Übung 1
(Fixpunkte Affiner Abbildungen).
Sei
\({
V
}\)
ein reeller Vektorraum,
sei
\({
A \subseteq V
}\)
ein affiner Unterraum
und sei
\({
f \colon A \to A
}\)
eine affine Abbildung.
Weiter sei
\({
M \subset A
}\)
eine nicht-leere endliche Teilmenge von
\({
A
}\)
mit
\({
f(M) = M
}\).
Zeigen Sie,
dass
\({
f \colon A \to B
}\)
einen Fixpunkt hat;
das heißt es gibt einen Punkt
\({
p \in A
}\)
mit
\({
f(p) = p
}\).
Sei
\({
m \coloneqq |M|
}\)
die Anzahl der Punkte in
\({
M
}\)
und
\({
p \coloneqq \sum_{q \in M} \textstyle{\frac{1}{m}} q
}\).
Dann ist
\({
p
}\)
eine affine Kombination der Punkte in
\({
M
}\)
und damit
\[
f(p) = f \big(\textstyle{\sum_{q \in M}} \textstyle{\frac{1}{m}} q\big)
=
\displaystyle{\sum_{q \in M}} \textstyle{\frac{1}{m}} f(q)
.
\]
Da
\({
f |_M \colon M \to M
}\)
nach Annahme surjektiv und
\({
M
}\)
endlich ist,
ist
\({
f |_M \colon M \to M
}\)
bijektiv.
Damit gilt weiter
\[
\displaystyle{\sum_{q \in M}} \textstyle{\frac{1}{m}} f(q) =
\displaystyle{\sum_{q \in M}} \textstyle{\frac{1}{m}} q = p
.
\]
Insgesamt erhalten wir
\({
p
}\)
als Fixpunkt von
\({
f \colon A \to A
}\).
Übung 2
(Fasern Affiner Abbildungen).
Seien
\({
A \coloneqq
\begin{pmatrix}
3 & -4 & 2 \\
0 & -2 & 4
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
q \coloneqq
\begin{pmatrix}
4 \\
9
\end{pmatrix}
}\)
reellwertig
und sei
\({
f \colon \R^3 \to \R^2
}\)
die affine Abbildung mit
\({
f(0) =
\begin{pmatrix}
-5 \\
3
\end{pmatrix}
}\)
und Ableitung
\({
T f = \varphi_A \colon
\R^3 \to \R^2,\,
u \mapsto A u
.
}\)
Bestimmen Sie einen Punkt
\({
p \in \R^3
}\)
sowie eine Basis für einen Untervektorraum
\({
U \subseteq \R^3
}\)
derart,
dass der affine Unterraum
\({
p + U
}\)
die Faser von
\({
f \colon \R^3 \to \R^2
}\)
über
\({
q
}\)
ist.
Zunächst beschreiben wir die Abbildung
\({
f
}\)
durch ihre Taylor-Entwicklung in
\({
0
}\):
\[
f \colon \R^3 \to \R^2,\,
u \mapsto f(0) + \varphi_A(u)
.
\]
Folglich ist die Faser von
\({
f
}\)
über
\({
q
}\)
die Faser von
\({
\varphi_A \colon \R^3 \to \R^2
}\)
über
\({
b \coloneqq q - f(0) =
\begin{pmatrix}
4 \\
9
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
-5 \\
3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
9 \\
6
\end{pmatrix}
}\)
und damit der affine Lösungsraum
des inhomogenen linearen Gleichungssystems
\({
A p = b
}\).
Die Matrix
\({
A
}\)
ist bereits in Zeilenstufenform
mit Stufen in der ersten und zweiten Spalte.
Eine Basis von
\({
U \coloneqq \ker A
}\)
hat deshalb genau einen Erzeuger
\({
u
}\)
und wir machen den Ansatz
\({
u =
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
1
\end{pmatrix}
}\).
Weiter verschwindet die zweite Koordinate von
\({
A u
}\)
genau dann,
wenn
\({
-2u_2 + 4 = 0
}\)
und damit
\({
u_2 = 2
}\)
gilt.
Für
\({
u_2 = 2
}\)
verschwindet die erste Koordinate von
\({
A u
}\)
genau dann,
wenn
\(
0 = 3u_1 -4u_2 + 2 = 3u_1 - 8 + 2 = 3x - 6
\)
und damit
\({
u_1 = 2
}\)
gilt.
Wir erhalten also
\({
u =
\begin{pmatrix}
2 \\
2 \\
1
\end{pmatrix}
}\).
Für eine spezielle Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems
\({
A x = b
}\)
machen wir den Ansatz
\({
p =
\begin{pmatrix}
p_1 \\
p_2 \\
0
\end{pmatrix}
}\).
Betrachten wir in der Gleichung
\({
A p = b
}\)
die jeweils zweite Koordinate von
\({
A p
}\)
und
\({
b
}\),
dann erhalten wir die Gleichung
\({
-2 p_2 = 6
}\)
und damit
\({
p_2 = -3
}\).
Betrachten wir weiter die jeweils erste Koordinate,
so erhalten wir die Gleichung
\({
9 = 3 p_1 - 4 p_2 = 3 p_1 + 12
}\)
und damit
\({
p_1 = -1
}\).
Insgesamt erhalten
\({
p =
\begin{pmatrix}
-1 \\
-3 \\
0
\end{pmatrix}
}\)
und
\({
p + \langle u \rangle
}\)
als den affinen Lösungsraum des inhomogenen linearen Gleichungssystems
\({
A x = q
}\)
und damit als Faser von
\({
f \colon \R^3 \to \R^2
}\)
über
\({
q
}\).
Übung 3
(Inverse Affiner Abbildungen).
Sei
\({
f \colon A \to B
}\)
eine bijektive affine Abbildung.
Zeigen Sie,
dass die Inverse
\({
f^{-1} \colon B \to A
}\)
von
\({
f
}\)
ebenfalls eine affine Abbdildung ist.
Seien
\({
\lambda_1, \dots, \lambda_l \in K,\,
l \geq 1
}\)
mit
\({
\sum_{i = 1}^l \lambda_i = 1
}\)
und
\({
q_1, \dots, q_l \in B
}\).
Dann gibt es Punkte
\({
p_1, \dots, p_l \in A
}\)
mit
\({
f(p_i) = q_i
}\)
für
\({
i = 1, \dots, l
}\).
Weiter gilt
\[
f \big(
\textstyle{\sum_{i=1}^l} \lambda_i p_i
\big)
=
\displaystyle{\sum_{i=1}^l} \lambda_i f(p_i)
=
\displaystyle{\sum_{i=1}^l} \lambda_i q_i
\]
da
\({
f \colon A \to B
}\)
eine affine Abbildung ist.
Wenden wir nun
\({
f^{-1} \colon B \to A
}\)
auf beide Seiten der letzten Gleichung an,
dann erhalten wir
\[
\begin{split}
\displaystyle{\sum_{i=1}^l} \lambda_i f^{-1}(q_i)
&=
f^{-1} \big( f \big(
\textstyle{\sum_{i=1}^l} \lambda_i p_i
\big) \big)
\\
&=
f^{-1} \big(
\textstyle{\sum_{i=1}^l} \lambda_i q_i
\big)
\end{split}
\]
und damit dass
\({
f^{-1} \colon B \to A
}\)
eine affine Abbildung ist.
Übung 4
(Taylor-Entwicklung der Inversen).
Seien
\({
A \subseteq V
}\)
und
\({
B \subseteq W
}\)
affine Unterräume
mit Punkten
\({
p \in A
}\)
und
\({
q \in B
}\).
Weiter sei
\({
f \colon A \to B
}\)
eine affine bijektive Abbdildung
mit Ableitung
\({
\varphi \colon TA \to TB
}\).
-
Zeigen Sie,
dass
\({
\varphi \colon TA \to TB
}\)
bijektiv ist.
-
Zeigen Sie,
dass
\[
B \to A,\,
q' \mapsto p + \varphi^{-1}(q - f(p)) + \varphi^{-1}(q' - q)
\]
die Taylor-Entwicklung von
\({
f^{-1} \colon B \to A
}\)
in
\({
q
}\)
ist.
-
Sei
\({
g \colon TA \to A = p + TA,\, u \mapsto p+u
}\)
und
\({
h \colon B = f(p) + TB \to TB,\, q' \mapsto q' - f(p)
}\).
Dann ist
\({
\varphi = T_p f
}\)
nach
Definition
die Komposition bijektiver Abbildungen:
\({
\varphi = h \circ f \circ g
}\).
-
Zunächst bemerken wir,
dass
\[
f^{-1} \colon B \to A,\,
q' \mapsto p + \varphi^{-1}(q' - f(p))
\]
die Taylor-Entwicklung von
\({
f^{-1} \colon B \to A
}\)
in
\({
f(p)
}\)
ist und
\[
\mathrm{id}_B \colon B \to B,\,
q' \mapsto q + (q' - q)
\]
die Taylor-Entwicklung der Identität in
\({
q
}\)
ist.
Aufgrund von
\({
f^{-1} = f^{-1} \circ \mathrm{id}_B
}\)
folgt
die Behauptung
dann zusammen mit dem
Lemma zur Taylor-Entwicklung und Komposition affiner Abbildungen.