Leiter: Prof. Dr. C. M. Ringel - email: ringel@Mathematik.Uni-Bielefeld.DE
Einer der Ausgangspunkte für die bisherigen und die weiterhin geplanten Untersuchungen im Rahmen dieses Teilprojekts war der Nachweis, daß die quantisierten Serre-Relationen des positiven Teils U+ einer Quantengruppe (im Sinne von Drinfeld, Jimbo und Lusztig) gerade die universellen Relationen zwischen den Kompositionsreihen von Darstellungen einer erblichen Algebra A liefern. Auf diese Weise erhält man Realisierungen der durch Erzeugende und Relationen definierten Quanten-Gruppen. Von besonderem Interesse ist dabei, daß gewisse Elemente von U+ Darstellungen von A entsprechen, man kann daher Eigenschaften dieser Elemente mit solchen der zugehörigen Darstellungen in Verbindung setzen. Erforderlich und geplant ist daher ein detailliertes Studium der Darstellungen sowohl eines Köchers Q als auch der präprojektiven Algebra zu Q, gerade im Hinblick auf die zugehörige Quantengruppen.
Die Theorie der Quantengruppen und, damit verwandt, der Hecke-Algebren, ist als Hilfsmittel für die Darstellungstheorie algebraischer Gruppen und Lie-Algebren anzusehen. Es erscheint dabei notwendig, den allgemeinen Rahmen der zellulären und der quasi-erblichen Algebren vorzugeben. Die Arbeitsgruppe beschäftigt sich mit Problemen aus folgenden Themenkreisen:
Quantengruppen und Köcher.
Stichworte: Hall-Algebren, kanonische Basen,
Köcher-Varietäten, präprojektive Algebren.
Affine Quantengruppen. Exzeptionelle Elemente.
Zelluläre Algebren.
Graham und Lehrer haben ein Axiomensystem
vorgeschlagen, das einen einheitlichen Rahmen für einige wichtige
Klassen von Algebren liefert (Hecke-Algebren, Brauer-Algebren, aber auch
Lusztigs Quantengruppe $\dot U$). Viele quasi-erblichen Algebren
sind zellulär.
Quasi-erbliche Algebren.
Von besonderem Interesse sind
die O-Algebren wie auch die Schur- und q-Schur-Algebren, und
insbesondere solche quasi-erbliche Algebren, die eine Dreieckszerlegungen
besitzen. Es wird versucht, die Struktur der jeweiligen Kipp-Moduln
zu bestimmen. Auf diese Weise erhofft man sich auch Aufschluß über
derivierte Äquivalenzen.
Weitere Informationen: Home Page der Arbeitsgruppe.