ISOTROPIE D’UNE FORME BILINÉAIRE D’ALBERT SUR LE

CORPS DE FONCTIONS D’UNE QUADRIQUE EN CARACTÉRISTIQUE 2

AHMED LAGHRIBI

Abstract. In this paper we give a complete answer to the isotropy of an Albert bilinear form over the function field of a quadric in characteristic 2. As a consequence, we complete the classification of nongood bilinear forms of height and degree 2 given in [10].

1. Introduction

Fixons F un corps commutatif de caractéristique 2. À une F -forme bilinéaire B d’espace sous-jacent V, on associe la F -forme quadratique diagonale B̃ définie sur V par: B̃(v) = B(v, v) pour tout v ∈ V. On note F (B) le corps de fonctions de la quadrique affine d’équation B̃ = 0, qu’on appelle le corps de fonctions de B. On désigne par dim B la dimension de B. Une forme bilinéaire d’Albert est une forme de dimension 6 et de déterminant trivial.

Le but de cet article est d’étudier l’isotropie d’une forme bilinéaire d’Albert sur le corps de fonctions d’une quadrique. Cela dépend du degré normique de la forme quadratique diagonale associée à la forme bilinéaire d’Albert en question (on renvoie à la section 2 pour des rappels sur le degré normique). Plus précisément, si γ est une F -forme bilinéaire d’Albert anisotrope, alors le degré normique de γ̃, qu’on note ndeg_{F} (γ̃), prend la valeur 8 ou 16 du fait que γ est anisotrope. Si ndeg_{F} (γ̃) = 8, alors il existe une 3-forme bilinéaire de Pfister ρ telle que γ̃ soit semblable à une sous-forme de ρ̃. Dans ce cas, en combinant [2, Prop. 8.9(iii)] et [7, Prop. 2.4], on obtient que γ_{F (B)} est isotrope si et seulement si B̃ est semblable à une sous-forme de ρ̃. Lorsque ndeg_{F} (γ̃) = 16, notre but est de prouver le théorème suivant.

Théorème 1.1. Soit γ une F -forme bilinéaire d’Albert anisotrope telle que ndeg_{F} (γ̃) = 16. Soit B une F -forme bilinéaire anisotrope de dimension ≥ 2.

2000 MSC. 11E04, 11E81.

Mots clés. Forme bilinéaire (quadratique), corps de fonctions d’une quadrique, degré normique.

(1) Supposons que B̃ ne soit pas semblable à une quasi-forme de Pfister de dimension 4. Alors, γ_{F (B)} est isotrope si et seulement si B̃ est semblable à une sous-forme de γ̃.

(2) Supposons que B̃ soit semblable à une quasi-forme de Pfister de dimension 4. Soit C une sous-forme de B de dimension 3. Alors, γ_{F (B)} est isotrope si et seulement si C̃ est semblable à une sous-forme de γ̃.

Ce théorème donne une réponse positive à [10, Question 1.4]. Comme un corollaire, il permet d’avoir le théorème suivant qui constitue une classification complète des formes bilinéaires anisotropes, non bonnes, de hauteur et de degré 2 (on renvoie à la section 2 pour la définition de la hauteur et du degré d’une forme bilinéaire).

Théorème 1.2. Soit B une F -forme bilinéaire anisotrope. Alors, B est de hauteur et de degré 2, mais pas bonne si et seulement si l’une des deux condition suivantes est vérifiée:

(1) B est une forme d’Albert.

(2) dim B = 8, et il existe une forme bilinéaire d’Albert anisotrope C, une 3-forme bilinéaire de Pfister π, et des scalaires x, y ∈ F^{∗} tels que xB ⊥ yC ⊥ π soit métabolique, et que les formes B̃ et C̃ soient semblables à des sous-formes de π̃.

Dans [10], la classification des formes bilinéaires anisotropes de dimension 8, non bonnes de hauteur et de degré 2, était incomplète; puisqu’elle dépendait de l’étude de l’isotropie d’une forme bilinéaire d’Albert sur le corps des fonctions d’une quadrique. Plus précisément, le théorème 1.2 a été prouvé dans [10, Prop. 1.6] sous l’hypothèse que le théorème 1.1 soit vrai.

Le reste de cet article est organisé comme suit. Après avoir donné des rappels dans la section 2, on établira dans la section 3 quelques résultats préliminaires. La section 4 sera consacrée à la preuve du théorème 1.1. On va s’inspirer de l’étude de l’isotropie d’une forme quadratique d’Albert faite par Leep en caractéristique ≠ 2 [12, Ch. XIII, Th. 2.13, pp. 489-490]. Mais dans notre cas, en raison de la caractéristique 2, l’étude est beaucoup plus subtile. En plus de quelques résultats sur les formes bilinéaires, comme le théorème de norme de Knebusch [4, Th. 4.2], on se servira de la notion de degré normique, et d’un résultat de spécialisation pour les formes quadratiques totalement singulières (Corollaire 3.2). Ce dernier résultat permettra d’utiliser le théorème de norme pour les formes quadratiques totalement singulières [8, Th. 1.1], ce qui simplifiera la preuve du théorème 1.1 lorsque dim B ≥ 5.

2. Quelques rappels

– Pour a_{1}, ⋯, a_{n} ∈ F^{∗} := F − {0}, on désigne par ⟨a_{1}, ⋯, a_{n}⟩_{b} la forme bilinéaire donnée par le polynôme ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}y_{i}.

– Une forme quadratique φ est dite totalement singulière si elle est donnée par un polynôme de type ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}^{2} pour a_{1}, ⋯, a_{n} ∈ F. Dans ce cas, on note φ = ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩.

– Deux formes bilinéaires (ou quadratiques) B et C sont dites semblables si B ≃ αC pour un certain α ∈ F^{∗}. On dira qu’une forme bilinéaire (ou quadratique) B est une sous-forme d’une autre forme C s’il existe une forme B′ telle que C ≃ B ⊥ B′.

– Une forme bilinéaire (ou quadratique) B d’espace sous-jacent V est dite isotrope si B̃(v) = 0 (ou B(v) = 0) pour un certain v ∈ V non nul, sinon la forme B est dite anisotrope.

– Une forme bilinéaire est dite métabolique si elle est isométrique à une somme orthogonale de formes bilinéaires isotropes de dimension 2.

– Toute forme bilinéaire B se décompose comme suit: B ≃ B_{an} ⊥ M, où M est une forme métabolique et B_{an} est une forme bilinéaire anisotrope, unique à isométrie près [3], [13]. En général, la forme M n’est pas unique. De même, une forme quadratique totalement singulière φ se décompose comme suit: φ ≃ φ_{an} ⊥ r × ⟨0⟩ avec φ_{an} une forme anisotrope unique [2, Prop. 2.4]. On note i_{d}(φ) l’entier r.

– Pour deux formes bilinéaires B et C, on note B ∼ C lorsque B_{an} ≃ C_{an}. En particulier, B ∼ 0 signifie que B est métabolique.

– Une forme quadratique totalement singulière φ est dite une quasi-forme de Pfister s’il existe une forme bilinéaire de Pfister B telle que φ ≃ B̃, et elle est dite une quasi-voisine de Pfister si elle est semblable à une sousforme d’une quasi-forme de Pfister φ′ et 2 dim φ > dim φ′. Dans ce cas, la forme φ′ est unique.

– Le corps normique d’une forme quadratique totalement singulière non nulle φ, qu’on note N_{F} (φ), est le corps F^{2}(αβ | α, β ∈ D_{F} (φ)), où D_{F} (φ) est l’ensemble des scalaires de F^{∗} représentés par φ. Le degré normique de φ est l’entier [N_{F} (φ) : F^{2}], on le note ndeg_{F} (φ). Il est bien clair que N_{F} (φ) = N_{F} (αφ) pour tout scalaire α ∈ F^{∗}. Si φ est anisotrope et 2^{n} < dim φ ≤ 2^{n+1}, alors ndeg_{F} (φ) ≥ 2^{n+1}, et ndeg_{F} (φ) = 2^{n+1} si et seulement si φ est une quasi-voisine de Pfister. On renvoie à [2, Section 8] pour plus de détails sur le degré normique.

– À une F -forme bilinéaire non nulle B, on associe une suite de corps et de formes bilinéaires (B_{i}, F_{i})_{i≥0} comme suit: F_{0} = F et B_{0} = B_{an}, et pour i ≥ 1, on prend F_{i} = F_{i−1}(B_{i−1}) et B_{i} = ((B_{i−1})_{F_{i}})_{an}. La hauteur de B est le plus petit entier h tel que dim B_{h} ≤ 1. Lorsque dim B_{0} ≥ 2, alors h ≥ 1 et la forme B_{h−1} est de hauteur 1. D’après [9, Th. 4.1], il existe une unique F_{h−1}-forme bilinéaire de Pfister π = ⟨1⟩_{b} ⊥ π′ telle que B_{h−1} soit semblable à π ou π′ suivant que dim B est paire ou impaire. Si dim B est paire, alors on dira que B est de degré d où dim π = 2^{d}, sinon, on dira que B est de degré 0. La forme B est dite bonne s’il existe une F -forme bilinéaire C telle que π ≃ C_{F_{h−1}}. On renvoie à [9, 11] pour plus de détails sur le déploiement des formes bilinéaires en caractéristique 2, et pour des résultats sur les formes bilinéaires de hauteur 2.

3. Résultats préliminaires

Soient A un anneau commutatif, M un A-module libre de rang fini n, et Q une A-forme quadratique sur M. On dira que Q est diagonale s’il existe a_{1}, ⋯, a_{n} ∈ A tels que Q ≃ ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩. Pour φ : A ⟶ A′ un homomorphisme d’anneaux, on note Q_{A′} la A′-forme quadratique sur M ⊗_{A} A′ induite par Q.

L’assertion (1) de la proposition suivante se met en parallèle avec un résultat de spécialisation dû à Knebusch [4, Prop. 3.4].

Proposition 3.1. Soient K un corps de caractéristique 2 muni d’une valuation discrète, A l’anneau de la valuation, π une uniformisante, et U le groupe des unités de A. On note k le corps résiduel. Soient M un Amodule libre de rang m, et γ une A-forme quadratique sur M diagonale. Soient u_{1}, ⋯, u_{n} ∈ U tels que:

– Pour tout i ∈ {1, ⋯, n}, il existe v_{i} ∈ M vérifiant γ(v_{i}) = πu_{i}.

– La forme ⟨\overline{u_{1}}, ⋯, \overline{u_{n}}⟩ soit anisotrope sur k, où \overline{u_{i}} = u_{i} + πA. Alors, on a:

(1) i_{d}(γ_{k}) ≥ n.

(2) ⟨πu_{1}, ⋯, πu_{n}⟩ est une sous-forme de γ.

Preuve. On garde les mêmes notations et hypothèses que dans la proposition.

On affirme que le A-module N := ∑_{i=1}^{n} Av_{i} est complété dans M, i.e., il existe un A-sous-module N′ de M tel que M = N ⊕ N′. Ceci revient à montrer que le A-module quotient M/N est sans torsion. En effet, soient m ∈ M et α ∈ A − {0} tels que αm ∈ N. Soient α_{1}, ⋯, α_{n} ∈ A tels que αm = ∑_{i=1}^{n} α_{i}v_{i}. Sans perdre de généralités, on peut supposer que α, α_{1}, ⋯, α_{n} sont premiers entre eux. Comme γ(αm) = α^{2}γ(m) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}^{2}πu_{i}, et que la forme ⟨\overline{u_{1}}, ⋯, \overline{u_{n}}⟩ est anisotrope, on a alors nécessairement que α ∈ U, ce qui implique que m ∈ N.

Maintenant, considérons la forme quadratique φ := \frac{1}{π}γ : N ⟶ A, et soit \overline{v_{i}} = v_{i} + πN pour i = 1, ⋯, n. Soit \overline{φ} : N/πN ⟶ k la forme quadratique induite par φ. Puisque ⟨\overline{u_{1}}, ⋯, \overline{u_{n}}⟩ est anisotrope, on déduit que les scalaires \overline{φ}(\overline{v_{i}}) = \overline{u_{i}} sont k^{2}-linéairement indépendants. Ainsi, les vecteurs \overline{v_{i}} sont k-linéairement indépendants dans N/πN, car la forme \overline{φ} est diagonale et donc quasi-linéaire. Comme N est complété dans M, on conclut que les vecteurs v_{i} + πM sont k-linéairement indépendants dans M/πM. D’une part, ceci permet d’avoir l’assertion (1) car γ_{k} est quasilinéaire et γ_{k}(v_{i} + πM) = 0 pour tout i = 1, ⋯, n. D’autre part, on déduit que les v_{i} sont A-linéairement indépendants dans M. Comme N est complété dans M, l’assertion (2) s’en déduit.

De la proposition 3.1, on obtient les deux corollaires suivants.

Corollaire 3.2. Soit R = F [t_{1}, ⋯, t_{n}] l’anneau des polynômes sur F en les variables t_{1}, ⋯, t_{n}. Soient γ une F -forme quadratique totalement singulière, et p ∈ R un polynôme irréductible. On note K et F_{p} les corps des fractions de R et R/(p), respectivement. Soient u_{1}, ⋯, u_{n} ∈ R non divisibles par p tels que la K-forme quadratique γ_{K} représente pu_{1}, ⋯, pu_{n}, et que ⟨\overline{u_{1}}, ⋯, \overline{u_{n}}⟩ soit anisotrope, où \overline{u_{i}} = u_{i} + (p). Alors, i_{d}(γ_{F_{p}}) ≥ n.

Preuve. Soit V le F -espace vectoriel sous-jacent à γ. Soit A l’anneau de la valuation p-adique v de K. Le corps résiduel de v est isomorphe à F_{p}. Puisque pu_{1}, ⋯, pu_{n} sont représentés par la forme quadratique γ_{K}, on déduit, par [1, Cor. 3.4], que pu_{i} = γ_{R}(v_{i}) pour certains v_{i} ∈ V ⊗_{F} R, 1 ≤ i ≤ n. En particulier, pu_{i} = γ_{A}(v_{i}), 1 ≤ i ≤ n. Par la proposition 3.1, on déduit que i_{d}(γ_{F_{p}}) ≥ n.

Corollaire 3.3. On garde les mêmes notations et hypothèses que dans le corollaire 3.2. Si, de plus, p est unitaire et n ≥ [\frac{dim γ}{2} ], alors p est une norme de γ_{K}, i.e., γ_{K} ≃ pγ_{K}.

Preuve. Par le corollaire 3.2, et l’hypothèse n ≥ [\frac{dim γ}{2} ], la forme γ est quasi-hyperbolique sur F_{p}. Puisque p est unitaire, on obtient que γ_{K} ≃ pγ_{K} [8, Th. 1.1].

On rappelle un résultat de substitution.

Proposition 3.4. ([8, Cor. 2.4]) Soit φ une F -forme quadratique totalement singulière anisotrope qui représente un polynôme p ∈ F [t_{1}, ⋯, t_{n}]. Si c = (c_{1}, ⋯, c_{n}) ∈ F^{n} vérifie p(c) ≠ 0, alors p(c) ∈ D_{F} (φ).

Corollaire 3.5. Soit F (t) le corps des fractions rationnelles en la variable t. Soient φ et ψ = ⟨a_{1}, ⋯, a_{n}⟩ des F -formes quadratiques totalement singulières anisotropes telles que b ⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, ⋯, a_{n}⟩ soit une sousforme de φ_{F (t)} pour un certain b ∈ F^{∗} (n ≥ 2). Alors, b ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}, ⋯, a_{n}⟩ est une sous-forme de φ.

Preuve. On a a_{1} +a_{2} ≠ 0 car ⟨a_{1}, ⋯, a_{n}⟩ est anisotrope. Puisque b(a_{1}t^{2} + a_{2}) ∈ D_{F (t)}(φ), on déduit par la proposition 3.4 que ba_{2} ∈ D_{F} (φ) et b(a_{1} + a_{2}) ∈ D_{F} (φ). Ainsi, ba_{1}, ba_{2} ∈ D_{F} (φ) car D_{F} (φ) ∪ {0} est un F^{2}-espace vectoriel. Comme ba_{3}, ⋯, ba_{n} appartiennent aussi à D_{F} (φ), on déduit donc, que b ⟨a_{1}, ⋯, a_{n}⟩ est une sous-forme de φ.

La proposition suivante concerne la réduction du degré normique après passage à une extension de F. Elle a été déjà prouvée pour une extension donnée par le corps de fonctions d’une quadrique [2, Section 8].

Proposition 3.6. Soient p ∈ F [t_{1}, ⋯, t_{n}] irréductible et φ une F -forme quadratique totalement singulière. Soit F_{p} le corps des fractions de F [t_{1}, ⋯, t_{n}]/(p). Si ndeg_{F_{p}}(φ_{F_{p}}) < ndeg_{F} (φ), alors p est inséparable et ndeg_{F_{p}}(φ_{F_{p}}) = \frac{1}{2} ndeg_{F} (φ). (p inséparable signifie que ∂p/∂t_{i} = 0 pour tout i.)

Preuve. Avec les mêmes notations que dans la proposition, l’extension F_{p}/F est donnée par une extension transcendante pure suivie d’une extension séparable si et seulement si p ∉ F [t_{1}^{2}, ⋯, t_{n}^{2}] (i.e., p est séparable); auquel cas, des éléments 2-indépendants sur F restent 2-indépendants sur F_{p}, ce qui montre que le degré normique ne change pas. Si p ∈ F [t_{1}^{2}, ⋯, t_{n}^{2}], alors F_{p} = E(α) avec E/F séparable et α^{2^{m}} ∈ E pour un certain entier m ≥ 1. Comme pour tous c_{1}, ⋯, c_{r} ∈ F, on a [F^{2}(c_{1}, ⋯, c_{r}) : F^{2}] = [E^{2}(c_{1}, ⋯, c_{r}) : E^{2}] = δ[F_{p}^{2}(c_{1}, ⋯, c_{r}) : F_{p}^{2}] avec δ = 1 ou 2, on déduit que le degré normique ne peut se réduire que de moitié après extension à F_{p}.

Le lemme suivant permet de relever une isométrie entre deux formes quadratiques totalement singulières en une isométrie entre deux formes bilinéaires qui leur sont associées.

Lemme 3.7. Soient B une F -forme bilinéaire et C = ⟨a_{1}, ⋯, a_{n}⟩ une F - forme quadratique anisotrope. Alors, on a équivalence entre:

(1) C est une sous-forme de B̃.

(2) La forme bilinéaire ⟨b_{1}, ⋯, b_{n}⟩_{b} est une sous-forme de B, où pour tout 1 ≤ i ≤ n, b_{i} = a_{i} + ∑_{k=1}^{i−1} x_{i,k}^{2}a_{k} pour certains x_{i,1}, ⋯, x_{i,i−1} ∈ F (lire b_{1} = a_{1}).

Preuve. (2) ⟹ (1) On utilise l’isométrie ⟨a, b⟩ ≃ ⟨a, a + b⟩ pour tous a, b ∈ F.

(1) ⟹ (2) Soit V l’espace sous-jacent à B. Puisque D_{F} (C) ⊂ D_{F} (B), il existe v_{i} ∈ V tel que B(v_{i}) = a_{i} pour tout 1 ≤ i ≤ n. Puisque C est anisotrope, les scalaires a_{1}, ⋯, a_{n} sont F^{2}-linéairement indépendants, ce qui implique que les vecteurs v_{1}, ⋯, v_{n} sont F -linéairement indépendants. On complète ces vecteurs en une base {v_{1}, ⋯, v_{dim B}} de V. Maintenant, en appliquant le procédé de Gram-Schmidt aux vecteurs v_{1}, v_{2}, ⋯ relativement à B, on obtient la conclusion désirée.

4. Preuve du théorème 1.1.

Soit γ une F -forme bilinéaire d’Albert anisotrope telle que ndeg_{F} (γ̃) = 16. Soit B une F -forme bilinéaire anisotrope de dimension n ≥ 2. Posons B = ⟨a_{1}, a_{2}, ⋯, a_{n}⟩.

4.1. Supposons que B̃ ne soit pas semblable à une quasi-forme de Pfister de dimension 4. Si B̃ est semblable à une sous-forme de γ̃, il est clair alors que γ_{F (B)} est isotrope. Réciproquement, supposons que γ_{F (B)} soit isotrope. On va montrer que B̃ est semblable à une sous-forme de γ̃. On suppose n ≥ 4 car le théorème a été prouvé dans [10, Prop. 1.5] lorsque n ≤ 3.

(A) Supposons qu’on ait n = 4. On sait que le corps F (B) est isomorphe à F (t)(⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, ⋯, a_{n}⟩_{b}). D’après [10, Prop. 1.5], l’isotropie de γ_{F (t)} sur F (t)(⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}⟩_{b}) implique l’isométrie suivante:

(Iso 1)  γ̃_{F (t)} ≃ f ⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}⟩ ⊥ ⟨f_{1}, f_{2}, f_{3}⟩

pour f, f_{1}, f_{2}, f_{3} ∈ F [t] convenables sans facteurs carrés. Notre but est de se ramener à une isométrie avec un polynôme f de degré 0. Ce qui impliquera, par le corollaire 3.5, que B̃ est semblable à une sous-forme de γ̃.

Supposons que deg(f) > 0. Soient p ∈ F [t] un facteur irréductible unitaire de f, et g = \frac{f}{p}.

On a ndeg_{F} (B̃) = 8 puisque B̃ n’est pas une quasi-voisine de Pfister. Comme N_{F} (B̃) = F^{2}(a_{1}a_{2}, a_{1}a_{3}, a_{1}a_{4}), la proposition 3.6 implique donc, que l’une au moins des trois formes quadratiques ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}⟩, ⟨a_{1}, a_{2}, a_{4}⟩ et ⟨a_{1}, a_{3}, a_{4}⟩ reste anisotrope sur F_{p}.

(a) Supposons que ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}⟩ reste anisotrope sur F_{p}. La même preuve qu’on va donner s’appliquera aussi pour la forme ⟨a_{1}, a_{2}, a_{4}⟩ puisque les scalaires a_{3} et a_{4} jouent un rôle symétrique dans (Iso 1). Le lemme 3.7 et l’isométrie (Iso 1) impliquent:

(Iso 2)  γ_{F (t)} ≃ f ⟨a_{3}, g_{1}^{2}(a_{1}t^{2} + a_{2}) + g_{2}^{2}a_{3}, r_{1}⟩_{b} ⊥ ⟨r_{2}, r_{3}, r_{4}⟩_{b}

avec r_{1} = h_{1}^{2}a_{3} + h_{2}^{2}(a_{1}t^{2} + a_{2}) + h_{3}^{2}a_{4} et g_{1}, g_{2}, r_{2}, r_{3}, r_{4}, h_{j} ∈ F [t]. On peut supposer que g_{1}, g_{2} sont premiers entre eux, et que r_{2}, r_{3}, r_{4} sont sans facteurs carrés.

Le polynôme p ne divise pas g_{1}^{2}(a_{1}t^{2} +a_{2})+g_{2}^{2}a_{3} car la forme ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}⟩ est anisotrope sur F_{p}, et que g_{1} et g_{2} sont premiers entre eux. On note ∂^{1} : W (F (t)) ⟶ W (F_{p}) le premier homomorphisme résiduel pour la valuation p-adique de F (t). Posons r_{1} = p^{ϵ}s avec ϵ ∈ ℕ et s ∈ F [t] non divisible par p. On discute sur la parité de ϵ.

(i) Supposons que ϵ soit pair. Puisque det γ = 1, on est ainsi dans l’un des deux cas suivants:

(i.1) Cas où p divise un seul polynôme parmi r_{2}, r_{3}, r_{4}, disons r_{2}. Dans ce cas, on obtient γ_{F_{p}} ∼ ∂^{1}(γ_{F (t)}) ∼ ⟨\overline{r_{3}}, \overline{r_{4}}⟩_{b}. Puisque le déterminant de γ est trivial, on déduit que γ_{F_{p}} ∼ 0. Ainsi, p est une norme de γ_{F (t)} [4, Th. 4.2].

(i.2) Cas où p divise les trois polynômes r_{2}, r_{3}, r_{4}. Comme dans le cas (i.1), on obtient que γ_{F_{p}} ∼ 0, et donc p est une norme de γ_{F (t)}.

(ii) Supposons que ϵ soit impair. Toujours en raison de la trivialité du déterminant de γ, on est dans l’un des deux cas suivants:

(ii.1) Cas où p divise deux polynômes parmi r_{2}, r_{3}, r_{4}, disons r_{2} et r_{3}. Dans ce cas, on obtient γ_{F_{p}} ∼ ∂^{1}(γ_{F (t)}) ∼ ⟨\overline{gs}, \overline{r_{4}}⟩_{b}. Comme dans le cas (i.1), on déduit que p est une norme de γ_{F (t)}.

(ii.2) Cas où p ne divise pas les polynômes r_{2}, r_{3}, r_{4}. Dans ce cas, on obtient

γ_{F_{p}} ∼ ∂^{1}(γ_{F (t)}) ∼ ⟨\overline{gs}, \overline{r_{2}}, \overline{r_{3}}, \overline{r_{4}}⟩_{b} .

La forme D := ⟨\overline{gs}, \overline{r_{2}}, \overline{r_{3}}, \overline{r_{4}}⟩_{b} est de déterminant trivial.

– Si D est isotrope, alors elle est métabolique, ce qui implique que γ_{F_{p}} ∼ 0. Ainsi, p est une norme de γ_{F (t)}.

– Si D est anisotrope, alors on affirme que N_{F_{p}}(γ_{F_{p}}) ⊂ D_{F_{p}}(D̃) ∪ {0}. Pour le prouver, il suffit de vérifier que D_{F} (γ) ⊂ D_{F_{p}}(D̃). Soit a ∈ D_{F} (γ). Par l’isométrie (Iso 2), on a:

(1)  aH^{2} = f(a_{1}F_{1}^{2} + a_{2}F_{2}^{2} + a_{3}F_{3}^{2}) + gsG_{1}^{2} + ∑_{i=2}^{4} r_{i}G_{i}^{2}

pour H, F_{i}, G_{j} ∈ F [t] convenables, qu’on suppose premiers entre eux. En passant modulo p dans la dernière relation, on obtient:

(2)  a\overline{H}^{2} = \overline{gs}\overline{G_{1}}^{2} + ∑_{i=2}^{4} \overline{r_{i}}\overline{G_{i}}^{2}.

Si p divise H, alors p divisera les polynômes G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4} du fait que D est anisotrope. Ainsi, par la relation (1), p^{2} divisera f(a_{1}F_{1}^{2}+a_{2}F_{2}^{2}+a_{3}F_{3}^{2}), et donc p divisera g(a_{1}F_{1}^{2} + a_{2}F_{2}^{2} + a_{3}F_{3}^{2}). Comme ⟨a_{1}, a_{2}, a_{3}⟩ est anisotrope sur F_{p}, alors on obtiendra que F_{1}, F_{2}, F_{3} sont divisibles par p, une contradiction avec l’hypothèse que les polynômes H, F_{i}, G_{j} sont premiers entre eux. Ainsi, p ne divise pas H. Par conséquent, par la relation (2), a ∈ D_{F_{p}}(D̃).

Donc, ndeg_{F_{p}}(γ̃) ≤ ndeg_{F_{p}}(D̃) = 4. Mais ceci est impossible par la proposition 3.6 car ndeg_{F} (γ̃) = 16.

Par conséquent, dans tous les cas, p est une norme de γ_{F (t)}. Ceci implique par l’isométrie (Iso 2):

γ_{F (t)} ≃ g ⟨a_{3}, g_{1}^{2}(a_{1}t^{2} + a_{2}) + g_{2}^{2}a_{3}, r_{1}⟩_{b} ⊥ ⟨pr_{2}, pr_{3}, pr_{4}⟩_{b} .

En reprenant la forme quadratique γ̃_{F (t)}, on obtient:

(Iso 3)  γ̃_{F (t)} ≃ g ⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}⟩ ⊥ ⟨pr_{2}, pr_{3}, pr_{4}⟩ .

(b) Supposons que ⟨a_{1}, a_{3}, a_{4}⟩ soit anisotrope. Alors, l’isométrie (Iso 1) et le lemme 3.7 impliquent:

γ_{F (t)} ≃ f ⟨a_{3}, l_{1}^{2}a_{3} + l_{2}^{2}a_{4}, s_{1}⟩_{b} ⊥ ⟨s_{2}, s_{3}, s_{4}⟩_{b} ,

où s_{1} = m_{1}^{2}a_{3} + m_{2}^{2}a_{4} + m_{3}^{2}(a_{1}t^{2} + a_{2}) pour certains l_{i}, m_{j} ∈ F [t]. On peut supposer que l_{1} et l_{2} sont premiers entre eux. Ainsi, le polynôme p ne divise pas l_{1}^{2}a_{3} + l_{2}^{2}a_{4} puisque ⟨a_{1}, a_{3}, a_{4}⟩ est anisotrope sur F_{p}. On reprend alors le même argument que dans le cas (a) en remplaçant les r_{i} par les s_{i}, et le polynôme g_{1}^{2}(a_{1}t^{2} + a_{2}) + g_{2}^{2}a_{3} par l_{1}^{2}a_{3} + l_{2}^{2}a_{4}. On obtient alors:

(Iso 4)  γ̃_{F (t)} ≃ g ⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}⟩_{b} ⊥ ⟨ps_{2}, ps_{3}, ps_{4}⟩_{b} .

Maintenant, qu’on a (Iso 3) ou (Iso 4), et si deg(g) > 0, on prend un facteur irréductible unitaire q de g, et on reprend pour g et q l’argument qu’on vient de faire pour f et p. Ainsi de suite, en continuant le procédé, on peut supposer dans l’isométrie (Iso 1) que le polynôme f est de degré 0.

(B) Supposons qu’on ait n = 5. On a ndeg_{F} (B̃) ≥ 8 car dim B > 4. On vérifie sans difficultés que ndeg_{F (t)}(⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}⟩) = 8. Par conséquent, ⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}⟩ n’est pas une quasi-voisine de Pfister. Par le cas (A), l’isotropie de γ_{F (t)} sur F (t)(⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}⟩_{b}) implique l’isométrie suivante

γ̃_{F (t)} ≃ f ⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}⟩ ⊥ C,

pour f ∈ F [t] sans facteur carré, et C une F (t)-forme quadratique de dimension 2.

(i) Si deg(f) = 0, alors on déduit, par le corollaire 1.2, que B̃ est semblable à une sous-forme de γ̃.

(ii) Supposons deg(f) > 0. Soit p un facteur irréductible unitaire de f. Puisque ndeg_{F_{p}}(⟨\overline{a_{1}t^{2} + a_{2}}, \overline{a_{3}}, \overline{a_{4}}, \overline{a_{5}}⟩) ∈ \{4, 8\}, il existe trois éléments

b_{1}, b_{2}, b_{3} parmi a_{3}, a_{4}, a_{5} et a_{1}t^{2} + a_{2} tels que la forme ⟨\overline{b_{1}}, \overline{b_{2}}, \overline{b_{3}}⟩ soit anisotrope sur F_{p}. Comme f ⟨b_{1}, b_{2}, b_{3}⟩ est une sous-forme de γ̃ de dimension 3 ≥ \frac{dim γ}{2} , on obtient, par le corollaire 3.3, que p est une norme de γ̃. Ceci est vrai pour tout facteur irréductible unitaire de f. Par conséquent, il existe a ∈ F^{∗} tel que a ⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, ⋯, a_{n}⟩ soit une sous-forme de γ̃. Par le corollaire 3.5, B̃ est semblable à une sous-forme de γ̃.

(C) Supposons qu’on ait n = 6. Par le cas (B), l’isotropie de γ_{F (t)} sur F (t)(⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}⟩_{b}) implique que h ⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}⟩ est une sous-forme de γ̃_{F (t)} pour un certain h ∈ F [t] sans facteurs carrés. On a ndeg_{F (t)}(⟨a_{1}t^{2} + a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}⟩) ≥ 8. Ainsi,

ndeg_{F_{p}}(⟨\overline{a_{1}t^{2} + a_{2}}, \overline{a_{3}}, \overline{a_{4}}, \overline{a_{5}}, \overline{a_{6}}⟩) ≥ 4. Ainsi, il existe trois éléments c_{1}, c_{2}, c_{3} parmi a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6} et a_{1}t^{2} + a_{2} tels que la forme ⟨\overline{c_{1}}, \overline{c_{2}}, \overline{c_{3}}⟩ soit anisotrope sur F_{p}. On finit la preuve comme dans le cas (B)-(ii).

(D) Supposons qu’on ait n > 6. Soit C = ⟨b_{1}, ⋯, b_{7}⟩ une sous-forme de B de dimension 7. Par [1, Cor. 7.20], γ est isotrope sur F (C). En particulier, γ_{F (t)} est isotrope sur F (t)(⟨b_{1}t^{2} + b_{2}, b_{3}, ⋯, b_{7}⟩_{b}). Par le cas (C), k ⟨b_{1}t^{2} + b_{2}, b_{3}, ⋯, b_{7}⟩ est une sous-forme de γ_{F (t)} pour un certain k ∈ F [t] sans facteurs carrés. On a ndeg_{F (t)}(⟨b_{1}t^{2} + b_{2}, b_{3}, ⋯, b_{7}⟩) ≥ 8. Le même procédé que dans les cas (B)-(ii) et (C) montre qu’on peut supposer k de degré 0, et par conséquent ⟨b_{1}, ⋯, b_{7}⟩ est semblable à une sous-forme de γ, ce qui n’est pas possible en raison de la dimension.

4.2. Supposons que B̃ soit semblable à une quasi-forme de Pfister de dimension 4. Soit C une sous-forme de B de dimension 3. Alors, C̃ et B̃ sont des quasi-voisines d’une même quasi-forme de Pfister. Par conséquent, B_{F (C)} et C_{F (B)} sont isotropes [7, Cor. 2.5(2)]. Si γ_{F (B)} est isotrope, alors γ_{F (C)} l’est aussi car B_{F (C)} est isotrope [1, Cor. 7.20]. D’après [10, Prop. 1.5], C̃ est semblable à une sous-forme de γ̃. Réciproquement, si C̃ est semblable à une sous-forme de γ̃, alors γ_{F (B)} est isotrope du fait que C_{F (B)} l’est également.

Références

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[2] D. W. Hoffmann, A. Laghribi, Quadratic forms and Pfister neighbors in characteristic 2, Trans. Amer. Math. Soc. 356 (2004), 4019-4053.

[3] M. Knebusch, Grothendieck und Wittringe von nichtausgearteten symmetrischen Bilinearformen, S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. (1969-1970) 93–157.

[4] M. Knebusch, Specialization of quadratic and symmetric bilinear forms, and a norm theorem, Acta Arithm. 24 (1973), 279–299.

[5] A. Laghribi, Quasi-hyperbolicity of totally singular quadratic forms, Contemp. Math. 344 (2004), 237-248.

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[9] A. Laghribi, Sur le déploiement des formes bilinéaires en caractéristique 2, Pacific J. Math. 232 (2007), 207-232.

[10] A. Laghribi, U. Rehmann, On bilinear forms of height 2 and degree 1 or 2 in characteristic 2, J. Algebra 322 (2009), 1-12.

[11] A. Laghribi, Les formes bilinéaires et quadratiques bonnes de hauteur 2 en caractéristique 2, Math. Z. (à paraître).

[12] T. Y. Lam, Introduction to Quadratic Forms over Fields, Graduate Studies in Mathematics, Volume 67. American Mathematical Society, Providence, RI, 2005.

[13] J. Milnor, D. Husemoller, Symmetric bilinear forms, New York, Heidelberg: Springer 1973.

Laboratoire de Mathématiques de Lens EA2462, Faculté des Sciences Jean Perrin, Rue Jean Souvraz - SP18, F-62307 Lens

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