Übung 1.

Sei \({ \gamma \colon W \times W \to K,\, (u, v) \mapsto \gamma(u, v) }\) eine Bilinearform und seien \({ U \subseteq V \subseteq W }\) Untervektorräume. Zeigen Sie die Inklusion \({ V^{\perp} \subseteq U^{\perp} }\).

Lösung.

Sei \({ w \in V^{\perp} }\) und sei \({ u \in U }\). Dann gilt aufgrund von \({ u \in U \subseteq V }\) die Gleichung \({ \gamma(u, w) = 0 }\) und damit \({ w \in U^{\perp} }\).

Übung 2.

Sei \({ \gamma \colon V \times V \to K,\, (u, v) \mapsto \gamma(u, v) }\) eine symmetrische Bilinearform und sei \({ U \subseteq V }\) ein Untervektorraum. Zeigen Sie die Inklusion \({ U \subseteq U^{\perp \perp} }\). Zeigen Sie weiter, dass Gleichheit \({ U = U^{\perp \perp} }\) gilt, falls \({ V }\) endlich-dimensional und \({ \gamma \colon V \times V \to K }\) regulär ist.

Lösung.

Sei \({ u \in U }\) und \({ v \in U^{\perp} }\). Dann gilt \({ \gamma(u, v) = \gamma(v, u) = 0 }\) aufgrund der Symmetrie von \({ \gamma \colon V \times V \to K }\) und \({ v \in U^{\perp} }\). Da \({ v \in U^{\perp} }\) beliebig war gilt damit \({ U \subseteq U^{\perp \perp} }\).

Sei nun \({ V }\) endlich-dimensional und \({ \gamma }\) regulär. Dann gilt nach dem Lemma zur Dimension des orthogonalen Komplements die Gleichung \( \dim U^{\perp \perp} = \dim V - \dim U^{\perp} = \dim V - (\dim V - \dim U) = \dim U \) und damit die Gleichung \({ U = U^{\perp \perp} }\) nach dem Lemma zur Dimension von Untervektorräumen.

Übung 3.

Sei \({ \gamma \colon W \times W \to K,\, (u, v) \mapsto \gamma(u, v) }\) eine Bilinearform und seien \({ U, V \subseteq W }\) Untervektorräume. Zeigen Sie die Gleichung \({ (U + V)^{\perp} = U^{\perp} \cap V^{\perp} }\).

Lösung.

\({ (U + V)^{\perp} \subseteq U^{\perp} \cap V^{\perp} }\):
Sei \({ w \in (U + V)^{\perp} }\) dann gilt für alle \({ w' \in U + V }\) die Gleichung \({ \gamma(w', w) = 0 }\) und damit insbesondere für alle \({ u \in U \subseteq U + V }\) und \({ v \in V \subseteq U + V }\) die Gleichung \({ \gamma(u, w) = 0 = \gamma(v, w) }\). Daraus folgt \({ w \in U^{\perp} \cap V^{\perp} }\).
\({ (U + V)^{\perp} \supseteq U^{\perp} \cap V^{\perp} }\):
Sei \({ w \in U^{\perp} \cap V^{\perp} }\) und \({ w' \in U + V }\). Für die Inklusion müssen wir zeigen, dass \({ \gamma(w', w) = 0 }\) gilt. Dazu wählen wir \({ u \in U }\) und \({ v \in V }\) mit \({ w' = u + v }\). Damit erhalten wir \( \gamma(w', w) = \gamma(u + v, w) = \gamma(u, w) + \gamma(v, w) = 0 + 0 = 0 \) aufgrund von \({ w \in U^{\perp} }\) und \({ w \in V^{\perp} }\).

Übung 4.

Gegeben sei eine Bilinearform \({ \gamma \colon V \times V \to K,\, (u, v) \mapsto \gamma(u, v) }\) sowie Vektoren \({ v_1, \dots, v_k \in V }\). Zeigen Sie die Gleichung \({ \langle v_1, \dots, v_k \rangle^{\perp} = \bigcap_{i = 1}^k v_i^{\perp} }\).

Lösung.

Induktiv folgt aus dem Lemma zu Summe und Erzeugnis aus der Vorlesung die Gleichung \[ \langle v_1, \dots, v_k \rangle = \sum_{i = 1}^k \langle v_i \rangle . \] Zusammen mit Übung 3 folgt dann (ebenfalls induktiv) die Gleichung \[ \langle v_1, \dots, v_k \rangle^{\perp} = \big( \textstyle{\sum_{i = 1}^k \langle v_i \rangle} \big)^{\perp} = \displaystyle{\bigcap_{i=1}^k v_i^{\perp}} . \]

Übung 5.

Sei \({ \gamma \colon V \times V \to K,\, (u, v) \mapsto \gamma(u, v) }\) eine Bilinearform und seien \({ U_1, U_2 \subseteq V }\) Untervektorräume. Zeigen Sie die Inklusion \({ U_1^{\perp} + U_2^{\perp} \subseteq (U_1 \cap U_2)^{\perp} }\). Zeigen Sie weiter, dass Gleichheit \({ U_1^{\perp} + U_2^{\perp} = (U_1 \cap U_2)^{\perp} }\) gilt, falls \({ V }\) endlich-dimensional und \({ \gamma \colon V \times V \to K }\) symmetrisch und regulär ist.

Lösung.

Sei \({ v \in U_1^{\perp} + U_2^{\perp} }\) und \({ u \in U_1 \cap U_2 }\). Für die Inklusion müssen wir zeigen, dass \({ \gamma(u, v) = 0 }\) gilt. Dazu wählen wir Vektoren \({ v_1 \in U_1^{\perp} }\) und \({ v_2 \in U_2^{\perp} }\) mit \({ v = v_1 + v_2 }\). Aufgrund von \({ U_1 \cap U_2 \subseteq U_i }\) für \({ i = 1, 2 }\) gilt dann tatsächlich \( \gamma(u, v) = \gamma(u, v_1 + v_2) = \gamma(u, v_1) + \gamma(u, v_2) = 0 + 0 = 0 \).

Sei nun \({ V }\) endlich-dimensional und \({ \gamma }\) symmetrisch und regulär. Dann gilt nach der Dimensionsformel, dem Lemma zur Dimension des orthogonalen Komplements und Übung 3 die Gleichung \[ \begin{split} \dim \big(U_1^{\perp} + U_2^{\perp}\big) &= \dim U_1^{\perp} + \dim U_2^{\perp} - \dim U_1^{\perp} \cap U_2^{\perp} \\ & = \dim V - \dim U_1 + \dim V - \dim U_2 - \dim (U_1 + U_2)^{\perp} \\ & = \dim V - \dim U_1 - \dim U_2 + \dim (U_1 + U_2) \\ & = \dim V - \dim (U_1 \cap U_2) \\ & = \dim (U_1 \cap U_2)^{\perp} \end{split} \] und damit die Gleichung \({ U_1^{\perp} + U_2^{\perp} = (U_1 \cap U_2)^{\perp} }\) nach dem Lemma zur Dimension von Untervektorräumen.