Übung 1
(Wiederholung Linearer Gleichungssysteme).
Sei
\[
A \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 & -6 & 3 & -4 & 5 \\
0 & 0 & -1 & 2 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 3
\end{pmatrix}
\in
\R^{3 \times 5}
\]
bereits in Zeilenstufenform
und
\[
b \coloneqq
\begin{pmatrix}
6 \\
5 \\
-9
\end{pmatrix}
\in \R^3
.
\]
Ziel dieser Aufgabe ist es den affinen Lösungsraum
des inhomogenen LGS
\({
A x = b
}\)
als Nebenklasse
\({
p + \langle u, v \rangle
}\)
für eine Basis
\({
\{u, v\}
}\)
des Kerns von
\({
A
}\)
darzustellen.
-
Bestimmen Sie eine Basis
\({
\{u, v\}
}\)
von
\({
\ker A
}\)
mit Hilfe des Ansatzes
\({
u =
\begin{pmatrix}
u_1 \\
0 \\
u_3 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
v =
\begin{pmatrix}
v_1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
}\)
.
-
Bestimmen Sie eine spezielle Lösung
\({
p \in \R^5
}\)
des inhomogenen LGS
\({
A x = b
}\)
mit Hilfe des Ansatzes
\({
p =
\begin{pmatrix}
p_1 \\
0 \\
p_3 \\
0 \\
p_5
\end{pmatrix}
}\).
-
Die zweite Koordinate des Vektors
\({
A u \in \R^3
}\)
verschwindet genau dann,
wenn
\({
u_3 = 2
}\)
gilt.
Für
\({
u_3 = 2
}\)
verschwindet die erste Koordinate von
\({
A u
}\)
genau dann,
wenn
\({
u_1 = -1
}\)
gilt.
Weiter verschwindet die erste Koordinate von
\({
A v \in \R^3
}\)
genau für den Wert
\({
v_1 = 3
}\).
Insgesamt erhalten wir
\({
u =
\begin{pmatrix}
-1 \\
0 \\
2 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
v =
\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
}\).
-
Betrachten wir in der Gleichung
\({
A p = b
}\)
die jeweils
dritte Koordinate von
\({
A p
}\)
und
\({
b
}\),
dann erhalten wir die Gleichung
\[
3 p_5 = -9
\]
und damit
\({
p_5 = -3
}\).
Betrachten wir weiter jeweils die zweite Koordinate,
so erhalten wir die Gleichung
\[
5 = -p3 - 4p_5 = -p3 + 12
\]
und damit
\({
p3 = 7
}\).
Betrachten wir schließlich die jeweils erste Koordinate von
\({
A p
}\)
und
\({
b
}\),
dann erhalten wir die Gleichung
\[
6 = 2 p_1 + 3 p_3 + 5 p_5 = 2 p_1 + 21 - 15 = 2 p_1 + 6
\]
und damit
\({
p_1 = 0
}\).
Insgesamt erhalten wir die spezielle Lösung
\({
p =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
7 \\
0 \\
-3
\end{pmatrix}
}\).
Übung 2
(Schnitt Zweier Affiner Ebenen).
Seien
\({
p_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
}\),
\({
n_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
3
\end{pmatrix}
}\),
\({
p_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
-3 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
n_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
5
\end{pmatrix}
}\)
jeweils Vektoren in
\({
\R^3
}\).
Bezüglich Standard-Bilinearform betrachten wir nun die affinen Ebenen
\({
E_i \coloneqq p_i + n_i^{\perp} \subset \R^3
}\)
für
\({
i = 1, 2
}\).
Ziel dieser Aufgabe ist es den Schnitt affiner Ebenen
\({
E_1 \cap E_2
}\)
als Nebenklasse zu beschreiben.
-
Beschreiben Sie die Ebenen
\({
E_1
}\)
und
\({
E_2
}\)
jeweils als Faser einer Linearform
auf
\({
\R^3
}\).
-
Bestimmen Sie eine Matrix
\({
A \in \R^{2 \times 3}
}\)
und einen Vektor
\({
b \in \R^2
}\)
derart,
dass für die Abbildung
\({
\varphi_A \colon \R^3 \to \R^2,\, v \mapsto A v
}\)
die Gleichung
\({
\varphi_A^{-1} (b) = E_1 \cap E_2
}\)
gilt;
oder mit anderen Worten,
der Schnitt
\({
E_1 \cap E_2
}\)
ist der affine Lösungsraum
des möglicherweise inhomogenen LGS
\({
A x = b
}\).
-
Bestimmen Sie einen Punkt
\({
p_3 \in \R^3
}\)
sowie einen Untervektorraum
\({
U
}\)
und eine Basis von
\({
U
}\)
derart,
dass die Gleichung
\({
p_3 + U = E_1 \cap E_2
}\)
gilt.
(Effektiv schreiben wir damit den Schnitt affiner Ebenen
\({
E_1 \cap E_2
}\)
als Nebenklasse
\({
p_3 + U
}\).)
- \({
E_1
}\)
ist die Faser der Linearform
\[
\varphi_{n_1^T} \colon \R^3 \to \R,\, v \mapsto n_1^T v =
\begin{pmatrix}
2 &
1 &
3
\end{pmatrix}
v
\]
über
\[
\varphi_{n_1^T} (p_1)
=
n_1^T p_1 =
\begin{pmatrix}
2 &
1 &
3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
=
3
\]
und
\({
E_2
}\)
ist die Faser der Linearform
\[
\varphi_{n_2^T} \colon \R^3 \to \R,\, v \mapsto n_2^T v =
\begin{pmatrix}
2 &
2 &
5
\end{pmatrix}
v
\]
über
\[
\varphi_{n_2^T} (p_2)
=
n_2^T p_2 =
\begin{pmatrix}
2 &
2 &
5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\
-3 \\
1
\end{pmatrix}
=
3
.
\]
-
Wir definieren
\[
A \coloneqq
\begin{pmatrix}
n_1^T \\[0.4ex]
n_2^T
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 3 \\
2 & 2 & 5
\end{pmatrix}
\]
und
\({
b \coloneqq
\begin{pmatrix}
n_1^T p_1 \\[0.4ex]
n_2^T p_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
3 \\
3
\end{pmatrix}
}\).
Nach
dem Lemma zum Schnitt affiner Unterräume
gilt dann
\({
E_1 \cap E_2 = \varphi_A^{-1}(b)
}\).
-
Zunächst bringen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix
\[
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{c|c}
A & b
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
=
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 3 & 3 \\
2 & 2 & 5 & 3
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\]
für das inhomogene lineare Gleichungssystem
\({
Ax = b
}\)
auf Zeilenstufenform:
\[
\begin{split}
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 3 & 3 \\
2 & 2 & 5 & 3
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
& \to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 3 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 0
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\\
& \to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{ccc|c}
2 & 0 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 2 & 0
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
.
\end{split}
\]
(Der letzte Schritt wäre nicht notwendig gewesen,
vereinfacht allerdings die nachfolgenden Rechnungen.)
Für
\({
A' \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
b' \coloneqq
\begin{pmatrix}
3 \\
0
\end{pmatrix}
}\)
erhalten wir damit das inhomogene lineare Gleichungssystem
\({
A' x = b
}\)
mit identischem affinen Lösungsraum.
Da wir Stufen in der ersten und zweiten Spalte von
\({
A'
}\)
haben
ist nur die dritte Koordinate frei wählbar.
Eine Basis von
\({
U \coloneqq \ker A = \ker A'
}\)
hat deshalb genau einen Erzeuger
\({
u
}\)
und wir machen den Ansatz
\({
u =
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
1
\end{pmatrix}
.
}\)
Weiter verschwindet die zweite Koordinate von
\({
A' u
}\)
genau dann,
wenn die Gleichung
\({
u_2 + 2 = 0
}\)
und damit
\({
u_2 \coloneqq -2
}\)
gilt.
Ganz analog verschwindet die erste Koordinate von
\({
A' u
}\)
genau dann, wenn
\({
2 u_1 + 1 = 0
}\)
und damit
\({
u_1 \coloneqq -\frac{1}{2}
}\)
gilt.
Insgesamt erhalten wir mit
\[
v \coloneqq 2 u =
\begin{pmatrix}
-1 \\
-4 \\
2
\end{pmatrix}
\]
einen Erzeuger und damit eine Basis
\({
\{ v \}
}\)
von
\({
\ker A'
}\).
Für eine spezielle Lösung
\({
p_3 \in \R^3
}\)
des inhomogenen linearen Gleichungssystems
\({
A' x = b'
}\)
machen wir den Ansatz
\({
p_3 =
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
0
\end{pmatrix}
.
}\)
Betrachten wir in der Gleichung
\({
A' p_3 = b'
}\)
die jeweils zweite Koordinate von
\({
A' p_3
}\)
und
\({
b'
}\),
dann erhalten wir die Gleichung
\({
y = 0
}\).
Betrachten wir weiter jeweils die zweite Koordinate,
so erhalten wir
\({
2 x = 3
}\)
und damit insgesamt
\({
p_3 =
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
3 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
}\).
Folglich ist
\[
p_3 + U =
p_3 + \langle v \rangle
=
\frac{1}{2}
\begin{pmatrix}
3 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+
\left\langle
\begin{pmatrix}
-1 \\
-4 \\
2
\end{pmatrix}
\right\rangle
\]
der affine Lösungsraum
des inhomogenen linearen Gleichunssystems
\({
A x = b
}\)
und nach
dem Lemma zu affinen Unterräumen als Nebenklassen
und Aufgabenteil b
damit auch die Schnittmenge affiner Ebenen:
\({
E_1 \cap E_2 = p_3 + \langle v \rangle
}\).
Seien
\({
p \coloneqq
\begin{pmatrix}
3 \\
-2 \\
-2
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
u \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
-3 \\
2
\end{pmatrix}
}\)
reellwertige Vektoren
und sei
\({
G \coloneqq p + \langle u \rangle
\subset \R^3
}\)
die zugehörige Gerade.
-
Bestimmen Sie Normalen
(das heißt Vektoren)
\({
n_1, n_2 \in \R^3
}\)
derart,
dass die Gleichung
\({
G =
p + \big(n_1^{\perp} \cap n_2^{\perp}\big)
=
\big(p + n_1^{\perp}\big) \cap \big(p + n_2^{\perp}\big)
}\)
gilt.
-
Bestimmen Sie eine Matrix
\({
A \in \R^{2 \times 3}
}\)
sowie einen Punkt
\({
q \in \R^3
}\)
derart,
dass
\({
G
}\)
die Faser der linearen Abbildung
\({
\varphi_A \colon \R^3 \to \R^2,\, v \mapsto A v
}\)
über
\({
q
}\)
ist.
-
Durch Subtraktion und Addition von
\({
p
}\)
erhalten wir die Äquivalenz der Gleichungen
\[
p + \langle u \rangle =
p + \big(n_1^{\perp} \cap n_2^{\perp}\big)
\]
und
\[
\langle u \rangle = n_1^{\perp} \cap n_2^{\perp}
.
\]
Weiter gilt nach
Übung 4 aus Woche 2
die Gleichung
\({
n_1^{\perp} \cap n_2^{\perp} =
\langle n_1, n_2 \rangle^{\perp}
}\).
Nach
Übung 2 aus Woche 2
genügt es daher ein Erzeugendensystem
\({
\{n_1, n_2\}
}\)
des orthogonalen Komplements
\({
u^{\perp}
}\)
von
\({
\langle u \rangle
}\)
zu bestimmen.
Weiter gilt
\({
u^{\perp} = \ker u^T
}\)
und als Zeilenvektor ist die Matrix
\({
u^T =
\begin{pmatrix}
1 & -3 & 2
\end{pmatrix}
}\)
bereits in Zeilenstufenform.
Da wir genau in der ersten Spalte von
\({
u^T
}\)
eine Stufe haben machen wir den Ansatz
\({
n_1 =
\begin{pmatrix}
x \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
,~
n_2 =
\begin{pmatrix}
x' \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
}\).
Anhand der Gleichung
\[
0 = u^T n_1 =
\begin{pmatrix}
1 & -3 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
=
x + 2
\]
erhalten wir
\({
x = -2
}\)
und anhand von
\[
0 = u^T n_1 =
\begin{pmatrix}
1 & -3 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x' \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
=
x' - 3
\]
erhalten wir
\({
x' = 3
}\).
Insgesamt erhalten wir schließlich
\({
n_1 =
\begin{pmatrix}
-2 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
n_2 =
\begin{pmatrix}
3 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
}\).
-
Wir definieren
\({
A \coloneqq
\begin{pmatrix}
n_1^T \\[0.4ex]
n_2^T
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 0
\end{pmatrix}
}\).
Wie bereits in der Lösung von Aufgabenteil a begründet
gilt die Gleichung
\({
\langle u \rangle =
n_1^{\perp} \cap n_2^{\perp} =
\ker A
}\).
Folglich ist
\({
p + \langle u \rangle
}\)
die Faser von
\({
\varphi_A
}\)
über
\[
q \coloneqq
\varphi_A(p) = A p =
\begin{pmatrix}
-2 & 0 & 1 \\
3 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
-2 \\
-2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-8 \\
7
\end{pmatrix}
\]
nach
dem Lemma zu affinen Unterräumen als Nebenklassen.
Seien
\({
A \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
-2 & 1 \\
0 & -4
\end{pmatrix}
}\),
\({
b_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
-4
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
b_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
3
\end{pmatrix}
}\)
reellwertige Matrizen bzw. Spaltenvektoren.
-
Bestimmen Sie eine Basis
\({
\{w_1, w_2, w_3\} \subset \R^3
}\)
derart,
dass die Matrix
\({
\begin{pmatrix}
w_1^T \\[0.4ex]
w_2^T \\[0.4ex]
w_3^T
\end{pmatrix}
A
}\)
in Zeilenstufenform ist.
-
Bestimmen Sie jeweils für
\({
i = 1, 2
}\)
ob das inhomogene lineare Gleichungssystem
\({
A x = b_i
}\)
eine Lösung besitzt und falls ja,
bestimmen Sie eine spezielle Lösung
und die Dimension des affinen Lösungsraums.
-
Zunächst modifizieren wir die erweiterte Koffizientenmatrix
\({
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{c|c}
A & I
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
}\),
wobei
\({
I \in \R^{3 \times 3}
}\)
die Einheitsmatrix ist,
derart, dass die resultierende Matrix
\({
A'
}\)
links der vertikalen Trennlinie
in Zeilenstufenform ist:
\[
\begin{split}
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{cc|ccc}
2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
& \to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{cc|ccc}
2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
\\
& \to
\left(\hspace{-5pt}\begin{array}{cc|ccc}
2 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 2 & 1
\end{array}\hspace{-5pt}\right)
.
\end{split}
\]
Also erhalten wir mit
\({
w_1 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
}\),
\({
w_2 \coloneqq
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
w_3 \coloneqq
\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
die gewünschte Basis.
-
Nach
unserer Rechnung aus Aufgabenteil a und
der Proposition
zu Normalen des Kerns und Fasern linearer Abbildungen
hat das inhomogene lineare Gleichungssystem
\({
A x = b_i
}\)
genau dann eine Lösung,
wenn die Gleichung
\({
w_3^T b_i = 0
}\)
gilt.
Wir berechnen also
\[
w_3^T b_1 =
\begin{pmatrix}
2 &
2 &
1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
-4
\end{pmatrix}
=
6 -2 -4 = 0
\]
und
\[
w_3^T b_2 =
\begin{pmatrix}
2 &
2 &
1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
-2 \\
3
\end{pmatrix}
=
2 -4 + 3 = 5 \neq 0
.
\]
Folglich gibt es nur für
\({
i = 1
}\)
eine Lösung.
Da
\({
A'
}\)
in jeder Spalte eine Stufe hat,
ist der Kern von
\({
A'
}\)
trivial.
Damit hat der affine Lösungsraum
des inhomogenen linearen Gleichungssystems
\({
A x = b_2
}\)
die Dimension
\({
0
}\).
Entsprechend der Form von
\({
A'
}\)
(in jeder Spalte eine Stufe)
machen wir den Ansatz
\({
p =
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
}\)
für eine spezielle Lösung des
inhomogenen linearen Gleichungssystems
\({
A x = b_2
}\).
Mit diesem Ansatz erhalten wir für die zweite Koordinate
des Vektors
\({
A' p
}\)
den Ausdruck
\({
2 y
}\).
Somit muss,
damit
\({
p
}\)
eine Lösung ist des
inhomogenen linearen Gleichungssystems
\({
A x = b_2
}\)
ist,
insbesondere die Gleichung
\[
2 y =
w_2^T b_1 =
\begin{pmatrix}
1 &
1 &
0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
-4
\end{pmatrix}
=
3 - 1 = 2
\]
gelten.
Wir erhalten also
\({
y = 1
}\).
Damit erhalten wir für die erste Koordinate
des Vektors
\({
A' p
}\)
den Ausdruck
\({
2 x + 1
}\).
Somit muss,
damit
\({
p
}\)
eine Lösung ist des
inhomogenen linearen Gleichungssystems
\({
A x = b_2
}\)
ist,
insbesondere die Gleichung
\[
2 x + 1 =
w_1^T b_1 =
\begin{pmatrix}
1 &
0 &
0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
3 \\
-1 \\
-4
\end{pmatrix}
=
3
\]
gelten.
Folglich gilt auch
\({
x = 1
}\).
Insgesamt erhalten wir die spezielle Lösung
\({
p =
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
}\)
des
inhomogenen linearen Gleichungssystems
\({
A x = b_2
}\).