Algèbres de Lie de dimension infinie et théorie de la descente

Wilhelm Alexander Steinmetz-Zikesch

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Table des matières

1 Introduction 5 1.1 Résultat principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Algèbres de Lie de dimension infinie . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Structure de ce travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Conventions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Généralités et préliminaires 9 2.1 Géométrie algébrique et modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Algèbres d’Azumaya et groupe de Brauer . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Involutions et formes hermitiennes . . . . . . . . . . . . . 12 2.3.2 Comparaison de catégories de formes hermitiennes …. 13 2.3.3 Groupe de Witt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.4 Théorèmes de simplification . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Involutions sur les algèbres d’Azumaya . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Les conjectures 25

3.1 Classes de lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.1 L’indice de Witt-Tits et l’invariant de Brauer . . . . . . . 27 3.2 Formes d’algèbres sur des anneaux de polynômes de Laurent . . 28

3.2.1 Algèbres de multi-lacets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.2 Le cas des algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Les conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Le cas ^{1}A_{n−1} et les groupes orthogonaux 31 4.1 Le cas ^{1}A_{n−1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Le cas des groupes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Les autres groupes classiques 41 5.1 Conventions, notations et préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 La suite spectrale de S. Gille I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.1 Groupes de Witt cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2.2 Comparaison avec groupes de Witt usuels . . . . . . . . . 44 5.2.3 Construction de la suite spectrale . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2.4 La suite spectrale et l’équivalence de Morita . . . . . . . . 47

5.3 La suite spectrale de S. Gille II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.1 Groupes de Witt cohérents . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5.3.2 Comparaison avec groupes de Witt usuels . . . . . . . . . 49

5.3.3 Construction de la suite spectrale . . . . . . . . . . . . . . 50 5.4 Le cas C_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.5 Les autres groupes du type D_{n} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 5.6 Le cas ^{2}A_{n−1} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6 La conjecture B 75

A Un théorème de compatibilité 83 A.1 Énoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A.2 L’existence du foncteur de Morita F . . . . . . . . . . . . . . . . 88 A.3 Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

A.3.1 Le foncteur de dévissage u_{*} . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 A.3.2 Compatibilité des foncteurs F et u_{*} . . . . . . . . . . . . . 93

Chapitre 1

Introduction

1.1 Résultat principal

Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, par exemple k = ℂ. Soit R_{2} = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}] l’anneau de polynômes de Laurent sur k. Ce travail porte sur la classification des torseurs sous les groupes algébriques classiques (i.e. les groupes de types A_{n−1} et B_{n} (n ≥ 2), C_{n} (n ≥ 3) et D_{n} (n ≥ 4) sauf 3,6D_{4}). Fixons une famille compatible de racines n-ièmes de l’unité primitives (ζ_{n})_{n≥1}, i.e. pour tout l ≥ 1, ζ_{ln}^{l} = ζ_{n}. Notons A(s, t) (s, t ≥ 1) la R_{2}-algèbre d’Azumaya définie par les relations

X^{t} = t_{1}, Y^{t} = t_{2}^{s} et XY = ζ_{n}Y X.

Disons que le R_{2}-schéma en groupes semi-simples simplement connexe G satisfait à la condition (*), si G = SL_{1}(A(s, t)) avec pgcd (s, t) > 2. Alors le théorème principal de ce travail est le suivant :

Théorème 1.1. Soit G un R_{2}-schéma en groupes semi-simples simplement connexe de type :

1. ^{1}A_{n−1} satisfaisant à (*)

2. ^{2}A_{n−1} (n ≥ 7)

3. C_{n} (n ≥ 6)

4. ^{1,2}D_{n} (n ≥ 8)

alors H_{ét}^{1}(R_{2}, G) = 1 où ét est la topologie étale sur R_{2}.

Remarque 1.2. Pour G = Spin(q), où q est une R_{2}-forme quadratique de rang ≥ 5, on a également H^{1}(R_{2}, G) = 1. La trivialité de cet ensemble découle d’un travail de Parimala [Pa], voir [GP1, Cor. 6.3]. On a donc H^{1}(R_{2}, G) = 1 également pour G de type B_{n} (n ≥ 2) et pour certains G de type ^{1,2}D_{n} (n ≥ 4).

L’ensemble H_{ét}^{1}(R_{2}, G) classifie les torseurs ou espaces principaux homogènes sous le R_{2}-schéma en groupes G (voir [Gir, III] ou [Mi, III.4] et le début du chapitre 2). Observons l’analogie de ce théorème avec la conjecture II de Serre [Se, Conjecture II] :

Conjecture II. Soit F un corps parfait de dimension cohomologique 2 et soit G un F -schéma en groupes semi-simples simplement connexe, alors H_{ét}^{1}(F, G) = 1.

Le corps de fractions K := k(t_{1}, t_{2}) de R_{2} est de dimension cohomologique 2. Par un théorème de de Jong [dJ] l’indice et l’exposant dans le groupe de Brauer coïncident sur K. Il suit qu’en utilisant ce théorème, par [CTGP, théorèmes 1.3 et 2.1] – pour le cas où G est sans facteur de type E_{8} – et par [GP1, Thm. 2.5] – pour le cas où G contient un tel facteur – la conjecture II est vraie pour F = K. On peut alors voir le théorème 1.1 comme une variante “globale” de cette conjecture pour K. Notons qu’il y a une obstruction à ce que la conjecture II soit vraie pour l’anneau R_{2} pour groupes de tous les types : L’ensemble H_{ét}^{1}(R_{2}, SL_{1}(A(1, n))) n’est trivial pour aucun n > 1 (voir [GP1, Prop. 3.20 et Rem. 3.23] et chapitre 3.3). Par contre il y a l’espoir que les autres bornes puissent être améliorées : la trivialité de H_{ét}^{1}(R_{2}, SL_{1}(A(s, t))) pour pgcd (s, t) = 2, et de H_{ét}^{1}(R_{2}, G) pour G de type ^{2}A_{n−1} (avec 2 ≤ n ≤ 6), C_{n} (avec 3 ≤ n ≤ 5) et ^{1,2}D_{n} (avec 4 ≤ n ≤ 7, et G n’étant pas le groupe des spineurs d’une R_{2}-forme quadratique) reste une conjecture (cf. [GP1, Conjecture 6.1] et chapitre 3.3).

1.2 Algèbres de Lie de dimension infinie

À part la relation avec la conjecture II de Serre, les torseurs sur Spec R_{2} ont une relation importante avec une certaine classe d’algèbres de Lie de dimension infinie sur ℂ, appelées extended affine Lie algebras (EALA’s) (cf. section 3.3,

[AABGP] et [Ne]). Pour préciser cette relation présentons le cas général pour les anneaux de polynômes de Laurent à m variables et introduisons la notion d’une algèbre de multi-lacets.

Soit donc R_{m} = k[t_{1}^{±1}, ..., t_{m}^{±1}]. Fixons (ζ_{n})_{(n≥1)} une famille compatible de n-racines de l’unité (ζ_{ln}^{l} = ζ_{n}). Soit 𝔤 une k-algèbre de Lie simple, de dimension infinie. Soit G = Aut_{k}(𝔤) son groupe de k-automorphismes. Notons également par G le groupe de R_{m}-automorphismes de la R_{m}-algèbre 𝔤⊗_{k}R_{m}. Étant donnée une famille σ = (σ_{1}, ..., σ_{m}) d’automorphismes d’ordre fini de la k-algèbre 𝔤 qui commutent, on peut construire une k-algèbre ℒ(𝔤, σ), dite algèbre de multi-lacets associée à cette donnée (voir section 3.2.1 et [GP1, 5.1]). Cette k-algèbre est de dimension finie vue comme R_{m}-algèbre, et en fait, elle est une R_{m}-forme de 𝔤^{1}. Il suit que l’on peut lui attacher un torseur qui définie une classe dans l’ensemble de cohomologie H^{1}(R_{m}, G) (si G est un k-groupe semi-simple^{2}, cette classe correspond à des torseurs de lacets (ou loops torsors en anglais) comme ils ont été définis et étudiés dans [GP1, section 3], voir aussi 3.1). Le formalisme général d’espaces principaux homogènes (ou torseurs) sur des schémas permet alors d’étudier ces algèbres de multi-lacets à l’aide de cet ensemble de cohomologie.

Ensuite, ces algèbres de multi-lacets ont l’anneau R_{m} comme centroïde ; l’interêt de ces algèbres provient donc du théorème principal de [ABFP], qui montre que des centre-less cores (loc.cit.) des EALA, qui sont des modules de dimension finie sur leur centroïdes, sont toujours des algèbres de multilacets.

1Strictement, elle est une R_{m}-forme de 𝔤⊗_{k} R_{m}, mais ce petit abus de notation sera utilisé tout au long de ce travail.

2dans le sens de Borel [Bo].

Pour m = 1, 2, les algèbres de multi-lacets ont déjà fait l’objet de plusieurs études :

Dans le cas m = 1, la classification des torseurs sur R_{1} = k[t^{±1}] a été faite dans [Pi]. Tous les torseurs correspondent à des algèbres de multi-lacets. Cellesci sont toutes des centre-less cores de EALA, et ces dernières sont des algèbres de Kac-Moody affines.

Le cas m = 2 a déjà été étudié dans [GP1] et [GP2]. Si G est un R_{2}-groupe semi-simple^{3}, Gille et Pianzola ont entièrement décrit la classe des torseurs de lacets sur R_{2} (i.e. les classes dans H^{1}(R_{2}, G), qui correspondent aux algèbre de multi-lacets). Ils ont d’ailleurs conjecturé que si le schéma en groupes G (pas forcément semi-simple) est rationnellement isotrope (i.e. isotrope sur K = Frac(R_{2}) = k(t_{1}, t_{2}), voir section 4.1) alors tous les torseurs sous G correspondent à des algèbres de multi-lacets. Le théorème 1.1 montre que, en rang assez grand, ceci est le cas pour tous les groupes classiques. Gille et Pianzola ont observé que le cas où G = Spin(q), avec q une R_{2}-forme quadratique de rang ≥ 5, découle d’un travail de Parimala [Pa] sur les formes quadratiques sur les anneaux de Dedekind, voir la remarque 1.2.

En ce qui concerne les algèbres de multi-lacets, Gille et Pianzola ont conjecturé qu’ils sont, en dehors de type A, entièrement determinées (à k-isomorphisme près) par leur indice de Witt-Tits, cf. [GP1, Conj. 6.4]. Dans le chapitre 6 du présent travail, on déduit du théorème 1.1, que cette conjecture est en fait vraie en dehors de type ^{1}A, à savoir :

Corollaire 1.3. Soit 𝔤 une algèbre de Lie simple, de dimension finie sur k de type A_{n−1} (n ≥ 7), B_{n} (n ≥ 2), C_{n} (n ≥ 6) ou D_{n} (n ≥ 8). Notons Aut_{k}(𝔤) son groupe de k-automorphismes. Soient x = (x_{1}, x_{2}) et y = (y_{1}, y_{2}) deux paires d’automorphismes d’ordre fini de 𝔤 qui commutent, i.e. on a x_{1}x_{2} = x_{2}x_{1} et y_{1}y_{2} = y_{2}y_{1}. Si 𝔤 est de type A_{n−1}, supposons de plus que les éléments x_{1}, x_{2}, y_{1} et y_{2} ne sont pas tous contenus dans la composante connexe de l’élément neutre de Aut_{k}(𝔤). Alors ℒ(𝔤, x) ⊗_{R_{2}} K est une algèbre de Lie de dimension finie et isotrope sur K. De plus,

ℒ(𝔤, x) ≃_{k−Lie} ℒ(𝔤, y) ⇔ I(x) = I(y)

où I(x) et I(y) sont les indices de Witt-Tits de x et y respectivement (voir section 3.1.1).

1.3 Structure de ce travail

La stratégie pour prouver le théorème 1.1 est analogue à celle de Bayer et Parimala dans [BFP] : on utilise la description (due à Weil [We] dans le cas d’un corps de base) des torseurs sous les groupes classiques sur R_{2} en termes d’algèbres d’Azumaya pour les groupes de types ^{1}A_{n} et en termes d’algèbres d’Azumaya à involutions pour les autres groupes classiques, cf. [Kn, III.8.5]. Ensuite on calcule les groupes de Grothendieck des algèbres d’Azumaya sur R_{2} et les groupes de Witt des formes hermitiennes et anti-hermitiennes sur des algèbres d’Azumaya à involutions sur R_{2}. Pour cela on utilise une suite spectrale de K-théorie de Panin et Suslin [PS] pour le cas ^{1}A_{n−1} et deux suites spectrales de Stefan Gille [Gil1] et [Gil2] pour les cas ^{2}A_{n−1}, C_{n}, D_{n}. Enfin on utilise des théorèmes de scindage et de simplification de Knus et Bertuccioni [Kn] pour obtenir des résultats non stables qui portent sur les torseurs sur R_{2}.

3ou plutôt G_{R_{2}}.

Par rapport à la structure de ce travail, le chapitre 2 introduit des résultats sur les algèbres d’Azumaya, les formes quadratiques et hermitiennes et sur les algèbres à involutions dont on aura besoin par la suite. Le chapitre 3.3 explicite le lien avec les algèbres à multi-lacets et introduit les conjectures. Ensuite les chapitres 4 et 5 traitent de la preuve du théorème 1.1 pour les groupes des différents types. Le chapitre 6 est dédié à la demonstration du corollaire 1.3 et finalement l’appendice contient la preuve d’un théorème de compatibilité entre l’équivalence de Morita et une suite spectrale de groupes de Witt dont on aura besoin dans le chapitre 5.

1.4 Conventions et notations

Tous les anneaux et homomorphismes d’anneaux qui apparaissent sont dans la catégorie des anneaux avec un élément unité et tous les modules sont, sauf mention expresse du contraire, des modules à gauche. Pour un anneau R, la catégorie des R-modules à gauche est notée R − 𝔐𝔬𝔡 et quand il est clair dans le contexte qu’il s’agit de modules à gauche ou à droite, cette catégorie est notée ℳ(R). On note M^{r} la somme directe de r copies du module M. Si R est un anneau, M un R-module et R ⟶ S un homomorphisme d’anneaux, on note M_{S} = M ⊗_{R} S le S-module obtenu par extension d’anneaux. De même pour un homomorphisme f : M ⟶ M′ entre R-modules on note f_{S} = f ⊗_{R} id_{S} : M ⊗_{R} S ⟶ M ⊗_{R} S l’homomorphisme obtenu par extension d’anneaux. Si A est un anneau, on note par A^{op} l’anneau avec la multiplication opposée. On identifie toujours l’anneau (A^{op})^{op} avec A. Toutes ces conventions se traduisent de manière analogue pour les catégories des faisceaux d’anneaux sur un schéma et les faisceaux de modules sur un tel faisceau d’anneaux. Tout au long de ce travail, A désigne un anneau, R désigne un anneau commutatif et k un corps commutatif. La catégorie des groupes abéliens est notée 𝔄𝔟.

Généralités et préliminaires

Ce chapitre expose des résultats sur des algèbres d’Azumaya, des formes quadratiques et hermitiennes et sur des algèbres à involutions dont on aura besoin dans ce travail. À part les généralités de géométrie algébrique et celles sur les algèbres d’Azumaya et le groupe de Brauer, qui sont évidémment en grande partie dues à Grothendieck, nos sources principales sont les livres [Kn] et [KMRT]. Dans [Kn], Knus donne une exposition de généralités sur des formes hermitiennes et quadratiques sur des anneaux, de théorèmes de comparaison de catégories de formes hermitiennes et d’une théorie de Morita pour les catégories de formes hermitiennes, que l’on réproduit dans ce chapitre. On tire de ce livre également des théorèmes de simplification pour des modules (du à Bass et Schanuel) et pour les formes hermitiennes (du à Bak). Le livre [KMRT] contient une étude détaillée de l’ensemble H_{ét}^{1}(k, G), pour G un k-groupe algèbrique linéaire semisimple de type classique, en termes d’algèbres simples centrales à involutions. On étend ces descriptions à des ensembles H_{ét}^{1}(R, G) (où R désigne un anneau et G désigne un schéma en groupes algèbriques linéaires) sous certains condition sur R et G.

2.1 Géométrie algébrique et modules

Soit X un schéma. Pour x ∈ X on note 𝒪_{x} l’anneau local en x et k(x) son corps résiduel. Supposons que le schéma X est affine, i.e. X = Spec R pour un anneau commutatif R. On note son espace topologique sous-jacent aussi Spec R, c’est l’ensemble des idéaux premiers de R muni de la topologie de Zariski. Le sous-ensemble des idéaux maximaux de R, muni de la topologie induite est noté Spm R. La dimension (combinatoire) (cf. [Kn, VI.2.2]) de l’espace topologique Spec R, noté dim Spec R, est aussi la dimension de Krull de l’anneau R. Pour un anneau noethérien, la dimension de l’espace Spm R n’excède pas la dimension de Spec R, cf. [Kn, VI.2.2].

Soit G un schéma en groupes commutatifs sur X. Soit E une topologie sur X (e.g. E = ét la topologie étale, E = fppf la topologie fidèlement plate de présentation finie). Alors les groupes de cohomologie H_{E}^{i}(X, G) correspondent à la cohomologie “foncteur dérivé” pour la topologie E et les ensembles Ȟ_{E}^{i}(X, G) signifient la cohomologie de Čech pour la topologie E.

Dans le cas où G est un schéma en groupes non commutatifs sur X, les seuls ensembles de cohomologie qui existent sont les ensembles Ȟ_{E}^{i}(X, G) (i = 0, 1), c.f. [Gir, Ch. III].

Pour G commutatif, on a par [Mi, III.2.10] que Ȟ_{E}^{i}(X, G) ≃ H_{E}^{i}(X, G) pour i = 0, 1. Donc on va noter pour tout G les premiers ensembles de cohomologie H_{E}^{0}(X, G) et H_{E}^{1}(X, G) étant clair qu’il s’agit des ensembles de cohomologie de Čech si G est non commutatif.

De plus on a le résultat suivant de comparaison des topologies : soit G un schéma en groupes lisses sur X, alors H_{ét}^{i}(X, G) ≃ H_{fppf}^{i}(X, G) (i ≥ 0) [Mi, III.4.2 et III.3.9]. Ce résultat provient du fait que tout torseur sous un schéma en groupes lisses est lisse.

Rappelons quelques défintions concernant de modules :

Définition 2.1. Soit M un A-module à gauche, i.e. M ∈ A−𝔐𝔬𝔡. On dit que : – M est projectif si le foncteur Hom_{A}(M, ) : A − 𝔐𝔬𝔡 ⟶ 𝔄𝔟 est exact.

– M est fidèle si le foncteur Hom_{A}(M, ) : A − 𝔐𝔬𝔡 ⟶ 𝔄𝔟 est fidèle.

– M est fidèlement projectif s’il est fidèle et projectif.

Soit A une R-algèbre finie, qui est un R-module fidèlement projectif de rang constant m sur R (e.g. si Spec R est connexe). Alors on dit qu’un A-module fidèlement projectif est de rang relatif n sur A, s’il est un R-module projectif de rang mn. La définition suivante est tirée de [Bs3], voir [Bs3, IV.1 (p.167)] et [Bs3, IV.2 (p.171)].

Définition 2.2. Soit D une R-algèbre finie, i.e. une R-algèbre qui est de type fini comme R-module. Soit M un D-module. On dit que

f– rang_{D}(M) ≥ r

si pour tout idéal maximal 𝔪 ∈ R, le D_{𝔪}-module M_{𝔪} possède un facteur direct isomorphe à D_{𝔪}^{r}.

2.2 Algèbres d’Azumaya et groupe de Brauer

Les références pour les définitions et résultats suivants sont principalement les deux exposés de Grothendieck [Gr1] et [Gr2].

Définition 2.3. Soit (X, 𝒪_{X}) un schéma noethérien. On appelle algèbre d’Azumaya de degré n sur X un faisceau 𝒜 de 𝒪_{X}-algèbres localement libres de rang n^{2} tel que l’homomorphisme naturel

𝒜 ⊗_{𝒪_{X}} 𝒜^{op} ⟶ ℰnd_{𝒪_{X}} (𝒜)

donné par a ⊗ b^{op} ↦ (x ↦ axb) est un isomorphisme.

Ceci équivaut à dire que 𝒜 est un faisceau en 𝒪_{X}-algèbres localement libres, localement isomorphe à M_{n}(𝒪_{X}) pour la topologie étale, cf. [Gr1, th. 2.5.1]. En particulier, pour un schéma affine X = Spec R, on retrouve les algèbres centrales séparables sur R [Kn, III.5.1.1] et pour R = k un corps, les algèbres simples centrales sur k.

Observons que si 𝒜 et ℬ sont deux algèbres d’Azumaya sur X, alors leur produit tensoriel 𝒜 ⊗_{𝒪_{X}} ℬ en est de même. L’ensemble de classes d’isomorphie par la relation d’équivalence “𝒜 ∼ ℬ si et seulement si les catégories 𝔐𝔬𝔡−𝒜 et 𝔐𝔬𝔡−ℬ sont équivalents” est un groupe abélien dont l’opération est donnée par le produit tensoriel, cf. [Gr1, p.47]. On note ce groupe Br_{Az}(X). Pour X quasicompact, ce groupe est de torsion, voir [Gr1, cor. 1.5]. On définit le groupe de Brauer cohomologique (ou simplement groupe de Brauer) de la façon suivante.

Définition 2.4. Soit X un schéma. Le deuxième groupe de cohomologie pour la topologie étale à coefficients dans 𝔾_{m} est appelé le groupe de Brauer de X et noté Br(X) = H^{2}(X, 𝔾_{m}).

Pour X = Spec R, R un anneau local, on a H^{2}(R, μ_{l}) = _{l}H^{2}(R, 𝔾_{m}). Pour un corps k, on a Br_{Az}(k) = Br(k). Pour tout schéma X on dispose d’un plongement naturel

Br_{Az}(X) ↪ Br(X),

voir [Gr1, prop. 1.4]. Si X est affine, par un théorème de Gabber [Ga, Ch.II, Thm.1], cette injection induit un isomorphisme de Br_{Az}(X) avec le sous-groupe de torsion de Br(X). De plus on a le théorème suivant de Grothendieck.

Théorème 2.5. Soit X un schéma noethérien de points maximaux x_{1}, ..., x_{n}. On a alors une injection

Br(X) ↪ ⨁_{1≤i≤n} Br(k(x_{i})).

dans les deux cas suivants :

1. X est régulier,

2. X est de dimension 1 et pour tout point fermé x ∈ X, le corps résiduel

k(x) est séparablement clos. En particulier, Br(X) est de torsion dans ces deux cas.

Démonstration. [Gr2, cor. 1.5, cor. 1.8 et cor.1.10].

Observons que l’on a alors un isomorphisme Br(X) = Br_{Az}(X) pour X nothérien, affine et régulier.

Le théorème suivant de Wedderburn sur les algèbres centrales simples est utilisé par la suite librement :

Théorème 2.6. Soit A une algèbre simple de dimension finie sur un corps k. Alors il existe un entier r ≥ 1 et une algèbre à division Δ sur k, tels que A est isomorphe à l’anneau de matrices M_{r}(Δ). De plus Δ est unique à isomorphisme près.

Démonstration. [GS, Th. 2.1.3]

Il en est de même pour le fait suivant :

Proposition 2.7. Soit A une algèbre d’Azumaya de rang m sur un anneau R. Soit P un module projectif de type fini sur A. Alors f–rang_{A}(P) est égal au rang relatif de P sur A.

Démonstration. Soit n le rang relatif de P sur A. Soit 𝔪 un idéal maximal de R. Il faut montrer que P_{𝔪} contient un facteur direct isomorphe à (A_{𝔪})^{n}. Mais A_{𝔪} est une algèbre d’Azumaya sur un anneau semi-local et P_{𝔪} est un A_{𝔪}-module qui est un module projectif de type fini de rang mn sur R_{𝔪}. On peut donc appliquer [Kn, III.5.2.2] pour obtenir que P_{𝔪} est isomorphe au A_{𝔪}-module libre (A_{𝔪})^{n}.

2.3 Formes hermitiennes, groupe de Witt et théorèmes de simplification

2.3.1 Involutions et formes hermitiennes

Soit A un anneau. Une involution sur A est un isomorphisme τ : A ⟶ A^{op} tel que τ^{2}(a) = a pour tout a ∈ A. Dans ce qui suit, on écrit parfois \overline{a} au lieu de τ(a). Soit alors (A, τ) un anneau avec involution. Si 2 ∈ A^{×}, on définit :

Sym(A, τ) := {a ∈ A | τ(a) = a}

et

Skew(A, τ) := {a ∈ A | τ(a) = −a},

les ensembles des éléments symétriques et respectivement antisymétriques.

Soit dans ce qui suit (A, τ) un anneau avec involution (pas nécessairement avec 2 ∈ R^{×}). Soit M un A-module à gauche. Il peut être regardé comme A-module à droite \overline{M} par la règle :

am = m\overline{a}, m ∈ M.

Plus précisément on définit M = \overline{M} comme le groupe additif sur lequel A agit par la règle ci-dessus. Si maintenant M est un A-module à gauche M^{∨} := Hom_{A}(M, A) est un A-module à droite. Donc

M^{∗} := \overline{Hom_{A}(M, A)}

est un A-module à gauche. On peut définir un foncteur contravariant

∗ : A − 𝔐𝔬𝔡 ⟶ A − 𝔐𝔬𝔡

par φ ↦ φ^{∨} où φ ∈ Hom_{A}(M, N) et φ^{∨} est défini par φ^{∨}(f) = fφ pour f ∈ N^{∨}, cf. [Kn, I.2.1]. De plus, on a une flèche canonique

ϖ_{M}^{∗} = ϖ_{M} : M ⟶ M^{∗∗},

cf. [Kn, I.2.1.2]. Sur la sous-catégorie de A-modules projectifs de type fini, la flèche ϖ_{M} est un isomorphisme et le foncteur ^{∗} se restreint en une dualité, cf. [Kn, I.3.1.2].

Donc une involution sur un anneau non commutatif permet de définir une dualité sur sa catégorie des modules projectifs de type fini.

Définition 2.8. [Kn, II.2.3] Soit (A, τ) un anneau avec involution et soit M un A-module fidèlement projectif. Un homomorphisme h ∈ Hom(M, M^{∗}) est appelé forme sesquilinéaire et la paire (M, h) est appelée module sesquilinéaire. Si h est un isomorphisme, la paire (M, h) est appelée espace sesquilinéaire. Définissons

G(A, τ) := \{u ∈ Z(A) | u\overline{u} = 1\},

où Z(A) désigne le centre de A. Soit ϵ ∈ G(A, τ) et h ∈ Hom(M, M^{∗}) une forme sesquilinéaire. Si le diagramme

M ⟶^{h} M^{∗}

ϖ_{M} ↓ ↗ h^{∗} M^{∗∗}

est ϵ-commutatif, i.e. h = ϵh^{∗}ϖ_{M}, alors h est appelé forme ϵ-hermitienne et la paire (M, h) est appelée module ϵ-hermitien. Si h est un isomorphisme, la paire (M, h) est appelée espace ϵ-hermitien.

Un morphisme α de modules sesquilinéaires (M_{1}, h_{1}) ⟶ (M_{2}, h_{2}) est un homomorphisme α ∈ Hom(M_{1}, M_{2}) tel que h_{1} = α^{∗}h_{2}α, i.e. tel que

M_{1} ⟶^{α} M_{2}
h_{1}↓  ↓^{h_{2}}
M_{1}^{∗} ⟵^{α^{∗}} M_{2}^{∗}

commute. Les isomorphismes sont appelés isométries.

Remarque 2.9. 1. Si ϵ = 1 les formes ϵ-hermitiennes sont juste appelées formes hermitiennes, et si ϵ = −1 on les appelle anti-hermitiennes. Ces deux cas sont les plus importants.

2. Si l’anneau A est commutatif et l’involution est triviale, une forme hermitienne est une forme bilinéaire symétrique, et une forme anti-hermitienne est une forme alternée. Si 2 ∈ A^{×}, les formes symétriques correspondent aux formes quadratiques.

Les (A, τ)-modules ϵ-hermitiens forment ainsi une catégorie. Les (A, τ)- espaces ϵ-hermitiens avec les isométries comme morphismes en forment une sous-catégorie. Cette sous-catégorie est notée Herm^{ϵ}(A, τ).

2.3.2 Comparaison de catégories de formes hermitiennes

Les deux propositions suivantes comparent des catégories de formes hermitiennes. La première est utile pour être ramené à une involution privilegiée, dite canonique ou standard, cf. [Kn, I.1.3], qui existe sur certaines algèbres, quitte, par exemple, à considérer les formes anti-hermitiennes à la place des formes hermitiennes (ou vice versa). Ceci nous est particulièrement utile dans les sections 5.4 et 5.5. La deuxième proposition est une forme de l’équivalence de Morita pour les catégories de formes hermitiennes.

Proposition 2.10. Soit (A, τ) un anneau avec involution et soit u ∈ A^{×} tel que

τ′ : x ↦ u τ(x) u^{−1}

est aussi une involution de A. Alors ϵ_{0} := u τ(u)^{−1} ∈ G(A, τ), i.e. ϵ_{0} est un élément du centre de A et ϵ_{0}τ(ϵ_{0}) = 1. On a alors un isomorphisme de catégories qui respecte les sommes orthogonales et les espaces hyperboliques :

Herm^{ϵ}(A, τ) ⟶^{∼} Herm^{ϵϵ_{0}}(A, τ′)

defini par (M, h) ↦ (M, uh) où (uh)(x, y) = uh(x, y) pour x, y ∈ M.

Démonstration. [Kn, I.5.8.2]

Proposition 2.11. Soit (A, τ) un anneau avec involution et soit (P, h_{0}) un espace ϵ_{0}-hermitien, où ϵ_{0} ∈ {±1}. Soit B = End_{A}(P) et τ′ l’involution adjointe sur B, i.e.

τ′(g) = h_{0}^{−1} g^{∗} h_{0}.

Alors pour ϵ ∈ {±1} la flèche

Herm^{ϵ}(A, τ) ⟶ Herm^{ϵϵ_{0}}(B, τ′)

donnée par

(M, h) ↦ (Hom_{A}(P, M), h′),

où

h′(f)(g) = ϵh_{0}^{−1} f^{∗} h g

pour f, g ∈ Hom_{A}(P, M), est une équivalence de catégories.

Démonstration. Voir [Kn, I.9.3.5] et [Kn, II.3.4.2].

Corollaire 2.12. Soit R un anneau avec 2 ∈ R^{×} et soit ϵ ∈ {±1}. On a une équivalence de catégories

Herm^{ϵ}(R, id) ⟶ Herm^{−ϵ}(M_{2}(R), σ)

où σ est l’involution sur M_{2}(R) donnée par

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix}) .

Démonstration. On applique la proposition 2.11 en posant A = R avec l’involution triviale, ϵ_{0} = −1, P = R^{2} et h_{0} : R^{2} ×R^{2} ⟶ R la forme alternée standard, définie par ((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) ↦ x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1} : dans ce cas, l’involution adjointe sur B = M_{2}(R) est bien l’involution σ. Le corollaire suit.

Remarque 2.13. L’involution σ est appelée l’involution standard de l’algèbre quaternionique M_{2}(R), voir [Kn, I.1.3]. Elle est, par [Kn, Prop. I.1.3.4], l’unique involution standard sur M_{2}(R).

2.3.3 Groupe de Witt

Considérons maintenant 𝒦^{+}, l’ensemble sous-jacent de la catégorie Herm^{ϵ}(A, τ) quotienté par la relation d’équivalence d’isométrie. La somme orthogonale de deux espaces hermitiens induit une structure de monoïde sur 𝒦^{+} :

[(M′, h′)] + [(M′, h′)] = [(M′, h′)⊥(M′, h′)],

où [(M,h)] représente la classe d’isométrie d’un espace hermitien (M,h). En faisant de ce monoïde d’une manière canonique un groupe, la “construction de Grothendieck” expliquée dans ([Sch, 2.1]) par exemple, on obtient le groupe de Witt-Grothendieck Ŵ^{ϵ}(A, τ). Le quotient de ce groupe abélien par le sousgroupe des classes définies par les espaces hyperboliques (voir [Kn, I.3.5] pour la définition d’un espace hyperbolique) est appelé le groupe de Witt de formes ϵ-hermitiennes sur l’anneau avec involution (A, τ) et est noté W^{ϵ}(A, τ). Certains foncteurs entre catégories de formes hermitiennes induisent des homomorphismes (voir isomorphismes) de groupes de Witt. Deux exemples importants qui induisent des isomorphismes de groupes de Witt sont le “scaling” (proposition 2.10) et l’équivalence de Morita (proposition 2.11).

2.3.4 Théorèmes de simplification

Rappelons que pour un anneau commutatif R, Spm R est le sous-ensemble de Spec R consistant en les idéaux maximaux avec la topologie induite. Si R est noethérien, on a dim Spm R ≤ dim Spec R, cf. [Kn, VI.2.2]. Observons aussi que dim Spm R = 0 si et seulement si R est semilocal. Pour l’anneau qui est l’objet principal de ce travail on a en fait égalité de la dimension du spectre et de celle du spectre maximal :

Lemme 2.14. Soit R = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}] l’anneau de polynômes de Laurent à deux variables sur un corps algébriquement clos k. Alors on a dim Spm R = dim Spec R.

Démonstration. Comme R est noethérien, on a dim Spm R ≤ dim Spec R et la chaîne d’inclusions de sous-ensembles fermés irréductibles de Spm R

0 ⊊ ((x − a), (x − b)) ⊊ V ((x − a)) ∩ Spm R

(où a, b ≠ 0) est de longueur 2, donc dim Spm R ≥ 2 = dim Spec R.

On rappelle le théorème de simplification de Bass-Schanuel sur la simplification de modules projectifs sur les R-algèbres finies :

Théorème 2.15. Soit R un anneau commutatif avec dim Spm R = d. Soit A une R-algèbre finie et P un A-module projectif tel que f–rang_{A}(P) > d. Alors, pour tout A-module projectif de type fini Q et tout A-module P′,

P ⊕ Q ≃ P′ ⊕ Q

entraîne que P ≃ P′.

Démonstration. [Bs3, IV, Cor. 3.5]

Une version pour les algèbres à involutions est le théorème suivant, dû à Bak [Bk, Sect. 4 (p.60)].

Théorème 2.16. Soit R un anneau commutatif avec dim Spm R = d. Soit (A, τ) une R-algèbre finie avec involution et soit P un A-module projectif de type fini. Soit ϵ ∈ {±1} et supposons que (M, h), (M′, h′) et (N, g) sont des espaces ϵ-hermitiens sur (A, τ). Si

(M, h) ⊥ ℌ(P) ⊥ (N, g) ≃ (M′, h′) ⊥ (N, g)

et f–rang_{A} P > d, alors (M, h) ⊥ ℌ(P) ≃ (M′, h′).

Démonstration. [Kn, VI.6.2.5]

2.4 Involutions sur les algèbres d’Azumaya

Soit R un anneau (commutatif) avec 2 ∈ R^{×}. Soit (A, τ) une algèbre d’Azumaya sur R à involution. La restriction de τ à R, au centre de A, induit une involution τ|_{R} sur R. Comme R est commutatif, τ|_{R} est un automorphisme de R d’ordre 2. Notons Fix(τ|_{R}) := {r ∈ R | τ(r) = r}. C’est un sous-anneau de R. Dans ce travail, deux cas particuliers nous sont utiles :

Définition 2.17. Si τ|_{R} = id_{R}, ie. Fix(τ|_{R}) = R, on dit que τ est une involution de première espèce. Si R est une Fix(τ|_{R})-algèbre quadratique (un module localement libre de rang 2), on dit que τ est une involution de deuxième espèce.

Remarque 2.18. Comme 2 ∈ R^{×}, la condition sur R d’être une Fix(τ|_{R})- algèbre quadratique revient à dire que R est une extension étale quadratique.

Observons que si le groupe de Picard de R est sans torsion on obtient le corollaire suivant de la proposition 2.10 :

Corollaire 2.19. Soit A une algèbre d’Azumaya sur un anneau commutatif R tel que Pic(R) est sans torsion. Soient τ et τ′ deux involutions de la même espèce sur A. Alors il existe ϵ_{0} ∈ {±1} tel que l’on a pour tout ϵ ∈ {±1} un isomorphisme de catégories

Herm^{ϵ}(A, τ′) ⟶^{∼} Herm^{ϵϵ_{0}}(A, τ).

Démonstration. La composition τ′ ∘ τ est un R-automorphisme de A. Par [Kn, III.5.2], tout R-automorphisme de A est intérieur. On a donc un élément u ∈ A^{×} tel que τ′ ∘ τ = int(u), i.e.

τ′(x) = τ′(τ(τ(x))) = u · τ(x) · u^{−1}.

Le résultat suit alors de la proposition 2.10.

Soit maintenant (A, τ) une algèbre d’Azumaya à involution sur un anneau R (quelconque avec 2 ∈ R^{×}). La théorie de la descente permet d’étudier ces algèbres à partir des algèbres de matrices. Si l’involution est de première espèce, le prochain lemme est fondamental et il nous renseigne sur les notions d’involution de type symplectique et d’involution de type orthogonal. Pour u ∈ GL_{n}(R), notons l’involution x ↦ u x^{t} u^{−1} sur l’algèbre des matrices M_{n}(R) par σ_{u}.

Lemme 2.20. Soit (A, τ) une algèbre d’Azumaya de rang n^{2} à involution de première espèce sur un anneau commutatif R. Il existe une extension d’anneau fidèlement plate S/R telle que α : A⊗_{R}S ⟶^{∼} M_{n}(S) et telle que α(τ ⊗id) α^{−1} = σ_{u} pour un certain u ∈ M_{n}(S) avec u^{t} = ϵ u et ϵ ∈ μ_{2}(R). L’élément ϵ est indépendant du choix de S et α.

Démonstration. Voir [Kn, III.8.1], en particulier [Kn, III.8.1.1].

L’élément ϵ est appelé la parité de (A, τ). Plus précisément :

Définition 2.21. Soit (A, τ) une algèbre d’Azumaya de rang n^{2} à involution de première espèce sur un anneau commutatif R. Si ϵ = 1, on dit que τ est de type orthogonal, si ϵ = −1, on dit que τ est de type symplectique.

Énonçons un lemme d’annulation qui nous sera utile plus tard.

Lemme 2.22. Soit S un anneau strictement hensélien et G un S-schéma en groupes lisse, alors H^{1}(S, G) = 1.

Démonstration. Soit k le corps résiduel de S, on a donc une flèche évaluation ev : H^{1}(S, G) ⟶ H^{1}(k, G_{k}). L’ensemble H^{1}(k, G_{k}) est trivial puisque k est séparablement clos. Par [SGA3, XXIV, prop. 8.1], ev est une bijection, d’où le lemme.

Ce lemme nous permet d’étendre au cas des anneaux beaucoup de descriptions des ensembles de cohomologie déjà connues dans le cas des corps.

Pour les algèbres d’Azumaya à involutions on peut aussi définir par descente les ensembles d’éléments symétriques et antisymétriques inversibles. Supposons dans ce qui suit que l’on se trouve dans un des cas deux suivants :

1. (A, τ) est une R-algèbre d’Azumaya à involution de première espèce ;

2. (A, τ) est une S-algèbre d’Azumaya à involution de deuxième espèce avec Fix(τ|_{S}) = R (donc S/R est une extension étale de degré 2).

Remarque 2.23. Désormais jusqu’à la fin de cette section tous les faisceaux s’entendent pour la topologie fidèlement plate de présentation finie.

Définition 2.24. On définit les faisceaux d’ensembles suivants :

𝔄𝔩𝔤_{R} ⟶ 𝔈𝔫𝔰

A : R′ ↦ A ⊗_{R} R′ GL_{1}(A) : R′ ↦ GL_{1}(A ⊗_{R} R′)

Sym(A, τ) : R′ ↦ {x ∈ A(R′) | τ(x) = x} Sym(A, τ)^{×} : R′ ↦ {x ∈ GL_{1}(A)(R′) | τ(x) = x}

Skew(A, τ) : R′ ↦ {x ∈ A(R′) | τ(x) = −x} Skew(A, τ)^{×} : R′ ↦ {x ∈ GL_{1}(A)(R′) | τ(x) = −x}.

Lemme 2.25. Ces faisceaux sont représentables par des R-schémas affines et lisses sur R.

Démonstration. Par descente fidèlement plate, cette question est locale pour la topologie fidèlement plate de présentation finie sur Spec R. On peut donc supposer que A ≃ M_{n}(R) dans le premier cas et A ≃ M_{n}(R) × M_{n}(R) dans le deuxième. Il suit que l’on est ramené à R = k, un corps, pour lequel il est clair que A est juste l’espace affine de dimension n^{2} sur k, et que Sym(A, τ) et Skew(A, τ) (resp. Sym(A, τ)^{×} et Skew(A, τ)^{×}) sont des sous-foncteurs fermés de A (resp. GL_{1}(A)). Remarquons que l’on peut aussi donner une démonstration élémentaire (i.e. sans utilisation de descente) de cela.

Considérons maintenant l’action suivante du R-groupe algébrique GL_{1}(A) sur lui-même :

GL_{1}(A) × GL_{1}(A) ⟶ GL_{1}(A)
(a, x) ↦ a · x · τ(a).

On définit les deux R-schémas

Iso(A, τ) := Stab_{{1}} = {a ∈ GL_{1}(A) | a τ(a) = 1}

le stabilisateur de 1, et

Sim(A, τ) := Stab_{{𝔾_{m}}} = {a ∈ GL_{1}(A) | a τ(a) ∈ 𝔾_{m}}

le stabilisateur de 𝔾_{m}. Ils sont lisses sur R. Le premier groupe s’appelle le groupe d’isométries de (A, τ) et le second le groupe de similitudes de (A, τ). Observons que pour toute R-algèbre R′, l’ensemble GL_{1}(A)(R′) / Iso(A, τ)(R′) s’identifie à l’orbite de 1 sous l’action du groupe abstrait GL_{1}(A)(R′) sur lui-même, i.e. à l’ensemble {aτ(a) | a ∈ GL_{1}(A)(R′)}. Comme un élément de la forme aτ(a) est symétrique, on peut définir un morphisme de préfaisceaux pour la topologie fidèlement plate sur R

f : GL_{1}(A) / Iso(A, τ) ⟶ Sym(A, τ)^{×}

par aτ(a) ↦ aτ(a).

Lemme 2.26. Le morphisme de faisceaux f̃ associé à f est un isomorphisme. Donc le faisceau associé au préfaisceau

𝔄𝔩𝔤_{R} ⟶ 𝔈𝔫𝔰
R′ ↦ GL_{1}(A)(R′) / Iso(A, τ)(R′)

est représentable par un R-schéma affine et lisse.

Démonstration. Comme f̃ est évidemment injectif, il s’agit de montrer sa surjectivité. On peut supposer que R est local et strictement hensélien.

Traitons le premier cas (i.e. A est une R-algèbre d’Azumaya à involution de première espèce). Alors on a A ≃ M_{n}(R) pour un certain n par le lemme 2.22. Notons τ_{0} l’involution a ↦ a^{t}, où t signifie le transposé de a. Par le lemme 2.20 il existe un u ∈ M_{n}(R) avec τ = int(u) ∘ τ_{0} ; alors τ(a) = u a^{t} u^{−1} pour tout a ∈ M_{n}(R).

Supposons d’abord que u ∈ Sym(M_{n}(R), τ_{0})^{×}(R), c’est-à-dire u^{t} = u. Soit r ∈ Sym(M_{n}(R), τ)^{×}(R). On a ru ∈ Sym(M_{n}(R), τ_{0})^{×}(R). Comme H^{1}(R, Iso(M_{n}(R), τ_{0})) = 1, par le lemme 2.22, toutes les involutions adjointes à des formes symétriques sont conjuguées sur M_{n}(R) et on a r u = v u v^{t} pour un certain v ∈ GL_{n}(R). Donc r = vτ(v) et r ∈ Im(f̃).

Supposons maintenant que u ∈ Skew(M_{n}(S), τ_{0})^{×}(R), i.e. u^{t} = −u. Soit r ∈ Sym(M_{n}(R), τ)^{×}(R). On a r = (\frac{1}{2}ru− \frac{1}{2}(ru)^{t}) u^{−1}. Comme r est inversible, s := \frac{1}{2}ru − \frac{1}{2}(ru)^{t} ∈ Skew(M_{n}(S), τ_{0})^{×}(R). Les matrices u et s définissent des formes anti-symétriques sur R. Suivant [Kn, I.4.1.2] n doit alors être pair. Soit ν_{0} l’involution symplectique définie par x ↦ a_{0} x^{t} a_{0}, où

a_{0} = (\begin{matrix}0 & I\frac{n}{2} \\ −I\frac{n}{2} & 0 \end{matrix} )

désigne la matrice alternée standard. Comme H^{1}(R, Iso(M_{n}(R), ν_{0})) = 1, de nouveau par le lemme 2.22, toutes les involutions adjointes à des formes antisymétriques sont conjuguées sur M_{n}(R) et on a s = v u v^{t} pour un certain v ∈ GL_{n}(R). Donc r = vτ(v) et r ∈ Im(f̃).

Finalement si l’on se trouve dans le deuxième cas, alors A est une S-algèbre d’Azumaya, où S/R est une extension étale quadratique. Donc, par le lemme 2.22, S ≃ R × R, A ≃ M_{n}(R) × M_{n}(R)^{op} et par [KMRT, Prop. 2.14]^{1}, il existe u ∈ GL_{n}(R × R) tel que τ(a) = u ϵ(a) u^{−1} pour tout a ∈ A, où ϵ est l’involution d’échange : ϵ : (x, y) ↦ (y, x). Comme τ^{2} = id, on a uϵ(u)^{−1} ∈ S^{×}. Soit λ ∈ S^{×} tel que ϵ(u) = λ u. En appliquant ϵ aux deux cotés, on obtient N_{R×R/R}(λ) = 1. On a alors λ = (w, w^{−1}) pour un certain w ∈ R^{×}. L’élément μ := (w, 1) ∈ R^{×} × R^{×} satisfait à λ = μ ϵ(μ)^{−1} et l’élément u′ := μ u est donc tel que

ϵ(u′) = u′ et τ(a) = u′ ϵ(a) u^{′−1}.

Soit maintenant r ∈ Sym(M_{n}(R × R), τ)^{×}(R). Comme plus haut, on obtient ru′ ∈ Sym(M_{n}(R × R), ϵ)^{×}(R). Comme H^{1}(R, Iso(M_{n}(R × R), ϵ)) = 1, par le lemme 2.22, toutes les involutions adjointes à des formes unitaires sont conjuguées sur M_{n}(R × R) et on a r u′ = v u′ ϵ(v) pour un certain v ∈ GL_{n}(R × R). Donc r = vτ(v) et aussi ici, r ∈ Im(f̃).

Observons que dans ce cas on pourrait aussi démontrer la représentabilité de GL_{1}(A)/ Iso(A, τ)(S) par un argument analogue à celui de la preuve du lemme 2.25, et en utilisant la représentabilité des quotients de schémas sous l’action d’un groupe si R = k, un corps ([Bo, II.6.7]).

1Bien que cette proposition soit rédigée pour R étant un corps, elle s’étend au cas où R est un anneau commutatif.

Proposition 2.27. Supposons que H^{1}(R, GL_{1}(A)) = 1. On a alors l’identification

H^{1}(R, Iso(A, τ)) = Sym(A, τ)^{×}(R)/ ∼

où s ∼ s′ si et seulement si s′ = a · s · τ(a) pour un certain a ∈ A^{×}.

Démonstration. Rappelons que Iso(A, τ) = Stab_{{1}}. Considérons la suite exacte

1 ⟶ Stab_{{1}}(R) ⟶ GL_{1}(A)(R) ⟶ −^{a ↦ a τ(a)} Sym(A, τ)^{×}(R)

⟶^{∂} H^{1}(R, Stab_{{1}}) ⟶ H^{1}(R, GL_{1}(A)).

Comme H^{1}(R, GL_{1}(A)) = 1, la flèche ∂ est surjective et par [Gir, ch. II, cor. 3.2.3] on a l’identification

H^{1}(R, Stab_{{1}}) = GL_{1}(A)(R) \ Sym(A, τ)^{×}(R).

La proposition en résulte. En effet, calculons la fibre de ∂ en ∂(s) pour s ∈ Sym(A, τ)^{×}(R). Pour cela tordons la suite exacte par un cocycle a_{s} représentant ∂(s). On obtient alors une suite exacte d’ensembles pointés :

1 ⟶ Stab_{{s}}(R) ⟶ GL_{1}(A)(R) ⟶ −^{a ↦ a·s·τ(a)} (_{a_{s}} Sym(A, τ)^{×})(R),

où _{a_{s}} Sym(A, τ)^{×} signifie le schéma tordu de Sym(A, τ)^{×} par le cocycle a_{s}. Mais on sait que

∂^{−1}(∂(s)) = Im [ GL_{1}(A)(R) ⟶ −^{a ↦ a·s·τ(a)} (_{a_{s}} Sym(A, τ)^{×})(R) ]

= { a · s · τ(a) | a ∈ A^{×}}.

Ceci montre que l’on a bien l’identification

H^{1}(R, Stab_{{1}}) = H^{1}(R, Iso(A, τ)) = Sym(A, τ)^{×}(R)/ ∼ .

Définition 2.28. On définit le groupe orthogonal

O(A, τ) := Iso(A, τ)

si l’involution τ est de première espèce et de type orthogonal, le groupe symplectique

Sp(A, τ) := Iso(A, τ)

si l’involution τ est de première espèce et de type symplectique et le groupe unitaire

U(A, τ) := Iso(A, τ)

si l’involution τ est de deuxième espèce.

Avec ces notations la proposition 2.27 se réécrit :

Proposition 2.29. Sous les hypothèses de la proposition 2.27 on a

H^{1}(R, O(A, τ)) = Sym(A, τ)^{×}(R)/ ∼

si l’involution τ est de première espèce et de type orthogonal,

H^{1}(R, Sp(A, τ)) = Sym(A, τ)^{×}(R)/ ∼

si l’involution τ est de première espèce et de type symplectique et

H^{1}(R, U(A, τ)) = Sym(A, τ)^{×}(R)/ ∼

si l’involution τ est de deuxième espèce.

Soit maintenant (A, τ) une algèbre d’Azumaya à involution de première espèce et de type orthogonal. Soit SO(A, τ) le sous-groupe de O(A, τ) des éléments de norme réduite 1, i.e.

SO(A, τ) = {a ∈ GL_{1}(A) | a τ(a) = 1 et Nrd_{A}(a) = 1}.

On a donc une description similaire pour l’ensemble H^{1}(R, SO(A, τ)). Pour cela il faut tenir compte du discriminant de l’involution τ. Posons la définition suivante.

Définition 2.30. Soit R un anneau. On définit le faisceau d’ensembles suivant :

SSym(A, τ)^{×} : 𝔄𝔩𝔤_{R} ⟶ 𝔈𝔫𝔰

R′ ↦ {(s, z) ∈ Sym(A, τ)^{×}(R′) × 𝔾_{m}(R′) | Nrd_{A⊗_{R}R′}(s) = z^{2}}.

Lemme 2.31. Ce faisceau est représentable par un R-schéma affine et lisse.

Démonstration. Par descente fidèlement plate, SSym(A, τ)^{×} est représentable par un sous-schéma fermé de Sym(A, τ)×_{R} 𝔾_{m} (cf. preuve du lemme 2.25).

Considérons maintenant l’action suivante du R-groupe algébrique GL_{1}(A) sur le groupe GL_{1}(A) ×_{R} 𝔾_{m,R} :

GL_{1}(A) × (GL_{1}(A) ×_{R} 𝔾_{m,R}) ⟶ GL_{1}(A) ×_{R} 𝔾_{m,R}
(a, (x, z)) ↦ (a · x · τ(a), Nrd_{A}(a)z).

Soit Stab_{{(1,1)}} = {a ∈ GL_{1}(A) | aτ(a) = 1 et Nrd_{A}(a) = 1} le stabilisateur de (1, 1). Observons que pour toute R-algèbre R′, l’ensemble GL_{1}(A)(R′) / Stab_{{(1,1)}}(R′) s’identifie à l’orbite de (1, 1) sous l’action du groupe abstrait GL_{1}(A)(R′) sur GL_{1}(A)(R′) ×_{R} 𝔾_{m,R}(R′), i.e. à l’ensemble

{ (a τ(a), Nrd_{A⊗_{R}R′}(a)) | a ∈ GL_{1}(A)(R′) } .

Comme plus haut, on peut définir un morphisme de préfaisceaux pour la topologie fidèlement plate sur R

f′ : GL_{1}(A) / Stab_{{(1,1)}} ⟶ SSym(A, τ)^{×}

par (aτ(a), Nrd_{A⊗_{R}R′}(a)) ↦ (aτ(a), Nrd_{A⊗_{R}R′}(a)).

Lemme 2.32. Le morphisme de faisceaux f̃′ associé à f′ est un isomorphisme. Donc le faisceau associé au préfaisceau

𝔄𝔩𝔤_{R} ⟶ 𝔈𝔫𝔰
R′ ↦ GL_{1}(A)(R′) / Stab_{{(1,1)}}(R′)

est représentable par un R-schéma affine et lisse.

Démonstration. Comme f̃′ est évidemment injectif, il s’agit de montrer sa surjectivité. La surjectivité en la première composante est le lemme 2.26. Pour établir la surjectivité dans la seconde composante, on peut supposer R hensélien et local et en particulier A déployée. En effet par la définition de l’ensemble SSym(A, τ)^{×}, si la première composante de l’image est aτ(a), alors la deuxième composante ne peut prendre que les valeurs Nrd_{A}(a) et − Nrd_{A}(a). Vu que A est déployée, il existe un élément b ∈ GL_{1}(A)(R) tel que bτ(b) = 1 et Nrd_{A}(b) = −1. Donc (aτ(a), Nrd_{A}(a)) et (aτ(a), − Nrd_{A}(a)) sont bien des éléments de GL_{1}(A)(R) / Stab_{{(1,1)}}(R), comme (ab)τ(ab) = aτ(a) et Nrd_{A}(ab) = − Nrd_{A}(a).

On peut d’ailleurs démontrer la représentabilité de GL_{1}(A)/ Stab_{{(1,1)}} par un argument analogue à celui dans la preuve du lemme 2.25 et en utilisant la représentabilité des quotients de schémas sous l’action d’un groupe si R = k, un corps ([Bo, II.6.7]).

Proposition 2.33. Supposons H^{1}(R, GL_{1}(A)) = 1, on a alors l’identification

H^{1}(R, Stab_{{(1,1)}}) = SSym(A, τ)^{×}(R)/ ≈

où (s, z) ≈ (s′, z′) si et seulement si s′ = a · s · τ(a) et z′ = Nrd_{A}(a)z pour un certain a ∈ A^{×}.

Démonstration. Considérons la suite exacte

1 ⟶ Stab_{\{(1,1)\}}(R) ⟶ GL_{1}(A)(R) \underrightarrow{a ↦ (a τ(a), Nrd_{A}(a))} SSym(A, τ)^{×}(R)

⟶^{∂} H^{1}(R, Stab_{{(1,1)}}) ⟶ H^{1}(R, GL_{1}(A)).

Comme H^{1}(R, GL_{1}(A)) = 1, la flèche ∂ est surjective et par [Gir, ch. II, cor. 3.2.3] on a l’identification

H^{1}(R, Stab_{{(1,1)}}) = GL_{1}(A)(R) \ SSym(A, τ)^{×}(R).

La proposition en résulte. En effet, calculons la fibre de ∂ en un élément (s, z) ∈ SSym(A, τ)^{×}(R). Pour cela tordons la suite exacte par un cocycle a_{(s,z)} correspondant à ∂(s, z). On obtient alors :

1 ⟶ Stab_{\{(s,z)\}}(R) ⟶ GL_{1}(A)(R) \underrightarrow{a ↦ (a s τ(a), Nrd_{A}(a) z)} (_{a_{(s,z)}} SSym(A, τ)^{×})(R)

où _{a_{(s,z)}} SSym(A, τ)^{×} signifie le schéma tordu de SSym(A, τ)^{×} par le cocycle a_{s,z}. Mais on sait que

∂^{−1}(∂(s, z)) = Im [ GL_{1}(A)(R) \underrightarrow{a ↦ (a·s·τ(a), Nrd_{A}(a)·z)} (_{a_{(s,z)}} SSym(A, τ)^{×})(R) ]

= { (a · s · τ(a), Nrd_{A}(a) z) | a ∈ A^{×}}.

Ceci montre que l’on a bien l’identification

H^{1}(R, Stab_{{(1,1)}}) = SSym(A, τ)^{×}(R)/ ≈ .

Comme on a SO(A, τ) = Stab_{{(1,1)}}, la proposition se réécrit de la façon suivante :

Proposition 2.34. Sous les hypothèses de la proposition 2.33 on a

H^{1}(R, SO(A, τ)) = SSym(A, τ)^{×}(R)/ ≈

si τ est de type orthogonal.

Remarque 2.35. Soit (A, τ) une S-algèbre d’Azumaya à involution de deuxième espèce avec Fix(τ|_{S}) = R. Donc S/R est une extension étale de degré 2. Observons par souci de complétude que, si H^{1}(R, GL_{1}(A)) = 1, un argument analogue montre que

H^{1}(R, SU(A, τ)) = SSym(A, τ)^{×}(R)/ ≈ ,

où

SU(A, τ) = {a ∈ GL_{1}(A) | a τ(a) = 1 et Nrd_{A}(a) = 1} ,

SSym(A, τ)^{×}(R′) =

{(s, z) ∈ Sym(A, τ)^{×}(R′) × 𝔾_{m}(R′) | Nrd_{A⊗_{R}R′}(s) = N_{S⊗_{R}R′/R′}(z)}

pour une R-algèbre R′ et où (s, z) ≈ (s′, z′) si et seulement si s′ = a · s · τ(a) et z′ = Nrd_{A}(a)z pour un certain a ∈ A^{×}, comme plus haut.

24 CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS ET PRÉLIMINAIRES

Les conjectures

On expose dans ce chapitre les deux conjectures énoncées dans [GP1], qui font l’objet principal de ce travail. Pour cela on introduit les notions d’une algèbre de lacets et deux invariants que l’on peut attacher à ces algèbres. Les définitions dans ce chapitre sont en grand partie tirées de [GP1].

Supposons, comme d’habitude, que k est un corps. On utilise dans ce chapitre les notations suivantes :

R_{n} = k[t_{1}^{±1}, ..., t_{n}^{±1}], R_{n,d} = k[t_{1}^{± \frac{1}{d}} , ..., t_{n}^{± \frac{1}{d}}], et R_{n,∞} = lim_{⟶} R_{n,d};

K_{n} = k(t_{1}^{±1}, ..., t_{n}^{±1}), K_{n,d} = k(t_{1}^{± \frac{1}{d}} , ..., t_{n}^{± \frac{1}{d}}), et K_{n,∞} = lim_{⟶} K_{n,d}.

Pour les groupes algébriques linéaires sur k on fixe les conventions suivantes. Un k-groupe algébrique linéaire réductif ou semi-simple est compris dans le sens de Borel [Bo], en particulier il est supposé connexe. Soit G un groupe algébrique semi-simple sur k. On note son revêtement universel G̃. Le noyau de l’isogénie centrale G̃ ⟶ G est noté μμ ; c’est un groupe algébrique fini sur k. Le groupe adjoint de G est noté G^{ad}; c’est le quotient de G par son centre. Pour les schémas en groupes ces conventions se traduisent de manière analogue (cf. [SGA3], [GP1]).

Définition 3.1. Soit G un groupe algébrique semi-simple sur un corps k. Alors G est dit isotrope, s’il existe une immersion fermée 𝔾_{m} ↪ G sur k. Ceci est équivalent à la condition que G contient un groupe parabolique propre.

Rappelons aussi le fait suivant bien connu sur les anneaux de polynômes de Laurent :

Lemme 3.2. Soient n, d ≥ 1. Le groupe de Picard de R_{n,d} = k[t_{1}^{± \frac{1}{d}} , ..., t_{n}^{± \frac{1}{d}}] est trivial, i.e. on a

Pic(R_{n,d}) = 0.

Démonstration. C’est une conséquence de [Ha, Prop. II.6.2 et Cor. II.6.16].

Supposons à partir de maintenant jusqu’à la fin de ce chapitre que k est un corps algébriquement clos de caracteristique zéro et fixons une famille compatible de racines n-ièmes de l’unité primitives (ζ_{n})_{n≥1}, i.e. pour tout l ≥ 1, ζ_{ln}^{l} = ζ_{n}.

Dans ce cas on dispose du théorème suivant plus profond : sur toute extension étale finie S de R_{n}, tout fibré vectoriel de rang d arbitraire est trivial, i.e. tout module projectif est en fait libre.

Théorème 3.3. Soit S une extension étale finie connexe de R_{n}. Tout fibré vectoriel sur Spec S qui est localement trivial pour la topologie de Zariski est trivial, i.e.

H_{Zar}^{1}(S, GL_{d}) = 1

pour tout d ≥ 1.

Démonstration. Pour S = R_{n}, le résultat peut-être déduit du théorème de Quillen-Suslin qui dit que tout fibré vectoriel, localement trivial sur l’espace affine de dimension n sur un corps, est trivial, voir [La, V.4.10]. Pour une extension étale finie connexe S de R, c’est une conséquence du fait que l’on peut trouver un k-isomorphisme S ⟶ R, cf. [GP3].

3.1 Classes de lacets

Soit G un k-groupe linéairement réductif, c’est-à-dire un groupe algébrique linéaire, dont la composante connexe de l’élément neutre est réductive. Soit x = (x_{1}, ..., x_{n}) une famille d’éléments d’ordre fini de G qui commutent. Soit d un entier tel que x_{1}^{d} = ... = x_{n}^{d} = 1. Rappelons le revêtement galoisien R_{n,d} de R_{n}, avec groupe de Galois (ℤ/dℤ)^{n} engendré par τ_{i} (i = 1, ..., n) défini par

τ_{i}(t_{j}^{1/d}) = (ζ_{d})^{δ_{i,j}}t_{j}^{1/d}.

Ainsi, on peut définir le cocycle α(x) ∈ Z^{1}(Gal(R_{n,d}/R_{n}), G(R_{n,d})) comme suit :

α(x) : Gal(R_{n,d}/R_{n}) → G(k) → G(R_{n,d}), τ_{1}^{i_{1}}...τ_{n}^{i_{n}} ↦ x_{1}^{−i_{1}}...x_{n}^{−i_{n}}.

Comme d’habitude, on note [α(x)] la classe de α(x) dans H^{1}(R_{n}, G). Observons que cette classe est indépendante du choix de la période commune d. Les classes de la forme [α(x)] sont appelés classes de lacets. Elles forment un sous-ensemble H_{loop}^{1}(R_{n}, G) ⊂ H^{1}(R_{n}, G). Les éléments de ces classes sont appelés torseurs à lacets.

Observons que l’on a une action naturelle du groupe GL_{n}(ℤ) sur l’ensemble des familles de n éléments d’ordre fini de G qui commutent : Soit a ∈ GL_{n}(ℤ) et x = (x_{1}, ..., x_{n}) comme plus haut. On définit alors

(^{a}x)_{i} = ∏_{j=1}^{n} x_{j}^{a_{ij}} et ^{a}x = ((^{a}x)_{1}, ..., (^{a}x)_{n}).

Il suit que l’on obtient une action sur l’ensemble des cocycles Z^{1}(Gal(R_{n,d}/R_{n}), G(R_{n,d})) : on définit ^{a}α(x) := α(^{a}x). Finalement, cette action passe aux classes d’isomorphie et on obtient alors une action du groupe GL_{n}(ℤ) sur l’ensemble de cohomologie H^{1}(R_{n}, G).

3.1.1 L’indice de Witt-Tits et l’invariant de Brauer

Soit G maintenant un k-groupe algébrique réductif (connexe). Rappelons la définition de l’indice de Witt-Tits de G. Soit K/k un corps et [z] ∈ H^{1}(K, G). Le groupe tordu _{z}G admet une seule G(K)-classe de conjugaison de sous-groupes paraboliques minimaux et tout tel P est G(\overline{K})-conjugué à un sous-groupe parabolique minimal standard P_{I} ⊂ G, cf. [GP1, sect. 3]. Cet I est appelé l’indice de Witt-Tits de _{z}G et il dépend seulement de [z] ∈ H^{1}(K, G), voir [BT, sect. 6.5]. Soit maintenant x = (x_{1}, ..., x_{n}) comme plus haut une famille d’éléments de G d’ordre fini qui commutent. On peut alors définir l’indice de Witt-Tits de x :

Définition 3.4. L’indice de Witt-Tits I(x) de x est l’indice de Witt-Tits du groupe tordu _{α(x)}G_{K_{n}}.

Remarque 3.5. On peut aussi définir l’indice de Tits d’une telle famille quand le k-groupe F est linéairement réductif, i.e. un groupe algébrique linéaire dont la composante connexe de l’élément neutre G := F^{0} est réductive. On obtient dans ce cas une suite exacte de groupes algébriques

1 ⟶ G^{ad} ⟶ Aut(G) ⟶ Out(G) ⟶ 1,

voir [SGA3, XXV, th. 1.3]. Soit x = (x_{1}, ..., x_{n}) une famille d’éléments de F d’ordre fini qui commutent. L’indice de Witt-Tits I(x) de x est l’indice de Tits du K-groupe tordu _{α(x)}G_{K} et admet la caractérisation intrinsèque suivante (qui généralise [GP1, Prop. 3.3]) : les éléments minimaux (pour l’inclusion) de l’ensemble des sous-groupes paraboliques de G normalisés par x_{1}, ..., x_{n} sont tous conjugués par G(K) et leur type est I(x).

Supposons maintenant que n = 2, i.e. R = R_{2} = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}], K = K_{2} = k[t_{1}, t_{2}]. Dans ce cas on peut attacher un “invariant de Brauer” à la famille x = (x_{1}, x_{2}) comme suit. Considérons le revêtement universel simplement connexe

1 ⟶ μμ ⟶ G̃ ⟶ G ⟶ 1

de G. Par [GP1, Prop. 3.11(4)] tout relèvement x̃ = (x̃_{1}, x̃_{2}) de x à G̃ est une paire d’éléments d’ordre fini qui commutent presque, i.e. [x̃_{1}, x̃_{2}] ∈ 𝒵(G̃), le centre de G̃. Comme la suite exacte 1 ⟶ μμ (k) ⟶ G̃(k) ⟶ G(k) ⟶ 1 est centrale, le commutateur μμ (x) = [x̃_{1}, x̃_{2}] ∈ G̃ ne dépend pas du relèvement x. Par [GP1, Prop. 3.16], l’image de [α(x)] par l’homomorphisme connectant

δ : H^{1}(R, G) ⟶ H^{2}(R, μμ)

est donnée par δ([α(x)]) = μμ (x)^{−1}.

Définition 3.6. L’élement μμ (x)^{−1} est appelé l’invariant de Brauer de x.

3.2 Formes d’algèbres sur des anneaux de polynômes de Laurent

3.2.1 Algèbres de multi-lacets

Pour énoncer les conjectures, on introduit la notion d’une algèbre de multilacets. Introduisons les ingrédients nécessaires pour la construction d’une telle algèbre :

Soit A une algèbre de dimension finie sur k. Soit σ = (σ_{1}, ..., σ_{n}) une famille d’automorphismes d’ordre fini de la k-algèbre A qui commutent. Soit d une période commune des σ_{j}, i.e. σ_{j}^{d} = 1 pour tout j = 1, ..., n.

Pour chaque (i_{1}, ..., i_{n}) ∈ ℤ^{n}, considérons les espaces propres simultanés

A_{i_{1}...i_{n}} = {x ∈ A | σ_{j}(x) = ζ_{d}^{i_{j}}x pour tout 1 ≤ j ≤ n}

(qui dépendent évidemment seulement des i_{j} modulo d).

Définition 3.7. L’algèbre de multi-lacets associée à cette donnée est la k-sous-algèbre ℒ de A ⊗_{k} R_{n,∞} définie comme suit :

ℒ := ℒ(A, σ) = ⊕A_{i_{1}...i_{n}} ⊗ t_{1}^{i_{1}/d}...t_{n}^{i_{n}/d} ⊂ A ⊗_{k} R_{n,d} ⊂ A ⊗_{k} R_{n,∞}.

Remarque 3.8. Observons que ℒ ne dépend pas du choix de la période d et que ℒ a une structure naturelle de R_{n}-algèbre.

On vérifie que

ℒ ⊗_{R_{n}} R_{n,d} ≃_{R_{n,d}} (A ⊗_{k} R_{n}) ⊗_{R_{n}} R_{n,d} ≃_{R_{n,d}} A ⊗_{k} R_{n,d}.

Comme R_{n,d}/R_{n} est libre de rang fini, ℒ est une R_{n}-forme de A ⊗_{k} R_{n} qui est trivialisée par l’extension R_{n,d}/R_{n}. Il correspond alors à une algèbre de multilacets comme plus haut un R_{n}-torseur X_{ℒ} sous le schéma en groupes Aut(A). Par la théorie de la descente, X_{ℒ} est représentable par le R_{n}-schéma affine, dont le foncteur des points est donné par

X_{ℒ} (S) = Hom_{S−alg.}(ℒ ⊗_{R_{n}} S, A ⊗_{k} S).

On note [X_{ℒ} ] la classe d’isomorphie du R_{n}-torseur X_{ℒ} . Donc

[X_{ℒ} ] ∈ H^{1}(R, Aut(A)).

3.2.2 Le cas des algèbres de Lie

Supposons maintenant que A =: 𝔤 est une algèbre de Lie simple (déployée) de dimension finie sur k. On obtient la suite exacte

1 ⟶ Aut^{0}(𝔤) ⟶ Aut(𝔤) ⟶ Out(𝔤) ⟶ 1,

où Aut^{0}(𝔤) désigne la composante connexe de l’élément neutre de Aut(𝔤). Soit x = (x_{1}, ..., x_{n}) une famille d’éléments d’ordre fini de Aut^{0}(𝔤) qui commutent. Alors Ad(x) = (Ad x_{1}, ..., Ad x_{n}) est une famille d’automorphismes d’ordre fini de 𝔤 qui commutent. Par souci de simplicité, on note

ℒ(𝔤, x) = ℒ(𝔤, Ad x).

3.3 Les conjectures

Supposons maintenant que n = 2, i.e. R = R_{2} = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}] est l’anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k, et K = K_{2} = k(t_{1}, t_{2}) son corps de fractions. Rappelons que le corps k est supposé algébriquement clos de caractéristique zéro. Dans ce cas on trouve les deux conjectures suivantes dans [GP1, section 6] :

Conjecture A. Soit G un schéma en groupes semi-simples sur R. Si G ×_{R}K est isotrope, alors la flèche de bord H^{1}(R, G) ⟶^{∂} H^{2}(R, μμ) a un noyau trivial.

Conjecture B. Soit 𝔤 une algèbre de Lie simple, de dimension finie sur k qui n’est pas de type A. Ensuite soient x = (x_{1}, x_{2}) et y = (y_{1}, y_{2}) deux paires d’automorphismes de 𝔤 qui commutent. Alors ℒ(𝔤, x) ⊗_{R} K est une algèbre de Lie de dimension finie et isotrope sur K. De plus,

ℒ(𝔤, x) ≃_{k−Lie} ℒ(𝔤, y) ⇔ I(x) = I(y).

Remarque 3.9. 1. La conjecture A pour un groupe déployé et la surjectivité de la flèche ∂ pour G non nécessairement isotrope a déjà été démontrée dans [GP1, Th. 4.18].

2. Pour démontrer la conjecture A pour un groupe G, il suffit alors de montrer que H^{1}(R, G̃) = 1 par la remarque précédente. En effet, en regardant la suite exacte longue provenant de la suite exacte courte du revêtement universel 1 ⟶ μμ ⟶ G̃ ⟶ G ⟶ 1, on voit facilement que l’on a une surjection

H^{1}(R, G̃) ⟶ ⟶ ker (H^{1}(R, G) ⟶^{∂} H^{2}(R, μμ)).

3. La conjecture B est probablement vraie plus généralement. Dans le chapitre 6 on montre que cette conjecture est vraie en rang assez grand pour 𝔤 de type classique B, C, D et, sous certaines conditions, pour 𝔤 de type A.

Dans les chapitres 4 et 5 on démontre différents résultats partiels sur la conjecture A, pour G étant un des types classiques A, B, C et D (i.e. pas de type ^{3}D_{4} ou ^{6}D_{4}). Dans le chapitre 6 on démontre des résultats correspondants sur la conjecture B.

30 CHAPITRE 3. LES CONJECTURES

Le cas ^{1}A_{n−1} et les groupes orthogonaux

4.1 Le cas ^{1}A_{n−1}

Comme d’habitude, R désigne un anneau commutatif et k un corps commutatif. Voici d’abord un théorème de Panin et Suslin [PS, Th. II] dont nous avons besoin dans cette section.

Théorème 4.1. Soit X un schéma intègre de type fini et lisse sur k de corps de fonctions K = k(X). Soit S = {x_{1}, ..., x_{r}} un nombre fini de points de X. Notons 𝒪_{S} l’anneau semi-local, localisation en les points de X appartenant à S. De plus notons 𝒳 = Spec 𝒪_{S} son spectre. Supposons que A est une algèbre d’Azumaya de degré n sur 𝒪_{S}. Alors le complexe

0 → K_{n}(A) → K_{n}(A_{K}) →^{∂} ⨁_{x∈𝒳^{(1)}} K_{n−1}(A_{k(x)}) →^{∂} ... →^{∂} ⨁_{x∈𝒳^{(n)}} K_{0}(A_{k(x)}) → 0

est exact.

Démonstration. [PS, Th. II]

Comme dans le cas classique [BKP, V.6] on en tire la suite spectrale de Brown-Gersten-Quillen :

Corollaire 4.2. Soit X un schéma de type fini et lisse sur k et A une algèbre d’Azumaya sur X. On a alors une suite spectrale :

E_{1}^{s,t} = ⨁_{x∈X^{(s)}} K_{−s−t}(A_{k(x)}) ⇒ K_{−s−t}(A)  (4.1)

32 CHAPITRE 4. LE CAS ^{1}A_{N−1} ET LES GROUPES ORTHOGONAUX

Supposons maintenant que G est un schéma en groupes semi-simples sur R de type ^{1}A_{n−1} avec n ≥ 2. Le R-schéma en groupes semi-simples simplement connexe et déployé de type A_{n} est SL_{n}. Son groupe adjoint est PGL_{n}, c’est aussi le groupe d’automorphismes intérieurs de SL_{n} et de PGL_{n}. On rappelle que G̃ désigne le revêtement universel de G et G^{ad} le groupe adjoint. Les schémas en groupes semi-simples sur R de type ^{1}A_{n−1} (n ≥ 1) sont donc classifiés à isomorphisme près par l’ensemble pointé H^{1}(R, PGL_{n}) et G̃ est une R-forme de SL_{n} et G^{ad} est une R-forme de PGL_{n+1}.

Comme il est décrit dans [Kne, Ch. II, 2.4] (cette description se limite au cas où R est un corps, mais elle s’étend sans difficulté au cas d’un anneau), on peut écrire pour toute R-algèbre S :

G̃(S) = {x ∈ A ⊗_{R} S | Nrd(x) = 1},

pour une R-algèbre d’Azumaya A de degré n, unique à isomorphisme près. On a donc les correspondances bijectives :

H^{1}(R, PGL_{n})

⟷

{R-formes intérieures de PGL_{n}}

⟷

{R-formes intérieures de SL_{n}}

⟷

{R-algèbres d’Azumaya de degré n}.

Soit maintenant k un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Supposons R = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}], l’anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k. Notons K = k(t_{1}, t_{2}) le corps de fractions de R.

Pour aborder la conjecture A pour G on comprend la flèche

H^{1}(R, G) ⟶ H^{2}(R, μμ)

comme associant à une R-algèbre d’Azumaya sa classe dans le groupe de Brauer de R noté Br(R). Soit μμ_{d} le schéma des racines d-ièmes de l’unité μμ = μμ_{d}. On a alors H^{2}(R, μμ) ≃ _{d} Br(R), comme Pic(R) = 0 par lemme 3.2. Il s’agit donc de démontrer que H^{1}(R, G) ⟶ Br(R) a un noyau trivial. Si A est l’algèbre d’Azumaya correspondante à G par les bijections plus haut, ceci équivaut à montrer que toute algèbre d’Azumaya Brauer-équivalente à A est en fait isomorphe à A. Considérons le diagramme commutatif suivant :

H^{1}(R, PGL_{n}) ⟶^{δ} Br(R)
↓  ↓
H^{1}(K, PGL_{n}) ⟶^{δ′} Br(K)

La flèche verticale de droite est une injection par [Gr1, Cor. 1.18]. On sait [GS, preuve de Th.4.4.5] que δ′ est aussi injective. D’ailleurs, on sait que Br(R) ≃ ℚ/ℤ [GP1, Prop. 2.1]. L’isomorphisme

Inv : Br(R) ⟶^{∼} ℚ/ℤ

4.1. LE CAS ^{1}A_{N−1} 33

est donné par A(m, n) ↦ \frac{m}{n} où A(m, n) est l’algèbre cyclique de présentation

X^{n} = t_{1}, Y^{n} = t_{2}^{m} et Y X = ζ_{n}XY.

Soient A et A′ deux algèbres d’Azumaya représentant deux classes dans H^{1}(R, PGL_{n}) de même image, [A(m, n)] dans Br(R). Soit r = pgcd(m, n). Comme δ′ est injective, les classes de A et A′ ont même image [A_{K}] = [A′_{K}] dans H^{1}(K, PGL_{n}).

Définition 4.3. Soit A une algèbre d’Azumaya définissant une classe dans [A] ∈ H^{1}(R, PGL_{n}) et soit [A_{K}] son image dans H^{1}(K, PGL_{n}), représentée par une algèbre simple centrale A_{K} sur K. Alors A (ou sa classe [A]) est dite rationnellement isotrope si le K-groupe algébrique tordu PGL_{1}(A_{K}) est isotrope sur K, i.e. s’il existe un monomorphisme 𝔾_{m} ↪ PGL_{1}(A_{K}) sur K (voir la définition 3.1).

Lemme 4.4. L’algèbre d’Azumaya A de degré n sur R est rationnellement isotrope si et seulement si δ([A]) = [A(m, n)] pour pgcd(m, n) ≠ 1.

Démonstration. Par [GS, Ch. 2.5], A(m, n)_{K} est une algèbre à division si et seulement si pgcd(m, n) = 1. Il s’agit donc de montrer qu’il y a un monomorphisme 𝔾_{m,K} ↪ PGL_{1,K}(D) si et seulement si D n’est pas une algèbre à division sur K. Ceci est pourtant un résultat bien connu, voir [Ti].

Donc pour démontrer la conjecture A dans le cas ^{1}A_{n−1}, il s’agit de voir que toute algèbre d’Azumaya Brauer-équivalente à une algèbre d’Azumaya de la forme A(m, n) avec pgcd(m, n) ≠ 1 lui est en fait isomorphe. Commençons par un lemme qui nous est utile dans la démonstration de la proposition suivante et qui est un cas particulier de la conjecture II de Serre.

Lemme 4.5. Soit A une algèbre d’Azumaya sur R. Alors

H^{1}(K, SL_{1}(A_{K})) = 1.

Démonstration. On peut tordre la suite exacte

0 ⟶ SL_{n} ⟶ GL_{n} ⟶ 𝔾_{m} ⟶ 0

de K-groupes par la forme intérieure SL_{1}(A_{K}) = {x ∈ A_{K} | Nrd(x) = 1} de SL_{n}. Vu que H^{1}(K, GL_{1}(A_{K})) = 1 par le théorème 90 de Hilbert, on déduit de la suite exacte longue correspondant à cette suite exacte courte tordue une bijection

H^{1}(K, SL_{1}(A_{K})) ↔ K^{×}/ Nrd(A_{K}^{×}).

Mais par le théorème de Tsen, K est un corps C_{2}. La norme réduite, étant une fonction polynômiale à n^{2} variables, homogène de degré n, représente alors tout élément de K^{×}, i.e. Nrd : A_{K}^{×} ⟶ K^{×} est surjective. Par conséquent, on a bien H^{1}(K, SL_{1}(A_{K})) = 1 (cf. [Se, Ch.III, Ex.3.2 et Ch.II, n.4.5]).

Proposition 4.6. Soit A une algèbre d’Azumaya sur R. Alors K_{0}(A) ≃ ℤ, i.e. tout module projectif de type fini sur A est stablement libre.

Démonstration. On prouve cette proposition à l’aide de la suite spectrale de Panin-Suslin (4.1) :

E_{1}^{s,t} = ⨁_{x∈X^{(s)}} K_{−s−t}(A_{k(x)}) ⇒ K_{−s−t}(A).

Observons que K_{0}(A_{K}) ≃ ℤ par l’équivalence de Morita. En effet, on a A_{K} ≃ M_{r}(Δ) pour un entier r et une algèbre à division Δ et K_{0}(Δ) ≃ ℤ par [Mil, Lem. 1.2]. Comme E_{2}^{−2,−2}, E_{2}^{−1,−1} et E_{2}^{0,0} = E_{1}^{0,0} = K_{0}(A_{K}) sont les quotients successifs d’une filtration de E^{0} = K_{0}(A), il suffit de montrer que E_{2}^{−1,−1} = E_{2}^{−2,−2} = 0 pour établir notre proposition.

Montrons que E_{2}^{−1,−1} = 0. Pour cela il faut montrer la surjectivité de la différentielle

d_{1}^{0,−1} : E_{1}^{0,−1} = K_{1}(A_{K}) ⟶ ⨁_{x∈X^{(1)}} K_{0}(A_{k(x)}) = E_{1}^{−1,−1}.

Considérons alors le diagramme commutatif suivant, dont la deuxième ligne est exacte en ses deux derniers termes non nuls :

A_{K}^{×} ⟶ K_{1}(A_{K}) ⟶^{d_{1}^{0,−1}} ⨁_{x∈X^{(1)}} K_{0}(A_{k(x)})
↓^{Nrd}  ↓^{Nrd}^{(1)}  ↓^{Nrd}^{(0)}
K^{×} ⟶^{∼} K_{1}(K) ⟶^{d′} ⨁_{x∈X^{(1)}} K_{0}(k(x)) ⟶ CH^{1}(R) ⟶ 0.

Le groupe CH^{1}(R) est le premier groupe de Chow de R (cf. [Fu, 1.3]). Dans ce diagramme, le premier carré commute par [GS, Lem. 2.8.9] et le second par [PS, 3.3]. De plus, k(x) est un corps de dimension 1 pour x ∈ X^{(1)}, donc Br(k(x)) = 0. Donc si x ∈ X^{(1)}, A_{k(x)} ≃ M_{n}(k(x)), alors

K_{0}(M_{n}(k(x))) ⟶^{≃} K_{0}(k(x)) ≃ ℤ

est un isomorphisme (équivalence de Morita). Il suit que Nrd_{(0)} est bien un isomorphisme.

De plus, comme H^{1}(K, SL_{1}(A_{K})) = 1 par le lemme précédent, la norme réduite Nrd est surjective. Il est bien connu que K_{1}(K) ≃ K^{×}, donc la flèche Nrd_{(1)} est surjective. Pour montrer la surjectivité de d_{1}^{0,−1} il reste à montrer la surjectivité de d′. Mais CH^{1}(𝔸_{k}^{2}) ⟶ ⟶ CH^{1}(R) est une surjection et CH^{1}(𝔸_{k}^{2}) = 0 par [Fu, Ex.2.1.1], donc d′ est bien surjective.

Montrons maintenant E_{2}^{−2,−2} = 0, i.e. la surjectivité de la différentielle

E_{1}^{−1,−2} = ⨁_{x∈X^{(1)}} K_{1}(A_{k(x)}) ⟶^{d_{1}^{−1,−2}} ⨁_{x∈X^{(2)}} K_{0}(A_{k(x)}) = E_{1}^{−2,−2}.

On considère le diagramme suivant, commutatif par [PS, 3.3]. Sa deuxième ligne est exacte :

⨁_{x∈X^{(1)}} K_{1}(A_{k(x)}) ⟶^{d_{1}^{−1,−2}} ⨁_{x∈X^{(2)}} K_{0}(A_{k})
↓^{Nrd}^{(1)}  ↓^{Nrd}^{(0)}
⨁_{x∈X^{(1)}} K_{1}(k(x)) ⟶^{d′} ⨁_{x∈X^{(2)}} K_{0}(k) ⟶ CH^{2}(R) ⟶ 0.

Comme Br(k) = 0 et Br(k(x)) = 0 pour x ∈ X^{(1)}, A_{k} ≃ M_{n}(k) et A_{k(x)} ≃ M_{n}(k(x)). Donc par l’équivalence de Morita les deux flèches Nrd_{(1)} et Nrd_{(0)} sont des isomorphismes. De nouveau, CH^{2}(𝔸_{k}^{2}) ⟶ ⟶ CH^{2}(R) est surjective et CH^{2}(𝔸_{k}^{2}) = 0 par [Fu, Ex.2.1.1], donc d′ est bien surjectif. Ceci entraîne la surjectivité de d_{1}^{−1,−2}.

Comme E_{2}^{−1,−1} = E_{2}^{−2,−2} = 0, on a bien établi K_{0}(A) = E^{0} ≃ E_{1}^{0,0} = K_{0}(A_{K}) ≃ ℤ.

On en tire le corollaire suivant :

Corollaire 4.7. Soit A une algèbre d’Azumaya sur R. Alors tout A-module projectif de rang relatif ≥ 3 est libre.

Démonstration. C’est une conséquence de la proposition 4.6 combinée avec le théorème 2.15 de simplification de Bass-Schanuel. En effet soit P un A-module projectif de rang relatif r ≥ 3. Suivant la proposition 2.7, on a f–rang_{A} P = r ≥ 3. On a pour un certain s ≥ 3

P ⊕ A^{s−r} ≃ A^{r} ⊕ A^{s−r},

comme P est stablement libre par la proposition 4.6. En appliquant le théorème 2.15 avec Q = A^{s−r} on obtient que P ≃ A^{r}.

Théorème 4.8. Si [A] ∈ H^{1}(R, PGL_{n}) est telle que δ([A]) = [A(m, n)] avec r := pgcd(m, n) > 2, alors la fibre de δ en [A] est réduite à un élément, i.e. A ≃ A(m, n).

Démonstration. On peut supposer que n, r ≥ 3. On considère l’algèbre D = A(\frac{m}{r}, \frac{n}{r}), donc D_{K} est une algèbre à division. Comme A et D ont même image dans le groupe de Brauer, il existe un D-module fidèlement projectif P, tel que A = End_{D}(P). Par [Kn1, 4.7.1] on a en fait f–rang_{D}(P) = r. Le corollaire 4.7 montre que P ≃ D^{r} et A ≃ M_{r}(D). Donc on a bien A ≃ A(m, n).

Considérons la condition suivante sur un schéma en groupes semi-simples G de type ^{1}A_{n−1} :

L′algèbre d′Azumaya correspondante à G est
Brauer − équivalente à A(m, n) avec pgcd(m, n) > 2.  (4.2)

Corollaire 4.9. Supposons que n ≥ 2 et que G est un schéma en groupes semisimples (connexe) de type ^{1}A_{n−1} sur R. Supposons que soit n est premier, soit G satisfait à la condition (4.2). Soit μμ le noyau du revêtement universel G̃ ⟶ ⟶ G. Alors la conjecture A est vraie pour G, i.e. l’homomorphisme connectant

H^{1}(R, G) ⟶ H^{2}(R, μμ)

a un noyau trivial.

Démonstration. Soit A(m, n) l’algèbre d’Azumaya correspondante à G. On a G̃ = SL_{1}(A(m, n)) et G_{ad} = PGL_{1}(A(m, n)). Par la remarque 3.9 il suffit de montrer que H^{1}(R, SL_{1}(A(m, n))) = 1. Considérons alors la suite exacte suivante d’ensembles pointés

H^{1}(R, SL_{1}(A(m, n))) ⟶^{p_{∗}^{1}} H^{1}(R, PGL_{1}(A(m, n))) ⟶^{∂} H^{2}(R, μμ_{n}).

Celle-ci fait partie de la suite exacte longue provenant de la suite exacte courte

1 ⟶ μμ_{n} ⟶ SL_{1}(A(m, n)) ⟶^{p} PGL_{1}(A(m, n)) ⟶ 1.

Le théorème 4.8 montre que ∂ a un noyau trivial. Par [GP, preuve du Th. 3.17] la flèche p_{∗}^{1} est injective. On a donc H^{1}(R, SL_{1}(A(m, n))) = 1 et le résultat suit.

4.2 Le cas des groupes orthogonaux

Dans cette section on expose par souci de complétude un résultat de Parimala, [Pa, Th. 3.5]. Supposons ici que R est un anneau commutatif avec Spec R connexe et 2 ∈ R^{×}.

Remarque 4.10. Sauf mention expresse du contraire, toute forme quadratique est supposée régulière (i.e. l’homomorphisme induit entre le module quadratique et son dual est un isomorphisme) dans ce chapitre.

Soit G un schéma en groupes semi-simples sur R de type B_{n} avec n ≥ 2. Le schéma en groupes semi-simples simplement connexe déployé de type B_{n} est Spin_{2n+1} := Spin(q), le groupe des spineurs associé à forme quadratique q = ℌ(R^{n}) ⊥ <1>. Le centre de Spin_{2n+1} est μμ_{2} et le groupe spécial orthogonal SO_{2n+1} est son adjoint. Alors G est une R-forme de Spin_{2n+1} (dans ce cas G = G̃ est simplement connexe) ou de SO_{2n+1} (dans ce cas G est adjoint).

Soit maintenant q une R-forme quadratique (regulière) de rang 2n + 1. Par [Kn, IV.5.2.1] on a une suite exacte scindée

1 ⟶ SO(q) ⟶ O(q) ⟶^{det} μμ_{2} ⟶ 1  (4.3)

de R-schémas en groupes linéairement réductifs. Pour la forme q = ℌ(R^{n}) ⊥ <1> on obtient la suite exacte d’ensembles pointés

1 → SO_{2n+1}(R) → O_{2n+1}(R) →^{det} μμ_{2}(R) → H^{1}(R, SO_{2n+1})

→^{i_{∗}^{1}} H^{1}(R, O_{2n+1}) →^{det_{∗}^{1}} H^{1}(R, μμ_{2}).

Par [Kn, IV.3.2.1], l’ensemble pointé H^{1}(R, O_{2n+1}) classifie les classes d’isométrie de formes quadratiques (régulières) de rang 2n + 1 sur R. Comme la suite exacte (4.3) est scindée pour toute forme quadratique de rang 2n + 1 sur R, on obtient par l’argument habituel de torsion que i_{∗}^{1} est injective. En d’autres termes on a une inclusion

H^{1}(R, SO_{2n+1}) ↪ H^{1}(R, O_{2n+1}).

La flèche det_{∗}^{1} associe à la classe d’une forme quadratique q son discriminant signé. Donc H^{1}(R, SO_{2n+1}) classifie les classes d’isométrie de formes quadratiques (régulières) de rang 2n + 1 et de discriminant trivial.

D’un autre côté, tout automorphisme de Spin_{2n+1} est intérieur, donc on a les isomorphismes de R-schémas en groupes :

Aut(Spin_{2n+1}) = Int(Spin_{2n+1}) ≃ SO_{2n+1} .

Par suite, H^{1}(R, SO_{2n+1}) classifie aussi les R-formes de SO_{2n+1} et Spin_{2n+1} à isomorphisme près. On a donc établi des bijections

H^{1}(R, SO_{2n+1})

⟷

{R-formes quadratiques régulières de rang 2n + 1 et de discriminant trivial}

⟷

{R-formes du groupe Spin_{2n+1}}

⟷

{R-formes du groupe SO_{2n+1}}

par les identifications q ↦ Spin(q) et q ↦ SO(q). On voit ainsi que G ≃ SO(q) ou G ≃ Spin(q) pour une certaine R-forme quadratique de rang 2n + 1 (et de discriminant trivial).

Supposons maintenant que G est de type D_{n} avec n ≥ 4. Le groupe semisimple simplement connexe déployé de type D_{n} est Spin_{2n} := Spin(q), le groupe des spineurs associé à la forme quadratique q = ℌ^{n}(R). Le centre de Spin_{2n} est μμ_{4} si n est impair et μμ_{2} × μμ_{2} si n est pair. Le groupe adjoint de Spin_{2n} est PSO_{2n}. Si n est impair, le quotient de Spin_{2n} par son sous-groupe μμ_{2} est le groupe spécial orthogonal SO_{2n}. Pour obtenir SO_{2n} si n est pair, on quotiente Spin_{2n} par son sous-groupe μμ_{2} qui se factorise en μμ_{2} ⟶^{i} μμ_{2} × μμ_{2}, où i(1) = (1, 1), cf. [KMRT, p.375]. De plus le groupe d’automorphismes de Spin_{2n} (et donc de SO_{2n}) est PO_{2n} := Ad(O_{2n}), le groupe quotient de O_{2n} par son centre. Donc H^{1}(R, PO_{2n}) classifie les R-formes de Spin_{2n}, SO_{2n} ou PSO_{2n} à isomorphisme près. Considérons maintenant la condition suivante sur l’anneau R :

T oute forme quadratique de rang pair ≥ 2r sur R contient un
facteur direct isométrique au plan hyperbolique < 1, −1 > .  (4.4)

Supposons que R satisfait à cette condition pour un certain r ∈ ℕ. Soit n ≥ r. Donc par [Kn, IV.5.2.2] on a pour toute R-forme quadratique q de rang 2n une suite exacte scindée

1 ⟶ SO(q) ⟶ O(q) ⟶^{Di} ℤ/2ℤ ⟶ 1  (4.5)

de R-schémas en groupes linéairement réductifs. Elle induit une suite exacte d’ensembles pointés

1 → SO(q)(R) → O(q)(R) →^{det} ℤ/2ℤ(R) → H^{1}(R, SO(q)) →^{i_{∗}^{1}} H^{1}(R, O(q)) →^{Di_{∗}^{1}} H^{1}(R, ℤ/2ℤ).

Par [Kn, IV.2.2.1], l’ensemble pointé H^{1}(R, O(q)) classifie les classes d’isométrie de formes quadratiques régulières de rang 2n sur R et l’image de i_{∗} dans H^{1}(R, O(q)) classifie les classes de telles formes qui sont de même discriminant que q. Comme la suite exacte (4.5) est scindée pour toute forme quadratique de rang 2n sur R, on obtient, comme plus haut, par l’argument habituel de torsion que i_{∗}^{1} est injective, i.e. une inclusion

H^{1}(R, SO(q)) ↪ H^{1}(R, O(q)).

Il suit que l’ensemble H^{1}(R, SO(q)) classifie les classes d’isométrie de formes quadratiques régulières de rang 2n sur R et de même discriminant que q.

Soit maintenant k un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Rappelons que R = R_{2} = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}] est l’anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k et K = K_{2} = k(t_{1}, t_{2}) son corps de fractions.

On déduit facilement du théorème de Parimala [Pa, Th. 3.5] le théorème suivant :

Théorème 4.11. 1. On a la simplification pour les R-formes quadratiques K-isotropes : soient q_{1} et q_{2} deux telles R-formes et supposons que q_{1} ⊥ q ≃ q_{2} ⊥ q pour une R-forme quadratique q, alors q_{1} ≃ q_{2}.

2. Soient q et q′ deux R-formes quadratiques K-isotropes. Si q_{K} ≃ q′_{K} alors q ≃ q′.

3. Soit q une R-forme quadratique de rang ≥ 5. Alors q est R-isotrope et diagonalisable.

Démonstration. [GP1, Th. 6.2]

Ce théorème montre que si q est une R-forme quadratique de rang ≥ 5, alors on a une injection

H^{1}(R, O(q)) ↪ H^{1}(K, O(q)).

Il montre également que notre anneau satisfait à la condition (4.4) avec r = 3. On a donc, par les discussions précédentes, une injection

H^{1}(R, SO(q)) ↪ H^{1}(K, SO(q)).  (4.6)

Gille et Pianzola [GP1, Cor. 6.3] ont alors démontré le corollaire suivant du théorème de Parimala :

Corollaire 4.12. Soit q une R-forme quadratique de rang ≥ 5. Alors :

1. H^{1}(R, Spin(q)) = 1,

2. H^{1}(R, SO(q)) = ℤ/2ℤ.

Démonstration. Montrons d’abord que H^{1}(R, Spin(q)) = 1. On a une suite exacte de R-schémas en groupes linéairement réductifs

1 ⟶ μμ_{2} ⟶ Spin(q) ⟶ SO(q) ⟶ 1.

On en déduit un diagramme commutatif dont la première ligne est exacte :

SO(q) ⟶^{N_{S}} H^{1}(R, μμ_{2}) = R^{×}/(R^{×})^{2} ⟶ H^{1}(R, Spin(q)) ⟶ H^{1}(R, SO(q))
↓  ↓
H^{1}(K, Spin(q)) ⟶ H^{1}(K, SO(q)).

Mais K est de dimension cohomologique 2, donc on a H^{1}(K, Spin(q)) = 1, par le théorème de Merkurjev-Suslin, voir [Se, III.3.1]. Comme la flèche verticale à droite est injective par (4.6), la flèche H^{1}(R, Spin(R)) ⟶ H^{1}(R, SO(q)) est triviale. Ensuite, comme q est isotrope, aussi par le théorème 4.11, la norme spinorielle N_{S} est surjective. On a donc H^{1}(R, Spin(q)) = 1.

Par la remarque 3.9(2), la flèche de bord

H^{1}(R, SO(q)) ⟶^{∂} H^{2}(R, μμ_{2}) ≃ ℤ/2ℤ

a un noyau trivial. L’argument habituel de torsion montre alors qu’elle est injective. Comme elle est surjective par la remarque 3.9, cette flèche est en fait un isomorphisme.

Il suit que la conjecture A est vraie pour les groupes de type B_{n} (n ≥ 2) et les groupes de type D_{n} (n ≥ 4) qui sont des groupes de spineurs et des groupes spéciaux orthogonaux des formes quadratiques de rang ≥ 5.

Corollaire 4.13. Soit G un R-schéma en groupes semi-simples (connexe) et notons μμ le noyau de son revêtement universel G̃ ⟶ ⟶ G.

1. Supposons que G est de type B_{n}, avec n ≥ 2. Alors l’homomorphisme

connectant

H^{1}(R, G) ⟶ H^{2}(R, μμ)

est bijectif. En particulier, la conjecture A est vraie pour G.

2. Supposons que G est de type D_{n}, avec n ≥ 4. Supposons de plus que G est isogène à Spin(q) où q est une R-forme quadratique de rang pair ≥ 5. Alors l’homomorphisme connectant

H^{1}(R, G) ⟶ H^{2}(R, μμ)

est bijectif. En particulier, la conjecture A est vraie pour G.

Démonstration. Par la remarque 3.9(2) les deux asserations sont une conséquence du fait que H^{1}(R, Spin(q)) = 1 pour une R-forme quadratique de rang ≥ 5. Vu que tout groupe semi-simplement connexe de type B_{n} est un groupe de spineurs d’une forme quadratique, les arguments habituels de torsion montrent que l’homomorphisme connectant est une injection dans le cas des groupes de type B_{n}, n ≥ 2.

Le cas C_{n}, les autres groupes du type D_{n} et le cas ^{2}A_{n}

5.1 Conventions, notations et préliminaires

Dans ce chapitre, on est confronté aux groupes de Witt des formes hermitiennes et anti-hermitiennes d’une algèbre d’Azumaya à involution sur un schéma. Le but des deux sections suivantes est de présenter des suites spectrales de groupes de Witt analogues à la suite spectrale de la K-théorie de la section 4.1. À l’aide de ces suites spectrales nous pouvons calculer les groupes de Witt d’une algèbre d’Azumaya à involution sur l’anneau R = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}], où k est algébriquement clos de caractéristique zéro.

On utilise les conventions suivantes pour les catégories dérivées. Soit ℰ une catégorie exacte. On note D^{b}(ℰ) sa catégorie dérivée bornée et T le foncteur de translation de cette catégorie. Selon l’usage habituel dans la théorie de Witt dérivée et cohérente, on utilise des complexes homologiques, donc T (M_{•})_{i} = M_{•} [1 ]_{i} = M_{i−1} pour tout M_{•} ∈ D^{b}(ℰ). Si ℰ possède un foncteur Hom intérieur ou un produit tensoriel ⊗, on utilise les conventions suivantes pour Hom(M_{•}, N_{•}) et M_{•} ⊗ N_{•} : la différentielle en degré l est donnée par

Hom(M_{−l−r}, N_{−r}) ∋ f ↦ f · d_{−l−r+1}^{M_{•}} + (−1)^{l+1} d_{−r}^{N_{•}} · f

et par

M_{l−r} ⊗ N_{r} ∋ m ⊗ n ↦ d_{l−r}^{M_{•}}(m) ⊗ n + (−1)^{l−r}m ⊗ d_{r}^{N_{•}}(n)

respectivement.

Soit X un schéma et 𝒜 une algèbre d’Azumaya sur X. Dans cette section on utilise les notations suivantes :

– ℳ(𝒜) est la catégorie des 𝒜-modules ; – 𝒫(𝒜) est la catégorie des 𝒜-modules cohérents 𝒫 tel que 𝒫_{x} est un 𝒜_{x}-

module projectif pour tout x ∈ X;

– ℳ_{qc}(𝒜) est la catégorie des 𝒜-modules quasi-cohérents ;

– ℳ_{c}(𝒜) est la catégorie des 𝒜-modules cohérents ;

– D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)) (respectivement D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(𝒜))) est la sous-catégorie pleine de la catégorie dérivée bornée D^{b}(ℳ(𝒜)) (respectivement D^{b}(ℳ_{qc}(𝒜))) contenant les complexes qui ont des faisceaux de cohomologie cohérents.

Observons que, puisque 𝒜 est une algèbre d’Azumaya, 𝒜 est localement libre sur X, donc 𝒫(𝒜) = 𝒫(X) ∩ ℳ(𝒜). On appelle parfois les modules dans cette catégorie A-modules projectifs. Si 𝒜 = 𝒪_{X}, on écrit ces catégories simplement ℳ(X), 𝒫(X), ...

Le lemme suivant nous donne une identification qui sera utilisée tacitement dans la suite :

Lemme 5.1. Soit X un schéma noethérien et 𝒜 une 𝒪_{X}-algèbre cohérente. Alors le morphisme naturel

D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(𝒜)) ⟶ D_{c}^{b}(ℳ(𝒜))

est une équivalence de catégories.

Démonstration. [Gil1, Lem. 1.4]

Ensuite, rappelons la notion d’anneau de Gorenstein :

Définition 5.2. Soit R un anneau local et noethérien. Alors R est dit un anneau de Gorenstein si la dimension injective du R-module R est finie, i.e. injdim_{R} R < ∞. Un anneau noethérien est dit de Gorenstein si toute localisation à un idéal maximal est un anneau de Gorenstein. Un schéma localement noethérien est dit de Gorenstein si tous ses anneaux locaux sont de Gorenstein.

Lemme 5.3. Soit R un anneau local de Gorenstein. Alors le R-module R possède une résolution injective de longueur finie.

Démonstration. C’est une conséquence de [BH, 3.2.9] et de [BH, 3.2.10].

Remarque 5.4. 1. Voir l’annexe A pour la structure d’une résolution in-

jective.

2. Observons qu’en particulier un anneau régulier est de Gorenstein.

Supposons maintenant que 𝒜 est muni d’une involution τ. Soit 𝒞 une souscatégorie de ℳ(𝒜) et 𝒢 ∈ ℳ(𝒪_{X}). On note alors 𝒟_{𝒢}^{(𝒜,τ)} le foncteur contravariant 𝒞 ⟶ ℳ(𝒜) défini par

ℱ ↦ \overline{Hom_{𝒪_{X}} (ℱ, 𝒢)}.

Si 𝒜 = 𝒪_{X} et τ est de première espèce (donc τ = id), on écrit simplement 𝒟_{𝒢}. Supposons maintenant que pour tout ℱ ∈ 𝒞, on ait 𝒟_{𝒢}^{(𝒜,τ)} ∈ 𝒞. Dans ce cas on note ϖ^{𝒢} le morphisme de foncteurs id_{𝒞} ⟶ 𝔇_{𝒢}^{(𝒜,τ)} 𝔇_{𝒢}^{(𝒜,τ)} ; il est indépendant de l’involution τ. Observons que si 𝔇_{𝒢}^{(𝒜,τ)} est une dualité (sur 𝒞), alors ϖ^{𝒢} est le morphisme de double dual (cf. [Gil1, 2.3])

5.2 La suite spectrale de S. Gille pour les algèbres d’Azumaya à involution de première espèce

On expose dans cette section une suite spectrale de groupes de Witt de S. Gille (cf. [Gil1]) et on énonce un résultat de compatibilité de cette suite spectrale avec l’équivalence de Morita. La preuve de ce résultat est exposée dans l’appendice.

Convention. Dans cette section on suppose que tous les schémas sont des ℤ[\frac{1}{2}]-schémas noethériens.

5.2.1 Groupes de Witt cohérents

Soit maintenant X un schéma admettant un complexe dualisant ℐ_{•}. Rappelons que ceci veut dire que ℐ_{•} ∈ D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(X)) est un complexe de 𝒪_{X}-modules injectifs et que le morphisme naturel

ϖ_{ℱ}^{ℐ} : ℱ_{•} ⟶ Hom_{𝒪_{X}} (Hom_{𝒪_{X}} (ℱ_{•}, ℐ_{•}), ℐ_{•})

est un quasi-isomorphisme pour tout ℱ_{•} ∈ D_{c}^{b}(ℳ(X)). (Pour des généralités sur les complexes dualisants voir [Ha, Ch. V].) Observons que tout schéma de Gorenstein (donc en particulier tout schéma régulier) de dimension de Krull finie admet un tel complexe : en effet tout 𝒪_{X}-module localement libre de rang 1 admet une résolution injective finie et une résolution injective du 𝒪_{X}-module 𝒪_{X} est un complexe dualisant pour X. Un tel ℐ_{•} a alors pour propriété que le foncteur

𝒟_{ℐ} : ℱ_{•} ↦ Hom_{𝒪_{X}} (ℱ_{•}, ℐ_{•})

est une dualité 1-exacte sur D_{c}^{b}(ℳ(X)). Soit maintenant 𝒜 une algèbre d’Azumaya sur X avec involution de première espèce τ. Dans ce cas, cette dualité 𝒟_{ℐ} s’étend sans difficulté [Gil1, 2.3] en une dualité 1-exacte

𝒟_{ℐ}^{(𝒜,τ)} : ℱ_{•} ↦ \overline{Hom_{𝒪_{X}} (ℱ_{•}, ℐ_{•})}

sur D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)). Il suit que l’on obtient ainsi une catégorie triangulée avec dualité (D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)), 𝒟_{ℐ}^{(𝒜,τ)} , 1, ϖ^{ℐ}) dans le sens de Balmer [Ba1]. Si Z ⊂ X est un sous-schéma fermé de X, la dualité 𝒟_{ℐ}^{(𝒜,τ)} se restreint en une dualité sur D_{c,Z}^{b}(ℳ 𝒜) [Gil1, 2.3], la sous-catégorie pleine de D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)) des complexes à support homologique dans Z.

Définition 5.5. Les i-èmes groupes de Witt de la catégorie triangulée avec dualité (D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)), 𝒟_{ℐ}^{(𝒜,τ)} , 1, ϖ^{ℐ}) sont notés W̃^{i}(𝒜, τ, ℐ) et sont appelés groupes de Witt cohérents. Pour un sous-schéma fermé Z de X, les i-èmes groupes de Witt de la catégorie triangulée avec dualité (D_{c,Z}^{b}(ℳ(𝒜)), 𝒟_{ℐ}^{(𝒜,τ)} , 1, ϖ^{ℐ}) sont notés W̃_{Z}^{i}(𝒜, τ, ℐ) et sont appelés groupes de Witt cohérents à support dans Z.

5.2.2 Comparaison avec groupes de Witt usuels

Dans cette sous-section, soit X un schéma de Gorenstein de dimension de Krull finie, soit (𝒜, τ) comme plus haut et soit ℒ un fibré en droites sur X (i.e. un 𝒪_{X}-module localement libre de rang 1). Dans ce cas on peut construire trois différents “types” de groupes de Witt. Pourtant, sous des hypothèses raisonnables, ces groupes sont tous isomorphes.

\underline{Le groupe de Witt cohérent :} Comme X est de Gorenstein de dimension de Krull finie, ℒ a une résolution injective finie par 𝒪_{X}-modules quasi-cohérents, ℐ_{•} :

ℐ_{0} ⟶^{d_{0}} ℐ_{1} ⟶^{d_{1}} ... ⟶^{d_{−n+1}} ℐ_{−n} ⟶ 0,

avec ℐ_{−j} ∈ ℳ_{qc}(X). On considère ℐ_{•} comme un objet de la catégorie dérivée D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(X)), tel que ℐ_{0} se trouve en dégré zéro. Le complexe ℐ_{•} est bien un complexe dualisant de X, et les groupes de Witt cohérents correspondants sont notés W̃^{i}(𝒜, τ, ℒ). Ce groupe est donc le i-ième groupe de Witt de la catégorie dérivée avec dualité (D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)), 𝒟_{ℐ}^{(𝒜,τ)} , 1, ϖ^{ℐ}).

\underline{Le groupe de Witt dérivé usuel :} Comme 𝒜 est une algèbre d’Azumaya, on a 𝒫(𝒜) = 𝒫(X) ∩ ℳ(𝒜). Le foncteur contravariant 𝒟_{ℒ}^{(𝒜,τ)} := \overline{Hom_{𝒪_{X}} ( , ℒ)} est une dualité sur D^{b}(𝒫(𝒜)). On note les groupes de Witt triangulaires de cette catégorie avec dualité W^{i}(𝒜, τ, ℒ). Ce groupe est donc le i-ième groupe de Witt de la catégorie dérivée avec dualité (D^{b}(𝒫(𝒜)), 𝒟_{ℒ}^{(𝒜,τ)} , 1, ϖ^{ℒ} ).

\underline{Le groupe de Witt classique :} Enfin on dispose des groupes de Witt usuels des formes hermitiennes et anti-hermitiennes de l’algèbre à involution (𝒜, τ), W^{+}(𝒜, τ) et W^{−}(𝒜, τ), voir [Kn, I.10.1] ou la section 2.3.3. Ces deux groupes sont donc les groupes de Witt de formes hermitiennes et anti-hermitiennes de la catégorie additive avec dualité (𝒫(𝒜), 𝒟_{𝒜}^{(𝒜,τ)} , ϖ^{𝒜} ).

Maintenant, comme X est de Gorenstein, on a toujours un homomorphisme entre les deux premiers groupes de Witt : W^{i}(𝒜, τ, ℒ) ⟶ W̃^{i}(𝒜, τ, ℒ) qui dépend d’un choix d’un quasi-isomorphisme γ : ℒ ⟶ ℐ_{•}. Si X est régulier, cet homomorphisme est un isomorphisme, cf. [Gil1, 2.10]. De plus, comme 𝒜 est une algèbre d’Azumaya, on peut comparer le deuxième et le troisième groupe de Witt. En effet, on a pour le fibré en droites trivial ℒ = 𝒪_{X} les isomorphismes suivants :

W^{i}(𝒜, τ, 𝒪_{X}) ≈ \{ \begin{matrix}W^{+}(𝒜, τ) & si i ≡ 0  mod 4 ; \\ W^{−}(𝒜, τ) & si i ≡ 2  mod 4. \end{matrix}

voir [Ba2, Th. 4.3]. Pour démontrer ceci on utilise le lemme suivant :

Lemme 5.6. Soit 𝒜 une algèbre d’Azumaya sur X alors il existe un isomorphisme canonique

𝒜 ⟶^{∼} Hom_{𝒪_{X}} (𝒜, 𝒪_{X})

de 𝒜-bimodules.

Démonstration. Considérons la trace réduite Tr : 𝒜 ⟶ 𝒪_{X}. Elle définit une forme quadratique non singulière [Kn, I.7.3.5]

𝒜 × 𝒜 ⟶ 𝒪_{X}

par (x, y) ↦ Tr(xy). Donc l’homomorphisme induit

𝒜 ⟶ Hom_{O_{X}} (𝒜, 𝒪_{X}),

défini par x ↦ Tr_{x} (où Tr_{x}(y) = Tr(xy) pour y ∈ 𝒜), est un isomorphisme. C’est en fait un isomorphisme de 𝒜-bimodules comme Tr(ab) = Tr(ba) pour tout a, b ∈ 𝒜.

Ainsi, on a un isomorphisme

ρ_{ℱ_{•},𝒜} : \overline{Hom_{𝒪_{X}} (ℱ_{•}, 𝒪_{X})} ≃ \overline{Hom_{𝒜} (ℱ_{•}, Hom_{𝒪_{X}} (𝒜, 𝒪_{X}))} ≃ \overline{Hom_{𝒜} (ℱ_{•}, 𝒜)}. (5.1)

pour tout ℱ_{•} ∈ D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)), cf. [Gil1, 2.10].

5.2.3 Construction de la suite spectrale

Soit X un schéma de dimension de Krull finie n, avec un complexe dualisant ℐ_{•}, cf. section 5.2.1. Soit

μ_{ℐ} : X ⟶ ℤ

la fonction codimension correspondante, cf. [Ha, Ch. V]. Quitte à translater le complexe ℐ_{•}, on peut supposer que min(μ_{ℐ}) = 0 et max(μ_{ℐ}) = n. Dans le cas où X est un schéma de Gorenstein, μ_{ℐ} correspond à la codimension usuelle (i.e. on a μ_{ℐ}(x) = p pour x ∈ X si codim_{X}(\overline{\{x\}}) = p). Supposons alors que, pour un certain n ∈ ℤ, ℐ_{•} est de la forme :

ℐ_{0} ⟶ ℐ_{−1} ⟶ ... ⟶ ℐ_{−n} ⟶ 0,

où le terme ℐ_{−i} se situe en degré i. Soit maintenant (𝒜, τ) une 𝒪_{X}-algèbre d’Azumaya à involution de première espèce. On a une filtration finie de D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)) associée à μ_{ℐ}. Notons D_{𝒜,ℐ}^{p} = D_{c}^{b}(ℳ(𝒜))^{(p)} la sous-catégorie pleine de D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)) dont les objets sont des complexes ℱ_{•} tels que μ_{ℐ}(x) ≥ p pour tout x dans le support homologique de ℱ_{•}. On a alors une filtration :

D_{c}^{b}(ℳ(𝒜)) = D_{𝒜,ℐ}^{0} ⊇ D_{𝒜,ℐ}^{1} ⊇ ... ⊇ D_{𝒜,ℐ}^{n−1} ⊇ D_{𝒜,ℐ}^{n} ⊇ (0),  (5.2)

Soit maintenant x ∈ X et 𝒪_{x} l’anneau local en x, et soit dim 𝒪_{x} = p. Notons 𝒜_{x} = 𝒜 ⊗_{𝒪_{X}} 𝒪_{x}. En localisant le complexe ℐ_{•} on obtient un complexe (ℐ_{•})_{x} :

(ℐ_{0})_{x} ⟶ (ℐ_{−1})_{x} ⟶ ... ⟶ (ℐ_{−p})_{x} ⟶ 0,

avec (ℐ_{−i})_{x} en degré i. Comme X est noethérien, 𝒪_{x} est un anneau local noethérien et par conséquent (ℐ_{x})_{•} est un complexe dualisant résiduel, cf. [Gil5, Sect. 1]. Donc E_{x} := (ℐ_{p})_{x} est une enveloppe injective du corps résiduel k(x) de x. Par [Gil1, 4.5] Hom_{𝒪_{x}} ( , E_{x}) est une dualité sur D^{b}(ℳ_{lf}(𝒜_{x})). Les groupes de Witt triangulaires de cette catégorie sont notés W^{i}(ℳ_{lf}(𝒜_{x}), τ_{x}, E_{x}).

Dans [Gil1, 4.1.-4.5.] S. Gille montre que la suite spectrale associée à la filtration 5.2 est de la forme suivante :

Théorème 5.7. Soit X un schéma noethérien et soient ℐ_{•} et (𝒜, τ) comme plus haut. On obtient une suite spectrale :

E_{1}^{s,t}(𝒜, τ, ℐ_{•}) = ⨁_{x∈X^{(s)}} W^{t}(ℳ_{lf}(𝒜_{x}), τ_{x}, E_{x}) ⇒ W̃^{s+t}(𝒜, τ, ℐ_{•})  (5.3)

Remarque 5.8. 1. S’il n’y a pas d’ambigüité par rapport à l’algèbre avec involution (𝒜, τ) et le complexe dualisant ℐ_{•}, on écrit E_{1}^{s,t} au lieu de E_{1}^{s,t}(𝒜, τ, ℐ_{•}).

2. Si ℐ_{•} est une résolution d’un 𝒪_{X}-module localement libre ℒ de rang 1, alors on écrit E_{1}^{s,t}(𝒜, τ, ℒ) au lieu de E_{1}^{s,t}(𝒜, τ, ℐ_{•}).

3. Si X est régulier et si ℐ_{•} est une résolution injective de 𝒪_{X}, le groupe de Witt W^{i}(𝒜, τ, ℐ_{•}) coïncide avec le i-ième groupe de Witt dérivé usuel de (𝒜, τ), considéré en [BP] (cf. lemme 5.6 et autour, et [Gil1, 2.10]).

4. Si X est régulier, 𝒜 = 𝒪_{X}, τ l’involution triviale et ℐ_{•} une résolution injective de 𝒪_{X}, on obtient la suite spectrale construite dans [BW, Th. 7.2] :

E_{1}^{s,t}(𝒪_{X}) = ⨁_{x∈X^{(s)}} W^{t}(ℳ_{lf}(𝒪_{x})) ⇒ W^{s+t}(𝒪_{X}).

où l’on a des isomorphismes W^{t}(ℳ_{lf}(𝒪_{x})) ≃ W^{s+t}(K_{lf}^{b}(𝒫(𝒪_{x}))) pour x ∈ X^{(s)} puisque dans ce cas 𝒪_{x} est un anneau de dimension s.

5. Supposons que X est de Gorenstein maintenant. Alors tout fibré en droites sur X a une résolution injective. On voit que les termes E_{1}^{s,t} sont indépendants du fibré en droites choisi ; ils sont tous (non canoniquement) isomorphes à une somme indexée sur les points x de codimension p de groupes de Witt d’espaces hermitiens ou anti-hermitiens sur (𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}). Plus précisément, les lignes impaires de la suite spectrale sont nulles, les lignes paires 2q sont égales au complexe de Gersten-Witt hermitien

⨁_{x∈X^{(0)}} W^{+}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{0,0}} ⨁_{x∈X^{(1)}} W^{+}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{1,0}} ... ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{n−1,0}} ⨁_{x∈X^{(n)}} W^{+}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶ 0

si q est pair, et au complexe de Gersten-Witt anti-hermitien

⨁_{x∈X^{(0)}} W^{−}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{0,−2}} ⨁_{x∈X^{(1)}} W^{−}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{1,−2}} ... ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{n−1,−2}} ⨁_{x∈X^{(n)}} W^{−}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶ 0

si q est impair. Par contre, les flèches de résidu de cette suite spectrale dépendent du fibré en droites choisi.

5.2.4 La suite spectrale et l’équivalence de Morita

Supposons maintenant que l’on se trouve dans la situation suivante : soit X = Spec R un schéma (noethérien), affine, de Gorenstein, connexe et de dimension de Krull finie n, et soient (A, τ) et (B, ν) deux algèbres d’Azumaya à involutions de première espèce sur X. Soit, de plus, P un A-module fidèlement projectif (cf. définition 2.1) et h : P ⟶^{∼} P^{♯} := \overline{Hom_{A}(P, A)} un (A, τ)-espace ϵ_{0}-hermitien où ϵ_{0} ∈ {±1}.

Soit u : Z ↪ X un sous-schéma fermé de Gorenstein défini par un idéal 𝔞 ⊂ R, i.e. Z = Spec R /𝔞. Notons P_{Z} et h_{Z} les restrictions de P et h à Z. Considérons alors la condition suivante :

Condition 5.9. Le triplet (Z, P_{Z}, h_{Z}) satisfait à :

1. B /𝔞 ≃ End_{A /𝔞}(P_{Z}),

2. ν/𝔞 est l’involution adjointe sur B /𝔞 définie par

(ν/𝔞)(g) := h_{Z}^{−1} ∘ g^{♭} ∘ h_{Z},

où g^{♭} = Hom_{A /𝔞}(g, A /𝔞), voir section 2.3.1.

Notons comme plus haut I_{•} un complexe dualisant de X. On peut supposer qu’il est une résolution injective du R-module R, comme R est de Gorenstein, et qu’il est de la forme :

... ⟶ 0 ⟶ I_{0} ⟶ I_{−1} ⟶ ... ⟶ I_{n} ⟶ 0 ⟶ ...

avec I_{i} en degré i.

Théorème 5.10. Soit p ≤ n. Supposons que pour tout sous-ensemble fini {x_{1}, ..., x_{s}} ⊂ X^{(t)} avec t ≥ p et s ∈ ℕ,

1. le schéma Z_{1,...,s}^{t} := \overline{\{x_{1}\}} ∪ ... ∪ \overline{\{x_{s}\}} avec la structure de sous-schéma réduite induite est de Gorenstein et que

2. le triplet (Z_{1,..,s}^{t}, P_{Z_{1,...,s}}, h_{Z_{1,...,s}}) satisfait à la condition 5.9. Alors, pour tout q ∈ ℤ, le diagramme suivant est commutatif :

⨁_{x∈X^{(p)}} W_{A_{x},τ_{x}}^{q}  ⟶^{d_{1}^{p,q}}  ⨁_{x∈X^{(p+1)}} W_{A_{x},τ_{x}}^{q}  ⟶^{d_{1}^{p+1,q}} ... ⟶^{d_{1}^{n−1,q}}  ⨁_{x∈X^{(n)}} W_{A_{x},τ_{x}}^{q}
↓^{≀}  ↓^{≀}  ^{≀}↓
⨁_{x∈X^{(p)}} W_{B_{x},ν_{x}}^{q+1−ϵ_{0}} ⟶^{d_{1}^{p,q+1−ϵ_{0}}} ⨁_{x∈X^{(p+1)}} W_{B_{x},ν_{x}}^{q+1−ϵ_{0}} ⟶^{d_{1}^{p+1,q+1−ϵ_{0}}} ... ⟶^{d_{1}^{n−1,q+1−ϵ_{0}}} ⨁_{x∈X^{(n)}} W_{B_{x},ν_{x}}^{q+1−ϵ_{0}},

où pour x ∈ X^{(i)}

W_{A_{x},τ_{x}}^{q} := W^{q}(ℳ_{lf}(A_{x}), τ_{x}, E_{x}) et W_{B_{x},ν_{x}}^{q} := W^{q}(ℳ_{lf}(B_{x}), ν_{x}, E_{x})

avec E_{x} = (I_{−i})_{x}. Dans ce diagramme les flèches horizontales sont les différentielles de la suite spectrale E_{1}^{s,t}(A, τ, R) (respectivement E_{1}^{s,t}(B, ν, R)) introduite dans la section 5.2.1 et les flèches verticales sont les homomorphismes induits sur les termes de ces suites spectrales par les foncteurs de dévissage (u_{\overline{\{x\}} ∗}^{A}, η^{A}) (u_{\overline{\{x\}} ∗}^{B}, η^{B}) et le foncteur F_{(\overline{\{x\}},P\overline{\{x\}},h\overline{\{x\}})} pour x ∈ X, où

u\overline{\{x\}} : \overline{\{x\}} ↪ X est l’immersion fermée. Voir l’annexe A pour la définition de ces flèches.

Démonstration. Voir l’annexe A.

Remarque 5.11. La condition que X ou les sous-schémas Z_{1,...,s}^{t} soient de Gorenstein n’est probablement pas nécessaire mais elle facilite les arguments et les notations, voir la remarque A.10. De plus, on n’a besoin de ce théorème que sous la forme énoncée.

5.3 La suite spectrale de S. Gille pour les schémas à involution de deuxième espèce

Cette section expose un cas très particulier de la suite spectrale de S. Gille présentée dans [Gil2]. S. Gille présente une suite spectrale pour une algèbre d’Azumaya A à involution de deuxième espèce sur un schéma régulier, noethérien X de dimension de Krull finie. Dans notre exposition, on se borne au cas où A = 𝒪_{X}, puisque c’est le seul dont on ait besoin.

Convention. Comme dans la section précédente, on suppose dans cette section que tous les schémas sont des ℤ[\frac{1}{2}]-schémas noethériens.

5.3.1 Groupes de Witt cohérents

Soit X un schéma admettant un complexe dualisant ℐ_{•}. Rappelons que ceci veut dire que ℐ_{•} ∈ D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(X)) est un complexe de 𝒪_{X}-modules injectifs et que le morphisme naturel

ϖ_{ℱ}^{ℐ} : ℱ_{•} ⟶ Hom_{𝒪_{X}} (Hom_{𝒪_{X}} (ℱ_{•}, ℐ_{•}), ℐ_{•})

est un quasi-isomorphisme pour tout ℱ_{•} ∈ D_{c}^{b}(ℳ(X)). Observons que tout schéma de Gorenstein (donc en particulier tout schéma régulier) de dimension de Krull finie admet un tel complexe : en fait tout 𝒪_{X}-module localement libre de rang 1 a une résolution injective finie. Un tel ℐ_{•} a alors la propriété que le foncteur

𝒟_{ℐ} : ℱ_{•} ↦ Hom_{𝒪_{X}} (ℱ_{•}, ℐ_{•})

est une dualité 1-exacte sur D_{c}^{b}(ℳ(X)). Supposons maintenant que X est muni d’une involution de deuxième espèce ι (i.e. un automorphisme avec ι^{−1} = ι). Dans ce cas, on peut définir une dualité 1-exacte sur D_{c}^{b}(ℳ(X)) comme suit :

𝒟_{ℐ}^{(𝒪_{𝒳} ,ι)} : ℱ_{•} ↦ \overline{Hom_{𝒪_{X}} (ℱ_{•}, ℐ_{•})}

Observons que le morphisme de double dual ϖ^{ℐ} est dans les deux cas le même. On obtient ainsi une catégorie triangulée avec dualité (D_{c}^{b}(ℳ(X)), 𝒟_{ℐ}^{(𝒪_{X},ι)} , 1, ϖ^{ℐ}) dans le sens de Balmer [Ba1].

Définition 5.12. Les i-èmes groupes de Witt de la catégorie triangulée avec dualité (D_{c}^{b}(ℳ(X)), 𝒟_{ℐ}^{(𝒪_{X},ι)} , 1, ϖ^{ℐ}) sont notés W̃^{i}(𝒪_{X}, ι, ℐ), et ils sont appelés groupes de Witt cohérents.

5.3.2 Comparaison avec groupes de Witt usuels

Soit X maintenant un schéma de Gorenstein de dimension de Krull finie à involution de deuxième espèce ι et soit ℒ un fibré en droites sur X (i.e. un 𝒪_{X}-module localement libre de rang 1). Dans ce cas, on peut construire trois différents “types” de groupes de Witt. Pourtant, sous des hypothèses raisonnables, ces groupes sont tous isomorphes.

\underline{Le groupe de Witt cohérent :} Comme X est de Gorenstein de dimension de Krull finie, ℒ a une résolution injective finie par 𝒪_{X}-modules quasi-cohérents, ℐ_{•} :

ℐ_{0} ⟶^{d_{0}} ℐ_{1} ⟶^{d_{1}} ... ⟶^{d_{−n+1}} ℐ_{−n} ⟶ 0,

avec ℐ_{−j} ∈ ℳ(X). On considère ℐ_{•} comme objet de la catégorie dérivée D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(X)), tel que ℐ_{0} se trouve en dégré zéro. Le complexe ℐ_{•} est bien un complexe dualisant de X, et les groupes de Witt cohérents correspondants sont notés W̃^{i}(𝒪_{𝒳} , ι, ℒ). Ce groupe est donc le i-ième groupe de Witt de la catégorie dérivée avec dualité (D_{c}^{b}(ℳ(X)), 𝒟_{ℐ}^{(𝒪_{X},ι)} , 1, ϖ^{ℐ}).

\underline{Le groupe de Witt dérivé usuel :} Le foncteur contravariant 𝒟_{ℒ}^{(𝒜,τ)} := \overline{Hom_{𝒪_{X}} ( , ℒ)} est une dualité sur D^{b}(𝒫(X)). On note les groupes de Witt triangulaires de cette catégorie avec dualité W^{i}(𝒪_{X}, ι, ℒ). Ce groupe est donc le i-ième groupe de Witt de la catégorie dérivée avec dualité (D^{b}(𝒫(X)), 𝒟_{ℒ}^{(𝒪_{X},ι)} , 1, ϖ^{ℒ} ).

\underline{Le groupe de Witt classique :} Enfin on dispose des groupes de Witt usuels des formes hermitiennes et anti-hermitiennes de l’algèbre à involution (𝒪_{X}, ι), W^{+}(𝒪_{X}, ι) et W^{−}(𝒪_{X}, ι), voir [Kn, I.10.1] ou la section 2.3.3. Ces deux groupes sont donc les groupes de Witt de formes hermitiennes et anti-hermitiennes de la catégorie additive avec dualité (𝒫(X), 𝒟_{𝒪_{X}}^{(𝒪_{X},ι)} , ϖ^{𝒪_{X}} ).

Maintenant, comme X est de Gorenstein, on a toujours un homomorphisme entre les deux premiers groupes de Witt : W^{i}(𝒪_{X}, ι, ℒ) ⟶ W̃^{i}(𝒪_{X}, ι, ℒ) qui dépend d’un choix d’un quasi-isomorphisme γ : ℒ ⟶ ℐ_{•}. Si X est régulier, cet homomorphisme est un isomorphisme, cf. [Gil2, 3.9]. De plus, comme 𝒜 est une algèbre d’Azumaya, on peut comparer le deuxième et le troisième groupe de Witt. On a alors pour le fibré en droites trivial ℒ = 𝒪_{X} les isomorphismes suivants :

W^{i}(𝒪_{X}, ι, 𝒪_{X}) ≈ \{ \begin{matrix}W^{+}(𝒪_{X}, ι) & si i ≡ 0  mod 4 ; \\ W^{−}(𝒪_{X}, ι) & si i ≡ 2  mod 4. \end{matrix}

voir [Ba2, Th. 4.3].

5.3.3 Construction de la suite spectrale

Soit X un schéma de dimension de Krull finie n, admettant un complexe dualisant ℐ_{•}, cf. section 5.3.1. Soit μ_{ℐ} : X ⟶ ℤ la fonction codimension correspondante, cf. [Ha, Ch. V]. Quitte à translater le complexe ℐ_{•}, on peut supposer que min(μ_{ℐ}) = 0 et max(μ_{ℐ}) = n. Dans le cas où X est un schéma de Gorenstein, μ_{ℐ} correspond à la codimension usuelle (i.e. on a μ_{ℐ}(x) = p pour x ∈ X si codim_{X}(\overline{\{x\}}) = p). Supposons alors que, pour un certain n ∈ ℤ, ℐ_{•} est de la forme :

ℐ_{0} ⟶ ℐ_{−1} ⟶ ... ⟶ ℐ_{−n} ⟶ 0,

où le terme ℐ_{−i} se situe en degré i. On a une filtration finie de D_{c}^{b}(ℳ(X)) associée à μ_{ℐ}. Notons D_{X,ℐ}^{p} = D_{c}^{b}(ℳ(X))^{(p)} la sous-catégorie pleine de D_{c}^{b}(ℳ(X)) dont les objets sont des complexes ℱ_{•} tels que μ_{ℐ}(x) ≥ p pour tout x dans le support homologique de ℱ_{•}. On a alors une filtration :

D_{c}^{b}(ℳ(X)) = D_{X,ℐ}^{0} ⊇ D_{X,ℐ}^{m+1} ⊇ ... ⊇ D_{X,ℐ}^{n−1} ⊇ D_{X,ℐ}^{n} ⊇ (0),  (5.4)

Soit maintenant 𝒪_{X} muni d’une involution ι de deuxième espèce. Soit x ∈ X et 𝒪_{x} l’anneau local en x et soit dim 𝒪_{x} = p. Soit Z ⊂ X l’ensemble des points fixes sous ι, i.e. Z := {x ∈ X | ι(x) = x}. On considère cet ensemble comme sous-ensemble de l’espace topologique de X. En localisant le complexe ℐ_{•} on obtient un complexe (ℐ_{x})_{•} :

(ℐ_{0})_{x} ⟶ (ℐ_{−1})_{x} ⟶ ... ⟶ (ℐ_{−p})_{x} ⟶ 0,

avec (ℐ_{0})_{x} en degré 0. Comme X est noethérien, 𝒪_{x} est un anneau local noethérien et par conséquent (ℐ_{x})_{•} est un complexe dualisant résiduel (cf. [Gil5, Sect. 1]). Donc E_{x} := (ℐ_{p})_{x} est une enveloppe injective du corps résiduel k(x) de x. Il est bien connu (cf. [Gil5, Sect. 3]) que Hom_{𝒪_{x}} ( , E_{x}) est une dualité sur D^{b}(ℳ_{lf}(𝒪_{x})). Supposons que x ∈ Z. Dans ce cas, \overline{Hom_{𝒪_{x}} ( , E_{x})} est une dualité sur D^{b}(ℳ_{lf}(𝒪_{x})). Les groupes de Witt triangulaires de cette catégorie sont notés W^{i}(ℳ_{lf}(𝒪_{x}), ι_{x}, E_{x}).

Dans [Gil2, Sect. 5], S. Gille montre que la suite spectrale associée à la filtration 5.2 est de la forme suivante :

Théorème 5.13. Soit X un schéma noethérien à une involution de deuxième espèce ι et soit ℐ_{•} un complexe dualisant avec les mêmes notations que plus haut. On obtient une suite spectrale :

E_{1}^{s,t}(𝒪_{X}, ι, ℐ_{•}) = ⨁_{x∈Z∩X^{(s)}} W^{t}(ℳ_{lf}(𝒪_{x}), ι_{x}, E_{x}) ⇒ W̃^{s+t}(𝒪_{X}, ι, ℐ_{•}). (5.5)

Remarque 5.14. 1. S’il n’y a pas d’ambigüité par rapport à l’algèbre avec

involution ι, on écrit E_{1}^{s,t} au lieu de E_{1}^{s,t}(𝒪_{X}, ι, ℐ_{•}).

2. Si ℐ_{•} est une résolution d’un 𝒪_{X}-module localement libre ℒ de rang 1, alors on écrit E_{1}^{s,t}(𝒪_{X}, ι, ℒ) au lieu de E_{1}^{s,t}(𝒪_{X}, ι, ℐ_{•}).

3. Si X est régulier et si ℐ_{•} est une résolution injective de 𝒪_{X}, le groupe de Witt W^{i}(𝒪_{X}, ι, ℐ_{•}) coïncide avec le i-ième groupe de Witt dérivé usuel de (𝒪_{X}, ι), considéré en [BP] (cf. [Gil2, 3.9]).

5.4. LE CAS C_{N} 51

4. Supposons que X est de Gorenstein maintenant. Alors tout fibré en droites sur X a une résolution injective. En choisissant différentes dualités correspondantes à différents fibrés en droites, on voit que les termes E_{1}^{s,t} ne changent pas ; ils sont tous (non canoniquement) isomorphes à une somme indexée sur les points x de codimension p de groupes de Witt d’espaces hermitiens ou anti-hermitiens sur (k(x), ι_{k(x)}). Plus précisément, les lignes impaires de la suite spectrale sont nulles, les lignes paires 2q sont égales au complexe de Gersten-Witt hermitien

⨁_{x∈Z∩X^{(0)}} W^{+}(k(x), ι_{k(x)}) ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{0,0}} ⨁_{x∈Z∩X^{(1)}} W^{+}(k(x), ι_{k(x)}) ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{1,0}} ... ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{n−1,0}} ⨁_{x∈Z∩X^{(n)}} W^{+}(k(x), τ_{k(x)}) ⟶ 0

si q est pair, et au complexe de Gersten-Witt anti-hermitien

⨁_{x∈Z∩X^{(0)}} W^{−}(k(x), ι_{k(x)}) ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{0,−2}} ⨁_{x∈Z∩X^{(1)}} W^{−}(k(x), ι_{k(x)}) ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{1,−2}} ... ⟶^{(d_{ℒ} )_{1}^{n−1,−2}} ⨁_{x∈Z∩X^{(n)}} W^{−}(k(x), τ_{k(x)}) ⟶ 0

si q est impair.

Par contre, les flèches de résidu de cette suite spectrale dépendent du fibré en droites choisi.

5.4 Le cas C_{n}

Soit G un schéma en groupes semi-simples de type C_{n}, n ≥ 3 sur un anneau R. Le R-schéma en groupes semi-simples simplement connexe et déployé de type C_{n} est Sp_{2n} où pour toute R-algèbre S :

Sp_{2n}(S) = \{x ∈ M_{2n}(S) | x^{t} a_{0} x = a_{0}\}, a_{0} = (\begin{matrix}0 & I_{n} \\ −I_{n} & 0 \end{matrix}) étant la ma-

trice alternée standard.

Son groupe adjoint est PSp_{2n}. Comme tout isomorphisme du R-schéma en groupes Sp_{2n} est intérieur, les R-formes de Sp_{2n} (voire PSp_{2n}), i.e. les schémas en groupes semi-simples sur R de type C_{n} (n ≥ 3) sont classifiés à isomorphisme près par l’ensemble pointé H^{1}(R, PSp_{2n}).

Soit maintenant G une R-forme de Sp_{2n}. Dans le cas où R = k est un corps, il y a une description de G en termes d’algèbres d’Azumaya (i.e. centrales simples dans ce cas) à involutions, due à Weil, voir [We]. En effet, cf. [Kne, Ch. II, 2.4], il existe une algèbre d’Azumaya A sur R avec une involution de type symplectique J (cf. définition 2.21) telle que pour toute R-algèbre S

G(S) = {x ∈ A ⊗_{R} S | xx^{J} = 1}.

De plus, la paire (A, J) est unique à isomorphisme près. On voit sans difficulté que les arguments dans [Kne, Ch. II, 2.4] s’étendent au cas d’un anneau commutatif R [Kn, III.8.5] et que G = Sp(A, J) (cf. section 2.4). On a alors les correspondances bijectives entre les classes :

H^{1}(R, PSp_{2n})

⟷

{R-formes de Sp_{2n}}

⟷

{R-formes de PSp_{2n}}

⟷

{R-algèbres d’Azumaya A de degré 2n, avec involution J de type symplectique}.

Observons maintenant que nous avons un morphisme de suites exactes de R-groupes, i.e. un diagramme commutatif :

1 ⟶ μμ_{2} ⟶ Sp_{2n} ⟶ PSp_{2n} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1 ⟶ μμ_{2n} ⟶ SL_{2n} ⟶ PGL_{2n} ⟶ 1,

où les deux premières flèches verticales sont des inclusions. Ceci entraîne que l’on a le diagramme commutatif :

H^{1}(R, PSp_{2n}) ⟶^{∂} H^{2}(R, μμ_{2})
↓  ↓
H^{1}(R, PGL_{2n}) ⟶ H^{2}(R, μμ_{2n}).

La flèche horizontale de la première ligne associe à la classe d’une algèbre d’Azumaya A avec involution symplectique J, la classe de A dans le groupe de Brauer. La première flèche verticale associe à la classe d’une paire [(A, J)] juste [A], la classe de l’algèbre d’Azumaya sous-jacente.

Supposons maintenant que k est un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Soit R = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}] notre anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k et soit K = k(t_{1}, t_{2}) son corps de fractions.

Donc, comme Pic(R) = 0 par le lemme 3.2, on a pour tout m ≥ 0, m Br(R) ≃ H^{2}(R, μμ_{m}) = ℤ/mℤ. Par conséquent, la flèche verticale à droite dans le diagramme commutatif plus haut est l’inclusion _{2} Br(R) ↪ _{2n} Br(R). Pour démontrer la conjecture A pour G, il suffit par la remarque 3.9(2) de montrer que H^{1}(R, G̃) = 1, où G̃ est le revêtement universel de G. Notons (A, J) l’algèbre d’Azumaya avec involution symplectique correspondante à G̃ par les bijections plus haut.

Vu que la classe de A dans le groupe de Brauer est d’ordre 2 (cf. [Kn, III.8.4]), A est Brauer-équivalente soit à M_{2n}(R), soit à M_{n}(A(1, 2)) = A(n, 2n). Comme n ≥ 3, le théorème 4.8 s’applique et on a le lemme suivant.

Lemme 5.15. Soit (A, J) une algèbre à involution symplectique sur R. Alors on a soit A ≃ M_{2n}(R), soit A ≃ M_{n}(A(1, 2)).

Supposons d’abord A ≃ M_{2n}(R). Selon le théorème 3.3 tout module projectif sur R est libre, donc on a par [Kn, I.4.1.3] que toute involution symplectique J sur A est conjuguée à l’involution symplectique usuelle J_{0} : x ↦ a_{0}^{−1} x^{t} a_{0} (a_{0} étant la matrice alternée standard, voir le début de cette section), i.e. on a (A, J) ≃ (A, J_{0}) comme anneaux à involution. Donc dans ce cas la conjecture A est démontrée, comme le cas déployé a été déjà décrit dans [GP1, Th. 4.18], voir remarque 3.9.

Supposons maintenant que A ≃ M_{n}(A(1, 2)). Notons 𝒬 l’algèbre A(1, 2), dont il est beaucoup fait mention par la suite. Cette algèbre 𝒬 est munie d’une involution standard, appelée conjugaison quaternionique, notée a ↦ σ(a) (ou a ↦ ā) et définie de la façon suivante par descente. Sur l’algèbre des quaternions déployée M_{2}(R) on dispose de l’involution de type symplectique définie par

(\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ↦ (\begin{matrix}d & −b \\ −c & a \end{matrix}) .  (5.6)

Par [Kn, I.1.3.7] cette involution se descend à 𝒬. L’involution σ est l’unique involution de type symplectique sur 𝒬. Elle est aussi l’unique involution standard sur 𝒬, cf. [Kn, I.3.4]. On s’intéresse maintenant à décrire les involutions de type symplectique sur A = M_{n}(𝒬). Par [KMRT, Th. 4.2] les involutions de type symplectique sur A correspondent aux formes hermitiennes régulières de rang n sur l’anneau avec involution (𝒬, σ) à similitude (un facteur de R^{×}) près – bien que ce théorème s’applique au cas où R est un corps, la preuve s’adapte sans difficulté au cas d’un anneau R tel que Pic(R) est sans torsion. Soit P un 𝒬-module fidèlement projectif de rang relatif n ≥ 3. Suivant le corollaire 4.7, P est libre. On a donc la correspondance bijective :

\{ \begin{matrix}involutions J de type symplectique \\ sur End_{𝒬} (P) ≃ M_{n}(𝒬) \end{matrix} \} ⟷ \{ \begin{matrix}formes hermitiennes régulières \\ (P, h) sur (𝒬, σ) à similitude près \end{matrix} \} .

Pour démontrer la trivialité de cet ensemble, il s’agit de voir qu’étant donné M, un 𝒬-module fidèlement projectif de rang relatif n ≥ 3, donc libre, et une forme hermitienne h : M × M ⟶ 𝒬, on a :

– (M, h) ≃ ℌ(𝒬^{n/2}) si n est pair

– (M, h) ≃ ℌ(𝒬^{n−1/2})⊥(M′, h′) où (M′, h′) est un espace hermitien de di-

mension 1 sur 𝒬, si n est impair. Ici ℌ(𝒬^{r}) signifie l’espace hyperbolique de dimension 2r sur 𝒬. Il s’agit alors d’établir que toute forme hermitienne régulière (M, h) sur (𝒬, σ) admet une telle décomposition. On démontre ce résultat en deux étapes. D’abord on calcule le groupe de Witt des formes hermitiennes sur (𝒬, σ) et on établit ensuite une loi de simplification pour ces formes.

Lemme 5.16. Soit X = Spec R et notons σ_{K} = σ ⊗ K.

1. Les (𝒬_{K}, σ_{K})-formes hermitiennes sont classifiées à isométrie près par leur dimension, donc en particulier on a :

W^{+}(𝒬_{K}, σ_{K}) = ℤ/2ℤ

de générateur la classe de (𝒬_{K}, < 1 >).

2. Soit x ∈ X^{(i)} avec i = 1, 2. On a

W^{+}(M_{2}(k(x)), σ_{k(x)}) = 0

où σ_{k(x)} = σ ⊗ k(x).

Démonstration. Montrons la première assertion. L’algèbre quaternionique 𝒬_{K} est l’algèbre à division sur K = k(t_{1}, t_{2}), définie par les relations X^{2} = t_{1}, Y^{2} = t_{2} et XY = −Y X (cf. section 4.1), l’involution σ_{K} étant la conjugaison quaternionique. Soit (M, h) un espace hermitien de rang n sur 𝒬_{K}, i.e. on a une forme hermitienne régulière

h : M × M ⟶ 𝒬_{K} .

En particulier on a pour tout x ∈ M, h(x, x) = σ(h(x, x)) donc h(x, x) ∈ Fix(σ) = K, et M est un K-espace vectoriel de dimension 2n. On sait ([Sch], 10.1, p.352) que h définit une forme quadratique q_{h} : M × M ⟶ K de rang 2n sur K, en posant q_{h}(x) := h(x, x). Cette forme quadratique est appelée la forme trace associée à h; elle est régulière si et seulement si h l’est aussi (loc. cit.). Par [Sch, 10.1.7] deux formes hermitiennes sur (𝒬_{K}, σ_{K}) sont isométriques si et seulement si leurs formes quadratiques associées le sont également. De plus, l’homomorphisme de groupes de Witt

W^{+}(𝒬_{K}, σ_{K}) ⟶ W^{+}(K),

qui associe à la classe d’une forme hermitienne la classe de sa forme trace, est une injection qui a comme image l’idéal engendré par la forme quadratique, norme quaternionique N : 𝒬_{K} ⟶ K, x ↦ xσ(x), i.e. N =< 1, −t_{1}, −t_{2}, t_{1}t_{2} >. Soit maintenant h une forme hermitienne régulière de rang 1 sur (𝒬_{K}, σ_{K}). Par [Kn, I.6.2.4], toute forme hermitienne sur (𝒬_{K}, σ_{K}) possède une base orthogonale, donc h =< u > pour u ∈ Fix(σ)^{×} = K^{×}. Maintenant K est un corps C_{2}, donc la norme quaternionique N associée à la forme hermitienne < 1 >, représente tout élément de K^{×}, i.e. est universelle. Alors αN ≃ N pour tout α ∈ K^{×} et donc q_{<u>} ≃ q_{<1>}. Par [Sch, 10.1.7], h ≃< 1 > et W^{+}(𝒬_{K}, σ_{K}) est engendré par < 1 >. Par ailleurs, comme K est un corps C_{2}, toute forme quadratique de rang au moins 5 est isotrope et alors q_{<1>} ⊥ q_{<1>} est hyperbolique ; alors 2[q_{<1>}] = 0 dans W^{+}(K). Ainsi, l’idéal engendré par la norme quaternionique [N] = [q_{<1>}] ne contient que deux éléments et donc on a W^{+}(𝒬_{K}, σ_{K}) ≃ ℤ/2ℤ. En tenant compte de [Kn, I.6.4.2] (simplification de Witt sur des algèbres à division), ceci entraîne la classification des formes hermitiennes sur 𝒬_{K} et le lemme suit.

Pour montrer la deuxième assertion, nous allons nous servir de la théorie de Morita pour les formes hermitiennes, expliquée dans [Kn, I.9.2]. Soit k′ un des corps k(x), x ∈ X^{(i)} où i = 1, 2. Par le corollaire 2.12, appliqué avec ϵ = −1, on a une équivalence de catégories

Herm^{−}(k′) ⟶^{∼} Herm^{+}(M_{2}(k′), σ_{k′}).  (5.7)

Cette équivalence de catégories entraîne un isomorphisme de groupes de Witt

W^{−}(k′) ⟶^{∼} W^{+}(M_{2}(k′), σ_{k′}).

On a donc W^{+}(M_{2}(k′), σ_{k′}) = W^{−}(k′) = 0, vu que tout k′-espace alterné est hyperbolique (cf. [Kn, I.4.1.2]).

Remarque 5.17. Le lemme 5.16 est aussi une conséquence de [BFP, Th. 5.1.1] qui montre que H^{1}(K, Sp(A_{K}, τ_{K})) = 1 pour A_{K} une algèbre simple centrale sur K à involution symplectique τ_{K}.

Théorème 5.18. On a W^{+}(𝒬, σ) ≃ ℤ/2ℤ de générateur la classe de < 1 >, où σ : 𝒬 ⟶ 𝒬 est l’involution standard définie plus haut (voir (5.6)).

Démonstration. L’idée de la preuve est de comparer les deux suites spectrales suivantes : celle de (5.3) du théorème 5.7 avec X = Spec R, 𝒜 = 𝒬, τ = σ et ℐ_{•} étant une résolution injective de R :

E_{1}^{s,t}(𝒬, σ, R) = ⨁_{x∈X^{(s)}} W^{t}(D^{b}(ℳ_{lf}(𝒬_{x})), σ_{x}, R_{x}) ⇒ W̃^{s+t}(𝒬, σ, R). (5.8)

où pour tout x ∈ X^{(s)},

W^{t}(D^{b}(ℳ_{lf}(𝒬_{x})), σ_{x}, R_{x})

≈ \{ \begin{matrix}W^{+}(𝒬_{k(x)}, σ_{k(x)}) & si t ≡ 0  mod 4 ; \\ W^{−}(𝒬_{k(x)}, σ_{k(x)}) & si t ≡ 2  mod 4 ; \\ 0 & si t est impair, \end{matrix} \}

et ensuite la même suite spectrale avec X = Spec R, 𝒜 = R, τ = id et ℐ_{•} étant une résolution injective de R (voir remarque (5.8(4))) :

E_{1}^{s,t}(R) = ⨁_{x∈X^{(s)}} W^{t}(D^{b}(ℳ_{lf}(R_{x})) ⇒ W^{s+t}(R).  (5.9)

Selon la section 5.2.2, on a un isomorphisme W^{+}(𝒬, σ) ≃ W̃^{0}(𝒬, σ, R). Il s’agit de calculer le terme E^{0}(𝒬, σ, R). Ce groupe admet une filtration dont les quotients successifs sont les E_{∞}^{p,−p}. On observe que déjà sur le deuxième niveau toutes les différentielles de cette suite spectrale sont nulles. Donc on a E_{∞}^{p,−p} = E_{2}^{p,−p} pour tout p ∈ ℤ. La remarque 5.8 indique que ces termes sont nuls si p ≠ 0, 2. On va montrer que E_{2}^{2,−2} = 0 et que E_{2}^{0,0} ≃ ℤ/2ℤ. Dans ce cas, E_{2}^{0,0} est le seul quotient non nul de la filtration de E^{0} et le résultat suit.

Montrons que E_{2}^{2,−2} = 0. Soient x_{1}, ..., x_{m} ∈ X^{(1)}, où m ∈ ℕ. Observons d’abord que le schéma Z_{1,...,m} = \overline{\{x_{1}\}} ∪ ... ∪ \overline{\{x_{n}\}} est de Gorenstein par [Ei, Cor.21.19], comme toute intersection d’idéaux premiers de hauteur 1 dans R est un idéal principal par [Ma, Ch. 20, Rem. 2], donc engendrée par une suite régulière. Ensuite Br(Z_{1,...,m}) = 0 par le théorème 2.5, comme les corps k(x_{1}), ..., k(x_{m}) sont de dimension cohomologique 1. Donc 𝒬_{Z} est l’algèbre d’endomorphismes d’un fibré vectoriel, et en fait une algèbre de matrices, puisque 𝒬 ≃ R^{4} comme R-modules. Soit maintenant P = R^{2} et h_{0} : P × P ⟶ R la forme alternée standard sur R, i.e. h_{0}((x_{1}, x_{2}), (y_{1}, y_{2})) = x_{1}y_{2} − x_{2}y_{1}. Le corollaire 2.12 montre alors que le triplet (Z_{1,...,m}, P_{Z_{1,...,m}}, (h_{0})_{Z_{1,...,m}}) satisfait à la condition 5.9 avec (A, τ) = (R, id) et (B, ν) = (𝒬, σ). On a alors un diagramme commutatif :

E_{1}^{1,0}(R)  E_{1}^{2,0}(R).
∥  ∥
⨁_{x∈X^{(1)}} W^{0}(D^{b}(ℳ_{lf}(R_{x}))  ⟶^{d}  ⨁_{x∈X^{(2)}} W^{0}(D^{b}(ℳ_{lf}(R_{x})).
Morita ≀↓  ↓^{≀ Morita}
⨁_{x∈X^{(1)}} W^{−2}(D^{b}(ℳ_{lf}(𝒬_{x})), σ_{x}, R_{x}) ⟶^{d_{1}^{1,−2}} ⨁_{x∈X^{(2)}} W^{−2}(D^{b}(ℳ_{lf}(𝒬_{x})), σ_{x}, R_{x}) ⟶^{d_{1}^{2,−2}} 0.
∥  ∥
E_{1}^{1,−2}(𝒬, σ, R)  E_{1}^{2,−2}(𝒬, σ, R)

Pour montrer que E_{2}^{2,−2} = 0, il s’agit de montrer que la différentielle d_{1}^{1,−2} est surjective. Par la commutativité du diagramme précédent, il suffit de montrer que la différentielle d est surjective. On sait que coker (d) = E_{2}^{2,0} = W^{2}(R), comme les termes E_{2}^{s,t} tels que s + t = 2 sont tous zéros pour s ≠ 0 et t ≠ 2, cf. l’exposition de la suite spectrale dans [BW]. Mais par la section 5.2.2 on a W^{2}(R) = W^{−}(R). En tenant compte de [Kn, I.4.1.2], tout espace alterné sur R est hyperbolique, donc coker (d) = E_{2}^{0,2} = W^{2}(R) = 0 et d est surjective. Donc on a bien E_{2}^{2,−2} = 0.

Montrons maintenant que E_{2}^{0,0} ≃ ℤ/2ℤ. Observons que ker(d_{1}^{0,0}) = E_{2}^{0,0} où

W^{+}(𝒬_{K}, σ_{K}) ⟶ −^{d_{1}^{0,0}} ⨁_{x∈X^{(1)}} W^{+}(𝒬_{k(x)}, σ_{k(x)}).

Comme E_{2}^{2,−2} = 0, on voit que E_{2}^{0,0} ≃ W^{+}(𝒬, σ) et donc on a une suite exacte

0 ⟶ W^{+}(𝒬, σ) ⟶ W^{+}(𝒬_{K}, σ_{K}) ⟶^{d_{1}^{0,0}} ⨁_{x∈X^{(1)}} W^{+}(𝒬_{k(x)}, σ_{k(x)}).
||  ||
E_{1}^{0,0}  E_{1}^{1,0}

i.e. on a la pureté pour les groupes de Witt de formes hermitiennes^{1} sur R. Comme Br(k(x)) = 0 pour x ∈ X^{(1)}, on a 𝒬_{k(x)} ≃ M_{2}(k(x)). Donc par le

0 ⟶ W^{+}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶ ⨁_{x∈X^{(0)}} W^{+}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶^{d_{1}^{0,0}} ... ⟶^{d_{1}^{n−1,0}} ⨁_{x∈X^{(n)}} W^{+}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶ 0,

dans le terme ⨁_{x∈X^{(0)}} W^{+}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}).

1Pureté pour les groupes de Witt de formes hermitiennes sur une algèbre d’Azumaya 𝒜 à involution de première espèce τ sur un schéma X est l’exactitude du complexe de Gersten-Witt hermitien, i.e. du complexe

lemme 5.16, on a E_{1}^{1,0} = 0. Il suit que W^{+}(𝒬, σ) ≃ W^{+}(𝒬_{K}, σ_{K}). Comme on a W^{+}(𝒬_{K}, σ_{K}) ≃ ℤ/2ℤ par le lemme 5.16, le théorème suit.

Il reste à établir des conditions pour la simplification des (𝒬, σ)-formes hermitiennes.

Théorème 5.19. Soit n ≥ 6. Alors toute forme hermitienne (M, h) sur (𝒬, σ), avec M un 𝒬-module fidèlement projectif de rang relatif n, se décompose :

1. (M, h) ≃ ℌ(𝒬^{r}) si n = 2r est pair,

2. (M, h) ≃ ℌ(𝒬^{r}) ⊥ (𝒬, < 1 >) si n = 2r + 1 est impair.

Démonstration. Supposons que (M, h) est un espace hermitien de rang relatif pair 2r. Comme la preuve est analogue pour le cas où (M, h) est de rang impair, on se limite au cas pair. Supposons que r ≥ 3. Par le théorème 5.18, la classe de (M, h) dans W^{+}(𝒬, σ) est triviale. Par [Kn, I.3.5.4] tout espace hermitien est un facteur direct d’un espace hyperbolique d’un module libre. De plus tout 𝒬-module projectif de rang ≥ 3 est libre par le corollaire 4.7, donc il existe s ≥ 0 tel que

(M, h) ⊥ ℌ(𝒬^{s}) ≃ ℌ(𝒬^{r+s}).  (5.10)

Rappelons que d := dim Spm R = 2 par le lemme 2.14. Puisque r ≥ d + 1 = 3, on peut appliquer le théorème 2.16 pour déduire que

(M, h) ≃ ℌ(𝒬^{r}),

ce qui donne le résultat.

Corollaire 5.20. Supposons que n ≥ 6 et que G est un schéma en groupes semisimples (connexe) de type C_{n} sur R. Soit μμ le noyau du revêtement universel G̃ ⟶ ⟶ G. Alors l’homomorphisme connectant

H^{1}(R, G) ⟶ H^{2}(R, μμ)

est bijectif. En particulier, la conjecture A est vraie pour G.

Démonstration. Soit (A, τ) l’algèbre d’Azumaya à involution symplectique correspondante à G. On va montrer que H^{1}(R, Sp(A, τ)) = 1. Vu que la surjectivité de la flèche H^{1}(R, G) ⟶ H^{2}(R, μμ) est déjà connue, ceci entraîne sa bijectivité. Rappelons la description de l’ensemble H^{1}(R, Sp(A, τ)), donnée dans la proposition 2.29 :

H^{1}(R, Sp(A, τ)) ↔ Sym(A, τ)^{×}(R) / ∼

où Sym(A, τ)^{×}(R) = Sym(A, τ)^{×}, l’ensemble des éléments symétriques inversibles de (A, τ), et où s ∼ s′ ⇔ s = a · s′ · τ(a) pour un certain a ∈ A^{×}.

Soit donc s ∈ Sym(A, τ)^{×}. On veut montrer que s ∼ 1. On sait que τ = int(u) ∘ σ^{t} pour un u ∈ Sym(A, σ^{t})^{×} où σ^{t} désigne l’extension par transposition de l’involution standard σ de 𝒬 à M_{n}(𝒬). Alors σ(u)^{t} = u, et de plus

u^{−1} s = u^{−1} τ(s) = u^{−1} u σ(s)^{t} u^{−1} = σ(s)^{t} u^{−1} = σ(u^{−1} s)^{t}.

Donc u^{−1} s ∈ Sym(A, σ^{t}) et il suit que s définit la forme hermitienne suivante sur (𝒬, σ) :

h : 𝒬^{n} × 𝒬^{n} ⟶ 𝒬, (x, y) ↦ σ(x)^{t} · u^{−1}s · y.

En faisant appel à la classification des formes hermitiennes sur (𝒬, σ) (i.e. les théorèmes 5.18 et 5.19) les formes définies par u^{−1} et u^{−1}s sont isométriques. Il existe alors a ∈ A^{×} tel que u^{−1}s = au^{−1}σ(a)^{t}, donc

s = u a u^{−1}σ(a)^{t} = u a u^{−1}τ(u a u^{−1}),

ce qui montre que s ∼ 1. On a bien montré que H^{1}(R, Sp(A, τ)) est trivial.

5.5 Les autres groupes du type D_{n}

La conjecture A a été démontrée dans la section 4.2, cf. le corollaire 4.13, pour les groupes de spineurs et les groupes spéciaux orthogonaux d’une forme quadratique de rang ≥ 5. Dans cette section on traite le cas des groupes de type D_{n} qui ne sont pas de cette forme.

Soit R un anneau (commutatif) avec Spec R connexe et 2 ∈ R^{×}. Soit G un R-schéma en groupes semi-simples (connexe) de type D_{n}, n ≥ 4. On rappelle que le groupe semi-simple simplement connexe déployé de type D_{n} est Spin_{2n} := Spin(q), le groupe des spineurs associé à la forme quadratique régulière q = ℌ^{n}(R). Le centre de Spin_{2n} est μμ_{4} si n est impair et μμ_{2} × μμ_{2} si n est pair. Le groupe adjoint de Spin_{2n} est PSO_{2n}. Si n est impair, le quotient de Spin_{2n} par son sous-groupe μμ_{2} est le groupe spécial orthogonal SO_{2n}. Pour obtenir SO_{2n} si n est pair, on quotiente Spin_{2n} par son sous-groupe μμ_{2} qui se factorise en μμ_{2} ⟶^{i} μμ_{2} × μμ_{2}, où i(1) = (1, 1), cf. [KMRT, p.375]. De plus, le groupe d’automorphismes de Spin_{2n} (et donc de SO_{2n}) est PO_{2n} := Ad(O_{2n}), le groupe quotient de O_{2n} par son centre. Donc H^{1}(R, PO_{2n}) classifie les Rformes de Spin_{2n}, SO_{2n} ou PSO_{2n} à isomorphisme près.

Soit maintenant G une R-forme de SO_{2n}. Dans le cas où R = k est un corps, il existe une description de G en termes d’algèbres d’Azumaya (i.e. centrales simples dans ce cas) à involutions, due à Weil, voir [We]. En effet, cf. [Kne, Ch. II, 2.4], il existe une algèbre d’Azumaya A sur R avec une involution de type symplectique J (cf. définition 2.21) telle que pour toute R-algèbre S

G(S) = {x ∈ A ⊗_{R} S | xx^{I} = 1 et Nrd(x) = 1}.

De plus, la paire (A, I) est unique à isomorphisme près. On voit sans difficulté que les arguments dans [Kne, Ch. II, 2.4] s’étendent au cas d’un anneau commutatif R [Kn, III.8.5] et que G = SO(A, I) (cf. section 2.4). On a alors les correspondances bijectives entre les classes :

H^{1}(R, PO_{2n})

5.5. LES AUTRES GROUPES DU TYPE D_{N} 59

⟷
{R-formes de Spin_{2n}}
⟷
{R-formes de SO_{2n}}
⟷
{R-formes de PSO_{2n}}
⟷

{R-algèbres d’Azumaya A de degré 2n, avec involution I de type orthogonal}.

Observons maintenant que nous avons un morphisme de suites exactes, i.e. un diagramme commutatif :

1 ⟶ μμ_{2} ⟶ O_{2n} ⟶ PO_{2n} ⟶ 1
↓  ↓  ↓
1 ⟶ 𝔾_{m} ⟶ GL_{2n} ⟶ PGL_{2n} ⟶ 1,

où les deux premières flèches verticales sont des inclusions. Ceci entraîne que l’on a le diagramme commutatif :

H^{1}(R, PO_{2n}) ⟶^{∂} H^{2}(R, μμ_{2})
↓  ↓
H^{1}(R, PGL_{2n}) ⟶ H^{2}(R, 𝔾_{m}).

Supposons que Pic(R) = 0. Alors la flèche horizontale de la première ligne associe à la classe d’une algèbre d’Azumaya A avec involution orthogonale I, la classe de A dans le groupe de Brauer. La première flèche verticale associe à la classe d’une paire [(A, I)] juste [A], la classe de l’algèbre d’Azumaya sousjacente.

Supposons maintenant que k est un corps algébriquement clos de caractéristique zéro. Soit R = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}] notre anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k et soit K = k(t_{1}, t_{2}) son corps de fractions.

Donc, comme on a bien Pic(R) = 0 par le théorème 3.3 la flèche verticale à droite dans le diagramme commutatif plus haut est l’inclusion_{2} Br(R) ↪ Br(R). Pour démontrer la conjecture A pour G, il suffit par la remarque 3.9(2) de montrer que H^{1}(R, G̃) = 1, où G est le revêtement universel de G. Notons (A, I) l’algèbre d’Azumaya avec involution orthogonale correspondante à G̃ par les bijections plus haut.

Vu que la classe de A dans le groupe de Brauer est d’ordre 2 (cf. [Kn, III.8.4]), A est Brauer-équivalente soit à M_{2n}(R), soit à M_{n}(A(1, 2)) = A(n, 2n). Comme n ≥ 4, le théorème 4.8 s’applique et on a le lemme suivant :

Lemme 5.21. Soit (A, I) une algèbre à involution orthogonale sur R. Alors on a soit A ≃ M_{2n}(R), soit A ≃ M_{n}(A(1, 2)).

Supposons d’abord A ≃ M_{2n}(R). Dans ce cas une involution I sur A correspond à une forme quadratique régulière q de rang 2n sur R. Dans ce cas G̃ = Spin(q), le groupe des spineurs d’une R-forme quadratique q de rang ≥ 5, et on a alors H^{1}(R, G̃) = 1 par le corollaire 4.13.

Supposons maintenant que A ≃ M_{n}(A(1, 2)). Notons 𝒬 := A(1, 2) comme dans la section 5.4. Cette algèbre est munie d’une involution standard σ, la conjugaison quaternionique, voir section 5.4. Par [KMRT, Th. 4.2] les involutions de type orthogonal sur A correspondent aux formes anti-hermitiennes régulières de rang n sur l’anneau avec involution (𝒬, σ) à similitude (un facteur de R^{×}) près – comme on l’a déjà remarqué dans le cas des groupes symplectiques, ce théorème s’applique au cas où R est un corps, mais la preuve s’adapte sans difficulté au cas d’un anneau R tel que Pic(R) est sans torsion. Soit P un 𝒬module fidèlement projectif de rang relatif n ≥ 3. Suivant le corollaire 4.7, P est libre. On a donc la correspondance bijective :

\{ \begin{matrix}involutions I de type orthogonal \\ sur End_{𝒬} (P) ≃ M_{n}(𝒬) \end{matrix} \} ⟷ \{ \begin{matrix}formes anti-hermitiennes régulières \\ (P, h) sur (𝒬, σ) à similitude près \end{matrix} \} .

On va calculer d’abord le groupe de Witt des formes anti-hermitiennes sur (𝒬, σ). Pour cela on se sert, comme dans la section précédente, de la suite spectrale (5.3). Ceci nous ramène à considérer les formes anti-hermitiennes sur des algèbres de quaternions sur les corps. Observons que par [Kn, I.6.2.4], tout espace hermitien sur une algèbre à division avec involution non triviale possède une base orthogonale. On utilise librement ce fait par la suite.

Lemme 5.22. Soit X = Spec R et x ∈ X^{(1)}. On a :

W^{−}(M_{2}(k(x)), σ_{k(x)}) = ℤ/2ℤ ⊕ k(x)^{×}/k(x)^{× 2}

où σ_{k(x)} = σ ⊗k(x). Ce groupe est engendré par < 1 > et les espaces < 1, −α >, où α ∈ M_{2}(k(x))^{×} est tel que det(α) ∉ k(x)^{2}.

Démonstration. Comme dans le cas des groupes symplectiques (lemme 5.16), on se sert de la théorie de Morita pour les espaces hermitiens, (cf. aussi [Sch, 10.3, p.361]). Soit donc x ∈ X^{(1)}. Par le corollaire 2.12, appliqué avec ϵ = 1, on obtient une équivalence de catégories

Herm^{+}(k(x)) ⟶^{∼} Herm^{−}(M_{2}(k(x)), σ_{k(x)}).  (5.11)

Cette équivalence des catégories entraîne un isomorphisme des groupes de Witt

W^{+}(k(x)) ⟶^{∼} W^{−}(M_{2}(k(x)), σ_{k(x)}).

On a donc W^{−}(M_{2}(k(x)), σ_{k(x)}) = W^{+}(k(x)) = ℤ/2ℤ ⊕ k(x)^{×}/k(x)^{× 2}, la dernière égalité étant une conséquence de [Sch, Th. 2.3.3], comme k(x) est un corps C_{1}.

Rappelons (cf. section 4.1) que 𝒬 est un R-module libre de base 1, X, Y, XY et que sa structure d’algèbre est définie par les relations :

X^{2} = t_{1}, Y^{2} = t_{2} et Y X = −XY.

Si l’on étend les scalaires à l’anneau S := k[t_{1}^{± \frac{1}{2}} , t_{2}^{± \frac{1}{2}} ] l’algèbre 𝒬 se déploie, donc il existe un plongement

𝒬 ↪ 𝒬 ⊗_{R}S ≃ M_{2}(S)

tel que

X ↦ (\begin{matrix}\sqrt{t_{1}} & 0 \\ 0 & −\sqrt{t_{1}} \end{matrix}) , Y ↦ (\begin{matrix}0 & \sqrt{t_{2}} \\ \sqrt{t_{2}} & 0 \end{matrix}) et XY ↦ (\begin{matrix}0 & \sqrt{t_{1}t_{2}} \\ −\sqrt{t_{1}t_{2}} & 0 \end{matrix}) .

Il est commode d’identifier les éléments X, Y, XY avec ces matrices.

Théorème 5.23. On a W^{−}(𝒬, σ) ≃ ℤ/2ℤ ⊕ R^{×}/R^{× 2} = ℤ/2ℤ ⊕ (ℤ/2ℤ)^{2} de générateurs les classes des formes < X >, < Y > et < XY >, où σ : 𝒬 ⟶ 𝒬 est l’involution standard sur 𝒬, définie plus haut (voir (5.6)).

Démonstration. Comme dans la preuve du théorème 5.18, on utilise la suite spectrale (5.3) de S. Gille avec X = Spec R, 𝒜 = 𝒬, τ = σ et ℒ = R :

E_{1}^{s,t}(𝒬_{K}, σ, R) = ⨁_{x∈X^{(s)}} W^{t}(D^{b}(ℳ_{lf}(𝒬_{x})), σ_{x}, R_{x}) ⇒ W^{s+t}(𝒬, σ, R) (5.12)

où pour tout x ∈ X^{(s)},

W^{t}(D^{b}(ℳ_{lf}(𝒬_{x})), σ_{x}, R_{x})

≈ \{ \begin{matrix}W^{+}(𝒬_{k(x)}, σ_{k(x)}) & si t ≡ 0  mod 4 ; \\ W^{−}(𝒬_{k(x)}, σ_{k(x)}) & si t ≡ 2  mod 4 ; \\ 0 & si t est impair. \end{matrix}

Par la section 5.2.2, on a un isomorphisme W^{−}(𝒬, σ) ≃ W̃^{2}(𝒬, σ, R). Il s’agit de calculer le terme E^{2}(𝒬, σ, R). Ce groupe admet une filtration dont les quotients successifs sont les E_{∞}^{p+2,−p}. On observe que déjà sur le deuxième niveau toutes les différentielles dans cette suite spectrale sont nulles. Donc on a E_{∞}^{p+2,−p} = E_{2}^{p+2,−p} pour tout p ∈ ℤ. Par la remarque 5.8, ces termes sont nuls si p ≠ 0, −2. On va montrer que E_{2}^{2,0} = 0 et que E_{2}^{0,2} ≃ ℤ/2ℤ ⊕ R^{×}/R^{× 2}.

Montrons d’abord que E_{2}^{2,0} = 0. Les différentielles suivantes font partie de la ligne t = 0 de la suite spectrale :

⨁_{x∈X^{(1)}} W^{+}(M_{2}(k(x)), σ_{k(x)}) ⟶^{d_{1}^{1,0}} ⨁_{x∈X^{(2)}} W^{+}(M_{2}(k(x)), σ_{k(x)}) ⟶^{d_{1}^{2,0}} 0.
||  ||
E_{1}^{1,0}  E_{1}^{2,0}

On a coker(d_{1}^{1,0}) = E_{2}^{2,0}. Mais pour x ∈ X^{(2)},

W^{+}(M_{2}(k(x)), σ_{k(x)}) ≃ W^{−}(k(x)) = 0

par le lemme 5.16, donc on a bien E_{2}^{0,2} = 0.

Montrons maintenant que E_{2}^{0,2} ≃ ℤ/2ℤ ⊕ R^{×}/R^{× 2}. Observons que ker(d_{1}^{0,2}) = E_{2}^{0,2} où

W^{−}(𝒬_{K}, σ_{K}) ⟶ −^{d_{1}^{0,2}} ⨁_{x∈X^{(1)}} W^{−}(𝒬_{k(x)}, σ_{k(x)}).

Comme E_{2}^{2,0} = 0, on voit que E_{2}^{0,2} ≃ W^{−}(𝒬, σ) et, comme dans la preuve du théorème 5.18, on a donc une suite exacte

0 ⟶ W^{−}(𝒬, σ) ⟶^{d} W^{−}(𝒬_{K}, σ_{K}) ⟶^{d_{1}^{0,2}} ⨁_{x∈X^{(1)}} W^{−}(𝒬_{k(x)}, σ_{k(x)}), (∗)
||  ||
E_{1}^{0,2}  E_{1}^{1,2}

i.e. on a aussi la pureté pour les groupes de Witt de formes anti-hermitiennes^{2} sur R. Pour x ∈ X^{(1)}, Br(k(x)) = 0 donc 𝒬_{k(x)} est déployée. Par le lemme 5.22, E_{1}^{1,2} est égal à une somme directe de copies de ℤ/2ℤ ⊕ k(x)^{×}/k(x)^{× 2} sur les points de codimension 1.

Donnons une description explicite de la flèche de résidu d_{1}^{0,2}. Elle se décompose en composantes

d_{1}^{0,2} = ⨁_{x∈X^{(1)}} ∂_{x},

dont la “x-composante” est

W^{−}(𝒬_{K}, σ_{K}) ⟶^{∂_{x}} W^{−}(M_{2}(k(x)), σ_{k(x)}).

Comme R est un anneau régulier, R_{x} est un anneau de valuation discrète pour x ∈ X^{(1)}. Par [Gil5, Prop. 6.5] et [Gil1, Sect. 6.3] on peut choisir une uniformisante π_{x} telle que ∂_{x} = ∂_{x}^{π_{x}}, une deuxième flèche de résidu définie comme suit :

Tout espace anti-hermitien sur (𝒬_{K}, σ_{K}) est isométrique à un espace diagonal de la forme < α_{1}, ..., α_{n} > + < π_{x}β_{1}, ..., π_{x}β_{m} > avec α, β ∈ 𝒬_{R_{x}}^{×}. On définit

∂_{x}^{π_{x}} : [< α_{1}, ..., α_{n} > + < π_{x}β_{1}, ..., π_{x}β_{m} >] ↦ [< \overline{β_{1}}, ..., \overline{β_{m}} >]

0 ⟶ W^{−}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶ ⨁_{x∈X^{(0)}} W^{−}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶^{d_{1}^{0,−2}} ... ⟶^{d_{1}^{n−1,−2}} ⨁_{x∈X^{(n)}} W^{−}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}) ⟶ 0,

dans le terme ⨁_{x∈X^{(0)}} W^{−}(𝒜_{k(x)}, τ_{k(x)}).

2Pureté pour les groupes de Witt de formes anti-hermitiennes sur une algèbre d’Azumaya 𝒜 à involution de première espèce τ sur un schéma X est l’exactitude du complexe de Gersten-Witt anti-hermitien, i.e. du complexe

où pour β ∈ 𝒬_{R_{x}}, \overline{β} est la réduction de β modulo (π_{x}).

Il s’agit maintenant de comprendre le noyau de la flèche d_{1}^{0,2}. Observons que si h est une (𝒬, σ)-forme anti-hermitienne, son invariant de Clifford c(h) est zéro, comme c(h) ∈ _{2} Br(R)/ 𝒬 = 0, cf. [BFP, Sect. 2.1, Clifford Invariant]. La (𝒬_{K}, σ_{K})-forme h_{K} = h⊗_{R} K est déterminée par son dimension et discriminant. L’image de W^{−}(𝒬, σ) dans W^{−}(𝒬_{K}, σ_{K}) est donc engendrée par les classes des espaces de la forme < γ >, γ ∈ 𝒬_{K}^{×} de norme réduite non triviale. La suite exacte (∗) montre alors que le noyau de d_{1}^{0,2} est également engendré par les classes d’espaces de cette forme.

Maintenant, l’image de [< γ >] par ∂_{x} est triviale si et seulement si γ n’est pas contenu dans l’idéal engendré par π_{x} dans 𝒬_{R_{x}}. Donc, pour que l’image de [< γ >] par d_{1}^{0,2} soit triviale, il faut que γ ne soit contenu dans aucun idéal de la forme π_{x} 𝒬, i.e. γ ∈ 𝒬^{×}. Il suit que le noyau de d_{1}^{0,2} est engendré par < X >, < Y > et < XY >, donc E_{2}^{0,2} = ker(d_{1}^{0,2}) = ℤ/2ℤ ⊕ R^{×}/R^{× 2} = ℤ/2ℤ ⊕ (ℤ/2ℤ)^{2} et la preuve du théorème est terminée.

Il reste à établir des conditions pour la simplification des (𝒬, σ)-formes antihermitiennes.

Théorème 5.24. Soit n ≥ 8. Soit (M, h) un espace anti-hermitien sur (𝒬, σ) de rang relatif pair n = 2r. Alors (M, h) se décompose :

– (M, h) ≃ ℌ(𝒬^{r}) si disc(M, h) = 1 mod R^{×}/R^{× 2},

– (M, h) ≃ (𝒬^{2}, < XY, Y >) ⊥ ℌ(𝒬^{r−1}) si disc(M, h) = t_{1} mod R^{×}/R^{× 2},

– (M, h) ≃ (𝒬^{2}, < X, XY >) ⊥ ℌ(𝒬^{r−1}) si disc(M, h) = t_{2} mod R^{×}/R^{× 2} et

– (M, h) ≃ (𝒬^{2}, < X, Y >) ⊥ ℌ(𝒬^{r−1}) si disc(M, h) = t_{1}t_{2} mod R^{×}/R^{× 2}.

Si (M, h) est un espace anti-hermitien sur (𝒬, σ) de rang relatif impair n = 2r + 1. Alors (M, h) se décompose :

– (M, h) ≃ (𝒬^{3}, < X, Y, XY >) ⊥ ℌ(𝒬^{r−1}) si disc(M, h) = 1 mod R^{×}/R^{× 2},

– (M, h) ≃ (𝒬, < X >) ⊥ ℌ(𝒬^{r}) si disc(M, h) = t_{1} mod R^{×}/R^{× 2},

– (M, h) ≃ (𝒬, < Y >) ⊥ ℌ(𝒬^{r}) si disc(M, h) = t_{2} mod R^{×}/R^{× 2} et

– (M, h) ≃ (𝒬, < XY >) ⊥ ℌ(𝒬^{r}) si disc(M, h) = t_{1}t_{2} mod R^{×}/R^{× 2}.

Démonstration. Comme les preuves sont toutes analogues, on se limite au cas où (M, h) est de rang relatif pair n = 2r et de discriminant t_{1}t_{2}. Supposons que r ≥ 4. Par le théorème 5.23, la classe de (M, h) dans W^{+}(𝒬, σ) est [< X, Y >]. Par [Kn, I.3.5.4] tout espace hermitien est un facteur direct d’un espace hyperbolique d’un module libre. De plus, tout 𝒬-module projectif de rang ≥ 3 est libre par le corollaire 4.7, donc il existe s ≥ 0 tel que

(M, h) ⊥ ℌ(𝒬^{s}) ≃ (𝒬^{2}, < X, Y >) ⊥ ℌ(𝒬^{r−1+s}).  (5.13)

Rappelons que d := dim Spm R = 2 par le lemme 2.14. Puisque r−1 ≥ d+1 = 3, on peut appliquer le théorème 2.16 pour déduire que

(M, h) ≃ (𝒬^{2}, < X, Y >) ⊥ ℌ(𝒬^{r−1}).

Observons que si M est de rang relatif pair n = 2r et de discriminant trivial ou de rang relatif impair n = 2r + 1 et de discriminant non trivial, il suffit que r ≥ 3.

Ce théorème nous dit que les formes anti-hermitiennes sur (𝒬, σ) sont classifiées par leur dimension et leur discriminant si n ≥ 8.

Avant de procéder, faisons quelques rappels sur le groupe fondamental (voir e.g. [Mi, I.5]). Soit X un schéma connexe et \overline{x} ⟶ X un point géométrique. Pour Y, un revêtement étale fini de X, on note Aut_{X}(Y) le groupe de Xautomorphismes de Y. Observons que l’ensemble Hom_{X}(\overline{x}, Y) dispose d’une action naturelle à gauche de Aut_{X}(Y) et si Y est connexe, cette action est fidèle, i.e. pour tout g ∈ Hom_{X}(\overline{x}, Y), le morphisme

Aut_{X}(Y) ⟶ Hom_{X}(\overline{x}, Y)

donné par

σ ↦ σ ∘ g

est injectif. Si Y est connexe et l’action de Aut_{X}(Y) est transitive sur Hom_{X}(\overline{x}, Y) (donc le morphisme σ ↦ σ ∘ g est bijectif), alors le revêtement est dit galoisien. On définit alors le groupe fondamental de (X, \overline{x}) comme la limite projective

π_{1}(X, \overline{x}) = lim_{⟵} Aut_{X}(X_{i}),

où la limite projective est prise sur tous les revêtements X_{i}/X qui sont galoisiens. Si l’on ne prend la limite projective que sur les revêtements X_{i}/X tels que Aut_{X}(X_{i}) est abélien on obtient le groupe fondamental abélianisé π_{1}(X, \overline{x})_{ab}. Supposons maintenant que X est un T -schéma muni d’une section e_{X} : T ⟶ X (par exemple X est un T -schéma en groupes et e_{X} est sa section identité). Si l’on ne prend la limite projective que sur les revêtements galoisiens (resp. galoisiens abéliens) X_{i} ⟶^{f_{i}} X tels que X_{i} possède également une section e_{X_{i}} : T ⟶ X_{i} pour laquelle on a f_{i} ∘ e_{X_{i}} = e_{X}, on obtient le groupe fondamental pointé π̃_{1}(X, \overline{x}) (resp. le groupe fondamental pointé, abélianisé π̃_{1}(X, \overline{x})_{ab}).

Observons que si \overline{x}′ ⟶ X est un autre point géométrique, alors π_{1}(X, \overline{x}′) (resp. π_{1}(X, \overline{x}′)_{ab}, π̃_{1}(X, \overline{x}′), π̃_{1}(X, \overline{x}′)_{ab}) est isomorphe à π_{1}(X, \overline{x}) (resp. π_{1}(X, \overline{x})_{ab}, π̃_{1}(X, \overline{x}), π̃_{1}(X, \overline{x})_{ab}) et cet isomorphisme est déterminé canoniquement à un isomorphisme intérieur de π_{1}(X, \overline{x}) (resp. π_{1}(X, \overline{x})_{ab}, π̃_{1}(X, \overline{x}), π̃_{1}(X, \overline{x})_{ab}) près. On utilise donc dans ce qui suit les notations π_{1}(X, ∗), π_{1}(X, ∗)_{ab}, π̃_{1}(X, ∗) et π̃_{1}(X, ∗)_{ab} au lieu de π_{1}(X, \overline{x}), π_{1}(X, \overline{x})_{ab}, π̃_{1}(X, \overline{x}) et π̃_{1}(X, \overline{x})_{ab}.

Introduisons maintenant la suite de Hochschild-Serre pour la cohomologie réduite, que l’on utilise dans le lemme suivant. Soit L un corps, L_{sép} une clôture séparable de L et notons Γ_{L} le groupe de Galois absolu de L. Soit G un Lgroupe algébrique. Ensuite, supposons que n est premier à la caractéristique de L et notons H̃^{q}(G, μμ_{n}) le q-ième groupe de cohomologie étale réduite de G à coefficients dans μμ_{n} (voir e.g. [Me, sect. 3.2]). On obtient alors une suite spectrale

E_{2}^{p,q} = H^{p}(Γ_{L}, H̃^{q}(G_{L_{sép}}, μμ_{n})) ⇒ H̃^{p+q}(G, μμ_{n}),  (5.14)

voir e.g. loc. cit. ou [Mi, Ch. III, Th. 2.20], appelée la suite spectrale de Hochschild-Serre pour la cohomologie réduite.

Lemme 5.25. Soit h une (𝒬, σ)-forme anti-hermitienne ou une R-forme quadratique de rang pair.

1. Tout revêtement fini, étale, abélien et pointé de SO(h) admet soit une section, soit est isomorphe à Spin(h), i.e.

π̃_{1}(SO(h), ∗)_{ab} ≃ ℤ/2ℤ.

2. Soit h′ un autre telle forme, alors l’homomorphisme naturel

π̃_{1}(SO(h ⊥ h′), ∗)_{ab} ⟶ π̃_{1}(SO(h), ∗)_{ab}

est un isomorphisme.

Démonstration. Prouvons la première assertion. Soit \overline{K} une clôture séparable (donc également algébrique) de K. Considérons les schémas

SO(h)_{K} := SO(h) ×_{R} K et SO(h)\overline{K} := SO(h) ×_{R} \overline{K}.

On démontre le lemme à l’aide de la suite spectrale de Hochschild-Serre pour la cohomologie réduite (5.14), avec L = K et G = SO(h)_{K}, i.e. on obtient

E_{2}^{p,q} = H^{p}(Γ_{K}, H̃^{q}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n})) ⇒ H̃^{p+q}(SO(h)_{K}, μμ_{n}),

où Γ_{K} désigne le groupe de Galois absolu de K. Les premiers termes de la suite spectrale fournissent une suite exacte (e.g. [Mi, App. B, Th. 1]) :

0 ⟶ H^{1}(Γ_{K}, H̃^{0}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n})) ⟶ H̃^{1}(SO(h)_{K}, μμ_{n}) ⟶
H^{0}(Γ_{K}, H̃^{1}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n})) ⟶ H^{2}(Γ_{K}, H̃^{0}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n})).

Mais comme SO(h)\overline{K} est connexe, on a H̃^{0}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n}) = 1. Il suit que

H̃^{1}(SO(h)_{K}, μμ_{n}) ≃ H^{0}(K, H̃^{1}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n})) = H̃^{1}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n})^{Γ_{K}} ,

L’ensemble H̃^{1}(SO(h)_{K}, μμ_{n}) est alors invariant sous le groupe de Galois Γ_{K}, donc

H̃^{1}(SO(h)_{K}, μμ_{n}) ≃ H̃^{1}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n}).

En utilisant la suite exacte de Kummer et [Ro, Th. 3], on obtient (cf. [Me, sect. 3.2, suite (4)]) une suite exacte

1 ⟶ SO(h)∗ ; \overline{K}/ SO(h)∗ n ; \overline{K} ⟶ H̃^{1}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n}) ⟶_{n} Pic(G) ⟶ 1

pour la cohomologie réduite (où pour un corps L et un L-groupe G, G^{∗} = Hom_{L−gr.}(G, 𝔾_{m}) est le groupe de caractères de G sur L). Par [Sa, lemme 6.9 (iii)], on a Pic(SO(h)\overline{K}) ≃ ℤ/2ℤ. Donc, comme SO(h)\overline{K} est semi-simple on a alors

H̃^{1}(SO(h)_{K}, μμ_{n}) ≃ H̃^{1}(SO(h)\overline{K}, μμ_{n}) = \{ \begin{matrix}0 & si n est impair ; \\ ℤ/2ℤ & si n est pair ; \end{matrix}

Maintenant, comme R est connexe et lisse sur k on a une injection

H̃^{1}(SO(h), μμ_{n}) ↪ H̃^{1}(SO(h)_{K}, μμ_{n}).

Donc cette injection est en fait une bijection et la première partie est prouvée.

Montrons la deuxième assertion. Il suffit de démontrer ceci sur \overline{K} dans le cas déployé et pour h′ ≃< 1 > une forme quadratique de rang 1 sur R. Il s’agit de montrer que le diagramme

Spin_{n,\overline{K}} ⟶ Spin_{n+1,\overline{K}}
↓  ↓
SO_{n,\overline{K}} ⟶ SO_{n+1,\overline{K}}

avec les flèches évidentes est cartésien. Mais ceci est une conséquence de l’isomorphisme

Spin_{n+1,\overline{K}} / Spin_{n,\overline{K}} ≃ SO_{n+1,\overline{K}} / SO_{n,\overline{K}},

voir [Kne, p.74].

Lemme 5.26. Supposons que (M, h) est un espace anti-hermitien isotrope de rang relatif n sur (𝒬, σ). Alors la norme spinorielle

N_{h} : SO(h)(R) ⟶ H^{1}(R, μμ_{2}) ≃ R^{×}/R^{× 2}

est surjective.

Démonstration. Soit h une forme anti-hermitienne isotrope sur (𝒬, σ). Donc h possède une décomposition h ≃ h′ ⊥ h′′, avec h′ ≃ ℌ(𝒬) hyperbolique. Le sous-groupe de SO(h) des éléments qui fixent l’espace h′′ est isomorphe au groupe SO(h′). La propriété du revêtement universel pointé produit une flèche φ : Spin(h′) ⟶ Spin(h) d’ensembles pointés et un diagramme commutatif :

Spin(h′) ⟶^{p′} SO(h′)
φ↓  ↓
Spin(h) ⟶^{p} SO(h).

Comme Spin(h′) est connexe et π̃_{1}(SO(h′), ∗)_{ab} ≃ π̃_{1}(SO(h), ∗)_{ab} ≃ ℤ/2ℤ par le lemme 5.25, ce diagramme est cartésien. Pour vérifier que φ est un homomorphisme de groupe, on considère la flèche suivante

m : Spin(h′) × Spin(h) ⟶ Spin(h),

(x, y) ↦ φ(x)^{−1}φ(xy)φ(y)^{−1}.

La composition p∘φ étant un morphisme de R-groupes, il suit que Im(m) ⊂ μμ_{2}. Mais Spin(h′) est connexe et donc n’a pas de quotient fini étale. Il suit que m est la flèche triviale et alors φ est bien un homomorphisme de groupes. De plus, comme φ est une immersion fermée, elle induit un isomorphisme sur les centres, on a donc un diagramme commutatif :

1 ⟶ μμ_{2}(R) ⟶ Spin(h′)(R) ⟶ SO(h′)(R) ⟶^{N_{h′}} H^{1}(R, μμ_{2})
∥  ^{φ}↓  ↓  ∥
1 ⟶ μμ_{2}(R) ⟶ Spin(h)(R) ⟶ SO(h)(R) ⟶^{N_{h}} H^{1}(R, μμ_{2}).

Ainsi, si N_{h′} est surjective alors il en est de même pour N_{h}. Il suffit alors de montrer le lemme pour la forme hyperbolique h′ = ℌ(𝒬). Pour le reste de la preuve raisonnons en termes d’algèbres à involutions. Soit donc (A, τ), (A ≃ M_{2}(𝒬)), l’algèbre à involution correspondante à h′.

Notons C l’algèbre de Clifford de (A, τ) et soit σ son involution canonique dans le sens de [KMRT, 8.B]^{3}. Donc (C_{K}, σ_{K}), où C_{K} = C ⊗_{R} K et σ_{K} = σ ⊗_{R} K, est l’algèbre de Clifford de (A_{K}, τ_{K}) avec son involution canonique. Par [KMRT, 8.10 et 8.12], C_{K} est une K × K-algèbre quaternionique et σ_{K} est son involution standard symplectique qui est la conjugaison quaternionique. Il suit que (C, σ) est une R × R-algèbre quaternionique et que σ est aussi la conjugaison quaternionique. Sa norme réduite Nrd_{C} : C^{×} ⟶ R^{×} × R^{×} est alors donnée par x ↦ xσ(x).

Soit Γ(A, τ) le R-schéma en groupes de Clifford de (A, τ)^{4}. Ses R-points peuvent être caractérisés par Γ(A, τ)(R) = {x ∈ C^{×} | xσ(x) ∈ R^{×}}, cf. [KMRT, 15.10]. La norme spinorielle N_{h′} est alors l’homorphisme qui fait commuter le diagramme suivant, cf. [KMRT, 13.30] :

1 ⟶ 𝔾_{m}(R) ⟶ Γ(A, τ)(R) ⟶ SO(h′)(R) ⟶ 1
·2↓  ↓^{Nrd_{C} |_{Γ(A,τ)(R)}}  ↓^{N}_{h′}
1 ⟶ R^{× 2} ⟶  R^{×}  ⟶ R^{×}/R^{× 2} ⟶ 1.

La R × R-algèbre quaternionique C est une produit de deux R-algèbres quaternioniques Q_{1} et Q_{2}. On a Nrd_{C}(Γ(A, τ)(R)) = Nrd_{Q_{1}}(Q_{1}^{×}) ∩ Nrd_{Q_{2}}(Q_{2}^{×}), où Nrd_{Q_{i}} : Q_{i}^{×} ⟶ R^{×} désigne la norme réduite de la R-algèbre quaternionique Q_{i}, pour i = 1, 2. Par [GP1, Lem. 2.10], les normes réduites Nrd_{1} et Nrd_{2} sont surjectives, donc Nrd_{C}(Γ(A, τ)(R)) = R^{×}. Il suit que la norme spinorielle N_{h′} est également surjective et le lemme en résulte.

3Dans [KMRT, 8.B] se trouve une construction d’une algèbre de Clifford à involution pour une algèbre simple centrale à involution de type orthogonal. On voit sans difficulté que cette construction s’étend au cas d’une algèbre séparable centrale sur un anneau commutatif.

4Comme plus haut, ce schéma est défini dans [KMRT, 23.B] pour le cas d’un corps de base, mais il peut être défini plus générellement sur un anneau commutatif comme base. La même remarque vaut pour les références suivantes à [KMRT] : bien que les énoncés soient formulés pour un corps de base, ils s’étendent au cas d’un anneau de base.

Théorème 5.27. Supposons que n ≥ 8 et que G̃ est un schéma en groupes semi-simples simplement connexe de type D_{n} sur R. Alors

H^{1}(R, G̃) = 1.

Démonstration. Soit (A, τ) l’algèbre à involution telle que G̃ = Spin(A, τ). Si A est déployée (donc une algèbre de matrices), G̃ = Spin(q) est le groupe des spineurs d’une forme quadratique et alors le théorème suit du corollaire 4.12. Supposons donc que A ≃ M_{n}(𝒬). La suite exacte courte

1 ⟶ μμ_{2} ⟶ Spin(A, τ) ⟶ SO(A, τ) ⟶ 1

induit une suite exacte longue

1 ⟶ μμ_{2}(R) ⟶ Spin(A, τ)(R) ⟶ SO(A, τ)(R) ⟶^{N} H^{1}(R, μμ_{2}) ⟶

H^{1}(R, Spin(A, τ)) ⟶ H^{1}(R, SO(A, τ)) ⟶^{∂} H^{2}(R, μμ_{2}).

La flèche N signifie la norme spinorielle, qui est surjective par le lemme 5.26, comme par le théorème 5.24 tout espace hermitien de rang ≥ 8 est isotrope. Pour montrer le théorème il s’agit alors de montrer que la flèche ∂ est injective. Pour cela on rappelle la description de l’ensemble H^{1}(R, SO(A, τ)) donnée dans la proposition 2.34 :

H^{1}(R, SO(A, τ)) ↔ SSym(A, τ)^{×}(R)/ ≈

où

SSym(A, τ)^{×}(R) = {(s, z) ∈ Sym(A, τ)^{×}(R) × R^{×} | Nrd_{A}(s) = z^{2}}.

et (s, z) ≈ (s′, z′) ⇔ s = a·s′ ·τ(a) et z = Nrd_{A}(a)·z′ pour un certain a ∈ A^{×}.

Soit (s, z) donc un tel couple. On veut montrer que (s, z) ≈ (1, z). On sait que τ = int(u) ∘ σ^{t} pour un u ∈ Skew(A, σ^{t})^{×} où σ^{t} désigne l’extension par transposition de l’involution standard σ de 𝒬 à M_{n}(𝒬). Donc σ(u)^{t} = −u. De plus

u^{−1} s = u^{−1} τ(s) = u^{−1} u σ(s)^{t} u^{−1} = σ(s)^{t} u^{−1} = −σ(u^{−1} s)^{t}.

Donc u^{−1} s ∈ Skew(A, σ^{t}) et s définit alors la forme anti-hermitienne suivante sur (𝒬, σ) :

h : 𝒬^{n} × 𝒬^{n} ⟶ 𝒬, (x, y) ↦ σ(x)^{t} · u^{−1}s · y.

Comme Nrd(s) = z^{2}, il suit que Nrd(u^{−1}s) = Nrd(u^{−1}) mod (R^{×})^{2}. Donc, par la classification (les théorèmes 5.23 et 5.24) les formes définies par u^{−1} et u^{−1}s sont isométriques. Il existe alors a ∈ A^{×} tel que u^{−1}s = au^{−1}σ(a)^{t}, donc

s = u a u^{−1}σ(a)^{t} = u a u^{−1}τ(u a u^{−1}),

ce qui montre que l’on a bien (s, z) ≈ (1, z).

Il suit que soit z = 1, soit z = −1. Il reste donc à considérer les deux éléments (1, 1) et (1, −1). Mais si (1, 1) ≈ (1, −1), il existe alors un a ∈ A^{×} tel que a τ(a) = 1 et Nrd(a) = −1. Ainsi, A ⊗_{R} K admet une isométrie impropre, voir [KMRT, 12.24]. Ceci entraîne que A ⊗_{R} K est déployée par [Kne, Ch.III, Lem. 1.b], ce qui est une contradiction. On a donc bien H^{1}(R, SO(A, τ)) = {(1, 1), (1, −1)}. Finalement, observons que ∂ est surjective par la remarque 3.9, donc le théorème en résulte.

Corollaire 5.28. Supposons que n ≥ 8 et que G est un schéma en groupes semisimples (connexe) de type D_{n} sur R. Soit μμ le noyau du revêtement universel G̃ ⟶ ⟶ G. Alors l’homomorphisme connectant

H^{1}(R, G) ⟶ H^{2}(R, μμ)

est bijectif. En particulier, la conjecture A est vraie pour G.

Démonstration. Ceci est une conséquence immédiate du théorème 5.27 et de la remarque 3.9.

5.6 Le cas ^{2}A_{n−1}

Comme d’habitude R désigne un anneau commutatif et k un corps commutatif.

Dans la section 4.1 on a traité le cas d’un schéma en groupes semi-simples sur R de type A_{n−1} intérieur (type ^{1}A_{n−1}). Dans cette section on s’occupe du cas d’un schéma en groupes semi-simples de type extérieur, i.e. de type ^{2}A_{n−1}.

Supposons que G est un schéma en groupes semi-simples sur R de type A_{n−1} (intérieur ou extérieur) avec n ≥ 2. Supposons d’abord que R = k est un corps. Dans ce cas, il est bien connu que l’on peut décrire G en termes d’algèbres à involutions, voir [We]. En effet, comme il est décrit dans [Kne, Ch. II, 2.4], il existe une extension quadratique k′ de k et une algèbre simple centrale A sur k′ à une involution de deuxième espèce I (cf. section 2.3) telle que pour toute k-algèbre T

G̃(T) = {x ∈ A ⊗_{k} T | xx^{I} = 1, Nrd_{A}(x) = 1}.

De plus, la paire (A, I) est unique à isomorphisme près. On voit sans difficulté que les arguments dans [Kne, Ch. II, 2.4] s’étendent au cas d’un anneau commutatif R (cf. [Kn, III.8.5]). On a ainsi les correspondances bijectives entre les classes :

{R-formes de G}

⟷

{R-formes de G̃}

⟷

{S-algèbres d’Azumaya A de degré n − 1 à involution I de deuxième espèce où S est une extension étale quadratique de R}.

Dans ces ensembles sont contenues les formes intérieures et extérieures de G. En particulier, si G = PGL_{n−1} est déployé, ces ensembles contiennent les groupes de type ^{1}A_{n−1} et les groupes de type ^{2}A_{n−1}. Soit (A, S, I) le triplet d’une algèbre d’Azumaya A à involution de deuxième espèce I sur une extension étale quadratique S de R correspondante à G. Si S = R ×R, G est de type 1A_{n−1}, sinon G est de type ^{2}A_{n−1} (cf. [KMRT, 29.16]). On peut donc supposer pour la suite que S ≠ R × R, i.e. S est un revêtement étale connexe de R et donc G est bien de type ^{2}A_{n−1}.

Nous nous plaçons maintenant dans la situation suivante. Supposons que k est un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, R = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}] est notre anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k et K = k(t_{1}, t_{2}) son corps de fractions. De plus, notons S une extension étale quadratique de R non déployée, de corps de fractions L. Alors L est une extension quadratique de K.

Pour aborder la démonstration de la conjecture A pour G, notons (A, I) la Salgèbre d’Azumaya à involution unitaire correspondante à G par les bijections décrites plus haut. En vertu du lemme suivant, A est en fait une algèbre de matrices.

Lemme 5.29. Soit (A, I) une algèbre d’Azumaya de degré n sur S à involution de deuxième espèce, alors A est déployée, i.e. A ≃ M_{n}(S).

Démonstration. On dispose du diagramme commutatif suivant :

Br(S) ⟶^{N_{S/R}} Br(R)
↓  ↓
Br(L) ⟶^{N_{L/K}} Br(K).

où les deux flèches verticales sont injectives. L’image par la flèche N_{L/K} de la classe de A ⊗_{S} L dans Br(K) est triviale par [KMRT, Prop. 3.15] donc la classe N_{S/R}([A]) est triviale dans Br(R). Mais la flèche N_{S/R} est un isomorphisme par [GP1, Prop. 2.1.5], donc la classe de A est déjà triviale dans Br(S). À priori, on a A ≃ End_{S}(P) pour un S-module fidèlement projectif P, mais par le théorème 3.3, P est en fait libre, donc on a A ≃ M_{n}(S).

On a donc A ≃ M_{n}(S). Notons ι : S ⟶ S le R-automorphisme non trivial. C’est une involution de deuxième espèce sur S. Suivant le lemme 3.2 on a Pic(S) = 0. On a alors par [KMRT, Th. 4.2] la correspondance bijective :

\{ \begin{matrix}involutions I de deuxième espèce \\ sur End_{S}(P) ≃ M_{n}(S) \end{matrix} \} ⟷ \{ \begin{matrix}formes hermitiennes régulières (P, h) sur \\ (S, ι) à similitude (un facteur de R^{×}) près \end{matrix} \} .

On va donc calculer d’abord le groupe de Witt des formes hermitiennes sur (S, ι). Pour cela on se sert, comme dans la section précédente, de la suite spectrale (5.3).

Fixons les notations suivantes : écrivons Y = Spec R, X = Spec S et

Z = {x ∈ X | ι(x) = x}

pour le sous-ensemble des points fixes de X sous l’involution ι. Observons que cet ensemble n’est pas un sous-schéma de Spec S, vu qu’il ne contient aucun point fermé de Spec S. Soit x ∈ Z et notons y ∈ Y son image par le morphisme naturel X ⟶ Y. Alors l’involution ι induit une involution ι_{k(x)} sur le corps résiduel k(x) de x avec Fix(ι) = k(y), le corps résiduel de y. Cette involution ι_{k(x)} est donc l’unique automorphisme non trivial de l’extension quadratique de corps k(x)/k(y). Montrons d’abord le lemme suivant :

Lemme 5.30. 1. Les (L, ι_{L})-formes hermitiennes sont classifiées par leur dimension et leur déterminant, donc

W^{+}(L, ι_{L}) ≃ ℤ/2ℤ ⊕ K^{×}/ N_{L/K}(L^{×}).

de générateurs < 1 > et < 1, −α > où α ∈ K^{×} \ N_{L/K}(L^{×}).

2. Soit x ∈ Z ∩ X^{(1)}, alors les formes hermitiennes de même dimension sont isométriques, donc on a

W^{+}(k(x), ι_{k(x)}) ≃ ℤ/2ℤ.

de générateur < 1 >.

Démonstration. Comme K est un corps C_{2}, toute K-forme quadratique de dimension 5 est isotrope. De même, comme k(y) est un corps C_{1} pour x ∈ Y^{(1)}, toute k(y)-forme quadratique de dimension 3 est isotrope. Le lemme est donc une conséquence de [Sch, Ex. 10.1.6 (ii)] et [Sch, Th. 10.1.2] pour la première assertion et de [Sch, Ex. 10.1.6 (i)] et [Sch, Th. 10.1.2] pour la deuxième.

On peut à présent calculer le groupe de Witt des formes hermitiennes sur S/R.

Théorème 5.31. On a W^{+}(S, ι) ≃ ℤ/2ℤ ⊕ R^{×}/ N_{S/R}(S^{×}) ≃ ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ, de générateurs < 1 > et < 1, −t_{2} >.

Démonstration. On utilise la suite spectrale (5.15) de S. Gille pour les schémas à involution de deuxième espèce, avec ℐ_{•} une résolution injective de S :

E_{1}^{s,t}(S, ι, S) = ⨁_{x∈Z∩X^{(s)}} W^{t}(D^{b}(ℳ_{lf}(S_{x})), σ_{x}, S_{x}) ⇒ W̃^{s+t}(S, ι, S). (5.15)

Par la section 5.3.2 on a un isomorphisme W̃^{s+t}(S, ι, S) ≃ W^{+}(S, ι). Il s’agit donc de calculer le terme E^{0}(S, ι, S). Ce groupe a une filtration dont les quotients successifs sont les E_{∞}^{p,−p}. On observe que, déjà sur le deuxième niveau, toutes les différentielles dans cette suite spectrale sont nulles. On a donc E_{∞}^{p,−p} = E_{2}^{p,−p} pour tout p ∈ ℤ. Par la remarque 5.14, ces termes sont nuls si p ≠ 0, 2. On va montrer que E_{2}^{2,−2} = 0 et que E_{2}^{0,0} ≃ ℤ/2ℤ ⊕ R^{×}/ N_{S/R}(S^{×}). Dans ce cas E_{2}^{0,0} est le seul quotient non nul de la filtration de E^{0} et le résultat suit. Observons que la ligne t = −2 du premier niveau de la suite spectrale s’écrit de la façon suivante :

0 ⟶ W^{−}(L, ι_{L}) ⟶^{d_{1}^{0,−2}} ⨁_{x∈Z∩X^{(1)}} W^{−}(k(x), ι_{k(x)}) ⟶^{d_{1}^{1,−2}} ⨁_{x∈Z∩X^{(2)}} W^{−}(k(x), ι_{k(x)}) ⟶ 0.

Mais X/Y est un revêtement étale, donc l’ensemble Z ∩ X^{(2)} est en fait vide. On a donc Im(d_{1}^{0,−2}) = 0. Comme on a une surjection Im(d_{1}^{0,−2}) ⟶ ⟶ E_{2}^{2,−2}, on a bien E_{2}^{2,−2} = 0. Il suit que W^{+}(S, ι) ≃ E_{2}^{0,0}. Donc la ligne t = 0 du premier niveau de la suite spectrale fournit la suite exacte suivante :

0 ⟶ W^{+}(S, ι) ⟶ W^{+}(L, ι_{L}) ⟶^{d_{1}^{0,0}} ⨁_{x∈Z∩X^{(1)}} W^{+}(k(x), ι_{k(x)}),

i.e. on a la pureté pour les groupes Witt des S/R-formes hermitiennes^{5}. Il reste à expliciter la différentielle d_{1}^{0,0}.

Donnons une description explicite de la flèche de résidu d_{1}^{0,0}. Elle se décompose en composantes

d_{1}^{0,0} = ⨁_{x∈Z∩X^{(1)}} ∂_{x},

dont la “x-composante” est

W^{+}(L, ι_{L}) ⟶^{∂_{x}} W^{+}(k(x), ι_{k(x)}).

Comme S est un anneau régulier, S_{x} est un anneau de valuation discrète pour x ∈ X^{(1)}. Par [Gil5, Prop. 6.5] et [Gil1, Sect. 6.3] on peut choisir une uniformisante π_{x} telle que ∂_{x} = ∂_{x}^{π_{x}}, une deuxième flèche de résidu définie comme suit :

Tout espace hermitien sur (L, ι_{L}) est isométrique à un espace diagonal de la forme < α_{1}, ..., α_{n} > + < π_{x}β_{1}, ..., π_{x}β_{m} > avec α, β ∈ S_{x}^{×}. On définit

∂_{x}^{π_{x}} : [< α_{1}, ..., α_{n} > + < π_{x}β_{1}, ..., π_{x}β_{m} >] ↦ [< \overline{β_{1}}, ..., \overline{β_{m}} >]

où pour β ∈ S_{x}, \overline{β} est la réduction de β modulo (π_{x}).

Comme W^{+}(L, ι_{L}) ≃ ℤ/2ℤ ⊕ K^{×}/ N_{L/K}(L^{×}) par le lemme 5.30, ce groupe est engendré par les classes de < 1 > et des espaces de la forme < 1, −γ >, γ ∈ L^{×} de norme non triviale.

0 ⟶ W^{+}(k(x), ι_{k(x)}) ⟶ ⨁_{x∈X^{(0)}∩Z} W^{+}(k(x), ι_{k(x)}) ⟶^{d_{1}^{0,2}} ... ⟶^{d_{1}^{n−1,2}} ⨁_{x∈X^{(n)}∩Z} W^{−}(k(x), ι_{k(x)}) ⟶ 0,

dans le terme ⨁_{x∈X^{(0)}∩Z} W^{+}(k(x), ι_{k(x)}).

5Pureté pour les groupes de Witt de formes hermitiennes sur un schéma X à involution de deuxième espèce ι est l’exactitude du complexe de Gersten-Witt hermitien, i.e. du complexe

L’image de [< 1, −γ >] par ∂_{x} est triviale si et seulement si γ n’est pas contenu dans l’idéal engendré par π_{x} dans S_{x}. Donc, pour que l’image de [< 1, −γ >] par d_{1}^{0,2} soit triviale, il faut que γ ne soit contenu dans aucun idéal de la forme π_{x}S, i.e. γ ∈ S^{×}. Il suit que le noyau est engendré par < 1 > et < 1, −t_{2} >, donc E_{2}^{0,0} = ker(d_{1}^{0,0}) = ℤ/2ℤ ⊕ R^{×}/ N_{S/R}(S^{×}) = ℤ/2ℤ ⊕ ℤ/2ℤ et la preuve du théorème est terminée.

Il reste à établir des conditions pour la simplification de (S, ι)-formes antihermitiennes.

Théorème 5.32. Soit n ≥ 7. Soit (M, h) un espace hermitien sur (S, ι) de rang relatif pair n = 2r. Alors (M, h) se décompose :

– (M, h) ≃ ℌ(S^{r}) si disc(M, h) = 1 mod R^{×}/ N_{S/R}(S^{×}),

– (M, h) ≃ (S^{2}, < 1, −t_{2} >) ⊥ ℌ(S^{r−1}) si disc(M, h) = t_{2} mod R^{×}/ N_{S/R}(S^{×}).

Si (M, h) est un espace anti-hermitien sur (S, ι) de rang relatif impair n = 2r+1. Alors (M, h) se décompose :

– (M, h) ≃ (S, < 1 >) ⊥ ℌ(S^{r}) si disc(M, h) = 1 mod R^{×}/ N_{S/R}(S^{×}),

– (M, h) ≃ (S, < t_{2} >) ⊥ ℌ(S^{r}) si disc(M, h) = t_{2} mod R^{×}/ N_{S/R}(S^{×}).

Démonstration. Comme les preuves sont toutes analogues, on se limite à prouver le cas où (M, h) est de rang relatif n = 2r et de discriminant t_{2}. Par le théorème 5.31, la classe de (M, h) dans W^{+}(𝒬, σ) est [< 1, −t_{2} >]. Par [Kn, I.3.5.4] tout espace hermitien est un facteur direct d’un espace hyperbolique d’un module libre. De plus, tout S-module projectif est libre (cf. 3.3), donc il existe s ≥ 0 tel que

(M, h) ⊥ ℌ(S^{s}) ≃ (S^{2}, < 1, −t_{2} >) ⊥ ℌ(S^{r−1+s}).  (5.16)

Rappelons que d := dim Spm R = 2 par le lemme 2.14. Puisque r−1 ≥ d+1 = 3, on peut appliquer le théorème 2.16 pour déduire que

(M, h) ≃ (S^{2}, < 1, −t_{2} >) ⊥ ℌ(S^{r−1}).

Observons que si M est de rang relatif impair n = 2r + 1 ou de rang relatif pair n = 2r et de discriminant trivial, il suffit que r ≥ 3.

Ce théorème nous dit que les formes anti-hermitiennes sur (S, ι) sont classifiées par leur dimension et leur discriminant si n ≥ 7.

On peut maintenant démontrer la conjecture A pour le schéma en groupes G de type ^{2}A_{n−1} :

Théorème 5.33. Soient n ≥ 7 et G un schéma en groupes semi-simples simplement connexe de type ^{2}A_{n−1} sur R. Alors :

H^{1}(R, G) = 1.

Démonstration. Soit h une forme hermitienne de rang n ≥ 7. Considérons la suite exacte courte :

1 ⟶ SU(h) ↪^{i} U(h) ⟶^{Nrd} R_{S/R}^{1}(𝔾_{m}) ⟶ 1.

Pour les définitions de SU(h) et U(h) voir section 2.4. Il s’agit de montrer que H^{1}(R, SU(h)) = 1. Soit a ∈ M_{n}(S) la matrice hermitienne correspondante à h. Donc

U(h)(R) = \{ x ∈ GL_{n}(S) | a \overline{x}^{t} a^{−1} = x^{−1} \},

voir la définition 2.28, où \overline{x} désigne le conjugué de la matrice x, i.e. si

x = (x_{ij})_{1≤i,j≤n} alors \overline{x} = (ι(x_{ij}))_{1≤i,j≤n}.

Par le théorème 5.32, h est en particulier diagonalisable, donc on peut supposer que a est diagonale. Soit maintenant z ∈ R_{S/R}^{1}(𝔾_{m})(R). Donc z ∈ S^{×} avec N_{S/R}(z) = z ι(z) = 1. La matrice s := diag(1, ..., 1, z) est alors telle que Nrd(s) = z et s ∈ U(h)(R), comme

a \overline{s}^{t} a^{−1} = a s^{−1} a^{−1} = a a^{−1} s^{−1} = s^{−1}.

Il suit que dans la suite exacte longue

1 ⟶ SU(h)(R) ↪^{i} U(h)(R) ⟶^{Nrd} R_{S/R}^{1}(𝔾_{m})(R) ⟶

H^{1}(R, SU(h)) ⟶^{i_{∗}} H^{1}(R, U(h)) ⟶^{Nrd_{∗}} H^{1}(R, R_{S/R}^{1}(𝔾_{m}))

la flèche Nrd est surjective. Comme ceci est vrai pour toute forme de rang n ≥ 7, la flèche i_{∗} est injective. Il est bien connu que H^{1}(R, U(h)) classifie les classes d’isométrie des (S, ι)-formes hermitiennes de même rang que h. Par le théorème 5.32, la flèche Nrd_{∗}, qui envoie une forme hermitienne sur son discriminant, a un noyau trivial (deux formes de même rang et même discriminant sont isométriques). Il suit que H^{1}(R, SU(h)) = 1.

Corollaire 5.34. Supposons que n ≥ 7 et que G est un schéma en groupes semi-simples (connexe) de type ^{2}A_{n−1} sur R. Soit μμ le noyau du revêtement universel G̃ ⟶ ⟶ G. Alors l’homomorphisme connectant

H^{1}(R, G) ⟶ H^{2}(R, μμ)

est bijectif. En particulier, la conjecture A est vraie pour G.

Démonstration. Ceci est une conséquence immédiate du théorème 5.33 et de la remarque 3.9.

La conjecture B

Nos résultats nous permettent de répondre positivement à la conjecture B dans les cas étudiés précédemment, voir corollaire 6.5. Soient dans ce chapitre k un corps algébriquement clos de caractéristique zéro, R = k[t_{1}^{±1}, t_{2}^{±1}] notre anneau des polynômes de Laurent à deux variables sur k et K = k(t_{1}, t_{2}) le corps de fractions de R. Ensuite notons R_{m} = k[t_{1}^{± \frac{1}{m}} , t_{2}^{± \frac{1}{m}}] et S = k[t_{1}^{± \frac{1}{2}} , t_{2}^{±1}]. Finalement, rappelons que 𝒬 désigne la R-algèbre quaternionique de présentation

X^{2} = t_{1}, Y^{2} = t_{2} et XY = −Y X,

et notons σ l’involution standard sur 𝒬 qui est la conjugaison quaternionique habituelle.

Soit 𝔤 une algèbre de Lie simple, de dimension finie sur k. Soit G := Aut_{k}(𝔤) le k-groupe algébrique de k-automorphismes de 𝔤. Rappelons que l’ensemble de cohomologie H^{1}(R, G) classifie, à R-isomorphisme près, les R-formes de 𝔤, i.e. des R-algèbres ℒ, telles que

ℒ ⊗_{R} R_{m} ≃ 𝔤 ⊗_{k} R_{m}

pour un certain m ≥ 1, cf. section 3.2.1. Supposons que 𝔤 est de type A_{n−1}, n ≥ 3. Dans ce cas on obtient une suite exacte

1 ⟶ G^{0} ⟶^{i} G ⟶ ℤ/2ℤ ⟶ 1,  (6.1)

cf. [SGA3, XXV, th. 1.3], qui induit une suite exacte d’ensembles pointés

H^{1}(R, G^{0}) ⟶^{i_{∗}} H^{1}(R, G) ⟶ H^{1}(R, ℤ/2ℤ).  (6.2)

On définit alors

ℰ(R, G) := H^{1}(R, G) \ Im [H^{1}(R, G^{0}) ⟶^{i_{∗}} H^{1}(R, G) ].

Cet ensemble classifie les formes extérieures de 𝔤.

Parmi les R-formes de 𝔤 on a les algèbres de multi-lacets de la forme ℒ(𝔤, x) où x = (x_{1}, x_{2}) avec x_{1}, x_{2} ∈ G et x_{1}x_{2} = x_{2}x_{1}, cf. section 3.2.1. L’ensemble H^{1}(R, G) (ℰ(G) resp.) permet alors de classifier ces algèbres de multi-lacets (qui sont des formes extérieures resp.) à R-isomorphie près. On est pourtant intéressé par leur classes de k-isomorphie. Le lemme suivant est donc très utile :

Lemme 6.1. Soit 𝔤 une k-algèbre centrale, de dimension finie et parfaite. Si x = (x_{1}, x_{2}) et y = (y_{1}, y_{2}) sont deux paires d’automorphismes d’ordre fini de 𝔤 qui commutent (i.e. on a x_{1}x_{2} = x_{2}x_{1} et y_{1}y_{2} = y_{2}y_{1}), alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. ℒ(𝔤, x) ≃_{k} ℒ(𝔤, y)

2. ℒ(𝔤,^{a}x) ≃_{R} ℒ(𝔤, y) pour un certain a ∈ GL_{2}(ℤ), voir section 3.1.

Démonstration. C’est [GP1, Lem. 5.3 ].

Rappelons que l’action GL_{2}(ℤ) mentionnée dans ce lemme passe à l’ensemble H^{1}(R, G), cf. section 3.1. Le lemme 6.1 donne alors :

Lemme 6.2. Soit 𝔤 une k-algèbre de dimension finie et parfaite. Soient x = (x_{1}, x_{2}) et y = (y_{1}, y_{2}) deux paires d’automorphismes d’ordre fini de 𝔤 qui commutent (voir plus haut). Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. ℒ(𝔤, x) ≃_{k} ℒ(𝔤, y)

2. les cocycles α(x) et α(y) (cf. section 3.1) définissent la même classe dans H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ), l’ensemble des classes d’isomorphie de G-torseurs sur R, quotienté par l’action de GL_{2}(ℤ) sur les cocycles (voir section 3.1).

L’ensemble de cohomologie H^{1}(R, G) classifie également certaines algèbres à involutions à isomorphisme près et donc certaines formes quadratiques et hermitiennes à similitude près. La classification des formes quadratiques sur R et formes hermitiennes sur les algèbres à involutions (𝒬, σ) et (S, ι) permet alors de démontrer le théorème ci-dessous.

Remarque 6.3. Soit A une structure algébrique sur R. On dit que “A est de K-indice de Tits I” si A ⊗_{R} K est d’indice de Tits I sur K.

Théorème 6.4. Avec les notations précédentes, on a la classification suivante :

Supposons que 𝔤 est de type B_{n} avec n ≥ 2.

On a

♯( H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ) ) = 2

et les deux classes sont représentées par les R-formes quadratiques suivantes :

1. q ≃< 1 > ⊥ ℌ(R^{n}) de K-indice de Tits déployé

[figure: …; >; α_{1}; α_{2}; α_{n−1}; α_{n}]  ,  (6.3)

de type relatif B_{n} et 2. q ≃< −t_{1}, −t_{2}, t_{1}t_{2} > ⊥ ℌ(R^{n−1}) de K-indice de Tits

[figure: …; >; α_{1}; α_{2}; α_{n−1}; α_{n}]  et  (6.4)

de type relatif B_{n−1}.

Supposons que 𝔤 est de type C_{n} avec n ≥ 6.

On a

♯( H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ) ) = 2.

Si n est pair, les deux classes de H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ) sont représentées par la R-forme symplectique et la (𝒬, σ)-forme hermitienne suivantes :

1. h = ℌ(R^{n}) de K-indice de Tits déployé

[figure: …; <; α_{1}; α_{2}; α_{n−1}; α_{n}]  ,  (6.5)

de type relatif C_{n} et

2. h = ℌ(𝒬^{n/2}) de K-indice de Tits

[figure: …; <; α_{1}; α_{2}; α_{n−1}; α_{n}]  et  (6.6)

de type relatif C\frac{n}{2} . Si n est impair, les deux classes de H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ) peuvent être représentées par la R-forme symplectique et la (𝒬, σ)-forme hermitienne suivantes :

1. h = ℌ(R^{n}) de K-indice de Tits maximal (6.5), de type relatif comme plus haut et

2. h =< 1 > ⊥ ℌ(𝒬^{(n−1)/2}) de K-indice de Tits

[figure: …; <; α_{1}; α_{2}; α_{n−1}; α_{n}]  et  (6.7)

de type relatif BC_{\frac{n−1}{2}} .

Supposons que 𝔤 est de type D_{n} avec n ≥ 8 et n pair.

On a

♯( H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ) ) = 5.

Les cinq classes de H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ) sont représentées par les R-formes quadratiques et les (𝒬, σ)-formes anti-hermitiennes suivantes :

1. q ≃ ℌ(R^{n}) de K-indice de Tits déployé

[figure: …; α_{1}; α_{2}; α_{n−2}; α_{n−1}; α_{n}]  ,  (6.8)

de type relatif D_{n}, 2. q ≃< 1, −t_{1}, −t_{2}, t_{1}t_{2} > ⊥ ℌ(R^{n−2}) de K-indice de Tits

[figure: …; α_{1}; α_{2}; α_{n−2}; α_{n−1}; α_{n}]  ,  (6.9)

de type relatif B_{n−2},

3. h ≃ ℌ(𝒬^{n/2}) de K-indice de Tits quasi-déployé

[figure: …; α_{1}; α_{2}; α_{n−2}; α_{n−1}; α_{n}]  ,  (6.10)

de type relatif C\frac{n}{2} ,

4. q ≃< 1, −t_{1} > ⊥ ℌ(R^{n−1}) de K-indice de Tits quasi-déployé

[figure: …; α_{1}; α_{2}; α_{n−2}; α_{n−1}; α_{n}]  ,  (6.11)

de type relatif B_{n−1} et

5. h ≃< Y, XY > ⊥ ℌ(𝒬^{(n−2)/2}) de K-indice de Tits

[figure: …; α_{1}; α_{2}; α_{n−2}; α_{n−1}; α_{n}]  et  (6.12)

de type relatif BC_{\frac{n−2}{2}} .

Supposons que 𝔤 est de type D_{n} avec n ≥ 8 et n impair.

On a

♯( H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ) ) = 5.

Les cinq classes de H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ) sont représentées par les R-formes quadratiques et les (𝒬, σ)-formes anti-hermitiennes suivantes :

1. q ≃ ℌ(R^{n}) de K-indice de Tits déployé (6.8), de type relatif comme plus haut,

2. q ≃< 1, −t_{1}, −t_{2}, t_{1}t_{2} > ⊥ ℌ(R^{n−2}) de K-indice de Tits (6.9), de type relatif comme plus haut,

3. h ≃< X, Y, XY > ⊥ ℌ(𝒬^{(n−3)/2}) de K-indice de Tits

[figure: …; α_{1}; α_{2}; α_{n−2}; α_{n−1}; α_{n}]  ,  (6.13)

de type relatif BC_{\frac{n−3}{2}} ,

4. q ≃< 1, −t_{1} > ⊥ ℌ(R^{n−1}) de K-indice de Tits (6.11), de type relatif comme plus haut et 5. h ≃< X > ⊥ ℌ(𝒬^{(n−1)/2}) de K-indice de Tits quasi-déployé

[figure: …; α_{1}; α_{2}; α_{n−2}; α_{n−1}; α_{n}]  et  (6.14)

de type relatif BC_{\frac{n−1}{2}} .

Supposons que 𝔤 est de type A_{n−1} avec n ≥ 7.

On a

♯( ℰ(R, G)/GL_{2}(ℤ) ) = 2

si n est pair et les deux classes sont représentées par les (S, ι)-formes hermitiennes suivantes :

1. h ≃ ℌ(S^{n/2}) de K-indice de Tits quasi-déployé

[figure: …; …; α_{1}; α_{2}; α_{n−1}; α_{n−2}]  ,  (6.15)

de type relatif C\frac{n}{2} et

2. h ≃< 1, −t_{2} > ⊥ ℌ(S^{(n−2)/2}) de K-indice de Tits

[figure: …; …; α_{1}; α_{2}; α_{n−1}; α_{n−2}]  et  (6.16)

de type relatif BC_{\frac{n−2}{2}} .

Si n est impair,

♯( ℰ(R, G)/GL_{2}(ℤ) ) = 1

et la classe est représentée par la (S, ι)-forme hermitienne h ≃< 1 > ⊥ ℌ(S^{(n−1)/2}) de K-indice de Tits quasi-déployé

[figure: …; …; α_{1}; α_{2}; α_{n−1}; α_{n−2}]  et  (6.17)

de type relatif BC_{\frac{n−1}{2}} ,

Démonstration. Donnons une description de l’ensemble H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ). Rappelons que l’ensemble de cohomologie H^{1}(R, G) classifie certaines algèbres à involutions à isomorphisme près et donc certaines formes quadratiques et hermitiennes à similitude près. On va donc raisonner dans cette preuve en termes de telles formes, i.e. démontrer que ces formes hermitiennes et quadratiques sont classifiées par leur indice de Witt-Tits à similitude et à l’action de GL_{2}(ℤ) près.

\underline{1) Le type B_{n}.} Supposons que 𝔤 est de type B_{n}, n ≥ 2. On sait bien que l’ensemble H^{1}(R, G) classifie les R-formes quadratiques de rang 2n + 1 à similitude (à un facteur de R^{×}) près^{1}. Le corollaire 4.13 montre que

H^{1}(R, G) ≃ ℤ/2ℤ

et que les classes peuvent être représentées par les formes quadratiques q_{1} ≃< 1 > ⊥ ℌ(R^{n}) et q_{2} ≃< −t_{1}, −t_{2}, t_{1}t_{2} > ⊥ ℌ(R^{n−1}). Suivant [Ti, Table II] et [Bo, Ch.V.23.4] on alors que q_{1} ⊗_{R} K est d’indice de Tits (6.3) et de type relatif B_{n} et que q_{2} ⊗_{R} K est d’indice de Tits (6.4) et de type relatif B_{n−1}. Comme l’action de GL_{2}(ℤ) sur l’ensemble H^{1}(R, G) est triviale, cf. [GP1, Th. 5.10] (et les classes données sont distinguées par leur indice de Tits), le théorème résulte dans ce cas.

\underline{2) Le type C_{n}.} Supposons que 𝔤 est de type C_{n}, n ≥ 6. Le corollaire 5.20 montre que

H^{1}(R, G) ≃ ℤ/2ℤ

et que les classes peuvent être représentées par la forme symplectique h_{1} = ℌ(R^{n}) (pour tout n), et par les formes hermitiennes h_{2} = ℌ(𝒬^{n/2}) (si n est pair) et h_{3} ≃< 1 > ⊥ ℌ(𝒬^{(n−1)/2}) (si n est impair). Suivant [Ti, Table II] et [Bo, Ch.V.23.4] on alors que les K-formes h_{1} ⊗_{R} K, h_{2} ⊗_{R} K et h_{3} ⊗_{R} K sont d’indices de Tits (6.5), (6.6) et (6.7) respectivement et de types relatifs C_{n}, C\frac{n}{2} et BC_{\frac{n−1}{2}} respectivement. Comme l’action de GL_{2}(ℤ) sur l’ensemble H^{1}(R, G) est triviale, cf. [GP1, Th. 5.10] (et les classes données sont distinguées par leur indice de Tits), le théorème résulte dans ce cas.

Supposons maintenant que 𝔤 est de type A_{n−1} (n ≥ 7) ou D_{n} (n ≥ 8). Soit G^{0} la composante connexe de l’élément neutre de G = Aut_{k}(𝔤). On obtient comme plus haut une suite exacte scindée

1 ⟶ G^{0} ⟶^{i} G ⟶^{↶^{s}} ℤ/2ℤ ⟶ 1,  (6.18)

cf. [SGA3, XXV, th. 1.3], qui induit la suite exacte d’ensembles pointés

H^{1}(R, G^{0}) ⟶^{i_{∗}} H^{1}(R, G) ⟶^{↶^{s}} H^{1}(R, ℤ/2ℤ),  (6.19)

également scindée. Supposons que [a] ∈ H^{1}(R, ℤ/2ℤ) est une classe représentée par un cocycle a. On peut tordre la suite (6.1) par le cocycle a pour obtenir la suite exacte

1 ⟶_{s(a)} G^{0} ⟶_{s(a)} G ⟶ ℤ/2ℤ ⟶ 1.

Observons que _{a}(ℤ/2ℤ) = ℤ/2ℤ, comme le groupe ℤ/2ℤ est commutatif. Par des arguments standards de cohomologie galoisienne [Gir, III.3.3], on obtient une décomposition

H^{1}(R, G) ≃ ∐_{[a]∈H^{1}(R,ℤ/2ℤ)} H^{1}(R, _{s(a)}G^{0}) / ℤ/2ℤ,  (6.20)

1Il revient au même de dire que cet ensemble classifie les R-formes quadratiques de rang 2n + 1 et de même discriminant que q.

où l’action de ℤ/2ℤ sur H^{1}(R, _{s(a)}G^{0}) est déduite de l’action tordue de ℤ/2ℤ sur _{s(a)}G^{0}. L’équation (6.20) est utile pour comprendre l’action de GL_{2}(ℤ). Rappelons que H^{1}(R, ℤ/2ℤ) ≃ R^{×}/R^{× 2} et que cet ensemble est constitué des classes 1, t_{1}, t_{2} et t_{1}t_{2}. L’action du groupe GL_{2}(ℤ) sur H^{1}(R, ℤ/2ℤ) a deux orbites : l’orbite {1} et l’orbite {t_{1}, t_{2}, t_{1}t_{2}}. Il suit que l’on peut fixer un discriminant non trivial, disons t_{1}, pour les groupes de type D et A, et se limiter à considérer des formes avec ce discriminant.

\underline{3) Le type D_{n}.} Supposons que 𝔤 est de type D_{n}, n ≥ 8. On sait que l’ensemble H^{1}(R, G) classifie, à R-isomorphisme près, des R-algèbres d’Azumaya de degré 2n à involutions de première espèce de type orthogonale. Par le lemme 5.21, chaque classe peut être représentée par une classe de similitudes de Rformes quadratiques ou (𝒬, σ)-formes anti-hermitiennes par des résultats de la section 5.5. L’équation (6.20) et les arguments suivants montrent que, pour représenter chaque classe dans H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ), on peut se limiter aux formes de discriminant 1 ou t_{1}. Le théorème 5.24 montre alors que seulement les cas listés dans l’énoncé plus haut peuvent apparaitre. Leurs indices de Tits sont données par [Ti, Table II] et leurs types relatifs par [Bo, Ch.V.23.9]. Le théorème résulte alors dans ce cas également.

\underline{3) Le type A_{n−1}.} Supposons que 𝔤 est de type A_{n−1}, n ≥ 7. On sait que l’ensemble H^{1}(R, G) classifie, à R-isomorphisme près, des algèbres d’Azumaya de degré n sur une extension quadratique, étale de R à une involution de deuxième espèce. L’équation (6.20) et les arguments suivants montrent que, pour représenter chaque classe dans H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ), on peut se limiter aux algèbres à involutions de discriminant 1 ou t_{1} (i.e. de centre R × R ou S). Or on veut décrire les éléments de ℰ(R, G)/GL_{2}(ℤ), où on rappelle que

ℰ(R, G) := H^{1}(R, G) \ Im [H^{1}(R, G^{0}) ⟶^{i_{∗}} H^{1}(R, G) ].

On peut donc se limiter aux algèbres à involutions (de la forme décrite plus haut) de discriminant t_{1}. Ceux-ci correspondent par le lemme 5.29 à des (S, ι)- formes hermitiennes de rang n. Le théorème 5.32 montre alors que seulement les cas listés dans l’énoncé plus haut apparaissent. Leurs indices de Tits sont donnés par [Ti, Table II] et leurs types relatifs par [Bo, Ch.V.23.9]. Le théorème résulte alors dans ce cas aussi et la preuve est terminée.

Corollaire 6.5. Soit 𝔤 une algèbre de Lie simple, de dimension finie sur k de type A_{n−1} (n ≥ 7), B_{n} (n ≥ 2), C_{n} (n ≥ 6) ou D_{n} (n ≥ 8). Notons G = Aut_{k}(𝔤) son groupe algébrique de k-automorphismes. Soient x = (x_{1}, x_{2}) et y = (y_{1}, y_{2}) deux paires d’automorphismes d’ordre fini de 𝔤 qui commutent, i.e. on a x_{1}x_{2} = x_{2}x_{1} et y_{1}y_{2} = y_{2}y_{1}. Si 𝔤 est de type A_{n−1}, supposons de plus que les éléments x_{1}, x_{2}, y_{1} et y_{2} ne sont pas tous contenus dans la composante connexe de l’élément neutre de Aut_{k}(𝔤). Alors ℒ(𝔤, x) ⊗_{R_{2}} K est une algèbre de Lie de dimension finie et isotrope sur K. De plus,

ℒ(𝔤, x) ≃_{k−Lie} ℒ(𝔤, y) ⇔ I(x) = I(y)

où I(x) et I(y) sont les indices de Witt-Tits de x et y respectivement (voir section 3.1.1).

Démonstration. Suivant le lemme 6.2, il s’agit de montrer que deux paires x et y ont le même indice de Tits si et seulement si leurs cocycles (voir 3.1) sont dans la même classe dans l’ensemble H^{1}(R, G), à l’action de GL_{2}(ℤ) près. Mais le théorème 6.4 montre que toutes les classes dans l’ensemble H^{1}(R, G)/GL_{2}(ℤ) peuvent être distinguées par leurs indices de Tits. Le corollaire suit.

Remarque 6.6. 1. Ce corollaire montre en fait qu’en rang assez grand une algèbre de multi-lacets est determinée par son indice de Tits en dehors du type A et sous certaines conditions si elle est de type A (si elle est de type ^{2}A, essentiellement). Gille et Pianzola ont conjecturé ceci par contre seulement en dehors de type A [GP1, Conj. 6.4].

2. Soit k((t_{1}))((t_{2})) le corps des séries formelles en deux variables sur k. Observons que la flèche naturelle

H^{1}(R, G) ⟶^{∼} H^{1}(k((t_{1}))((t_{2})), G),

est alors une bijection dans le cas où G est de type B_{n} (n ≥ 2), C_{n} (n ≥ 6), D_{n} (n ≥ 8) ou ^{2}A_{n−1} (n ≥ 7), et que le corps k((t_{1}))((t_{2})) se comporte comme un corps p-adique. Ceci découle de [Ti, Table II] (les descriptions des corps “spéciaux”).

3. En tenant compte de [GP3], on voit que toutes les formes quadratiques et hermitiennes qui apparaissent dans le théorème 6.4 correspondent à des algèbres de multi-lacets. Une façon plus fastidieuse de montrer cela, serait d’utiliser le “recognition theorem”, voir [GP1, Th. 5.13].

Annexe A

Compatibilité de la théorie de Morita avec la suite spectrale de S.Gille

Dans cet appendice on prouve le théorème A.8 qui établit une certaine commutativité entre les flèches de résidu de la suite spectrale de S.Gille et les “flèches de Morita” qui apparaissent entre les groupes de Witt des algèbres simples centrales sur les corps résiduels. Rappelons d’abord encore une fois les conventions de signe dans les catégories dérivées, introduites au début de la section 5.1.

Soit ℰ une catégorie exacte. On note D^{b}(ℰ) sa catégorie dérivée bornée et T le foncteur de translation de cette catégorie. Selon l’usage habituel dans la théorie de Witt dérivée et cohérente, on utilise des complexes homologiques, donc T (M_{•})_{i} = M_{•} [1 ]_{i} = M_{i−1} pour tout M_{•} ∈ D^{b}(ℰ). Si ℰ possède un foncteur Hom intérieur ou un produit tensoriel ⊗, on utilise les conventions suivantes pour Hom(M_{•}, N_{•}) et M_{•} ⊗ N_{•} : la différentielle en degré l est donnée par

Hom(M_{−l−s}, N_{−s}) ∋ f ↦ f · d_{−l−s+1}^{M_{•}} + (−1)^{l+1} d_{−s}^{N_{•}} · f

et par

M_{l−s} ⊗ N_{s} ∋ m ⊗ n ↦ d_{l−s}^{M_{•}}(m) ⊗ n + (−1)^{l−s}m ⊗ d_{s}^{N_{•}}(n)

respectivement.

Remarque A.1. Observons que si r est impair, on a en général

Hom(M_{•}, N_{•}[r]) ≠ Hom(M_{•}, N_{•})[r].

Par contre, les deux objets sont isomorphes par

a_{M_{•},N_{•}}^{(r)} : Hom(M_{•}, N_{•}[r]) ⟶^{∼} Hom(M_{•}, N_{•})[r]

défini en degré l par

⨁_{s∈ℤ} \overline{Hom(M_{−l−s}, N_{−(s+r)})} ⟶ ⨁_{s∈ℤ} \overline{Hom(M_{−l−s}, N_{−(s+r)})}

(g_{s}) ↦ ((−1)^{r(l+s)}g_{s}).

Ce morphisme est fonctoriel en M_{•}, i.e. pour un morphisme f : M_{•} ⟶ M′_{•} on a un diagramme commutatif :

Hom(M_{•}, N_{•}[r]) ⟶^{a_{M•,N•}^{(r)}} Hom(M_{•}, N_{•})[r]
f ∘ ↑  ↑^{f ∘}
Hom(M′_{•}, N_{•}[r]) ⟶_{a_{M′_{•},N•}^{(r)}} Hom(M′_{•}, N_{•})[r].

Rappelons maintenant quelques points sur les résolutions injectives qui se trouvent dans [BH].

Définition A.2. [BH, p.98] Soit S un anneau commutatif noethérien et M un S-module. Une résolution injective

0 ⟶ M ⟶ E_{0}(M) ⟶^{d_{0}} E_{−1}(M) ⟶^{d_{−1}} ...

est dite minimale, si E_{0}(M) est une enveloppe injective de M et si pour r ≥ 1, E_{−r}(M) est une enveloppe injective de coker (d_{−(r−1)}).

Comme dans [BH] on note E_{S}(M) une enveloppe injective d’un S-module M.

Remarque A.3. Si S est un anneau de Gorenstein, le −r-ième terme d’une résolution injective minimale du S-module S est de la forme

E_{−r}(S) = ⨁_{ht 𝔭=r} E_{S}(S/𝔭).

De plus, on a le lemme suivant.

Lemme A.4. Soient S un anneau commutatif noethérien, I ⊂ S un idéal, M un S-module tel IM = 0 et 𝔮 ∈ Spec S un idéal premier.

1. Si I n’est pas contenu dans 𝔮, alors Hom_{S}(M, E_{S}(S/𝔮)) = 0.

2. Si I ⊂ 𝔮, alors on a un homomorphisme injectif

α : E_{S/I}(S/𝔮) ⟶ E_{S}(S/𝔮)

et l’homomorphisme

α_{∗} : Hom_{S/I}(M, E_{S/I}(S/𝔮)) ⟶ Hom_{S}(M, E_{S}(S/𝔮)), φ ↦ αφ

est un isomorphisme.

Démonstration. Par exemple [Gil3, Lem. 3.3.5].

Le lemme suivant nous est utile par la suite :

Lemme A.5. La suite spectrale des groupes de Witt de catégories triangulées filtrées avec dualité est fonctorielle pour les foncteurs qui préservent la dualité et qui sont compatibles avec les filtrations respectives.

Démonstration. [BW, Lem. 4.2]

Rappelons un résultat de la section 5.1 que l’on utilise par la suite :

Lemme A.6. Soit X un schéma noethérien et 𝒜 une 𝒪_{X}-algèbre cohérente, alors le morphisme naturel

D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(𝒜)) ⟶ D_{c}^{b}(ℳ(𝒜))

est une équivalence de catégories.

Démonstration. [Gil1, Lem. 1.4]

A.1 Énoncé du théorème

Convention. Tous les schémas (anneaux) sont désormais supposés noethériens et munis d’un morphisme vers Spec ℤ[\frac{1}{2}] (des ℤ[\frac{1}{2}]-algèbres).

Tout au long de cet appendice on utilise les notations suivantes : Soit X = Spec R un schéma (noethérien), affine, de Gorenstein, connexe et de dimension de Krull finie n et soient (A, τ) et (B, ν) deux algèbres d’Azumaya à involutions de première espèce sur X. Soit de plus P un A-module fidèlement projectif, voir la définition 2.1, (ceci revient à dire que P est un A-module fidèle qui est projectif comme R-module) et

h : P ⟶^{∼} P^{♯} := \overline{Hom_{A}(P, A)}

un (A, τ)-espace ϵ_{0}-hermitien où ϵ_{0} ∈ {±1}.

Soit u : Z ↪ X un sous-schéma fermé de Gorenstein défini par un idéal 𝔞 ⊂ R, i.e. Z = Spec R /𝔞. Notons P_{Z} et h_{Z} les restrictions de P et h à Z. Considérons alors la condition suivante :

Condition A.7. Le triplet (Z, P_{Z}, h_{Z}) satisfait à :

1. B /𝔞 ≃ End_{A /𝔞}(P_{Z}),

2. ν/𝔞 est l’involution adjointe sur B /𝔞 définie par

(ν/𝔞)(g) := h_{Z}^{−1} ∘ g^{♭} ∘ h_{Z},

où g^{♭} = Hom_{A /𝔞}(g, A /𝔞), voir section 2.3.1.

Notons maintenant I_{•} une résolution injective du R-module R. C’est alors un complexe dualisant sur D_{c}^{b}(ℳ_{qc} R). On peut supposer qu’il est de la forme :

... ⟶ 0 ⟶ I_{0} ⟶ I_{−1} ⟶ ... ⟶ I_{n} ⟶ 0 ⟶ ...

avec I_{i} en degré i et qu’il est une résolution injective minimale (cf. définition A.2). Supposons maintenant que le sous-schéma de Gorenstein Z est connexe. Comme Z est de Gorenstein, les points maximaux de Z (correspondant aux idéaux premiers minimaux de R /𝔞) sont tous de la même codimension dans X, disons r (voir [Ei, Cor. 18.10]). On obtient alors une résolution injective J_{•} ≃ Hom_{R}(R /𝔞, I_{•} [r]) du R /𝔞-module R /𝔞, définie par

J_{−s} := {x ∈ I_{−(s+r)} | 𝔞 · x = 0},

en degré −s avec J_{−s} = 0 si −s ≥ 0 (voir lemme A.4). C’est un complexe dualisant pour le schéma Z, puisque R /𝔞 est un anneau de Gorenstein. Énonçons le théorème que l’on va prouver dans cet appendice :

Théorème A.8. Sous les notations et hypothèses ci-dessus, supposons que le triplet (X, P, h) satisfait à la condition A.7. Il existe alors une équivalence de catégories avec dualités

( D_{c}^{b}(ℳ(A)), 𝔇_{I}^{(A,τ)}, 1, ϖ^{I} ) ⟶_{∼}^{(F_{(X,P,h)}, ϕ_{(X,P,h)}^{(0)})} ( D_{c}^{b}(ℳ(B)), 𝔇_{I}^{(B,ν)}, 1, ϵ_{0} · ϖ^{I} )

qui respecte les filtrations par la codimension de ces catégories (cf. (5.2)). Soit u : Z ↪ X un sous-schéma de Gorenstein connexe défini par un idéal 𝔞 de codimension r. Alors le triplet (Z, P_{Z}, h_{Z}) satisfait également à la condition A.7 et on a un diagramme commutatif

( D_{c}^{b}(ℳ (A)), T^{r} ·𝔇_{I}^{(A,τ)}, (−1)^{r}, (−1)^{\frac{r(r+1)}{2}} ϖ^{I} ) ⟶^{(F_{(X,P,h)}, ϕ_{(X,P,h)}^{(r)})} ( D_{c}^{b}(ℳ (B)), T^{r} ·𝔇_{I}^{(B,ν)}, (−1)^{r}, (−1)^{\frac{r(r+1)}{2}} ϵ_{0} · ϖ^{I} )
↑^{(u_{*}^{A},η^{A})}  ↑^{(u_{*}^{B} ,η^{B} )}
( D_{c}^{b}(ℳ (A /𝔞)), 𝔇_{J}^{(A /𝔞,τ/𝔞)}, 1, ϖ^{J} )  ⟶^{(F_{(Z,P_{Z} ,h_{Z})}, ϕ_{(Z,P_{Z} ,h_{Z})}^{(0)})}  ( D_{c}^{b}(ℳ (B /𝔞)), 𝔇_{J}^{(B /𝔞,ν/𝔞)}, 1, ϵ_{0} · ϖ^{J} ).

où les flèches verticales sont les foncteurs de dévissage que l’on rappelle dans la section A.3.1 et les autres notations sont comme plus haut.

Corollaire A.9. Soit p ≤ n. Supposons qu’il existe un A-module projectif P et un (A, τ)-espace ϵ_{0}-hermitien (P, h) tels que pour tout sous-ensemble fini {x_{1}, ..., x_{s}} ⊂ X^{(t)} avec t ≥ p et s ∈ ℕ,

1. le schéma Z_{1,...,s}^{t} := \overline{\{x_{1}\}} ∪ ... ∪ \overline{\{x_{s}\}} avec la structure de sous-schéma réduit induite est de Gorenstein et que

2. le triplet (Z_{1,..,s}^{t}, P_{Z_{1,...,s}}, h_{Z_{1,...,s}}) satisfait à la condition A.7.

Alors, pour tout q ∈ ℤ, le diagramme suivant est commutatif :

⨁_{x∈X^{(p)}} W_{A_{x},τ_{x}}^{q}  ⟶^{d_{1}^{p,q}}  ⨁_{x∈X^{(p+1)}} W_{A_{x},τ_{x}}^{q}  ⟶^{d_{1}^{p+1,q}} ... ⟶^{d_{1}^{n−1,q}}  ⨁_{x∈X^{(n)}} W_{A_{x},τ_{x}}^{q}
↓^{≀}  ↓^{≀}  ^{≀}↓
⨁_{x∈X^{(p)}} W_{B_{x},ν_{x}}^{q+1−ϵ_{0}} ⟶^{d_{1}^{p,q+1−ϵ_{0}}} ⨁_{x∈X^{(p+1)}} W_{B_{x},ν_{x}}^{q+1−ϵ_{0}} ⟶^{d_{1}^{p+1,q+1−ϵ_{0}}} ... ⟶^{d_{1}^{n−1,q+1−ϵ_{0}}} ⨁_{x∈X^{(n)}} W_{B_{x},ν_{x}}^{q+1−ϵ_{0}},

où pour x ∈ X^{(i)}

W_{A_{x},τ_{x}}^{q} := W^{q}(ℳ_{lf}(A_{x}), τ_{x}, E_{x}) et W_{B_{x},ν_{x}}^{q} := W^{q}(ℳ_{lf}(B_{x}), ν_{x}, E_{x}) avec E_{x} = (I_{−i})_{x}. Dans ce diagramme les flèches horizontales sont les différentielles de la suite spectrale E_{1}^{s,t}(A, τ, R) (respectivement E_{1}^{s,t}(B, ν, R)) introduite dans la section 5.2.1 et les flèches verticales sont les homomorphismes induits sur les termes de ces suites spectrales par les foncteurs de dévissage (u_{\overline{\{x\}} ∗}^{A}, η^{A}) (u_{\overline{\{x\}} ∗}^{B}, η^{B}) et le foncteur F_{(\overline{\{x\}},P\overline{\{x\}},h\overline{\{x\}})} pour x ∈ X, où u\overline{\{x\}} :

\overline{\{x\}} ↪ X est l’immersion fermée.

Démonstration. Posons la notation suivante : Soit u_{Z} : Z ↪ X un schéma tel que le triplet (Z, P_{Z}, h_{Z}) satisfait à la condition A.7 et soit z ∈ Z. Alors on note F_{Z,z} l’homomorphisme

W_{A_{z},τ_{z}}^{q} ⟶ W_{B_{z},ν_{z}}^{q+1−ϵ_{0}}

induit sur les termes des suites spectrales E_{1}^{s,t}(A, τ, R) et E_{1}^{s,t}(B, ν, R) par les foncteurs de dévissage (u_{Z ∗}^{A}, η^{A}) (u_{Z ∗}^{B}, η^{B}) et le foncteur F_{(Z,P_{Z},h_{Z})}.

Soit t ∈ {p, ..., n − 1}. Il s’agit de montrer que le diagramme suivant commute :

\begin{matrix}⨁_{x∈X^{(t)}} W_{A_{x},τ_{x}}^{q} & ⟶^{d_{1}^{t,q}} & ⨁_{x∈X^{(t+1)}} W_{A_{x},τ_{x}}^{q} \\ ^{⊕ F_{\overline{\{x\}},x}}↓ & & ↓^{⊕ F_{\overline{\{x\}},x}} & (∗) \\ ⨁_{x∈X^{(t)}} W_{B_{x},ν_{x}}^{q+1−ϵ_{0}} & ⟶^{d_{1}^{t,q+1−ϵ_{0}}} & ⨁_{x∈X^{(t+1)}} W_{B_{x},ν_{x}}^{q+1−ϵ_{0}}. \end{matrix}

Soit alors (a_{1}, ..., a_{m}) ∈ ⨁_{x∈X^{(t)}} W_{A_{x},τ_{x}}^{q}. Supposons a_{i} ∈ W_{A_{x_{i}} ,τ_{x_{i}}}^{q} avec x_{i} ∈ X^{(t)}

pour 1 ≤ i ≤ m. Soit Y := \overline{\{x_{1}\}} ∪ ... ∪ \overline{\{x_{m}\}}. Observons que l’on a donc X^{(t)} ∩ Y = {x_{1}, ..., x_{m}}. La première partie du théorème A.8 nous fournit un diagramme commutatif :

\begin{matrix}⨁_{x_{i}∈\{x_{1},...,x_{m}\}} W_{A_{x_{i}} ,τ_{x_{i}}}^{q} & ⟶^{d_{1}^{t,q}|_{\{x_{1},...,xm\}}} & ⨁_{x∈X^{(t+1)}∩Y} W_{A_{x},τ_{x}}^{q} \\ ^{⊕ F_{Y,x_{i}}} ↓ & & ↓^{⊕ F_{Y,x}} & (∗∗) \\ ⨁_{x_{i}∈\{x_{1},...,x_{m}\}} W_{B_{x_{i}} ,ν_{x_{i}}}^{q+1−ϵ_{0}} & ⟶^{d_{1}^{t,q+1−ϵ_{0}} |_{\{x_{1},...,xm\}}} & ⨁_{x∈X^{(t+1)}∩Y} W_{B_{x},ν_{x}}^{q+1−ϵ_{0}}. \end{matrix}

La deuxième partie du théorème A.8 appliquée à Z = \overline{\{x_{i}\}} et X = Y montre que la flèche F_{Y,x_{i}} ne dépend pas de Y, i.e. F_{Y,x_{i}} = F_{\overline{\{x_{i}\}},x_{i}} pour tout i ∈ \{1, .., n\}. Soit maintenant x ∈ X^{(t+1)}. Donc la deuxième partie du théorème A.8 appliquée avec Z = \overline{\{x\}} et X = Y montre que la flèche F_{Y,x} ne dépend pas non plus de Y, i.e. F_{Y,x} = F_{\overline{\{x\}},x}. En tenant compte de la commutativité du diagramme (∗∗) on a alors

[ ( ⨁_{x∈X^{(t+1)}} F_{\overline{\{x\}},x} ) ∘ d_{1}^{t,q} ] (a_{1}, ..., a_{m}) = [ d_{1}^{t,q+1−ϵ_{0}} ∘ ( ⨁_{x∈X^{(t)}} F_{\overline{\{x\}},x} ) ] (a_{1}, ..., a_{m}),

i.e. le diagramme (∗) commute aussi.

Remarque A.10. On peut probablement prouver le théorème A.8 (et donc le corollaire A.9 aussi) sous l’hypothèse plus générale que X est un schéma (noethérien) admettant un complexe dualisant et pour u : Z ↪ X un sousschéma fermé quelconque. En effet [Gil7] montre que Z admet alors également un complexe dualisant et que l’on obtient des foncteurs de dévissage (u_{*}^{A}, η^{A}) (u_{*}^{B}, η^{B}). Pourtant la preuve de la proposition A.11 se simplifie en supposant que X est de Gorenstein, puisque dans ce cas on peut travailler avec les modules de Gorenstein de dimension 0 (voir section A.2). De plus, le théorème A.8 est suffisant pour nos fins dans sa présente forme.

A.2 L’existence du foncteur de Morita F

Dans cette section on prouve le théorème A.8 pour le cas où X = Z et u = id. Ceci revient à construire le foncteur (F_{(X,P,h)}, ϕ_{(X,P,h)}^{(0)}). Ensuite on généralise ce théorème au cas d’un sous-schéma fermé de Gorenstein quelconque.

Proposition A.11. Si X = Z et u : Z ↪ X est l’identité, alors le théorème A.8 est vrai.

Avant de commencer la preuve, prouvons quelques résultats préliminaires. Introduisons d’abord la notion de module de Gorenstein de dimension 0 (cf. [Gil1, 2.11]). Un module de Gorenstein de dimension 0 est un R-module M tel que Ext_{R}^{i}(M , R) = 0 pour tout i ≥ 1. Notons la catégorie de ces modules ℰ(R). C’est une catégorie exacte contenant 𝒫(R), les R-modules projectifs de rang fini. Par [Gil3, Thm. 2.15] tous les modules dans ℰ(R) sont réflexifs et 𝔇_{R} := Hom_{R}( , R) est une dualité sur ℰ(R). Notons ℰ_{b}(A) := ℰ(R) ∩ ℳ(A).

Il est bien connu que la première hypothèse de la condition A.7 implique que l’on a une équivalence de catégories ℳ(A) ⟶ ℳ(B), dite équivalence de Morita :

F′ : M ↦ Hom_{A}(P, M ).

Comme P est un A-module projectif, on dispose d’un isomorphisme naturel

φ_{M} : Hom_{A}(P, A) ⊗_{A} M ⟶^{≃} Hom_{A}(P, M )

pour tout M ∈ ℳ(A), [Kn, I.9.1.5]. On obtient donc l’équivalence de Morita aussi par

F : M ↦ Q ⊗_{A} M ,

où Q est le A-module à droite (et B-module à gauche) Hom_{A}(P, A).

Le lemme suivant montre que l’équivalence de Morita se restreint à la souscatégorie des modules de Gorenstein de dimension 0.

Lemme A.12. L’équivalence de Morita ℳ(A) ⟶^{∼} ℳ(B) se restreint en une équivalence de catégories ℰ_{b}(A) ⟶^{∼} ℰ_{b}(B).

Démonstration. Il s’agit de vérifier que si M ∈ ℳ(A) est tel que Ext_{R}^{i}(M , R) = 0 pour tout i ≥ 1, alors

Ext_{R}^{i}(Hom_{A}(P, M ), R) = Ext_{R}^{i}(Q ⊗_{A} M , R) = 0

pour tout ℳ ∈ ℰ_{b}(A) et tout i ≥ 1. Il suffit de montrer cela pour P = A. Comme Hom_{A}(A, M ) ≃ A ⊗_{A} M ≃ M , le lemme suit. Observons que pour F′ l’équivalence inverse de ℰ_{b}(B) ⟶ ℰ_{b}(A) est donnée par N ↦ Hom_{B}(Q, N ) et pour F elle est donnée par N ⟶ P ⊗_{B} N , cf. [Kn, I.9.1.3, 3)].

Dans notre cas, on dispose d’un (A, τ)-espace ϵ_{0}-hermitien

h : P ⟶ \overline{Hom_{A}(P, A)}.

Observons que l’on a donc un (B, ν)-espace ϵ_{0}-hermitien

h̃ : Q ⟶ \overline{Hom_{B}(Q, B)},

où Q est vu ici comme B-module à gauche. En effet, l’isomorphisme des Bmodules à gauches

h : \overline{P} ⟶ Hom_{A}(P, A)

est B-lineaire. Par [Kn, I.9.1.3. 3)] on a un isomorphisme de A-B-bimodules P ≃ Hom_{B}(Q, B) et par définition Q = Hom_{A}(P, A). On obtient donc un isomorphisme

h̃ := h^{−1} : Q ⟶^{∼} \overline{Hom_{B}(Q, B)}.

Rappelons également que l’on dispose de deux dualités différentes sur ℰ_{b}(A) et ℰ_{b}(B) :

1. La catégorie ℰ_{b}(A) est munie de la dualité \overline{Hom_{A}( , A)} et ℰ_{b}(B) est munie de la dualité \overline{Hom_{B}( , B)}.

2. Les deux catégories sont munies des dualités \overline{Hom_{R}( , R)} (pour les invo-

lutions τ et ν respectivement). Par le lemme 5.6 et (5.1) les traces réduites tr_{A / R} et tr_{B / R} induisent des isomorphismes

ρ _{,A} : \overline{Hom_{A}( , A)} ⟶^{∼} \overline{Hom_{R}( , R)}

et

ρ _{,B} : \overline{Hom_{B}( , B)} ⟶^{∼} \overline{Hom_{R}( , R)}.

Il suit que les deux dualités sur ℰ_{b}(A) (resp. ℰ_{b}(B)) sont isomorphes. On obtient donc un espace ϵ_{0}-hermitien

h′ : P ⟶^{h} \overline{Hom_{A}(P, A)} ⟶ −^{ρ_{P,A}} \overline{Hom_{R}(P, R)}

pour la dualité \overline{Hom_{R}( , R)} sur ℰ_{b}(A) et également un espace ϵ_{0}-hermitien

h̃′ : Q \underrightarrow{h̃} \overline{Hom_{B}(Q, B)} ⟶ −^{ρ_{Q,B}} \overline{Hom_{R}(Q, R)}

pour la dualité \overline{Hom_{R}( , R)} sur ℰ_{b}(B). Soit

b′ : P × P ⟶ R

la forme ϵ_{0}-hermitienne adjointe à h′ [Kn, I.2.2.] et soit

b̃′ : Q × Q ⟶ R

la forme ϵ_{0}-hermitienne adjointe à h̃′. Par des résultats dans [Kn], on obtient alors des équivalences qui préservent les dualités sur les sous-catégories des modules de Gorenstein de dimension 0. Plus précisément, on a la proposition suivante :

Proposition A.13. 1. L’équivalence de catégories F′ devient un foncteur qui préserve les dualités induites par \overline{Hom_{A}( , A)} sur ℰ_{b}(A) et par \overline{Hom_{B}( , B)} sur ℰ_{b}(B) avec la transformation de dualités

ϕ′_{M} : Hom_{A}(P, \overline{Hom_{A}(M , A)}) ⟶ \overline{Hom_{B}(Hom_{A}(P, M ), B)}

définie par

f ↦ (g ↦ h^{−1} ∘ f^{♯} ∘ ϖ_{M}^{♯} ∘ g),

cf. [Kn, II.3, p.82].

2. L’équivalence de catégories F devient un foncteur qui préserve les dualités induites par \overline{Hom_{R}( , R)} sur ℰ_{b}(A) et par \overline{Hom_{R}( , R)} sur ℰ_{b}(B) avec la transformation de dualités

ϕ_{M} : Q ⊗_{A}\overline{Hom_{R}(M , R)} ⟶ \overline{Hom_{R}(Q ⊗_{A} M , R)}

donnée par

ϕ_{M} = (ρ_{Q ⊗ M ,B}^{−1}) ∘ \overline{Hom_{B}(φ_{M} , B)} ∘ ϕ′_{M} ∘ φ\overline{Hom_{A}(M ,A)} ∘ (id_{Q} ⊗ρ_{M ,A}).

Explicitement, l’homomorphisme ϕ_{M} est donnée par

q ⊗ f ↦ ( q′ ⊗ m ↦ tr_{B / R}(b̃′(q, q′)) f(m) ),

Les deux foncteurs envoient un (A, τ)-espace ϵ-hermitien sur un (B, ν)- espace ϵϵ_{0}-hermitien et ils sont isométriques. Ils induisent en particulier les mêmes isomorphismes sur les groupes de Witt.

Démonstration. Pour la première partie, il s’agit de reproduire la preuve de [Kn, II.3, p.82-83], en vu du lemme A.12. La deuxième est une conséquence de [Kn, II.3.4.2].

Démonstration de la proposition A.11. Il s’agit d’étendre ce résultat au catégories dérivées, puis au groupes de Witt. Étendons d’abord le résultat aux catégories dérivées de ℰ_{b}(A) et ℰ_{b}(B). Soient 𝔇_{R}^{(A,τ)} et 𝔇_{R}^{(B,ν)} les dualités (dérivées) \overline{Hom_{R}( , R)} sur ℰ_{b}(A) (D^{b}(ℰ_{b}(A))) et ℰ_{b}(A) (D^{b}(ℰ_{b}(B))). Le morphisme de bi-dual est noté ϖ^{R} dans les deux cas. Alors un espace symétrique dans (ℰ_{b}(A), 𝔇_{R}^{(A,τ)}, ϖ^{R}) est la même chose qu’un espace anti-symétrique dans (ℰ_{b}(A), 𝔇_{R}^{(A,τ)}, ϵ_{0} · ϖ^{R}). En tenant compte de l’isomorphisme (5.1), c’est-à-dire que le foncteur de Morita induit une équivalence de catégories exactes avec dualité :

( ℰ_{b}(A), 𝔇_{R}^{(A,τ)}, ϖ^{R}) ⟶^{≃} ( ℰ_{b}(B), 𝔇_{R}^{(B,ν)}, ϵ_{0} · ϖ^{R}).

On peut maintenant dériver cette équivalence et on obtient une équivalence de catégories triangulées avec dualité 1-exacte :

( D^{b}(ℰ_{b}(A)), 𝔇_{R}^{(A,τ)}, 1, ϖ^{R}) ⟶^{≃} ( D^{b}(ℰ_{b}(B)), 𝔇_{R}^{(B,ν)}, 1, ϵ_{0} · ϖ^{R}).  (A.1)

Ensuite, observons qu’un résultat de Bass [Bs1, Thm. 8.2] montre que le foncteur naturel D^{b}(ℰ_{b}(A)) ⟶ D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(A)) est une équivalence (cf. [Gil1, 2.11]). En choisissant un quasi-isomorphisme R ⟶^{∼} I_{•}, on obtient une équivalence de catégories avec dualités 1-exactes

( D^{b}(ℰ_{b}(A)), 𝔇_{R}^{(A,τ)}, 1, ϖ^{R}) ⟶^{≃} ( D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(A)), 𝔇_{I_{•}}^{(A,τ)}, 1, ϖ^{I^{•}}),

où 𝔇_{I_{•}}^{(A,τ)} désigne la dualité \overline{Hom_{R}( , I_{•})} sur D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(A)) et D_{c}^{b}(ℳ_{qc}(B)), et où ϖ^{I} est le morphisme de bidualité correspondant. Une telle équivalence existe également pour (B, ν), donc l’équation (A.1) se traduit alors, en vu du lemme A.6, en une équivalence des catégories triangulées avec dualité 1-exacte (dans le sens de [Gil6, Sect. 1.1]) :

F : ( D_{c}^{b}(ℳ(A)), 𝔇_{I}^{(A,τ)}, 1, ϖ^{I} ) ⟶^{≃} ( D_{c}^{b}(ℳ(B)), 𝔇_{I}^{(B,ν)}, 1, ϵ_{0} · ϖ^{I} )

avec une transformation de dualités

ϕ : F · 𝔇_{I}^{(A,τ)} ⟶^{∼} 𝔇_{I}^{(B,ν)} · F,

qui est une extension du morphisme ϕ de [Kn, II.3, p.82] aux catégories dérivées. On donne une description détaillée de l’isomorphisme naturel ϕ dans la preuve du théorème A.15. On pose alors F_{(X,P,h)} := F et ϕ_{(X,P,h)}^{(0)} := ϕ et la preuve de la proposition est terminée.

A.3 Le cas général

Il reste maintenant à démontrer le cas général où u : Z ↪ X est une immersion fermée et Z est un sous-schéma fermé connexe de Gorenstein quelconque. Pour cela nous introduisons le foncteur de dévissage (cf. [Gil7, Lem. 2.5] et [Gil6, Sect. 3.4]).

A.3.1 Le foncteur de dévissage u_{*}

On peut supposer que X est connexe et que notre résolution injective I_{•} de R est une résolution injective minimale (cf. définition A.2). Comme Z est de Gorenstein et connexe, les points maximaux de Z (correspondant aux idéaux premiers minimaux de R /𝔞) sont tous de la même codimension dans X, disons r (voir [Ei, Cor.18.10]). On obtient alors une résolution injective J_{•} ≃ Hom_{R}(R /𝔞, I_{•} [r]) du R /𝔞-module R /𝔞, définie par

J_{−s} := {x ∈ I_{−(s+r)} | 𝔞 · x = 0},

en degré −s avec J_{−s} = 0 si −s ≥ 0 (voir lemme A.4), qui est en fait une résolution injective minimale. C’est un complexe dualisant pour le schéma Z. On considère alors les foncteurs de dévissage suivants (cf. [Gil1, Sect. 5.1]) :

( D_{c}^{b}(ℳ(A /𝔞)), 𝔇_{J}^{(A /𝔞,τ/𝔞)}, 1, ϖ^{J} ) ⟶ −^{(u_{*}^{A},η^{A})} ( D_{c}^{b}(ℳ(A)), T^{r} ·𝔇_{I}^{(A,τ)}, (−1)^{r}, (−1)^{\frac{r(r+1)}{2}} ϖ^{I} )

et

( D_{c}^{b}(ℳ(B /𝔞)), 𝔇_{J}^{(B /𝔞,ν/𝔞)}, ϵ_{0}·ϖ^{J} ) ⟶ −^{(u_{*}^{B} ,η^{B} )} ( D_{c}^{b}(ℳ(B)), T^{r} ·𝔇_{I}^{(B,ν)}, (−1)^{r}, (−1)^{\frac{r(r+1)}{2}} ϖ^{I} ).

On se limite à expliciter le foncteur (u_{*}^{A}, η^{A}) puisque le foncteur (u_{*}^{B}, η^{B}) est analogue. On a

u_{*}^{A} : D_{c}^{b}(ℳ(A /𝔞)) ⟶ D_{c}^{b}(ℳ(A))
M_{•} ↦_{A} M_{•}

et

u_{*}^{B} : D_{c}^{b}(ℳ(B /𝔞)) ⟶ D_{c}^{b}(ℳ(B))
M_{•} ↦_{B} M_{•}

où_{A} M_{•} (resp._{B} M_{•}) est le complexe en A /𝔞-modules (resp. B /𝔞-modules) M_{•} vu comme complexe en A_{•}-modules (resp. B-modules M_{•}). La transformation naturelle

η^{A} : u_{*}^{A} · 𝔇_{J}^{(A /𝔞,τ/𝔞)} ⟶ (T^{r} ·𝔇_{I}^{(A,τ)}) · u_{*}^{A}

est définie comme suit. Soit M_{•} ∈ D_{c}^{b}(A/𝔞). Le morphisme η_{M_{•}}^{A}

η_{M_{•}}^{A} :_{A} \overline{Hom_{R /𝔞}(M_{•}, J_{•})} ⟶ \overline{Hom_{R}(_{A}M_{•}, I_{•})} [r]

est défini (cf. [Gil6, 3.4]) en dégré i par (pour les conventions des signes, voir le début de ce chapitre)

⨁_{s=0}^{n−r} \overline{Hom_{R /𝔞}(M_{−i−s}, J_{−s})} ⟶ ⨁_{s=−r}^{n−r} \overline{Hom_{R}(_{A}M_{−i−s}, I_{−(s+r)})}

(f_{0}, ..., f_{n−r}) ↦ (0, .., 0, (−1)^{ri}ι_{0}f_{0}, (−1)^{r(i+1)}ι_{1}f_{1}, ..., (−1)^{r(i+n−r)}ι_{n−r}f_{n−r}),

où ι_{s} : J_{−s} ↪ I_{−(s+r)} (cf. [Gil6, 3.4]). Observons que ceci est bien un isomorphisme par la remarque A.3 et par le lemme A.4. On vérifie que la transformation naturelle ainsi définie est bien une transformation de dualités, cf. [Gil6, 3.4].

Remarque A.14. On observe que le morphisme η_{M_{•}}^{A} est (trivialement) la composition des morphismes

A\overline{Hom_{R /𝔞}(M_{•}, J_{•})} \underrightarrow{η_{M •}^{A}} \overline{Hom_{R}(_{A}M_{•}, I_{•} [r])} ⟶ −^{a^{(r)}} \overline{Hom_{R}(_{A}M_{•}, I_{•})} [r],

où η_{M_{•}}^{A} est le morphisme de complexes défini en degré i par

⨁_{s=0}^{n−r} \overline{Hom_{R /𝔞}(M_{−i−s}, J_{−s})} ⟶ ⨁_{s=−r}^{n−r} \overline{Hom_{R}(_{A}M_{−i−s}, I_{−(s+r)})}

(f_{0}, ..., f_{n−r}) ↦ (0, .., 0, ι_{0}f_{0}, ι_{1}f_{1}, ..., ι_{n−r}f_{n−r})

et où a^{(r)} = a_{M_{•},I_{•}}^{(r)} est l’isomorphisme de complexes défini dans la remarque A.1, i.e. en degré i on a

⨁_{s=−r}^{n−r} \overline{Hom_{R}(_{A}M_{−i−s}, I_{−(s+r)})} ⟶ ⨁_{s=−r}^{n−r} \overline{Hom_{R}(_{A}M_{−i−s}, I_{−(s+r)})}

(g_{−r}, ..., g_{n−r}) ↦ ((−1)^{r(i−r)}g_{−r}, (−1)^{r(i−r+1)}g_{−r+1}, ..., (−1)^{ri}g_{0}, ..., (−1)^{r(i+n−r)}g_{n−r}).

A.3.2 Compatibilité des foncteurs F et u_{*}

Il reste à montrer que l’équivalence de Morita F est compatible avec le foncteur de dévissage u_{*}.

Soient (A, τ) et (B, ν) deux algèbres d’Azumaya sur R à involutions de première espèce et (P, h′) un (A, τ) espace ϵ_{0}-hermitien tel que le triplet (X, P, h) satisfait à la condition A.7. Alors on a

B ≃ End_{A}(P)

et ν est l’involution adjointe sur B définie par

ν(g) := h^{−1} ∘ g^{♯} ∘ h,

où on rappelle que g^{♯} = Hom_{A}(g, A), cf. section 2.3.1. Selon [Kn, I.2.2.], l’espace

h : P ⟶^{∼} \overline{Hom_{A}(P, A)}

correspond à une forme ϵ_{0}-hermitienne (régulière)

b : P × P ⟶ A

telle que h : x ↦ (y ↦ b(x, y)). Observons que si x ∈ 𝔞 P, alors b(x, y) ∈ 𝔞 A pour tout y ∈ P, par sesquilinéarité. On obtient donc une forme ϵ_{0}-hermitienne régulière

\overline{b} : P /𝔞 × P /𝔞 ⟶ A /𝔞

Elle induit un espace ϵ_{0}-hermitien

\overline{h} : P/𝔞 ⟶^{∼} \overline{Hom_{A/𝔞}(P /𝔞, A /𝔞)}

\overline{h} : \overline{x} ↦ (\overline{y} ↦ \overline{b}(\overline{x}, \overline{y})).

Et on voit que le triplet (Z, P_{Z}, h_{Z}) (où Z = Spec R /𝔞 et donc P /𝔞 = P_{Z} et \overline{h} = h_{Z}) satisfait également à cette condition, i.e. on a

B /𝔞 ≃ End_{A /𝔞}(P /𝔞)

et \overline{ν} est l’involution adjointe sur B /𝔞 définie par

\overline{ν}(\overline{g}) := \overline{h}^{−1} ∘ \overline{g}^{♭} ∘ \overline{h},

où \overline{g}^{♭} = Hom_{A /𝔞}(\overline{g}, A /𝔞). Dans la section A.2 on a observé que l’on obtient à partir de h un (B, ν)-espace ϵ_{0}-hermitien

h̃ : Q ⟶ \overline{Hom_{B}(Q, B)}.

De la même façon, on obtient à partir de \overline{h} un (\overline{B}, \overline{ν})-espace ϵ_{0}-hermitien

˜\overline{h} : Q /𝔞 ⟶ \overline{Hom_{B /𝔞}(Q /𝔞, B /𝔞)}.

Notons, comme dans la section A.2,

\overline{h}′ : P /𝔞 ⟶ \overline{Hom_{R /𝔞}(P /𝔞, R /𝔞)},

et

˜\overline{h}′ : Q /𝔞 ⟶ \overline{Hom_{R /𝔞}(Q /𝔞, R /𝔞)}.

les espaces ϵ_{0}-hermitiens obtenus par le lemme 5.6 et l’équation (5.1) pour les dualités \overline{Hom_{R /𝔞}( , R /𝔞)} sur D^{b}(ℰ_{b}(A)) et D^{b}(ℰ_{b}(B)) respectivement. Ensuite

notons \overline{b}′ la forme hermitienne adjointe à \overline{h}′ et ˜ \overline{b}′ la forme hermitienne adjointe à ˜ \overline{h}′.

Pour démontrer le théorème A.8 dans le cas général il s’agit donc de démontrer la compatibilité suivante :

Théorème A.15. Avec les notations comme plus haut, le diagramme suivant commute :

( D_{c}^{b}(ℳ (A)), T^{r} ·𝔇_{I}^{(A,τ)}, (−1)^{r}, (−1)^{\frac{r(r+1)}{2}} ϖ^{I} ) ⟶^{(F,ϕ^{(r)})} ( D_{c}^{b}(ℳ (B)), T^{r} ·𝔇_{I}^{(B,ν)}, (−1)^{r}, (−1)^{\frac{r(r+1)}{2}} ϵ_{0} · ϖ^{I} )
↑^{(u_{*}^{A},η^{A})}  ↑^{(u_{*}^{B} ,η^{B} )}
( D_{c}^{b}(ℳ (A /𝔞)), 𝔇_{J}^{(A /𝔞,τ/𝔞)}, 1, ϖ^{J} )  ⟶^{(\overline{F},ϕ^{(0)})}  ( D_{c}^{b}(ℳ (B /𝔞)), 𝔇_{J}^{(B /𝔞,ν/𝔞)}, 1, ϵ_{0} · ϖ^{J} ).

où

(F, ϕ^{(r)}) = (F_{(X,P,h′)}, ϕ_{(X,P,h′)}^{(r)})

et

(\overline{F}, ϕ^{(0)}) = (F_{(Z,P_{Z},h′_{Z})}, ϕ_{(Z,P_{Z},h′_{Z})}^{(0)})

sont les extensions évidentes du foncteur (F, ϕ) de [Kn, II.3, p.82].

Démonstration. Les foncteurs (u_{*}^{A}, η^{A}) et (u_{*}^{B}, η^{B}) ont déjà été définis dans la section A.3.1. Donnons maintenant par souci d’exhaustivité des définitions détaillées des foncteurs (F, ϕ^{(r)}) et (\overline{F}, ϕ) = (\overline{F}, ϕ^{(0)}). Commençons par le foncteur (F, ϕ^{(r)}). On a

F : D_{c}^{b}(ℳ(A)) ⟶ D_{c}^{b}(ℳ(B))
M_{•} ↦ Q ⊗_{A} M_{•}

(on rappelle que Q = Hom_{A}(P, A)) et ϕ^{(r)} est une transformation de dualité pour F :

ϕ^{(r)} : F · (T^{r} ·𝔇_{I_{•}}^{(A,τ)}) ⟶ (T^{r} ·𝔇_{I_{•}}^{(B,ν)}) · F,

A.3. LE CAS GÉNÉRAL 95 qui étend la transformation de dualités ϕ de la proposition A.13. Soit M_{•} ∈ D_{c}^{b}(ℳ(A)). L’isomorphisme naturel

ϕ_{M_{•}}^{(r)} : Q ⊗_{A}\overline{Hom_{R}(M_{•}, I_{•})} [r] ⟶^{∼} \overline{Hom_{R}(Q ⊗_{A} M_{•}, I_{•})} [r]

est donc défini en degré i comme suit. Soit

q ⊗ f_{−i−s} ∈ Q ⊗_{A}\overline{Hom_{R}(M_{−i−s}, I_{−(s+r)})}.

On définit alors

Q ⊗_{A}\overline{Hom_{R}(M_{−i−s}, I_{−(s+r)})} ⟶^{∼} ⨁_{t=−r}^{n−r} \overline{Hom_{R}(Q ⊗_{A} M_{−i−t}, I_{−(t+r)})}

par q ⊗ f_{−i−s} ↦ \{ \begin{matrix}q′ ⊗ m ↦ tr_{B / R}(b̃′(q, q′)) f_{−i−s}(m) & si s = t \\ 0 & si s ≠ t. \end{matrix}

De la même façon, on définit le foncteur (\overline{F}, ϕ). On a

\overline{F} : D_{c}^{b}(ℳ(A /𝔞)) ⟶ D_{c}^{b}(ℳ(B /𝔞))

M_{•} ↦ Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} M_{•}

et ϕ est une transformation de dualités pour \overline{F} :

ϕ = ϕ^{(0)} : \overline{F} · 𝔇_{J_{•}}^{(A /𝔞,τ/𝔞)} ⟶ 𝔇_{J_{•}}^{(B /𝔞,ν/𝔞)} · \overline{F}.

Soit M_{•} ∈ D_{c}^{b}(ℳ(A)). L’isomorphisme naturel

ϕ_{M_{•}}^{(0)} : Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞}\overline{Hom_{R /𝔞}(M_{•}, J_{•})} ⟶^{∼} \overline{Hom_{R /𝔞}(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} M_{•}, J_{•})}

est donc défini en degré i comme suit. Soit

q ⊗ f_{−i−s} ∈ Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞}\overline{Hom_{R /𝔞}(M_{−i−s}, J_{−s})}.

On définit alors

Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞}\overline{Hom_{R /𝔞}(M_{−i−s}, J_{−s})} ⟶^{∼} ⨁_{t=0}^{n} \overline{Hom_{R /𝔞}(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} M_{−i−t}, J_{−t})}

par q ⊗ f_{−i−s} ↦ \{ \begin{matrix}q′ ⊗ m ↦ tr_{B /𝔞 / R /𝔞}(˜\overline{b}′(q, q′)) f_{−i−s}(m) & si s = t \\ 0 & si s ≠ t. \end{matrix}

On obtient alors les deux foncteurs préservant les dualités (F · u_{*}^{A}, ϕ_{u_{*}^{A}}^{(r)} · F(η)) et (u_{*}^{B} ·\overline{F}, ηB \overline{F} · u_{*}^{B}(ϕ^{(0)})) : ( D_{c}^{b}(ℳ(A/𝔞)), 𝔇_{J}^{(A /𝔞,τ/𝔞)}, ϖ^{J} ) ⟶ ( D_{c}^{b}(ℳ(B)), T^{r} ·𝔇_{I}^{(B,ν)}, (−1)^{r}, (−1)^{\frac{r(r+1)}{2}} ϖ^{I} )

Il s’agit de voir qu’ils sont isométriques dans le sens de [Gil6, Def. 1.2]. C’est-à-dire qu’il faut trouver un isomorphisme naturel de foncteurs

s : (F · u_{*}^{A}, ϕ_{u_{*}^{A}}^{(r)} · F(η^{A})) ⟶^{≃} (u_{*}^{B} ·\overline{F}, ηB \overline{F} · u_{*}^{B}(ϕ^{(0)}))

qui est compatible avec le foncteur de translation T et qui satisfait à :

ϕ_{u_{*}^{A}}^{(r)} ∘ F (η^{A}) = (T^{r} ·𝔇_{I}^{(B,ν)})(s) ∘ ηB \overline{F} ∘ u_{*}^{B}(ϕ^{(0)}) ∘ s_{𝔇^{(A /𝔞,τ/𝔞)}}. (A.2)

Soit donc s la flèche de tensorisation par A /𝔞. Alors pour tout M_{•} ∈ D_{c}^{b}(ℳ(A /𝔞))

s_{M_{•}} : Q ⊗_{A} (_{A}M_{•}) ⟶ −^{⊗_{A}A /𝔞} _{B}(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} M_{•}),

où_{A} M_{•} est le complexe M_{•} vu comme complexe de A-modules par la projection A ⟶ A /𝔞, et analoguement pour _{B}(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} M_{•}).

Vérifions d’abord la compatibilité de s avec le foncteur de translation. Soit donc M_{•} ∈ D_{c}^{b}(ℳ(A /𝔞)). Il s’agit de vérifier que le diagramme suivant commute :

Q ⊗_{A} (_{A}M_{•}) [1 ] ⟶^{T_{D^{b}_{c}(ℳ (B))} s_{M_{•}}}  _{B}(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} M_{•}) [1 ]
∥  ∥
Q ⊗_{A} (_{A}M_{•} [1 ]) ⟶_{s_{T_{D^{b}_{c}(ℳ (A /𝔞))}(M •)}}  _{B}(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} M_{•} [1 ]),

ce qui est le cas puisque les foncteurs _{B}(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} ) et Q ⊗_{A} (_{A} ) sont exacts, donc se calculent degré par degré.

Pour vérifier l’équation (A.2), il faut montrer que le diagramme suivant commute :

B(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} \overline{Hom_{R /𝔞}(M_{•}, J_{•})}) ⟵^{s_{𝔇{(A /𝔞,τ/𝔞) \atop (M •)}}} Q ⊗_{A} (_{A}\overline{Hom_{R /𝔞}(M_{•}, J_{•})})
u_{*}^{B} (ϕ_{M_{•}})↓  ↓^{F(η_{M •}^{A} )}
B \overline{Hom_{R /𝔞}(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} M_{•}, J_{•})}  Q ⊗_{A} \overline{Hom_{R}(_{A}M_{•}, I_{•})} [r]
η_{\overline{F}(M •)}^{B}↓  ↓^{ϕ_{u_{*}^{A}(M •)}^{(r)}}
\overline{Hom_{R}(_{B}(Q /𝔞 ⊗_{A /𝔞} M_{•}), I_{•})} [r] ⟶^{(T^{r} ·𝔇_{I}^{(B,ν)})(s_{M_{•}})} \overline{Hom_{R}(Q ⊗_{A} (_{A}M_{•}), I_{•})} [r]

Supposons alors que q ⊗ f_{−i−s} est un élement du complexe Q ⊗_{A} (_{A}\overline{Hom_{R /𝔞}(M_{•}, J_{•})}) en degré i. L’image de cet élément par la composition

ϕ_{u_{*}^{A}(M_{•})}^{(r)} ∘ F(η_{M_{•}}^{A})

est l’homomorphisme

q′ ⊗ m ↦ (−1)^{ri} tr_{B / R}(b̃′(q′, q))ιf_{−i−s}(m)

et l’image par la composition

(T^{r} ·𝔇_{I}^{(B,ν)})(s_{M_{•}}) ∘ η_{\overline{F}(M_{•})}^{B} ∘ u_{*}^{B}(ϕ_{M_{•}}^{(0)}) ∘ s_{𝔇^{(A /𝔞,τ/𝔞)}(M_{•})}

est l’homomorphisme

q′ ⊗ m ↦ (−1)^{ri} tr_{B /𝔞 / R /𝔞}(˜\overline{b}′(q′, \overline{q}))ιf_{−i−s}(m).

A.3. LE CAS GÉNÉRAL 97 Mais f_{−i−s}(m) · 𝔞 = 0, comme f_{−i−s}(m) ∈ J_{−s}. Donc l’égalité des deux homomorphismes est une conséquence du fait que l’on a

tr_{B / R}(b̃′(q′, q)) ⊗_{R} R /𝔞 = tr_{B /𝔞 / R /𝔞}(˜\overline{b}′(q′, \overline{q}))

et le théorème est prouvé.

98 ANNEXE A. UN THÉORÈME DE COMPATIBILITÉ

Bibliographie

[AABGP] Bruce Allison, Saeid Azem, Stephen Berman, Yun Gao, Arturo Pianzola, Extended affine Lie algebras and their root systems, Mem. Am. Math. Soc. 603 (1997), 1-122

[ABFP] Bruce Allison, Stephen Berman, John Faulkner, Arturo Pianzola, Realization of graded-simple algebras as loop algebras, Forum Math. (2007), à paraître

[Ba1] Paul Balmer, Triangular Witt groups. Part I : The 12-term localisation exact sequence, K-theory 19 (2000), 311-363

[Ba2] Paul Balmer, Triangular Witt groups. Part II : From usual to derived, Math. Z. 236 (2001), 351-382

[BFP] Eva Bayer-Fluckiger, Raman Parimala, Galois cohomology of the classical groups over fields of cohomological dimension ≤ 2, Invent. math. 122 (1995), 195-229

[BH] Winfried Bruns, Jürgen. Herzog, Cohen Macaulay Rings, Cambridge Univ. Press, (1993)

[Bk] Anthony Bak, On modules with quadratic forms in Algebraic K-theory and its Geometric applications, Conf. Hull, Lecture Notes in Mathematics 108, Springer Verlag, (1969), 55-66

[BP] Paul Balmer, Raman Preeti, Shifted Witt groups of semi-local rings, Manuscripta Math. 117 (2005), 1-27

[BKP] Hyman Bass, Aderemi O. Kuku, Claudio Pedrini Proceedings of the Workshop and Symposium : Algebraic K-Theory and its Applications, World Scientific, (1999)

[Bo] Armand Borel A Linear Algebraic Groups, second edition, Graduate Texts in Mathematics, vol. 126, Springer-Verlag, New York, (1991)

[Bs1] Hyman Bass, On the ubiquity of Gorenstein rings, Math. Z., 82, (1963), 8-28

[Bs3] Hyman Bass, Algebraic K-theory, W.A.Benjamin, Inc. (1968)

[BT] Armand Borel, Jacques Tits, Groupes réductifs, Pub. Math. IHES 27, (1965), 55-152

[BW] Paul Balmer, Charles Walter, A Gersten-Witt Spectral Sequence For Regular Schemes, Ann. Scient. Éc. Norm. Sup. 4^{e} série, t.35, (2002), 127-152 [CTGP] Jean-Louis Colliot Thélène, Philippe Gille, Raman Parimala, Arith-

metic of linear algebraic groups over two-dimensional geometric fields, Duke Math. J., 121 (2004), 285-321

[dJ] Aise J. de Jong, The period-index problem for the Brauer group of an algebraic surface, Duke Mathematical Journal 123, (2004), 71-94

[Ei] David Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag (1994)

[Fu] William Fulton, Intersection Theory, 2nd edition, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 3.Folge, (1998)

[Ga] Ofer Gabber, Some theorems on Azumaya algebras, Lecture Notes in Mathematics, Band 844, 129-209

[GP] Philippe Gille, Arturo Pianzola, Isotriviality of torsors over Laurent polynomial rings, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005), 725-729

[GP1] Philippe Gille, Arturo Pianzola, Affine Kac-Moody Algebras and Galois Cohomology and forms over Laurent polynomial rings, Math. Ann. 338 (2007), 497-543

[GP2] Philippe Gille, Arturo Pianzola, Isotriviality and étale cohomology of Laurent polynomial rings, J. Pure. Appl. Alg. 212 (2008) 780-800

[GP3] Philippe Gille, Arturo Pianzola, Affine Kac-Moody Algebras and Galois Cohomology and forms over Laurent polynomial rings II, à paraître

[GS] Philippe Gille, Tamás Szamuely, Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Vol. 101, Cambridge University Press (2006)

[Gil1] Stefan Gille, A Gersten-Witt Complex For Hermitian Witt Groups of Coherent Algebras Over Schemes I : Involutions Of The First Kind, Compos. Math. 143 (2007), 271-289

[Gil2] Stefan Gille, A Gersten-Witt Complex For Hermitian Witt Groups of Coherent Algebras Over Schemes I : Involutions Of The Second Kind, Journal of K-Theory, à paraître

[Gil3] Stefan Gille, On Witt groups with support, Math. Ann. 322 (2002), 103-137

[Gil4] Stefan Gille, A transfer morphism for Witt groups, J. Reine Angew. Math. 564 (2003), 215-233

[Gil5] Stefan Gille, A graded Gersten-Witt complex for schemes with a dualizing complex and the Chow group, J. Pure Appl. Alg. 208 (2007), 391-419

[Gil6] Stefan Gille, Homotopy invariance of coherent Witt groups, Math. Z. 244 (2003), 211-233

[Gil7] Stefan Gille, The general dévissage theorem for Witt groups of schemes, Arch. Math. 88 (2007), 333-343

[Gir] Jean Giraud, Cohomologie non abelienne, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 179 Springer-Verlag, Berlin, (1971)

[Gr1] Alexander Grothendieck, Le groupe de Brauer I, Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, North-Holland, Amsterdam, Masson, Paris (1968), 46-66

[Gr2] Alexander Grothendieck, Le groupe de Brauer II. Théories cohomologiques, Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas, North-Holland, Amsterdam, Masson, Paris (1968), 67-87

[Ha] Robin Hartshorne, Residues and Duality, Lecture Notes in Mathematics 20 Springer-Verlag (1966)

[KMRT] Max-Albert Knus, Alexander Merkurjev, Jean-Pierre Tignol, Markus Rost, The Book of Involutions, AMS Colloquium Publications Vol. 44 (1998)

[Kne] Martin Kneser, On Galois Cohomology, Lecture Notes, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay (1969)

[Kn] Max-Albert Knus, Quadratic and Hermitian Forms over Rings, Grundlehren der mathemtischen Wissenschaften 294, Springer-Verlag, (1991)

[Kn1] Max-Albert Knus, Algèbres d’Azumaya et modules projectifs, Comm. Math. Helv. (1969)

[La] Tsit Yuen Lam, Serre’s Problem On Projective Modules, Springer Mathematical Monographs (2006)

[Ma] Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge Studies 8, Cambridge University Press, (1986)

[Me] Alexander Merkurjev, Invariants of algebraic groups, J. Reine Angew. Math. 508 (1999), 127-156

[Mi] James S. Milne, Étale Cohomology, Princeton University Press, (1980)

[Mil] John Willard Milnor, Introduction to Algebraic K-theory, Princeton University Press, (1972)

[Ne] Erhard Neher, Extended affine Lie algebras, C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 26 (3) (2004), 90-96

[Pi] Arturo Pianzola, Vanishing of H^{1} for Dedekind rings and application to loop algebras, Comptes Rendus, Acad, Sci. Paris, Ser. I 340 (2005), 633-638

[PS] Ivan A. Panin, Andrei A. Suslin, On a Grothendieck Conjecture for Azumaya Algebras, St. Petersburg Math. J., Vol. 9 (1998), No.4, 851-858

[Pa] Raman Parimala, Quadratic Spaces Over Laurent Extensions of Dedekind Domains, Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 277, No. 2, June (1983), 569-578

[QSS] Heinz-Georg Quebbemann, Winfried Scharlau, Manfred Schulte, Quadratic and Hermitian forms in additive and abelian categories, J. Algebra 59 (1979), 264-289

[Ro] Maxwell Rosenlicht, Toroidal algebraic groups, Proc. Amer. Math. Soc. 12 (1961), 984-988 [Sa] Jean-Jacques Sansuc, Groupe de Brauer et arithmétique des groupes

algébriques linéaires sur un corps de nombres, J. Reine Angew. Math. 327 (1981), 12-80

[Sch] Winfried Scharlau, Quadratic and Hermitian Forms, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 270, Springer-Verlag (1985)

[SGA3] Séminaire de géométrie algébrique de l’I.H.E.S., 1963-1964, schémas en groupes, dirigé par M. Demazure et A. Grothendieck, Lecture Notes in Math. 151-153, Springer-Verlag (1970)

[Se] Jean-Pierre Serre, Cohomologie Galoisienne, Cinquième édition, Springer-Verlag (1997)

[Ti] Jacques Tits, Classification of Algebraic Semisimple Groups, Algebraic Groups and Discontinous Subgroups (Boulder, Colorado 1965), Proceedings of Symposia in Pure Mathematics IX, American Math. Soc¿ Providence (1966), 33-62

[We] André Weil, Algebras with involution and the classical groups, J. Ind. Math. Soc. 24 (1961), 589-623

Wilhelm Alexander Steinmetz-Zikesch Laboratoire de Mathématiques Bâtiment 425 Université Paris-Sud XI 91405 Orsay France alexander.steinmetz@gmail.fr