MODULES DE CYCLES ET CLASSES NON RAMIFIÉES SUR UN ESPACE CLASSIFIANT

par

Bruno Kahn & Nguyen Thi Kim Ngan

Abstract. — Let G be a finite group of exponent m and let k be a field of characteristic prime to m, containing the m-th roots of unity. For any Rost cycle module M over k, we construct exact sequences

0 → Inv_{k}^{nr}(G, M_{n}) → Inv_{k}(G, M_{n}) ⟶^{(∂_{D,g})} ⨁_{(D,g)} Inv_{k}(D, M_{n−1})

where Inv_{k}(G, M_{n}) is Serre’s group of invariants of G with values in M_{n}, Inv_{k}^{nr}(G, M_{n}) is its subgroup of unramified invariants, and the “residue" morphisms ∂_{D,g} are associated to pairs (D, g) where D runs through the subgroups of G and g runs through the homomorphisms μ_{m} → G whose image centralises D. This allows us to recover results of Bogomolov and Peyre on the unramified cohomology of fields of invariants of G, and to generalise them.

Table des matières

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1. Rappel sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Le classifiant d’un groupe algébrique linéaire, à la Totaro

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Reformulation en termes de foncteurs homotopiques . . 20 4. Cohomologie motivique étale de BG . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5. Modules de cycles de Rost et cohomologie de cycles . . 32 6. Suites spectrales de coniveau pour BG . . . . . . . . . . . . . . 39 7. Classes non ramifiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 8. Résidus géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 9. Classes non ramifiées sur un espace classifiant . . . . . . 60 10. Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

11. Reformulation : 0-cycles sur le compactifié de BG . . 75

12. Application : théorèmes de Bogomolov et de Peyre . . 82 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Introduction

Soit G un groupe algébrique linéaire sur un corps k, et soit M = M_{∗} un module de cycles sur k au sens de Rost [Rost]. Suivant Serre [GMS, déf. 1.1], on définit le groupe des invariants de G de degré n à valeurs dans M

Inv_{k}(G, M_{n})

pour tout entier n ∈ ℤ : il s’agit du groupe des transformations naturelles φ_{K} : H^{1}(K, G) → M_{n}(K) où K décrit la catégorie des extensions de k. On peut aussi parler d’invariants non ramifiés au sens de [GMS, 33.9] : ils forment un sous-groupe Inv_{k}^{nr}(G, M_{n}), dont la trivialité est une condition nécessaire pour une solution positive au problème de Noether.

En général le calcul de Inv_{k}^{nr}(G, M_{n}) est difficile, et celui de Inv_{k}(G, M_{n}) est un peu plus facile. Le but de cet article est de réduire le calcul du premier à celui du second, dans certains cas particuliers. Le résultat principal est le suivant :

Théorème 1. — Supposons G fini constant, d’ordre premier à la caractéristique de k. Supposons de plus que k contienne les racines m-ièmes de l’unité, où m est l’exposant de G. Alors, à tout sous-groupe D de G et à tout homomorphisme g : μ_{m} → Z_{G}(D) (centralisateur de D dans G), on peut associer un “homomorphisme résidu"

∂_{D,g} : Inv_{k}(G, M_{n}) → Inv_{k}(D, M_{n−1})

tel que la suite

0 → Inv_{k}^{nr}(G, M_{n}) → Inv_{k}(G, M_{n}) ⟶^{(∂_{D,g})} ⨁_{(D,g)} Inv_{k}(D, M_{n−1})

soit exacte.

Les hypothèses sont essentielles, en particulier celle sur les racines de l’unité. Pour G et k quelconques, on a encore un complexe comme cidessus, mais les ∂_{D,g} ne sont sans doute pas suffisants pour détecter les invariants non ramifiés. En trouver la bonne généralisation est un problème ouvert.^{(1)}

Corollaire 1. — Gardons les hypothèses du théorème 1 et définissons

Inv_{k}^{nab}(G, M_{n}) = Ker (Inv_{k}(G, M_{n}) → ⨁_{A} Inv_{k}(A, M_{n}))

où A décrit les sous-groupes abéliens de G. Alors la suite exacte du théorème 1 se raffine en une suite exacte

0 → Ĩnv_{k}^{nr}(G, M_{n}) → Inv_{k}^{nab}(G, M_{n}) ⟶^{(∂_{D,g})} ⨁_{(D,g)} Inv_{k}^{nab}(D, M_{n−1})

où Ĩnv_{k}^{nr}(G, M_{n}) désigne le sous-groupe des invariants non ramifiés normalisés (triviaux sur le G-torseur neutre).

Ce corollaire peut être considéré comme une généralisation d’un théorème de Bogomolov [CTS, th. 7.1], qu’il permet de retrouver. Nous retrouvons aussi un théorème de Peyre [Pe08, th. 1].

Voici la stratégie de la démonstration. D’après Totaro [GMS, app. C], on a un isomorphisme canonique

Inv_{k}(G, M_{n}) = A^{0}(BG, M_{n})

où le groupe de droite est celui de [Rost, §5]. Le sous-groupe Inv_{k}^{nr}(G, M_{n}) du membre de gauche correspond à un sous-groupe A_{nr}^{0}(BG, M_{n}) du membre de droite. Ceci demande un explication, puisque BG n’est pas bien défini en tant que variété lisse : c’est l’objet du §2 et des §§5 et 7 (corollaire 5.11 et proposition 7.4). Au §8, on définit les résidus ∂_{D,g}. Au §10 on démontre le théorème 1 et on en déduit le corollaire 1. Enfin, au §12, on fait le raccord avec les résultats antérieurs de Bogomolov et de Peyre.

Voici une intuition qui peut éclairer le théorème 1. Soit X une k-variété lisse, et supposons donnée une compactification lisse X ⊂ X̄, telle que D = X̄ −X soit un diviseur à croisements normaux. On a alors une suite exacte [K11, rem. 6.9]

0 → A^{0}(X̄, M_{n}) → A^{0}(X, M_{n}) → ⨁_{i=1}^{r} A^{0}(D_{i}^{o}, M_{n−1})

1. Mathieu Florence a fait une suggestion dans ce sens au premier auteur, quand G est fini constant mais que k ne contient pas assez de racines de l’unité.

où D_{i} décrit l’ensemble des composantes irréductibles de D et D_{i}^{o} = D_{i}\⋃_{j≠i} D_{j}. Imaginons que BG soit représenté par une variété X comme ci-dessus. Dans le théorème 1, tout se passe comme si on pouvait alors trouver une compactification X̄ tel que les D_{i}^{o} soient de la forme BD, où D décrit les sous-groupes de G…

Ce travail est une version remaniée et augmentée de la thèse du premier auteur (N.T.K.N.) [Ng10] ; la plus grande partie en a été annoncée dans [Ng11]. B.K. tient à remercier N.T.K.N. de l’avoir invité à rédiger ce texte en commun.

Guide de lecture. — La section 1 rassemble des résultats standard (et moins standard) sur les torseurs. La section 2 reformule de manière universelle la théorie de Totaro du classifiant d’un groupe algébrique linéaire G : l’ajout principal par rapport à [Tot] est la fonctorialité en G, qui joue un rôle central dans la suite. La section 3 applique la précédente à un certain nombre de foncteurs concrets, généralisant le cas des groupes de Chow considérés par Totaro. Dans la section 4, on calcule la cohomologie motivique étale de BG quand G est un groupe fini constant sur un corps k; lorsque k est séparablement clos, on trouve essentiellement la cohomologie entière de G. La section 5 rappelle la théorie des modules de cycles et de la cohomologie de cycles de Rost [Rost] : on y vérifie que cette dernière prend un sens sur BG.

Dans la section 6, on établit l’existence de suites spectrales de coniveau pour la cohomologie motivique, la cohomologie étale et la cohomologie motivique étale de BG : les deux derniers cas sont relativement délicats. Losrque G est fini et k est algébriquement clos, disons de caractéristique zéro, ceci joint au résultat du §4 fournit des renseignements très riches sur la cohomologie entière de G, parmi lesquels on retrouve des notions antérieures (invariants cohomologiques de Serre, cohomologie stable de Bogomolov) et des isomorphismes et suites exactes déjà connues (Bogomolov, Peyre), mais aussi de telles suites exactes, isomorphismes et invariants nouveaux.

La section 7 étudie les classes non ramifiées dans un module de cycles, à la Colliot-Thélène–Ojanguren [CTO] ; son but est de leur donner un sens sur un “espace classifiant" BG.

La section 8 introduit l’outil principal de l’article : les résidus géométriques ∂_{D,g}. La section 9 enchaîne en montrant que les classes sur BG, non ramifiées au sens de [CTO], sont non ramifiées au sens des résidus géométriques.

La section 10 est le cœur de ce travail. On y démontre que réciproquement, si G est fini constant d’exposant m et que k est de caractéristique première à m et contient les racines m-ièmes de l’unité, les classes sur BG, non ramifiées au sens des résidus géométriques, le sont au sens de [CTO]. La raison pour laquelle les résidus géométriques suffisent dans ce cas semble être que, si G est le groupe de Galois d’une extension L/K où K ⊃ k et que w est une valuation discrète de rang 1 sur L, le groupe d’inertie de w est central dans son groupe de décomposition.

Enfin, la section 11 reformule le résultat précédent de manière universelle, tandis que la section 12 l’utilise pour retrouver (et généraliser) des théorèmes de Bogomolov et Peyre [Bog87, Pe08].

1. Rappel sur les torseurs

Dans cette section, nous rappelons les définitions et les propriétés des torseurs dont nous aurons besoin. Notre parti pris, comme dans [Tot] et contrairement à [EG], est ici de ne considérer que des quotients représentables en évitant les espaces algébriques. Cela permet une présentation plus élémentaire dans les sections suivantes.

1.1. Quotients. — Soit k un corps.

Définition 1.1 (Mumford [GIT, déf. 0.6 ii, p. 4])

Soit G un k-groupe algébrique et soit X un k-schéma de type fini sur lequel G opère par le morphisme μ_{X} : G × X → X.

a) Un quotient géométrique de X par G est un k-schéma Y muni d’un

k-morphisme f : X → Y tel que : (i) Le diagramme suivant est commutatif :

(1.1)  \begin{matrix}G × X & ⟶^{p_{2}} & X \\ ^{μ_{X}} ↓ & & ^{f}↓ \\ X & ⟶^{f} & Y. \end{matrix}

(ii) f et le morphisme φ : G × X → X ×_{Y} X défini par φ(g, x) =

(gx, x) sont surjectifs. (iii) f est submersif, i.e. U ⊂ Y est ouvert si et seulement si

f^{−1}(U) est ouvert dans X. (iv) Le faisceau O_{Y} est isomorphe au sous-faisceau de f_{∗}O_{X} formé

des fonctions G-invariantes. b) f est un quotient géométrique universel s’il le reste après tout chan-

gement de base.

Si ce schéma Y existe, il est unique à isomorphisme unique près. On le note Y = X/G.

1.2. Existence de quotients. —

Proposition 1.2. — Soit G opérant sur X et soit N un sous-groupe distingué de G. Supposons que X admette un quotient géométrique universel f : X → Y relativement à l’action de N. Alors G/N opère sur Y et les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) X admet un quotient géométrique universel Z relativement à l’action de G.

(ii) Y admet un quotient géométrique universel Z′ relativement à l’action de G/N.

Si c’est le cas, alors Z est isomorphe à Z′.

Démonstration. — On peut vérifer que cette proposition est vraie en remplaçant “quotient géométrique” par “quotient catégorique” (cf. [GIT, déf. 0.5, p. 3]). En particulier, les deux quotients coïncident si l’un des deux existe par la propriété universelle des quotients catégoriques. Supposons donc que Z soit un quotient catégorique universel de X par G et de Y par G/N, et notons g : Y → Z, h = g ∘ f : X → Z.

Appliquons le critère [GIT, (3), p. 6] : Il suffit de vérifier la submersion de g, h et la surjectivité de φ_{X}, φ̄_{Y} dans le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{N × X \ar@{->>}[r]^{φ′_{X}} \ar[d] & X ×_{Y} X \ar[d] \\ G × X \ar[r]^{φ_{X}} \ar@{->>}[d]_{π×f} & X ×_{Z} X \ar@{->>}[d]^{f×f} \\ G/N × Y \ar[r]^{φ̄_{Y}} & Y ×_{Z} Y.}

D’abord, comme f est un quotient géométrique universel, il est universellement submersif ; par conséquent, g est universellement submersif si et seulement si h l’est.

D’autre part, comme f est surjectif, f × f est surjectif ; donc si φ_{X} est surjectif, φ̄_{Y} est surjectif.

Inversement, si φ̄_{Y} est surjectif, alors on peut vérifier que φ_{X} est surjectif sur les k̄-points grâce au diagramme ci-dessus. Enfin, φ_{X} est surjectif d’après [EGA I, prop. 7.1.8, p. 331].

Corollaire 1.3. — Dans la situation de la proposition 1.2, supposons que l’action de N sur X soit triviale. Alors l’action de G sur X en induit une de G/N. De plus, le quotient géométrique de X par G existe si et seulement si celui par G/N existe, et alors ils coïncident.

1.3. Torseurs. —

Définition 1.4 (Mumford [GIT, déf. 0.10, p. 17])

Soit X un k-schéma sur lequel G opère et soit f : X → Y un kmorphisme. On dit que f est un G-torseur de base Y et d’espace total X si

(i) Y est un quotient géométrique de X (ii) f est plat (iii) φ (cf. déf. 1.1 a) (ii)) est un isomorphisme.

Remarque 1.5. — On peut montrer que cette définition est équivalente à celle de Colliot-Thélène et Sansuc [CTS, déf. 2.9].

Théorème 1.6 ([DG, III.2.6.1, p. 313]). — Si G est fini et opère sur un k-schéma X de sorte que toute orbite ensembliste soit contenue dans un ouvert affine de X, alors

1. Le carré (1.1) existe et est cocartésien dans la catégorie des kschémas.

2. La projection f : X → Y := X/G est entière et le morphisme φ est surjectif.

3. Si G opère librement sur X, f est fini localement libre et φ est un isomorphisme. En particulier, X est l’espace total d’un G-torseur.

1.4. Fermés G-irréductibles. —

Définition 1.7. — Un G-schéma X est G-irréductible si, pour toute décomposition X = F_{1} ∪ F_{2} où F_{1}, F_{2} sont des fermés G-stables, on a X = F_{1} où X = F_{2}.

Lemme 1.8. — Soit G opérant sur X de type fini. Alors on peut écrire X = ⋃_{β∈B} X_{β} où les X_{β} sont des fermés G-irréductibles. On appelle les X_{β} les composantes G-irréductibles de X.

Lemme 1.9. — Soit U un k-schéma intègre de type fini, muni d’une action d’un groupe algébrique G. Soit j : U′ ↪ U une immersion ouverte, avec U′ G-invariant. Alors j est composée d’immersions ouvertes V_{i} ↪^{j_{i}} V_{i+1} où V_{i} est G-stable et V_{i+1} − V_{i} est G-irréductible pour tout i. Si k est parfait, on peut choisir les j_{i} de complémentaire lisse.

1.5. Propriétés de permanence des torseurs. —

Lemme 1.10. — Soient G, H deux groupes algébriques et U_{G}, U_{H} les espaces totaux d’un G et d’un H-torseur. Alors U_{G} × U_{H} est l’espace total d’un G × H-torseur.

Proposition 1.11. — Les G-torseurs ont les propriétés suivantes :

1. Stabilité par changement de base : si on a le diagramme suivant

X′ = Y′ ×_{Y} X ⟶^{g′} X
f′↓  ^{f}↓
Y′  ⟶^{g} Y,

et si f est un G-torseur, alors f′ l’est aussi pour tout g.

Réciproquement, si f′ est un G-torseur et g est fidèlement plat, alors f est un G-torseur.

2. Formule de la dimension : si X est G-irréductible (cf. déf. 1.7), alors

dim X = dim Y + dim G.

3. Soit f : X → Y un G-torseur et soit π : E → X un fibré vectoriel sur X avec G-action linéaire équivariante, alors E/G existe et est un fibré vectoriel sur Y.

Démonstration. —

1. La première assertion découle de la platitude de f. La deuxième assertion résulte de la descente fidèlement plate.

2. L’hypothèse implique que Y est irréductible. Comme f est plat, on peut appliquer [Har, chap. III, cor. 9.6, p. 257] : on a

dim X − dim Y = dim X_{y},

où X_{y} est la fibre d’un point quelconque de Y (elle est équidimensionnelle). D’après [GIT, (4), p. 6/7], on a dim X_{y} = dim G.

3. Cela résulte de la descente fidèlement plate [SGA 1, VIII, cor. 1.3 et prop. 1.10].

Remarque 1.12. — : Soient f : X → Y un G-torseur et π : X′ → X un morphisme G-équivariant avec l’action de G sur X′. Alors, X′/G existe dans certains cas :

– si π est un fibré vectoriel (Proposition 1.11, 3).

– Dans le cas de [GIT, prop. 7.1]. Voici un autre cas utile :

Lemme 1.13 (Colliot-Thélène). — Soit X l’espace total d’un G-tor-seur de base Y avec X de type fini. Soit U un ouvert non vide de X, stable par G. Posons Z = (X − U)_{red}. Alors, U et Z sont aussi les espaces totaux de G-torseurs.

Démonstration. — Comme U est G-stable, Z l’est aussi. Considérons le diagramme suivant

(1.2)  \begin{aligned}X & ⊃ & U \\ ^{f}↓ & ^{f}↓ \\ Y & ⊃ & f(U) \end{aligned}

où f(U) est un ouvert de Y car f est plat. On a U ⊂ f^{−1}(f(U)) et aussi l’égalité car U est G-stable. En effet, il nous suffit de montrer pour tout K ⊃ k, K algébriquement clos, on a f^{−1}(f(U))(K) = U(K) (cf. [EGA I, prop. 7.1.8, p. 331]). Soit x ∈ X(K) tel que f(x) ∈ f(U)(K) i.e. f(x) = f(u) pour u ∈ U(K). Comme f est un G-torseur, f(K) l’est aussi (au sens discret). Alors, il existe g ∈ G(K) tel que x = gu et donc x ∈ U(K). Donc le diagramme (1.2) est cartésien et donc U → f(U) est un G-torseur (par la proposition 1.11).

Posons Z′ = Y −f(U). Alors f^{−1}(Z′) = f^{−1}(Y)−f^{−1}(f(U)) = X−U = Z car f est fidèlement plat. De manière analogue, on a que Z → Z′ est un G-torseur.

Proposition 1.14. — Soit f : X → Y un G-torseur.

a) Si X est lisse, Y est lisse.

b) Si G est lisse, f est lisse.

c) Si G et Y sont lisses, X est lisse.

Démonstration. — a) est clair puisque f est plat [EGA IV, prop. 17.7.7]. Il suffit de voir b) après changement de base par f, puisque f est fidèlement plat (ibid., prop. 17.7.1). Ceci nous ramène au cas où f est de la forme p_{2} : G × Y → Y, et alors c’est clair. Enfin, c) résulte de b) puisqu’un composé de morphismes lisses est lisse.

2. Le classifiant d’un groupe algébrique linéaire, à la Totaro

Dans cette section, nous reformulons la théorie développée par Totaro dans [Tot] pour donner un sens aux groupes de Chow d’un espace classifiant, en la plaçant dans sa généralité naturelle. Ceci lui donne la flexibilité dont nous aurons besoin dans les sections suivantes. Mis à part la fonctorialité de BG (proposition 2.21), il n’y a rien d’essentiellement nouveau par rapport à l’article de Totaro.

2.1. Coniveaux. —

Définition 2.1. — Soit U un k-schéma intègre de type fini, et soit j : U′ → U une immersion ouverte (avec U′ ≠ ∅). On définit

(2.1) δ(j) = δ(U, U′) = codim_{U}(U − j(U′)) = dim U − dim(U − j(U′))

(cf. [Har, Exercise 3.20,(d), p. 95]). C’est le coniveau de j (ou de U′ dans U).

Lemme 2.2. — Soit U un k-schéma lisse et soit r un entier positif.

1. Soient U′′ ↪^{j′} U′ ↪^{j} U des immersions ouvertes. On a

δ(j) ≥ r et δ(j′) ≥ r ⇔ δ(jj′) ≥ r.

2. Soit X un autre schéma lisse, on a U′ × X ↪^{j×1_{X}} U × X et δ(j × 1_{X}) = δ(j).

3. Si U est un G-torseur et que G laisse stable U′ ↪ U, on a

δ(U/G, U′/G) = δ(U, U′).

Démonstration. — Seul le point (3) mérite une démonstration. D’après le lemme 1.13, U′/G existe et U′ → U′/G est un G-torseur. Grâce au lemme 1.9, on se ramène au cas où U − U′ est G-irréductible, et l’énoncé résulte alors facilement de la proposition 1.11 (2).

2.2. Catégories de fractions en géométrie algébrique. — Pour les catégories de fractions, nous renvoyons au chapitre 1 du livre de Gabriel et Zisman [GZ]. Rappelons que, si C est une catégorie et S est une classe de morphismes de C, on définit (modulo des problèmes ensemblistes) une catégorie S^{−1}C (notée C[S^{−1}] dans [GZ]), ayant les mêmes objets que C, et un foncteur C → S^{−1}C, qui est l’identité sur les objets et universel parmi les foncteurs de source C rendant les éléments de S inversibles. On dit que S^{−1}C est la catégorie de fractions ou la localisée de C relativement à S.

Soit Sm(k) la catégorie des k-variétés lisses. Dans [KS], on a étudié la catégorie de fractions S^{−1} Sm(k), où S désigne l’ensemble des morphismes birationnels, ou celui des morphismes birationnels stables. Dans cet article, nous en utiliserons des versions de coniveau supérieur ; par ailleurs, nous nous restreindrons pour une large part à la sous-catégorie non pleine de Sm(k) qui suit.

Définition 2.3. — a) On note Sm_{fl} la catégorie dont les objets sont les k-variétés lisses et les morphismes sont les morphismes plats.

b) On introduit des classes de morphismes de Sm_{fl} :

– S^{h} : projections E → X, où E est un fibré vectoriel sur X.

– Pour r ≥ 1, S_{r}^{o} : immersions ouvertes de coniveau ≥ r; S_{r} = S_{r}^{o} ∪S^{h}.

D’après le lemme 2.2, S_{r}^{o} est stable par composition. On voit facilement que cette classe admet un calcul des fractions à droite au sens de [GZ] ; ce n’est pas le cas de S_{r}. On a des inclusions

⋯ ⊂ S_{r+1} ⊂ S_{r} ⊂ …

d’où des projections

⋯ → S_{r+1}^{−1} Sm_{fl} ⟶^{Π_{r}} S_{r}^{−1} Sm_{fl} → …

Définition 2.4. — On note Grp la catégorie des k-groupes algébriques linéaires, les morphismes étant les k-homomorphismes.

Le but des numéros suivants est de construire un système compatible de foncteurs

B_{r} : Grp → S_{r}^{−1} Sm_{fl}

conceptualisant la construction de Totaro [Tot]. Ce but est atteint dans la proposition 2.21.

2.3. Un théorème de Totaro. —

Théorème 2.5 (Totaro). — Soient G ∈ Grp et r un entier > 0. Il existe une représentation linéaire E de G et un ouvert U de E, stable par G, tels que le quotient géométrique U/G existe, que U → U/G soit un G-torseur et que δ(E, U) ≥ r (définition 2.1).

Démonstration. — Voir [Tot, rem. 1.4, p. 4] ou [CTS, lemme 9.2]. Ces démonstrations montrent que U/G est de la forme GL_{N}/Γ, donc en particulier quasi-projectif.

Définition 2.6. — Dans la situation du théorème 2.5, on dit que E est une représentation très fidèle de G de coniveau ≥ r et que U est un G-torseur linéaire de coniveau ≥ r.

Remarque 2.7. — Si G est fini, il est facile d’obtenir des représentations très fidèles de G de coniveau aussi grand qu’on veut en partant d’une représentation fidèle W : d’après le théorème 1.6, l’ouvert G-stable U = W − ⋃_{g≠1} W^{g} est l’espace total d’un G-torseur. On a

ν(W) := δ(W, U) = inf_{g≠1}{codim_{W} W^{g}}

d’où facilement :

∀n ≥ 1, ν(W^{n}) = nν(W).

2.4. Le lemme sans nom, version catégorique. — Soit G ∈ Grp. Notons G − Sm_{fl} la catégorie des k-variétés lisses X munies d’une action de G, telles que le quotient géométrique X/G existe et soit séparé. Les morphismes de G − Sm_{fl} sont les morphismes plats G-équivariants. On note S^{h}, S_{r}^{o} et S_{r} les mêmes classes de morphismes que dans la définition 2.3.

La définition suivante est un peu désagréable, mais très pratique pour la suite :

Définition 2.8. — Soit X ∈ G − Sm_{fl}. On dit que X est (l’espace total d’)un G-torseur potentiel s’il existe un sous-groupe fermé normal N ◁ G tel que l’action de G sur X se factorise par G/N, et que X soit l’espace total d’un G/N-torseur. On parlera aussi de G-torseurs potentiels linéaires de coniveau ≥ r, cf. déf. 2.6.

Soit G−Tors la sous-catégorie pleine de G−Sm_{fl} formée des G-torseurs potentiels. On dispose de deux foncteurs G − Tors → Sm_{fl} :

(2.2)  X ↦ X  (oubli)
(2.3)  X ↦ X/G (quotient)

et d’une transformation naturelle X → X/G. En effet, si X ∈ G − Tors, X/G est lisse grâce à la proposition 1.14 ; si f : X → Y est un morphisme de G − Tors, alors f/G est plat grâce à [EGA IV, cor. 2.2.11 (iv)].

Lemme 2.9. — Le foncteur (2.3) envoie S^{h}, S_{r}^{o} et S_{r} respectivement dans S^{h}, S_{r}^{o} et S_{r}.

Démonstration. — Pour S^{h}, cela résulte de la proposition 1.11 3. Pour S_{r}^{o}, cela résulte du lemme 2.2 3. Le cas de S_{r} en découle.

Définition 2.10. — Soit r > 0. Soient U, U′ ∈ G − Tors. On dit que le couple (U, U′) est admissible de coniveau ≥ r si U est un G-torseur et U′ est un G-torseur potentiel, linéaire de coniveau ≥ r (définition 2.8).

Remarque 2.11. — (U, U) est admissible de coniveau ≥ r si et seulement si U est un G-torseur linéaire de coniveau ≥ r. Si (U, U′) et (U′, U′′) sont admissibles, alors (U, U′′) est admissible.

Construction 2.12. —À tout couple admissible de coniveau ≥ r (U, U′), on associe un morphisme Ψ_{U,U′} : U → U′ dans S_{r}^{−1}(G − Tors), ces morphismes ayant les propriétés suivantes :

Réflexivité : si (U,U) est admissible, alors Ψ_{U,U} = 1_{U}.

Symétrie : si (U, U′) et (U′, U) sont admissibles, alors

Ψ_{U,U′}Ψ_{U′,U} = 1_{U}

et Ψ_{U,U′} est un isomorphisme. Transitivité : si (U, U′), (U′, U′′) et (U, U′′) sont admissibles, alors

Ψ_{U′,U′′}Ψ_{U,U′} = Ψ_{U,U′′}.

On note ψ_{U,U′} (resp. φ_{U,U′}) l’image de Ψ_{U,U′} par le foncteur (2.2) (resp. (2.3)).

Démonstration. — C’est la construction de la double fibration qui remonte à Bogomolov, Katsylo… (“lemme sans nom”, cf. [CTS, §3.2]).

Définissons le morphisme Ψ_{U,U′}. Soit E′ une représentation linéaire associée à U′ : U′ est un ouvert G-stable de E′, de coniveau ≥ r. Comme U est l’espace total d’un G-torseur et que U × E′ → U est un fibré vectoriel G-équivariant, la proposition 1.11 3 montre que U × E′ est aussi l’espace total d’un G-torseur et que (U × E′)/G → U/G est un fibré vectoriel. D’après le lemme 1.13, comme U × U′ ↪ U × E′ est une immersion ouverte, U × U′ est encore (l’espace total d’un) G-torseur. On a ainsi un diagramme

U × E′  ⊃^{j} U × U′ ⟶^{p_{U′}^{U,U′}} U′
p↓  _{p_{U}^{U,U′}} ↓
U  U.

Dans ce diagramme, p ∈ S^{h} et j ∈ S_{r}^{o} (lemme 2.2). On définit Ψ_{U,U′} comme la composition p_{U′}^{U,U′}j^{−1}p^{−1}.

Notons que p_{U}^{U,U′} est donc inversible dans S_{r}^{−1}(G − Tors) et qu’on a aussi

(2.4)  Ψ_{U,U′} = p_{U′}^{U,U′}(p_{U}^{U,U′})^{−1},

ce qui montre que Ψ_{U,U′} ne dépend que de U′ et pas de l’immersion U′ ↪ E′.

Il reste à vérifier les trois propriétés de l’énoncé : elles découlent immédiatement de (2.4).

Définition 2.13. — Soit r > 0. On note

𝔼_{r}G = \underrightarrow{lim} U ∈ S_{r}^{−1}(G − Tors)
E_{r}G = \underrightarrow{lim} U ∈ S_{r}^{−1} Sm_{fl}
B_{r}G = \underrightarrow{lim} U/G ∈ S_{r}^{−1} Sm_{fl}

où les limites sont prises sur le système transitif d’isomorphismes Ψ_{U,U′}, pour U, U′ parcourant les G-torseurs linéaires de coniveau ≥ r.

Remarque 2.14. — La notion de limite inductive sur un groupoïde trivial n’est pas très sérieuse : tout terme du système inductif en vérifie la propriété universelle. Cette notion est donc soit utile quand on a un foncteur “limite inductive" explicite (par exemple dans la catégorie des ensembles), soit rassurante sur le plan psychologique. On peut la considérer comme l’ensemble des termes du système inductif, sans choix privilégié.

Lemme 2.15. — L’objet E_{r}G ∈ S_{r}^{−1} Sm_{fl} est “contractile" : le morphisme naturel E_{r}G → Spec k est un isomorphisme.

Démonstration. — Cet objet est représenté par l’espace total d’un Gtorseur linéaire de coniveau ≥ r : l’énoncé est donc évident.

L’objet 𝔼_{r}G a les propriétés “universelles" suivantes, qui sont de simples reformulations de la construction 2.12 :

Lemme 2.16. — Dans la catégorie S_{r}^{−1}(G − Tors),

(a) Si U est l’espace total d’un G-torseur, on a un “morphisme classifiant" Ψ_{U} : U → 𝔼_{r}G, d’où un carré commutatif

U ⟶^{ψ_{U}} E_{r}G
↓  ↓
U/G ⟶^{φ_{U}} B_{r}G

dans S_{r}^{−1} Sm_{fl}.

(b) Si f : U′ → U est un morphisme de G-torseurs, on a Ψ_{U′} = Ψ_{U} ∘f.

(c) Si U est un G-torseur potentiel, linéaire de coniveau ≥ r, on a un morphisme canonique Θ_{U} : 𝔼_{r}G → U.

(d) Si f : U′ → U est un morphisme avec U, U′ comme en (c), alors Θ_{U} = f ∘ Θ_{U′}.

(e) Si U est un G-torseur linéaire de coniveau ≥ c, Ψ_{U} et Θ_{U} sont des isomorphismes inverses l’un de l’autre.

Exemple 2.17. — Si H ⊂ G est un sous-groupe fermé de G, alors G → G/H est un H-torseur. Donc on a un morphisme canonique

(2.5)  G → 𝔼_{r}H

dans S_{r}^{−1}(H − Tors), induisant un carré commutatif

(2.6)  \begin{matrix}G & ⟶ & E_{r}H \\ ↓ & & ↓ \\ G/H & ⟶ & B_{r}H \end{matrix}

dans S_{r}^{−1} Sm_{fl}.

Le lemme suivant est évident par construction :

Lemme 2.18. — Les foncteurs canoniques S_{r+1}^{−1} Tors → S_{r}^{−1} Tors et S_{r+1}^{−1} Sm_{fl} → S_{r}^{−1} Sm_{fl} envoient respectivement 𝔼_{r+1}G sur 𝔼_{r}G, E_{r+1}G sur E_{r}G et B_{r+1}G sur B_{r}G.

Remarque 2.19. — L’image de G dans S_{r}^{−1} Sm_{fl} est toujours un objet en groupes ; on peut donc parler de G-objet dans cette catégorie, et le foncteur (2.2) s’enrichit en un foncteur S_{r}^{−1}(G−Tors) → G−(S_{r}^{−1} Sm_{fl}). Ceci permet de considérer E_{r}G comme un G-objet, mais malheureusement pas E_{r}G → B_{r}G comme un G-fibré principal…

2.5. Fonctorialité en G. —

Définition 2.20. — Soient f : G → H un homomorphisme de k-grou-pes algébriques linéaires et X un schéma sur lequel H opère. On note f^{∗}(X) le schéma X muni de l’action de G via f : c’est l’image réciproque de X par f.

Proposition 2.21. — La loi G ↦ B_{r}G définit un foncteur B_{r} : Grp → S_{r}^{−1} Sm_{fl}. Les diagrammes

\xymatrix{ & S_{r+1}^{−1} Sm_{fl} \ar[dd]^{Π_{r}} \\ Grp \ar@{-->}[ur]^{B_{r+1}} \ar[dr]_{B_{r}} \\  & S_{r}^{−1} Sm_{fl}}

sont naturellement commutatifs.

Démonstration. — Soit f : G → H un homomorphisme. Soient U un Gtorseur linéaire de coniveau ≥ r et U′ un H-torseur linéaire de coniveau ≥ r, ce dernier de représentation sous-jacente E′. Alors G opère aussi sur E′ via f, en laissant stable U′. Décomposons f comme suit :

G → → G/N ↪ H,

où N = Ker(f). D’après le corollaire 1.3, U′ est l’espace total d’un f(G/N)-torseur et U′/(f(G/N)) → U′/H est fidèlement plat. On note f^{∗}(U′) l’image réciproque de U′ relative à f (déf. 2.20). Donc

f^{∗}(U′)/(G/N) ⟶^{∼} U′/(f(G/N)) → U′/H

est fidèlement plat et f^{∗}(U′) est aussi l’espace total d’un G/N-torseur (i.e. f^{∗}(U′) est l’espace total d’un G-torseur potentiel). D’après la proposition 1.2, le quotient géométrique f^{∗}(U′)/G existe et est égal à f^{∗}(U′)/(G/N).

Notons π_{f}^{U′} : f^{∗}(U′)/G → U′/H. On obtient donc un morphisme de B_{r}G vers B_{r}H comme suit :

B_{r}G ⟵^{∼} U/G ⟶^{φ_{U,f^{∗}(U′)}^{G}} f^{∗}(U′)/G ⟶^{π_{f}^{U′}} U′/H ⟶^{∼} B_{r}H.

Voir construction 2.12 pour φ_{U,f^{∗}(U′)}^{G} : on a ajouté G en exposant pour en garder trace dans la suite. Par la transitivité de cette construction, ce morphisme ne dépend pas du choix de U et U′.

Si g : H → K est un autre morphisme, on a

B(gf) = Bg ∘ Bf.

En effet, soit U′′ un K-torseur linéaire de coniveau ≥ r. Il nous faut montrer que

π_{gf}^{U′′}φ_{U,(gf)^{∗}(U′′)}^{G} = π_{g}^{U′′}φ_{U′,g^{∗}(U′′)}^{H}π_{f}^{U′}φ_{U,f^{∗}(U′)}^{G}.

Considérons le diagramme suivant

(2.7)  \begin{aligned}U/G & ⟶^{φ_{U,f^{∗}(U′)}^{G}} & f^{∗}(U′/G) & ⟶^{φ_{f^{∗}(U′),(gf)^{∗}(U′′)}^{G}} & (gf)^{∗}(U′′/G) \\ & & ^{π_{f}^{U′}} ↓ & & ^{π_{f}^{U′′}} ↓ \\ & & U′/H & ⟶^{φ_{U′,g^{∗}(U′′)}^{H}} & g^{∗}(U′′/H) \\ π_{g}^{U′′} & ↓ \\ & & & & U′′/K. \end{aligned}

On a

φ_{U,(gf)^{∗}(U′′)}^{G} = φ_{f^{∗}(U′),(gf)^{∗}(U′′)}^{G}φ_{U,f^{∗}(U′)}^{G}

(propriété de transitivité de φ dans la construction 2.12) et

π_{gf}^{U′′} = π_{g}^{U′′} ∘ π_{f}^{U′_{0}}.

Considérons maintenant le diagramme suivant

U′/G ⟵ (U′ × U′′)/G ⟶ U′′/G
↓  ↓  ↓
U′/H ⟵ (U′ × U′′)/H ⟶ U′′/H.

Il est commutatif. Ceci implique que le rectangle dans le diagramme (2.7) l’est aussi. Enfin, l’assertion “naturellement commutatifs" résulte du lemme 2.18.

Exemple 2.22. — a) En prenant H = 1, on obtient un morphisme canonique

Spec k ≃ B_{r}1 → B_{r}G

bien que la catégorie S_{r}^{−1} Sm_{fl} soit construite en termes de morphismes plats. On note e_{G} ce “point rationnel" de B_{r}G. Une flèche vers B_{r}G qui se factorise à travers e_{G} sera dite nulle.

b) En prenant H ⊂ G et en tenant compte de l’exemple 2.17, on obtient une suite dans S_{r}^{−1} Sm_{fl}

G → G/H → B_{r}H → B_{r}G

dans laquelle les compositions de deux flèches successives sont nulles. Nous ignorons sous quelles conditions, pour X ∈ S_{r}^{−1} Sm_{fl}, la suite correspondante d’ensembles

S_{r}^{−1} Sm_{fl}(X, G) → S_{r}^{−1} Sm_{fl}(X, G/H)

→ S_{r}^{−1} Sm_{fl}(X, B_{r}H) → S_{r}^{−1} Sm_{fl}(X, B_{r}G)

est exacte (voir note 2 ci-dessous).

2.6. Le classifiant d’un produit. — Le lemme suivant résulte de la définition 2.13 et du lemme 1.10 :

Lemme 2.23. — Soient G, H deux k-groupes algébriques linéaires, et r > 0. On a un isomorphisme canonique et bifonctoriel :

(2.8)  B_{r}(G × H) ⟶^{∼} B_{r}G × B_{r}H.

Mise en garde 2.24. — Il faut donner un sens au membre de droite de (2.8) comme objet de S_{r}^{−1} Sm_{fl}. On vérifie tout de suite que le produit cartésien × : Sm_{fl} × Sm_{fl} → Sm_{fl} induit un bifoncteur S_{r}^{−1} Sm_{fl} ×S_{r}^{−1} Sm_{fl} → S_{r}^{−1} Sm_{fl}, encore noté ×. C’est celui qui intervient dans (2.8). On prendra garde toutefois que ce bifoncteur n’a pas la propriété universelle d’un produit.

2.7. Application : le théorème de Fischer sur un corps quelconque. — Rappelons d’abord la notion d’équivalence stable et de rationalité stable :

Définition 2.25. — Soit X une k-schéma intègre de type fini. On dit que

– X est k-rationnel si il est k-birationnel à un espace affine.

– X est stablement k-rationnel si X ×_{k} 𝔸^{n} est k-rationnel.

Plus généralement, si X, Y sont intègres et de type fini, on dit qu’ils sont stablement équivalents si X ×𝔸^{m} est birationnel à Y ×𝔸^{n} pour des entiers convenables m, n (notation : X ∼_{st} Y).

L’équivalence stable est une relation d’équivalence sur l’ensemble des classes d’isomorphisme de k-schéma intègres de type fini. Si X, Y ∈ Sm_{fl}, alors X ∼_{st} Y ⇒ X ≃ Y dans S_{1}^{−1} Sm_{fl}, mais la réciproque est loin d’être claire.^{(2)} Pour cette raison, la relation B_{1}G ∼_{st} B_{1}H n’a a priori pas de sens. Mais le lemme sans nom lui en donne un :

Définition 2.26. — Soient G, H deux k-groupes algébriques linéaires, et soit U (resp. V) un G- (resp. un H-) torseur linéaire de coniveau > 0. Alors le fait que U/G soit stablement birationnel à V/H ne dépend que de G et H. On note cette relation G ∼_{st} H.

On a alors le théorème bien connu [Fi] :

Théorème 2.27 (Fischer). — Ssupposons que k contienne le groupe μ_{m} des racines m-ièmes de l’unité où m est inversible dans k et soit A un groupe abélien fini d’exposant m. Alors A ∼_{st} 1.

Retrouvons ce théorème dans son contexte naturel :

Théorème 2.28 (cf. [KS2, prop. 7.6.2]). — Le corps k étant quelconque, soit M un k-groupe de type multiplicatif déployé : M est de type multiplicatif et son groupe des caractères est un module galoisien trivial (de manière équivalente : M est un sous-groupe fermé d’un tore déployé). Alors G×M ∼_{st} G pour tout k-groupe linéaire G. En particulier, B_{1}(G×

M) ⟶^{∼} B_{1}G.

Démonstration. — Soit X(M) le groupe des caractères de M. La relation ∼_{st} sur les k-groupes linéaires étant clairement transitive et stable par produit, on se ramène d’abord à G = 1, puis (par récurrence sur le nombre de facteurs cycliques) au cas où X(M) est cyclique, c’est-à-dire au cas où M = 𝔾_{m} ou μ_{m} pour un entier m > 1.

Dans les deux cas, M admet une représentation linéaire très fidèle de rang 1, à savoir E = k muni de l’action par homothéties. Le M-torseur linéaire correspondant est U = E−{0}. Si M = 𝔾_{m}, on a U/M = Spec k.

2. La question est de savoir si tout isomorphisme dans S_{1}^{−1} Sm_{fl} s’écrit comme zig-zag de morphismes de S_{1}.

Si M = μ_{m}, il s’agit du torseur de Kummer ; donc U/M ≃ 𝔾_{m} ∼_{st} Spec k.

2.8. Comparaison avec le classifiant étale de Morel-Voevodsky.

— Dans ce numéro, on indique de quelle façon les objets B_{r}G se comparent à l’objet B_{ét}G ∈ H(k) = H défini dans [MV, §4].

Rappelons qu’on a un foncteur canonique Sm → H, qui rend les morphismes de S^{h} inversibles. On en déduit un diagramme commutatif de catégories et foncteurs :

(2.9)  \begin{matrix}(S^{h})^{−1} Sm_{fl} & ⟶ & S_{r}^{−1} Sm_{fl} \\ ↓ & & ^{E_{r}}↓ \\ H & ⟶^{D_{r}} & S_{r}^{−1}H \end{matrix}

pour tout r > 0. Étant donné la description de B_{ét}G dans [MV, §4, prop. 2.6 et rem. 2.7], on voit que

Proposition 2.29. — Pour tout groupe algébrique linéaire G, les objets E_{r}(B_{r}G) et D_{r}(B_{ét}G) de S_{r}^{−1}H sont canoniquement et fonctoriellement isomorphes.

3. Reformulation en termes de foncteurs homotopiques

3.1. Foncteurs homotopiques. — Le foncteur Sm_{fl} → S_{r}^{−1} Sm_{fl} est le cas universel de la définition suivante :

Définition 3.1. — Soit F un foncteur de Sm_{fl} vers une catégorie C et soit r un entier > 0. On dit que F est homotopique et pur en coniveau ≥ r s’il vérifie les deux axiomes suivants :

1. Homotopie : Si f : V → X est un fibré vectoriel, alors F (f) : F (V) → F (X) est un isomorphisme.

2. Pureté : F (U) ⟶^{∼} F (X) si U est un ouvert de X tel que δ(X, U) ≥ r.

Autrement dit, tout foncteur F vérifiant les conditions de la définition 3.1 se factorise à travers S_{r}^{−1} Sm_{fl}. De la définition 2.13, du lemme 2.18 et de la proposition 2.21, on déduit alors un objet F (BG), bien défini et fonctoriel en G.

Exemple 3.2. — Si F est homotopique et pur en coniveau ≥ r, alors

Y ↦ F (X × Y)

l’est aussi.

Définition 3.3. — Soit F : Sm_{fl}^{op} → C un foncteur homotopique et pur en coniveau ≫ 0. On note

ν(F) = inf{ν ≥ 0 | F est pur en coniveau > ν.}

C’est le coniveau de F.

Remarque 3.4. — Dans la définition 3.1, le foncteur F est covariant. Dans la suite, on utilisera le plus souvent des foncteurs contravariants. Mais on passe des uns aux autres en remplaçant C par C^{op} (catégorie opposée). C’est ce que nous faisons dans le théorème suivant, formulation générale d’un théorème de Totaro [Tot, th. 1.3] :

Théorème 3.5. — Supposons F contravariant, à valeurs dans la catégorie des ensembles. Alors F (BG) s’identifie à l’ensemble M des symboles α associant à chaque variété lisse X et à chaque G-torseur E → X un élément α(E) ∈ F (X) tel que pour tout morphisme f : Y → X, on ait

α(f^{∗}E) = f^{∗}(α(E)).

Démonstration. — Soit E → X un G-torseur comme dans l’énoncé. D’après le lemme 2.16 (a), on a un morphisme

F (φ_{E}) : F (BG) → F (X)

qui définit une application F (BG) → M grâce au point (b) du même lemme. Inversement, à α ∈ M on associe α(EG) ∈ F (BG) (ce qui est bien défini : prendre un représentant quelconque de 𝔼_{r}G dans S_{r}^{−1}(G − Tors)). Il est immédiat que ces flèches sont inverses l’une de l’autre.

En utilisant les points (c) et (d) du lemme 2.16, on obtient une version covariante de cet énoncé :

Théorème 3.6. — Supposons F covariant, à valeurs dans la catégorie des ensembles. Alors F (BG) s’identifie à l’ensemble des symboles α associant à chaque G-torseur potentiel U, linéaire de coniveau ≥ r, un élément α(U) ∈ F (U/G) tel que pour tout G-morphisme f : U → V, on ait

α(V) = f_{∗}(α(U)).

Remarque 3.7. — Soit (F_{n}) un système inductif de foncteurs homotopiques et purs en coniveau ≥ r_{n} (avec r_{n} → +∞) vers une catégorie C admettant des limites inductives filtrantes dénombrables. Pour X ∈ Sm_{fl}, posons F (X) = \underrightarrow{lim} F_{n}(X). Ceci définit un nouveau foncteur F = \underrightarrow{lim} F_{n}. Alors le lemme 2.18 donne un sens à F (BG) := \underrightarrow{lim} F_{n}(BG), qui est alors fonctoriel en G, même si F n’est pur en aucun coniveau.

On peut procéder de même en remplaçant “limites inductives" par “limites projectives".

En termes des B_{r}G, cela reviendrait à introduire la catégorie

2 − \underleftarrow{lim} S_{r}^{−1} Sm_{fl}

ce qui paraît trop pédant dans le présent contexte…

Définition 3.8. — Soit F un foncteur de Sm_{fl} à valeurs dans une catégorie karoubienne (dont tout endomorphisme idempotent a un noyau). Pour tout k-groupe algébrique linéaire G, on pose

F̃(BG) = Ker(F (Bε))

où ε est l’idempotent G → Spec(k) → G (cf. ex. 2.22 a)).

3.2. Exemples de foncteurs homotopiques. — Le corps k est maintenant supposé parfait. On note G_{k} son groupe de Galois absolu.

Soit j : U ↪ V une immersion ouverte de coniveau δ(j) = r (cf. déf. 2.1). On va donner ici des conditions sur r pour que F (j) soit un isomorphisme, pour un certain nombre de foncteurs F. D’après le lemme 1.9 (appliqué avec G = 1 !), on peut se limiter aux immersions ouvertes j : U ↪ V telles que le fermé complémentaire Z ↪^{i} V soit lisse, irréductible et de codimension r.

3.2.1. Cohomologie étale. —

Proposition 3.9. — Soient m un entier inversible dans k, q ≥ 0 et M un G_{k}-module de torsion première à car k. Alors le foncteur F : X ↦ H_{ét}^{q}(X, M) est homotopique et pur en coniveau > \frac{q+1}{2}.

Démonstration. — On se ramène au cas où M est d’exposant fini m. L’axiome d’homotopie résulte de l’acyclicité de la cohomologie étale [Mil, p. 240, cor. 4.20] plus un argument de type Mayer-Vietoris. La pureté résulte de la longue suite exacte dans la preuve de [Mil, p. 244, cor.

5.3] :

⋯ → H^{q−2c}(Z, M ⊗ T_{Z/V}) → H^{q}(V, M)

→ H^{q}(U, M) → H^{q−2c+1}(Z, M ⊗ T_{Z/V}) → …

où le faisceau T_{Z/V} est localement isomorphe à ℤ/m.

3.2.2. Cohomologie motivique. — Dans ce numéro et les suivants, on va utiliser la catégorie triangulée des motifs effectifs géométriques de Voevodsky DM := DM_{Nis}^{eff,−}(k), pour laquelle nous renvoyons à [MVW, Lect. 14]. Rappelons que cette catégorie possède une structure monoïdale, qu’on a un foncteur

M : Sm(k) → DM,

et des “objets de Tate" ℤ(n) := ℤ(1)^{⊗n} ∈ DM pour tout n ≥ 0, dont nous utiliserons les trois propriétés suivantes (on note M(n) := M ⊗ ℤ(n)) :

Homotopie :

(3.1)  M(E) ⟶^{∼} M(X)

pour tout fibré vectoriel E → X [MVW, 14.5].

Triangle exact de Gysin :

(3.2)  M(U) → M(U − Z) → M(Z)(r)[2r] → M(U)[1]

pour tout couple lisse (U, Z) de codimension r [MVW, 15.15].

Simplification : Le foncteur M ↦ M(1) est pleinement fidèle [MVW, 16.25, 16.26].

Pour X ∈ Sm_{fl}, notons H^{p}(X, ℤ(q)) les groupes de cohomologie motivique de X définis par Suslin-Voevodsky [MVW, déf. 3.4] : on a aussi

H^{p}(X, ℤ(q)) = Hom_{DM}(M(X), ℤ(q)[p])

[MVW, prop. 14.16]. De tout ceci on tire la suite exacte de Gysin

(3.3) ⋯ → H^{q−2c}(Z, ℤ(n − c)) → H^{q}(U, ℤ(n))

→ H^{q}(U − Z, ℤ(n)) → H^{q+1−2c}(Z, ℤ(n − c)) → …

pour (U, Z) comme en (3.2) [MVW, thm. 15.15].

Proposition 3.10. — Pour tout q ∈ ℤ et tout n ≥ 0, le foncteur X ↦ H^{q}(X, ℤ(n)) est homotopique et pur en coniveau > n.

Démonstration. — La propriété d’homotopie résulte de l’isomorphisme La preuve de la pureté est la même que pour la proposition 3.9 étant donné (3.3), avec deux différences : on a ℤ(q) = 0 si q < 0, et on ignore si H^{p}(X, ℤ(q)) = 0 pour p < 0 en général (c’est la conjecture de Beilinson-Soulé).

Exemple 3.11. — Les groupes de cohomologie motivique sont canoniquement isomorphes aux groupes de Chow supérieurs de Bloch [MVW, Lect. 17]. En particulier, pour q = 2n on a H^{2n}(X, ℤ(n)) = CH^{n}(X) : on retrouve le fait que CH^{n}(B_{r}G) est bien défini pour r > n [Tot, déf. 1.2].

3.2.3. Cohomologie motivique étale. —

Définition 3.12. — Soit X une k-variété lisse. Pour (q, n) ∈ ℤ × ℤ et pour un groupe abélien A, on pose

H_{ét}^{q}(X, A(n)) = Hom_{DM_{ét}}(α^{∗}M(X), A ⊗ ℤ(n)_{ét}[q])

où DM_{ét} := DM_{ét}^{eff,−}(k) est la catégorie triangulée analogue à DM, mais construite en termes de la topologie étale [MVW, déf. 9.2], et

ℤ(n)_{ét} = \begin{cases}α^{∗}ℤ(n) & si n ≥ 0 \\ (ℚ/ℤ)′(n)[−1] & si n < 0 \end{cases}

où (ℚ/ℤ)′ := ⨁_{l≠car k} ℚ_{l}/ℤ_{l}, cf. [HK, déf. 3.1].

Rappelons que pour A = ℤ/m ou A = ℚ_{l}/ℤ_{l} (m, l inversibles dans k), on retrouve la cohomologie étale ordinaire à coefficients dans des racines de l’unité tordues [MVW, 10.6].

On a un foncteur évident α^{∗} : DM → DM_{ét} (changement de topologie).

Proposition 3.13. — Soit (q, n) ∈ ℤ. Alors le foncteur

X ↦ H_{ét}^{q}(X, ℤ(n))

est homotopique et pur en coniveau ≥ inf(n, \frac{q+1}{2}), au sens de la définition 3.1.

Démonstration. — C’est la même que pour la proposition 3.10 : l’axiome d’homotopie est clair d’après (3.1). Pour l’axiome de pureté, soit U une variété lisse et soit Z un fermé lisse purement de codimension r. En utilisant le théorème de simplification de [HK, prop. A.4], on trouve :

Hom_{DM_{ét}^{eff}(k)}(α^{∗}M(Z)(r)[2r], A ⊗ ℤ(n)_{ét}[q]) ≃ H_{ét}^{q−2r}(Z, ℤ(n − r)).

Si r > n, ce groupe est la cohomologie étale d’un complexe de faisceaux concentré en degré 1 : il est donc nul dès que q−2r−1 < 0, soit q−2r ≤ 0. On conclut à l’aide du triangle exact de Gysin (3.2).

3.2.4. Homologie motivique. —

Définition 3.14. — L’homologie motivique est définie par

H_{i}(X, ℤ(n)) = Hom_{DM}(ℤ(n)[i], M(X)).

Contrairement aux précédents, ce foncteur est covariant en X.

Proposition 3.15. — H_{i}(−, ℤ(n)) est homotopique et pur en coniveau > i − n + 1.

Démonstration. — C’est la même que ci-dessus. L’axiome d’homotopie résulte de (3.1). D’après le triangle exact de Gysin (3.2) et le théorème de simplification, on a une longue suite exacte

… H_{i+1−2r}(Z, ℤ(n − r)) → H_{i}(U, ℤ(n))

→ H_{i}(V, ℤ(n)) → H_{i−2r}(Z, ℤ(n − r)) → …

De plus, pour X lisse, on a H_{i}(X, ℤ(n)) = 0 si i < n [K11, prop. 6.1].

Donc H_{i}(U, ℤ(n)) ⟶^{∼} H_{i}(V, ℤ(n)) si r > i − n + 1.

3.2.5. Le faisceau h_{0}^{Nis}. — Notons HI la catégorie des faisceaux Nisnevich avec transferts invariants par homotopie [MVW, ch. 13]. Soit X ∈ Sm_{fl}. Le foncteur

HI ∋ F ↦ F(X)

est représentable par un objet h_{0}^{Nis}(X) ∈ HI (cf. [Voe00b, lemma 3.2.1]).

Proposition 3.16. — Le foncteur (covariant) X ↦ h_{0}^{Nis}(X) est homotopique et pur en coniveau ≥ 2.

Démonstration. — La propriété d’homotopie se réduit à la 𝔸^{1}-invariance homotopique par un argument de Mayer-Vietoris. Pour la pureté, on observe que si Z ⊂ X est un fermé de codimension ≥ 2, on a un isomorphisme F(X) ⟶^{∼} F(X − Z) pour tout F ∈ HI en vertu de la résolution de Gersten de [MVW, 24.11].

3.2.6. K-théorie algébrique. — Soit i ≥ 0. Le foncteur de Quillen

K_{i} : Sm_{fl}^{op} → Ab

est homotopique, mais pur en aucun coniveau. Pour donner un sens à K_{i}(BG), on peut utiliser la remarque 3.7 : notons, pour r ≥ 0 et X ∈ Sm_{fl}, K_{i}(X)^{(r)} le r-ième cran de la filtration par la codimension du support. La suite spectrale de Quillen

E_{1}^{p,q} = ⨁_{x∈X^{(p)}} K_{−p−q}(k(x)) ⇒ K_{−p−q}(X),

aboutissant à cette filtration, montre que le foncteur K_{i}/K_{i}^{(r)} est homotopique et pur en coniveau > (r − 1)^{2} (voir le raisonnement de la preuve de la proposition 6.1 ci-dessous). De plus, K_{i}(X)^{(r)} = 0 pour r > dim X : on a donc un isomorphisme

K_{i} ⟶^{∼} \underleftarrow{lim}_{r} K_{i}/K_{i}^{(r)}

sur Sm_{fl}, et on est en mesure d’appliquer la remarque indiquée. On notera K̂_{i}(BG) le groupe obtenu ainsi : pour i = 0, on retrouve la définition de K_{0}(BG) donnée dans [Tot, §3].

Si l’on utilise par contre la formule

K_{i}(BG) := Hom_{H_{•}}(Σ_{s}^{i}(B_{ét}G_{+}), (BGL_{∞}, ∗))

de [MV, p. 140, th. 3.13], la proposition 2.29 fournit des homomorphismes

K_{i}(BG) → K̂_{i}(BG)

qui ne sont pas a priori bijectifs, mais le deviennent après complétion du membre de gauche par rapport à la filtration par la codimension du support (le membre de droite étant complet par construction). Ceci est à comparer à Jacowski-Oliver [JO].

3.2.7. Autres exemples. — Nous laissons aux lecteurs le plaisir de les explorer (cobordisme algébrique, etc.) Dans la section 5, on calculera le coniveau des groupes de Chow à coefficients de Rost (cor. 5.11).

3.3. Le transfert. — Soit G ∈ Grp, et soit H ⊂ G un sous-groupe fermé d’indice fini. Donnons-nous un foncteur F : Sm_{fl}^{op} → Ab, homotopique et pur en coniveau > r, qui soit muni d’une fonctorialité covariante pour les morphismes finis et plats. On peut alors définir un homomorphisme

(3.4)  Cor_{H}^{G} : F (BH) → F (BG)

de la manière suivante. Soit U un G-torseur linéaire de coniveau > r. Alors U/H → U/G est fini et plat, d’où le morphisme cherché : on vérifie comme d’habitude qu’il ne dépend pas du choix de U.

Lemme 3.17. — Supposons que les transferts de F vérifient l’identité

f_{∗} ∘ f^{∗} = deg(f)

pour f fini et plat. Alors, pour tout G fini, on a |G|F̃(BG) = 0.

La condition du lemme 3.17 est vérifiée dans tous les exemples du §3.2, sauf dans le cas de la K-théorie algébrique.^{(3)} Pour F = CH^{r}, cf. [Tot, §4] où l’utilisation de ces transferts est implicite mais leur construction n’est pas explicitée.

4. Cohomologie motivique étale de BG

Soit G ∈ Grp, et soit (q, n) ∈ ℤ × ℤ. D’après la proposition 3.13, les groupes H_{ét}^{q}(BG, ℤ(n)) sont définis et fonctoriels en G. On va les calculer quand G est un groupe fini (constant). Le résultat principal est :

Théorème 4.1. — Supposons k séparablement clos. Pour tout (n, q) ∈ ℤ × ℤ, on a un isomorphisme canonique

H̃_{ét}^{q}(BG, ℤ(n)) ≃ H^{q}(G, ℤ)′(n)

où ′ désigne la partie de torsion première à l’exposant caractéristique de k. (Voir définition 3.8 pour la notation H̃.)

Ceci précise un résultat de Peyre [Pe99, prop. 4.2.1] : ici, la conjecture de Bloch-Kato n’intervient pas.

Voir §4.3 pour la démonstration ; elle donne aussi un isomorphisme à coefficients finis

H_{ét}^{q}(BG, ℤ/m(n)) ≃ H^{q}(G, ℤ/m)(n)

pour m premier à car k.

3. Dans le cas de l’homologie motivique, il faut renverser le sens des flèches…

Le raisonnement approximatif est le suivant. Soit EG l’espace total du G-torseur universel de base BG. Alors EG → BG est un revêtement étale ; la suite spectrale de Hochschild-Serre associée (à coefficients ℤ(n)_{ét}) peut se décrire comme la suite spectrale d’hypercohomologie associée au complexe de G-modules

RΓ_{ét}(EG, ℤ(n)).

Comme EG est contractile, la projection EG → Spec k induit un quasiisomorphisme G-équivariant

RΓ_{ét}(Spec k, ℤ(n)) ⟶^{∼} RΓ_{ét}(EG, ℤ(n))

qui montre que H_{ét}^{∗}(BG, ℤ(n)) s’identifie à l’hypercohomologie (à coefficients G-triviaux)

ℍ^{∗}(G, RΓ_{ét}(Spec k, ℤ(n))).

Il est bien connu que, dans la catégorie dérivée des groupes abéliens, tout complexe est isomorphe à la somme directe de ses groupes de cohomologie décalés. La suite spectrale correspondante

(4.1)  E_{2}^{p,q} = H^{p}(G, H_{ét}^{q}(k, ℤ(n))) ⇒ H_{ét}^{p+q}(BG, ℤ(n))

dégénère donc en E_{2} (quoique pas canoniquement).

4.1. BG et suite spectrale de descente. — Pour rendre le raisonnement ci-dessus rigoureux, il faut le faire à des niveaux “finis", c’est-à-dire en remplaçant EG → BG par U → U/G où U est l’espace total d’un G-torseur linéaire de coniveau tendant vers l’infini. En effet, on vérifie facilement que la proposition 3.13 est optimale, c’est-à-dire que pour n fixé, le coniveau de H_{ét}^{q}(−, ℤ(n)) tend vers l’infini avec q. Ceci force à appliquer une version de la remarque 3.7. Cela peut se faire de la manière suivante :

Soit n ∈ ℤ. pour tout q ∈ ℤ, considérons le foncteur

(4.2)  Sm_{fl} ∋ X ↦ τ_{≤q}RΓ_{ét}(X, ℤ(n))

à valeurs dans la catégorie dérivée des groupes abéliens. La proposition 3.13 implique qu’il est homotopique et pur en coniveau ≥ inf(n, \frac{q+1}{2}).

À tout G-torseur p : U → U/G, associons maintenant la suite spectrale

(q)E_{2}^{p,q}(p) = H^{p}(G, H^{q}(τ_{≤q}RΓ_{ét}(U, ℤ(n))) ⇒ ℍ^{p+q}(G, τ_{≤q}RΓ_{ét}(U, ℤ(n)).

Ceci définit un foncteur contravariant de la catégorie des G-torseurs vers celle des suites spectrales, qui est homotopique et pur en coniveau ≥ inf(n, \frac{q+1}{2}), au sens qui généralise celui de la définition 3.1 (axiomes relatifs à la base du G-torseur). De plus, les _{(q)}E forment un système inductif, de limite la suite spectrale de Hochschild-Serre habituelle.

La construction 2.12, restreinte aux G-torseurs, fournit alors que _{(q)}E prend un sens sur le “G-torseur universel" 𝔼_{r}G de la définition 2.13 pour r ≥ inf(n, \frac{q+1}{2}), est indépendante d’un tel r, et que ces suites spectrales convergent quand q → ∞ vers une suite spectrale de Hochschild-Serre pour le torseur universel 𝔼G^{(4)}. Enfin, la propriété d’homotopie pour les (4.2) justifie la forme (4.1) de cette suite spectrale, et donc sa dégénérescence.

On peut résumer la discussion ci-dessus par le théorème suivant :

Théorème 4.2. — Soit G un groupe fini, et soit n ∈ ℤ. Alors la cohomologie H_{ét}^{∗}(BG, ℤ(n)) est l’aboutissement d’une suite spectrale de la forme (4.1) (action triviale sur les coefficients), qui dégénère en E_{2}.

4.2. Rappels sur la cohomologie motivique étale d’un corps.

— Si p est un nombre premier, un groupe abélien A est dit p′-divisible (resp. uniquement p′-divisible) si, pour tout entier m premier à p, la multiplication par m sur A est surjective (resp. bijective).

Rappelons que la conjecture de Bloch-Kato en degré n

K_{n}^{M}(F)/m ⟶^{∼} H_{ét}^{m}(F, μ_{m}^{⊗n})

est triviale pour n ≤ 0, se réduit au théorème 90 de Hilbert pour n = 1, est un théorème classique de Merkurjev et Suslin pour n = 2 [MS] et que sa démonstration complète résulte de travaux récents de Voevodsky, Rost et al.

Lemme 4.3. — Soit p l’exposant caractéristique de k.

1) Supposons k séparablement clos. Pour n ∈ ℤ − {0}, H_{ét}^{q}(k, ℤ(n)) est nul pour q > n et uniquement p′-divisible pour q ≤ n, sauf pour q = 1. Le groupe H_{ét}^{1}(k, ℤ(n)) est p′-divisible, de torsion isomorphe à (ℚ/ℤ)′(n).

2) Supposons k quelconque, et n ≠ 0.

a) H_{ét}^{q}(k, ℤ(n)) est uniquement divisible pour q ≤ 0.

b) Pour q ≥ n + 2, l’homomorphisme

H_{ét}^{q−1}(k, (ℚ/ℤ)′(n)) → H_{ét}^{q}(k, ℤ(n))

4. qui existe dans une catégorie 2 − \underleftarrow{lim} S_{r}^{−1}(G − Tors), cf. remarque 3.7

est bijectif.

c) Sous la conjecture de Bloch-Kato en degré n, on a

H^{q}(k, ℤ(n)) ⟶^{∼} H_{ét}^{q}(k, ℤ(n)) pour q ≤ n
H_{ét}^{n}(k, ℤ(n)) ≃ K_{n}^{M}(k)
H_{ét}^{n+1}(k, ℤ(n)) = 0.

Démonstration. — Il suffit de démontrer 2) : 1) en est un cas particulier. On a un triangle exact

ℤ(n)_{ét} → ℚ(n)_{ét} → (ℚ/ℤ)′(n) ⟶^{+1} .

Comme (ℚ/ℤ)′(n) est un faisceau concentré en degré 0, cela démontre a) sauf pour q = 0, où on n’a a priori qu’une suite exacte

H_{ét}^{0}(k, ℚ(n)) → H_{ét}^{0}(k, (ℚ/ℤ)′(n)) → H_{ét}^{1}(k, ℤ(n)).

Pour prouver la nullité de la première flèche, on peut raisonner comme suit (cf. preuve de [K97, th. 3.1]). Il suffit de montrer que, pour tout corps k_{0} ⊂ k, de type fini sur le corps premier, l’homomorphisme

H_{ét}^{0}(k_{0}, ℚ(n)) → H_{ét}^{0}(k_{0}, (ℚ/ℤ)′(n))

est nul. Mais c’est évident, puisque le terme de gauche est divisible et le terme de droite est fini. (Ici on utilise que la cohomologie motivique étale à coefficients rationnels et de torsion commute aux limites inductives de corps : pour la seconde c’est standard, et pour la première cela résulte du théorème de comparaison avec la cohomologie Nisnevich [MVW, 14.24].)

b) provient du fait que le complexe (de faisceaux Nisnevich) ℤ(n) n’a pas de cohomologie en degré > n. Quant à c), le premier isomorphisme est l’énoncé “Bloch-Kato ⇒ Beilinson-Lichtenbaum" [Su-Vo, GL], le second résulte du premier et de l’isomorphisme canonique K_{n}^{M}(k) ≃ H^{n}(k, ℤ(n)) [MVW, 5.1] et le dernier est “Hilbert 90 en poids n".

Remarque 4.4. — Pour référence ultérieure, donnons une reformulation triangulée de la conjecture de Beilinson-Lichtenbaum (qui est maintenant un théorème) utilisée dans le lemme ci-dessus : pour n ≥ 0, la conjecture de Beilinson-Lichtenbaum est vraie en poids n si et seulement si le triangle

ℤ(n) → Rα_{∗}ℤ(n)_{ét} → τ_{≥n+2}Rα_{∗}ℤ(n)_{ét} ⟶^{+1}

est exact dans DM.

4.3. Démonstration du théorème 4.1. — L’énoncé est évident pour n = 0, on peut donc supposer n ≠ 0. Appliquons le lemme 4.3 : dans la suite spectrale (4.1), les seuls termes E_{2}^{p,q} non nuls sont pour p = 0 ou q = 1. On obtient donc

H̃_{ét}^{q}(BG, ℤ(n)) ≃ \begin{cases}H^{q−1}(G, H^{1}(k, ℤ(n))) & si q ≠ 1 \\ 0 & si q = 1. \end{cases}

En réappliquant le lemme 4.3, on obtient un homomorphisme

H^{q−1}(G, (ℚ/ℤ)′(n)) → H^{q−1}(G, H^{1}(k, ℤ(n)))

qui est bijectif pour q ≠ 1. Toujours pour q ≠ 1, on peut écrire

H^{q−1}(G, (ℚ/ℤ)′(n)) ≃ H^{q−1}(G, ℚ/ℤ)′(n) ⟶^{∼} H^{q}(G, ℤ)′(n).

On conclut en observant que H^{1}(G, ℤ) = 0 et que H^{0}(G, ℤ) = ℤ est sans torsion.

4.4. Cas d’un corps k parfait quelconque. — Dans les numéros suivants, on décrit le groupe H_{ét}^{n+2}(BG, ℤ(n)) pour n ≤ 2. On aura besoin de ces résultats au §12.1.

4.4.1. n < 0. — Par définition, ℤ(n)_{ét} = (ℚ/ℤ)′(n)[−1]. On en déduit :

(4.3)  H̃_{ét}^{n+2}(BG, ℤ(n)) = 0.

4.4.2. n = 0. — On a ℤ(0)_{ét} = ℤ, d’où

(4.4)  H̃_{ét}^{2}(BG, ℤ(0)) = H^{2}(G, ℤ).

(Rappelons que H_{ét}^{1}(k, ℤ) = 0.)

4.4.3. n = 1. — On a ℤ(1)_{ét} = 𝔾_{m}[−1], d’où

(4.5)  H̃_{ét}^{3}(BG, ℤ(1)) = B̃r(BG) = H^{2}(G, k^{∗}).

(Rappelons que H_{ét}^{1}(k, 𝔾_{m}) = 0 : théorème 90 de Hilbert.)

4.4.4. n = 2. — Dans ce cas, grâce au lemme 4.3 a) on obtient une suite exacte (scindée)

0 → H^{2}(G, H_{ét}^{2}(k, ℤ(2))) → H̃_{ét}^{4}(BG, ℤ(2)) → H^{3}(G, H_{ét}^{1}(k, ℤ(2))) → 0.

D’après le lemme 4.3 c), on a H_{ét}^{2}(k, ℤ(2)) ≃ K_{2}^{M}(k) = K_{2}(k). Il reste un groupe à décrire :

Lemme 4.5. — On a un isomorphisme

H_{ét}^{1}(k, ℤ(2)) ≃ K_{3}(k)_{ind}

où K_{3}(k)_{ind} := Coker(K_{3}^{M}(k) → K_{3}(k)).

Démonstration. — Cela résulte de [BL, th. (7.2)], du lemme 4.3 2) c) et du théorème de Voevodsky comparant cohomologie motivique et groupes de Chow supérieurs [MVW, Lect. 19]. Une autre manière de conclure est d’utiliser la suite spectrale de Bloch-Lichtenbaum

E_{2}^{p,q} = H^{p−q}(k, ℤ(−q)) ⇒ K_{−p−q}(k)

[BL, Le]. Comme E_{2}^{p,q} = 0 pour p < 0 et q = 0, −1, cette suite spectrale donne une suite exacte

H^{3}(k, ℤ(3)) → K_{3}(k) → H^{1}(k, ℤ(2)) → 0

c’est-à-dire un isomorphisme K_{3}(k)_{ind} ⟶^{∼} H^{1}(k, ℤ(2)). On utilise alors l’isomorphisme H^{1}(k, ℤ(2)) ⟶^{∼} H_{ét}^{1}(k, ℤ(2)) du lemme 4.3.

Soit k_{0} le sous-corps des constantes de k, c’est-à-dire la fermeture algébrique du sous-corps premier. Alors K_{3}(k_{0})_{ind} → K_{3}(k)_{ind} est injectif, de conoyau uniquement divisible (cf. [K93, (1.4)]). Comme dans [K93, th. 2.1], on en déduit :

Proposition 4.6. — On a une suite exacte scindée :

(4.6) 0 → H^{2}(G, K_{2}(k)) → H̃_{ét}^{4}(BG, ℤ(2)) → H^{3}(G, K_{3}(k_{0})_{ind}) → 0

où k_{0} est le sous-corps des constantes de k.

4.4.5. n > 2. — La situation est plus compliquée. Pour n = 3, le groupe H̃_{ét}^{5}(BG, ℤ(3)) admet une filtration à trois crans, commençant par H^{3}(G, K_{3}^{M}(k)).

5. Modules de cycles de Rost et cohomologie de cycles

5.1. Modules de cycles. — Pour tout ce qui concerne les modules de cycles et leur cohomologie, on renvoie à l’article de Rost [Rost]. Nous nous contentons de résumer les points essentiels de sa théorie :

Soit F(k) la catégorie des corps de type fini sur k. Pour F ∈ F(k), on note P(F/k) l’ensemble des valuations discrètes divisorielles sur F, centrées en k (l’anneau O_{v} de v est une localisation d’une k-algèbre intègre de type fini en un point régulier de codimension 1). Si v ∈ P(F/k), on note κ(v) son corps résiduel. Notons que l’hypothèse sur v entraîne

tr.deg.(F |k) = tr.deg.(κ_{v}|k) + 1.

5.1.1. Prémodules de cycles. — Un prémodule de cycles (sur k) est un foncteur covariant M de F(k) vers la catégorie des groupes abéliens gradués, muni des structures supplémentaires suivantes :

1. Fonctorialité contravariante pour les extensions finies.

2. Pour chaque F ∈ F(k), une structure de K_{∗}^{M}F -module gradué sur M(F), où K_{∗}^{M}F est l’anneau de Milnor de F. On la note x · ρ où x ∈ K_{∗}^{M}F et ρ ∈ M(F).

3. Pour F ∈ F(k) et v ∈ P(F/k), un “morphisme résidu" ∂_{v} : M(F) → M(κ(v)), de degré −1.

Ces données sont assujetties à une liste d’axiomes donnée dans [Rost, déf. 1.1, p. 328].

5.1.2. Modules de cycles. — Soit X un k-schéma : on écrit M(x) = M(k(x)) pour x ∈ X. Si X est normal intègre, alors l’anneau local de X en x ∈ X^{(1)} est un anneau de valuation discrète de rang un ; soit ∂_{x} : M_{n}(ξ_{X}) → M_{n−1}(x) l’homomorphisme résidu associé, où ξ_{X} est le point générique de X. Pour X quelconque et x, y ∈ X, on en déduit un morphisme ∂_{y}^{x} : M(x) → M(y) [Rost, p. 337].

Définition 5.1 ([Rost, déf. 2.1, p. 337]). — Un module de cycles M sur k est un prémodule de cycles satisfaisant aux conditions (FD) et (C) suivantes :

(FD) : “SUPPORT FINI”. Soient X un k-schéma normal intègre et ρ ∈ M(ξ_{X}), alors ∂_{x}(ρ) = 0 pour tout x ∈ X^{(1)} en dehors d’un ensemble fini.

(C) : “FERMETURE”. Soit X intègre et local de dimension 2, alors

0 = ∑_{x∈X^{(1)}} ∂_{x_{0}}^{x} ∘ ∂_{x}^{ξ} : M(ξ_{X}) → M(x_{0})

où ξ_{X} est le point générique et x_{0} est le point fermé de X.

Proposition 5.2 ([Rost, prop. 2.2]). — Soit M un module de cycles sur k. Alors les propriétés suivantes sont satisfaites pour tout corps F de type fini sur k.

(H) : HOMOTOPIE POUR 𝔸^{1}. La suite suivante est exacte :

0 → M_{∗}(F) → M_{∗}(F (t)) ⟶^{∂_{x}} ⨁_{x∈(𝔸_{F}^{1} )_{(0)}} M_{∗−1}(F (x)) → 0

où F (t) est le corps des fonctions de 𝔸_{F}^{1} .

(RC) : RÉCIPROCITÉ POUR LES COURBES. Soit X une courbe propre et lisse sur F. Alors la suite

M_{∗}(F (X)) ⟶^{∂_{x}} ⨁_{x∈X_{(0)}} M_{∗−1}(F (x)) → M_{∗−1}(F)

où les flèches M_{∗−1}(F (x)) → M_{∗−1}(F) proviennent de la fonctorialité contravariante, est un complexe.

De la propriété (H), on tire :

Lemme 5.3. — Soit K/F une extension unirationnelle dans F(k). Alors, pour tout module de cycles M sur k, l’application M_{∗}(F) → M_{∗}(K) est injective.

Nous aurons besoin de la définition suivante :

Définition 5.4. — Un module de cycles M est dit connectif s’il existe n_{0} ∈ ℤ tel que M_{n} = 0 pour tout n < n_{0}. On pose alors

δ(M) = inf{n | M_{n} ≠ 0} (connectivité de M).

Si M n’est pas connectif, on pose δ(M) = −∞.

En utilisant [K11, thm. 1.3 et prop. 6.7], on peut montrer que tout module de cycles ℤ[1/p]-linéaire, où p est l’exposant caractéristique de k, est limite inductive filtrante de modules de cycles connectifs (cf. preuve du corollaire 11.11).

5.2. Exemples de modules de cycles. —

5.2.1. La K-théorie de Milnor la cohomologie galoisienne définissent des modules de cycles de connectivité 0 [Rost, rem. 2.4 et 2.5].

5.2.2. D’après [Deg08, 6.2.1], tout foncteur additif contravariant de DM vers la catégorie des groupes abéliens fournit des modules de cycles (un pour chaque n ∈ ℤ).

Un exemple de tel foncteur est donné par

C′ ↦ Hom_{DM}(C′, C).

où C est un objet de DM. En regardant la formule de [Deg08, 6.2.1], on voit que les modules de cycles associés sont donnés par la formule

M_{q}^{(n)}(F) = H^{q}(F, C(n + q))

où on pose, pour une k-variété lisse X

H^{q}(X, C(n + q)) = Hom_{DM}(M(X), C(n + q)[q])

puis

H^{q}(F, C(n + q)) = \underrightarrow{lim} H^{q}(U, C(n + q))

où U parcourt les modèles lisses de F/k. En prenant C = ℤ, on voit que la cohomologie motivique définit des modules de cycles M_{q}^{(n)}(F) = H^{q}(F, ℤ(n + q)), de connectivité ≥ −n.^{(5)}

5.2.3. Si C est un objet de DM_{ét}, il définit un foncteur comme ci-dessus

C′ ↦ Hom_{DM_{ét}}(α^{∗}C′, C).

En prenant C = α^{∗}ℤ, on voit que la cohomologie motivique étale définit des modules de cycles M_{q}^{(n)}(F) = H_{ét}^{q}(F, ℤ(n + q)), de connectivité ≥ inf(−n, 1) (même raisonnement que dans la preuve de la proposition 3.13).^{(6)}

5.3. Complexes de cycles et groupes de Chow. —

Définition 5.5 ([Rost, 3.2, p. 346]). — Soient M un module de cycles sur k, soit X un k-schéma de type fini et soit p un entier. Posons

C_{p}(X, M_{n}) = ⨁_{x∈X_{(p)}} M_{n+p}(x).

On définit une différentielle

d = d_{X} : C_{p}(X, M_{n}) → C_{p−1}(X, M_{n})

5. Sous la conjecture de Beilinson-Soulé, cette minoration s’améliore en : ≥ sup(−n, 0).

6. Sous la conjecture de Beilinson-Soulé, cette minoration s’améliore en : ≥ sup(inf(−n, 1), 0).

dont la composante d_{y}^{x} (x ∈ X_{(p)}, y ∈ X_{(p−1)}) est décrite dans [Rost, 2.1.0]. Cette définition est bien déterminée par l’axiome (FD). On a d_{X} ∘ d_{X} = 0 ([Rost, lem. 3.3]).

Le complexe C_{∗}(X, M_{n}) = (C_{p}(X, M_{n}), d_{X})_{p≥0} est appelé le complexe de cycles homologique sur X à coefficients dans M_{n}.

Si X est équidimensionnel, on pose aussi

C^{p}(X, M_{n}) = ⨁_{x∈X^{(p)}} M_{n−p}(x)

et on définit :

d = d_{X} : C^{p}(X, M_{n}) → C^{p+1}(X, M_{n})

de la même manière. Le complexe C^{∗}(X, M_{n}) = (C^{p}(X, M_{n}), d_{X})_{p≥0} est appelé le complexe de cycles cohomologique sur X à coefficients dans M.

On note A_{p}(X, M_{n}) (resp. A^{p}(X, M_{n}))^{(7)} le p-ième groupe d’homologie (resp. de cohomologie) du complexe C_{∗}(X, M_{n}) (resp. C^{∗}(X, M_{n})). Avec Rost, on l’appelle le groupe de Chow des cycles de dimension p (resp. de codimension p) à coefficients dans M.

Exemple 5.6. — Si X est intègre de point générique ξ_{X}, on a

A^{0}(X, M_{n}) = Ker d = ⋂_{x∈X^{(1)}} Ker ∂_{x}^{ξ} ⊂ M_{n}(ξ_{X}).

On peut voir A^{0}(X, M) comme le groupe des éléments non ramifiés sur X.

Remarque 5.7 (Groupes de Chow classiques)

On a [Rost, rem. 5.1] :

A_{p}(X; K_{−p}^{M}) = CH_{p}(X) et A^{p}(X; K_{p}^{M}) = CH^{p}(X).

Par exemple, on a CH_{0}(X) = A_{0}(X, K_{0}^{M}).

Remarque 5.8. — Si X est équidimensionnel et de dimension d, alors X^{(p)} = X_{(d−p)} et C^{p}(X, M_{n}) = C_{d−p}(X, M_{n−d}), donc

A^{p}(X, M_{n}) = A_{d−p}(X, M_{n−d}).

7. Rost note A_{p}(X, M, n) et A^{p}(X, M, n).

Lemme 5.9 ([Rost, (3.10), p. 350]). — Soient U ↪ X une immersion ouverte et Z le fermé complémentaire. Soit p un entier positif. On a une suite exacte de complexes :

0 → C_{∗}(Z, M_{n}) → C_{∗}(X, M_{n}) → C_{∗}(U, M_{n}) → 0.

D’où une suite exacte de localisation [Rost, §5, p. 356] :

⋯ → A_{p}(Z, M_{n}) → A_{p}(X, M_{n}) → A_{p}(U, M_{n}) → A_{p−1}(Z, M_{n}) → …

Corollaire 5.10. — 1. Sous l’hypothèse du lemme 5.9, on a

A_{p}(X, M_{n}) ⟶^{∼} A_{p}(U, M_{n}) si dim Z < p − 1.

2. De plus, si X est équidimensionnel, alors

A^{p}(X, M_{n}) ⟶^{∼} A^{p}(U, M_{n}) si codim_{X} Z > inf{n − δ(M), p + 1}.

(voir définition 5.4 pour δ(M)).

Démonstration. — 1) résulte de la trivialité

A_{p}(Z, M_{n}) = 0 si Z_{(p)} = ∅ i.e. dim Z < p.

2) Du lemme 5.9 et de 1), en supposant que Z soit irréductible lisse de codimension c, on déduit que

A^{p}(X, M_{n}) ⟶^{∼} A^{p}(U, M_{n}) si c > p + 1.

Supposons M connectif. Si x ∈ X^{(p)} ∩ Z, alors x ∈ Z^{(p−c)} donc la suite exacte de localisation prend la forme :

⋯ → A^{p−c}(Z, M_{n−c}) → A^{p}(X, M_{n})

→ A^{p}(U, M_{n}) → A^{p−c+1}(Z, M_{n−c}) → …

Si n − c < δ(M) i.e. c > n − δ(M), alors M_{n−c} = 0, donc on a aussi A^{p}(X, M_{n}) ⟶^{∼} A^{p}(U, M_{n}). On en déduit (2).

Corollaire 5.11. — A^{p}(−, M_{n}) est un foncteur contravariant sur Sm_{fl}, homotopique et pur en coniveau > inf{n − δ(M), p + 1}.

Démonstration. — D’après [Rost, §12, p. 382], A^{p}(−, M_{n}) est un foncteur contravariant et l’invariance par homotopie est démontrée dans [Rost, prop. 8.6, p. 370]. L’axiome de pureté résulte du corollaire 5.10.

Nous aurons enfin besoin du lemme suivant, qui résulte de la description du morphisme bord d’une longue suite exacte de cohomologie :

Lemme 5.12. — Soit M un module de cycles, et soit F ∈ F(k). Notons ∂_{0} le résidu relatif à la valuation discrète sur F (t) = F (𝔸^{1}) correspondant à l’origine de 𝔸_{F}^{1} . Notons d’autre part δ le bord de la suite exacte de localisation relative à l’immersion ouverte 𝔾_{m,F} ↪ 𝔸_{F}^{1} . Alors le diagramme

\xymatrix{A^{0}(𝔾_{m,F} , M_{n}) \ar[r]^{δ} \ar@{^{(}->}[d] & A^{0}(F, M_{n−1}) \ar[d]^{=} \\ M_{n}(F (t)) \ar[r]^{∂_{0}} & M_{n−1}(F)}

est commutatif.

5.4. Le transfert. — Soit G ∈ Grp, et supposons M connectif. Le corollaire 5.11 donne un sens à A^{p}(BG, M_{n}), qui est contravariant en G. En appliquant la covariance des groupes de Chow à coefficients pour les morphismes propres [Rost, prop. (4.6) (1)], on obtient aussi des transferts (3.4). Ils vérifient la condition du lemme 3.17 d’après [Rost, lemma (4.2) (2)]. On en conclut :

Proposition 5.13. — Si G est fini, on a |G|Ã^{p}(BG, M_{n}) = 0 pour tout p ≥ 0 et tout n ∈ ℤ.

5.5. Cohomologie de cycles et invariants cohomologiques de torseurs. — Gardons les hypothèses ci-dessus. L’argument de Totaro [GMS, appendix C] démontre (raffinement du théorème 3.5) :

Théorème 5.14. — Pour tout groupe G algébrique linéaire sur un corps k, on a

A^{0}(BG, M_{n}) ⟶^{∼} Inv_{k}(G, M_{n})

où Inv_{k}(G, M_{n}) est le groupe des invariants de G à valeur dans M_{n} défini par Serre [GMS, déf. 1.1], c’est-à-dire l’ensemble des morphismes de foncteurs A → M_{n} où

A : F(k) → Ens, A(F) = H^{1}(F, G).

Cet isomorphisme envoie Ã^{0}(BG, M_{n}) sur le sous-groupe Ĩnv_{k}(G, M_{n}) des invariants normalisés : ceux qui sont triviaux sur le G-torseur neutre.

On peut se convaincre que les transferts du numéro précédent coïncident avec ceux définis par Serre dans [GMS, §14].

Mise en garde 5.15. — Ceci ne couvre pas les invariants à valeurs dans les groupes de Witt de [GMS, ch. VIII]. Pour y parvenir, il faut généraliser la théorie des modules de cycles [Schmidt].

6. Suites spectrales de coniveau pour BG

Notons Spct la catégorie des suites spectrales convergentes. Supposons donné un foncteur

(6.1)  E_{2}^{p,q} ⇒ H^{p+q} : Sm_{fl}^{op} → Spct .

Supposons que les foncteurs E_{2}^{p,q} et H^{n}, pris individuellement, soient homotopiques et purs en coniveau ≫ 0. Quand peut-on en déduire une suite spectrale convergente

E_{2}^{p,q}(BG) ⇒ H^{p+q}(BG)

pour G ∈ Grp ?

Cette question rappelle celle étudiée par Atiyah dans [At, §5], mais elle est plus élémentaire. Nous allons donner des conditions suffisantes pour une réponse positive.

6.1. Cohérence de foncteurs spectraux. — Un premier cas facile est celui où les ν(E_{2}^{p,q}) (voir définition 3.3) sont uniformément bornés par un entier n. Le lemme des 5 montre alors immédiatement que n borne le coniveau des E_{r}^{p,q} pour tout r ∈ [2, ∞], puis celui de H^{i} pour tout i ∈ ℤ. Le foncteur spectral (6.1) est alors globalement pur en coniveau > n, et est donc défini sur B_{n+1}G.

Voici un second cas un peu plus compliqué :

Proposition 6.1. — Supposons que les foncteurs E_{2}^{p,q} soient homotopiques et purs en coniveau ≫ 0 (non nécessairement borné) et que, pour tout n ∈ ℤ, l’ensemble des couples (p, q) avec p + q ≤ n tels que E_{2}^{p,q} ≠ 0 soit fini. Alors (E_{r}^{p,q}, H^{n}) induit un foncteur

G ↦ (E_{r}^{p,q}(BG), H^{n}(BG))

de Grp vers la catégorie des suites spectrales convergentes.

Démonstration. — Elle est dans l’esprit de la remarque 3.7, à laquelle on n’arrive pas tout à fait à se ramener.

Montrons qu’il existe deux fonctions f, g : ℤ → ℕ telles que, pour p + q ≤ n et r ≥ 2, on ait E_{r}^{p,q} = E_{∞}^{p,q} pour r ≥ f(n) et ν(E_{r}^{p,q}) ≤ g(n) pour tout r. La première affirmation est évidente, puisque l’hypothèse implique que E_{2}^{p−r,q+r−1} = E_{2}^{p+r,q−r+1} = 0 pour r assez grand et que E_{2}^{p,q} = 0 pour p + q assez petit. La seconde affirmation est vraie pour r = 2 pour la même raison, avec une fonction g_{2}(n) ; elle en découle par récurrence pour tout r ≥ 2, avec une fonction g_{r}(n), en utilisant le lemme des 5. La première affirmation entraîne alors que g(n) := sup_{r} g_{r}(n) < ∞.

En réutilisant le lemme des 5, on voit aussi que ν(H^{n}) ≤ g(n).

Étant donné G ∈ Grp, posons alors

E_{r}^{p,q}(BG) = E_{r}^{p,q}(B_{g(n)+1}G), H^{n}(G) = H^{n}(B_{g(n)+1}G).

On voit immédiatement que ceci définit une suite spectrale convergente, contravariante en G.

6.2. Suites spectrales de coniveau et DM. — Un article récent de Déglise [Deg12] permet d’amplifier la construction de modules de cycles expliquée dans 5.2.2 en une construction de suites spectrales.

Soit C ∈ DM. En appliquant [Deg12, (2.3.b)] au foncteur de 5.2.2, il donne naissance à des suites spectrales de coniveau (n ∈ ℤ)

E_{1}^{p,q}(X) = ⨁_{x∈X^{(p)}} H^{q−p}(k(x), C(n − p)) ⇒ H^{p+q}(X, C(n))

pour tout X ∈ Sm_{fl}, où on note

H^{i}(X, C(n)) = Hom_{DM}(M(X), C(n)[i])
H^{i}(F, C(n)) = \underrightarrow{lim}_{A⊂F} H^{i}(Spec A, C(n)).

Le fait que ces suites spectrales soient contravariantes pour les morphismes plats n’est pas explicitement écrit dans [Deg12], mais résulte immédiatement de la définition de la filtration par le coniveau.

Même conclusion pour C ∈ DM_{ét} et le foncteur de 5.2.3, avec

E_{1}^{p,q}(X) = ⨁_{x∈X^{(p)}} H_{ét}^{q−p}(k(x), C(n − p)) ⇒ H_{ét}^{p+q}(X, C(n))

En particulier, on obtient des suites spectrales convergentes, pour X lisse :

(6.2)  E_{1}^{p,q}(X, n) = ⨁_{x∈X^{(p)}} H^{q−p}(k(x), ℤ(n − p)) ⇒ H^{p+q}(X, ℤ(n))
(6.3) E_{1}^{p,q}(X, n)_{ét} = ⨁_{x∈X^{(p)}} H_{ét}^{q−p}(k(x), ℤ(n − p)) ⇒ H_{ét}^{p+q}(X, ℤ(n))

qui sont contravariantes pour les morphismes plats. D’après [Deg12, prop. 2.7], leurs termes E_{1} sont les complexes de cycles associés aux modules de cycles attachés à la cohomologie motivique (resp. à la cohomologie motivique étale), d’où

(6.4)  E_{2}^{p,q}(X, n) = A^{p}(X, H^{q}(ℤ(n)))
(6.5)  E_{2}^{p,q}(X, n)_{ét} = A^{p}(X, H_{ét}^{q}(ℤ(n))).

En remplaçant ℤ par ℤ/m, on obtient des versions à coefficients finis ; avec ces coefficients, (6.3) devient la suite spectrale de coniveau classique pour la cohomologie étale [BO].

6.3. Localisation de la cohomologie motivique étale. — Soit X une k-variété lisse. On va étudier l’homomorphisme “edge" de (6.3)

(6.6)  H_{ét}^{n+2}(X, ℤ(n)) → A^{0}(X, H_{ét}^{n+2}(ℤ(n)))

pour de petites valeurs de n. Notons que, d’après le lemme 4.3 2) b), le second membre peut aussi s’écrire A^{0}(X, H_{ét}^{n+1}((ℚ/ℤ)′(n))).

Nous aurons besoin des propriétés suivantes des termes E_{1}^{p,q}(X, n)_{ét}, que nous recopions de [K10, prop. 2.7 b)] (en y ajoutant un cas trivial).

Lemme 6.2. — On a E_{1}^{p,q}(X, n)_{ét} = 0 pour

(i) p < 0.

(ii) p ≥ q et p ≥ n − 1, sauf p = q = n.

(iii) q = n + 1 sous la conjecture de Bloch-Kato en degré n − p.

De plus, E_{1}^{p,q}(X, n)_{ét} est uniquement divisible pour p ≥ q et p < n − 1. Enfin, pour q = n, la flèche naturelle A^{p}(X, K_{n}^{M})[1/p] → E_{2}^{p,n}(X, n)_{ét} est surjective sous la conjecture de Bloch-Kato en degré ≤ n − p, et bijective sous cette conjecture en degré ≤ n − p + 1. En particulier, on a un isomorphisme canonique

E_{2}^{n,n}(X, n)_{ét} ≃ CH^{n}(X)

cf. remarque 5.7.

Étant donné le lemme 6.2, la démonstration du théorème suivant est un exercice facile. Il repose sur la conjecture de Bloch-Kato en degré 2 pour b), en degré 3 pour c).

Théorème 6.3. — a) Pour n ≤ 1, (6.6) est un isomorphisme.

b) (cf. [K96, th. 1.1, (9)] et [K13, prop. 2.9]). On a une suite exacte courte

0 → CH^{2}(X) → H_{ét}^{4}(X, ℤ(2)) → A^{0}(X, H_{ét}^{4}(ℤ(2))) → 0.

c) (cf. [K03, rem. 4.10]). On a une suite exacte

0 → A^{2}(X, K_{3}^{M}) → H_{ét}^{5}(X, ℤ(3)) → A^{0}(X, H_{ét}^{5}(ℤ(3)))

→ CH^{3}(X) → H_{ét}^{6}(X, ℤ(3)).

Remarque 6.4. — La suite spectrale (6.2) donne un isomorphisme

A^{2}(X, K_{3}^{M}) ⟶^{∼} H^{5}(X, ℤ(3)).

6.4. Suites spectrales de coniveau pour BG. —

Théorème 6.5. — Le foncteur spectral (6.3), pris à partir de son terme E_{2}, est homotopique et pur en coniveau > n.

Démonstration. — Pour le terme E_{2} (et donc E_{r} pour 2 ≤ r ≤ ∞), cela résulte de l’exemple 5.2.2 et du corollaire 5.11. Plus précisément, ces références donnent l’estimation

ν(E_{2}^{p,q}(−, n)) ≤ inf(n, p + 1) ≤ n.

Pour l’aboutissement, cela résulte de la proposition 3.10.

Le théorème 6.5 donne un sens aux suites spectrales convergentes

A^{p}(BG, H^{q}(ℤ(n))) ⇒ H^{p+q}(BG, ℤ(n))

pour G ∈ Grp. Nous allons voir que la situation est plus délicate pour la cohomologie motivique étale.

Théorème 6.6. — Les foncteurs spectraux (6.3), pris à partir de leur terme E_{2}, vérifient les hypothèses de la proposition 6.1.

Démonstration. — En utilisant l’exemple 5.2.3 et le corollaire 5.11, on trouve

ν(E_{2}^{p,q}(−, n)_{ét}) ≤ inf(sup(n, q − 1), p + 1) < ∞.

D’autre part, la condition de finitude de la proposition 6.1 résulte du lemme 6.2.

Le théorème 6.6 donne un sens aux suites spectrales convergentes

A^{p}(BG, H_{ét}^{q}(ℤ(n))) ⇒ H_{ét}^{p+q}(BG, ℤ(n))

pour G ∈ Grp. Par fonctorialité, on en déduit des suites spectrales convergentes “réduites" :

(6.7)  Ã^{p}(BG, H_{ét}^{q}(ℤ(n))) ⇒ H̃_{ét}^{p+q}(BG, ℤ(n))

cf. définition 3.8.

6.5. Cas d’un schéma en groupes fini. — Supposons G fini. On a alors un raffinement utile du lemme 6.2 :

Lemme 6.7. — Si G est fini, on a Ẽ_{2}^{p,q}(BG, n)_{ét} = 0 pour (i) p < 0.

(ii) p ≥ q, sauf p = q = n.

Démonstration. — D’après le lemme 6.2, il suffit de traiter le cas p ≥ q et p < n − 1. Alors Ẽ_{2}^{p,q}(BG, n)_{ét} est uniquement divisible et annulé par l’ordre de G (proposition 5.13), donc nul.

6.6. Cas d’un groupe fini. — Supposons k algébriquement clos de caractéristique 0 et G fini. Pour simplifier, négligeons les twists à la Tate. Alors (6.7) et le théorème 4.1 fournissent une famille de suites spectrales

(6.8) Ẽ_{2}^{p,q}(BG, n)_{ét} = Ã^{p}(BG, H_{ét}^{q}(ℤ(n))) ⇒ \begin{cases}H^{p+q}(G, ℤ) & p + q ≠ 0 \\ 0 & p + q = 0. \end{cases}

aboutissant à la cohomologie entière de G.

On peut alors s’amuser à faire varier n et étudier quelle information on obtient sur H^{∗}(G, ℤ). Commençons par examiner le cas où n ≤ 0.

6.6.1. Le cas n ≤ 0. — En tenant compte des isomorphismes

H^{i−1}(G, ℚ/ℤ) ⟶^{∼} H^{i}(G, ℤ) (i ≠ 0, 1)

on peut considérer une suite spectrale concurrente

(6.9)  E_{2}^{p,q}(BG, ℚ/ℤ)_{ét} = A^{p}(BG, H_{ét}^{q}(ℚ/ℤ))) ⇒ H^{p+q}(G, ℚ/ℤ)

dont l’existence et la convergence se démontrent comme pour le théorème 6.6. Pour n < 0, la définition de ℤ(n)_{ét} (définition 3.12) montre que (6.8)_{n} est essentiellement équivalente à (6.9) ; un petit calcul montre que c’est encore le cas pour n = 0.

On établit facilement un isomorphisme

A^{p}(X, H_{ét}^{p}(ℚ/ℤ(p))) ≃ CH^{p}(X) ⊗ ℚ/ℤ

pour tout X ∈ Sm_{fl}. En utilisant le lemme 3.17, on en déduit que E_{2}^{p,p}(BG, ℚ/ℤ)_{ét} = 0 pour tout p > 0. Ceci justifie qu’en petits degrés, (6.9) fournisse les isomorphismes et suites exactes suivantes :

H^{1}(G, ℚ/ℤ) ⟶^{∼} A^{0}(BG, H_{ét}^{1}(ℚ/ℤ))

H^{2}(G, ℚ/ℤ) ⟶^{∼} A^{0}(BG, H_{ét}^{2}(ℚ/ℤ)) ⟵^{∼} Br(BG) (Bogomolov ?)

0 → A^{1}(BG, H_{ét}^{2}(ℚ/ℤ)) → H^{3}(G, ℚ/ℤ) → A^{0}(BG, H_{ét}^{3}(ℚ/ℤ)) → 0

et

0 → A^{1}(BG, H_{ét}^{3}(ℚ/ℤ)) → H^{4}(G, ℚ/ℤ) → A^{0}(BG, H_{ét}^{4}(ℚ/ℤ))

→ A^{2}(BG, H_{ét}^{3}(ℚ/ℤ)) → H^{5}(G, ℚ/ℤ).

Supposons maintenant n > 0. Le lemme 4.3 2) b) fournit alors des isomorphismes

E_{2}^{p,q−1}(BG, ℚ/ℤ)_{ét} ⟶^{∼} E_{2}^{p,q}(BG, n)_{ét}

pour q ≥ n + 2, ce qui montre que les suites spectrales donnent la même information dans cette zone. Par contre, on obtient en bas degré d’autres suites exactes et isomorphismes, certains connus, d’autres non (cf. théorème 6.3) :

6.6.2. H^{2}(G, ℤ). —

CH^{1}(BG) ⟶^{∼} H^{2}(G, ℤ) (n = 1; [Pe99, ex. 3.1.1])

H^{2}(G, ℤ) ⟶^{∼} Ã^{0}(BG, K_{2}^{M}) (n = 2)

6.6.3. H^{3}(G, ℤ). —

A^{1}(BG, K_{2}^{M}) ⟶^{∼} H^{3}(G, ℤ) (n = 2)

0 → A^{1}(BG, H_{ét}^{2}(ℤ(3))) → H^{3}(G, ℤ) → Ã^{0}(BG, K_{3}^{M}) → 0 (n = 3)

6.6.4. H^{4}(G, ℤ). —

0 → CH^{2}(BG) → H^{4}(G, ℤ) → A^{0}(BG, H_{ét}^{3}(ℚ/ℤ(2))) → 0 (n = 2; [Pe08, prop. 1])

A^{1}(BG, K_{3}^{M}) ⟶^{∼} H^{4}(G, ℤ) (n = 3)

6.6.5. H^{5}(G, ℤ), H^{6}(G, ℤ), H^{7}(G, ℤ). —

0 → A^{2}(BG, K_{3}^{M}) → H^{5}(G, ℤ) → A^{0}(BG, H_{ét}^{4}(ℚ/ℤ(3)))

→ CH^{3}(BG) → H^{6}(G, ℤ) (n = 3)

0 → A^{2}(BG, H^{3}(ℤ(4))) → H^{5}(G, ℤ) → A^{1}(BG, K_{4}^{M}) → 0 (n = 4)

0 → A^{2}(BG, K_{4}^{M}) → H^{6}(G, ℤ) → A^{0}(BG, H_{ét}^{5}(ℚ/ℤ(4)))

→ A^{3}(BG, K_{4}^{M}) → H^{7}(G, ℤ) (n = 4)

Enfin, parmi les termes Ẽ_{r}^{0,q}(BG, n) on retrouve des invariants connus :

– D’après le théorème 5.14, Ẽ_{2}^{0,q}(BG, n)_{ét} est la partie réduite du groupe Inv_{k}(G, M_{q}^{(n−q)}) (invariants cohomologiques de Serre), où M_{q}^{(r)} est le module de cycles F ↦ H_{ét}^{q}(F, ℤ(r + q)).

– Ẽ_{∞}^{0,q}(BG, n)_{ét} est l’image de H^{q}(G, ℤ) dans le groupe précédent : pour n ≤ q − 2, c’est la cohomologie stable H_{st}^{q}(G, ℤ) de G au sens de Bogomolov.

On voit donc qu’entre H_{st}^{q}(G, ℤ) et Inv_{k}(G, M_{q}^{(2)}) il existe une suite finie d’invariants plus fins, à savoir les Ẽ_{r}^{0,q}(BG, q −2)_{ét} pour 2 ≤ r ≤ ∞. Le premier cas où on a un invariant nouveau est pour q = 6.

Enfin on obtient des filtrations sur la cohomologie entière de G, dont le premier cran est formé des classes géométriquement négligeables.

7. Classes non ramifiées

Le but de cette section est de donner un sens aux groupes A_{nr}^{0}(BG, M_{n}) pour un module de cycles M et un groupe algébrique linéaire G ∈ Grp. Nous commençons par un retour systématique sur la définition des classes non ramifiées sur un module de cycles, dans le style de Colliot-Thélène– Ojanguren [CTO].

7.1. Définitions. —

Définition 7.1. —

1. Pour tout corps de fonctions K sur un corps k, on définit :

A_{nr}^{0}(K/k, M_{n}) = ⋂_{A∈P(K/k)} Ker(M_{n}(K) ⟶^{∂_{A}} M_{n−1}(κ_{A})),

où P(K/k) est l’ensemble des anneaux de valuation discrète A de rang un de type géométrique de K sur k tels que K = Frac(A).

2. Si X/k est un schéma lisse de corps des fonctions K, on note :

A_{nr}^{0}(X/k, M_{n}) = A_{nr}^{0}(K/k, M_{n}).

Remarque 7.2. —

1. S’il n’y a pas d’ambiguïté, on note simplement

A_{nr}^{0}(K, M_{n}) = A_{nr}^{0}(K/k, M_{n}).

2. De plus, on a

A_{nr}^{0}(K, M_{n}) = A_{nr}^{0}(X, M_{n}) ⊂ A^{0}(X, M_{n}).

3. Si M_{n}(K) = H^{n}(K, ℚ/ℤ(n + i)), A_{nr}^{0}(K, M_{n}) est le groupe de cohomologie non ramifiée de K défini par Colliot-Thélène et Ojanguren [CTO, déf. 1.1.1, p. 143].

Lemme 7.3. — Soit f : K ↪ L une extension de corps. Alors f_{∗} : M_{n}(K) → M_{n}(L) envoie A_{nr}^{0}(K, M_{n}) dans A_{nr}^{0}(L, M_{n}).

Démonstration. — Nous allons utiliser les axiomes (R3a) et (R3c) des (pré)modules de cycles, pour lesquels nous renvoyons à [Rost, déf. 1.1, p. 328] (ils sont explicités ci-dessous).

Soit B ∈ P(L/k). Si B est trivial sur K, alors d’après (R3c), on a ∂_{B} ∘ f_{∗} = 0. Si B est au dessus A ∈ P(K/k) avec l’indice de ramification e, alors d’après (R3a), le diagramme suivant est commutatif :

M_{n}(L) ⟶^{∂_{B}} M_{n−1}(κ_{B})
f_{∗}↑  ^{e·f̄_{∗}}↑
M_{n}(K) ⟶^{∂_{A}} M_{n−1}(κ_{A}).

Soit x ∈ A_{nr}^{0}(K, M_{n}). Alors ∂_{A}(x) = 0 pour tout A ∈ P(K/k) et donc ∂_{B}(f_{∗}(x)) = 0 pour tout B ∈ P(L/k) i.e. f_{∗}(x) ∈ A_{nr}^{0}(L, M_{n}). Donc A_{nr}^{0}(K, M_{n}) est bien envoyé dans A_{nr}^{0}(L, M_{n}).

Le lemme 7.3 fait de A_{nr}^{0}(−, M_{n}) un sous-foncteur de A^{0}(−, M_{n}) sur Sm_{fl}.

7.2. Pureté. —

Proposition 7.4. — Le foncteur X ↦ A_{nr}^{0}(X, M_{n}) est homotopique et pur en coniveau ≥ 1 sur Sm_{fl}.

Démonstration. — Il nous faut vérifier deux propriétés :

Pureté : Soit U ↪ X une immersion ouverte. D’après la définition de A_{nr}^{0}(−, M_{n}) on a tout de suite :

A_{nr}^{0}(X, M_{n}) ⟶^{∼} A_{nr}^{0}(U, M_{n})

car k(X) = k(U). C’est vrai pour tout ouvert dense de X, donc A_{nr}^{0}(−, M_{n}) est pur en coniveau ≥ 1.

Homotopie : on utilise la même méthode que Colliot-Thélène et Ojan-

guren [CTO, prop. 1.2].

Soit p : V → X un fibré vectoriel. Soit U un ouvert de X. En appliquant la pureté, on a :

A_{nr}^{0}(V, M_{n}) ⟶^{∼} A_{nr}^{0}(f^{−1}(U), M_{n})
p^{∗}↑  ↑
A_{nr}^{0}(X, M_{n}) ⟶^{∼} A_{nr}^{0}(U, M_{n}).

Quand U est assez petit, on a f^{−1}(U) ≅ U ×𝔸^{m}. Donc pour montrer que p^{∗} est un isomorphisme, on peut se limiter au cas V = X × 𝔸^{1}.

D’après le lemme 7.3, on a :

A_{nr}^{0}(X/k, M_{n}) → A_{nr}^{0}(V/k, M_{n}).

D’après la propriété (H) (cf. prop. 5.2), on a :

A_{nr}^{0}(k(V)/k(X), M_{n}) ⟵^{∼} M_{n}(k(X)).

Et donc grâce au diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{A_{nr}^{0}(V/k, M_{n}) \ar@{^{(}->}[r] \ar@{-->}[dr] & A_{nr}^{0}(V/k(X), M_{n}) \\ A_{nr}^{0}(X/k, M_{n}) \ar@{^{(}->}[r] \ar[u] & M_{n}(k(X)) \ar[u]_{≅}}

on a une injection

A_{nr}^{0}(X/k, M_{n}) ↪ A_{nr}^{0}(V/k, M_{n}).

Réciproquement, soit ζ ∈ A_{nr}^{0}(V/k, M_{n}). Si B ∈ P(k(V)/k) est trivial sur k(X), alors d’après l’axiome (R3c) des prémodules de cycles, le morphisme composé suivant est trivial :

M_{n}(k(X)) → M_{n}(k(V)) ⟶^{∂_{B}} M_{n−1}(κ_{B}).

Donc, en utilisant (H), on obtient que ζ vient d’un élément bien déterminé, que nous noterons encore ζ, de M_{n}(k(X)). Soit A ∈ P(k(X)/k). Il existe B ∈ P(k(V)/k) au dessus de A tel que κ_{B} = κ_{A}(t) [Bour1, prop. 2, p. 157]. On a le diagramme commutatif suivant :

ζ ∈ M_{n}(k(X)) ⟶^{∂_{A}} M_{n−1}(κ_{A})
p^{∗}↓  ^{p̄^{∗}}↓
M_{n}(k(V)) ⟶^{∂_{B}} M_{n−1}(κ_{B})

parce que dans ce cas, l’indice de ramification de B sur A est égal à 1 (axiome (R3a) de [Rost]).

De plus, toujours d’après la propriété (H), p̄^{∗} est injectif. D’où on a ∂_{A}(ζ) = 0 pour tout A ∈ P(k(X)/k) et donc ζ ∈ A_{nr}^{0}(X, M_{n}). Ainsi,

A_{nr}^{0}(X, M_{n}) ⟶^{∼} A_{nr}^{0}(V, M_{n}).

Corollaire 7.5. — Si X ∼_{st} Y, on a un isomorphisme canonique et fonctoriel en M :

A_{nr}^{0}(X, M_{n}) ≃ A_{nr}^{0}(Y, M_{n})

(voir définition 2.25 pour ∼_{st}).

7.3. Cas d’une variété propre et lisse. — Si X/k est propre et lisse, Rost a montré que A^{0}(X, M_{n}) est un invariant birationnel (cf. [Rost, cor. 12.10]). On a un résultat plus précis :

Proposition 7.6. — Si X/k est lisse et propre, alors

A_{nr}^{0}(X, M_{n}) = A^{0}(X, M_{n}).

Démonstration. — On utilise [CT, prop. 2.1.8 e)] que nous rappelons :

Soient F un foncteur de la catégorie des k-algèbres vers une catégorie abélienne et X/k une variété intègre, propre et lisse, de corps des fonctions k(X). Posons :

F_{1}(X) = {α ∈ F (k(X)) | ∀P ∈ X^{(1)}, α ∈ ImF (O_{X,P})}

F_{nr}(k(X)/k) = {α ∈ F (k(X)) | ∀A ∈ P(k(X)/k), α ∈ ImF (A)}.

Si F satisfait la condition de la pureté en codimension un pour les anneaux locaux réguliers A de corps des fractions K i.e.

(7.1)  Im(F (A) → F (K)) = ⋂_{p, ht(p)=1} Im(F (A_{p}) → F (K))

où p est de hauteur 1 dans A, alors

F_{1}(X) = F_{nr}(k(X)/k).

Considérons F = A^{0}(−, M_{n}), on a :

F_{1}(X) = ⋂_{x∈X^{(1)}} Im(A^{0}(Spec O_{X,x}, M_{n}) → A^{0}(k(X), M_{n}))
= A^{0}(X, M_{n})
F_{nr}(k(X)/k) = ⋂_{A∈P(k(X)/k)} Im(A^{0}(Spec A, M_{n}) → A^{0}(k(X), M_{n}))
= A_{nr}^{0}(k(X), M_{n})

grâce à la définition 5.6 et A^{0}(k(X), M_{n}) = M_{n}(k(X)).

Donc il nous faut vérifier (7.1) pour F = A^{0}(−, M_{n}) i.e.

(7.2) Im(A^{0}(Spec A, M_{n}) → A^{0}(K, M_{n}))

= ⋂_{p, ht(p)=1} Im(A^{0}(Spec A_{p}, M_{n}) → A^{0}(K, M_{n}))

D’après la définition de A^{0}(−, M_{n}) (cf. déf. 5.6), on a A^{0}(K, M_{n}) = M_{n}(K) et

A^{0}(Spec A, M_{n}) = ⋂_{p, ht(p)=1} Ker(M_{n}(K) → M_{n−1}(κ_{p})),

A^{0}(Spec A_{p}, M_{n}) = Ker(M_{n}(K) → M_{n−1}(κ_{p})).

D’où on déduit (7.2).

7.4. Invariants non ramifiés. — La proposition 7.4 fournit un sousfoncteur Grp ∋ G ↦ A_{nr}^{0}(BG, M_{n}) de G ↦ A^{0}(BG, M_{n}). L’isomorphisme du théorème 5.14 induit alors un isomorphisme

A_{nr}^{0}(BG, M_{n}) ⟶^{∼} Inv_{k}^{nr}(G, M_{n})

où le second membre est le groupe défini par Serre dans [GMS, 33.9].

7.5. Représentabilité. — Dans [Me, §2.2], Merkurjev a aussi introduit le groupe A_{nr}^{0}(K, M_{n}), qu’il note M_{n}(K)_{nr} . En particulier, il montre [Me, th. 2.10] que pour X lisse et propre, le foncteur

M ↦ A_{nr}^{0}(k(X), M) = A^{0}(X, M)

de la catégorie des modules de cycles vers une catégorie abélienne est coreprésentable par K^{X} où

K_{n}^{X}(F) = A_{0}(X_{F} , K_{n}^{M})

pour tout corps de fonctions F/k et K_{0}^{X}(F) = CH_{0}(X_{F}).

On a un résultat un peu plus général [K11, th. 1.3] : pour X lisse,

M ↦ A^{0}(X, M)

est coreprésentable par H^{X} où

H_{n}^{X}(F) = H_{−n}(X_{F} , ℤ(−n))

pour tout corps de fonctions F/k et H_{0}^{X}(k) = H_{0}(X, ℤ(0)) = H_{0}^{S}(X) (homologie de Suslin). Si X est projectif, on a H^{X} = K^{X}.

Lemme 7.7. — Le foncteur X ↦ H^{X} est homotopique et pur en coniveau ≥ 2. Donc H^{BG} est bien défini pour G ∈ Grp. De plus, H^{BG} ⊗ℤ[\frac{1}{p}] est connectif (cf. déf. 5.4) où p est l’exposant caractéristique de k.

Démonstration. — La première assertion résulte de la proposition 3.15. D’où H^{BG} en utilisant la définition 2.13. De plus, on a

H_{n}^{BG} = H_{n}^{U_{G}/G}

où U_{G} est un G-torseur linéaire de coniveau ≥ 2 (cf. déf. 2.6). Comme U_{G}/G est une variété lisse, H^{U_{G}/G}⊗ℤ[\frac{1}{p}] et donc H^{BG}⊗ℤ[\frac{1}{p}] est connectif d’après [K11, prop. 6.7].

Remarque 7.8. — Supposons k d’exposant caractéristique p et G fini d’ordre premier à p. On a H_{i}(k, ℤ(n)) = 0 si n > 0, donc

H̃_{i}(BG, ℤ(n)) = H_{i}(BG, ℤ(n)).

Ce groupe est annulé par l’ordre de G qui est premier à p. Donc on peut enlever ⊗ℤ[\frac{1}{p}] dans le lemme 7.7.

Théorème 7.9. — Pour tout groupe algébrique linéaire G et tout module de cycles M, on a

A^{0}(BG, M_{0}) ⟶^{∼} Hom_{HI}(h_{0}^{Nis}(BG), M_{0})

où HI est la catégorie des faisceaux Nisnevich avec transferts invariants par homotopie et M_{0}(U) = A^{0}(U, M_{0}). (D’après la proposition 3.16, h_{0}^{Nis}(BG) est bien défini.)

Cela résulte de [K11, th. 1.3, th. 1.4] et du lemme 7.7 en remarquant que le foncteur

HI → PST

est pleinement fidèle, où PST est la catégorie des préfaisceaux Nisnevich avec transferts.

8. Résidus géométriques

Nous introduisons ici des “résidus géométriques”, inspirés par les travaux de Peyre et de Voevodsky.

Jusqu’ici on n’a utilisé que la fonctorialité plate sur les k-schémas lisses : cela a permis par exemple de définir économiquement le foncteur G ↦ CH^{n}(BG), en n’utilisant que la contravariance “facile" des groupes de Chow. À partir d’ici, on va aussi avoir besoin de fonctorialité pour certaines immersions fermées.

8.1. La construction F_{−1} de Voevodsky. —

Définition 8.1. — Soit F un foncteur contravariant de Sm_{fl} vers la catégorie Ab des groupes abéliens. On définit pour X ∈ Sm_{fl} (cf. [MVW, Lect. 23]) :

(8.1)  F_{−1}(X) = Coker(F (X × 𝔸^{1}) → F (X × (𝔸^{1} − {0})))

et on note

∂ : F (X × 𝔾_{m}) → F_{−1}(X).

Si F est contravariant pour les immersions fermées régulières, on note

(8.2)  s : F (X × 𝔾_{m}) → F (X)

le morphisme défini par la section unité de 𝔾_{m}.

Le lemme suivant se démontre sans difficulté :

Lemme 8.2. — Si F est homotopique et pur en coniveau ≥ r, F_{−1} l’est aussi.

Lemme 8.3. — Si F est invariant par homotopie et contravariant pour les immersions fermées régulières, alors

(s, ∂) : F (X × 𝔾_{m}) → F (X) ⊕ F_{−1}(X)

est un isomorphisme pour tout X.

Démonstration. — Comme F est invariant par homotopie, F (X) ⟶^{∼} F (X × 𝔸^{1}). De plus, on a le diagramme commutatif suivant

\xymatrix{F (X × 𝔸^{1}) \ar[r] & F (X × 𝔾_{m}) \ar[dl]_{s} \ar[r]^{∂} & F_{−1}(X) \ar[r] & 0 \\ F (X) \ar[u]^{≀} \ar[ur]_{p^{∗}}}

où p : X × 𝔾_{m} → X est la projection sur X. Comme s ∘ p^{∗} = id, on a

F (X × 𝔾_{m}) ⟶^{∼} F (X) ⊕ F_{−1}(X).

Exemples 8.4 (F_{−1}(X) pour certains foncteurs F)

1. Pour F (X) = H^{i}(X, ℤ(n)), on a

F_{−1}(X) = H^{i−1}(X, ℤ(n − 1))

[MVW, 23.1]. On a le même résultat pour la cohomologie étale et la cohomologie motivique étale i.e.

– Si F (X) = H_{ét}^{i}(X, M), alors F_{−1}(X) = H_{ét}^{i−1}(X, M(−1)) ;

– Si F (X) = H_{ét}^{i}(X, ℤ(n)), alors F_{−1}(X) = H_{ét}^{i−1}(X, ℤ(n − 1)).

2. Soit F (X) = A^{0}(X, M_{n}). On a une suite exacte de localisation (cf. la preuve du cor. 5.10)

A^{0}(X × 𝔸^{1}, M_{n}) → A^{0}(X × 𝔾_{m}, M_{n}) ⟶^{(4)} A^{0}(X, M_{n−1})

⟶^{(5)} A^{1}(X × 𝔸^{1}, M_{n}) ⟶^{(6)} A^{1}(X × 𝔾_{m}, M_{n})

D’après le corollaire 5.11 et le lemme 8.3, (6) est injectif scindé donc (5) est nul et donc (4) est surjectif, soit

F_{−1}(X) = A^{0}(X, M_{n−1}).

Ce calcul a implicitement utilisé la contravariance de la cohomologie de cycles pour les immersions fermées [Rost, §12].

8.2. Résidus géométriques “universels". —

Construction 8.5. — Soient k un corps et m un entier inversible dans k. Soit X un schéma lisse sur k. Soit F un foncteur homotopique et pur en coniveau ≥ r. Le morphisme résidu universel

(8.3)  ∂_{m} : F (X × Bμ_{m}) → F_{−1}(X)

est défini de la manière suivante :

En utilisant (2.6) avec G = 𝔾_{m} et H = μ_{m} et en remarquant que 𝔾_{m}/μ_{m} ⟶^{∼} 𝔾_{m}, on obtient une flèche canonique 𝔾_{m} → B_{r}μ_{m} dans S_{r}^{−1} Sm_{fl}, d’où une composition :

∂_{m} : F (X × Bμ_{m}) → F (X × 𝔾_{m}) ⟶^{∂} F_{−1}(X).

De manière équivalente, soit U un 𝔾_{m}-torseur linéaire de coniveau ≥ r. Considérons le diagramme :

(8.4)  \xymatrix{ & 𝔾_{m} \ar[d] & U × 𝔾_{m} \ar[l]_{π_{1}} \ar[r]^{π_{2}} \ar[d] & U \ar[d] \\ 𝔾_{m} & 𝔾_{m}/μ_{m} \ar[l]^{∼}_{×m} & (U × 𝔾_{m})/μ_{m} \ar[l]_{π̄_{1}} \ar[r]^{π̄_{2}} & U/μ_{m}.}

La ligne du bas induit un diagramme

F (X × (U/μ_{m})) → F (X × (U × 𝔾_{m})/μ_{m})

⟵^{∼} F (X × (𝔾_{m}/μ_{m})) ⟵^{∼} F (X × 𝔾_{m}) → F_{−1}(X).

D’où on déduit (8.3).

Lemme 8.6. — Soit M un module de cycles sur k, et soit n ∈ ℤ. Alors le morphisme résidu (8.3) pour A^{0}(−, M_{n}) est compatible avec celui considéré par Peyre dans [Pe08, (13) p. 207]. Plus précisément, soit χ : μ_{m} ↪ k^{∗} le caractère canonique de μ_{m}, vu comme représentation fidèle de dimension 1, soit B_{χ} la valuation discrète de rang 1 sur k(X × χ) = k(X)(T) définie par le diviseur T = 0 et soit A_{χ} sa trace sur k(X × χ)^{μ_{m}}. Alors on a un diagramme commutatif

\xymatrix{A^{0}(X × Bμ_{m}, M_{n}) \ar[r]^{∂_{m}} \ar@{^{(}->}[d] & A^{0}(X, M_{n−1}) \ar@{^{(}->}[d] \\ M_{n}(k(X × χ)^{μ_{m}}) \ar[r]^{∂_{Aχ}} & M_{n−1}(k(X)).}

Démonstration. — Par fonctorialité, on peut remplacer X par son corps des fonctions, donc (quitte à changer de corps de base) supposer que X = Spec k.

Soit U = 𝔸^{r} − {0}; faisons opérer 𝔾_{m} sur 𝔸^{r} et donc sur U par homothéties. Choisissons un point rationnel x ∈ U(k) : ce point définit un morphisme 𝔾_{m}-équivariant φ : 𝔾_{m} → U, d’où un morphisme :

φ̄ : 𝔾_{m} ⟵^{∼} 𝔾_{m}/μ_{m} → U/μ_{m}.

Soit γ : 𝔾_{m} → U ×𝔾_{m} le transposé du graphe de φ : avec les notations de (8.4), c’est une section μ_{m}-équivariante de π_{1} telle que π_{2} ∘ γ = φ. En prenant les quotients par μ_{m}, γ induit une section γ̄ de π̄_{1} telle que π̄_{2} ∘ γ̄ = φ̄, ce qui implique que la composition :

A^{0}((U/μ_{m}), M_{n}) ⟶^{φ̄^{∗}} A^{0}(𝔾_{m}, M_{n}) ⟶^{δ} M_{n−1}(k)

est égale à ∂_{m}, où δ est le morphisme bord pour la suite exacte de localisation relative à l’immersion ouverrte 𝔾_{m} ↪ 𝔸^{1}.

Finalement, on a φ(𝔾_{m}) = L − {0} où L est la droite kx. L’assertion résulte maintenant du lemme 5.12.

8.3. Résidus géométriques “à la Peyre". —

Définition 8.7. — Soit F comme dans la construction 8.5. Soient G ∈ Grp, D ⊂ G un sous-groupe fermé et g : μ_{m} → Z_{G}(D) un homomorphisme, où Z_{G}(D) désigne le centralisateur de D dans G. On note φ : D × μ_{m} → G le morphisme défini par φ(d, i) = d.g(i). On définit un morphisme :

∂_{D,g} : F (BG) ⟶^{φ^{∗}} F (B(D × μ_{m})) ⟶^{∼} F (BD × Bμ_{m}) ⟶^{∂_{m}} F_{−1}(BD)

où ∂_{m} est comme dans (8.3), l’isomorphisme provient de (2.8) et F_{−1}(BD) est défini par le lemme 8.2.

Proposition 8.8. — ∂_{D,g} est canonique et fonctoriel en F.

Exemples 8.9. — D’après les exemples 8.4, on a des résidus suivants :

∂_{D,g} : H_{ét}^{n}(BG, μ_{m}^{⊗j}) → H_{ét}^{n−1}(BD, μ_{m}^{⊗(j−1)}),
∂_{D,g} : H_{ét}^{n}(BG, ℤ(q)) → H_{ét}^{n−1}(BD, ℤ(q − 1)),
∂_{D,g} : H^{n}(BG, ℤ(q)) → H^{n−1}(BD, ℤ(q − 1)),
∂_{D,g} : A^{0}(BG, M_{n}) → A^{0}(BD, M_{n−1}).

Remarque 8.10. — Supposons G fini constant, d’exposant e premier à la caractéristique de k. Alors tout homomorphisme g comme ci-dessus a pour image un sous-groupe cyclique d’ordre m′ divisant e, donc se factorise par μ_{m′} via la surjection μ_{m} → μ_{m′}; de plus, μ_{m′} est constant. Si g′ : μ_{m′} → Z_{G}(D) est l’homomorphisme induit, on voit tout de suite que ∂_{D,g} = ∂_{D,g′} en comparant deux suites exactes de Kummer. On peut donc se limiter aux valeurs de m divisant e et telles que μ_{m} ⊂ k.

8.4. Le résidu d’un cup-produit. — Le résultat principal de ce numéro (théorème 8.13) ne sera pas utilisé dans la suite ; il est néanmoins très utile pour des calculs concrets.

8.4.1. Décomposition de la diagonale. — Soient X ∈ Sm(k) et f : X → 𝔾_{m} (f ∈ Γ(X, O_{X}^{∗})). Soit Γ_{f} : X → X × 𝔾_{m} le graphe de f. Soit F : Sm(k)^{op} → Ab un foncteur homotopique et pur en coniveau ≥ c. On a le diagramme suivant :

\xymatrix{F (X × 𝔸^{1}) \ar[r] & F (X × 𝔾_{m}) \ar[r] \ar[d]^{Γ_{f}^{∗}} & F_{−1}(X) \ar[r] & 0 \\  & F (X) \ar[ul]^{∼}}

Si f = 1, alors Γ_{f}^{∗} = s^{F} (la section de (8.2)) et donc on a

(8.5)  F (X × 𝔾_{m}) ⟶^{∼} F (X) ⊕ F_{−1}(X)

d’après le lemme 8.3. Alors Γ_{f}^{∗} − Γ_{1}^{∗} = 0 sur F (X × 𝔸^{1}), donc induit un morphisme

(8.6)  {f}^{∗} : F_{−1}(X) → F (X).

Considérons maintenant la diagonale 𝔾_{m} ⟶^{Δ} 𝔾_{m} × 𝔾_{m}. On a le morphisme

(1_{X} × Δ)^{∗} : F (X × 𝔾_{m} × 𝔾_{m}) → F (X × 𝔾_{m}).

Par transport de structure, il définit un morphisme Δ̃ :

\xymatrix{F (X × 𝔾_{m} × 𝔾_{m}) \ar[r]^{(1_{X}×Δ)^{∗}} \ar[d]^{≀} & F (X × 𝔾_{m}) \ar[d]^{≀} \\ F (X) ⊕ 2F_{−1}(X) ⊕ F_{−2}(X) \ar[r]^{Δ̃} & F (X) ⊕ F_{−1}(X)}

où F_{−2} = (F_{−1})_{−1} et l’isomorphisme de gauche est obtenu en appliquant deux fois le lemme 8.3.

On va calculer Δ̃ dans le cas particulier où F provient d’un foncteur sur DM. Le lemme suivant justifie la notation (8.6) :

Lemme 8.11. — Si F provient d’un foncteur sur DM et X = Spec k, alors {f}^{∗} est induit par le cup-produit par {f} ∈ K_{1}^{M}(k) = H^{1}(k, ℤ(1)) pour f ∈ k^{∗}.

Démonstration. — Dans ce cas, Γ_{f}^{∗} − Γ_{1}^{∗} provient de

M(X) ⟶^{Γ_{f} −Γ_{1}} M(X × 𝔾_{m}) = M(X) ⊕ M(X)(1)[1] ⟶^{pr} M(X)(1)[1]

Si X = Spec k, d’où f ∈ k^{∗}, alors

Γ_{f} − Γ_{1} ∈ Hom(ℤ, ℤ(1)[1]) ≅ K_{1}^{M}(k) [MVW, 4.2].

On vérifie que cet isomorphisme identifie Γ_{f} − Γ_{1} à {f} ∈ K_{1}^{M}(k) ≅ k^{∗} (voir [MVW, preuve de 4.4]).

Proposition 8.12. — Supposons que F se factorise en

Sm(k)^{op} ⟶^{M^{op}} DM^{op} ⟶^{F} Ab .

Alors Δ̃ est égale à

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & ∑ & \{−1\} \end{matrix} ) .

Démonstration. — On choisit la décomposition M(𝔾_{m}) = ℤ ⊕ ℤ(1)[1] donnée par le point 1 ∈ 𝔾_{m}. Cela donne exactement (8.5) sur F (X × 𝔾_{m}) et F_{−1}(M(X)) = F (M(X)(1)[1]). On a le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{F (M(X) ⊗ M(𝔾_{m} × 𝔾_{m})) \ar[r]^{(1_{X}×Δ)^{∗}} \ar[d]^{≀} & F (M(X) ⊗ M(𝔾_{m})) \ar[d]^{≀} \\ F (M(X) ⊗ (ℤ ⊕ ℤ(1)[1])^{⊗2}) \ar[r] \ar[d]^{≀} & F (M(X) ⊗ (ℤ ⊕ ℤ(1)[1])) \ar[d]^{≀} \\ F (M(X)) ⊕ 2F_{−1}(M(X)) ⊕ F_{−2}(M(X)) \ar[r]^{Δ̃} & F (M(X)) ⊕ F_{−1}(M(X))}

Dans ce cas, Δ̃ est induit par

M(Δ) : ℤ ⊕ ℤ(1)[1] → ℤ ⊕ 2ℤ(1)[1] ⊕ ℤ(2)[2]

et on a

Hom(ℤ(j)[j], ℤ(i)[i]) = \begin{cases}Hom(ℤ, ℤ(i − j)[i − j]) = K_{i−j}^{M}(k) & si i ≥ j, \\ 0 & si i < j. \end{cases}

D’après [HK, lem. 7.4 et cor. 7.9 (b)], on trouve que Δ̃ est de la forme

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & ∑ & \{−1\} \end{matrix} )

où ∑ : 2F_{−1}(M(X)) → F_{−1}(M(X)) est induit par ℤ(1)[1] → 2ℤ(1)[1] et {−1} : F_{−2}(M(X)) → F_{−1}(M(X)) est induit par {−1} : ℤ(1)[1] → ℤ(2)[2] (cf. lemme 8.11), ce qui correspond à la formule de [HK, cor. 7.9(b)].

8.4.2. Résidus géométriques et cup-produits. — Soient F, G, H dans la catégorie des foncteurs contravariants de Sm(k) vers les groupes abéliens et supposons que pour tous schémas X, Y ∈ Sm(k), on ait un produit externe :

(8.7)  F (X) ⊗ G(Y) → H(X × Y)

bifonctoriel en (X, Y). D’où un produit interne :

F (X) ⊗ G(X) → H(X × X) → H(X)

où la dernière flèche est donnée par la diagonale X → X × X.

Considérons le diagramme commutatif de suites exactes :

\xymatrix{F (X × 𝔸^{1}) ⊗ G(Y) \ar[r] \ar[d] & F (X × 𝔾_{m}) ⊗ G(Y) \ar[r] \ar[d] & F_{−1}(X) ⊗ G(Y) \ar[r] \ar@{-->}[d]_{∃} & 0 \\ H(X × Y × 𝔸^{1}) \ar[r] & H(X × Y × 𝔾_{m}) \ar[r] & H_{−1}(X × Y) \ar[r] & 0}

On en déduit un morphisme

(8.8)  F_{−1}(X) ⊗ G(Y) → H_{−1}(X × Y),

et de manière analogue

(8.9)  F (X) ⊗ G_{−1}(Y) → H_{−1}(X × Y).

Pour Y = X, on a

F (X) ⊗ G_{−1}(X) ⊕ F_{−1}(X) ⊗ G(X) → H_{−1}(X × X) → H_{−1}(X).

Considérons encore le diagramme commutatif de suites exactes suivant :

\xymatrix{F (X × 𝔸^{1}) ⊗ G_{−1}(Y) \ar[r] \ar[d] & F (X × 𝔾_{m}) ⊗ G_{−1}(Y) \ar[r] \ar[d] & F_{−1}(X) ⊗ G_{−1}(Y) \ar[r] \ar@{-->}[d]_{∃} & 0 \\ H_{−1}(X × Y × 𝔸^{1}) \ar[r] & H_{−1}(X × Y × 𝔾_{m}) \ar[r] & H_{−2}(X × Y) \ar[r] & 0}

On en déduit un morphisme

(8.10)  F_{−1}(X) ⊗ G_{−1}(Y) → H_{−2}(X × Y).

Théorème 8.13. — Supposons que F, G, H se factorisent par DM. Soient x ∈ F (X × 𝔾_{m}) et y ∈ G(X × 𝔾_{m}) ; notons xy leur cup-produit dans H(X × 𝔾_{m}). Alors on a

(8.11)  ∂^{H}(xy) = ∂^{F} (x)s^{G}(y) + s^{F} (x)∂^{G}(y) + {−1}∂^{F} (x)∂^{G}(y)

où on note ∂^{F} … pour garder la trace de F, G, H.

Démonstration. — Appliquant ce qui précède, on a des diagrammes commutatifs :

\xymatrix{F_{−1}(X) ⊗ G(Y × 𝔾_{m}) \ar[r] \ar[d]^{1×∂^{G}} & H_{−1}(X × Y × 𝔾_{m}) \ar[d]^{∂^{H_{−1}}} \\ F_{−1}(X) ⊗ G_{−1}(Y) \ar[r] & H_{−2}(X × Y)}

et

\xymatrix{F_{−1}(X) ⊗ G(Y × 𝔾_{m}) \ar[r] \ar[d]^{1×s^{G}} & H_{−1}(X × Y × 𝔾_{m}) \ar[d]^{s^{H_{−1}}} \\ F_{−1}(X) ⊗ G(Y) \ar[r] & H_{−1}(X × Y)}

où s^{G}, s^{H_{−1}} sont des spécialisations comme dans le lemme 8.3. Maintenant considérons le diagramme commutatif :

\xymatrix{F (X × 𝔾_{m}) ⊗ G(Y × 𝔾_{m}) \ar[r]^{∼} \ar[d] & (F (X) ⊕ F_{−1}(X)) ⊗ (G(Y) ⊕ G_{−1}(Y)) \ar[dd] \\ H(X × 𝔾_{m} × Y × 𝔾_{m}) \ar[d]^{≀} \\ H(X × Y × 𝔾_{m} × 𝔾_{m}) \ar[d]^{(1_{X×Y} ×Δ)^{∗}} \ar[r]^{∼} & H(X × Y) ⊕ 2H_{−1}(X × Y) ⊕ H_{−2}(X × Y) \ar[d]^{Δ̃} \\ H(X × Y × 𝔾_{m}) \ar[r]^{∼} & H(X × Y) ⊕ H_{−1}(X × Y)}

où la longue flèche de droite est construite à partir de (8.7), (8.8), (8.9), (8.10). D’où le diagramme commutatif

[figure: F (X × 𝔾_{m}) ⊗ G(Y × 𝔾_{m}); ∂^{F} ×s^{G}+s^{F} ×∂^{G}; +∂^{F} ×∂^{G}; \begin{matrix}F_{−1}(X) ⊗ G(Y) & ⊕F (X) ⊗ G_{−1}(Y) \\ ⊕F_{−1}(X) ⊗ G_{−1}(Y) \end{matrix}; H(X × Y × 𝔾_{m} × 𝔾_{m}); (1_{X×Y} ×Δ)^{∗}; 2H_{−1}(X × Y) ⊕ H_{−2}(X × Y); Δ̃; H(X × Y × 𝔾_{m}); ∂^{H}; H_{−1}(X × Y)]

Si Y = X, on a

[figure: F (X × 𝔾_{m}) ⊗ G(X × 𝔾_{m}); ∂^{F} ×s^{G}+s^{F} ×∂^{G}; +∂^{F} ×∂^{G}; \begin{matrix}F_{−1}(X) ⊗ G(X) & ⊕F (X) ⊗ G_{−1}(Y) \\ ⊕F_{−1}(X) ⊗ G_{−1}(X) \end{matrix}; H(X × X × 𝔾_{m} × 𝔾_{m}); (1_{X×X}×Δ)^{∗}; 2H_{−1}(X × X) ⊕ H_{−2}(X × X); Δ̃; H(X × X × 𝔾_{m}); ∂^{H}; (Δ_{X}×1)^{∗}; H_{−1}(X × X); (Δ_{X})^{∗}; H(X × 𝔾_{m}); ∂^{H}; H_{−1}(X)]

où Δ_{X} est la diagonale X ⟶^{Δ_{X}} X × X. Du diagramme ci-dessus et de la proposition 8.12, on déduit :

∂^{H}(xy) = ∂^{F} (x)s^{G}(y) + s^{F} (x)∂^{G}(y) + {−1}∂^{F} (x)∂^{G}(y).

Corollaire 8.14. — La formule (8.11) s’applique aussi aux résidus ∂_{m} de (8.3) et ∂_{D,g} de la définition 8.7.

Démonstration. — Cela résulte immédiatement de la définition de ces résidus.

Remarque 8.15. — La formule (8.11) est analogue à celle de Rost [Rost, P3, p. 331] (Un signe apparaît en plus chez Rost parce que les modules de cycles sont gradués).

9. Classes non ramifiées sur un espace classifiant

9.1. Le foncteur A_{NR}^{0}(−, M_{n}). —

Définition 9.1. — Soit G ∈ Grp. On définit :

A_{NR}^{0}(BG, M_{n}) = ⋂_{(D⊂G, g:μ_{m}→Z_{G}(D))} Ker(A^{0}(BG, M_{n}) ⟶^{∂_{D,g}} A^{0}(BD, M_{n−1})),

où ∂_{D,g} est comme dans la définition 8.7 et m parcourt les entiers ≥ 1.

Proposition 9.2. — La loi G ↦ A_{NR}^{0}(BG, M_{n}) définit un sous-foncteur de G ↦ A^{0}(BG, M_{n}) sur Grp.

Démonstration. — Soit f : G → H un homomorphisme de groupes : il s’agit de voir que f^{∗}A_{NR}^{0}(BH, M_{n}) ⊂ A_{NR}^{0}(BG, M_{n}).

Si D ⊂ G est un sous-groupe de G, posons D_{H} = f(D) : on a f(Z_{G}(D)) ⊂ Z_{H}(D_{H}). Soit g : μ_{m} → Z_{G}(D). La composition

g_{H} : μ_{m} ⟶^{g} Z_{G}(D) ⟶^{f} Z_{H}(D_{H})

donne un diagramme commutatif

\xymatrix{A^{0}(BG, M_{n}) \ar[r] & A^{0}(BD × Bμ_{m}, M_{n}) \ar[r] & A^{0}(BD × 𝔾_{m}) \ar[r] & A^{0}(BD, M_{n−1}) \\ A^{0}(BH, M_{n}) \ar[r] \ar[u] & A^{0}(BD_{H} × Bμ_{m}, M_{n}) \ar[r] \ar[u] & A^{0}(BD_{H} × 𝔾_{m}) \ar[r] \ar[u] & A^{0}(BD_{H}, M_{n−1}) \ar[u]}

soit

A^{0}(BG, M_{n}) ⟶^{∂_{D,g}^{G}} A^{0}(BD, M_{n−1})
↑  ↑
A^{0}(BH, M_{n}) ⟶^{∂_{D_{H} ,g_{H}}^{H}} A^{0}(BD_{H}, M_{n−1})

où l’on a écrit ∂^{G}, ∂^{H} pour garder la trace de G, H. D’où l’inclusion cherchée.

9.2. Une formule simplifiée pour A_{NR}^{0}(BG, M_{n}). —

Lemme 9.3. — Soient D′ ⊂ D ⊂ G et g : μ_{m} → Z_{G}(D), on note g′ : μ_{m} → Z_{G}(D) ↪ Z_{G}(D′). Alors Ker ∂_{D,g} ⊂ Ker ∂_{D′,g′}.

Démonstration. — Cela résulte du diagramme commutatif suivant

\xymatrix{F (BG) \ar[r] \ar[d]^{=} & F (BD × BI) \ar[r] \ar[d] & F (BD × 𝔾_{m}) \ar[r] \ar[d] & F_{−1}(BD) \ar[d] \\ F (BG) \ar[r] & F (BD′ × BI) \ar[r] & F (BD′ × 𝔾_{m}) \ar[r] & F_{−1}(BD′).}

Du lemme 9.3, on déduit :

Proposition 9.4. — On a

A_{NR}^{0}(BG, M_{n}) = ⋂_{g: μ_{m}→G} Ker(∂_{Z_{G}(g),g})

où Z_{G}(g) est le centralisateur de g(μ_{m}) ⊂ G.

9.3. Une majoration de la cohomologie non ramifiée. —

Proposition 9.5. — On a l’inclusion

A_{nr}^{0}(BG, M_{n}) ⊂ A_{NR}^{0}(BG, M_{n}).

Démonstration. — Choisissons une représentation très fidèle W de G. Soit x un élément de A_{nr}^{0}(k(W)^{G}, M_{n}) ⊂ A^{0}(BG, M_{n}) i.e. ∂_{A}(x) = 0 pour tout A ∈ P(k(W)^{G}/k). Remplaçons la notation ∂_{D,g} (déf. 8.7) par ∂_{D,g}^{G}, pour garder la trace du groupe G. On veut montrer que pour tout le couple (D, g), on a ∂_{D,g}^{G}(x) = 0.

Pour simplifier, posons I = μ_{m}. Soit φ : D × I → G le morphisme défini par φ(d, i) = d.g(i). D’après la définition des résidus géométriques (déf. 8.7), ∂_{D,g}^{G} se factorise par ∂_{D,g}^{D×I} ; autrement dit, on a un diagramme commutatif :

\xymatrix{A^{0}(BG, M_{n}) \ar[d]^{φ^{∗}} \ar@{-->}[dr]^{∂_{D,g}^{G}} \\ A^{0}(BD × BI, M_{n}) \ar[r]^{∂_{D,g}^{D×I}} & A^{0}(BD, M_{n−1}).}

Mais φ^{∗}A_{nr}^{0}(BG, M_{n}) ⊂ A_{nr}^{0}(BD × BI, M_{n}) (§7.4). On peut donc supposer que G = D × I.

On raisonne comme Peyre dans [Pe08, p. 207] : choisissons W de la forme W′ × χ, où W′ est une représentation très fidèle de D et χ est la représentation fidèle canonique de dimension 1 de I. Le diagramme commutatif du lemme 8.6 :

\xymatrix{A^{0}(BD × BI, M_{n}) \ar[r]^{∂_{D,g}^{D×I}} \ar@{^{(}->}[d] & A^{0}(BD, M_{n−1}) \ar@{^{(}->}[d] \\ M_{n}(k(W′ ⊕ χ)^{D×I}) \ar[r]^{∂_{Aχ}} & M_{n−1}(k(W′)^{D}) = M_{n−1}(κ_{A_{χ}})}

où A_{χ} ∈ P(k(W′+χ)^{D×I}/k), montre immédiatement que ∂_{D,g}^{D×I}A_{nr}^{0}(BD× BI, M_{n}) = 0.

Remarque 9.6. — Pour G quelconque, il est très improbable qu’on ait égalité dans la proposition 9.5 : les résidus géométriques ∂_{D,g} ne semblent pas suffisants. Le résultat principal de cet article est qu’on a égalité quand G est fini constant et que k contient assez de racines de l’unité. C’est l’objet de la section suivante.

10. Le théorème principal

À partir de maintenant, on suppose que G est un groupe fini constant d’exposant m, où m est un entier inversible dans k, et que μ_{m} ⊂ k. Le but de cette section est de démontrer le théorème suivant :

Théorème 10.1. — Sous les hypothèsess ci-dessus, on a :

A_{NR}^{0}(BG, M_{n}) = A_{nr}^{0}(BG, M_{n})

(égalité dans A^{0}(BG, M_{n})).

10.1. Un sous-groupe intermédiaire. — D’après la proposition 9.5, il suffit de démontrer que A_{NR}^{0}(BG, M_{n}) ⊂ A_{nr}^{0}(BG, M_{n}). Pour cela, on va définir un autre sous-groupe de A^{0}(BG, M_{n}) contenant A_{NR}^{0}(BG, M_{n}) de la manière suivante.

Soit W une représentation linéaire fidèle de G. Soient A ∈ P(k(W)^{G}/k) et B ∈ P(k(W)/k) au dessus de A. Soient D le groupe de décomposition de B dans G et I son groupe d’inertie.

Remarque 10.2. — Comme l’exposant de G divise m, l’ordre de G divise une puissance de m et donc |G| est inversible dans k. D’après [Se68, IV, §2, cor. 2, cor. 3], I est cyclique, canoniquement isomorphe à μ_{q} avec q|m, et central dans D.

Définition 10.3. — On définit :

A_{NR,sp}^{0}(k(W)^{G}, M_{n}) = ⋂_{(D⊂G, g:I→Z_{G}(D))} Ker(A^{0}(BG, M_{n}) ⟶^{∂_{D,g}} A^{0}(BD, M_{n−1})),

où l’intersection porte sur l’ensemble des sous groupes D, I relatifs à A ∈ P(k(W)^{G}/k) comme ci-dessus et ∂_{D,g} est comme dans la définition 8.7.

Il est clair que

A_{NR}^{0}(BG, M_{n}) ⊂ A_{NR,sp}^{0}(k(W)^{G}, M_{n}).

On va montrer dans les numéros suivants :

Théorème 10.4. — Soient B, A comme ci-dessus, et soient D et I les sous-groupes de décomposition et d’inertie de B. Considérons les résidus :

A^{0}(BG, M_{n}) ⟶^{∂_{D,g}} A^{0}(BD, M_{n−1}) (cf. déf. 8.7)

et

M_{n}(k(W)^{G}) ⟶^{∂_{A}} M_{n−1}(κ_{A})

où κ_{A} est le corps résiduel de A. Si x ∈ A^{0}(BG, M_{n}) est tel que ∂_{D,g}(x) = 0, alors ∂_{A}(x) = 0. Par conséquent,

A_{NR,sp}^{0}(k(W)^{G}, M_{n}) ⊂ A_{nr}^{0}(BG, M_{n}) (cf. déf. 10.3 et déf. 7.1).

D’où on déduit le théorème principal 10.1 et un peu plus précisément :

Corollaire 10.5. —

A_{NR}^{0}(BG, M_{n}) = A_{NR,sp}^{0}(k(W)^{G}, M_{n}) = A_{nr}^{0}(BG, M_{n}).

De plus, comme A_{nr}^{0}(BG, M_{n}) et A_{NR}^{0}(BG, M_{n}) sont des foncteurs contravariants en G (cf. §5.5 et prop. 9.2), on obtient :

Corollaire 10.6. — On a aussi un résultat équivalent au théorème 10.1 pour la partie réduite (cf. déf. 3.8) :

Ã_{NR}^{0}(BG, M_{n}) = Ã_{nr}^{0}(BG, M_{n}).

10.2. Lemmes. — Dans cette partie, on garde les hypothèses de la définition 9.1 et les notations précédentes.

Pour montrer le théorème 10.4, on a besoin des lemmes suivants. Les deux premiers reformulent certains résultats de Saltman [Sa84] :

Lemme 10.7. — Soit k un corps contenant le groupe μ_{q} des racines de l’unité où q est inversible dans k. Soient G un groupe fini et N un groupe cyclique d’ordre q. Soit G′ une extension centrale de G par N. Donnons-nous un 2-cocycle normalisé c de G à valeurs dans N définissant l’extension G′, associé à une section ensembliste s de la projection π : G′ → G (vérifiant s(1) = 1). Soit k′/k une extension de groupe de Galois G. Soit χ : N ⟶^{∼} μ_{q} un caractère fidèle de N sur k. Notons W_{χ} la k-représentation de dimension un correspondante. Soit W la représentation de G′ induite de W_{χ}. Alors W est fidèle et on a un isomorphisme

k′(W)/k′(W)^{G′} ⟶^{∼} Frac(S′(k′/k))/ Frac(R(k′/k))

où G′ opère sur k′(W) par son action sur k′ (via G) et sur W, et S′(k′/k), R(k′/k) sont associées à c comme dans Saltman [Sa84, p. 74,

Rappelons d’abord la définition de l’extension S′(k′/k)/R(k′/k) de [Sa84, p. 74, 75]. Dans la situation de l’énoncé :

\xymatrix{1 \ar[r] & N \ar[r] & G′ \ar[r]_{π} & G \ar[r] \ar[l]_{s} & 1}

le 2-cocycle c est défini par la relation :

s(g)s(h) = s(gh)c(g, h).

Soit g′ ∈ G′ : on écrit g′ = n(g′)sπ(g′) avec n(g′) ∈ N ⊂ Z(G′).

– S′′(k′/k) := k′[y(g) | g ∈ G](1/s) où s = ∏_{g∈G} y(g). Et G opère sur S′′(k′/k) par son action sur k′ et par

gy(h) = y(gh) ∀g ∈ G.

– S(k′/k) := S′′(k′/k)[x(g) | 1 ≠ g ∈ G]/(x(g)^{q} = y(g)/y(1)). Notons x(1) = 1. Alors l’action de G sur S(k′/k) s’étend celle sur S′′(k′/k) via

gx(h) = [x(gh)/x(h)]χ(c(g, h)).

– S′(k′/k) := S(k′/k)[γ]/(γ^{q} = y(1)). Donc N opère sur S′(k′/k) par son action triviale sur S(k′/k) et par

nγ = χ(n)γ.

Alors G′ opère sur S′(k′/k) via N et G.

– R(k′/k) := S(k′/k)^{G}. Le diagramme suivant résume ce qui précède :

\xymatrix{ &  & S′(k′/k) \\ k′ \ar[r] & S′′(k′/k) \ar[r] & S(k′/k) \ar[u]_{N} \\ k \ar[u]_{G} \ar[rr] &  & R(k′/k). \ar[u]_{G}}

Démonstration du lemme 10.7. — D’après la définition des représentations induites, on a

W = k[G′] ⊗_{k[N]} W_{χ}

de base {s(g) ⊗ w|g ∈ G} où w est une base de W_{χ}. L’action de G′ sur W est :

g′ ∈ G′, g′(s(g) ⊗ w) = g′s(g) ⊗ w
= n(g′)sπ(g′)s(g) ⊗ w
= n(g′)s(π(g′)g)c(π(g′), g) ⊗ w
= s(π(g′)g) ⊗ n(g′)c(π(g′), g).w
= s(π(g′)g) ⊗ χ(n(g′)c(π(g′), g))w
= χ(n(g′)c(π(g′), g))s(π(g′)g) ⊗ w.

En particulier :

- Si n ∈ N, on a :

n(s(g) ⊗ w) = χ(n)s(g) ⊗ w.

- Si h ∈ G, on a :

s(h)(s(g) ⊗ w) = χ(c(h, g))s(hg) ⊗ w.

Montrons que Ind_{N}^{G′} χ est une représentation fidèle de G′. Pour g′ ∈ G′ et x = ∑_{g∈G} λ_{g}s(g) ⊗ w ∈ W, λ_{g} ∈ k, on a :

g′x = x ⟺ g′ ∑_{g∈G} λ_{g}s(g) ⊗ w = ∑_{g∈G} λ_{g}s(g) ⊗ w
⟺ ∑_{g∈G} λ_{g}g′s(g) ⊗ w = ∑_{g∈G} λ_{g}s(g) ⊗ w
⟺ ∑_{g∈G} λ_{g}χ(n(g′)c(π(g′), g))s(π(g′)g) ⊗ w = ∑_{g∈G} λ_{g}s(g) ⊗ w
⟺ ∑_{g∈G} λ_{g}χ(n(g′)c(π(g′), g))s(π(g′)g) ⊗ w = ∑_{g∈G} λ_{π(g′)g}s(π(g′)g) ⊗ w
⟺ λ_{g}χ(n(g′)c(π(g′), g)) = λ_{π(g′)g} ∀g ∈ G.

Si g′ = n(g′) ∈ N − {1}, alors χ(n(g′)) ≠ 1 et donc

g′x = x ⇔ λ_{g}χ(n(g′)) = λ_{g} ∀g ∈ G ⇔ λ_{g} = 0 ∀g ∈ G ⇔ x = 0.

Si g′ = n(g′)sπ(g′) ∈ G′ − N i.e. π(g′) ≠ 1, soit m le nombre d’éléments de G, on a :

g′x = x ⇔ λ_{g}χ(n(g′)c(π(g′), g)) = λ_{π(g′)g} ∀g ∈ G.

Ici on a m variables λ_{g} mais il y a au maximum m − 1 équations indépendantes. Donc on peut trouver des λ_{g} hors des solutions i.e. des λ_{g} tels que g′x ≠ x.

Posons

γ = 1 ⊗ w et x(g) = \frac{s(g) ⊗ w}{1 ⊗ w} ∈ k(W) ∀g ≠ 1.

Si h ∈ G, on a

s(h)x(g) = \frac{s(h)s(g) ⊗ w}{s(h) ⊗ w}

= \frac{χ(c(h, g))s(hg) ⊗ w}{s(h) ⊗ w}

= χ(c(h, g))x(hg)/x(h).

Si n ∈ N, on a

nx(g) = \frac{χ(nc(1, g))s(g) ⊗ w}{χ(nc(1, 1))1 ⊗ w}
= x(g) car c(1, 1) = c(1, g) = c(g, 1) = 1.

Ainsi, N opère trivialement sur {x(g)|g ∈ G}.

Pour n ∈ N, nγ = χ(n)γ.

Pour h ∈ G,

s(h)γ = s(h) ⊗ w

= (1 ⊗ w)\frac{s(h) ⊗ w}{1 ⊗ w} = γx(h).

Ainsi, on a les mêmes générateurs et relations que chez Saltman, et donc

k′(W)/k′(W)^{G′} ⟶^{∼} Frac(S′(k′/k))/ Frac(R(k′/k)).

Remarque 10.8. — Dans la démonstration ci-dessus, si on note W^{g′} = {x ∈ W |g′x = x} (pour g′ ∈ G′ −N), alors dim W^{g′} = [G : ⟨π(g′)⟩]. Donc

ν(W) = 1 ⇔ ∃g′ : |G| − [G : ⟨π(g′)⟩] = 1 ⇔ |G| = | ⟨π(g′)⟩ | = 2

(cf. rem. 2.7).

Lemme 10.9. — Avec les notations du lemme précédent, on a un kisomorphisme

k′(W)^{G′} ≃ k(A)(x)

où x est une indéterminée, A est la k-algèbre centrale simple définie par le 2-cocycle c et k(A) est son corps de déploiement générique (corps des fonctions de la variété de Severi-Brauer de A).

Démonstration. — Cela résulte du lemme 10.7 et de [Sa84, thm. 1.5].

Lemme 10.10. — Soit K un corps complet pour une valuation discrète v de rang un. Soit A l’anneau de valuation de v. On suppose qu’on est dans la situation suivante :

K ⟶^{G} K_{nr} ⟶^{N} K′

où K′/K est galoisienne de groupe G′, d’inertie N. Soit B ⊂ K_{nr} audessus de A. Soient κ_{A}, κ_{B} des corps résiduels de A, B. Supposons que q soit inversible dans κ_{A}. Alors

a) L’image de [G′] ∈ H^{2}(G, N) = H^{2}(κ_{B}/κ_{A}, N) est triviale dans le groupe de Brauer Br(κ_{A}).

b) L’extension κ_{B}(W)^{G′}/κ_{A} est rationnelle, où W est la représentation du lemme 10.7.

Démonstration. — a) Considérons le diagramme suivant :

\xymatrix{[G′] ∈ H^{2}(G, N) \ar[r] \ar[d] & H^{2}(G, κ_{B}^{∗}) \ar@{^{(}->}[r] \ar@{-->}[dl]^{φ} & Br(κ_{A}) \\ H^{2}(G, K_{nr}^{∗}) \ar@{^{(}->}[d] \\ Br(K).}

Il existe un morphisme φ : H^{2}(G, κ_{B}^{∗}) → H^{2}(G, K_{nr}^{∗}) faisant commuter le triangle et il est injectif (cf. [Se68, pp. 192–194]). En effet, on a la suite exacte :

1 → U_{K_{nr}} → K_{nr}^{∗} ⟶^{v} ℤ → 0

scindée par le choix d’une uniformisante de K. On en déduit une suite exacte scindée :

0 → H^{2}(G, U_{K_{nr}}) → H^{2}(G, K_{nr}^{∗}) → H^{2}(G, ℤ) → 0.

De plus, on a une autre suite exacte :

1 → U_{K_{nr}}^{1} → U_{K_{nr}} → κ_{B}^{∗} → 1

où U_{K_{nr}}^{1} est le sous-groupe de U_{K_{nr}} formé des a ∈ U_{K_{nr}} tels que v(1−a) ≥ 1. On a H^{q}(G, U_{K_{nr}}^{1}) = 0 pour tout q ≥ 1 [Se68, lemme 2, p. 193]. Donc

H^{2}(G, κ_{B}^{∗}) ←^{∼} H^{2}(G, U_{K_{nr}}) ↪ H^{2}(G, K_{nr}^{∗}).

Comme K′/K est une extension de groupe de Galois G′ induite par K_{nr}/K de groupe G (“the embedding problem"), d’après [Sa84, prop. 1.1], l’image de [G′] dans H^{2}(G, K_{nr}^{∗}) est triviale. Elle est donc triviale dans H^{2}(G, κ_{B}^{∗}) ↪ Br(κ_{A}).

b) Cela résulte de a) et du lemme 10.9, puisqu’avec les notations de ce lemme on a [A] = [G′] ∈ Br(κ_{A}).

Lemme 10.11 (“Lemme sans nom tordu”). — Soient G, N, G′ comme dans le lemme 10.9. Soit k′/k une extension de groupe de Galois G. Soient W, W′ deux représentations fidèles de G′ sur k. Alors k′(W)^{G′} et k′(W′)^{G′} sont stablement équivalents sur k. Si l’un est pur, l’autre est stablement pur.

Démonstration. — Soit U un ouvert de W tel que U soit un G′-torseur (cf. rem. 2.7). Alors U_{k′} = U ×_{k}Spec(k′) est encore un G′-torseur (puisque Spec(k′) est un k-schéma affine ! [SGA 1, VIII, cor. 7.9] ou [Mil, chap. 1, th. 2.23]). Donc U_{k′} ×_{k} W′/G′ est un fibré vectoriel sur U_{k′}/G′. Et donc k′(W ⊕ W′)^{G′} = k′(U_{k′} × W′)^{G′} est transcendant pur sur k′(W)^{G′}. On raisonne de même avec W′.

10.3. Démonstration du théorème 10.4. — D’après la remarque 10.2, I est cyclique (I ⟶^{∼} μ_{q} où q|m) et central dans D. Rappelons aussi que

I = Ker(D → Gal(κ_{B}/κ_{A})).

Soit W′ une k-représentation fidèle de D, qui est somme directe d’au moins deux représentations régulières de D (cf. lemme 2.7 et §5.5). Soit

χ : I ⟶^{∼} μ_{q} ↪ k^{∗}

un caractère fidèle de I (cf. [Pe08, dém. prop. 3, p. 207]). Soit π une uniformisante de B telle que π^{q} ∈ k(W)^{I} (un tel π existe d’après [Lang, chap. II, prop. 12]). Alors, k(W) = k(W)^{I}[π] et

(10.1)  σπ = χ(σ)π

pour σ ∈ I, parce que μ_{q} ⊂ k(W)^{I} donc l’extension est kummerienne.

On note φ : D × I → G le morphisme défini par (d, i) ↦ di. Alors D × I opère sur W via φ.

Considérons le diagramme suivant :

\xymatrix{\overline{k(W)} \ar[r] & \overline{k(W ⊕ W′ ⊕ χ)} & \overline{k(W′ ⊕ χ)} \ar[l] \\ k(W) \ar[r] \ar[u] & k(W ⊕ W′ ⊕ χ) \ar[u] & k(W′ ⊕ χ) \ar[l] \ar[u] \\ k(W)^{G} \ar[r] \ar[u]_{G} & k(W ⊕ W′ ⊕ χ)^{D×I} \ar[u]_{D×I} & k(W′ ⊕ χ)^{D×I} \ar[l] \ar[u]_{D×I}}

où D × I opère sur W ⊕ W′ ⊕ χ par l’action de D × I sur W, l’action de D sur W′ et l’action de I sur χ.

Soit (X_{1}, …, X_{s}) une base de W′. D’après [Bour1, lemme 1, p. 156], il existe une unique valuation discrète de rang un w_{1} prolongeant v_{B} dans k(W)(X_{1}), telle que

w_{1}(P) = w_{1}(∑_{j} a_{j}X_{1}^{j}) = inf_{j}{v_{B}(a_{j}) + jξ}

où a_{j} ∈ k(W) et ξ ∈ ℤ. On choisit ξ = 0 et donc w_{1}(X_{1}) = 0. De plus, d’après [Bour1, prop. 2, p. 157], le corps résiduel κ_{w_{1}} de w_{1} est transcendant pur sur κ_{B} = κ_{v_{B}} et plus précisément κ_{w_{1}} = κ_{B}(t_{1}) où t_{1} est l’image de X_{1} dans κ_{w_{1}}. Par récurrence, il existe une unique valuation discrète w prolongeant v_{B} dans k(W ⊕ W′) telle que

w(∑_{J} a_{J}X^{J}) = inf_{J}{v_{B}(a_{J})}

où

J = (j_{1}, …, j_{s}), X^{J} = X_{1}^{j_{1}} … X_{s}^{j_{s}}, a_{J} ∈ k(W).

Donc w(X_{i}) = 0, i = 1, …, s pour X_{i} ∈ W′ et κ_{w} = κ_{B}(t_{1}, …, t_{s}) où t_{i} est l’image de X_{i} dans κ_{w} pour tout i. Notons la formule :

(10.2) w(λ_{1}X_{1} + ⋯ + λ_{s}X_{s}) = 0 si k^{s} ∋ (λ_{1}, …, λ_{s}) ≠ (0, …, 0).

Enfin, il existe une unique valuation discrète de rang un v_{B′} prolongeant w donc prolongeant v_{B} dans k(W ⊕ W′ ⊕ χ) = k(W ⊕ W′)(T) telle que

v_{B′}(∑_{J,l} a_{J,l}X^{J}T^{l}) = inf_{l}{w(∑_{J} a_{J,l}X^{J})+l} = inf_{J,l}{v_{B}(a_{J,l})+l}, a_{J,l} ∈ k(W).

Donc v_{B′}(T) = 1 (on choisit ξ = 1). Et donc v_{B′}(T/π) = 0 où π engendre l’idéal maximal m_{B} de B. D’où κ_{B′} = κ_{v_{B′}} = κ_{B}(t_{1}, …, t_{s}, t) où t est l’image de T/π dans κ_{B′}. Ainsi l’anneau B′ de v_{B′} prolonge B dans k(W ⊕ W′ ⊕ χ). Posons A′ = B′ ∩ k(W ⊕ W′ ⊕ χ)^{D×I}.

Comme W′ est une somme de représentations régulières de D, on peut choisir les X_{i} ci-dessus de telle sorte qu’ils soient permutés par D, soit gX_{i} = X_{g(i)} pour tout i. C’est ce que nous faisons dans le lemme qui suit.

Lemme 10.12. — Le groupe de décomposition de B′ dans D × I est D × I et son groupe d’inertie est 1 × I.

Démonstration. — D’abord on va montrer que (D × 1)B′ = B′. Soit g ∈ D. Comme D est le groupe de décomposition de B, on a gB = B. Par le choix des X_{i}, on a gX^{J} = g(X_{1}^{j_{1}} … X_{s}^{j_{s}}) = X^{gJ}. Alors

v_{gB′}(∑_{J,l} a_{J,l}X^{J}T^{l}) = v_{B′}(g(∑_{J,l} a_{J,l}X^{J}T^{l})) = v_{B′}(∑_{J,l}(ga_{J,l})X^{gJ}T^{l})

= inf_{J,l}{v_{B}(ga_{J,l}) + l} = inf_{J,l}{v_{gB}(a_{J,l}) + l}

= inf_{J,l}{v_{B}(a_{J,l}) + l} = v_{B′}(∑_{J,l} a_{J,l}X^{J}T^{l}).

Grâce à l’unicité de B′, on a gB′ = B′ pour tout g ∈ D, donc (D × 1)B′ = B′. Et on a aussi que W′ ⊂ B′. Grâce à l’équation (10.2), on a v_{B′}(∑ λ_{i}X_{i}) = 0 avec λ_{i} ∈ k et donc W′ ↪ κ_{B′}. Posons \overline{W′} = Im(W′), c’est le sous-espace vectoriel de κ_{B′} de base t_{1}, …, t_{s} et D opère librement sur \overline{W′}. Notons que W′ → \overline{W′} est un ismorphisme D × I-équivariant de k-espaces vectoriels.

Comme I ⊂ D et I = ⟨σ⟩ opère sur T par σT = χ(σ)T où χ(σ) ∈ k^{∗}. De manière analogue, on a

v_{σB′}(∑_{J,l} a_{J,l}X^{J}T^{l}) = v_{B′}(σ(∑_{J,l} a_{J,l}X^{J}T^{l})) = v_{B′}(∑_{J,l}(χ(σ)(σa_{J,l}))X^{J}T^{l})

= inf_{J,l}{v_{B}(χ(σ)(σa_{J,l})) + l} = inf_{J,l}{v_{σB}(a_{J,l}) + l}

= inf_{J,l}{v_{B}(a_{J,l}) + l} = v_{B′}(∑_{J,l} a_{J,l}X^{J}T^{l}).

Ainsi (1 × I)B′ = B′. En conclusion, (D × I)B′ = B′.

D’autre part, I opère trivialement sur κ_{B} à cause de la définition de I et D opère librement sur {t_{1}, …, t_{s}}. De plus,

σt = σ(T/π) = χ(σ)T/χ(σ)π = t

où π est choisi comme en (10.1). Ainsi 1 × I opère trivialement sur le corps κ_{B}(t_{1}, …, t_{s}, t).

Soient B_{χ} la restriction de B′ à k(W′ ⊕ χ) = k(W′)(T) et v_{B_{χ}} sa valuation associée. Alors v_{B_{χ}} est nulle sur k(W′) et v_{B_{χ}}(T) = 1 (donc c’est le même anneau que Peyre a considéré dans [Pe08, p. 207]). Posons A_{χ} = B_{χ} ∩ k(W′ + χ)^{D×I}. On a aussi que le groupe de décomposition de B_{χ} est D × I et son groupe d’inertie est 1 × I. On a des diagrammes :

\xymatrix{B \ar[r] & B′ & B_{χ} \ar[l] & κ_{B} \ar[r] & κ_{B′} & κ_{B_{χ}} \ar[l] \\ A \ar[r] \ar[u] & A′ \ar[u] & A_{χ} \ar[l] \ar[u] & κ_{A} \ar[r] \ar[u]^{D/I} & κ_{A′} \ar[u]_{D} & κ_{A_{χ}}. \ar[l] \ar[u]_{D}}

Lemme 10.13. — L’indice de ramification de A′|A est 1.

Démonstration. — D’abord, d’après notre construction, l’indice de ramification de B|A est e_{B|A} = |I| = q et celui de B′|B est e_{B′|B} = v_{B′}(π_{B}) = 1 où π_{B} est une uniformisante de B. D’après le lemme 10.12, e_{B′|A′} = |1 × I| = |I| = q. Enfin, grâce à la relation :

e_{B′|A} = e_{B′|B}e_{B|A} = e_{B′|A′}e_{A′|A},

on en déduit e_{A′|A} = 1.

On en déduit un diagramme commutatif :

\xymatrix{A^{0}(BG, M_{n}) \ar[r] \ar@{^{(}->}[d] & A^{0}(BD × BI, M_{n}) \ar[rr]^{∂_{D×I,g}} \ar@{^{(}->}[d] \ar@{^{(}->}[d] \ar@{^{(}->}[dr] &  & A^{0}(BD, M_{n−1}) \ar@{^{(}->}[d] \\ M_{n}(k(W)^{G}) \ar[r] \ar[d]^{∂_{A}} & M_{n}(k(W ⊕ W′ ⊕ χ)^{D×I}) \ar[d]^{∂_{A′}} & M_{n}(k(W′ ⊕ χ)^{D×I}) \ar[r]^{∂_{Aχ}} \ar[d]^{∂_{Aχ}} \ar[l] & M_{n−1}(k(W′)^{D}) \ar[dl]^{=} \\ M_{n−1}(κ_{A}) \ar[r]^{α} & M_{n−1}(κ_{A′}) & M_{n−1}(κ_{A_{χ}}). \ar[l]_{e_{A′|Aχ}·}}

En effet, le rectangle supérieur gauche et le triangle supérieur central commutent par définition du foncteur A^{0}(−, M_{n}) et des morphismes A^{p}(X, M_{n}) → A^{p}(Y, M_{n}) pour Y → X [Rost, §12]. Le trapèze supérieur droit commute grâce au lemme 8.6. Enfin, la commutativité des rectangles inférieurs résulte du lemme 10.13 et de l’axiome (R3a) de [Rost].

Pour conclure, il suffit de montrer que la flèche α est injective, et pour cela, il suffit de voir que l’extension κ_{A′}/κ_{A} est unirationnelle (lemme 5.3).

Soit W′′ = Ind_{I}^{D} χ (vue comme k-représentation). Comme χ est un facteur direct de la représentation régulière de I, W′′ est un facteur direct de la représentation régulière de D, donc W′′ ⊂ W′. D’après le lemme 10.7, W′′ est fidèle. On note \overline{W′′} l’image de W′′ dans κ_{B′}.

D’après le lemme 10.10 b), κ_{B}(\overline{W′′}, t)^{D} = κ_{B}(\overline{W′′})^{D}(t) est transcendant pur sur κ_{A}. D’après le lemme 10.11, κ_{A′} = κ_{B}(\overline{W′}, t)^{D} et κ_{B}(\overline{W′′}, t)^{D} sont stablement équivalents sur κ_{A} et finalement κ_{A′} est stablement pur sur κ_{A}.

Remarque 10.14. — La représentation W′′ intervenant à la fin de la démonstration ci-dessus provient du lemme 10.9 ; elle joue un rôle clé dans la démonstration. En principe, on aurait pu utiliser W′′ ⊕ W′′ à la place de W′ ci-dessus mais cela rendrait la vérification du lemme 10.12 plus délicate. Pour cette raison, nous avons préféré procéder indirectement en passant par la représentation régulière de D.

10.4. Un raffinement du théorème principal. —

Définition 10.15. — Soit G k-groupe algébrique linéaire. On définit

A_{nab}^{0}(BG, M_{n}) = ⋂_{A} Ker(A^{0}(BG, M_{n}) → A^{0}(BA, M_{n}))

où A parcourt les sous-groupes abéliens fermés de G, de type multiplicatif déployé.

Notons que A_{nab}^{0}(BG, M_{n}) ⊂ Ã^{0}(BG, M_{n}) (considérer A = 1 dans la définition 10.15).

Lemme 10.16. — Avec les notations de la définition 10.15, on a

Ã_{nr}^{0}(BG, M_{n}) ⊂ A_{nab}^{0}(BG, M_{n}).

Démonstration. — C’est évident par fonctorialité, puisque Ã_{nr}^{0}(BA, M_{n}) = 0 pour tout A de type multiplicatif déployé (théorème 2.28 et corollaire 7.5).

Lemme 10.17 (“Lemme de Bogomolov”). — Supposons G fini constant et d’exposant m, avec μ_{m} ⊂ k. Pour tout D ⊂ G et g : I = μ_{m} → Z_{G}(D), on a

∂_{D,g}(A_{nab}^{0}(BG, M_{n})) ⊂ A_{nab}^{0}(BD, M_{n−1}).

Démonstration. — Soit A_{D} un sous-groupe abélien de D. Posant A = ⟨A_{D}, g(μ_{m})⟩ (qui est abélien !), on a le diagramme commutatif suivant

A^{0}(BG, M_{n}) ⟶  A^{0}(BA, M_{n})
↓  ↓
A^{0}(BD × BI, M_{n}) ⟶ A^{0}(BA_{D} × BI, M_{n})
↓  ↓
A^{0}(BD, M_{n−1}) ⟶ A^{0}(BA_{D}, M_{n−1}).

D’où l’énoncé.

Corollaire 10.18. — On a la suite exacte suivante

(10.3) 0 → Ã_{nr}^{0}(BG, M_{n}) → A_{nab}^{0}(BG, M_{n}) ⟶^{∂_{D,g}} ⨁_{D,g} A_{nab}^{0}(BD, M_{n−1}).

Démonstration. — D’après le théorème 10.1, le lemme 10.17 et le lemme 10.16, on a le diagramme suivant

\xymatrix{0 \ar[r] & Ã_{nr}^{0}(BG, M_{n}) \ar@{^{(}->}[dr] \ar[r] & Ã^{0}(BG, M_{n}) \ar[r] & ⨁_{D,g} A^{0}(BD, M_{n−1}) \\  &  & A_{nab}^{0}(BG, M_{n}) \ar[r] \ar@{^{(}->}[u] & ⨁_{D,g} A_{nab}^{0}(BD, M_{n−1}) \ar@{^{(}->}[u]}

où la première ligne est une suite exacte. D’où (10.3).

Théorème 10.19. — Avec l’hypothèse de la définition 10.15, soient M un module de cycles et n ∈ ℤ.

(i) Si A_{nab}^{0}(BG, M_{n}) = 0, alors Ã_{nr}^{0}(BG, M_{n}) = 0.

(ii) Si M est connectif (cf. déf. 5.4) et

∀H ⊂ G, ∀m ≤ n, Ã_{nr}^{0}(BH, M_{m}) = 0,

alors

∀H ⊂ G, ∀m ≤ n, A_{nab}^{0}(BH, M_{m}) = 0.

Démonstration. — On a tout de suite (i) grâce au lemme 10.16. On montre (ii) par récurrence sur m. Comme M est connectif, c’est évident pour m petit. Supposons que ce soit vrai pour m − 1. Utilions la suite exacte (10.3) avec A_{nab}^{0}(BD, M_{m−1}) = 0 ∀D, on a

A_{nab}^{0}(BG, M_{m}) ⟵^{∼} Ã_{nr}^{0}(BG, M_{m}) = 0.

Et c’est vrai aussi pour tout sous-groupe H de G.

11. Reformulation : 0-cycles sur le compactifié de BG

11.1. Le foncteur \overline{CH}_{0}. —

Définition 11.1. — Soient donnés X ∈ Sm(k) et une compactification j : X ↪ X̄ où X̄ est projectif et lisse. On définit

\overline{CH}_{0}(X) = CH_{0}(X̄) = A_{0}(X̄, K_{0}^{M}).

Proposition 11.2. — Si k est de caractéristique zéro, \overline{CH}_{0}(X) ne dépend que de X et \overline{CH}_{0} définit un foncteur homotopique et pur en coniveau ≥ 1.

La partie délicate de cette proposition est la fonctorialité.

Démonstration. — Notons Sm^{proj} la sous-catégorie pleine de Sm formée des schémas projectifs, S_{b} la classe des morphismes birationnels de Sm. D’après [KS, thm. 2.1], on a un diagramme commutatif de foncteurs

\xymatrix{Sm^{proj} \ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & Sm \ar[d] \\ S_{b}^{−1} Sm^{proj} \ar[r]^{∼} & S_{b}^{−1} Sm}

où le foncteur du bas est une équivalence de catégories.

Considérons le foncteur F : Sm → Ab donné par F (X) = H_{0}(X, ℤ) (homologie de Suslin cf. déf. 3.14). Il vérifie les hypothèses de [KS, §3] par rapport au digramme ci-dessus. En effet, pour X projectif et lisse, F (X) = H_{0}(X, ℤ) = CH_{0}(X) et d’après Fulton [Ful, ex. 16.1.11, p .312], CH_{0}(X) = CH_{0}(Y) pour tout X → Y dans S_{b}. Donc on a un isomorphisme naturel de foncteurs :

(Sm^{proj} → Sm ⟶^{F} Ab) ≃ (Sm^{proj} → S_{b}^{−1} Sm^{proj} ⟶^{CH_{0}} Ab).

En appliquant [KS, §3 et thm. 2.1], on obtient une transformation naturelle de foncteurs

H_{0}(X, ℤ) → \overline{CH}_{0}(X)

où \overline{CH}_{0}(X) := CH_{0}(X̄) pour X̄ une compactification lisse de X : c’est exactement le foncteur de la définition 11.1, qui est donc bien défini.

De plus, \overline{CH}_{0} est homotopique et pur en coniveau ≥ 1. En effet, soit U ↪ X une immersion ouverte, alors X̄ est aussi un compactifié de U :

U ↪ X ↪ X̄.

Donc

\overline{CH}_{0}(U) = \overline{CH}_{0}(X̄) = CH_{0}(X).

D’autre part, soit f : E → X un fibré vectoriel. Soit U un ouvert de X, on a le cartésien suivant

\xymatrix{j^{∗}E \ar@{^{(}->}[r]|{o} \ar[d] & E \ar[d]^{f} \\ U \ar@{^{(}->}[r]^{j}|{o} & X}

où j^{∗}E ≅ U × 𝔸^{n} quand U est assez petit. Alors

\xymatrix{\overline{CH}_{0}(j^{∗}E) \ar[r]^{∼} \ar[d] & \overline{CH}_{0}(E) \ar[d] \\ \overline{CH}_{0}(U) \ar[r]^{∼} & \overline{CH}_{0}(X).}

Il nous amène à considérer le cas E = X × 𝔸^{n}.

Soit j : X ↪ Y une compactification de X, nous avons le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{E = X × 𝔸^{n} \ar@{^{(}->}[r] \ar[d] & Y × 𝔸^{n} \ar@{^{(}->}[r] & Y × ℙ^{n} \ar[d] \\ X \ar@{^{(}->}[rr] &  & Y}

où Y × ℙ^{n} est une compactification lisse de E. D’après [Ful, III, thm.

3.3], on a CH_{0}(Y × ℙ^{n}) ⟶^{∼} CH_{0}(Y). Donc

\overline{CH}_{0}(E) = \overline{CH}_{0}(X).

Remarque 11.3. — Comme sous-produit de la démonstration de la proposition 11.2, on obtient un morphisme de foncteurs

H_{0}(−, ℤ) → \overline{CH}_{0}.

Ce morphisme est surjectif d’après [K11, prop. 6.1].

Soit G ∈ Grp : d’après la proposition 11.2 et la définition 2.13, \overline{CH}_{0}(BG) est bien défini et on a une surjection

H_{0}(BG, ℤ) → → \overline{CH}_{0}(BG).

Question 11.4. — Peut-on définir \overline{CH}_{0}(−) a priori comme quotient de H_{0}(−, ℤ), sans utiliser la résolution des singularités (sous-jacente à la preuve de la proposition 11.2) ? Voir remarque 11.6 pour une réponse dans le cas particulier de BG.

11.2. Un résultat dual du théorème 10.1. —

Proposition 11.5. — Si k est de caractéristique zéro, on a la suite exacte suivante : (11.1)

⨁_{D⊂G,g:I→Z_{G}(D)} H_{−1}(BD, ℤ(−1)) → H_{0}(BG, ℤ) → \overline{CH}_{0}(BG) → 0.

Démonstration. — D’après le théorème 10.1, on a :

0 → A_{nr}^{0}(BG, M_{0}) → A^{0}(BG, M_{0}) → ⨁_{D,g:I→Z_{G}(D)} A^{0}(BD, M_{−1}).

Soient U_{G} un G-torseur linéaire de coniveau ≥ c et X̄ une compactification lisse de U_{G}/G. D’après la définition 7.1 et la proposition 7.6, on a

A_{nr}^{0}(BG, M_{0}) = A_{nr}^{0}(U_{G}/G, M_{0}) = A^{0}(X̄, M_{0}).

De plus, d’après [K11, thm. 1.3], pour X lisse, on a

A^{0}(X, M_{0}) ≅ Hom_{CM}(H^{X}, M)

où CM est la catégorie des modules de cycles et pour tout corps F/k,

H_{n}^{X}(F) = H_{−n}(X_{F} , ℤ(−n)).

Donc on a la suite exacte :

0 → Hom_{CM}(HX̄, M) → Hom_{CM}(H^{U_{G}/G}, M)

→ ⨁_{D,g:I→Z_{G}(D)} Hom_{CM}(H^{U_{D}/D}[1], M).

Comme CM est une catégorie abélienne, utilisons le lemme de Yoneda, on a la suite exacte

⨁_{D,g:I→Z_{G}(D)} H^{U_{D}/D}[1] → H^{U_{G}/G} → HX̄ → 0.

D’où la suite exacte suivante sur le corps de base k :

⨁_{D,g:I→Z_{G}(D)} H_{−1}(BD, ℤ(−1)) → H_{0}(BG, ℤ) → H_{0}(X̄, ℤ) → 0

où H_{0}(X̄, ℤ) = A_{0}(X̄, K_{0}^{M}) = \overline{CH}_{0}(BG) (cf. déf. 11.1).

Le morphisme H_{−1}(BD, ℤ(−1)) → H_{0}(BG, ℤ) est donné explicitement par

H_{−1}(BD, ℤ(−1))=  Hom_{DM}(ℤ, M(U_{D}/D)(1)[1])
↓
Hom_{DM}(ℤ, M(U_{D}/D) ⊗ M(𝔾_{m}))
(∗)↓
Hom_{DM}(ℤ, M(U_{D}/D) ⊗ M(U_{μ_{m}}/μ_{m}))
↓
H_{0}(BG, ℤ) =  Hom_{DM}(ℤ, M(U_{G}/G))

où (∗) est donné par 𝔾_{m} → Bμ_{m}.

Remarque 11.6. — Si k est de caractéristique p, la suite exacte (11.1) donne une définition de “\overline{CH}_{0}(BG)”.

11.3. Conditions équivalentes pour avoir des groupes non ramifiés triviaux. —

Définition 11.7. — Soient k un corps et X un schéma lisse sur k. On dit que X n’a pas d’invariants non ramifiés^{(8)} si pour tout module de cycles M,

M_{n}(k) ⟶^{∼} A_{nr}^{0}(X, M_{n}).

Théorème 11.8. — Si k est de caractéristique zéro, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

a) X n’a pas d’invariants non ramifiés (déf. 11.7) ;

b) L’application deg : \overline{CH}_{0}(X_{F}) → ℤ est bijective pour toute extension F/k.

Démonstration. — D’après la définition 11.1 et la résolution des singularités, on a

\overline{CH}_{0}(X_{F}) = CH_{0}(X̄_{F})

où X̄ est une compactification propre et lisse de X. Donc ce théorème est exactement [Me, thm. 2.11].

Corollaire 11.9. — Soit G ∈ Grp. Si k est de caractéristique zéro, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

a) “BG” n’a pas d’invariants non ramifiés (déf. 11.7) ;

b) ˜ \overline{CH}_{0}(BG_{F}) = 0 pour toute extension F/k (déf. 3.8).

Démonstration. — Remarquons que pour Spec k → G, on a

\xymatrix{\overline{CH}_{0}(BG_{F}) \ar[r] & ℤ \\ \overline{CH}_{0}(B1) \ar[u] \ar@{-->}[ur]_{∼}}

D’où le résultat d’après le théorème 11.8.

8. de type motivique, à cause des invariants dans le groupe de Witt…

Corollaire 11.10. — Soit G un groupe fini d’exposant m sur un corps k contenant μ_{m}, où m est inversible dans k. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

a) “BG” n’a pas d’invariants non ramifiés (déf. 11.7) ;

b) Pour tout module de cycles M et pour tout n,

Ã^{0}(BG, M_{n}) ⟶^{∂_{D,g}} ⨁_{D,g} A^{0}(BD, M_{n−1})

est injectif.

c) Pour toute extension F/k,

⨁_{D,g} H_{−1}(BD_{F} , ℤ(−1)) → H̃_{0}(BG_{F} , ℤ)

est surjectif.

Démonstration. — (a) ⇔ (b) grâce au théorème 10.1 et à la définition 11.7. Et (a) ⇔ (c) à cause de la proposition 11.5 et du corollaire 11.9.

Corollaire 11.11. — Soit G un groupe fini d’exposant m sur un corps k contenant μ_{m}, m est inversible dans k. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

i) Pour tout H ⊂ G, “BH” n’a pas d’invariants non ramifiés (déf. 11.7) ;

i^{bis}) Comme i) mais à valeurs dans un module de cycles connectif (déf. 5.4).

ii) Pour tout H ⊂ G et pour toute extension F/k,

⨁_{A⊂H} H_{0}(BA_{F} , ℤ) → → H_{0}(BH_{F} , ℤ)

où A parcourt les sous-groupes abéliens de H.

Démonstration. — On va montrer (i) ⇒ (i^{bis}) ⇒ (ii) ⇒ (i).

(i) ⇒ (i^{bis}) est évident.

(i^{bis}) ⇒ (ii) : Pour tout H ⊂ G et pour tout M connectif, d’après le théorème 10.19, on a

A^{0}(BH, M_{n}) ↪ ⨁_{A} A^{0}(BA, M_{n}).

D’après le théorème 7.9, ceci implique

Hom_{CM}(H^{BH}, M[n]) ↪ ⨁_{A} Hom_{CM}(H^{BA}, M[n])

pour tout M connectif. Comme H^{BH}, H^{BA} sont connectifs (cf. lemme 7.7), ceci implique par le lemme de Yoneda

∀H ⊂ G, ⨁_{A} H^{BA} → → H^{BH}.

En évaluant H_{0} sur un corps F, on a

∀H ⊂ G, ∀F/k, ⨁_{A⊂H} H_{0}(BA_{F} , ℤ) → → H_{0}(BH_{F} , ℤ).

(ii) ⇒ (i) : Pour tout module de cycles M, on a (cf. thm. 7.9)

A^{0}(BH, M_{0}) ⟶^{∼} Hom_{CM}(H^{BH}, M) ⟶^{∼} Hom_{HI}(h_{0}^{Nis}(BH), M_{0}).

Donc (ii) implique

⨁_{A⊂H} h_{0}^{Nis}(BA)(Spec F) → → h_{0}^{Nis}(BH)(Spec F)

pour tout F/k. Pour conclure, on a besoin du lemme suivant :

Lemme 11.12. — Soient F, G ∈ HI deux faisceaux Nisnevich avec transferts invariants par homotopie et f : F → G. Alors,

f est un épimorphisme ⇔ ∀F/k, f_{F} est surjectif.

Démonstration. — C’est évident pour ⇒. Pour ⇐, posons H = Coker f, on a H_{Spec F} = 0 ∀F/k. D’après [MVW, cor. 11.2], H = 0. Donc f est un épimorphisme.

Appliquons le lemme 11.12 pour F = ⊕_{A}h_{0}^{Nis}(BA), G = h_{0}^{Nis}(BH), on a

∀H ⊂ G, ⨁_{A⊂H} h_{0}^{Nis}(BA) → → h_{0}^{Nis}(BH).

Ceci implique

∀H ⊂ G, A^{0}(BH, M_{n}) ↪ ⨁_{A} A^{0}(BA, M_{n})

pour tout module de cycles M. On en déduit (i) grâce au lemme 10.16.

12. Application : théorèmes de Bogomolov et de Peyre

On retrouve ici les théorèmes de Bogomolov [CTS, thm. 7.1] et de Peyre [Pe08, thm. 1].

12.1. Généralité du théorème de Bogomolov. —

Lemme 12.1. — Soit k un corps contenant μ_{m}, où m est inversible dans k. Soit G un groupe fini d’exposant m. On a

A_{nr}^{0}(BG, H_{ét}^{2}(ℤ)) = A_{nab}^{0}(BG, H_{ét}^{2}(ℤ)) = 0.

Démonstration. — On a

A_{nab}^{0}(BG, H_{ét}^{2}(ℤ))

= Ker(A^{0}(BG, H_{ét}^{2}(ℤ)) → ⨁_{A} A^{0}(BA, H_{ét}^{2}(ℤ))) (déf. 10.15)

= Ker(H_{ét}^{2}(BG, ℤ) → ⨁_{A} H_{ét}^{2}(BA, ℤ)) (théorème 6.3 a), n = 0)

= Ker(H^{2}(G, ℤ) ⊕ H_{ét}^{2}(k, ℤ) → ⨁_{A} H^{2}(A, ℤ) ⊕ H_{ét}^{2}(k, ℤ)) (cf . (4.4))

= Ker(Hom(G, ℚ/ℤ) ⊕ H_{ét}^{2}(k, ℤ) → ⨁_{A} Hom(A, ℚ/ℤ) ⊕ H_{ét}^{2}(k, ℤ))

= 0

où A parcourt les sous-groupes abéliens de G. On conclut avec le lemme 10.16.

Théorème 12.2. — Soit k un corps contenant μ_{m}, où m est inversible dans k. Soient G un groupe fini d’exposant m et W une k-représentation fidèle de G. On a

(12.1)  B̃r_{nr}(k(W)^{G}) = ⋂_{A∈B_{G}} Ker(H^{2}(G, k^{∗}) → H^{2}(A, k^{∗})).

où B_{G} est l’ensemble des sous-groupes bicycliques de G et B̃r_{nr}(k(W)^{G}) est la partie réduite de Br_{nr}(k(W)^{G}) = Br_{nr}(BG) (cf. déf. 3.8).

En particulier, si k = k_{s} est séparablement clos, on a [Bog87]

(12.2)  Br_{nr}(k_{s}(W)^{G}) = ⋂_{A∈B_{G}} Ker(H^{2}(G, ℚ/ℤ) → H^{2}(A, ℚ/ℤ)).

En général (μ_{m} ⊂ k),

B̃r_{nr}(k(W)^{G}) ↪ B̃r_{nr}(k_{s}(W)^{G}) = Br_{nr}(k_{s}(W)^{G}).

Démonstration. — Rappelons que

Br(k(W)^{G}) = H_{ét}^{2}(k(W)^{G}, ℚ/ℤ(1)) = A^{0}(BG, H_{ét}^{3}(ℤ(1))).

Utilisons le corolaire 10.18 et le lemme 12.1 : on a

(12.3) Br_{nr}(BG) = Br_{nab}(BG)

⊂ ⋂_{A∈B_{G}} Ker(A^{0}(BG, H_{ét}^{3}(ℤ(1))) → A^{0}(BA, H_{ét}^{3}(ℤ(1)))).

En fait, on a égalité. En effet, soit γ appartenant à la partie droite de (12.3), on raisonne comme Peyre [Pe08, rem. 4]. Soient D ⊂ G et g : I = μ_{m} → Z_{G}(D). Soit x ∈ D, alors A = ⟨x, I⟩ est un sous-groupe bicyclique de G. On a le diagramme commutatif suivant

[figure: H_{ét}^{3}(BG, ℤ(1))); ∂_{D,g}; H_{ét}^{2}(BD, ℤ)); (4.4); Hom(D, ℚ/ℤ) ⊕ H_{ét}^{2}(k, ℤ); H_{ét}^{3}(BA, ℤ(1))); ∂_{⟨x⟩,g}; H_{ét}^{2}(B ⟨x⟩ , ℤ)); (4.4); Hom(⟨x⟩ , ℚ/ℤ) ⊕ H_{ét}^{2}(k, ℤ).]

Comme l’image de γ dans H_{ét}^{3}(BA, ℤ(1)) et donc dans H_{ét}^{2}(B ⟨x⟩ , ℤ) est nulle pour tout x ∈ D, son image dans H_{ét}^{2}(BD, ℤ) l’est aussi. Alors γ ∈ Br_{nr}(k(W)^{G}). Ainsi, on obtient

B̃r_{nr}(k(W)^{G}) = ⋂_{A∈B_{G}} Ker(Ã^{0}(BG, H_{ét}^{3}(ℤ(1))) → Ã^{0}(BA, H_{ét}^{3}(ℤ(1))))

= ⋂_{A∈B_{G}} Ker(H̃_{ét}^{3}(BG, ℤ(1)) → H̃_{ét}^{3}(BA, ℤ(1))) (cf. (6.6)).

D’après (4.5), on a H̃_{ét}^{3}(BG, ℤ(1)) = H^{2}(G, k^{∗}). D’où on obtient (12.1). Si k est séparablement clos, on a

H_{ét}^{3}(k_{s}, ℤ(1)) = H^{2}(k_{s}, 𝔾_{m}) = Br(k_{s}) = 0, H^{2}(G, ℚ/ℤ(1)) ⟶^{∼} H^{2}(G, k^{∗}).

D’où (12.2).

En général, on a B̃r_{nr}(k_{s}(W)^{G}) = Br_{nr}(k_{s}(W)^{G}) car Br(k_{s}) = 0. Considérons la longue suite exacte suivante :

H^{1}(G, k^{∗}) → H^{1}(G, k_{s}^{∗}) → H^{1}(G, k_{s}^{∗}/k^{∗}) → H^{2}(G, k^{∗}) → H^{2}(G, K_{s}^{∗})

Comme μ_{m} ⊂ k^{∗} ⊂ k_{s}^{∗}, on a

H^{1}(G, k^{∗}) ⟵^{∼} H^{1}(G, μ_{m}) ⟶^{∼} H^{1}(G, k_{s}^{∗}).

Donc la suite

0 → H^{1}(G, k_{s}^{∗}/k^{∗}) → H^{2}(G, k^{∗}) → H^{2}(G, K_{s}^{∗})

est exacte. D’où le diagramme commutatif de suites exactes :

\xymatrix{ &  & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\  &  & B̃r_{nr}(BG) \ar[r] \ar[d] & Br_{nr}(BG_{k_{s}}) \ar[d] \\ 0 \ar[r] & H^{1}(G, k_{s}^{∗}/k^{∗}) \ar[r] \ar@{-->}[d] & H^{2}(G, k^{∗}) \ar[r] \ar[d] & H^{2}(G, k_{s}^{∗}) \ar[d] \\ 0 \ar[r] & ⨁_{A∈B_{G}} H^{1}(A, k_{s}^{∗}/k^{∗}) \ar[r] & ⨁_{A∈B_{G}} H^{2}(A, k^{∗}) \ar[r] & ⨁_{A∈B_{G}} H^{2}(A, k_{s}^{∗}).}

La flèche fragmentée est injective parce que

H^{1}(G, k_{s}^{∗}/k^{∗}) = Hom(G, k_{s}^{∗}/k^{∗}) ↪ ⨁_{A∈B_{G}} Hom(A, k_{s}^{∗}/k^{∗}) = ⨁_{A∈B_{G}} H^{1}(A, k_{s}^{∗}/k^{∗}).

On en déduit B̃r_{nr}(BG) ↪ Br_{nr}(BG_{k_{s}}).

12.2. Une généralisation de A_{NR}^{0}(−, M_{n}) inspirée par Bogomolov. —

Définition 12.3. — Soit F : Sm_{fl}^{op} → Ab. On définit

F_{neg}(X) := ⋃_{U} Ker(F (X) → F (U)) = Ker(F (X) → F (Spec k(X)))

où U parcourt les ouverts de X et k(X) est le corps des fonctions de X, et

F_{st}(X) := F (X)/F_{neg}(X) = Im(F (X) → F (Spec k(X))).

Ce sont respectivement la partie négligeable et l’image stable de F (en X). Ils définissent des foncteurs sur Sm_{fl}.

Lemme 12.4. — Supposons k infini. Si F est homotopique et pur en coniveau ≥ c (cf. déf. 3.1), alors F_{neg}, F_{st} le sont aussi.

Démonstration. — Soit E → X un fibré vectoriel. Soit U un ouvert de X. Considérons le diagramme cartésien suivant

\xymatrix{E \ar[d] & ⊃ & E_{U} \ar[d] &  & E_{η} \ar@{^{(}->}[ll] \ar[d] & k(E) \ar@{^{(}->}[l] \\ X & ⊃ & U & ⊃ & Spec k(X)}

D’après l’hypothèse sur F, on a le diagramme commutatif

\xymatrix{F (E) \ar[r] & F (E_{U}) \ar[r] & F (E_{η}) \ar[r] & F (k(E)) \\ F (X) \ar[r] \ar[u]_{≀} & F (U) \ar[r] \ar[u]_{≀} & F (k(X)) \ar[u]_{≀}}

D’où F_{neg}(X) ⟶^{∼} F_{neg}(E)′ où F_{neg}(E)′ = Ker(F (E) → F (E_{η})). En fait F_{neg}(E)′ = F_{neg}(E). En effet, on va montrer F (E_{η}) ↪ F (Spec k(E)). On peut se ramener au cas X = Spec k. Pour tout ouvert V de E_{η} = 𝔸_{k}^{n}, V (k) est non vide. Donc F (k) → F (V) admet une section et F (k) ↪ F (k(E)). Alors, on a F_{neg}(X) ⟶^{∼} F_{neg}(E).

Soit U ⊂ X un ouvert de X de coniveau δ(X, U) ≥ c (cf. déf. 2.1). On a aussi le diagramme commutatif suivant :

\xymatrix{0 \ar[r] & F_{neg}(U) \ar[r] & F (U) \ar[r] & F (Spec k(U)) \\ 0 \ar[r] & F_{neg}(X) \ar[r] \ar@{-->}[u] & F (X) \ar[r] \ar[u]_{≀} & F (Spec k(X)) \ar[u]_{≀}}

car k(U) = k(X). D’où F_{neg}(X) ⟶^{∼} F_{neg}(U). Ainsi, F_{neg} est homotopique et pur en coniveau ≥ c.

Donc d’après la définition de F_{st}, on en déduit tout de suite qu’il est homotopique et pur en coniveau ≥ c.

Remarque 12.5. — Si G est un groupe fini sur un corps infini k contenant μ_{m} où m est inversible dans k, alors F_{neg}(BG), F_{st}(BG) sont bien définis (cf. déf. 9.1).

Définition 12.6. — On définit

F_{NR}(BG) := {x ∈ F (BG) | ∀(D, g), ∂_{D,g}(x) ∈ (F_{−1})_{neg}(BD)}.

Exemple 12.7 ([Bog92]). — Soit F = H_{ét}^{i}(−, ℤ(n)). Pour X lisse, on retrouve des classes k-négligeables de H_{ét}^{i}(X, ℤ(n)) :

H_{neg}^{i}(X, ℤ(n)) = Ker(H_{ét}^{i}(X, ℤ(n)) → H_{ét}^{i}(k(X), ℤ(n))),

et la cohomologie stable de H_{ét}^{i}(X, ℤ(n)) :

H_{st}^{i}(X, ℤ(n)) = H_{ét}^{i}(X, ℤ(n))/H_{neg}^{i}(X, ℤ(n)).

Donc d’après la proposition 3.9, l’exemple 8.4, 1) et la définition 12.6, on a

(12.4) H_{NR}^{i}(BG, ℤ(n))

= {x ∈ H_{ét}^{i}(BG, ℤ(n)) | ∀(D, g), ∂_{D,g}(x) ∈ H_{neg}^{i−1}(BD, ℤ(n − 1)).}

12.3. Théorème de Peyre. —

Définition 12.8. — Soit G un groupe fini sur un corps k contenant μ_{m} où m est inversible dans k.

On définit le groupe H_{p}^{3}(G, ℚ/ℤ) des classes permutation-négligeables comme le groupe [Pe08, déf. 4]

∑_{H⊂G} Cor_{H}^{G}(Im(H^{1}(H, ℚ/ℤ)^{⊗2} ⟶^{∪} H^{3}(H, ℚ/ℤ))).

Notons H_{Ch}^{4}(BG, ℤ(2)) = ⟨c_{2}(ρ)⟩ le sous-groupe de H_{ét}^{4}(BG, ℤ(2)) engendré par les classes de Chern des représentations ρ de G.

Utilisant [Pe08, prop. 1 et prop. 2] et le corollaire 4.1, on obtient

Lemme 12.9. — Si k est séparablement clos, alors

H_{p}^{3}(G, ℚ/ℤ) ⊗ ℤ[\frac{1}{2}] = H_{Ch}^{4}(BG, ℤ(2)) ⊗ ℤ[\frac{1}{2}].

Théorème 12.10. — Soit k un corps contenant μ_{m} où m est inversible dans k. Soient G un k-groupe fini d’exposant m et W une représentation fidèle de G. On a un isomorphisme :

(12.5)  H_{NR}^{4}(BG, ℤ(2))/H_{Ch}^{4}(BG, ℤ(2)) ⟶^{∼} H_{nr}^{4}(k(W)^{G}, ℤ(2))

où H_{NR}^{4}(BG, ℤ(2)) est comme dans (12.4) et H_{Ch}^{4}(BG, ℤ(2)) comme dans la définition 12.8.

Démonstration. — D’après le théorème 10.1, on a :

H_{nr}^{3}(k(W)^{G}, ℚ/ℤ(2)) = A_{NR}^{0}(BG, H_{ét}^{3}(ℚ/ℤ(2))).

La suite exacte du théorème 6.3 b) donne une suite exacte

0 → CH^{2}(BG) → H_{ét}^{4}(BG, ℤ(2)) → A^{0}(BG, H_{ét}^{4}(ℤ(2))) → 0.

Alors, on a le diagramme commutatif suivant

\xymatrix{0 \ar[r] & CH^{2}(BG) \ar[r] & H_{ét}^{4}(BG, ℤ(2)) \ar[r] \ar[d]^{∂_{D,g}} & A^{0}(BG, H_{ét}^{4}(ℤ(2))) \ar[d]^{∂_{D,g}} \ar[r] & 0 \\  &  & H_{ét}^{3}(BD, ℤ(1)) \ar[r]^{∼} & A^{0}(BD, H_{ét}^{3}(ℤ(1)))}

où l’isomorphisme provient du théorème 6.3 a). D’après [Tot, p. 257], CH^{2}(BG) est engendré par des classes de Chern des représentations de G. D’où on déduit (12.5).

Remarque 12.11. — En particulier, si k est algébriquement clos de caractéristique zéro, d’après le lemme 4.3, 1) et le corollaire 4.1, on a

H_{ét}^{4}(BG, ℤ(2)) ≅ H^{3}(G, H_{ét}^{1}(k, ℤ(2)) = H^{3}(G, ℚ/ℤ),

et H_{ét}^{3}(BD, ℤ(1)) = H^{3}(D, ℤ) = H^{2}(D, ℚ/ℤ).

Donc d’après le lemme 12.9 et (12.5), on a :

H_{nr}^{3}(G, ℚ/ℤ)/H_{p}^{3}(G, ℚ/ℤ) → → H_{nr}^{3}(k(W)^{G}, ℚ/ℤ(2)),

et son noyau est annulé par une puissance de 2, où

H_{nr}^{3}(G, ℚ/ℤ) = ⋂_{D⊂G, g:I→Z_{G}(D)} Ker(H^{3}(G, ℚ/ℤ) ⟶^{∂_{D,g}} H^{2}(D, ℚ/ℤ)).

On peut montrer que les résidus ∂_{D,g} sont égaux à ceux de Peyre [Pe08, déf. 5]. On retrouve alors le théorème 1 de [Pe08].

Remarque 12.12. — Grâce à la suite exacte (10.3) et au théorème 12.2, on obtient une généralisation en degré 3 de la suite exacte de Bogomolov :

(12.6) 0 → A_{nr}^{0}(BG, H_{ét}^{3}(ℚ/ℤ(2)))

→ A_{nab}^{0}(BG, H_{ét}^{3}(ℚ/ℤ(2))) ⟶^{∂_{D,g}} ⨁_{D,g} Br_{nr}(BD).

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