Sei
\({
\alpha \colon W \to K
}\)
eine Linearform
und
\({
\varphi \colon V \to W
}\)
eine lineare Abbildung.
Weiter sei
\({
(\alpha \circ \varphi)^{-1}(1) = \emptyset
}\)
und
\({
p \in \alpha^{-1}(1)
}\).
Zeigen Sie die Inklusion
\({
p + \varphi(V) \subseteq \alpha^{-1}(1)
}\).
Aufgrund von
\({
(\alpha \circ \varphi)^{-1}(1) = \emptyset
}\)
ist die Linearform
\({
\varphi \circ \alpha \colon V \to K
}\)
nicht surjektiv und damit
nach dem
Rangsatz
trivial.
Folglich gilt
\({
\varphi(V) \subseteq \ker \alpha
}\)
und zusammen mit
dem Lemma zur Konstantheit auf Nebenklassen
die Inklusion
\({
p + \varphi(V) \subseteq \alpha^{-1}(1)
}\).
Geben Sie
\({
\R
}\)-lineare Abbildungen
\({
\varphi \colon U \to V
}\)
und
\({
\psi \colon V \to W
}\)
sowie einen Punkt
\({
p \in V
}\)
an mit der folgenden Eigenschaft.
Es gilt
\({
(\psi \circ \varphi)^{-1} (q) = \emptyset
}\)
und
\({
p + \varphi(U) \nsubseteq \psi^{-1}(q)
}\)
für
\({
q \coloneqq \psi(p)
}\).
Sei
\({
U = \R
}\),
\({
V = W = \R^2
}\),
\({
\psi = \mathrm{id}_{\R^2}
}\),
\({
p =
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
\varphi \colon
\R \to \R^2,\,
t \mapsto
\begin{pmatrix}
t \\
0
\end{pmatrix}
}\).
Dann gilt
\({
\psi^{-1}(q) = \{p\}
}\)
und
\(
p + \varphi(\R) = p + (\R \times \{0\}) = \R \times \{1\}
\).
Sei
\({
\alpha \colon V \to K
}\)
eine Linearform
und
\({
V
}\)
ein
\({
K
}\)-Vektorraum
endlicher Dimension.
Weiter sei
\({
U \subset V
}\)
eine lineare Hyperebene derart,
dass
\({
U \cap \alpha^{-1}(1)
}\)
genau einen Vektor
\({
p \in V
}\)
enthält.
Bestimmen Sie die Dimension von
\({
V
}\).
Zunächst betrachten wir die eingeschränkte Linearform
\({
\alpha |_U \colon U \to K,\, u \mapsto \alpha(u)
}\).
Nach
dem Lemma zu affinen Unterräumen als Nebenklassen
gilt
\({
p + \ker \alpha |_U = U \cap \alpha^{-1}(1) = \{p\}
}\)
und damit
\(
\ker \alpha |_U =
-p + p + \ker \alpha |_U =
-p + \{p\} = \{0\}
\);
also ist
\({
\alpha |_U \colon U \to K
}\)
injektiv.
Weiter ist
\({
\alpha |_U \colon U \to K
}\)
nicht die Nullabbildung
wegen
\({
p \in U
}\)
und
\({
\alpha(p) = 1
}\)
und damit surjektiv.
Insgesamt folgt dass
\({
\alpha |_U \colon U \to K
}\)
bijektiv ist und damit
\({
\dim_K U = \dim_K K = 1
}\).
Außerdem ist
\({
U \subset V
}\)
eine lineare Hyperebene und damit
\({
\dim_K V = \dim_K U + 1 = 1 + 1 = 2
}\).
Sei
\({
\varphi \colon V \to W
}\)
eine surjektive lineare Abbildung
endlich-dimensionaler Vektorräume,
\({
q \in W
}\),
und
\({
A \coloneqq \varphi^{-1}(q)
}\)
die Faser von
\({
\varphi \colon V \to W
}\)
über
\({
q \in W
}\).
Zeigen Sie die Gleichung
\({
\dim A = \dim V - \dim W
}\)
für die Dimension des affinen Unterraums
\({
A
}\).