γ)(a).

Supposons que la suite exacte de G-modules

0 → A → B → C → ℤ → 0

est en réalité une suite de G ⋊ Γ–modules. Pour tout c ∈ C, on peut alors définir par le Lemme 2.7 une extension E_{c} de G par A et une extension Ẽ_{c} de G ⋊ Γ par A. De plus, le diagramme suivant est commutatif :

1  1
↓  ↓
0 ⟶ A ⟶ E_{c} ⟶ G ⟶ 1
||  ↓  ↓
0 ⟶ A ⟶ Ẽ_{c} ⟶ G ⋊ Γ ⟶ 1.
↓  ↓
Γ =  Γ
↓  ↓
1  1

Lemme 2.9 Si c ∈ C^{Γ}, alors le groupe Γ agit sur E_{c}; de plus, Ẽ_{c} est isomorphe à E_{c} ⋊ Γ.

Démonstration Si c est invariant sous l’action de Γ, alors pour tout γ ∈ Γ et (g, b) ∈ E_{c}, le couple (γ · g, γ · b) appartient à E_{c}. Ceci définit une action de Γ sur E_{c}. De plus, on peut vérifier que l’application Ẽ_{c} → E_{c} × Γ, qui à (gγ, b) associe ((g, b), γ) induit un isomorphisme de groupes entre Ẽ_{c} et E_{c} ⋊ Γ,

3 Extensions de Brylinski-Deligne

3.1 Rappels

Soit G/k un groupe semi-simple simplement connexe absolument presque k–simple. On a alors H^{0}(G, K_{2}) = K_{2}(k) et H^{1}(G, K_{2}) = ℤ (voir [BD, Prop. 4.6] si G est déployé et [M, (8.1),(8.3) et Thm 9.3] pour le cas général). Ainsi, le complexe de G(k)-modules

K_{2}(k(G)) → ⨁_{x∈G^{(1)}} k(x)^{×} →^{∂} ⨁_{x∈G^{(2)}} ℤ

induit une 2-extension

0 → K_{2}(k) → K_{2}(k(G)) → Z(G) → ℤ → 0,

où

Z(G) = ker( ⨁_{x∈G^{(1)}} k(x)^{×} →^{∂} ⨁_{x∈G^{(2)}} ℤ).

Cette extension étant équivariante pour l’action de G(k) par translation à gauche, elle définit une classe de Ext_{ℤ[G(k)]}^{2}(ℤ, K_{2}(k)) = H^{2}(G(k), K_{2}(k)). D’aprés la proposition 2.8, cette classe est représentée par l’extension centrale de Brylinski-Deligne

(E(G, c, k))  0 → K_{2}(k) → E(G, c, k) → G(k) → 1,

où c ∈ Z(G) est un élément d’image 1 dans ℤ, et E(G, c, k) est définie comme dans le lemme 2.7(1). Notons que l’extension E(G, c, k), contrairement à sa classe, dépend explicitement du choix de c, dorénavant fixé.

Remarque 3.1 Dans l’article [BD], cette extension n’est pas définie de cette façon alors qu’elle l’était dans une version préliminaire. Les deux constructions coïncident et c’est d’ailleurs celle présentée ici qui est utilisée dans [Gi].

Notons Aut(G) le k-groupe algébrique des automorphismes de G. Le groupe Aut(G)(k) agit naturellement sur le complexe ci-dessus, d’où une action sur la 2-extension de G(k)-modules associée, qui est triviale sur K_{2}(k). De plus, on a :

Lemme 3.2 1. L’action de Aut(G)(k) sur H^{1}(G, K_{2}) = ℤ est triviale.

2. Si G(k) est parfait, alors l’extension de Brylinski-Deligne E(G, c, k) est canoniquement Aut(G)(k)-équivariante.

Démonstration.

(1) Considérons une représentation fidéle ρ : G ⋊ Aut(G) → SL_{N}, et notons ρ_{0} : G → SL_{N} sa restriction à G. Le morphisme induit

ℤ = H^{1}(SL_{N}, K_{2}) ⟶^{ρ_{0}^{∗}} ℤ = H^{1}(G, K_{2})

est la multiplication par un entier strictement positif d_{ρ_{0}}, l’indice de Dynkin de ρ_{0} [M, prop. 7.9.3]. Soit maintenant f ∈ Aut(G)(k). Du diagramme commutatif

G(k) ⟶^{ρ_{0}} SL_{N}
f↓  ↓^{Int(ρ(1,f))}
G(k) ⟶^{ρ_{0}} SL_{N},

on déduit le diagramme

H^{1}(SL_{N}, K_{2}) ⟶^{ρ_{0}^{⋆}} H^{1}(G, K_{2})
(Int(ρ(1,f)))^{⋆}↓  ↓^{f^{⋆}}
H^{1}(SL_{N}, K_{2}) ⟶^{ρ_{0}^{⋆}} H^{1}(G, K_{2}).

Or la fléche verticale de gauche est l’identité de ℤ puisque l’action de SL_{N} sur lui-même par automorphismes intérieurs induit une action triviale de SL_{N}(k) sur H^{1}(SL_{N}, K_{2}) (cf. loc. cit., lemma 6.9). Par commutativité du diagramme, il en est de même de celle de droite, ce qui prouve la premiére assertion.

(2) La description explicite de E(G, c, k) ⊂ G(k) × K_{2}(k(G)) donnée par 2.7(1) montre que l’action de f ∈ Aut(G)(k) sur G(k)×K_{2}(k(G)), induit une application

E(G, c, k) → E(G, f.c, k),

qui vaut l’identité sur K_{2}(k). Ainsi, E(G, f.c, k) n’est rien d’autre que le pullback (f^{−1})^{⋆}(E(G, c, k)). Or, comme l’action de Aut(G)(k) sur H^{1}(G, K_{2}) = ℤ est triviale, les éléments c et f.c ont la même image dans ℤ. Par le lemme 2.7(2), on en déduit que les extensions de Brylinski-Deligne correspondante E(G, c, k) et (f^{−1})^{⋆}(E(G, c, k)) sont équivalentes. Enfin, G(k) étant supposé parfait, ceci prouve que l’action de Aut(G)(k) s’étend à E(G, c, k) par le lemme 2.3. □

3.2 Action galoisienne

Soit maintenant L/k une extension galoisienne finie de groupe Γ. En poussant c dans Z(G_{L}), on obtient une extension centrale

(E(G, c, L))  0 → K_{2}(L) → E(G, c, L) → G(L) → 1.

On a alors :

Lemme 3.3 Si G(L) est parfait, l’extension E(G, c, L) est canoniquement Aut(G)(L) ⋊ Γ-équivariante.

Démonstration. Les groupes Γ et Aut(G)(L) agissent tous deux sur l’extension E(G, c, L) en vertu des lemmes 2.9 et 3.2(2). Il est clair que sur K_{2}(L) et sur G(L), ces deux actions sont compatibles, c’est-à-dire induisent un morphisme

Aut(G)(L) ⋊ Γ → Aut(K_{2}(L)) × Aut(G(L)).

Or on vient de voir que les images de Aut(G)(L) et de Γ sont toutes deux incluses dans

Aut(E(G, c, L), K_{2}(L)) ⊂ Aut(K_{2}(L)) × Aut(G(L)).

Le morphisme ci-dessus se factorise donc bien par Aut(E(G, c, L), K_{2}(L)). □

Lemme 3.4 On suppose G(L) parfait, et on se donne un 1-cocycle z ∈ Z^{1}(Γ, Aut(G)(L)). Soit ϕ : G ×_{k} L ≅ _{z}G ×_{k} L une trivialisation satisfaisant z_{γ} = ϕ^{−1}γ(ϕ) pour tout γ ∈ Γ. On pose

d := ϕ^{∗}(c_{L}) ∈ Z(_{z}G ×_{k} L)

Alors l’extension tordue par z

0 → K_{2}(L) → _{z}E(G, c, L) → _{z}G(L) → 1

est Aut(_{z}G)(L) ⋊ Γ–isomorphe à l’extension E(_{z}G, d, L).

Notons que la propriété galoisienne Z(_{z}G) = Z(_{z}G ×_{k} L)^{Γ} est cruciale ici [CTR, prop. 3.6] pour savoir que d ∈ Z(_{z}G). Démonstration. La description explicite de _{z}E(G, c, L) et E(_{z}G, d, L) donnée par 2.7(1) montre que ϕ induit un isomorphisme entre ces deux extensions de _{z}G(L) par K_{2}(L). Toutes deux sont Aut(_{z}G)(L) ⋊ Γ équivariantes, mais il n’est pas clair à priori que l’isomorphisme entre les deux soit également équivariant. Le lemme 2.3 permet de le montrer sans aucun calcul ; il suffit en effet d’observer que l’action de Aut(_{z}G)(L) ⋊ Γ sur K_{2}(L) et _{z}G(L) est la même pour chacune des deux extensions. □

La proposition qui suit est l’ingrédient clef pour effectuer des calculs. Elle repose sur le lien, établi dans [Gi, Lemme 5], entre le bord associé à l’extension de Brylinski-Deligne, et l’invariant de Rost. Précisément, étant donné un 1-cocycle z ∈ Z^{1}(Γ, Aut(G)(L)), on y montre l’anti-commutativité du diagramme suivant

H^{1}(Γ,_{z}G(L)) ⟶^{r_{zG}} Ker(H^{3}(k) → H^{3}(L)),
ρ↓  ↙ _{a_{k}^{L}}
H^{2}(Γ, K_{2}(L))

où r_{_{z}G} désigne l’invariant de Rost, a_{k}^{L} est la flèche construite par B. Kahn dans [K1], et ρ : H^{1}(Γ,_{z}G(L)) → H^{2}(Γ, K_{2}(L)) est le bord associé à l’extension de Brylinski-Deligne E(_{z}G, d_{0}, L) pour un certain d_{0} ∈ Z(_{z}G) d’image 1 dans ℤ = H^{1}(_{z}G, K_{2}). On a alors :

Proposition 3.5 On suppose G(L) parfait. On se donne u ∈ Z^{1}(Γ,_{z}G(L)), vu comme une section du morphisme G(L) ⋊^{z} Γ → Γ, et on considère l’extension retirée en arrière

0 ⟶ K_{2}(L) ⟶ E(G, c, L) ⋊^{z} Γ ⟶ G(L) ⋊^{z} Γ ⟶ 1
||  ∪  ^{u}↑
0 ⟶ K_{2}(L) ⟶  E(z, u)  ⟶  Γ  ⟶ 1.

Alors on a

a_{k}^{L}(r_{_{z}G}([u])) = −[E(z, u)] ∈ H^{2}(Γ, K_{2}(L)).

Démonstration. Comme on vient de l’expliquer, il suffit de calculer l’image de [u] ∈ H^{1}(Γ,_{z}G(L)) sous le bord associé l’extension de Brylinski-Deligne E(_{z}G, d_{0}, L), où d_{0} ∈ Z(_{z}G) est un élément d’image 1 dans ℤ = H^{1}(_{z}G, K_{2}). Si l’on prend d_{0} = ϕ^{∗}(c_{L}), le lemme 3.4 indique que l’on peut remplacer E(_{z}G, d_{0}, L) par l’extension tordue _{z}E(G, c, L). La version tordue du lemme 2.1 montre que l’extension de groupes E(z, u) ci-dessus représente la classe ρ([u]). □

4 Calculs explicites pour SL_{1}(A)

4.1 Algèbres cycliques

Proposition 4.1 Soient L/k une extension galoisienne cyclique de degré n et de groupe Γ = ⟨σ⟩, et b ∈ k^{×}. On considère la k-algèbre cyclique

A = (L/k, σ, b) = L ⊕ Ly ⋯ ⊕ Ly^{n−1}

définie par les relations y^{n} = b et λy = yσ(λ), pour λ ∈ L. Quel que soit [v] ∈ k^{×}/Nrd(A^{×}) ≅ H^{1}(Γ, SL_{1}(A)(L)), on a

a_{k}^{L}(r_{SL_{1}(A)}([v])) = [{v, b}] ∈ K_{2}(k)/N(K_{2}(L)) ≅ H^{2}(Γ, K_{2}(L)).

Démonstration. Notons

f_{b} = [ \begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 & b \\ 1 & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 1 & ⋯ & 0 & 0 \\ ⋮ & & ... & & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ GL_{n}(k).

On rappelle (cf. [GS, §2.5]) que l’algèbre A est la tordue A = _{z}M_{n}(k) de M_{n}(k) par le cocycle z : Γ → PGL_{n}(L), défini par σ^{i} ↦ [f_{b}^{i}]. Un point remarquable est que z est à valeurs dans PGL_{n}(k), c’est-à-dire définit un morphisme de groupes Γ → PGL_{n}(k). On se donne également une trivialisation ϕ : M_{n}(L) ≅ A ⊗_{k} L telle que z_{τ} = ϕ^{−1}τ(ϕ) pour tout τ ∈ Γ. Pour utiliser la proposition 3.5, on doit réaliser la classe [u] par un cocycle u ∈ Z^{1}(Γ,_{z}SL_{n}(L)). Le SL_{1}(A)–torseur correspondant à v est donné par l’équation v = Nrd_{A}(y).

Notons (λ_{i})_{i=1,...,n} la base canonique des cocaractères du tore diagonal 𝔾_{m}^{n} de GL_{n}. L’élément ϕ(λ_{1}(v)) ∈ GL_{1}(A)(L) satisfait Nrd_{A_{L}}(ϕ(λ_{1}(v))) = Nrd_{M_{n}(k)}(λ_{1}(v)) = det(λ_{1}(v)) = v. Un 1–cocycle représentant ce torseur est donc donné par u_{σ} = ϕ(λ_{1}(v))^{−1} σ(ϕ(λ_{1}(v))) ∈ SL_{1}(A)(L). Vu comme section du morphisme SL_{n}(L)⋊^{z}, Γ → Γ, ce cocycle est défini par l’homomorphisme u : Γ → SL_{n}(L)⋊^{z}, Γ, σ → t σ, où

t = λ_{1}(v)^{−1}λ_{2}(v) = [ \begin{matrix}v^{−1} & 0 & & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & v & 0 & ⋯ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & & 0 & 0 \\ ⋮ & & & ... & & ⋮ \\ 0 & 0 & ⋯ & & 0 & 1 \end{matrix} ] ∈ SL_{n}(L).

On se donne c ∈ Z(SL_{n}) d’image 1 dans H^{1}(SL_{n}, K_{2}). On considère alors l’extension retirée en arrière

0 ⟶ K_{2}(L) ⟶ E(SL_{n}, c, L) ⋊^{z} Γ ⟶ SL_{n}(L) ⋊^{z} Γ ⟶ 1
||  ∪  ^{u}↑
0 ⟶ K_{2}(L) ⟶  E(z, u)  ⟶  Γ  ⟶ 1

dont on va calculer la classe. Suivant le lemme 2.6, celle-ci est donnée par l’élément

(t̃σ)^{n} ∈ K_{2}(L) ⊂ E(SL_{n}, c, L) ⋊^{z} Γ

où t̃désigne un relevé de t dans E(SL_{n}, c, L) que l’on choisit bien sûr provenant de E(SL_{n}, c, k). En utilisant la forme précise du cocycle z, on écrit alors

(t̃σ)^{n} = t̃(σt̃σ^{−1}) ⋯ (σ^{n−1} t̃σ^{1−n})  (1)
= t̃(f_{b}.σ(t̃)) ⋯ (f_{b}^{n−1}.σ^{n−1}(t̃))
= t̃(f_{b}.t̃) ⋯ (f_{b}^{n−1}.t̃) ∈ E(SL_{n}, c, L).

Notant T = Ker(𝔾_{m}^{n} → 𝔾_{m}) le tore maximal standard de SL_{n} et T_{ad} = 𝔾_{m}^{n}/𝔾_{m} celui de PGL_{n}, on a alors besoin de l’accouplement

h : T_{ad}(L) × T (L) → K_{2}(L)

défini par h(x, y) = (x.ỹ)ỹ^{−1} où ỹ est un relevé (arbitraire) de y dans E(SL_{n}, c, L) [BD, §4.13]. En pratique, h se calcule avec le diagramme commutatif suivant

T_{ad}(L)× T (L) ⟶ K_{2}(L)
↑  ↓  ||
(L^{×})^{n} ×(L^{×})^{n} ⟶ K_{2}(L)
(x_{i}) (y_{i}) ↦ ∑_{i=1}^{n} {x_{i}, y_{i}}.

Ecrivons f_{b} = λ_{1}(b) f_{1}, f_{b}^{i} = (λ_{1}(b) ⋯ λ_{i}(b)) f_{1}^{i}, (i = 1, ..., n − 1). Vu que f_{1} normalise le tore T, on a f_{1}^{i}.t̃∈ T (L). Par suite,

f_{b}^{i}.t̃= (λ_{1}(b) ⋯ λ_{i}(b)).(f_{1}^{i}.t̃) = h(λ_{1}(b) ⋯ λ_{i}(b), f_{1}^{i}.t) f_{1}^{i}.t̃.

Reportant ceci dans (1), on obtient

(t̃σ)^{n} = α × t̃(f_{1}.t̃) ⋯ (f_{1}^{n−1}.t̃).

où

α = ∑_{i=1}^{n−1} h(λ_{1}(b) ⋯ λ_{i}(b), f_{1}^{i}.t ) ∈ K_{2}(L).

Le terme de droite t̃(f_{1}.σ(t̃)) ⋯ (f_{1}^{n−1}.σ^{d−1}(t̃)), étant celui du cas b = 1, est inessentiel ; il appartient donc à l’image de N : K_{2}(L) → K_{2}(L). Il reste donc à calculer le premier terme α. Vu que t = λ_{1}(v)^{−1}λ_{2}(v), on a

α = ∑_{i=1}^{n−1} h(λ_{1}(b) ⋯ λ_{i}(b), λ_{i}(v)^{−1}λ_{i+1}(v) )  (2)

= ∑_{i=1}^{n−1}{b, v^{−1}}  (3)
= −(n − 1){b, v}.  (4)

On conclut que [E(z, u)] = {b, v} ∈ K_{2}(L)^{Γ}/N.K_{2}(L), d’où la formule voulue par application de la proposition 3.5. □

4.2 Calcul dans un cas particulier

Lemme 4.2 Soit n un entier ≥ 1. On suppose que k admet une racine primitive n-ième de l’unité ζ_{n}. On pose K = k((x)) et on considère l’extension de Kummer L = K(x^{\frac{1}{n}}). On note σ le générateur de Gal(L/K) défini par σ(x^{\frac{1}{n}}) = ζ_{n} x^{\frac{1}{n}} et χ ∈ H^{1}(K, ℤ/nℤ) le caractère de Gal(L/K) → ℤ/nℤ appliquant σ sur 1.

1. On a un isomorphisme

K_{2}(k)/nK_{2}(k) ⟶^{∼}^{χ.h_{n}} Ker(H^{3}(K) → H^{3}(L))

où h_{n} : K_{2}(k)/nK_{2}(k) → _{n}H^{2}(k) désigne le symbole galoisien.

2. Le composé

K_{2}(k)/nK_{2}(k) ⟶^{∼}^{χ.h_{n}} Ker(H^{3}(K) → H^{3}(L)) ⟶^{∼}^{a_{K}^{L}} H^{2}(Gal(L/K), K_{2}(L))

est injectif et applique le symbole {x, y} ∈ K_{2}(k) sur

[{y, x}]∈ H^{2}(Gal(L/K), K_{2}(L)) ≅ K_{2}(L)^{Gal(L/K)}/N.K_{2}(L).

3. Soient b, v ∈ k^{×}. On considère l’algèbre A = (L/K, σ, b). Alors

r_{SL_{1}(A)}([v]) = (v).[A] ∈ H^{3}(K).

Démonstration. (1) On observe tout d’abord que

Ker(H^{3}(K, μ_{n}^{⊗2}) → H^{3}(L, μ_{n}^{⊗2}))) ≅ Ker(H^{3}(K) → H^{3}(L)).

On a un diagramme commutatif exact de suites exactes de résidus [GS, §8]

0 ⟶ H^{3}(k, μ_{n}^{⊗2}) ⟶ H^{3}(K, μ_{n}^{⊗2}) ⟶^{∂_{K}} H^{2}(k, μ_{n}^{⊗2}) ⟶ 0
||  ^{res}↓  ↓^{×n}
0 ⟶ H^{3}(k, μ_{n}^{⊗2}) ⟶ H^{3}(L, μ_{n}^{⊗2}) ⟶^{∂_{K}} H^{2}(k, μ_{n}^{⊗2}) ⟶ 0

Ceci produit un isomorphisme

Ker(H^{3}(K, μ_{n}^{⊗2}) → H^{3}(L, μ_{n}^{⊗2}))) ⟶^{∼} H^{2}(k, μ_{n}^{⊗2}),

dont la réciproque est donnée par le cup-produit par χ. En le combinant avec l’isomorphisme de Merkurjev-Suslin [MS]

h_{n} : K_{2}(k)/nK_{2}(k) ⟶^{∼} H^{2}(k, μ_{n}^{⊗2}),

on obtient un isomorphisme

K_{2}(k)/nK_{2}(k) ⟶^{∼} Ker(H^{3}(K, μ_{n}^{⊗2}) → H^{3}(L, μ_{n}^{⊗2}))), {u, v} ↦ χ.h_{n}({u, v}).

(2) Suivant [Gi, lemme 2], on a

a_{K}^{L}(χ.h_{n}({u, v})) = −{u, v} ∈ K_{2}(L)^{Gal(L/K)}/N.K_{2}(L).

Il reste à vérifier que le morphisme K_{2}(k)/nK_{2}(k) → K_{2}(L)^{Gal(L/K)}/N.K_{2}(L) est injectif. Cela découle du fait qu’il est scindé par la spécialisation

s : K_{2}(L) → K_{2}(k), α ↦ ∂_{L}((−x^{\frac{1}{n}}).α),

où l’on voit (−x^{\frac{1}{n}}).α ∈ K_{3}^{M}(L).

(3) La proposition 4.1 indique que

a_{K}^{L}(r_{SL_{1}(A)}([v])) = [{v, b}] ∈ K_{2}(L)^{Γ}/N.K_{2}(L) ≅ H^{2}(Γ, K_{2}(L)).

Suivant (2), ceci entraîne

r_{SL_{1}(A)}([v]) = χ.h_{n}({b, v}) = χ.(b).(v) = (v).[A] ∈ H^{3}(K).
□

4.3 Démonstration du théorème 1.1

Lemme 4.3 Soit n un entier ≥ 1 inversible dans k. Il existe un entier positif m tel que pour tout corps F/k et toute algèbre simple centrale A/F de degré n, l’invariant de Rost F^{×}/Nrd(A^{×}) → H^{3}(F) est donné par [v] ↦ m (v).[A].

La démonstration passe par les torseurs versels [GS, §IV].

Démonstration. Pour tout corps F/k, on définit

\begin{matrix}α_{F} : & H^{1}(F, μ_{n} × PGL_{n}) & = & F^{×}/(F^{×})^{n} × H^{1}(F, PGL_{n}) & ⟶ & H^{3}(F) \\ ((v), [A]) & ⟶ & a_{F} ((v), [A]) \end{matrix}

où

a_{F} ((v), [A]) := Invariant de Rost du SL_{1}(A)–torseur v = Nrd_{A}(y).

Les a_{F} définissent un invariant cohomologique du groupe μ_{n} × PGL_{n}. Selon [M, theorem 11.5], on sait qu’il existe un entier m tel que

r([P_{k(X)(t)}])) = m (t).[A_{k(X)}] ∈ H^{3}(k(X)(t)).

Le principe de spécialisation [?, th. 3.3 page 109] nous permet de conclure que α_{F} ((v), [A]) = m (v).[A] pour tout corps F/k, tout c ∈ F^{×} et toute F –algèbre simple centrale A. □

Pour établir le théorème 1.1, on commence par le cas où n est inversible dans k. L’idée est de tester l’entier m sur un exemple. Plus précisément, il suffit d’exhiber une extension F/k, une algèbre A/F degré n, et un élément v ∈ F^{×} tel que r_{SL_{1}(A)}([v]) = (v).[A] et tel que r_{SL_{1}(A)}([v]) soit d’ordre exactement n.

Posons F = \overline{k}((t))((y))((x)). On note A l’algèbre cyclique sur F présentée par X^{n} = x, Y^{n} = y et XY = ζ_{n} Y X. Alors (t).[A] = (t).(x).(y) est d’ordre n dans H^{3}(F, μ_{n}^{⊗2}) ≅ ℤ/nℤ. On conclut que m = 1.

Enfin, l’argument de relèvement en caractéristique nulle de l’invariant de Rost [Gi, §5.1] fonctionne ici et montre que la formule vaut sur un corps arbitraire.

5 Restriction au centre de l’invariant de Rost

Soit G/k un groupe semi-simple simplement connexe absolument presque k-simple. On suppose dans cette partie que la caractéristique du corps k ne divise pas l’exposant du centre Z de G, de sorte que Z est lisse. On s’intéresse à la restriction ρ_{G} de l’invariant de Rost aux torseurs issus de Z, c’est-à-dire à la composée

H^{1}(k, Z) → H^{1}(k, G) → H^{3}(k),

où la premiére application est induite par l’inclusion de Z dans G et la seconde est l’invariant de Rost. L’ingrédient majeur pour faire ce calcul est la description des invariants des tores quasi-triviaux donnée dans [MPT, Thm 1.1], qui montre qu’il existe une classe de cohomologie t_{R,G} ∈ H^{2}(k, Z) telle que ρ_{G} est donné par un certain cup-produit avec t_{R,G}. On sait de plus que cette classe t_{R,G} est, suivant le type du groupe G, soit la classe nulle, soit un multiple non trivial de la classe de Tits t_{G} ∈ H^{2}(k, Z) (cf. [MPT] pour G de type classique ou [GQ] pour G de type exceptionnel). Le théorème 1.1 permet d’énoncer le résultat plus précis suivant :

Corollaire 5.1 Si G est de type A, C_{ℓ} avec ℓ impair, D, E_{6} ou E_{7}, la restriction ρ_{G} de l’invariant de Rost aux torseurs issus du centre est le cup-produit avec la classe de Tits du groupe G, t_{G} ∈ H^{2}(k, Z), le cup-produit étant induit par l’application bilinéaire Z(k_{s}) × Z(k_{s}) → μ_{n}^{⊗2} spécifiée pour chaque type de groupe dans [GQ, §2]. Pour les autres groupes, ρ_{G} est nulle.

Démonstration. Si le groupe G est de type ^{1}A_{ℓ−1}, il est de la forme G = SL_{1}(A) pour une certaine k-algèbre centrale simple A de degré ℓ, et il a pour centre Z = μ_{ℓ}. Par [KMRT, (31.7)], avec l’identification que l’on a choisie entre le groupe de Brauer de k et H^{2}(k), la classe de Tits de G est alors la classe de Brauer de l’algèbre A, t_{SL_{1}(A)} = [A] ∈ H^{2}(k, μ_{n}), et le corollaire découle donc dans ce cas de la description de l’invariant de Rost donnée dans le thm 1.1.

Quand la composée ρ_{G} est nulle, le résultat est prouvé dans [MPT] ou [GQ]. Pour les autres types de groupes, on sait (cf. loc. cit.) que la restriction à H^{1}(k, Z) de l’un des générateurs du groupe des invariants de degré 3 de G est le cup-produit avec la classe de Tits. De sorte que t_{R,G} est de la forme m t_{G}, où m est un entier premier à l’indice de Dynkin n_{G} du groupe G. Si n_{G} est pair et Z d’exposant 2, alors m est impair et m t_{G} = t_{G} ∈ H^{2}(k, Z). Le corollaire est ainsi prouvé pour G de type C_{ℓ}, D_{ℓ} avec ℓ pair et E_{7}.

Si G est de type E_{6}, la preuve de [GQ, §11] montre que si l’invariant de Rost pour le groupe SL_{1}(D) est le cup-produit avec m[D], alors t_{R,G} = m t_{G}. En combinant avec le théorème 1.1, on obtient donc le résultat annoncé.

Il reste à prouver le corollaire pour les groupes de type ^{2}A_{ℓ−1}, et pour les groupes de type D_{ℓ} avec ℓ impair. On commence par les formes extérieures de A_{ℓ−1}. Groupes de type ^{2}A_{ℓ−1}.

L’argument présenté ici est essentiellement tiré de [MPT]. Le groupe G est de la forme G = SU(B, τ), où B est une algèbre centrale simple de degré ℓ sur une extension quadratique K de k, et τ est une involution K/k-semi-linéaire de B. Son centre est une forme tordue Z = μ_{ℓ[K]} du groupe des racines ℓiémes de l’unité.

Supposons tout d’abord que ℓ est impair. Par [MPT, (6)], le groupe μ_{ℓ[K]} s’insére dans une suite exacte impliquant des tores quasi-triviaux, et en considérant la suite induite en cohomologie, on observe que H^{2}(k, Z) s’injecte dans H^{2}(k, R_{K/k}(𝔾_{m})) = Br(K). On en déduit que la restriction res_{K/k} : H^{2}(k, Z) → H^{2}(K, Z) est injective. Or, par le cas intérieur, la différence t_{R,G} − t_{G} ∈ H^{2}(k, Z) est nulle sur K. On a donc bien t_{R,G} = t_{G}.

Supposons maintenant que ℓ = 2m est pair. Dans ce cas, par [MPT, Prop. 5.2], l’application

(λ_{⋆}, res_{K/k}) : H^{2}(k, Z) → H^{2}(k, μ_{2}) × H^{2}(K, μ_{n})

est injective, où λ_{⋆} est induite par l’élévation à la puissance m. A nouveau par le cas intérieur, res_{K/k}(t_{R,G}) = res_{K/k}(t_{G}). Il reste donc à montrer que λ_{⋆}(t_{R,G}) = λ_{⋆}(t_{G}), qui par [KMRT, (31.8)] est la classe de Brauer de l’algèbre discriminante D(B, τ).

Pour cela rappelons que, par [KMRT, (30.13)], le groupe H^{1}(k, Z) est un quotient de {(x, y) ∈ k^{×} × K^{×}, x^{n} = N_{K/k}(y)}. De plus, si on note (x, y)_{n} la classe du couple (x, y) ∈ k^{×} × K^{×}, alors par les calculs de [MPT, p. 819], pour toute classe θ ∈ H^{2}(k, Z), le cup produit avec (x, y)_{n} est donné par

(x, y)_{n} · θ = x · λ_{⋆}(θ) + N_{K/k}(y · res_{K/k}(θ)).

Ainsi, par [MPT, §4.1], si l’algèbre B est déployée, alors λ_{⋆}(t_{R,G}) est la classe de Brauer de l’algèbre discriminante D(B, τ), ce qui prouve que λ_{⋆}(t_{R,G}) = λ_{⋆}(t_{G}) dans le cas déployé. Le cas général s’en déduit par extension des scalaires aux corps des fonctions E du transfert de K à k de la variété de Severi-Brauer de B (cf. loc. cit.). En effet, E déploie B et la restriction Br(k) → Br(E) est injective. Groupes de type D_{ℓ} avec ℓ impair.

Supposons maintenant que G est de type D_{ℓ} avec ℓ impair. Son centre est μ_{4} dans le cas intérieur, et une forme tordue μ_{4[K]} dans le cas extérieur. On sait alors que t_{R,G} est égal à t_{G} ou 3t_{G}, mais les arguments donnés dans [MPT, §4.2.1, §4.3.1] ne permettent pas de lever l’ambiguïté. On va donc utiliser la méthode développée dans [GQ], qui s’applique aussi aux groupes classiques. Nous présentons ici une esquisse de la preuve, comprenant les calculs détaillés qui ne sont pas dans [GQ]. Nous renvoyons le lecteur à l’article d’origine pour les détails des arguments. Rappelons tout d’abord que l’on peut supposer, pour calculer t_{R,G}, que le groupe G a un indice de Tits de la forme suivante [GQ, §4] :

[figure: …; …; …; α_{1}; α_{2}; α_{2d}; α_{l−3}; α_{l−1}; α_{l}]

Le groupe G contient donc un k-tore déployé S′ de rang \frac{ℓ−3}{2}. Considérons le sous-groupe dérivé G′ du centralisateur dans G de S′. C’est un groupe semisimple simplement connexe, dont le diagramme de Dynkin est obtenu à partir du diagramme ci-dessus en supprimant les sommets entourés. C’est donc un produit de groupes de type A. De plus, par [GQ, Prop 5.5], le centre Z de G est contenu dans G′. On va donc calculer ρ_{G} en passant par ce sous-groupe, et en utilisant le théorème 1.1.

Pour cela, il nous faut décrire précisément le groupe G′ et l’inclusion de Z dans G′. Pour i = 1, 3, …, ℓ − 4, on note G′_{i} la composante de G′ correspondant au sommet α_{i} du diagramme ; elle est de la forme G′_{i} = SL_{1}(Q_{i}), où Q_{i} est l’algèbre de Tits associée au poids fondamental ω_{i}. Or, en consultant les tables de [Bou], on observe que les poids ω_{1}, ω_{3} …, ω_{ℓ−4} sont égaux modulo le réseau des racines. Il découle donc de [T1, p. 211] (cf. également [KMRT, (27.7)]) que les algèbres Q_{i} sont toutes isomorphes. Ainsi, on a G′_{i} = SL_{1}(Q) pour une certaine algèbre de quaternions Q. Notons maintenant G′_{ℓ} la composante associée au sous-diagramme de sommets α_{ℓ}, α_{ℓ−2} et α_{ℓ−1}. L’algèbre de Tits correspondant au poids ω_{ℓ} est une algèbre de degré 4 sur k dans le cas intérieur et sur K dans le cas extérieur. Le groupe G′_{ℓ} est G′_{ℓ} = SL_{1}(D) dans le premier cas et G′_{ℓ} = SU(D, τ) dans le second, où τ est une involution K/k semi-linéaire de D. De plus, à nouveau par [KMRT, (27.7)], on a [Q] = 2[D] dans le cas intérieur et res_{K/k}([Q]) = 2[D] dans le cas extérieur.

La description de l’inclusion de Z dans G′ peut se faire au niveau de la clôture séparable k_{s} de k. Comme dans [GQ, §8], le poids ω_{ℓ} étant d’ordre 4 dans le quotient Λ/Λ_{r}, l’application z_{ω_{ℓ}} associée par [GQ, Prop 6.2] induit un isomorphisme entre μ_{4} et Z. Avec les notations de [GQ, §5.1], elle est donnée par

z_{ω_{ℓ}}(ζ) = h_{4ω_{ℓ}}(ζ) = h_{1}(ζ^{2}) h_{3}(ζ^{2}) … h_{ℓ−4}(ζ^{2})h_{ℓ−2}(ζ^{2})h_{ℓ−1}(ζ^{ℓ−2}) h_{ℓ}(ζ^{ℓ}).

On peut décrire de maniére analogue le centre de SL_{1}(D). En comparant les deux formules, on obtient que l’inclusion de Z dans le produit Z′_{1} ×Z′_{3} ×…× Z′_{ℓ−4} × Z′_{ℓ}, où Z′_{i} désigne le centre de G′_{i}, est donnée par

ζ ↦ (ζ^{2}, …, ζ^{2}, ζ^{ℓ−2}).

Rappelons que le centre Z′_{i} est isomorphe à μ_{2} pour i = 1, 3, …, ℓ − 4, tandis que Z′_{l} est isomorphe à Z. L’application induite au niveau des H^{1} est donc

\begin{matrix}H^{1}(k, Z) & ↦ & ∏ H^{1}(k, Z′_{i}) \\ a & ↦ & (λ_{⋆}(a), …, λ_{⋆}(a), (ℓ − 2)a), \end{matrix}

où λ_{⋆} désigne comme précédemment l’application induite par l’élévation au carré. Pour conclure, il ne reste plus qu’à appliquer la formule [GQ, (5.8)].

Plaçons-nous tout d’abord dans le cas intérieur. Si ℓ ≡ 3[4], on obtient

ρ_{G}(a) = (ℓ − 2)(a) · [D] = (a) · [D].

Si maintenant ℓ ≡ 1[4], on obtient

ρ_{G}(a) = λ_{⋆}(a) · [Q] + (3a) · [D].

Or (2a) · [D] = (a) · [2D] = λ_{⋆}(a) · [Q], qui est d’ordre 2 dans H^{3}(k).

On obtient donc dans les deux cas ρ_{G}(a) = (a) · [D]. Or, pour faire ce calcul, on a identifié μ_{4} et Z par l’intermédiaire du poids ω_{ℓ}. Par [KMRT, (31.7)], cette identification induit une application H^{2}(k, Z) → H^{2}(k, μ_{4}) qui envoie la classe de Tits t_{G} sur la classe de Brauer de l’algèbre de Tits associée à ω_{ℓ} qui est justement [D]. Le corollaire est donc prouvé dans le cas intérieur.

Notons que l’on aurait aussi pu identifier Z et μ_{4} en utilisant le poids ω_{ℓ−1}. Un calcul analogue montre qu’il faudrait alors remplacer ℓ − 2 par ℓ dans la formule ci-dessus. Mais il faudrait également remplacer D par l’algèbre de Tits associée au poids ω_{ℓ−1}, qui est l’algèbre opposée D^{op}. Comme prévu, la formule ne dépend donc pas de l’identification choisie.

Dans le cas extérieur, un calcul analogue, conduit à ρ_{G}(a) = a·t_{G′_{ℓ}}. Si l’on identifie Z et Z′_{ℓ} à μ_{4[K]} par le poids ω_{ℓ}, en appliquant à nouveau [KMRT, (31.7)], on observe que res_{K/k}(t_{G}) = res_{K/k}(t_{G′_{ℓ}}) = [D] et λ_{⋆}(t_{G}) = λ_{⋆}(t_{G′ℓ}) = [Q]. Par [MPT, Prop. 5.2], ceci permet d’identifier t_{G} = t_{G′_{ℓ}}, et termine la preuve. □

6 Groupes exceptionnels de type G_{2}, F_{4} et E_{8}

On note G le groupe déployé de type G_{2} (resp. F_{4}, E_{8}). Il admet un unique (à G(k_{s})-conjugaison près) k–sous–groupe A = μ_{l} × μ_{l} × ℤ/lℤ avec l = 2 (resp. l = 3, l = 5) tel que Z_{G}(A) est fini dont on va donner une description précise ci-dessous. On se propose de calculer le composé

H_{fppf}^{1}(k, A) → H_{fppf}^{1}(k, G) → H^{3}(k),

le cas de G_{2} étant bien connu des spécialistes. La théorie de la cohomologie plate (cf. [BFT, app. B]) n’est nécessaire que dans le cas de caractéristique l. Notons que ce type de torseurs intervient dans l’étude de la dimension essentielle de G [RY] [ChS] [GiR].

Si n est un entier strictement positif, on note C_{n} le groupe cyclique d’ordre n et A_{n} le groupe alterné en n lettres.

6.1 Sous-groupes finis.

On note T un tore déployé maximal de G et W = N_{G}(T)/T son groupe de Weyl. On considère les diagrammes de Dynkin étendus respectifs

G_{2}  [figure: >; ⋯; −α_{0}; α_{2}; α_{1}]
F_{4}  [figure: >; ⋯; −α_{0}; α_{1}; α_{2}; α_{3}; α_{4}]

E_{8}  [figure: ⋯; −α_{0}; α_{1}; α_{2}; α_{3}; α_{4}; α_{5}; α_{6}; α_{7}; α_{8}]

D’après Borel-de Siebenthal [BS], ceci indique que G admet un sous–groupe H de type A_{1} × A_{1} (resp. A_{2} × A_{2}, resp. A_{4} × A_{4}) dont le premier facteur contient le sommet −α_{0}. On a H = (SL_{l} × SL_{l})/μ où μ ⊂ μ_{l} × μ_{l} désigne le groupe fondamental de H. Le groupe H satisfait H = Z_{G}(Z(H)).

Nous renvoyons à [T2, §1.7.1] pour le calcul du dual μ̂ qui est un quotient de ℤ/lℤ⊕ℤ/lℤ de base respective attachée aux sommets −α_{0}, α_{1} (resp. −α_{0}, α_{3}, resp. −α_{0}, α_{8}). Dans le cas de G_{2} (resp. F_{4}), μ est le μ_{2} (resp. μ_{3}) diagonal

de SL_{2} × SL_{2} (resp. SL_{3} × SL_{3} ; pour E_{8}, on a μ̂ = coker(ℤ/5ℤ ⊕ ℤ/5ℤ ⟶^{(1,3)}

ℤ/5ℤ) d’où μ = μ_{5} plongé dans μ_{5} × μ_{5} par x ↦ (x, x^{2}). On note h l’image respective de

[ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ] × [ \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ] ∈ SL_{2}(k) × SL_{2}(k).

[ \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] × [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ SL_{3}(k) × SL_{3}(k).

[ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] × [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ SL_{5}(k) × SL_{5}(k).

dans H(k). L’élément h est d’ordre l = 2 (resp. 3, 5) et agit de façon anisotrope^{1} à travers son image w ∈ N_{H}(T)/T. On pose A = T^{w} × ⟨h⟩. Le groupe A contient l’image μ_{l}^{(1)} = Z(H) du centre du premier facteur ainsi que le sous–groupe μ_{l}^{(2)} de H image du plongement μ_{l} → H donné respectivement par

[ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & x \end{matrix} ] × [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & x \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x^{2} \end{matrix} ] × [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x^{2} \end{matrix} ] ,

[ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x^{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & x^{4} \end{matrix} ] × [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & x^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x^{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x^{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & x^{8} \end{matrix} ] .

Lemme 6.1 Dans les trois cas précédents, on a

1. T^{w} = μ_{l}^{(1)} × μ_{l}^{(2)} et A = μ_{l}^{(1)} × μ_{l}^{(2)} × ℤ/lℤ.

2. Z_{G}(T^{w}) = T × ℤ/lℤ et Z_{G}(A) = A.

3. N_{G}(T^{w}) = N_{G}(T, T^{w}).

Démonstration. La première assertion est évidente puisque T^{w} se calcule dans H.

(2) Comme H = Z_{G}(Z(H)) et Z(H) ⊂ T^{w}, on a Z_{G}(T^{w}) = Z_{H}(T^{w}). Il suit que Z_{G}(T^{w}) = T × ℤ/lℤ. Vu que T^{A} ⊂ A, on en déduit Z_{G}(A) = A.

(3) Le k–groupe N_{G}(T^{w}) normalise T = Z_{G}(T^{w})0. D’où on déduit N_{G}(T^{w}) = N_{G}(T, T^{w}). □

On considère le morphisme

ϕ : N_{G}(T, T^{w}) → Aut_{k−gp}(T^{w}) = Aut_{k−gp}(μ_{l}^{(1)} × μ_{l}^{(2)}) = GL_{2}(F_{l}).

1i.e. T^{w} est fini.

Par ailleurs, on note N_{⟨w⟩} (resp. N_{w}) la préimage de N_{W} (⟨w⟩) (resp. Z_{W} (w)) dans N_{G}(T).

Lemme 6.2 On suppose que k est de caractéristique ≠ l.

1. On a des suites exactes de k–groupes

1 → T × ℤ/lℤ → N_{G}(T, T^{w}) ⟶^{ϕ} GL_{2}(F_{l}) → 1.

et

1 → A → N_{G}(T, T^{w}) ∩ Z_{G}(ℤ/lℤ) ⟶^{ϕ′} SL_{2}(F_{l}) → 1,

où ϕ′ est la restriction de ϕ à N_{G}(T, T^{w}) ∩ Z_{G}(ℤ/lℤ).

2. Le morphisme N_{G}(T, T^{w}) ∩ Z_{G}(ℤ/lℤ) → N_{w} induit un isomorphisme

SL_{2}(F_{l}) ⟶^{∼} Z_{W} (w)/⟨w⟩.

3. Le morphisme N_{G}(T, T^{w}) → N_{⟨w⟩} est un isomorphisme et induit un isomorphisme GL_{2}(F_{l}) ⟶^{∼} N_{⟨w⟩}/⟨w⟩.

4. Le morphisme

N_{G}(T, T^{w})(k) ⟶^{ϕ} GL_{2}(F_{l}).

est surjectif.

5. Le morphisme

N_{G}(T, T^{w})(k) ∩ Z_{G}(ℤ/lℤ)(k) ⟶^{ϕ′} SL_{2}(F_{l}).

est surjectif.

Pour établir (2), on va procéder cas par cas en utilisant la forme explicite du groupe fini Z_{W} (w). Dans le cas de G_{2}, W est le groupe diédral d’ordre 12 et ⟨w⟩ son centre, ainsi Z_{W} (w) = W. Dans les deux autres cas, la forme explicite de Z_{W} (w) peut être relevée des tables de Carter [Ca] ou plus rapidement du fait que Z_{W} (w) est un groupe de réflexion complexe [Sp]. On a Z_{W} (w) = C_{6}.A_{4} dans le cas F_{4} et Z_{W} (w) = C_{10}.A_{5} dans le cas E_{8}.

Démonstration du lemme 6.2. (1) On a ker(ϕ) = N_{G}(T, T^{w}) ∩ Z_{G}(T^{w}) = N_{G}(T, T^{w}) ∩ Z_{G}(T^{w}) = N_{G}(T, T^{w}) ∩ (T × ℤ/lℤ) = T × ℤ/lℤ suivant le lemme 6.1.(2). Pour la surjectivité de ϕ, on peut supposer k algébriquement clos. Suivant les tables de Griess [Gs], puisque A est non toral, on a N_{G}(A) = A ⋊ SL_{3}(𝔽_{l}). Ainsi N_{G}(T^{w}) ∩ N_{G}(ℤ/lℤ) se surjecte par ϕ sur GL_{2}(F_{l}). La surjectivité de ϕ′ résulte du même fait et le noyau de ϕ′ est donné par ker(ϕ′) = ker(ϕ) ∩ Z_{G}(ℤ/lℤ) = (T × ℤ/lℤ) ∩ Z_{G}(ℤ/lℤ) = A suivant le lemme 6.1.(2).

(2) Le morphisme N_{G}(T, T^{w}) ∩ Z_{G}(ℤ/lℤ) → N_{w} produit en effet un plongement SL_{2}(F_{l}) ↪ Z_{w}/⟨w⟩, qui est un isomorphisme puisque ces deux groupes ont même ordre.

(3) De même, le morphisme N_{G}(T, T^{w}) → N_{⟨w⟩} produit un plongement GL_{2}(F_{l}) ↪ N_{⟨w⟩}/⟨w⟩. Comme l’on a une suite exacte

1 → Z_{w} → N_{⟨w⟩} → Aut(⟨w⟩) = (ℤ/lℤ)^{×},

on déduit en comptant que GL_{2}(F_{l}) ⟶^{∼} N_{⟨w⟩}/⟨w⟩. Ainsi

N_{G}(T, T^{w})/T ⟶^{∼} N_{⟨w⟩}/T,

d’où l’on conclut que N_{G}(T, T^{w}) ⟶^{∼} N_{⟨w⟩}.

(4) Le morphisme N_{G}(T)(k) → W étant surjectif, le morphisme

N_{⟨w⟩}(k) → N_{W} (⟨w⟩)

l’est également. En utilisant (3), on conclut que N_{G}(T, T^{w})(k) ⟶ GL_{2}(F_{l}) est surjectif. □

(5) Si r ∈ SL_{2}(F_{l}), le (4) produit un relevé g ∈ N_{G}(T, T^{w})(k) qui agit trivialement sur ℤ/lℤ.

Remarque 6.3 L’hypothèse sur la caractéristique est technique et peut probablement être levée dans le lemme 6.2.

6.2 Calcul explicite

On a H_{fppf}^{1}(k, A) = k^{×}/(k^{×})^{l} × k^{×}/(k^{×})^{l} × H^{1}(k, ℤ/lℤ), un élément est donc le produit de deux éléments (a), (b) ∈ k^{×}/(k^{×})^{l} et d’un caractère χ ∈ H^{1}(k, ℤ/lℤ).

Théorème 6.1 Le composé

r_{G} ∘ i_{k} : H_{fppf}^{1}(k, A) → H_{fppf}^{1}(k, G) → H^{3}(k),

applique (a) × (b) × χ sur −(a).(b).χ.

La démonstration s’appuie principalement sur la note de Chernousov [Ch].

Démonstration : On note f = r_{G} ∘ i_{k}. On suppose que G = E_{8}, les deux autres cas étant similaires. Le théorème 2 de [Gi] permet de supposer que car(k) = 0. En outre, par restriction-corestriction, il est loisible de supposer que k contient une racine cinquième de l’unité ζ. On regarde d’abord la restriction au facteur H^{1}(k, μ_{5}^{(2)} × ℤ/5ℤ) = k^{×}/(k^{×})^{l} × H^{1}(k, ℤ/lℤ). Celleci définit un invariant cohomologique f′ de μ_{5}^{(2)} × ℤ/5ℤ dans H_{5}^{3}(k). La description de ces invariants est bien connue [GS, §16.5 page 40]. On sait alors qu’il existe (de façon unique !) des éléments (c_{0}) ∈ k^{×}/(k^{×})^{5}, α_{0} ∈ H^{2}(k, μ_{5}^{(2)}) et β_{0} ∈ H_{p}^{2}(k) tels que

f′((b) × χ) = (c_{0}).(b) ∪ χ + α_{0}.χ + (b).β_{0}.

Vu que μ_{5}^{(2)} ⊂ T et que H^{1}(k, T) = 0, cet invariant est nul si χ = 0, d’où β_{0} = 0. De même, ℤ/lℤ se plonge dans un k–tore déployé, donc α_{0} = 0 et f′((b) × χ) = (c_{0}).(b) ∪ χ.

On note z l’image dans Z^{1}(k, H) du cocycle (b) × χ. Suivant [GiS, §2.5], on a

zH =(SL_{1}(B) × SL_{1}(C))/μ

où B = (χ, b) et C = (χ, b^{2}) sont des k–algèbres cycliques de degré 5. On considère le diagramme commutatif [Gi, lemme 7]

(∗) \begin{matrix}H^{1}(k, A) & ⟶ & H^{1}(k,_{z}G) & ⟶^{r_{zG}} & H^{3}(k) \\ ^{?+(b)×χ}↓ & & ^{τ_{z}}↓^{≀} & & ↓^{?+f((b)×χ)} \\ H^{1}(k, A) & ⟶ & H^{1}(k, G) & ⟶^{r_{G}} & H^{3}(k) \end{matrix}

où τ_{z} désigne la bijection de torsion. Vu que le facteur μ_{5}^{(1)} s’applique sur le centre de SL_{1}(B), il vient le diagramme commutatif suivant

k^{×}/(k^{×})^{5}  ⟶ k^{×}/Nrd(B^{×}) ⟶^{∼} H^{1}(k, SL_{1}(B))
||  ↓
k^{×}/(k^{×})^{5} = H^{1}(k, μ_{5}^{(1)}) ⟶ H^{1}(k, A) ⟶ H^{1}(k,_{z}G).

Nous affirmons que le composé H^{1}(k, SL_{1}(B)) → H^{1}(k,_{z}G) → H^{3}(k), la seconde fléche étant r_{_{z}G}, est l’invariant de Rost de SL_{1}(B). En effet, on sait que ce composé est d × r_{SL_{1}(B)} où d est l’indice de Dynkin (ou multiplicateur de Rost) du morphisme SL_{1}(B) → _{z}G [M, §9]. Cet indice correspond au morphisme ℤ = H^{1}(_{z}G, K_{2}) → H^{1}(SL_{1}(B), K_{2}) = ℤ et est donc le même que celui du morphisme SL_{5} → G. Pour voir que ce multiplicateur est 1, on utilise le morphisme

α_{0}^{∨} : SL_{2} → SL_{5} → G

attaché à la coracine (courte) α_{0}^{∨} commune à SL_{5} et G. On considère le diagramme commutatif

ℤ = H_{Zar}^{1}(G, K_{2}) ⟶^{(α_{0}^{∨})^{∗}} H_{Zar}^{1}(SL_{2}, K_{2}) = ℤ
×d↓  ||
ℤ = H_{Zar}^{1}(SL_{5}, K_{2}) ⟶^{(α_{0}^{∨})^{∗}} H_{Zar}^{1}(SL_{2}, K_{2}) = ℤ.

Suivant [M, remark 7.5 page 121], les flèches horizontales sont id_{ℤ}, d’où d = 1. Ainsi, l’image de (a) par le composé

k^{×}/(k^{×})^{5} = H^{1}(k, μ_{5}^{(1)}) → H^{1}(k, A) → H^{1}(k,_{z}G) → H^{3}(k)

est (a).χ.(b) suivant le Théorème 1.1. En remontant avec le diagramme (*), il vient

f((a) × (b).χ) = (a).χ.(b) − (c_{0}).(b).χ.

On utilise maintenant l’action du groupe N_{G}(T^{w})(k) ∩ Z_{G}(ℤ/lℤ)(k) sur G et A. Suivant le lemme 6.2.5, il existe g ∈ N_{G}(T^{w})(k) ∩ Z_{G}(ℤ/lℤ)(k) qui agit sur T^{w} suivant

[ \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] ∈ SL_{2}(F_{5}).

Vu que G(k) agit trivialement sur H^{1}(k, G), (a) et (b) jouent donc des rôles équivalents dans la formule cherchée, d’où la trivialité de (c_{0}) et de β_{0}. On conclut que

f((a) × (b).χ) = −(a).(b).χ.
□

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