UN INVARIANT DE DEGRÉ 3 DES ALGÈBRES CENTRALES SIMPLES D’EXPOSANT 2

par

Bruno Kahn

Abstract. — We associate to any central simple algebra A of exponent 2 over a field of characteristic ≠ 2 an invariant with values in the degree 2 unramified cohomology of its Severi-Brauer variety modulo the image of the cohomology of the ground field. The main theorem is that this invariant is nonzero if and only if the index of A is ≥ 8.

Ce texte se fonde sur des notes manuscrites non datées (remontant sans doute à 2000) que j’ai retrouvées récemment. Je remercie J.-P. Tignol, A. Vishik et V. Chernousov pour des conversations à ce sujet.

Soient F un corps de caractéristique différente de 2 et A une F -algèbre centrale simple d’exposant 2. Notons X sa variété de Severi-Brauer et K = F (X). On dispose d’homomorphismes d’extension des scalaires:

η_{2}^{3} : H^{3}(F, Z/2) → H_{nr}^{3}(K/F, Z/2)
η^{3} : H^{3}(F, Q/Z(2)) → H_{nr}^{3}(K/F, Q/Z(2)).

Rappelons que la cohomologie non ramifiée est un invariant birationnel stable; par conséquent, Coker η_{2}^{3} et Coker η^{3} ne dépendent que de la classe de A dans Br(F).

Soit F_{s} une clôture séparable de F et X_{s} = X ⊗_{F} F_{s}. Notons ξ l’homomorphisme CH^{2}(X) → CH^{2}(X_{s}). D’après [3, cor. 7.1] on a une injection

(1)  Coker η^{3} ↪ Coker ξ

qu’on peut déduire du diagramme commutatif aux lignes exactes (cf. [3, th. 1.1]):

(2)

0→ 0  ⟶ H_{ét}^{4}(F, Z(2)) ⟶^{∼} H_{ét}^{3}(F, Q/Z(2)) →0
↓  ↓  ^{η^{3}}↓
0→ CH^{2}(X) ⟶ H_{ét}^{4}(X, Z(2)) ⟶ H_{nr}^{3}(K/F, Q/Z(2))→0
ξ↓  ↓  ↓
0→CH^{2}(X_{s}) ⟶^{∼} H_{ét}^{4}(X_{s}, Z(2)) ⟶  0  →0

dans lequel la colonne centrale, formée de groupes de cohomologie motivique étale, est exacte (on a H_{nr}^{3}(KF_{s}/F_{s}, Q/Z(2)) = 0 puisque X_{s} est une variété rationnelle).

(La meilleure manière de prouver l’exactitude de la colonne centrale est d’utiliser la suite spectrale des tranches: [4, th. 4.4] et [2, (3.2) et rem. 6.3].)

Il résulte de [6] que Coker ξ ne dépend également que de la classe de A dans Br(F). Rappelons que CH^{2}(X_{s}) = Z ou 0 puisque X_{s} est un espace projectif. On a:

– ind(A) ≤ 2: Coker ξ = 0 (se ramener à A à division; alors dim X ≤ 1).

– ind(A) = 4: Coker ξ = Z/2 [5].

– ind(A) ≥ 8: Coker ξ = Z/4 [1, lemma 9.4 b)].

Soit q ∈ I^{2}F telle que c(q) = [A]: alors q_{K} ∈ I^{3}K et son invariant d’Arason e^{3}(q_{K}) ∈ H_{ét}^{3}(K, Z/2) est défini. Il est non ramifié.

Soit q′ un autre choix de q: alors q′ ⊥ −q ∈ I^{3}F et e^{3}(q_{K}) − e^{3}(q′_{K}) = e^{3}(q − q′)_{K}. Ainsi:

Lemme 1. — La classe de e^{3}(q_{K}) dans Coker η_{2}^{3} ne dépend pas du choix de q: on la note e_{2}.

Théorème 1. — Soit e l’image de e_{2} dans Coker η^{3}. Alors e ≠ 0 ⟺ ind(A) ≥ 8.

Démonstration. — ind(A) ≤ 2: c’est clair.

ind(A) = 4: on peut choisir q d’Albert. Alors q_{K} ∼ 0 par le Hauptsatz d’Arason-Pfister, donc e = 0.

ind(A) ≥ 8: on pourrait le déduire de [1, Th. 9.1], mais je vais donner une argument légèrement différent.

Notons E l’espace vectoriel sous-jacent à q. Alors E ×_{Spec F} X est un fibré vectoriel trivial sur X qui définit (avec q_{K}) un fibré de Clifford, à savoir un torseur sous le groupe de Clifford spécial Cliff(n, n), cf. [1, §9]. Lui sont associées deux classes caractéristiques [1, §6]:

γ_{1} ∈ H_{ét}^{2}(X, Z(1)) (≃ CH^{1}(X)), γ_{2} ∈ H_{ét}^{4}(X, Z(2))

à valeurs dans la cohomologie motivique étale de X.

On a:

– 0 = c_{2}(E ×_{Spec F} X) = 2γ_{2} − γ_{1}^{2} [1, th. 6.9 (iii))].

– γ_{1} ↦ c(q_{X}) ∈ H_{ét}^{2}(X, Z/2(1)) (ibid., th. 6.9 (iv)).

– γ_{2} ↦ e^{3}(q_{K}) (ibid., th. 6.11). Comme H_{ét}^{2}(F, Z/2) ↪ H_{ét}^{2}(X, Z/2), c(q_{X}) ≠ 0 et γ_{1} engendre CH^{1}(X)/2,

soit γ_{1} = 2mh, m impair, h classe d’une section hyperplane lisse de X (cf. [1, lemme 9.4 a)].) On en déduit:

γ_{2} ↦ 2m^{2}h^{2} ≠ 0 ∈ Coker ξ

ce qui conclut la démonstration, vu le diagramme (2).

Applications:

1. Supposons A à division et isomorphe à un produit tensoriel de trois algèbres de quaternions. Dans ce cas on peut choisir q de dimension 8 et représentant 1; alors q_{K} est une 3-forme de Pfister. Ceci donne un exemple de 3-forme de Pfister non ramifiée sur un corps de fonctions, qui est définie sur le corps de base en tant que forme quadratique mais pas en tant que forme de Pfister. (Je remercie Chernousov pour une conversation ayant conduit à cette observation.)

2. (Tignol). Cet exemple a un rapport direct avec le précédent. Karpenko [7, Th. 5.3] a démontré qu’une involution anisotrope sur une algèbre à division D le reste après extension au corps des fonctions de la variété de Severi-Brauer de D. Par ailleurs, soit A une algèbre centrale simple de degré 8 et σ une involution orthogonale de A, décomposable en produit tensoriel de 3 involutions quaternioniennes: dans [8, Prop. 5.1], Queguiner et Tignol associent à σ une forme q ∈ I^{2}F de dimension 8 telle que

– c(q) = [A]

– q isotrope ⟺ σ isotrope. Supposons que A soit à division. Le théorème 1 implique que q_{K} n’est pas isotrope, donc que σ_{K} n’est pas isotrope. Cela donne une autre démonstration du théorème de Karpenko dans ce cas particulier.

Références

[1] H. Esnault, B. Kahn, M. Levine, E. Viehweg The Arason invariant and mod 2 algebraic cycles, J. Amer. Math. Soc. 11 (1998), 73–118.

[2] A. Huber, B. Kahn The slice filtration and mixed Tate motives, Compositio Math. 142 (2006), 907–936.

[3] B. Kahn Applications of weight-two motivic cohomology, Doc. math. 1 (1996), 395–416.

[4] B. Kahn Motivic cohomology of smooth geometrically cellular varieties, Proc. Symp. Pure Math. 67 (1999), 149–174.

[5] N. Karpenko On topological filtration for Severi-Brauer varieties, Proc. Symp. Pure Math. 58 (2) (1995), 275–277.

[6] N. Karpenko Grothendieck Chow motives of Severi-Brauer varieties, Algebra i Analiz 7 (1995), 196–213; traduction anglaise: St. Petersburg Math. J. 7 (1996), 649–661.

[7] N. Karpenko On anisotropy of orthogonal involutions, J. Ramanujan Math. Soc. 15 (2000), 1–22.

[8] A. Queguiner, J.-P. Tignol Algebras with involution that become hyperbolic over the function field of a conic, à paraître dans l’Israel J. Math.

[9] A. Suslin L’homomorphisme quaternionien pour le corps des functions d’une conique, Dokl. Akad. Nauk SSSR 265 (1982), 292–296; traduction anglaise: Soviet Math. Dokl. 26 (1982), 72–77 (1983).

5 novembre 2009 Bruno Kahn, Institut de Mathématiques de Jussieu, 175–179 rue du Chevaleret,

75013 Paris, France • E-mail : kahn@math.jussieu.fr