Übung 1.

Sei \({ K }\) ein Körper und seien \({ U }\), \({ V }\) und \({ W }\) Vektorräume über \({ K }\). Weiter seien \[ \varphi \colon U \rightarrow V \quad \text{und} \quad \psi \colon V \rightarrow W \] lineare Abbildungen.
  1. Zeigen Sie die Gleichung \[ \ker \psi \cap \varphi(U) = \varphi(\ker (\psi \circ \varphi)) . \]
  2. Sei nun \({ \varphi \colon U \rightarrow V }\) injektiv und \({ \mathcal{B} }\) eine endliche Basis von \({ \ker (\psi \circ \varphi) }\). Zeigen Sie, dass \({ \varphi(\mathcal{B}) }\) eine Basis von \({ \ker \psi \cap \varphi(U) }\) ist.

Lösung.

  1. Sei \({ v \in \ker \psi \cap \varphi(U) }\) dann gibt es ein \({ u \in U }\) mit \({ \varphi(u) = v }\). Wegen \[ \psi(\varphi(u)) = \psi(v) = 0 \] liegt \({ u }\) in \({ \ker (\psi \circ \varphi) }\) und damit \[ v = \varphi(u) \in \varphi(\ker (\psi \circ \varphi)) . \] Also gilt \({ \ker \psi \cap \varphi(U) \subseteq \varphi(\ker (\psi \circ \varphi)) . }\)

    Sei nun \({ v \in \varphi(\ker (\psi \circ \varphi)) \subseteq \varphi(U) }\) dann gibt es ein \({ u \in \ker (\psi \circ \varphi) }\) mit \({ v = \varphi(u) }\). Wegen \[ \psi(v) = \psi(\varphi(u)) = 0 \] liegt \({ v }\) in \({ \ker \psi }\). Daraus folgt \({ \ker \psi \cap \varphi(U) \supseteq \varphi(\ker (\psi \circ \varphi)) . }\)

  2. Nach Teilaufgabe a bleibt zu zeigen, dass \({ \varphi(\mathcal{B}) }\) eine Basis von \({ \varphi(\ker (\psi \circ \varphi)) }\) ist. Da \({ \mathcal{B} }\) ein Erzeugendensystem von \({ \ker (\psi \circ \varphi) }\) ist, erzeugt auch \({ \varphi(\mathcal{B}) }\) das Bild \({ \varphi(\ker (\psi \circ \varphi)) }\). Weiter gilt \[ \begin{split} \dim \varphi(\ker (\psi \circ \varphi)) &= \dim \ker (\psi \circ \varphi) - \dim (\ker \varphi \cap \ker (\psi \circ \varphi))\\ &= \dim \ker (\psi \circ \varphi) , \end{split} \] nach dem Rangsatz und der Injektivität von \({ \varphi }\) nach Annahme. Also ist \({ \varphi(\mathcal{B}) }\) ein minimales Erzeugendensystem und damit eine Basis von \({ \varphi(\ker (\psi \circ \varphi)) }\) nach einer Proposition aus der Vorlesung.

Übung 2.

Seien \[ A \coloneqq \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} , \quad B \coloneqq \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \text{und} \quad u \coloneqq \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \] reellwertige Matrizen bzw. Vektoren.
  1. Bestimmen Sie das Matrizenprodukt \({ A B \in \R^{2 \times 2}. }\)
  2. Zeigen Sie die Gleichung \({ \ker (A B) = \langle u \rangle }\).
  3. Sei \({ \varphi_B \colon \R^2 \to \R^4,\, v \mapsto B v }\) die durch \({ B }\) bestimmte lineare Abbildung. Bestimmen Sie eine Basis des Untervektorraums \({ (\ker A) \cap \varphi_B(\R^2) \subseteq \R^4 }\).

Lösung.

  1. Wir haben \[ A B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} . \]
  2. Wir haben \[ A B u = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \] und damit \({ \langle u \rangle \subseteq \ker (A B) }\). Nach einem Lemma aus der Vorlesung genügt es nun die Ungleichung \({ \dim \ker (A B) \leq \dim \langle u \rangle = 1 }\) zu zeigen. Da \({ A B = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} }\) nicht die Nullmatrix ist, hat das Bild \({ \varphi_{A B} (\R^2) }\) der durch \({ A B \in \R^{2 \times 2} }\) definierten linearen Abbildung \({ \varphi_{A B} \colon \R^2 \to \R^2,\, v \mapsto A B v }\) mindestens die Dimension \({ 1 }\). Mit dem Rangsatz folgt schließlich \[ \dim \ker (A B) = \dim \ker \varphi_{A B} = \dim \R^2 - \dim \varphi_{A B}(\R^2) \leq 2 - 1 = 1 . \]
  3. Aus Übung 1.a wissen wir dass die Gleichung \[ \ker \varphi_A \cap \varphi_B(\R^2) = \varphi_B \left(\ker \varphi_{AB}\right) = \varphi_B \left(\ker (AB)\right) \] gilt. Wegen \({ \ker (A B) = \langle u \rangle }\) aus Teil a gilt auch \[ \varphi_B \left(\ker (AB)\right) = \varphi_B (\langle u \rangle) = \langle \varphi_B (u) \rangle = \langle B u \rangle . \] Sei nun \[ v \coloneqq B u = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix} . \] Da \({ v \neq 0 }\) gilt, ist die Menge \[ \{v\} = \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 12 \\ 8 \end{pmatrix} \right\} \] linear unabhängig und damit auch eine Basis von \({ (\ker A) \cap \varphi_B(\R^2) }\).