th03 Thorsten Hüls.
Numerische Approximation nicht-hyperbolischer heterokliner Orbits
Die Betrachtung diskreter dynamischer
Systeme begann um 1890, als Poincaré die Stabilität des
Sonnensystems untersuchte und das Drei-Körper-Problem mit
gewöhnlichen Differentialgleichungen modellierte. Hierbei war er
an der Analyse von Orbits interessiert, die asymptotisch gegen einen
periodischen Orbit konvergieren. Zur Vereinfachung der Fragestellung
konstruierte er die nach ihm benannte Poincaré-Abbildung und
reduzierte die Analyse kontinuierlicher Orbits auf die Betrachtung der
entsprechenden diskreten Orbits.
Die beim Vorliegen homokliner Orbits auftretenden komplexen Strukturen
lösten eine umfangreiche Entwicklung aus, die schließlich zu
dem berühmten Satz von Smale führte, der besagt, dass in
der Nähe eines transversalen homoklinen Orbits eine chaotische
Dynamik auftritt.
Die praktische Berechnung homokliner und heterokliner Orbits ist eine
der zentralen Aufgaben der Numerischen Mathematik.
In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, dass eine heterokline
Verbindung zweier Fixpunkte durch ein endliches Orbitsegment
approximiert werden kann, welches man durch Lösung eines
Randwertproblems erhält. Hierbei wird angenommen, dass ein
Endpunkt des Orbits hyperbolisch ist und der andere eine
eindimensionale zentrale Richtung besitzt.
Sind beide Fixpunkte hyperbolisch ist eine entsprechende Aussage zwar
aus der Literatur bekannt, doch das hier angestrebte Resultat verlangt
die Entwicklung von Werkzeugen, die an die polynomielle Konvergenzrate
in der zentralen Richtung angepasst sind.
Die oben beschriebene Situation tritt auf, wenn ein Fixpunkt über
einem Parameter eine Fold-, Flip- oder Gabel-Verzweigung
durchläuft. In diesen Fällen wird jeweils ein
Verzweigungssatz für die entsprechenden Verbindungsorbits
bewiesen.
Abschließend werden die polynomielle Konvergenzrate und der
Approximationsfehler mit den an drei Beispielen durchgeführten
numerischen Berechnungen verglichen.
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| Publisher: | Shaker Verlag, Aachen (2003) |
| Pages: | 148 |
| ISBN-10: | 3-8322-1478-X |
| ISBN-13: | 978-3-8322-1478-4 |
