jr05 Jens Rottmann-Matthes.
Spectral properties of mixed hyperbolic
parabolic systems
In der Diplomarbeit werden Differentialgleichungen der Form
\[\begin{pmatrix}
u\\v\end{pmatrix}_t=
\begin{pmatrix}A&0\\0&0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}_{xx}+
\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}\\0&B_{22}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}_{x}+
\begin{pmatrix}C_{11}&C_{12}\\C_{21}&C_{22}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}=:
P\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}
\tag{PDE}
\]
betrachtet, wobei \(P\) als Operator \(H^2\times H^2\to L_2\times L_2\)
mit Grundgebiet \(\mathbb{R}\) aufgefasst wird. Unter Voraussetzungen an
die Matrixfunktionen \(A\), \(B_{ij}\) und \(C_{ij}\) wird gezeigt, dass
das Spektrum von \(P\) sich in einer linken Halbebene befindet. In
der rechten Halbebene werden gleichmäßige
Resolventenabschätzungen für
\(P\) bewiesen.
Analog wird das Problem (PDE) auch für endliche Intervalle
\(J=[x_-,x_+]\) als räumliche Grundgebiete untersucht. In diesem Fall
benötigt man zusätzliche Randbedingungen um wohlgestellte
Probleme zu erhalten. Es werden hinreichende Bedingungen für die
zusätzlichen Randoperatoren angegeben, die für typische
Wahlen des Randoperators erfüllt sind, und unter denen die
spektralen Eigenschaften des so erhaltenen Operators
\(P|_J\) (Differentialoperator +
Randoperator auf dem Grundgebiet \(J\)) für genügend
große Intervalle \(J\) den spektralen Eigenschaften des
ursprünglichen Operators \(P\) ähneln.
Ferner wird unter diesen Bedingungen gezeigt, dass für \(J
\to \mathbb{R}\) der Operator \(P|_J\) in
einem gewissen Sinne gegen den Operator \(P\) konvergiert. Eine
wesentliche Folgerung aus dieser Konvergenz ist, dass für \(J\to
\mathbb{R}\) die isolierten Eigenwerte endlicher Vielfachheit des
ursprünglichen Operators \(P\) von Eigenwerten von
\(P|_J\) exponentiell schnell mit der
Länge des Grundgebietes \(J\) angenähert werden.
Die theoretischen Ergebnisse werden schließlich am
FitzHugh-Nagumo System numerisch getestet.
