Leiter: Prof. Dr. C. M. Ringel - email:
ringel@Mathematik.Uni-Bielefeld.DE
Stellvertreter: Prof. Dr. P. Dräxler - email:
draexler@Mathematik.Uni-Bielefeld.DE
Die Darstellungstheorie von Algebren widmet sich dem Studium der linearen Darstellungen einer assoziativen Algebra. Da sich viele lineare Probleme, die in der Mathematik auftreten (in der Algebra, wie zum Beispiel in der Darstellungstheorie von Gruppen oder von Lie-Algebren, aber auch in Geometrie und Analysis), in diese Sprache umschreiben lassen, werden auch derartige Anwendungen thematisiert. Im Vordergrund unserer Untersuchungen stehen Fragen, die Moduln endlicher Länge betreffen. Für den Antragszeitraum will sich die Arbeitsgruppe mit Problemen aus folgenden Themenkreisen beschäftigen:
Der Darstellungstyp einer Algebra.
An der Entwicklung einer
Strukturtheorie für zahme Algebren wird gearbeitet.
Man geht davon aus, daß die typischen
zahmen Algebren bekannt sind; zu klären ist, welche Verklebungsprozesse
möglich sind. Eine Diskussion der wilden Algebren erscheint
vordringlich: so ist bisher völlig unbekannt, welche wilden Algebren
strikt wild sind. Die Kerner-Bijektionen bei wilden
erblichen Algebren sind zu analysieren. Analoge Fragen stellen sich
bei Bimodulproblemen und insbesondere bei Vektorraumkategorien, die wichtige
Hilfsmittel in der Darstellungstheorie bilden.
Das Spektrum einer abelschen Kategorie.
Die
Bedeutung unendlich-dimensionaler Moduln für die Darstellungstheorie
endlich-dimensionaler Moduln ist zu klären. Von besonderem Interesse
sind Konstruktion und Charakterisierung generischer
Moduln.
Berechnung und Interpretation kombinatorischer Invarianten.
Viele darstellungstheoretische Untersuchungen liefern diskrete
Invarianten wie Wurzeln
ganzzahliger quadratischer Formen. Dies erlaubt
und verlangt den Einsatz von Computer-Programmen. Einige wichtige
Algorithmen sind im Computer-Algebra-Paket CREP zusammengefaßt, für
viele Fragen gibt es aber noch keine derartigen Programme.
Die Pflege und Weiterentwicklung von CREP erscheint uns sehr
wichtig.
Homologische Fragen der Darstellungstheorie.
Für das Studium der homologischen
Eigenschaften einer abelschen Kategorie,
etwa der Modulkategorie einer Algebra, hat sich die Einbettung
in die derivierte Kategorie als besonders effektiv
herausgestellt. Deriviert-äquivalente abelsche Kategorien haben
ein ähnliches homologisches Verhalten, eine Einteilung der Algebren nach
der Struktur ihrer derivierten Kategorie bietet sich daher an.
Die klassischen homologischen Vermutungen
(wie Endlichkeit der finitistischen Dimension und Nakayama-Vermutung)
sind bisher nur für sehr kleine Klassen von Algebren
verifiziert worden. Es ist zu hoffen, daß Interpretationen dieser
Vermutungen im Rahmen der Auslander-Reiten-Theorie, die vor kurzem gefunden
wurden, einen neuen Zugang liefern.
Die verschiedenen Themenkreise sind wechselseitig aufeinander bezogen:
Die Untersuchung der zahmen Algebren ist auf kombinatorische Invarianten
angewiesen; das Spektrum einer zahmen Modulkategorie sollte
vollständig beschreibbar sein. Auch wird man beim Studium
von Familien von Moduln versuchen, entsprechende generische Moduln
heranzuziehen. Die Kipp-Moduln dienen dazu,
homologische Beziehungen zwischen verschiedenen Modulkategorien
herzustellen; diese Kipp-Moduln sind aber üblicherweise durch
diskrete Invarianten charakterisierbar.
Weitere Informationen: Home Page der Arbeitsgruppe.